2018年秋九年级数学上册1特殊平行四边形2矩形的性质与判定第1课时矩形的性质习题教学课件新版北师大版.pptx
九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 2 矩形的性质与判定《矩形》知识讲解及例题演练 (新版)北师大版
矩形【学习目标】1. 理解矩形的概念.2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.【要点梳理】要点一、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.要点四、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.【典型例题】类型一、矩形的性质1、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ．【思路点拨】(1)矩形的四个内角都等于90°，利用条件△PBC 和△QCD 都是等边三角形，容易求得∠PBA 和∠PCQ 度数；(2)利用(1)的结论以及矩形的性质进一步证明△PAB≌△PQC(SAS)，从而证得PA ＝PQ ．【答案与解析】证明：(1)∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠ABC＝∠BCD＝90°．∵ △PBC 和△QCD 是等边三角形，∴ ∠PBC＝∠PCB＝∠QCD＝60°，∴ ∠PBA＝∠ABC－∠PBC＝30°，∠PCD＝∠BCD－∠PCB＝30°．∴∠PCQ＝∠QCD－∠PCD＝30°，故∠PBA＝∠PCQ＝30°(2)∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AB＝DC ．∵ △PBC 和△QCD 是等边三角形，∴ PB＝PC ，QC ＝DC ＝AB ．∵ AB＝QC ，∠PBA＝∠PCQ，PB ＝PC ．∴ △PAB≌△PQC，∴ PA＝PQ ．【总结升华】利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可．举一反三：【变式】如图所示，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B '处，点A 落在点A '处．(1)求证：B E BF '=；(2)设AE ＝a ，AB ＝b ，BF ＝c ，试猜想a b c 、、之间有何等量关系，并给予证明．【答案】证明：(1)由折叠可得B FE BFE '∠=∠．∵ AD∥BC， ∴ B EF BFE B FE ''∠=∠=∠，∴ B E B F ''=，∴ B E BF '=．(2)猜想222a b c +=．理由：由题意，得A E AE a '==，A B AB b ''==．由(1)知B E BF c '==．在A B E ''△中，∵ 90A '∠=°，A E a '=，A B b ''=，B E c '=，∴ 222a b c +=．2、如图所示，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，∠CAE＝15°，求∠BOE 的度数．【思路点拨】∠BOE 在△BOE 中，易知∠OBE＝30°，直接求∠BOE 有困难，转为考虑证BO ＝BE ．由AE 平分∠B AD 可求∠BAE＝45°得到AB ＝BE ，进一步可得等边△AOB．有AB ＝OB ．证得BO ＝BE ．【答案与解析】解：∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠DAB＝∠ABC＝90°，AO ＝12AC ，BO ＝12BD ，AC ＝BD ． ∴ AO＝BO ．∵ AE 平分∠BAD，∴ ∠BAE＝45°．∴ ∠AEB＝90°－45°＝45°＝∠BAE．∴ BE＝AB ．∵ ∠CAE＝15°，∴ ∠BAO＝60°．∴ △ABO 是等边三角形．∴ BO＝AB ，∠ABO＝60°．∴ BE＝BO ，∠OBE＝30°．∴ ∠BOE＝18030752-=°°°． 【总结升华】矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰三角形，因此矩形中的计算问题可以转化到直角三角形和等腰三角形中去解决．类型二、矩形的判定3、如图，在▱ABCD 中，∠ABD 的平分线BE 交AD 于点E ，∠CDB 的平分线DF 交BC 于点F ，连接BD ．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AB=DB ，求证：四边形DFBE 是矩形．【思路点拨】（1）根据平行四边形性质得出AB=CD，∠A=∠C．求出∠ABD=∠CDB．推出∠ABE=∠CDF，根据ASA推出全等即可；（2）根据全等得出AE=CF，根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四边形DFBE是平行四边形，根据等腰三角形性质得出∠DEB=90°，根据矩形的判定推出即可．【答案与解析】证明：（1）在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB．∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，∴∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB．∴∠ABE=∠CDF．∵在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA）．（2）∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴DE∥BF，DE=BF，∴四边形DFBE是平行四边形，∵AB=DB，BE平分∠ABD，∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．∴平行四边形DFBE是矩形．【总结升华】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定，角平分线定义等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．举一反三：【变式】如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO中，且∠ABC+∠ADC=180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？【答案】（1）证明：∵A0=C0，B0=D0∴四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD 是矩形；（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，∴∠FDC=36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO=90°﹣36°=54°，∵四边形ABCD 是矩形，∴OC=OD，∴∠ODC=54°∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．类型三、直角三角形斜边上的中线的性质4、如图所示，BD 、CE 是△ABC 两边上的高，G 、F 分别是BC 、DE 的中点．求证：FG⊥DE．【答案与解析】证明：连接EG 、DG ，∵ CE 是高，∴ CE⊥AB．∵ 在Rt△CEB 中，G 是BC 的中点，∴ EG＝12BC ，同理DG ＝12BC ． ∴ EG＝DG ．又∵ F 是ED 的中点，∴ FG⊥DE．【总结升华】直角三角形斜边中线的性质是依据矩形的对角线互相平分且相等推出来的．根据这个性质．又可以推出直角三角形的斜边上的中线把直角三角形分成了两个等腰三角形．温馨提示：若题目中给出直角三角形斜边上的中点，常设法用此性质解决问题． 举一反三：【变式】如图，∠MON＝90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB ＝2，BC ＝1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（ ）15 D.52【答案】A ；解：如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，∵OD≤OE＋DE ，∴当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大， 此时，∵AB＝2，BC ＝1，∴OE＝AE ＝12AB ＝1，DE ==∴OD 1.。
