椭圆及其标准方程( 数学 优秀课件

推导探究
x2 y2 + 2 = 1 a > b >| 0 方程:椭圆上的点满足 | PF2 | | PF + 2 1 a b 建 系 为定值，设为 化 列 设式 简 点 2a，则2a>2c 是椭圆的标准方程． y2 2 | PF1 |= x + c + y F1( -c , 0 )、F2P ( (c 0)) 焦点为： x ,, y
a 2 = b2 + c 2
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
典型例题
1、已知椭圆的两个焦点坐标分别为（2,0），（2,0）， 并且经过点
5 3 - 。 ， 2 2
2 2 x y 解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以社特的标准方程为： 1 2 2 a b
由椭圆的定义知：
2a
5 2 2
| PF2 |=
2 2 2 2 2 2
x - c + y 若以F1，F 所在的直线为 y轴，线 如何化简？ 2 段 F1F2的垂直平分线为 轴建立直角坐 0 y = 则： Fc x 2a y y , 0+ O x x x + c F+ c ,+ 2 1 -c
标系，推导出的方程又是怎样的呢？ 2 2 2 2
2
(- 3 )
2
2 2
2
5 2 2
2
2
3 - 2
2
2 10
所以， a 10
又因为c=2，所以， b a c 6 因此，所求的椭圆标准方程 为：
x2 y2 1 10 6
典型例题
2、在圆 x 2 y 2 4上任取一点P，过点P作X轴的 垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，线 段PD的重点M的轨迹是什么？为什么？
推导探究
那如何建立适当的直角坐标系求椭圆标准方程呢？
建立直角坐标系的一般原则：尽可能使方程的形式简 单、运算简单； (一般利用对称轴或已有的互相垂直 的线段所在的直线作为坐标轴。) 回顾：求圆的标准方程是怎样建立直角坐标系的？ 类比利用圆的对称性建立圆的方程的过程，得出利用 椭圆的对称性建立直角坐系。
几何画板演示
概念形成与分析
椭圆的定义：平面上到两个定点F1、F2的距离
的和等于定长（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。 P 定点F1、F2叫做椭圆的焦点。 两焦点之间的距离叫做焦距。
F1 F2
注意:椭圆定义中容易遗漏的三处地方： （1）必须在平面内; （2）到两个定点F1、F2的距离的和等于定长； （3）到两个定点F1、F2的距离的和大于|F1F2 |。
y P
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a y
F2
P x
不 同 点
图
形
F1
O
F2
x
O
F1
焦点坐标
相 同 点 定 义 a、b、c 的关系 焦点位置的判断
F1 -c , 0 ，F2 c , 0
F1 0,- c ，F2 0,c
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
2 2 2 2 2 2 2 2
x - c + y 也是椭圆的标准方程． a - cx = a
2 2 2
O
x
2
2
a2
b2
推导探究
椭圆的标准方程的对比认识：
Y O M F2 X (c,0)
Y
M
O
F2(0 , c)
F1(0,-c) X
F1 (-c,0)
x2 y2 2 1( a b 0) 2 a b
概念形成与分析
1、为什么要求必须在平面内？
概念形成与分析
2、“到两个定点F1、F2的距离的和等于定 长”，这要求我们在“动手作图”中注意什 么？ 保持绳子始终绷紧 3、假如到两个定点F1、F2的距离的和等于|F1F2 |， 那会是怎样的轨迹？ 假如到两个定点F1、F2的距离的和小于|F1F2 |， 又会怎么样呢？
y2 x2 2 1( a b 0) 2 a b
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1； （2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2；
（3）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，则焦点在 哪 一个轴上。
推导探究
标准方程
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b

x + c
+ y = 2a -
x - c
+y
2 x2 y2 2 2 2 2 2 2 x + c + y = 4 a 4 a x c + y x c >0 + y2 P 方程: 2 + 2 = 1 a > b b(2 x， a 设P y )是椭圆上任意一点 2 2
F
a c + a 所在直线为 y = aF a(--c c 设 |F F-F |=2 ，则有 ， F2(c，0) 以 xcF 1 0) 、 x、 轴，线段 F1F2 1 2 1 2 F1( 0 , -c )、F2( 0 , c ) 焦点为： F1 设 a - c = b b > 0 轴建立直角坐标系． 得 的垂直平分线为 y 注：椭圆的焦点在坐标轴上，且两焦 x y + = 1 a > b > 0 即： 点的中点为坐标原点 .
几何画板演示
x2 y2 1 4 所以，点M的轨迹为椭圆。
课堂小结
1、椭圆的定义；
☆要注意的三点
2、椭圆的标准方程；
☆椭圆标准方程的推导； ☆焦点分别在X,Y轴上的椭圆标准方程对比；
3、例题讲解；
作业：课后练习第一，四大题
几何画板演示
概念形成与分析
椭圆与圆的比较不同点 相同点 源自点一个（圆 心）距离
到圆心 的距离
常数 大于零
圆 椭圆
平面内 的一条 封闭曲 线
两个（焦点） 到两焦
点的距 离之和
大于焦距
推导探究
回顾：坐标法求动点轨迹方程的一般步骤： （1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y） 表示曲线上任意一点M的坐标; （2）写出适合条件 P（M） ; （3）用坐标表示条件P（M），列出方程 ; （4）化方程为最简形式; （5）证明以化简后的方程为所求方程。
y
P M 解：设点M的坐标为（x,y）,点P的坐标为 x o , y o
yo 则， x x o , y 2
2 2 xo yo 4
x
又 点p( x o , y o )在圆 x 2 y 2 4上，
（1）
o
D
把x o x , y o 2 y代入方程 1中，得
课件制作：郑俊明
新课引入
新课引入
新课引入
新课引入 你能说说你在生活中还见过 哪些椭圆吗？
那椭圆的本质属性是什么呢？即我 们该怎样定义椭圆呢？
新课引入
动手操作
工具：纸板、细绳、图钉，铅笔 形式：两人合作进行 作法：用图钉穿过准备好的细绳两端的套内，并把图
钉固定在两个定点（两个定点间的距离小于绳长）上 ，然后用笔尖绷紧绳子，使笔尖慢慢移动，看画出的 是什么样的一条曲线