第2章 MATLAB在微积分中的应用
实验二MATLAB中的极限和微分积分运算
南
京
邮
电
大
学
Nanjing University of Posts and Telecommunications
导函数的运算
MATLAB提供的函数 提供的函数diff()可以完成对给定函数求 提供的函数 可以完成对给定函数求 导函数的运算，其调用格式如下： 导函数的运算，其调用格式如下： diff(fun,x,n) 其意义是求函数fun关于变量 的 阶导数 阶导数， 为 时 其意义是求函数 关于变量x的n阶导数，n为1时 关于变量 可省略。这里的 用上例的后一种方式来定义较 可省略。这里的fun用上例的后一种方式来定义较 为妥当。我们看下面的例： 为妥当。我们看下面的例：
所以，计算该积分的MATLAB程序为： 所以，计算该积分的MATLAB程序为： MATLAB程序为 clear syms x y f=x*x+y; int(int(f,y,x*x,sqrt(x)),x,0,1)
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极限运算
MATLAB提供的命令函数 提供的命令函数limit()可以完成极限运 提供的命令函数 可以完成极限运 算，其调用格式如下： 其调用格式如下： limit(F,x,a,’left’) 该命令对表达式F求极限，独立变量 从左边趋于 该命令对表达式 求极限，独立变量x从左边趋于 求极限 a，函数中除F外的参数均可省略，’left’可换 ，函数中除 外的参数均可省略 外的参数均可省略， 可换 成’right’。举例如下： 。举例如下：
matlab在微积分中的应用
matlab在微积分中的应用MATLAB在微积分中的应用一、MATLAB在求导和积分中的应用MATLAB集成了丰富的数学函数库，可以在求导和积分等方面帮助学生更好地理解微积分知识。
举例来说，MATLAB中的diff函数可以对一个函数或矩阵进行求导，计算结果准确可靠。
通过MATLAB可以解决一些手动计算困难的问题，有助于提高学生对微积分的理解。
在数值积分过程中，MATLAB也可以很好地发挥作用。
MATLAB中的quad函数可以用来求解函数在给定区间内的数值积分，通过对函数的积分计算，可以更好地理解微积分中的面积和曲线等概念。
在讲解微积分的面积和曲线时，使用MATLAB可以展示较多的面积和曲线实例，有助于学生理解具体实例。
二、MATLAB在微积分三维空间中的应用微积分中的三维空间部分，一般使用手工计算的方式进行，但是这种方式难度较大而且操作繁琐。
而MATLAB可以很方便地模拟三维空间中的曲线表面、曲面、向量场和曲线积分等，为学生提供更具体、直观的视觉体验。
MATLAB还可以使用画图函数，将许多计算步骤集成在一个命令窗口中，方便学生学习和理解三维空间的微积分。
三、MATLAB在微积分应用中的优点1. 计算精度高：MATLAB的计算精度非常高，可以解决许多手动计算困难的问题。
在使用MATLAB计算微积分时，可以快速得出精确的计算结果。
2. 操作简便：MATLAB界面友好，操作简便。
学生可以很容易地进行操作，快速理解微积分中的概念和原理。
3. 可视化更强：MATLAB可以将微积分的概念可视化，将微积分的理论和实际应用结合起来。
这样的教学方式更加形象直观，可以帮助学生更好地理解微积分的知识体系。
四、总结综合以上述，MATLAB在微积分中的应用，可以帮助学生更好地理解和掌握微积分的基本原理和概念，提高学生学习效率和学习兴趣。
MATLAB也为教师提供了一个新的教学工具，可以更加灵活地设计和授课，提高教学质量和教学效果。
Matlab在微积分中的简单应用
dy xy 2 • 3、 2 dx x y
y(0)=1
小结
• 1 用”diff()” 求数值微分和符号微分.