北师大版九年级上册数学第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质和判定(无答案)
1.2矩形的性质与判定一、矩形的定义1、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
二、矩形的性质1、矩形的四个角都是直角。
2、矩形的对角线相等。
三、矩形的对称性矩形是轴对称图形，有两条对称轴。
也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
四、直角三角形斜边中线的性质1、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半2、如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
五、矩形的判定1、有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2、对角线相等的平行四边形是矩形。
3、有三个角是直角的四边形是矩形。
☆对应训练知识点一、矩形的定义1、四个角相等的四边形________矩形（填“是”或“不是”）。
2、一组对边平行，且有两个角是直角的四边形________矩形（填“是”或“不是”）知识点二、矩形的性质1、矩形具有而菱形不具有的性质是（）A.两条对角线垂直B.两条对角线相等C.两组对边分别平行且相等D.两组对角分别相等2、如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O。
已知∠AOD=60°，AC=6，则图中长度为3的线段有（ ）A.2条B.4条C.5条D.6条3、如图所示，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，过点A 作BD 的垂线，垂足为E ，已知∠EDA=3∠BAE ，∠EAO 的度数（ ）A.22.5°B.67.5°C.45°D.60°4、矩形的边长是4cm ，一条对角线的长是34cm ，则矩形的面积是________cm ²。
A.232B.216C.32D.385、一个矩形的长边是短边的2倍，对角线的长是5，那么这个矩形的长边等于（ ）A.52B.5C.1D.26、如图所示，将长方形ABCD 分成15个大小相等的小正方形，E 、F 、G 、H 分别在AD ，AB ，BC ，CD 边上，且是某个小正方形的顶点。
若四边形EFGH 的面积为3，则长方形ABCD 的面积为（ ）A.5B.6C.7D.87、如图所示，矩形ABCD 中（AD>AB ），点E 是BC 上一点，且DE=DA ，AF ⊥DE于点F ，下列结论不一定正确的是（ ）A.△AFD ≌△DCEB.AD=2AFC.AB=AFD.BE=AD -DF8、如图所示，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 与E ，若∠EAO=15°，则∠BOE 的度数为（ ）A.85°B.80°C.75°D.70°9、如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB=6，BC=8，则△ABO的周长为（）A.16B.18 C .20 D.2210、在矩形ABCD中，周长为32，AE平分∠BAD交于E，若CE=6，则矩形ABCD的面积为________。
2_矩形的性质与判定_第1课时_教案1
第一章特别平行四边形2.矩形的性质与判断（一）一、学生知识状况剖析学生的知识技术基础：矩形的性质一课，是在学生掌握了三角形全等的证明、平行四边形的性质和判断，菱形的性质和判断以及具备了基本的推理能力的基础上安排的，是学习正方形的基础，学完本节课后，学生应掌握矩形的性质，会应用性质进行推理解题。
学生的活动经验基础：本节是九年级的第一章第二节的内容，这个年纪段的学生已经具备自主研究和合作学习的能力，他们喜爱着手，喜爱思虑一些有挑战性的问题，喜爱向他人展现自己的成就。
部分学生对学习数学有较强的兴趣，拥有必定的研究数学识题的能力和数学活动的经验，逻辑推理能力较强。
但大多数学生要把解题的整个过程表述完好、清楚比较困难。
二、教课任务剖析《矩形的性质与判断》一课属于初中平面几何要点知识。
本节是在学习了平行四边形的性质与判断以及菱形的基础上，在掌握了证明平行四边形有关内容及特别平行四边形的一般研究方法以后学习的，它既是平行四边形的延长，又为后边正方形的学习供给知识、方法的支持，为进一步研究其余图形确立基础。
依照新课标要求，《矩形的性质》不可以只逗留在知识教课上，而是要把经历研究图形的基天性质的过程，发展学生的基本的推理技术放在首要地点。
矩形是的平行四边形中的一种特别图形，在生活中有着宽泛的应用，所以课本好多地方以图片形式体现了矩形的“原型”，旨在唤起学生的生活经验，促使数学学习。
所以本节课的教课目的是：1.知识与技术 :(1)掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系。
(2)理解并掌握矩形的性质定理 ; 会用矩形的性质定理进行推导证明 ;(3)会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培育学生的剖析能力．2.过程与方法：(1)经历研究矩形的看法和性质的过程，发展学生合情推理的意识；（2）经过灵巧运用矩形的性质解决有关问题，掌握几何思想方法，并浸透运动联系、从量变到质变的看法．3.感情态度与价值观：(1)在察看、丈量、猜想、归纳、推理的过程中，体验数学活动充满研究性和创建性，感觉证明的必需性，培育谨慎的推理能力，领会逻辑推理的思想价值。
2018-2019学年九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 1.2 矩形的性质与判定作业设计 (新版)北师大版
1.2矩形的性质与判定一、选择题（本题包括11个小题.每小题只有1个选项符合题意）1. 如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（）A. 四边形ABCD由矩形变为平行四边形B. BD的长度增大C. 四边形ABCD的面积不变D. 四边形ABCD的周长不变2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（）A. ∠ABC=90°B. AC=BDC. OA=OBD. OA=AD3. 如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为（）A. 17B. 18C. 19D. 204. 如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（）A. 10cmB. 8cmC. 6cmD. 5cm5. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则BD的长为（）A. 4B. 3C. 2D. 16. 一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的15%，黄色的三角形的面积是212，则该矩形的面积为（）A. 602B. 702C. 1202D. 14027. 如图，矩形ABCD中，AC交BD于点O，∠AOD=60°，OE⊥AC．若AD=，则OE=（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 矩形具有而菱形不具有的性质是（）A. 对角线相等B. 两组对边分别平行C. 对角线互相平分D. 两组对角分别相等9. 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3cm和5cm的两部分，则此矩形的周长为（）A. 16cmB. 22cmC. 26cmD. 22cm或26cm10. 