换元积分详解
微积分中的换元积分法
微积分中的换元积分法在微积分中，换元积分法是一种非常重要的积分方法，它主要用于解决一些较难的积分问题。
换元积分法是一种基本的数学思想，它可以将一个复杂的积分转化为一个简单的积分，从而更加方便地求解。
本文将详细地介绍换元积分法的基本思想和应用方法，并结合一些典型的例子进行讲解。
一、基本思想换元积分法的基本思想是通过变量替换的方式，将一个积分式中的变量替换成另一个变量，从而把一个较难的积分问题转化成一个较简单的积分问题。
具体来说，设有一个积分式：∫f(x)dx如果能够将x用t表示出来，并且求出dt/dx，那么就可以把积分式中的x全部用t来表示，将原来的积分式变成：∫f(t)(dt/dx)dx然后再将t看作自变量，x看作因变量，对f(t)(dt/dx)进行积分，最终得到原来的积分值。
二、应用方法换元积分法的应用方法比较灵活，下面将分别介绍三种典型的应用方法。
1.代换法代换法是换元积分法中最常用的方法，其具体思路是将积分式中的变量用一个新的变量表示出来，然后对新的变量进行求导，最终得到积分式中的原变量的微元。
代换法的一般步骤如下：（1）根据积分式中的特点选取代换变量（2）用代换变量表示出积分式中的自变量，并求出代换变量的微分（3）将代换变量看作自变量，其它变量看作常数，将原积分式变为代换后的积分式（4）对代换后的积分式进行求解，得到最终答案代换法的应用可以通过一个例子来具体说明。
例1：求积分∫x√(1+x^2)dx。
解：积分式中含有根号，所以很难直接求解，这时就可以采用代换法来解决。
选取代换变量t=1+x^2，此时x^2=t-1。
对t求导，得到dt/dx=2x，即dx=(1/2√t)dt。
将x√(1+x^2)dx用代换变量表示为(t-1)√tdt/2，完成了变量替换。
此时将代换变量看作自变量，其它变量看作常数，积分式变为：∫(t-1)√tdt/2对上式进行积分，最终得到积分值为：(2/3)(1+x^2)√(1+x^2)-2/3arcsin(x)+C其中C是积分常数。
常用积分换元公式换元积分法的公式
常用积分换元公式换元积分法的公式积分换元法是求解积分的一种重要方法，通过引入合适的变量替换的方式，将原积分转化为更容易求解的形式。
下面是一些常用的积分换元公式和换元积分法：1.换元公式(1)第一类换元公式：设函数u=u(x)具有一阶连续导数，则有如下公式：∫f(u)du = ∫f(u(x))u'(x)dx(2)第二类换元公式：设函数x=x(u)可导，且反函数存在，则有如下公式：∫f(x)dx = ∫f(x(u))x'(u)du(3)第三类换元公式：设函数x=x(t)，y=y(t)可导，且满足y=y(x)，则有如下公式：∫f(x,y)dx = ∫f(x(t),y(t))x'(t)dt2.常见换元积分法(1)坐标换元法：根据问题中给定的坐标关系，选择适当的新坐标，从而简化积分的计算。
常见的坐标换元法包括：极坐标、柱坐标、球坐标等。
(2) 幂次换元法：对于形如∫f(x)(ax+b)^n dx的积分，可以引入变量u=ax+b进行代换，从而将积分转化为幂函数的积分。
(3) 三角换元法：对于形如∫f(x)sin(ax+b) dx或∫f(x)cos(ax+b) dx的积分，可以引入变量u=ax+b进行代换，从而将积分转化为三角函数的积分。
(4) 指数换元法：对于形如∫f(x)e^x dx的积分，可以引入变量u=e^x进行代换，从而将积分转化为指数函数的积分。
(5) 对数换元法：对于形如∫f(x)/x dx的积分，可以引入变量u=ln，x，进行代换，从而将积分转化为对数函数的积分。
(6) 倒代换法：对于形如∫f(g(x))dg(x)的积分，可以引入变量u=g(x)进行代换，然后将dg(x)用du表示，从而将积分转化为对u的积分。
