离散时间傅里叶变换
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2.2 离散时间傅里叶变换 2.2 离散时间傅里叶变换
2020/8/19
DTFT定义 IDTFT定义 性质
电气信息工程学院
Digital Signal Processing
性 质
2020/8/19
2.2 离散时间傅里叶变换
周期性 对称性
线性 移位 时间翻转 调制 卷积 能量守恒
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Digital Signal Processing
2.1 引言 2.2 离散时间傅里叶变换 2.3 连续信号的傅里叶变换
与序列傅里叶变换
2.4 采样定理 2.5 离散时间信号截短对频谱的影响
2020/8/19
2.5 离散时间信号截断对频谱的影响
RN (e j )
N 1
RN (n)e jn
n0
N 1
e jn
n0
1 e jN 1 e j
8000 4000
4000
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8000
12000 16000
2.4 采样定理
已知连续时间信号 xa (t) cos(4000 t)
用 Ts 1/ 6000 对其采样，分析其频谱特性 。
Ts 1/1500
2020/8/19
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e jn0 x(n) X (e j(0 ) )
x(n) cosn0
1 2
X (e j(0 ) )
1 2
X (e j(0 ) )
2020/8/19
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调制
2.2 离散时间傅里叶变换
设 x(n) 是一个具有DTFT
X (e j ) 的序列，请用 X (e j ) 表示
x(n) 2 1 X (e j ) 2
n
2
2020/8/19
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2.1 引言 2.2 离散时间傅里叶变换 2.3 连续信号的傅里叶变换
与序列傅里叶变换
2.4 采样定理 2.5 离散时间信号截短对频谱的影响
2020/8/19
e jN / 2 (e jN / 2 e jN / 2 ) e j / 2 (e j / 2 e j / 2 )
e j(N 1) / 2 sin(N / 2) / sin( / 2)
RNg (e j ) sin(N / 2) / sin( / 2)
2020/8/19
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2020/8/19
电气信息工程学院 图2.5.2 窗函数的影响
高丙坤
X a ( j) 0 0
2.4 采样定理
例题
如果
X
(e
j
)
31
0
0.4 则 x(n)
else
为时域的 sin c 函数，求
X (e j ) RN (e j ) 设数据长度N=31
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n
的傅里叶变换为
Sa ( j) S ( ks ) k
2020/8/19
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2.3 连续信号FT与DTFT
sa (t)
傅氏级数展开
(t nTs )
sa (t)
A e jkst k
n
周期性
k
sa (t)
1 Ts
e jkst
2020/8/19
2.4 采样定理
X e j X s j /Ts
Xs j
Ts
4000 2 / 3
4000 2 / 3
8000 12000 16000 4 / 3 2 8 / 3
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2.4 采样定理
已知连续时间信号 xa (t) cos(4000 t)
2020/8/19
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2020/8/19
2.4 采样定理
Xa j
Ts
Ts
6000
6000
4000
4000
X X
s a
j j
Ts
4000
4000
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8000
12000 16000
2.5 离散时间信号截断对频谱的影响
RN n n
RNg (e j )
N
4 2
2 0
2 N
4
N
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2.5 离散时间信号截断对频谱的影响
RN n
( )
n
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2.5 离散时间信号截短对频谱的影响
X e j
X e j De j
8 / 3
8 / 3
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X e j X s j /Ts
4 / 3 2 / 3
2 / 3 4 / 3 2 8 / 3
X e j X s j /Ts
4 / 3 2 / 3
2 / 3 4 / 3 2 8 / 3
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anu(n), a 1
1 1 ae j
anu(n 1), a 1 1 1 ae j
cos n 2020/8/19 0
电气信息工程学(院 高丙坤
0
)
Leabharlann Baidu
(
0
)
性 质
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2.2 离散时间傅里叶变换
周期性 对称性
线性 移位 时间翻转 调制 卷积 能量守恒
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2.3 连续信号FT与DTFT
X (e j ) X s ( j) /Ts
2020/8/19
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X a ( j) 0 0
2.4 采样定理
采样定理
如果 xa (t) 是严格带限的，即
X a ( j) 0 0 且采样频率
2
s Ts 20 那么 xa (t) 可以唯一地
从其采样 xa (nTs ) 中恢复
2020/8/19
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卷积
2.2 离散时间傅里叶变换
设 x(n) 是一个具有DTFT
X (e j ) 的序列，请用 X (e j ) 表示
