换元积分法
常用积分换元公式换元积分法的公式
常用积分换元公式换元积分法的公式积分换元法是求解积分的一种重要方法，通过引入合适的变量替换的方式，将原积分转化为更容易求解的形式。
下面是一些常用的积分换元公式和换元积分法：1.换元公式(1)第一类换元公式：设函数u=u(x)具有一阶连续导数，则有如下公式：∫f(u)du = ∫f(u(x))u'(x)dx(2)第二类换元公式：设函数x=x(u)可导，且反函数存在，则有如下公式：∫f(x)dx = ∫f(x(u))x'(u)du(3)第三类换元公式：设函数x=x(t)，y=y(t)可导，且满足y=y(x)，则有如下公式：∫f(x,y)dx = ∫f(x(t),y(t))x'(t)dt2.常见换元积分法(1)坐标换元法：根据问题中给定的坐标关系，选择适当的新坐标，从而简化积分的计算。
常见的坐标换元法包括：极坐标、柱坐标、球坐标等。
(2) 幂次换元法：对于形如∫f(x)(ax+b)^n dx的积分，可以引入变量u=ax+b进行代换，从而将积分转化为幂函数的积分。
(3) 三角换元法：对于形如∫f(x)sin(ax+b) dx或∫f(x)cos(ax+b) dx的积分，可以引入变量u=ax+b进行代换，从而将积分转化为三角函数的积分。
(4) 指数换元法：对于形如∫f(x)e^x dx的积分，可以引入变量u=e^x进行代换，从而将积分转化为指数函数的积分。
(5) 对数换元法：对于形如∫f(x)/x dx的积分，可以引入变量u=ln，x，进行代换，从而将积分转化为对数函数的积分。
(6) 倒代换法：对于形如∫f(g(x))dg(x)的积分，可以引入变量u=g(x)进行代换，然后将dg(x)用du表示，从而将积分转化为对u的积分。
(7) Weierstrass换元法：对于形如∫R(x,√(ax^2+bx+c)) dx的积分，可以引入变量u=√(ax^2+bx+c)+px+q进行代换，然后将积分转化为对u的积分。
换元积分
第二节 换元积分法
基本积分表的扩充
(14) sh x dx ch x C , (15) ch x dx sh x C , (16) tan x dx ln | cos x | C , (17) cot x dx ln | sin x | C , (18) sec x dx ln | sec x tan x | C , (19) csc x dx ln | csc x cot x | C ,
第第二二节节 换换元元积积分分法法
第二节 换元积
例例77
解
求求
ddxx xx((11 22llnn
dx
x(1 2 ln x)
xx)) ..
例10
第 二节d(换ln元x)积解分法1
1 2 ln x 2
求 sin 44 xdx .
sind4(2xdlnxx)
1 cos 2x 2
1 2 ln x 第二节2 换元积
.
ta
x
2
a
t
2
t
1 d(1 a2t 2 )
1
22
x2 a2
第二节 换元积分法
第二换元积分法常用的4种代换
(1) x = asin t 用于被积函数中含有 a2 x2 , (2) x = atan t 用于被积函数中含有 x2 a2 , (3) x = asec t 用于被积函数中含有 x2 a2 , (4) x 1 用于将被积函数分母中的高次因子翻
换元公式 f [(x)](x)dx f (u)du . u ( x) 证明 设 F(u) 是 f (u) 的原函数，则有
如何应F用(u换) 元f公(u式) 求或 g(fx()udx)d呢u ？F(u) C .
换元积分法
1 4
(
2x 3
2x 1)dx
1 4
2x
3dx
1 4
2x 1dx
1 8
2
x
3d(2
x
3)
1 8
2x 1d(2x 1)
1
31
3
2x 3 2x 1 C.
