第十七届华罗庚金杯决赛笔试A

图 A-91第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛笔试试题A （初一组）一、填空题（每小题 10分, 共80分）1. 计算：=-⨯-+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷---⨯-)]21(31[81221|10|)1()2(22334. 2. 一串有规律排列的数, 从第二项起每一项都等于1加前一项的倒数之和. 当第五项是0时, 第一项是 .3. 如图A-91, AB = BC = CA = AD , 则∠BDC= .4. 已知c b a 2+=, c b 3=, 207--=a b c , 那么b =________.5. 使 33+n 与4-n 不互质的大于4的最小整数n 的值为 .6. 一个学校选出5个年级共8个班, 从每个班至少选出一名学生, 则在这些选出的学生中, 至少有 名学生,他们的同班同学比他们的同年级同学少. 7. 某个水池存有的水量是其容量的181. 两台抽水机同时向水池注水, 当水池的水量达到92时, 第一台抽水机开始单独向水池注水, 用时81分钟, 所注入的水量等于第二台抽水机已注入水池内的水量. 然后第二台抽水机单独向水池注水49分钟, 此时, 两台抽水机注入水池的总水量相同. 之后, 两台抽水机都继续向水池注水. 那么两台抽水机还需要一起注水 分钟, 方能将水池注满水.8. 有16位选手参加象棋晋级赛. 每两人都只赛一盘. 每盘胜者积1分, 败者积0分. 如果和棋, 每人各积0.5分.比赛全部结束后, 积分不少于10分者可以晋级. 则本次比赛最多有 名晋级者. 二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程） 9. 解方程组|3||52|521x y x y x y ++-+=⎧⎨+=⎩10. 从2000年到2099年, 有没有哪些年份可以表示成 nm33- 的形式, 其中n m ,均为正整数？如果有, 请列举出来；如果没有, 请说明理由.11. 设 ][x 表示不大于x 的最大整数. 求方程12]11[=⋅xx 的解的个数及所有解x .图 A-9212. 请你列出所有具有bbabb bb cbb a c =特性的真分数a c , 其中c b a ,,为数字, 分子中b 的数目与分母中b 的数目相等.例如分数 6646666166664166641641 ===. 要求写出计算过程.三、解答下列各题（每小题 15分, 共30分, 要求写出详细过程）13. 图A-92中, ABCD 是平行四边形, 面积是1, F 为DC 边上一点, E 为AB 上一点, 连接AF , BF , DE , CE , AF 交DE 于G , EC 交FB 与H . 已知,14AE EB =, 灰色三角形BHC 的面积是18, 求三角形ADG 的面积.,平面上有从1到n 编了号的n 个点, 每个点与另外k 个点连有直线段, 若一个点连的k 条直线段的另外k 个端点的编号中有多于一半的编号小于它自身的编号, 这个点就称为“好点”. 若恰有5个好点. 问: n 的最小值是多少？第十七届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛笔试试题A （初一组）答案14.1、【答案】16-【解答】原式166962912181016)]21(31[81221|10|)1()2(22334-=-=++⨯--=-⨯-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--÷---⨯-=.2、【答案】53-【解答】设第一项是a , 根据题意, 第二项是1+，a a a 11+=第三项是1+，a a a a 1121++=+第四项是1+1213121++=++a a a a 第五项是1+.a a a a 23352312++=++因为,02335=++a a 所以5a +3=0, a = 53-. 3、【答案】30°【解答】 设∠CAD=2α, 则∠CDA=90°－α, ∠ADB = 60°－α,故 ∠BDC=30°． 4、【答案】4【解答】由 c b a 2+=, c b 3=可得c a 5=, 由207--=a b c 可得20537--⨯=c c c ,因此有34=c , 4=b . 5、【答案】71.【解答】解法1: 设 )1()4,3(3>=-+d d n n , 由此知,)164)(4(3|23++--+n n n n d , 67|d , 67=d .令 k n 674=-, k 为正整数. 则3)467(333++=+k n(),14467367673446734673672232322233+⨯+⨯⨯+=++⨯⨯+⨯⨯+=k k k k k k 33+n 是67的倍数. 于是, 467+=k n 的最小值为71 (k = 1), 此时, 33+n 与4-n 的最大公约数为67.解法2：令 1,4≥=-k k n , 则1,6748123)4(32333≥+++=++=+k k k k k n ,因此, 67481223+++k k k 和 k 的公约数就是67和k 公约数, 而67是质数, 所以它们的公约数除了1以外, 最小的只能是67, 于是最小的,67=k 所以 71=n .6、【答案】4 【解答】解法1：（1） 如果选出的学生所在年级中只有一个班, 则和他同年级的选出学生数等于和他同班的选出学生数. （2） 设一个年级仅有1个班的年级总数为n , 则所在年级至少有2个班的班级总数是8n -. 设有m 名学生, 在选出的学生中, 他们的同班同学比他们的同年级同学少. 可知, 8m n ≥-.（3） 从5个年级共8个班中, 仅有1个班的年级总数至多是4, 即 4n ≤, 所以4m ≥.