高三数学必修5复习单元检测试题31(含答案)
高中数学必修5测试题附答案.docx
高一数学必修 5 试题一． 选择题 本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.由a 1 1 ， d3确定的等差数列a n，当 a n 298 ，序号 n 等于 （）Ａ． 99Ｂ． 100Ｃ． 96Ｄ． 1012.ABC 中，若 a 1, c2, B60 ， ABC 的面（ ）A ．1B ．3 D.3223. 在数列 { a n } 中， a 1 =1， a n 1a n 2 ， a 51 的（）A ． 99 B． 49C． 102 D． 1014. 已知数列 3 ,3,15 , ⋯, 3(2n 1) , 那么 9 是数列的( )（）第12（）第13（）第14（）第15ABCD5. a 1 11 a n1在等比数列中，， q2 ，， 数 n（）232A. 3B. 4C. 5D. 66.△ ABC 中， cosA a， △ ABC 一定是( )cos BbA ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等 三角形7. 定函数 yf ( x) 的 象在下列 中，并且 任意a 1 (0,1) ，由关系式 a n 1f (a n ) 得到的数列 { a n } 足 a n 1a n (n N * ) ， 函数的 象是（ ）ｙｙｙ ｙ1111ｏ1ｏ1ｏ1ｘｏ1ｘｘｘABCD8. 在ABC 中 , a 80,b 100, A 45 , 此三角形解的情况是（）A. 一解B.两解 C. 一解或两解D. 无解9. 在△ ABC 中，如果 sin A :sin B :sin C 2:3: 4 ，那么 cos C 等于（）2211A.B. -C. -D. -333410. 一个等比数列 { a n } 的前 n 和 48，前 2n 和 60， 前 3n和（）A 、 63B 、108C 、75D 、 8311. 在△ ABC 中，∠ A = 60° ,a = 6 ,b = 4 , 足条件的△ ABC( )(A) 无解 (B) 有解(C)有两解(D)不能确定12. 数列 { a n } 中， a 11, a n2a n(nN) ， 2是 个数列的第几（）12101a n二、填空题 ( 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
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第一章 解三角形测试一 正弦定理和余弦定理Ⅰ 学习目标1．掌握正弦定理和余弦定理及其有关变形.2．会正确运用正弦定理、余弦定理及有关三角形知识解三角形.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．在△ABC 中，若BC ＝2，AC ＝2，B ＝45°，则角A 等于( ) (A)60°(B)30°(C)60°或120°(D)30°或150°2．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，cos C ＝－41，则c 等于( ) (A)2(B)3(C)4(D)53．在△ABC 中，已知32sin ,53cos ==C B ，AC ＝2，那么边AB 等于( ) (A )45(B)35(C)920(D)512 4．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知B ＝30°，c ＝150，b ＝503，那么这个三角形是( ) (A)等边三角形 (B)等腰三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形5．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，如果A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，那么a ∶b ∶c 等于( )(A)1∶2∶3(B)1∶3∶2(C)1∶4∶9(D)1∶2∶3二、填空题6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，B ＝45°，C ＝75°，则b ＝________. 7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝23，c ＝4，则A ＝________. 8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2cos B cos C ＝1－cos A ，则△ABC 形状是________三角形.9．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝4，B ＝60°，则c ＝________. 10．在△ABC 中，若tan A ＝2，B ＝45°，BC ＝5，则 AC ＝________.三、解答题11．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝4，C ＝60°，试解△ABC . 12．在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝4，AC ＝13.(1)求角B 的大小；(2)若D 是BC 的中点，求中线AD 的长.13．如图，△OAB 的顶点为O (0，0)，A (5，2)和B (－9，8)，求角A 的大小.14．在△ABC 中，已知BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长； (3)求△ABC 的面积.测试二 解三角形全章综合练习Ⅰ 基础训练题一、选择题1．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝bc ，则角A 等于( )(A)6π (B)3π (C)32π (D)65π2．在△ABC 中，给出下列关系式：①sin(A ＋B )＝sin C②cos(A ＋B )＝cos C ③2cos 2sinCB A =+ 其中正确的个数是( ) (A)0 (B)1(C)2 (D)33．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a ＝3，sin A ＝32，sin(A ＋C )＝43，则b 等于( ) (A)4(B)38(C)6 (D)827 4．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝4，sin C ＝32，则此三角形的面积是( ) (A)8 (B)6 (C)4 (D)35．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，则此三角形的形状是( ) (A)直角三角形 (B)正三角形 (C)腰和底边不等的等腰三角形 (D)等腰直角三角形 二、填空题6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，B ＝45°，则角A ＝________. 7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝19，则角C ＝________. 8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b ＝3，c ＝4，cos A ＝53，则此三角形的面积为________. 9．已知△ABC 的顶点A (1，0)，B (0，2)，C (4，4)，则cos A ＝________. 10．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，那么边BC 上的中线AD 的长为________. 三、解答题11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ＝3，b ＝4，C ＝60°.(1)求c ； (2)求sin B .12．设向量a ，b 满足a ·b ＝3，|a |＝3，|b |＝2.(1)求〈a ，b 〉； (2)求|a －b |.13．设△OAB 的顶点为O (0，0)，A (5，2)和B (－9，8)，若BD ⊥OA 于D .(1)求高线BD 的长； (2)求△OAB 的面积.14．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＞sin 2C ，求证：C 为锐角.(提示：利用正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，其中R 为△ABC 外接圆半径) Ⅱ 拓展训练题15．如图，两条直路OX 与OY 相交于O 点，且两条路所在直线夹角为60°，甲、乙两人分别在OX 、OY 上的A 、B 两点，| OA |＝3km ，| OB |＝1km ，两人同时都以4km/h 的速度行走，甲沿XO 方向，乙沿OY 方向. 问：(1)经过t 小时后，两人距离是多少(表示为t 的函数)？(2)何时两人距离最近？16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且ca bC B +-=2cos cos . (1)求角B 的值；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积.第二章 数列测试三 数列Ⅰ 学习目标1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊的函数. 2．理解数列的通项公式的含义，由通项公式写出数列各项.3．了解递推公式是给出数列的一种方法，能根据递推公式写出数列的前几项.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }的前四项依次是：4，44，444，4444，…则数列{a n }的通项公式可以是( )(A)a n ＝4n (B)a n ＝4n(C)a n ＝94(10n －1)(D)a n ＝4×11n2．在有一定规律的数列0，3，8，15，24，x ，48，63，……中，x 的值是( )(A)30 (B)35 (C)36 (D)42 3．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＝a n －1＋3n ，则a 4等于( )(A)4 (B)13 (C)28 (D)43 4．156是下列哪个数列中的一项( )(A){n 2＋1} (B){n 2－1} (C){n 2＋n } (D){n 2＋n －1} 5．若数列{a n }的通项公式为a n ＝5－3n ，则数列{a n }是( )(A)递增数列 (B)递减数列 (C)先减后增数列 (D)以上都不对 二、填空题6．数列的前5项如下，请写出各数列的一个通项公式：(1)n a ,,31,52,21,32,1 ＝________；(2)0，1，0，1，0，…，a n ＝________.7．一个数列的通项公式是a n ＝122+n n .(1)它的前五项依次是________； (2)0.98是其中的第________项.8．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋1，则a 4＝________. 9．数列{a n }的通项公式为)12(3211-++++=n a n (n ∈N *)，则a 3＝________.10．数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2－15n ＋3，则它的最小项是第________项. 三、解答题11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝14－3n .(1)写出数列{a n }的前6项； (2)当n ≥5时，证明a n ＜0.12．在数列{a n }中，已知a n ＝312-+n n (n ∈N *).(1)写出a 10，a n ＋1，2n a ； (2)7932是否是此数列中的项？若是，是第几项？ 13．已知函数xx x f 1)(-=，设a n ＝f (n )(n ∈N ＋).(1)写出数列{a n }的前4项；(2)数列{a n }是递增数列还是递减数列？为什么？测试四 等差数列Ⅰ 学习目标1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能解决一些简单问题. 2．掌握等差数列的前n 项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能体会等差数列与一次函数的关系.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝a n －2，则a 100等于( )(A)98 (B)－195 (C)－201 (D)－1982．数列{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，如果a n ＝2008，那么n 等于( )(A)667 (B)668 (C)669 (D)670 3．在等差数列{a n }中，若a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( )(A)15 (B)30 (C)31 (D)644．在a 和b (a ≠b )之间插入n 个数，使它们与a ，b 组成等差数列，则该数列的公差为( )(A)n a b - (B)1+-n a b (C)1++n a b (D)2+-n a b5．设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( )(A)S 4＜S 5 (B)S 4＝S 5 (C)S 6＜S 5 (D)S 6＝S 5 二、填空题6．在等差数列{a n }中，a 2与a 6的等差中项是________.7．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝9，那么a 5＋a 6＝________. 8．设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若S 17＝102，则a 9＝________.9．如果一个数列的前n 项和S n ＝3n 2＋2n ，那么它的第n 项a n ＝________.10．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，设{a n }的前n 项和是S n ，则S 10＝________. 三、解答题11．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，a 3＝7，S 4＝24．求数列{a n }的通项公式.12．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50.(1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n .13．数列{a n }是等差数列，且a 1＝50，d ＝－0.6．(1)从第几项开始a n ＜0；(2)写出数列的前n 项和公式S n ，并求S n 的最大值.Ⅲ 拓展训练题14．记数列{a n }的前n 项和为S n ，若3a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)，a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝90，求S 100．测试五 等比数列Ⅰ 学习目标1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能解决一些简单问题. 2．掌握等比数列的前n 项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能体会等比数列与指数函数的关系.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝2a n ，则a 4等于( )(A)83 (B)24 (C)48 (D)542．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( )(A)33 (B)72 (C)84 (D)189 3．在等比数列{a n }中，如果a 6＝6，a 9＝9，那么a 3等于( )(A)4 (B)23 (C)916(D)34．在等比数列{a n }中，若a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前四项和为( )(A)81 (B)120 (C)168 (D)1925．若数列{a n }满足a n ＝a 1q n －1(q ＞1)，给出以下四个结论：①{a n }是等比数列； ②{a n }可能是等差数列也可能是等比数列； ③{a n }是递增数列； ④{a n }可能是递减数列. 其中正确的结论是( ) (A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④ 二、填空题6．在等比数列{a n }中,a 1，a 10是方程3x 2＋7x －9＝0的两根，则a 4a 7＝________. 7．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝6，那么a 5＋a 6＝________. 8．在等比数列{a n }中，若a 5＝9，q ＝21，则{a n }的前5项和为________. 9．在38和227之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________.10．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q ＝________. 三、解答题11．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝6，a 5＝162.设数列{a n }的前n 项和为S n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若S n ＝242，求n .12．在等比数列{a n }中，若a 2a 6＝36，a 3＋a 5＝15，求公比q .13．已知实数a ，b ，c 成等差数列，a ＋1，b ＋1，c ＋4成等比数列，且a ＋b ＋c ＝15，求a ，b ，c .Ⅲ 拓展训练题14．在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q ，每列上的数从上到下都成等差数列.a ij 表示位于第i 行第j 列的数，其中a 24＝1，a 42＝1，a 54＝5.(2)求a ij 的计算公式.测试六 数列求和Ⅰ 学习目标1．会求等差、等比数列的和，以及求等差、等比数列中的部分项的和. 2．会使用裂项相消法、错位相减法求数列的和.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知等比数列的公比为2，且前4项的和为1，那么前8项的和等于( )(A)15 (B)17 (C)19 (D)21 2．若数列{a n }是公差为21的等差数列，它的前100项和为145，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99的值为( ) (A)60 (B)72.5 (C)85 (D)1203．数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n －1·2n (n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则S 100等于( )(A)100 (B)－100 (C)200 (D)－200 4．数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-)12)(12(1n n 的前n 项和为( )(A)12+n n (B)122+n n (C)24+n n (D)12+n n5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝a n ＋3(n ＝1，2，3，…)，则S 100等于( )(A)7000 (B)7250 (C)7500 (D)14950 二、填空题6．nn +++++++++11341231121 ＝________.7．数列{n ＋n21}的前n 项和为________. 8．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________.9．设n ∈N *，a ∈R ，则1＋a ＋a 2＋…＋a n ＝________. 10．n n 21813412211⨯++⨯+⨯+⨯＝________. 三、解答题11．在数列{a n }中，a 1＝－11，a n ＋1＝a n ＋2(n ∈N *)，求数列{|a n |}的前n 项和S n .12．已知函数f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n (n ∈N *，x ∈R )，且对一切正整数n 都有f (1)＝n 2成立.(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)求13221111++++n n a a a a a a .13．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝12141211-++++n ，求数列的前n 项和S n .Ⅲ 拓展训练题14．已知数列{a n }是等差数列，且a 1＝2，a 1＋a 2＋a 3＝12.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝a n x n (x ∈R )，求数列{b n }的前n 项和公式.测试七 数列综合问题Ⅰ 基础训练题一、选择题1．等差数列{a n }中，a 1＝1，公差d ≠0，如果a 1，a 2，a 5成等比数列，那么d 等于( )(A)3 (B)2 (C)－2 (D)2或－2 2．等比数列{a n }中，a n ＞0，且a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，则a 3＋a 5等于( )(A)5 (B)10 (C)15 (D)203．如果a 1，a 2，a 3，…，a 8为各项都是正数的等差数列，公差d ≠0，则( )(A)a 1a 8＞a 4a 5 (B)a 1a 8＜a 4a 5 (C)a 1＋a 8＞a 4＋a 5 (D)a 1a 8＝a 4a 54．一给定函数y ＝f (x )的图象在下列图中，并且对任意a 1∈(0，1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1＞a n (n ∈N *)，则该函数的图象是( )5．已知数列{a n }满足a 1＝0，1331+-=+n n n a a a (n ∈N *)，则a 20等于( ) (A)0 (B)－3(C)3(D)23 二、填空题6．设数列{a n }的首项a 1＝41，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+.,,41,211为奇数为偶数n a n a a n nn 则a 2＝________，a 3＝________.7．已知等差数列{a n }的公差为2，前20项和等于150，那么a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20＝________.8．某种细菌的培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3个小时，这种细菌可以由1个繁殖成________个.9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n (n ∈N *)，则a n ＝________. 10．在数列{a n }和{b n }中，a 1＝2，且对任意正整数n 等式3a n ＋1－a n ＝0成立，若b n 是a n 与a n ＋1的等差中项，则{b n }的前n 项和为________. 三、解答题11．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a n ＝5S n －3(n ∈N *).(1)求a 1，a 2，a 3；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)求a 1＋a 3＋…＋a 2n －1的和.12．已知函数f (x )＝422+x (x ＞0)，设a 1＝1，a 21+n ·f (a n )＝2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式.13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0.(1)求公差d 的范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪个值最大，并说明理由.Ⅲ 拓展训练题14．甲、乙两物体分别从相距70m 的两地同时相向运动.甲第1分钟走2m ，以后每分钟比前1分钟多走1m ，乙每分钟走5m .(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？15．在数列{a n }中，若a 1，a 2是正整数，且a n ＝|a n －1－a n －2|，n ＝3，4，5，…则称{a n }为“绝对差数列”.(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)； (2)若“绝对差数列”{a n }中，a 1＝3，a 2＝0，试求出通项a n ； (3)*证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.测试八 数列全章综合练习Ⅰ 基础训练题一、选择题1．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝4，a 3＋a 4＝12，那么a 5＋a 6等于( )(A)16 (B)20 (C)24 (D)36 2．在50和350间所有末位数是1的整数和( )(A)5880 (B)5539 (C)5208 (D)48773．若a ，b ，c 成等比数列，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)不能确定 4．在等差数列{a n }中，如果前5项的和为S 5＝20，那么a 3等于( )(A)－2 (B)2 (C)－4 (D)4 5．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2007＋a 2008＞0，a 2007·a 2008＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )(A)4012 (B)4013 (C)4014 (D)4015 二、填空题6．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝________.7．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和S 20＝________. 8．数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S n ＝n 2－3n ＋1，则a n ＝________.9．等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则1074963a a a aa a ++++＝________.10．设数列{a n }是首项为1的正数数列，且(n ＋1)a 21+n －na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________. 三、解答题11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 7－a 10＝8，a 11－a 4＝4，求S 13.12．已知数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1＋1)(n ∈N *)在函数f (x )＝2x ＋1的图象上.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)设c n ＝S n ，求数列{c n }的前n 项和T n .13．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足条件S n ＝3a n ＋2.(1)求证：数列{a n }成等比数列； (2)求通项公式a n .14．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元. (1)写出该渔船前四年每年所需的费用(不包括购买费用)；(2)该渔船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用为正值)？(3)若当盈利总额达到最大值时，渔船以8万元卖出，那么该船为渔业公司带来的收益是多少万元？Ⅱ 拓展训练题 15．已知函数f (x )＝412-x (x ＜－2)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f (－11+n a )(n ∈N *).(1)求a n ；(2)设b n ＝a 21+n ＋a 22+n ＋…＋a 212+n ，是否存在最小正整数m ，使对任意n ∈N *有b n ＜25m成立？若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.16．已知f 是直角坐标系平面xOy 到自身的一个映射，点P 在映射f 下的象为点Q ，记作Q ＝f (P ).设P 1(x 1，y 1)，P 2＝f (P 1)，P 3＝f (P 2)，…，P n ＝f (P n －1)，….如果存在一个圆，使所有的点P n (x n ，y n )(n ∈N *)都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点P n (x n ，y n )的一个收敛圆.特别地，当P 1＝f (P 1)时，则称点P 1为映射f 下的不动点.若点P (x ，y )在映射f 下的象为点Q (－x ＋1，21y ). (1)求映射f 下不动点的坐标；(2)若P 1的坐标为(2，2)，求证：点P n (x n ，y n )(n ∈N *)存在一个半径为2的收敛圆.第三章 不等式测试九 不等式的概念与性质Ⅰ 学习目标1．了解日常生活中的不等关系和不等式(组)的实际背景，掌握用作差的方法比较两个代数式的大小. 2．理解不等式的基本性质及其证明.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．设a ，b ，c ∈R ，则下列命题为真命题的是( )(A)a ＞b ⇒a －c ＞b －c (B)a ＞b ⇒ac ＞bc (C)a ＞b ⇒a 2＞b 2 (D)a ＞b ⇒ac 2＞bc 2 2．若－1＜α＜β＜1，则α－β 的取值范围是( )(A)(－2，2) (B)(－2，－1) (C)(－1，0) (D)(－2，0) 3．设a ＞2，b ＞2，则ab 与a ＋b 的大小关系是( )(A)ab ＞a ＋b (B)ab ＜a ＋b (C)ab ＝a ＋b (D)不能确定4．使不等式a ＞b 和ba 11>同时成立的条件是( )(A)a ＞b ＞0 (B)a ＞0＞b (C)b ＞a ＞0 (D)b ＞0＞a 5．设1＜x ＜10，则下列不等关系正确的是( )(A)lg 2x ＞lg x 2＞lg(lg x ) (B)lg 2x ＞lg(lg x )＞lg x 2 (C)lg x 2＞lg 2x ＞1g (lg x ) (D)lg x 2＞lg(lg x )＞lg 2x 二、填空题6．已知a ＜b ＜0，c ＜0，在下列空白处填上适当不等号或等号： (1)(a －2)c ________(b －2)c ； (2)a c ________bc； (3)b －a ________|a |－|b |. 7．已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么a 、ab 、ab 2按从小到大排列为________. 8．已知60＜a ＜84，28＜b ＜33，则a －b 的取值范围是________；ba的取值范围是________. 9．已知a ，b ，c ∈R ，给出四个论断：①a ＞b ；②ac 2＞bc 2；③cbc a >；④a －c ＞b －c .以其中一个论断作条件，另一个论断作结论，写出你认为正确的两个命题是________⇒________；________⇒________.(在“⇒”的两侧填上论断序号).10．设a ＞0，0＜b ＜1，则P ＝23+a b 与)2)(1(++=a a bQ 的大小关系是________.三、解答题11．若a ＞b ＞0，m ＞0，判断a b 与ma mb ++的大小关系并加以证明.12．设a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，b a q a b ba p +=+=,22.证明：p ＞q .注：解题时可参考公式x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2).Ⅲ 拓展训练题13．已知a ＞0，且a ≠1，设M ＝log a (a 3－a ＋1)，N ＝log a (a 2－a ＋1).求证：M ＞N .14．在等比数列{a n }和等差数列{b n }中,a 1＝b 1＞0，a 3＝b 3＞0，a 1≠a 3，试比较a 5和b 5的大小.测试十 均值不等式Ⅰ 学习目标1．了解基本不等式的证明过程.2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则ab ( )(A)有最小值41 (B)有最小值21 (C)有最大值41(D)有最大值212．若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则( )(A)2222b a ab ba +<<+ (B)2222b a ba ab +<+< (C)2222ba b a ab +<+<(D)2222ba ab b a +<<+ 3．若矩形的面积为a 2(a ＞0)，则其周长的最小值为( )(A)a (B)2a (C)3a(D)4a4．设a ，b ∈R ，且2a ＋b －2＝0，则4a ＋2b 的最小值是( )(A)22(B)4(C)24(D)85．如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( )(A)ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一 (B)ab ≥c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一 (C)ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一 (D)ab ≥c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一 二、填空题6．若x ＞0，则变量x x 9+的最小值是________；取到最小值时，x ＝________.7．函数y ＝142+x x(x ＞0)的最大值是________；取到最大值时，x ＝________. 8．已知a ＜0，则316-+a a 的最大值是________. 9．函数f (x )＝2log 2(x ＋2)－log 2x 的最小值是________.10．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝3，且a ，b ，c 成等比数列，则b 的取值范围是________. 三、解答题11．四个互不相等的正数a ，b ，c ，d 成等比数列，判断2da +和bc 的大小关系并加以证明. 12．已知a ＞0，a ≠1，t ＞0，试比较21log a t 与21log +t a 的大小.Ⅲ 拓展训练题13．若正数x ，y 满足x ＋y ＝1，且不等式a y x ≤+恒成立，求a 的取值范围. 14．(1)用函数单调性的定义讨论函数f (x )＝x ＋xa(a ＞0)在(0，＋∞)上的单调性； (2)设函数f (x )＝x ＋xa(a ＞0)在(0，2]上的最小值为g (a )，求g (a )的解析式.测试十一 一元二次不等式及其解法Ⅰ 学习目标1．通过函数图象理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 2．会解简单的一元二次不等式.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．不等式5x ＋4＞－x 2的解集是( )(A){x |x ＞－1，或x ＜－4} (B){x |－4＜x ＜－1} (C){x |x ＞4，或x ＜1}(D){x |1＜x ＜4}2．不等式－x 2＋x －2＞0的解集是( )(A){x |x ＞1，或x ＜－2}(B){x |－2＜x ＜1}(C)R(D)∅3．不等式x 2＞a 2(a ＜0)的解集为( )(A){x |x ＞±a }(B){x |－a ＜x ＜a } (C){x |x ＞－a ，或x ＜a }(D){x |x ＞a ，或x ＜－a } 4．