轴测图

轴测图>> 概述1 概述图1(a)是物体的正投影图，它能确切地表示物体的形状，且作图简单，但由于缺乏立体感，对没有读图能力的人来说，不容易想像出物体的形状。

图1(b)是同一物体的轴测图，它的优点是富有立体感，缺点是产生变形，不能确切地表示物体的真实大小，且作图较复杂，所以只能作为辅助图样使用。

(a)(b)图１正投影图和轴测图1.1 轴测图的形成图2表示物体的正投影图和轴测图的形成方法。

如图所示，假如以垂直于投影面H的S为投射方向，用平行投影法将物体向H面投射所得到的投影图为正投影图，它只表示出X、Y两个坐标方向，立体感较差。

假如将物体连同其直角坐标系，沿不平行于任一坐标平面的方向S1，用平行投影法将其投射在单一投影面上所得到的图形，称为轴测图。

图2轴测图的形成图中的平面P称为轴测投影面。

空间直角坐标轴OX、OY、OZ在轴测投影面上的投影称为轴测投影轴，简称轴测轴。

轴测图中，任意两直角坐标轴在轴测投影面上的投影之间的夹角称为轴间角。

直角坐标轴的轴测投影的单位长度与相应直角坐标轴上的单位长度的比值为轴向伸缩系数。

在图2中，设u为直角坐标轴上的单位长度，i、j、k为相应直角坐标轴的轴测投影的单位长度，则i、j、k与u的比值分别为OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数，并以表示OX、OY、OZ轴的轴向伸缩系数。

1.2 轴测图的基本特性由于轴测图是由平行投影得到的一种投影图，它具有以下平行投影的特性：(1) 直线的投影一般为直线，特殊情况下积聚为点；(2) 点在直线上，则点的轴测投影仍在该直线的轴测投影上，且点分该直线的比值不变；(3) 空间平行的线段，其轴测投影仍平行，且长度比不变。

由以上平行投影的投影特性可知，当点在坐标轴上时，该点的轴测投影一定在该坐标轴的轴测投影上；当线段平行于坐标轴时，该线段的轴测投影一定平行于该坐标轴的轴测投影，且该线段的轴测投影与其实长的比值等于相应轴向伸缩系数。

1.3 轴测图的分类轴测图可以分为正轴测图和斜轴测图，用正投影法得到的轴测投影称为正轴测图，用斜投影法得到的轴测投影称为斜轴测图。

根据轴向伸缩系数的不同，又可分为等测图、二测图和三测图。

本章介绍正等轴测图和斜二轴测图的画法2 正等轴测图2.1 正等轴测图的轴间角和轴向伸缩系数(1) 轴间角正等轴测图的轴间角为120°，即。

正等轴测图中的坐标如图3所示，一般使OZ处于铅直位置，OX、OY分别与水平线成30°。

(2) 轴向伸缩系数根据计算，正等轴测图的轴向伸缩系数为。

为了作图方便，常采用简化轴向伸缩系数。

用简化轴向伸缩系数画的正等测图，其形状不变，只是三个轴向尺寸比用轴向伸缩系数为0.82所画的正等轴测图放大1/0.82≈1.22倍。

2.2 平面立体的正等轴测图画平面立体的轴测图时，最基本的方法是坐标定点法。

根据物体形状的特点，选定恰当的坐标轴及坐标原点，再按物体上各点的坐标关系画出各点的轴测投影，连接各点的轴测投影即为物体的轴测图，这样的方法称为坐标定点法。

现举例说明平面立体正等轴测图的画法。

【例1】画正六棱柱的正等轴测图。

画正六棱柱的正等轴测图时，可用坐标定点法作出正六棱柱上各顶点的正等轴测投影，将相应的点连接起来即得到正六棱柱的正等轴测图。

为了图形清晰，轴测图上一般不画不可见轮廓线。

正六棱柱正等轴测图的作图步骤如下：(1)在正投影图中选择顶面中心O作为坐标原点，并确定坐标轴，如图4(a)所示；(2)画轴测图的坐标轴，并在OX轴上取两点Ⅰ、Ⅳ，使ＯⅠ=ＯⅣ=s/2，如图4(b)所示；(3)用坐标定点法作出顶面四点Ⅱ、Ⅲ、Ⅴ、Ⅵ，再按h作出底面各可见点的轴测投影，如图4(c)所示；(4)连接各可见点，擦去作图线，加深可见棱线，即得正六棱柱的正等轴测图，如图4(d)所示。

