传染病模型马尔萨斯人口预测模型
人口预测模型
为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。
本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。
一般生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究，大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自行建立相应的模型。
美丽的大自然种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的。
离散化为连续，方便研究§3.2Malthus 模型与Logistic 模型模型1马尔萨斯（Malthus ）模型马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口净增长率r 基本上是一常数，（r =b -d ,b 为出生率，d 为死亡率），既：1dN r N dt =dN rN dt =或（3.5）0()0()r t t N t N e -=（3.6）（3.1）的解为：其中N 0=N (t 0)为初始时刻t 0时的种群数。
马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时间是固定的。
令种群数量翻一番所需的时间为T ，则有：002rTN N e =ln 2T r =故模型检验比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，1961年世界人口数为30.6 （即3.06×109），人口增长率约为2%，人口数大约每35年增加一倍。
检查1700年至1961的260年人口实际数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数量每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。
19502000205021002150220000.511.522.533.5x 1011t/年N /人马尔萨斯模型人口预测模型预测假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式增长。
例如，到2510年，人口达2×1014个，即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围，而到2670年，人口达36×1015个，只好一个人站在另一人的肩上排成二层了。
马尔萨斯模型公式
马尔萨斯模型公式
经济学家托马斯·罗伯特·马尔萨斯提出的模型
马尔萨斯模型来自于英国经济学家托马斯·罗伯特·马尔萨斯于1798 年发表的《人口原理》。
在书中马尔萨斯指出，人口按几何级数增长，而生活资源只能按算术级数增长，二者之间的矛盾导致饥荒、战争和疾病的周期性爆发。
马尔萨斯人口论的提出有其一定的历史背景和历史局限性。
现在用马尔萨斯模型通常指人口的指数增长。
马尔萨斯的人口理论的主要观点、历史背景在词条“马尔萨斯主义”中有较为详细的阐述。
本词条主要从数学模型的角度去论述。
马尔萨斯的人口论指出：在没有生存资源限制的情况下，人口或生物种群的数量成指数增长。
例如：用一个公比为 2 的等比数列的模型，人口的增长规律是1，2，4，8，16，32，64，128，256，……
而用斐波那契数列的模型（公比为黄金分割比(1+√5)/2 ≈1.618），人口的增长规律是
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……
这些模型的共同特征是人口数量在单位时间内增长的百分比r 是一定的。
写成一个微分方程的形式，设t = 0 时刻的人口数量为N0，则t 时刻的总人口Nt 满足马尔萨斯认为，人口长期不受控制的指数增长的速度十分惊人，生存资源的增长速度将无法满足众多人口的生存需
要，从而产生一系列人口问题，严重时甚至会爆发饥荒、战争和疾病来除去资源与环境无法承受的过剩人口。
马尔萨斯模型公式推导
马尔萨斯模型公式推导
马尔萨斯模型是一个经济学模型，用于描述人口增长率和资源增长率之间的关系。