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为}231|{<<-x x ，则不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集是( )(A){x |－3＜x ＜21} (B){x |x ＜－3，或x ＞21} (C){x －2＜x ＜31}(D){x |x ＜－2，或x ＞31}5．若函数y ＝px 2－px －1(p ∈R )的图象永远在x 轴的下方，则p 的取值范围是( )(A)(－∞，0) (B)(－4，0] (C)(－∞，－4) (D)[－4，0) 二、填空题6．不等式x 2＋x －12＜0的解集是________.7．不等式05213≤+-x x 的解集是________.8．不等式|x 2－1|＜1的解集是________. 9．不等式0＜x 2－3x ＜4的解集是________. 10．已知关于x 的不等式x 2－(a ＋a 1)x ＋1＜0的解集为非空集合｛x |a ＜x ＜a1}，则实数a 的取值范围是________. 三、解答题11．求不等式x 2－2ax －3a 2＜0(a ∈R )的解集.12．k 在什么范围内取值时，方程组⎩⎨⎧=+-=-+0430222k y x x y x 有两组不同的实数解？Ⅲ 拓展训练题13．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6＜0}，B ＝{x |x 2＋2x －8＞0}，C ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0}.(1)求实数a 的取值范围，使C ⊇(A ∩B )；(2)求实数a 的取值范围，使C ⊇(U A )∩(U B ).14．设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2－2x ＋1＜0.测试十二 不等式的实际应用Ⅰ 学习目标会使用不等式的相关知识解决简单的实际应用问题.Ⅱ 基础训练题一、选择题 1．函数241xy -=的定义域是( )(A){x |－2＜x ＜2}(B){x |－2≤x ≤2} (C){x |x ＞2，或x ＜－2}(D){x |x ≥2，或x ≤－2}2．某村办服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价p (元/件)的关系为p ＝300－2x ，生产x 件的成本r ＝500＋30x (元)，为使月获利不少于8600元，则月产量x 满足( ) (A)55≤x ≤60 (B)60≤x ≤65 (C)65≤x ≤70 (D)70≤x ≤753．国家为了加强对烟酒生产管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元征税r 元，则每年产销量减少10r 万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，那么r 的取值范围为( ) (A)2≤r ≤10 (B)8≤r ≤10 (C)2≤r ≤8 (D)0≤r ≤84．若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( )(A)2∈M ，0∈M (B)2∉M ，0∉M (C)2∈M ，0∉M (D)2∉M ，0∈M 二、填空题5．已知矩形的周长为36cm ，则其面积的最大值为________.6．不等式2x 2＋ax ＋2＞0的解集是R ，则实数a 的取值范围是________. 7．已知函数f (x )＝x |x －2|，则不等式f (x )＜3的解集为________.8．若不等式|x ＋1|≥kx 对任意x ∈R 均成立，则k 的取值范围是________. 三、解答题9．若直角三角形的周长为2，求它的面积的最大值，并判断此时三角形形状. 10．汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个主要因素，在一个限速为40km/h 的弯道上，甲乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相撞了，事后现场测得甲车刹车的距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m .已知甲乙两种车型的刹车距离s (km)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2．问交通事故的主要责任方是谁？Ⅲ 拓展训练题11．当x ∈[－1，3]时，不等式－x 2＋2x ＋a ＞0恒成立，求实数a 的取值范围.12．某大学印一份招生广告，所用纸张(矩形)的左右两边留有宽为4cm 的空白，上下留有都为6cm 的空白，中间排版面积为2400cm 2.如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最小？测试十三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题Ⅰ 学习目标1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组. 2．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知点A (2，0)，B (－1，3)及直线l ：x －2y ＝0，那么( )(A)A ，B 都在l 上方 (B)A ，B 都在l 下方 (C)A 在l 上方，B 在l 下方 (D)A 在l 下方，B 在l 上方2．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥2,0,0y x y x 所表示的平面区域的面积为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)43．三条直线y ＝x ，y ＝－x ，y ＝2围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是( )(A)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥.2,,y x y x y(B)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≤.2,,y x y x y (C)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤.2,,y x y x y (D)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥.2,,y x y x y4．若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-,3,0,05x y x y x 则z ＝2x ＋4y 的最小值是( )(A)－6 (B)－10 (C)5 (D)105．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) (A)5种 (B)6种 (C)7种 (D)8种 二、填空题6．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧<>00y x 所表示的平面区域内的点位于第________象限. 7．若不等式|2x ＋y ＋m |＜3表示的平面区域包含原点和点(－1，1)，则m 的取值范围是________.8．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤,033,3,1y x y x 那么z ＝x －y 的取值范围是________.9．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤,022,2,1y x y x 那么x y 的取值范围是________.10．方程|x |＋|y |≤1所确定的曲线围成封闭图形的面积是________. 三、解答题11．画出下列不等式(组)表示的平面区域：(1)3x ＋2y ＋6＞0 (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≥≤.01,2,1y x y x12．某实验室需购某种化工原料106kg ，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35kg ，价格为140元；另一种是每袋24kg ，价格为120元.在满足需要的前提下，最少需要花费多少元？Ⅲ 拓展训练题13．商店现有75公斤奶糖和120公斤硬糖，准备混合在一起装成每袋1公斤出售，有两种混合办法：第一种每袋装250克奶糖和750克硬糖，每袋可盈利0.5元；第二种每袋装500克奶糖和500克硬糖，每袋可盈利0.9元.问每一种应装多少袋，使所获利润最大？最大利润是多少？14．甲、乙两个粮库要向A ，B 两镇运送大米，已知甲库可调出100吨，乙库可调出80吨，而A 镇需大米70吨，B 镇需大米110吨，两个粮库到两镇的路程和运费如下表：(2)最不合理的调运方案是什么？它给国家造成不该有的损失是多少？测试十四 不等式全章综合练习Ⅰ基础训练题一、选择题1．设a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式中一定正确的是( )(A)ac 2＞bc 2 (B)ba 11< (C)a －c ＞b －c (D)|a |＞|b |2．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+2,042,04y y x y x 表示的平面区域的面积是( )(A)23 (B)3 (C)4 (D)63．某房地产公司要在一块圆形的土地上，设计一个矩形的停车场.若圆的半径为10m ，则这个矩形的面积最大值是( ) (A)50m 2 (B)100m 2 (C)200m 2 (D)250m 24．设函数f (x )＝222xx x +-，若对x ＞0恒有xf (x )＋a ＞0成立，则实数a 的取值范围是( ) (A)a ＜1－22(B)a ＜22－1(C)a ＞22－1(D)a ＞1－22 5．设a ，b ∈R ，且b (a ＋b ＋1)＜0，b (a ＋b －1)＜0，则( )(A)a ＞1 (B)a ＜－1 (C)－1＜a ＜1 (D)|a |＞1二、填空题6．已知1＜a ＜3，2＜b ＜4，那么2a －b 的取值范围是________，ba的取值范围是________.7．若不等式x 2－ax －b ＜0的解集为{x |2＜x ＜3}，则a ＋b ＝________.8．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________. 9．若函数f (x )＝1222--⋅+aax x的定义域为R ，则a 的取值范围为________.10．三个同学对问题“关于x 的不等式x 2＋25＋|x 3－5x 2|≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路. 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值.” 乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值.” 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图象.”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是________. 三、解答题11．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x | |x －1|＜6}，B ＝{x |128--x x ＞0}.(1)求A ∩B ； (2)求(U A )∪B .12．某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克.今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大？Ⅱ 拓展训练题 13．已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与ij a a 两数中至少有一个属于A .(1)分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P ，并说明理由； (2)证明：a 1＝1，且n nna a a a a a a =++++++---1121121 .测试十五 必修5模块自我检测题一、选择题1．函数42-=x y 的定义域是( )(A)(－2，2) (B)(－∞，－2)∪(2，＋∞) (C)[－2，2] (D)(－∞，－2]∪[2，＋∞) 2．设a ＞b ＞0，则下列不等式中一定成立的是( )(A)a －b ＜0 (B)0＜ba＜1(C)ab ＜2ba + (D)ab ＞a ＋b3．设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥≤0,0,1y x y x 所表示的平面区域是W ，则下列各点中，在区域W 内的点是( )(A))31,21( (B))31,21(-(C))31,21(-- (D))31,21(-4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列不等式中一定成立的是( )(A)a 1＋a 3＞0 (B)a 1a 3＞0 (C)S 1＋S 3＜0 (D)S 1S 3＜05．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于( )(A)1∶3∶2 (B)1∶2∶3 (C)2∶3∶1 (D)3∶2∶16．已知等差数列{a n }的前20项和S 20＝340，则a 6＋a 9＋a 11＋a 16等于( )(A)31 (B)34 (C)68 (D)70 7．已知正数x 、y 满足x ＋y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值是( )(A)－4 (B)4 (C)－2 (D)28．如图，在限速为90km/h 的公路AB 旁有一测速站P ，已知点P 距测速区起点A 的距离为0.08 km ，距测速区终点B 的距离为0.05 km ，且∠APB ＝60°.现测得某辆汽车从A 点行驶到B 点所用的时间为3s ，则此车的速度介于( )(A)60～70km/h (B)70～80km/h (C)80～90km/h (D)90～100km/h 二、填空题9．不等式x (x －1)＜2的解集为________.10．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则cos(A ＋C )的值为________. 11．已知{a n }是公差为－2的等差数列，其前5项的和S 5＝0，那么a 1等于________. 12．在△ABC 中，BC ＝1，角C ＝120°，cos A ＝32，则AB ＝________. 13．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-+≥≥030420,0y x y x y x ，所表示的平面区域的面积是________；变量z ＝x ＋3y 的最大值是________.14．如图，n 2(n ≥4)个正数排成n 行n 列方阵，符号a ij (1≤i ≤n ，1≤j ≤n ，i ，j ∈N )表示位于第i 行第j 列的正数.已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都等于q .若a 11＝21，a 24＝1，a 32＝41，则q ＝________；a ij ＝________.三、解答题15．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋6.(1)当a ＝5时，解不等式f (x )＜0；(2)若不等式f (x )＞0的解集为R ，求实数a 的取值范围.16．已知{a n }是等差数列，a 2＝5，a 5＝14.(1)求{a n }的通项公式；(2)设{a n }的前n 项和S n ＝155，求n 的值.17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，A ，B 是锐角，c ＝10，且34cos cos ==a b B A . (1)证明角C ＝90°； (2)求△ABC 的面积.18．某厂生产甲、乙两种产品，生产这两种产品每吨所需要的煤、电以及每吨产品的产值如下表所示.若每天配用煤(吨) 用电(千瓦) 产值(万元) 甲种产品 7 2 8 乙种产品 3 5 1119．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos A ＝31.(1)求A CB 2cos 2sin 2++的值；(2)若a ＝3，求bc 的最大值.20．数列{a n }的前n 项和是S n ，a 1＝5，且a n ＝S n －1(n ＝2，3，4，…).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：⋅<++++531111321n a a a a参考答案 第一章 解三角形测试一 正弦定理和余弦定理一、选择题1．B 2．C 3．B 4．D 5．B 提示：4．由正弦定理，得sin C ＝23，所以C ＝60°或C ＝120°， 当C ＝60°时，∵B ＝30°，∴A ＝90°，△ABC 是直角三角形； 当C ＝120°时，∵B ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 是等腰三角形. 5．因为A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，所以A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==＝k ， 得a ＝k ·sin30°＝21k ，b ＝k ·sin60°＝23k ，c ＝k ·sin90°＝k ，所以a ∶b ∶c ＝1∶3∶2. 二、填空题6．362 7．30° 8．等腰三角形 9．2373+ 10．425 提示：8．∵A ＋B ＋C ＝π，∴－cos A ＝cos(B ＋C ).∴2cos B cos C ＝1－cos A ＝cos(B ＋C )＋1， ∴2cos B cos C ＝cos B cos C －sin B sin C ＋1，∴cos(B －C )＝1，∴B －C ＝0，即B ＝C . 9．利用余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .10．由tan A ＝2，得52sin =A ，根据正弦定理，得ABC B AC sin sin =，得AC ＝425. 三、解答题11．c ＝23，A ＝30°，B ＝90°. 12．(1)60°；(2)AD ＝7. 13．如右图，由两点间距离公式，得OA ＝29)02()05(22=-+-，同理得232,145==AB OB .由余弦定理，得cos A ＝222222=⨯⨯-+AB OA OB AB OA ， ∴A ＝45°.14．(1)因为2cos(A ＋B )＝1，所以A ＋B ＝60°，故C ＝120°.(2)由题意，得a ＋b ＝23，ab ＝2，又AB 2＝c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos C＝12－4－4×(21-)＝10.所以AB ＝10.(3)S △ABC ＝21ab sin C ＝21·2·23＝23.测试二 解三角形全章综合练习1．B 2．C 3．D 4．C 5．B提示：5．化简(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，得b 2＋c 2－a 2＝bc ，由余弦定理，得cos A ＝212222=-+bc a c b ，所以∠A ＝60°.因为sin A ＝2sin B cos C ，A ＋B ＋C ＝180°， 所以sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C . 所以sin(B －C )＝0，故B ＝C . 故△ABC 是正三角形. 二、填空题6．30° 7．120° 8．524 9．55 10．3三、解答题11．(1)由余弦定理，得c ＝13；(2)由正弦定理，得sin B ＝13392. 12．(1)由a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉，得〈a ，b 〉＝60°；(2)由向量减法几何意义，知|a |，|b |，|a －b |可以组成三角形，所以|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝7，故|a －b |＝7.13．(1)如右图，由两点间距离公式，得29)02()05(22=-+-=OA ， 同理得232,145==AB OB . 由余弦定理，得,222cos 222=⨯⨯-+=AB OA OB AB OA A所以A ＝45°.故BD ＝AB ×sin A ＝229.(2)S △OAB ＝21·OA ·BD ＝21·29·229＝29. 14．由正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，得C Rc B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===. 因为sin 2A ＋sin 2B ＞sin 2C ，所以222)2()2()2(R cR b R a >+，即a 2＋b 2＞c 2.所以cos C ＝abc b a 2222-+＞0， 由C ∈(0，π)，得角C 为锐角.15．(1)设t 小时后甲、乙分别到达P 、Q 点，如图，则|AP |＝4t ，|BQ |＝4t ，因为|OA |＝3，所以t ＝43h 时，P 与O 重合. 故当t ∈[0，43]时， |PQ |2＝(3－4t )2＋(1＋4t )2－2×(3－4t )×(1＋4t )×cos60°； 当t ＞43h 时，|PQ |2＝(4t －3)2＋(1＋4t )2－2×(4t －3)×(1＋4t )×cos120°. 故得|PQ |＝724482+-t t (t ≥0). (2)当t ＝h 4148224=⨯--时，两人距离最近，最近距离为2km . 16．(1)由正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===， 得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sinC .所以等式c a b C B +-=2cos cos 可化为CR A R BR C B sin 2sin 22sin 2cos cos +⋅-=， 即CA BC B sin sin 2sin cos cos +-=， 2sin A cos B ＋sin C cos B ＝－cos C ·sin B ，故2sin A cos B ＝－cos C sin B －sin C cos B ＝－sin(B ＋C )， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＝sin(B ＋C )，故cos B ＝－21， 所以B ＝120°.(2)由余弦定理，得b 2＝13＝a 2＋c 2－2ac ×cos120°，即a 2＋c 2＋ac ＝13 又a ＋c ＝4， 解得⎩⎨⎧==31c a ，或⎩⎨⎧==13c a . 所以S △ABC ＝21ac sin B ＝21×1×3×23＝433.第二章 数列测试三 数列一、选择题1．C 2．B 3．C 4．C 5．B 二、填空题6．(1)12+=n a n (或其他符合要求的答案) (2)2)1(1n n a -+=(或其他符合要求的答案)7．(1)2625,1716,109,54,21 (2)7 8．67 9．15110．4提示：9．注意a n 的分母是1＋2＋3＋4＋5＝15.10．将数列{a n }的通项a n 看成函数f (n )＝2n 2－15n ＋3，利用二次函数图象可得答案. 三、解答题11．(1)数列{a n }的前6项依次是11，8，5，2，－1，－4；(2)证明：∵n ≥5，∴－3n ＜－15，∴14－3n ＜－1， 故当n ≥5时，a n ＝14－3n ＜0.12．(1)31,313,31092421102-+=++==+n n a n n a a n n ； (2)7932是该数列的第15项. 13．(1)因为a n ＝n －n1，所以a 1＝0，a 2＝23，a 3＝38，a 4＝415；(2)因为a n ＋1－a n ＝[(n ＋1)11+-n ]－(n －n1)＝1＋)1(1+n n又因为n ∈N ＋，所以a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n .所以数列{a n }是递增数列.测试四 等差数列一、选择题1．B 2．D 3．A 4．B 5．B 二、填空题6．a 4 7．13 8．6 9．6n －1 10．35 提示：10．方法一：求出前10项，再求和即可；方法二：当n 为奇数时，由题意，得a n ＋2－a n ＝0，所以a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 2m －1＝1(m ∈N *).当n 为偶数时，由题意，得a n ＋2－a n ＝2，即a 4－a 2＝a 6－a 4＝…＝a 2m ＋2－a 2m ＝2(m ∈N *).所以数列{a 2m }是等差数列.故S 10＝5a 1＋5a 2＋2)15(5-⨯×2＝35.三、解答题11．设等差数列{a n }的公差是d ，依题意得⎪⎩⎪⎨⎧=⨯+=+.242344,7211d a d a 解得⎩⎨⎧==.2,31d a ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋1. 12．(1)设等差数列{a n }的公差是d ，依题意得⎩⎨⎧=+=+.5019,30911d a d a 解得⎩⎨⎧==.2,121d a ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n ＋10.(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n ×12＋2)1(-⨯n n ×2＝n 2＋11n ，∴S n ＝n 2＋11n ＝242，解得n ＝11，或n ＝－22(舍).13．(1)通项a n ＝a 1＋(n －1)d ＝50＋(n －1)×(－0.6)＝－0.6n ＋50.6.解不等式－0.6n ＋50.6＜0，得n ＞84.3. 因为n ∈N *，所以从第85项开始a n ＜0.(2)S n ＝na 1＋2)1(-n n d ＝50n ＋2)1(-n n ×(－0.6)＝－0.3n 2＋50.3n .由(1)知：数列{a n }的前84项为正值，从第85项起为负值， 所以(S n )max ＝S 84＝－0.3×842＋50.3×84＝2108.4. 14．∵3a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1－a n ＝32， 由等差数列定义知：数列{a n }是公差为32的等差数列. 记a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝A ，a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 100＝B ， 则B ＝(a 1＋d )＋(a 3＋d )＋(a 5＋d )＋…＋(a 99＋d )＝A ＋50d ＝90＋3100. 所以S 100＝A ＋B ＝90＋90＋3100＝21331. 测试五 等比数列一、选择题1．B 2．C 3．A 4．B 5．D 提示：5．当a 1＝0时，数列{a n }是等差数列；当a 1≠0时，数列{a n }是等比数列；当a 1＞0时，数列{a n }是递增数列；当a 1＜0时，数列{a n }是递减数列. 二、填空题6．－3 7．12 8．279 9．216 10．－2 提示：10．分q ＝1与q ≠1讨论.当q ＝1时，S n ＝na 1，又∵2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2， ∴2na 1＝(n ＋1)a 1＋(n ＋2)a 1， ∴a 1＝0(舍).。
高中数学必修五单元测试题全套带答案
章末综合测评(第一章)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】由余弦定理得AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC cos C即13＝9＋AC2－2×3AC×(－12)，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)【答案】A2．在△ABC中，B＝π4，AB＝2，BC＝3，则sin A＝( )【解析】在△ABC中，由余弦定理得AC2＝BA2＋BC2－2BA·BC·cos B＝(2)2＋32－2×2×3×22＝5，解得AC＝ 5.再由正弦定理得sin A＝BC·sin BAC＝3×225＝31010.故选C.【答案】C3．已知锐角三角形的三边长分别为1,3，a，那么a的取值范围为( )A．(8,10) B．(22，10)C．(22，10) D．(10，8)【解析】设1,3，a所对的角分别为C，B，A，由余弦定理知a2＝12＋32－2×3cos A<12＋32＝10，32＝1＋a2－2×a cos B<1＋a2，∴22<a<10.【答案】 B4．已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A ．2 2B ．82【解析】 ∵a sin A＝b sin B＝c sin C＝2R ＝8，∴sin C ＝c 8，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝abc 16＝16216＝ 2.【答案】 C5．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为( )【解析】 p ∥q ⇒(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0，即c 2－a 2－b 2＋ab ＝0⇒a 2＋b 2－c 22ab ＝12＝cos C ，∴C ＝π3.【答案】 B6．在△ABC 中，若sin B sin C ＝cos 2A2，则下面等式一定成立的是( )A ．A ＝B B ．A ＝C C ．B ＝CD ．A ＝B ＝C【解析】 由sin B sin C ＝cos 2A 2＝1＋cos A2⇒2sin B sin C ＝1＋cos A ⇒cos(B －C )－cos(B＋C )＝1＋cos A .又cos(B ＋C )＝－cos A ⇒cos(B －C )＝1，∴B －C ＝0，即B ＝C . 【答案】 C7．一角槽的横断面如图1所示，四边形ADEB 是矩形，且α＝50°，β＝70°，AC ＝90mm ，BC ＝150 mm ，则DE 的长等于( )图1A ．210 mmB ．200 mmC ．198 mmD ．171 mm【解析】 ∠ACB ＝70°＋50°＝120°，AB 2＝AC 2＋BC 2－2·AC ·BC ·cos∠ACB ＝902＋1502－2×90×150×cos120° ＝4 410 0，AB ＝210，即DE ＝210 mm. 【答案】 A8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3D ．33【解析】 ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.① ∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.【答案】 C9．已知在△ABC 中，sin A ＋sin B ＝sin C (cos A ＋cos B )，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．直角三角形【解析】 由正弦定理和余弦定理得a ＋b ＝c b 2＋c 2－a 22bc ＋a 2＋c 2－b 22ac，即2a 2b ＋2ab 2＝ab 2＋ac 2－a 3＋a 2b ＋bc 2－b 3，∴a 2b ＋ab 2＋a 3＋b 3＝ac 2＋bc 2，∴(a ＋b )(a 2＋b 2)＝(a ＋b )c 2，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形，故选D.【答案】 D10．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin B sin C ＋sin 2C ，则A ＝( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°【解析】 由已知得a 2＝b 2＋bc ＋c 2，∴b 2＋c 2－a 2＝－bc ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，又0°<A <180°，∴A ＝120°. 【答案】 C11．在△ABC 中，A ∶B ＝1∶2，∠ACB 的平分线CD 把△ABC 的面积分成3∶2两部分，则cos A 等于( )D ．0【解析】 ∵CD 为∠ACB 的平分线， ∴D 到AC 与D 到BC 的距离相等，∴△ACD 中AC 边上的高与△BCD 中BC 边上的高相等． ∵S △ACD ∶S △BCD ＝3∶2，∴AC BC ＝32. 由正弦定理sin B sin A ＝32，又∵B ＝2A ，∴sin 2A sin A ＝32，即2sin A cos A sin A ＝32，∴cos A ＝34. 【答案】 C12.如图2，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米到达B 后，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50米，山坡对于地平面的坡角为θ，则cos θ＝( )图2 A．23＋1 B．23－1－1 ＋1【解析】在△ABC中，BC＝AB sin∠BAC sin∠ACB＝100sin 15°sin45°－15°＝50(6－2)，在△BCD中，sin∠BDC＝BC sin∠CBDCD＝506－2sin 45°50＝3－1，又∵cos θ＝sin∠BDC，∴cos θ＝3－1.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知△ABC为钝角三角形，且C为钝角，则a2＋b2与c2的大小关系为________.【解析】∵cos C＝a2＋b2－c22ab，且C为钝角，∴cos C<0，∴a2＋b2－c2<0，故a2＋b2<c2.【答案】a2＋b2<c214．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝________.【解析】由3sin A＝5sin B，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，所以a＝53b，c＝73b，所以cos C＝a2＋b2－c22ab＝⎝⎛⎭⎪⎫53b2＋b2－⎝⎛⎭⎪⎫73b22×53b×b＝－12.因为C∈(0，π)，所以C＝2π3.【答案】2π315．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则ACcos A的值等于________，AC的取值范围为________．【解析】设A＝θ⇒B＝2θ.由正弦定理得ACsin 2θ＝BCsin θ，∴AC2cos θ＝1⇒ACcos θ＝2.由锐角△ABC得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°.又0°<180°－3θ<90°⇒30°<θ<60°，故30°<θ<45°⇒22<cos θ<32，∴AC＝2cos θ∈(2，3)．【答案】 2 (2，3)16．如图3，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M 点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m.图3【解析】根据图示，AC＝100 2 m.在△MAC中，∠CMA＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得ACsin 45°＝AMsin 60°⇒AM＝100 3 m.在△AMN 中，MNAM ＝sin 60°，∴MN ＝1003×32＝150(m)． 【答案】 150三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sinB ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B .【解】 (1)由正弦定理得，sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .故sin B ＝2sin A ，所以b a＝ 2. (2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2， 得cos B ＝1＋3a2c.由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2. 可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22，所以B ＝45°. 18．