12
12
14
例12. 求 tan3 x dx tan2 x tan x dx
(sec2 x 1)tan x dx
a2 x2
a
18
例17. 求
解:
1 1 x2 a2 2a
(x a) (x a) ( x a)( x a)
1( 1 2a x a
1) xa
∴
原式
=
1 2a
dx xa
dx
x
a
1 2a
d( x a) xa
d( x a) xa
1 ln
2a
xa
ln
xa
C 1 ln 2a
xa xa
)
1 2
1
1 x
2
d(1
x2
)
u 1 x2
1 2
1du u
1 ln u C 2
1 ln(1 x2 ) C . 2
例2 x 1 x2dx 1 1 x2d(-x2 ) 2
1 2
1 x2d(1 x2 ) u 1 x2 1
2
udu
1
2
3
u2
C
1
3
u2
C
1
(1
x
2
)
3 2
29
小结
1、常用的几种凑微分形式:
1
(1) f (ax b)dx a
换元积分法
∫ f (sec x )sec x tan xdx = ∫ f (sec x )d (sec x )
∫ f (arcsin x ) ∫
1
2
1− x 1 f (arctan x ) dx = ∫ f (arctan x )d (arctan x ) 2 1+ x
dx = ∫ f (arcsin x )d (arcsin x )
5
Hale Waihona Puke 调整系数时，只管 不管 不管b. 调整系数时，只管a不管 ∵d(b)=0
1 1 5 (ax + b ) dx = ∫ (ax + b ) d (ax + b ) = (ax + b ) 6 + C ∫ a 6a 补充例题 1 1 ∫ sin( 3 x + 2)dx = 3 ∫ sin( 3 x + 2)d (3 x + 2) = − 3 cos(3 x + 2) + C 1 1 sec 2 ( 2 x + 1)dx = ∫ sec 2 ( 2 x + 1)d ( 2 x + 1) = tan( 2 x + 1) + C ∫ 2 2
)
9
课本例题： 课本例题： 例5 求 ∫ tan xdx 解
∫ cot xdx = ln sin x + C
sin x 1 dx = − ∫ d cos x = − ln cos x + C ∫ cos x cos x
∫ tan xdx =
1 dx 例6 求 ∫ 2 2 a +x 1 1 1 1 1 x 解 ∫ 2 d( ) =∫ ⋅ dx = ∫ 2 ⋅ dx 2 2 2 a a a +x a x x 1+ 1+ a 1 x a = arctan + C a a
换元积分法
f (x)dx F(x) C
中的 x 换成了可微函数 j (x) . 所以说把基本积分表
中的积分变量换成可微函数 j (x) 后仍成立 .
1. 利 用 dx 1 d(ax b), a, b 均为常数，且 a 0. a
例 1 求 sin(3x 2)dx.
解 对照基本积分表，上式与表中 sinx dx 相似，
a
dx 1 x 2
a
dx a
1
x
2
a
arcsin x C. a
dx
x
arcsin C.
a2 x2
a
例 5 求
dx a2 x2
(a > 0 常数).
解
dx a2 x2
1 dx
a2
1
x
2
1 a
dx a
则
ln x dx x
ln xdln x
1 ln2 2
x C.
一般公式:
f
(ln
x)
dx x
f (u) d u
(u ln x) .
xdx 1 dx2. 2
则
xe x2 dx 1 e x2 dx 2 1 ex2 C
2
2
经求导验算，
即 结果正确 .
1 e x2 C xe x2 .
2
例7
求
ln x x
dx.
解 将被积分式中的 1 dx 因子凑微分，即 x
1 dx d(ln x). x
1
换元积分法简明易懂
换元积分法简明易懂换元积分法又被称为代数凑式法，是一种常用的数学积分方法。
它适用于求解一些复杂的积分，通过将被积函数中的一部分进行代数凑式，将原积分转化为一个新的积分形式。
因此，它是日常生活中数学计算中的重要手段之一。
下面我们来详细了解一下这个方法。
一、变量代换假设要求解一个积分式为：∫f(x)dx换元积分法的第一步是选定一个新的变量，使得在这个新的变量下，原来的积分式的形式会更加简单。
例如，可以选定一个新的变量u，使得：u = g(x)其中，g(x)为一个可导函数。
因此，根据链式法则，可以得到：也就是说，新变量u的微分可以表示为：将上述表达式代入原积分式中，可以得到：∫f(x)dx = ∫f(g(x))/g'(x) du这样，原来的积分式已经被变成了一个用u表示的新的积分式。
二、换元积分法的具体操作1、当原积分式中只有一项如果原积分式中只有一个项f(x)，需要进行代数凑式。
比如：∫x^3cos(x^2)dx令u=x^2，那么可以得到：du/dx = 2x由此，可以得到：这样，原来的积分式就变成了一个用u表示的新的积分式。
对于这个新的积分式，我们可以使用几何意义、分部积分等方法进一步求解。
对于原积分式中的多项式，需要将其中一部分代入新变量中，比如：∫(x+1)sin(x^2+2x+1)dx三、特殊情况换元积分法也适用于一些特殊的积分式。
下面介绍几种常见的特殊情况。
1、当原式中出现了幂函数时此时，需要选定一个新的变量u，使得du/dx中出现了与f(x)的形式相同的幂函数。