• 2 用”int()”、”Int()”直接积分 • 3 用“dsolve()”求微分方程的通解、特解
第6讲
Matlab在微积分中的简单应用
实验目的
• 1学会用”diff()” 求数值微分和符
号微分. • 2学会用”int()”、”Int()”直接积 分并写出积分表达式. • 3学会用”dsolve()”求微分方程的 通解、特解。
复习回顾（一）
计算下列函数的导数
ylog ax
1 y x ln a
复习回顾（二）
求下列的不定积分
1 x C 1 x2 dx arctan
1 x 2 1 1 2 1x )C 1 x2 dx 21x2d(1x ) 2ln(
分析：
1 2 1 2 xdx dx d ( 1 x) 2 2
二、熟悉以下Matlab中的求积分命 令
sin xdx （2）
e dx
2x
2 求下列函数的定积分
（1） e dx （2）
2 ( 3 x ) dx 2x1 0 1
复习回顾（三）
dy 3 2x y 的通解 • 求微分方程 dx dy • 解：将所给方程分离变量，得 2 x 3 dx y • 等式两端积分，有 dy 2x3dx
• 2求特解的命令格式 • r=dsolve(‘微分方程’,‘初值条件’，‘自变 量’)
• 3求微分方程组的命令格式
• [y1,y2,…]=dsolve(‘微分方程1’,‘微分方程 2’,…,‘初值条件1’,’初值条件2’ ,…，‘自 变量1’, ‘自变量2’,…)
matlab 微分积分
matlab 微分积分Matlab是一种功能强大的数学软件，广泛用于解决各种科学和工程问题。
其中一个常见的应用领域是微分积分。
在本文中，我们将深入探讨Matlab在微分积分方面的应用，并提供一些对这一主题的观点和理解。
首先，让我们从微分开始。
微分在数学中是一个重要的概念，也是Matlab中的一个核心功能。
通过Matlab，我们可以计算函数的导数、局部斜率以及函数图形的曲线特性。
例如，我们可以使用Matlab计算函数f(x) = x^2的导数。
下面是一段Matlab代码示例：```matlabsyms xf = x^2;df = diff(f, x);```在这个例子中，我们使用了Matlab的Symbolic Math工具箱（Symbolic Math Toolbox）来定义符号变量x和函数f，并使用diff 函数计算函数f的导数，存储在df变量中。
通过这样的方式，我们可以轻松地计算复杂函数的导数。
接下来，让我们转向积分。
积分在数学中也是一个重要的概念，用于求解函数的面积、曲线的长度和求解一些实际问题。
Matlab提供了多种方法来进行数值积分和符号积分。
对于简单的积分问题，可以使用Matlab的int函数进行符号积分计算。
例如，对于函数f(x) = x^2的定积分，我们可以使用以下代码：```matlabsyms xf = x^2;integral = int(f, x, 0, 1);```在这个例子中，我们使用了Matlab的int函数来计算函数f在区间[0, 1]上的定积分，结果存储在integral变量中。
这样，我们就可以得到函数f在指定区间上的面积。
除了符号积分，Matlab还提供了一些数值积分方法，例如梯形法则、辛普森法则和高斯积分法。
这些方法适用于更复杂的积分问题，可以通过Matlab的integral函数进行计算。
例如，我们可以使用Matlab 计算函数f(x) = sin(x)在区间[0, pi]上的数值积分，如下所示：```matlabf = @(x) sin(x);integral = integral(f, 0, pi);```在这个例子中，我们使用了Matlab的函数句柄（function handle）来定义函数f，然后使用integral函数计算函数f在指定区间上的数值积分。
MATLAB在高等数学教学中的应用
MATLAB在高等数学教学中的应用1. 引言1.1 MATLAB在高等数学教学中的应用概述在微积分教学中，MATLAB可以用来绘制曲线和图形，解决数值积分和微分方程等数学问题，帮助学生更深入地理解微积分的概念和应用。
在线性代数教学中，MATLAB可以用来求解线性方程组、计算矩阵的特征值和特征向量，加深学生对向量空间和线性变换的理解。
MATLAB在高等数学教学中的应用不仅帮助教师更好地传授知识，也提升了学生的学习效果和兴趣。
随着技术的不断发展和完善，MATLAB在高等数学教学中的应用前景将更加广阔，为数学教育带来更多的可能性和创新。
2. 正文2.1 MATLAB在微积分教学中的应用MATLAB可以用来绘制函数的图像，帮助学生直观地理解数学概念。
通过输入函数表达式，学生可以立即看到函数的图像，从而更好地理解函数的性质和特点。
MATLAB可以进行数值计算，帮助学生解决一些复杂的积分和微分问题。
对于一些无法通过解析方法求解的问题，可以利用MATLAB进行数值积分和数值微分，提高学生的问题求解能力。
MATLAB还可以用来进行符号计算，帮助学生简化复杂的数学表达式，进行代数化简和方程求解，加深学生对微积分概念的理解。
MATLAB在微积分教学中的应用可以帮助学生更好地理解和掌握微积分知识，提高他们的问题求解能力和数学建模能力。
通过结合理论知识和实际计算，MATLAB可以使微积分课程变得更加生动和有趣，激发学生对数学学习的兴趣。
2.2 MATLAB在线性代数教学中的应用1. 矩阵运算：在线性代数课程中，学生需要进行大量的矩阵运算，包括矩阵相加、相乘、求逆等操作。