(本小题满分12分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值． 【解】 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B＝1－cos2B＝4 5 .由正弦定理得asin A ＝bsin B，sin A＝a sin Bb＝2×454＝25.(2)∵S△ABC＝12ac sin B＝4，∴12×2×c×45＝4，∴c＝5.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b＝17.19．(本小题满分12分)在△ABC中，∠A＝3π4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．【解】设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos ∠BAC＝(32)2＋62－2×32×6×cos 3π4＝18＋36－(－36)＝90，所以a＝310.又由正弦定理得sin B＝b sin ∠BACa＝3310＝1010，由题设知0<B<π4，所以cos B＝1－sin2B＝1－110＝31010.在△ABD中，因为AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，所以∠ADB＝π－2B，故由正弦定理得AD＝AB·sin Bsinπ－2B＝6sin B2sin B cos B＝3cos B＝10.20．(本小题满分12分)某观测站在城A南偏西20°方向的C处，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C处测得公路距C处31千米的B处有一人正沿公路向城A走去，走了20千米后到达D 处，此时C 、D 间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A【解】 如图所示，设∠ACD ＝α，∠CDB ＝β.在△CBD 中，由余弦定理得cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD ＝202＋212－3122×20×21＝－17，∴sin β＝437.而sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β＝437×12＋32×17＝5314.在△ACD 中，21sin 60°＝ADsin α，∴AD ＝21×sin αsin 60°＝15(千米)．所以这人还要再走15千米可到达城A .21．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2C ＋22cos C ＋2＝0.(1)求角C 的大小；(2)若b ＝2a ，△ABC 的面积为22sin A sin B ，求sin A 及c 的值.【解】 (1)∵cos 2C ＋22cos C ＋2＝0，∴2cos 2C ＋22cos C ＋1＝0，即(2cos C ＋1)2＝0， ∴cos C ＝－22. 又C ∈(0，π)，∴C ＝3π4. (2)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝3a 2＋2a 2＝5a 2， ∴c ＝5a ，即sin C ＝5sin A ，∴sin A ＝15sin C ＝1010.∵S △ABC ＝12ab sin C ，且S △ABC ＝22sin A sin B ，∴12ab sin C ＝22sin A sin B ， ∴absin A sin Bsin C ＝2，由正弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫c sin C 2sin C ＝2，解得c ＝1.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝m sin x ＋2cos x (m >0)的最大值为2. (1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)若△ABC 中，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＋f ⎝⎛⎭⎪⎫B －π4＝46sin A sin B ，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且C ＝60°，c ＝3，求△ABC 的面积．【解】 (1)由题意，f (x )的最大值为m 2＋2，所以m 2＋2＝2. 又m >0，所以m ＝2，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.令2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )． 所以f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π.(2)设△ABC 的外接圆半径为R ，由题意，得2R ＝csin C ＝3sin 60°＝2 3.化简f ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π4＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π4＝46sin A sin B ，得sin A ＋sin B ＝26sin A sin B .由正弦定理，得2R (a ＋b )＝26ab ，a ＋b ＝2ab .①由余弦定理，得a2＋b2－ab＝9，即(a＋b)2－3ab－9＝0.②将①式代入②，得2(ab)2－3ab－9＝0，解得ab＝3或ab＝－32(舍去)，故S△ABC＝12ab sin C＝334.章末综合测评(第二章)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( )A．1，12，13，14，…B．－1,2，－3,4，…C．－1，－12，－14，－18，…D．1, 2，3，…，n【解析】A为递减数列，B为摆动数列，D为有穷数列．【答案】C2．已知数列{a n}是首项a1＝4，公比q≠1的等比数列，且4a1，a5，－2a3成等差数列，则公比q等于( )B．－1 C．－2 D．2【解析】由已知，2a5＝4a1－2a3，即2a1q4＝4a1－2a1q2，所以q4＋q2－2＝0，解得q2＝1，因为q≠1，所以q＝－1.【答案】B3．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( )A ．33个B ．65个C ．66个D ．129个【解析】 设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数列为{a n }． 则⎩⎨⎧a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1，即a n ＋1－1a n －1＝2， ∴a n －1＝1·2n －1 ，a n ＝2n －1＋1，a 7＝65. 【答案】 B4．等比数列{a n }的通项为a n ＝2·3n －1，现把每相邻两项之间都插入两个数，构成一个新的数列 {b n }，那么162是新数列{b n }的( )A ．第5项B ．第12项C ．第13项D ．第6项【解析】 162是数列{a n }的第5项，则它是新数列{b n }的第5＋(5－1)×2＝13项． 【答案】 C5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a ≠0)，则{a n }( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既不可能是等差数列，也不可能是等比数列 【解析】 ∵S n ＝a n －1(a ≠0)， ∴a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，即a n ＝⎩⎨⎧a －1，n ＝1，a －1a n －1，n ≥2，当a ＝1时，a n ＝0，数列{a n }是一个常数列，也是等差数列；当a ≠1时，数列{a n }是一个等比数列．【答案】 C6．等差数列{a n}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是( )A．90 B．100C．145 D．190【解析】设公差为d，∴(1＋d)2＝1×(1＋4d)，∵d≠0，∴d＝2，从而S10＝100.【答案】B7．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d＝( ) A．2 B．3C．6 D．7【解析】S4－S2＝a3＋a4＝20－4＝16，∴a3＋a4－S2＝(a3－a1)＋(a4－a2)＝4d＝16－4＝12，∴d＝3.【答案】B8．已知数列{a n}满足a1＝5，a n a n＋1＝2n，则a7a3＝( )A．2 B．4 C．5【解析】依题意得an＋1an＋2anan＋1＝2n＋12n＝2，即an＋2an＝2，数列a1，a3，a5，a7，…是一个以5为首项，2为公比的等比数列，因此a7a3＝4.【答案】B9．在数列{a n}中，a1＝2,2a n＋1－2a n＝1，则a101的值为( ) A．49 B．50C．51 D．52【解析】 ∵2a n ＋1－2a n ＝1， ∴a n ＋1－a n ＝12，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝12的等差数列，∴a 101＝2＋12(101－1)＝52.【答案】 D10．我们把1,3,6,10,15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形，如图1所示：图1则第七个三角形数是( ) A ．27 B ．28 C ．29D ．30【解析】 法一：∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，a 5＝15，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，∴a 6－a 5＝6，a 6＝21，a 7－a 6＝7，a 7＝28. 法二：由图可知第n 个三角形数为n n ＋12，∴a 7＝7×82＝28. 【答案】 B11．数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n－1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ＋λ3n 为等差数列的实数λ＝( )A ．2B ．5C ．－12【解析】 a 1＝5，a 2＝23，a 3＝95，令b n ＝a n ＋λ3n ，则b 1＝5＋λ3，b 2＝23＋λ9，b 3＝95＋λ27，∵b 1＋b 3＝2b 2， ∴λ＝－12.【答案】 C12．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为( )A ．S 17B ．S 18C ．S 19D ．S 20【解析】 ∵a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|， ∴a 11＋a 10>0.S 20＝20a 1＋a 202＝10·(a 11＋a 10)>0. S 19＝19a 1＋a 192＝192·2a 10<0. 【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝75，a 100＋b 100＝100，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为________．【解析】 由已知得{a n ＋b n }为等差数列，故其前100项的和为S 100＝100[a 1＋b 1＋a 100＋b 100]2＝50×(25＋75＋100)＝10 000. 【答案】 10 00014．数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，则a 5＝________.【解析】 由a n ＝a n －1＋n (n ≥2)，得a n －a n －1＝n ，则a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，把各式相加，得a 5－a 1＝2＋3＋4＋5＝14，∴a 5＝14＋a 1＝14＋1＝15. 【答案】 1515．首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d 的取值范围是________． 【解析】 设a 1＝－24，公差为d ，∴a 10＝－24＋9d >0且a 9＝－24＋8d ≤0，∴83<d ≤3.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤83，316．已知公差不为零的正项等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列，若a 5＝10，则S 5＝________.【解析】 设{a n }的公差为d ，则d ≠0. 由lg a 1，lg a 2，lg a 4也成等差数列， 得2lg a 2＝lg a 1＋lg a 4，∴a 22＝a 1a 4， 即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )，d 2＝a 1d .又d ≠0，故d ＝a 1，a 5＝5a 1＝10，d ＝a 1＝2，S 5＝5a 1＋5×42×d ＝30. 【答案】 30三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．【解】 设该数列的公差为d ，前n 项和为S n .由已知可得 2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋8d )， 所以a 1＋d ＝4，d (d －3a 1)＝0，解得a 1＝4，d ＝0或a 1＝1，d ＝3，即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以数列的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝3n 2－n2.18．(本小题满分12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．【解】(1)∵a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)·S n＋2n(n∈N*)，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，∴a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，∴a3＝8.(2)证明：∵a1＋2a2＋3a3＋…＋na n＝(n－1)S n＋2n(n∈N*)，①∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)a n－1＝(n－2)S n－1＋2(n－1)，②①－②得na n＝(n－1)S n－(n－2)S n－1＋2＝na n－S n＋2S n－1＋2，∴－S n＋2S n－1＋2＝0，即S n＝2S n－1＋2.∴S n＋2＝2(S n－1＋2)．∵S1＋2＝4≠0.∴S n－1＋2≠0，∴Sn＋2Sn－1＋2＝2.即{S n＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．19．(本小题满分12分)已知等差数列{a n}满足a1＋a2＝10，a4－a3＝2.(1)求{a n}的通项公式；(2)设等比数列{b n}满足b2＝a3，b3＝a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等【解】(1)设等差数列{a n}的公差为d.因为a4－a3＝2，所以d＝2.又因为a1＋a2＝10，所以2a1＋d＝10，故a1＝4.所以a n＝4＋2(n－1)＝2n＋2(n＝1,2，…)．(2)设等比数列{b n}的公比为q.因为b2＝a3＝8，b3＝a7＝16，所以q＝2，b1＝4.所以b6＝4×26－1＝128.由128＝2n＋2得n＝63，所以b6与数列{a n}的第63项相等．20．(本小题满分12分)已知首项都是1的两个数列{a n}，{b n}(b n≠0，n∈N*)，满足a n b n ＋1－a n＋1b n＋2b n＋1b n＝0.(1)令c n＝anbn，求数列{c n}的通项公式；(2)若b n ＝3n －1，求数列{a n }的前n 项和S n . 【解】 (1)因为a n b n ＋1－a n ＋1b n ＋2b n ＋1b n ＝0，b n ≠0(n ∈N *)，所以a n ＋1b n ＋1－a nb n＝2，即c n ＋1－c n ＝2.所以数列{c n }是以首项c 1＝1，公差d ＝2的等差数列，故c n ＝2n －1. (2)由b n ＝3n －1知a n ＝c n b n ＝(2n －1)3n －1，于是数列{a n }的前n 项和S n ＝1×30＋3×31＋5×32＋…＋(2n －1)×3n －1， 3S n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n .相减得－2S n ＝1＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝－2－(2n －2)3n ， 所以S n ＝(n －1)3n ＋1.21．(本小题满分12分)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|<11 000成立的n 的最小值． 【解】 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)，所以q ＝2. 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)， 所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2.所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列．故a n ＝2n .(2)由(1)得1a n ＝12n ，所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12n .由|T n －1|<11 000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n －1<11 000，即2n >1 000.因为29＝512<1 000<1 024＝210，所以n ≥10. 于是使|T n －1|<11 000成立的n 的最小值为10.22．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝，记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)n b n ，求T n .【解】 (1)由题意知(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋3d )， 即(a 1＋2)2＝a 1(a 1＋6)，解得a 1＝2， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n . (2)由题意知b n ＝＝n (n ＋1)，所以T n ＝－1×2＋2×3－3×4＋…＋(－1)n n ·(n ＋1)． 因为b n ＋1－b n ＝2(n ＋1)，可得当n 为偶数时，T n ＝(－b 1＋b 2)＋(－b 3＋b 4)＋…＋(－b n －1＋b n )＝4＋8＋12＋…＋2n ＝n24＋2n 2＝n n ＋22，当n 为奇数时，T n ＝T n －1＋(－b n )＝n －1n ＋12－n (n ＋1)＝－n ＋122.所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－n ＋122，n 为奇数，n n ＋22，n 为偶数.章末综合测评(第三章)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中：①若a>b，c≠0，则ac>bc；②若a>b，则ac2>bc2；③若ac2>bc2，则a>b；④若a>b>0，c>d，则ac>bd.其中真命题的个数是( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】若a>b，c<0时，ac<bc，①错；②中，若c＝0，则有ac2＝bc2，②错；③正确；④中，只有c>d>0时，ac>bd，④错，故选A.【答案】A2．直线3x＋2y＋5＝0把平面分成两个区域．下列各点与原点位于同一区域的是( ) A．(－3,4) B．(－3，－4)C．(0，－3) D．(－3,2)【解析】当x＝y＝0时，3x＋2y＋5＝5>0，则原点一侧对应的不等式是3x＋2y＋5>0，可以验证仅有点(－3，4)满足3x＋2y＋5>0.【答案】A3．设A＝ba＋ab，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是( )A．A≥B B．A>BC．A<B D．A≤B 【解析】∵a，b都是正实数，且a≠b，∴A ＝b a ＋a b >2b a ·ab＝2，即A >2， B ＝－x 2＋4x －2＝－(x 2－4x ＋4)＋2 ＝－(x －2)2＋2≤2， 即B ≤2，∴A >B . 【答案】 B4．已知0＜a ＜b ＜1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3＞b 3 ＜1bC ．a b ＞1D ．lg(b －a )＜0【解析】 由0＜a ＜b ＜1，可得a 3＜b 3，A 错误；1a ＞1b，B 错误；a b ＜1，C 错误；0＜b－a ＜1，lg(b －a )＜0，D 正确．【答案】 D5．在R 上定义运算☆：a ☆b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ☆(x －2)<0的实数x 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)【解析】 根据定义得，x ☆(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2<0，解得－2<x <1，所以所求的实数x 的取值范围为(－2,1)．【答案】 B6．已知0<x <y <a <1，则有( ) A ．log a (xy )<0 B ．0<log a (xy )<1 C ．1<log a (xy )<2 D ．log a (xy )>2【解析】 0<x <y <a <1，即0<x <a,0<y <a,0<xy <a 2.又0<a <1，f (x )＝log a x 是减函数， log a (xy )>log a a 2＝2，即log a (xy )>2. 【答案】 D 7．不等式2≤12的解集为( ) A ．(－∞，－3] B ．(－3,1]C ．[－3,1]D ．[1，＋∞)∪(－∞，－3]【解析】 由已知得 2≤2－1，所以x 2＋2x －4≤－1，即x 2＋2x －3≤0，解得－3≤x ≤1.【答案】 C8．x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1【解析】 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.【答案】 D9．已知正实数a ，b 满足4a ＋b ＝30，当1a ＋1b取最小值时，实数对(a ，b )是( )A ．(5,10)B ．(6,6)C ．(10,5)D ．(7,2)【解析】 1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·130·30＝130⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (4a ＋b ) ＝130⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋b a ＋4a b≥130⎝⎛⎭⎪⎫5＋2b a ·4a b ＝310. 当且仅当⎩⎨⎧b a ＝4a b，4a ＋b ＝30，即⎩⎨⎧a ＝5，b ＝10时取等号．【答案】 A10．在如图1所示的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x ＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值是( )图1A ．－3B ．3C ．－1D ．1【解析】 若最优解有无数个，则y ＝－1a x ＋za与其中一条边平行，而三边的斜率分别为13，－1,0，与－1a对照可知a ＝－3或1， 又因z ＝x ＋ay 取得最小值，则a ＝－3. 【答案】 A11．某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比．如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5 km 处B ．4 km 处C ．3 km 处D ．2 km 处【解析】 设车站到仓库距离为x ，土地费用为y 1，运输费用为y 2，由题意得y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，∵x ＝10时，y 1＝2，y 2＝8，∴k 1＝20，k 2＝45，∴费用之和为y ＝y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥220x ×45x ＝8，当且仅当20x ＝4x5，即x ＝5时取等号． 【答案】 A12．设D 是不等式组⎩⎨⎧x ＋2y ≤10，2x ＋y ≥3，0≤x ≤4，y ≥1表示的平面区域，则D 中的点P (x ，y )到直线x ＋y ＝10的距离的最大值是( )B ．22C ．3 2D ．42【解析】 画出可行域，由图知最优解为A (1,1)，故A 到x ＋y ＝10的距离为d ＝4 2.【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．函数y ＝2－x －4x(x >0)的值域为________．【解析】 当x >0时，y ＝2－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≤2－2x ×4x ＝－2.当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取等号．【答案】 (－∞，－2]14．规定记号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)，若1⊙k <3，则k 的取值范围为________．【解析】 由题意得k ＋1＋k <3，即(k ＋2)·(k －1)<0，且k >0，因此k 的取值范围是(0,1)．【答案】 (0,1)15．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y －x ≤1，x ＋y ≤3，y ≥1，则z ＝x ＋3y 的最大值为________．【解析】 根据约束条件画出可行域如图所示，平移直线y ＝－13x ，当直线y ＝－13x ＋z3过点A 时，目标函数取得最大值．由⎩⎨⎧y －x ＝1，x ＋y ＝3，可得A (1,2)，代入可得z ＝1＋3×2＝7.【答案】 716．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．【解析】 要满足f (x )＝x 2＋mx －1<0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需 ⎩⎨⎧f m <0，f m ＋1<0，即⎩⎨⎧2m 2－1<0，m ＋12＋mm ＋1－1<0，解得－22<m <0.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝x 2＋2x，解不等式f (x )－f (x －1)>2x －1.【解】 由题意可得x 2＋2x －(x －1)2－2x －1>2x －1，化简得2xx －1<0，即x (x －1)<0， 解得0<x <1.所以原不等式的解集为{x |0<x <1}．18．(本小题满分12分)设x ∈R ，比较11＋x 与1－x 的大小．【解】 作差：11＋x －(1－x )＝x 21＋x ，①当x ＝0时，∵x 21＋x＝0，∴11＋x＝1－x ； ②当1＋x <0，即x <－1时， ∵x 21＋x<0，∴11＋x<1－x ； ③当1＋x >0且x ≠0，即－1<x <0或x >0时， ∵x 21＋x >0，∴11＋x>1－x . 19．(本小题满分12分)已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1，求证：1x ＋4y ＋9z≥36.【证明】 ∵(x ＋y ＋z )⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z ＝14＋y x ＋4x y ＋z x ＋9x z ＋4z y ＋9y z ≥14＋4＋6＋12＝36， ∴1x ＋4y ＋9z≥36.当且仅当x 2＝14y 2＝19z 2，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立．20．(本小题满分12分)一个农民有田2亩，根据他的经验，若种水稻，则每亩每期产量为400千克；若种花生，则每亩每期产量为100千克，但水稻成本较高，每亩每期需240元，而花生只要80元，且花生每千克可卖5元，稻米每千克只卖3元，现在他只能凑足400元，问这位农民对两种作物各种多少亩，才能得到最大利润【解】 设水稻种x 亩，花生种y 亩，则由题意得⎩⎨⎧x ＋y ≤2，240x ＋80y ≤400，x ≥0，y ≥0，即⎩⎨⎧x ＋y ≤2，3x ＋y ≤5，x ≥0，y ≥0，画出可行域如图阴影部分所示．而利润P ＝(3×400－240)x ＋(5×100－80)y ＝960x ＋420y (目标函数)， 可联立⎩⎨⎧x ＋y ＝2，3x ＋y ＝5，得交点B ,．故当x ＝，y ＝时，P 最大值＝960×＋420×＝1 650，即水稻种亩，花生种亩时所得到的利润最大．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋3x －a (x ≠a ，a 为非零常数)．(1)解不等式f (x )<x ；(2)设x >a 时，f (x )有最小值为6，求a 的值．【解】 (1)f (x )<x ，即x 2＋3x －a <x ，整理得(ax ＋3)(x －a )<0.当a >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3a (x －a )<0，∴解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－3a<x <a； 当a <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3a (x －a )>0，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >－3a 或x <a. (2)设t ＝x －a ，则x ＝t ＋a (t >0)，∴f (x )＝t 2＋2at ＋a 2＋3t＝t ＋a 2＋3t ＋2a≥2t ·a 2＋3t＋2a＝2a 2＋3＋2a .当且仅当t ＝a 2＋3t ，即t ＝a 2＋3时，等号成立， 即f (x )有最小值2a 2＋3＋2a . 依题意有2a 2＋3＋2a ＝6， 解得a ＝1.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－2x －8，g (x )＝2x 2－4x －16， (1)求不等式g (x )<0的解集；(2)若对一切x >2，均有f (x )≥(m ＋2)x －m －15成立，求实数m 的取值范围. 【解】 (1)g (x )＝2x 2－4x －16<0， ∴(2x ＋4)(x －4)<0， ∴－2<x <4，∴不等式g (x )<0的解集为{x |－2<x <4}． (2)∵f (x )＝x 2－2x －8.当x>2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，∴x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，即x2－4x＋7≥m(x－1)．∵对一切x>2，均有不等式x2－4x＋7x－1≥m成立，而x2－4x＋7x－1＝(x－1)＋4x－1－2≥2x－1×4x－1－2＝2(当且仅当x＝3时等号成立)，∴实数m的取值范围是(－∞，2]．模块综合测评(一)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a<1，b>1，那么下列命题中正确的是( )>1b>1C．a2<b2D．ab<a＋b 【解析】利用特值法，令a＝－2，b＝2.则1a<1b，A错；ba<0，B错；a2＝b2，C错．【答案】D2．一个等差数列的第5项a5＝10，且a1＋a2＋a3＝3，则有( )A．a1＝－2，d＝3 B．a1＝2，d＝－3C．a1＝－3，d＝2 D．a1＝3，d＝－2【解析】∵a1＋a2＋a3＝3且2a2＝a1＋a3，∴a2＝1.又∵a5＝a2＋3d＝1＋3d＝10，d＝3，∴a1＝a2－d＝1－3＝－2.【答案】A3．已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么对应的三边之比a∶b∶c等于( )A ．3∶2∶1 ∶2∶1 ∶2∶1D ．2∶3∶1【解析】 ∵A ∶B ∶C ＝3∶2∶1，A ＋B ＋C ＝180°， ∴A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°，∴a ∶b ∶c ＝sin 90°∶sin 60°∶sin 30° ＝1∶32∶12＝2∶3∶1. 【答案】 D4．在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧y ≥x －1，y ≤－3|x |＋1所表示的平面区域的面积为( )D ．2【解析】 由题意得，图中阴影部分面积即为所求．B ，C 两点横坐标分别为－1，12.∴S △ABC ＝12×2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－－1＝32.【答案】 B5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为32，则a 的值为( )A ．1B ．2【解析】 根据S ＝12bc sin A ＝32，可得c ＝2，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝3，故a ＝ 3.【答案】 D6．等差数列的第二，三，六项顺次成等比数列，且该等差数列不是常数数列，则这个等比数列的公比为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 设等差数列的首项为a 1，公差为d ， 则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，又∵a 2·a 6＝a 23，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，∴d ＝－2a 1，∴q ＝a 3a 2＝3. 【答案】 A7．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，12恒成立，则a 的最小值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－52D ．－3【解析】 x 2＋ax ＋1≥0在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒成立⇔ax ≥－x 2－1⇔a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x max ，∵x ＋1x ≥52， ∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ≤－52，∴a ≥－52.【答案】 C8．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( ) A ．a 1d >0，dS 4>0 B ．a 1d <0，dS 4<0 C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0【解析】 ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 3a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，展开整理，得－3a 1d ＝5d 2，即a 1d ＝－53d 2.∵d ≠0，∴a 1d <0.∵S n ＝na 1＋n n －12d ，∴S 4＝4a 1＋6d，dS4＝4a1d＋6d2＝－23d2<0.【答案】B9．在数列{a n}中，a1＝2，a n＋1－2a n＝0(n∈N*)，b n是a n和a n＋1的等差中项，设S n为数列{b n}的前n项和，则S6＝( )A．189 B．186C．180 D．