GM模型
GM模型
Φ = [a u]T 为待辨识参数向量, 则(2 − 21)可写成
Y = BΦ (2 − 22)
参数向量Φ可用最小二乘法求取,即 ˆ = [a , u]T = ( BT B )−1 BT Y Φ ˆ ˆ
(2 − 23)
把求取的参数代入(2 − 16)式, 并求出其离散解为
ˆ ˆ ˆ u − ak u ˆ x ( k + 1) = [ x (1) − ]e + ˆ ˆ a a 还原 到原始 数据 得
(1) (1)
(2 − 24)
ˆ (0) ( k + 1) = x (1) ( k + 1) − x (1) ( k ) ˆ ˆ x ˆ ˆ u − ak ˆ a (1) = (1 − e )[ x (1) − ]e ˆ a
(2 − 25)
(2 − 24),(2 − 25)式称为GM (1.1)模型的时间相应函数 模型, 它是GM (1.1)模型灰色预测的具体计算公式.
计算后 验差 比为
C = S 2 / S1
计算小误 差概率为
(2 − 36)
(2 − 37)
p = P { e( k ) − e < 0.6745 S1 }
指标C 和p是后验差检验的两个重要指标.指标C 越小 越好, C 越小表示S1大而S2 越小. S1大表示原始数据方差 大,即原始数据离散程度大.S2小表示残方差小,即残 差离散程度小.C 小就表明尽管原始数据很离散,而模 型所得计算值与实际值之差并不太离散.
(2 − 32)
计 算相对误 差得
e( k ) rel ( k ) = (0) × 100%, k = 1, 2,L , n x (k )
计 算平 均相对 误差 得
第五章--GM系列模型
x (k ) ax (k ) b
( 0) (1)
其中
X (0) ( x (0) (1), x (0) (2),, x (0) (n))
X (1) ( x (1) (1), x (1) (2),, x (1) (n)) k (1) x (k ) x (0) (i) k 1,2,, n
齐次指数序列模拟分析
分别以
X ，X
( 0) 1
( 0) 2
,, X
( 0) 25
作为基础数据序列建立均值GM(1,1)模型(EGM)、
原始差分GM(1,1)模型(ODGM)、均值差分GM(1,1)
模型(EDGM)和离散GM(1,1)模型(DGM)，对模拟误
差进行对比分析。
20
第五章 GM系统模型
5.2 GM(1,1)模型的适用范围
5.2 GM(1,1)模型的适用范围
非指数增长序列模拟分析
表5.2.2 4种GM(1,1)模型非指数增长序列模拟误差
序列序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
BACK
-a 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35
EGM 0.030994 0.658978 0.495833 1.010474 1.550886 1.626294 1.343565 5.155856 4.353253 4.736323 5.236438
型(ODGM)、均值差分GM(1,1)模型(EDGM)和离散
GM(1,1)模型(DGM)的适用范围，为人们在实际建模
过程中正确地选择模型提供参考和依据。 方法手段
分别对齐次指数序列、非指数增长序列和振
GM(1_1)模型,灰色预测
小额贷款远程智能预警系统 人数预测算法的设计一、灰色系统的引入：灰色系统是指“部分信息已知,部分信息未知”的“小样本”,“贫信息”的不确定性系统,它通过对“部分”已知信息的生成、开发去了解、认识现实世界，实现对系统运行行为和演化规律的正确把握和描述. 灰色系统模型的特点：对试验观测数据及其分布没有特殊的要求和限制，是一种十分简便的新理论，具有十分宽广的应用领域。
目前，灰色系统已经成为社会、经济、科教、技术等很多领域进行预测、决策、评估、规划、控制、系统分析和建模的重要方法之一。
特别是它对时间序列短、统计数据少、信息不完全系统的建模与分析，具有独特的功效。
灰色模型的优点（一） 不需要大量的样本。
（二） 样本不需要有规律性分布。
（三） 计算工作量小。
（四） 定量分析结果与定性分析结果不会不一致。
（五） 可用于近期、短期，和中长期预测。
（六） 灰色预测精准度高。
二、GM （1,1）模型（grey model 一阶一个变量的灰微分方程模型）灰色理论认为系统的行为现象尽管是朦胧的，数据是复杂的，但它毕竟是有序的，是有整体功能的。
灰数的生成，就是从杂乱中寻找出规律。
同时，灰色理论建立的是生成数据模型，不是原始数据模型。
因此，灰色预测的数据是通过生成数据的GM(1,1)模型所得到的预测值的逆处理结果。
GM （1,1）的具体模型计算式设非负原始序列()()(){}n x x x X )0()0()0()0(,...,2,1=对)0(X作一次累加()()∑==ki i x k x1)0()1( ;k=1,2,…,n得到生成数列为()()(){}n x x x X )1()1()1()1(,...,2,1=于是()k x)0(的GM （1,1）白化微分方程为u ax dtdx =+)1()1( (1—1)其中a,u 为待定参数，将上式离散化，即得()()()()u k x az k x =+++∆11)1()1()1(（1—2）其中()()1)1()1(+∆k x 为)1(x在（k+1）时刻的累减生成序列，()()()[]()[])1()()1(11)0()1()1()()0()1()0()1()1(+=-+=∆-+∆=+∆k x k x k x k x k x k x r（1—3）()()1)1(+k x z 为在（k+1）时刻的背景值（即该时刻对应的x 的取值）()()()()()k x k x k x z )1()1()1(1211++=+ （1—4）将（1—3）和（1—4）带入（1—2）得()()()()u