2018版高中数学人教版A版必修五2.1 数列的概念与简单表示法(二)
【人教A版】数学必修五：2.1《数列的概念与简单表示法(2)》ppt课件
a1=1,an=
1
1 n
an-1(n≥2),
所以 an = n 1 (n≥2),
an 1
n
an= an × an1 × an2 ×…× a3 × a2 ×a1= n 1 × n 2 × n 3 ×…× 2 × 1 ×1= 1 .
an 1
an2
an3
a2 a1
n n 1 n 2
32
n
又∵n=1 时,a1=1,符合上式,∴an= 1 . n
【例 4】 (1)已知数列{an}满足 a1=-1,an+1=an+ 1 ,n∈N*,求通项公式 an.
n(n 1)
(2)设数列{an}中,a1=1,an=
1
1 n
an-1(n≥2),求通项公式
an.
解:(1)∵an+1-an= 1 , n(n 1)
∴a2-a1= 1 ; 1 2
a3-a2= 1 ; 23
5(n 5(n
1) 1)
4, 4.
解这个不等式组得 2≤n≤3,
∴n=2,3, ∴a2=a3 且最小,a2=a3=22-5×2+4=-2.
题后反思 求数列{an}的最大项或最小项的方法. 求数列{an}的最大项或最小项,一种方法是利用函数的最值求解;
另一种是不等式法,求最小项可由
aann
2) 2)
6 7
6 7
n
n
(n (n
1)
6 7
n
1
,
3)
6 7
n 1
,
解得
n n
5, 4,
即
4≤n≤5,
所以 n=4 或 5,
故数列{an}中
a4
人教新课标A版高一数学《必修5》§2.1.2 数列的概念与简单表示法
知识链接
（2）列表法：
1
5
2
34
4
5
10 15 20 25
知识链接
（3）图象法：
自主探究
（一）要点识记
1. 什么是数列的通项公式？
【答案】当数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以 式子 来表示时，这个______ 用一个______ 公式 就叫做这个数列 的通项公式．所以，通项公式可以看成是数列的函数 解析式，我们可以根据数列的通项公式写出数列或数
【答案】判断某数列是否为数列中的项，只需将它代 入通项公式，通过解方程求n的值，若能求出方程有 正整数解，则说明该数是数列中的项，否则就不是该 数列中的项．
新知探究
（三）判断数列中的项与项数的关系
A
新知探究
（四）数列的递推公式
问题4. 还记得上节课由函数y ＝7x＋9和y ＝3x的函数
值值构造的两个数列吗？你能否把它们的特点用数列
新知探究
（二）数列的通项公式
解题反思 如何由数列的若干项写出其通项公式？
新知探究
（二）数列的通项公式
新知探究
（三）判断数列中的项与项数的关系
新知探究
（三）判断数列中的项与项数的关系
新知探究
（三）判断数列中的项与项数的关系
新知探究
（三）判断数列中的项与项数的关系
解题反思 如何判断某数是不是数列中的项？
第二章 §2.1.2
数列 数列的概念与简单表示法
数列的简单表示法
目标定位
学习目标和重难点
学习目标
1. 掌握数列的几种简单表示法；
2. 发现数列的规律，找出数列可能的通项公式；
3. 掌握数列通项公式与数列中项的关系．
高中数学人教版必修5课件：2.1数列的概念与简单表示法(2课时)
开 以下是不是同一个数列？
动 脑
4，5，6，7，8，9，10。有序性
筋 与10，9，8，7，6，5，4。
-1，1，-1，1，···。 可重复
与1，-1，1，-1，···。
1、数列的概念与一般形式：
数列中的每一个数叫做这个数列的 项 。
各项依次叫做这个数列的 第1项 (首项)，
第2项 ，…，第n项， …
an 与 an 的
数列的一般形式可以写成：
区别是什么？
a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an} 。
an 表示数列a1，a2，a3，…，an，… ，
an 只表示这个数列的第n项 .
自主学习(2min)
• 阅读教科书第28页的内容， 快速找出以下问题的答案： (1)数列按项数的多少来分可分为？ (2)数列按大小顺序来分可分为？
（2）数列an的前5项为 -1，2， - 3，4， - 5.
2、写出下面数列的一个通项公式， 使它的前4项分别是下列各数：
(1)2，4，6，8；
追踪练习 (2)1，3，5，7；
an 2n an 2n 1
(3)3，3，3，3；
an 3
(4) 1，
1， 2
1， 3
1 。an
4
1 n
找数列通项公式的关键是探求第n 项an与序号n的关系。
a3
9
an =？
100
序号n 1 2 3 4
… 10
例如：数列1，2，3，4，5，…，n的通项公
式是＿an＿=n＿。
1、根据下面数列{an}的通项公式， 写出它的前5项：
(1)an
n n 1
追踪练习
(2)an (1)n n
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 2.1 数列的概念与简单表示法》优质课教案_25
《数列的概念与简单表示法》教学设计一、教学要求：1、理解数列及其有关概念；2、了解数列和函数之间的关系；3、了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式； 二、教学重点、教学难点：重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.难点：根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式.三、教学过程：（一）、引入：1. 大自然是懂数学的，树木的分岔，花瓣的数量，植物种子的排列等等都遵循某种数学规律，本节课我们就来研究这些数的规律及特征。
下面我们看四组数：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即如果将初始量看成“1”，取其一半剩“12”，再取一半还剩“14”，、、、、、、，如此下去，即得到1，12，14，18，、、、、、、 2. 生活中的三角形数、正方形数.提问：这些数有什么共同特点：1. 都是一列数；2. 都有一定的顺序（二）、讲授新课：1.数列及其有关概念：（1）1，12，14，18，··· （2）三角形数：1，3，6，10，···（2）正方形数：1，4，9，16，···（4）无穷多个3排列成的一列数：3，3，3，3，···（5）15,5,16,16,28,32,51有什么共同特点？ 1. 都是一列数；2. 都有一定的顺序（1）数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列中每一个数叫数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项（或首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项、、、、、、排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.（2）数列的一般形式可以写成123,,,,,n a a a a ，简记为{}n a .辩析数列的概念：（1）“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？与“1，3，2，4，5”呢？ ----------数列的有序性（2）数列中的数可以重复吗？ ----------数列的可重复性（3）数列与集合有什么区别？ 集合讲究：无序性、互异性、确定性，数列讲究：有序性、可重复性、确定性。
2018秋数学人教A版必修5课件：第二章2.1数列的概念与简单表示法 精品
(3)熟悉一些常见数列的通项公式．
(4)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关 系不容易被发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将 数列的各项分解成若干个常见数列对应项的 “和”“差”“积”“商”后再进行归纳．
数列的是( ) A．1，18，217，614，… B．－1，－2，－3，－4，… C．－1，－12，－14，－18，… D．1， 2， 3，…， n
(2)分别写出下列数列： ①不大于 10 的自然数按从小到大的顺序组成的数列 ______________________________． ②－2 的 1 次幂、2 次幂、3 次幂、4 次幂……构成的 数列______________________________．
故 an＝2n2－n 1＝1－21n (n∈N*)．
归纳升华 给出数列的前几项，求通项时，注意观察数列中各项 与其序号的变化关系，在所给数列的前几项中，先看看哪 些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分 与序号间的关系，主要从以下几个方面来考虑：
(1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复 杂的还要考虑分子、分母的关系．
2．数列的表示方法 数列的一般形式可以写成 a1，a2，…，an，…，简记 为_{_a_n_}_． 3．数列的分类 项数有限的数列叫做_有__穷__数列，项数无限的数列叫 做_无__穷__数列．
4．数列的通项
如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一 个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的_通__项__公式．
[迁移探究] 若将本例(3)中的条件“anan－1＝an－1－ an(n≥2)”改为“anan－1＝an－1＋an(n≥2)”，其余条件不 变，求数列{an}的通项公式．
人教A版数学必修五2.1 数列的概念与简单表示法-数列的通项公式(二)——利用Sn与an关系求通项公
1.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 2n2 n 1，求 an 2.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 1 3n ，求 an
答案 第1题
4 n 1 an 4n 1 n 2
第2题
an 2 3n1, n N
隐藏 Sn ，求 an
【例 2】已知数列{an}中， a1 2a2 2n1an n2 n ，求 an
（2）由（1）
1 Sn
2n ，
Sn
1 2n
,nN
（又回到了类型一）
①当
n
1 时，
a1
S1
1 2
②当 n 2 时， an Sn Sn1
人教A版数学必修五2.1 数列的概念与简单表示法-数列的 通项公 式（二 ）—— 利用Sn 与an关 系求通 项公式 课件【精品】
1 1 2n 2n 2
1 2n2 2n
n2 n (n 1)2 (n 1) 2n 对于 bn 2n ，当 n 1 时， b1 2
所以： bn 2n, n N
又 bn 2n1 an , 则2n1 an 2n
所以： an
n 2n2
,n N
处理方法
换元转换为类型一