192【解析】由a n＋1＝2a n，知{a n}为等比数列，∴a n＝2n，∴2b n＝2n＋2n＋1，即b n＝3·2n－1，∴S6＝3·1＋3·2＋…＋3·25＝189.【答案】A10．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝0，abc>0，T＝1a＋1b＋1c，则( )A．T>0 B．T<0 C．T＝0 D．T≥0【解析】法一：取特殊值，a＝2，b＝c＝－1，则T＝－32<0，排除A，C，D，可知选B.法二：由a＋b＋c＝0，abc>0，知三数中一正两负，不妨设a>0，b<0，c<0，则T＝1a＋1b＋1c＝ab＋bc＋caabc＝ab＋c b＋aabc＝ab－c2abc.∵ab<0，－c2<0，abc>0，故T<0，应选B.【答案】B11．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝2A，a＝1，b＝3，则c＝( ) A．2 3 B．2D．1【解析】由正弦定理得：asin A＝bsin B，∵B＝2A，a＝1，b＝3，∴1sin A＝32sin A cos A.∵A为三角形的内角，∴sin A≠0.∴cos A＝3 2 .又0＜A＜π，∴A＝π6，∴B＝2A＝π3，∴C＝π－A－B＝π2，∴△ABC为直角三角形．由勾股定理得c＝12＋32＝2.【答案】B12．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A．13项B．12项C．11项D．10项【解析】设该数列的前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1q n－3，a1q n－2，a1q n－1，所以前三项之积a31q3＝2，后三项之积a31q3n－6＝4，两式相乘，得a61q3(n－1)＝8，即a21q n－1＝2.又a1·a1q·a1q2·…·a1q n－1＝64，所以a n1·q＝64，即(a21q n－1)n＝642，即2n＝642，所以n＝12.【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．在△ABC中，BC＝2，B＝π3，当△ABC的面积等于32时，sin C＝________.【解析】由三角形的面积公式，得S＝12AB·BC sinπ3＝32，易求得AB＝1，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos π3，得AC＝3，再由三角形的面积公式，得S＝12AC ·BC sin C ＝32，即可得出sin C ＝12. 【答案】1214．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，x －y ≤2，3x －y ≥0，则3x ＋y 的最大值是________．【解析】 画出可行域，如图阴影部分所示，设z ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋z ，平移直线y ＝－3x 知当直线y ＝－3x ＋z 过点A 时，z 取得最大值．由⎩⎨⎧x ＋y ＝4，x －y ＝2，可得A (3,1)．故z max ＝3×3＋1＝10.【答案】 1015．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k 元(叫做税率k %)，则每年的产销量将减少10k 万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k 的取值范围为________．【解析】 设产销量为每年x 万瓶，则销售收入每年70x 万元，从中征收的税金为70x ·k %万元，其中x ＝100－10k .由题意，得70(100－10k )k %≥112，整理得k 2－10k ＋16≤0，解得2≤k ≤8.【答案】 [2,8] 16．观察下列等式： 12＝1， 12－22＝－3， 12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…照此规律，第n个等式可为12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝________.【解析】分n为奇数、偶数两种情况．第n个等式为12－22＋32－…＋(－1)n－1n2.当n为偶数时，分组求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－1)2－n2]＝－(3＋7＋11＋15＋…＋2n－1)＝－n2×3＋2n－12＝－n n＋12.当n为奇数时，第n个等式为(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－2)2－(n－1)2]＋n2＝－n n－12＋n2＝n n＋12.综上，第n个等式为12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝(－1)n＋1n n＋12.【答案】(－1)n＋1n n＋12三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若m＝(a2＋c2－b2，－3a)，n＝(tan B，c)，且m⊥n，求B的值．【解】由m⊥n得(a2＋c2－b2)·tan B－3a·c＝0，即(a2＋c2－b2)tan B＝3ac，得a2＋c2－b2＝3ac tan B，所以cos B＝a2＋c2－b22ac＝32tan B，即tan B cos B＝32，即sin B＝32，所以B＝π3或B＝2π3.18．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，S 9＝－36，S 13＝－104，在等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7, 求b 6.【解】 ∵S 9＝－36＝9a 5，∴a 5＝－4， ∵S 13＝－104＝13a 7，∴a 7＝－8， ∴b 26＝b 5·b 7＝a 5 ·a 7＝32， ∴b 6＝±4 2.19．(本小题满分12分)解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R ). 【解】 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇒(ax －2)(x ＋1)≥0. (1)当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0⇒x ≤－1；(2)当a >0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0⇒x ≥2a 或x ≤－1；(3)当a <0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.①当2a >－1，即a <－2时，原不等式等价于－1≤x ≤2a；②当2a ＝－1，即a ＝－2时，原不等式等价于x ＝－1； ③当2a<－1，即－2<a <0时，原不等式等价于2a≤x ≤－1.综上所述：当a <－2时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，2a ； 当a ＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2<a <0时，原不等式的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，－1；当a ＝0时，原不等式的解集为(－∞，－1]；当a >0时，原不等式的解集为(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2a ，＋∞.20．(本小题满分12分)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2，cos C ＝14.(1)求△ABC 的周长； (2)求cos A 的值．【解】 (1)∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－4×14＝4，∴c ＝2，∴△ABC 的周长为a ＋b ＋c ＝1＋2＋2＝5. (2)∵cos C ＝14，∴sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154，∴sin A ＝a sin C c ＝1542＝158∵a <c ，∴A <C ，故A 为锐角， ∴cos A ＝1－sin 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1582＝78. 21．(本小题满分12分)已知数列{a n }满足a 1＝5，a 2＝5，a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)． (1)求证：{a n ＋1＋2a n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)证明：∵a n ＋1＝a n ＋6a n －1(n ≥2)， ∴a n ＋1＋2a n ＝3a n ＋6a n －1＝3(a n ＋2a n －1)(n ≥2)． 又a 1＝5，a 2＝5，∴a 2＋2a 1＝15， ∴a n ＋2a n －1≠0(n ≥2)，∴a n ＋1＋2a na n ＋2a n －1＝3(n ≥2)， ∴数列{a n ＋1＋2a n }是以15为首项，3为公比的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＋2a n ＝15×3n －1＝5×3n ， 则a n ＋1＝－2a n ＋5×3n ， ∴a n ＋1－3n ＋1＝－2(a n －3n )． 又∵a 1－3＝2，∴a n －3n ≠0，∴{a n －3n }是以2为首项，－2为公比的等比数列， ∴a n －3n ＝2×(－2)n －1， 即a n ＝2×(－2)n －1＋3n (n ∈N *)．。
数学必修五测试题及答案
数学必修五测试题及答案一、选择题1. 若一元二次方程x^2 - px + q = 0的两个根互为相反数，则p和q的关系是：A. p^2 - 4q < 0B. p^2 - 4q = 0C. p^2 - 4q > 0D. p^2 + 4q = 0答案：B. p^2 - 4q = 02. 已知函数f(x) = ax^2 - bx + c经过点(1, 4)和(2, 7)，则a，b，c的值分别为：A. a = 2, b = 1, c = 1B. a = 1, b = 3, c = 2C. a = 3, b = 1, c = 2D. a = 1, b = 2, c = 3答案：A. a = 2, b = 1, c = 13. 在等差数列{an}中，已知a1 = 3，a6 = 15，则d（公差）的值为：A. 2B. 3C. 4D. 5答案：C. 44. 若sinθ + cosθ = √2sin(π/4 + θ)，则θ的取值范围是：A. [0, π/2]B. [0, π]C. [π/4, π/2]D. [π/6,π/4]答案：D. [π/6, π/4]5. 设ΔABC中，∠B = 90°，AB = AC = 5，则三角形ABC的面积为：A. 10B. 12.5C. 25D. 50答案：D. 50二、填空题1. 设函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12，则f(2) = 。
答案：42. 设函数f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c，已知f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 3)，则a，b，c的值分别为。
答案：a = 4, b = -11, c = -63. 过点P(3, 4)作直线l与椭圆x^2/4 + y^2/9 = 1交于点A和B，则线段AB的中点坐标为。
答案：(1,2)4. 在等比数列{an}中，已知a1 = 3，an = 24，则n的值为。
人教版高中数学必修5第三章单元测试(一)-Word版含答案
1．下列说法正确的是（
）
11 A ．若 a b ，则
ab
3
B ．若 ac
3
bc
，则
a
b
C．若 a b ， k N ，则 a k bk
D．若 a b ， c d ，则 a d b c
2．已知 x
1， y
1 ，且
1 ln
x
，
1
，
ln
y 成等比数列，则
xy （
）
4
4
A ．有最大值 e
B ．有最大值 e
C．有最小值 e
x2 的解集是（
）
x 2, x 0
A． 1,1
B ． 2,2
C． 2,1
D ． 1,2
8．若 a 0 ， b 0 ，且 a b 4 ，则下列不等式中恒成立的是（
）
A． 1 1 ab 2
B． 1
1 1
ab
C． ab 2
1
1
D． a2 b2 8
xy0 9．设变量 x ，y 满足约束条件 2x y 2 ，则目标函数 z x 3y 的最大值为 （ ）
a
b
c
的取值范围是（
）
A．
1 0,
8
B．
1 ,1
8
C． 1,8
D ． 8,
12．函数 f x
x2 2x
1
2
， x 0,3 ，则（
）
x 2x 1
7 A． f x 有最大值
4
B． f x 有最小值 1
C． f x 有最大值 1
D． f x 有最小值 1
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把正确答案填在题中横 线上） 13．已知 t 0 ，则函数 y t 2 4t 1 的最小值为 ___________．
最新人教版高中数学必修5第三章模块综合测评(附答案)
数学人教B必修5 模块综合测评(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{－1,0,1}，则下列结论正确的是()．A．A∪B＝(0，＋∞)B．(R A)∪B＝(－∞，0]C．(R A)∩B＝{－1,0} D．(R A)∩B＝{1}2．在等差数列{a n}中，若a2＋a8＝12，S n是数列{a n}的前n项和，则S9等于()．A．48B．54C．60D．663．在△ABC中，∠B＝135°，∠C＝15°，a＝5，则此三角形的最大边长为()．A．B．C．D．4．已知在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶4，那么cos C的值为()．A．14B．23-C．23D．14-5．已知c＜d，a＞b＞0，则下列不等式中必成立的一个是()．A．a＋c＞b＋d B．a－c＞b－dC．ad＞bc D．a b c d >6．在△ABC中，∠B＝60°，b2＝ac，则这个三角形是()．A．等腰三角形B．不等边三角形C．等边三角形D．直角三角形7．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k＋2－S k＝24，则k＝()．A．8 B．7 C．6 D．58．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad等于()．A．3 B．2 C．1 D．－29．函数y＝log2(x＋11x-＋5)(x＞1)的最小值为()．A．－3 B．3 C．4 D．－410．已知变量x，y满足约束条件20,1,70,x yxx y-+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩则yx的取值范围是()．A．(3,6) B．(95，3)C．[95，6] D．(3，＋∞)11．已知x，y为正实数，且x，a1，a2，y成等差数列，x，b1，b2，y成等比数列，则2 1212a ab b (+)的取值范围是()．A ．RB ．(0,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)12．(2011·广东高考)已知平面直角坐标系xOy 上的区域D由不等式组02,,x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为1)，则z OM OA =⋅的最大值为( )．A． B． C ．4 D ．3二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上) 13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，c =π3C ∠=，则∠A ＝________.14．若方程x 2＋(m ＋2)x ＋m ＋5＝0只有正根，则m 的取值范围是__________．15．设{a n }为公比q ＞1的等比数列，若a 2 009和a 2 010是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2 011＋a 2 012＝________.16．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三边，且3a 2＋3b 2－3c 2＋2ab ＝0，则tan C ＝________. 三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝15，a 2a 5＝54，公差d ＜0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)求数列的前n 项和S n 的最大值及相应的n 的值．18．(本小题满分12分)已知关于x 的不等式2251x x m m+->+. (1)当m ＞0时，解这个不等式；(2)若此不等式的解集为{x |x ＞5}，试求实数m 的值．19．(本小题满分12分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边长．已知a ，b ，c 成等比数列，且a 2－c 2＝ac －bc ，求∠A 的大小及sin b Bc的值． 20．(本小题满分12分)某工厂修建一个长方体形无盖蓄水池，其容积为4 800立方米，深度为3米，池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设池底长方形长为x 米．(1)求底面积并用含x 的表达式表示池壁面积S ；(2)怎样设计水池能使总造价最低？最低造价是多少？ 21．(本小题满分12分)如图所示，有相交成60°角的两条直线ZZ ′，YY ′，交点是O .甲、乙分别在OZ ，OY 上，起初甲在离O 点3 km 的A 点，乙在离O 点1 km 的B 点，后来两人同时用4 km/h 的速度，甲沿ZZ ′方向，乙沿Y ′Y 方向步行．(1)起初两人的距离是多少？(2)用包含t 的式子表示t h 后两人的距离；(3)多长时间后，两人之间的距离最短，最短距离是多少？22．(本小题满分14分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若对于任意的n ∈N ＋，都有S n ＝2a n－3n ，(1)求数列{a n }的首项与递推关系式a n ＋1＝f (a n )． (2)先阅读定理：若数列{a n }有递推关系a n ＋1＝Aa n ＋B ，其中A ，B 为常数，且A ≠1，B ≠0，则数列{1n Ba A-}-是以A 为公比的等比数列．请你在(1)的基础上应用本定理，求数列{a n }的通项公式．(3)求数列{a n }的前n 项和S n .参考答案1. 答案：C ∵A ＝{y |y ＞0}，∴R A ＝{y |y ≤0}，∴(R A )∩B ＝{－1,0}．2. 答案：B 192899()9()5422a a a a S ++===. 3. 答案：A 依题意，知三角形的最大边为b .由于∠A ＝30°，根据正弦定理，得sin sin b a B A =，所以sin 5sin135sin sin30a B b A ︒===︒4. 答案：D ∵a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶4， ∴令a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝4k (k ≠0)，∴22222294161cos 22324a b c k k k C ab k k +-+-===-⋅⋅. 5. 答案：B 由不等式的性质可知，c ＜d ，∴－c ＞－d .又∵a ＞b ＞0，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，即a －c ＞b －d .6. 答案：C cos B ＝cos 60°＝222221222a cb ac ac ac ac +-+-==， ∴(a －c )2＝0.∴a ＝c .又∵∠B ＝60°，∴△ABC 为等边三角形．7. 答案：D ∵S k ＋2－S k ＝24，∴a k ＋1＋a k ＋2＝24. ∴a 1＋kd ＋a 1＋(k ＋1)d ＝24. ∴2a 1＋(2k ＋1)d ＝24. 又a 1＝1，d ＝2，∴k ＝5.8. 答案：B ∵y ＝x 2－2x ＋3的顶点为(1,2)，∴b ＝1，c ＝2.又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴12a =，d ＝4.∴ad ＝2. 9. 答案：B ∵x ＞1，∴x －1＞0， ∴y ＝log 2(x ＋11x -＋5)＝log 2(x －1＋11x -＋6)≥log 2(2＋6)＝log 28＝3.当且仅当x －1＝11x -，即x ＝2时等号成立． 10. 答案：C 作出可行域，如图阴影部分所示．目标函数00y y z x x -==-的几何意义是可行域内的点(x ，y )与原点(0,0)间连线的斜率．由图可知k OC ≤z ≤k OB .易求得B (1,6)，C (52，92)，因为95OC k =，661OB k ==，所以95≤z ≤6.11. 答案：C 原式＝222()22x y x x y y x yx y x y y x+++==++，又∵x ，y ∈R ＋，∴2224x y y x ++≥=，当且仅当x y y x =，即x ＝y 时等号成立．12. 答案：C z OM OA =⋅＝(x ，y1)＋y .由02,x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩ 画出可行域，如图阴影部分所示．作直线l 0：y =，平移直线l 0至l 1位置时，z 取得最大值，此时l1过点2)，故max 24z =.13. 答案：π6 由正弦定理，得sinsin a cA C=sin 1sin 2a C A c ===，所以∠A ＝π6. 14. 答案：(－5，－4] 设方程的正根为x 1，x 2，由题意，得21212(2)4(5)0,(2)0,50,m m x x m x x m ⎧∆=+-+≥⎪+=-+>⎨⎪=+>⎩解得－5＜m ≤－4.15. 答案：18 ∵a 2 009和a 2 010是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，而方程的两个根是12x =，32x =，又∵{a n }的公比q ＞1，∴ 2 00912a =， 2 01032a =，∴q ＝3.∴a 2 011＋a 2 012＝a 2 009q 2＋a 2 010q 2＝(a 2 009＋a 2 010)q 2＝(1322+)×32＝18.16. 答案：- 2221cos 23a b c C ab +-==-，所以∠C ＞90°，sin 3C =.所以sin tan cos CC C==-17. 答案：分析：首先由等差数列的性质得a 2＋a 5＝a 3＋a 4＝15，再与a 2·a 5＝54联立求出a 2，a 5，进而求出通项a n ，S n ；再由S n 得出S n 的最大值及相应的n 值．解：(1)∵{a n }为等差数列，∴a 2＋a 5＝a 3＋a 4.∴252515,54,0,a a a a d +=⎧⎪=⎨⎪<⎩ 解得259,6,a a =⎧⎨=⎩∴11,10,d a =-⎧⎨=⎩∴a n ＝11－n .(2)∵a 1＝10，a n ＝11－n ，∴21()121222n n n a a S n n +==-+. 又102-<，对称轴为212，故当n ＝10或11时，S n 取得最大值，其最大值为55.18. 答案：分析：(1)解含参不等式要就参数的取值范围进行讨论，本题在系数化为1时，要注意m －1的符号．(2)不等式的解集是不等式所有解的集合，必须注意元素的确定性，和恒成立问题不同，从函数、方程、不等式的统一角度来认识，5应是方程2251x x m m+-=+的根．或者根据(1)对m 进行讨论．解：(1)原不等式可化为m (x ＋2)＞m 2＋x －5， (m －1)x ＞m 2－2m －5，若0＜m ＜1，不等式的解集为225{|1m m x x m --<}-；若m ＝1，则不等式的解集为R ； 若m ＞1，则不等式的解集为225{|1m m x x m -->}-．(2)由题意和(1)知，m ＞1且满足225{|{|5}1m m x x x x m -->}=>-，于是22551m m m --=-，解得m ＝7. 19. 答案：分析：由题意可知b 2＝ac ，将此式代入a 2－c 2＝ac －bc ，然后利用余弦定理求出∠A ；再由正弦定理或三角形面积公式求出sin b Bc的值． 解：(1)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 又a 2－c 2＝ac －bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc .在△ABC 中，由余弦定理，得2221cos 22b c a A bc +-==，∴∠A ＝60°.(2)解法一：在△ABC 中，由正弦定理得sin sin b AB a=. ∵b 2＝ac ，∠A ＝60°，∴2sin sin60sin 60b B b c ac ︒==︒=解法二：在△ABC 中，由三角形面积公式得11sin sin 22bc A ac B =， ∵b 2＝ac ，∠A ＝60°，∴bc sin A ＝b 2sin B ，∴sin sin 2b B Ac ==. 20. 答案：解：(1)设水池的底面积为S 1，池壁的面积为S ，则有1480016003S ==(平方米)， 则池底长方形宽为1600x 米，所以S ＝6x ＋6×1600x ＝6(x ＋1600x)(x ＞0)．(2)设总造价为y ，则y ＝150×1 600＋120×6(x ＋1600x)≥240 000＋57 600＝297 600， 当且仅当1600x x=，即x ＝40时，等号成立， 即x ＝40时，总造价最低为297 600元．21. 答案：分析：第(1)问可用余弦定理直接求解，第(2)问分类讨论的依据要把握好，当甲驶过O 点时，甲、乙两人行驶的路线的夹角发生了变化，因此，讨论的依据是t 与34的大小关系．这是本题应注意的一个方面．解：(1)设甲、乙两人起初的位置分别是A 与B ，则AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB ·cos 60°＝32＋12－2×3×1×12＝7.(2)设甲、乙两人t h 后的位置分别是P ，Q ，则AP ＝4t ，BQ ＝4t ，当0≤t ≤34时，PQ 2＝(3－4t )2＋(1＋4t )2－2(3－4t )(1＋4t )cos 60°，当34t >时，PQ 2＝(4t －3)2＋(1＋4t )2－2(4t －3)·(1＋4t )cos 120°，注意到，上面的两式实际上是统一的．所以PQ 2＝48t 2－24t ＋7，t ∈[0，＋∞)，即PQ =t ∈[0，＋∞)．(3)因为PQ 2＝48(t －14)2＋4，所以当14t =h 时，即在第15 min 末，两人的距离最短，最短距离是2 km.22. 答案：分析：(1)要建立a n 与a n ＋1之间的关系，可由a n ＋1＝S n ＋1－S n 得出． (2)给出定理，需认真阅读，考查了观察问题、研究问题的能力． (3)可用拆项法求和．解：(1)令n ＝1，则S 1＝2a 1－3，所以a 1＝3.又S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)，S n ＝2a n －3n .两式相减得a n ＋1＝2a n ＋3.(2)按照定理，得A ＝2，B ＝3，则31BA=--.所以{a n ＋3}是公比为2的等比数列，其首项为a 1＋3＝6，所以a n ＋3＝(a 1＋3)·2n －1＝6·2n －1，所以a n ＝6·2n －1－3.(3)S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(6·20－3)＋(6·2－3)＋(6·22－3)＋…＋(6·2n －1－3)＝(6·20＋6·21＋6·22＋…＋6·2n －1)－(3＋3＋…＋3)＝6(20＋21＋22＋…＋2n －1)－3n ＝6×1212n--－3n ＝6·2n－3n －6.。
最新人教版高中数学必修5各单元测试题(全册 共3章 附解析)
最新人教版高中数学必修各单元测试题（全册 共3章 附解析）第一单元评估验收(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC 中，a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝b cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ，则△ABC 的形状是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角或直角三角形解析：原式可化为a sin A ＝b sin B ，由正弦定理知a 2＝b 2，所以a ＝b ，所以△ABC 为等腰三角形．答案：B2．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝2，B ＝45°，则角A ＝( )A ．30°或150°B ．60°或120°C ．60°D ．30°解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B得，sin A ＝a b sin B ＝ 22sin 45°＝12，又因为b ＞a ，故A ＝30°.答案：D3．在△ABC 中，若a ＝52b ，A ＝2B ，则cos B 等于( ) A.53 B.54 C.55 D.56解析：由正弦定理得a b ＝sin A sin B ，所以a ＝52b 可化为 sin A sin B ＝52. 又A ＝2B ，所以sin 2B sin B ＝52， 所以cos B ＝54. 答案：B4．要测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A 、B 两点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，且AB ＝120 m ，由此可得河宽为(精确到1 cm)( )A ．170 mB ．98 mC ．95 mD ．86 m解析：在△ABC 中，AB ＝120，∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，则∠ACB ＝60°，由正弦定理，得BC ＝120sin 45°sin 60°＝40 6. 设△ABC 中，AB 边上的高为h ，则h 即为河宽，。
必修五数学测试题及答案
必修五数学测试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，为偶函数的是（）A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = xD. f(x) = |x|2. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_5 = 5a_3，则a_3的值为（）A. 5B. 10C. 15D. 203. 函数y = 3x^2 - 2x + 1的顶点坐标为（）A. (1/3, 2/3)B. (1, 2)C. (-1, 4)D. (0, 1)4. 已知圆x^2 + y^2 = 9的圆心为（）A. (0, 0)B. (3, 0)C. (0, 3)D. (3, 3)5. 函数f(x) = 2x + 1在区间[-1, 2]上的最大值是（）A. 3B. 5C. 3D. 56. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的点积为（）A. -14B. 10C. -2D. 147. 已知直线y = 2x + 3与直线y = -x + 5平行，则两直线之间的距离为（）A. 2B. 3C. 4D. 58. 函数y = x^3 - 3x^2 + 4x - 2的导数为（）A. 3x^2 - 6x + 4B. 3x^2 - 6x + 1C. 3x^2 - 9x + 12D. 3x^2 - 9x + 49. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，若f(a) = 0，则a的值为（）A. 2B. -2C. 0D. 410. 已知复数z = 1 + i，其共轭复数为（）A. 1 - iB. 1 + iC. -1 + iD. -1 - i二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知等比数列{a_n}的公比为2，首项为1，则a_5 = _______。
2. 函数y = x^2 - 6x + 8的对称轴方程为x = _______。
3. 已知圆心在原点，半径为3的圆的方程为x^2 + y^2 = _______。
人教版高中数学必修5测试题及答案全套