该模型由英国经济学家托马斯·马尔萨斯于1798年提出。
马尔萨斯模型的公式推导从初始人口数开始。
假设初始人口数为P0，人口增长率为r，资源增长率为g，时间为t。
则在t时刻，人口数Pt可以表示为：
Pt = P0 * (1 + r)^t
而资源数Gt可以表示为：
Gt = G0 * (1 + g)^t
其中，G0为初始资源数。
由于人口增长率和资源增长率之间存在负相关关系，因此可以将r和g的关系表示为：
r = a - b * Gt
其中，a为初始人口增长率，b为反映资源枯竭程度的常量。
将r代入Pt的公式中，得到：
Pt = P0 * (1 + a - b * Gt)^t
这就是马尔萨斯模型的公式。
它描述了人口增长率随着资源增长率的减少而减缓的过程。
在模型中，当资源增长率为零时，人口增长率将趋于零，即人口数量将达到一个稳定值。
当然，这只是马尔萨斯模型的简化版，实际情况往往更加复杂。
但是，该模型为我们理解人口增长与资源消耗之间的关系提供了一个基础框架。
如何使用马尔可夫模型进行传染病传播模拟(六)
传染病传播模拟一直是流行病学研究的重要内容之一。
其中，马尔可夫模型被广泛应用于传染病传播的模拟和预测，其简单而有效的特性使其成为研究传染病传播的重要工具。
本文将介绍如何使用马尔可夫模型进行传染病传播模拟，并探讨其在实际中的应用。
1. 马尔可夫模型简介马尔可夫模型是一种随机过程模型，其基本假设是未来状态只依赖于当前状态，与过去状态无关。
这种假设使得马尔可夫模型在描述具有短期依赖性的系统时具有很好的效果。
在传染病传播模拟中，人口的感染状态可以被看作是一个马尔可夫过程，即未来的感染状态只依赖于当前的感染状态。
这使得马尔可夫模型成为了研究传染病传播的理想选择。
2. 传染病传播模型传染病传播模型通常分为个体模型和群体模型两种。
个体模型侧重于研究单个个体的感染状态和传播过程，通常使用微分方程或Agent-based模型进行描述。
群体模型则更注重于整个人群的感染状态和传播过程，常常使用差分方程或概率模型进行描述。
马尔可夫模型可以被视为群体模型的一种，通过概率转移矩阵描述了不同感染状态之间的转移概率，从而模拟了整个人群的感染传播过程。
3. 马尔可夫链在传染病传播模拟中，感染状态通常可以被划分为健康、潜伏期、感染期和免疫四类。
马尔可夫链则可以描述这些状态之间的转移概率。
假设当前时刻人群中健康人的比例为S，潜伏期感染者的比例为E，感染期感染者的比例为I，免疫者的比例为R，则可以用状态转移图表示不同状态之间的转移关系。
通过构建状态转移矩阵，可以描述不同状态之间的转移概率，从而进行传染病的传播模拟。
4. 应用案例马尔可夫模型在传染病传播模拟中有着广泛的应用。
以新冠疫情为例，研究人员可以利用马尔可夫模型来模拟病毒的传播过程，预测疫情的发展趋势和人群的感染风险。
通过对不同防控策略下的传播模拟，政府和公共卫生部门可以制定更加科学和有效的防控措施，从而降低疫情的传播风险。
此外，马尔可夫模型还可以用于评估疫苗接种策略的效果，帮助决策者制定最佳的疫苗接种计划。
常微分方程课程简介
电容: Q C
基尔霍夫(Kirchhoff)第二定律：
在闭合回路中，所有支路上的电压的代 数和等于零。
例1 R-L-C 电路 电路1图(1.1)
回路中设R、L及电源
电压E为常数。
当开关S合上后，存在关系式:
E L d I RI 0 dt
即 dI RI E dt L L
数学分析中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过 程中量与量之间的一种关系，但是在大量的实际问题中遇到 稍为复杂的一些运动过程时，反映运动规律的量与量之间的 关系 (即函数)往往不能直接写出来，却比较容易建立这些变 量和它们的导数(或微分)间的关系式.
微分方程是数学中的古老分支之一．它与动力系统紧密相 关并有重要应用价值．如分支问题、混沌问题、非线性振动的 复杂性，以及常微分方程与其他学科的关联问题．
Lorenz方程:
dx dt
a(
y
x),
d y
d
t
xz
cx
y,
dz d t
xy
bz.
其中参数a=10,b=8/3,c=28.
传染病模型: 长期以来,建立传染病的数学 模型来描述传染病的传播过程,一直是各国有关专 家和官员关注的课题.人们不能去做传染病传播的 试验以获取数据,所以通常主要是依据机理分析的 方法建立模型.