矩形的对角线所成的角之一是65°，则对角线与各边所成的角度是（）A. 57.5°B. 32.5°C. 57.5°，23.5°D. 57.5°，32.5°11. 过四边形的各个顶点分别作对角线的平行线，若这四条平行线围成一个矩形，则原四边形一定是（）A. 对角线相等的四边形B. 对角线垂直的四边形C. 对角线互相平分且相等的四边形D. 对角线互相垂直平分的四边形二、填空题（本题包括3个小题）12. 如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件__________（只添一个即可），使平行四边形ABCD是矩形．13. 平行四边形ABCD的对角线相交于点O，分别添加下列条件：①∠ABC=90°；②AC⊥BD；③AB=BC；④AC 平分∠BAD；⑤AO=DO．使得四边形ABCD是矩形的条件有________14. 木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为15cm，宽为8cm，对角线为17cm，这个桌面_________（填”合格”或”不合格”）三、解答题（本题包括5个小题）15. 如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如果AB=AD，且AH=AE，求证：四边形EFGH是矩形16. 如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD为BC边上的高，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AC，AE与DE交于点E，AB与DE交于点F，连结BE．求四边形AEBD的面积17. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点F，连接BE，∠F=45°．求证：四边形ABCD是矩形18. 有一块形状如图所示的玻璃，不小心把DEF部分打碎，现在只测得AB=60cm，BC=80cm，∠A=120°，∠B=60°，∠C=150°，你能设计一个方案，根据测得的数据求出AD的长吗？19. 如图，△ABC中，AB=AC，AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，BE⊥AE．求证：AB=DE答案一、选择题1. 【答案】C【解析】由题意可知，当向右扭动框架时，BD可伸长，故BD的长度变大，四边形ABCD由矩形变为平行四边形，因为四条边的长度不变，所以四边形ABCD的周长不变.原来矩形ABCD的面积等于BC乘以AB，变化后平行四边形ABCD的面积等于底乘以高，即BC乘以BC边上的高，BC边上的高小于AB，所以四边形ABCD 的面积变小了，故A,B,D说法正确，C说法错误.故正确的选项是C.考点：1.四边形面积计算；2.四边形的不稳定性.2. 【答案】D【解析】本题考查了矩形的性质；熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．矩形的性质：四个角都是直角，对角线互相平分且相等；由矩形的性质容易得出结论．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AC=BD，OA=AC，OB=BD，∴OA=OB，∴A、B、C正确，D错误考点：矩形的性质3. 【答案】D【解析】∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，∴∠ABC=∠D=90°，CD=AB=5，BC=AD=12，OA=OB，OM为△ACD的中位线，∴OM=CD=2.5，AC==13，∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，∴BO=AC=6.5,∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20，故选D．考点：矩形的性质．4. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=AC，OD=OB=BD，AC=BD，∴OA=OB，∵AC+BD=20，∴AC=BD=10cm，∴OA=O B=5cm，∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△OAB是等边三角形，∴AB=OA=5cm，故选D．考点：1．矩形的性质；2．等边三角形的判定与性质．5. 【答案】A【解析】在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∵∠ACB=30°，AB=2，∴AC=2AB=2×2=4，∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=4．故选A．6. 【答案】A【解析】黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的50%，而绿色三角形面积占矩形面积的15%，所以黄色三角形面积占矩形面积的（50%-15%）=35%，已知黄色三角形面积是21平方厘米，故矩形的面积=21÷（50%-15%）=21÷35%=60（cm2）．故选A．考点：矩形的性质．7.【答案】A【解析】∵四边形ABCD是矩形，∠AOD=60°，∴△ADO是等边三角形，∴OA=，∠OAD=60°，∴∠OAE= 30°，∵OE⊥AC，∴△OAE是一个含30°的直角三角形，∴OE=1，故选A．8.【答案】A【解析】∵矩形具有的性质是：对角线相等且互相平分，两组对边分别平行，两组对角分别相等；菱形具有的性质是：两组对边分别平行，对角线互相平分，两组对角分别相等；∴矩形具有而菱形不具有的性质是：对角线相等．故选A．9. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE，当AE=3cm时，AB=AE=3=CD，AD=3cm+5cm=8cm=BC，∴此时矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=3cm+8cm+3cm+8cm=22cm；当AE=5cm时，AB=AE=5cm=CD，AD=3cm+5cm=8cm=BC，∴此时矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=5cm+8cm+5cm+8cm=26cm；故选D．考点：矩形的性质．10. 【答案】D【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AD∥BC，AB∥CD，AC=BD，AO=OC，OB=OD，∴OB=OA=OC=OD，∠OAB=∠OCD，∠DAO=∠OCB，∴∠OAD=∠ODA，∠OCB=∠OBC，∠ODC=∠OCD，∠OAB=∠OBA=×（180°﹣∠AOB）=×（180°﹣65°）=57.5°，∵∠ABC=90°，∴∠ACB=90°﹣57.5°=32.5°，即∠OAD=∠ODA=∠OBC=∠OCB=32.5°，∠OAB=∠OBA=∠ODC=∠OCD=57.5°，对角线与各边所成的角度是57.5°和32.5°，故选D．点睛：本题考查了矩形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质的应用，能正确运用矩形的性质进行推理是解此题的关键，注意：矩形的对角线相等且互相平分．11. 【答案】B【解析】∵四边形EFGH是矩形，∴∠E=90°，∵EF∥AC，EH∥BD，∴∠E+∠EAG=180°，∠E+∠EBO=180°，∴∠EAO=∠EBO=90°，∴四边形AEBO是矩形，∴∠AOB=90°，∴AC⊥BD，故选B．二、填空题12. 【答案】AC=BD．答案不唯一【解析】添加的条件是AC=BD，理由是：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：AC=BD．答案不唯一．点睛：本题考查了矩形的判定定理的应用，注意：对角线相等的平行四边形是矩形，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．13.