自动控制原理__(13)

x0 e t , 其中x0 x(0) t 1 x0 x 0 e
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（2）会产生自激振荡 非线性系统即使无外界作用，往往也会产生具有一定振幅 和频率的稳定性振荡，称为自激（自持）振荡。在有的非线性 系统中，还可能产生不止一种振幅和频率的自激振荡。自激振 荡是非线性系统一种特有的运动形式，其振幅和频率由系统本 身特性决定。 说明：
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2. 典型的非线性特性
常见的非线性特性有饱和、死区、间隙（回环）、继电等。 (1)饱和特性 特点：当输入信号超过某一范围后，输出信号不再随输 入信号而变化，将保持某一常数值不变。可将饱和非线性元 件看作为一个变增益的比例环节。
x2 f ( x1 ) tan , x1 ＜s 如图： x2 f ( x1 ) K x1 x1 0, x1 ＞s
作用：饱和特性将使系 统等效增益减小，因此可用 来改善系统的稳定性，但会 降低稳态精度。在有些系统 中利用饱和特性起信号限幅 作用。
（a）理想饱和特性
（b）实际饱和特性
图7-2 理想与实际饱和特性
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（2）死区（不灵敏区）特性 特点：是当输入信号在零值附近的某一小范围之内变化 时，没有相应的输出信号，只有当输入信号大于此范围时， 才有信号输出。 常见于测量、放大、变换元件中，执行机构中静摩擦的 影响往往也可用死区来表示。 影响：控制系统中死区特性的存 在，将导致系统稳态误差增大，而测 量元件死区的影响尤为显著。摩擦死 区会造成系统低速运动的不均匀，导 致随动系统不能准确地跟踪目标。
3. 非线性系统的分析方法
目前，对于非线性系统的分析与设计，工程上常用的近似方法有：小 偏差线性化法、分段线性化法、反馈线性化法、描述函数法、相平面法及 计算机仿真等。本章将重点介绍应用较多的相平面法和描述函数法。 （1） 相平面法 相平面法是基于时域的图解分析方法。特点是保留非线性特性，将高 阶的线性部分近似地化为二阶，利用二阶系统的状态方程，绘制由状态变 量所构成的的相轨迹图。可用来分析系统的稳定性及运动特性。 只适用于一、二阶的简单非线性系统分析。
谐波线性化的条件： ① 非线性系统应能够简化为图7.1所示的典型结构。 ② 非线性特性应具有奇对称性，即：f1(e)=-f1(-e) 保证非线性元件输出的平均值即直流分量A0=0。 ③ 系统的线性部分应具有较好的低通滤波特性。
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描述函数 定义：在正弦信号作用下，非线性环节稳态输出的基波分量 与输入正弦量的复数比。用N(X)表示。 由上分析可知： 对于非线性元件，输入 x(t ) X sin t 时， 谐波线性化后的输出为：
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研究非线性控制理论的意义： 实际上，理想的线性系统并不存在，因为系统各元件的动、 静态特性都存在着不同程度的非线性。如放大元件由于受电源 电压或输出功率的限制，在输入电压超过放大器的线性工作范 围时，输出呈饱和现象，如图7-1(a)所示。执行元件电动机， 由于其轴上联接着需动力驱动的机械负载，只有在电枢电压达 到一定数值后，电机才会启动，存在着死区；而当电枢电压超 过一定数值时，电机的转速将不再增加，出现饱和现象，其特 性如图7-1(b)所示。又如传动机构，受加工和装配精度的限制， 换向时存在着间隙特性，如图7-1(c)所示。
图7-3
死区特性
作用：从等效增益的角度来看，死区特性的存在减小了系 统的开环增益，减弱动态响应的振荡倾向，故可提高系统的平 稳性。死区的作用也可减小扰动信号的影响，一定程度上提高 了系统的抗干扰能力。
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（3）间隙（回环）特性 传动机构的间隙和铁磁元件中的磁滞现象都是很常见的 非线性特性。 在齿轮传动中，由于间隙的存在，当主动轮方向改变时， 从动轮保持原位不动，直到间隙消除后才改变方向。铁磁元 件中的磁滞现象是一种回环特性，又称磁滞特性。
1 A0 而直流分量：
y(t )dt,
0
2
y (x)= -y (-x)
因非线性特性大多为奇对称，则直流分量A0=0；同时各谐 波分量的幅值与基波相比都比较小；再考虑到实际系统的线性 部分一般都具有低通特性，因此，可以忽略其高次谐波分量， 只考虑基波分量，即n=1。则：
y(t ) A1 cost B1 sint Y1 sin(t 1 )
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谐波线性化 即：忽略高次谐波，只考虑基波分量的线性化方法。 若在N(x)的输入端加一正弦输入信号 x(t ) X sin t 时， 其稳态输出 y( t ) 一般为含有高次谐波的周期函数，将其用傅 里叶级数展开为：
直流分量
y(t ) A0
( A
描述函数的求取：
M , 【例7.1】设继电特性为 y( x ) M， x＜0 x＞0
试计算该非线性特性的描述函数。
0＜t＜ M , y( t ) M , ＜t＜2
解：设 x X sint
1 2 1 2 A0 y (t )dt 0, A1 y (t ) costdt, 0 0 2 0 1 2 4M B1 y(t ) sin tdt,
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一般概念 主要内容 两种分析方法：相平面法、描述函数法 利用非线性特性改善系统性能 1. 非线性系统的基本特征 （1）稳定性比较复杂 不稳定 x0=1.05 的平衡 线性系统的稳定性 状态 x0=1 只取决于系统的结构和 x0=0.75 参数，与起始状态无关。 x0=0.5 x0=0 非线性系统的稳定 x0=-0.5 稳定的平 性不仅取决于系统的结 x0=-1 衡状态 构和参数，而且还与系 统的初始条件直接相关。 可见： x(0)＜1系统稳定； x(0)＞1系统不稳定 【例7-1】某一阶非线性系统的 ( x 1) x 0 ，则: x( t ) 微分方程为 x
图7-1
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对某些非线性因素不太严重的系统，可忽略非线性特性的 影响或作小偏差线性化处理，将近似为线性系统，可用线性系 统的方法加以分析和设计。但是，对于非线性程度比较严重， 且系统工作范围较大的非线性系统，只有使用非线性系统的分 析和设计方法，才能得到较为正确的结果。随着生产和科学技 术的发展，对控制系统的性能和精度的要求越来越高，建立在 上述线性化基础上的分析和设计方法已难以解决高质量的控制 问题。为此，必须针对非线性系统的数学模型，采用非线性控 制理论进行研究。此外，为了改善系统的性能，实现高质量的 控制，还必须考虑非线性控制器的设计。例如，为了获得最短 时间控制，需对执行机构采用继电控制，使其始终工作在最大 电压或最大功率下，充分发挥其调节能力；为了兼顾系统的响 应速率和稳态精度，需使用变增益控制器等等。 值得注意的是，非线性特性干差万别，对于非线性系统， 目前还没有统一的且普遍适用的处理方法。线性系统是非线性 系统的持例，线性系统的分析和设计方法在非线性控制系统的 研究中仍将发挥非常重要的作用。
均为收敛于幅值为2的等副振荡
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（3）频率响应畸变 线性定常系统，输入为正弦信号，则输出为同频率的正 弦信号，其幅值和相位是输入频率的函数。 在非线性系统中，当输入信号为正弦函数时，稳态输出信 号通常是包含高次谐波的非正弦周期函数，其周期与输入信号 相同。有时还会出现跳跃谐振、倍频和分频振荡等现象。 （4）不能用叠加原理 非线性系统要用非线性微分方程来描述，不能应用叠加原 理，因此没有一种通用的方法来处理各种非线性问题。有时采 用分段线性化方法或其他近似方法。应该指出，研究非线性系 统并不一定都要求解其暂态过程，通常讨论的重点是系统是否 稳定；会不会产生自激振荡，如会产生，其振幅和频率为多少? 如何消除自激振荡等。
n 1n cos nt Bn sinnt ) A0
Y
n 1