常微分方程课程简介
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和 现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学理论和方法。物 理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中 的许多原理和规律都可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运 动定律、万有引力定律、能量守恒定律、人口发展规律、生态 种群竞争、疾病传染、遗传基因变异、股票的涨伏趋势、利率 的浮动、市场均衡价格的变化等，对这些规律的描述、认识和 分析就归结为对相应的常微分方程描述的数学模型的研究。因 此，常微分方程的理论和方法不仅广泛应用于自然科学，而且 越来越多的应用于社会科学的各个领域。
马尔萨斯定律与人口增长模型
马尔萨斯生物定律与人口增长模型马尔萨斯生物总数增长定律指出：在孤立的生物群体中，生物总数)(t N 的变化率与生物总数成正比，其数学模型为⎪⎩⎪⎨⎧==00)()()(N t N t rN dt t dN （1） 其中r 为常数. 方程（1）的解为)(00)(t t r e N t N -=（2）因此，遵循马尔萨斯生物总数增长定律得任何生物都是随时间按指数方式增长，在此意义下，马尔萨斯方程（1）又称指数增长模型。
人作为特殊的生物总群，人口的增长也应满足马尔萨斯生物总数增长定律，此时的（1）式称为马尔萨斯人口方程。
英国人口学家马尔萨斯根据百余年的人口统计资料，于1798年提出了人口指数增长模型。
根据国家统计局1990年10月30日发布的公告，1990年7月1日我国人口总数为11.3368亿，今年的人口平均增长率为14.8‰. 假设人口的增长率保持不变，那么2000年我国的人口数量将达到13.45亿。
事实上，将 0148.0,2000,19900===r t t 代入到（2）式得45.133368.11)()19902000(0148.0==-e t N （亿）显然根据马尔萨斯人口方程预测2000年我国人口数量与全国第五次人口普查公报公布的12.9533亿，相差较大。
造成误差过大的主要原因是人口的增长率r 不是常数，它是随时间而变化的，很多试验和事实也证明r 是时变的。
为此修改马尔萨斯人口方程为⎪⎩⎪⎨⎧=--=000)()())(()(N t N t N t t B A dt t dN (3) 其中)()(0t t B A t r r --==为时变人口增长率，B A ,为定常参数。
求解微分方程（3），得其特解为200)(21)(0)(t t B t t A e N t N ---=（4）要利用（4）式对人口进行预测，首先应估计参数B A ,。
第三次人口普查结果（1982年）：我国人口总数为10.3188亿，人口增长率为2.10%；第四次人口普查结果（1990年）：我国人口总数为11.3368亿，人口增长率为1.48%；第五次人口普查结果（2000年）：我国人口总数12.9533亿，人口增长率为1.07%。
马尔萨斯模型公式马尔萨斯模型
马尔萨斯模型公式马尔萨斯模型马尔萨斯模型人类社会进入21世纪以来，在科学技术和生产力飞速发展的同时，世界人口也空前的规模增长。
我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有一个中成富强民主文明的社会主义国家的想需要，而且对全人类社会的美好理想来说，也是义不容辞的责任。
认识人口数量的变化规律，建立人口模型，做出准确的预报，是有效控制人口增长的前提。
年1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 人口 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 年1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 人口38.6 50.2 62.9 76 92 10.6.5 123.2 131.7 年1950 1960 1970 1980 1990 2000 人口150.7 179.3 204 226.5 251.4 281.4 表1 美国人口统计数据1）马尔萨斯模型最简单的人口模型是人所共知的：记今年人口为x0，k年后人口为xk，年增长率为r，则xk x0(1 r)k （1）显然，这个公式的基本条件是年利率r保持不变。
模型建立记时刻t的人口为x t，当考察一个国家或一个较大地区的人口时，x t是一个较大的整数。
为了利用积分这一数学工具，将x t视为连续、可微函数。
记初始时刻（t=0）的人口为x0。
假设人口增长率为常数r，即单位时间内x t的增量等于x t乘以r。