利用MATLAB可以快速进行这些运算，并且可以帮助学生更好地理解线性代数的概念。
2. 线性方程组求解：线性代数中最基本的问题之一就是求解线性方程组。
MATLAB提供了很多线性代数相关的函数，可以帮助学生查找线性方程组的解，包括使用高斯消元法、LU分解等方法。
Matlab在微积分中的应用
Matlab 在微积分中的应用命令1 极限函数 limit格式 limit(F,x,a) %计算符号表达式F=F(x)的极限值，当x →a 时。
limit(F,a) %用命令findsym(F)确定F 中的自变量，设为变量x ，再计算F 的极限值，当x →a 时。
limit(F) %用命令findsym(F)确定F 中的自变量，设为变量x ，再计算F 的极限值，当x →0时。
limit(F,x,a,'right')或limit(F,x,a,'left') %计算符号函数F 的单侧极限：左极限x →a - 或右极限x →a+。
例3-25>>syms x a t h n;>>L1 = limit((cos(x)-1)/x)>>L2 = limit(1/x^2,x,0,'right')>>L3 = limit(1/x,x,0,'left')>>L4 = limit((log(x+h)-log(x))/h,h,0)>>v = [(1+a/x)^x, exp(-x)];>>L5 = limit(v,x,inf,'left')>>L6 = limit((1+2/n)^(3*n),n,inf)计算结果为：L1 =L2 =infL3 =-infL4 =1/xL5 =[ exp(a), 0]L6 =exp(6)命令2 导数（包括偏导数）函数 diff格式 diff(S,'v')、diff(S,sym('v')) %对表达式S 中指定符号变量v 计算S 的1阶导数。
diff(S) %对表达式S 中的符号变量v 计算S 的1阶导数，其中v=findsym(S)。
diff(S,n) %对表达式S 中的符号变量v 计算S 的n 阶导数，其中v=findsym(S)。
MATLAB软件在微积分教学中的应用
大陆桥视野
ＭＡＴＬＡＢ 软件在微积分教学中的应用
鞠 银 ／ 上海电机学院数理教学部
【摘 要】微积分课程是高校开设的重点基础课程之一，由于其内容抽象、枯燥，不少学生在学习微积分的过程中缺乏兴趣，以培养学生 的学习兴趣同时提高教学质量为目的，利用 ＭＡＴＬＡＢ 软件作图和数值计算的优势，将一些抽象的，不容易理解的数学知识点通过图形等直观的方 式展示出来，从而来激发学生对微积分的学习兴趣，同时也提高分析和解决问题的能力。
是不存在的。
图１ ２．２ 在 ｔａｙｌｏｒ 公式中的应用 微积分中的 ｔａｙｌｏｒ 公式是很多学生认为太难理解了，觉得很抽 象，其实 ｔａｙｌｏｒ 公式的思想是用多项式函数来近似表达函数 ｆ（ｘ） 的， 我们可以通过 ＭＡＴＬＡＢ 软件强大的函数图形描绘让学生直观感受 到多项式函数在一定的范围和函数 ｆ（ｘ） 拟合得非常好。下面考察 ｙ＝ｓｉｎｘ；ｙ＝ｘ；，ｙ＝ ｘ－ｘ３／３！；ｙ＝ｘ－ｘ３／３！＋ ｘ５／５！ 的图形特征（图 ２），我们发
【关键词】微积分；Ｍａｔｌａｂ；难点；实例分析
１． 问题的提出 随 着 计 算 机 的 发 展， 世 界 上 涌 现 了 很 多 计 算 软 件， 如 ＭＡＴＬＡＢ，ＳＳＰＳ，ＭＡＴＨＭＥＴＩＣＡ 等，这些软件的出现为科学工程计 算注入了活力，也给微积分课程的学习带来了根本的变革。利用 ＭＡＴＬＡＢ 软件辅助微积分的教学将会帮助学生对一些难点的理解， 同时还能培养学生的应用能力。 ２．ＭＡＴＬＡＢ 在微积分教学中的实例分析 ２．１ 在极限中的应用 在微积分中求函数极限是非常重要的，极限的基本思想就是 用无限逼近的方式来研究函数的变化趋势。比如重要极限Ⅱ对学 生来说就比较难理解时，我们可以利用 ＭＡＴＬＡＢ 中的 ｌｉｍｉｔ 命令来 求此函数极限。考察函数 ｆ（ｘ）＝（１＋１／ｘ）ｘ 当 ｘ →∞时的极限。 ＞＞ ｓｙｍｓ ｘ ＞＞ ｙ＝（１＋１／ｘ）＾ｘ ＞＞ ｌｉｍｉｔ（ｙ，ｘ，ｉｎｆ） ａｎｓ ＝ ｅｘｐ（１） 我们也可以通过绘出函数的图形（图 １）来观察其变化趋势。 ｘ＝１：２０：１０００；ｙ＝（１＋１．／ｘ）．＾ｘ；ｐｌｏｔ（ｘ，ｙ） 通过上述的例子可以学生直观的感受到未定式的极限不一定
MATLAB语言 微积分
《MATLAB语言》课程论文MATLAB在微积分中的应用姓名：学号：专业：班级：指导老师：学院：完成日期：MATLAB在微积分中的应用[摘要]高等数学课程是理工科各个专业中非常重要的基础课程,而微积分学是高等数学相对难学的部分,它是牛顿和莱布尼茨在总结前人成果的基础上分别独立建立的。
可以说它是继欧氏几何之后，数学中的一个伟大创造。
微积分同时又是一种数学思想，“无限细分”就是微分，“无限求和”就是积分。
但是其中有些定义、定理以及结论难以理解,无法较快地完成从/一元0到/多元0的转变.随着计算机的普及,MATLAB 也正在越来越多地被应用到数学的研究中去，作为众多软件的佼佼者,目前MATLAB已经成为国际科学界最具影响力、最有活力的科学计算软件。
应用MATLAB 软件辅助高等数学的教学,将会在很大程度上降低学习的难度,缩小数学,理论与数学应用之间的距离.另外，利用其可减少工作量，节约时间，加深理解，同样可以培养应用能力。
