部分习题的参考答案 几率波与薛定谔方程.doc
量子力学课后习题答案
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
第二章 薛定谔方程 习题
第二章 薛定谔方程 习题 (课本44页)证明在定态中，概率流密度与时间无关。
证明：当一个系统处于定态时，其波函数),(t rϕ可以写作，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Et i r t rex p )(),(φϕ于是便有，⎪⎭⎫ ⎝⎛=Et i r t rex p )(),(**φϕ根据概率流密度的定义式有，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-∇⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-∇⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∇⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∇-∇≡ϕϕϕϕϕϕϕϕψψψψt iE t iE t iE t iE m i t iE t iE t iE t iE m i m i J exp exp exp exp 2exp exp exp exp 2)(2****** 即有，)(2)(2****φφφφϕϕϕϕ∇-∇=∇-∇=mi m i J显然，在定态中概率流密度与时间无关。
从某种意义上说明上述波函数称为定态波函数是名副其实的。
—由下列两定态波函数计算概率流密度：⑴)exp(11ikr r =ϕ，⑵ )exp(12ikr r-=ϕ。
从所得结果说明1ϕ表示向外传播的球面波，2ϕ表示向内(即向原点)传播的球面波。
解：在解本题之前，首先给出一个函数f 的梯度在球坐标系下的表达式，即ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇f r e f r e r f e f r sin 1ˆ1ˆˆ ⑴ 首先求解函数1ϕ的概率流密度r ikr ikr r ikr ikr ikr r ikr e mr k r ike re e r e r ike r e e r e m i r ikr r ikr r ikr r ikr m i mi J ˆˆˆ2)exp()exp()exp()exp(2)(22221*1*111 =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛∇---∇=∇-∇=---ϕϕϕϕ可见，概率流密度1J 与r 同号，这便意味着1J的指向是向外的，即1ϕ表示向外传播的球面波。
《量子力学教程》作业题及答案--2017-2018第一学期
1、 求 一 维 线 性 谐 振 子 处 在 第 一 激 发 态 时 概 率 最 大 的 位 置 。
解：ψ 1(x ) =（
2α
π
）αxe − α
2
x2 /2
w(x ) = ψ 1(x ) =
2
2α 3
π
x 2e − α
2
x2
2 2 2 2 ∂w(x ) = 0 得 2xe − α x − 2α 2xx 2e − α x = 0 ∂x
E n x n y = E n x + E n y = (n x + 2n y + )ω
3） 对于基态， n x ,n y = 0 ， E 00 =
3 ω 是非简并的； 2
对于第一激发态，
5 n x = 1 ， E 10 = ω 是非简并的； 2 n y = 0 7 n x = 0 n x = 2 ， ， E 01 = E 20 = ω 能级是二重简并的； 2 = 1 = 0 n n y y 9 n x = 3 nx = 1 ， ，E E = = ω 是二重简并的。 30 11 n = 1 2 = 0 n y y
x < 0 0 ≤ x ≤ a 中， x > a
V0
4
的本征态，试确定此势阱的宽度 a 。
解：对于 E = −
V0
4
< 0 的情况，三个区域中的波函数分别为
ψ 1 ( x ) = 0 ψ 2 ( x ) = A sin kx ψ ( x ) = B exp(− αx ) 3
其中，
k=
n
则只有量子数 n = 1,3,5, 时， H n (0) = 0 （ n = 1,3,5, ） 则能级为 E n = ( n + 1 2 )ω
量子力学习题及答案
(7)代入(6)
csin2kk22a?dcos2k2a??kccos2k2a?
k21
kdsin2k2a
1
利用(4)、(5)，得
k1k2kasin2k2a?acos2k2a??acos2k2a?2kdsin2k2a
1
a[(
k1k2k?2k)sin2k2a?2cos2k2a]?0
1?a?0
?
2
2?
??4
??0?e?4(b?x)对于区域Ⅰ，u(x)??，粒子不可能到达此区域，故?1(x)?0
而. ????2? (u0?e)
2
0?
2
?2?①
??2? (u1?e)
3
???
2
?3?0 ②
??2?e4
???
2
?
4
?0
对于束缚态来说，有?u?e?0
∴ ????k21?2?0 k22? (u0?e)
因此k1x
??1?ae ?
3
?fe
?k
1x
由波函数的连续性，有
?1(0)??2(0),?a?d(4)
?1?(0)???2
(0),?k1a?k2c (5)??(2a)??1a
3?(2a),?k2ccos2k2a?k2dsin2k2a??k?2k2
1fe(6)
?1a
2(2a)??3(2a),?csin2k2a?dcos2k2a?fe
1???k1?1?1?2?(u0?e)?????2??k22?2?0 (2) k22?2?e?2
束缚态0＜e＜u0 ??