k x k x a k x +++-=+]121[1)1()1()0( （1—5）将（1—5）式展开得()()()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+-+-=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡u a n x n x x x x x n x x x 1:11121:32212121:32)1()1()1()1()1()1()0()0()0( （1—6）令()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x Y )0()0()0(:32，()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--+-+-=1:11121:32212121)1()1()1()1()1()1(n x n x x x x x B ，[]Tu a =Φ 为待辨识参数向量，则（1—6）可以写成Φ=B Y （1—7）参数向量Φ可用最小二乘法求取，即[]()Y B B B u a T T T 1ˆ,ˆˆ-==Φ（1—8）把求取的参数带入（2—16）式，并求出其离散解为()()a u e a u x k xk a ˆˆˆˆ11ˆ)1()1(+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+- （1—9）还原到原始数据得()()()()()ka a e a u x e k x k x k x ˆ)1(ˆ)1()1()0(ˆˆ11ˆ1ˆ1ˆ-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-+=+ （1—10）（1—9）、（1—10）式称为GM （1,1）模型的时间相应函数模型，它是GM （1,1）模型灰色预测的具体计算公式。
灰色预测模型
灰色系统模型（Grey Model,GM）一：解决的关键问题 （所谓灰色系统是指部分信息已知而部分信息未知的系统，灰色系统所要考察和研究的是对信息不完备的系统，通过已知信息来研究和预测未知领域从而达到了解整个系统的目的）灰色系统模型作为一种预测方法广泛应用于工程控制，经济管理，社会系统等众多领域。
二：ＧＭ（１，１）模型（一）：对原始序列累加处理一次累加生产序列②(即1－AGO序列)，表示为其中，一次累加序列(1)X 的第k 项由原序列的前k 项和产生，即： 由(1)X 的相邻项平均得到(1)X 的紧邻均值生成序列(1)z ，表示为:根据上述序列，有灰色系统模型GM(1，1)的基本形式:(二)构造GM(1，1)模型方程组的矩阵形式，并求解参数 GM(1，1)模型的微分方程基本形式:(三)求的时间响应序列，累减得到原序列的预测值(四)模型检验残差的均值、方差分别为:21S C S 称为均方差比值，对于给定的00C ，当0C C 时，称模型为均方差比合格模型;1(()0.6745)p p k S 称为小误差概率，对于给定的00P ，当0P P 时，称模型为小误差概率合格模型。
一般均方差比值C 越小越好(因为C 小说明S 小，1S 大，即残差方差小，原始数据方差大，说明残差比较集中，摆动幅度小，原始数据比较分散，摆动幅度大，所以模拟效果好，要求2S 与1S 相比尽可能小)，以及小误差概率p 越大越好，给定000,,,C p 的一组取值，就确定了检验模型模拟精度的一个等级，常用的精度等级见表1。
软件DPS 的分析结果也提供了C 、p 的检验结果。
(五)残差修正模型(六)建立新陈代谢GM(1，1)进行动态预测在实际建模过程中，原始数据序列的数据不一定全部用来建模。
我们在原始数据序列中取出一部分数据，就可以建立一个模型。
一般说来，取不同的数据，建立的模型也不一样，即使都建立同类的GM(1，1)模型，选择不同的数据，参数a，b的值也不一样。
GM灰度模型预测方法
GM灰度模型预测方法GM(1,1)灰度模型是一种灰度系统建模和预测方法，它是由中国科学家灰色系统理论的创始人邓聚龙教授于1984年提出的。
GM(1,1)模型是一种线性灰度预测模型，主要用于描述和预测短期和中期非随机灰度序列的发展趋势。
它广泛应用于经济、环境、社会发展等领域，具有简单、高效、灵活的特点。
GM(1,1)模型的建立是基于灰色预测理论的，该理论将预测的问题转化为寻找构造相似数据序列的问题，以便对原始序列进行预测。
GM(1,1)模型的基本思想是通过灰色累加生成序列，将原始序列单纯累加变成灰色累加后的序列，再对其进行建模和预测。
首先，对原始序列进行数据标准化。
通过比例变化到0-1之间，使序列具有可比性和可比较性。
然后，对标准化后的序列进行累加生成序列。
通过一次累加操作来转化原始序列，使其变成一个累加生成序列。
接下来，建立GM(1,1)模型。
通过常微分方程(一阶线性微分方程)来描述灰色累加生成序列的发展趋势。
GM(1,1)模型可以表示为：$x^{(1)}(k)+ax^{(0)}(k)=b$，其中$x^{(1)}(k)$表示一次累加生成序列，$x^{(0)}(k)$表示原始序列，a和b为模型参数。
然后，通过解微分方程，得到GM(1,1)模型的解析表达式。
接着，对模型进行检验。
主要包括残差检验和后验差检验。
残差检验用于检验模型在建立时的合理性和适用性，后验差检验用于检验模型的精度和稳定性。
最后，通过GM(1,1)模型进行预测。
通过灰色预测模型的解析表达式，可以对未来的序列值进行预测。
通常可以使用累减法或累加法来还原预测值，使其恢复到原始序列的范围。
GM(1,1)模型也存在一些限制。
首先，它只能用于中小样本的预测，对于大样本的预测效果可能较差。
其次，模型对异常值和噪声的敏感性较高，需要对数据进行预处理和清洗。
最后，模型对序列的发展趋势做出的假设是线性的，对于非线性序列的预测效果不理想。