【答案】①⑤【解析】要使得平行四边形ABCD为矩形添加：①∠ABC=90°；⑤AO=DO2个即可；故答案为：①⑤．14. 【答案】合格【解析】勾股定理的逆定理：若一个三角形的两边长的平方和等于第三边的平方，则这个三角形的直角三角形.∵∴这个桌面合格.考点：勾股定理的逆定理点评：本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握勾股定理的逆定理，即可完成.三、解答题15. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）易证得△AEH≌△CGF，从而证得BE=DG，DH=BF．故有，△BEF≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证．（2）由题意知，平行四边形ABCD是菱形，连接AC，BD，则有AC⊥B D，由AB=AD，且AH=AE可证得HE∥BD，同理可得到HG∥AC，故HG⊥HE，又由（1）知四边形HGFE是平行四边形，故四边形HGFE是矩形．证明：（1）在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，又∵AE=CG，AH=CF，∴△AEH≌△CGF．∴EH=GF．在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∴AB-AE=CD-CG，AD-AH=BC-CF，即BE=DG，DH=BF．又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH．∴GH=EF．∴四边形EFGH是平行四边形．（2）在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．设∠A=α，则∠D=180°-α．∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH=．∵AD=AB=CD，AH=AE=CG，∴AD-AH=CD-CG，即DH=DG．∴∠DHG=∠DGH=．∴∠EHG=180°-∠DHG-∠AHE=90°．又∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是矩形．考点：1.矩形的判定与性质；2.全等三角形的判定与性质；3.平行四边形的判定与性质．16. 【答案】12.【解析】利用平行四边形的性质和矩形的判定定理推知平行四边形AEBD是矩形．在Rt△ADC中，由勾股定理可以求得AD的长度，由等腰三角形的性质求得CD（或BD）的长度，则矩形的面积=长×宽=AD•BD=AD•CD．解：∵AE∥BC，BE∥AC，∴四边形AEDC是平行四边形，∴AE=CD．在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，∴∠ADB=90°，BD=CD，∴BD=AE，∴平行四边形AEBD是矩形．在Rt△ADC中，∠ADB=90°，AC=5，CD=BC=3，∴AD==4，∴四边形AEBD的面积为：BD•AD=CD•AD=3×4=12．点睛：本题考查了矩形的判定与性质和勾股定理，根据“等腰三角形的性质和有一内角为直角的平行四边形为矩形”推知平行四边形AEBD是矩形是解题的难点．17. 【答案】证明见解析.【解析】欲证明四边形ABCD是矩形，只需推知∠DAB是直角．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAF=∠F.∵∠F=45°，∴∠DAE=45°．∵AF是∠BAD的平分线，∴∠EAB=∠DAE=45°，∴∠DAB=90°．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．18. 【答案】AD＝140cm．【解析】过C作CM∥AB，交AD于M，推出平行四边形ABCM，推出AM=BC=80cm，AB=CM=60cm，∠B=∠AMC，求出∠D=∠MCD，求出CM=DM=60cm，代入AD=AM+DM求出即可．解：过C作CM∥AB，交AD于M，∵∠A=120°，∠B=60°，∴∠A+∠B=180°，∴AM∥BC，∵AB∥CM，∴四边形ABCM是平行四边形，∴AB=CM=60cm，BC=AM=80cm，∠B=∠AMC=60°，∵AD∥BC，∠C=150°，∴∠D=180°﹣150°=30°，∴∠MCD=60°﹣30°=30°=∠D，∴CM=DM=60cm，∴AD=60cm+80cm=140cm．19. 【答案】证明见解析.【解析】先由角平分线和等腰三角形的性质证明AE∥BD，再由AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线可证得DA⊥AE，可得AD∥BE，可证得四边形ADBE为矩形，可得结论．证明：∵AD、AE分别是∠BAC与∠BAC的外角的平分线，∴∠BAD+∠EAB=（∠BAC+∠FAB）=90°，∵BE⊥AE，∴DA∥BE，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵∠FAB=∠ABC+∠ACB=2∠ABC，且∠FAB=2∠EAB，∴∠ABC=∠EAB，∴AE∥BD，∴四边形AEBD为平行四边形，且∠BEA=90°，∴四边形AEBD为矩形，∴AB=DE．点睛：本题主要考查矩形的判定和性质，由角平分线及等腰三角形的性质证明AE∥BD是解题的关键．。
九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 2 矩形的性质与判定《矩形》知识讲解及例题演练 (新版)北师大版
矩形【学习目标】1. 理解矩形的概念.2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.【要点梳理】要点一、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.要点四、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.【典型例题】类型一、矩形的性质1、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ．【思路点拨】(1)矩形的四个内角都等于90°，利用条件△PBC 和△QCD 都是等边三角形，容易求得∠PBA 和∠PCQ 度数；(2)利用(1)的结论以及矩形的性质进一步证明△PAB≌△PQC(SAS)，从而证得PA ＝PQ ．【答案与解析】证明：(1)∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠ABC＝∠BCD＝90°．∵ △PBC 和△QCD 是等边三角形，∴ ∠PBC＝∠PCB＝∠QCD＝60°，∴ ∠PBA＝∠ABC－∠PBC＝30°，∠PCD＝∠BCD－∠PCB＝30°．∴∠PCQ＝∠QCD－∠PCD＝30°，故∠PBA＝∠PCQ＝30°(2)∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AB＝DC ．∵ △PBC 和△QCD 是等边三角形，∴ PB＝PC ，QC ＝DC ＝AB ．∵ AB＝QC ，∠PBA＝∠PCQ，PB ＝PC ．∴ △PAB≌△PQC，∴ PA＝PQ ．【总结升华】利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可．举一反三：【变式】如图所示，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B '处，点A 落在点A '处．(1)求证：B E BF '=；(2)设AE ＝a ，AB ＝b ，BF ＝c ，试猜想a b c 、、之间有何等量关系，并给予证明．【答案】证明：(1)由折叠可得B FE BFE '∠=∠．∵ AD∥BC， ∴ B EF BFE B FE ''∠=∠=∠，∴ B E B F ''=，∴ B E BF '=．(2)猜想222a b c +=．理由：由题意，得A E AE a '==，A B AB b ''==．由(1)知B E BF c '==．在A B E ''△中，∵ 90A '∠=°，A E a '=，A B b ''=，B E c '=，∴ 222a b c +=．