??3??k2
1?3?0 (3)?1x
1?ae
?k?be
?k1x
周世勋量子力学习题答案(七章全)
第一章 绪论1.1 由黑体辐射公式导出维思位移定律，能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即b T m =λ （常数），并近似计算b 的数值，准确到二位有效值。
[解]：由黑体辐射公式，频率在ν与ννd +之间的辐射能量密度为 ννπνρννd e ch d kTh 11833-=由此可以求出波长在λ与λλd +之间的能量密度λλρd )( 由于 λν/c =,λλνd cd 2+=因而有：λλπλλρλd ehcd kT hc 118)(5-=令kT hc x =所以有：11)(5-=xe Ax λρ （44558c h T k A π=常数） 由 0)(=λλρd d 有0)1(115)(254=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=λλλρd dxe e x e x A d d x x x于是，得： 1)51(=-x e x该方程的根为 965.4=x因此，可以给出，k hcxk hc T m 2014.0==λ即b T m =λ （常数）其中 k hcb 2014.0=2383410380546.110997925.21062559.62014.0--⨯⨯⨯⨯⨯=k m ⋅⨯=-310898.2[注]根据1183-=kTe ch νννπρ 可求能量密度最大值的频率：令kT h x ν=113-=xe Ax νρ （23338h c T k A π=） 0]11[3=-=ννρνd dx e Ax dx d d d x因而可得 131=⎪⎭⎫ ⎝⎛-xe x此方程的解 821.2=xh kTh kTx 821.2max ==νb T Tb '=⇒'=-1max max νν其中231062559.610380546.1821.2821.2-⨯⨯=='h k b 1910878.5-⋅︒⨯=s k这里求得max ν与前面求得的max λ换算成的m ν的表示不一致。
1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布罗意波长。
5-2量子-波函数和薛定谔方程 大学物理作业习题解答
1 2
n,1 n,3
c1
1 2
,
c3
1, 2
其它 c n 0 ,
c1
2
c2
2
1. 2
x 1 2 sin x sin 3x
2 a a
a
c1 2 c3 2 1, E
cn
2En
522 2ma2
9
2-7 设粒子在一维无限深势阱中运动，已知粒子所处的势场
Ux
0
x 0,x a 0xa
x L c,p /2x /2c E c/2c,E 1 / 2
2-3一维谐振子的基态波函数是 0 x A e a2x 2 /2 a 2 m 0 / ，试
求：(1)归一化系数A;(2)基态能E0（即零点能）（提示用哈密顿算
符作用基态波函数求E0）；(3)求 x 2 ；(4)借助不确定度关系，求
2-2原子从某一激发态向基态跃迁时,辐射的波列长度为L(相当干
长度),把L作为不确定度 x的大小，求光子的动量不确定度 p x
由E=cp计算能量不确定度 E， E正是激发态能级的宽度（所以从
具有一定能级宽度的激发态向基态跃迁时，辐射的光不是单色的),
它对应电子占据该激发态的寿命是有限的。证明： E /2 解：由 E cp , xp / 2
试求：(1)能量量子数为n的概率密度；(2)距势阱内壁四分之一宽
度内发现粒子的概率；(3)n为何值时在上述区域内发现粒子的概
率最大；(4)当时该概率的极限，并说明这一结果的物理意义。
解（1） （2）
（3） （4）
P1 4
a 4
2
sin2
n卜一x
dx
0a
a
a 3a
4
第二章-波函数和薛定谔方程
n
一维定态薛定谔方程的几个定理 第5*节——一维定态薛定谔方程的几个定理 5*节 一维 一维定态薛定谔方程 一维定态薛定谔方程 定理1 定理 一维束缚定态非简并 束缚态
h2 d 2 − + V ( x ) ψ ( x ) = Eψ ( x ) 2 µ dx 2
第5节 定态薛定谔方程
习题p52 2.1和2.2题 习题p52 2.1和2.2题 加 2
v 此时，薛定谔方程有分离变量型的解 此时，薛定谔方程有分离变量型的解 Ψ (r , t ) = ψ ( r ) f ( t )
r v t与r是独立变量=>E是常数=>f ( t ) ~ e − iEt / h ⇒ Ψ (r , t ) = ψ ( r )e 是独立变量=>E是常数=> => 由德布罗意关系知E是系统的能量。 由德布罗意关系知E是系统的能量。 r r − iEt / h v 为定态波函数。 定态波函数 Ψ (r , t ) = ψ ( r )e ，也称ψ (r ) 为定态波函数。 由这种波函数描述的状态， 定态——由这种波函数描述的状态，其能量为确定值。 由这种波函数描述的状态 其能量为确定值。 h2 2 r r r − ∇ + V ( r ) ψ ( r ) = Eψ ( r ) 定态薛定谔方程 定态薛定谔方程
第3(2)节 态叠加原理 3(2
为了说明干涉、衍射等现象，量子力学中假定态叠加原理成立。 为了说明干涉、衍射等现象，量子力学中假定态叠加原理成立。 线性叠加态
态叠加原理： 是系统可能的状态， 态叠加原理：如果 Ψn , n = 1,2,3,L是系统可能的状态，则它们的
Ψ = ∑ cn Ψn
n
也是系统的的一个可能状态。 也是系统的的一个可能状态。其中
量子力学 第四版 卷一(曾谨言 著) 答案----第2章
当时间足够长后（所谓 t → ∞ ） ，上式被积函数中的指数函数具有 δ 函数的性质，取
mx α = t 2m ， u = k − ， t
参照本题的解题提示，即得
（2）
ψ ( x, t ) ≈
1 imx 2 2 t e ⋅ 2π
2π m − iπ e t
+∞ /4
−∞
∫ ϕ ( k )δ k −
2.2 设一维自由粒子的初态ψ ( x,0) = δ ( x ) ，求 ψ ( x, t ) 。
2 +∞
提示：利用积分公式
−∞ +∞
∫ cos(ξ )dξ
2
=
