第二章_基础知识_B5
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B5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性 思考题：按量纲齐次性原理，单位质量流体元能 量守恒形式的伯努利方程
V2 gz ( ) 常数 2
中第三项的形式应该为：（ ）
（A ）
（B） （C）
p g p g p
；
； 。
B5.2 量纲分析与 П定理 量纲分析主要用于分析物理现象中的未知规律， 通过对相关的物理量做量纲幂次分析，将它们组合成 无量纲量，揭示他们间内在关系，并降低变量数目。
8 5/ 2 Q 2 g (tg )h 15 2
Q ( , g , h, )
2．选择基本量（3个）：ρ, g, h
例题B5.2.2A 三角堰流量计：量纲分析解与解析解比较
3．列П表达式（2个），并求解П数 ① П1=ρa g bh cQ M 0 L0 T 0 = ( M L – 3 ) a ( L T – 2 ) b L c ( L 3 T – 1 )
主讲教师：孙 雷 宗智
船舶工程学院
B5 量纲分析与相似原理
B5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
B5.2 量纲分析与 定理 B5.3 流动相似与相似准则 B5.4 相似准则数的确定 B5.5 常用的相似准则数
B5.6 模型实验与相似原理
B5 量纲分析与相似原理
实验研究是流体力学研究方法中的重要组成部分。量 纲分析和相似原理是关于如何设计和组织实验，如何选择 实验参数，如何处理实验数据等问题的指导性理论。
M 0 L 0 T 0 = ( M L – 3 ) a ( L T –1 ) b L c ( M L – 1 T – 1 )
M : a 1 0 L : 3a b c 1 0 T : b 1 0
解得：a = b = c = -1
1 2 Vd Re
3
④ П4 =ρa V bd c l (同上)
d
(相对粗糙度)
l 4 d
（几何比数）
例题B5.2.2 粗糙管中的粘性流动：量纲分析
5．列П数方程
1 f ( 2 , 3, 4 )
p 1 V 2 2 f ( Re,
即
l
, ) d d
或
1 l 2 p V f ( Re , , ) 2 d d
B5.2.2 量纲分析法
（2）量纲分析的结果主要用于指导实验。上例中原来有5 个变量，若通过实验确定FD=(, V, d, )式中的，按每个 变量改变10次获得一条实验曲线计算，共需104次实验，而 且其中要改变10次和，实际上难以实现。经量纲分析后 变量减少为2个，为确定函数关系f只需要10次实验，而且通 过改变速度（V）便可实现。
(雷诺数)
例题B5.2.2 粗糙管中的粘性流动：量纲分析
③ П3 =ρa V bd cε
M 0 L 0 T 0 = ( M L – 3 ) a ( L T –1 ) b L c L
M : a 0 L : 3a b c 1 0 T : b 0
解得：a = b =0, c = -1
B5.2.2 量纲分析法
思考题：对光滑圆球在粘性流体中的定常运动问题做实验，
按量纲分析后的П数方程 ，只要画
一根曲线就能说明各物理量之间的关系。若按量纲
分析前的关系式FD=(, V, d, )为了全面说明各物
理量之间的定量关系应画多少根曲线：
（A） 10；
（B） 100； （C） 1000。
在未得到解析解的情况下，只要根据导出式在保证h不变的条件下改变 若 干次，分别测量Q值，可得f ()的经验式。事实上对一孔口角已确定的三 角堰，导出式已明确地表达了Q与h的理论关系，需要做的仅仅是通过实验 对该理论结果作粘性校正和流量标定，在这里量纲分析结果与解析解起同 样的作用。
B5.3 流动相似与相似准则 B5.3.1 流动相似
第二步: 选择包含不同基本量纲的物理量为基本量（3个） 本例中 包含质量量纲, d 包含长度量纲，v 包含时间量纲， 他们是相互独立的，可选作基本量。
第三步: 将其余的物理量均作为导出量，分别与以基本量 为底的指数式组成П表达式。 本例中导出量有5-3=2个：
即 FD 和 , 他们的 表达式分别为： 1 a1V b1d c1FD 1 a 2V b 2 d c 2
M : a 0 L : 3a b c 3 0 解得：a = 0, b = - 1/2, c = - 5/2 T : 2b 1 0 Q 1 5 / 2 1 / 2 h g
② П2= (弧度，无量纲)
例题B5.2.2A 三角堰流量计：量纲分析解与解析解比较
例题B5.2.2A 三角堰流量计：量纲分析解与解析解比较