第一章 解三角形测试一 正弦定理和余弦定理Ⅰ 学习目标1．掌握正弦定理和余弦定理及其有关变形.2．会正确运用正弦定理、余弦定理及有关三角形知识解三角形.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．在△ABC 中，若BC ＝2，AC ＝2，B ＝45°，则角A 等于( ) (A)60°(B)30°(C)60°或120°(D)30°或150°2．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，cos C ＝－41，则c 等于( ) (A)2(B)3(C)4(D)53．在△ABC 中，已知32sin ,53cos ==C B ，AC ＝2，那么边AB 等于( ) (A )45 (B)35 (C)920 (D)512 4．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知B ＝30°，c ＝150，b ＝503，那么这个三角形是( ) (A)等边三角形 (B)等腰三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形5．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，如果A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，那么a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶2∶3(B)1∶3∶2(C)1∶4∶9(D)1∶2∶3二、填空题 6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，B ＝45°，C ＝75°，则b ＝________. 7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝23，c ＝4，则A ＝________. 8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若2cos B cos C ＝1－cos A ，则△ABC 形状是________三角形.9．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝4，B ＝60°，则c ＝________. 10．在△ABC 中，若tan A ＝2，B ＝45°，BC ＝5，则 AC ＝________.三、解答题11．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝4，C ＝60°，试解△ABC . 12．在△ABC 中，已知AB ＝3，BC ＝4，AC ＝13.(1)求角B 的大小；(2)若D 是BC 的中点，求中线AD 的长.13．如图，△OAB 的顶点为O (0，0)，A (5，2)和B (－9，8)，求角A 的大小.14．在△ABC 中，已知BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长； (3)求△ABC 的面积.测试二 解三角形全章综合练习Ⅰ 基础训练题一、选择题1．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b 2＋c 2－a 2＝bc ，则角A 等于( ) (A)6π (B)3π (C)32π (D)65π2．在△ABC 中，给出下列关系式： ①sin(A ＋B )＝sin C②cos(A ＋B )＝cos C ③2cos 2sinCB A =+ 其中正确的个数是( ) (A)0 (B)1(C)2 (D)33．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c .若a ＝3，sin A ＝32，sin(A ＋C )＝43，则b 等于( ) (A)4(B)38(C)6 (D)827 4．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝3，b ＝4，sin C ＝32，则此三角形的面积是( ) (A)8 (B)6 (C)4 (D)3 5．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，且sin A ＝2sin B cos C ，则此三角形的形状是( ) (A)直角三角形 (B)正三角形 (C)腰和底边不等的等腰三角形 (D)等腰直角三角形 二、填空题6．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝2，B ＝45°，则角A ＝________. 7．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a ＝2，b ＝3，c ＝19，则角C ＝________. 8．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若b ＝3，c ＝4，cos A ＝53，则此三角形的面积为________.9．已知△ABC 的顶点A (1，0)，B (0，2)，C (4，4)，则cos A ＝________.10．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，那么边BC 上的中线AD 的长为________. 三、解答题11．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且a ＝3，b ＝4，C ＝60°.(1)求c ； (2)求sin B .12．设向量a ，b 满足a ·b ＝3，|a |＝3，|b |＝2.(1)求〈a ，b 〉； (2)求|a －b |.13．设△OAB 的顶点为O (0，0)，A (5，2)和B (－9，8)，若BD ⊥OA 于D .(1)求高线BD 的长； (2)求△OAB 的面积.14．在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B ＞sin 2C ，求证：C 为锐角.(提示：利用正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，其中R 为△ABC 外接圆半径) Ⅱ 拓展训练题15．如图，两条直路OX 与OY 相交于O 点，且两条路所在直线夹角为60°，甲、乙两人分别在OX 、OY 上的A 、B 两点，| OA |＝3km ，| OB |＝1km ，两人同时都以4km/h 的速度行走，甲沿XO 方向，乙沿OY 方向.问：(1)经过t 小时后，两人距离是多少(表示为t 的函数)？(2)何时两人距离最近？16．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且ca bC B +-=2cos cos . (1)求角B 的值；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积.第二章 数列测试三 数列Ⅰ 学习目标1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊的函数. 2．理解数列的通项公式的含义，由通项公式写出数列各项.3．了解递推公式是给出数列的一种方法，能根据递推公式写出数列的前几项.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }的前四项依次是：4，44，444，4444，…则数列{a n }的通项公式可以是( ) (A)a n ＝4n (B)a n ＝4n (C)a n ＝94(10n－1) (D)a n ＝4×11n2．在有一定规律的数列0，3，8，15，24，x ，48，63，……中，x 的值是( ) (A)30 (B)35 (C)36 (D)42 3．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＝a n －1＋3n ，则a 4等于( ) (A)4 (B)13 (C)28 (D)43 4．156是下列哪个数列中的一项( ) (A){n 2＋1} (B){n 2－1} (C){n 2＋n } (D){n 2＋n －1} 5．若数列{a n }的通项公式为a n ＝5－3n ，则数列{a n }是( ) (A)递增数列 (B)递减数列 (C)先减后增数列 (D)以上都不对 二、填空题6．数列的前5项如下，请写出各数列的一个通项公式：(1)n a ,,31,52,21,32,1Λ＝________；(2)0，1，0，1，0，…，a n ＝________.7．一个数列的通项公式是a n ＝122+n n .(1)它的前五项依次是________； (2)0.98是其中的第________项.8．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋1，则a 4＝________. 9．数列{a n }的通项公式为)12(3211-++++=n a n Λ(n ∈N *)，则a 3＝________.10．数列{a n }的通项公式为a n ＝2n 2－15n ＋3，则它的最小项是第________项. 三、解答题11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝14－3n .(1)写出数列{a n }的前6项； (2)当n ≥5时，证明a n ＜0.12．在数列{a n }中，已知a n ＝312-+n n (n ∈N *).(1)写出a 10，a n ＋1，2n a ； (2)7932是否是此数列中的项？若是，是第几项？ 13．已知函数xx x f 1)(-=，设a n ＝f (n )(n ∈N ＋). (1)写出数列{a n }的前4项；(2)数列{a n }是递增数列还是递减数列？为什么？测试四 等差数列Ⅰ 学习目标1．理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能解决一些简单问题. 2．掌握等差数列的前n 项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能体会等差数列与一次函数的关系.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝a n －2，则a 100等于( ) (A)98 (B)－195 (C)－201 (D)－1982．数列{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，如果a n ＝2008，那么n 等于( ) (A)667 (B)668 (C)669 (D)670 3．在等差数列{a n }中，若a 7＋a 9＝16，a 4＝1，则a 12的值是( ) (A)15 (B)30 (C)31 (D)644．在a 和b (a ≠b )之间插入n 个数，使它们与a ，b 组成等差数列，则该数列的公差为( )(A)n a b - (B)1+-n a b (C)1++n a b (D)2+-n ab 5．设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 8＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( ) (A)S 4＜S 5 (B)S 4＝S 5 (C)S 6＜S 5 (D)S 6＝S 5 二、填空题6．在等差数列{a n }中，a 2与a 6的等差中项是________.7．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝5，a 3＋a 4＝9，那么a 5＋a 6＝________. 8．设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若S 17＝102，则a 9＝________.9．如果一个数列的前n 项和S n ＝3n 2＋2n ，那么它的第n 项a n ＝________.10．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，设{a n }的前n 项和是S n ，则S 10＝________. 三、解答题11．已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，a 3＝7，S 4＝24．求数列{a n }的通项公式.12．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50.(1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n .13．数列{a n }是等差数列，且a 1＝50，d ＝－0.6．(1)从第几项开始a n ＜0；(2)写出数列的前n 项和公式S n ，并求S n 的最大值.Ⅲ 拓展训练题14．记数列{a n }的前n 项和为S n ，若3a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)，a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝90，求S 100． 测试五 等比数列Ⅰ 学习目标1．理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能解决一些简单问题. 2．掌握等比数列的前n 项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能体会等比数列与指数函数的关系.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．数列{a n }满足：a 1＝3，a n ＋1＝2a n ，则a 4等于( )(A)83 (B)24 (C)48 (D)542．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) (A)33 (B)72 (C)84 (D)189 3．在等比数列{a n }中，如果a 6＝6，a 9＝9，那么a 3等于( )(A)4(B)23 (C)916 (D)3 4．在等比数列{a n }中，若a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前四项和为( ) (A)81 (B)120 (C)168 (D)1925．若数列{a n }满足a n ＝a 1q n －1(q ＞1)，给出以下四个结论： ①{a n }是等比数列； ②{a n }可能是等差数列也可能是等比数列； ③{a n }是递增数列； ④{a n }可能是递减数列. 其中正确的结论是( ) (A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④ 二、填空题6．在等比数列{a n }中,a 1，a 10是方程3x 2＋7x －9＝0的两根，则a 4a 7＝________. 7．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝6，那么a 5＋a 6＝________. 8．在等比数列{a n }中，若a 5＝9，q ＝21，则{a n }的前5项和为________. 9．在38和227之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为________.10．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q ＝________. 三、解答题11．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝6，a 5＝162.设数列{a n }的前n 项和为S n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若S n ＝242，求n .12．在等比数列{a n }中，若a 2a 6＝36，a 3＋a 5＝15，求公比q .13．已知实数a ，b ，c 成等差数列，a ＋1，b ＋1，c ＋4成等比数列，且a ＋b ＋c ＝15，求a ，b ，c .Ⅲ 拓展训练题14．在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q ，每列上的数从上到下都成等差数列.a ij 表示位于第i 行第j 列的数，其中a 24＝1，a 42＝1，a 54＝5.(2)求a ij 的计算公式.测试六 数列求和Ⅰ 学习目标1．会求等差、等比数列的和，以及求等差、等比数列中的部分项的和. 2．会使用裂项相消法、错位相减法求数列的和.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知等比数列的公比为2，且前4项的和为1，那么前8项的和等于( ) (A)15 (B)17 (C)19 (D)21 2．若数列{a n }是公差为21的等差数列，它的前100项和为145，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99的值为( ) (A)60 (B)72.5 (C)85 (D)1203．数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n －1·2n (n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则S 100等于( ) (A)100 (B)－100 (C)200 (D)－200 4．数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-)12)(12(1n n 的前n 项和为( )(A)12+n n (B)122+n n (C)24+n n (D)12+n n 5．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝a n ＋3(n ＝1，2，3，…)，则S 100等于( ) (A)7000 (B)7250 (C)7500 (D)14950 二、填空题 6．nn +++++++++11341231121Λ＝________.7．数列{n ＋n 21}的前n 项和为________. 8．数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________. 9．设n ∈N *，a ∈R ，则1＋a ＋a 2＋…＋a n ＝________. 10．n n 21813412211⨯++⨯+⨯+⨯Λ＝________. 三、解答题11．在数列{a n }中，a 1＝－11，a n ＋1＝a n ＋2(n ∈N *)，求数列{|a n |}的前n 项和S n .12．已知函数f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n (n ∈N *，x ∈R )，且对一切正整数n 都有f (1)＝n 2成立.(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)求13221111++++n n a a a a a a Λ.13．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝12141211-++++n Λ，求数列的前n 项和S n .Ⅲ 拓展训练题14．已知数列{a n }是等差数列，且a 1＝2，a 1＋a 2＋a 3＝12.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝a n x n (x ∈R )，求数列{b n }的前n 项和公式.测试七 数列综合问题Ⅰ 基础训练题一、选择题1．等差数列{a n }中，a 1＝1，公差d ≠0，如果a 1，a 2，a 5成等比数列，那么d 等于( )(A)3 (B)2 (C)－2 (D)2或－2 2．等比数列{a n }中，a n ＞0，且a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，则a 3＋a 5等于( ) (A)5 (B)10 (C)15 (D)20 3．如果a 1，a 2，a 3，…，a 8为各项都是正数的等差数列，公差d ≠0，则( ) (A)a 1a 8＞a 4a 5 (B)a 1a 8＜a 4a 5 (C)a 1＋a 8＞a 4＋a 5 (D)a 1a 8＝a 4a 54．一给定函数y ＝f (x )的图象在下列图中，并且对任意a 1∈(0，1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1＞a n (n ∈N *)，则该函数的图象是()5．已知数列{a n }满足a 1＝0，1331+-=+n n n a a a (n ∈N *)，则a 20等于( ) (A)0 (B)－3(C)3(D)23 二、填空题6．设数列{a n }的首项a 1＝41，且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+.,,41,211为奇数为偶数n a n a a n n n 则a 2＝________，a 3＝________.7．已知等差数列{a n }的公差为2，前20项和等于150，那么a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20＝________.8．某种细菌的培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3个小时，这种细菌可以由1个繁殖成________个.9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n (n ∈N *)，则a n ＝________.10．在数列{a n }和{b n }中，a 1＝2，且对任意正整数n 等式3a n ＋1－a n ＝0成立，若b n 是a n 与a n ＋1的等差中项，则{b n }的前n 项和为________. 三、解答题11．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a n ＝5S n －3(n ∈N *).(1)求a 1，a 2，a 3；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)求a 1＋a 3＋…＋a 2n －1的和.12．已知函数f (x )＝422+x (x ＞0)，设a 1＝1，a 21+n ·f (a n )＝2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式.13．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12＞0，S 13＜0.(1)求公差d 的范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪个值最大，并说明理由.Ⅲ 拓展训练题14．甲、乙两物体分别从相距70m 的两地同时相向运动.甲第1分钟走2m ，以后每分钟比前1分钟多走1m ，乙每分钟走5m .(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？15．在数列{a n }中，若a 1，a 2是正整数，且a n ＝|a n －1－a n －2|，n ＝3，4，5，…则称{a n }为“绝对差数列”.(1)举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)； (2)若“绝对差数列”{a n }中，a 1＝3，a 2＝0，试求出通项a n ； (3)*证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.测试八 数列全章综合练习Ⅰ 基础训练题一、选择题1．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＝4，a 3＋a 4＝12，那么a 5＋a 6等于( ) (A)16 (B)20 (C)24 (D)36 2．在50和350间所有末位数是1的整数和( ) (A)5880 (B)5539 (C)5208 (D)48773．若a ，b ，c 成等比数列，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)不能确定 4．在等差数列{a n }中，如果前5项的和为S 5＝20，那么a 3等于( ) (A)－2 (B)2 (C)－4 (D)45．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2007＋a 2008＞0，a 2007·a 2008＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( ) (A)4012 (B)4013 (C)4014 (D)4015 二、填空题6．已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝________.7．等差数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列前20项和S 20＝________. 8．数列{a n }的前n 项和记为S n ，若S n ＝n 2－3n ＋1，则a n ＝________.9．等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则1074963a a a a a a ++++＝________.10．设数列{a n }是首项为1的正数数列，且(n ＋1)a 21+n －na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，则它的通项公式a n ＝________. 三、解答题11．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 7－a 10＝8，a 11－a 4＝4，求S 13.12．已知数列{a n }中，a 1＝1，点(a n ，a n ＋1＋1)(n ∈N *)在函数f (x )＝2x ＋1的图象上.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)设c n ＝S n ，求数列{c n }的前n 项和T n .13．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足条件S n ＝3a n ＋2.(1)求证：数列{a n }成等比数列； (2)求通项公式a n .14．某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元. (1)写出该渔船前四年每年所需的费用(不包括购买费用)；(2)该渔船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用为正值)？ (3)若当盈利总额达到最大值时，渔船以8万元卖出，那么该船为渔业公司带来的收益是多少万元？Ⅱ 拓展训练题15．已知函数f (x )＝412-x (x ＜－2)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f (－11+n a )(n ∈N *).(1)求a n ；(2)设b n ＝a 21+n ＋a 22+n ＋…＋a 212+n ，是否存在最小正整数m ，使对任意n ∈N *有b n ＜25m成立？若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由.16．已知f 是直角坐标系平面xOy 到自身的一个映射，点P 在映射f 下的象为点Q ，记作Q ＝f (P ).设P 1(x 1，y 1)，P 2＝f (P 1)，P 3＝f (P 2)，…，P n ＝f (P n －1)，….如果存在一个圆，使所有的点P n (x n ，y n )(n ∈N *)都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点P n (x n ，y n )的一个收敛圆.特别地，当P 1＝f (P 1)时，则称点P 1为映射f 下的不动点.若点P (x ，y )在映射f 下的象为点Q (－x ＋1，21y ). (1)求映射f 下不动点的坐标；(2)若P 1的坐标为(2，2)，求证：点P n (x n ，y n )(n ∈N *)存在一个半径为2的收敛圆.第三章 不等式测试九 不等式的概念与性质Ⅰ 学习目标1．了解日常生活中的不等关系和不等式(组)的实际背景，掌握用作差的方法比较两个代数式的大小. 2．理解不等式的基本性质及其证明.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．设a ，b ，c ∈R ，则下列命题为真命题的是( ) (A)a ＞b ⇒a －c ＞b －c (B)a ＞b ⇒ac ＞bc (C)a ＞b ⇒a 2＞b 2 (D)a ＞b ⇒ac 2＞bc 2 2．若－1＜α＜β＜1，则α－β 的取值范围是( ) (A)(－2，2) (B)(－2，－1) (C)(－1，0) (D)(－2，0) 3．设a ＞2，b ＞2，则ab 与a ＋b 的大小关系是( ) (A)ab ＞a ＋b (B)ab ＜a ＋b (C)ab ＝a ＋b (D)不能确定4．使不等式a ＞b 和ba 11>同时成立的条件是( ) (A)a ＞b ＞0 (B)a ＞0＞b (C)b ＞a ＞0 (D)b ＞0＞a 5．设1＜x ＜10，则下列不等关系正确的是( ) (A)lg 2x ＞lg x 2＞lg(lg x ) (B)lg 2x ＞lg(lg x )＞lg x 2 (C)lg x 2＞lg 2x ＞1g (lg x ) (D)lg x 2＞lg(lg x )＞lg 2x 二、填空题6．已知a ＜b ＜0，c ＜0，在下列空白处填上适当不等号或等号： (1)(a －2)c ________(b －2)c ； (2)a c ________bc； (3)b －a ________|a |－|b |. 7．已知a ＜0，－1＜b ＜0，那么a 、ab 、ab 2按从小到大排列为________. 8．已知60＜a ＜84，28＜b ＜33，则a －b 的取值范围是________；ba的取值范围是________. 9．已知a ，b ，c ∈R ，给出四个论断：①a ＞b ；②ac 2＞bc 2；③cbc a >；④a －c ＞b －c .以其中一个论断作条件，另一个论断作结论，写出你认为正确的两个命题是________⇒________；________⇒________.(在“⇒”的两侧填上论断序号).10．设a ＞0，0＜b ＜1，则P ＝23+a b 与)2)(1(++=a a bQ 的大小关系是________.三、解答题11．若a ＞b ＞0，m ＞0，判断a b 与ma mb ++的大小关系并加以证明.12．设a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，b a q a b ba p +=+=,22.证明：p ＞q .注：解题时可参考公式x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2).Ⅲ 拓展训练题13．已知a ＞0，且a ≠1，设M ＝log a (a 3－a ＋1)，N ＝log a (a 2－a ＋1).求证：M ＞N .14．在等比数列{a n }和等差数列{b n }中,a 1＝b 1＞0，a 3＝b 3＞0，a 1≠a 3，试比较a 5和b 5的大小.测试十 均值不等式Ⅰ 学习目标1．了解基本不等式的证明过程.2．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，则ab ( )(A)有最小值41 (B)有最小值21 (C)有最大值41 (D)有最大值21 2．若a ＞0，b ＞0，且a ≠b ，则( ) (A)2222b a ab ba +<<+ (B)2222b a ba ab +<+< (C)2222ba b a ab +<+<(D)2222ba ab b a +<<+ 3．若矩形的面积为a 2(a ＞0)，则其周长的最小值为( )(A)a (B)2a (C)3a(D)4a4．设a ，b ∈R ，且2a ＋b －2＝0，则4a ＋2b 的最小值是( ) (A)22(B)4(C)24(D)85．如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( ) (A)ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一 (B)ab ≥c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值唯一 (C)ab ≤c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一 (D)ab ≥c ＋d ，且等号成立时a ，b ，c ，d 的取值不唯一 二、填空题6．若x ＞0，则变量xx 9+的最小值是________；取到最小值时，x ＝________. 7．函数y ＝142+x x(x ＞0)的最大值是________；取到最大值时，x ＝________. 8．已知a ＜0，则316-+a a 的最大值是________. 9．函数f (x )＝2log 2(x ＋2)－log 2x 的最小值是________.10．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝3，且a ，b ，c 成等比数列，则b 的取值范围是________. 三、解答题 11．四个互不相等的正数a ，b ，c ，d 成等比数列，判断2da +和bc 的大小关系并加以证明. 12．已知a ＞0，a ≠1，t ＞0，试比较21log a t 与21log +t a 的大小.Ⅲ 拓展训练题13．若正数x ，y 满足x ＋y ＝1，且不等式a y x ≤+恒成立，求a 的取值范围. 14．(1)用函数单调性的定义讨论函数f (x )＝x ＋xa(a ＞0)在(0，＋∞)上的单调性； (2)设函数f (x )＝x ＋xa(a ＞0)在(0，2]上的最小值为g (a )，求g (a )的解析式. 测试十一 一元二次不等式及其解法Ⅰ 学习目标1．通过函数图象理解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 2．会解简单的一元二次不等式.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．不等式5x ＋4＞－x 2的解集是( ) (A){x |x ＞－1，或x ＜－4} (B){x |－4＜x ＜－1} (C){x |x ＞4，或x ＜1}(D){x |1＜x ＜4}2．不等式－x 2＋x －2＞0的解集是( ) (A){x |x ＞1，或x ＜－2}(B){x |－2＜x ＜1} (C)R(D)∅3．不等式x 2＞a 2(a ＜0)的解集为( ) (A){x |x ＞±a }(B){x |－a ＜x ＜a } (C){x |x ＞－a ，或x ＜a }(D){x |x ＞a ，或x ＜－a } 4．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为}231|{<<-x x ，则不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集是( )(A){x |－3＜x ＜21} (B){x |x ＜－3，或x ＞21} (C){x －2＜x ＜31}(D){x |x ＜－2，或x ＞31}5．若函数y ＝px 2－px －1(p ∈R )的图象永远在x 轴的下方，则p 的取值范围是( ) (A)(－∞，0) (B)(－4，0] (C)(－∞，－4) (D)[－4，0) 二、填空题6．不等式x 2＋x －12＜0的解集是________.7．不等式05213≤+-x x 的解集是________. 8．不等式|x 2－1|＜1的解集是________. 9．不等式0＜x 2－3x ＜4的解集是________. 10．已知关于x 的不等式x 2－(a ＋a 1)x ＋1＜0的解集为非空集合｛x |a ＜x ＜a1}，则实数a 的取值范围是________.三、解答题11．求不等式x 2－2ax －3a 2＜0(a ∈R )的解集.12．k 在什么范围内取值时，方程组⎩⎨⎧=+-=-+0430222k y x x y x 有两组不同的实数解？Ⅲ 拓展训练题13．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6＜0}，B ＝{x |x 2＋2x －8＞0}，C ＝{x |x 2－4ax ＋3a 2＜0}.(1)求实数a 的取值范围，使C ⊇(A ∩B )；(2)求实数a 的取值范围，使C ⊇(U A )∩(U B ).14．设a ∈R ，解关于x 的不等式ax 2－2x ＋1＜0.测试十二 不等式的实际应用Ⅰ 学习目标会使用不等式的相关知识解决简单的实际应用问题.Ⅱ 基础训练题一、选择题 1．函数241xy -=的定义域是( )(A){x |－2＜x ＜2}(B){x |－2≤x ≤2} (C){x |x ＞2，或x ＜－2}(D){x |x ≥2，或x ≤－2}2．某村办服装厂生产某种风衣，月销售量x (件)与售价p (元/件)的关系为p ＝300－2x ，生产x 件的成本r ＝500＋30x (元)，为使月获利不少于8600元，则月产量x 满足( ) (A)55≤x ≤60 (B)60≤x ≤65 (C)65≤x ≤70 (D)70≤x ≤753．国家为了加强对烟酒生产管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元征税r 元，则每年产销量减少10r 万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，那么r 的取值范围为( ) (A)2≤r ≤10 (B)8≤r ≤10 (C)2≤r ≤8 (D)0≤r ≤84．若关于x 的不等式(1＋k 2)x ≤k 4＋4的解集是M ，则对任意实常数k ，总有( ) (A)2∈M ，0∈M (B)2∉M ，0∉M (C)2∈M ，0∉M (D)2∉M ，0∈M 二、填空题5．已知矩形的周长为36cm ，则其面积的最大值为________.6．不等式2x 2＋ax ＋2＞0的解集是R ，则实数a 的取值范围是________. 7．已知函数f (x )＝x |x －2|，则不等式f (x )＜3的解集为________.8．若不等式|x ＋1|≥kx 对任意x ∈R 均成立，则k 的取值范围是________. 三、解答题9．若直角三角形的周长为2，求它的面积的最大值，并判断此时三角形形状.10．汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个主要因素，在一个限速为40km/h 的弯道上，甲乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相撞了，事后现场测得甲车刹车的距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m .已知甲乙两种车型的刹车距离s (km)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2．问交通事故的主要责任方是谁？Ⅲ 拓展训练题11．当x ∈[－1，3]时，不等式－x 2＋2x ＋a ＞0恒成立，求实数a 的取值范围.12．某大学印一份招生广告，所用纸张(矩形)的左右两边留有宽为4cm 的空白，上下留有都为6cm 的空白，中间排版面积为2400cm 2.如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最小？测试十三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题Ⅰ 学习目标1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.2．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.Ⅱ 基础训练题一、选择题1．已知点A (2，0)，B (－1，3)及直线l ：x －2y ＝0，那么( ) (A)A ，B 都在l 上方 (B)A ，B 都在l 下方 (C)A 在l 上方，B 在l 下方 (D)A 在l 下方，B 在l 上方 2．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥2,0,0y x y x 所表示的平面区域的面积为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)43．三条直线y ＝x ，y ＝－x ，y ＝2围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是( )(A)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≥.2,,y x y x y(B)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≤.2,,y x y x y(C)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤.2,,y x y x y(D)⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥.2,,y x y x y4．若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-,3,0,05x y x y x 则z ＝2x ＋4y 的最小值是( )(A)－6 (B)－10 (C)5 (D)105．