总之，GM(1,1)灰度模型是一种简单而有效的灰度预测方法，适用于中小样本的非随机灰度序列的预测。
GM(1,1)模型的适用范围
GM(1,1)模型的适用范围摘要GM(1,1)模型是一种常用的灰色系统数学模型，在许多领域得到了广泛的应用。
本文将介绍GM(1,1)模型的基本原理及其适用范围，并针对不同领域中GM(1,1)模型的具体应用进行详细讨论。
简介灰色系统理论是一种将统计学、数学和信息科学相结合的新兴跨学科领域，其研究的对象是具有不确定性、非完备信息的系统。
GM(1,1)模型是灰色系统理论中最常用的一种数学模型，用于预测和分析时间序列数据。
GM(1,1)模型的原理是基于灰色系统理论的灰色模型建模方法，该方法根据数据序列的变化规律，建立数据的动态变化模型，并通过建立灰色微分方程来进行预测。
GM(1,1)模型主要适用于简单的时间序列数据的预测和分析，具有简单、快速和高效等特点。
GM(1,1)模型的适用范围GM(1,1)模型适用于许多领域，主要包括以下几个方面：经济领域GM(1,1)模型在经济领域中的应用非常广泛，用于进行经济增长预测、市场趋势分析和投资策略制定等。
例如，可以将GM(1,1)模型应用于GDP季度数据的预测和分析，对经济增长趋势进行精确预测，为决策者提供科学依据。
工程领域GM(1,1)模型在工程领域中主要应用于生产和管理技术的改进、质量控制和生产计划制定等。
例如，可以将GM(1,1)模型应用于生产过程中某个指标的预测和分析，帮助工程师优化生产过程，提高生产效率。
自然科学领域GM(1,1)模型在自然科学领域中主要应用于气象、环境、水资源和地震等领域的数据分析和预测。
例如，可以将GM(1,1)模型应用于气象领域的气温预测和降雨量预测，为决策者提供准确的气象数据，为灾害防治提供科学依据。
社会科学领域GM(1,1)模型在社会科学领域中主要应用于人口、教育、医疗和农业等领域的数据分析和预测。
例如，可以将GM(1,1)模型应用于人口结构和教育发展趋势的预测和分析，帮助政府制定科学的人口和教育政策。
GM(1,1)模型的优缺点GM(1,1)模型具有以下优点：1.GM(1,1)模型具有简单、快速和高效等特点；2.GM(1,1)模型可以使用少量的数据进行分析和预测；3.GM(1,1)模型对数据的数量级和分布形态要求不高。
GM模型课件
优点分析
简洁性
GM模型在形式上非常简洁，易于理解和实 现。
高效性
GM模型在训练和预测阶段都表现出较高的 效率，尤其在大数据集上。
通用性
GM模型适用于多种类型的预测问题，如时 间序列预测、回归分析和分类问题等。
灵活性
GM模型可以通过调整参数和核函数来适应 不同的数据分布和预测需求。
缺点分析
对异常值敏感
人口预测
利用GM模型预测未来人口数量和结构变化，为政府制定人口政 策提供数据支持。
决策模型的应用
投资决策
通过GM模型评估不同投资项目的风险和收益， 帮助企业选择最优的投资方案。
生产计划
利用GM模型制定生产计划，优化资源配置，提 高生产效率。
物流配送
通过GM模型优化物流配送路线，降低运输成本，提高配送效率。
发展
随着GM模型的广泛应用，其理论和应用方法不断得 到完善和发展。
未来展望
随着大数据和人工智能技术的不断发展，GM模型有 望在未来实现更加精准和智能化的预测。
02
GM模型的原理与计算
GM模型的数学原理
灰色系统理论
GM模型基于灰色系统理论，该理论认为现实世界中许多 系统都是部分信息已知、部分信息未知的，因此可以通过 已知信息来推导未知信息。
预测精度
预测精度是另一个重要的参数，用于衡量预测结果的准确程度。根据实际需求，可以选择不同的预测精度要求。
GM模型的计算过程
数据预处理
对原始数据进行预处 理，包括缺失值填充 、异常值处理等。
生成数据序列
根据累加生成的方式 ，将原始数据转换为 新的数据序列。
建立GM模型
根据已知数据序列建 立GM模型，包括选 择合适的灰数类型和 预测精度要求。
灰色预测模型GM
灰色预测模型GM (1,1)§1 预备知识灰色预测是就灰色系统所做的预测。
所谓灰色系统是介于白色系统和黑箱系统之间的过渡系统，其具体的含义是：如果某一系统的全部信息已知为白色系统，全部信息未知为黑箱系统，部分信息已知，部分信息未知，那么这一系统就是灰箱系统。
一般地说，社会系统、经济系统、生态系统都是灰色系统。
例如物价系统，导致物价上涨的因素很多，但已知的却不多，因此对物价这一灰色系统的预测可以用灰色预测方法。
灰色系统理论认为对既含有已知信息又含有未知或非确定信息的系统进行预测，就是对在一定方位内变化的、与时间有关的灰色过程的预测。
尽管过程中所显示的现象是随机的、杂乱无章的，但毕竟是有序的、有界的，因此这一数据集合具备潜在的规律，灰色预测就是利用这种规律建立灰色模型对灰色系统进行预测。
平面上有数据序列()()(){}n n y x y x y x ,,,,,,2211 ，大致分布在一条直线上。
设回归直线为：b ax y +=，要使所有点到直线的距离之和最小（最小二乘），即使误差平方和()∑=--=ni i i b ax y J 12最小。
J 是关于a , b 的二元函数。
由()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-⋅--⋅=∂∂=-⋅--⋅=∂∂∑∑==0120211ni ii i ni i i i i b x a y b J x b x a y a J()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--⇒∑∑==00112ni i i n i i i i i b a y bx ax y x 则得使J 取极小的必要条件为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+⋅∑∑∑∑∑=i iii n i i i y nb x a y x x b x a 12（*）()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑22222i i i i i i i i i i i i i x x n y x x x y b x x n y x y x n a (1) 以上是我们熟悉的最小二乘计算过程。