不可压缩流体在重力作用下，从三角堰中定常泄流，试用量纲 分析法求泄流量的表达式，并与解析解作比较。
解：按照量纲分析的一般步骤。 1．列举物理量。(本例中忽略粘性影响) 设本例中有关物理量为Q（流量）， ρ（流体密度），g（重力加速度）， h（水位高），（孔口角，以上均 可见图），共5个，组成关系式为
4．列П数方程 П1= f (П2)
Q f ( ) 5 / 2 1/ 2 h g
或
Q f ( ) g h5 / 2
讨论： 量纲分析结果表明Q与ρ无关（尽管ρ列入有关物理量序列中），与h成5/2 次方关系。该结果与例B4.3.3中的解析式一致，解析式为
8 5/ 2 Q 2 g (tg )h 15 2
B5.2.1 П定理
B5.2.2 量纲分析法
量纲分析一般步骤 以光滑圆球在粘性流体中的运动阻力为例说明量纲分析的 一般步骤。 第一步: 列举所有相关的物理量 本例的物理量包括：
FD（阻力）, （流体密度）, d（圆球直径）, v（圆球速度）, （粘度）共5个，构成关系式
FD ( ,V , d , )
第四步: 用量纲幂次式求解每个П表达式的指数，组成П数。
1 的量纲幂次式为： M 0 L0T 0 ( ML 3 ) a1 ( LT 1 )b1 Lc1 ( MLT 2 ) M : a1 1 0 L : 3a1b1 c1 1 0 T : b 2 0 1 解得 a1 1，b1 2，c1 2
相似的概念来源于几何学。矩形的相似的条件是对应边长 成比例，称为几何相似，kl称为几何比数。
l h ' kl ' l h
思考题： 有些几何图形是自然相似的，相似理论中将其称为 自模性。请指出下列图形中哪些不符合自模性：
（A ） （B ） （C ） （D ） 圆； 等边三角形； 正方形； 椭圆。
较早提议做量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh, 1877），而奠定量纲分析理论基础的是白金汉(E. Buckingham,1914），他提出了П定理。
B5.2.1 П定理
П定理指出： 若一方程包含 n 个物理量，每个物理量的 量纲均由 r 个独立的基本量纲组成，则这些物理量可以并 只可以组合成 n-r 个独立的无量纲量，称为 П数。 在流体力学中独立的基本量纲一般为r=3。设原来的方程为
M : a 1 0 L : 3a b c 1 0 T : b 2 0
解得：a = -1, b = -2, c = 0
1
p 1 V 2 2
Eu
（欧拉数，1/2是人为加上去的）
例题B5.2.2 粗糙管中的粘性流动：量纲分析
② П2 =ρa V bd cμ
p ( ,V , d , , , l )
2．选择基本量（3个）：ρ、V、d
例题B5.2.2 粗糙管中的粘性流动：量纲分析
3．列П表达式（应该有7-3 = 4个，本步与下一步合并） 4．求解П数
① П1=ρa V bd cΔp M 0 L 0 T 0 = ( M L – 3 ) a ( L T – 1 ) b L c ( M L –1 T – 2 )
例题B5.2.2 粗糙管中的粘性流动：量纲分析
设不可压缩牛顿粘性流体在一内壁粗糙直圆管中作定常流动， 试用量纲分析法分析沿管道的压强降低与相关物理量的关系。 解：按照量纲分析的一般步骤。 1. 列举物理量。
设本例中有关物理量为Δp（压强降低），V（平均速度）， d（圆管直径），ε（壁面粗糙度，即壁面上粗糙凸起的平 均高度），ρ（流体密度），μ（流体的粘度系数），l （管长度），共7个，组成关系式为
主要内容：物理方程的量纲齐次性，π定理与量纲分
析法，流动相似与相似准则，相似准则的确定，常用的相 似准则数、相似原理与模型实验。
重点：（1）量纲齐次性原理；
（2） π 定理和量纲分析； （3）常用的相似准则； （4）相似原理与模型实验。
B5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性 物理量的类别和量纲
x1 g ( x2 , x3 , ... , xn )
经量纲分析后， n个变量可组合成n-3个独立的 П 数，构成 新的方程
1 f (2 , 3 , ... , n-r )
П定理还指出： 选择 r 个独立的物理量为基本量，将其余 n-r 个物理量作为导出量，依次对基本量做组合量纲分析， 可求得相互独立的 n-r 个П数。
(Re 为雷诺数)
第五步: 用П数构成新的方程。
本例中 1 f ( 2 ) 即 FD CD f (Re) 2 2 V d FD V 2 d 2 f (Re)
简要说明
