换元积分法

4.2换元积分法和分部积分法通过4.1节的学习可知，虽然利用积分的运算性质和基本积分表我们可以求出部分函数的不定积分。

但是，实际上遇到的积分仅仅依赖于基本积分表是不够的。

例如形式上很简单的不定积分 2sin cos x xdx ∫就无法求出。

为了更广泛函数的不定积分，还需要引进更多的方法与技巧。

本节所讲述的换元积分法与分步积分法是求不定积分的最基本，最常用的两种重要方法，读者应熟练掌握。

4.2.1 换元积分法有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。

例如，求不定积分cos 2xdx ∫，如果凑上一个常数因子2，使成为()11cos 2cos 2cos 2222xdx x xdx xd x =•=∫∫∫ 令2x u =则上述右端积分()111cos 22cos sin 222xd x udu u C ==+∫∫ 然后再代回原来的积分变量x ，就求得原不定积分1cos 2sin 22xdx x C =+∫ 更一般的，若函数()F x 是函数()f x 的一个原函数，()x µϕ=是可微函数， 并且复合运算()F x ϕ⎡⎤⎣⎦有意义，根据复合函数求导法则(){}()()()()F x F x x f x x ϕϕϕϕϕ′′′′==⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦及不定积分的定义1.2，有()()()f x x dx F x C ϕϕϕ′=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∫ 由于 ()()f u du F u C =+∫从而()()()()()u x f x x dx f u du ϕϕϕ=′=⎡⎤⎣⎦∫∫ （2.1）综上所述，可得如下结论【定理2.1】 （第一换元积分法） 设()f u 是连续函数，()F u 是()f u 的一个原函数。

又若()u x ϕ=连续可微，并且复合运算()f x ϕ⎡⎤⎣⎦有意义，则()()()()()()u x f x x dx f u du F x C ϕϕϕϕ=′==+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∫∫ （2.2）第一换元积分公式（2.2）说明如果一个不定积分()g x dx ∫的被积表达式()g x dx 能够写成()()f x x dx ϕϕ′⎡⎤⎣⎦的形式，可通过变量代换()u x ϕ=把被积表达式等同于()f u du ，若不定积分()()f u du F u C =+∫容易求得，那么再将()u x ϕ=代入()F u ，便求出原不定积分()()g x dx F x C ϕ=+⎡⎤⎣⎦∫ 由于第一换元积分法的基本手段就是将被积表达式()g x dx 变为()()()()f x x dx f x d x ϕϕϕϕ′=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的形式。

也就是把被积函数()g x 分解成两个因子的乘积，其中一个因子与dx 凑成某一函数()x ϕ的微分，而另一因子是()x ϕ的函数()f x ϕ⎡⎤⎣⎦，且经过这样的微分变形后被积表达式()()f x d x ϕϕ⎡⎤⎣⎦变为容易积分的形式，所以人们也经常称第一换元积分法为“凑微分法”。

凑微分法技巧性强，无一般规律可循，因而不易掌握，初学者只有多做练习，不断总结经验，才能运用自如。

【例２.１】 利用()()1,,0dx d ax b a b R a a=+∈≠，求下列积分()()()131134343x d x =++∫，令34u x =+有14433311313344u du u C u C ==⋅+=+∫再将34u x =+代入，有()431344x C =++()()20a ==>∫令xu a=，有arcsin u C ==+再将xx a=代入，有C + ()22222()13[(1()]1()x d dx dx a x x a x a a a a==+++∫∫∫ 令x u a=22211arctan 1dx du u C a x a u a==+++∫∫ 再将xu a=代入，有221arctan dx x C a x a=++∫ 如果运算比较熟练，为了简化解题步骤，变量代换()u x ϕ=可以不写出来，只需默记在头脑中就可以了。

【例２.２】利用()()()11,,,0,11x dx d ax b a b R a a µµµµµ+=+∈≠≠−+，求下列积分()()()()2221157575752x xdx x d x +=++=⋅∫∫ ()()()222211157575710102x d x x C ++=⋅++∫＝()2215720X C ++()()11121121(x xx e dx e d e C x x=−=−+∫∫()()23222arctan 11C x ===+++∫∫()()40x >【解】=−=212⎡⎤−=⎥⎥⎦1222111112dx x−⎡⎤⎡⎤⎛⎞⎛⎞−++⎢⎥⎢⎥⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∫12211212C Cx⎡⎤⎛⎞=−⋅++=⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦【例２.３】若被积函数()()(),xf xxϕϕ′=±利用()()()()()x d xf x dx dxx xϕϕϕϕ′=±=±，有如下公式()()()()()()lnx d xf x dx dx x Cx xϕϕϕϕϕ′=±=±=±+∫∫∫求下列积分()ln1ln lnln lndx d xx Cx x x==+∫∫()sin cos2tan ln coscos cosx d xxdx dx x Cx x==−=−+∫∫∫()cos sin3cot ln sinsin sinx d xxdx dx x Cx x===+∫∫∫以上３例都是直接利用“凑微分法”求不定积分。