(7) Weierstrass换元法：对于形如∫R(x,√(ax^2+bx+c)) dx的积分，可以引入变量u=√(ax^2+bx+c)+px+q进行代换，然后将积分转化为对u的积分。
4.2 换元积分法
解：
(1)
a2
1
x2
dx
1 a
1 a2
1
1(ax1)21da(xax22)dx
1 a
arctan
x a
C
用类似的方法还可以求得
1 a2
x2
dx
arcsin
x a
C．
4.2.1 第一换元积分法 4.第一换元积分法的常见类型
例4
求不定积分 (2)
dx a2 x2
4.2.1 第一换元积分法 2.第一换元积分法
计算过程
f
[ ( x)] ( x)dx
凑微分
f
[ ( x)]d ( x)
令 ( x)u
积分
回代
f (u)du F (u) C F ((x)) C
利用复合函数求导公式，可以验证以上公式的正确性．
用这种方法的计算程序是：先“凑”微分式，再作变量置换。 我们将这类求不定积分的方法称为第一类换元积分法，也称凑微 分法。
4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例1 求下列不定积分
(1)
dx x 1
解： 令 x 1 u 则 dx du，于是
dx x 1
du u
ln u C
同理可得:
(2)
dx 1 x
ln
1
x
C
(3)
dx 1 x
2
1 x C
再将u x 1 代回，得
(2)
ln x x
dx
解：
(2)
积分的换元法
可令 u 2 3x ， 而 d(2 3x) 3dx ，则
(2 3x)7 dx 1 u7du 1 u8 C
3
24
1 (2 3x)8 C 24
一般，不需写出中间变量的代换过程，直接 通过凑微分计算.
3.4 积分的换元法
利用基本积分公式与直接积分法，所能计算的积 分非常有限，因此有必要寻找更有效的积分方法. 本节将介绍换元积分法，简称换元法.
3.4.1 不定积分的换元法
3.4.1.1 第一类换元法
cosxdx sin x C.
cos2xdx sin 2x C ?
定理3.2 设 f (u)du F(u) C , u (x) 具有连续导
cos
2
xd
(2
x)
x sin 2x C . 24
类似的可得
sin 2
xdx
x 2
sin 2x 4
C.
例3.34 计算 csc xdx.
解
csc
xdx
1 sin
x
dx
2sin
1 x cos
x
dx
22
tan
x 2
1 cos
x 2
2
d
(2 3x)7 dx
1 3
( 2 3x)7 d( 2 3x)
1 (2 3x)8 C 24
例3.23 计算
sec2
xd 3
x
解
原式 =
换元积分法PPT课件
dx
x 1 x2
dx
arctan 1 x2
x
dx
1 2
1 1 x2
d(1
x2
)
arctanxd
arctanx
1 ln(1 x2 ) 1 (arctanx)2 C
2
2
28
二、第二换元法
引例
x dx x 1
为了将被积函数中的根式 x 1 去掉，
应将其作为一个整体，因此令 t x 1
因此，x t 2 1, dx 2tdt 将其代入原积分式中，
x dx t 2 1 2tdt 2 (t2 1)dt 2 t3 2t C
x 1
t
3
2 (t 2 1)dt 2 t3 2t C 3
2 ( x 1)3 2 x 1 C
29
3
第一换元法： f (j(x))j(x) d x f (u) d u 是被积表达式
已明显含有因子j(x)。而在实际问题中，常常遇到的是一般形
dx
1 3
dx x4
dx x 1
1 ln x 4 C. 3 x1
24
例 19
求
x2
dx . 4x 5
解
x2
dx 4x
5
1
dx (x
2)2
1
d( x 2) ( x 2)2
arctan(x 2) C.
25
例 20
求
x1
x2
4x
dx. 5
解
x1
x2
4x
dx 5
1 ( x2 4x 5) 1
例 2 求 (4x 5)99 dx.