3. 已知数列{an}中， a1 3a2 (2n 1)an n(n 1)(n 2) ，求 an
（1）求 an ：与类型一的处理方法一样，消去 Sn ，
得到 an 与 an1 的递推关系，再求 an
（2）求 Sn ：消去 an ，得到 Sn 与 Sn1 的递推关系，
进而求出 Sn
人教A版数学必修五2.1 数列的概念与简单表示法-数列的 通项公 式（二 ）—— 利用Sn 与an关 系求通 项公式 课件【精品】
1 1 2 0即 1 1 2
人教a版必修5学案：2.1数列的概念与简单表示法(2)(含答案)
2.1数列的概念与简单表示法(二)自主学习知识梳理1．数列可以看作是一个定义域为________________(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列________．2．一般地，一个数列{a n}，如果从________起，每一项都大于它的前一项，即____________，那么这个数列叫做递增数列．如果从________起，每一项都小于它的前一项，即____________，那么这个数列叫做递减数列．如果数列{a n}的各项________，那么这个数列叫做常数列．3．数列的最大、最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决，若求最大项a n，n的值可通过解不等式组________________来确定；若求最小项a n，n的值可通过解不等式组________________来确定．自主探究已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，a n＋2＝a n＋1－a n，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{a n}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 011项是多少？对点讲练知识点一利用函数的性质判断数列的单调性例1已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2n2＋1.求证：数列{a n}为递增数列．总结数列是一种特殊的函数，因此可用研究函数单调性的方法来研究数列的单调性．变式训练1在数列{a n}中，a n＝n3－an，若数列{a n}为递增数列，试确定实数a的取值范围．知识点二 求数列的最大最小项例2 已知a n ＝9n (n ＋1)10n (n ∈N *)，试问数列{a n }中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．总结 先考虑{a n }的单调性，再利用单调性求其最值．变式训练2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4 (n ∈N *)，则(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．知识点三 由递推公式求通项公式例3 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n (n －1)(n ≥2)，写出该数列的前五项及它的一个通项公式．总结 已知递推关系求通项公式这类问题要求不高，主要掌握由a 1和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想a n 的方法，以及累加：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1；累乘：a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1等方法． 变式训练3 已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，求数列{a n }的通项公式．函数与数列的联系与区别一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N *或它的子集{1,2，…，n }，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即a n >a n －1)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即{a n }递增⇔a n ＋1>a n 对任意的n (n ∈N *)都成立．类似地，有{a n }递减⇔a n ＋1<a n 对任意的n (n ∈N *)都成立.课时作业一、选择题1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数项D ．不能确定2．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列第4项是( ) A ．1 B.12 C.34 D.583．若a 1＝1，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，给出的数列{a n }的第34项是( ) A.34103 B ．100 C.1100 D.11044．已知a n ＝32n －11(n ∈N *)，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则使S n >0的n 的最小值为( )A ．10B ．11C ．12D ．135．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ⎝⎛⎭⎫0≤a n <12，2a n －1 ⎝⎛⎭⎫12≤a n <1.若a 1＝67，则a 2 010的值为( ) A.67 B.57C.37D.17题 号1 2 3 4 5 答 案二、填空题6．已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，(n ∈N *)，则使a n >100的n 的最小值是________．7．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第m 项的和最大，则m 的值是________．8．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋n ，则a 2 009＝________.三、解答题9．已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2 a n )＝－2n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{a n }是递减数列．10．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)． (1)求证：a n ＋3＝a n ； (2)求a 2 010.§2.1 数列的概念与简单表示法(二)知识梳理1．正整数集N * 函数值2．第二项 a n ＋1>a n 第二项 a n ＋1<a n 都相同 3.⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1a n ≥a n ＋1 ⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1a n ≤a n ＋1自主探究解 a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2， a 6＝－1，a 7＝1，a 8＝2，….发现：a n ＋6＝a n ，数列{a n }具有周期性，周期T ＝6， 证明如下：∵a n ＋2＝a n ＋1－a n ，∴a n ＋3＝a n ＋2－a n ＋1＝(a n ＋1－a n )－a n ＋1＝－a n .∴a n ＋6＝－a n ＋3＝－(－a n )＝a n .∴数列{a n }是周期数列，且T ＝6.∴a 2 011＝a 335×6＋1＝a 1＝1.对点讲练例1 证明 ∵a n ＝n 2n 2＋1＝1－1n 2＋1a n ＋1－a n ＝1n 2＋1－1(n ＋1)2＋1＝[(n ＋1)2＋1]－(n 2＋1)(n 2＋1)[(n ＋1)2＋1]＝2n ＋1(n 2＋1)[(n ＋1)2＋1]. 由n ∈N *，得a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n .∴数列{a n }为递增数列．变式训练1 解 若{a n }为递增数列，则a n ＋1－a n ≥0.即(n ＋1)3－a (n ＋1)－n 3＋an ≥0恒成立． 即a ≤(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1恒成立， 即a ≤(3n 2＋3n ＋1)min ，∵n ∈N *，∴3n 2＋3n ＋1的最小值为7.∴a 的取值范围为a ≤7.例2 解 因为a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·(n ＋2)－⎝⎛⎭⎫910n ·(n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·⎣⎡⎦⎤(n ＋2)－109(n ＋1) ＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9，则当n ≤7时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9>0，当n ＝8时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9＝0，当n ≥9时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9<0，所以a 1<a 2<a 3<…<a 7<a 8＝a 9>a 10>a 11>a 12>…，故数列{a n }存在最大项，最大项为a 8＝a 9＝99108. 变式训练2 解 (1)a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94， 当n ＝2,3时，a n <0.∴数列中有两项是负数．(2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，可知对称轴方程为n ＝52＝2.5. 又因n ∈N *，故n ＝2或3时，a n 有最小值，其最小值为－2.例3 解 由递推公式得a 1＝1，a 2＝1＋12×1＝32，a 3＝32＋13×2＝53， a 4＝53＋14×3＝74，a 5＝74＋15×4＝95. 故数列的前五项分别为1，32，53，74，95. ∴通项公式为a n ＝2n －1n ＝2－1n(n ∈N *)． 变式训练3 解 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ， ∴1a n －1a n －1＝1.