正交矩阵
正交矩阵与正交变换
正交矩阵与正交变换正交矩阵和正交变换在数学和物理学领域具有重要的地位和应用。
它们被广泛用于描述旋转、镜像、对称性等问题。
本文将介绍正交矩阵和正交变换的概念、性质和应用。
一、正交矩阵的概念和性质正交矩阵是一个实矩阵，其列向量两两正交且长度为1。
简言之，正交矩阵的转置与逆矩阵相等。
正交矩阵的定义可以表示为：若矩阵A的转置与逆矩阵相等，则A为正交矩阵。
由正交矩阵的性质可知，正交矩阵的行向量也是两两正交且长度为1。
正交矩阵的性质还包括以下几点：1. 正交矩阵的行列式等于1或-1；2. 正交矩阵的任意两列（行）满足内积等于0，任意一列（行）的长度为1；3. 正交矩阵的转置等于逆矩阵。
正交矩阵的一个重要应用是在旋转变换中。
将一个向量乘以一个正交矩阵，相当于对该向量进行了旋转变换。
这是因为正交矩阵的列向量构成了一个正交基，可以用于表示旋转方向和角度。
二、正交变换的概念和性质正交变换是指在二维或多维空间中，保持长度和角度不变的线性变换。
正交变换可以由正交矩阵表示，应用于几何学、物理学、图形学等领域。
正交变换的一个典型例子是旋转变换。
通过定义旋转角度和旋转轴，可以得到对应的正交矩阵，然后将该矩阵应用于向量，实现向量的旋转。
正交变换的性质包括：1. 正交变换保持向量长度不变。
即对于向量x，有 ||Tx|| = ||x||，其中T表示正交变换。
2. 正交变换保持向量之间的夹角不变。
即对于向量x和y，有cos(θ) = cos(Tx, Ty)，其中θ表示向量x和y之间的夹角，Tx和Ty表示应用正交变换T后的向量。
三、正交矩阵与正交变换的应用正交矩阵和正交变换在众多学科和领域中具有广泛应用，以下列举几个常见的应用领域：1. 几何学中的坐标变换：正交变换可以实现向量在不同坐标系之间的转换，例如平移、旋转和缩放等操作。
2. 物理学中的对称性：正交矩阵和正交变换被用于描述物理系统的对称性，如空间反演、时间反演等。
3. 图形学中的变换：正交变换被广泛应用于图形学中的三维模型变换和视图变换，实现图形的旋转、缩放和投影等操作。
正交矩阵的证明
正交矩阵的证明正交矩阵是线性代数中一个重要的概念，它具有许多重要的性质和应用。
本文将介绍正交矩阵的定义、性质以及如何证明一个矩阵是正交矩阵。
我们来定义正交矩阵。
一个n阶方阵A称为正交矩阵，如果它的转置矩阵等于它的逆矩阵，即A的转置矩阵AT等于A的逆矩阵A-1。
接下来，我们来看一些正交矩阵的性质。
首先，正交矩阵的行向量和列向量都是单位向量，并且两两正交。
其次，正交矩阵的行向量和列向量都是线性无关的。
此外，正交矩阵保持向量的长度和夹角不变，即对于任意向量x，有||Ax|| = ||x||，以及向量x和y之间的夹角等于向量Ax和Ay之间的夹角。
接下来，我们来证明一个矩阵是正交矩阵的方法。
首先，我们需要证明矩阵的行向量和列向量都是单位向量。
设A是一个n阶矩阵，它的第i行为a1i，第j列为aj1。
由正交矩阵的定义可知，A的转置矩阵AT等于A的逆矩阵A-1，即ATA = I，其中I是单位矩阵。
那么，我们有a1i·aj1 = 0 (i ≠ j)，即第i行向量和第j列向量正交。
另一方面，a1i·a1i = 1，即第i行向量的长度为1。
所以，我们可以得出结论：矩阵的行向量和列向量都是单位向量，并且两两正交。
我们需要证明矩阵的行向量和列向量都是线性无关的。
假设存在一个非零向量x，使得Ax = 0。
那么，我们有||Ax|| = ||0|| = 0，根据正交矩阵的性质可知||Ax|| = ||x||，所以||x|| = 0。
由向量的长度定义可知，只有零向量的长度为0，所以x必须是零向量。
因此，我们可以得出结论：矩阵的行向量和列向量都是线性无关的。
我们需要证明正交矩阵保持向量的长度和夹角不变。
设x和y是两个向量，我们有||Ax|| = ||x||，以及x·y = (Ax)·(Ay)。
根据向量的长度定义可知，如果两个向量的长度相等，则它们的平方和也相等。
所以，我们可以得出结论：正交矩阵保持向量的长度和夹角不变。
正交矩阵——精选推荐
第五章 二次型除特别指明外，本章都是在实数域内进行的讨论．§5.1 正交矩阵一、向量的内积1.定义：① 设有n 维行向量α = (a 1, a 2, ……, a n ) ，β = (b 1,b 2, ……, b n ) ，定义α与β的内积为： α βT = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …… + a n b n ． ② α 与 β 正交： α βT = 0 ．注：非零向量正交一定线性无关（反之不成立）．③ 对n 维列向量 α = (a 1, a 2, ……, a n )T ，β = (b 1,b 2, ……, b n )T ， α与β的内积为： α T β = a 1 b 1 + a 2 b 2 + …… + a n b n ， α与β正交，则： α T β = 0 ．说明：①.我们采用符号<α,β>统一表示n 维向量α和β的内积．②.在大家熟知的三维普通空间，建立笛卡儿坐标系后，矢量（也称向量）k a j a i a a r r r r321++= 和 kb j b i b b r r r r 321++=可以作为特例．不过用行（或列）矩阵[即行（或列）向量]表示内积（亦称点积、数量积）b a rr ⋅时，必须写成[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⋅321321b b b a a a b a rr ． 2.性质：① 对称： α βT = β αT ；（ <α,β> = <β,α> ） ② 数乘（齐次）：( λ α ) βT = α ( λ βT ) = λ ( α βT ) ； ③ 分配（可加）：( α + β) γT = α γT + β γT ；④ 自身相乘非负： α αT ≥ 0 ；仅当 α = 0 时， α αT = 0 ． 3.向量的长度（或模）： 22221Tn a a a +++==L ααα ，为非负的实数．性质：① 非负：α≥ 0 ；仅当 α = 0 时， α αT = 0 ； ② 数乘（齐次）： ααk k = ；③ 单位向量及非零向量单位化：若1=α，则α为n 维单位向量．对非零向量α ，都可单位化：ααβ= ． ④ 三角不等式： βαβα+≤+ ； ⑤ 柯西-施瓦茨不等式：222T )(βαβα≤ ．二、向量正交化1.正交向量组定义：若向量组α1，α2，……，αs 中的向量两两正交，则称该向量组是一个正交向量组． 重要的n 维正交向量组：)0,,0,1(1L =e ，)0,,1,0(2L =e ，……，),,0,0(n n L =e ．2.向量组正交化方法（Schmidt 正交化方法）：有一线性无关的向量组α1，α2，……，α r ，但不是正交向量组，用施密特（Schmidt ）正交化方法可以将其转化为一组正交且单位化的向量组． ① 正交化：令 11αβ= 1111222,,ββββααβ><><−= 222231111333,,,,ββββαββββααβ><><−><><−= ……111122221111,,,,,,−−−−><><−−><><−><><−=r r r r r r r r r ββββαββββαββββααβL ② 单位化：令111ββγ=，222ββγ=，……，rr r ββγ=．（课后看教材P.156之例6和例7．） 三、正交矩阵1.定义：设A 为n 阶实方阵，若A T A = I ，则称A 为n 阶正交方阵．2.性质：① 若A A T = I ，则A 为正交矩阵； ② 若A T = A -1 ，则A 为正交矩阵； ③ 若A 为正交矩阵，则行列式1±=A ；④ n 阶实方阵A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的列向量为一个相互正交的单位向量组；（用定义A T A = I 说明）⑤ n 阶实方阵A 为正交矩阵的充分必要条件是A 的行向量为一个相互正交的向量组；⑥ 若A ，B 为n 阶正交矩阵，则AB ，BA 也是n 阶正交矩阵；因 ( AB )T ( AB ) = B T A T AB = B T B = I ． ⑦ 正交矩阵的特征值的模等于1 ．（证明略） 四、向量的正交变换：1.定义：设A 为n 阶正交矩阵，X 为任意一个n 维向量，则称Y = A X为正交变换．2.重要性质：向量X 经正交变换后长度（模）不变．因 X X X AX A X AX AX Y Y Y =====T T T T T )()( ．3.推论：两个向量做相同正交变换后，内积不变，几何图形的形状不变． 五、实对称矩阵1. n 阶实对称矩阵A 的性质：[ 简单性质：A A A A A A ===T T )(,,]① 特征值都是实数；② 不同特征值对应的特征向量正交；证明： A T = A ， AX 1 = λ1X 1 ， AX 2 = λ 2 X 2 ， λ1 ≠ λ 2 ；( AX 1 ) T = ( λ1X 1 ) T ， ( X 1 ) T A T = λ1 ( X 1 ) T ；( X 1 ) T A = λ1 ( X 1 ) T ， ( X 1 ) T A X 2 = λ1 ( X 1 ) T X 2 ；λ 2 ( X 1 ) T X 2 = λ1 ( X 1 ) T X 2 ， ( λ 2 - λ1)[ ( X 1 ) T X 2 ] = 0 ；( X 1 ) T X 2 = 0 ．③ 有n 个线性无关的实特征向量；④ 必有正交矩阵P ，使得P -1AP = P T AP = D = diag( λ1, λ2,…, λn )其中λ1, λ2,…, λn 恰为A 的n 个特征值（重根按重数依次计入）；（证明：略）2.把n 阶实对称矩阵A 用正交矩阵对角化的步骤： ① 求出A 的相异特征值λ1, λ2,…, λ 5 ；② 对每个特征值λ i ，求出( λ i I – A ) X = 0 的一个基础解系，然后再正交化、单位化；③ 将求得的n 个相互正交的单位特征向量X 1, X 2, ……, X n 作为列向量排成矩阵P （就是所求的正交矩阵）；④ 计算),,,,,diag(11s i i T λλλλ==−L L AP P AP P ，即为所求（n 个对角元素的值可能有重复）． 六、例题（P.162例9亦P.132例4）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A ，求正交矩阵P ，使P T AP 为对角矩阵．