最小生成树问题,随机
最小生成树例题
最小生成树例题(原创实用版)目录1.最小生成树的概念2.最小生成树的性质3.最小生成树的算法4.最小生成树的应用实例正文1.最小生成树的概念最小生成树(Minimum Spanning Tree,简称 MST)是一种图论中的算法,用于在一个加权连通图中找到一棵包含所有顶点且边权值之和最小的生成树。
生成树是指一个连通图的生成树是指保留图中所有的节点,但只保留足以保持这些节点连通的边的集合。
最小生成树是一种生成树,其中所有边的权值之和最小。
2.最小生成树的性质最小生成树具有以下性质:(1)一棵生成树包含图中所有的节点;(2)一棵生成树中的边权值之和最小;(3)一棵生成树中的每一条边都是必要的,即移除任意一条边都会导致生成树不再连通。
3.最小生成树的算法常见的最小生成树算法有 Kruskal 算法和 Prim 算法。
Kruskal 算法是一种基于边的算法。
它按照边的权值从小到大的顺序依次选取边,每次选取一条边,判断它是否能够连接两个不连通的子图,如果能够连接,则将这条边加入到生成树中,否则舍弃。
Prim 算法是一种基于节点的算法。
它从一棵包含所有节点的初始树开始,不断地寻找一条能够连接已连接部分和未连接部分的边,将这条边加入到生成树中,直到所有节点都被连接到生成树中。
4.最小生成树的应用实例最小生成树在实际应用中有很多实例,如网络路由、数据压缩、图像处理等。
以网络路由为例,假设有一个网络由多个城市组成,每个城市之间都有一条道路相连,道路的长度代表权值。
我们需要在所有城市之间选择一条路径,使得这条路径的长度最小。
这时,我们可以使用最小生成树算法,找到一棵包含所有城市且边权值之和最小的生成树,这条路径就是最小生成树中的一条简单路径。
最小生成树(Kruskal算法)
三、方案解决:
在本题中我们将采用 Kruskal 算法来构造最小生成树。 从题目所给赋权图中我们可以得到该图的邻接矩阵为:
⎡ 0 20 0 0 0 23 1 ⎤ ⎢20 0 15 0 0 0 4 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 15 0 3 0 0 9 ⎥ ⎢ ⎥ G = ⎢ 0 0 3 0 17 0 16 ⎥ ⎢ 0 0 0 17 0 28 25⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 23 0 0 0 28 0 36⎥ ⎢ 1 4 9 16 25 36 0 ⎥ ⎣ ⎦
-3-
6.选择造价第五小的序号为 5 的边,即 S 23 ,由于加入后边 S 23 , S 27 , S37 将构成回路,因此 舍弃该边 如图所示:
7.选择造价第六小的序号为 6 的边,即 S 47 ,由于加入后边 S34 , S37 , S 47 将构成回路,因此 舍弃该边 如图所示:
8.选择造价第七小的序号为 7 的边,即 S 45 ,加入 T 中,此时 T={{6},{ S17 , S34 , S 27 , S37 ,
S 45 , S16 }},Cost=34+23=57
如图所示:
11.算法结束 此时,所有顶点已包含在树中,整棵最小生成树已经构造完成。即应该在城市{(1,7) , (2,7) , (3,7) , (3,4) , (4,5) , (1,6)}之间建造通信道路,可使得城市间相互通信又造价费 用最小,此时可以得到其最小的费用为 57 万元
-7-
edges[k].end = j; edges[k].weight = G->arc[i][j].weight; k++; } } } sort(edges, G); for (i = 1; i <= G->arcnum; i++) { parent[i] = 0; } printf("最小生成树为:\n"); for (i = 1; i <= G->arcnum; i++)//核心部分 { n = Find(parent, edges[i].begin); m = Find(parent, edges[i].end); if (n != m) { parent[n] = m; printf("< %d, %d > %d\n", edges[i].begin, edges[i].end, edges[i].weight); Mincost+=edges[i].weight; } } printf("使各城市间能够通信的最小费用为:Mincost=%d\n",Mincost); } int Find(int *parent, int f) { while ( parent[f] > 0) { f = parent[f]; } return f; }
曼哈顿距离最小生成树
曼哈顿距离最小生成树曼哈顿距离最小生成树(ManhattanMinimumSpanningTree)是一种在多维空间(N维空间)里寻找最小代价连接任何两个点的有效算法。
它使用曼哈顿距离作为代价并且能够在多维空间中解决最短路径问题。
曼哈顿距离是一种特殊的距离度量,用来测量在一个N维空间中任意两点之间的距离。
它能够很好地表达在有权重约束的多维空间中任意点之间的最短路径。
曼哈顿距离最小生成树以贪心算法的形式实现,能够有效地解决多维空间中的最短路径问题。
它的核心思想是从一个现有的最小生成树开始,不断的增加新的元素来加强和扩展树的结构。
