高二数学椭圆及其标准方程

结论1
绳子的长度对轨迹有影响
问题1：当绳长等于|F1F2|时，点M的 轨迹 是什么？ 线段F1F2 问题2：当绳长小于|F1F2|时，点M的轨迹 轨迹不存在 是什么？ 结论2 要得到椭圆绳长与|F1F2|需满足一 定关系
结论3 当绳长大于|F1F2|时点M的轨迹是椭圆 观察做图过程：由于 绳长固定，所以 M 到两个定点的距离和 也固定。 七嘴八舌：
制革、食品、化工等行业的有机污水处理，主要目的是将生活污水和与之相类似的工业有机废水处理后达到回用水质要求，使废水处理后资源化利用。
•么心事？”“没有，姐姐。”“没心事怎么这么蔫头耷脑的？以前的凝儿可不是这个样子！”“怎么就蔫头耷脑的？凝儿只是头有些昏沉罢了。”“药都按时喝了？”“嗯。”“那就让陆大夫再来看看吧，
1）椭圆的定义； 2）椭圆的标准方程
当焦点在x轴上时
x a
2 2

y b
2 2
1 ( a b 0)
当焦点在y轴上时
y a
2 2

x b
2 2
1 (a b 0)
注：a、b、c始终满足a2 – b2 = c2，并且 总是a>b>0，a>c>0
环节八：布置作业、巩固提高 基础题： 习题8.1第3题 提高题： 补充练习 思考题：
教学重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程
教学难点：椭圆标准方程的建立和推导
二、目标分析
知识目标
（1）掌握椭圆的定义及其标准方程； （2）通过对椭圆标准方程的探求， 熟悉求曲线方程的一般方法。
能力目标
通过自我探究、操作、数学思想（待定 系数法）的运用等，从而提高学生实际 动手、合作学习以及运用知识解决实际 问题的能力。
2.
推导椭圆的标准方程：
y
M
1)建系设点： 以F1、F2所在直线为 x轴，线段F1F2垂直平 分线为y轴，建立坐标 系。 2)列式： 椭圆的集合为
F1
O
F2
x
P {M || MF1 | | MF2 | 2 a}
设|F1F2|=2c(c>0),M(x,y)为椭圆上的任意一点，
则F1(-c,0)、F2(c,0)
板书设计
课题
1、椭圆的定义: 椭圆标准方程的推导过 程书写 例1：（写要点）
2、有关概念:
3、椭圆标准方程 （1）焦点在x轴上
（2）焦点在y轴上
例2 ： （1）详写
（2）写关键步骤
•污水处理设备，是一种能有效处理城区的生活污水，工业废水等的工业设备，避免污水及污染物直接流入水域，对改善生态环境、提升城市品位和促进经济发展具有重要意义。 •； / 地埋式污水处理设备 jah97kbf • 地埋式污水处理设备适宜住宅小区、医院疗养院、办公楼、商场、宾馆、饭店、机关、学校、部队、 水产加工厂、牲蓄加工厂、乳品加工厂等生活污水和与之类似的工业有机废水，如纺织、啤酒、造纸、
补充练习
1、椭圆
x
2
焦点坐标是
16