∴1a n ＝1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n －1＝2＋1＋1＋…＋1(n －1)个1 ＝n ＋1. ∴1a n ＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1(n ∈N *)． 课时作业1．A2．B [∵a 1＝1，∴a 2＝12＋12＝1，a 3＝12＋14＝34，a 4＝12×34＋18＝12.] 3．C [a 2＝a 13a 1＋1＝13＋1＝14，a 3＝a 23a 2＋1＝1434＋1＝17，a 4＝a 33a 3＋1＝1737＋1＝110， 猜想a n ＝13(n －1)＋1， ∴a 34＝13×(34－1)＋1＝1100.] 4．B [∵－a 1＝a 10，－a 2＝a 9，－a 3＝a 8，－a 4＝a 7，－a 5＝a 6， ∴S 11>0，则当n ≥11时，S n >0，故n 最小为11.]5．C [计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，故数列{a n }是以3为周期的周期数列， 又知2 010除以3能整除，所以a 2 010＝a 3＝37.] 6．127．10或11解析 令a n ＝－n 2＋10n ＋11≥0，则n ≤11. ∴a 1>0，a 2>0，…，a 10>0，a 11＝0.∴S 10＝S 11且为S n 的最大值．8．2 017 036解析 由a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋n 得a n ＝a n －1＋n －1，a n －1＝a n －2＋n －2，⋮a 2＝a 1＋1，a 1＝0，累加可得a n ＝0＋1＋2＋…＋n －1＝n (n －1)2， ∴a 2 009＝2 009×2 0082＝2 017 036. 9．(1)解 因为f (x )＝2x －2－x ，f (log 2 a n )＝－2n ，所以2log 2 a n －2－log 2a n ＝－2n ，a n －1a n＝－2n ， 所以a 2n ＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n ±n 2＋1.因为a n >0，所以a n ＝n 2＋1－n .(2)证明 a n ＋1a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n＝n 2＋1＋n (n ＋1)2＋1＋(n ＋1)<1. 又因为a n >0，所以a n ＋1<a n ，所以数列{a n }是递减数列．10．(1)证明 a n ＋3＝1－1a n ＋2＝1－11－1a n ＋1＝1－11－11－1a n ＝1－11－1a n －1a n＝1－11－a n a n －1＝1－1a n －1－a n a n －1＝1－1－1a n －1＝1－(1－a n )＝a n .∴a n ＋3＝a n .(2)解 由(1)知数列{a n }的周期T ＝3，a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2. ∴a 2 010＝a 3×670＝a 3＝2.。
2018版高中数学人教版A版必修五学案：§2.1-数列的概念与简单表示法(二)
2018版高中数学人教版A版必修五学案：§2.1-数列的概念与简单表示法(二)D答案通项公式直接反映了a n与n之间的关系，即知道n值，即可代入通项公式求得该项的值a n；递推关系则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，要求a n，须将前面的各项依次求出才行．题型一数列的函数特征例1已知数列{a n}的通项公式为a n＝n n2＋9(n∈N*)，写出其前5项，并判断数列{a n}的单调性．解当n＝1，2，3，4，5时，a n依次为110，213，1 6，425，5 34，a n＋1－a n＝n＋1（n＋1）2＋9－nn2＋9＝－n2－n＋9 [（n＋1）2＋9][n2＋9].∵函数f(x)＝－x2－x＋9＝－(x＋12)2＋374在[1，＋∞)上单调递减，又f(1)＝7>0，f(2)＝3>0，f(3)<0，∴当n＝1，2时，a n＋1>a n，当n≥3，n∈N*时，a n＋1<a n，即a1<a2<a3>a4>a5>….∴数列{a n}的前3项是递增的，从第3项往后是递减的．反思与感悟判断数列的增减性，一般是将其转化为比较相邻两项的大小，常用的方法有作差法、作商法，作差法判断数列增减性的步骤为：①作差；②变形；③定号；④结论．作商法适用于各项都是同号的数列，且应比较比值与1的大小关系．跟踪训练1 求例题中的数列{a n }的最大项． 解 ∵a 1<a 2<a 3>a 4>a 5>…， ∴数列{a n }的最大项为a 3＝16.题型二 递推公式的简单应用例2 (1)已知数列{a n }满足a n a n －1＝a n －1＋(－1)n 且a 1＝1，则a 5a 3等于( )A.1615B.43C.815D.83(2)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n a n ＋2.通过它的前5项，归纳得出数列的一个通项公式是________．答案 (1)B (2)a n ＝2n ＋1(n ∈N *)解析 (1)由a 1＝1知a 2a 1＝a 1＋(－1)2，得a 2＝2；由a 3a 2＝a 2＋(－1)3，得a 3＝12；同理得a 4＝3，a 5＝23，故a 5a 3＝2312＝43，选B.(2)a 1＝1＝22，a 2＝2×11＋2＝23，a 3＝2×2323＋2＝12＝24，a 4＝2×1212＋2＝25，a 5＝2×2525＋2＝13＝26.故数列的一个通项公式为a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．反思与感悟 (1)递推公式是表示数列的一种方法，其作用与数列的通项公式类似．可以根据递推公式依次求得数列中的项．(2)利用递推公式求得数列的前几项，可以帮助我们猜想数列的通项公式．跟踪训练2 数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＋2a n a n ＋1－a n ＝0.(1)写出数列的前5项；(2)由(1)写出数列{a n }的一个通项公式． 解 (1)由已知可得a 1＝1＝11，a 2＝13，a 3＝15，a 4＝17，a 5＝19. (2)由(1)可得数列的每一项的分子均为1，分母分别为1，3，5，7，9，…，所以它的一个通项公式为a n ＝12n －1.题型三 由递推公式求通项公式例3 (1)已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n)，求a n . (2)已知数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，写出前3项，猜想a n 并加以证明．解 (1)由题意得a n ＋1－a n ＝ln n ＋1n ，∴a n －a n －1＝ln nn －1(n ≥2)，a n －1－a n －2＝ln n －1n －2，……， a 2－a 1＝ln 21.∴当n ≥2时，a n －a 1＝ln(n n －1.n －1n －2 (2)1)＝ln n ，∴a n ＝2＋ln n (n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝2＋ln 1＝2，符合上式， ∴a n ＝2＋ln n (n ∈N *)．(2)a 1＝1＝20，a 2＝2a 1＝21，a 3＝2a 2＝22， 猜想a n ＝2n －1(n ∈N *)．证明如下：由题意得，a n ＝2a n －1(n ≥2)， ∵a 1＝1≠0，∴a n ≠0，∴a n a n －1＝2，a n －1a n －2＝2，…，a 2a 1＝2，∴a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1＝2n －1(n ≥2)，∴a n a 1＝2n －1，∴a n ＝2n －1(n ≥2)． 当n ＝1时，a 1＝21－1＝20＝1，符合上式，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．反思与感悟 (1)由递推公式写出通项公式的步骤①先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项)．②根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式；③写出一个通项公式并证明． (2)用“累加法”求数列的通项公式当a n －a n －1＝f (n )(n ≥2)满足一定条件时，常用a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1累加来求通项a n .(3)用“累乘法”求数列的通项公式当a n a n －1＝g (n )(n ≥2)满足一定条件时，常用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1累乘来求通项a n .跟踪训练3 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1a n ＝12，则数列{a n }的通项公式是( ) A ．a n ＝2n B ．a n ＝12nC ．a n ＝12n －1 D ．a n ＝12n答案 C解析 ∵a n ＋1a n ＝12，∴当n ≥2时，a n a n －1＝12，∴a n －1a n －2＝12，a n －2a n －3＝12，…，a 2a 1＝12，∴a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 2a 1＝(12)n －1，∴a n ＝a 1(12)n －1＝(12)n －1(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝(12)1－1＝(12)0＝1，符合上式，∴a n ＝(12)n －1.例4 求数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项． 错解 由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n －294)2＋10818，∴数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项为10818.正解 由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n －294)2＋10818.由于n ∈N *，故当n 取距离294最近的正整数7时，a n 取得最大值108，∴数列{－2n 2＋29n ＋3}中的最大项为a 7＝108.1．下列四个命题：①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的任何一项；②数列23，34，45，56，…的通项公式是a n ＝nn ＋1；③数列的图象是一群孤立的点；④数列1，－1，1，－1，…与数列－1，1，－1，1，…是同一数列．