解：① 由A 的特征方程0=−λA I ，求其特征值λ：1221105551222122210−λ−−−λ−+λ−λ−λ−λ=−λ−−−−λ−−−−λ=−λ=A I 2)1)(5(10211005+λ−λ=+λ−−λ−+λ−λ=解得51=λ，132−=λ=λ；② 求对应51=λ的特征向量，解齐次线性方程组 0X A I =−)5( ；由 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=−000110112330330112422242224)5(A I ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−→000110101 ，得同解方程组 ⎩⎨⎧=−=−003231x x x x ，令 33~x x = ， 则 3132~,~x x x x == ，得特征向量 []T1111=X ；单位化： T1313131⎥⎦⎤⎢⎣⎡=P ； ③ 求对应132−=λ=λ的特征向量，由 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−−=−−000000111222222222)(A I ，得同解方程组 0321=++x x x ，令 3322~,~x x x x == ，得特征向量 []T2011−=X ， []T3101−=X ； [与书不同，都对]正交化：[]T22011−==X α ，[][]TTT 22223331212101121101,,⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−=−−−=><><−=αααααX X ；单位化： T22202121⎥⎦⎤⎢⎣⎡−==ααP ， T333626161⎦⎤⎢⎣⎡−==ααP ； [与书不同] ④ 所求正交矩阵为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−==62031612131612131221P P P P ． [与书不同]本题附：① 可以验证 P T AP = diag ( 5, -1, -1 )．⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=6203161213161213112221222162616102121313131T AP P ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−=1000100056203561213561213562616102121313131 ． ② 用书上的P ，同样也可以验证 P T AP = diag ( 5, -1, -1 )．作业(P.162)：1； 6.(1)； 8；附录：关于复矩阵的共轭问题① 复矩阵的共轭矩阵 —— 每一矩阵元都取共轭；即复矩阵A = (ai j )的共轭矩阵为)(j ia=A．② 复向量的共轭向量 —— 每一元素都取共轭．。
正交矩阵的判断方法
正交矩阵的判断方法正交矩阵是一个非常重要的概念，在数学和工程学科中都有广泛应用。
正交矩阵的性质包括不改变向量的长度和角度，因此在许多应用中有着重要的作用。
在本文中，我们将介绍判断矩阵是否是正交矩阵的方法。
一、正交矩阵定义及性质在线性代数中，矩阵的转置和逆是非常重要的概念，而正交矩阵可以看作是一种比较特殊的矩阵，它的定义和性质包括：1. 定义：一个矩阵A被称为正交矩阵，当且仅当满足AA^T=A^TA=I，其中I表示单位矩阵。
2. 性质：正交矩阵有很多重要的性质，其中最重要的包括：（1）行向量互相正交，列向量也互相正交。
（2）行向量和列向量的范数都等于1。
（3）行列式的值为1或-1。
（4）矩阵的转置就是它的逆，即A^{-1}=A^T。
（5）正交矩阵的逆也是正交矩阵。
二、正交矩阵的判断方法判断矩阵是否是正交矩阵，通常需要用到正交矩阵的定义和性质。
下面我们将介绍一种比较常用的判断方法，包括以下几个环节：1. 矩阵是否是方阵：正交矩阵必须是一个方阵，因此首先需要判断矩阵是否是方阵。
2. 判断矩阵是否满足AA^T=A^TA=I：这是判断矩阵是否是正交矩阵的核心方法，需要将矩阵自身乘以它的转置，并且将转置乘以矩阵自身，判断是否等于单位矩阵，即AA^T=A^TA=I。
3. 判断行向量和列向量是否互相正交：如果矩阵满足条件1和条件2，那么可以进一步判断行向量和列向量是否互相正交。
具体方法是计算每一行与每一列的点积，如果结果都等于0，则说明行向量和列向量互相正交。
4. 判断行向量和列向量是否归一化：如果矩阵满足条件1和条件2，那么还需要判断行向量和列向量是否归一化，即是否满足每一行和每一列的范数都等于1。
5. 判断矩阵的行列式是否为1或-1：如果矩阵满足条件1和条件2，那么它的行列式值必须为1或-1。
如果行列式的值不是1或-1，则说明矩阵不是正交矩阵。
三、具体实现方法下面我们将详细介绍上述几个环节的具体实现方法。
1. 判断矩阵是否是方阵：在 Python 中，可以使用 NumPy 库的 shape 函数来获取矩阵的形状，如果矩阵的行数和列数相等，则说明矩阵是方阵，具体实现代码如下：``` pythonimport numpy as npdef is_square_matrix(matrix):shape = np.shape(matrix)return shape[0] == shape[1]```2. 判断矩阵是否满足AA^T=A^TA=I：在 Python 中，可以使用 NumPy 库的 dot 函数和 transpose 函数求解矩阵乘积和矩阵转置，具体实现代码如下：``` pythonimport numpy as npdef is_orthogonal_matrix(matrix):if not is_square_matrix(matrix):return FalseAAt = np.dot(matrix, matrix.T)AtA = np.dot(matrix.T, matrix)return np.allclose(AAt, np.eye(matrix.shape[0])) and np.allclose(AtA,np.eye(matrix.shape[1]))```其中 np.allclose 函数用于判断两个数组是否相等，可以通过设置 rtol 和 atol参数来控制误差容限。
正交矩阵
a11 a21
an1
a12 a22 an2
a1n a2n
a11 a12
ann
a1n
a21 a22 a2n
an1 an2
ann
1 0
0
0 1 0
0 0
1
ai12 ai22 ain2 1(i 1,2, , n)
ai1a j1 ai2a j2 ain a jn 0 (i j)
…
2
1
2
2
2
n
……………
… n1
n
2
n
n
0 0
1 0
0
0 1
E
故A是正交矩阵
【例(补)】设A为n阶方阵，n为奇数，且A为 正交阵，A 1。证明：E-A不可逆
证明：因为A为正交阵，有 AA E
E A AA A (A E)A
(A E) A (A E)
(A E) A E (1)(E A) (1)n E A EA 2 E A 0 ,即E A 0 所以，E-A不可逆
问x为何值时,A为正交矩阵
解：要使A为正交矩阵，必须 A 1
2x 0
0
A 0
0
cos 123
sin 123
sin 123
cos 123
2xcos2 sin2 2x
123
123
x1 2
2x
A 0
0
0 cos
123 sin
123
0
sin
123
cos 123
即要证：
i , j
0
1
i j i j
由 1 2 n 1 2 n E
即 1 2 n 1 2 n
正交矩阵
正交矩阵的作用引言正交矩阵是一类重要的实方阵，由于它的一些特殊的性质，使得它在不同的领域都有着广泛的作用,也推动了其它学科的发展.本文从正交矩阵的最主要的性质入手，来讨论它的四点作用.首先，我们来了解一下正交矩阵的定义. 一.正交矩阵的定义及性质 (一)正交矩阵的定义定义1 n 阶实矩阵A ，若满足A A E '=，则称A 为正交矩阵. 定义2 n 阶实矩阵A ，若满足AA E '=，则称A 为正交矩阵. 定义3 n 阶实矩阵A ，若满足1A A -'=，则称A 为正交矩阵. 定义4 n 阶实矩阵A 的n 个行（列）向量是两两正交 的单位向量，则称A 为正交矩阵. 以上四个定义是等价定义. (二)正交矩阵的性质设A 为正交矩阵，它有如下的主要性质. <1>∣A ∣=±1，A -1存在，并且A -1也为正交矩阵； <2>A ′，A *也是正交矩阵；当∣A ∣=1时，*A A '=，即ij ij a A =；当∣A ∣=-1时,*A A '=-,即ij ij a A =-.<3>若B 也是正交矩阵，则11,,,,AB A B AB A B AB --''都为正交 矩阵.证明 <1>显然 1A =±()1111()()A A A ----''== 所以1A -也是正交矩阵.<2>1A A -'=，显然A '为正交矩阵.由 1A =±，*1A A A A-'==当 1A =时，*A A '=，即ij ij a A = 当 1A =-时，*A A '=-，即ij ij a A =- 所以*A 为正交矩阵. <3>由1A A -'= ，1B B -'= 可知111()()AB B A B A AB ---'''===故AB 为正交矩阵.由<1>,<2>推知11,,,A B AB A B AB --''均为正交矩阵.正交矩阵的性质主要有以上几点，还有例如它的特征值的模为1，且属于不同特征值的特征向量相互正交；如果λ是它的特征值，那么1λ也是它的特征值等，这些性质这里就不再证明了.运用这些性质，我们来讨论一下它在以下四方面的一些作用.二.正交矩阵的作用（一）正交矩阵在线性代数中的作用在正交矩阵中，有一类初等旋转矩阵，我们也称它为Givens 矩阵.这里，我们将利用正交矩阵可以表示成若干初等旋转矩阵的乘积，给出化欧氏空间的一组基为标准正交基的另一种方法.设向量12(,,,)n W w w w '= ，令)s j i =>， ,jiw w c d s s==，则称n 阶矩阵11ij c d i T d c j i j ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪- ⎪⎪⎪⎝⎭行行列列为初等旋转矩阵.初等旋转矩阵ij T ，是由向量W 的第,i j 两个元素定义的，与单位矩阵只在第,i j 行和第,i j 列相应的四个元素上有差别.设ij T 是由向量W 定义的初等旋转矩阵()j i >，则有如下的性质： 〈1〉ij T 是正交矩阵； 〈2〉设12(,,,)ij n T W u u u '= 则有 ,0,(,)i j k k u s u u w k i j ===≠；〈3〉用ij T 左乘任一矩阵A ，ij T A 只改变A 的第i 行和j 行元 素（用ij T 右乘任一矩阵A ，A ij T 只改变A 的第i 列和j 列元素）.证明 〈1〉22222()1i j w w c d s++== ，故ij ij T T E '=，ij T 是正交矩阵.