曼哈顿距离最小生成树的基本步骤如下:(1)从空树开始,任意选取一个节点作为初始节点。
(2)以曼哈顿距离为标准,从剩余的n-1个节点中找出与初始节点距离较近的节点,从而构成一个最小生成树。
(3)重复步骤(2),直至最小生成树中包含所有节点,此时得到了一颗曼哈顿距离最小生成树。
曼哈顿距离最小生成树的一个重要特性是它有一个非常直接的应用:它能够帮助我们解决计算最短路径的问题,也就是计算从某个固定起点到任意终点的最短路径。
使用曼哈顿距离最小生成树来计算最短路径的过程如下:(1)先构造一颗曼哈顿距离最小生成树。
(2)对最小生成树中每条边计算曼哈顿距离,并保存到一个表中。
(3)对最小生成树中每个节点,根据曼哈顿距离计算出从起点到该节点的最短距离,并保存到一个表中。
(4)搜索表中最短路径,找到从起点到终点的最短路径,也就是从起点到终点的最短路径。
曼哈顿距离最小生成树在多维空间中解决最短路径问题时,具有非常强大的功能。
它能够快速、高效地找到任意两点之间的最短路径,而无需考虑权重的约束。
这样,它就成为了一种非常有效的最小代价连接算法,在多维空间中广泛应用。
总的来说,曼哈顿距离最小生成树是在多维空间中解决最短路径问题的一种经典算法。
它使用曼哈顿距离作为代价,能够快速、高效地找到任意两点之间的最短路径,而无需考虑权重的约束。
最小生成树题目
最小生成树题目 最小生成树是图论中的一个重要概念,被广泛应用于路由算法、网络设计、电力传输等领域。
最小生成树问题可以简单描述为:给定一个连通图,选择一些边使得图中所有节点都能够连接,并且总边权之和最小。
最小生成树题目是在解决最小生成树问题时所遇到的具体情境。
以下通过分析两个不同的最小生成树题目,来理解最小生成树算法的应用。
题目1:某城市的道路规划 假设一个城市有多个地区,每个地区之间需要建立道路来连接。
已知每条道路的长度,在保证每个地区都能连通的情况下,设计一个道路规划方案,使得总道路长度最小。
解题思路: 1、首先,根据题目中给出的道路长度,建立一个无向带权图。
其中,每个地区对应图的节点,道路对应图的边,道路长度对应边的权值。
2、通过使用Kruskal或Prim算法,从这个带权图中构建最小生成树,即选取一些道路使得所有地区连通,并且这些道路的权值之和最小。
3、最小生成树即为最优的道路规划方案,输出最小生成树的边集合即可。
题目2:电力传输网络设计 某地区有多个居民点,需要建立电力传输网络来确保每个居民点都能接收到电力供应。
已知每个居民点之间建立电力线路的成本,在保证每个居民点都能接收到电力供应的情况下,设计一个电力传输网络,使得总成本最小。
解题思路: 1、根据题目给出的电力线路成本,建立一个带权完全图。
其中,每个居民点对应图的节点,电力线路对应图的边,电力线路成本对应边的权值。
2、通过使用Kruskal或Prim算法,从这个带权图中构建最小生成树,即选取一些电力线路使得所有居民点都能接收到电力供应,并且这些电力线路的成本之和最小。
3、最小生成树即为最优的电力传输网络设计方案,输出最小生成树的边集合即可。
最小生成树问题是一个经典的优化问题,通过构建最小生成树,我们可以找到图中连接所有节点的最优边集合。
在实际应用中,最小生成树算法可以帮助我们进行有效的资源分配、网络规划等决策。
总体来说,最小生成树题目涉及到图的建模和优化算法的运用。
世界最难的8道数学题
世界最难的8道数学题一直以来,数学一直被认为是世界上最难的科目,因为它被用来解决最具挑战性的问题。
一些问题在数学的境界里,很难有一个完美的解决方案,尤其是一些世界上最著名的数学问题。
今天,我们要探讨的就是世界上最难的8道数学题。
第一道数学题:玻拉德猜想。
玻拉德猜想是中古时期的一个数学问题,它研究的是质数的级数分布问题。
费马小定理证明了猜想的必要性,但是它至今尚未被证明,其有效性仍然是一个未知数。
第二道数学题:波普利特量子力学猜想。
波普利特量子力学猜想是由美国物理学家詹姆斯波普利特在1930年提出的数学难题。
它旨在探索量子力学理论中准确测量的纠缠态之间的相互作用问题。
至今,它也尚未被证明。
第三道数学题:质数游戏问题。
质数游戏问题提出了一个有趣的质数问题,即如何在一个已知的质数序列中找到最大的质数。
虽然这个问题已经由美国数学家萨缪尔波拉克在1957年完成了,但它仍然是一个非常有挑战性的数学难题。
第四道数学题:费马大定理问题。
这个数学题涉及到一个叫做“费马大定理”的数学定理,它声称如果一个自然数大于2,不能被任何形式的质数整除,那么它必然可以被分解为乘积两个质数的结果。
费马大定理的证明是无数数学家们致力于解决的难题,直到1994年,美国数学家安德鲁纳斯特林才用“大数定理”来证明它。
第五道数学题:伽罗华猜想。
伽罗华猜想,也叫做伽罗华-穆林廷猜想,是源自于泰勒斯方程学习中涉及到的数学问题,它始于1735年,提出斐波那契数列可以用无限多项式进行多项式表示,即无限维多项式也可以得出相同的结果。
伽罗华猜想尚未被证明,它依然是一个十分棘手的问题。
第六道数学题:佩里猜想。
佩里猜想源于1971年,它提出无穷维网络中的节点应该距离最大的一个节点的距离应该不大于一个固定的值。
这个极其难以证明的猜想也是许多数学家们致力研究的课题,但至今尚未得到确切答案。
第七道数学题:随机加权网络最小生成树问题。