2、如图所示，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，∠CAE＝15°，求∠BOE 的度数．【思路点拨】∠BOE 在△BOE 中，易知∠OBE＝30°，直接求∠BOE 有困难，转为考虑证BO ＝BE ．由AE 平分∠B AD 可求∠BAE＝45°得到AB ＝BE ，进一步可得等边△AOB．有AB ＝OB ．证得BO ＝BE ．【答案与解析】解：∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠DAB＝∠ABC＝90°，AO ＝12AC ，BO ＝12BD ，AC ＝BD ． ∴ AO＝BO ．∵ AE 平分∠BAD，∴ ∠BAE＝45°．∴ ∠AEB＝90°－45°＝45°＝∠BAE．∴ BE＝AB ．∵ ∠CAE＝15°，∴ ∠BAO＝60°．∴ △ABO 是等边三角形．∴ BO＝AB ，∠ABO＝60°．∴ BE＝BO ，∠OBE＝30°．∴ ∠BOE＝18030752-=°°°． 【总结升华】矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰三角形，因此矩形中的计算问题可以转化到直角三角形和等腰三角形中去解决．类型二、矩形的判定3、如图，在▱ABCD 中，∠ABD 的平分线BE 交AD 于点E ，∠CDB 的平分线DF 交BC 于点F ，连接BD ．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AB=DB ，求证：四边形DFBE 是矩形．【思路点拨】（1）根据平行四边形性质得出AB=CD，∠A=∠C．求出∠ABD=∠CDB．推出∠ABE=∠CDF，根据ASA推出全等即可；（2）根据全等得出AE=CF，根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四边形DFBE是平行四边形，根据等腰三角形性质得出∠DEB=90°，根据矩形的判定推出即可．【答案与解析】证明：（1）在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB．∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，∴∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB．∴∠ABE=∠CDF．∵在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA）．（2）∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴DE∥BF，DE=BF，∴四边形DFBE是平行四边形，∵AB=DB，BE平分∠ABD，∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．∴平行四边形DFBE是矩形．【总结升华】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定，角平分线定义等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．举一反三：【变式】如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO中，且∠ABC+∠ADC=180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？【答案】（1）证明：∵A0=C0，B0=D0∴四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD 是矩形；（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，∴∠FDC=36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO=90°﹣36°=54°，∵四边形ABCD 是矩形，∴OC=OD，∴∠ODC=54°∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．类型三、直角三角形斜边上的中线的性质4、如图所示，BD 、CE 是△ABC 两边上的高，G 、F 分别是BC 、DE 的中点．求证：FG⊥DE．【答案与解析】证明：连接EG 、DG ，∵ CE 是高，∴ CE⊥AB．∵ 在Rt△CEB 中，G 是BC 的中点，∴ EG＝12BC ，同理DG ＝12BC ． ∴ EG＝DG ．又∵ F 是ED 的中点，∴ FG⊥DE．【总结升华】直角三角形斜边中线的性质是依据矩形的对角线互相平分且相等推出来的．根据这个性质．又可以推出直角三角形的斜边上的中线把直角三角形分成了两个等腰三角形．温馨提示：若题目中给出直角三角形斜边上的中点，常设法用此性质解决问题． 举一反三：【变式】如图，∠MON＝90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB ＝2，BC ＝1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（ ）15 D.52【答案】A ；解：如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，∵OD≤OE＋DE ，∴当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大， 此时，∵AB＝2，BC ＝1，∴OE＝AE ＝12AB ＝1，DE ==∴OD 1.。
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质与判定(教案)
一、教学内容
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质与判定：
1.矩形的定义及特征
-矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形
-矩形的性质：对边平行且相等，对角相等且都是直角，对角线互相平分且相等
2.矩形的判定方法
-有一个角是直角的平行四边形是矩形
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解矩形的基本概念。矩形是有一个角是直角的平行四边形，它在生活中有广泛的应用，比如建筑、设计等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析一个矩形的实物模型，展示矩形在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调矩形的性质和判定方法这两个重点。对于难点部分，比如矩形判定方法的选择，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
课堂上，我尝试通过引入日常生活中的例子来激发学生的兴趣，效果还不错。大多数学生能够积极参与讨论，提出自己的看法。但在讲授矩形判定方法时，我发现部分学生对于何时使用哪种方法还不够明确。这可能是因为我在讲解时没有提供足够的具体案例，导致学生难以将理论知识与实际应用结合起来。
在实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作的表现让我感到欣慰。他们能够相互协作，共同解决问题。但在小组讨论中，我也注意到个别学生参与度不高，可能是因为他们对主题不够感兴趣，或者是对矩形知识掌握不够扎实。为此，我计划在接下来的课程中，针对这部分学生提供更多的支持和鼓励，帮助他们更好地融入课堂。
-难点解析：通过对比不同判定方法的使用场景，提供多种图形案例，指导学生如何选择合适的判定方法。
-实际问题的解决：将矩形知识应用于解决实际问题时，学生可能会感到困惑。
九年级数学 第一章 特殊平行四边形2 矩形的性质与判定第1课时 矩形的性质
第十八页，共三十页。
D O
C
例2 矩形(jǔxíng) ABCD，AD长8 cm ，对角线比AB边长4 cm.求AB的长及点A到BD的距离AE的长.