〈2〉由ij T 的定义知，用ij T 左乘向量W ，只改变W 的第,i j 两个元素，且0j ii jj i j w w w w u dw cw ss =-+=-+=所以ij T 左乘W ，使ij T W 的第i 个分量非负，第j 个分量为0，其余分量不变.〈3〉根据〈2〉及矩阵乘法立即可以得出此结论.引理1 任何n 阶实非奇异矩阵()ij n n A a ⨯=，可通过左连乘 初等旋转矩阵化为上三角矩阵，且其对角线元素除最后一个外都是正的.定理1 设P 是n 阶正交矩阵〉〈1若1P =，则P 可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积，即12r P PP P = ；2若1P =-，则P 可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵n E -，即12r P PP P = n E -，其中i P （i =1,2,…r ）是初等旋转矩22ji i i j w w u cw dw ss s =+=+=阵.nE -1111n n⨯⎛⎫ ⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪-⎝⎭证明 由于P 是n 阶正交矩阵，根据引理1知存在初等旋转矩阵r S S S ,,21使R P S S S S r r =-121 这里R 是n 阶上三角阵，而且R 的对角线上的元素除最后一个外都是正的，所以有12r P S S S R '''= （1） 由P 是正交矩阵和（1）式得E R S S S S R P P r r ='''=' 11 即 E R R =' （2）设 R =11121222n n nn r r r r r r ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 其ii r >0(i =1,2,…n -1)则R R '=11122212nnnn r r r r r r ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭11121222n n nn r r r r r r ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ =111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 由上式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===-===-==≠=11111,,2,1,,1,0P n j i P n j i n j i j i j i r ij 且且所以1,1nE P R E P -⎧=⎪=⎨=-⎪⎩，当当 （３）于是由（1）（3）式得<1>当1=P 时，12r P S S S '''= ；<2>当1-=P 时， 12r P S S S '''= n E -. 记(1,2,,)i i P S i r '== ，i P 是初等旋转矩阵，故定理1结论成立.引理2 设()ij n m R A a A m A P O⨯⎛⎫=== ⎪⎝⎭，秩（），则其中P 是n 阶正交矩阵，R 是m 阶上三角阵，O 是m m n ⨯-)(零矩阵.利用以上的结论可得：定理2 设()ij n m A a A m ⨯==，秩（），则A 可以通过左连乘初 等旋转矩阵，把A '变为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O R 的形式，其中R 是m 阶上三角阵，O 是m m n ⨯-)(矩阵.证明 由引理2知1R A P O⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中P 是n 阶正交矩阵，1R 是m 阶上三角阵，又根据定理1知：11,1,1r r n P P P P P P E P -⎧=⎪=⎨=-⎪⎩ 其中），（r i P i ,21= 是初等旋转矩阵.<1>当1=P 时，11211 r r R R A PP P R R P P A O O⎛⎫⎛⎫''=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令，<2>当1-=P 时，112r n R A PP P E O -⎛⎫= ⎪⎝⎭于是有 11r n R R P P A E O O -⎛⎫⎛⎫''== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭显然，R 是m 阶上三角阵，当n m =时R 与1R 除最后一行对应元 素绝对值相等、符号相反外，其余元素对应相等.当时n m >时，1R R =，所以由<1>、<２>知本定理的结论成立.设112111n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ，122222n a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，……，12m mm nm a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭是欧氏空间n R 的子空间m V 的一组基，记11121212221212()m m m n n nm a a a a a a A aa a ααα⎛⎫⎪⎪==⎪⎪⎪⎝⎭是秩m 为的n m ⨯的矩阵.若()ij n m A a ⨯=满足定理2的条件，则存在初等旋转矩阵12,,,rP P P ，使1r R P P A O ⎛⎫''= ⎪⎝⎭（４） 且),,,(21r P P P P P E ='=21(,,,)r P P P '''12121r r r P P P P E P P PP -''''''''∴== （５） 由（４）（５）两式知，对A 、E 做同样的旋转变换，在把A 化为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛O R 的同时，就将E 化成了P '，而P 的前m 个列向量属于子空间m V .综上所述可得化欧氏空间的子空间m V 的一组基：12,,,m ααα ()12(,,,),1,2,,i i i ni a a a i m α'== 为一组标准正交基的方法为：<1>由已知基12,,,m ααα 为列向量构成矩阵()ij n m A a ⨯=；<２>对矩阵)(E A 施行初等旋转变换，化A 为⎪⎪⎭⎫⎝⎛O R ，同时E 就被化为正交矩阵P '，这里R 是m 阶上三角阵；<３>取P 的前m 个列向量便可得m V 的一组标准正交基. 显然，上述方法是求子空间m V 的一组标准正交基的另一种方法.下面，我们通过实例说明此方法的应用.例 求以向量1(1,1,0,0)α'=-，2(1,0,1,0)α'=-，)1,0,0,1(3'-=α为基的向量空间3V 的一组标准正交基.解 矩阵123111100()010001A ααα---⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭对分块矩阵)(E A 依次左乘12T ，23T ，34T12T＝0022002200100001⎛⎫- ⎪⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,23T=100000000001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭34T=10000100121002⎛⎫ ⎪ -⎪ ⎪ -⎪⎝⎭得 34T 23T 12T )(E A=0000002311110002222⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪---- ⎪⎝⎭则00011112222P ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪'= ⎪ ⎪---- ⎪⎝⎭，121210210022P ⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎪= ⎪- ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭取100P ⎛ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，20P ⎛ = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，3P ⎛ = ⎪ ⎪⎝⎭则321,,P P P 就是由,,,,32ααα得到的3V 的一组标准正交基. (二)正交矩阵在拓扑和近世代数中的作用全体n 阶正交矩阵作成的集合，记为()n O ，从代数和拓扑的角度来看，我们可以证明它构成一拓扑群，并且进一步证明它是不连通的紧致lie 群. (1)()n O 构成拓扑群在证明()n O 构成拓扑群之前，先介绍一下相关的概念.定义5 设G 是任一集合，ℜ是G 的子集构成的子集族，且满足：1o 集合G 与空集Φ属于ℜ； 2o ℜ中任意个集的并集属于ℜ； 3o ℜ中任意有穷个集的交集属于ℜ；称ℜ是G 上的一个拓扑，集合G 上定义了拓扑ℜ，称G 是一个拓扑空间.定义6 设(,)G 是一个代数体系，若满足：1o ,,,()()a b c G a b c a b c ∀∈= ； 2o st G e G a ,,∈∃∈∀e a a e a == ；3o st G a G a ,,1∈∃∈∀-11a a a a e --== ； 则称G 是一个群.定义7 如果G 是一个拓扑空间，并赋予群的机构，使得群的 乘法运算 u ： G ⨯G →G ； 求逆运算 v ： G →G ； 是连续映射，就称G 为拓扑群.根据上面的定义，我们分三步来实现证明全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成拓扑群.〈1〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑空间. 〈2〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一群. 〈3〉 全体n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群. 证明 〈1〉设M 表示所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合，以A =()ij a 表示M 的一个代表元素.