y
2
9
1 的焦距是
，
。
2、动点P到两个定点F1（-4，0）、F2（4，0）
的距离之和为8，则P点的轨迹为
A、椭圆
C、直线F1F2
B、线段F1F2
D、不能确定
3、如果椭圆
x2ຫໍສະໝຸດ 100y2
36
1
上一点P到焦点F1的 。
距离为6，则点P到另一焦点F2的距离
为
4、椭圆mx2+ny2=-mn，（m<n<0）的焦点坐标 是 。
2 2 2 2
（ 0， 1）
例2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程。
1) 两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上 一点到两焦点距离的和等于10； 2) 两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0,2)并且经过 3 5 点 ( , ) ；
2 2
练习：课本练习1~4
环节七：归纳小结，提炼精华
导学式与自主探索、合作交流相结合 1、是符合教学原则的； 2、能充分调动学生的主动性和积极性。
3、有利于学生对知识进行主动建构
4、有利于突出重点、突破难点 教学手段：利用多媒体等教学手段。
教具与学具：电脑、细绳、硬纸板
四。教学过程
教学设想：
1. 了解椭圆的应用，激发学生的学习兴趣。 2．对椭圆的定义的引入，要注意借助直观 形象 的模型和教具，让学生从感性认识入手
又设M与F1、F2距离之和 等于2a,
F1
y M O F2 x
3)代换: ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
2 2 2 2 2 2 2 2 4)化简： (a c ) x a y a (a c ) 2a 2c , 即 a c
之和是常 数 2a
3. 常数 2a 要大于F1F2 学以致用：
承上启下 平面解析几何研究的主要问题是：
（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； （2）通过方程，研究平面曲线的性质。
环节四：温故知新、探求方程
1. 椭圆标准方程推导的准备
[1]建系设点 [2]列式 [3]代换
[4]化简
[5]证明检验
五．教学评价分析
这节课安排了导入新课、实验操作、分 析定义、探求方程、问题点拨、技能演练 等几个教学环节。它是在教师引导下，通 过学生积极思考，主动探求，从而实现教 学目的的要求，完成教学任务。 教学中采用多媒体的手段，画面丰富生 动，使学生的多种感官获得外部刺激， 有利于完善认知结构。
在整个教学过程中，采用引导发现法、 探索讨论法、题组教学法等教学方法实 施教学，注重化归、数形结合等数学思 想的渗透，通过探索，有利于培养学生 的创新能力，体现教育改革的时代精神
情感目标
在教学中充分揭示“数”与 “形”的内在联系，体会形数美的 统一，激发学生学习数学的兴趣， 培养学生勇于探索，勇于创新和锲 而不舍的精神。增强主动与他人合 作与交流的意识。
三、教法与学法
学情分析 学生基本具备独立探究有关点的轨迹问 题的基础知识和学习能力。但由于学习 解析几何的时间不长在学习中难免会遇 到一些困难。经过教师恰当的启发，学 生凭借原有的认知，采用类比与联想的 方法，是可以通过自组探究、合作交流 的形式完成本节的学习内容。
教法分析
作为一节概念课，如果教师把概念、结论按 部就班地主动提供给学生，就会造成学生的被动 接受，不利于理解和记忆。因此我采用了如下的 教学方法：启发引导法、实验探究法，并以讲授 法、讨论法相佐.通过这些方法引导学生自己观察、 归纳、探索和总结概念、结论，充分发挥学生的 主观能动性，让学生更多地参与教学，锻炼自己 分析、解决问题的能力，通过师生的互动，以取 得较理想的教学效果。
你能给椭圆下一个定义吗？
环节三：分析定义、强化概念：
（一）椭圆的定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离的和 等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫 做椭圆， 这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点的距离叫做椭圆的焦距
想一想：
椭圆的定义应满足什么条件?
1. 平面上---这是大前提
2. 动点 M 到两个定点 F1、F2的距离
F1 o
F2
x
启发提问：
如果是以F1，F2所在直线为y轴，建立直 角坐标系，所求出的椭圆的标准方程又是 什么呢？
类比探究：
y M F1 F2 x
x a
2 2

y b
2 2
1a b 0
y
2
x ( y c)
2
x ( y c) 2a
2
2
F1 x F F2 2
y a
若去掉焦点 在y轴上的 条件呢?
5、方程x2+ky2=2的曲线是焦点在y轴上的椭 圆，则k的取值范围是 A、（0，+∞） B、（0，2） C、（1，+ ∞ ） D、（0，1）
x
2
6、方程
24 k

y
2
16 k
1 表示焦点在y
若去掉焦点在 y轴上的条件 呢?
轴上的椭圆，则k的取值范围为————
a c 0
2
2
令 a2 c2
2 2
2 b ,其中 b 0
代入上式，得
y
M F1 O F2 x
b x a y a b
2
2
2
2
即
x a
2 2

y b
2 2
1 ( a b 0)
该方程叫做椭圆的标准方程。 焦点是F1(-c,0)、F2(c,0)
2 2 2 这里， c a b
环节五：解答疑问、巩固成果
难点提示：
问题1、在探索中得到了椭圆方程：
( x c) y
2 2
( x c) y
2
2
2a
2 2
但不会化简；
y
2 2 2
问题2、 化简后得到
有一定距离。
x a

a c
1
不简洁，与课本上的标准方程也
回顾小结：
y
M
x a
2 2

y b
2 2
1a b 0
2 2

x b
2 2
1( a b 0)
y a
2 2

x b
2 2
1 (a b 0)
这也是椭 圆的标准 方程
表示焦点在y轴，焦点为F1（0, c），F2（0, c）,c2 = a2 - b2的椭 圆的标准方程。 温馨提示：
研究椭圆首先应明确其焦点的位置
环节六：技能演练、学以致用 例1 判定下列椭圆的焦点在什么轴上？
，逐