[关键词]数学微积分MATLAB语言一、问题的提出目前，MATLAB已经成为国际上最流行的科学与工程计算的软件工具，现在的MATLAB已经不仅仅是一个“矩阵实验室”了，它已经成为了一种具有广泛应用前景的全新的计算机高级编程语言了,有人称它为“第四代”计算机语言，它在国内外高校和研究部门正扮演着重要的角色。
MATLAB语言的功能也越来越强大。
不断适应新的要求提出新的解决方法。
可以预见，在科学运算、自动控制与科学绘图领域MATLAB语言将长期保持其独一无二的地位。
子曰：“工欲善其事，必先利其器”。
如果有一种十分有效的工具能解决在教学与研究中遇到的问题，那么MATLAB语言正是这样的一种工具。
它可以将使用者从繁琐、无谓的底层编程中解放出来，把有限的宝贵时间更多地花在解决问题中，这样无疑会提高工作效率。
微积分研究的对象是函数关系，但是在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，而比较容易建立起这些变量或者导数之间的关系，从而得到一个含有未函数的导数或者微分的方程，即微分方程。
微积分问题的MATLAB求解
0-1规划(bintprog)
非线性最小二乘 lsqnonlin lsqcurvefit
其他规划ga gamultiobj simulannealbnd patternsearch threshacceptbnd 上下界 约束 fminbnd fmincon lsqnonlin lsqcurvefit
fun
H
A,b
Aeq,beq vlb,vub X0 x1,x2 options
A矩阵和b向量分别为线性不等式约束： linprog,quadprog,fgoalattain, fmincon,fminimax AX≤b中的系数矩阵和右端向量 Aeq矩阵和beq向量分别为线性等式约 束Aeq*X=beq中的系数矩阵和右端向量 X的下限和上限向量 迭代初始点坐标 函数最小化的区间 优化选项参数结构 linprog,quadprog,fgoalattain, fmincon,fminimax linprog,quadprog,fgoalattain, fmincon,fminimax,lsqcurvefit, lsqnonlin 除fminbnd外所有函数 fminbnd 所有优化函数
内寻找一个近似零点。 solve(f)求解表达式f的代数方程，求解变量为默认变量。 solve(f,x)求解变量为x sovle(f1,f2,...,fn,x1,x2,...,xn)求解f1,f2,...,fn表示的代数方程组。
例如：
三. 微商的计算
3.1符号导数
diff函数用于对符号表达式求导数，该函数的调用形式为： diff(f)没有指定变量和导数阶数，系统按照findsym函数指示的默认变量求一阶导数 diff(f,x) diff(f,n)按findsym函数指示的默认变量求n阶导数，n必须为正整数。 diff(f,x,n)
matlab在微分方程求解中的应用
matlab在微分方程求解中的应用微分方程是数学中十分重要的一部分，它描述了自然现象中很多过程的变化规律。
在科学与工程领域，微分方程求解是十分常见的。
而MATLAB作为一个广泛应用的数值计算软件，对于微分方程的求解也提供了适合的工具和函数。
下面我们来看一下MATLAB在微分方程求解中的应用。
1.算法方法MATLAB提供了多种数值方法求解微分方程，包括龙格-库塔法、欧拉法、反欧拉法和Rosenbrock方法等。
在使用这些方法之前，必须先将微分方程转化为常微分方程组的形式。
常见的方法有两种：一种是直接使用MATLAB的dsolve函数来解析微分方程，另一种是使用ode函数直接求解。
2.ODE函数ODE（Ordinary Differential Equations）函数是MATLAB中最常用的求解微分方程的工具。
其主要功能是求解一阶和二阶常微分方程组，同时也可以求解一阶和二阶偏微分方程。
ODE函数的语法格式为ode(fun,tspan,y0)，其中fun表示方程组的函数句柄，tspan是时间区间，y0是初值。
3.PDE函数PDE（Partial Differential Equations）函数是MATLAB中用于求解偏微分方程的工具。
使用PDE函数求解偏微分方程通常需要先通过pdepe 函数将偏微分方程转换为常微分方程，然后再使用ODE函数求解。
PDE函数支持三种求解方法：有限元法、有限差分法和谱方法。
4.边界条件求解微分方程需要给出一些边界条件，这些条件可以是初值、边界值等。
对于ODE函数，初值通常需要提供，而边界条件则可以通过事件函数来设置。
而对于PDE函数，边界条件是解决偏微分方程的关键，不同的方程需要不同的边界条件，需要根据具体问题来选择。
5.图像展示求解微分方程之后，还需要将结果进行展示以便于观察和研究。
MATLAB可以通过绘制函数图像、图表、动画和交互式工具等方式来展示求解结果，这些方式都是十分直观和有效的，在很多领域的研究中得到了广泛应用。
第二章 高等数学问题的MATLAB解法
>> syms x a >> f1=(cos(x) - 1) / x; >> f11=limit(f1) f11 = 0 >> f11=limit(f1,x,0) f11 = 0 >> f2 = 1 / x^3; >> f21 = limit(f2,'right') ??? Error using ==> sym.limit Limit point must be a scalar. >> f21 = limit(f2,x,0,'right') f21 = Inf >> f3 = [(1+a/x)^2,exp(-x)]; >> f21 = limit(f3,x,inf,'left') f21 = [ 1, 0]