x(n) x* (n) 的DTFT
2020/8/19
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2.2 离散时间傅里叶变换 能量守恒定理
s
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2.1 引言 2.2 离散时间傅里叶变换 2.3 连续信号的傅里叶变换
与序列傅里叶变换
2.4 采样定理 2.5 离散时间信号截短对频谱的影响
2020/8/19
X a ( j) 0 0
2.4 采样定理
采样定理
如果 xa (t) 是严格带限的，即
2.3 连续信号FT与DTFT
xs (t) xa (t)sa (t)
卷积
X s ( j)
1
2
X a ( j) Sa ( j)
1 2
[
2 Ts
X a ( j) ( ks )]
k
1
Ts
X a ( j ) ( ks )d
k
1
Ts k
X a ( j ) ( ks )d
X a ( j) 0 0 且采样频率
2
s Ts 20 那么 xa (t) 可以唯一地
从其采样 xa (nTs ) 中恢复
2020/8/19
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2.4 采样定理
已知连续时间信号 xa (t) cos(4000 t) 用 Ts 1/ 6000 对其采样，分析其频谱特性 。
移位
2.2 离散时间傅里叶变换
习题
x(n n0 ) e jn0 X (e j )
求 X (e j ) cos2 的IDTFT
2020/8/19
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2.2 离散时间傅里叶变换
时间翻转 x(n) X (e j )
设
x(n) (n 1) (n) 2 (n 1) 3 (n 2)
2.2 离散时间傅里叶变换 2.2.2 IDTFT定义
x(n) 1 X (e j )e jn d
2
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e jn0
2.2 离散时间傅里叶变换
(n)
1
(n n0 )
e jn0
1
2 ()
e jn0
2 ( 0 )
(
ks
)
1
0
ks 为其他值
X s (
j)
1 Ts
k
Xa(
j
jks )
2020/8/19
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2.3 连续信号FT与DTFT
Xa j
1
0 0 0
Xs j
1 Ts
s 0 0 0
s
Xs j
1 Ts
2020/8/19
s
0
2.5 离散时间信号截短对频谱的影响
2020/8/19
电气信息工程学院 图2.5.2 窗函数的影响
高丙坤
本章重点
2020/8/19
2.2 离散时间傅里叶变换 2.2.1 DTFT定义
X (e j ) x(n)e jn n
2020/8/19
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xa (t) cos(16000 t)
用 Ts 1/ 6000 对其采样，分析其频谱特性 。
2020/8/19
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Ts
16000
16000
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2.4 采样定理
Xa j
6000
6000
Ts
16000
Xs j
Ts
k
冲激函数特性
系数求解定义
Ak
1 Ts
Ts / 2
(t)e jkst dt
Ts / 2
Ak 1 Ts
e jkst FT 2 ( ks )
Sa ( j) S ( ks ) k
2020/8/19
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(
ks
)
1
0
ks 为其他值
2.3 连续信号FT与DTFT
xs (t) xa (t)sa (t) xa (nTs ) (t nTs ) n
FT
(t nTs ) FT e jnTs
X s ( j)
xa (nTs )e jnTs
n
DTFT
x(n) xa (nTs )
X (e j ) x(n)e jn xa (nTs )e jn
2.3 连续信号FT与DTFT
x(t) FT
采样
x(n)
DTFT
X j
什么关系？
X e j
2020/8/19
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1.5 信号的采样、量化和编码
1
sa t 把脉冲转 xn xa nTs
xa t
xs t 化为采样
2020/8/19
x(2n 1) 的DTFT
2020/8/19
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卷积
2.2 离散时间傅里叶变换
x(n) h(n) X (e j )H (e j )
x(n)h(n) 1 [ X (e j ) H (e j )]
2
2020/8/19
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其DTFT为 X (e j ) X R (e j ) jX I (e j )
求序列 y(n) 它具有如下给出的DTFT
Y (e j ) X I (e j ) jX R (e j )e j2
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调制
2.2 离散时间傅里叶变换
n
n
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2.3 连续信号FT与DTFT
X (e j ) X s ( j) /Ts
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2.3 连续信号FT与DTFT
例题
证明
sa (t) (t nTs )
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信号的采样
xa t
sa t t nTs n
把脉冲转 化为采样
xn xa nTs
xs t xa t t nTs n
xa nTs t nTs n
2020/8/19
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Ts
4000
4000
2020/8/19
2.4 采样定理
Xa j
1500
1500
Ts
4000
Xs j
Ts
2000 1000
1000
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2000
3000
4000
2.4 采样定理