随机加权网络最小生成树问题是一个非常复杂的优化问题,它要求在一个随机加权网络中找到最短的路径,以及一个连接所有顶点的最小生成树的算法。
最小生成树问题
2.1 最小生成树
树T(V,E)的性质:
E 树的边数等于其顶点数减“1”,即 V 1 ; 树的任意两个顶点之间恰有一条初级链相连接; 在树中任意去掉一条边后,便得到一个不连通的 图; 在树中任意两个顶点之间添加一条新边,所得新 图恰有一个初级圈。
例如,图 6.4.1 给出的 G1 和 G2 是树,但 G3 和 G4 则不是树。
44
44 69
结果显示于图
求最小生成树的 Prim 算法
Prim 算法的直观描述 假设 T0 是赋权图 G 的最小生成树。任选一 个顶点将其涂红,其余顶点为白点;在一个端 点为红色,另一个端点为白色的边中,找一条 权最小的边涂红,把该边的白端点也涂成红色; 如此,每次将一条边和一个顶点涂成红色,直 到所有顶点都成红色为止。最终的红色边便构 成最小生成树 T0 的边集合。
在求最小生成树的有效算法中,最著名的两个是 Kruskal(克罗斯克尔)算法和 Prim(普瑞姆)算法, 其迭代过程都是基于贪婪法来设计的。 1.求最小生成树的 Kruskal 算法
Kruskal 算法的直观描述 假设 T0 是赋权图 G 的最小生成树,T0 中的边和 顶点均涂成红色,初始时 G 中的边均为白色。 ① 将所有顶点涂成红色; ② 在白色边中挑选一条权值最小的边,使其与红 色边不形成圈,将该白色边涂红; ③ 重复②直到有 n1 条红色边,这 n1 条红色边 便构成最小生成树 T0 的边集合。
最小生成树算法
一个简单连通图只要不是树,其生成树就不唯 一,而且非常多。一般地,n 个顶点地完全图,其 不同地生成树个数为 nn2。因而,寻求一个给定赋 权图的最小生成树,一般是不能用穷举法的。例如, 30 个顶点的完全图有 3028个生成树,3028 有 42 位, 即使用最现代的计算机,在我们的有生之年也是无 法穷举的。所以,穷举法求最小生成树是无效的算 法,必须寻求有效的算法。
最小生成树问题
榆林学院12届课程设计《最小生成树问题》课程设计说明书学生姓名:赵佳学号:1412210112院系:信息工程学院专业:计算机科学与技术班级:计14本1指导教师:答辩时间:年月日最小生成树问题一、问题陈述最小生成树问题设计要求:在n个城市之间建设网络,只需保证连通即可,求最经济的架设方法。
存储结构采用多种。
求解算法多种。
二、需求分析1.在n个城市之间建设网络,只需保证连通即可。
2.求城市之间最经济的架设方法。
3.采用多种存储结构,求解算法也采用多种。
三、概要设计1、功能模块图2、功能描述(1)CreateUDG()创建一个图:通过给用户信息提示,让用户将城市信息及城市之间的联系关系和连接权值写入程序,并根据写入的数据创建成一个图。
(2)Switch()功能选择:给用户提示信息,让用户选择相应功能。
(3)Adjacency_Matrix()建立邻接矩阵:将用户输入的数据整理成邻接矩阵并显现在屏幕上。
(4)Adjacency_List()建立邻接表:将用户输入的数据整理成临接表并显现在屏幕上。
(5)MiniSpanTree_KRSL()kruskal算法:利用kruskal算法求出图的最小生成树,即:城市之间最经济的连接方案。
(6)MiniSpanTree_PRIM()PRIM算法:利用PRIM算法求出图的最小生成树,即:城市之间最经济的连接方案。
四、详细设计本次课程设计采用两种存储结构以及两种求解算法。
1、两种存储结构的存储定义如下:typedef struct Arcell{double adj;}Arcell,AdjMatrix[MAX_VERTEX_NUM][MAX_VERTEX_NUM];typedef struct{char vexs[MAX_VERTEX_NUM]; //节点数组AdjMatrix arcs; //邻接矩阵int vexnum,arcnum; //图的当前节点数和弧数}MGraph;typedef struct Pnode //用于普利姆算法{ char adjvex; //节点double lowcost; //权值}Pnode,Closedge[MAX_VERTEX_NUM];//记录顶点集U到V-U的代价最小的边的辅助数组定义typedef struct Knode//用于克鲁斯卡尔算法中存储一条边及其对应的2个节点{char ch1; //节点1char ch2; //节点2double value;//权值}Knode,Dgevalue[MAX_VERTEX_NUM];2、求解算法采用Prim算法和Kruskal算法。
最小生成树
对于图G=(V,E)的每一条e∈E, 赋予相应的权数 f(e),得到一个网络图,记为N=(V,E,F),
设T=(为T的权,N中权数最小的 生成树称为N的最小生成树。 许多实际问题,如在若干个城市之间建造铁路网、 输电网或通信网等,都可归纳为寻求连通赋权图 的最小生成树问题。 下面介绍两种求最小生成树的方法:
例1 求下图所示的最小生成树。
v2 e1 v1 e2 e6 v4 e 7 v3
v5
解:按各边的权的不减次序为:
e1 e 2 e3 e7 e6 e 4 e5 e8
所以,首先取 e1 , e2 ,尔后再取 e7 和 e6 , 则构成最小生成树 .