我们可以把M 等同于n 2维欧氏空间2n E，也就是将A =()ij a 对应于2n E的点111212122(,,,,,,,,,,)n n n na a a a a a a a .ℜ是点集2n E 的子集族，则2nE 和Φ都属于ℜ，ℜ中任意个集的并集属于ℜ，ℜ中有穷个集的交集也属于ℜ，可以验证2n E 构成一拓扑空间，从而M 成为一个拓扑空间.()n O 是所有具有实元素的n 阶正交矩阵，所以是M 的子集合，于是由M 的拓扑可以诱导出这个子集合的拓扑，从而()n O 构成M 的一个子拓扑空间.〈2〉1o )(,,n O C B A ∈∀ 由于矩阵的乘法满足结合律，所以)()(BC A C AB =2o st O E n n ,)(∈∃ A AE A E O A n n n ==∈∀,)(3o st A A O A n ,,1)('=∃∈∀- E A A AA A A A A ='=='=--11所以正交矩阵作成的集合 )(n O 对于乘法运算可构成一群.〈3〉对于〈1〉中的拓扑空间M 的拓扑，定义矩阵乘法m ：M M M ⨯→设(),()ij ij A a B b ∀==，则乘积m （A ，B ）的第ij 个元素是1nik kj k a b =∑.现在M具有乘积空间1112(E E E n ⨯⨯⨯ 个因子）的拓扑，对于任何满足1,i j n ≤≤的,i j ，我们有投影映射1:ij M E π→，将矩阵A 映为它的第ij 个元素.合成映射1:ij m M M M E π⨯→→，将A 和B 的乘积m （A ，B ）映为它的第ij 个元素.现在1(,)nij ik kj k m A B a b π==∑是A 与B 的元素的多项式，因此ij m π连续，投影映射ij π是连续的，从而证明映射m 是连续的.因为()n O 具有M 的子空间拓扑，是M 的一个子拓扑空间，且由正交矩阵的性质〈3〉及上面的讨论知，映射()()():n n n m O O O ⨯→也是连续的.()n O 中的矩阵可逆，定义求逆映射()():n n f O O →，1()()n A O f A A -∀∈=.由于合成映射1()():ij n n f O O E π→→，将()n A O ∀∈映为1A -的第ij 个元素，即A '的第ij 个元素，由正交矩阵的性质〈2〉，*A A A '=，所以ji ji A a A =，即()ji ij A f A Aπ=，A 的行列式及A 的代数余子式都是A 内元素的多项式，且0A ≠，所以ij f π为连续的，而投影映射ij π为连续的，所以求逆映射()():n n f O O →为连续的.至此，()n O 又是一个拓扑空间，并且构成群，对群的乘法与求逆运算都是拓扑空间的连续映射，因而所有n 阶正交矩阵作成的集合()n O 构成一拓扑群，称它为正交群. （2）()n O 是紧致lie 群在证明之前我们知道一下有关的定义和定理.定义8 设G 为拓扑群，G 的拓扑为n 维实（或复）解析流形，且映射11212(,)g g g g -→ 12,g g G ∀∈ 为解析流形G G ⨯到G 上的解析映射，则称G 为n 维lie 群.定理3 欧氏空间内的有界闭集是紧致子集.证明 A M ∀∈（所有具有实元素的n 阶矩阵作成的集合），A 对应2n 维欧氏空间2n E 的点1112121231(,,,,,,)n n nn a a a a a a a α ，M 可作为2n 维欧氏空间.A 的行列式det A 为元素1112121231,,,,,,n n nn a a a a a a a 的解析函数，{}det 0A M A ∈=为M的闭子集，因此{}*\det 0M M A M A =∈=为M 中的开子集.这时，按诱导拓扑可以知道*M 为解析流形，且关于矩阵的乘法和求逆运算均解析，故*M 为2n 维lie 群.()n O 为*M 的闭子集，按诱导拓扑为子流形，()n O 为lie 群. 为了证明()n O 紧致，根据定理内容，只要证明M 等同于2n E 时，()n O 相当于2n E 内的有界闭集.设 ()n A O ∀∈，由于AA E '=有1nij kjik j a bδ==∑ 1,i k n ≤≤对于任意的 ,i k ，定义映射1:ik f M E → A M ∀∈ 1()nik ij kj j f A a b ==∑则()n O 为下列各集合的交集 1(0)ik f - 1,i k n ≤≤ i k ≠ 1(1)ii f - 1i n ≤≤由于(1,)ik f i k n ≤≤都是连续映射，所以上述每个集合都是闭集.因此()n O 是M 的闭集.由于11nij ij j a b ==∑，因此()n O 是M 的有界闭集，这就证明了()n O 的紧致性.在拓扑结构上是紧致的lie 群，我们称为紧lie 群，所以()n O 为紧lie 群.（3）()n O 是不连通的定义9 设X 是一个拓扑空间，X 中存在着两个非空的闭子集A 和B ，使A B X = 和A B =Φ 成立，则称X 是不连通的.证明 我们再设()n SO 是所有行列式为1的正交矩阵构成的集合，S 为所有行列式为-1的正交矩阵构成集合.因为det ：1()n SO E →是连续映射，而我们知道单点集{}1是1E 的闭集，1()det (1)n SO -=，在连续映射下，任何一个闭集的原象也是闭集，所以()n SO 也为闭集.()n SO 为()n O 的闭集,同理，我们也可以证明S 是闭集.因为()()n n SO S O = ， ()n SO S =Φ ,而()n SO 和S 是闭集，有不连通的定义我们可以直接证明()n O 是不连通的. (三)正交矩阵在化学中的作用在结构化学原子轨道杂化理论中，原子中能级相近的几个原子轨道可以相互混合，从而产生新的原子轨道.杂化过程的数学表达式为1nk ki i i c φφ==∑1,2,;1,2,i n k == ，k φ为新的杂化轨道，i φ为参加杂化的旧轨道，ki c 为第k 个杂化轨道中的第i 个参加杂化轨道的组合系数.在杂化过程中，轨道数是守恒的，并且杂化轨道理论有三条基本原则：〈1〉杂化轨道的归一性杂化轨道(1,2,)k k n φ= 满足1k k d τφφ=⎰.〈2〉 杂化轨道的正交性0()k ld k l τφφ=≠⎰.〈3〉 单位轨道贡献每个参加杂化的单位轨道，在所有的新杂化轨道中该轨道成分之和必须为一个单位，即2222121nki i i ni k c c c c ==+++∑ =1.由杂化轨道原理，原子轨道的杂化，实际是由一组相互正交的单位基向量，通过线性变换转化成为另一组相互正交的单位基向量.在线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵，那么原子轨道的杂化，就可以转化为求出正交矩阵，作线性替换的过程. （1）3sp 杂化轨道.以甲烷分子的结构为例，激发态碳原子的电子组态为：21111*(1)(2)(2)(2)(2)x y z c s s p p p ，这样在形成4CH 分子时，激发态碳原子的一个2s 原子轨道和3个2p 原子轨道进行杂化形成4个等同的3sp 杂化轨道.设在激发态碳原子中四个能量相近的原子轨道2s φ、2xp φ、2yp φ、2zp φ是一组相互正交的基向量，再通过线性变换将它们转化成另一组相互正交的基向量a φ、b φ、c φ、d φ，那么线性变换系数矩阵A 必为正交矩阵.211121314221222324231323334414243442x yz s a p b p c d p a a a a a a a a a a a a a a a a φφφφφφφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ = 2222xy zs p p p A φφφφ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A 为正交矩阵，111213142144,,,,,,a a a a a a 分别是a φ、b φ、c φ、d φ在四个坐标轴上的分量.在等性杂化中，四个基向量a φ、b φ、c φ、d φ在四个坐标轴上的分量是相等的，即由四个能量相近的原子轨道2s φ、2xp φ、2yp φ、2zp φ进行杂化时形成四个等同的3sp 杂化轨道，在四个杂化轨道上，原子轨道s 和p 成份完全相同.根据这些理论，我们来求正交矩阵A .2222111213141a a a a +++= 11121314a a a a ===11241a =∴ 11121314a a a a ====12(取正值) 因为是等性杂化轨道.222211213141a a a a === 222211121314a a a a +++=1∴ 11213141a a a a ====12（取正值）∴ 22232432333442434411112222121212a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭22232411111022222a a a ⨯+++= 22222223241()12a a a +++= 222324a a a ==∴ 取符合条件的 2212a =，2312a =，2412a = 32333411111022222a a a ⨯+++= 22322333243411022a a a a a a ⨯+++= 即 32333412a a a ++=-32333412a a a --=-3212a ∴=- 3334a a =-取 3312a =，3412a =-42434411111022222a a a ⨯+++= 42434411111022222a a a ⨯+--= 42434411111022222a a a ⨯-+-= 4212a ∴=- 4312a =- 4412a =-11112222111122221111222211112222A ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎪∴= ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎪ ⎝⎭可以写出四个3sp 杂化轨道的杂化轨道式为：22221()2x y za s p p p φφφφφ=+++22221()2x y z b s p p p φφφφφ=+--22221()2x y z c s p p p φφφφφ=-+-22221()2x y z d s p p p φφφφφ=--+（2）sp 杂化轨道一个2s 和一个2p 原子轨道杂化形成两个sp 杂化轨道.同样，线性变换211112222122x s p aa a a φφφφ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的系数矩阵11122122a a A a a ⎛⎫=⎪⎝⎭是正交矩阵. 