解 上式与基本积分表中 x dx 1 x 1 C 1
《换元积分法》课件
在原积分中，选择一个易于积分的变量替换 原积分中的变量，以简化积分过程。
选择新变量原则
选择的新变量应使得积分过程更简单、直观，便于 计算。
常见新变量选择
对于形如$int f(x) dx$的积分，常见的新变 量选择有$t = g(x)$或$x = g(t)$，其中 $g(x)$是原函数$f(x)$的可导函数。
要点二
计算简便
通过换元，可以将复杂积分转化为简单积分，降低计算难 度。
换元积分法的优缺点
• 易于理解：换元积分法的原理相对直观， 易于理解。
换元积分法的优缺点
需要选择合适的换元
选择合适的换元是关键，如果选择不当，可能导致计算 过程复杂化。
对初学者有一定难度
换元积分法涉及到变量替换，对初学者来说可能有一定 的学习难度。
新积分计算的注意事项
在计算新积分的过程中，需要注意积分的上下限是否发生变化，以及积分的计算是否正 确。
04
换元积分法的实例
实例一：计算定积分
总结词
换元积分法在计算定积分中的应用
VS
详细描述
通过换元积分法，可以将复杂的定积分转 化为容易计算的定积分，从而简化计算过 程。例如，利用三角换元法将复杂的定积 分转化为简单的定积分。
换元积分法的定义
换元积分法的定义
换元积分法是通过引入新的变量替换原来的变量，将复杂的积分转化为容易积分的积分，从而解决定积分问题的 一种方法。
换元积分法的步骤
首先，根据题目要求，选择适当的变量替换原来的变量；然后，根据新的变量，确定积分上下限；最后，进行定 积分计算。
换元积分法的公式
三角换元公式
确定新积分上下限
上下限变换原则
根据新变量的定义，将原积分的上下 限代入新变量的表达式中，得到新的 积分上下限。
高等数学-换元积分法
න = න
1
= −න
( )′
1
= −න
= − | | + ．
同理可得 | | = + ．
8
01 第一类换元积分法
例3
解
1
求不定积分
．
2
令 2 = ，则 = ， = .
2
+1−1
න
=න
= න
1+
1+
1 + 2
1
= න(1 −
) = − | 1 + | +
1+
= 2 − | 1 + 2| + ．
14
02 第二类换元积分法
通过变量代换去掉根号的主要形式有：
而
= 5，考虑将被积函数恒等变形，得
1
1
1
1
1
= ⋅
⋅5= ⋅
⋅ (5 − 2)′
5 − 2 5 5 − 2
5 5 − 2
此时令 = 5 − 2， 得到
4
01 第一类换元积分法
1
1
1
න
= න
(5 − 2)′
5 − 2
5 5 − 2
1
1
= න
( 5 − 2)
0，又设[()] ′ ()的一个原函数为()，则
න()
= ()
න[()] ′ () = [() + ]=−1()
该公式称为第二换元公式． 其中 = −1 ()为函数
= ()的反函数.
换元积分法简明易懂
换元积分法简明易懂换元积分法又被称为代数凑式法，是一种常用的数学积分方法。
它适用于求解一些复杂的积分，通过将被积函数中的一部分进行代数凑式，将原积分转化为一个新的积分形式。
因此，它是日常生活中数学计算中的重要手段之一。
下面我们来详细了解一下这个方法。
一、变量代换假设要求解一个积分式为：∫f(x)dx换元积分法的第一步是选定一个新的变量，使得在这个新的变量下，原来的积分式的形式会更加简单。
例如，可以选定一个新的变量u，使得：u = g(x)其中，g(x)为一个可导函数。
因此，根据链式法则，可以得到：也就是说，新变量u的微分可以表示为：将上述表达式代入原积分式中，可以得到：∫f(x)dx = ∫f(g(x))/g'(x) du这样，原来的积分式已经被变成了一个用u表示的新的积分式。
二、换元积分法的具体操作1、当原积分式中只有一项如果原积分式中只有一个项f(x)，需要进行代数凑式。
比如：∫x^3cos(x^2)dx令u=x^2，那么可以得到：du/dx = 2x由此，可以得到：这样，原来的积分式就变成了一个用u表示的新的积分式。
对于这个新的积分式，我们可以使用几何意义、分部积分等方法进一步求解。
对于原积分式中的多项式，需要将其中一部分代入新变量中，比如：∫(x+1)sin(x^2+2x+1)dx三、特殊情况换元积分法也适用于一些特殊的积分式。
下面介绍几种常见的特殊情况。
1、当原式中出现了幂函数时此时，需要选定一个新的变量u，使得du/dx中出现了与f(x)的形式相同的幂函数。
比如：比如：∫√(1-4x^2)dx = -1/8 ∫√udu以上就是换元积分法的具体操作，希望能够对大家有所帮助。
微积分 换元积分法
换元积分法"换元积分法" 是求积分的方法，适用于可以写成一个特定格式的函数。