考虑到t到t t时间内的增量，显然有x t t x t rx t t令 t 0，得到x t满足微分方程dx rx，x 0 x0 （2）dt由这个方程容易解出x t x0ert （3）R>0时（3）式表示人口将按指数规律时间无限增长，称为指数增长模型。
参数估计（3）的参数r和x0可以用表1的数据估计。
为了用简单的线性最小二乘法，将（3）事取对数，可得y rt a，y lnx，a lnx0 （4）以1790年至1900年的数据拟合（4）式，用MATLAB软件计算可得r=0.2743/10年，x0=4.1884。
02-2.2 马尔萨斯人口模型
02 马尔萨斯人口模型 蒂莫西·高尔斯在《数学》里也讨论了人口预测 问题：“人口可以表示为一组数对
其中 t 表示时间，P(t)表示时刻 t 的人口规模。另外 我们要用到两个数 b 和 d 来表示出生率和死亡 率。”
02 马尔萨斯人口模型 假如2002年初人口总数是 p, 则2002年出生的人数和死亡的人数就分别 是 bp 和 dp, 所以2003年初的人口总数将是
02 马尔萨斯人口模型
P(t) P0er(tt0 )
人口数量确实是时间变量的指数函数， 因此是指数增长的哦！！
02 马尔萨斯人口模型
马尔萨斯模型验证相当严谨
现实的问题
表达为数学模型
分析、求解模型 问题的解决方案
11
02 马尔萨斯人口模型
模型简单，可以解决当时的问题 但不能解决今天的问题
这里的 r 就是自然增长率。这个模型是离散的。 我们看看连续的模型：变化在短时间发生——人的生死随时在发生！！
02 马尔萨斯人口模型
P(t dt) P(t) rP(t)dt
02 马尔萨斯人口模型
dP(t) rP(t) dt
02 马尔萨斯人口模型
P(t) P0 er(tt0)
考察时间 t 趋近于无穷大时的极限！
02 马尔萨斯人口模型
02 马尔ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ斯人口模型 在马尔萨斯的著作里并没有数学化的论述，甚为遗憾！！ 公理的表述方式，则看出欧几里得对西方文化的影响
这里我们按马尔萨斯的想法和原则，数学化这个问题
02 马尔萨斯人口模型
t 时刻的人口数量
我们的问题始终是： 1.已知当前或过去某个时刻的人口数量， 预测未来某个时刻的人口？
人口模型马尔萨斯vslogistic
本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一
下这方面离的散问化题为。连一续般，生方态系统的分析可以通过一些简单模
型的复合来研究便，研大究家若有兴趣可以根据生态系统的特征自
行建立相应的模型。
美丽的大自然
种群的数量本应取离散值，但由于种群数 量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群 数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量， 由此引起的误差将是十分微小的。
§ 4.1 Malthus模型与Logistic模型
世界人口
年
1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 哇！
人口（亿） 5
10
20 30 40 50 60
美丽的大自然
中国人口
年
1908 1933 1953 1964 1982 1990 2000
人口（亿） 3 4.7 6 7.2 10.3 11.3 12.95
求出方程的解 ——求出未知函数的解析表达式 ——利用各种数值解法、数值软件（如Matlab）求
近似解 不必求出方程的解
——根据微分方程的理论研究某些性质，或它的变 化趋势
§ 4.1 Malthus模型与Logistic模型
为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并 控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。
（4.4）
x(0) x0
增长对的(马4.种6尔)群式萨个还斯体有，模另当一型种解引群释入数，一量由过次于多空项时间（，和竞由资争于源人项都均是）资有，源限令占的有，r(率不x)的可=r下能-a降供x及养环无境限
恶化此、时疾得病到增微多等分原方因程，：出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养