比如：比如：∫√(1-4x^2)dx = -1/8 ∫√udu以上就是换元积分法的具体操作，希望能够对大家有所帮助。
定积分的换元积分法
定积分的换元积分法
换元积分法是指将一个原有的积分按某种规定定义相互换算兑换为新的积分的方法，
又称按档次分类法。
换元积分法是一种将原有积分分类标准化，并形成新分类规则的方法。
换元积分法建立在原有考核标准和实践考核指标基础上，以提高参加者考核成绩，以便做
出客观公正的评价和决策，从而实现考核绩效的改进。
换元积分法的基本原理是把原有积分按照规定的分类档次，换元无量纲化，即把原有
积分按规定的档次换元转换为新的标准积分，这样就可以很轻易比较不同参与考核者的考
核绩效。
换元积分法的设计要求考核指标的划分不可过于任意，也不可过多，考核标准的
标准分类档次应该越多越好，考核者的表现也应该由易至难分成多个档次，使考核更加客
观公正。
换元积分法还具有计算简便、考核灵活可编辑性、更利于客观评价等特点。
在考核中，有许多分类标准，比如能力和表现，进步程度等等，换元积分法可以利用各种标准进行积分，把原有积分按照规定的档次换算为新的标准积分，这样可以使考核更加客观公正，并
且它可以很灵活地根据考核过程不断改进，便于做出客观公正的评价和决策。
换元积分法是一种有效的考核方式，它可以有效规范各种考核测试，使考核成绩具有
一定的公正性和可比性，使市场参与者更容易把握自己的考核状态。
然而，换元积分法的
实施也有一定的局限性，即考核内容受限于原有的积分考核标准和实践考核指标，可能无
法满足实际考核的新要求，因而需要定期修正考核内容和指标，让它更适应变化的环境。
换元积分法
tan 2tdt (sec2t - 1)dt tan t - t C
x sect
2
1 cos t
1 cost , x
1 t arccos , x
1 原式 x - 1 - arccos C x
练习：
2、三角代换：被积函数型如→
(1) a 2 x 2 , 设x a sin t ; (3) x 2 a 2 , 设x a sect. (2) a 2 x 2 , 设x a tan t ;
例1：求 4 - x 2 dx
解：设x 2 sin t , 则 4 - x 2 4 - 4 sin 2 t
4(1 sin 2 t ) 2 cost
dx d (2 sin t ) (2 sin t)' dt 2 costdt
原式 2 cos t 2 cos tdt
2t sin 2t C x x 4 - x2 sin t , t arcsin , 又 cos t 2 2 2
解：设x 3 tan t , 则 x 2 9
dx d (3 tan t ) (3 tan t)' dt 3 sec2 tdt
原式 1 3 sec2 tdt 3 sect
sectdt
ln sect tan t C
x tan t , 3
sect
cosudu 求结果 sin u C
分析本例被积函数的特点：
sin x 2 C
1、被积函数能看做两函数的乘积; 2、其一为复合函数；
3、其二能看做复合函数的中间变量的导数。
此题的解法被称作第一换元法，又叫凑微分法。用公式表示为：
换元积分法
4.2 换元积分法
经济数学 4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例2
求下列不定积分
(1) xex2 dx
解：
由于 xdx 1 d (x2 ) ，所以 2
xex2 dx 1 ex2 dx 2 1 ex2 C 2
同理:
(2)
x 1 x2
dx
1 2
ln(1
x2
)
C
4.2 换元积分法
4.2 换元积分法
经济数学 4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例1 求下列不定积分
(1)
dx x 1
解： 令 x 1 u 则 dx du，于是
dx x 1
du u
ln u C
同理可得:
(2)
dx 1 x
ln
1
x
C
(3)
dx 2
1 x
1 x C
再将u x 1 代回，得
dx x 1
ln
x
1
C
4.2 换元积分法
经济数学
4.2.1 第一换元积分法 3.第一换元积分公式的应用
例1 求下列不定积分
(4) (2x 1)4dx
同理有:
(5) e2x1dx 1 e2x1 C 2
解：
令
2x 1 u则
dx 1 du ，于是 2
(2x 1)4 dx 1 2
u 4 du
4.2 换元积分法
经济数学 4.2.1 第一换元积分法 2.第一换元积分法
计算过程
f
[ ( x)] ( x)dx
凑微分
f
[ ( x)]d ( x)
令 ( x)u
积分
换元积分法
第二换元积分法求不定积分时，可按以下步骤进行
例20 求 解
a
x
t
例21 求 解
x
t a
例22 求 解
x
t a
例20—例22中的解题方法称为三角代换法或三角换元法. 一般的说，应用三角换元法作积分时适用于如下情形：
补充的积分公式：
例2 求 解
例3 求 解
用第一换元积分法求不定积分的步骤是：
上述过程可表示为
例4 求 解
还应注意到，在换元—积分—还原的解题过程中，关键是换元，若在被积函数中
作变量代换
还需要在被积表达式中再凑出
即 ，也就是 ，这样
才能以u为积分变量作积分，也就是所求积分化为
在上述解题过程中u可不必写出，从这个意义上讲，第一换元积分法也称为“凑微 分”法.