-0.96 -0.965 -0.97 -0.975 -0.98 -0.985 -0.99 -0.995 -1 3 3.05 3.1 3.15 3.2 3.25 3.3 3.35 3.4
例
f ( x, y) 100 ( y x 2 ) 2 (1 x) 2的 小 点 极 值 。
>> x0 = [-1.2,1]; >> h = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1 - x(1))^2; >> [x,fval] = fminsearch(h,x0) x= 1.0000 1.0000 fval = 8.1777e-010
>> f = @(x)x^3-2*x - 5 f= f 1x1 16 function_handle array Grand total is 1 element using 16 bytes @(x)x^3-2*x – 5 >> [x,fval] = fminbnd(f,0,2) x= 0.8165 fval = -6.0887 >>fplot(f,[0 2])
Matlab在微积分中的应用
降幂排列法（collect） collect(A) collect(A,name_of_varible)
展开法（expand） 将代数式中所有的括号打开，将变量 释放出来，但得出的结果并不进行任何 整理和幂次排列，只将其凌乱的堆在一 起
13
重叠法（horner） 重叠法使一种很特别的代数式的整理 化简方法。它的化简方法是将代数式 尽量化为 ax(bx(cx(…(zx+z’)+y’)+…)+b’)+a’ 的形式。 horner（A）
D为D={(x,y,z)|x2/3+y1/2+z2/5≤1} 5.对方程解进行替换代入,方程解为：
t=sovle(‘a*x^6+b*x^2+c’) 6.级数求和(3n+1)(z-1)n z∈C,n=1→∞ 7.求解方程组：
x+y+z=0 2
x +yz+x=10190
x/y+z/y+y/x+y/z=16327/225
可以用前面讲的limit命令来求各种函数的 导数，但利用导数的基本概念，可以轻松地 进行计算。
4
diff命令
（1）函数f(x)=log(x) (即lgx)的求导 diff（f）
（2）求函数的高阶导数 diff（f，n）
（3）多元函数的求导 diff（function，’variable’,n） 其中n为求导阶数
29
Байду номын сангаас
（2）非线性方程组的求解fsolve
X=fsolve(‘functions_name’,X0) 其中functions_name是预先以m函数 格式写入Matlab的函数组的函数名。 X0是当函数组均等于零时对各变量的 解的估计。
matlab简明教程 第二章
第二章 MATLAB在微积分问题求解中的应用2.1 微分问题的MATLAB求解1. 函数作图MATLAB函数画图可通过ezplot或fplot等函数实现。
1）ezplotezplot函数的调用格式如下ezplot(f,[a,b])功能：表示在区间[a,b]绘制y=f(x)的函数图，当区间缺省时默认区间[-2*pi,2*pi]。
ezplot(x,y,[tmin,tmax])功能：在区间tmin < t < tmax上绘制参数方程x = x(t)，y = y(t)的图形当区间缺省时默认区间[-2*pi,2*pi]。
例1 ezplot('sin(x)')图2.1.1例2 ezplot('t*cos(t)','t*sin(t)',[0,4*pi])图2.1.22) fplotfplot 函数的调用格式如下fplot(fun,lims)功能：绘制函数fun在区间lims上的图形。
例３fplot('tan(x)',[-pi/4 pi/4])图2.1.32 极限的符号运算极限是高等数学中基本概念之一，在微积分中，很多概念是用极限定义的，例如导数和定积分。
因此，掌握极限的运算对学好高等数学是极为重要的。
在MATLAB中，极限的求解可由limit 函数来实现，limit 函数的格式及功能见表2.2.1。
表2.2.1 1limit 函数的格式及功能因为数列()n x f n =实际上就是定义在正整数集合上的函数，因此数列的极限可看成x →+∞时的特殊函数的极限；多元函数的极限可化为累次极限实现。
例1 求下列数列的极限1）lim n n→∞ 2）n →∞ 3）lim 3sin 3n n n π→∞ 4）1123lim 32n n n n n ++→∞-- 5）)n →∞6）1lim()1n n n n →∞-+ 7）2(1)lim 1n n n →∞-+ 8）lim(1)n n →∞- 9）lim(2)nn →∞-解：syms n ar1=limit(sqrt(n^2+a^2)/n,n,inf,'left') 输出 r1 =1 r2=limit(sqrt(n^2+3)-sqrt(n^2-3),n,inf,'left') 输出r2 =0 r3=limit(3^n*sin(pi/3^n),n,inf,'left') 输出r3 =pir4=limit((2^n-3^(n+1))/(3^n-2^(n+1)),n,inf,'left') 输出r4 =-3 r5=limit(sin(pi*sqrt(n^2+1)),n,inf,'left') 输出r5 =1 .. 