（1）量纲分析法看起来简洁明了，要正确应用却并不容易 ，关键在第一步。若遗漏了必需的物理量将导致错误结果， 而引入无关的物理量将使分析复杂化。要正确选择物理量需 掌握必要的流体力学知识和对研究对象的感性认识，并具有 一定的量纲分析经验。
B5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
量纲齐次性原理 物理方程中各项的量纲幂次式相等，称为物理方程 的量纲齐次性。 以单位体积流体元能量守恒形式的伯努利方程为例
1 2 v gz p 常数 （沿流线） 2
方程左端各项的量纲分别为
1 2 dim ( v ) ( ML3 )( LT 1 ) 2 ML1T 2 2 dim ( gz ) ( ML3 )( LT 2 ) L ML1T 2 dim p ML1T 2
B5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
物理量（单位）的类别称为量纲，用dim表示。 基本量的量纲称为基本量纲，在国际单位制中基本量纲有 三个，记为：
dim m M , dim l L, dim t T
任何导出量的量纲均可用基本量纲的幂次表示，称为量 纲幂次式。
虽然物理量的类别与单位制无关，但量纲幂次式却只有 在确定的单位制中才有意义。
B5.2.2 量纲分析法
1 FD CD 2 2 V d (CD 称为阻力系数)
2 的量纲幂次式为： M 0 L0T 0 ( ML 3 ) a 2 ( LT 1 )b2 Lc 2 ( ML1T 1 ) M : a2 1 0 L : 3a 2 b2 c2 - 1 0 T : b 1 0 2 解得 a2 1，b2 1，c2 1 1 2 Vd Re
B5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
量纲齐次性原理
可以确定，方程右端常数的量纲为：
dim (常数) ML1T 2
量纲齐次性原理表明：在一流动现象中各相关物理量可组 成若干个量纲齐次的组合群，它反映了该流动现象中各相 关物理量在量纲上的相互制约关系，这是对一流动现象中 相关的物理量做量纲分析的物理基础。
B5.3.1 流动相似
几何相似：所有对应的尺度（包括边界上和流动空间 内）成比例，所有对应的方向相同，夹角和方位相同。
r s c ' ' kl (几何比数 ) ' r s c
运动相似：所有对应点的速度方向一致，大小成比例。
v U ' kv (速度比数 ) ' v U
B5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性 思考题：按量纲齐次性原理，单位质量流体元能 量守恒形式的伯努利方程
V2 gz ( ) 常数 2
中第三项的形式应该为：（ ）
（A ）
（B） （C）
p g p g p
；
； 。
B5.2 量纲分析与 П定理 量纲分析主要用于分析物理现象中的未知规律， 通过对相关的物理量做量纲幂次分析，将它们组合成 无量纲量，揭示他们间内在关系，并降低变量数目。
8 5/ 2 Q 2 g (tg )h 15 2
Q ( , g , h, )
2．选择基本量（3个）：ρ, g, h
例题B5.2.2A 三角堰流量计：量纲分析解与解析解比较
3．列П表达式（2个），并求解П数 ① П1=ρa g bh cQ M 0 L0 T 0 = ( M L – 3 ) a ( L T – 2 ) b L c ( L 3 T – 1 )
主讲教师：孙 雷 宗智
船舶工程学院
B5 量纲分析与相似原理
B5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
B5.2 量纲分析与 定理 B5.3 流动相似与相似准则 B5.4 相似准则数的确定 B5.5 常用的相似准则数
B5.6 模型实验与相似原理
B5 量纲分析与相似原理
实验研究是流体力学研究方法中的重要组成部分。量 纲分析和相似原理是关于如何设计和组织实验，如何选择 实验参数，如何处理实验数据等问题的指导性理论。
M 0 L 0 T 0 = ( M L – 3 ) a ( L T –1 ) b L c ( M L – 1 T – 1 )
M : a 1 0 L : 3a b c 1 0 T : b 1 0
解得：a = b = c = -1
1 2 Vd Re
3
④ П4 =ρa V bd c l (同上)
d
(相对粗糙度)
l 4 d
（几何比数）
例题B5.2.2 粗糙管中的粘性流动：量纲分析
5．列П数方程
1 f ( 2 , 3, 4 )
p 1 V 2 2 f ( Re,
即
l
, ) d d
或