《灰色GM(1,1)模型的优化及其应用》范文
《灰色GM（1,1）模型的优化及其应用》篇一一、引言灰色系统理论是一种研究信息不完全、数据不精确的系统的理论。
其中，灰色GM（1,1）模型是灰色系统理论中最为重要和常用的预测模型之一。
该模型通过累加生成序列和一次微分方程进行建模，具有较高的预测精度和实用性。
然而，传统的灰色GM（1,1）模型在某些情况下仍存在模型参数不够准确、预测精度不高等问题。
因此，对灰色GM（1,1）模型进行优化及其应用的研究具有重要意义。
本文将首先介绍灰色GM（1,1）模型的基本原理，然后探讨其优化方法，并最后分析其在不同领域的应用。
二、灰色GM（1,1）模型的基本原理灰色GM（1,1）模型是一种基于微分方程的预测模型，主要用于处理小样本、不完全信息的数据。
该模型通过累加生成序列和一次微分方程进行建模，将原始数据序列转化为微分方程的形式，从而进行预测。
其基本步骤包括：数据累加、建立微分方程、求解微分方程、模型检验等。
三、灰色GM（1,1）模型的优化针对传统灰色GM（1,1）模型的不足，学者们提出了多种优化方法。
其中，基于数据预处理、模型参数优化和预测结果修正的优化方法较为常见。
1. 数据预处理：通过对原始数据进行处理，如去趋势、归一化等，以提高模型的适应性和预测精度。
2. 模型参数优化：通过引入其他因素或变量，如时间序列的波动性、随机性等，对模型参数进行优化，提高模型的预测精度。
3. 预测结果修正：通过对预测结果进行修正，如引入专家知识、其他预测方法的结果等，进一步提高预测精度。
四、灰色GM（1,1）模型的应用灰色GM（1,1）模型在各个领域都有广泛的应用。
下面以几个典型领域为例，介绍其应用。
1. 经济学领域：灰色GM（1,1）模型可以用于预测经济增长、股市走势等经济指标，为经济决策提供参考。
2. 农业领域：灰色GM（1,1）模型可以用于预测农作物产量、农业气候等指标，为农业生产提供指导。
3. 医学领域：灰色GM（1,1）模型可以用于预测疾病发病率、死亡率等指标，为医学研究和卫生政策制定提供参考。
基于马尔科夫GM(1,1)模型的物流货运量预测研究与应用
基于马尔科夫GM(1,1)模型的物流货运量预测研究与应用物流货运量是指在物流运输过程中，单位时间内通过某一运输通道或单位面积的货物量，它直接反映了物流运输的效率和经济效益。
准确预测物流货运量对于物流企业的运营管理至关重要。
在进行物流货运量预测时，马尔科夫GM(1,1)模型是一种常用的预测方法，它具有参数少、灵活性强、适应性广等优点，能够有效地预测物流货运量的趋势和变化规律。
本文将基于马尔科夫GM(1,1)模型对物流货运量进行预测研究，并结合实际案例进行应用分析。
一、物流货运量预测的意义和现状物流货运量预测是物流管理和规划的重要内容，对于合理安排运输资源、优化运输路线、提高物流效率具有重要意义。
准确的货运量预测可以帮助物流企业合理制定运输计划和调度方案，提前做好货物的储备和配送工作，最大限度地降低运输成本，提高运输效率，提升客户满意度，从而提高企业整体竞争力。
目前，常用的物流货运量预测方法包括时间序列分析、回归分析、神经网络模型等。
这些方法各有优缺点，但在面对货运量非线性、不确定性等特点时，预测精度和准确度受到一定的限制。
如何克服这些方法的局限性，提高物流货运量预测的准确度和稳定性，成为了当前物流管理领域的研究热点。
二、马尔科夫GM(1,1)模型的基本原理2.1 马尔科夫模型马尔科夫模型是一种描述随机过程的数学模型，其基本思想是“过去的状态对未来的状态有影响”。
在时间序列预测中，马尔科夫模型可以用来描述序列状态之间的转移关系，从而实现对未来状态的预测。
其核心在于通过过去的状态来预测未来的状态，而且仅仅依赖于最近的状态，与之前的所有状态都无关。
2.2 GM(1,1)模型GM(1,1)模型是一种典型的灰色预测模型，它适用于具有少量数据、非线性和不确定性的预测问题。
该模型采用灰色系统理论，将少量的历史数据进行灰色处理，得到灰色级数，然后建立灰色微分方程，最终实现对未来数据的预测。
马尔科夫GM(1,1)模型是将马尔科夫链与GM(1,1)模型相结合的预测方法，其基本思想是利用马尔科夫链描述时间序列中的状态转移关系，然后采用GM(1,1)模型对状态序列进行预测。
GM（1，1）模型的特性与优化研究【最新经济学类】
南京航空航天大学硕士学位论文i摘 要本文以灰色系统理论中的)1,1(GM 模型为主要内容，其核心包括)1,1(GM 模型的特性、)1,1(GM 模型的优化和)1,1(GM 幂模型研究三个部分，在各个部分对相应的模型作了应用，以期在前人研究的基础上，进一步完善灰色模型理论体系，扩大灰色预测理论与方法的应用范围。
具体内容包括以下几个方面：1．初步探讨了灰色模型的病态性问题。
运用矩阵理论的特征值估计定理，经过一系列的数学推导发现，只有在原始序列首项不为零，其它各项近似为零的常数序列的情况下灰色模型才会发生病态性问题，对于这类序列在进行预测时是没有实际意义的。
2．分析了)1,1(GM 模型的稳定性与发展系数a −的关系，研究了无偏)1,1(GM 模型的混沌特性以及适用范围，并与)1,1(GM 模型做了比较。
从混沌理论的角度得到了无偏)1,1(GM 模型的适用范围及其适应性比)1,1(GM 模型有所增强的原因。
3．以原始数据序列的模拟值和原始数据序列的误差最小化为目标，基于最小二乘原理确定时间响应函数中常数C ，从而构建了一种新的优化的)1,1(GM 模型，有效解决了)1,1(GM 模型白化响应函数初始条件确定的问题。