n sin(nt
n )
式中，An、Bn为傅里叶系数
Yn
2 2 An Bn
第n次谐波分量
An n arctan Bn
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按照傅里叶分解法，其偶函数分量和奇函数分量的系数分别为： 1 2 1 2 An y( t ) cos ntdt , Bn y( t ) sinntdt , ( n 0,1,2) 0 0
1
2
其中：
A1
Y1

0
y( t ) costd (t ) ,
B1
A1 B1

1
2
0
y( t ) si ntd (t ),
A12 B12 ，1 arctan
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可见：非线性环节在正弦输入情况下，其输出也可近似具 有和线性环节相类似的频率响应形式，即是一个与输入信号同 频率的正弦信号，只是幅值和相位发生了变化。由于只是用一 次基波代替了总的输出，因此，将这种近似处理方法称为谐波 线性化。
（2） 描述函数法 描述函数法是基于频域的图解分析方法。特点是保留线性部分，对非 线性环节进行谐波线性化处理，将非线性特性近似表示为复变增益环节， 利用线性系统频率法中的稳定判据，分析非线性系统的稳定性和自激振荡。 一般用于高阶非线性系统的分析。
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§7.3 描述函数法
（4）继电特性 由于继电器吸合电压和释放电压的不同，其特性中包含了 饱和、死区、和回环特性(图7-5)。 继电特性常常会使系统产生振荡现象，但如选择合适的 继电特性可提高系统的响应速度，也可构成正弦信号发生器。
(a)理想特性
(b)带死区的特性
(c)一般特性
图7-5 继电器特性
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