+∞
−∞
∫ sin (ξ )dξ
2
=
π 2
或
−∞
∫ exp[iξ ]dξ
2
=
π exp[ iπ 4] 。
1 ϕ ( p ) eipx dp ， ∫ 2π − ∞ 1 2π
（1）
V1 与 V2 为实函数。
（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。
（b）证明粒子在空间体积 τ 内的几率随时间的变化为
d dt
∫∫∫
τ
d 3 rψ *ψ = −
ψ *∇ ψ − ψ ∇ ψ ∫ ∫ 2im S
(
*
) ⋅ dS +
2V2
∫∫∫ d
τ
3
rψ *ψ
证：（a）式（1）取复共轭， 得
−∞
∫ ψ ( x,0) e
− ikx
dx 是ψ ( x,0) 的 Fourier 变换。提示：利用 lim
α → ∞
α iπ / 4 − iα x 2 e e = δ ( x) 。 π
(完整版)量子力学期末考试题及解答
一、 波函数及薛定谔方程1.推导概率（粒子数）守恒的微分表达式;()(),,w r t J r t o t∂+∇•=∂解答：由波函数的概率波解释可知，当(),r t ψ已经归一化时，坐标的取值概率密度为()()()()2,,,,w r t r t r t r t ψψψ*== （1） 将上式的两端分别对时间t 求偏微商，得到()()()()(),,,,,w r t r t r t r t r t t t tψψψψ**∂∂∂=+∂∂∂ （2） 若位势为实数，即()()V r V r *=，则薛定谔方程及其复共轭方程可以分别改写如下形式()()()()2,,,2r t ih ir t V r r t t m h ψψψ∂=∇-∂ （3）()()()()2,,,2r t ih ir t V r r t t m hψψψ***∂=-∇+∂ （4） 将上述两式代入（2）式，得到()()()()()22,,,,,2r t ih r t r t r t r t t mψψψψψ**∂⎡⎤=∇-∇⎣⎦∂ ()()()(),,,,2ihr t r t r t r t mψψψψ**⎡⎤=∇•∇-∇⎣⎦ （5） 若令()()()()(),,,,,2ih J r t r t r t r t r t mψψψψ**⎡⎤=∇-∇⎣⎦ （6） 有()(),,0w r t J r t t∂+∇•=∂ （7） 此即概率（粒子数）守恒的微分表达式。
2.若线性谐振子处于第一激发态()2211exp 2x C x α⎛⎫ψ=- ⎪⎝⎭求其坐标取值概率密度最大的位置，其中实常数0α>。
解答：欲求取值概率必须先将波函数归一化，由波函数的归一化条件可知()()222221exp 1x dx Cx x dx ψα∞∞-∞-∞=-=⎰⎰（1）利用积分公示())2221121!!exp 2n n n n x x dx αα∞++--=⎰ （2） 可以得到归一化常数为C = （3）坐标的取值概率密度为 ()()()322221exp w x x x x ψα==- （4）由坐标概率密度取极值的条件())()3232222exp 0d w x x x x dx αα=--= （5） 知()w x 有五个极值点，它们分别是 10,,x α=±±∞（6）为了确定极大值，需要计算()w x 的二阶导数()()()232222322226222exp d w x x x x x x dx αααα⎤=----⎦)()32244222104exp x x x ααα=-+- （7）于是有()23200x d w x dx ==> 取极小值 （8）()220x d w x dx =±∞= 取极小值 （9）()23120x d w x dx α=±=< 取极大值 （10）最后得到坐标概率密度的最大值为2111w x x ψαα⎛⎫⎛⎫=±==±= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（11）3.半壁无限高势垒的位势为()()()()000x v x x a v x a ∞<⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求粒子能量E 在00E v <<范围内的解。
第二章-波函数与薛定谔方程-习题
第二章波函数与薛定谔方程第一部分；基本概念与基本思想题目1.试述波函数的统计解释。
2.为什么波函数可以描述微观粒子的微观态？3.如何理解态叠加原理？量子力学中的态叠加原理与经典力学中的态叠加原理有何区别？4.简述动量几率密度的物理意义。
5.试述定态的基本特征。
6.两个能量本征值不同的定态波函数，他们的线性组合是否还是定态？7.何为定态？如何判断一量子态是定态？8.在经典力学中，E=T+U=动能+势能，这个结果对微观粒子是否成立？为什么？9.试写出求解定态薛定谔方程的基本步骤10. 何为束缚态？有何特征？11. 波函数满足的标准条件是什么？12. 实物粒子的波动性为什么很长时间未能发现?13. 试述C(P, t) 物理意义。
第二部分：基本技能训练题1.计算线性谐振子n=4时所对应的经典线性谐振子的振幅A4=？2.证明在定态中，几率流密度与时间无关3. 由下列两定态波函数计算几率流密度（1）ψ1=（1/r ）e ikr （2）ψ2=（1/r ）e -ikr从所得结果说明ψ1表示向外传播的球面波，ψ1表示向内（即向原点）传播的球面波。
4. 求自由粒子的几率流密度J =？5. 下列波函数中，哪些是定态，哪些不是定态？12312312ix-(i)Et -ix-(i )Et -(i )E t -(i )E t 12-(i)Et (i )Et () (x,t)U(x)e U(x)e () (x,t)U(x)e U(x)e E E () (x,t)U(x)e U(x)e ψψψ=+=+≠=+ 6. 一粒子在一维势场 x 0()0 0x a x a U x ∞<⎧⎪=≤≤⎨⎪∞>⎩中运动，求粒子的能级和对应波函数。
7. 设粒子限制在矩形匣子里，其运动势能为：0 x a, y b, z c, (,,) U x y z ⎧<<<⎪=⎨∞⎪⎩其它 求其本征值与本征函数。
8. 求一维谐振子处于第一激发态时几率最大位置。
量子力学习题