根据等性杂化理论 2211211a a += ，1121a a =1121a a ∴==221112121,a a a +=∴=（取正值）22220,a a =∴=A ⎫⎪⎪∴= sp ∴杂化轨道式为：122)x s p φφφ=+222)x s p φφφ=- (四)正交矩阵在物理中的作用任意刚体运动都对应一个正交矩阵，三维空间一条曲线经过刚体运动，其曲率和挠率是不变的，称它们为运动不变量.下面，我们来考察曲线作刚体运动时的量.设曲线}{1111()()()()r t x t y t z t →=与曲线()r t →}{()()()x t y t z t =只差一个运动，从曲线1()r t →到曲线1()r t →的变换为111213x x b y A y b z z b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1） 其中111213212223313233a a a A a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是三阶正交矩阵，1,23,,b b b 是常数. 对（1）两边求 n 阶导数得()()1()()1()()1n n n n n n x x y A y z z ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而有 111121312122233132331x x a x a y a z y A y a x a y a z a x a y a z z z ⎛⎫⎛⎫'''''''''''''''++⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'''''''''''''''==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪'''''''''++'''''' ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2） 因为A 是正交矩阵，所以亦有1()()r t r t ''= （3）另一方面，由一阶，二阶，三阶导数，可作成矩阵TA z y x z y x z y x z y x z y x z y x ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛''''''''''''''''''=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛''''''''''''''''''111111111 两边取行列式，由det 1A =±得z y x z y x z y x A z y x z y x z y x z y x z y x z y x T ''''''''''''''''''±=''''''''''''''''''=''''''''''''''''''111111111现在取（1()r t ' 1()r t '' 1()r t '''）=（()r t ' ()r t '' ()r t ''' ） 来讨论， 而（1()r t ' 1()r t '' 1()r t '''）=-（()r t ' ()r t '' ()r t ''' ）可类似地讨论.因为111111111111111111111111y y x x z x x z z y z y z y x z y x z y x z y x '''''''''+'''''''''+'''''''''='''''''''''''''''' （4）y y x x z x x z z y z z y y x z y x z y x z y x '''''''''+'''''''''+'''''''''='''''''''''''''''' （5）（2）代入（4）的右边得111111121321222311111131333311()()()y z z x a x a y a z a x a y a z y z z x x y a x a y a z z y ''''''''''''''''''''''++++++'''''''''''''''''''++'''')()()(111133111123111113111132111122111112111131111121111111y y x x z a x x z z z a z z y y z a y y x x y a x x z z y a z z y y y a y y x x x a x x z z x a z z y y x a '''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''+'''''''''= （6） 因（4）与（5）右边相等，有（5）右边与（6）式右边相等得111131111121111111y y x x a x x z z a z z y y a z z y y ''''''+''''''+''''''='''''' 111132111122111112y y x x ax z x z a z z y y a x x z z ''''''+''''''+''''''='''''' 111133111123111113y y x x a x x z z a z z y y a y y x x ''''''+''''''+''''''=''''''由正交矩阵的性质〈2〉知，ij ij a A =且由 1(,1,2,3)nji kj jk i A A j k δ===∑将上面三式左右分别平方相加222y z z x x y y z z x x y ''''''++''''''''''''=21122211121311()y z AAA y z ''++''''+21122221222311()z x AAA z x ''++''''+21122231323311()x y A A A x y ''++''''=222111111111111z x x y y z z x x y y z ''''''++''''''''''''写成矢函数，即得11()()()()r t r t r t r t →→→→''''''⨯=⨯于是我们可以推得： 111331()()()()()()r t r t r t r t K K r t r t →→→→→→''''''⨯⨯===''11112211(()()())(()()())(()())(()())r t r t r t r t r t r t r t r t r t r t ττ→→→→→→→→→→''''''''''''===''''''⨯⨯ 这里的11,;,K K ττ分别是曲线1(),()r t r t →→的曲率与挠率.参考文献[1]张凯院 徐仲等编 《矩阵论》 西北工业大学出版社 2001.3 160~164页[2]赵成大等 《物质结构》 人民教育出版社 1982.9 219~226页[3]熊金城编《点集拓扑讲义》高等教育出版社1998.5 110~111，193~195页[4]严志达等《lie群及其lie代数》高等教育出版社1985.10 11，16~17页[5]丘维声《有限群和紧群的表示论》北京大学出版社1997.12 271~273，276~277页[6]戴立辉等《正交矩阵的若干性质》华东地质学院学报2002.9 第25卷第31期267~268页[7]刘钊南《正交矩阵的作用》湘潭师范学院学报1987 11~16页[8]刘国志《欧氏空间子空间的标准正交基的全新方法—Givens变换法》抚顺石油学院学报1996.3 16卷1期78~ 81页[9]张焕玲等《一种求欧氏空间子空间的标准正交基的新方法》山东科学1996.3 9卷1期14~16页[10]陈少白《空间曲线的刚体运动基不变量》武汉科技大学学报2003.12 26卷4期424~426页致谢本论文是在我的指导教师任艳丽副教授的亲切关怀和悉心指导下完成的.从论文的选材到定稿，任老师给予我亲切的关怀和指导，从任老师那里我不仅学到了专业知识，更重要的是学到了严谨的治学态度，独立研究的工作作风和不断进取的精神，在此，我谨向我的指导教师任艳丽老师表示最衷心的感谢.我要向所有教过我的老师和帮助过我的同学致以深深的感谢，是他们的孜孜不倦的教诲和无私的帮助才使我今天的工作得以顺利进行.我特别感谢我的同学和朋友，给我关怀和鼓励.我还要感谢数学系002班大学四年共同奋斗过的所有同学.。
正交矩阵的概念
正交矩阵的概念正交矩阵是在数学领域中一种非常常见的概念。
它是一种矩阵，可以表示一系列线性变换。
正交矩阵可以把一个多维空间中的一组向量投影到另一个多维空间中，使得这组向量之间的点积和方向向量中的夹角均为90°。
正交矩阵的性质正交矩阵有以下几个性质：1、正交矩阵是一种方阵，即矩阵的行数和列数相同，行列式的值为1或-1。
2、正交矩阵是对角矩阵的特殊情况，对角线上的元素均为1或-1，其余元素均为0。
3、正交矩阵的元素乘积等于元素的乘积的逆矩阵，即A * A^(-1) = I，其中I为单位矩阵。
4、正交矩阵的转置等于其逆矩阵，即A = A^(-1)。
正交矩阵的应用正交矩阵在数据处理和矩阵运算中有着广泛的应用，其优点包括： 1、可以有效地简化矩阵运算，因为正交矩阵的乘积也是一个正交矩阵；2、可以有效地把一个多维空间中的一组向量投影到另一个多维空间中，使得这组向量之间的点积和方向向量中的夹角均为90°，从而提高数据分析的精度和计算效率；3、正交矩阵可以有效地处理稀疏数据，从而提高算法的性能；4、正交矩阵可用于消去系统中的噪声，可以有效地提高信号/图像的质量。
正交矩阵的定义正交矩阵是一种特殊的矩阵，它的元素满足特定的条件：1、对角线上的元素必须为1或-1；2、对角线之外的元素必须为0；3、对角线外的元素之间的乘积必须相等（其乘积一定为0）；4、元素的乘积等于元素的乘积的逆矩阵，即A * A^(-1) = I，其中I为单位矩阵；5、正交矩阵的转置等于其逆矩阵，即A = A^(-1)。
总结正交矩阵是数学中一种非常常见的概念。
它具有对角线为1或-1、对角线之外的元素为0、元素乘积等于元素的乘积的逆矩阵、正交矩阵的转置等于其逆矩阵等特殊性质，广泛应用于数据处理和矩阵运算中，可以提高算法的性能，有效地消除系统中的噪声，提高信号/图像的质量。
第八节正交矩阵
证：1)由|A+B|=|BBTA+BATA|=|B||BT+AT||A| =-|B|2|BT+AT|=-|(A+B)T|=-|A+B|
得|A+B|=0,即A+B不可逆. 2)由|A-B|=|BBTA-BATA|=|B||BT-AT||A| =|B|2|BT-AT|=|-(A-B)T|=(-1)n|A-B|
等都是正交矩阵；
A
2)
0
0 B
，12
A A
A A
是正交矩阵.