4．从)1,1(GM 模型背景值)()1(k z 的几何意义出发，用非齐次指数函数来拟合一次累加生成序列，提出了一种背景值构造的方法，得到一种更为合理的背景值计算公式，使得优化后的模型模拟和预测精度有显著提高，尤其是当发展系数绝对值较大时仍然保持很高的精度。
5．在分析现有灰色Verhulst 模型中存在问题的基础上，根据灰色Verhulst 模型的白化微分方程的形式，推导出一种新型灰色Verhulst 模型，使得差分方程的参数与其在微分方程中对应的参数具有更好的一致性。
6．根据灰色系统信息覆盖的基本原理，给出了)1,1(GM 幂模型中参数α的估计算法，讨论了α的不同取值对模型解的性质影响。
对其白化微分方程解的定理进行了补充，并给出了白化微分方程解的优化方法，进一步推广了)1,1(GM 幂模型的应用。
灰色预测GM模型的改进及应用
灰色预测GM模型的改进及应用一、本文概述灰色预测GM模型是一种基于灰色系统理论的预测方法，具有对样本数据量少、信息不完全的复杂系统进行有效预测的优势。
然而，传统的GM模型在处理某些实际问题时，可能会遇到预测精度不高、模型适应性不强等问题。
因此，本文旨在深入研究灰色预测GM模型的改进方法，以提高其预测精度和适应性，并探讨改进后的模型在各个领域的应用价值。
具体而言，本文首先将对灰色预测GM模型的基本原理和算法进行详细阐述，为后续研究提供理论基础。
然后，针对传统GM模型存在的问题，本文将从模型参数优化、数据预处理、模型结构改进等方面提出一系列改进措施，并通过实验验证其有效性。
在此基础上，本文将进一步探讨改进后的GM模型在经济管理、生态环境、社会发展等领域的实际应用，以展示其广泛的应用前景和实用价值。
本文旨在通过深入研究灰色预测GM模型的改进方法，提高其预测精度和适应性，推动灰色系统理论在实际问题中的应用，为相关领域的研究和实践提供有益参考。
二、灰色预测GM模型的基本理论灰色预测GM模型，简称GM模型，是灰色系统理论的重要组成部分。
灰色系统理论是由我国著名学者邓聚龙教授于1982年提出的，它主要用于解决信息不完全、数据不充分的“小样本”和“贫信息”问题。
GM模型以其独特的优势，在众多领域如经济预测、环境科学、工程技术等得到了广泛应用。
GM模型的基本思想是通过生成变换，将原始数据转化为规律性较强的生成数据，然后建立微分方程模型进行预测。
其核心步骤包括：数据累加生成：原始数据序列经过一次或多次累加生成，使原本杂乱无章的数据呈现出明显的规律性，这是灰色预测的关键步骤。
建立微分方程：基于累加生成的数据序列，建立一阶线性微分方程，该方程能够较好地描述数据序列的变化趋势。
还原预测值：通过还原操作，将微分方程求解得到的预测值还原为原始数据序列的预测值。
模型检验：对预测结果进行后验差检验或残差检验，以评估模型的预测精度和可靠性。
GM(1,1)模型
0 引言房地产行业是国民经济的支柱产业之一,与人民生活息息相关,它的发展对国民经济的整体态势和全国人民的生活水平影响很大.近年来,我国房地产业发展迅速,既为整个国民经济的发展做出了贡献,又为改善人民居住条件发挥了决定性作用.但同时也面临较为严峻的问题和挑战,引起诸多争议,各方都坚持自己的观点,然而多是从政策层面、心理层面和资金层面等因素来考虑,定性分析多于定量分析.显然从定量角度把握各指标之间的数量关系,能较为准确的预见房地产行业的发展态势,从而进行有效地调控,进而实现可持续发展.因此通过建立数学模型定量地研究我国房地产问题是一个值得探索的方向.以下主要从未来商品房价格和房地产行业泡沫两个方面分别建立基于GM(1,1)模型和Cobweb 模型的房地产行业模型,并参考国家统计局数据,利用MATLAB 软件定量分析未来我国房地产市场的发展态势,希望对我国房地产行业的健康发展起到一定的指导作用.1 房价预测模型1.1 模型的建立与求解灰色模型[]1(Gray Model ，又称灰色理论)有严格的理论基础,其最大的优点是实用.预测结果比较稳定,既适用于大量数据的预测,数据量较少时预测结果也很准确.用文献[2]中提供的数据(即"商品房本年销售价格"1991-2009年的数据)建立灰色系统中单序列一阶线性微分方程模型——GM(1,1)模型。
这里,记原始数据列为:()()()()()00001,2,,19786,995,,4681.X x x x ==(Ⅰ) 原始数据累加以便弱化随机序列的波动性和随机性,得到新数据序列:()()()()()()11111011,2,,19,,1,2,,19.k i X x x x x k x i i ====∑(Ⅱ) 对()1x k 建立一阶线性微分方程:11dx ax u dt+=, 其中,a u 为待定系数,分别称为发展系数和灰色作用量, a 的有效区间为(-2,2),并记,a u 构成的列向量为(),L a u T =,只要能求出参数,a u 就能求出()1x k ,进而求出0X 的未来预测值.(Ⅲ) 记1Z 为1X 的紧邻均值生成序列，()()()()11111,2,,19,Z z z z = 其中()()()1110.50.51z k x k x k =+-,k=1,2,…,19.从而生成矩阵()()()()()()()()()1111110.510.5210.520.5310.5180.5191x x x x B x x ⎛⎫-+ ⎪-+ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭与()()002996194681x Y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(Ⅳ) 用最小二乘法求灰参数L ,则()()()1,0.0768,1056.9448L B B B Y a u -T TT T ===-,将,a u 代入11dx ax u dt+=求解得 ()()()()100.0768*******.325113768.3251ak k u u x k x e e a a -⎛⎫+=-+=- ⎪⎝⎭. 