第二章 波函数与薛定谔方程（1）一、填空题1、在量子力学中，描述系统的运动状态用波函数()r ψ，一般要求波函数满足三个条件即 有限性 ； 连续性 ；单值性 。
根据玻恩对波函数的统计解释，电子呈现的波动性只是反映客体运动的一种统计规律，称为 概率 波，波函数模的平方()2r ψ 表示粒子在空间的几率分布，称为 概率密度 。
而()2r d ψτ 表示在空间体积 dt 中概率，要表示粒子出现的绝对几率，波函数必须 归一化 。
2r 点处小体积元dτ内粒子出现的几率与波函数模的平方（|Ψ|2）成正比。
3、根据波函数的统计解释，dx t x 2),(ψ的物理意义为 粒子在xdx 范围内的概率 。
4、在量子力学中，描述系统的运动状态用波函数()r ψ，一般要求波函数满足三个条件即 有限性 ； 单值性 ；连续的。
5、波函数的标准条件为（1）波函数可归一化（2）波函数的模单值（3）波函数有限。
6、三维空间自由粒子的归一化波函数为()r pψ= ，()()=⎰+∞∞-*'τψψd r r p p见书P18 。
7、动量算符的归一化本征态=)(r p ψ ，='∞⎰τψψd r r p p )()(* 见书P18 。
8、按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w = 见网页收藏 ，几率流密度= 。
9、设)(r ψ描写粒子的状态，2)(r ψ是 概率波 ，在)(rψ中力学量Fˆ的平均值为F = 。
10、波函数ψ和ψc 是描写 状态，δψi e 中的δi e 称为 ，δi e 不影响波函数ψ的归一化，因为 。
11、定态是指 的状态，束缚态是指 的状态。
12、定态波函数的形式为 。
13、)i exp()()iexp()(),(2211t Ex t E x t x-+-=ψψψ是定态的条件是 ，这时几率密度和 都与时间无关。
14、波函数的统计解释 15．描述微观粒子状态的波函数ψ应满足的三个标准条件 。
16、粒子作自由运动时，能量本征值是 ___ __。
第2章 波函数和薛定谔方程(2012)
V
2
dV 1
波函数的标准化条件
§2.2 态叠加原理： (r,t)
2
= (r,t)*(r,t)
(r,t)……称为“几率振幅” 或“状态” (r,t) 2……称为“几率密度”或“几率”
若体系具有一系列不同的可能状态，1, 2· · · ， 则它们的线性组合=C11,+C22+· · · 也是该体系 的一个可能的状态。其中C1, C2 · · · 为任意复常数。
处于两态的几率分别为：来自| C11 |2| C2 2 |2
当双缝同时打开时， 一个电子同时处在 1态和2态。双缝 同时诱导的状态是 它们的线性组合态。
只开缝1---强度分布为I1 (状态为1，几率分布为 12 )
只开缝2---强度分布为I2 (状态为2，几率分布为 22 )
§2.1 波函数统计解释
一.波函数
经典波表示为一些物理量如振动位移或电磁势 在空间的分布和随时间的改变。 微观粒子的波函数应表示什么物理量？ 比如我们用平面波表示自由粒子,平面波的 频率和波长与自由粒子的能量和动量由德布罗 意关系联系。 开始有几种解释观点： 观点一：波函数代表粒子疏密波，波函数表 示疏密程度。这与电子干涉实验不符。
§2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
本节要引入几率流密度概念，有了它就可以把几率与电 流联系起来。 设ψ已归一化，q为单粒子的电荷，则 2 =概率密度(w)；dV= dV的几率； q=电荷密度(ρ)；qdV=dV的电荷。 几率流密度（J）含义=单位时间垂直流过单位面积几率。 J公式=？ 先介绍几率的连续方程
1926年，奥地利物理学家薛定格 （Schrodinger 1887-1961） 得出的方程称为薛定格方程。 1933年薛定格获诺贝尔物理奖。
【原创】量子力学习题解答-第1章
ò ò ò ¥
¥
¥
Ae-l( x-a)2 dx = Ae-lx 2 dx = 2 A e-lx 2 dx = A
p =1
-¥
-¥
0
l
所以
（b）
A= l p
¥
¥
ò ò x = Axe-l(x-a)2 dx = A(x + a)e-lx 2 dx
-¥
-¥
¥
¥
ò ò = A x e-lx 2 dx + Aa e-lx 2 dx
-¥
-¥
-¥
¥
ò = A x 2e-lx 2 dx + 0 + a2
-¥
利用定积分公式
ò¥
0
x2ne-lx2 dx
=
(2n -1)!! 2n+1 l n
p l
(l > 0)
所以
¥
¥
ò ò x2 = A x 2e-lx 2 dx + a2 = 2 A x 2e-lx2 dx + a2 =
-¥
0
= 2A 1 p + a2 = 1 + a2
定以后所有时刻的 x(t) 一样。
2 波函数的统计解诠释：玻恩（Born）关于波函数的统计诠释给出，当一个微观粒子处于
状态 Y(r,t) 时，在 t 时刻 r 处的体积V 内发现这个粒子的几率为
ò Y(r,t) 2d 3r = {在t时刻发现粒子处于V内的几率}
V
所以， Y(r,t) 2 是几率密度，它给出在 t 时刻 r 处的单位体积V 内发现粒子的几率。由于
P(15) = 1/14,
P(16) = 3/14,
P(22) = 2 /14,
波函数及薛定谔方程习题解
π2 2 2 n 2μ a 2
(n = 1, 2,3, ) 能量是量子化的
两组波函数的空间部分：
nπ ⎧ B cos x, ⎪ ⎪ a ψn = ⎨ ⎪ 0, ⎪ ⎩ nπ ⎧ A sin x, ⎪ ⎪ a ψn = ⎨ ⎪ 0, ⎪ ⎩
可以将上式合并写为：
a a - ≤x≤ 2 2 a a x< - , x> 2 2 a a - ≤x≤ 2 2 a a x< - , x> 2 2
E
t ) + v( x) exp(−ix) exp(−i E t)
E
t)
= [u ( x) exp(ix) + v( x) exp(−ix)]exp(−i E1 E2
由此可见，其能量值为固定值 E ，故此状态为定态。 对于ψ 2 ( x, t ) = u ( x) exp(−i 所以不是定态。 对于ψ 3 ( x, t ) = u ( x) exp(−i