第一步，也是最重要的一步，是把积分写成这个格式：注意积分里有 g(x) 和它的 导数g'(x)像这例子：在这例子里，f=cos，g=x2，还有其导数 2x格式对了，可以用换元积分法来求这个积分了！若积分写成了这个格式，我们可以做这个变换（换元）：接着我们可以求 f(u) 的积分，然后把 g(x) 代回去 u 里。
像这样：例子：∫cos(x2) 2x dx这已经是可以换元的格式：求积分：∫cos(u) du = sin(u) + C 把 u=x2 代回去：sin(x2) + C所以∫cos(x2) 2x dx = sin(x2) + C。
不错！（当然不错，不然我不会举这个例了！）换元积分法只适用于某些积分，并且可能需要先重排式子：例子：∫cos(x2) 6x dx糟了！是 6x，不是 2x。
格式不对了！没关系。
重排积分就行了：∫cos(x2) 6x dx = 3∫cos(x2) 2x dx （常数乘数可以移到外面。
见 积分法则。
）可以照样做了：3∫cos(u) du = 3 sin(u) + C 把 u=x2 代回去：3 sin(x2) + C做好了！我们来看一个比较复杂的例子：:例子：∫x/(x2+1) dx好…… x2+1 的导数是 2x …… 所以我们可以这样重排：∫x/(x2+1) dx = ½∫2x/(x2+1) dx 得到：求积分：½∫1/u du = ½ ln(u) + C 把 u=x2+1 代回去：½ ln(x2+1) + C来看看这个：例子：∫(x+1)3 dx…… x+1 的导数是 …… 1！所以：∫(x+1)3 dx = ∫(x+1)3 · 1 dx 得到：求积分：∫u3 du = (u4)/4 + C 把 u=x+1 代回去：(x+1)4 /4 + C就是这样！总结若积分可以写成这个格式：我们便可以做这个变换：u=g(x)，然后求积分∫f(u) du最后把 g(x) 代回 u 里。
换元积分法的技巧归纳
换元积分法是一种重要的积分技巧，通过引入适当的变量替换，将复杂的积分转化为更易于计算的积分形式。
以下是换元积分法的几个常见技巧：
1.三角换元法：对于形如∫a2−x21dx的积分，可以通过三角换元法将其转化为∫a2−r2
1dθ，其中x=a cosθ。
这种方法适用于处理与圆有关的积分问题。
2.倒代换法：对于形如∫x+axndx的积分，可以通过倒代换法将其转化为∫a(a−x)n⋅a1
dx，其中x=a−t。
这种方法适用于处理分母中含有x的项的积分问题。
3.根式换元法：对于形如∫1+xxdx的积分，可以通过根式换元法将其转化为∫1+tt⋅t22
dt，其中x=t2。
这种方法适用于处理分母中含有开方项的积分问题。
4.指数换元法：对于形如∫ex2dx的积分，可以通过指数换元法将其转化为∫eetetdt，
其中x=et。
这种方法适用于处理指数函数的积分问题。
5.代数换元法：对于形如∫(x−a)(x−b)xdx的积分，可以通过代数换元法将其转化为
∫t(t−a)(t−b)t−adt，其中x=t。
这种方法适用于处理分母中含有二次项的积分问题。
以上是换元积分法的几种常见技巧，通过灵活运用这些技巧，可以解决许多复杂的积分问题。
换元积分详解
x 2n1
1 xndxn
(xn 9)9 dx n (xn 9)9
(5)被积函数可写成 f (sinx)cosx或 f (cosx)sinx的形式, 例如
f (sin x)cos xdx f (sin x)d sin x f (cos x)sin xdx f (cos x)d cos x
24
22
x a2 x2 a2 sin1 x C
2
2a
例2 求
dx (a 0)
a2 x2
解:
x
a
tan
t(
2
t
2
),
t
tan 1
x a
,
a2 x2 a2 a2 tan2 t a 1 tan2 t a sin2 t cos2 t a sect, cos2 t
dx a sec2 tdt
a2 x2
1 (x / a)2
1u2
a
例5
(x3 x) 1 x2 dx 1
(x2 1) 1 x2 dx2 1
3
(1 x2 )2 d (1 x2 )
2
2
1x2u 1
3
u 2 du
1
2
(1
5
x2 )2
C
1
(1
5
x2 )2
C
2
25
5
常见的凑元法有以下几种情况:
(1)关于自变量是线性形式,例如
x
1 t2 1 t2
, sin
x
2t 1 t2
, dx
2dt 1 t2
)或 tan
x
t
tan x t, 2
dt sec2 x d ( x), 22
dt (1 t2 )d( x). 2
4换元积分法
1 例12 求 dx . 1 cos x 1 1 cos x 解 dx dx 1 cos x 1 cos x 1 cos x
1 cos x 1 cos x dx dx 2 2 1 cos x sin x 1 1 2 dx 2 d (sin x ) sin x sin x 1 cot x C. sin x
类似地可推出 sec xdx ln(sec x tan x ) C .