由于,a u 是由最小二乘法求得的近似值,所以上式是一个近似表达式,区别于原序列记为()11x k +记为()11x k +.(Ⅴ) 将()11x k +与()1x k 作差，得到近似数据序列()()()01111x k x k x k +=+-.(Ⅵ) 对建立的灰色模型进行精度检验[][]13：模型的精度由均方差比值C 和小误差概率P 共同划分,一般将模型的精度分为好、合格、勉强合格、不合格四级,若记该模型的均方差比值C 所在等级为m ,小误差概率P 所在等级为n ,则该模型的精度等级为{}max ,m n ,精度检验等级参照表(见表1). 表1 精度检验等级参照表 指标精度等级 相对误差α 均方差比值C 小误差概率P一级(好)<0.01 <0.35 >0.95 二级（合格）<0.05 <0.50 <0.80 三级（勉强合格）<0.10 <0.65 <0.70 四级（不合格）>0.20 >0.80 <0.60 利用MATLAB 软件编程计算得,该模型的均方差比值C=0.1114<0.35,其精度为一级,小误差概率P =1.0>0.95,精度也为一级,因此所建模型的精度为一级(好).故可用如下高精度模型预测房价： ()()()0110.07680.0768(1)1114554.3251().k k x k x k x k e e ++=+-=-用该预测模型及MATLAB 编程计算1991-2009年商品房本年销售价格,并比较预测数据与原始数据,得如下图1所示. 图1 1991-2009年商品房本年销售价格预测数据与原始数据的比较图至此,未来商品房本年销售价格预测模型已经建立起来.1.2 模型的应用利用上述模型,用MATLAB 编程进行预测,得2010-2029年商品房本年销售价格预测值,如下表2所示.表2 2010-2029年商品房本年销售价格预测值年份 房价 （元/平方米） 年份 房价 （元/平方米） 年份 房价 （元/平方米） 年份 房价（元/平方米） 2010 4624.3 2015 6788.0 2020 9964.1 2025 14626.3 2011 4993.3 2016 7329.6 2021 10759.1 2026 15793.3 2012 5391.7 2017 7914.4 2022 11617.6 2027 17053.5 2013 5821.9 2018 8545.9 2023 12544.6 2028 18414.2 2014 6286.4 2019 9227.8 2024 13545.5 2029 19883.4表2中的数据表明,商品房售价大约每10年翻一番,如此发展下去,一旦与我国经济发展的步伐不一致,就很容易出现房价泡沫,需要进行调控,如政府采取对房价的调控、限购政策的引导等措施.3 结论及建议从房价预测数据我们发现:如果不实施宏观调控，商品房售价会逐年上升，大约每10年翻一番，无论其发展速度超前于或滞后于我国经济发展的速度，都会出现房价泡沫；总之，本文所建立的房价预测模型和房地产行业泡沫的评价模型可以为我们均衡发展房地产市场，减少或避免泡沫提供决策分析工具。
GM(1,1)模型应用及残差修正
一．GM(1,1)预测模型应用举例灰色预测是基于GM(1,1)预测模型的预测，按其应用的对象可有四种类型： (1) 数列预测。
这类预测是针对系统行为特征值的发展变化所进行的预测。
(2) 灾变预测。
这类预测是针对系统行为的特征值超过某个阙值的异常值将在何时出现的预测。
(3) 季节灾变预测。
若系统行为的特征有异常值出现或某种事件的发生是在一年中的某个特定的时区，则该预测为季节性灾变预测。
(4) 拓扑预测。
这类预测是对一段时间内系统行为特征数据波形的预测。
例1（数列预测）：设原始序列)679.3,390.3,337.3,278.3,874.2())5(),4(),3(),2(),1(()0()0()0()0()0()0(==x x x x x X试用GM(1,1)模型对)0(X 进行模拟和预测，并计算模拟精度。
解：第一步：对)0(X 进行一次累加，得)558.16,897.12,489.9,152.6,874.2()1(=X 第二步：对)0(X 作准光滑性检验。
由)1()()()1()0(-=k x k x k ρ得5.029.0)5(,5.036.0)4(,54.0)3(<≈<≈≈ρρρ。
当k>3时准光滑条件满足。
第三步：检验)1(X 是否具有准指数规律。
由)(1)1()()()1()1()1(k k x k x k ρσ+=-=得29.1)5(,36.1)4(,54.1)3()1()1()1(≈≈≈σσσ当k>3时，5.0],5.1,1[)()1(<=∈δσk ，准指数规律满足，故可对)1(X 建立GM(1,1)模型。
第四步：对)1(X 作紧邻均值生成，得)718.14,184.11,820.7,513.4()1(=Z于是⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=679.3390.3337.3278.3)5()4()3()2(,1718.141184.111820.71513.41)5(1)4(1)3(1)2()0()0()0()0()1()1()1()1(x x x x Y z z z z B 第五步：对参数列T b a ],[ˆ=α进行最小二乘估计。
峰值电流模 gm-概述说明以及解释
峰值电流模gm-概述说明以及解释1.引言1.1 概述峰值电流模gm 是一种电流放大模型，用于描述电流增益与输入电压之间的关系。
它在电子工程领域中具有广泛的应用，特别是在放大器设计和信号处理中起着重要的作用。
峰值电流模gm 的基本原理是根据信号源的输入电压变化来控制电流的变化。
当输入电压变化时，通过某种方式将电流作为信号输出。
峰值电流模gm 的实现方式有很多，常见的包括电流镜、共射级、共基级等。