1 l 2 p V f ( Re , , ) 2 d d
B5.2.2 量纲分析法
（2）量纲分析的结果主要用于指导实验。上例中原来有5 个变量，若通过实验确定FD=(, V, d, )式中的，按每个 变量改变10次获得一条实验曲线计算，共需104次实验，而 且其中要改变10次和，实际上难以实现。经量纲分析后 变量减少为2个，为确定函数关系f只需要10次实验，而且通 过改变速度（V）便可实现。
(雷诺数)
例题B5.2.2 粗糙管中的粘性流动：量纲分析
③ П3 =ρa V bd cε
M 0 L 0 T 0 = ( M L – 3 ) a ( L T –1 ) b L c L
M : a 0 L : 3a b c 1 0 T : b 0
解得：a = b =0, c = -1
B5.2.2 量纲分析法
思考题：对光滑圆球在粘性流体中的定常运动问题做实验，
按量纲分析后的П数方程 ，只要画
一根曲线就能说明各物理量之间的关系。若按量纲
分析前的关系式FD=(, V, d, )为了全面说明各物
理量之间的定量关系应画多少根曲线：
（A） 10；
（B） 100； （C） 1000。
在未得到解析解的情况下，只要根据导出式在保证h不变的条件下改变 若 干次，分别测量Q值，可得f ()的经验式。事实上对一孔口角已确定的三 角堰，导出式已明确地表达了Q与h的理论关系，需要做的仅仅是通过实验 对该理论结果作粘性校正和流量标定，在这里量纲分析结果与解析解起同 样的作用。
B5.3 流动相似与相似准则 B5.3.1 流动相似
第二步: 选择包含不同基本量纲的物理量为基本量（3个） 本例中 包含质量量纲, d 包含长度量纲，v 包含时间量纲， 他们是相互独立的，可选作基本量。
第三步: 将其余的物理量均作为导出量，分别与以基本量 为底的指数式组成П表达式。 本例中导出量有5-3=2个：
即 FD 和 , 他们的 表达式分别为： 1 a1V b1d c1FD 1 a 2V b 2 d c 2
M : a 0 L : 3a b c 3 0 解得：a = 0, b = - 1/2, c = - 5/2 T : 2b 1 0 Q 1 5 / 2 1 / 2 h g
② П2= (弧度，无量纲)
例题B5.2.2A 三角堰流量计：量纲分析解与解析解比较
例题B5.2.2A 三角堰流量计：量纲分析解与解析解比较
不可压缩流体在重力作用下，从三角堰中定常泄流，试用量纲 分析法求泄流量的表达式，并与解析解作比较。
解：按照量纲分析的一般步骤。 1．列举物理量。(本例中忽略粘性影响) 设本例中有关物理量为Q（流量）， ρ（流体密度），g（重力加速度）， h（水位高），（孔口角，以上均 可见图），共5个，组成关系式为
4．列П数方程 П1= f (П2)
Q f ( ) 5 / 2 1/ 2 h g
或
Q f ( ) g h5 / 2
讨论： 量纲分析结果表明Q与ρ无关（尽管ρ列入有关物理量序列中），与h成5/2 次方关系。该结果与例B4.3.3中的解析式一致，解析式为
8 5/ 2 Q 2 g (tg )h 15 2
B5.2.1 П定理
B5.2.2 量纲分析法
量纲分析一般步骤 以光滑圆球在粘性流体中的运动阻力为例说明量纲分析的 一般步骤。 第一步: 列举所有相关的物理量 本例的物理量包括：
FD（阻力）, （流体密度）, d（圆球直径）, v（圆球速度）, （粘度）共5个，构成关系式
FD ( ,V , d , )
第四步: 用量纲幂次式求解每个П表达式的指数，组成П数。
1 的量纲幂次式为： M 0 L0T 0 ( ML 3 ) a1 ( LT 1 )b1 Lc1 ( MLT 2 ) M : a1 1 0 L : 3a1b1 c1 1 0 T : b 2 0 1 解得 a1 1，b1 2，c1 2
相似的概念来源于几何学。矩形的相似的条件是对应边长 成比例，称为几何相似，kl称为几何比数。
l h ' kl ' l h
思考题： 有些几何图形是自然相似的，相似理论中将其称为 自模性。请指出下列图形中哪些不符合自模性：
（A ） （B ） （C ） （D ） 圆； 等边三角形； 正方形； 椭圆。
较早提议做量纲分析的是瑞利（L.Reyleigh, 1877），而奠定量纲分析理论基础的是白金汉(E. Buckingham,1914），他提出了П定理。
B5.2.1 П定理
П定理指出： 若一方程包含 n 个物理量，每个物理量的 量纲均由 r 个独立的基本量纲组成，则这些物理量可以并 只可以组合成 n-r 个独立的无量纲量，称为 П数。 在流体力学中独立的基本量纲一般为r=3。设原来的方程为