d(x ) 2 sin( x ) 2 ln[csc( x ) cot( x )] C 2 2 ln(sec x tan x ) C
1 sec xdx cos x dx
g( x )dx
化为 f [( x )]( x )dx .
观察重点不同，所得结论不同.
注
① 定理说明：若已知 f ( u)du F ( u) C 则 f [ ( x )] ( x )dx F [ ( x )] C
因此该定理的意义就在于把
f ( u)du F ( u) C
——凑微分
③凑微分法就在凑微分上，其基本思想就是对被积 表达式进行变形，主要考虑如何变化 f ( x )dx
凑微分法的基本思路：
与基本积分公式相比较，将不同的部分—— 中间变量和积分变量——变成相同
步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量 例1 求 sin 2 xdx .
1 解（一） sin 2 xdx sin 2 xd ( 2 x ) 2 1 cos 2 x C ; 2
1 2 dx x 1 2 a 1 1 x x 1 arctan C . 2d a a x a a 1 a
换元积分法
例2 求 (3x 1)
2008
dx.
解 令u 3x 1，得du 3dx，得dx 1 du， 3
于是有 (3x－ 1)
2008
dx u
2008 1
3
du
1 2008 = u du 3
1 1 2009 u C 3 2009 1 (3 x 1) 2009 C. 6027
1 x arctan C. a a
例11 求
1
a -x
2
2
dx.
1 dx
1 解 dx 2 2 a a -x
1
x 1 a
1
2
1 a
1
x d 2 a x
a
x arcsin C. a
1 例12 求 2 dx. 2 x a
3 1 2 ( x 4)2 C. 3
还应注意到，在换元—积分—还原的解题过程中， 关键是换元，若在被积函数中作变量代换 ( x), 还需要 在被积表达式中再凑出 ' ( x)dx 即d ( x) ，也就是 du ， 这样才能以u为积分变量作积分，也就是所求积分化为
f ( x) d ( x) f (u ) du F ( x) C
1 2 dt 2 d(1 t ) 1 t
2t 2 ln 1 t C
2 x 2 ln 1 x C.
一般的说，若积分 f ( x)dx不易计算可以作适当的 变量代换 x (t ) ，把原积分化为 f ( ( x))' ( x) dt 的形 式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要 将 t 1 ( x) 代回.还原成x的函数，这就是第二换元 积分法计算不定积分的基本思想.
换元积分法讲解
换元积分法讲解换元积分法，也叫作变量代换法，是求解不定积分时常用的一种方法。
它通过引入一个新的变量，使得被积函数能够简化或者变得更易积分。
换元积分法的基本思想是做一个变量替换，将原来的自变量用新的变量表示。
这个变换需要满足两个条件，一是变换函数要有可逆性，意味着可以根据新变量求得原来的自变量，二是需要保持被积函数在新变量下的性质不变。
换元积分法的一般步骤如下：1. 选择一个适当的变量代换，通常选择的是被积函数中的一部分作为新的变量。
2. 将原被积函数用新变量表示，并计算其微分。
3. 将被积函数中的其他自变量用新变量表示，并将原来的积分变量替换为新变量。
4. 简化或者改写被积函数，使其变得更易积分。
5. 对新的被积函数进行求积分。
6. 将得到的结果用新变量表示，并将新变量换回原来的变量。
以下是一个具体的例子，通过变量代换来求解∫(x^2+1)^3 dx的不定积分：1. 选择变量代换 u = x^2+1。
2. 对上述变换式两边求导，得到 du = 2x dx。
3. 将原来的被积函数中的 x^2+1 用 u 替换，得到新的被积函数 (u)^3 * (1/2) du。
4. 简化新的被积函数，得到 u^3/2 du。
5. 对新的被积函数进行求积分，得到 (2/5) u^5/2 + C，其中 C 是积分常数。
6. 将结果用新变量 u 表示，并将 u 换回 x^2 + 1，得到最终的不定积分结果 (2/5) (x^2+1)^(5/2) + C。
通过换元积分法，我们可以将原来较为复杂的不定积分转化为更简单的形式，从而更容易求解。
但需要注意选择适当的变量代换，以及恢复原来的变量时的替换和计算。
第3节换元积分法
例23
[(1 x)6 (1 x)7 ]dx
1 (1 x)7 1 (1 x)8 C .