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元，70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( ) (A)5种 (B)6种 (C)7种 (D)8种 二、填空题6．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧<>00y x 所表示的平面区域内的点位于第________象限.7．若不等式|2x ＋y ＋m |＜3表示的平面区域包含原点和点(－1，1)，则m 的取值范围是________. 8．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤,033,3,1y x y x 那么z ＝x －y 的取值范围是________.9．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤,022,2,1y x y x 那么x y 的取值范围是________.10．方程|x |＋|y |≤1所确定的曲线围成封闭图形的面积是________. 三、解答题11．画出下列不等式(组)表示的平面区域：(1)3x ＋2y ＋6＞0 (2)⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≥≤.01,2,1y x y x12．某实验室需购某种化工原料106kg ，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35kg ，价格为140元；另一种是每袋24kg ，价格为120元.在满足需要的前提下，最少需要花费多少元？Ⅲ 拓展训练题13．商店现有75公斤奶糖和120公斤硬糖，准备混合在一起装成每袋1公斤出售，有两种混合办法：第一种每袋装250克奶糖和750克硬糖，每袋可盈利0.5元；第二种每袋装500克奶糖和500克硬糖，每袋可盈利0.9元.问每一种应装多少袋，使所获利润最大？最大利润是多少？14．甲、乙两个粮库要向A ，B 两镇运送大米，已知甲库可调出100吨，乙库可调出80吨，而A 镇需大米70吨，B 镇需大米110吨，两个粮库到两镇的路程和运费如下表：(2)最不合理的调运方案是什么？它给国家造成不该有的损失是多少？测试十四 不等式全章综合练习Ⅰ基础训练题一、选择题1．设a ，b ，c ∈R ，a ＞b ，则下列不等式中一定正确的是( ) (A)ac 2＞bc 2(B)ba 11< (C)a －c ＞b －c (D)|a |＞|b |2．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+2,042,04y y x y x 表示的平面区域的面积是( )(A)23 (B)3 (C)4 (D)6 3．某房地产公司要在一块圆形的土地上，设计一个矩形的停车场.若圆的半径为10m ，则这个矩形的面积最大值是( ) (A)50m 2 (B)100m 2 (C)200m 2 (D)250m 2 4．设函数f (x )＝222x x x +-，若对x ＞0恒有xf (x )＋a ＞0成立，则实数a 的取值范围是( )(A)a ＜1－22(B)a ＜22－1(C)a ＞22－1(D)a ＞1－22 5．设a ，b ∈R ，且b (a ＋b ＋1)＜0，b (a ＋b －1)＜0，则( ) (A)a ＞1 (B)a ＜－1 (C)－1＜a ＜1 (D)|a |＞1二、填空题6．已知1＜a ＜3，2＜b ＜4，那么2a －b 的取值范围是________，ba的取值范围是________. 7．若不等式x 2－ax －b ＜0的解集为{x |2＜x ＜3}，则a ＋b ＝________.8．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________. 9．若函数f (x )＝1222--⋅+aax x的定义域为R ，则a 的取值范围为________.10．三个同学对问题“关于x 的不等式x 2＋25＋|x 3－5x 2|≥ax 在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路. 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值.” 乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值.” 丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图象.”参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是________. 三、解答题11．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x | |x －1|＜6}，B ＝{x |128--x x ＞0}. (1)求A ∩B ； (2)求(U A )∪B .12．某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克.今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大？Ⅱ 拓展训练题13．已知数集A ＝{a 1，a 2，…，a n }(1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n ≥2)具有性质P ：对任意的i ，j (1≤i ≤j ≤n )，a i a j 与ij a a 两数中至少有一个属于A .(1)分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P ，并说明理由； (2)证明：a 1＝1，且n nna a a a a a a =++++++---1121121ΛΛ.测试十五 必修5模块自我检测题一、选择题1．函数42-=x y 的定义域是( )(A)(－2，2) (B)(－∞，－2)∪(2，＋∞) (C)[－2，2] (D)(－∞，－2]∪[2，＋∞) 2．设a ＞b ＞0，则下列不等式中一定成立的是( ) (A)a －b ＜0 (B)0＜ba＜1 (C)ab ＜2ba +(D)ab ＞a ＋b3．设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥≤0,0,1y x y x 所表示的平面区域是W ，则下列各点中，在区域W 内的点是( )(A))31,21((B))31,21(-(C))31,21(-- (D))31,21(-4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列不等式中一定成立的是( ) (A)a 1＋a 3＞0 (B)a 1a 3＞0 (C)S 1＋S 3＜0 (D)S 1S 3＜0 5．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于( ) (A)1∶3∶2(B)1∶2∶3(C)2∶3∶1(D)3∶2∶16．已知等差数列{a n }的前20项和S 20＝340，则a 6＋a 9＋a 11＋a 16等于( ) (A)31 (B)34 (C)68 (D)70 7．已知正数x 、y 满足x ＋y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值是( ) (A)－4 (B)4 (C)－2 (D)28．如图，在限速为90km/h 的公路AB 旁有一测速站P ，已知点P 距测速区起点A 的距离为0.08 km ，距测速区终点B 的距离为0.05 km ，且∠APB ＝60°.现测得某辆汽车从A 点行驶到B 点所用的时间为3s ，则此车的速度介于( )(A)60～70km/h (B)70～80km/h (C)80～90km/h (D)90～100km/h 二、填空题9．不等式x (x －1)＜2的解集为________.10．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 成等差数列，则cos(A ＋C )的值为________. 11．已知{a n }是公差为－2的等差数列，其前5项的和S 5＝0，那么a 1等于________. 12．在△ABC 中，BC ＝1，角C ＝120°，cos A ＝32，则AB ＝________. 13．在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-+≥≥030420,0y x y x y x ，所表示的平面区域的面积是________；变量z ＝x＋3y 的最大值是________.14．如图，n 2(n ≥4)个正数排成n 行n 列方阵，符号a ij (1≤i ≤n ，1≤j ≤n ，i ，j ∈N )表示位于第i 行第j列的正数.已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都等于q .若a 11＝21，a 24＝1，a 32＝41，则q ＝________；a ij ＝________.三、解答题15．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋6.(1)当a ＝5时，解不等式f (x )＜0；(2)若不等式f (x )＞0的解集为R ，求实数a 的取值范围.16．已知{a n }是等差数列，a 2＝5，a 5＝14.(1)求{a n }的通项公式；(2)设{a n }的前n 项和S n ＝155，求n 的值.17．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，A ，B 是锐角，c ＝10，且34cos cos ==a b B A . (1)证明角C ＝90°； (2)求△ABC 的面积.18．某厂生产甲、乙两种产品，生产这两种产品每吨所需要的煤、电以及每吨产品的产值如下表所示.用煤(吨)用电(千瓦)产值(万元)甲种产品 7 2 8 乙种产品351119．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos A ＝31.(1)求A CB 2cos 2sin 2++的值； (2)若a ＝3，求bc 的最大值.20．数列{a n }的前n 项和是S n ，a 1＝5，且a n ＝S n －1(n ＝2，3，4，…).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：⋅<++++531111321n a a a a Λ参考答案第一章 解三角形测试一 正弦定理和余弦定理一、选择题1．B 2．C 3．B 4．D 5．B 提示：4．由正弦定理，得sin C ＝23，所以C ＝60°或C ＝120°， 当C ＝60°时，∵B ＝30°，∴A ＝90°，△ABC 是直角三角形； 当C ＝120°时，∵B ＝30°，∴A ＝30°，△ABC 是等腰三角形. 5．因为A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，所以A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°，由正弦定理CcB b A a sin sin sin ==＝k ， 得a ＝k ·sin30°＝21k ，b ＝k ·sin60°＝23k ，c ＝k ·sin90°＝k ，所以a ∶b ∶c ＝1∶3∶2. 二、填空题6．362 7．30° 8．等腰三角形 9．2373+ 10．425 提示：8．∵A ＋B ＋C ＝π，∴－cos A ＝cos(B ＋C ).∴2cos B cos C ＝1－cos A ＝cos(B ＋C )＋1， ∴2cos B cos C ＝cos B cos C －sin B sin C ＋1，∴cos(B －C )＝1，∴B －C ＝0，即B ＝C . 9．利用余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 10．由tan A ＝2，得52sin =A ，根据正弦定理，得ABC B AC sin sin =，得AC ＝425. 三、解答题11．c ＝23，A ＝30°，B ＝90°. 12．(1)60°；(2)AD ＝7. 13．如右图，由两点间距离公式，得OA ＝29)02()05(22=-+-，同理得232,145==AB OB .由余弦定理，得cos A ＝222222=⨯⨯-+AB OA OB AB OA ， ∴A ＝45°.14．(1)因为2cos(A ＋B )＝1，所以A ＋B ＝60°，故C ＝120°.(2)由题意，得a ＋b ＝23，ab ＝2，又AB 2＝c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab －2ab cos C＝12－4－4×(21-)＝10. 所以AB ＝10. (3)S △ABC ＝21ab sin C ＝21·2·23＝23.测试二 解三角形全章综合练习1．B 2．C 3．D 4．C 5．B 提示：5．化简(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，得b 2＋c 2－a 2＝bc ， 由余弦定理，得cos A ＝212222=-+bc a c b ，所以∠A ＝60°.因为sin A ＝2sin B cos C ，A ＋B ＋C ＝180°， 所以sin(B ＋C )＝2sin B cos C ，即sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B cos C . 所以sin(B －C )＝0，故B ＝C . 故△ABC 是正三角形. 二、填空题6．30° 7．120° 8．524 9．55 10．3三、解答题11．(1)由余弦定理，得c ＝13；(2)由正弦定理，得sin B ＝13392. 12．(1)由a ·b ＝|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉，得〈a ，b 〉＝60°；(2)由向量减法几何意义，知|a |，|b |，|a －b |可以组成三角形，所以|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2|a |·|b |·cos 〈a ，b 〉＝7，故|a －b |＝7.13．(1)如右图，由两点间距离公式，得29)02()05(22=-+-=OA ， 同理得232,145==AB OB . 由余弦定理，得,222cos 222=⨯⨯-+=AB OA OB AB OA A所以A ＝45°.故BD ＝AB ×sin A ＝229.(2)S △OAB ＝21·OA ·BD ＝21·29·229＝29. 14．由正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===，得C Rc B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===. 因为sin 2A ＋sin 2B ＞sin 2C ，所以222)2()2()2(R cR b R a >+， 即a 2＋b 2＞c 2. 所以cos C ＝abc b a 2222-+＞0， 由C ∈(0，π)，得角C 为锐角.15．(1)设t 小时后甲、乙分别到达P 、Q 点，如图，则|AP |＝4t ，|BQ |＝4t ，因为|OA |＝3，所以t ＝43h 时，P 与O 重合. 故当t ∈[0，43]时， |PQ |2＝(3－4t )2＋(1＋4t )2－2×(3－4t )×(1＋4t )×cos60°； 当t ＞43h 时，|PQ |2＝(4t －3)2＋(1＋4t )2－2×(4t －3)×(1＋4t )×cos120°. 故得|PQ |＝724482+-t t (t ≥0). (2)当t ＝h 4148224=⨯--时，两人距离最近，最近距离为2km . 16．(1)由正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===， 得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sinC . 所以等式c a b C B +-=2cos cos 可化为CR A R BR C B sin 2sin 22sin 2cos cos +⋅-=， 即CA BC B sin sin 2sin cos cos +-=， 2sin A cos B ＋sin C cos B ＝－cos C ·sin B ，故2sin A cos B ＝－cos C sin B －sin C cos B ＝－sin(B ＋C )， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin A ＝sin(B ＋C )， 故cos B ＝－21， 所以B ＝120°.(2)由余弦定理，得b 2＝13＝a 2＋c 2－2ac ×cos120°， 即a 2＋c 2＋ac ＝13 又a ＋c ＝4，解得⎩⎨⎧==31c a ，或⎩⎨⎧==13c a .所以S △ABC ＝21ac sin B ＝21×1×3×23＝433.第二章 数列测试三 数列一、选择题1．C 2．B 3．C 4．C 5．B 二、填空题6．(1)12+=n a n (或其他符合要求的答案) (2)2)1(1n n a -+=(或其他符合要求的答案)7．(1)2625,1716,109,54,21 (2)7 8．67 9．151 10．4提示：9．注意a n 的分母是1＋2＋3＋4＋5＝15.10．将数列{a n }的通项a n 看成函数f (n )＝2n 2－15n ＋3，利用二次函数图象可得答案. 三、解答题11．(1)数列{a n }的前6项依次是11，8，5，2，－1，－4；(2)证明：∵n ≥5，∴－3n ＜－15，∴14－3n ＜－1， 故当n ≥5时，a n ＝14－3n ＜0.12．(1)31,313,31092421102-+=++==+n n a n n a a n n ； (2)7932是该数列的第15项. 13．(1)因为a n ＝n －n1，所以a 1＝0，a 2＝23，a 3＝38，a 4＝415；(2)因为a n ＋1－a n ＝[(n ＋1)11+-n ]－(n －n1)＝1＋)1(1+n n又因为n ∈N ＋，所以a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n .所以数列{a n }是递增数列.测试四 等差数列一、选择题1．B 2．D 3．A 4．B 5．B 二、填空题6．a 4 7．13 8．6 9．6n －1 10．35 提示：10．方法一：求出前10项，再求和即可；方法二：当n 为奇数时，由题意，得a n ＋2－a n ＝0，所以a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 2m －1＝1(m ∈N *).当n 为偶数时，由题意，得a n ＋2－a n ＝2，即a 4－a 2＝a 6－a 4＝…＝a 2m ＋2－a 2m ＝2(m ∈N *). 所以数列{a 2m }是等差数列.故S 10＝5a 1＋5a 2＋2)15(5-⨯×2＝35. 三、解答题。
数学必修五测试题及答案
数学必修五测试题及答案# 数学必修五测试题及答案## 一、选择题（每题3分，共15分）1. 已知函数\( f(x) = 3x^2 - 4x + 5 \)，求\( f(2) \)的值。
- A. 9- B. 11- C. 13- D. 152. 若\( \sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \)，求\( \tan \alpha \)的值。
- A. 1- B. -1- C. 0- D. \( \sqrt{2} \)3. 已知等差数列的首项\( a_1 = 3 \)，公差\( d = 2 \)，求第10项\( a_{10} \)。
- A. 23- B. 25- C. 27- D. 294. 圆的方程为\( (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9 \)，求圆心到直线\( x + y - 4 = 0 \)的距离。
- A. 1- B. 2- C. 3- D. 45. 函数\( y = \log_{10}(x) \)的导数是：- A. \( \frac{1}{x} \)- B. \( \frac{1}{10x} \)- C. \( \frac{10}{x} \)- D. \( \frac{10}{\ln 10} \)## 二、填空题（每题4分，共20分）6. 已知\( \cos \theta = \frac{5}{13} \)，且\( \theta \)在第二象限，求\( \sin \theta \)的值。
__________。
7. 若\( a_n = 2n - 1 \)，求前\( n \)项和\( S_n \)。
__________。
8. 已知\( \int_{0}^{1} x^2 dx \)，求该定积分的值。
__________。
9. 若\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，求\( \lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \)的值。
高中数学必修五第三章《不等式》单元测试题含答案
高中数学必修五第三章单元测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出以下四个命题：①若a >b ，则1a <1b； ②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a >|b |，则a >b ； ④若a >b ，则a 2>b 2. 其中正确的是( )A ．②④B ．②③C ．①②D ．①③2．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 2<0 C ．b ＋a >0D ．a 2－b 2<03．设集合U ＝R ，集合M ＝{x |x >1}，P ＝{x |x 2>1}，则下列关系中正确的是( )A ．M ＝PB ．PMC ．MP D ．∁U M ∩P ＝∅4．设集合A ＝{x |x >3}，B ＝{x |x －1x －4<0}，则A ∩B ＝( )A ．∅B ．(3,4)C ．(－2,1)D ．(4，＋∞)5．在下列函数中，最小值是2的是( )A ．y ＝x 2＋2xB ．y ＝x ＋2x ＋1(x >0)C ．y ＝sin x ＋csc x ，x ∈(0，π2)D ．y ＝7x ＋7－x6．已知log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(12，1)C ．(0，12)D ．(1，＋∞)7．已知点P (x ，y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0表示的平面区域内运动，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－2，－1]B ．[－2,1]C ．[－1,2]D ．[1,2]8．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)<0表示的区域为( )9．f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上满足f (x )<0，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．(－∞，－4) C ．(－4,0)D ．(－4,0]10．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1≤0，x ＋y ＋2≥0，y ≥0组成的平面区域的面积为( )A ．2B ．1C．4 D.1 211．函数y＝3x2＋6x2＋1的最小值是( )A．32－3 B．－3 C．6 2 D．62－312．设a>0，b>0.若3是3a与3b的等比中项，则1a＋1b的最小值为( )A．8 B．4C．1 D.1 4二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．点(－2，t)在直线2x－3y＋6＝0的上方，则t的取值范围是________．14．函数y＝13－2x－x2的定义域是________．15．如下图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分)，上下空白各2 dm，左右空白各1 dm，则四周空白部分面积的最小值是________dm2.16．已知当x >0时，不等式x 2－mx ＋4>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}． (1)若AB ，求a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求a 的取值范围．18．(12分)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值．19．(12分)已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .20．(12分)某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，若A厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车．今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工时最少？21．(12分)经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为y＝144v(v>0)．v2－58v＋1 225(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(2)若要求在该时段内车流量超过9千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？22．(12分)甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f(x)和g(x)，当甲公司投入x万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g(x)万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险．(1)试解释f(0)＝10，g(0)＝20的实际意义；(2)设f (x )＝14x ＋10，g (x )＝x ＋20，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？高中数学必修五第三章单元测试题《不等式》参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．给出以下四个命题：①若a >b ，则1a <1b； ②若ac 2>bc 2，则a >b ；③若a >|b |，则a >b ； ④若a >b ，则a 2>b 2. 其中正确的是( )A ．②④B ．②③C ．①②D ．①③答案 B2．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( ) A ．b －a >0 B ．a 3＋b 2<0 C ．b ＋a >0 D ．a 2－b 2<0 答案 C解析 由a －|b |>0⇒|b |<a ⇒－a <b <a ⇒a ＋b >0，故选C.3．设集合U ＝R ，集合M ＝{x |x >1}，P ＝{x |x 2>1}，则下列关系中正确的是( )A ．M ＝PB ．P MC ．MP D ．∁U M ∩P ＝∅答案 C4．设集合A ＝{x |x >3}，B ＝{x |x －1x －4<0}，则A ∩B ＝( )A ．∅B ．(3,4)C ．(－2,1)D ．(4，＋∞)答案 B解析 ∵x －1x －4<0⇔(x －1)(x －4)<0，∴1<x <4，即B ＝{x |1<x <4}，∴A ∩B ＝(3,4)，故选B.5．在下列函数中，最小值是2的是( )A ．y ＝x 2＋2xB ．y ＝x ＋2x ＋1(x >0) C ．y ＝sin x ＋csc x ，x ∈(0，π2)D ．y ＝7x ＋7－x 答案 D解析 y ＝x 2＋2x 的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)；y ＝x ＋2x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1>2(x >0)；y ＝sin x ＋csc x ＝sin x ＋1sin x>2(0<sin x <1)；y ＝7x ＋7－x ≥2(当且仅当x ＝0时取等号)．6．已知log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(12，1)C ．(0，12)D ．(1，＋∞)答案 B7．已知点P (x ，y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －2≥0表示的平面区域内运动，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－2，－1]B ．[－2,1]C ．[－1,2]D ．[1,2]答案 C解析 画可行域如图：当直线y ＝x －z 过A 点时，z min ＝－1. 当直线y ＝x －z 过B 点时，z max ＝2. ∴z ∈[－1,2]．8．不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)<0表示的区域为( )答案 C9．f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上满足f (x )<0，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．(－∞，－4) C ．(－4,0) D ．(－4,0]答案 D10．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1≤0，x ＋y ＋2≥0，y ≥0组成的平面区域的面积为( )A ．2B ．1C ．4D.12答案 D 11．函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是( ) A ．32－3B ．－3C ．6 2D ．62－3答案 D 12．设a >0，b >0.若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( ) A ．8B ．4C ．1D.14 答案 B解析 3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3a ＋b ＝3⇒a ＋b ＝1，∵a >0，b >0，∴ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14. ∴1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114＝4. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上)13．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．答案 (23，＋∞) 14．函数y ＝13－2x －x2的定义域是________． 答案 {x |－3<x <1}15．如下图，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm 2(图中阴影部分)，上下空白各2 dm ，左右空白各1 dm ，则四周空白部分面积的最小值是________dm 2.答案 56解析 设阴影部分的高为x dm ，宽为72xdm ，则四周空白部分面积是y dm 2，由题意，得y ＝(x ＋4)(72x ＋2)－72＝8＋2(x ＋144x )≥8＋2×2x ×144x ＝56.16．已知当x >0时，不等式x 2－mx ＋4>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．答案 (－∞，4)解析 由题意得当x >0时，恒有m <x ＋4x 成立．设f (x )＝x ＋4x，x >0，则有f (x )＝x ＋4x ≥2x ×4x ＝4，当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时，等号成立．所以f (x )＝x ＋4x ，x >0的最小值是4.所以实数m 的取值范围是(－∞，4)．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}．(1)若A B ，求a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求a 的取值范围．答案 (1)(2，＋∞) (2)[1,2]18．(12分)已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值． 答案 16解析 由于x >0，y >0，1x ＋9y＝1， 所以x ＋y ＝(x ＋y )(1x ＋9y )＝y x ＋9x y＋10 ≥2y x ·9x y ＋10＝16. 当且仅当y x ＝9x y 时，等号成立，又由于1x ＋9y＝1. 所以当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.19．(12分)已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1.求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .证明 ∵a 、b 、c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝1，∴1－a ＝b ＋c ≥2bc >0，1－b ＝a ＋c ≥2ac >0，1－c ＝a ＋b ≥2ab >0.∴(1－a )(1－b )(1－c )≥2bc ·2ac ·2ab ＝8abc .∴原不等式成立．20．(12分)某汽车公司有两家装配厂，生产甲、乙两种不同型号的汽车，若A 厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车；B 厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车．今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车，问这两家工厂各工作几小时，才能使所费的总工时最少？解析 设A 厂工作x 小时，B 厂工作y 小时，总工作时数为t 小时，则目标函数t ＝x ＋y ，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ≥40，2x ＋y ≥20，x ≥0，y ≥0.可行域如图所示，而符合题意的解为此内的整点，于是问题变为要在此可行域内，找出整点(x ，y )，使t ＝x ＋y 的值最小．由图知当直线l ：y ＝－x ＋t 过Q 点时，纵截距t 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝40，2x ＋y ＝20，得Q (4,12)．答：A 厂工作4小时，B 厂工作12小时，可使所费的总工时最少．21．(12分)经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/时)之间的函数关系为y ＝144v v 2－58v ＋1 225(v >0)． (1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(2)若要求在该时段内车流量超过9千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？思路分析 (1)利用基本不等式求最大车流量，(2)转化为解不等式．解析 (1)依题意，有y ＝144v ＋1 225v－58≤1442 1 225－58＝12， 当且仅当v ＝1 225v，即v ＝35时等号成立， ∴y max ＝12，即当汽车的平均速度v 为35千米/时，车流量最大为12.(2)由题意，得y ＝144v v 2－58v ＋1225>9. ∵v 2－58v ＋1225＝(v －29)2＋384>0，∴144v >9(v 2－58v ＋1225)．∴v 2－74v ＋1225<0.解得25<v <49.即汽车的平均速度应在(25,49)内．22．(12分)甲、乙两公司同时开发同一种新产品，经测算，对于函数f (x )和g (x )，当甲公司投入x 万元作宣传时，若乙公司投入的宣传费小于f (x )万元，则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险；当乙公司投入x 万元作宣传时，若甲公司投入的宣传费小于g (x )万元，则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险，否则没有失败的风险．(1)试解释f (0)＝10，g (0)＝20的实际意义；(2)设f (x )＝14x ＋10，g (x )＝x ＋20，甲、乙公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用，问甲、乙两公司应投入多少宣传费？解析 (1)f (0)＝10表示当甲公司不投入宣传费时，乙公司要避免新产品的开发有失败风险，至少要投入10万元宣传费；g (0)＝20表示当乙公司不投入宣传费时，甲公司要避免新产品的开发有失败的风险，至少要投入20万元宣传费．(2)设甲公司投入宣传费x 万元，乙公司投入宣传费y 万元，依题意，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥f x ＝14x ＋10， ①x ≥g y ＝y ＋20， ②成立，双方均无失败的风险．由①②得y ≥14(y ＋20)＋10⇒4y －y －60≥0， ∴(y －4)(4y ＋15)≥0.∵4y ＋15>0，∴y ≥4.∴y ≥16.∴x ≥y ＋20≥4＋20＝24.∴x min ＝24，y min ＝16.即要使双方均无失败风险，甲公司至少要投入24万元，乙公司至少要投入16万元．。