(a)(b)(c)(d)图4正六棱柱的正等轴测图画法图3正等轴测图中坐标轴的位置【例2】画正三棱锥的正等轴测图。

画正三棱锥的正等轴测图时，可用坐标定点法作出正三棱锥上S、A、B、C四顶点的正等轴测投影，将相应的点连接起来即得到正三棱锥的正等轴测图。

正三棱锥正等轴测图的作图步骤如下：(1) 在正投影图中，选择顶点B作为坐标原点O，并确定坐标轴，如图5(a)所示；(2) 画轴测图的坐标轴，并在OX轴上直接取A、B两点，使OA=ab，再按C x、C y确定C，按S x、S y、S z确定S，如图5(b)所示；(3) 连接S、A、B、C点，擦去作图线，加深可见棱线，即得正三棱锥的正等轴测图，如图5(c)所示。

(a)(b)(c)图5正三棱锥的正等轴测图画法【例3】画带切口平面立体的正等轴测图。

图6(a)是一带切口平面立体的正投影图，可以把它看成是一完整的长方体被切割掉Ⅰ、Ⅱ两部分。

根据该平面立体的形状特征，画图时可先按完整的长方体来画，如图6(b)所示；再画被切去Ⅰ、Ⅱ两部分的正等轴测图，如图6(c)所示；最后擦去被切割部分的多余作图线，加深可见轮廓线，即得到平面立体的正等轴测图，如图6(d)所示。

2.3 平行于坐标面的圆的正等轴测图平行于坐标面的圆，其轴测图是椭圆。

画图方法有坐标定点法和四心近似椭圆画法。

由于坐标定点法作图较繁，所以常用四心近似椭圆画法。

四心近似椭圆画法，是用光滑连接的四段圆弧代替椭圆。

作图时需要求出这四段圆弧的圆心、切点及半径。

下面以图7(a)的水平圆为例说明四心近似椭圆画法的作图步骤。

(1) 以圆心O为坐标原点，OX、OY为坐标轴，作圆的外切正方形，a、b、c、d为四个切点，如图7(a)所示。

(2) 在OX、OY轴上，按OA=OB=OC=OD=d1/2得到四点，并作圆外切正方形的正等轴测图——菱形，其长对角线为椭圆长轴方向，短对角线为椭圆短轴方向，如图7(b)所示。

(3) 分别以1、2为圆心，1D、2B为半径作大圆弧，并以O为圆心做两大圆弧的内切圆交长轴于3、4两点，如图7(c)所示。

(4) 连接13、23、24、14分别交两大圆弧于H、E、F、G。

以3、4为圆心，3E、4G为半径作小圆弧EH、GF，即得到近似椭圆，如图7(d)所示。

(a)(b)(c)(d)图7水平圆正等轴测图的四心近似椭圆画法平行于XOY坐标面的圆的正等轴测图，其长轴垂直于OZ轴，短轴平行于OZ轴；平行于XOZ坐标面的圆的正等轴测图，其长轴垂直于OY轴，短轴平行于OY轴；平行于YOZ坐标面的圆的正等轴测图，其长轴垂直于OX轴，短轴平行于OX轴；各椭圆的长轴≈1.22d，短轴≈0.7d（d为圆的直径）。

图8平行于各坐标面的圆的正等轴测图2.4 回转体的正等轴测图常见的回转体有圆柱、圆锥、球等。

再画它们的正等轴测图时，首先用四心近似椭圆画法画出回转体中平行坐标面的圆的正等轴测图，然后再画出整个回转体的正等轴测图。

【例4】画圆柱的正等轴测图作图步骤如下：(1) 在正投影图中选定坐标原点和坐标轴，如图9(a)所示；(2) 画轴测图的坐标轴，按h确定上、下底中心，并作上下底菱形，如图9(b)所示；(3) 用四心近似椭圆画法画出上、下底椭圆，如图9(c)所示；(4) 作上、下底椭圆的公切线，擦去作图线，加深可见轮廓线，完成全图，如图9(d)所示。