7
8
x3 4 x2 dx 1 x2 4 x2 dx2 2
1 (4 x2 4) 4 x2d(4 x2 ) 2
1
(4
5
x2)2
4
(4
x2
3
)2
C
.
5
3
16
例24
1
1 ex
dx
2
5
dx
1
1
x
a2 x2 dx a arctan a C
1
2
1 ( x2 1)2
d( x2 1) 4
1 arctan
4
x2 1 C 2
.
例27
dx
x x2
dx
x(1 x) 2
dx 1 ( x )2
2arcsin x C .
dx
或解
dx
dx
x
a2 x2 axrcsi1n a C
一、换元法公式
xt
公式 ： f (x)dx f ( t )t dt.
其中 可导函数 x有反函数，且 x 0.
从右到左称为第一种换元法, 即凑微分法；
从左到右称为第二种换元法.
常用的几种配元形式:
1
(1) f (ax b)dx a
(2) f (xn )xn1 dx 1 n
(3)
f
1 (ln | x a | ln | x a |) C 1 ln x a C .
2a
2a x a
dx
x2 a2
1 ln 2a
xa xa
C
另外：
dx a2 x2
微积分换元积分法
解题技巧的总结与提炼
观察与分析
在解题过程中，学会观察和分析，识别题型和所使用 的换元方法。
灵活运用公式
熟练掌握各种换元公式的形式和特点，根据题目条件 灵活运用。
简化计算
在解题过程中，尽量简化计算，避免复杂的运算过程， 提高解题效率。
实际问题的应用与解决
物理问题
将换元积分法应用于解决物理问题，如力学、 热学等领域的问题。
详细描述
在选择换元变量时，应尽量选择容易处理的变量，如使积分区间变为常见的简单区间或 使被积函数形式简化。同时，需要确保换元转换的等价性，即新旧变量之间的转换关系
必须是可逆的。
换元后积分的计算与化简
总结词
换元后需要对新的积分进行计算和化简，这 一步涉及到对积分公式和技巧的掌握。
详细描述
在换元后，需要利用已知的积分公式和技巧 对新积分进行计算。有时可能需要利用代数 方法对积分表达式进行化简，如合并同类项、 提取公因式等。此外，还需注意消除积分的 上下限，并确保最终结果的正确性。
指数代换
对于形如$x^n$的被积函数，可 以使用指数代换将其转换为容易 积分的形式。
03
换元积分法的实践应用
三角函数换元法
总结词
通过引入三角函数变量替换，将复杂的 积分问题转化为更易于解决的积分问题 。
VS
详细描述
三角函数换元法通常用于处理包含平方根 或与三角函数相关的积分。通过选择适当 的三角函数和变量替换，可以将积分表达 式简化，从而更容易计算出结果。
微积分换元积分法
目
CONTENCT
录
• 换元积分法简介 • 换元积分法的基本原理 • 换元积分法的实践应用 • 换元积分法的注意事项与难点 • 换元积分法的练习与提高
第3节定积分的换元积分法
e
例5 求积分 0 e x dx
1
解： x t 2 dx 2tdt , 令
1
0
e dx e 2tdt 2 e tdt 2 tde
x 1 t 1 t 1 0 0 0 t 1 1 t t 1 t 1
t
2(e t 0 e dt ) 2(e t 0 e 0 )
1
例2 计算
0
x cos xdx
0
x cos xdx xd sin x xsin x 0
0
sin x dx
0
u dv v
0 ( cos x ) 0 cos x 0 2
例3 计算
1
0
arctan xdx
1 0
1
1
0
arctan x d x arctan x x
例1 计算
解: 令 u sin t ， du cos tdt , 且 则
当 t 0 时， 0;当 t 时，u sin u
2
2
1;
∴原式 =
1
0
u2 1 1 udu 2 0 2
sin 2 t 解2： 原式 2 sin td (sin t ) 0 2
a
证毕。
即：
1)奇函数在对称区间上的积分等于0
2)偶函数在对称区间上的积分等于对称的部分区间
上积分的两倍
例5. 计算
x 4 sin xdx
解： x 4 在 [ , ]是偶函数，
定积分的换元积分法
定积分的换元积分法
1换元积分法简介
换元积分法是一种常用的资源分配原则，据报道，在资源限制的情况下，基于定量的资源管理，每个组织都可以用固定积分折算成其他资源，实现资源的有效分配、高效利用和优质应用。
2换元积分法的定义
换元积分法的定义是：将某种特定的定量资源用固定积分表示，根据具体需求，在固定积分范围内不同比例换算成其他资源，以有效调整组织或集体中资源分配和使用，以满足不同组织或集体间的资源需求。
3换元积分法的优势
（1）换元积分法可以实现定量资源有效地分配，有助于让每个组织内部有效利用资源。
（2）换元积分法可以提高组织内部财务结算的效率，降低组织内部的费用开支。
（3）换元积分法能够有效衡量组织内部不同资源之间的价值，使组织内部拥有不同价值的资源，同时又可以实现资源优化分配。
4换元积分法的应用
换元积分法在我国目前已经得到广泛的应用，如：我国的国家部门统一采购、统一预算，办公室的会议管理，Ally Holdings信息公司的图书管理，大学校园里的学习资源分配，企业内部的物资管理，以及政府交往的资源调配和政府的公共财政管理等。
