运筹学试题及答案

其中 x1 , x2 , x3 是产品 A, B, C 的产量，
（3 分）
9 2 2 f1 ( s1 ) max (2 x3 f 2 ( s 2 )) max (2 x3 ( s3 3x3 )) ，由 0 s3 10 及二 0 x 3 s 3 / 3 0 x 3 s 3 / 3 4
科目：运筹学与最优化
考试日期: 题号 得分 线 阅卷人 一、判断题 一 二
数学 系
三 四
数学与应用数学
五 六 七
专业
八 九
081-083 班
十 总分
线
（6 分）
将最优解 y1 4 / 5,
*
* y2 3 / 5 带入，由互补松弛性条件得
1.若线性规划的可行域无界，则此线性规划存在无界解。 2.求解目标规划问题时，应把绝对约束作为最高优先级考虑。 学号: 3.具有 m 个产地 n 个销地的运输问题模型有 m+n+1 个变量构成基变量。 订 4.任一个图中，奇点的个数为奇数。 5.图 G 连通且无回路， 则它的每条边都是割边。 二、填空题 1.基可行解中一个或多于一个的基变量为零时，称此解为退化的基可行解。 姓名:
2
2
2
A 6 3 4
B 4 1 1
C 5 5 5
所能提供的日总工时为 45，总材料数为 30，试建立线性规划模型，用单纯形法求解该 模型。当产品 A 的单位利润由 4 元/件变为 2 元/件，是否要修改生产计划？若不需修改计 划，陈述理；若需要修改计划，计算得出修改方案。 解：建立线性规划模型：
s2 3x3 s3 9, 则有 s1 x1 / 2,0 x2 s2 / 4,0 x3 s1 / 3 。 （3 分）
90
4
s 1 1 10 s 2 (10 0) ， x1 * 1 0 4 4 4 2
3 7 4 4
10 。 （6 分） 4
x3 * s 3 s 2 x 2 *
最优值为 max z f 3 (10)
3 1 1 c c c 4 2 4
（9 分）
由于 x0 不是整数向量，增加割平面条件
（ √ ） （ √ ） （ × ） （ × ） （ √ ） 求解得
x1 3x 5 4 2x1 x 5 =3
* x1 1, x* 5 1
（6 分）
订
2、用伏格尔法确定下表中的运输问题的初始基可行解。 （12 分） 销地 1 地 2 3 销量 产 甲 10 16 5 5 乙 6 10 4 2 丙 7 5 10 4 丁 12 9 10 6 产量 4 9 4
max Z 4 x1 x 2 5 x3
1 s2 4 为极大
值点，故 f 2 ( s 2 ) 4 s 2 , x2 * 4 s 2 。
9
1
6 x1 4 x 2 5 x3 45 s.t.3x1 x 2 5 x3 30 x , x , x , 0 1 2 3
cB
1 5 -Z
XB
b
5 5 -30
x1
1 2/5 -1
x2
1 0 0
x3
0 1 0
x4
1/3 -1/15 0
x5
-1/3 4/15 -1
为：a-b-c- d,最短距离为 10；a 到 e 的最短路为：a-b-c-e,最短距离为 8；a 到 f 的最短 路为：a-b-c-e-f,最短距离为 9。 (5 分)
2.若原始问题和对偶问题两者均可行，则两者均有最优解，且此时目标函数值相等。 装 3.目标规划中若要求不超过目标值，则目标函数应当为____ min z f (d ) 4.一个图，如果它既没有环，也没有重边，则称为简单图。 5.一个网络的最大流等于最小割集的容量。 三、计算题