二、破圈法 破圈法就是在图中任取一个圈,从圈中去 掉权最大的边,将这个圈破掉。重复这个 过程,直到图中没有圈为止,保留下的边 组成的图即为最小生成树。 例2 同例1。 解:在圈v2v2v3中,去掉权最大的边e2或e3; 在圈v2v3v4中,去掉权最大的边e4; 在圈v3v4v5中,去掉权最大的边e5; 在圈中v2v3v5,去掉权最大的边e8;
在剩下的图中,已没有圈,于是得到最小生成树, 如下图:
v2 e1 v1 e2 e6 v4 v3 e7
v5
例3 求下图的最小生成树。
C1 1 B1 3 5 A 4 B2 6 5 8 7 6 C4 C3 3 3 4 D3 8 3 C2 8 D2 4 E A
4 3 B2 C4 4 D3 C3 3
B 2 A 3 5 J 2 2 H 5 G 1 F 2 1 S 3 1 4 C 3 4 1 4 E
5
D 2
A 2
B
1
C D 1 2 E
1 S 2 H
最小生成树
17
D
应用举例——最小生成树
Prim算法 34 A 46 19 F B 12 26 25 E 38 cost'={(A, B)34, (C, D)17, (F, E)26}
17
U={A, F, C, D}
V-U={B, E}
cost={(A, B)34, (F, E)26}
25
C
17
D
应用举例——最小生成树
{B, C, D, E, F} (A F)19
{B, C, D, E} {B, D, E} {B, E} {B} {}
(F C)25
(C D)17
(F E)26
adjvex lowcost
adjvex lowcost
4 12
{A, F, C, D, E}
{A,F,C,D,E,B}
(E B)12
21
应用举例——最小生成树
Prim算法——伪代码
1. 将顶点0加入集合U中; 2. 初始化辅助数组shortEdge,分别为lowcost和adjvex赋值; 3. 重复执行下列操作n-1次 3.1 在shortEdge中选取最短边,取其对应的下标k; 3.2 输出边(k, shortEdge[k].adjvex)和对应的权值; 3.3 将顶点k加入集合U中; 3.4 调整数组shortEdge;
U
V-U
输出
adjvex lowcost adjvex lowcost adjvex lowcost adjvex lowcost
0 34 0 34 0 34 0 34
0 46 5 25
0 ∞ 5 25 2 17
0 ∞ 5 26 5 26 5 26
0 19
数学建模四大模型归纳
四类基本模型1优化模型1.1数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2微分方程组模型阻滞增长模型、SARS传播模型。
1.3图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov链模型。
1.5组合优化经典问题多维背包问题(MKP)背包问题:n个物品,对物品i,体积为W i,背包容量为W。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题:n个物品,对物品i,价值为P i,体积为W i,背包容量为W。
如何选取物品装入背包,是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有:资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于NP难问题。
二维指派问题(QAP)工作指派问题:n个工作可以由n个工人分别完成。
工人i完成工作j的时间为d j。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题(常以机器布局问题为例):n台机器要布置在n个地方,机器i 与k之间的物流量为f ik,位置j与l之间的距离为d jl,如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有:校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
旅行商问题(TSP)旅行商问题:有n个城市,城市i与j之间的距离为d ij,找一条经过n个城市的巡回(每个城市经过且只经过一次,最后回到出发点),使得总路程最小。
车辆路径问题(VRP)车辆路径问题(也称车辆计划):已知n个客户的位置坐标和货物需求,在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下,每辆车都从起点出发,完成若干客户点的运送任务后再回到起点,要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP问题是VRP问题的特例。
车间作业调度问题(JSP)车间调度问题:存在j个工作和m台机器,每个工作由一系列操作组成,操作的执行次序遵循严格的串行顺序,在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成,每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作,同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
atcoder关于最小生成树的题目
AtCoder 关于最小生成树的题目:在 AtCoder 的竞赛中经常会遇到与最小生成树相关的题目,这些题目往往需要我们深入理解最小生成树的概念和算法,并能够灵活运用它们解决实际问题。
在本文中,我们将从简到繁地探讨最小生成树的概念和相关算法,并且结合 AtCoder 中的一些题目进行讲解,帮助大家更好地理解和掌握这一重要的算法。