的x积被m（成 称种-（x4恰正为群4..为55数比统））环量，计被可境的正筹称还d改上d好算为xtdd能L界符律xt写o供为合的gx成rim(养sx统原rt(m：ix的c计 因（rm得马(模ax就种规 。近x据r)到 尔型为 模 程 实 是)最(是x群xx律似实或)的 萨拟了 型 师 采际)简x引数是，地际生就 斯合得 ， 原 用问单或进量未得将物背是 模方题出 我 则 尽的一，总知到x景马 型法dm的一 们 。 可d形次数（函x了看t，尔 的来个 不 工 能数式增项4数实成它萨 最.求有 妨 程 简学（是6长r（，验常无）(斯 简14的实 采 师 单模常。竞.但结数法指6模 单统际 用 们 的型数）争x根果）用出x型 的计m时意 一 在 方，项的)，，筹。 改x，义 下 建 法此）支x种算对 进的工立。表总时持律（群示，4，增.当5是这）长前由就率的荷是与兰种（两数群4者学.数6的生）量乘也，
人口预测的代表人物理论和方法
人口预测的代表人物理论和方法
指数增长模型是最早的，也是最简单的人口预测增长模型，它是由英国人口学家、经济学家马尔萨斯(Thomas Robert Malthus，1766~1834)提出来的，因此也叫马尔萨斯模型。
马尔萨斯模型的缺陷是很明显的，其实马尔萨斯本人都指出来，维持人口指数增长的前提条件是资源无限供应，但这在现实生活中是不可能的。
这种情况下，我们使用的就是约束增长模型(restricted growth model)，即引入了一个叫环境容量(capacity)的常量，它表示的就是在研究的环境中所能容纳的最多的人口数量。
约束增长模型更多地适用于封闭环境下的人口增长，但事实上，随着人类科学技术的进步与生产力的发展，上面两个模型都不足以满足研究的需要。
指数增长模型虽然预言了马尔萨斯陷阱，但它没有考虑到人类科技的进步会导致生活资料也有可能呈指数增长。
而约束增长模型只考虑了剩余的增长空间，而没有意识到在人口数量很少时，其实它可以近似看成资源无限的情形。
因此，综合考虑上面两个模型，1838年，荷兰数学家Verhulst提出了第三种模型，就是所谓的逻辑斯蒂增长模型。
逻辑斯蒂增长模型是目前最为符合现实的一个增长模型，很多增长问题都是用逻辑逻辑斯蒂模型来刻画的，因此他在研究人口，种群等问题时应用得最为广泛。
在此基础上我们，还发展出来逻辑斯蒂回归等统计学方法。
9人口的预测和控制
三、人口控制
问题：如何利用人口模型控制人口数量，改善人口的 年龄结构？ 方案：分析给出一批人口指数，并建立优化某些指数 的控制论模型。
1. 离散控制模型
（1）莱斯利模型的改进
模型假设：
1. 设人的最大寿命为 m 。按年为单位将总人口 分组。 设第 t 年满 i 岁而不满 i + 1 岁的人数为 x i ( t )。
（2） Leslie 模型性质
特征值：
0 = | λI − A | =
Hale Waihona Puke λ − b0 − b1 L − bl −1 − bl − s0 λ L 0 0
0 L 0 0 L 0 L 0 L L L − s l −1 0 L
λ
= λl +1 − b0λl − s0b1λl −1 − L − bl s0 s1 L sl −1
记 x 1 ( j ) = ( x0 ( j ) , x1 ( j ) ,L , xl ( j ) )T , x 2 ( j ) = ( xl +1 ( j ) ,L , xm ( j ) )T 。 ⎤ ⎡ x 1 ( n) ⎤ ⎡ An x 1 ( 0) ∴⎢ 2 ⎥ = ⎢ ⎥ 1 n 2 ⎣ x ( n)⎦ ⎣ Bn x (0) + C x (0)⎦
i = i1 i2
x1 ( t + 1) = (1 − d 0 ( t ))(1 − d 00 ( t ))∑ bi ( t )k i ( t ) x i ( t )
i = i1
i2
记 bi ( t ) = β ( t )hi ( t ) ， 其中 hi ( t ) 称为 生育模式，满足
λk ≤ λ1
( 4)
定理 2 若莱斯利矩阵第一行有 两个相继的元素 bt ，t +1 皆 b 为正。则（4）式仅成立
马尔萨斯模型
年 龄 结 构
性 别 比 例
工 农 业 生 产 水 平
医 疗 水 平
环 境 污 染
…
指数增长模型(Malthus模型） 马尔萨斯1798年提出
基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数(r很小)
x(t) ~时刻t的人口
x(t t ) x(t ) rx(t )t
x(t t ) x(t ) rx(t ) t
长期数据拟合(1790-2000)
t=[1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000]; p=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4]; y=log(p); a=polyfit(t,y,1) r=a(1) z=polyval(a,t);
dx rx, x(0) x0 dt
rt
x(t ) x0 e
随着时间增加，人口按指数规律无限增长
美国人口数据
数据(美国人口1790-2000)
美国人口增长概况（单位：百万）