其中真命题的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4答案 A＝a n＋1＋解析只有③正确．①中，如已知a n＋2a n，a1＝1，无法写出除首项外的其他项．②中a n＝n＋1，④中－1和1排列的顺序不同，即二者不n＋2是同一数列．2．数列2，4，6，8，10，…的递推公式是() A．a n＝a n－1＋2(n≥2)B．a n＝2a n－1(n≥2)C ．a 1＝2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2)D ．a 1＝2，a n ＝2a n －1(n ≥2) 答案 C解析 A ，B 中没有说明某一项，无法递推，D 中a 1＝2，a 2＝4，a 3＝8，不合题意．3．数列{x n }中，若x 1＝1，x n ＋1＝1x n ＋1－1，则x 2 017等于( ) A ．－1 B ．－12C.12 D ．1 答案 D解析 ∵x 1＝1，∴x 2＝－12，∴x 3＝1，∴数列{x n }的周期为2，∴x 2 017＝x 1＝1.4．数列{a n}中，a n＝n－ 2 011n－ 2 012，则该数列前100项中的最大项与最小项分别是()A．a1，a50B．a1，a44C．a45，a44D．a45，a50答案 C解析a n＝n－ 2 011n－ 2 012＝1＋2 012－ 2 011n－ 2 012.∴当n∈[1，44]且n∈N*时，{a n}单调递减，当n∈[45，＋∞)且n∈N*时，{a n}单调递减，结合函数f(x)＝2 012－ 2 011x－ 2 012的图象，可知(a n)max＝a45，(a n)min＝a44.5．已知数列{a n}满足a1＝1，a n－a n－1＝2(n≥2)，则数列的通项a n等于()A．2n＋1 B．2nC．2n－1 D．2(n－1)答案 C解析当n≥2时，∵a n－a n－1＝2，∴(a n－a n－1)＋(a n－1－a n－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＝2＋2＋…＋2＝2(n－1)，(n－1)个∴a n＝2n－1.当n＝1时，a n＝1适合上式，∴a n＝2n－1(n∈N*)．6．已知数列{a n}，对于任意的p，q∈N*，都有a p＋a q＝a p＋q，若a1＝19，则a36＝________．答案 4解析由已知得a1＋a1＝a1＋1＝a2，∴a2＝29，同理a4＝49，a8＝8 9，∴a 9＝a 8＋1＝a 8＋a 1＝89＋19＝1，∴a 36＝2a 18＝4a 9＝4.1.{a n }与a n 是不同的两种表示，{a n }表示数列a 1，a 2，…，a n ，…，是数列的一种简记形式．而a n 只表示数列{a n }的第n 项，a n 与{a n }是“个体”与“整体”的从属关系．2．数列的表示方法：①图象法；②列表法；③通项公式法； ④递推公式法．3．通项公式和递推公式的区别：通项公式直接反映a n 和n 之间的关系，即a n 是n 的函数，知道任意一个具体的n 值，就可以求出该项的值a n ；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出a n.。
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 2.1 数列的概念与简单表示法》优质课教案_15
2.1.1数列的概念与简单表示本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.通过本节课的学习使学生能理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式.教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用.教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式.教具准备课件三维目标一、知识与技能1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式.二、过程与方法1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性学习；3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观1.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点；2.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣.教学过程导入新课师 课本图211中的正方形数分别是多少？ 生 1，3，6，10，….师 图212中正方形数呢？ 生 1，4，9，16，25，….师 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？生 -1的正整数次幂：-1，1，-1，1，…; 无穷多个数排成一列数：1，1，1，1，….生 一些分数排成的一列数：32，154，356，638，9910，….推进新课［合作探究］折纸问题师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓).生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？生 随着对折数厚度依次为:2，4，8，16，…，256，…；随着对折数面积依次为21,41 ,81 ,161 ,…,2561 ,….生 对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的，再折下去太困难了.师 说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？ 生 均是一列数. 生 还有一定次序.师 它们的共同特点：都是有一定次序的一列数.［教师精讲］1.数列的定义：按一定顺序排列着的一列数叫做数列. 注意：（1）数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；（2）定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n 项，….同学们能举例说明吗？生 例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项.3.数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列.无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6…是无穷数列.2)根据数列项的大小分：递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列.递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列.常数数列：各项相等的数列.摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.请同学们观察：课本P 33的六组数列，哪些是递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列？生这六组数列分别是(1)递增数列，(2)递增数列，(3)常数数列，(4)递减数列，(5)摆动数列，(6)1.递增数列，2.递减数列.［知识拓展］师你能说出上述数列①中的256是这数列的第多少项？能否写出它的第n项？生256是这数列的第8项，我能写出它的第n项，应为a n=2n.［合作探究］同学们看数列2，4，8，16，…，256，…①中项与项之间的对应关系，项 2 4 8 16 32↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5你能从中得到什么启示？生 数列可以看作是一个定义域为正整数集N *(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的函数a n =f(n )，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值.反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4…)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3),…,f(n ),….师 说的很好.如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.［例题剖析］1.根据下面数列{a n }的通项公式，写出前5项： (1)a n =1n n;(2)a n =(-1)n ·n .师 由通项公式定义可知，只要将通项公式中n 依次取1，2，3，4，5，即可得到数列的前5项.生 解：(1)n =1,2,3,4,5.a 1=21;a 2=32;a 3=43;a 4=54;a 5=65. (2)n =1,2,3,4,5.a 1=-1;a 2=2;a 3=-3;a 4=4;a 5=-5. 师 好！就这样解.2.根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)3，5，7，9，11，…；(2)32，154，356，638，9910，…；(3)0，1，0，1，0，1，…；(4)1，3，3，5，5，7，7，9，9，…； (5)2，-6，12，-20，30，-42，….师 这里只给出数列的前几项的值，哪位同学能写出这些数列的一个通项公式？(给学生一定的思考时间) 生老师，我写好了！解：(1)a n ＝2n ＋1；(2)a n ＝)12)(12(2+-n n n；(3)a n ＝2)1(1n -+；(4)将数列变形为1＋0，2＋1，3＋0，4＋1，5＋0，6＋1，7＋0，8＋1，…，∴a n ＝n ＋2)1(1n-+；(5)将数列变形为1×2，-2×3，3×4，-4×5，5×6，…， ∴a n ＝(-1)n +1n (n ＋1).师 完全正确！这是由“数”给出数列的“式”的例子，解决的关键是要找出这列数呈现出的规律性的东西，然后再通过归纳写出这个数列的通项公式.［合作探究］师 函数与数列的比较(由学生完成此表)：函数 数列(特殊的函数) 定义域R 或R 的子集N *或它的有限子集{1，2，…，n } 解析式 y=f(x) a n =f(n )图象点的集合一些离散的点的集合师 对于函数，我们可以根据其函数解析式画出其对应图象，看来，数列也可根据其通项公式来画出其对应图象，下面同学们练习画数列:4，5，6，7，8，9，10…;② 1,21 ,31 ,41 ,…③的图象.生 根据这数列的通项公式画出数列②、③的图象为师 数列4，5，6，7，8，9，10,…②的图象与我们学过的什么函数的图象有关？生 与我们学过的一次函数y=x+3的图象有关.