一般的说，若积分
不易计算可以作适当的
变量代换
，把原积分化为的形源自式而可能使其容易积分.当然在求出原函数后， 还要
将
代回.还原成x的函数，这就是第二换元
积分法计算不定积分的基本思想.
定理5.3
证 由复合函数的求导法则以及反函数的求导公式，有
这就说明了
是的f(x) 原函数.
例18 求 解
例19 求 解
的积分，可分两种情况：
例14 求 解
例15 求 解
还需说明的是，计算某些积分时，由于选择不同的变量代换或不同的凑微分形 成，所以求出的不定积分在形式上也可能不尽相同，但是它们之间至多只相差一个 常数项，属于同一个原函数族.
例16 求 解法1 解法2
解法3
二、第二类换元积分法
例17 求 解
一、第一类换元法
例1
分析
换元积分法讲解
换元积分法讲解换元积分法，也叫作变量代换法，是求解不定积分时常用的一种方法。
它通过引入一个新的变量，使得被积函数能够简化或者变得更易积分。
换元积分法的基本思想是做一个变量替换，将原来的自变量用新的变量表示。
这个变换需要满足两个条件，一是变换函数要有可逆性，意味着可以根据新变量求得原来的自变量，二是需要保持被积函数在新变量下的性质不变。
换元积分法的一般步骤如下：1. 选择一个适当的变量代换，通常选择的是被积函数中的一部分作为新的变量。
2. 将原被积函数用新变量表示，并计算其微分。
3. 将被积函数中的其他自变量用新变量表示，并将原来的积分变量替换为新变量。
4. 简化或者改写被积函数，使其变得更易积分。
5. 对新的被积函数进行求积分。
6. 将得到的结果用新变量表示，并将新变量换回原来的变量。
以下是一个具体的例子，通过变量代换来求解∫(x^2+1)^3 dx的不定积分：1. 选择变量代换 u = x^2+1。
2. 对上述变换式两边求导，得到 du = 2x dx。
3. 将原来的被积函数中的 x^2+1 用 u 替换，得到新的被积函数 (u)^3 * (1/2) du。
4. 简化新的被积函数，得到 u^3/2 du。
5. 对新的被积函数进行求积分，得到 (2/5) u^5/2 + C，其中 C 是积分常数。
6. 将结果用新变量 u 表示，并将 u 换回 x^2 + 1，得到最终的不定积分结果 (2/5) (x^2+1)^(5/2) + C。
通过换元积分法，我们可以将原来较为复杂的不定积分转化为更简单的形式，从而更容易求解。
但需要注意选择适当的变量代换，以及恢复原来的变量时的替换和计算。
换元积分法公式
换元积分法公式
换元积分法是求解不定积分的一种重要方法，其基本思想是通过变量代换将原函数中的变量替换为一个新的变量，从而将原不定积分转化为一个更容易求解的形式。
常用的换元积分法有三种：第一类换元法，第二类换元法以及特殊换元法。
下面将分别介绍这三种换元积分法的公式。
第一类换元积分法的公式如下：
若对于函数f(x)，存在一个可导函数g(x)，满足f(x) = h(g(x))g'(x)，其中h(t)为可导函数，则有∫f(x)dx = ∫h(g(x))g'(x)dx = H(g(x)) + C，其中C为常数，H(t)为h(t)的一个原函数。
第二类换元积分法的公式如下：
若对于函数f(x)，存在一个可导函数g(x)，满足f(x)中至少含有一个因式为g(x)，则有∫f(x)dx = ∫f(g(t))g'(t)dt，其中x = g(t)。
特殊换元积分法的公式如下：
常用的特殊换元积分法包括三角换元法、指数换元法、倒代换法、万能代换法等。
以上是换元积分法的三种常用公式。
在实际应用中，需要根据具体问题的不同选择不同的换元积分法，以求出较为简单的积分形式。
同时，需要注意选取合适的换元变量，并保证换元变量的可导性和可逆性，避免引入新的难以求解的形式。
换元积分法
2x)
1
3
2 (1 2x) d(1 2x)
1 令u 1 2 x
3
u du
1
u4
C
2
8
回代 1 (Biblioteka 2x)4 C. 8例3求