1790 3.9 1800 5.3 1810 7.2 …… 1960 …… 179.3 1970 204.0 1980 226.5 1990 251.4 2000 281.4
数学建模初步
——马尔萨斯模型
重庆大学数学与统计学院
主要内容
研究人口模型的意义 指数增长模型的建立 美国人口数据的拟合 指数增长模型的应用及局限性
对马尔萨斯人口模型的认识
对马尔萨斯人口模型的认识在西方人口史上, 马尔萨斯是一个让人无法回避的名字, 也是一个争议最多的风云人物。
马尔萨斯之所以成为焦点, 是由他的有争议作品《人口原理》引起的。
马尔萨斯的人口理论问世后, 掀起了轩然大波, 舆论哗然, 评价不一。
喝彩者有之, 咒骂者有之, 可谓毁誉参半。
赞同者对马尔萨斯的人口理论大加赞赏, 认为马尔萨斯的人口论具有很高的科学价值, 符合时代发展的潮流, 代表了社会化大生产的客观要求。
李嘉图说“ 关于马尔萨斯先生的《人口原理》, 我在这里能有机会表示赞赏, 不胜欣幸。
反对这部著作的人的攻击, 只能证明它的力量。
”批判马尔萨斯人口论的人, 往往对其阶级倾向十分关注, 认为马氏的人口理论反映了资产阶级意志为资本主义制度辩护, 学术上不具有创见性, 特别是马尔萨斯用“ 积极抑制”的方法控制人口的增长, 更成为遭到批判的口实, 因而他的人口理论被人称为“ 吃人生番的理论”。
在1798年，英国人口统计学家马尔萨斯提出了闻名于世的人口指数增长模型：rx dtdx （x 为t 时刻的人口总数，r 为自然增长率）并曾用于世界人口的预测。
200多年后的今天, 对马尔萨斯人口理论的争议依旧尘埃未定。
像人们所戏言, 他至今尚未长眠, 他的灵魂仍然到处游荡。
怎样正确评价马尔萨斯的人口理论,是一个值得探讨的问题。
一、马尔萨斯开拓了从消费领域研究人口的新渠道在马尔萨斯之前, 重商主义和古典经济学派的学者研究人口问题主要是从流通领域和生产领域中来进行。
重商主义者认为人口增加, 财富也随之增加。
英国托马斯· 曼说“ 在人数众多和技术高超的地方, 一定是商业繁荣和国家富裕的。
” 他们认为一方面人口多就能制造出更多的工业产品, 就能产生国际收支的余裕, 于是这些余裕使外国的金银流入本国, 使国家富裕, 因而人口是国家富强的源泉。
同时人口是扩展海外殖民地、掠夺财富的军队的来源, 有了强大的军队, 就会有源源不断的财富。
马尔萨斯人口模型
第二，济贫法的作用适得其反。
马尔萨斯认为，贫民是贫困的原因，摆脱贫苦的唯一方法是让大自然发挥“抑制” 的作用，强制地实现人口与事物的平衡。
1834年，英国政府根据马尔萨斯的思想撤销了1601年以来的旧济贫法，并制定了一项新济贫法，新济贫法规定：取消一切对穷人的金钱和实物救济，让贫民到习艺所进行沉重的劳动。
四．马尔萨斯人口增长模型（数学模型）马尔萨斯生物总数增长定律指出：在孤立的生物群体中，生物总数N(t)的变化率与生物总数成正比，其数学模型为马尔萨斯人口方程（数学模型）其中r为常数. 方程（1）的解为因此，遵循马尔萨斯生物总数增长定律得任何生物都是随时间按指数方式增长，在此意义下，马尔萨斯方程（1）又称指数增长模型。
人作为特殊的生物总群，人口的增长也应满足马尔萨斯生物总数增长定律，此时的（1）式称为马尔萨斯人口方程。
英国人口学家马尔萨斯根据百余年的人口统计资料，于1798年提出了人口指数增长模型。
根据国家统计局1990年10月30日发布的公告，1990年7月1日我国人口总数为11.3368亿，今年的人口平均增长率为14.8‰. 假设人口的增长率保持不变，那么2000年我国的人口数量将达到13.45亿。
事实上，2000年我国人口数量与全国第五次人口普查公报公布的12.9533亿，相差较大。
五．所得出的结论马尔萨斯根据上述基本观点引申出几点结论：①贫困和罪恶是人口规律作用的结果，而不是社会经济和政治制度造成的。
②只有私有制才能消除人口的过快增长。
③工人的工资受人口规律的支配，工资水平随人口的增减而变动。
④济贫法促使人口增长。
以上结论充分体现了马尔萨斯人口论为资本主义制度辩护的本质。
该理论以土地报酬递减规律为基础，认为由于土地报酬递减规律的作用，食物生产只能以算术级数增长，赶不上以几何级数增长的人口需要，并认为这是“永恒的人口自然规律”。
过去发生的事情将来还可能发生；人口的增长会受到贫困或其他困苦因素的遏制，除非我们以资源节制的方式，并且要过道德清白的生活，力戒早婚。
4.人口预测模型
模型的应用
(5）用逻辑模型来预测世界未来人口总数.某生物学家估计, r 0.029 ,又当人口 总数为 3.06 10 时,人口每年以 2%的速率增长,由逻辑模型得
9
1 dN N r 1 , N dt N m
即
3.06 10 9 0.02 0.029 1 Nm
9
在以后 7 年中 , 人口总数以每年 2% 的速度增长, 这样
t 0 1961, N 0 3.06109 , r 0.02 ,于是 N (t ) 3.06109 e 0.02(t 1961) .