∴ψ 2 ( x) = A sin
(n = 1, 2, 3, )
nπ x a
题解仅供参考,如有问题请联系 zhyjiao@,谢谢
第二章 波函数与薛定谔方程习题解
门福殿教授著《量子力学》
由归一化条件
∫
由
∞
2 ψ ( x) dx = 1 得
A2 ∫ sin 2
0
a
nπ xdx = 1 a
2
令k =
2
，得
d 2ψ 2 ( x) + k 2ψ 2 ( x) = 0 dx 2
④
其解为
ψ 2 ( x) = A sin kx + B cos kx
a 2 a 2
根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得
部分习题的参考答案
部分习题的参考答案 第1章 几率波与薛定谔方程1-5：（1）几率最大的位置分别为x =a 4和x =3a 4。
（2）几率流密度为0。
1-6：220220211()()221()0,1,222n k E n m m k n n m ωωωωω=+-⋅=+-=，2202()/22()[()]k x m n n n k x A e H x m αωϕαω--=-其中2!n nA n απ=⋅⋅，/m αω=1-7：y (x ,t )=22(y 3(x ,0)e -iE 3t +y 1(x ,0)e -iE 1t) 能量可能值E 1和E 3的概率均为1/2。
1-8：t =ma 22p1-9：E n xny n z=22m (n x p a )2+(n y p b )2+(n z p c )2éëêùûú,n x ,n y ,n z =1,2,3波函数为y n x n y n z(x ,y ,z )=2a 2b 2c sin(n x p a x )sin(n y p b y )sin(n z p c z )其中E 111为基态，E 121，E 112，E 211当a ，b ，c 相同时为三重简并，当a ¹b ¹c 时退简并。
1-10：222224(3)x y z hc c cma E E n n n πλπ===∆∆++-1-11：（1）基态近似能量为12w -A 对应的近似基态波函数为ap14exp(-12a 2x 2),a =2AB1-12： 413P e -=1-14： 1902.710E -⨯。
1-15： -8140sin 2(mE 5D)1+8140sin 2(mE 5D )第2章 力学量与算符2-4： 0x L =， y0L =2-7： ()()()()**ˆ2i J r r r r mψψψψ⎡⎤=-∇-∇⎣⎦2-8：2ˆL的可能取值为22(1)2l l +=，取该值几率为1，期望值为22。
量子力学习题2
二.波函数与薛定谔方程1、设粒子的归一化波函数为 ),,(z y x ϕ，求（1）在),(dx x x +范围内找到粒子的几率；（2）在),(21y y 范围内找到粒子的几率；（3）在),(21x x 及),(21z z 范围内找到粒子的几率。
2、设粒子的归一化波函数为 ),,(ϕθψr ，求：（1）在球壳),(dr r r +内找到粒子的几率；（2）在),(ϕθ方向的立体角Ωd 内找到粒子的几率；3、下列波函数所描述的状态是否为定态？为什么？（1）Et i ix Et i ix e x e x t x ---+=ψ)()(),(211ψψ[])()(21x x ψψ≠ （2）t E i t E i e x e x t x 21)()(),(2--+=ψψψ )(21E E ≠ （3）Et i Et i e x e x t x )()(),(3ψψ+=ψ-4、对于一维粒子，设 x p i o e x πψ21)0,(=，求 ),(t x ψ。
5、证明在定态中，几率密度和几率流密度均与时间无关。
6、由下列两个定态波函数计算几率流密度。
（1）Et i ikt e Ae x--⋅=)(1ψ （2）Et i ikt eAe x --⋅=)(2ψ 从所得结果证明：)(1x ψ表示沿x 轴正方向传播的平面波。
)(2x ψ表示沿x 轴反向传播的平面波。
7、由下列两个定态波函数计算几率流密度（1）ikr e r A r =)(1ϕ； （2）ikre r A r -=)(2ϕ从所得结果证明)(1r ϕ表示向外传播的球面波，)(2r ϕ表示向内传播的球面波（即向原点）8、求波函数⎪⎩⎪⎨⎧+=0)(2sin )(a x a n A x n πϕ a x a x ≥<的归一化常数A 。
9、一粒子在一维势场 ⎪⎩⎪⎨⎧>=00)(0u x u a x a x ≤>中运动，求束缚态)0(0u E <<的能级所满足的方程。
23薛定谔方程习题解答
（提示：非相对论的动能和动量关系为 E 解：依题意，有如下关系
n/ 2 = a 或 = 2a / n 根据德布罗意波长公式 = h / p，则有p = h n / ( 2a ) 。 故在一维无限深势阱中运动的粒子能量 E n 2 h 2 /(8ma 2 ),
E p n h 2m 8ma 2
2 2 2 = x , t U x , t x , t 2x 2 1 x, t U x, t ( x, t ) 2m x 2 m U ( x, t ) 2 2x 2 1 m
令上两式相等，得势函数
2 2 2
n 1, 2, 3, … …
即
En n 2 h 2 /(8ma 2 ), n 1, 2, 3, ……
4
6. 假设一个微观粒子被封闭在一个边长为a的正立方盒子内，试根据驻波概念 导出粒子的能量为
En h2 8ma 2
2 2 (n x n2 y nz )
其中nx、ny、nz是相互独立的正整数。 解：本题中的粒子可看成是在三维无限深势阱中运动，由于边界条件的限 制，在盒壁处波函数为零，粒子在盒子内形成三维驻波。与在一维无限深势阱 中运动的粒子一样，每个方向上势阱宽度a必须等于该方向上德布罗意波长 半波长的整数倍，在x轴方向 nx x/ 2 = a 或 x = 2a / nx 式中nx是正整数。根据德布罗意波长公式x = h / px，则有px = h nx / ( 2a ) 。类似地py = h ny / ( 2a )，pz = h nz / ( 2a )。 故在盒子中运动的粒子能量
4. 粒子在一维无限深势阱中运动，其波函数为：
n x 2 a sin nπx a