1 3x
dx 1
。
解 将dx凑成 dx 1 d(3x 1) ，则 3
1 3x
dx 1
1 3
d(3x 1) 3x 1
1 令u3x1 1du 1 ln u C
t
C,
将 Q(0) 0 代入可得 C 2 ，于是有
Q(t) 2 cost 2 2 (1 cost)
二、第二类换元积分法
定理2 若 f (x) 是连续函数，x (t) 有连续的导数(t) 0 ，其反
函数 t 1(x) 存在且可导，又设 f (t)(t)dt F(t) C ，则
例11 【电路中的电量】如果导线在时刻t的电流为i(t) 2sint， 那么，流过该导线的电量 Q(t) 随时间变化的规律如何？(其 中 Q(0) 0)
解 在 [t ，t t] 时间段内，流过导线的电量为 dQ i(t)dt ，则
Q(t)
i(t)dt
2 sin
tdt
2
sin
td(t)
2
cos
高等数学
换元积分法
引例 【太阳能能量】预测太阳能的能量Q相对于太阳能接触的表 面面积s的变化率为 dQ 0.05 ，其中 Q(0) 0 。求太阳能的能
ds s 100 量Q的函数表达式
解
Q
0.05 ds s 100
一、第一类换元积分法（凑微分法）
例如 e2xdx ，在基本积分公式中有 exdx ex C ，比较 e2xdx 和 exdx 我们发现，只是 的幂次相差一个常数因子 ex，
第3节换元积分法
例23
[(1 x)6 (1 x)7 ]dx
1 (1 x)7 1 (1 x)8 C .
7
8
x3 4 x2 dx 1 x2 4 x2 dx2 2
1 (4 x2 4) 4 x2d(4 x2 ) 2
1
(4
5
x2)2
4
(4
x2
3
)2
C
.
5
3
16
例24
1
1 ex
dx
2
5
dx
1
1
x
a2 x2 dx a arctan a C
1
2
1 ( x2 1)2
d( x2 1) 4
1 arctan
4
x2 1 C 2
.
例27
dx
x x2
dx
x(1 x) 2
dx 1 ( x )2
2arcsin x C .
dx
或解
dx
dx
x
a2 x2 axrcsi1n a C
一、换元法公式
xt
公式 ： f (x)dx f ( t )t dt.
其中 可导函数 x有反函数，且 x 0.
从右到左称为第一种换元法, 即凑微分法；
从左到右称为第二种换元法.
常用的几种配元形式:
1
(1) f (ax b)dx a
(2) f (xn )xn1 dx 1 n
(3)
f
1 (ln | x a | ln | x a |) C 1 ln x a C .
2a
2a x a
dx
x2 a2
1 ln 2a
xa xa
C
另外：
dx a2 x2
换元积分法
x
dx
22
tan
1 x cos2
x
d( x) 2
22
1 tan
x
d(tan
x )
2
ln tan x C 2
2
lncsc x cot x C.
解(二)
csc xdx
1 sin
x
dx
sin sin2
x x
dx
1
1 cos2
x
d(cos
x) u2
du
1 2
1
1
u
1
常数因子恰好是中间变量u的导数. 作变换u 2x,有
2cos2xdx cos2x 2dx cos2x (2x)dx cos udu sin u C
sin 2x C.
例2
求
3
1 2
dx. x
解
3
1 2
dx x
1 2
3
1 2
d(2 x
x
)
1 2
3
1 d(3 2x
2
x
)
令 u 3 2x
sin2 x (1 sin2 x)2d(sin x)
(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin 3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C .
3
5
7
说明 当被积函数是三角函数相乘时, 拆开奇次项 去凑微分.
例14 求 cos2 xdx.