（4） 设有4个年级均只有1个班级, 有4个班级在同一个年级, 每班各选出1名学生, 则有4名学生, 在选出的学生中, 他们的同班同学比他们的同年级同学少.解法2： 设选出n 名学生, 编号为1, 2, …, n . 假设对于第i 名学生有 i a 名学生与他同班, 有 i b 名学生与他同年级, 则有12121111118,5n n a a a b b b +++=+++= ,所以1122111111()()()3n na b a b a b -+-++-= . （*）由于 i i b a ≥ 或110i ia b ≥－()12i ,,,n = , 其中必有一些 i b 和 i a , 满足i i b a >, 即110i ia b >－, 否则（*）不成立. 无妨设()110 12i ii ,,,k a b >= －, 即有k 名学生, 在选出的学生中, 他们的同班同学比他们的同年级同学少. 因为每班至少推选1名, 所以()11 12ii ,,,k a ≤= ；因为5个年级共8个班：所以 ()4 12i b i ,,,k ≤= . 进而, 从 （*）式得到, 112211111113()()()14k k k a b a b a b ⎛⎫=-+-++-≤⨯- ⎪⎝⎭, 即4k ≥. 设有4个年级均只有1个班级, 有4个班级在同一个年级, 每班各选出1名学生, 则 k = 4. 7、【答案】231.【解答】 设水池容量为1. 由题意可知：两台抽水机第一次同时向水池注水的水量是6118192=-. 设两台抽水机单独向水池注水的水量为61时所需时间分别为1V 和2V , 两台抽水机一起向水池注水的水量为61时, 设所需时间为t , 则有下列方程：221249,81V V t V V t ==. 所以,6397,9712=⨯==t V V .由题意可知：两台抽水机单独向水池注水的水量之和也是61, 两台抽水机都继续向水池注水, 还需要注水 18111816121=-⨯-方能将水池注满水, 故有23163611811=⨯⎪⎭⎫⎝⎛÷ (分钟). 8、【答案】11【解答】16名选手共比赛 16151202⨯=盘, 总积分为120分. 由于积分不少于10分者评为优胜者, 所以优胜者不超过1201210=人. 首先证明12名优胜者是不可能的. 假设评优胜者等于12名, 则非优胜者为4名, 这4人彼此间赛6盘共计积6分, 因此12名优胜者至多积分为114分.由于12个人积分之和等于114120<, 至少有一人积分数小于10分, 与这人是优胜矛盾！所以优胜者至多11人.评出11名优胜者是可能的. 由于11个人之间共赛1110552⨯=盘, 共计分55分, 如果这55盘都是和棋, 则每人积分5分.另外这11人每人都要和其余5名非优胜者比赛, 设每场都胜, 则每人又积5分, 因此这11名选手每人都积5+5=10分, 合于评为优胜者的标准. 9、【答案】113,0;,242x y x y ===-= 【解答】 由第二个方程解得 12y x =- （1）将（1）代入第一个方程, 得到|3(12)||5(12)2|5x x x x +-+--+= 即 |35||71|5x x -++= （2） 分以下几种情形讨论：（i ）当 3350()5x x ->< 和 1710()7x x +>>-时, 方程（2）化为135715212x x x x -++=⇒=⇒=因为 113725-<<, 故（2）有解 12x =, 从而 0y =. （ii ）当 3350()5x x -<> 和 1710()7x x +>>- 时, 即 35x > 时, 方程（2）化为75371512712x x x x -++=⇒=⇒=.因为73125<, 故 712x =不是（2）的解. （iii ）当 3350()5x x ->< 和 1710()7x x +<<- 时, 即17x <-时, 方程（2）化为1357151234x x x x ---=⇒-=⇒=-.因为 1147-<-, 故得解 14x =-. 从而 32y =. 还有一种情况也无解. 所以, 原方程组有两组解：113,0;,242x y x y ===-=. 10、【答案】没有【解答】2099332000≤-≤nm, 而 3333331-≤-≤--m n m m m, 因此有⎩⎨⎧≥-≤--2000332099331mm m , 220993320001≤≤-m , 即 104936671≤≤-m .那么只有 72936= 满足条件, 因此 61=-m , 7=m .另一方面,2099321872000≤-≤n, 187388≤≤n,而 8134=、24335=, 因此没有满足条件的n , 因此在本世纪中, 没有一个年份可以表示成nm33-的形式. 11、【答案】11个, 所有的解为 23,34,56,1112,712,512,2,3,4,6,12-----------. 【解答】令q p pqx ,,=为整数, 1),(,1=≥q p q . 代入给定方程, 得到p qp q q p p q ⋅=⋅⇒=⋅12]11[12]11[. （1）因为 1),(=q p , 故 12|q , 12的因数有 12,6,4,3,2,1. （i ）当12=q 时, 由（1）可得012121211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⇒=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⇒=⎥⎦⎤⎢⎣⎡p p p p p p ,01201211120<<-⇒<<-⇒<-<p p p , 再由1),(=q p , 得到 11,7,5,1----=p .