西南大学19春在线作业[0131]量子力学基础-答案
![西南大学19春在线作业[0131]量子力学基础-答案](https://img.taocdn.com/s3/m/c9daf5bcdaef5ef7ba0d3c5d.png)
单项选择题1、全描述微观粒子运动状态变化规律的是1.波函数2.薛定谔方程3.能级4.不确定关系2、Pauli算符的三个分量之积等于1. B.2. 03. 14.3、氢原子的一级斯塔克效应中,对于n=2的能级由原来的一个能级分裂为1.四个子能级2.五个子能级3.三个子能级4.两个子能级4、用变分法求量子体系的基态能量的关键是1.选取合理的尝试波函数2.写出体系的哈密顿3.体系哈密顿的平均值对变分参数求变分4.计算体系的哈密顿的平均值5、在0k附近，钠的价电子的能量为3ev，其德布罗意波长是1. 0.84nm2. 0.52nm3. 0.71nm4. 0.946、如果一个力学量与对易，则意味着1.一定处于其本征态2.其本征值出现的几率会变化3.一定不处于本征态4.一定守恒7、钾的脱出功是2ev，当波长为3500的紫外线照射到钾金属表面时，光电子的最大能量为1. F.2.3.4.8、如果算符、对易，且，则1.一定是的本征态2.∣Ψ∣一定是的本征态3.一定是的本征态4.一定不是的本征态9、知氢原子从基态激发到某一定态所需能量为10.19eV,若氢原子从能量为-0.85eV的状态跃迁到上述定态时,所1. 9.95eV2. 2.56eV3. 4.25eV4. 3.41eV10、一振子处于态中,该振子的能量E1,E3取值的几率分别为1. C.2.3.4.11、电子自旋角动量的z分量算符在表象中矩阵表示为1.2.3.4.12、黑体辐射中的紫外灾难表明1.经典电磁场理论不适用于黑体辐射公式2.黑体在紫外线部分辐射无限大的能量3.黑体在紫外线部分不辐射能量4.黑体辐射在紫外线部分才适用于经典电磁场理论13、和是厄密算符,则1.必为厄密算符2.必为厄密算符3.必为厄密算符4.必为厄密算符14、Stern-Gerlach实验证实了1.原子的能级是分立的2.光具有波动性3.电子具有自旋4.电子具有波动性15、角动量Z分量的归一化本征函数为1.2.3.4.16、线性谐振子的1.能量和动量都是量子化的2.能量连续变化而动量是量子化的3.能量和动量都是连续变化的4.能量是量子化的,而动量是连续变化的17、在极坐标系下,氢原子体系在不同球壳内找到电子的几率为1. A.2.3.4.18、若不考虑电子的自旋,氢原子能级n=3的简并度为1. 32. 93. 64. 1219、设，在范围内找到粒子的几率为1.2.3.4.20、能量为100ev的自由电子的德布罗意波长是1. 0.21nm2. 0.12nm3. 0.25nm4. 0.15nm21、质量流密度矢量的表达式为1.2.3.4.22、单电子的自旋角动量平方算符的本征值为1.2.3.4.23、Davisson 和Germer 的实验证实了1.电子具有粒子性2.光具有波动性3.电子具有波动性4.光具有粒子性24、线性谐振子的能级为1. E.2.3.4.25、波函数、(c为任意常数)1.与所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是2.与描写粒子的状态相同3.与所描写的粒子在空间各点出现的几率的比是1:c4.与描写粒子的状态不同26、非简并定态微扰理论的适用条件是1. D.2.3.4.27、分别处于p态和d态的两个电子,它们的总角动量的量子数的取值是1. 1,2,32. 1,2,3,43. 0,1,2,3,44. 0,1,2,328、自由粒子的运动用平面波描写,则其能量的简并度为1. 22. 13. 34. 429、几率流密度矢量的表达式为1.2.3.4.30、在一维无限深势阱中运动的质量为的粒子的能级为1.2.3.4.31、下列哪种论述不是定态的特点1.任何力学量的平均值都不随时间变化2.几率流密度矢量不随时间变化3.定态波函数描述的体系一定具有确定的能量4.几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化32、与空间平移对称性相对应的是1.能量守恒2.角动量守恒3.宇称守恒4.动量守恒33、用玻尔-索末菲的量子化条件得到的一维谐振子的能量为（n=1，2，3...）1.2.3.4.34、力学量算符在动量表象中的微分形式是1.2.3.4.35、能量为0.1ev，质量为1g的质点的德布罗意波长是1. 0.2nm2.3.4. 0.14nm36、如果已知氢原子的n=2能级的能量值为-3.4ev，则n=5能级能量为1. -0.85ev2. -0.544ev3. -1.51ev4. -0.378ev37、波函数1.不是的本征函数,是的本征函数2.是、的共同本征函数3.是的本征函数,不是的本征函数4.即不是的本征函数,也不是的本征函数38、当氢原子放出一个具有频率的光子，反冲时由于它把能量传递给原子而产生的频率改变为1.2.3.4.39、关于不确定(测不准)关系有以下几种理解:(1)粒子的动量不可能确定(2)粒子的坐标不可能确定(3)粒子的动量和坐标不可能同时确定(4)不确定关系不仅适用于电子和光子,也适用于其它粒子.其中正确的是1.（3）（4）2.（2）（4）3.（1）（4）4.（1）（2）40、一电子处于自旋态中,则的可测值分别为1.2.3.4.主观题41、表示的物理意义是______________________________________________。
第二章-波函数与薛定谔方程-习题答案
第二章 波函数与薛定谔方程 1．计算n=4时，所对应经典线性振子的振幅4A =？[解]：由线性谐振子能量公式 1()2E w n =+α=4n =时，2q E w ∴=又2212E w A μ=A A x ∴===即振幅4A =2. 证明在定态中，几率流密度与时间无关2 **()()() () ()，iEtr t r f t r e iJ mψψ-ψ===ψ∇ψ-ψ∇ψ22**** [()()()()] [()()()()]（）（）i i i i Et Et Et Et i r e r e r e r e m ir r r r mψψψψψψψψ----=∇-∇=∇-∇可见t J 与无关。