M : a 1 0 L : 3a b c 1 0 T : b 2 0
解得：a = -1, b = -2, c = 0
1
p 1 V 2 2
Eu
（欧拉数，1/2是人为加上去的）
例题B5.2.2 粗糙管中的粘性流动：量纲分析
② П2 =ρa V bd cμ
p ( ,V , d , , , l )
2．选择基本量（3个）：ρ、V、d
例题B5.2.2 粗糙管中的粘性流动：量纲分析
3．列П表达式（应该有7-3 = 4个，本步与下一步合并） 4．求解П数
① П1=ρa V bd cΔp M 0 L 0 T 0 = ( M L – 3 ) a ( L T – 1 ) b L c ( M L –1 T – 2 )
例题B5.2.2 粗糙管中的粘性流动：量纲分析
设不可压缩牛顿粘性流体在一内壁粗糙直圆管中作定常流动， 试用量纲分析法分析沿管道的压强降低与相关物理量的关系。 解：按照量纲分析的一般步骤。 1. 列举物理量。
设本例中有关物理量为Δp（压强降低），V（平均速度）， d（圆管直径），ε（壁面粗糙度，即壁面上粗糙凸起的平 均高度），ρ（流体密度），μ（流体的粘度系数），l （管长度），共7个，组成关系式为
主要内容：物理方程的量纲齐次性，π定理与量纲分
析法，流动相似与相似准则，相似准则的确定，常用的相 似准则数、相似原理与模型实验。
重点：（1）量纲齐次性原理；
（2） π 定理和量纲分析； （3）常用的相似准则； （4）相似原理与模型实验。
B5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性 物理量的类别和量纲
x1 g ( x2 , x3 , ... , xn )
经量纲分析后， n个变量可组合成n-3个独立的 П 数，构成 新的方程
1 f (2 , 3 , ... , n-r )
П定理还指出： 选择 r 个独立的物理量为基本量，将其余 n-r 个物理量作为导出量，依次对基本量做组合量纲分析， 可求得相互独立的 n-r 个П数。
(Re 为雷诺数)
第五步: 用П数构成新的方程。
本例中 1 f ( 2 ) 即 FD CD f (Re) 2 2 V d FD V 2 d 2 f (Re)
简要说明
（1）量纲分析法看起来简洁明了，要正确应用却并不容易 ，关键在第一步。若遗漏了必需的物理量将导致错误结果， 而引入无关的物理量将使分析复杂化。要正确选择物理量需 掌握必要的流体力学知识和对研究对象的感性认识，并具有 一定的量纲分析经验。
B5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
量纲齐次性原理 物理方程中各项的量纲幂次式相等，称为物理方程 的量纲齐次性。 以单位体积流体元能量守恒形式的伯努利方程为例
1 2 v gz p 常数 （沿流线） 2
方程左端各项的量纲分别为
1 2 dim ( v ) ( ML3 )( LT 1 ) 2 ML1T 2 2 dim ( gz ) ( ML3 )( LT 2 ) L ML1T 2 dim p ML1T 2
B5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
物理量（单位）的类别称为量纲，用dim表示。 基本量的量纲称为基本量纲，在国际单位制中基本量纲有 三个，记为：
dim m M , dim l L, dim t T
任何导出量的量纲均可用基本量纲的幂次表示，称为量 纲幂次式。
虽然物理量的类别与单位制无关，但量纲幂次式却只有 在确定的单位制中才有意义。
B5.2.2 量纲分析法
1 FD CD 2 2 V d (CD 称为阻力系数)
2 的量纲幂次式为： M 0 L0T 0 ( ML 3 ) a 2 ( LT 1 )b2 Lc 2 ( ML1T 1 ) M : a2 1 0 L : 3a 2 b2 c2 - 1 0 T : b 1 0 2 解得 a2 1，b2 1，c2 1 1 2 Vd Re
B5.1 量纲与物理方程的量纲齐次性
量纲齐次性原理
可以确定，方程右端常数的量纲为：
dim (常数) ML1T 2
量纲齐次性原理表明：在一流动现象中各相关物理量可组 成若干个量纲齐次的组合群，它反映了该流动现象中各相 关物理量在量纲上的相互制约关系，这是对一流动现象中 相关的物理量做量纲分析的物理基础。
B5.3.1 流动相似
几何相似：所有对应的尺度（包括边界上和流动空间 内）成比例，所有对应的方向相同，夹角和方位相同。
r s c ' ' kl (几何比数 ) ' r s c
运动相似：所有对应点的速度方向一致，大小成比例。
v U ' kv (速度比数 ) ' v U