解
cos2
例12 求 sin3 xdx. 解 sin3 xdx sin2 xsinxdx
(1 cos2 x)d(cos x) d(cos x) cos2 xd(cos x)
cos x 1 cos3 x C . 3
微积分换元积分法
解题技巧的总结与提炼
观察与分析
在解题过程中，学会观察和分析，识别题型和所使用 的换元方法。
灵活运用公式
熟练掌握各种换元公式的形式和特点，根据题目条件 灵活运用。
简化计算
在解题过程中，尽量简化计算，避免复杂的运算过程， 提高解题效率。
实际问题的应用与解决
物理问题
将换元积分法应用于解决物理问题，如力学、 热学等领域的问题。
详细描述
在选择换元变量时，应尽量选择容易处理的变量，如使积分区间变为常见的简单区间或 使被积函数形式简化。同时，需要确保换元转换的等价性，即新旧变量之间的转换关系
必须是可逆的。
换元后积分的计算与化简
总结词
换元后需要对新的积分进行计算和化简，这 一步涉及到对积分公式和技巧的掌握。
详细描述
在换元后，需要利用已知的积分公式和技巧 对新积分进行计算。有时可能需要利用代数 方法对积分表达式进行化简，如合并同类项、 提取公因式等。此外，还需注意消除积分的 上下限，并确保最终结果的正确性。
指数代换
对于形如$x^n$的被积函数，可 以使用指数代换将其转换为容易 积分的形式。
03
换元积分法的实践应用
三角函数换元法
总结词
通过引入三角函数变量替换，将复杂的 积分问题转化为更易于解决的积分问题 。
VS
详细描述
三角函数换元法通常用于处理包含平方根 或与三角函数相关的积分。通过选择适当 的三角函数和变量替换，可以将积分表达 式简化，从而更容易计算出结果。
微积分换元积分法
目
CONTENCT
录
• 换元积分法简介 • 换元积分法的基本原理 • 换元积分法的实践应用 • 换元积分法的注意事项与难点 • 换元积分法的练习与提高
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§ 换元积分法Ⅰ 授课题目§ 换元积分法（第一类换元法） Ⅱ 教学目的与要求：1. 理解第一类换元法的基本思想，它实际上是复合函数求导法则的逆过程，其关键是“凑微分”，dx x x d )()(ϕ'=ϕ .2. 掌握几种典型的凑微分的方法，熟练应用第一类换元积分法求有关不定积分.Ⅲ 教学重点与难点：重点：第一换元法的思想，难点：熟练应用第一换元法计算有关函数的不定积分. Ⅳ 讲授内容：一、第一类换元积分法设)(u f 具有原函数)(u F ，()()f u du F u C =+⎰.若u 是中间变量，()u x ϕ=，()x ϕ可微，则根据复合函数求导法则，有(())()[()]()dF x dF du duf u f x x dx du dx dxϕϕϕ'===。
所以根据不定积分的定义可得：()[()]()[()][][()]u x f x x dx F x C F u C f u du ϕϕϕϕ='=++=⎰⎰ 以上是一个连等式可以改变顺序从新写一遍，就有[][]()[()]()][()]()u x f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕϕ='=+=+⎰⎰.以上就是第一换元积分法。
从以上可以看出，虽然[()]()f x x dx ϕϕ'⎰是一个整体记号，但是被积表达式中的dx 可当作变量x 的微分来对待从而上式中的()x dx ϕ'可以看成是()x ϕ的微分，通过换元()u x ϕ=，应用到被积表达式中就得到()x dx du ϕ'=.定理1 设)(u f 具有原函数)(u F ，)(x u ϕ=可导，dx x du )(ϕ'=，则[()()()()[()]f x x dx f u du F u C F x C ϕϕϕ'==+=+⎰⎰ (1)如何应用公式(1)，在求不定积分积分()g x dx ⎰时 如果被积函数g (x )可以化为一个复合函数与它内函数的导函数的积的形式[()]()f x x ϕϕ'的形式 那么()()[()]()[()]x u g x dx f x x dx f u du ϕϕϕ='=⎰⎰⎰()()[()]u x F u C F x C ϕϕ==++. 所以第一换元积分法体现了“凑”的思想.把被积函数凑出一个复合函数与其内函数的积[()]()f x x ϕϕ'来.例1 求33x e dx ⎰解 33333=3x x x e dx e dx e x dx '=⎰⎰⎰()，可设中间变量x u 3=， dx x d du 3)3(==Θ 3dx du ∴=，所以有3333x x u u x e dx e dx e du e C e C ===+=+⎰⎰⎰.首先观察被积函数的复合函数是什么样的，然后看是否有它的内函数的导数，若没有就去凑。
例2 ⎰xdx 2cos解 11cos 2cos 22=cos 2(2)22xdx x dx x x dx '=⋅⋅⎰⎰⎰ 令x u 2=，显然dx du 2=，则1cos 2cos 222xdx x dx =⋅⎰⎰111cos sin sin 2222udu u C x C ==+=+⎰.在比较熟练后，我们可以将设中间变量()u x ϕ=的过程省略，从而使运算更加简洁。