1. 最小生成树的概念最小生成树是指一个给定的带权无向连通图中,权值之和最小的生成树。
在这里,我们需要理解带权图、连通图以及生成树的概念。
带权图是指图中每条边都带有权值,连通图是指图中任意两个顶点之间都存在路径,生成树是指一个图中包含所有顶点的树。
最小生成树可以通过 Prim 算法和 Kruskal 算法来求解,这两个算法是我们在解决AtCoder 中相关题目时常用的方法。
2. Prim 算法Prim 算法是一种贪心算法,其核心思想是以一个顶点作为起点开始,逐步选择与当前生成树相邻且权值最小的边,直到所有顶点都被包含在生成树中。
在 AtCoder 的题目中,我们可能会遇到需要使用 Prim 算法求解最小生成树的情况。
某道题目给定了一个带权无向连通图,要求我们找到其最小生成树的权值之和,这时我们就可以考虑使用Prim 算法来解决。
3. Kruskal 算法Kruskal 算法也是求解最小生成树的常用算法之一,其思想是先将图中的边按权值从小到大排序,然后依次加入权值最小且不形成环的边,直到生成树中包含所有顶点为止。
在 AtCoder 的题目中,有时会要求我们使用 Kruskal 算法求解最小生成树的权值之和,这时我们需要对题目中的边进行排序并且判断是否形成环,从而得到最小生成树的权值。
4. AtCoder 相关题目在 AtCoder 的比赛中,经常会见到一些与最小生成树相关的题目,这些题目可能涉及到图论、树的搜索和动态规划等知识。
在解决这些题目时,我们需要结合 Prim 和 Kruskal 算法来思考,同时考虑到题目背景和限制条件,灵活选择合适的算法求解。
最小生成树聚类算法
最小生成树聚类算法
最小生成树聚类算法是一种基于图论的聚类算法,用于在一个无向加
权图中寻找最小生成树。
该算法的基本思想是将所有数据点作为图的节点,然后通过计算各个节点之间的距离,构建一个无向加权图。
然后对这个图
进行最小生成树算法,将生成的最小生成树作为聚类结果。
最小生成树聚类算法的优点是简单易懂、计算复杂度较低,能够有效
处理大规模数据。
然而该算法也存在一些缺点,例如对于数据分布较为密
集的情况,聚类效果较差;并且该算法不适合处理噪声点。
因此,在实际应用中,最小生成树聚类算法常常需要与其他聚类算法
结合使用,以提高聚类效果和鲁棒性。
最小生成树算法(克鲁斯卡尔算法和普里姆算法)
最⼩⽣成树算法(克鲁斯卡尔算法和普⾥姆算法)⼀般最⼩⽣成树算法分成两种算法:⼀个是克鲁斯卡尔算法:这个算法的思想是利⽤贪⼼的思想,对每条边的权值先排个序,然后每次选取当前最⼩的边,判断⼀下这条边的点是否已经被选过了,也就是已经在树内了,⼀般是⽤并查集判断两个点是否已经联通了;另⼀个算法是普⾥姆算法:这个算法长的贼像迪杰斯塔拉算法,⾸先选取⼀个点进⼊集合内,然后找这个点连接的点⾥⾯权值最⼩的点,然后每次在选取与集合内任意⼀点连接的点的边的权值最⼩的那个(这个操作可以在松弛那⾥修改⼀下,这也是和迪杰斯塔拉算法最⼤的不同,你每次选取⼀个点后,把这个点能达到的点的那条边的权值修改⼀下,⽽不是像迪杰斯塔拉算法那样,松弛单点权值);克鲁斯卡尔代码:#include<iostream>#include<algorithm>#define maxn 5005using namespace std;struct Node{int x;int y;int w;}node[maxn];int cmp(Node x,Node y){return x.w<y.w;}int fa[maxn];int findfa(int x){if(fa[x]==x)return x;elsereturn findfa(fa[x]);}int join(int u,int v){int t1,t2;t1=findfa(u);t2=findfa(v);if(t1!=t2){fa[t2]=t1;return1;}elsereturn0;}int main(){int i,j;int sum;int ans;int n,m;sum=0;ans=0;cin>>n>>m;for(i=1;i<=m;i++)cin>>node[i].x>>node[i].y>>node[i].w;sort(node+1,node+1+m,cmp);for(i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;for(i=1;i<=m;i++){if(join(node[i].x,node[i].y)){sum++;ans+=node[i].w;}if(sum==n-1)break;}cout<<ans<<endl;return0;}普⾥姆算法:#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstring>#include<cstdio>#define inf 0x3f3f3fusing namespace std;int Map[1005][1005];int dist[1005];int visit[1005];int n,m;int prime(int x){int temp;int lowcast;int sum=0;memset(visit,0,sizeof(visit)); for(int i=1;i<=n;i++)dist[i]=Map[x][i];visit[x]=1;for(int i=1;i<=n-1;i++){lowcast=inf;for(int j=1;j<=n;j++)if(!visit[j]&&dist[j]<lowcast){lowcast=dist[j];temp=j;}visit[temp]=1;sum+=lowcast;for(int