3. 由下列两定态波函数计算几率流密度ikr ikr e re r -==1)2( 1)1(21ψψ 从所得结果说明ψ1表示向外传播的球面波，ψ1表示向内（即向原点）传播的球面波。
解：分量只有和r J J 21在球坐标中ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin r 1e r 1e r r 0**111110(1) ()21111 [()()]2ikr ikr ikr ikriJ mi e e e e r m r r r r r rψψψψ--=∇-∇∂∂=-∂∂022023111111[()()]2 i ik ik r m r r r r r rk kr r mr mr=----+==r J 1与同向。
表示向外传播的球面波。
rmrk r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )(m2i J )2(3020220ikr ikr ikr ikr *2*222-=-=---+-=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ可见，r J与2反向。
表示向内(即向原点) 传播的球面波。
4．求自由粒子的几率流密度J =？[解]自由粒子波函数()()iEx v Ax r e-=2*()()ii Et EtA x r x r ee--∇2*2*[()()()()]2iA x r x r A x r x r M=∇-∇ 对于自由粒子 ()i p rx r e ⋅= ()ip rix r pe⋅∇=*()i p rx r e-⋅=*()i p rix r pe-⋅∇=-22[()]2i i J A P x r M∴=- 5． 下列波函数中，哪些是定态？哪些是非定态？]（1）1()()()i i ix ETix ETx x xt u eU x e ---=+（2）122()()()i i E T E Thx x xt u e u x e--=+ 12()E E ≠（3）3()()i iETETx x xt u eu x e-=+[解]：（1）是定态，（2）（3）是非定态。
量子力学练习参考解答
量子力学练习参考解答第一章 波函数与薛定谔方程1.1，1.2，1.3题解答略。
1.4（a ）设一维自由粒子的初态为一个Gauss 波包，222412)(1)0,(απαψxx p i e e x -=证明：初始时刻，0=x ，0p p =[]2)(12α=-=∆x x x[]α2)(12=-=∆p p p2 =∆⋅∆p x证：初始时刻012222===-+∞∞-+∞∞-⎰⎰dx exdx x x x απαψ2122222222απαψα===-∞+∞-∞+∞-⎰⎰dx exdx x x x()22122α=-=∆xx x)0,(x ψ的逆变换为⎰+∞∞--=dx ex p ipx/)0,(21)(ψπϕ＝⎰+∞∞---dx eeeipx x x p i/2412220)(121απαπ＝2220()22214(/)p p eααπ--22202()()p p p eααϕπ--=因此02)(p dp p p p ==⎰+∞∞-ϕ2222222)(0αϕ +==⎰∞+∞-p dp p p p()α22122 =-=∆p p p2 =∆⋅∆p x注：也可由以下式子计算p 和2p ：2222(,0)()(,0)(,0)()(,0)dp x ix dx dxd p x x dxdx ψψψψ+∞*-∞+∞*-∞=-=-⎰⎰1.5 设一维自由粒子的初态为)0,(x ψ，证明在足够长时刻后，()[]⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅-=t mx t imx i t m t x ϕπψ2exp 4exp ,2式中()()⎰+∞∞--=dx e x k ikx0,21ψπϕ是)0,(x ψ的Fourier 变换。
提示：利用()x e e x i i δπααπα=-∞→24/lim。
证：依照平面波的时刻转变规律 ()t kx i ikxe e ω-→ ， m k E 22==ω，任意时刻的波函数为()()()dk e k t x mtkkx i 2/221, -+∞∞-⎰=ϕπψ()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--⋅=⎰∞+∞-22/2ex p 212t mx k m t i k dk etimx ϕπ（1） 那时刻足够长后（所谓∞→t ），上式被积函数中的指数函数具有δ函数的性质，取m t 2 =α ， （2）参照此题的解题提示，即得()()⎰+∞∞--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅≈k d t mx k k e t m et x i timx δϕππψπ4/2221,2⎪⎭⎫⎝⎛=-t mx e e t m t imx i ϕπ2/4/2 （3） 1.6 依照粒子密度散布ρ和粒子流密度散布j的表示式， ()()()t r t r t r ,,,*ψψρ=()()()()()[]t r t r t r t r mi t r j ,,,,2,**ψψψψ∇-∇-=概念粒子的速度散布v()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∇-∇-==t r t r t r t r m i j v ,,,,2**ψψψψρ 证明：0=⨯∇v 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
部分习题的参考答案 第1章 几率波与薛定谔方程
1-5：（1）几率最大的位置分别为x =a 4和x =3a 4。
（2）几率流密度为0。
1-6：
22
022
0211
()()221
()0,1,222n k E n m m k n n m ωωω
ωω
=+-⋅=+-=h h L
， 2202
()/2
2
()[()]k x m n n n k x A e H x m αω
ϕαω--
=-
其中2!