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1 6 sin x cos xdx sin xd sin x 6 sin x C
m n 对于形如 sin x cos xdx 的积分，
1 u 5 du u 6 C 6
当m, n中有一个为奇数时，总可以用这个方法处理.
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1 1 1 ln(1 )dx ln(1 )dx ln(1 ) x x x d (1 1 ) x( x 1) 1 1 x x 2 (1 ) (1 ) x x
(7)利用三角函数公式,常用的三角形式: ①倍角公式
②积化和差公式
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第二节
一、第一类换元法
换元积分法
通常一个函数的导数是容易求出的,但是要求一个 函数的原函数是很困难的.直到现在只能求出绝少部分 的原函数.为了求解原函数，现在介绍几种常用的积分
方法. 第一换元积分法也称为凑元法。
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定理1 设u =φ(x)在区间[a, b]上可导,
公式成立是有条件的.
1)等号右边的不定积分或原函数要存在, 且容易积分.
2)求出后要用反函数代回原变量.单调性是保证反函数的 存在.
常用的变量代换有下列四种类型：
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1、 三角代换
利用三角函数进行代换,可以使被积函数简单 当被积函数含有平方和或平方差的二次根式时,根据恰 当的三角恒等式作三角代换. 例如对
( x) ,
g(u)在[α.β]上有原函数G(u), 则不定积分存在, 且
g ( ( x)) ( x)dx g (u )du |
u ( x )
G ( ( x)) C
证明: 用复合函数的求导法则，验证
[G( ( x)) C] G(u) ( x) g (u) ( x) g ( ( x)) ( x)
e x 1u
du 1 u2
arcsin(e x 1) C
例10
dx d ln x 1 d (2 ln x 1) 1 x(1 2 ln x) 1 2 ln x 2 1 2 ln x 2 ln | 2 ln x 1 | C
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(5)被积函数可写成 f (sinx)cosx或 f (cosx)sinx的形式, 例如
f (sin x) cos xdx f (sin x)d sin x
f (cos x) sin xdx f (cos x)d cos x
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1 1 (6)被积函数可写成 f ( ) 2 的形式,例如 x x
例11
1 1 30 (8 x 1) dx (8 x 1) d (8 x 1) (8 x 1)31 C 8 248
30
例12
sin 3x sin 2 xdx
1 (cos5 x cos x)dx 2
1 1 1 1 [ d sin x d sin 5 x] sin x sin 5 x C 2 5 2 10
2
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例6
dx 1 1 1 1 d ( x a) 1 [ ]dx d ( x a) x2 a2 2a x a x a xa 2a xa
1 1 xa (ln x a ln x a ) C ln C 2a 2a x a
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常见的凑元法有以下几种情况: (1)关于自变量是线性形式,例如
1 f (ax b)dx a f (ax b)d (ax b) (a 0) g ( x) (2)被积函数可写成 的形式，例如 g ( x)
dx (ln x) (l x ln ln x dx ln ln x d (ln x);
dx dx 1 x n 1 dx 1 d ( x n 1) x x n1 x(1 x n ) [ x 1 x n ]dx x n 1 x n
(4)被积函数可写成 g(xn) x2n-1 的形式,例如
x 2 n 1 1 x n dxn ( x n 9)9 dx n ( x n 9)9
例8
csc xdx
dx d ( x / 2) d ( x / 2) sin x sin( x / 2) cos( x / 2) tg ( x / 2) cos 2 ( x / 2)
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例9
e x dx 2e x e 2 x