第十九页，共三十页。
解：设AB=xcm，则对角线长（x+4）cm，在
Rt△ABD中，由勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)：
对角相等
角 都
邻角不相等
邻角相等 相
等
第三页，共三十页。
矩形
有一个角是直角(zhíjiǎo)的平行四边形叫做矩形（通 常也叫长方形）.
即：∠A=90° ABCD
ABCD是矩形.
矩形(jǔxíng)是特殊的平行四边形.
第四页，共三十页。
生活 中的 (shēnghuó)
第五页，共三十页。
矩形与四边形、平行四边形的关系
练习
已知：矩形ABCD中，E是BC上一点(yī ， diǎn) DF⊥AE于F，若AE=BC.
求证：CE＝EF.
第二十一页，共三十页。
证明(zhèngmíng)：∵ 四边形ABCD是矩形
∴ ∠B=90°，且AD∥BC
矩形的问题常
∴ ∠1=∠2
可以转化为直角
∵ DF⊥AE ∴∠AFD=90°∴∠B=∠AFD. 在△ABE和△DFA中
四边形
两组对边 分别平行
平行 一个角 四边形 是直角
四边形 平行四边形
矩形
第六页，共三十页。
矩形
矩形(jǔxíng)有什么 性质？
有平行四边形的 所有(suǒyǒu)性质
还有其它特 殊的性质
第七页，共三十页。
推进新课
矩形的一般性质（即平行四边形所有性质）
北师大版九年级数学上册第一章 特殊的平行四边形 矩形的性质
在 Rt△BCD 中，
E
BC =
∴ 四边形 ABED 的面积为 ×(4+8)× = .
点 O，下列说法错误的是
（C ）
A．AB∥DC
B．AC = BD
C．AC⊥BD
D．OA = OB A
D
O
B
C
2 直角三角形斜边上的中线的性质
活动3：如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 E.
A
D
E
B
C
A E
B
C
问题 BE 是一条怎样的线段？
由此你能得到
它的长度与斜边AC有什么关系？ 怎样的结论?
A
DOB来自C在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 DB 相交于点 O，
故∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°，AC = DB.
典例精析
例1 如图，在矩形 ABCD 中，两条对角线相交于点 O，
∠AOD = 120°，AB = 2.5，求这个矩形对角线的长.
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
对角线相交的锐角是
( C)
A. 20° B. 40° C. 80° D. 10°
4. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、F 分别是 AO、AD 的中点，若 AB = 6 cm， BC = 8 cm，则 EF =__2_._5__cm．
第4题图
第5题图
5. 如图，△ABC 中，E 在 AC 上，且 BE⊥AC，D 为
D
∴ AB = DC，∠ABC =∠DCB = 90°.
在 △ABC 和 △DCB 中，
O B
∵ AB = DC，∠ABC =∠DCB，BC = CB，
九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 第2节 矩形的性质与判定(第1课时)教案 (新版)北师大版
第一章《特殊平行四边形》《矩形的性质与判定》(第1课时)【教学目标】1.知识与技能了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质．2.过程与方法经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法．3.情感态度和价值观培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值．【教学重点】掌握矩形的性质，并学会应用．【教学难点】理解矩形的特殊性．【教学方法】合作、探究【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、导入新课导语：在我们现实生活中，平行四边形的形象无处不在，请同学们观察下列图片中的平行四边形.这些平行四边形中有一个角是直角，像这样的平行四边形叫矩形。
二、探究新知1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形在生活中随处可见，你能举出一些生活中菱形的例子吗？与同伴交流。
（1）矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。
你能列举一些这样的性质吗？（矩形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。
中心对称图形）（2）你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。
2.活动内容1：请同学们用你手中的矩形纸片折一折，回答下列问题：（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？矩形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条长的中点的连线和两条宽的中点的连线.矩形是中对称图形，对称中心是两条对称轴的交点。
（2）从边、角、对角线方面，观察或度量猜想矩形的特殊性质．①边：对边平行且相等（与平行四边形相同），邻边互相垂直；②角：四个角是直角；③对角线：相等且互相平分．活动内容2：矩形性质定理的证明如何推理证明“矩形的四个角都是直角，对角线相等”这两个性质呢？已知:如图,四边形ABCD 是矩形，∠ABC=90°，对角线AC 与BD 相交于点O,求证：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；（2）AC=BD.处理方式：分析:(1)由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证.(2)根据矩形的性质,可转化为全等三角形(SAS)来证明，教师引导学生互相交流、确定证明思路，最后找一名学生板书证明过程，教师规范解题过程的书写.证明：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等），∴∠ABC+∠BCD=180°，又∵∠ABC=90°，∴∠BCD=90°，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=DC(矩形的对边相等），在△ABC 和△DCB 中，∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=BC∴△ABC ≌△DCB∴AC=DB.设计意图：通过对性质的分析与证明，一方面让学生养成独立思考问题的习惯，对于不能独立解决的问题，引导学生发挥小组合作的作用，提高学生的交流能力；另一方面通过解题过程的板书提高学生的书写能力，养成规范书写的习惯.活动内容3：在Rt △ABC 中，斜边AB 上的中线是，它与斜边的关系是CD=21AB ． 推论：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.