高考数学理一轮总复习 必修部分开卷速查31 数列求和(含解析)新人教A版-新人教A版高三必修数学试题
开卷速查(三十一) 数列求和A 级 基础巩固练1．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n n ＋1，则S 6等于( )A.142B.45C.56D.67解析：因为a n ＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1，所以S 6＝1－12＋12－13＋…＋16－17＝1－17＝67. 答案：D2．已知数列{a n }是等差数列，a 1＝tan225°，a 5＝13a 1，设S n 为数列{(－1)na n }的前n 项和，则S 2 014＝( )A ．2 014 B.－2 014 C ．3 021 D.－3 021 解析：∵a 1＝tan225°＝1， ∴a 5＝13a 1＝13， 则公差d ＝a 5－a 15－1＝13－14＝3，∴a n ＝3n －2.方法一：∵(－1)na n ＝(－1)n(3n －2)，∴S 2 014＝(a 2－a 1)＋(a 4－a 3)＋(a 6－a 5)＋…＋(a 2 012－a 2 011)＋(a 2 014－a 2 013)＝1 007d ＝3 021.方法二：(错位相减)由于(－1)n a n ＝(－1)n(3n －2)，则S 2 014＝1×(－1)1＋4×(－1)2＋7×(－1)3＋…＋6 037×(－1)2 013＋6 040×(－1)2 014，①①式两边分别乘以－1，得(－1)×S 2 014＝1×(－1)2＋4×(－1)3＋7×(－1)4＋…＋6 037×(－1)2 014＋6 040×(－1)2 015，②①－②得2S 2 014＝－1＋3×1－－12 0131－－1－6 040(－1)2 015＝6 042，∴S 2 014＝3 021.答案：C3．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1－a n ＝sin n ＋1π2，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 016＝( )A ．1 006 B.1 007 C ．1 008 D.1 009解析：由题意，得a n ＋1＝a n ＋sinn ＋1π2，所以a 2＝a 1＋sinπ＝1，a 3＝a 2＋sin 3π2＝0，a 4＝a 3＋sin2π＝0，a 5＝a 4＋sin 5π2＝1，…，因此，数列{a n }是一个以4为周期的周期数列，而2 016＝4×504，所以S 2 016＝504×(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＝1 008，故选C.答案：C4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{1a n a n ＋1}的前100项和为( )A.100101B.99101 C.99100D.101100解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .∵a 5＝5，S 5＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×5－12d ＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n .∴1a n a n ＋1＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1，∴数列{1a n a n ＋1}的前100项和为1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101. 答案：A5．已知等比数列的各项都为正数，且当n ≥3时，a 4a 2n －4＝102n，则数列lg a 1,2lg a 2,22lg a 3,23lg a 4，…，2n －1lg a n ，…的前n 项和S n 等于( )A ．n ·2nB.(n －1)·2n －1－1C ．(n －1)·2n＋1 D.2n＋1解析：∵等比数列{a n }的各项都为正数，且当n ≥3时，a 4a 2n －4＝102n，∴a 2n ＝102n，即a n＝10n，∴2n －1lg a n ＝2n －1lg10n ＝n ·2n －1，∴S n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ·2n －1，①2S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n，② ∴①－②得－S n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )·2n－1，∴S n ＝(n －1)·2n＋1. 答案：C6．数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，并且a n ·a n －1a n －1－a n ＝a n ·a n ＋1a n －a n ＋1(n ≥2)，则数列{a n }的第100项为( )A.12100 B.1250 C.1100 D.150解析：∵a n ·a n －1a n －1－a n ＝a n ·a n ＋1a n －a n ＋1(n ≥2)，∴数列{a n －1a na n －1－a n}是常数数列，设a n －1a na n －1－a n＝k ，∴1a n －1a n －1＝1k .∴1k ＝1－12＝12. ∴1a n ＝1a n －1a n －1＋1a n －1－1a n －2＋…＋1a 2－1a 1＋1a 1＝12(n －1)＋12，∴1a 100＝992＋12＝50. ∴a 100＝150.故选D.答案：D7．设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 3＋b 5＝19，a 5＋b 3＝9，则数列{a n b n }的前n 项和S n ＝__________.解析：由条件易求出a n ＝n ，b n ＝2n －1(n ∈N *)．∴S n ＝1×1＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1，①2S n ＝1×2＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n.②由①－②，得－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n，∴S n ＝(n －1)·2n＋1. 答案：(n －1)·2n ＋1 8．在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝2a n a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为__________．解析：∵a n ＝n n ＋12n ＋1＝n2， ∴b n ＝8nn ＋1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴b 1＋b 2＋…＋b n ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝8n n ＋1.答案：8n n ＋19．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n (n ∈N *)，则a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝__________.解析：令n ＝1，得a 1＝4，∴a 1＝16.当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋3(n －1)． 与已知式相减，得a n ＝(n 2＋3n )－(n －1)2－3(n －1)＝2n ＋2.∴a n ＝4(n ＋1)2.∴n ＝1时，a 1适合a n . ∴a n ＝4(n ＋1)2.∴a nn ＋1＝4n ＋4，∴a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1＝n 8＋4n ＋42＝2n 2＋6n .答案：2n 2＋6n10．[2014·大纲全国]等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数，又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0,10＋4d ≤0.解得－103≤d ≤－52.因此d ＝－3.数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝113－3n10－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋…⎦⎥⎤＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －110＝n1010－3n.B 级 能力提升练11．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋1n ＋n n ＋1(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则在数列S 1、S 2、…、S 2 014中，有理数项的项数为( )A ．42B ．43C ．44D ．45 解析：1a n＝(n ＋1)n ＋n n ＋1＝n ＋1n (n ＋1＋n )＝n ＋1n⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－n ， a n ＝n ＋1－n n ＋1n ＝1n －1n ＋1，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1问题等价于在2,3,4，…，2 015中有多少个数可以开方设2≤x 2≤2 015且x ∈N ，因为442＝1 936,452＝2 025，所以2≤x ≤44且x ∈N ，共有43个．选B.答案：B12．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝－1a n ＋1，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 2 014＝__________.解析：a 2＝－1a 1＋1＝－11＋1＝－12，a 3＝－1a 2＋1＝－1－12＋1＝－2，a 4＝－1a 3＋1＝－1－2＋1＝1，因此a 4＝a 1，依次下去，得到a n ＋3＝a n ，因此数列{a n }是以3为周期的周期数列， ∵2 014＝3×671＋1，∴S 2 014＝671×(a 1＋a 2＋a 3)＋a 1＝671×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－2＋1＝－2 0112. 答案：－2 011213．[2015·某某某某三中、某某一中统考]已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足2S n＋a n ＝1，数列{b n }中，b 1＝1，b 2＝12，2b n ＋1＝1b n ＋1b n ＋2(n ∈N *)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)数列{}满足＝a n b n ，求证：c 1＋c 2＋c 3＋…＋＜34.解析：(1)由2S n ＋a n ＝1，得S n ＝12(1－a n )．当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12(1－a n )－12(1－a n －1)＝－12a n ＋12a n －1，即2a n ＝－a n ＋a n －1，∴a n a n －1＝13(由题意可知a n －1≠0)． {a n }是公比为13的等比数列，而S 1＝a 1＝12(1－a 1)，∴a 1＝13，∴a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，由2b n ＋1＝1b n ＋1b n ＋2，1b 1＝1，1b 2＝2，得d ＝1b 2－1b 1＝1(d 为等差数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的公差)， ∴1b n ＝n ，∴b n ＝1n.(2)＝a n b n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，设T n ＝c 1＋c 2＋…＋，则T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫131＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ，13T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，由错位相减，化简得：T n ＝34－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＝34－2n ＋34×13n ＜34.14．[2014·某某]已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12， 由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)，解得a 1＝1， 所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1＝(－1)n －14n 2n －12n ＋1＝(－1)n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时，T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1－⎝⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1.当n 为奇数时，T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15＋…－⎝⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.(或T n ＝2n ＋1＋－1n －12n ＋1)。
人教版高中数学必修5测试题及答案全套05723
第一章解三角形测试一正弦定理和余弦定理I 学习目标1掌握正弦定理和余弦定理及其有关变形2 •会正确运用正弦定理、余弦定理及有关三角形知识解三角形 .n 基础训练题一、选择题在厶ABC 中，若BC = .2 , AC = 2, B = 45°，则角 A 等于(10. 在△ ABC 中，若 tanA = 2, B = 45°, BC = %;5，贝U AC = ____________ .三、解答题11. 在△ ABC 中，三个内角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,若a = 2, b = 4, C = 60°，试解△ ABC. 12. 在△ ABC 中，已知 AB = 3, BC = 4, AC = .13 .(1)求角B 的大小；⑵若D 是BC 的中点，求中线 AD 的长.13. 如图，△ OAB 的顶点为 0(0, 0), A(5, 2)和B(— 9, 8),求角 A 的大小.(A)60(B)30 °(C)60 或 120°2. 在厶ABC 中, 三个内角 A , B , C 的对边分别是a ,,c , 若 a(D)30。
或 150 °1=2, b = 3, cosC= ---------- ，贝V c 等于( --------------------------------- ) (A)23. 在厶ABC 中, (A)；(B)3已知 cosB - ,sinC 5(B)53(C)42AC= 2,3-I?(D)5那么边AB 等于()12 (D) —54. 在厶ABC 中, 三个内角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,已知B = 30°, c = 150, b = 50 i 3，那么这个三角形5. 是() (A)等边三角形 (C)直角三角形在厶ABC 中， 三个内角 A , B , C 的对边分别是a , b , c ,(B)等腰三角形(D)等腰三角形或直角三角形如果 A : B : C = 1 : 2 : 3,那么a : b : c 等于(6. 7. 8. 9. (A)1 : 2 : 3 、填空题在厶ABC 中, 在厶ABC 中, 在厶ABC 中, 角形•在厶ABC 中, 三个内角 三个内角 三个内角 三个内角 (B)1 :A , A , A , (C)1 : 4 : 9(D)1 : 一 2C 的对边分别是 C 的对边分别是 C 的对边分别是 C 的对边分别是 a , a , a , a , b , b , b , b , c , c ,c , c , a = 2, B = 45°, a = 2, b = 2 3C = 75°，贝V b = c =4，贝U A =若 2cosBcosC = 1 — cosA ，则△ ABC 形状是若 a = 3, b = 4, B = 60°，贝V c =、选择题1.在△ ABC 中，三个内角 A , B , C 的对边分别是a , b , c ,若 b 2+ c 2— a 2= be ,则角 A 等于( )nn2 n 5 n(A)-(B) —(C) —(D) —63362. 在△ ABC 中，给出下列关系式：A BC①sin(A + B)= sinC ②cos(A + B)= cosC ③ sin^~B cosC2 2其中正确的个数是( )、填空题6. _____________________________________________________________________________________________ 在△ ABC 中，三个内角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,若a = V 2 , b = 2, B = 45°，则角 A= __________________ .7. ___________________________________________________________________________________________ 在△ ABC 中，三个内角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,若a = 2, b = 3, c = 7T9，则角C= _____________________ .3&在厶ABC 中，三个内角A , B , C 的对边分别是a , b , c ,若b = 3, c = 4, cosA = — ,则此三角形的面积为 ____________59. 已知△ ABC 的顶点 A(1, 0), B(0 , 2) , C(4 , 4),则 cosA = ________ .10. ________________________________________________________________________________________________ 已知△ ABC 的三个内角 A , B , C 满足2B = A + C ,且AB = 1, BC = 4,那么边 BC 上的中线 AD 的长为 ________________14 .在△ ABC 中，已知 2cos(A + B) = 1.(1)求角C 的度数； ⑵求AB 的长； (3)求厶ABC 的面积.测试二解三角形全章综合练习I 基础训练题(A)0(B)1(C)23. 在厶ABC 中, 三个内角 A , B , C 的对边分别是a ,b p .,c.右(D)323a = 3, sinA = , sin(A + C)=，贝Vb 等于()3 4(A)4(B)8(C)6(用84. 在厶ABC 中, 三个内角 A , B , C 的对边分别是a ,,c ,右 a = 3, b = 4,2sinC =-，则此三角形的面积是(5. (A)8在厶ABC 中， 此三角形的形状是( 三个内角 (B)6 A ,B , )(C)4C 的对边分别是 a , b , c , 若 (a + b + c)(b + c — a) = 3bc ,且 sinA = 2sinBcosC ，则(D)3(A)直角三角形(B)正三角形 (C)腰和底边不等的等腰三角形(D)等腰直角三角形=0的两根， BC = a , AC = b三、解答题11. 在△ ABC 中，a , b , c 分别是角A , B , C 的对边，且a= 3 , b= 4 , C= 60 ° .⑴求c;(2)求 sinB.12. 设向量 a , b 满足 a • b = 3, |a|= 3, |b|= 2.(1) 求〈a , b 〉； (2) 求 |a - b|.13. 设△ OAB 的顶点为 0(0, 0), A(5, 2)和 B(- 9, 8)，若 BD 丄 OA 于 D.(1) 求高线BD 的长； (2) 求厶OAB 的面积.14. 在△ ABC 中，若 sin 2A + sin 2B >sin 2C ,求证：C 为锐角.15. 如图，两条直路 OX 与OY 相交于O 点，且两条路所在直线夹角为 60°，甲、乙两人分别在 OX 、OY 上的A 、B 两点，| OA |= 3km , | OB |= 1km ，两人同时都以4km/h 的速度行走，甲沿 XO 方向，乙沿OY 方向. 问：⑴经过t 小时后，两人距离是多少 俵示为t 的函数)？(2)何时两人距离最近？(1)求角B 的值;⑵若b = ■ 13 , a + c = 4,求厶ABC 的面积.(提示：利用正弦定理 a b csin A sin B sinC2R ，其中RABC 外接圆半径)n 拓展训练题16.在△ ABC 中，a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边，且cosB cosCb 2a c3第二章数列测试三数列 I 学习目标1•了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊的函数2 •理解数列的通项公式的含义，由通项公式写出数列各项3•了解递推公式是给出数列的一种方法，能根据递推公式写出数列的前几项 n 基础训练题 一、选择题 1.数列｛a n ｝的前四项依次是：4, 44, 444, 4444,…则数列｛a n ｝的通项公式可以是()(A) a n = 4n(B)a n = 4n 4 (C) a n = (10n — 1)(D)a n = 4 x 11n92.在有一定规律的数列0, 3, 8, 15, 24, x , 48,63,……中，x 的值是( )10. ____________________________________________________________ 数列｛a n ｝的通项公式为a n = 2n 2— 15n + 3,则它的最小项是第 ___________________________________________________ 项.三、解答题11. 已知数列｛a n ｝的通项公式为a n = 14— 3n.(1) 写出数列｛a n ｝的前6项； (2) 当n 》5时，证明a n V 0. 12 .在数列｛a n ｝中，已知a n =1 它的前五项依次是 _________ ,2 0. 98是其中的第 _________ 项.在数列｛a n ｝中，a 1 = 2, a n +1 = 3a n + 1,贝U a 4 =(A)30 (B)35 (C)36 3.数列｛a n ｝满足：a 1= 1, a n = a n —1 + 3n , 则a 4等于( )(A)4 (B)13 (C)28 4. 156是下列哪个数列中的一项 ( )(A){ n 1 2+ 1} (B){ n 2— 1} (C){ n 2 + n}5. 若数列｛a n ｝的通项公式为a n 5 3n , 则数列｛ a n ｝是( )(A)递增数列 (B)递减数列 (C)先减后增数列 ― 、填空题6. (D)42 (D)43(D){ n 2+ n — 1}(D)以上都不对7. 数列的前5项如下，请写出各数列的一个通项公式: 2 12 1 (1) 1,—, , , , , a n3 2 5 3 (2) 0, 1 , 0, 1, 0,… 一个数列的通项公式是a n = ______2na n =2~A .n 2 18. a n + 19.数列｛a n ｝的通项公式为a n (2n 1) (n € N *)，贝U a 3=(1) 写出a10, a n+1, a n2 ；2(2) 79 —是否是此数列中的项？若是，是第几项?113.已知函数 f(x) x ，设 a n = f(n)(n € N + ). x(1) 写出数列｛a n ｝的前4项；(2) 数列｛ a n ｝是递增数列还是递减数列？为什么?测试四等差数列 I 学习目标1.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，并能解决一些简单问题 .2.掌握等差数列的前 n 项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3. 能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能体会等差数列与一次函数的关系n 基础训练题一、选择题6. ____________________________________________ 在等差数列｛a n ｝中，a 2与a 6的等差中项是 .7. _______________________________________________________________ 在等差数列｛a n ｝中，已知 a 1 + a 2= 5, a 3 + a 4 = 9,那么 a 5 + a 6 = ____________________________________________________ . &设等差数列｛a n ｝的前n 项和是S n ,若S 17 = 102,则a 9= ______________ .9. _____________________________________________________________ 如果一个数列的前 n 项和S n = 3n 2 + 2n ，那么它的第n 项a “= _______________________________________________________ . 10. 在数列｛a n ｝中，若 a 1= 1, a 2= 2, a n +2 — a n = 1 + (— 1)n (n € N *)，设｛ a n ｝的前 n 项和是 S n ,贝U S 10= _______ 三、解答题11. 已知数列｛a n ｝是等差数列，其前 n 项和为S n , a 3= 7, S 4= 24.求数列｛a n ｝的通项公式 12. 等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,已知a 10= 30, a 20 = 50.(1) 求通项a n ； (2) 若 S n = 242，求 n.13. 数列｛a n ｝是等差数列，且 a 1= 50, d =— 0. 6.(1) 从第几项开始a n V 0 ；(2) 写出数列的前n 项和公式S n ,并求S n 的最大值.川拓展训练题14. 记数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n ,若 3a n +1= 3a n + 2(n € N *), a 1 + a 3 + a 5+・・・+ a 99= 90,求 S 100.1. 2. 3. 数列｛a n ｝满足：a 1 = 3, (A)98 数列｛a n ｝是首项a 1= 1, (A)667 在等差数列｛a n ｝中，若(A)15 a n +1 = a n — 2，贝V a 1oo 等于()(B) — 195 (C) — 201公差d = 3的等差数列，如果 a n = 2008,(B)668 (C)669a 7 + a 9= 16, a 4= 1，贝U a 12 的值是((B)30(D)—198 那么n 等于((D)670 (D)64 4. 在a 和b(a ^ b)之间插入n 个数，使它们与 b a (A)-n 设数列｛a n ｝是等差数列，且 (A)S 4V S 55. b a (B)—7 n1 a 2=— 6,(B)S 4= S 5(C)31 a , b 组成等差数列，则该数列的公差为b a b a (C) (D)- n 1 n 2 a 8= 6, S n 是数列｛a n ｝的前n 项和，则( (C)S 6V S 5 (D)S 6= S测试五等比数列I 学习目标1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能解决一些简单问题2 •掌握等比数列的前n项和公式，并能应用公式解决一些简单问题.3•能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并能体会等比数列与指数函数的关系n 基础训练题一、选择题1.数列｛a n｝满足：a1 = 3, a n+1= 2a n,贝U a4等」()(A)8(B)24(C)48(D)542 . 在各项都为正数的等比数列｛a n｝中，,首项a1 = 3, 前三项和为21,贝U a3+ a4 + a5 等于((A)33(B)72(C)84(D)1893.在等比数列｛a n｝中，如果a6= 6, a9= 9,那么a3等于（）(A)4(B)-(C)16(D)3294.在等比数列｛a n｝中，若a2= 9, a5= ：243,则｛a n｝的前四项和为（)(A)81(B)120(C)168(D)1925 .若数列｛a n｝满足a n= a1q n—1(q> 1), 给出以下四个结论：①｛a n｝是等比数列；②｛a n｝可能是等差数列也可能是等比数列；③｛a n｝是递增数列；④｛a n｝可能是递减数列.其中正确的结论是（)（A）①③（B）①④（C）②③（D）②④二、填空题6. __________________________________________________________________ 在等比数列｛a n｝中,a i, a io是方程3x2 + 7x—9= 0的两根，则a4a7=_________________________________________________7. ______________________________________________________________ 在等比数列｛a n｝中，已知a i + a2= 3, a3 + a4 = 6,那么a5 + a6 = ___________________________________________________ .1 山&在等比数列｛a n｝中，若a5= 9, q =一，则｛a n｝的前5项和为_____________ .29. 在8和岂之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_________3 210. ________________________________________________________________________________ 设等比数列｛a n｝的公比为q，前n项和为S n,若3+1, S n, 3+2成等差数列，则q = ___________________________________三、解答题11. 已知数列｛a n｝是等比数列，a2= 6, a5= 162.设数列｛a n｝的前n项和为S n.（1）求数列｛a n｝的通项公式；（2）若S n= 242，求n.12. 在等比数列｛a n｝中，若a2a6= 36, a3 + a5= 15,求公比q.13. 已知实数a, b, c成等差数列，a+ 1, b+ 1, c+ 4成等比数列，且a+ b + c= 15，求a, b, c.川拓展训练题14. 在下列由正数排成的数表中，每行上的数从左到右都成等比数列，并且所有公比都等于q,每列上的数从上到1 5下都成等差数列.a j表示位于第i行第j列的数，其中a24= , a42 = 1, a54 = .(1) 求q 的值； (2) 求a j 的计算公式. 测试六数列求和 I 学习目标1•会求等差、等比数列的和，以及求等差、等比数列中的部分项的和 2•会使用裂项相消法、错位相减法求数列的和 n 基础训练题1. 、选择题 已知等比数列的公比为 (A)152. 若数列｛a n ｝是公差为3. (A)60数列｛a n ｝的通项公式(A)100 2,且前4项的和为 (B)17 1 丄的等差数列，它的前 2(B)72.5 a n = (— 1)n 1 (B)—100 1,那么前8项的和等于() (C)19(D)21 100 项和为 145，贝U a i + a 3+ a 5+- + (C)85 (D)120 • 2n(n € N *)，设其前n 项和为S n ,则S 100等于( (D) — 200 (C)200 4.数列(2n 1)(2 n 1)的前n 项和为(a 99的值为(n(A)k2n (B)- 2n 1设数列｛a n ｝的前n 项和为S n , a 1= 1, (A)7000 一、填空题 2n(计5. (B)7250(C) 4n 2 a 2 = 2,且 a n +2= a n + 3(n = 1, 2, 3，…)，贝V S 100等于((C)7500 (D)149506. 1 、2 17. 数列｛n + 丄｝的前n 项和为2n2 2 2 a ? + a ； +…+a 2 9. 设 n € N *, a € R , 则 1 + a + a 2+…+ a n = 1 1 1 1 10 .1 2 3 — n n = 2 4 8 2n 数列｛a n ｝满足：a 1= 1, a n +1 = 2a n ，则 8. 三、解答题 11 .在数列｛a n ｝中，a 1 = 11, a n +1= a n + 2(n € N *)，求数列｛| a n |｝的前 n 项和 S n . 12.已知函数 f(x)= a 1x + a 2x 2+ a 3x 3+…+ a n x n (n € N *, x € R),且对一切正整数 n 都有 f(1) = n 2成立.(1)求数列｛a n ｝的通项a n ；1a n a n 11113.在数列｛a n ｝中，a i = 1,当n 》2时，a n = 12 4川拓展训练题14. 已知数列｛ a n ｝是等差数列，且 a 1 = 2, a 1+ a 2 + a 3= 12.(1)求数列｛a n ｝的通项公式；⑵令b n = a n x n (x € R)，求数列｛b n ｝的前n 项和公式.测试七数列综合问题I 基础训练题、选择题(A)0二、填空题(B) — 3(C) 3、3(D )y1丄a n ,n 为偶数6.设数列｛a n ｝的首项a 1 =1且an 12 1 贝U a 2=, a 3=4a n ,n 为奇数47.已知等差数列｛a n ｝的公差为2，前20项和等于150,那么a 2 + a 4 + a 6+・・・+ a 20= __________ . &某种细菌的培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂为两个)，经过3个小时，这种细菌可以由________ 个.9. _______________________________________________________ 在数列｛a n ｝中，a 1 = 2, a n +1 = a n + 3n(n € N )，贝V a n = __________________________________________________ .10. 在数列｛a n ｝和｛b n ｝中，a 1= 2,且对任意正整数 n 等式3a n +1— a n = 0成立，若b n 是a n 与a n +1的等差中项，则｛b n ｝ 的前n 项和为 ___________ . 三、解答题11. 数列｛a n ｝的前n 项和记为 S n ,已知a n = 5S — 3( n € N *).(1)求 a 1, a 2, a 3；，求数列的前 n 项和S n .1.等差数列｛a n ｝中, a 1= 1,公差d 丰0,如果a 1, a 2, a 5成等比数列，那么d 等于( (A)3 (B)2 (C) - 2 (D)2 或一22.等比数列｛a n ｝ 中, a n >0,且 a 2a 4+ 2a 3a 5 + a 4a 6= 25,贝U a 3 + a 5等于((A)5(B)10(C)15 3.如果a 1, a 2, a 3,…，a 8为各项都是正数的等差数列，公差(D)20 d 丰0,则((A) a 1a 8> a 4a 5 (B) a 1a 8V a 4a 5 (C)a 1 + a 8> a 4 + a 5(D) a 1a 8 = a 4a 54.