j=1;j<=n;j++){if(!visit[j]&&dist[j]>Map[temp][j]) dist[j]=Map[temp][j];}}return sum;}int main(){int y,x,w,z;scanf("%d%d",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=n;j++){if(i==j)Map[i][j]=0;elseMap[i][j]=inf;}}memset(dist,inf,sizeof(dist)); for(int i=1;i<=m;i++){scanf("%d%d%d",&x,&y,&w); Map[x][y]=w;Map[y][x]=w;}z=prime(1);printf("%d\n",z);return0;}。
普里姆算法最小生成树例题
普里姆算法最小生成树例题含解答普里姆算法(Prim's Algorithm)是一种用于求解无向图的最小生成树(Minimum Spanning Tree,MST)的算法。
最小生成树是一个包含图中所有顶点的树,且树的边权值之和最小。
下面是一个示例图,我们将使用Prim's算法找到其最小生成树:```图:2 3A --------- B| \ |1| \5 |4| \ |C --------- D6```对应的邻接矩阵:```A B C DA [0, 2, 1, 0]B [2, 0, 5, 3]C [1, 5, 0, 6]D [0, 3, 6, 0]```假设我们从顶点A开始,下面是Prim's算法的执行步骤:1. 初始化:-选择任意起始顶点,这里选择A。
-将A标记为已访问。
-初始化一个最小堆(优先队列),用于存储候选边。
2. 找到最小权值的边:-将A相邻的边(AB、AC)加入最小堆。
3. 选择最小边:-从最小堆中选择权值最小的边,这里是AB(权值为2)。
-将B标记为已访问。
-将与B相邻的边(BD、BC)加入最小堆。
4. 重复步骤3:-从最小堆中选择权值最小的边,这里是BC(权值为3)。
-将C标记为已访问。
-将与C相邻的边(CA、CD)加入最小堆。
5. 继续重复:-从最小堆中选择权值最小的边,这里是CA(权值为1)。
-将A标记为已访问。
-将与A相邻的边(AB、AC)加入最小堆。
6. 重复步骤3和5:-从最小堆中选择权值最小的边,这里是AC(权值为1)。
-将C标记为已访问。
-将与C相邻的边(CA、CD)加入最小堆。
7. 继续重复:-从最小堆中选择权值最小的边,这里是CA(权值为1)。
-将A标记为已访问。
最终,我们得到的最小生成树为:```3A --------- B| \1| \| \C --------- D6```边的权值之和为1+2+3=6,这是该最小生成树的总权值。
请注意,Prim's算法的最终生成树可能不是唯一的,但总权值应始终是最小的。
数学建模最小生成树例题
数学建模最小生成树例题例题1:某城市计划建设一条高速公路,需要在若干个村庄之间选择一条最优路径。
已知各个村庄之间的距离,请使用最小生成树算法为高速公路选择最优路径。
参考答案:最小生成树算法可以用于解决此类问题。
常用的最小生成树算法有Kruskal算法和Prim算法。
1. Kruskal算法:按照边的权重从小到大排序,依次将边加入生成树,如果加入的边与已选择的边不构成环,则加入,否则不加入。
2. Prim算法:首先选择权重最小的边加入生成树,然后从剩余的边中选择一条与已选择的边相连且权重最小的边加入生成树,直到所有边都加入生成树。
例题2:一个通信网络由若干个节点和边组成,节点代表城市,边代表通信线路。
已知各个城市之间的距离和通信需求,请使用最小生成树算法为该通信网络设计一个最优的通信线路网。
参考答案:最小生成树算法可以用于解决此类问题。
通过最小生成树算法,我们可以找到一个包含所有节点且边的总权重最小的树形结构,以满足各个城市之间的通信需求。
常用的最小生成树算法有Kruskal算法和Prim算法。
1. Kruskal算法:按照边的权重从小到大排序,依次将边加入生成树,如果加入的边与已选择的边不构成环,则加入,否则不加入。
2. Prim算法:首先选择权重最小的边加入生成树,然后从剩余的边中选择一条与已选择的边相连且权重最小的边加入生成树,直到所有边都加入生成树。
例题3:一个城市的电力网由多个节点和边组成,节点代表发电厂或变电站,边代表输电线路。
已知各个节点之间的电抗和传输功率,请使用最小生成树算法为该城市电力网设计一个最优的输电线路。
参考答案:最小生成树算法可以用于解决此类问题。
通过最小生成树算法,我们可以找到一个包含所有节点且边的总电抗最小的树形结构,以满足各个节点之间的电力传输需求。
常用的最小生成树算法有Kruskal算法和Prim算法。
1. Kruskal算法:按照边的电抗从小到大排序,依次将边加入生成树,如果加入的边与已选择的边不构成环,则加入,否则不加入。
网络拓扑结构的优化方法
网络拓扑结构的优化方法网络拓扑结构是指计算机网络中各节点之间连接关系的安排方式。
一个优秀的网络拓扑结构能够提供高效的数据传输、良好的稳定性和可扩展性。
然而,随着网络规模的不断扩大和发展,如何对网络拓扑结构进行优化成为了一个重要的研究领域。
本文将探讨网络拓扑结构的优化方法,并介绍其中一些经典的算法。
一、随机网络拓扑优化算法随机网络拓扑优化算法是指通过随机调整网络节点之间的连接关系,来达到优化网络拓扑结构的目的。
其中,著名的算法之一是“小世界网络模型”。
该算法通过保持网络的大部分连接不变,只随机改变少数连接来实现网络的优化。
小世界网络模型具有较短的平均最短路径、较高的聚集系数和很强的相容性,适用于大规模网络的优化。