1 r6=limit(((n-1)/(n+1))^n,n,inf,'left') 输出r6 =exp(-2) r7=limit((n-1)^2/(n+1),n,inf,'left') 输出r7 =Infr8=limit((-1)^n,n,inf,'left') 输出r8 =-1 .. 1 r9=limit((-2)^n,n,inf,'left') 输出r9 =NaN 例2 求下列函数的极限 1）0sin()sin()limh x h x h →+- 2）3113lim()11x x x →--- 3）01lim sin x x x→ 4）3lim 2x tx →-5）0lim x x x-→ 6）lim (1)3x x t x →-∞+ 7）123lim()21x x x x +→∞+- 8）11lim sin 1x x x →- 9）lim sin x x x →∞解： syms x h tf1=limit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,0) 输出f1 =cos(x) f2=limit(1/(1-x)-3/(1-x^3),x,1) 输出 f2 =-1 f3=limit(x*sin(1/x)) 输出 f3 =0 f4=limit(t/(x-2),3) 输出f4 =t f5=limit(abs(x)/x,x,0,'left') 输出f5 =-1f6=limit((1+t/(-3*x))^(-x),x,inf,'left') 输出f6 =exp(1/3*t) f7=limit(((2*x+3)/(2*x+1))^(x+1),x,inf) 输出f7 =exp(1) f8=limit(x*sin(1/(x-1)),x,1) 输出f8 =-1 .. 1 f9=limit(x*sin(x),x,inf) 输出f9 =NaN 例3 求下列函数的极限1）(,)(0,0)lim x y → 2）(,)lim y x y →解： syms x y;p1=limit(limit((2-sqrt(x*y+4))/(x*y),x,0),y,0) 输出p1 =-1/4 p2=limit(limit(log(x+exp(y))/sqrt(x^2+y^2),x,1),y,0) 输出p2 =log(2) 3. 一阶微商的计算由导数的定义可知，一切导数的问题，都可以用极限的方法求得，例如上面例2中的第1题。
MATLAB符号微积分的应用
MATLAB符号微积分的应用MATLAB是一种广泛使用的科学计算软件，它提供了许多强大的工具箱用于解决各种科学计算问题。
其中，MATLAB符号微积分工具箱在解决微分、积分、级数等数学问题方面具有重要作用。
本文将介绍MATLAB符号微积分工具箱的基本概念及其在科学计算中的应用。
MATLAB符号微积分工具箱提供了符号计算功能，包括微分、积分、级数等多方面的数学运算。
符号微分可以求解函数的导数，符号积分可以求解函数的定积分或不定积分，而级数则可以对函数进行展开和表示。
这些功能使得MATLAB符号微积分工具箱成为进行数学分析和计算的强大工具。
下面通过几个具体的应用实例来说明如何使用MATLAB符号微积分工具箱进行科学计算。
使用符号微分功能可以求解函数的导数。
例如，对于函数f(x) = x^3，可以使用以下MATLAB代码求解其导数：f = x^3; %定义函数f(x) = x^3df = diff(f, x); %求函数f的导数使用符号积分功能可以求解函数的积分。
例如，对于函数f(x) = x^2，可以使用以下MATLAB代码求解其不定积分：f = x^2; %定义函数f(x) = x^2indefinite_integral = int(f, x); %求函数f的不定积分使用级数功能可以对函数进行展开和表示。
例如，对于函数f(x) = 1/(1-x)，可以使用以下MATLAB代码将其展开为级数：f = 1/(1-x); %定义函数f(x) = 1/(1-x)series_expansion = expand(f); %将f展开为级数使用MATLAB符号微积分工具箱进行科学计算具有以下优势：符号计算可以精确地表示数学公式和推导过程，从而提高计算的准确性和精度。
MATLAB符号微积分工具箱提供了丰富的数学函数和算法，可以解决各种复杂的数学问题。
通过使用符号微积分，可以更好地理解和掌握数学概念和原理。
然而，MATLAB符号微积分工具箱也存在一些不足之处：符号计算相比于数值计算通常更加耗时和占用资源，对于大规模的计算任务可能不适用。
第2讲 MATLAB微积分中的应用 PPT资料共23页
用fminsearch函数求极小值.
[X,FVAL] = fminsearch (f,2) X = 3.4256 FVAL = -3.2884 [X,FVAL] = fminsearch (f,-4) X = -6.4373 FVAL = -6.3610
[X,FVAL] = fminsearch (f,-2) X = -0.8603 FVAL = -0.5611
diff(f,x)：以x为自变量，对符号表达式f求一阶导数； diff(f,x,n)：以x为自变量，对符号表达式s求n阶导数。
返回
例1 设y = xe3x, 求y' , y (5).