证:1)由AT=A-1,BT=B-1可知(AB)T=BTAT=B-1A-1=(AB)-1，
所以AB为正交矩阵，从而再由性质1可推知:
Am(m为自然数),ATB，ABT，A-1B，AB-1，A-1BA均为正 交矩阵。
2)
因为
A 0
知n为奇数时,|A-B|=-|A-B|，即|A-B|=0， 从而A-B不可逆.
例如，单位矩阵E为正交矩阵.
再如，矩阵
Q
cos sin
sin cos
也为正交矩阵.
QT
Q
cos sin
sin cos
cos sin
sin cos
1 0
0 1
E.
性质1： 设为A正交矩阵，则： 1）|A|=1；2）A可逆，其逆A-1也是正交矩阵； 3）AT，A*也是正交矩阵. 证：1）由AAT=E，可知|A|2=1，或者|A|=1. 对正交矩阵A，当|A|=1时，我们称A为第一类正交 矩阵；当|A|=-1时，则称A为第二类正交矩阵. 2)由AAT=E,可知A可逆,且A-1=AT,又
正交矩阵 标准正交基
正交矩阵标准正交基在线性代数中，正交矩阵和标准正交基是非常重要的概念，它们在矩阵和向量的运算中起着至关重要的作用。
本文将对正交矩阵和标准正交基进行详细的介绍，希望能够帮助大家更好地理解和运用这些概念。
首先，让我们来了解一下正交矩阵。
正交矩阵是指满足以下条件的实数方阵，其转置矩阵等于其逆矩阵，即满足条件$A^T A = I$，其中$I$为单位矩阵。
换句话说，正交矩阵的每一列都是单位向量，并且两两正交（即内积为0）。
正交矩阵具有许多重要的性质和应用，比如在旋转、镜像等几何变换中起着重要作用，同时在信号处理、图像处理等领域也有广泛的应用。
接下来，我们来介绍标准正交基。
在n维欧几里得空间中，如果一个基底中的向量组成正交矩阵，并且每个向量的模长为1，则称这个基底为标准正交基。
标准正交基在向量的表示、正交化、投影等问题中有着重要的作用，它能够简化向量运算的复杂度，同时也便于对向量空间进行分析和研究。
正交矩阵和标准正交基之间有着密切的联系。
事实上，正交矩阵的列向量就构成了一个标准正交基。
这是因为正交矩阵的列向量两两正交且模长为1，因此它们构成了一个标准正交基。
反之，任意一个标准正交基都可以通过正交化得到一个正交矩阵。
这种联系使得正交矩阵和标准正交基在理论和实践中都有着重要的地位。
在实际应用中，我们经常会遇到需要对矩阵进行正交化或者基底进行标准化的情况。
这时，我们可以利用正交矩阵和标准正交基的性质来简化计算，提高运算效率。
比如，在信号处理中，我们可以利用正交矩阵来进行信号的正交变换，从而简化信号的处理和分析；在机器学习中，我们可以利用标准正交基来表示特征向量，从而简化特征空间的计算和分析。
总之，正交矩阵和标准正交基是线性代数中非常重要的概念，它们在向量空间的表示、运算和分析中起着至关重要的作用。
通过深入理解和熟练运用这些概念，我们可以更好地解决实际问题，提高工作效率，同时也能够更深入地理解线性代数的理论和方法。
正交矩阵的性质
习题课 正交矩阵的性质
三、正交矩阵的特征根
1 在不同的教材上曾出现下面的命题 ①正交变换的特征根为1或－1； ②正交矩阵的实特征根为1或－1； ③正交矩阵的特征根的模等于1。
（5）
习题课 正交矩阵的性质
4 正交矩阵 A Rnn的三类特征根 ① n为偶数时， t 与 s 的奇偶性相同 ② n为奇数时，t 与s 的奇偶性相反，且至少有1个 特征根为1或－1。
习题课 正交矩阵的性质
5 n 维欧氏空间中的正交变换A特征根的存在情况
注意此时A与在标正基下的正交矩阵A的对应关系，A的实特征根
习题课 正交矩阵的性质
3 正交矩阵的判定
1
A
(aij
)
(1, 2 ,,n)Fra bibliotek 2 n
Rnn
① A为正交矩阵 A' A1
②
A为正交矩阵
i ' j
1, 0,
i j, i j,
i, j 1,2, , n
③ A为正交矩阵
i
j
'
1, 0,
i j, i j,
i, j 1,2, , n
习题课 正交矩阵的性质
习题课 正交矩阵的性质
3 A为n维欧氏空间Vn (R)的线性变换， 1, 2 , , n 是一组
标准正交基，若 A(1, 2 , , n ) (1, 2 , , n ) A ， A Rnn
则
A是正交变换 A为正交矩阵
习题课 正交矩阵的性质
4 n维欧氏空间 Vn (R) 的正交变换的分类 ① A为第一类的(旋转)，若 A 1； ② A为第二类的，若 A 1。
正交矩阵概念
正交矩阵概念正交矩阵概念正交矩阵是线性代数中的一个重要概念，它具有许多重要的性质和应用。
本文将从定义、性质、构造和应用四个方面详细介绍正交矩阵的概念。
一、定义1.1 矩阵的定义在线性代数中，矩阵是由一组数排成若干行若干列的表格形式表示的数学对象。
一个$m\times n$的矩阵$A$可以写成如下形式：$$A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}$$其中$a_{ij}$表示第$i$行第$j$列元素。
1.2 正交矩阵的定义正交矩阵是指满足以下条件的方阵：(1) 所有列向量互相垂直；(2) 所有列向量模长为1。
即对于一个$n\times n$的矩阵$Q$，满足以下条件：$$Q^TQ=QQ^T=I_n$$其中$I_n$表示$n$阶单位矩阵。
二、性质2.1 正交矩阵的性质正交矩阵具有以下性质：(1) 正交矩阵的行向量和列向量都是单位向量，并且互相垂直；(2) 正交矩阵的逆矩阵等于它的转置矩阵；(3) 正交矩阵的行列式为$\pm 1$，即$\det(Q)=\pm 1$；(4) 正交矩阵保持向量长度和角度不变，即对于任意向量$x$，有$\|Qx\|=\|x\|$且$\angle(Qx,Qy)=\angle(x,y)$。
2.2 正交矩阵的乘积仍是正交矩阵如果$Q_1$和$Q_2$都是正交矩阵，则它们的乘积$Q=Q_1Q_2$也是正交矩阵。
证明：由于$Q_1$和$Q_2$都是正交矩阵，所以有：$$Q^T=Q_2^TQ_1^T=(QQ)^T=I_n$$因此，乘积$Q=Q_1Q_2$也是正交矩阵。
正交矩阵
正交矩阵正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是正规矩阵。
尽管我们在这里只考虑实数矩阵，这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。
正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，对于复数的矩阵这导致了归一要求。
目录定义 1n阶实矩阵 A称为正交矩阵，如果：A×A′=E（E为单位矩阵，A'表示“矩阵A的转置矩阵”。
）若A为正交阵，则下列诸条件是等价的:1) A 是正交矩阵2) A×A′=E（E为单位矩阵）3) A′是正交矩阵4) A的各行是单位向量且两两正交5) A的各列是单位向量且两两正交6) (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R正交矩阵通常用字母Q表示。
举例：A=[r11 r12 r13;r21 r22 r23;r31 r32 r33]下面是一些小正交矩阵的例子和可能的解释。
恒等变换。
旋转16.26°。
针对x轴反射。
旋转反演(rotoinversion): 轴 (0,-3/5,4/5)，角度90°。
置换坐标轴。
编辑本段基本构造低维度最简单的正交矩阵是1×1 矩阵 [1] 和 [−1]，它们可分别解释为恒等和实数线针对原点的反射。
如下形式的2×2 矩阵它的正交性要求满足三个方程矩阵性质实数方块矩阵是正交的，当且仅当它的列形成了带有普通欧几里得点积的欧几里得空间R的正交规范基，它为真当且仅当它的行形成R的正交基。
假设带有正交(非正交规范)列的矩阵叫正交矩阵可能是诱人的，但是这种矩阵没有特殊价值而没有特殊名字；他们只是MM = D，D是对角矩阵。
任何正交矩阵的行列式是 +1 或−1。
这可从关于行列式的如下基本事实得出:反过来不是真的；有 +1 行列式不保证正交性，即使带有正交列，可由下列反例证实。
对于置换矩阵，行列式是 +1 还是−1 匹配置换是偶还是奇的标志，行列式是行的交替函数。
比行列式限制更强的是正交矩阵总可以是在复数上可对角化来展示特征值的完全的集合，它们全都必须有(复数)绝对值 1。
正交矩阵的计算公式
正交矩阵的计算公式
正交矩阵是指行列式为1且各行（列）向量互相正交的矩阵。
对于一个n阶正交矩阵A，其满足A^T * A = I，即其转置矩阵和自身的乘积为单位矩阵。
因此，可以通过求解A^T = A^-1来计算正交矩阵A的逆矩阵。
此外，正交矩阵的转置矩阵也是正交矩阵，即A^T也是正交矩阵。
因此，只需在矩阵A的列向量上施加Gram-Schmidt正交化过程，就可以得到一个正交矩阵。
具体地，假设矩阵A的列向量为
a1, a2, ..., an，那么可以通过以下步骤得到一个正交矩阵Q：
1. 令q1 = a1 / ||a1||，即将a1单位化作为第一列向量。
2. 对于每一个i（2 <= i <= n），令vi = ai - proj(q1, ai) - proj(q2, ai) - ... - proj(q(i-1), ai)，其中proj(q, a)为
向量a在向量q上的投影向量。
3. 令qi = vi / ||vi||，即将vi单位化作为第i列向量。
4. 最终得到正交矩阵Q = [q1, q2, ..., qn]。
这是一个计算正交矩阵的基本公式，可以通过这个公式计算出任何大小的正交矩阵。
- 1 -。
什么是正交矩阵
什么是正交矩阵
(1)等式两边取行列式，得到A的行列式值是±1
(2)正交矩阵A的行向量组以及列向量组都是标准正交的向量组
对于正交矩阵，组成它的列向量构成了一个空间的基，称之为：规范正交基。
而我们知道：对于一个空间而言，我们是可以找到很多个不同的基来表示的(参考相似矩阵的基底变换)，那对于一个空间：假设已知的基底是非规范正交基，有什么办法获取到它的规范正交基呢？【施密特正交法】。
凡是正交矩阵，一定可以对角化。
1.对角化：参考相似矩阵,也就是说一个矩阵A可以转为一个对角阵B.