这个公式非常准确地反映了在 1700—1961 年间世 界人口总数.因为,这期间地球上的人口大约每 35 年翻 一番,而上式断定 34.6 年增加一倍（请证明这一点） ．
模型的建立
设时刻 t 的人口为 N (t ) ,把 N (t ) 当作连续、可微函数处理 （因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化 处理）,据马尔萨斯的假设,在 t 到 t t 时间段内, 人口的增长量为
N (t t ) N (t ) rN (t )t ,
模型的建立与求解
,
从而得
N m 9.86109 ,
即世界人口总数极限值近 100 亿.
Hale Waihona Puke 型的应用人也是一种生物, 因此,上面关于人口模型的讨 论,原则上也可以用于在自然环境下单一物种 生存着的其他生物,如森林中的树木、池塘中 的鱼等, Logistic模型有着广泛的应用.
着 N (t ) 的增加而减小, 当 N (t ) N m 时 , 净增长率趋于零 , 按 此假定建立人口预测模型.
Logistic模型的建立与求解
如何使用马尔可夫模型进行传染病传播模拟(九)
马尔可夫模型是一种描述随机过程的数学模型，它广泛应用于传染病传播的模拟中。
在这篇文章中，我们将探讨如何使用马尔可夫模型进行传染病传播的模拟，并对这一模型的应用进行分析和讨论。
首先，我们需要了解什么是传染病传播模型。
传染病传播模型是一种数学模型，用于描述传染病在人群中的传播过程。
传染病传播模型可以帮助我们预测疾病的传播趋势，评估控制措施的效果，以及制定应对传染病的应急预案。
马尔可夫模型作为一种描述随机过程的数学模型，可以很好地应用于传染病传播的模拟中。
在使用马尔可夫模型进行传染病传播模拟时，我们首先需要确定状态空间。
状态空间是描述传染病传播过程中可能的状态的集合。
在传染病传播模型中，常见的状态包括易感者、感染者和康复者。
然后，我们需要确定转移概率矩阵。
转移概率矩阵描述了传染病在不同状态之间转移的概率，它是描述传染病传播过程的核心部分。
通过确定状态空间和转移概率矩阵，我们可以利用马尔可夫模型来模拟传染病在人群中的传播过程。
在实际应用中，我们可以通过收集疾病的传播数据来估计转移概率矩阵。
然后，我们可以利用马尔可夫模型来进行传染病传播的模拟。
通过模拟可以帮助我们预测疾病的传播趋势，评估不同控制措施的效果，以及制定应对传染病的应急预案。
传染病传播模拟是一种重要的工具，它可以帮助我们更好地理解传染病的传播规律，从而更有效地应对传染病的流行。
除了传染病传播模拟，马尔可夫模型还可以应用于其他领域。
例如，马尔可夫模型在金融领域可以用于股票价格的预测，帮助投资者制定投资策略。
在自然语言处理领域，马尔可夫模型可以用于语音识别和文本生成。
在生态学领域，马尔可夫模型可以用于描述生物种群的演变过程。
马尔可夫模型作为一种通用的数学模型，具有广泛的应用价值。
总之，马尔可夫模型可以很好地应用于传染病传播的模拟中。
通过确定状态空间和转移概率矩阵，我们可以利用马尔可夫模型来模拟传染病在人群中的传播过程。
传染病传播模拟是一种重要的工具，它可以帮助我们更好地理解传染病的传播规律，从而更有效地应对传染病的流行。
数学建模实例人口预报问题
数学建模实例：人口预报问题1.问题人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.表1 美国人口统计数据2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766~1834）于1798年提出. [1] 假设：人口增长率r 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.[2] 建立模型： 记时刻t=0时人口数为x 0, 时刻t 的人口为()t x ，由于量大，()t x 可视为连续、可微函数.t 到t t ∆+时间内人口的增量为：()()()t rx tt x t t x =∆-∆+于是()t x 满足微分方程：()⎪⎩⎪⎨⎧==00x x rx dt dx（1）[3] 模型求解： 解微分方程（1）得()rt e x t x 0= （2）表明：∞→t 时，()∞→t x （r>0）.[4] 模型的参数估计：要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r 进行估计，这可以用表1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.通过表中1790-1980的数据拟合得：r=0.307. [5] 模型检验：将x 0=3.9，r=0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810-1920的人口数，见表2.