教师强调：矩形的性质定理1、对角线互相平分且相等；2、对边平行且相等；3、四个角都是直角；4、矩形既是轴对称图形,对称轴分别是两条长的中点的连线和两条宽的中点的连线，也是中心对称图形；5、矩形是特殊的平行四边形,它具备平行四边形的一切性质.三、例题讲解例1.如图矩形ABCD 的两条对角线相交于点O,若AC=4，则OD 的长是（ ）A.1B. 3C.2D.32解析：根据矩形的对角线相等得到BD=AC=4，再根据对角线互相平分得到OD=2，故选C.例2.如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处，如果∠BAF=60°，那么∠DAE 等于（ ）A.15°B.30°C.45°D.60°解析：根据矩形的四个角都是直角，得到∠BAD=90°，根据已知可以计算出∠FAD=30°，再由折叠的性质可以得到∠DAE=15°故选A.例3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝8，AD 是底边上的高，E 为AC 的中点，则DE ＝_____．解析：根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，DE 等于AC 的一半，所以DE=4.答案：4例4.已知:如图,AC,BD 是矩形ABCD 的两条对角线,AC,BD 相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5cm.求矩形对角线的长.解:∵四边形ABCD 是矩形.∴AC=BD,AC OC OA 21==,BD OD OB 21== ∴OA=OD∵∠AOD=120°∴∠ODA=∠OAD=30°∵∠DAB=90°∴BD=2AB=2×2.5=5(cm)。
北师大版九年级上数学第一章特殊的平行四边形1.2矩形的性质与判定(1)(共17张PPT)
(9) OA=OC (10) OB=OD (11) AC⊥BD (12) AC=BD
答案：16 3cm2
A
你能在四边形的基础上, 从下列条件中选三个,得到矩 形吗?你找到了多少个答案？ B
D
O C
边
角
对角
线
(1) AB=CD
(2) AD=BC
(3) AB=BC (4) AB∥CD (5) AD ∥BC
(6) ∠BAD=∠BCD (7) ∠ABC=∠ADC (8) ∠BAD=90。
北师大版九年级上数学 第一章 特殊平行四边形
第2节 矩形的性质与判定(1）
回忆
四边形
两组对边 分别平行
平行 四边形
平行四边形的性质有： 边： 对边平行且相等
角：对角相等；邻角互补 对角线：对角线互相平分
平行四边形是中心对称图形.
四边形
两组对边 分别平行
平行 一个角 四边形 是直角
矩形
∟
矩形的定义：有形一叫个做角矩是形直. 角的平行四边
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/312021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月31日星期二2021/8/312021/8/312021/8/31 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/312021/8/31August 31, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/312021/8/312021/8/312021/8/31
九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 2 矩形的性质与判定—如何判定一个四边形是矩形素材 (新版)
如何判定一个四边形是矩形矩形是一种特殊的平行四边形，如何判定一个四边形是矩形呢？同学们可以从以下几个方面进行思考.一、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．例1、已知：如图1，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG ∥DB交CB的延长线于G．若DE=BE，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并说明理由．分析：本题是一道结论探索题，根据已知条件可以得到AD//BG，根据已知AG//BD，可知四边形AGBD是平行四边形，然后根据DE=BE，可以得∠ADB=90°，这样可判断四边形AGBD 是矩形.解：当DE=BE时，四边形 AGBD是矩形．理由：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC ．因为AG∥BD ，所以四边形 AGBD 是平行四边形．因为DE=BE，AE=BE ，所以AE=BE=DE ，所以∠1=∠2，∠3=∠4．因为∠1＋∠2＋∠3＋∠4=180°，所以2∠2＋2∠3=180°．所以∠2＋∠3=90°．即∠ADB=90°．所以四边形AGBD是矩形（有一个角是直角的平行四边形叫做矩形）．二、对角线相等的平行四边形是矩形．例2、已知：如图2，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A 作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF，若AC=EF，试判断四边形AFCE 是什么样的四边形，并说明理由.分析：由题设条件，易说明△DAF≌△DCE，进而得AF=CE，由AF∥CE，AF=CE，可得四边形AFCE是平行四边形，又AC=EF，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可说明四边形AFCE是矩形.解：因为D是AC的中点，所以DA=DC，因为AF∥CE，所以∠AFD=∠CED。
在△DAF和△DCE中，图2BC图1∠AFD=∠CED ，∠CDE=∠FDE ，DA=DC ，所以△DAF ≌△DCE ，所以AF=CE ，所以四边形AFCE 是平行四边形，因为AC=EF ，所以四边形AFCE 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
北师大版九年级数学上册《矩形的性质与判定》特殊平行四边形PPT课件(第1课时)
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导入新课
问题1:观察下面的图形,它们都是一种特殊的平行四边形,请你说 一说他们的特殊之处.
问题2：你能举出生活中的一些此种图形的实例吗？
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讲授新课
一 矩形的定义
活动：利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变 化,请同学们注意观察.
角：
.
A
B
四个角为90°
O
对角线： 相等 .
D
C
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证明猜想
求证:矩形的四个角都是直角，且对角线相等.
已知：如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;
证明：（（12））∵A四C=边D形B.ABCD是矩形.