二、基于社交关系的网络拓扑优化算法基于社交关系的网络拓扑优化算法是通过分析个体之间的社交关系,优化网络拓扑结构。
社交网络分析算法中的“度中心性”和“介数中心性”等指标,可以帮助确定网络中的核心节点,并借此对网络进行优化。
此类算法适用于社交媒体等网络环境,可以提升网络的可靠性和传输效率。
三、最小生成树算法最小生成树算法是用于解决带权有向图或无向图的最小生成树问题的经典算法。
网络拓扑优化中的最小生成树算法通常采用Prim算法或Kruskal算法,通过选择最小的边来构建网络最小生成树,以实现拓扑结构的优化。
这些算法能够确保网络的连通性,并减少冗余边的存在,提高网络的性能。
四、遗传算法遗传算法是一种基于生物进化过程的优化算法。
在网络拓扑优化中,遗传算法可以通过模拟遗传、交叉和变异等操作,通过优胜劣汰的方式,逐步进化出更优的拓扑结构。
遗传算法能够在搜索空间中进行全局搜索,并找到较好的优化结果。
五、混合优化算法混合优化算法是将多种优化算法进行组合,以取长补短,进一步提高网络拓扑结构的优化效果。
例如,结合最小生成树算法的高效性和遗传算法的全局搜索能力,通过迭代优化过程来实现网络拓扑的优化。
混合优化算法能够充分发挥各算法的优势,提高优化效率和优化结果。
最小生成树问题
最小生成树问题
最小生成树问题是指在连接有n个点的图的所有n-1条边中,找到一棵边权和最小的树,这棵树包含了图中所有的点,并且所有点之间都是通过这些边相互连接的。
最小生成树问题可以用来解决一些实际问题,比如网络规划、电力传输、通信网络等。
在计算机领域中,最小生成树问题通常可以用来解决分布式系统中的数据同步问题、数据中心间的通信问题等。
常用的解决最小生成树问题的算法有Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法是一种贪心算法,它从一个初始点开始,每次选择与当前生成树相连的边中权值最小的边,并且将该边连接的点加入到生成树中。
重复这个过程,直到生成树包含了所有的点为止。
Kruskal算法是一种基于并查集的贪心算法。
它将所有边按照权值从小到大排序,然后依次遍历每条边,如果这条边连接的两个点不在同一个连通分量中,则将这条边添加到最小生成树中,并合并这两个连通分量。
重复这个过程,直到生成树包含了所有的点为止。
最小生成树问题是一个经典的优化问题,可以使用上述的两种算法来解决。
其中Prim算法的时间复杂度为O(n^2),Kruskal
算法的时间复杂度为O(m log n),其中n表示点的个数,m表示边的个数。
不确定随机网络优化
不确定随机网络优化
在许多实际问题中,我们得到的信息通常是非决定性的.这些非决定性的信息有些表现为随机性,有些表现为不确定性.在研究网络优化问题时,必须对这些非决定信息加以考虑.如果网络中边的权重是随机变量,那么就得到一个随机网络;如果网络中边的权重是不确定变量,那么就得到一个不确定网络.在一个复杂网络中,不确定性和随机性可能同时存在,这样的网络称为不确定随机网络.在求解这类网络优化问题时,经典网络的一些算法、随机网络以及不确定网络的优化方法,都难以解决这样的复杂情形.因此寻找新的合适的方法解决不确定随机网络优化问题是十分必要的.本文利用机会理论,对不确定随机网络优化的最短路问题、最小生成树问题以及最大流问题进行研究.首先推导出了它们的理想机会分布函数.然后对最短路问题建立了路径的机会分布函数与理想分布函数的面积最小模型、距离最小模型和最小互熵模型;对最小生成树问题建立了生成树的机会分布函数与理想分布函数的面积最小模型、距离最小模型和最小互熵模型;对最大流问题建立了期望值约束模型和机会约束模型.最后给出优化模型的数值实验,并设计相应的算法程序,验证了模型和算法的有效性.本文的创新点主要有:?给出了不确定随机网络最短路问题的理想机会分布函数.建立了不确定随机网络的最短路的三种模型,并设计相应的算法,给出数值例子验证模型和算法的有效性.?推导了不确定随机网络最小生成树问题的理想机会分布函数.建立了不确定随机网络的最小生成树的三种模型,并设计相应的算法,对模型进行求解.?推导了不确定随机网络最大流问题的理想机会分布函数.给出了期望值约束模型和机会约束模型,并设计算法对模型进行求解,通过数值例子验证模型和算法的有效性.。
医用数学期末知识点总结
医用数学期末知识点总结一、概率统计1. 概率的基本概念和性质:样本空间、事件、随机事件、频率、概率公理等。
2. 随机变量及其分布:离散和连续随机变量,概率分布函数、概率密度函数、累积分布函数,常见的离散和连续分布(如伯努利分布、二项分布、泊松分布、正态分布等)。
3. 多维随机变量及其分布:联合分布、边缘分布、条件分布,多维正态分布、多项分布等。
4. 随机变量的函数分布:随机变量的和、差、积、商的分布,中心极限定理等。
5. 统计推断:估计问题和假设检验问题,参数估计的最大似然估计、矩估计,假设检验的原理与方法(如假设检验的基本步骤、双侧检验、单侧检验等)。
6. 方差分析和回归分析:单因素方差分析、多因素方差分析,简单线性回归、多元线性回归等。
二、微积分1. 函数的极限与连续性:数列极限、函数极限的定义与性质,连续函数的定义与性质。
2. 导数与微分:导数的定义、性质与计算,函数的单调性与凹凸性,函数的极值与最值,微分的定义与应用(如切线、泰勒公式等)。
3. 积分与不定积分:不定积分的定义与计算方法,定积分的定义与性质,牛顿—莱布尼茨公式,定积分的应用(如定积分的几何应用、物理应用等)。
4. 微分方程:一阶常微分方程、高阶常微分方程,一阶线性非齐次微分方程的解法(如常数变易法、常数变法、待定系数法等)。
5. 多元函数微积分:偏导数的定义、性质与计算,多元函数的极值与最值,多元函数的积分(如二重积分、三重积分)。