通过调整电路元件的参数和拓扑结构，可以实现不同的电流放大特性和频率响应。
峰值电流模gm 在许多领域都有广泛的应用。
在无线通信系统中，峰值电流模gm 被用于实现低噪声放大器、射频放大器和混频器等电路。
在音频设备中，峰值电流模gm 被用于实现音频放大器和音频滤波器等电路。
此外，峰值电流模gm 还被用于模拟计算机、数据转换和信号处理等领域。
峰值电流模gm 具有一些特点和优势。
首先，它具有较高的电流增益和带宽。
这使得它在高频信号放大和处理中具有良好的性能。
其次，峰值电流模gm 具有较低的输入阻抗和较高的输出阻抗，能够适应不同的输入和输出接口。
此外，峰值电流模gm 还具有较低的功耗和较小的尺寸，适合集成在微小尺寸的芯片中。
综上所述，峰值电流模gm 是一种重要的电流放大模型，具有广泛的应用领域和一些独特的特点和优势。
它在电子工程领域中发挥着重要作用，并有望在未来的发展中发挥更大的潜力。
本文将对峰值电流模gm 的定义、原理、应用领域、特点和优势进行详细阐述和分析。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构部分主要介绍整篇文章的组织结构，包括各个章节的内容概述和联系。
通过清晰地指导读者了解文章的整体脉络，有助于读者更好地理解和阅读全文。
在本文中，文章结构分为引言、正文和结论三个部分。
下面将分别对这三个部分进行介绍：引言部分是文章的开端，主要包括概述、文章结构和目的。
在概述中，将简要介绍峰值电流模gm 的背景和重要性，引发读者对该主题的兴趣。
GM模型建立与预测方法
GM模型建立与预测方法1.灰色系统理论简介：灰色系统理论是由中国科学家李文建于1982年提出的，它是一种描述不确定性系统的理论方法。
灰色系统理论将系统划分为有较多信息和有较少信息的两个部分，将有较多信息的部分称为白色信号，将有较少信息的部分称为黑色信号。
2.GM(1,1)模型的建立步骤：(1)原始数据序列的累加生成：将原始数据序列累加得到累加序列，令累加序列为$$X^{(1)}=\sum_{i=1}^n X(i),\quad i=1,2,...,n.$$(2)累加生成序列的一次累减生成：将累加序列的每个相邻数据相减得到累减序列，令累减序列为$$Z^{(1)}=\sum_{i=1}^{n-1} X(i),\quad i=1,2,...,n-1.$$(3)GM(1,1)微分方程的建立：由累减生成序列得到微分方程为$$\hat{X}(k+1)-a\hat{X}(k) = b,$$其中 $\hat{X}(k)$ 表示 $Z^{(1)}$ 的紧邻均值，即$$\hat{X}(k)=\frac{Z^{(1)}(k)+Z^{(1)}(k+1)}{2},\quadk=1,2,...,n-1.$$系数$a$是发展系数，系数$b$可以由初始数值求得。
(4)模型参数的计算：根据微分方程，可以得到模型参数的计算公式：$$a = \frac{\sum_{i=1}^{n-1}(X^{(1)}/X(i))}{n-1},\quad b = X(1)-\frac{a}{1-a}X^{(1)}.$$3.GM(1,1)模型的预测方法：(1)模型参数的计算：根据已有的数据序列，利用上述步骤计算得到模型的参数$a$和$b$。
(2)模型的状态方程和预测方程：状态方程可以表示为$$X^{(1)}(k+1)=aX^{(1)}(k)+b,$$预测方程可以表示为$$\hat{X}(k+1) = X(1)-\frac{b}{a}[1-\exp(-a)]\exp(a(k+1)).$$ (3)模型的残差检验：计算原始序列和预测序列的离差，如果离差不满足预先设定的阈值，说明预测的效果较好；否则需要调整模型参数重新预测。
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1111140122 经创1102 董林威 基于GM （1，1）模型的全国铁路货运量预测
摘要：本文将灰色系统理论应用于全国铁路货运量预测，建立了全国铁路货运量的
GM
（1，1）模型，并通过残差检验、关联度检验和后验差检验等方法验证模型的可行性。
该方法预测精度高、计算速度快，非常适用于全国铁路货运量预测。
关键词：灰色预测；GM （1，1）；货运量
一、 引言
铁路货运作为现代综合运输体系中的重要组成部分，在煤、电、油、粮食大宗货物运输等方面发挥着不可替代的作用，因而对国民经济的增长具有重大影响。
铁路货运量是评估中国GDP 增长量的重要指标之一，并与用电量、贷款发放量一起被用于分析宏观经济形势。
这三大指标又称为“克强指数”。
所以说对全国铁路货运量进行预测分析可以间接的对我国的宏观经济的走向进行分析和整体上认识预测。
同时铁路运输是一个庞大复杂的运输系统，充满了很多确定性因素和不确定因素，利用灰色预测方法能够很好的对既含有已知信息又含有不确定信息的系统进行预测，本文利用灰色预测理论建立GM （1，1）模型对全国铁路未来几年的货运量进行预测。
二、 建模实证分析
1、
灰色预测模型
信息完全明确的系统称为白色系统，信息未知的系统称为黑色系统，部分信息明确、部分信息不明确的系统成为灰色系统。
灰色系统理论的研究对象是“部分信息已知、部分信息未知"的“小样本"、“贫信息"不确定性系统，它通过对“部分"已知信息的生产、开发实现对现实世界的确切描述和认识。
灰色预测是基于GM 模型作出的定量预测，有GM(1,1)模型、残差 模型、新陈代谢 模型、灰色Verhulst 模型、离散灰色模型等几种类型。
本文采用使用最广泛的GM(1,1)模型。
2、
GM （1，1）模型
设(0)
(0)(0)(0)(1)(1)(1)(1)((1),(2),,
,()),((1),(2),,
,())X x x x n X x x x n ==
称(0)
()()()k X
k ax k b +=为 模型的原始形式。
其中G 表示灰色(grey)，M 表示模型(Model)，第一个1表示一阶方程，第二l 表示1个变量。