例3 ⎰-dx x 5)23(解 如将5)23(-x 展开是很费力的，不如把23-x 作为中间变量，dx x d 3)23(=-Θ，5556111(32)=(32)3=(32)(32)(32)3318x dx x dx x d x x C --⋅--=-+⎰⎰⎰. 例4132dx x +⎰ 111111=2=(32)ln |32|322322322dx dx d x x C x x x ⋅+=+++++⎰⎰⎰. 例5 22x xe dx ⎰2222222()x x x xxe dx e x dx e dx e C '===+⎰⎰⎰例6 求⎰1(22x =--⎰⎰2211)(1)22x dx x '=--=--33222211211(1)2233x u C x Cu --=-⨯+=--=+. 二、掌握几种典型的“凑微分”的方法1()dx d ax b a =+； 11()n n x dx d x b n -=+； )(x x e d dx e =；1(ln )dx d x x=； 1()ln x x a dx d a a =； )(sin cos x d xdx =； )(cos sin x d xdx -=； )(tan sec 2x d xdx =； 2csc (cot )xdx d x =-； )(sec tan sec x d xdx x =；)(arcsin 12x d x dx =-；)(arctan 12x d xdx=+。
三、利用第一换元积分法法计算有关函数的不定积分计算有关函数的不定积分时，需要先把被积函数变形转化，再利用第一换元积分法计算. 例7 求⎰xdx 2sin解 2111sin (1cos 2)cos 2222xdx x dx dx xdx =-=-⎰⎰⎰⎰11(cos 2)2sin 22424x x x dx x C =-⋅=-+⎰.（此题利用三角函数中的降幂扩角公式） 例8求⎰-22xa dx)0(>a 解()arcsin x xdx C a a===+⎰. 利用dx nxx d n n 1)(-=，有如下例题例9 求⎰dx xx 21sin解 dx xxd 21)1(-=Θ 221sin1111(sin )()(sin )()x dx dx dx x x x x x '∴=--=-⎰⎰⎰ 111sin ()cos d C x x x =-=+⎰例10求⎰dx e e xx cos解 C e e d e dx e e xx x xx +=⎰⎰sin )(cos cos ＝. 利用dx e e d xx=)(，adx a a d xxln )(= 例11 求⎰-+x x e e dx习题 4-2:2(30)解 C e e de dx e e e e dx x x xx x xx +=+=+=+⎰⎰⎰-arctan 1)(1)(22. 例12 求⎰+1x e dx解 111111+-=+-+=+x xx x x x e e e e e e ΘC e x e e d x dx e e dx e dx x x x x x x ++-=++-=+-=+∴⎰⎰⎰⎰)1ln(1)1(11.例13 求dx xxx⎰+946 解 263()64239491()124x xx x x xx x xdx dx dx ==+++⎰⎰⎰ 211313[()]arctan()32ln3ln 223ln 1()22x x x d C ==+-⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰.此题利用adx a a d xxln )(= 下面几个例题利用dx xx d 1)(ln = 例14 求⎰x x dx ln解111(ln )ln ln ln ln ln dx dx d x x C x x x x x ===+⎰⎰⎰.又如习题 4-2:2（16）ln ln ln dxx x x ⋅⋅⎰;解 111=ln ln ln ln ln ln dx dxx x x x x x ⋅⋅⋅⋅⎰⎰11ln ln ln ln d x x x=⋅⎰1ln ln ln |ln ln |ln ln d x x C x ==+⎰. 例15 求dx x x ⎰+4)5ln 2(1解 44112(2ln 5)(2ln 5)2x dx x dx x x +=+⎰⎰ 4511(2ln 5)(2ln 5)(2ln 5)210x d x x C =++=++⎰.第一次课可以讲到这里.被积函数是分母是二次函数,分子是常数或一次函数的有理分式函数的不定积分的求法 (例16～例22六个例题) 例16求⎰+22x a dx)0(>a 分子是常数，分母是二次二项式，没有一次项.解 2222111()dx dx x a x a a =++⎰⎰2111()arctan 1()x xd C x a a a aa==++⎰. 例17⎰++41292x x dx被积函数分母是一个完全平方式解2211=391243(32)dx dx x x x ⋅+++⎰⎰2111(32)3(32)3(32)d x C x x =+=-+++⎰. 