(a)(b)(c)(d)图9圆柱正等轴测图的画法【例5】画圆台的正等轴测图作图步骤如下：(1) 画轴测图的坐标轴，按h、d1、d2分别作上、下底菱形，如图10(b)所示；(2) 用四心近似椭圆画法画出上、下底椭圆，如图10(c)所示；(3) 作上、下底椭圆的公切线，擦去作图线，加深可见轮廓线，完成全图，如图10(d)所示。

2.5 组2.5.1 圆角的正等轴测图近似画法图13(a)是带两个圆角的长方形板，其圆角部分可采用近似画法。

作图步骤如下：(1) 画轴测图的坐标轴和长方形板的正等轴测图，对于顶面的圆弧可用近似画法作它们的正等轴测图。

作图时先按R确定切点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，再由Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ作相应边的垂线，其交点为O1、O2。

最后以为O1、O2圆心，O1Ⅰ、O2Ⅲ为半径，作ⅠⅡ弧和ⅢⅣ弧，如图13(b)所示。

(2) 把圆心O1、O2，切点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ向下平移，画出底面圆弧的正等轴测图，如图13(c)所示。

(a)(b)(c)图13圆角正等轴测图的近似画法2.5.2 组合体的正等轴测图组合体一般由若干基本立体组成。

画组合体的轴测图，只要分别画出各基本立体的轴测图，并注意它们之间的相对位置即可。

图14(a)为一组合体的正投影图，其正等轴测图的作图步骤如下：(1) 画轴测图的坐标轴，分别画出底板、立板和三角形肋板的正等轴测图，如图14(b)所示；(2) 画出立板半圆柱和圆柱孔、底板圆角和小圆柱孔的正等轴测图，如图14(c)所示；(3) 擦去作图线，加深可见轮廓线，完成全图，如图14(d)所示。

(a)(b)(c)(d)图14组合体正等轴测图的画法3 斜二轴测图3.1 轴间角和轴向伸缩系数斜二轴测图是用斜投影法得到的。

由于坐标面XOZ平行于轴测投影面P，它在P面上的投影反映实形。

斜二轴测图的轴间角和轴测图中坐标轴的画法如图15所示，,，画图时，OZ轴铅直放置，OX轴水平放置，OY轴与水平成45°。

斜二轴测图的轴向伸缩系数，。

画斜二轴测图时，凡平行与X轴和Z轴的线段按1:1量取，平行于Y轴的线段按1:2量取。

图15斜3.2 平行于各坐标面的圆的斜二轴测图平行于各坐标面的圆的斜二轴测图如图16所示，其中平行于XOZ坐标面的圆的斜二轴测图仍为大小相等的圆；平行于XOY和YOZ坐标面的圆的斜二轴测图都是椭圆，它们形状相同，作图方法一样，只是椭圆长、短轴方向不同。

由于平行于XOZ坐标面的圆的斜二轴测图仍为圆，所以，当机件一个投影方向上有较多的圆和圆弧时，宜采用斜二轴测图。

图16平行于各坐标面的圆的斜二轴测图17是平行于XOY坐标面的圆的斜二轴测图——椭圆的近似画法。

作图步骤如下：(1) 在正投影图中选定坐标原点和坐标轴，如图17(a)所示；(2) 画轴测图的坐标轴，在OX、OY轴上分别作A、B、C、D，使OA=OC=d1/2，OB=OD=d1/4，并作平行四边形。

过O作与OX成7°的直线，该直线即为长轴位置，过O作长轴的垂线即为短轴位置，如图17(b)所示；(3) 在短轴上取O1、O3等于d1，连接3A、1C交长轴于2、4两点。

分别以1、3为圆心，1C、3A为半径作圆弧CF、AE，连接12、34，并延长交圆弧于F、E，如图17(c)所示；(4) 以2、4为圆心，2A、4C为半径作小圆弧AF、CE，即完成椭圆的作图，如图17(d)所示。

(a)(b)(c)(d)图17平行于XOY坐标面的圆的斜二轴测图。