师 数列1,21 ,31 ,41 ,…③的图象与我们学过的什么函数的图象有关？生 与我们学过的反比例函数xy 1 的图象有关.师 这两数列的图象有什么特点？ 生 其特点为：它们都是一群孤立的点.生 它们都位于y 轴的右侧，即特点为：它们都是一群孤立的，都位于y 轴的右侧的点.本课时的整个教学过程以学生自主探究为主，教师起引导作用，充分体现学生的主体作用，体现新课程的理念.课堂小结对于本节内容应着重掌握数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式. 布置作业课本第38页习题2.1 A 组第1题.板书设计数列的概念与简单表示法(一)定义 1.数列 例12.项3.一般形式 例2 函数定义4.通项公式5.有穷数列6.无穷数列备课资料一、备用例题1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，3，5，7；(2)515;414,313;2122222----;(3)211⨯-,321⨯- ,431⨯- ,541⨯-.分析：(1)项：1=2×1-1 3=2×2-1 5=2×3-1 7=2×4-1↓ ↓ ↓ ↓序号： 1 2 3 4所以我们得到了a n =2n -1；(2)序号： 1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓项分母： 2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1↓ ↓ ↓↓项分子： 22-1=(1+1)2-1 32-1=(2+1)2-1 42-1=(3+1)2-1 52-1=(4+1)2-1所以我们得到了a n =1)1(2++n n 或1)2(+∙+n nn ；(3)序号: 1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓211⨯-321⨯- 431⨯- 541⨯-↓ ↓ ↓ ↓)11(11+⨯-)12(21+⨯- )13(31+⨯- )14(41+⨯-所以我们得到了a n =-)1(1+⨯n n .2.写出下面数列的一个通项公式，使它的前n 项分别是下列各数：(1)1,0,1,0; 〔a n =2)1(11+-+n ,n ∈N *〕(2)-32,83 ,154-,245,356-; 〔a n =(-1)n ·1)1(12-++n n 〕(3)7,77,777,7 777; 〔a n =97×(10n -1)〕 (4)-1,7,-13,19,-25,31; 〔a n =(-1)n (6n -5)〕(5)23,45 ,169 ,25617. 〔a n =12212-+n n 〕点评：上述两题都是根据数列的前几项来写出这数列的通项公式，根据数列的前几项来写出这数列的通项公式时，常可联想奇数、偶数、平方数、指数等等.遇到分数的时候，常可根据需要把分子和分母同时扩大再来看看分子和分母中数的规律性，有时可直截了当地研究分子和分母之间的关系3.已知数列{a n }的通项公式是a n =2n 2-n ，那么(A .30是数列{a n }的一项B .44是数列{a n }的一项 C.66是数列{a n }的一项D .90是数列{a n }的一项分析：注意到30，44，66，90均比较小，可以写出这个数列的前几项，如果这前几项中出现了这四个数中的某一个，则问题就可以解决了.若出现的数比较大，还可以用解方程求正整数解的方法加以解决答案：C 点评：看一个数A 是不是数列{a n }中的某一项，实质上就是看能不能找出一个非零自然数n ，使得a n =A4.(链接探究题)假定有一张极薄的纸，厚度为2001就是每200张叠起来刚好为1 cm ，现在把这张纸裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 1；再裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 2，又裁一为二，叠起来，它的厚度记为a 3，这样一裁一叠，每次叠起来所得的厚度依次排列，就得到一个数列：a 1,a 2,a 3,…,a k你能求出这个数列的通项公式吗？你知道a，即裁了50次、叠了50次后的厚度是多少厘米吗？是否有10层楼高呢？2n，答案：这个数列的通项公式为a n=200裁了50次、叠了50次后的厚度是5 629 499 534 213.12 cm＞56 294 995 km，大于地球到月球距离的146倍二、阅读材料无法实现的奖赏相传古印度舍罕王朝有一位宰相叫达依尔，据说是他发明了国际象棋，古印度的舍罕王学会了下国际象棋以后，非常激动，他要重赏他的宰相达依尔达依尔对他的国王说：陛下，我不要您的重赏，只要您按我下面的办法赏我一些麦粒就可以了：在我的棋盘上(它有64个格)第一格赏1粒，第二格赏2粒，第三格赏4粒，第四格赏8粒……依此类推每后一格的麦粒数都是前面一格的两倍.国王答应了达依尔的要求，但是几天以后他就发现事实上这是一个无法兑现的奖赏请问国王为什么不能兑现他的奖赏呢？。
人教A版高中数学必修5《二章 数列 2.1 数列的概念与简单表示法 2.1 数列的概念与简单表示法》优质课教案_18
数列通项公式求法教学设计本节课讲述的是人教版高三数学数列专题复习课：数列通项公式求法一、教材分析1、教材的地位和作用：数列是高中数学重要内容之一，纵观全国高考，几乎都是一小题，一大题。
虽然近几年难度有所下降，但对学生来说还是难。
它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。
一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。
求数列通项公式在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。
数列模块，是高考重难点。
2、教学目标根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标：A、在知识与技能上：进一步复习数列通项公式的求法，加深学生的理解和印象，培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。
B、过程与方法：在学习的过程中体会求数列通项公式的过程和方法，如特殊数列的求法和利用构造新数列求通项等方法。
C、在情感上：通过对数列通项公式的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。
3、教学重点和难点根据教学大纲的要求我们确定本节课的教学重点为:①数列通项公式的求法。
②构造新数列求数列的通项公式的推导过程。
采用构造新数列的方法推导数列的通项公式是这节课的一个难点。
二、学情分析对于高三学生，知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。
三、教法分析针对高中生这一思维特点和心理特征，本节课采用探究式的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。
人教a版必修5学案：2.1数列的概念与简单表示法(含答案)
第二章 数 列§2.1 数列的概念与简单表示法材拓展1．从函数的观点看数列一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．例如，类比单调函数的定义得出单调数列的判断方法．即：数列{a n }单调递增⇔a n ＋1>a n 对任意n (n ∈N *)都成立；数列{a n }单调递减⇔a n ＋1<a n 对任意n (n ∈N *)都成立．另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N *或它的子集{1,2，…，n }，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线．例如：已知a n ＝n －98n －99，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( ) A ．a 1，a 30 B ．a 1，a 9C ．a 10，a 9D ．a 10，a 30解析 ∵a n ＝n －99＋(99－98)n －99＝99－98n －99＋1 ∴点(n ，a n )在函数y ＝99－98x －99＋1的图象上． 在直角坐标系中作出函数y ＝99－98x －99＋1的图象．由图象易知当x ∈(0，99)时，函数单调递减．∴a 9<a 8<a 7<…<a 1<1，当x ∈(99，＋∞)时，函数单调递减．∴a 10>a 11>…>a 30>1.所以，数列{a n }的前30项中最大的项是a 10，最小的项是a 9.答案 C2．了解一点周期数列的知识类比周期函数的概念可以得出周期数列的定义：对于数列{a n }，若存在一个大于1的自然数T (T 为常数)，使a n ＋T ＝a n ，对一切n ∈N *恒成立，则称数列{a n }为周期数列，T 就是它的一个周期．易知，若T 是{a n }的一个周期，则kT (k ∈N *)也是它的周期，周期最小的那个值叫最小正周期．例如：已知数列{a n }中，a 1＝a (a 为正常数)，a n ＋1＝－1a n ＋1(n ＝1,2,3，…)，则下列能使a n ＝a 的n 的数值是( )A ．15B ．16C ．17D ．18解析 a 1＝a ，a 2＝－1a ＋1， a 3＝－1a 2＋1＝－1－1a ＋1＋1＝－a －1a ， a 4＝－1a 3＋1＝－1－a －1a＋1＝a ， a 5＝－1a 4＋1＝－1a ＋1，……. ∴a 4＝a 1，a 5＝a 2，…依次类推可得：a n ＋3＝a n ，∴{a n }为周期数列，周期为3.∵a 1＝a ，∴a 3k ＋1＝a 1＝a .答案 B3．数列的前n 项和S n 与a n 的关系对所有数列都有：S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ，S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1 (n ≥2)．因此，当n ≥2时，有：a n ＝S n －S n －1.当n ＝1时，有：a 1＝S 1.所以a n 与S n 的关系为：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1S n －S n －1， n ≥2.注意这一关系适用于所有数列． 例如：已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n －1)·2n ＋1，则a n ＝________.解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝[(n －1)·2n ＋1]－[(n －2)·2n －1＋1]＝(n －1)·2n －(n －2)·2n －1＝n ·2n －1.所以通项公式可以统一为a n ＝n ·2n －1.答案 n ·2n －14．由简单的递推公式求通项公式(1)形如a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求和，采用累加法求a n .