d (e x 1) 1 (e x 1) 2
F ( x) d dt 1 f ( (t )) (t ) f ( (t )) f (x ) dt dx (t )
f ( x)dx F ( x) C ( 1 ( x)) C (t ) |t 1 ( x ) C
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此外，常用的三角公式还有sec2x=1+tg2 x等 例如
x 3 (1 cos 2 x) 1 1 x cos xdx dx x 3dx x 3 cos 2 xdx 2 2 2
3 2
ab 0,
dx a cos x b sin x 2 2 a b (
t 1 ( x )
(t ) |t 1 ( x ) C
( x ) 是x
=ψ(t)的反函数.
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证明: x (t ). dx (t )dt.
dt 1 . t 1 ( x ) dx (t )
f ( (t )) (t )dt (t )记F ( x) (t ) ( 1 ( x ))
例3
u dx d ( x / a) du 1 x a arctg C a2 x2 a[1 ( x / a)2 ] a(1 u 2 ) a a
x
例4
dx a2 x2
d ( x / a) 1 ( x / a)2
x u a
x arcsin C (a 0) a 1 u2
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例7
cos x d (sin x) sin xt dt 1 1 1 sec xdx cos2 xdx 1 sin 2 x 1 t 2 2 (1 t 1 t )dt
1 1 1 sin x [ln(1 t ) ln(1 t )] C ln C 2 2 1 sin x
a sin xdx b cos xdx (a cos x b sin x) a cos x b sin x a cos x b sin x a cos x b sin x dx
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(3)被积函数可写成 f (xn)xn-1 的形式,例如
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例14
1 xdx dx 2 x3dx 1 x2 1 1 2 1 dx 2 2 2 1 x 2 2 1 x 2 dx 2 [ dx 1 x 2 ]
1 2 x ln 1 x 2 C 2
例15
sin 2 x 2sin x cos x sin 2 x cos xd cos x 2udu du 2 sin xdx d cos x 1 cos2 xdx 2 1 cos2 x
例13
1 cos 2 x 2 1 1 cos 4 x sin 4 xdx ( ) dx (1 2 cos 2 x )dx 2 4 2
1 3 1 3 1 1 ( 2cos 2 x cos 4 x)dx x sin 2 x sin 4 x C 4 2 2 8 4 32
“凑”的方法：通常把较复杂的函数看成g(φ(x))
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例1
sin x d (cos x) tgxdx cos xdx cos x
du ln u C ln cos x C u
u cos x
例2
5 5
sin x u
5 2 5 2 u ax b 1 b 1 b du adx (ax b) 3 dx (ax b) 3 dx 2 u 3 du 2 u 3 du a a a a
8 5 3 3b 2 (ax b) 3 2 (ax b) 3 C 8a 5a
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第一换元积分法(凑元法)的关键是把f(x)dx凑成 g(φ(x))φ’(x)dx如何凑?这是一个技巧性很强的工作，
要求我们熟练掌握基本积分公式。在解题前需要一些
三角函数的恒等变换,分子分母的有理化, 分子加减某 项等方法.但不同的方法得到积分的结果往往不相同, 我们可通过求导可知道它们是否同一被积函数.
a 2 x 2 , a 2 x 2 可设x a sin t , x atgt
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例1 求
a 2 x 2 dx(a 0)
解: x a sin t (
cos2 x 1u du d cos 2 x du ln|u| C u
cos x u
d cos 2 x ln 1 cos 2 x C 2 1 cos x
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例16
2 1 b x 3 (ax b)2 dx [ (ax b) ](ax b) 3 dx a a