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DTFT定义 IDTFT定义 性质
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性 质
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2.2 离散时间傅里叶变换
周期性 对称性
线性 移位 时间翻转 调制 卷积 能量守恒
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2.1 引言 2.2 离散时间傅里叶变换 2.3 连续信号的傅里叶变换
与序列傅里叶变换
2.4 采样定理 2.5 离散时间信号截短对频谱的影响
2020/8/19
2.5 离散时间信号截断对频谱的影响
RN (e j )
N 1
RN (n)e jn
n0
N 1
e jn
n0
1 e jN 1 e j
8000 4000
4000
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8000
12000 16000
2.4 采样定理
已知连续时间信号 xa (t) cos(4000 t)
用 Ts 1/ 6000 对其采样，分析其频谱特性 。
Ts 1/1500
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e jn0 x(n) X (e j(0 ) )
x(n) cosn0
1 2
X (e j(0 ) )
1 2
X (e j(0 ) )
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调制
2.2 离散时间傅里叶变换
设 x(n) 是一个具有DTFT
X (e j ) 的序列，请用 X (e j ) 表示
x(n) 2 1 X (e j ) 2
n
2
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2.1 引言 2.2 离散时间傅里叶变换 2.3 连续信号的傅里叶变换
与序列傅里叶变换
2.4 采样定理 2.5 离散时间信号截短对频谱的影响
2020/8/19
e jN / 2 (e jN / 2 e jN / 2 ) e j / 2 (e j / 2 e j / 2 )
e j(N 1) / 2 sin(N / 2) / sin( / 2)
RNg (e j ) sin(N / 2) / sin( / 2)
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X a ( j) 0 0
2.4 采样定理
例题
如果
X
(e
j
)
31
0
0.4 则 x(n)
else
为时域的 sin c 函数，求
X (e j ) RN (e j ) 设数据长度N=31
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n
的傅里叶变换为
Sa ( j) S ( ks ) k
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2.3 连续信号FT与DTFT
sa (t)
傅氏级数展开
(t nTs )
sa (t)
A e jkst k
n
周期性
k
sa (t)
1 Ts
e jkst
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2.4 采样定理
X e j X s j /Ts
Xs j
Ts
4000 2 / 3
4000 2 / 3
8000 12000 16000 4 / 3 2 8 / 3
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2.4 采样定理
已知连续时间信号 xa (t) cos(4000 t)
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2020/8/19
2.4 采样定理
Xa j
Ts
Ts
6000
6000
4000
4000
X X
s a
j j
Ts
4000
4000
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8000
12000 16000
2.5 离散时间信号截断对频谱的影响
RN n n
RNg (e j )
N
4 2
2 0
2 N
4
N
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2.5 离散时间信号截断对频谱的影响
RN n
( )
n
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2.5 离散时间信号截短对频谱的影响
X e j
X e j De j
8 / 3
8 / 3
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X e j X s j /Ts
4 / 3 2 / 3
2 / 3 4 / 3 2 8 / 3
X e j X s j /Ts
4 / 3 2 / 3
2 / 3 4 / 3 2 8 / 3
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anu(n), a 1
1 1 ae j
anu(n 1), a 1 1 1 ae j
cos n 2020/8/19 0
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0
)
Leabharlann Baidu
(
0
)
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2.2 离散时间傅里叶变换
周期性 对称性
线性 移位 时间翻转 调制 卷积 能量守恒
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2.3 连续信号FT与DTFT
X (e j ) X s ( j) /Ts
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X a ( j) 0 0
2.4 采样定理
采样定理
如果 xa (t) 是严格带限的，即
X a ( j) 0 0 且采样频率
2
s Ts 20 那么 xa (t) 可以唯一地
从其采样 xa (nTs ) 中恢复
2020/8/19
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卷积
2.2 离散时间傅里叶变换
设 x(n) 是一个具有DTFT
X (e j ) 的序列，请用 X (e j ) 表示
x(n) x* (n) 的DTFT
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2.2 离散时间傅里叶变换 能量守恒定理