如果进一步把“凑微分法”与不定积分的运算性质结合起来，就可以利用基本积分表来处理非常广泛的初等函数的积分。

【例２.４】将下列被积函数先作代数恒等变形再求其不定积分()2211112dxdxa x a a x a x⎛⎞=+=⎜⎟−−+⎝⎠∫∫()()11ln22d x a d x a x aCa x a x a a x a+−⎡⎤+−=+⎢⎥+−−⎣⎦∫∫∫()()()()()2221121111xx xxx x xd edx e e dxdxee e e++−==−=++++∫∫∫∫()11111111xx xx x x xd ee edx dxe e e e++−+=−+=++++∫∫∫()21ln11xx e Ce−++++()22222sin1113111sin1sin sin1sinxdx dx dx dxx x xx⎛⎞=−=−⎜⎟++⎝⎠+∫∫∫∫＝2cot 2cot 1d x x x x +=++∫＝x C + 【例２.５】对于sin n xdx ∫与cos n xdx ∫()n N ∈形式的积分，当n 是偶数时，可利用三角恒等式()()2211sin 1cos 2cos 1cos 222x x x x =−=+ 来降低三角函数的幂，当n 是奇数时，变正（余）弦函数的积分为余（正）弦函数的积分。

()()()242111sin 1cos 212cos 2cos 224xdx x dx x x dx ⎡⎤=−=−+⎢⎥⎣⎦∫∫∫＝()112cos 21cos 442dx xdx x dx ⎡⎤−++=⎢⎥⎣⎦∫∫∫11sin 2sin 4428x x x x C ⎛⎞−+++⎜⎟⎝⎠＝131sin 2sin 4428x x x C ⎛⎞−++⎜⎟⎝⎠()()322cos 1sin cos xdx x xdx =−=∫∫231cos sin sin sin sin 3xdx xd x x x C −=−+∫∫ 【例２.６】 对于sin sin ,cos sin cos cos x xdx x xdx x xdx αβαβαβ∫∫∫和形式的积分，可利用三角函数的积化和差公式()(()11cos cos 1cos 12x x dx ⎡⎤=+−⎣⎦∫∫sin 1sin 112x x C ⎡⎤+−=++()()()12cos 2sin 3sin 23sin 322x xdx x x dx =+−−⎡⎤⎣⎦∫∫＝ ()111sin 5sin cos cos5255xdx xdx x x C ⎛⎞−=−+⎜⎟⎝⎠∫∫ 【例２.７】 根据2sin 2sin cos 2tan cos 2222x x x xx ==1cos tan csc cot 2sin x xx x x−==−()2111csc tan 22tan cos tan 222x xdx dx d x x x ⎛⎞===⎜⎟⎝⎠∫∫∫ln tanln csc cot 2xC x x C +=−+ ()22sec ln csc cot 22sin 2d x xdx x x C x ππππ⎛⎞+⎜⎟⎛⎞⎛⎞⎝⎠==+−++⎜⎟⎜⎟⎛⎞⎝⎠⎝⎠+⎜⎟⎝⎠∫∫＝ln sec tan x x C ++【例２.８】22==∫∫(22arcsin arcsin C =+∫以上例子大都采用了初等数学（代数或三角函数）中的运算技巧将被积函数进行适当的变形，然后再进行变量带换。

因此在作积分运算时，应该重视有关初等数学知识的灵活运用。

在式（２.１）中，如果()()()2.1x x ϕϕ′连续可微且定号，式中左端的不定积分()()()f x x dx F x C ϕϕ′=+⎡⎤⎣⎦∫ 容易求得，并且()()1x u u x ϕϕ−==是的反函数，则式（2.2）右端的不定积分()()1f u du F x C ϕ−⎡⎤=+⎣⎦∫。

利用这个过程求不定积分的方法，称为第二换元积分法。

第二换元积分法可以确切的叙述如下。

【定理 2.2】 （第二换元积分法）设()f x 是连续函数，()x ϕ是连续可微函数，且()x ϕ′定号，复合运算()f t ϕ⎡⎤⎣⎦有意义。

设()F t 是()()f t t ϕϕ′⎡⎤⎣⎦的一个原函数，即 ()()()f t t dt F t C ϕϕ′=+⎡⎤⎣⎦∫ 则()()()()()1t x f x dx f t t dt ϕϕϕ−=′=⎡⎤⎣⎦∫∫=()1F x C ϕ−⎡⎤+⎣⎦ （2.3）其中()()1x t ϕϕ−是的反函数。

【证明】有定理假设()x ϕ′定号，，故函数()t ϕ存在反函数()1u ϕ−，又()()()dF t f t t dtϕϕ′=⎡⎤⎣⎦ 于是()()()()()()111t x dF t d dt F x f t t dx dt dx t ϕϕϕϕϕ−−=⎛⎞⎛⎞′⎡⎤==⎡⎤⎜⎟⎜⎟⎣⎦⎣⎦⎜⎟′⎝⎠⎝⎠()1t x ϕ−==()()()()1t x f t f x ϕϕ−==⎡⎤⎣⎦可见()1F x ϕ−⎡⎤⎣⎦是式()2.3左端不定积分的被积函数的一个原函数，所以式()2.3成立。