装
解：计算各行、各列的最小运费和次小运费的差额，得 销地 1 2 3 列差额 得初始解为 ： 销地 1 2 3 销量 3.利用割平面法求解
2
4
系名:
max z x2 x2 x1 x2 1 3 x x 4 1 2 s.t. x1 , x2 0, x1 , x2
解：求解其松弛问题 P0 ，对应的最优解为 x0 ( , ) T ，最优值为 z
次函数的性质， 在 x3 * 0, s3 10 处， f 3 ( s3 ) 4 s1 。 故可得最优解为： x3 * 0 ， x2 *
f ∞ 0+∞ ∞ 2+∞ ∞ 5+∞ ∞ 8+1 {9}
cB
4 5 -Z
XB x1
b
5 3 -35
x1
1 0 0
x2
1 -2/5 -1
x3
0 1 0
x4
1/3 -1/5 -1/3
x5
-1/3
P()+Lij 第二次 T() P()+Lij 第三次 T() P()+Lij 第四次 T()
x3
2/5 -2/3
x2
x3
此时应生产 B 产品 5 个单位，生产 C 产品 5 个单位，不生产 A 产品。此时的利润为 30。 2.用 Dijkstra 法求 a 到各顶点的最短路。弧旁的数表示从 vi 到 vj 的距离（13 分）
解：运用表格实现（8 分）
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3
3x1 2 x 2 x3 9 x1 , x2 , x3 0
解：按问题的变量个数划分三个阶段。设状态变量 s 0 、 s1 、 s2 、 s3 ，并记 s3 10 ；取问 题中的变量 xi 为决策变量； 各阶段指标函数按加法方式结合。 令最优值函数 f k ( sk ) 表示第 k 阶段的初始状态为 sk ，从 1 阶段到第 k 阶段所得的最大值。设 s1 2 x1 , s1 4 x2 s 2 , 工时 材料 利润
陕西理工学院考试试卷(B 卷答案)
2010— 2011 学年 第一学期
解：由原问题可以得到其对偶问题：
max z 4y1 3y 2 y1 y 2 2 y y 3 2 1 2y1 3y 2 5 y1 y 2 2 3y1 y 2 3 y1 ,y 2 0
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产地
甲 10 16 5 5
乙 6 10 4 2
丙 7 5 10 2
丁 12 9 10 1
行差额 1 4 1
班级:
上
下
1．写出线性规划问题的对偶问题，已知对偶问题的最优解为 y1 4 / 5,
*
* y2 3 / 5, z 5 ，
求原问题的最优解。 （12 分）
产地
甲 1 4 5
(4 x1 ) 2s1 , x1 * s1 / 2 运用顺推法，有 f1 ( s1 ) xmax 1 s1 / 2 f 2 (s2 ) max (9 x2 f 3 ( x3 )) max (9 x2 2(s2 4 x2 )) ，得 x 2
0 x 2 s 2 / 4 0Fra Baidu bibliotekx 2 s 2 / 4
当 c1 由 4 变为 2，计算可得检验数分别为 2 1, 4


1 4 , 5 不全为零，因此当前 3 3
解不是最优解，需要修改生产计划，根据计算得出新的最优表为（6 分） 2 1 5 0 0
故 a 到 b 的最短距离是 2；a 到 c 的最短路为：a-b-c,最短距离为 2+3=5；a 到 d 的最短路
T
3 1 3 x3 x4 ，利用对偶单纯形法求解其对应的 4 4 4
（6 分）
90 4
松弛问题 P ,1) , z* 2 ， 1 ，得其最优解 x1 (1
四、解答题 1.某工厂制造三种产品 A，B 和 C，需要工时和原材料如下表所示：
4.运用递推解法求解下列问题
max f 4 x1 x2 2 x3 12
乙 2
丙 3
丁 6 6
产量 4 9 4
max z 2 x1 x 2 5 x3 2 x 4 3x5 x1 x 2 2 x3 x 4 3x5 4 2 x1 x 2 3x3 x 4 x5 3 xi 0, i 1,2,5
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2
用单纯形法求得最优单纯形表如下：（5 分） 4 1 5 0 0
顶点 T() P()+Lij 第一次 T()
a {0}
b ∞ 0+2 {2}
c ∞ 0+6 6 2+3 {5}
d ∞ 0+∞ ∞ 2+8 10 5+5 10 8+∞ {10}
e ∞ 0+∞ ∞ 2+9 11 5+3 {8}