表2 美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较年以后的误差越来越大.分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的模型中著名的一个.3. 阻滞增长模型（Logistic 模型）[1]假设：（a ）人口增长率r 为人口()t x 的函数()x r （减函数），最简单假定()0, ,>-=s r sx r x r （线性函数），r 叫做固有增长率.（b ）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量m x . [2]建立模型： 当mx x =时，增长率应为0，即()m x r =0，于是m x rs =，代入()sxr x r -=得：()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=m x x r x r 1 （3）将（3）式代入（1）得：模型为： ()⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=001xx x x x r dt dx m （4）[3] 模型的求解： 解方程组（4）得()rt m me x x x t x -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=110 （5）根据方程（4）作出x dtdx~ 曲线图，见图1-1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x~t 曲线，见图1-2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.[4] 模型的参数估计：利用表1中1790-1980的数据对r 和x m 拟合得：r=0.2072, x m =464. [5] 模型检验：将r=0.2072, x m =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800-1990的人口数，见表3第3、4列.也可将方程（4）离散化，得)())(1()()()1(t x x t x r t x x t x t x m-+=∆+=+ t=0,1,2,… (6) 用公式（6）预测1800-1990的人口数，结果见表3第5、6列.表3 美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较图1-2 x~t 曲线现应用该模型预测人口.用表1中1790-1990年的全部数据重新估计参数，可得r=0.2083, x m=457.6. 用公式（6）作预测得：x(2000)=275; x(2010)=297.9.也可用公式（5）进行预测.。
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数学建模常用模型方法总结
无约束优化
线性规划连续优化
非线性规划
整数规划离散优化
组合优化
数学规划模型多目标规划
目标规划
动态规划从其他角度分类
网络规划
多层规划等…
运筹学模型
（优化模型）
图论模型存
储论模型排
队论模型博
弈论模型
可靠性理论模型等…
运筹学应用重点:①市场销售②生产计划③库存管理④运输问题⑤财政和会计⑥人事管理⑦设备维修、更新和可靠度、项目选择和评价⑧工程的最佳化设计⑨计算器和讯息系统⑩城市管理
优化模型四要素：①目标函数②决策变量③约束条件
④求解方法(MATLAB--通用软件LINGO--专业软件)
聚类分析、
主成分分析
因子分析
多元分析模型判别分析
典型相关性分析
对应分析
多维标度法
概率论与数理统计模型
假设检验模型
相关分析
回归分析
方差分析
贝叶斯统计模型时间序列分析模型决策树
逻辑回归
传染病模型马尔萨斯人口预测模型微分方程模型人口预
测控制模型
经济增长模型Logistic 人口预测模型
战争模型等等。
灰色预测模型
回归分析预测模型
预测分析模型差分方程模型
马尔可夫预测模型
时间序列模型
插值拟合模型
神经网络模型
系统动力学模型(SD)
模糊综合评判法模型
数据包络分析
综合评价与决策方法灰色关联度
主成分分析
秩和比综合评价法
理想解读法等
旅行商(TSP)问题模型
背包问题模型车辆路
径问题模型
物流中心选址问题模型
经典NP问题模型路径规划问题模型
着色图问题模型多目
标优化问题模型
车间生产调度问题模型
最优树问题模型二次分
配问题模型
模拟退火算法(SA)
遗传算法(GA)
智能算法
蚁群算法(ACA)
(启发式)
常用算法模型神经网络算法
蒙特卡罗算法元
胞自动机算法穷
举搜索算法小波
分析算法
确定性数学模型三类数学模型随机性数学模型
模糊性数学模型。