n n
A n απ=⋅⋅，/m αω=h
1-7：
y (x ,t )=
22
(y 3(x ,0)e -iE 3
t +y 1(x ,0)e -iE 1t
) 能量可能值E 1和E 3的概率均为1/2。
1-8：t =ma 22
p
1-9：
E n x
n
y n z
=2
2m (n x p a )2+(n y p b )2+(n z p c )2éëêùûú,n x ,n y ,n z =1,2,3
波函数为
y n x n y n z
(x ,y ,z )=
2a 2b 2
c sin(n x p a x )sin(n y p b y )sin(n z p c z )
其中E 111为基态，E 121，E 112，E 211当a ，b ，c 相同时为三重简并，当a ¹b ¹c 时退简并。
1-10：
2
22224(3)x y z hc c cma E E n n n πλπ===
∆∆++-h h
1-11：（1）基态近似能量为
1
2
w -A 对应的近似基态波函数为
a
p
14
exp(-12a 2
x 2),a =2AB
1-12： 4
13P e -=
1-14： 19
02.710E -⨯。
1-15： -
81
40sin 2(mE 5D
)1+81
40
sin 2(mE 5D )
第2章 力学量与算符
2-4： 0x L =， y 0L =
2-7： ()()()()**ˆ2i J r r r r m
ψψψψ⎡⎤=-∇-∇⎣⎦r h r r r r
2-8：
2ˆL
v 的可能取值为22(1)2l l +=h h ，取该值几率为1，期望值为22h 。
ˆL z
的可能取值为,0,-h h ，取这三个值的相应几率为111,,424
，期望值为0 2-9： 2
010,2E E I ±==h ，相应几率为12,33。
期望值为23E I =h
2-10： 0J =
2-13： 对质子，70.5110V p T e ≈⨯
对中子，7
0.5110V n T e ≈⨯
2-14 ：2
B
a = ，本征值为B -
第3章 表象与矩阵力学
3-3：
p nn =0,m =n
p mn
=2i a [(-1)m +n -1m 2-n 2
]mn ,m ¹n
3-4：
（1）
y (t )=122e -iwt e -2iwt
e -2iwt æè
ççççöø
÷÷÷÷ （2） 能量本征值为w 0,2w 0，对应的概率均为1/2。
（3）体系能量的期望值为032
ωh
（4）本征值为a ,-a 。
取a 的概率为58+24，取-a 概率38-24。
（5）力学量A 的期望值为 21=()2
4
A a +
（6）
22
22
000122-220æè
ççççöø÷
÷
÷
÷
3-5：
（1）能量本征值为e ,2e ,3e ，相应的本征函数为
e ®220
-22æèççççöø÷÷÷÷,2e ®010æèçççöø÷
÷÷,3e ®22022æèççççöø
÷
÷
÷÷
（2）
22022010-22022æ
è
ççç
çöø
÷
÷
÷÷
第4章 角动量与自旋
4-4： 2ˆj 的可能观测值为215
4
h ， ˆz j 的可能观测值为12h 。
4-5： 2ˆj 的可能观测值为215
4h ，
ˆz j 的可能观测值为32
h 。
4-6： ˆx s 取值为2h
的几率为()2
1211,1022⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
ˆx s 取值为2-h
的几率为()21211,1022⎛⎫-= ⎪
⎝⎭。
4-7： l=0，m=0。
第5章 多粒子体系与全同性原理
5-1： 22
2,0,1,2,n n E n I
==±±h L 5-3：
（a ）基态： 0E ω=h 第一激发态：12E ω=h 第二激发态： 23E ω=h （b ）基态：02E ω=h 第一激发态：13E ω=h 第二激发态：24E ω=h （c ）基态：0E ω=h 第一激发态：12E ω=h
第二激发态：23E ω=h
第6章 微扰论与变分法
6-1： E 1=e 1
+a -b 2e 2-e 1,E 2=e 2+a +b 2e 2-e 1
6-2： E 1=e 1
+
a
2
e 1-e 3
,E 2=e 2+
b
2
e 2-e 3
,E 3=e 3+
a
2
e 3-e 1+
b
2
e 3-e 2
6-3： E n =E n (0)+ˆ¢H nn =n 2p 22
2ua
2
+V 0
6-4：25
6
0e a R
πε- 6-5： E min =V 0l 202h 2-l 0l 0+1()2éëêêêùû
úúú=V 04l 0-1()l 301+l 0()3
参考文献： 1、《物理定律的本性》[美]P.费曼 著 关洪 译 湖南科学技术出版社 2005 2、《量子菜根谭》张永德著，清华大学出版社， 2012 3、《量子力学》张永德 著， 科学出版社， 2001 4、《量子力学导论》（第二版）曾瑾言 著， 科学出版社，2011 5、《新量子世界》[英]安东尼.黑，[英]帕特里克.沃尔特顿 著 雷奕安 译 湖南科学技术出版社 2009 6、《物理学中的数学方法》王怀玉 著 科学出版社 2013 7、《数学物理方法》梁昆淼 编 人民教育出版社 1978。