syms x; y='x*exp(3*x)'; y1=diff(y,x); % 1阶导数 y5=diff(y,x,5); % 5阶导数 y1,y5
ans=exp(a-1/2*b^2)
返回
例3 求极限 lim x x x0
clear syms x; limit(x^x,x,0,'right')
ans=1
返回
x2
练习题
（1）求极限
lim x2
x2
4
2t
（2）求极限 lim(1 )3x
x
x
返回
2.2 代数方程(组)的解 (P33)
(1)roots(p)：这是求多项式根的命令，其中p是 多项式的系数，按降幂方式排列;
(2)fzero(f,x0): 在x0的附近寻找函数f的近似零点
(3) solve(f,x)：求解表达式f的代数方程， 求解变量为x； (4) solve(f1,f2,…,fn,x1,x2,…,xn)：求解符号表 达式f1,f2,…,fn组成的代数方程组，求解变量分别 是x1,x2,…xn。
MATLAB在微分方程中的应用
[摘 要 ] 在本文中，我们讨论了MATLAB在微分方程中的应用，包括常微分方程 的符号求解方法和数值求解方法以及偏微分方程的有限元方法。我们介绍了MATLAB求 解微分方程的有关函数命令，为了求解方程根据算法编写了实现算法的M文件，运行结果 与理论估计是一致的。 [关 键 词 ] MATLAB；常微分方程；偏微分方程；欧拉方法；有限元方法。
dsolve( Dx = −a ∗ x ) % 没有给定初值，所以结果含有参变量。 ans = c1 ∗ exp(−a ∗ t) 例2 x = dsolve( Dx = −a ∗ x , x(0) = 1 , s ) % 给定了初值，独立变量设为s并非默认 的t。 x= exp(−a ∗ s) 例3 [u, v ] = dsolve( Du = v, Dv = −u , u(0) = 0, v (0) = 1 , x ) % 多个方程，多个输出，自变量指定为x。 u= sin(x) v= cos(x) 例4 s = dsolve( Df = f + g , Dg = −f + g , f (0) = 1 , g (0) = 2 ) % 多个方程，多个输出。 s= f : [1 × 1 sym] g : [1 × 1 sym] %结果返回一个结构体中。 s.f %查看方程的解。 ans = exp(t) ∗ (cos(t) + 2 ∗ sin(t)) s.g ans = exp(t) ∗ (− sin(t) + 2 ∗ cos(t)) 注: (1) s = dsolve( Df = f + g , Dg = −f + g , f (0) = 1 , g (0) = 2 ) s = dsolve( Df = f + g, Dg = −f + g , f (0) = 1 , g (0) = 2 ) s = dsolve( Df = f + g, Dg = −f + g , f (0) = 1, g (0) = 2 ) s = dsolve( Df = f + g, Dg = −f + g, f (0) = 1, g (0) = 2 ) 以上四种输入法等价。 (2) dsolve函数中的方程必须要用 括起来，以表明它是字符型数据。 二 常微分方程的数值解法 许多工程实际问题的数学模型可以用常微方程来描述，由于实际应用的需要人们必须 求解这些常微分方程，从而真正把握事物的运动规律，或者对各种决策方案作出选择，但 是，除了常导数线性微分方程和一些特殊的微分方程可以用解析方法求解以外，绝大多数 常微分方程都难以求的精确解。计算机出现后，人们开始寻求微分方程的计算机解法，或
MATLAB在微积分中的应用
MATLAB在微积分中的应用
甘松
【期刊名称】《大观周刊》
【年(卷),期】2011(000)005
【摘要】微积分是高等教学中最重要的基础内容之一,也是现代数学的一个基本工具.用户可以借助MATLAB的强大功能摆脱繁重的微积分计算,轻松地完成实际应用中遇到的问题.本文结合高等数学和MATLAB语言的特点,主要探讨了计算机数学语言MATLAB在高等数学微积分学中的应用.
【总页数】2页(P25,18)
【作者】甘松
【作者单位】贵州师范大学数计学院,贵州,贵阳,550001
【正文语种】中文
【中图分类】O13
【相关文献】
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l plot(x1,y1,x2,y2,…,xn,yn)
l subplot(m,n,p) 图形窗口分割
l plot3空间曲线函数 其调用格式为： plot3(x1,y1,z1,x2,y2,z2,…,xn,yn,zn,) 例2-7 绘制三维曲线。 程序如下： t=0:pi/100:20*pi; x=sin(t); y=cos(t); z=t.*sin(t).*cos(t); plot3(x,y,z); title('Line in 3-D Space'); xlabel('X');ylabel('Y');zlabel('Z'); grid on;
l三维曲面 1．产生三维数据 在MATLAB中，利用meshgrid函数产生平面区域内的网 格坐标矩阵。其格式为： x=a:d1:b; y=c:d2:d; [X,Y]=meshgrid(x,y); 2．绘制三维曲面的函数 surf函数和mesh函数的调用格式为： mesh(x,y,z,c) surf(x,y,z,c) 一般情况下，x,y,z是维数相同的矩阵。x,y是网格坐标矩 阵，z是网格点上的高度矩阵，c用于指定在不同高度下的 颜色范围。
第 二 章
matlab在
微积分中的应用
l主要内容
第一节 绘图 第二节 极限 第三节 导数 第四节 积分 第五节 级数
l第一节 绘图
plot函数、 hold on/off 、图形标注与坐标控制、 fplot函数、 subplot函数、 plot3函数、曲面函数
l plot函数的基本调用格式为：plot(x,y)
l fplot(fname,lims,tol,选项) 其中fname为函数名，以字符串形式出现，lims为x,y的取 值范围，tol为相对允许误差，其系统默认值为2e-3。选 项定义与plot函数相同。 例2-6 用fplot函数绘制f(x)=cos(tan(πx))的曲线。 命令如下： fplot('cos(tan(pi*x))',[ 0,1],1e-4)
aa
3 16 a 4
l 定积分与无穷积分
例1 求f ( x) e 当a 0, b 1.5或时的积分值。
x2
syms x; I1=int(exp(-x^2/2),x,0,1.5) vpa(I1,70) I2=int(exp(-x^2/2),x,0,inf)
2x 1 例2 求解f (t ) dx 2 2 cos t (2 x 3x 1)
df ( x) d n f ( x) 已知一元函数y f ( x), 求 , . n dx dx
sin x 例1 求y 的导数。 x
syms x; dy_dx=diff(sin(x)/x).
例2 求y ln sin x的导数。
•解: 输入命令: syms x; dy_dx=diff(log(sin(x))) 得结果: dy_dx=cos(x)/sin(x).