三、线性代数1. 矩阵与线性方程组:矩阵的定义、性质与运算(如矩阵的加法、乘法、转置、逆矩阵等),线性方程组的解法(如高斯消元法、克拉默法则等)。
2. 特征值与特征向量:特征值与特征向量的定义与计算,对角化与相似矩阵,矩阵的谱分解。
3. 向量空间与线性变换:向量空间的定义和性质,线性相关与线性无关,基与维数,线性变换的定义、矩阵表示与特征值问题。
四、数理统计学1. 统计数据的描述:样本均值、样本方差、样本标准差、样本相关系数等。
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printf("请输入边的信息(起点,终点),边的权值将自动生成:\n");
for(i=1;i<=e;i++) { scanf("%d,%d",&ge[i].bv,&ge[i].tv); r=rand()%10000 ; ge[i].w=r/10; } printf("系统随机产生各个边的权值后前后顶点以及他们之间\n的边的权值如下:(前顶点,后顶点,权值)\n");
printf("************************************\n\n");
rand((unsigned)time(0));
edgeset ge[MAXE];
int a,N,i,r;
printf("请输入顶点个数:");
scanf("%d",&N);
printf("请输入边的条数:
}
ge[j+1]=ge[0];
}
}
void adjustMinHeap(int *a, int pos, int len){
int temp;
int child;
for (temp = a[pos]; 2 * pos + 1 <= len; pos = child){
child = 2 * pos + 1;
if (child < len && a[child] > a[child + 1])
child++;
if (a[child] < temp){ //再这儿把temp写成了a[pos], 显然应该是待调整的节点,因为如果元素不能往下流动,则退出。。。
a[pos] = a[child];
for(i=1;i<=e;i++)
printf("%d,%d,%d\n",ge[i].bv,ge[i].tv,ge[i].w); printf("\n\n");
//进入堆排序
for( i=0;i<e;i++) array[i]=ge[i+1].w ;
minHeapSort(array);
printf("堆排序后权值从大到小输出如下\n");
//printf("%d ", a[0]);
int temp = a[0];
a[0] = a[i];
a[i] = temp;
adjustMinHeap(a, 0, i - 1);
}
}
void main()
{
printf("\n\n\n\n") ;
for(int m=0;m<10;m++)
j=1;
while(j<=e&&i<=n-1)
{
v1=seeks(set,ge[j].bv); v2=seeks(set,ge[j].tv); if(v1!=v2)
{
printf("(%d,%d):%d\n",ge[j].bv,ge[j].tv,ge[j].w); set[v1]=v2;
printf(" ");
printf("************************************\n\n");
for( m=0;m<10;m++)
printf(" ");
printf("* 第八题:最小生成树问题: *\n\n");
for( m=0;m<10;m++)
printf(" ");
#include"time.h"
#include"stdlib.h"
#include"stdio.h"
#include <string.h>
#define MAXE 100
int e,array[20];
struct edges
{
int bv;
int tv;
int w;
};
typedef struct edges edgeset; int seeks(int set[],int v)
for (i = 0; i < e; i++)
printf("%d ", array[i]);
printf("\n\n权值最小的边是:%d \n",array[e-1]);
printf("\n");
printf("克鲁斯卡尔算法求出最佳路径是:(格式如右面:<城市a,城市b>:路程)\n"); insertsort(ge,e);
{
int i;
i=v;
while(set[i]>0)
i=set[i];
return i;
}
void kruskal(edgeset ge[],int n,int e) {
int set[MAXE],v1,v2,i,j; for(i=1;i<n+1;i++)
set[i]=0;
i=1;
}
else {
break;
}
}
a[pos] = temp;
}
void minHeapSort(int *a)
{
int i;
for (i = e/2 - 1; i >= 0; i--)
adjustMinHeap(a, i, e - 1);
for (i = e - 1; i >= 0; i--){
kruskal(ge,N,e);
}
i++;
}
j++;
}
}
void insertsort(edgeset ge[],int e)
{
int i,j;
for(i=2;i<=e;i++)
if(ge[i].w<ge[i-1].w)
{
ge[0]=ge[i];
j=i-1;
while(ge[0].w<ge[j].w)
{