北师大版九年级数学上册《矩形的性质与判定》特殊平行四边形PPT课件 (第1课时)
科 目：数学
适用版本：北师大版
适用范围：【教师教学】
第一章 特殊平行四边形
矩形的性质与判定
第1课时
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
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学习目标
1.了解矩形的概念及其与平行四边形的关系； 2.探索并证明矩形的性质定理.（重点）
（2）矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?
矩形的性质：
轴对称图形
对称性：
.
2条
对称轴：
.
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活动探究：
准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.
（1）请同学们以小组为单位,测量身边的矩形（如书本,课桌,铅笔盒等） 的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数,并记录测量结
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形《矩形的性质与判定》教案2
1.2 矩形的性质与判定第1课时 矩形的性质教学目标 1．知道矩形的概念与有关性质，会用这些知识进行简单的推理与计算。
2. 在了解矩形与平行四边形之间的关系，掌握、运用矩形性质的过程中，渗透数形结合、转化化归与方程思想，进一步提高分析问题与解决问题的能力。
重点 矩形概念的理解；掌握并会运用矩形的性质 难点运用矩形的性质进行简单的推理与计算。
一、定义：矩形的定义： 。
由此可见，矩形是特殊的 ，它具有 的所有性质。
二、探究矩形的性质：1．四个角都是直角.2．对角线相等且平分. ． ．三、知识延展：（1）、由矩形性质有OA=OC=21AC OB=OD=21BD 且AC=BD得OA= = = ∴矩形对角线的交点O 到各顶点的距离 。
（2）由图可知，在矩形中有 个直角三角形，它们分别是 有 个等腰三角形，它们分别是∴我们通常在直角三角形、等腰三角形中求有关边与角。
（3）、由矩形性质有∠ABC=900，OA=OB=OC这说明：Rt△ABC中，若OB是斜边AC的，则OB= AC ∴直角三角形斜边上的中线等于斜边长的（4）思考：矩形是轴对称图形吗？将矩形作业纸对折，我们发现：矩形是图形，有条对称轴。
对称轴是。
∴矩形既是对称图形，又是对称图形，对称中心为四、应用1、例题：（P13例1，先看题目自己完成证明过程，再对照课本检查）2、课堂检测：(1)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB= 60°，AC＝16，则图中长度为8的线段有( )A．2条B．4条C．5条D．6条(2)下列关于矩形的说法中正确的是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分D．矩形的对角线相等且互相平分(3)将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示图形。
若∠CED′=56°,则∠AED的大小是_______.第2课时矩形的判定教学目标1．理解并掌握矩形的判定定理，能有理有据的推理证明，精练准确地书写表达。
九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形2 矩形的性质与判定第1课时 矩形的性质课件1
请同学(tóng xué)们拿出准备好的矩形纸片，折一 折，观察并思考。
（1）矩形是不是中心对称图形? 如果是，那 么对称中心是什么？
（2）矩形是不是轴对称图形?如果是，那么 对称轴有几条?
结论(jiélùn)：矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。
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请你总结(zǒngjié)一下矩形有哪些性质？
（2）在运动过程中四边形不变的是什么？ （3）在运动过程中四边形改变的是什么？ （4）角的大小改变过程中有特殊值吗？这时的
平行四边形是什么图形?
矩形的定义：有一个内角(nèi jiǎo)是直角的平行 四边形是矩形
第三页，共十八页。
二、合作 探 (hézuò) 究
既然矩形是平行四边形,那么(nà me)它具有平行 四边形的哪些性质？
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∴BD=2AB=2×2.5=5.
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三、课堂(kètáng) 1.小本节结课你学到了什么(shén ？ me)
（1）矩形(jǔxíng)定义 （2）矩形的性质 （3）直角三角形的性质
（4）矩形的一条对线把矩形分成两个全等的直角
三角形；两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三 角形。因此，矩形的问题可化为直角三角形或等腰 三角形的问题来解决。
1.2 矩形的性质与判定(pàndìng)
第1课时 矩形的性质
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一、情景 引 (qíngjǐng) 入
问题1:平行四边形具有哪些(nǎxiē)性质？
问题2：利用(lìyòng)一个活动的平行四边形教具 演示,使平行四边形的一个内角变化，请同 学们注意观察：
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九年级数学上册特殊平行四边形 矩形的性质与判定 矩形的性质、判定与其他知识的综合教学
解：DF∥AB，DF= A1B．理由如下(rúxià)：
∵四边形ADCE为矩形，2
∴AF=CF， ∵BD=CD，
∴DF是△ABC的中位线，
∴DF∥AB，DF= AB1 2
【点评】此题考查了矩形的判定与性质、三线合一以及三角形中位线的性 质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.
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四边形ABDE的形状，并证明；
（3）线段DF与AB有怎样的关系？请直接写出你的结论.
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（1）求证(qiúzhèng)：四边形ADCE为矩形；
分析(fēnxī)：由在△ABC中，AB=AC，AD是BC边的中线，可得 AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线 ，可得∠DAE=90°，又由CE⊥AN，即可证得：四边形ADCE为矩形 ；
【方法总结】本题综合考查(kǎochá)了矩形和全等三角形的判定方法，明确 有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．
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典例精析
例5：如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠(zhédié)，使 点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD 于点N.
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DCE.
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE. 在△AEF和△DEC中，
AFE DCE , AEF DEC ,
∴△AEF≌△DEC(AAS)， AE DE ,
∴AF＝DC.
∵AF＝BD，
∴BD＝DC；
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分析：先利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证 明(zhèngmíng)四边形AFBD是平行四边形，再根据“有一个角是直角的