（ii ）当6=q 时, 由（1）得06062622611<<-⇒=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⇒=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⇒=⎥⎦⎤⎢⎣⎡p p p p p p p ,再由1),(=q p , 得到 5,1--=p . （iii ）当 4=q 时, 由（1）得04043433411<<-⇒=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⇒=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⇒=⎥⎦⎤⎢⎣⎡p p p p p p p , 再由1),(=q p , 得到 3,1--=p .（iv ）当 3=q 时, 由（1）得0314311=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⇒=⎥⎦⎤⎢⎣⎡p p p ,由此得到 2,1--=p . （v ）当 2=q 时, 由（2）得1026211-=⇒=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⇒=⎥⎦⎤⎢⎣⎡p p p p .故所给解方程一共有11个解：23,34,56,1112,712,512,2,3,4,6,12-----------. 【注记】如果不要求 1),(=q p , 在（1）中令 12=q , 可以解得 012<<-p , 即11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1-----------=p , 实际上pq给出了所有的解. 但理由并不显然. 而上面的解法正说明了得到的是所有的解. 12、【答案】25（添上6）,48（添上9）, 14（添上6）和 15（添上9） 【解答】 首先考虑满足x xyz yz =的一位正整数 ,,x y z , 其中10xy x y =+, 10yz y z =+. 乘开可得1010xy xz xz yz +=+, 因此109yzx y z=-. 由于,y z 都是一位数, 且1090y z ->, 故y z ≥, 由于当y z =时,x y z ==, 不合题意, 故有y z >.若1y z =+, 代入109yz x y z=-得(1)9091010z z x z z z +==-+++, 这说明10z +是90的约数. 而在11到19之间, 90的约数仅有15和18, 故5z =或8z =, 分别解得2x =和4x =.若2y z =+, 代入109yz x y z=-得(2)360182020z z x z z z +==-+++, 这说明20z +是360的约数. 而在21到29之间, 360的约数仅有24, 故4z =, 解得1x =.若3y z ≥+, 则21092733yz yz yz zx y z y y ==<=≤-+, 因此1x =, 故109yz y z =-, 故10(9)y y z =+. 由于1y >, 故910y +>, 因此(,9)1y y +>, 这说明y 是3的倍数, 分别取3,6,9y =得3,4,52z =, 仅有9,5y z ==符合条件.综上所述, 所有具有题目所述特性的分数为25（添上6）, 48（添上9）, 14（添上6）和15（添上9）. 三、解答下列各题（每小题 15分, 共30分, 要求写出详细过程） 13、【答案】【解答】设DF ＝x ，FC ＝y ，xz y=.图A-93如图A-93, 分别用 ①～⑧ 记其所在的三角形的面积. 由已知条件ABCD 是面积为1的平行四边形和三角形面积公式，可得到:①＝③＝18，②＋①＝12y x y⨯+，④＋①＝25，并且②/③＝①/④, 即 ②×④＝164. 将②＝12y x y⨯+－18、④＝25－18＝1140代入 ②×④＝164，马上得到：（12y x y ⨯+－18）×1140＝164， 可得1514711415 41 1111114y ,,,z x y z z ⎛⎫⨯⨯-=⨯=+== ⎪+++⎝⎭. 类似可得⑤+⑧＝722，⑦+⑥＝110，⑤×⑦＝⑥×⑧，⑤＝⑦.从上面四个等式，可以得到：⑤×⑤＝（110－⑤）×（722－⑤），解上面关于⑤的方程，⑤＝1771022921022⨯=+，三角形ADG 的面积是792. 14、【答案】8【解答】当一个点连的线段的另一端点的编号小于它的编号, 就称这条线段为该点发出的“好线”. 每个好点, 发出的“好线”的条数不小于12+⎥⎦⎤⎢⎣⎡k ，这里令][x 表示不大于x 的最大整数, ][}{x x x -=.编号为n 的点发出的连线都是好线，其它4个好点发出的连线的条数大于等于22214124+=+⨯≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯k k k . 由于5个好点发出的好线的条数小于所有的连线数2nk，所以222nk k k <++(*)).6(4-<n k另外, 设好点中最小编号为m , 则编号为1, 2, …, 1-m 的点都不是好点, 而非好点的总数是 5-n , 所以,1 5.m n -≤-此外, 第m 号点最多只能发出1-m 条好线, 因此,5112-≤-≤+⎥⎦⎤⎢⎣⎡n m k ,5122-≤+⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n k k,(**).112,21122152-≤-≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧+--≤n k n k n k由 (*) 和 (**), )6)(12(4--<n n , 不难验证, 8≥n 不等式才能成立.下面例子说明, n = 8是可以达到的. 现设n = 8, 取k = 3, 有* 表示编号等于行号和列号的两个点连线.。