例2-4 在0≤x≤2区间内，绘制曲线y1=2e-0.5x和 y2=cos(4πx)，并给图形添加图形标注。 程序如下： x=0:pi/100:2*pi; y1=2*exp(-0.5*x); y2=cos(4*pi*x); plot(x,y1,x,y2) title('x from 0 to 2{\pi}'); %加图形标题 xlabel('Variable X'); %加X轴说明 ylabel('Variable Y'); %加Y轴说明 text(0.8,1.5,'曲线y1=2e^{-0.5x}'); %在指定位置 添加图形说明 text(2.5,1.1,'曲线y2=cos(4{\pi}x)'); legend(‘y1’,‘ y2’) %加图例
lhold on/off 命令控制是保持原有图形还是刷新原有图形，
不带参数的hold命令在两种状态之间进行切换。 例2-3 采用图形保持，在同一坐标内绘制曲线y1=0.2e0.5xcos(4πx) 和y2=2e-0.5xcos(πx)。 程序如下： x=0:pi/100:2*pi; y1=0.2*exp(-0.5*x).*cos(4*pi*x); plot(x,y1) hold on y2=2*exp(-0.5*x).*cos(pi*x); plot(x,y2); hold off
syms a x;
f=simple(int(x^3*(cos(a*x))^2,x)); pretty(f);
f1=x^4/8+(x^3/(4*a)-3*x/(8*a^3))*sin(2*a*x)+...
(3*x^2/(8*a^2)-3/(16*a^4))*cos(2*a*x); aa=simple(f-f1)
例2-8 绘制三维曲面图z=sin(x+sin(y))-x/10。 程序如下： [x,y]=meshgrid(0:0.25:4*pi); z=sin(x+sin(y))-x/10; mesh(x,y,z); axis([0 4*pi 0 4*pi -2.5 1]); 此外，还有带等高线的三维网格曲面函数meshc和带底座 的三维网格曲面函数meshz。其用法与mesh类似，不 同的是meshc还在xy平面上绘制曲面在z轴方向的等高 线，meshz还在xy平面上绘制曲面的底座。
2．坐标控制 axis函数的调用格式为： axis([xmin xmax ymin ymax zmin zmax]) 给坐标加网格线用grid命令来控制。grid on/off命令控制 是画还是不画网格线，不带参数的grid命令在两种状态 之间进行切换。 给坐标加边框用box命令来控制。box on/off命令控制是加 还是不加边框线，不带参数的box命令在两种状态之间进 行切换。 例2-5 在同一坐标中，绘制3个同心圆，并加坐标控制。 程序如下： t=0:0.01:2*pi; x=exp(i*t); y=[x;2*x;3*x]'; plot(y) grid on; %加网格线 box on; %加坐标边框
vpa(I,60)
l第五节 级数
Taylor 幂级数展开
例1 f ( x) sin x /( x 4 x 3), 求其T aylor 幂级数
2
展开的前9项，并求关于x 2和x a进行T aylor 幂级数展开。
syms x; f=sin(x)/(x^2+4*x+3); y1=taylor(f,x,9);
l图形标注与坐标控制
1．图形标注 有关图形标注函数的调用格式为： title(图形名称) xlabel(x轴说明) ylabel(y轴说明) text(x,y,图形说明) legend(图例1,图例2,…) 函数中的说明文字，除使用标准的ASCII字符外，还可使 用LaTeX格式的控制字符，这样就可以在图形上添加希腊 字母、数学符号及公式等内容。例如， text(0.3,0.5,‘sin({\omega}t+{\beta})’) 将得到标注效果sin(ωt+β)。
syms n; s=symsum(1/((3*n-2)*(3*n+1)),n,1,inf)
l第六节 数值积分
一维数值积分
二维数值积分 三维数值积分 随机模拟积分
二、Matlab数值积分
• 1.trapz(x,y) 输出为y对于x的梯形积分值。 • 例1 X = 0:pi/100:pi; • Y = sin(x); • Z = trapz(X,Y) • 又 X = sort(rand(1,101)*pi); • Y = sin(X); • Z = trapz(X,Y)
1 4 2 23 3 34 4 4087 5 f ( x) x x x x x 3 9 54 81 9720 3067 6 515273 7 386459 8 x x x 7290 1224720 918540
taylor(f,x,9,2)
syms a;
taylor(f,x,5,a)
e2t 2
syms x t; f=(-2*x^2+1)/(2*x^2-3*x+1)^2;
I=simple(int(f,x,cos(t),exp(-2*t)))
l 多重积分
例1 求解
0
0
0
4 xze
x2 y z 2
dxdydz .
syms x y z;
I=int(int(int(4*x*z*exp(-x^2*yz^2),x,0,pi),y,0,pi),z,0,pi);
• 4.dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax) 二重 积分数值积分 • Q1=dblquad(inline('y*sin(x)+x*cos(y)'), pi, 2*pi, 0, pi) • Q2=dblquad(inline('sqrt(1(x.^2+y.^2)).*(x.^2+y.^2<=1)'),-1,1,-1,1) • 5.triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmi n,zmax) 三重积分数值积分 • Q=triplequad(inline('y*sin(x)+z*cos(x)') ,0,pi,0,1,-1,1)
• 2.quad(‘fun’,a,b,tol) 输出为函数fun在区间(a,b) ('1./(x.^3-2*x-5)') ,0,2)