即：a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1) ＝a 1＋∑n －1i ＝1f (i ) (2)形如a n ＋1＝f (n )·a n ，且f (1)·f (2)…f (n )可化简，采用累乘法求a n .即a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝a 1·f (1)·f (2)·…·f (n －1)＝a 1·Πn －1i ＝1f (i ) (注：∑为连加求和符号，Π为连乘求积符号)(3)形如a n ＋1＝Aa n ＋B (AB ≠0且A ≠1)．设a n ＋1－x ＝A (a n －x )，则：a n ＋1＝Aa n ＋(1－A )x由(1－A )x ＝B ，∴x ＝B 1－A∴a n ＋1－B 1－A＝A ⎝⎛⎭⎫a n －B 1－A ∴a n －B 1－A＝A ⎝⎛⎭⎫a n －1－B 1－A ＝A 2⎝⎛⎭⎫a n －2－B 1－A ＝…＝A n －1⎝⎛⎭⎫a 1－B 1－A ∴a n ＝B 1－A＋A n －1⎝⎛⎭⎫a 1－B 1－A ＝(1－A n －1)·B 1－A＋A n －1a 1.法突破一、观察法写数列的通项公式方法链接：根据数列前几项，要写出它的一个通项公式，其关键在于观察、分析数列的前几项的特征、特点，找到数列的一个构成规律．根据此规律便可写出一个相应的通项公式．注意以下几点：(1)为了突出显现数列的构成规律，可把序号1,2,3，…标在相应项上，这样便于突出第n 项a n 与项数n 的关系，即a n 如何用n 表示．(2)由于给出的数列的前几项是一些特殊值，必然进行了化简，因此我们要观察出它的构成规律，就必须要对它进行还原工作．如数列的前几项中均用分数表示，但其中有几项分子或分母相同，不妨把这几项的分子或分母都统一起来试一试．(3)当一个数列出现“＋”、“－”相间时，应先把符号分离出来，即用(－1)n 或(－1)n －1表示，然后再考虑各项绝对值的规律．(4)熟记一些基本数列的前几项以及它们的变化规律(如增减速度)，有利于我们写出它的通项公式．例1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)45，12，411，27，…； (2)12，2，92，8，252，…； (3)1,3,6,10,15，…； (4)7,77,777，…；(5)0,3,8,15,24，…； (6)1，13，17，113，121，…. 解 (1)注意前四项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为45，48，411，414，…，于是它们的分母相差3，因而有a n ＝43n ＋2. (2)把分母统一为2，则有：12，42，92，162，252，…，因而有a n ＝n 22. (3)注意6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…，因而有a n ＝n (n ＋1)2. (4)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘以9，得9,99,999，….因而有a n ＝79(10n －1)． (5)观察数列递增速度较快，有点像成平方地递增，不妨用平方数列对照看一看，即1,22,32,42,52，…，则有a n ＝n 2－1.(6)显然各项的分子均为1，其关键在于分母，而分母的规律不是很明显，注意到分母组成的数列1,3,7,13,21，…，递增速度也有点像平方数列，不妨从每一项对应减去平方数列的项组成数列0,1,2,3,4，…，其规律也就明显了．故a n ＝1n 2－n ＋1. 二、数列的单调性及最值方法链接：数列是一种特殊的函数，因此可用函数的单调性的研究方法来研究数列的单调性．例2 在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n (n ∈N *)． 试问数列{a n }的最大项是第几项？解 方法一 ∵a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n (n ∈N *)， ∴a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ·(9－n )11.当n ≤8时，a n <a n ＋1，{a n }递增，即a 1<a 2<…<a 8<a 9.当n ＝9时，a 9＝a 10.当n ≥10时，a n >a n ＋1，{a n }递减，即a 10>a 11>a 12>….又a 9＝a 10＝1010119. ∴数列{a n }的最大项是第9项和第10项．方法二 令a n a n －1≥1 (n ≥2)， 即(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n n ⎝⎛⎭⎫1011n －1≥1. 整理得n ＋1n ≥1110.解得n ≤10. 令a n a n ＋1≥1， 即(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n (n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1≥1. 整理得n ＋1n ＋2≥1011，解得n ≥9. 所以从第1项到第9项递增，从第10项起递减．因此数列{a n }先递增，后递减．∴a 1<a 2<…<a 9，a 10>a 11>a 12>…，且a 9＝a 10＝1010119. ∴数列{a n }中的最大项是第9项和第10项．三、数列的周期性及运用方法链接：通俗地讲，数列中的项按一定规律重复出现，这样的数列就应考虑是否具有周期性，其周期性往往隐藏于数列的递推公式中，解周期数列问题的关键在于利用递推公式算出前若干项或由递推公式发现规律，得出周期而获解．例3 已知数列{a n }，a 1＝1，a 2＝3，a n ＝a n －1－a n －2 (n ≥3)，那么a 2 010与S 2 009依次是( )A ．1,3B ．3,1C ．－2,2D ．2，－2解析 ∵a n ＝a n －1－a n －2，∴a n ＋1＝a n －a n －1＝(a n －1－a n －2)－a n －1＝－a n －2.由a n ＋1＝－a n －2，∴a n ＋3＝－a n .∴a n ＋6＝－a n ＋3＝－(－a n )＝a n .∴{a n }为周期数列，且周期T ＝6.∴a 2 010＝a 6＝－a 3＝a 1－a 2＝－2.∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝(a 1＋a 4)＋(a 2＋a 5)＋(a 3＋a 6)＝0＋0＋0＝0，且2 010是6的倍数，∴S 2 010＝0.∴S 2 009＝S 2 010－a 2 010＝0－a 2 010＝0－(－2)＝2.答案 C四、已知前n 项和S n ，求通项a n方法链接：已知数列{a n }的前n 项和S n ，求a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1，求出a 1，再由a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)求出a n ，最后验证a 1与a n 能否统一，若能统一要统一成一个代数式，否则分段表示．例4 已知下列各数列{a n }的前n 项和S n 的公式，求{a n }的通项公式．(1)S n ＝(－1)n ＋1 n ；(2)S n ＝3n －2.解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ·(－n )－(－1)n ·(n －1)＝(－1)n ·(－2n ＋1)．由于a 1也适合此等式，因此a n ＝(－1)n ·(－2n ＋1) (n ∈N *)．(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2·3n －1.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (n ＝1)，2·3n －1 (n ≥2). 五、由递推公式求通项a n方法链接：由递推公式求通项公式主要观察递推公式的特征，合理选择方法．需要理解一点，对a n －a n －1＝n (n ≥2)不仅仅是一个式子而是对任意的n ≥2恒成立的无数个式子，正是因为这一点，在已知递推公式求通项公式的题目中如何将无数个式子转化为a n ，就是解题的关键所在．另外递推公式具有递推性，故由a 1再加上递推公式可以递推到a n .例5 由下列数列{a n }的递推公式求数列{a n }的通项公式：(1)a 1＝1，a n －a n －1＝n (n ≥2)；(2)a 1＝1，a n a n －1＝n －1n (n ≥2)． 解 (1)由题意得，当n ≥2时，a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，…，a 3－a 2＝3，a 2－a 1＝2.将上述各式累加得，a n －a 1＝n ＋(n －1)＋…＋3＋2，即a n ＝n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1＝n (n ＋1)2， 由于a 1也适合此等式．故a n ＝n (n ＋1)2. (2)由题意得，当n ≥2时，a n a n －1＝n －1n ，a n －1a n －2＝n －2n －1，…，a 3a 2＝23，a 2a 1＝12， 将上述各式累乘得，a n a 1＝1n ，即a n ＝1n. 由于a 1也适合此等式，故a n ＝1n. 六、数列在日常生活中的初步应用方法链接：数列知识在日常生活中有着广泛的应用．构建递推关系是其中重要的方法之一，利用递推方法解决实际问题常分为三个环节：(1)求初始值；(2)建立递推关系；(3)利用递推关系分析解决问题．其中构建递推关系是关键．例6 某商店的橱窗里按照下图的方式摆着第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，如图(1)、(2)、(3)、(4)分别有1个、5个、13个、25个．如果按照同样的方式接着摆下去，记第n 个图需用f (n )个“福娃迎迎”，那么f (n ＋1)－f (n )＝________；f (6)＝________.解析 ∵f (1)＝1，f (2)＝5，f (3)＝13，f (4)＝25，…，∴f (2)－f (1)＝4，f (3)－f (2)＝8，f (4)－f (3)＝12，…∴f (n ＋1)－f (n )＝4n .∴f (6)＝f (1)＋[f (2)－f (1)]＋[f (3)－f (2)]＋[f (4)－f (3)]＋[f (5)－f (4)]＋[f (6)－f (5)]＝1＋4＋8＋12＋16＋20＝61.答案 4n 61区突破1．对数列的概念理解不准而致错例1 已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．