被积函数分母是一个完全平方式，被积函数化为22111=()()()dx d ax b ax b a ax b +++⎰⎰例18⎰++17442x x dx分子是常数，分母是二次三项式，不是完全平方式解 2221121441716(21)161()4dx dx dx x x x x ==++++++⎰⎰⎰2112111()tan()21848241()4x x d arc C x +==++++⎰ 被积函数分母是二次三项式且不可以分解因式，不是完全平方式时可以把分母配方化为2()ax b c ++的形式， 然后利用21arctan 1dx x C x=++⎰练习：求2125dx x x -+⎰（第一换元积分法分）解 2225(1)4x x x -+=-+，222111=1(25)(144(12dx dx dx x x x x =--+-++⎰⎰⎰）） 211111==arctan 122221(2x x d Cx --+-+⎰） 例19 求⎰--122x x dx分子是常数，分母是二次三项式且可以分解因式解 211111()12(3)(4)743x x x x x x ==---+--+Q2111()12743dx dx x x x x ∴=----+⎰⎰11117473dx dx x x =--+⎰⎰ 1111(4)(3)7473d x d x x x =--+-+⎰⎰1114ln |4|ln |3|ln ||7773x x x C C x -=--++=++. 被积函数分母是二次三项式且可以分解因式，被积函数可以用裂项法转化为两个简单分式的差.11[]()()()()c c x a x b a b x a x b =------例20求⎰+dx x x21 分子是一次多项式，分母是二次多项式解 xdx x d 2)1(2=+Θ2212121x x dx dx x x ∴=++⎰⎰222111(1)ln(1)212d x x C x =+=+++⎰. 例21求⎰++dx x x x1022解 2(210)(22)d x x x dx ++=+Q ，则1022222110222++-+⋅=++x x x x x x2212222102210x x dx dx x x x x +-∴=++++⎰⎰221221222102210x dx dx x x x x +=-++++⎰⎰222221(210)11ln(210)22102102(1)9d x x dx x x dx x x x x x ++=-=++-++++++⎰⎰⎰22111ln(210)129()13x x dx x =++-++⎰2111ln(210)arctan233x x x C +=++-+. 被积函数分子是一次多项式，分母是二次多项式时，首先把分子凑成分母的导数. 下面几个例题利用三角函数的微分公式：xdx x d cos )(sin =；xdx x d sin )(cos -=；xdx x d 2sec )(tan =；2()csc d cotx xdx =-例22 求 ⎰xdx tan （化切为弦）解sin sin tan =cos cos x x xdx dx dx x x --⎰⎰⎰＝ 1=(cos )ln cos cos d x x C x-=-+⎰ 例23 求⎰xdx 3tan解 322sin tan tan (sec 1)tan sec cos xxdx x x dx x xdx dx x =-=-⎰⎰⎰⎰211tan (tan )(cos )tan ln cos cos 2xd x d x x x C x =+=++⎰⎰例24 求csc xdx ⎰222tan 21cos 112csc =sin 22sin cos sin2222cos2x sec x xx xdx dx dx dx d x x x x x ==⎰⎰⎰⎰⎰＝ 1tanln |tan |22tan 2x xd C x ==+⎰. 因为 22sin 2sin 2sin 222cos 2sin cos 2221cos tan csc cot sin 2sin xxxx x xx x x x x x -=====-. 所以 csc ln |tan|ln |csc cot |2xxdx C x x C =+=-+⎰. 此题用三角万能公式代换也可以22112tan csc 2sin 21x tt xdx dx dt x t t +=⋅=+⎰⎰⎰＝1ln ||ln |tan |2x dt t C C t =+=+⎰. 例25 求s c e xdx ⎰解 22211s c s c()()cos sin()e xdx dx dx e x d x x x πππ===+++⎰⎰⎰⎰22ln |csc()cot()|ln |s c tan |x x C e x x C ππ=+-++=++. s c ln |s c tan |e xdx e x x C =++⎰例26 求cos3cos 2x xdx ⋅⎰（利用三角函数积化和差公式） 和差化积公式 积化和差2sin 2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+-=--+=+-+=--+=+； )]cos()[cos(21sin sin )]cos()[cos(21cos cos )]sin()[sin(21sin cos )]sin()[sin(21cos sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα--+-=-++=--+=-++=解 根据三角函数的积化和差公式：1cos3cos 2(cos5cos )2x x x x ⋅=+ 1cos3cos 2cos5cos 2x xdx x xdx ⋅=+⎰⎰1111cos55cos sin 5sin 102102xd x xdx x x C =+=++⎰⎰. 由以上例题可以看出，第一换元积分法是一种非常灵活的计算方法，始终贯穿着“凑微分”思想，因此学生应熟悉这些基本例题。