GM(1，1)模型首先对原始数据进行一阶累加生成，然后利用指数曲线拟合并预测，最后通过累减还原得到预测值。
一般将原始数据序列记为(0)
X ，将一阶累加生成序列记为(1)
X。
建 模型的步骤如下： (1) 假定原始数据序列为(0)
(0)(0)(0)((1),(2),,,())X
x x x n =对原始数据序列进行一阶累
加生成(1)
(1)(1)
(1)
((1),(2),,
,())X
x x x n =其中，(1)
(0)1
()() 1,2,
,k
i X k x i k n ===∑
(2) 构造(1)Z 序列 令 (1)(1)(1)1()()(1)2x k x k x k ⎡⎤=
+-⎣
⎦，得(0)(0)(0)(0)((1),(2),,,())Z z z z n =
（3） 建立白化方程
(1)
(1)dx ax b dt
+= （4） 求参数a 和b
若[]ˆ,T
a a
b =为参数序列，且(1)(1)(1)
1
(2)121(3)121()12
z z B z n --=-， (0)(0)(0)(2)(3)()n x x Y x n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
用最小二乘法求解 []1,()T
T T n a a b B B B Y -== （5） 将白化方程离散化，微分变差分，得GM(1，1)灰微分方程
(0)(1)()()x k az k b +=
称为(1,1)GM 模型的基本形式。
（6） 白化微分方程求解
求得到微分方程的解为：
(1)(1)()((1))at b b
x t x e a a
-=-+
(1,1)GM 灰色预测模型(0)(1)()()x k az k b +=的时间响应方程为：
(1)(0)ˆ(1)((1))ak b b
x
k x e a a
-+=-+ 还原值为
(0)(1)(1)ˆˆˆ(1)(1)()x
k x k x k +=+- 其中a 为发展系数，[]2,2a ∈-，反映了(1)
ˆ()x k 及(0)ˆx 的发展态势。
b 为灰色作用量。
(1,1)GM 模型中的灰色作用量是从背景值挖掘出来的数据，它反映数据变化的关系，
其确切内涵是灰色的。
残差检验
按预测模型计算(1)ˆ()x k ，累减(1)ˆ()x
k 生成(0)
ˆ()x k ，再计算原始序列(0)
()x k 和(0)ˆ()x
k 的绝对误差和相对误差序列：
(0)(0)ˆ()()(), 1,2,,k x k x k k n =-=
(0)(0)()
()100%, 1,2,
,()
k k k n x k φ∆=⨯=
关联度检验
x0(k)与xi(k)关联系数记
，则
，称为分辨系数。
ρ越小，分辨力越大，一般ρ的取值区间为(0,1),
具体取值可视情况而定。
当 时，分辨力最好，通常取ρ = 0.5。
关联度ri 公式为
后验差检验法
后验差检验其检验步骤是：
(1) 计算原始序列均值及均方差分别为：
(0)11
1
(), S n
k x x k n =
=
=∑
(2) 计算残差均值及均方差分别为：
(0)(0)21
1
()(), n
k k k S n =∆=
∆=∑
(3) 计算后验差比值：2
1
S C S =
(4) 1(()0.6745)p P k S εε=-<称为小误差概率。
等级说明: C 值越小越好，即1S 较0S 小得多，表示原始数据离散大，而预测误差离散性小，则预测精度高；P 越大越好，即小误差的概率大，直接表示拟合精度较高。
若残差检验、关联度检验、后验差检验都能通过，则可以用其模型进行预测，否则进行残差修正。
3、 应用GM （1，1）模型预测全国铁路货运量
3.1模型建立
本文所选取的数据为2008年到2012年的目前最新的全国铁路货运量数据，数据来源国家统
则原始序列(0)X =（330354，333348，364271，393263，392863） 对其做一次累加得累加序列(1)
X
=（330354，663702，1027973，1421236，1814099）
由matlab 软件计算得矩阵B 为
所得的a 、b 结果如上右图即a=-0.055，b=313410
所得的灰色预测模型为
0806.57008330806.6031187)1()1(055.0-=+∧
k e k X
3.2模型检验
，说明检验等级为一级好，小误差概率为1>0.95检验等级也为一级好。
关联系数如下表
则关联度r=（1+0.4597+0.6063+0.3333+0.4120）/5=0.56
r=0.56基本满足ρ=0.5时r>0.6的检验满意度的。
综上所以检验都满足，说明模型的预测精度可靠，可用于全国铁路货运量的预测。
另外，-a=0.055<0.3，说明本模型可用于中长期预测。
3.3全国铁路货运量预测
依据模型对全国2013——2016年铁路货运量的预测如下表。
2013 424700
2014 448702
三、结论
从预测结果来看，我国未来几年铁路货运量还会持续增长，但是增速将会放缓。
这与我国的现实国情是基本相一致的。
虽然我国在2012年的时候铁路货运量相比2011年略有下降，但全社会的货运量并没有下降，民航和公路的运量同比是上升的。
1至5月铁路上非控股合资公司和地方铁路的货运量同比也是上升的，下滑的主因是国家铁路不能很快适应经济结构、货物结构的调整。
而目前我国整体经济正处于转型期，产业结构正在大力调整和升级，这个调整阶段出现短期小幅度下降也是正常的，而且短期内应该会一直处于缓慢上涨阶段。
但是从中长期来看，铁路货运量在经过一段时间的缓慢上涨或者间断的小幅下降后还会恢复到平稳上涨阶段。
参考文献：杨名桂，杨晓霞。
基于灰色预测模型的重庆市入境旅游客流量预测。
西南师范大学学报（自然科学版）2010
何国华。
区域物流需求预测及灰色预测模型的应用。
北京交通大学学报（社会科
学版）2008。