[错解] 因为a n ＝n 2＋λn 是关于n 的二次函数，且n ≥1，所以－λ2≤1，解得λ≥－2. [点拨] 数列是以正整数N *(或它的有限子集{1,2，…，n })为定义域的函数，因此它的图象只是一些孤立的点．[正解1] 因为a n ＝n 2＋λn ，其图象的对称轴为n ＝－λ2，由数列{a n }是单调递增数列有－λ2≤1，得λ≥－2；如图所示，当2－⎝⎛⎭⎫－λ2>－λ2－1，即λ>－3时，数列{a n }也是单调递增的． 故λ的取值范围为{λ|λ≥－2}∪{λ|λ>－3}＝{λ|λ>－3}．即λ>－3为所求的范围．[正解2] 因为数列{a n }是单调递增数列，所以a n ＋1－a n >0 (n ∈N *)恒成立．又a n ＝n 2＋λn (n ∈N *)，所以(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－(n 2＋λn )>0恒成立，即2n ＋1＋λ>0.所以λ>－(2n ＋1) (n ∈N *)恒成立．而n ∈N *时，－(2n ＋1)的最大值为－3(n ＝1时)，所以λ>－3即为所求的范围．2．对公式使用条件考虑不周而致错例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n .[错解] a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2.[点拨] 公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2)是分段的，因为n ＝1时，S n －1无意义．在上述解答中，应加上限制条件n ≥2，然后验证n ＝1时的值是否适合n ≥2时的表达式．[正解] a 1＝S 1＝6；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2.由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6 (n ＝1)2·3n －1＋2 (n ≥2).题多解 例 设{a n }是首项为1的正项数列且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0 (n ∈N *)，求a n . 分析 先求出相邻两项a n ＋1与a n 的关系，再选择适当的方法求a n .解 方法一 (累乘法)由(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0.得(a n ＋1＋a n )(na n ＋1－na n ＋a n ＋1)＝0.由于a n ＋1＋a n >0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0.∴a n ＋1a n ＝n n ＋1. ∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝1×12×23×34×…×n －1n ＝1n. 方法二 (换元法)由已知得(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，设b n ＝na n ，则b n ＋1－b n ＝0.∴{b n }是常数列．∴b n ＝b 1＝1×a 1＝1，即na n ＝1.∴a n ＝1n.题赏析1．(2009·北京)已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝______，a 2 014＝______.解析 a 2 009＝a 4×503－3＝1，a 2 014＝a 1 007＝a 252×4－1＝0.答案 1 0赏析 题目小而灵活，考查了充分利用所给条件灵活处理问题的能力．2．(2009·湖北八市调研)由1,3,5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝ab n －1，则b 6的值是( )A ．9B ．17C ．33D ．65解析 ∵b n ＝ab n －1，∴b 2＝ab 1＝a 2＝3，b 3＝ab 2＝a 3＝5，b 4＝ab 3＝a 5＝9，b 5＝ab 4＝a 9＝17，b 6＝ab 5＝a 17＝33.答案 C 赏析 题目新颖别致，考查了对新情境题目的审题能力．。
人教版高中数学必修五《数列》2.1数列的概念及简单表示法(2)
观察钢管堆放示意图，寻其规律
自上而下： 第1层钢管数为4； 即：1 ↔ 4＝1+3 第2层钢管数为5； 即：2 ↔ 5＝2+3 第3层钢管数为6； 即：3 ↔ 6＝3+3 第4层钢管数为7； 即：4 ↔ 7＝4+3 第5层钢管数为8； 即：5 ↔ 8＝5+3 第6层钢管数为9； 即：6 ↔ 9＝6+3 第7层钢管数为10；即：7 ↔10＝7+3
2012年3月28日星期三
2012年3月28日星期三
小结
2012年3月28日星期三
1、课本P36练习2
2012年3月28日星期三
数列的递推公式
根据数列的递推公式求出数列中 的项，并能根据这个数列的前几 项归纳出这个数列的通项公式。
由递推公式推导通项公式的常用 方法。
习题2.1 A组
2012年3月28日星期三
通项公式
上下层之间的关系 自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1。
递推 公式
2012年3月28日星期三
递推公式的定义
递推公式的特征 1、已知数列的第1项（或 前几项） 2、任一项与它的前一项 （或前n项）间的关系可 以用一个公式
定 义
如果已知数列的第1项 （或前几项），且任一项与 它的前一项（或前n项）间 的关系可以用一个公式来表 示，那么这个公式就叫做这 个数列的递推公式。
第4、6题
注意：
1、递推公式也是给出数列的一种方法。 2、递推公式给出数列时，首先要给出数列的首 项(或前n项），再给出公式。
如：下数字排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89
2012年3月28日星期三来自思考：递推公式与通项公式的共同点与不同点？
人教A版高中数学必修五课件2.1数列的概念与简单表示法2
注意：①一些数列的通项公式不是唯一的
②不是每一个数列都能写出它的通项公式 ③
20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
是些孤立点
5 4
数2
1
0 -1 1 2 3 4 5
我们好孤单！ 我们好孤单！
例2：图2.1-5中的三角形称为希尔宾斯基（ Sierpinski）三角形。在下图4个三角形中，着 色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请 写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标 系中画出它的图象。
数列的定义：
按一定顺序排列着的一列数称为 (数列具有有序性) 通项公式 的第 如果数列 n项与项数之间的关系可以用一个公 式来表示，那么这个公式就叫做这个数列 的 通项公式
例1：写出下面数列的一个通项公式，使它的 前4项分别是下列各数：
根据数列的前若干项写 出的通项公式的形式唯 一吗？请举例说明。
情景设置
递推公式也是数列的一种表示方法。
1、观察下面数列特点，用适当的数填空， 并写出每个数列的一个通项公式：
2、数列{an}通项公式是：an=n2-7n+6 (1)这个数列的第4项是多少？ (2)150是不是这个数列的项？若是这 个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项起各项都是正数？
P382,4,6
3、根据下列各个数列{an}的首项及 递推公式，写出它的前5项，并猜想 归纳通项公式(1)a1=0,an+1=an+(2n1)n∈N*
(2)a1=1,an+1=n∈N*
本节学习的主要内容有： 1、数列的有关概念 2、数列的通项公式； 3、数列的实质； 4、本节课的能力要求是： (1)会由通项公式求数列的任一项； (2)会用观察法由数列的前几项 求数列的通项公式
高中数学 2.1数列的概念与简单表示法(第2课时)课件1 新人教A版必修5
(2)
a1
＝1，a
n 1＝
2 an
an
2
(n∈N*)
(3) a 1 ＝3, a n 1 ＝ 3a n－2 (n∈N*)
完整版ppt
16
2
;
变式训练，深化提高
解：⑴
a 1 0 ,a 2 1 ,a 3 4 ,a 4 9 ,a 5 1 6 ,
2.1 数列的概念与简单表示法（第2课时）
完整版ppt
1
教学目标
了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的 异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项； 经历数列知识的感受及理解运用的过程，通过本节 课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的 兴趣。
完整版ppt
2
教学重难点
重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项，
模型一：自上而下： 第1层钢管数为4； 第2层钢管数为5； 第3层钢管数为6； 第4层钢管数为7； 第5层钢管数为8； 第6层钢管数为9； 第7层钢管数为10；
若用
a
n
表示钢管数，n表完示整版层ppt 数，a
n
的表达式是什么？ 5
设计问题，创设情境
问题2
国际象棋棋盘中的每个格子中依次放入这样的麦粒 数排成一列数：
完整版ppt
11
设计问题，创设情境
4、递推公式法
观察钢管堆放示意图，寻其规律，建立数学模型．
模型一：自上而下： 第1层钢管数为4；第2层钢管数为5； 第3层钢管数为6；第4层钢管数为7； 第5层钢管数为8； 第6层钢管数为9； 第7层钢管数为10；
若用 a n 表示钢管数，n表示层数，
人教A版高中数学必修五2.1 数列的概念与简单表示法 2.1.2 精讲优练课型
【知识提炼】 数列的递推公式 如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且任何一项an 与_____________________间的关系可以用一个公式来 表示它，的那前么一这项个(或公前式几就项叫)做这个数列的递推公式.
【即时小测】 1.思考下列问题 (1)所有数列都有递推公式吗？ 提示：不一定.例如 精确到1，0.1，0.01， 0.001，…的不足近似2值排列成一列数：1，1.4， 1.41，1.414，…没有递推公式.
【防范措施】解决与递推公式相关问题的两个关注点 (1)明确递推公式类型：因为数列是一个特殊的函数， 有时可以借助于函数知识，记住类型找方法，如本例 中an+1-an=-2即为an+1-an=f(n)的类型，求通项公式时 要写成an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2a1)+a1的形式.
【解析】1.选C.对n依次取2，3，4得
a2=(-1)2×2× 1=1， a3=(-1)3×2×12=-2，a4=(-1)4×2×(-2)=-4.
