巧用面积法解决找规律

巧用面积法解决找规律
许多找规律的数学问题,表面上看来似与面积无关,但灵活运用面积法,往往能使问题顺利获解,
我们常见的图形的面积的求法大体可以分为2类。

第一类：底×高。

这类图形有正方形、矩形、菱形，平行四边形等。

如下面的小黑点拼成的了平行四边形。

将上面的平行四边形“扶直”，就变成了矩形。

这个矩形的长为5，宽为3，面积为15，则小黑点的个数也是15。

第二类：（上底+下底）×高×2
1。

这类图形有梯形（三角形可以看做是上底为0
的梯形）。

如下面的小黑点拼成的了梯形。

这个梯形上底为3，下底为5，高为3，面积为（3＋5）×3×2
1
=12，则小黑点的个
数也为12.
特别需要指出的是“三角形”图案，如下面的小黑点拼成了“三角形”：
它的底是5，高是5，所以面积是5×5×
2
1
=12.5，但是小黑点却不是12.5，小黑点的个数也不可能出现半个。

这说明这种计算出现了错误。

我们再仔细观察这个图形，发现三角形应该没有上底，而本图却有上底，尽管上底较小，只有1。

如下图：
这个图形实际上是上底为1，下底为5，高为5的梯形。

它的面积为（1＋5）×5
×
21
=15，则小黑点的个数也为15。

也就是说“三角形”图案其实是上底为1的梯形图案。

下面我们举一些具体的实例说明一下我们的方法的有效性。

例1：下面是用棋子摆成的＂小屋子＂，如图，摆第n 个这样的“小屋子”需要_____________枚棋子？
（2） （3） （4）
在本题中我们可以将整个“小屋子”分成2部分
上面部分是“三角形”，下面部分为正方形。

具体的规律是： 图(1)：（1）+22 图(2)：（1+2）+32 图(3)：（1+2+3）+42 图(4):（1+2+3+4）+52
显然第n个小屋子如下图所示。

它上面“三角形”部分为上底___，下底_____，高_______的梯形。

下面正方形部分的边长为________。

所以共需棋子数为
_____________.
例2：（2008年贵阳市中考题）根据如图2所示的（1），（2），（3）三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是（）
A．3n B．3(1)
n n+C．6n D．6(1)
n n+
本题中如果我们光凭借挨个数数想把图中平行四边形的个数弄清楚，是不太可能的事。

但是我们借助面积法，就能很容易的的出答案。

具体的规律是：
图(1)：行1，列1+2+3
图(2)：行_________，列1+2+3
图(3)：行____________，列1+2+3
显然，图（n）中的平行四边形的个数是：行______________，列1+2+3。

列总是6列，行_____________，可以用下图的面积求出为____________，所以选________。

例3：（2006年青岛市中考23题节选）设计相关图形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中n 是正整数．
本题也可以用面积法解决，如下图：
这个梯形的上底为_______，下底为______，高为______，面积为_____________，则1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）=____________。

例4：（2010年青岛市14题）如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第6个图案需要枚棋子，摆第n个图案需要____ 枚棋子．
本题尽管比较复杂，但是我们也可以将其适当分解，然后用面积法求出。

方法（1）：“三角形”
（1）（2）（3）
整个图案由中间1个小黑点加周围6个“三角形”组成，具体的规律是：
图(1)：_________________
图(2)：_________________
图(3)：_________________
…
显然第6个图案需要___________________________，
第n个图案需要__________________________________.
（图2）……
（1）（2）（3）
…
…
方法（2）：梯形
（1）（2）（3）
图案由两个梯形组成，小黑点的总数为两个梯形的小黑点数目减去中间1行的小黑点数目。

具体的规律是：
图(1)：__________________________________
图(2)：__________________________________
图(3)：__________________________________
显然第n个图形为__________________________________
方法（3）：菱形+矩形
（1）（2）（3）
我们可以将图案左侧的菱形横向拉伸一下，使之成为正方形。

将图案右侧的两个平行四边形的组合“扶直”，就变成了矩形。

如下图：
图(1)：__________________________________
图(2)：__________________________________
图(3)：__________________________________
显然第n个图形为__________________________________
总之，我们可以利用面积法解决很多找规律问题。

尤其对于我们在高中才开始学习
的形如1+2+3+…+n等差数列，学生可以不用再记忆公式（首项+末项）×项数÷2，只要知道梯形的面积公式（上底+下底）×高÷2即可，二者是一致的。

等差数列的求和公式是高中才开始学习的，而梯形的面积公式小学就知道，初中学生会感到很熟悉，很亲切，从而降低了难度。

例5、小华是个数学迷，有一次在一本数学杂志上看到这样一个问题：“在某一次聚会中，共有6个
人参加，如果每两个人都握一次手，共握几次手？”，小华通过思考得出了答案。

为了解决更一般的问题，他还专门设计了一张表：
（1）根据上表可以得出参加人数为6人时的握手次数为 次，进一步可以总结出当参加人数为x 时，计算总的握手次数N 的公式为N= 。

（2） 若有18人参加聚会，则总的握手次数有多少？（本题8分）
引申：
（3）平面内有n 个点，若将这些点两两连线，最多可以得到_____________________线。

（4）若以一个角的顶点为端点，向角的内部引n 条射线，此时共有_________________个角。

例6、
图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面﹣层有一个圆圈，以下各层均比上﹣层多一个圆圈，一共堆了n 层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为1+2+3+…+n=
．
如果图1中的圆圈共有12层，
（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边这个圆圈中的数是；
（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数﹣23，﹣22，﹣21，…，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．
同学们，通过“多边形”的学习我们知道，多边形是指在同一平面内由一些线段首尾顺次相接所组成的图形，连接多边形不相邻的两个顶点的线段就是多边形的对角线．可是同学们是否知道，通过画多边形及多边形的对角线还能帮助我们解决现实生活中的许多数学问题呢！
比如，学校举办足球赛，共有5个班级的足球队参加比赛，比赛采取循环制，每个队都要和其他各队比赛一场，根据积分排列名次．问学校一共要安排多少场比赛？
我们画出5个点，每个点各代表一个足球队，两个队之间比赛一场就用一条线段把它们连接起来．由于每个队都要与其他各队比赛一场，这样每个点与另外4个点都会有一条线段连接（如图）．
现在我们只要数一数五边形的边数和它的对角线条数就可以了．由图1可知，五边形的边数和对角线条数都是5，所以学校一共要安排10场比赛．
同学们，你们能利用多边线的对角线来解决下面的问题吗？
姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜六人参加一次会议，见面时他们相互握手问好．已知姣姣已握了5次手，林林已握了4次手，可可已握了3次手，飞飞已握了2次手，红红握手1次，你能推算出娜娜目前已和哪几个人握了手吗？
答案：先画出6个点，A、B、C、D、E、F各个点依次代表姣姣、林林、可可、飞飞、红红和娜娜，凡是两人之间握过手，就把代表他们的这两点用1条线段连接起来（如图所示）．。