2.正交矩阵：本身就是相互垂直，只是说它不见得是各个标准轴。
以三维空间为例，我们希望正交矩阵是：
所以结论就是：凡是正交矩阵一定可以对角化！
注意了，正交矩阵の每个列向量都是单位向量，所以对角化后，按道理得到的是一个单位矩阵。
正交矩阵和标准正交矩阵
正交矩阵和标准正交矩阵正交矩阵和标准正交矩阵是线性代数中重要的概念。
它们在许多数学和工程领域中都有广泛的应用。
本文将介绍正交矩阵和标准正交矩阵的定义、性质以及它们的应用。
首先，我们来定义正交矩阵。
一个n×n的实矩阵A被称为正交矩阵，如果它满足下列条件：1. A的每一列都是单位向量；2. A的每一行都是单位向量；3. A的每一列都与其他列正交（即内积为0）；4. A的每一行都与其他行正交。
接下来，我们来定义标准正交矩阵。
一个n×n的实矩阵Q被称为标准正交矩阵，如果它满足下列条件：1. Q的每一列都是单位向量；2. Q的每一列都与其他列正交。
可以看出，标准正交矩阵是正交矩阵的一种特殊情况。
标准正交矩阵的特点是其转置矩阵等于其逆矩阵，即Q^T = Q^(-1)。
正交矩阵和标准正交矩阵有许多重要的性质。
首先，正交矩阵的行列式的绝对值为1，即|det(A)| = 1。
这意味着正交矩阵的行列式不为0，因此它是可逆的。
其次，正交矩阵的转置矩阵等于其逆矩阵，即A^T= A^(-1)。
这个性质使得正交矩阵在求解线性方程组和矩阵的逆等问题中非常有用。
标准正交矩阵的性质更加简洁明了。
首先，标准正交矩阵的转置矩阵等于其逆矩阵，即Q^T = Q^(-1)。
这个性质使得标准正交矩阵在求解线性方程组和矩阵的逆等问题中非常方便。
其次，标准正交矩阵的每一列都是单位向量，因此它们可以用来构造坐标系。
在计算机图形学和机器学习等领域中，标准正交矩阵常常用于旋转和变换操作。
正交矩阵和标准正交矩阵在许多数学和工程领域中都有广泛的应用。
在物理学中，正交矩阵常用于描述旋转和对称性。
在信号处理中，正交矩阵常用于正交变换，如傅里叶变换和离散余弦变换。
在计算机科学中，正交矩阵和标准正交矩阵常用于图像处理、数据压缩和机器学习等领域。
总结起来，正交矩阵和标准正交矩阵是线性代数中重要的概念。
它们具有许多重要的性质，可以用于求解线性方程组、矩阵的逆以及旋转和变换操作等问题。
正交矩阵
2.积也是正交阵;
3.行列式的值为正1或负1。
任何正交矩阵的行列式是+1或−1。这可从关于行列式的如下基本事实得出：（注：反过来不是真的；有+1行 列式不保证正交性，即使带有正交列，可由下列反例证实。）
对于置换矩阵，行列式是+1还是−1匹配置换是偶还是奇的标志，行列式是行的交替函数。 比行列式限制更强的是正交矩阵总可以是在复数上可对角化来展示特征值的完全的集合，它们全都必须有(复 数)绝对值1 。
正交矩阵的最基本置换是换位(transposition)，通过交换单位矩阵的两行得到。任何n×n置换矩阵都可以 构造为最多n−1次换位的积。构造自非零向量v的Householder反射，这里的分子是对称矩阵，而分母是v的平方 量的一个数。这是在垂直于v的超平面上的反射(取负平行于v任何向量分量)。如果v是单位向量，则Q=I−2vv就 足够了。Householder反射典型的用于同时置零一列的较低部分。任何n×n正交矩阵都可以构造为最多n次这种反 射的积。
置换是很多算法成功的根本，包括有局部定支点(partialpivoting)的运算繁重的高斯消去法(这里的置换 用来定支点)。但是它们很少明显作为矩阵出现；它们的特殊形式允许更有限的表示，比如n个索引的列表。
同样的，使用Householder和Givens矩阵的算法典型的使用特殊方法的乘法和存储。例如，Givens旋转只影 响它所乘的矩阵的两行，替代完全的n次的矩阵乘法为更有效的n次运算。在使用这些反射和旋转向矩阵介入零的 时候，腾出的空间足够存储充足的数据来重生成这个变换 。
正交矩阵的逆是正交的，两个正交矩阵的积是正交的。事实上，所有n×n正交矩阵的集合满足群的所有公理。 它是n(n−1)/2维的紧致李群，叫做正交群并指示为O(n)。
正交矩阵
6 2
1 7
3 2
6 3
2
是正交矩阵。
6
令 1 6 3 2 2 2 6 3
3 3 2 6
A
1 7
1
2
3
[1,2 ] 0,[1,2 ] 0,[2,3] 0
1 2 3 1
a1n xn amn xn
n
或 yi aij x j i 1, , m. j 1
定理 正交变换不改变向量的内积，从而不改变向量的模、 夹角和距离。
例3.12 验证平面旋转变换 y xsin ycos x xcos ysin
是正交变换。
解 其系数矩阵为
a是正交矩阵方阵a的列向量构成标准正交组方阵a的行向量构成标准正交组是正交矩阵推论2交换正交矩阵的诸列或诸行仍得到正交矩阵
4.2.2 正交矩阵
如果方阵A满足 AA E ， 则 称A为正交矩阵 正交矩阵的性质
1. A A1
2. A 1
（这一条是显然的）
AA E AA A A A 2 E 1 A 1
cos A= sin
sin
cos
由于
ATA= cos sin
sin cos
cos
sin
sin
cos
=
1 0
0 1
所以A为正交矩阵，即平面旋转变换为正交变换。
1 3
(x
2
y
2z)
0
x
4 18
yz 1 18
1 (y z) 0
2
x2 y2 z2 1
求正交矩阵的方法
求正交矩阵的方法什么是正交矩阵在线性代数中，正交矩阵是一种特殊的方阵，其列向量两两正交且模长为1。
正交矩阵在许多数学和工程领域中被广泛应用，例如旋转变换和信号处理等。
一个n × n 的实数方阵 A 是正交矩阵，当且仅当满足以下条件： - A 的每一列是单位向量，即每一列的模长为1； - A 的每一列两两正交，即任意两列的内积为0；求正交矩阵的常见方法下面将介绍几种常见的求解正交矩阵的方法。
基于正交对角化的方法这是一种常见且简单的求解正交矩阵的方法。
对于一个对称矩阵 A ，可以通过对A 进行正交对角化得到正交矩阵 Q 和对角矩阵 D ，即 A = QDQ^T 。
其中，Q 的列向量是 A 的特征向量，D 是 A 的特征值组成的对角矩阵。
步骤如下： 1. 计算矩阵 A 的特征值和特征向量； 2. 将特征向量组成的矩阵 Q 进行单位化，即使 Q 的每一列的模长为1； 3. 检查 Q 是否是一个正交矩阵，即Q^TQ 是否等于单位矩阵。
基于Gram-Schmidt正交化过程的方法Gram-Schmidt 正交化过程是一种常见的求解正交向量集的方法。
可以使用该方法来求解正交矩阵。
步骤如下： 1. 对于一个给定的n × m 矩阵 A ，假设它的列向量组成的集合为{a1, a2, …, am}； 2. 对于i = 1, 2, …, m ，依次进行以下操作： - 令 v_i = a_i ； - 对于j = 1, 2, …, i-1 ，执行以下操作： - 计算内积coefficient = (v_i·v_j) / (v_j·v_j) ； - 更新 v_i = v_i - coefficient * v_j ； - 求得 v_i 的模长为norm = sqrt(v_i·v_i) ； - 将 v_i 单位化，即 v_i = v_i / norm ； 3. 最终得到的单位向量组成的矩阵 Q 即为正交矩阵。
什么是正交矩阵 例子
什么是正交矩阵例子正交矩阵是方块矩阵，行向量和列向量皆为正交的单位向量。
行向量皆为正交的单位向量，任意两行正交就是两行点乘结果为0，而因为是单位向量，所以任意行点乘自己结果为1。
对于3x3正交矩阵，每行是一个3维向量，两个3维向量正交的几何意义就是这两个向量相互垂直。
所以3x3正交矩阵的三行可以理解为一个3D坐标系里的三个坐标轴，下面是3＊3正交矩阵M，x1，x2，x3，／／x轴y1，y2，y3，／／y轴z1，z2，z3，／／z轴单位矩阵表示的三个坐标轴就是笛卡尔坐标系里的x，y，z轴：1，0，0，／／x轴0，1，0，／／y轴0，0，1，／／z轴一个向量乘以3x3正交矩阵的几何意义就是把这个向量从当前坐标系变换到这个矩阵所表示的坐标系里，比如下面的矩阵M1，0，1，0，1，0，0，0，0，1，一个向量（1，2，3）右乘这个矩阵M1得到新的向量（2，1，3），就是把原向量从原坐标系变换到一个新的坐标系。