s
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2.1 引言 2.2 离散时间傅里叶变换 2.3 连续信号的傅里叶变换
与序列傅里叶变换
2.4 采样定理 2.5 离散时间信号截短对频谱的影响
2020/8/19
X a ( j) 0 0
2.4 采样定理
采样定理
如果 xa (t) 是严格带限的，即
2.3 连续信号FT与DTFT
xs (t) xa (t)sa (t)
卷积
X s ( j)
1
2
X a ( j) Sa ( j)
1 2
[
2 Ts
X a ( j) ( ks )]
k
1
Ts
X a ( j ) ( ks )d
k
1
Ts k
X a ( j ) ( ks )d
X a ( j) 0 0 且采样频率
2
s Ts 20 那么 xa (t) 可以唯一地
从其采样 xa (nTs ) 中恢复
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2.4 采样定理
已知连续时间信号 xa (t) cos(4000 t) 用 Ts 1/ 6000 对其采样，分析其频谱特性 。
移位
2.2 离散时间傅里叶变换
习题
x(n n0 ) e jn0 X (e j )
求 X (e j ) cos2 的IDTFT
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2.2 离散时间傅里叶变换
时间翻转 x(n) X (e j )
设
x(n) (n 1) (n) 2 (n 1) 3 (n 2)
2.2 离散时间傅里叶变换 2.2.2 IDTFT定义
x(n) 1 X (e j )e jn d
2
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2.2 离散时间傅里叶变换
(n)
1
(n n0 )
e jn0
1
2 ()
e jn0
2 ( 0 )
(
ks
)
1
0
ks 为其他值
X s (
j)
1 Ts
k
Xa(
j
jks )
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2.3 连续信号FT与DTFT
Xa j
1
0 0 0
Xs j
1 Ts
s 0 0 0
s
Xs j
1 Ts
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s
0
2.5 离散时间信号截短对频谱的影响
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本章重点
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2.2 离散时间傅里叶变换 2.2.1 DTFT定义
X (e j ) x(n)e jn n
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xa (t) cos(16000 t)
用 Ts 1/ 6000 对其采样，分析其频谱特性 。
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Ts
16000
16000
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2.4 采样定理
Xa j
6000
6000
Ts
16000
Xs j
Ts
k
冲激函数特性
系数求解定义
Ak
1 Ts
Ts / 2
(t)e jkst dt
Ts / 2
Ak 1 Ts
e jkst FT 2 ( ks )
Sa ( j) S ( ks ) k
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(
ks
)
1
0
ks 为其他值
2.3 连续信号FT与DTFT
xs (t) xa (t)sa (t) xa (nTs ) (t nTs ) n
FT
(t nTs ) FT e jnTs
X s ( j)
xa (nTs )e jnTs
n
DTFT
x(n) xa (nTs )
X (e j ) x(n)e jn xa (nTs )e jn
2.3 连续信号FT与DTFT
x(t) FT
采样
x(n)
DTFT
X j
什么关系？
X e j
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1.5 信号的采样、量化和编码
1
sa t 把脉冲转 xn xa nTs
xa t
xs t 化为采样
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x(2n 1) 的DTFT
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卷积
2.2 离散时间傅里叶变换
x(n) h(n) X (e j )H (e j )
x(n)h(n) 1 [ X (e j ) H (e j )]
2
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其DTFT为 X (e j ) X R (e j ) jX I (e j )
求序列 y(n) 它具有如下给出的DTFT
Y (e j ) X I (e j ) jX R (e j )e j2
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调制
2.2 离散时间傅里叶变换
n
n
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2.3 连续信号FT与DTFT
X (e j ) X s ( j) /Ts
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2.3 连续信号FT与DTFT
例题
证明
sa (t) (t nTs )
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信号的采样
xa t
sa t t nTs n
把脉冲转 化为采样
xn xa nTs
xs t xa t t nTs n
xa nTs t nTs n
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Ts
4000
4000
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2.4 采样定理
Xa j
1500
1500
Ts
4000
Xs j
Ts
2000 1000
1000
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2000
3000
4000
2.4 采样定理