一给定函数y = f(x)的图象在下列图中，并且对任意a 1 € (0, 1)，由关系式 a n (n € N *)，则该函数的图象是()a n + 1= f(a n )得到的数列｛a n ｝满足a n + 1>1个繁殖成⑵求数列｛a n｝的通项公式；(3) 求 a i + a 3+・・・+ a 2n -1的禾口 .2 2 *12. 已知函数 f(x)= r (x >0),设 a i = 1, a * i • f(a n ) = 2(n € N )，求数列｛a n ｝的通项公式.x 413. 设等差数列｛a n ｝的前n 项和为 3,已知a 3= 12, S 12>0, S 13V 0.(1) 求公差d 的范围；(2) 指出S 1，S 2,…，S 12中哪个值最大，并说明理由.川拓展训练题14. 甲、乙两物体分别从相距 70m 的两地同时相向运动.甲第1分钟走2m ,以后每分钟比前 1分钟多走1m ,乙每 分钟走5m.(1) 甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2) 如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前 1分钟多走1m ,乙继续每分钟走 5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？15. 在数列｛a n ｝中，若a 1, a 2是正整数，且a n = |a n -1 — a n -2|, n = 3, 4, 5，…则称｛a n ｝为"绝对差数列”(1) 举出一个前五项不为零的“绝对差数列”(只要求写出前十项)；(2) 若“绝对差数列” ｛a n ｝中，a 1= 3, a 2= 0,试求出通项a n ； (3) *证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项测试八数列全章综合练习I 基础训练题、选择题5. 若｛a n ｝是等差数列，首项a 1> 0, a 2007 + a 2008> 0, a 2007 • a 2008V 0,则使前n 项和S n >0成立的最大自然数6. _______________________________________________________________ 已知等比数列｛a n ｝中，a 3 = 3, a 10= 384,则该数列的通项 a n = _____________________________________________________ .7. _________________________________________________________________________________ 等差数列｛a n ｝中，a 1+ a 2+ a 3= — 24, a 18+ a 19+ a 20= 78,则此数列前 20项和 S 20= __________________________________ &数列｛a n ｝的前n 项和记为S n ,若S n =『一 3n + 1 ,贝V a n = _____________ . 9. 等差数列｛a n ｝中，公差0，且a 1, a 3, a 9成等比数列，则10. ______________________________________________________________________________________________ 设数列｛a n ｝是首项为1的正数数列，且(n + 1)a ：1 — na ： + a n + 1a n = 0(n € N *)，则它的通项公式 a n = ___________________ 三、解答题(A)16 (B)20 (C)24 (D)36 2.在50和350间所有末位数是1的整数和( )(A)5880 (B)5539 (C)5208 (D)4877 3.右 a , b , c 成等比数列，则函数 y = ax 2 + bx + c 的图象与x 轴的交点个数为((A)0 (B)1(C)2 (D)不能确定 4.在等差数列 ｛a n ｝中，如果前5项的和为 S s = 20,那么a 3等于( )1 .在等差数列｛a n ｝中，已知a 1 + a 2= 4, a 3 + a 4 = 12,那么a 5 + a 6等于() )(A) — 2 (B)2(C) — 4(D)4 (A)4012 、填空题(B)4013 (C)4014 (D)4015 a 3 a 6a 9a 4 a 7 a1011. 设等差数列｛ a n｝的前n项和为S n,且a3+ a7 —a10 = 8, an —a4= 4，求S13.12. 已知数列｛ a n｝中，a1 = 1,点(a n, a n+1+ 1)(n€ N*)在函数f(x) = 2x+ 1 的图象上.(1)求数列｛a n｝的通项公式；⑵求数列｛a n｝的前n项和S n；(3) 设c n= S n,求数列｛c n｝的前n项和T n.13. 已知数列｛a n｝的前n项和S n满足条件S n= 3a n + 2.(1) 求证：数列｛a n｝成等比数列；(2) 求通项公式a n.14 .某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元.(1) 写出该渔船前四年每年所需的费用(不包括购买费用)；(2) 该渔船捕捞几年开始盈利(即总收入减去成本及所有费用为正值)？(3) 若当盈利总额达到最大值时，渔船以8万元卖出，那么该船为渔业公司带来的收益是多少万元？n 拓展训练题(1)求a n；2 2 2 一一" 亠im …⑵设b n= a n 1+ a n 2+…+ a2n 1，是否存在最小正整数m,使对任意n€ N*有b n v 成立？若存在，求出m25的值，若不存在，请说明理由.16•已知f是直角坐标系平面xOy到自身的一个映射，点P在映射f下的象为点Q,记作Q= f(P).设P1(X1, y1), P2= f(P1) , P3= f(P2),…，P n= f(P n-1),….如果存在一个圆，使所有的点P n(x n, y n)(n € N*)都在这个圆内或圆上，那么称这个圆为点P n(x n, y n)的一个收敛圆•特别地，当P1= f(P1)时，则称点P1为映射f 下的不动点•1若点P(x, y)在映射f下的象为点Q( —x + 1, y).2(1)求映射f下不动点的坐标；⑵若P1的坐标为(2, 2)，求证：点P n(x n, y n)(n € N*)存在一个半径为2的收敛圆.第三章不等式测试九不等式的概念与性质I 学习目标1•了解日常生活中的不等关系和不等式(组)的实际背景，掌握用作差的方法比较两个代数式的大小2 •理解不等式的基本性质及其证明.n 基础训练题一、选择题1 . 设a, b, c€ R,则下列命题为真命题的是()(A)a> b a—c> b—c(B) a > b ac> bc(C)a> b a2> b2(D)a > b ac2> bc215.已知函数f(x) =1 、，—2(x v —2)，数列｛a n｝满足a1 = 1, a n = f(—一x 41an 1)(n € N*).2 . 若—1 v v v 1,贝U -- 的取值范围是()(A)( —2, 2)(B)( —2,—1)(C)( —1, 0)(D)( —2, 0)3 . 设a>2, b>2,贝U ab与a+ b的大小关系是( )(A) ab> a+ b(B) ab v a + b(C)ab= a + b(D)不能确定4 . 使不等式 1 1 a > b和丄a b同时成立的条件是()(A)a> b> 0(B)a> 0 > b(C)b > a> 0(D)b> 0 > a5 . 设1v x v 10,则下列不等关系正确的是()(A)ig 2x>lgx2> ig(lgx) (B)lg 2x> lg(lg x)> igx2 (C)ig x2> lg2x> Ig(lgx) (D)lg x2> lg(lgx) > lg2x二、填空题6. 已知a v b v 0, c v 0，在下列空白处填上适当不等号或等号：c c(1)(a—2)c _______ (b —2)c; (2) —_______ - ；(3)b—a ______ ⑻一|b|.a b7. _____________________________________________________________ 已知a v 0, —1v b v 0,那么a、ab、ab2按从小到大排列为 ________________________________________________________ .a&已知60v a v 84, 28v b v 33,则a—b的取值范围是；一的取值范围是 _________ .ba b9. 已知a, b, c€ R，给出四个论断：①a>b;②ac2>be2;③二④a—c>b — c.以其中一个论断作条件，另c c一个论断作结论，写出你认为正确的两个命题是 ____________ __________ ; ________ ___________ .(在“ ”的两侧填上论断序号).310. 设a>0, 0v b v 1，贝y P= J 2与Q ^，-(a 1)(a 2)的大小关系是.三、解答题11. 若a>b>0, m>0，判断b与b―m的大小关系并加以证明.a a m12 .设a>0, b> 0,且a丰 b, p a , q a b .证明：p> q.b a注：解题时可参考公式x3+ y3= (x+ y)(x2—xy+ y2).川拓展训练题13 .已知a> 0，且1,设M = log a(a3— a +1), N = log a(a2—a+ 1).求证：M > N.2214.在等比数列｛a n ｝和等差数列｛b n ｝中,a i = b i >0, a 3= b 3>0, a i ^a 3，试比较a 5和b 5的大小.测试十 I 均值不等式 学习目标 1. 了解基本不等式的证明过程 . 2. 会用基本不等式解决简单的最大 (小)值问题. 基础训练题 i . 、选择题 已知正数a , (A)有最小值 b 满足 a + b = 1,贝U ab( 1 1(B)有最小值— 421 (C)有最大值- (D)有最大值2. 若 a >0, b >0,且b ,则( )(A)兮 ab ,0^ a 2 b 223. 4. (C) .ab a 2 b 2 a b 2~T~(D) a 2 b 2 ab若矩形的面积为 a 2(a > 0)，则其周长的最小值为( (A) a (B)2 a (C)3 a 设a , b € R ，且2a + b - 2= 0，贝U 4a + 2b 的最小值是 (D)4a(A) 2、2 (B)4 (C) 4 ： 2 (D)8如果正数a , b , (A) ab < c + d , (B) ab > c + d , (C) ab w c + d , (D) ab > c +d , 一、填空题 5. c , d 满足 a + b = cd = 4，那么( 且等号成立时 且等号成立时 且等号成立时 且等号成立时a , a , a , a ,b , b , b , b ,c , c , c , c , )d 的取值唯一 d 的取值唯一 d 的取值不唯一 d 的取值不唯一 6. 9若x > 0，则变量x -的最小值是 x;取到最小值时, x =7. 函数 4xy=— x-(x > 0)的最大值是 1 ;取到最大值时, 8. 已知 16 -- 的最大值是a 3 f(x) = 2log 2(x + 2) - log 2x 的最小值是av 0，贝U a 9. 10. 已知a , b , c € R , a + b + c = 3,且a , b , c 成等比数列，则 b 的取值范围是 三、解答题 函数 11.四个互不相等的正数 a , b , c , d 成等比数列，判断 和bc 的大小关系并加以证明 2t 11 1的大小.1 12 .已知 a > 0,1, t > 0,试比较一 log a t 与 log a拓展训练题13.若正数x , y 满足x + y = 1,且不等式 x . ya 恒成立，求a 的取值范围.a14. (1)用函数单调性的定义讨论函数f(x) = x +(a >0)在(0,+s )上的单调性;xa(2)设函数f(x)= x +(a > 0)在(0, 2］上的最小值为g(a),求g(a)的解析式.x测试十一 一元二次不等式及其解法I 学习目标1. 通过函数图象理解2.会解简单的一元二次不等式 .一、 选择题 1.不等式5x + 4>-x 2的解集是()(A){ x|x >- 1,或 x v — 4}(C){ x|x >4,或 x v 1}2 .不等式一x 2 + x — 2 > 0的解集是()(A){ x|x > 1,或 x v — 2} (C)R3. 不等式x 2 > a 2(a v 0)的解集为()(A){ x|x >± a}(C){ x|x >— a ,或 x v a }14. 已知不等式ax 2 + bx + c > 0的解集为{x| -3 1(A){ x| — 3 v x v }2 1、(C){x — 2v x v — }35. 若函数y = px 2— px — 1(p € R)的图象永远在(A)( —R, 0) (B)( — 4, 0]二、 填空题6. ___________________________________ 不等式x 2 + x — 12v 0的解集是 .7 .不等式竺丄0的解集是 _______________ .2x 5元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系n 基础训练题 (B){ x|— 4v x v — 1} (D){ x|1 v x v 4}(B){ x|— 2 v x v 1}(D)(B){ x|— a v x v a } (D){ x|x >a , 或 x v — a}x 2}，则不等式cx 2 + bx + a v 0的解集是()1(B){ x|x v — 3，或 x >}2 1 (D){ x|x v — 2, 或 x >} 3x 轴的下方，则p 的取值范围是( )(C)( —^,— 4)(D)[ — 4, 0)12. k 在什么范围内取值时，方程组2x3xy 2x 0有两组不同的实数解?4y k 08不等式|x2—1|v 1的解集是____________ .9. ___________________________________ 不等式0v x2—3x v 4的解集是.1 110. 已知关于x的不等式x2—(a+—)x+ 1v 0的解集为非空集合｛x|a v x v—｝，则实数a的取值范围是a a三、解答题11 .求不等式x2—2ax—3a2v 0(a € R)的解集.川拓展训练题13. 已知全集U = R，集合A={x|x2—x—6v0} , B={X|X2+2X— 8>0}, C = {x|x2—4ax+ 3a2v0}.(1) 求实数a的取值范围，使C (A n B);(2) 求实数a的取值范围，使C (.u A) n QuB).14. 设a € R，解关于x的不等式ax2—2x+ 1 v 0.测试十二不等式的实际应用I 学习目标会使用不等式的相关知识解决简单的实际应用问题n 基础训练题一、选择题11•函数、——的定义域是()V4 x(A){ x| —2 v x v 2} (B){ x|—2 < x< 2}(C){ x|x>2,或x v —2} (D){ x|x>2,或x<—2}2. 某村办服装厂生产某种风衣，月销售量x(件)与售价p(元/件)的关系为p= 300 —2X,生产x件的成本r = 500 +30x(元)，为使月获利不少于8600元，则月产量x满足()(A)55 < x w 60 (B)60 < x< 65(C)65 w x< 70 (D)70 w x w 753. 国家为了加强对烟酒生产管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每年大约产销100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元征税r元，则每年产销量减少10r万瓶，要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，那么r的取值范围为()(A)2 w r w 10 (B)8 w r w 10(C)2 w r w 8 (D)0 w r w 84. 若关于x的不等式(1 + k2)x w k4+ 4的解集是M，则对任意实常数k,总有()(A)2 € M, 0€M (B)2 M, 0 M(C)2 € M, 0 M (D)2 M, 0 €M二、填空题5•已知矩形的周长为36cm，则其面积的最大值为 ________ .6. _____________________________________________________________ 不等式2x2+ ax + 2> 0的解集是R，则实数a 的取值范围是________________________________________________________ .7. _____________________________________________________ 已知函数f(x) = x|x —2|,则不等式f(x) v 3的解集为. &若不等式|x+ 1|> kx对任意x€ R均成立，则k的取值范围是_____________ .三、解答题9•若直角三角形的周长为2,求它的面积的最大值，并判断此时三角形形状10. 汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个主要因素，在一个限速为40km/h的弯道上，甲乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是相撞了，事后现场测得甲车刹车的距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m.已知甲乙两种车型的刹车距离s(km)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲=0. 1x+ 0. 01x2, s乙=0. 05x+ 0. 005x2.问交通事故的主要责任方是谁？川拓展训练题11. 当x€ [ —1, 3]时，不等式一x2+ 2x + a>0恒成立，求实数a的取值范围12.某大学印一份招生广告，所用纸张 （矩形）的左右两边留有宽为 4cm 的空白，上下留有都为 6cm 的空白，中间排版面积为2400cm 2.如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最小？测试十三二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题I 学习目标1•了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组2•会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决 n 基础训练题 一、选择题1.已知点 A(2, 0), B( — 1, 3)及直线1:x — 2y = 0,那么()（A ） A , B 都在l 上方(B)A , B 都在 1 下方（C ）A 在1上方，B 在1下方（D ）A 在1下方，B 在1上方 x 0,2.在平面直角坐标系中，不等式组y 0,所表示的平面区域的面积为（x y 2(A)1 (B)2(C)3(D)43.三条直线y = x , y = — x , y = 2围成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是（）y x, y x,yx,y x, (A) y x,(B) y x,(C) yx, (D) y xy 2.y 2.y2.y 2.x y 50,4.若 x , y 满足约束条件 x y 0,则 z = 2x + 4y 的最小值是（)x 3,(A) —6(B) — 10(C)5(D)10 5.某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为 60元，70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有 （ ）（A ）5 种 （B ）6 种 （C ）7 种（D ）8 种二、填空题7.若不等式|2x + y + m|v 3表示的平面区域包含原点和点 （一1,1），则m 的取值范围是x 1,&已知点P （x , y ）的坐标满足条件y 3, 那么z = x — y 的取值范围是 ________ .3x y 3 0,x 6.在平面直角坐标系中，不等式组y0所表示的平面区域内的点位于第 ——象限.x 1,9.已知点P（x, y）的坐标满足条件y 2, 那么丄的取值范围是__________x2x y 2 0,10•方程|x|+ |y|w 1所确定的曲线围成封闭图形的面积是____________ .三、解答题11. 画出下列不等式（组）表示的平面区域：x 1,（1）3x+ 2y+ 6> 0 （2） y 2,x y 1 0.是每袋24kg，价格为120元.在满足需要的前提下，最少需要花费多少元?川拓展训练题13•商店现有75公斤奶糖和120公斤硬糖，准备混合在一起装成每袋1公斤出售，有两种混合办法：第一种每袋装250克奶糖和750克硬糖，每袋可盈利0. 5元；第二种每袋装500克奶糖和500克硬糖，每袋可盈利0. 9元. 问每一种应装多少袋，使所获利润最大？最大利润是多少？14. 甲、乙两个粮库要向A, B两镇运送大米，已知甲库可调出100吨，乙库可调出80吨，而A镇需大米70吨，B镇需大米110吨，两个粮库到两镇的路程和运费如下表：问：（1）这两个粮库各运往A、B两镇多少吨大米，才能使总运费最省？此时总运费是多少?（2）最不合理的调运方案是什么？它给国家造成不该有的损失是多少?测试十四不等式全章综合练习I基础训练题、选择题1.设a, b, c€ R, a>b,则下列不等式中一定正确的是（）(A) ac2> bc21(B) — a 1(C)a —c> b —c (D)|a|> |b| bx y 4 0,2.在平面直角坐标系中，不等式组2x y 4 0,表示的平面区域的面积是（12.某实验室需购某种化工原料106kg，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35kg,价格为140元；另一种x 2— ，若对x > 0恒有xf(x) + a > 0成立，则实数a 的取值范围是( )x(A)a v 1 - 2 2 (B)a v 2 2 — 1 (C)a > 2 2 — 1 (D)a > 1 — 2 25. 设 a , b € R ，且 b(a + b +1)v 0, b(a + b — 1)v 0，则()(A)a > 1 (B)a v — 1(C) — 1 v a v 1(D)|a|> 1二、 填空题a6. ______________________________________________________ 已知1v a v 3, 2v b v 4，那么2a — b 的取值范围是______________________________________________________________ ，—的取值范围是 __________ .b 7•若不等式 x 2— ax — b v 0 的解集为｛x|2v x v 3｝，贝V a + b = _______ .&已知x , y € R ，且x + 4y = 1,贝V xy 的最大值为 ____________ .l' 29•若函数f(x)= I 2x 2ax a 1的定义域为R ，则a 的取值范围为 __________________ .10•三个同学对问题“关于 x 的不等式x 2+ 25+ x 3 — 5x 2|> ax 在［1 , 12］上恒成立，求实数 a 的取值范围”提出各自的解题思路•甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值.”乙说：“把不等式变形为左边含变量 x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值 .”丙说：“把不等式两边看成关于 x 的函数，作出函数图象.” 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即 a 的取值范围是 _________ .三、 解答题x 811.已知全集 U = R ,集合 A = ｛x| |x — 1|v 6｝ , B = ｛x|> 0｝.2x 1(1)求 A n B ； ⑵求C U A) U B.12.某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克.今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过 2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大？n 拓展训练题a j ,,13. 已知数集 A = { a 1, a 2,…，a n }(1 <a 1 va 2<・・・va n , n 》2)具有性质 P ：对任意的i , j(1< i < n),a i a j 与 -两3. (A) 32某房地产公司要在一块圆形的土地上，设计一个矩形的停车场 ( )(A)50m 2(B)3(C)4(D)6.若圆的半径为10m ，则这个矩形的面积最大值是(B)100m 2 (C)200m 2(D)250m 24. 2X 设函数f(x) =a i数中至少有一个属于 A.(1)分别判断数集｛1 , 3, 4｝与｛1 , 2, 3, 6｝是否具有性质P,并说明理由;(2)证明：a i= 1,且91i a2i a i n a n.aj a?1a n11 1(A) (2,3)(C)( 2, 3)2 34. 设等比数列｛a n｝的前n项和为S n,则下列不等式中一定成立的是()(A) a i + a3> 0 (B)a1a3> 0 (C) S1 + S3 v 0 (D) S1S3V 05. 在△ ABC中，三个内角A, B, C的对边分别为a, b, c,若A : B : C= 1 : 2 : 3,贝U a : b : c等于()(A)1 : . 3 : 2 (B)1 : 2 : 3 (C)2 : 3 : 1 (D)3 : 2 : 16. 已知等差数列｛a n｝的前20项和S20= 340,则a6+ a9 + an+ a16等于()(A)31 (B)34 (C)68 (D)707. 已知正数x、y满足x+ y= 4，贝U log2x+ log2y的最大值是()(A) - 4 (B)4 (C) - 2 (D)2&如图，在限速为90km/h的公路AB旁有一测速站P,已知点P距测速区起点A的距离为0. 08 km ,距测速区终点B的距离为0. 05 km，且/ APB = 60° .现测得某辆汽车从A点行驶到B点所用的时间为3s,则此车的速度介(A)60 〜70km/h (B)70 〜80km/h(C)80 〜90km/h (D)90 〜100km/h二、填空题9._________________________________ 不等式x(x- 1)v 2的解集为.10 .在△ ABC中，三个内角A, B, C成等差数列，则cos(A+ C)的值为_____________ .、选择题测试十五必修5模块自我检测题1函数y x24的定义域是()(A)( - 2, 2) (B)((C)[ - 2, 2] (D)( -R,2.设a>b>0，则下列不等式中一定成立的是()2) U (2,+^ )2] U [2 ,+^ )a(A) a-b v 0 (B)0 v v 1b(C) 一ab va b2x 1,3.设不等式组y 0,所表示的平面区域是x y 0(D) ab> a + bW,则下列各点中，在区域W内的点是(311.______________________________________________________________________ 已知｛a n｝是公差为一2的等差数列，其前5项的和S5= 0,那么a1等于_____________________________________________2 …12. 在△ ABC 中，BC= 1,角C= 120 °, cosA = ，贝V AB= .320.⑵求证：5x 0,y 0值是 _________ .14. 如图，n 2(n 》4)个正数排成n 行n 列方阵，符号 a j (1 < i < n , 1 < j < n , i , j € N)表示位于第i 行第j 列的正数.11 已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比都等于 q.若an = - , a 24= 1, a 32=-,24贝 y q = ______; a ij = ________ .久如…商“a21…门打II V « « V 9fl.i o ■工 % …a…三、解答题15. 已知函数 f(x)= x 2 + ax + 6.(1) 当a = 5时，解不等式f(x) v 0;(2) 若不等式f(x)> 0的解集为R ，求实数a 的取值范围. 16. 已知｛a n ｝是等差数列，a 2= 5, a 5= 14.(1) 求｛a n ｝的通项公式；(2) 设｛a n ｝的前n 项和S n = 155，求n 的值.(1) 证明角C = 90°; (2) 求厶ABC 的面积.18•某厂生产甲、乙两种产品，生产这两种产品每吨所需要的煤、电以及每吨产品的产值如下表所示.若每天配给该厂的煤至多56吨，供电至多45千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值最大?119.在△ ABC 中，a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边，且 cosA =-•3(1)求 sin 2"B C cos2A 的值；2 ⑵若a =3，求bc 的最大值.数列｛a n ｝的前n 项和是S n , (1)求数列｛a n ｝的通项公式；1 1 113.在平面直角坐标系中，不等式组2x y 4 0,所表示的平面区域的面积是________ ;变量z = x + 3y 的最大17.在△ ABC 中，a , b , c 分别是角 A , B , C 的对边，A , B 是锐角,c = 10,且cos A cos Ba 1 = 5，且 a n = S n - 1(n = 2, 3, 4，…).20.⑵求证：5a1a2a3a n2122参考答案第一章解三角形测试一正弦定理和余弦定理一、选择题1. B2. C3. B4. D5. B提示：4. 由正弦定理，得sinC= f，所以C= 60°或C = 120°,当C= 60。
高三数学必修五测试题含答案
高三数学必修五测试题含答案一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．已知数列{an}中，a12，an1an1(n N*)则a101的值为（），2 A．49 B．50 C．51 D．52 211，两数的等比中项是（） A．1 B．-1 C．±1 D．1 2 3．在三角形ABC中，如果a b c b c a3bc，那么A等于（）A．30 B．60 C．120 D．150 4．在�SABC中，0000ccosC，则此三角形为（） bcosB A．直角三角形； B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰或直角三角形 5.已知{an}是等差数列，且a2+ a3+ a10+ a11=48，则a6+ a7= ( ) A．12 B．16 C．20 D．24 6．在各项均为正数的等比数列bn中，若b7b83，则log3b1log3b2log3b14等于（）(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D)8 7．已知a,b满足：a=3，b=2，a b=4，则a b=( ) ABC．3 D 8.一个等比数列{an}的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为（） A、63 B、108 C、75 D、83 9．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N+)，那么a4的值为( )． A．4 B．8 C．15 D．31 10．已知△ABC中，∠A＝60°，a＝，b＝4，那么满足条件的△ABC的形状大小 ( )． A．有一种情形 B．有两种情形C．不可求出 D．有三种以上情形 11．已知D、C、B三点在地面同一直线上，DC=a，从C、D两点测得A的点仰角分别为α、β（α＞β）则A点离地面的高AB等于 A．（） asin sin asin sin B．sin()cos()acos cos acos cos D． sin()cos() C． 12．若{an}是等差数列，首项a1＞0，a4＋a5＞0，a4・a5＜0，则使前n项和Sn＞0成立的自然数n的值为( )． A．4 B．5 C．7 D．8 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．在数列{an}中，其前n项和Sn＝3・2n＋k，若数列{an}是等比数列，则常数k的值为 14．△ABC中，如果 abc ＝＝，那么△ABC是 tanAtanBtanC 1 ，则an= ； n2 S7n 2 16．两等差数列{an}和{bn},前n项和分别为Sn,Tn,且n, Tnn 3 15．数列{an}满足a12，an an1则 a2a20 等于 _ b7b15 三．解答题 (本大题共6个小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10)分已知a,b,c是同一平面内的三个向量，其中a1,2. (1)若c2，且c//a，求c的坐标；第2 / 6页 5 ,且a2b 与2a b垂直，求a与b的夹角. (2) 若|b|=2 18．（12分）△ABC中，BC＝7，AB＝3，且 (1)求AC； (2)求∠A． 3sinC ＝．sinB5 5 19.(12分) 已知等比数列an中，a1a310,a4a6，求其第 4 4项及前5项和. 20.（12分）在ABC中，m co且m和n的夹角为C2 C,nn,2 C co s2 C,，sin2. 3 7，三角形的面。
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∴设X＝a＋b，＝a－b，
则即
∴点N(a＋b，a－b)即点N(X，)所在的平面区域为如图所示阴影部分．易求得其面积
8解：直线z＝ax＋(a＞0)是斜率为－a，轴上的截距为z的直线，从上图可以看出，当－a大于直线A的斜率时，目标函数z＝ax＋(a＞0)取得最大值的最优解是(1，4)；
高三数学必修5复习单元检测试题31(含答案)
后训练1．已知点P1(0，0)，P2(1，1)，P3，则在3x＋2－1≥0表示的平面区域内的点是()．
A．P1，P2 B．P1，P3．P2，P3 D．P2
2．如下图，阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是()．A．B．
．D．
3．设x，满足约束条若目标函数z＝ax＋b(a＞0，b＞0)的最大值为12，则的最小值为()．
答案：[－1，3]
解析：在坐标系中画出三角形区域，知当直线＝－x通过B(－1，2)时，取最大值，最大值为3；当直线通过(1，0)时，取最小值，最小值为－1
6答案：1
解析：设需要A，B铁矿石分别为x万吨，万吨，
则
目标函数z＝3x＋6，作出可行域，如下图，平行移动，当其过(1，2)时z最小，最小值为1(百万元)．
预算用2 000元购买单价为0元的桌子和20元的椅子，并希望桌椅的总数尽可能多，但椅子数不能少于桌子数，且不多于桌子数的1倍．问：桌子和椅子各买多少才合适？
参考答案
1答案：
解析：把各点的坐标逐个代入检验则有P2，P3能使3x＋2－1≥0成立．
2答案：A
解析：题图中两直线方程分别为x＋－1＝0和x－2＋2＝0阴影部分在x＋－1＝0的右上方，x－2＋2＝0的右下方，所以x＋－1≥0，x－2＋2≥0
3答案：A
解析：点(x，)所满足的可行域如图中阴影部分所示，根据目标函数所表示的直线的斜率是负值，可知目标函数只有在点A处取得最大值，故实数a，b满足4a＋6b＝12，即2a＋3b＝6，
故，
当且仅当a＝b时取等号．4答案：
解析：作出不等式组表示的可行域，从图中不难观察当直线z＝2x＋3过直线x＝1与x－3＝－2的交点(1，1)时取得最小值，所以最小值为
当－a小于直线A的斜率时，目标函数z＝ax＋(a＞0)取得最大值的最优解是(，2)；
只有当－a等于直线A的斜率时，目标函数z＝ax＋(a＞0)取得最大值的最优解有无穷多个，线段A上的所有点都是最优解．
直线A的斜率为，
所以时，z的最大值为
9解：设桌，椅分别买x，张，把所给的条表示成x，的不等式组，再在直角坐标系内把满足不等式组的P(x，)所在区域即可行域表示出，设x＋＝a，可借助图象求a的最大值．
ab(万吨)(百万元)
A0%，若要求2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为__________(百万元)．
7．已知点(a，b)在由不等式组确定的平面区域内，求点N(a＋b，a－b)所在平面区域的面积．
8．给出的平面区域是△AB内部及边界(如下图所示)，若目标函数z＝ax＋(a＞0)取得最大值的最优解有无穷多个，求a的值及z的最大值．
A．B．．D．4
4．(大纲全国高考，4)若变量x，满足约束条则z＝2x＋3的最小值为()．
A．17 B．14．D．3
．在△AB中，三顶点分别为A(2，4)，B(－1，2)，(1，0)，点P(x，)在△AB的内部及其边界上运动，则＝－x的取值范围为________．
6．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的2的排放量b及每万吨铁矿石的价格如下表：
由题意，得由
解得
∴点A的坐标为
由解得
∴点B的坐标为
以上不等式所表示的区域如图所示，即以A，B，(0，0)为顶点的△AB边界及其内部．对△AB内的点P(x，)，设x＋＝a，即＝－x＋a是斜率为－1，轴上截距为a的平行直线系．
只有点P与B重合，即取x＝2，时，a取最大值．
∵∈N，
∴＝37
答：买桌子2张，椅子37张时，是最优选择．