新坐标系的x轴在原坐标系里是（0，1，0），即落在原坐标系的y轴上，新坐标系就是把原坐标系的x和y轴对调，所以这个正交矩阵M1作用于向量（1，2，3）后把向量的x和y分量对调了。
正交矩阵的定义“行向量和列向量皆为正交的单位向量”带来了另一个好处：正交矩阵的转置就是正交矩阵的逆，比普通矩阵求逆矩阵简单多了。
下面解释一下为什么正交矩阵的转置就是正交矩阵的逆：还是开头说的正交矩阵M：x1，x2，x3，／／rowxy1，y2，y3，／／rowyz1，z2，z3，／／rowz 每行都是单位长度向量，所以每行点乘自己的结果为1。
任意两行正交就是两行点乘结果为0。
矩阵M的转置矩阵MT是：x1，y1，z1，x2，y2，z2，x3，y3，z3，两个矩阵相乘Mmul＝M＊MT：rowx＊rowx，rowx＊rowy，rowx＊rowz，rowy＊rowx，rowy＊rowy，rowy＊rowz，rowz＊rowx，rowz＊rowy，rowz＊rowz，点乘自己结果为1，点乘别的行结果为0，所以Mmul等于单位矩阵1，0，0，0，1，0，0，0，1，逆矩阵的定义就是逆矩阵乘以原矩阵等于单位矩阵，所以，正交矩阵的转置就是正交矩阵的逆。
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a1，a2，，am的每一个向量都是单位向量,则称该向量组为
标准正交向量组.
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3.1
向量组的正交化标准化
定理1 正交向量组是线性无关的向量组. 证明: (反证) 设a1，a2，，am线性相关，则其中至少有一向量可由其余向 量线性表示，不妨设a1可由a2，，am线性表示，即有一组数 k2，，km，使
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例3．已知向量组a1=(1,1,1,1)T, a2=(3,3,-1,-1)T, a3=(-2, 0, 6, 8)T,
线性无关，试将它们正交化、标准化. 解:(1)先利用施密特正交化方法将向量组正交化，即令
b1=a1=(1, 1, 1, 1)T （a 2，b1） b2 = a 2 b1 （b1，b1）
-1)T
4 - (1, 1, 1, 1)T =(2, 2, -2, -2)T =(3, 3, -1, 4 （a 3，b1） （a 3，b 2） b3 = a 3 b1 b2 （b1，b1） （b 2，b 2）
12 T -32 = (-2, 0, 6, 8) (1, 1, 1, 1) (2, 2,-2,-2)T 4 16 =(-1, 1, -1, 1)T
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施密特正交化方法 定理2 对于线性无关的向量组a1,a2,,am，令 b1 = a1 (a 2 , b1 ) b2 = a 2 b1 ( b1 , b1 )
(a3 , b1 ) (a3 , b 2 ) b3 = a 3 b1 b2 ( b1 , b1 ) (b2 , b2 )
a1＝k2a2+ +kmam ，于是
(a1 , a1)= (a1 , k2a2+ +kmam)
= (a1 , k2a2)+ + (a1 , kmam)
=k2 (a1 , a2)+ + km (a1 , am)=0 这与(a1 , a1)≠0矛盾，所以a1，a2，，am线性无关.
5. A为正交矩阵的充分必要条件是其列(行)向量组是标准
正交向量组. （证明见下页）
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性质5 设A为n阶实矩阵，则A为正交矩阵的充分必要条件是其 列(行)向量组是标准正交向量组. 证明：设A=(a1，a2，，an)，其中a1，a2，，an为A的列向
cos Q Q= - sin
T
- sin 也为正交矩阵. cos
- sin 1 0 = = E. cos 0 1
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sin cos cos sin
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正交矩阵的性质 正交矩阵具有如下性质： 1．A为正交矩阵的充要条件是A-1=AT； 2. 正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵； 3. 两个正交矩阵的乘积是正交矩阵； 4. 正交矩阵是满秩的且|A|=1或-1；
此时 1,2,3 即为所求标准正交组. 说明：求标准正交组的过程为，先正交化，再标准化.
b3
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3.2
正交矩阵的概念
正交矩阵
定义6 如果n阶实矩阵A满足
ATA=E 或 AAT＝E，
则称A为正交矩阵.
例如，单位矩阵E为正交矩阵.
cos 再如，矩阵 Q = sin
T
此时 b1, b2, b3 为正交组.
《线性代数T 1 = = （1,1,1,1） || b 1|| 2
1 T 2 = = （1,1,-1,-1） || b 2 || 2
b2
b1
1 T 3 = = （-1,1,-1,1） || b 3 || 2
向量的单位化（标准化） (复习)
定义3 长度为1的向量称为单位向量. 若a 为非零向量，则
a a = || a ||
0
为单位向量，称此过程为向量的标准化.
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正交向量组(复习)
定义4 设向量a，b都为n维为向量，若(a ,b )=0，则称向量
a与b互相正交(垂直).
定义5 如果m个非零向量组 a1，a2，，am 两两正交，即 (ai ,aj )=0(ij), 则称该向量组为正交向量组.如果正交向量组
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向量的长度(复习) 定义2 对于向量a=(a1, a2, , an )T，其长度(或模)为
|| a ||= (a , a ) = a12 + a2 2 +
例如，向量a=(-3, 4)T的长度为
+ an 2 .
|| a ||= (a , a ) = ( -3) 2 + 4 2 = 5 .
第 3节
正交矩阵
内积的定义(复习) 定义1 设a=(a1, a2, , an )T与b=(b1, b2, , bn )T是两个n维向量， 则实数 n
a b = a b + a b
i =1 i i 1 1
2 2
+ ... + anbn ,
称为向量a和b的内积，记为(a , b ). 或aTb . 例如，设a=(-1, 1, 0, 2)T，b=(2, 0, -1, 3)T , 则a和b 的内积为 (a , b ) = (-1)2+10+0(-1)+23 =4 . 内积的性质(复习) 设a，b，g 都为 n维向量，k为常数. (1) ( a,b ) =(b,a ) ； (2) (ka,b ) = k ( a,b ) ； (3) (a+b,g ) = ( a,g ) + ( b, g ) ； (4) ( a,a ) 0，当且仅当a=o时，有( a,a ) =0 .
(a m , b1 ) (a m , b2 ) bm = a m b1 b2 ( b1 , b1 ) (b2 , b2 )
(a m , bm-1 ) b m-1 ( b m-1 , b m-1 )
则向量组b1,b2,,bm是正交向量组，并且与向量组a1,a2,,am可以 互相线性表示. 由此可知，若向量组a1,a2,,am为AX=o的一个基础解系，则向 量组b1,b2,,bm也为AX=o的一个基础解系.