2.因为a1=1，an+1=2an ，所以a2= 2a1 2，
an 2
a1 2 3
a3
2a 2 a2 2
2 2 3
22
1，a 2
4
2a3 a3 2
n ·an”，通项公式如何？ 【n 解1析】方法一：累乘法
因为
所以
a n1 an
n， n 1
所以
又因为aa12aaa123=aa134，aa54所以aaannn1 =
1 2
2 3
3 4
4 5
n
人教版高中数学高二必修五 2.1数列的概念与简单表示法(第2课时)
第2课时数列的递推公式1．知道递推公式是给出数列的一种形式．2．能够根据递推公式写出数列的前几项．递推公式如果已知数列{a n}的______(或前几项)，且任一项a n与它的________________间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．用递推公式给出数列的方法叫做递推法．递推公式也是给出数列的一种重要方法，但并不是所有的数列都有递推公式．【做一做1】已知数列{a n}中，a1＝3，a n＋1＝2a n，则a3等于()A．3 B．6 C．12 D．18答案：首项前一项a n－1(或前几项)【做一做1】C通项公式与递推公式的异同剖析：如表所示．题型一递推公式的应用【例题1】已知数列{a n}的第一项是1，以后各项由公式a n－1＝2a n－2(n＞1)给出，写出这个数列的前5项．分析：先将递推公式变形为a n＝1＋12a n－1，再根据递推公式写出数列的前几项．由a1＝1及a 2＝1＋12a 1，求出a 2这一步是解题的关键，求a 3，a 4，a 5与求a 2类似． 反思：根据递推公式写出数列的前几项，这类问题要弄清楚递推公式中各部分的关系，依次代入n 的值计算即可．解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．题型二 由递推公式写出通项公式【例题2】 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n (n －1)(n ≥2)，写出该数列前5项，并归纳出它的一个通项公式．分析：由首项及递推关系写出前5项，再观察前5项的规律，写出一个通项公式． 反思：由递推公式写出通项公式的步骤：(1)先根据递推公式写出数列的前几项(至少是前3项)；(2)根据写出的前几项，观察归纳其特点，并把每一项统一形式；(3)写出一个通项公式．题型三 易错辨析【例题3】 已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝3a n ＋2，则a 3＝__________.错解：∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＝3a n ＋2.∴a 3＋1＝3a 3＋2，∴2a 3＝－1，∴a 3＝－12. 错因分析：错解中，错认为a n ＋1＝a n ＋1，其实不然，a n ＋1表示数列中的第n ＋1项，而a n ＋1表示数列中的第n 项与1的和．反思：递推公式中往往含有a n ＋m ，其意义是数列中的第n ＋m 项，通常与a n ＋m 不相等．答案：【例题1】 解：∵a n －1＝2a n －2(n ＞1)，∴a n ＝1＋12a n －1(n ＞1)． 又a 1＝1，∴a 2＝1＋12a 1＝1＋12×1＝32， a 3＝1＋12a 2＝1＋12×32＝74， a 4＝1＋12a 3＝1＋12×74＝158， a 5＝1＋12a 5＝1＋12×158＝3116. ∴这个数列的前5项是a 1＝1，a 2＝32，a 3＝74，a 4＝158，a 5＝3116.【例题2】 解：a 1＝1，a 2＝a 1＋12×1＝1＋12＝32， a 3＝a 2＋13×2＝32＋16＝53， a 4＝a 3＋14×3＝53＋112＝74， a 5＝a 4＋15×4＝74＋120＝95. 故数列的前5项分别为1，32，53，74，95. 由于1＝2×1－11，32＝2×2－12，53＝2×3－13，74＝2×4－14，95＝2×5－15， 故数列{a n }的一个通项公式为a n ＝2n －1n ＝2－1n. 【例题3】 正解：a 1＝3，则a 2＝3a 1＋2＝3×3＋2＝11，a 3＝3a 2＋2＝3×11＋2＝35.1数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1＝a n －3，则a 3等于( )A ．－7B ．－4C ．－1D ．22在数列{a n }中，a 1＝13，a n ＝2a n －1(n ≥2)，则a 5等于( ) A.43 B.83 C.163 D.3233(2011·北京东城二模)已知正项数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2,2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ≥2)，则a 6等于( )A ．16B ．8 C． D ．44数列{a n }中，a 2＝1，且a n ＋1＝na n ，则a 3＝__________.5数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝12n a +，试写出a 2，a 3，a 4，a 5.答案：1．A 2.C 3.D 4.25．解：a 2＝112a +＝121+＝3.a 3＝21172233a +=+=. a 4＝3132217a +=+. a 5＝41741221717a +=+=.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
返回
当堂检测123来自456
1.下列四个命题： ①如果已知一个数列的递推公式及其首项，那么可以写出这个数列的 任何一项；
2 3 4 5 n ②数列3，4，5，6，„的通项公式是 an＝ ； n＋1
③数列的图象是一群孤立的点； ④数列1，－1,1，－1，„与数列－1,1，－1,1，„是同一数列. 其中真命题的个数是( A.1 B.2 ) C.3 D.4
2 故数列的一个通项公式为 an＝ (n∈N*). n＋1
反思与感悟 解析答案
跟踪训练2
数列{an}满足a1＝1，an＋1＋2anan＋1－an＝0.
(1)写出数列的前5项；
1 1 解 由已知可得 a1＝1＝1，a2＝3 1 1 1 a3＝5，a4＝7，a5＝9.
(2)由(1)写出数列{an}的一个通项公式.
(n－1)个
∴an＝2n－1.当n＝1时，an＝1适合上式， ∴an＝2n－1(n∈N*).
解析答案
1
2
3
4
5
6
4
2 解析 由已知得 a1＋a1＝a1＋1＝a2，∴a2＝9， 4 8 同理 a4＝9，a8＝9， 8 1 ∴a9＝a8＋1＝a8＋a1＝9＋9＝1，
∴a36＝2a18＝4a9＝4.
______，由此归纳出{an}的一个通项公式为____，可以求得a8＝_____. a5＝2a4＋1＝63，∴a5＝63.可以看出an＝2n＋1－1，∴a8＝29－1＝511. 思考2 答案 由思考1，体会一下数列的通项公式与递推公式有什么区别？ 通项公式直接反映了 an与n之间的关系，即知道 n值，即可代入通
解析答案
1
2
3
4
5
6
2.数列2,4,6,8,10，„的递推公式是( C )
A.an＝an－1＋2(n≥2)
B.an＝2an－1(n≥2)
C.a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2)
D.a1＝2，an＝2an－1(n≥2) 解析 A，B中没有说明某一项，无法递推，D中a1＝2，a2＝4，a3＝8，
不合题意.
以证明.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练 3 是( )
an＋1 1 已知数列{an}中，a1＝1， a ＝2，则数列{an}的通项公式 n
A.an＝2n C.an＝ 1 2n－1
1 B.an＝2n 1 D.an＝2n
解析答案
易错点
忽略n的正整数范围致误
例4 求数列{－2n2＋29n＋3}中的最大项.
解析答案
解析
由a1＝1知a2a1＝a1＋(－1)2，得a2＝2；
3
1 由 a3a2＝a2＋(－1) ，得 a3＝2；
2 2 a5 3 4 同理得 a4＝3，a5＝3，故a ＝1＝3，选 B. 3 2
解析答案
2 a n＝ (n∈N*) n＋1
2 2×3 2×1 2 2 1 2 解析 a1＝1＝2，a2＝ ＝3，a3＝2 ＝2＝4， 1＋2 3＋2 1 2 2×2 2×5 2 1 2 a4＝1 ＝5，a5＝2 ＝3＝6. 2＋2 5＋2
列表法、 2.数列的表示方法：数列的表示方法有 通项公式法 、图象法 、 递推公式法 .
答案
思考 1
答案
已知数列 {an} 满足 a1 ＝ 3 ， an ＋ 1 ＝ 2an ＋ 1 ，则数列的第 5 项 a5 ＝
∵a1＝3， ∴a2＝2a1 ＋1＝7 ， a3＝2a2＋ 1＝15，a4＝2a3＋1 ＝31，
解 由(1)可得数列的每一项的分子均为 1， 分母分别为 1,3,5,7,9， „，
1 所以它的一个通项公式为 an＝ . 2n－1
解析答案
例3
1 (1)已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋n)，求 an.
解析答案
(2)已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝2an(n∈N*)，写出前3项，猜想an并加
项公式求得该项的值 an ；递推关系则是间接反映数列的式子，它是数列 任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，要求an，须将前面的各项依次 求出才行.
答案 返回
题型探究
重点突破
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1
求例题中的数列{an}的最大项.
解析答案
题型二 递推公式的简单应用 B
16 A.15 4 B.3 8 C.15 8 D.3
A.a1，a50 C.a45，a44
B.a1，a44 D.a45，a50
解析答案
1
2
3
4
5
6
5.已知数列{an}满足a1＝1，an－an－1＝2(n≥2)，则数列的通项an等于( C )
A.2n＋1 B.2n
C.2n－1
D.2(n－1)
解析 当n≥2时，∵an－an－1＝2，
∴(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋„＋(a3－a2)＋(a2－a1)＝2＋2＋„＋2＝2(n－1)，
解析答案
1
2
3
4
5
6
1 3.数列{xn}中，若 x1＝1，xn＋1＝ －1，则 x2 017 等于( D ) xn＋1 A.－1 1 B.－2 1 C.2 D.1
解析答案
1
2
3
4
5
6
n－ 2 011 4.数列{an}中， an＝ ， 则该数列前 100 项中的最大项与最小项分别 n－ 2 012 是( )
第二章 数 列
§2.1 数列的概念与简单表示法(二)
学习 目标
1.理解数列的几种表示方法，能用函数的观点研究数列. 2.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.
栏目 索引
知识梳理 题型探究
当堂检测
自主学习 重点突破
自查自纠
知识梳理
自主学习
知识点一
数列的函数性质
1.数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集 {1,2，„，n} ) 为定义域 的函数an＝f(n)，当自变量按照 从小到大 的顺序依次取值时所对应的 一列函数值. 2.在数列{an}中，若an＋1>an，则{an}是 递增 数列；若 an ＋ 1<an ，则 {an} 为 递减 数列；若an＋1＝an，则{an}为 常数列 . 思考1 答案 从定义上看，数列是特殊的函数，因此，表示数列除可以用通 还可以用列表法，图象法.
答案
项公式外，还可以有哪些方法？
思考2
数列单调性与函数单调性的区别和联系是什么？
答案
知识点二
数列的表示方法
1.数列的递推公式：如果数列 {an} 的第1 项或前几项已知，并且数列 {an}
的任一项an与它的 前一项an－1 (或前几项)间的关系可以用一个式子来表
示，那么这个式子就叫做这个数列的 递推 公式.