14.3.1提公因式法因式分解
14.3.1 提公因式法因式分解
2、下列因式分解错误的是 (
2 2
B
)
A、x y ( x y )( x y ) B、x 6 x 9 ( x 3)
2 2
C、x 2 xy x( x y ) D、x 2 y 2 ( x y )2
• • • •
1、因式分解是整式乘法的逆变形。 2、因式分解的对象应是多项式。 3、因式分解的结果一定是积的形式。 4、结果中的每一个因式都必须是整式 。 • 5、要分解到再也不能分解为止。
4、提公因式法分解因式应注意的问题： （1）公因式要提尽； （2）小心漏掉1; （3）提出负号时,要注意变号.
课堂小结
符号规律： (1)(a–b)与(b–a)互为相反数：
①当n为偶数时， (a–b)n=(b–a)n ; ②当n为奇数时， (a–b)n= – (b–a)n 。
(2)(a–b)与(–a–b)互为相反数： ①当n为偶数时， (a–b)n=(–a–b)n ; ②当n为奇数时， (a–b)n= – (–a–b)n 。 (3)(a+b)与(b+a)是相同的数： 当n为整数时， (a–b)n=(b+a)n 。
=328－327－326
=326(32－3－1)
=326×5
=325×45 ∴817－279－913能被45整除.
1.分解因式： x( x y )(a b) y ( y x)(b a ); 2.解关于x的方程： 5 x( x 2) 4( x 2） 0.
2m n 3 不解方程组 , 求： 5n(2m n)2 2(n 2m)3的值. 4m 3n 1
做
计算下列个式:
(1) 3x(x-1)= _____ (2) m(a+b+c) = _____ (3) (m+4)(m-4)= ____ (4) (x-3)2= _______ (5) a(a+1)(a-1)= ____
14.3.1因式分解(提公因式法)八年级数学上册课件(人教版)
拓展训练
人教版数学八年级上册
3.△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请 判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并 说明理由． 解：整理a＋2ab＝c＋2bc得，a＋2ab-c-2bc＝0，
(a-c)＋2b(a-c)＝0，(a-c)(1＋2b)＝0，
∴a-c＝0或1＋2b＝0，
解：原式=-（a2-ab+ac）=-2a（a-2b+3c） （6）-2x3+4x2-2x
解：原式=-（2x3-4x2+2x）=-2x（x2-2x+1）
人教版数学八年级上册
拓展训练
人教版数学八年级上册
1.已知m-4n=-2，mn=5，求-m3n+8m2n2-16mn3的值. 解：-m3n+8m2n2-16mn3=-mn(m2-8mn+16n2)=-mn(m-4n)2 .
典例精析
例1 把8a3b2+12ab3c分解因式.
分析：找公因式
1.系数的最大公约数 4
2.找相同字母
ab
3.相同字母的最低指数 a1b2
公因式为：4ab2
解：8a3b2+12ab3c =4ab2•2a2+4ab2•3bc =4ab2(2a2+3bc)
人教版数学八年级上册
典例精析
人教版数学八年级上册
复习引入
人教版数学八年级上册
单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
p(a+b+c)=pa+pb+pc
多项式与多项式相乘的法则: 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个 多项式的每一项,再把所得的积相加.
第十四章 14.3 14.3.1 提公因式法
(x－3y)2(9x－6y)＝3(x－3y)2(3x－2y)． 又3x－x－32y＝y＝1，6， ∴7x(x－3y)2－2(3y－x)3＝3×12×6＝18.
第十四章 整式的乘法与因式分解 14.3 因式分解
14.3.1 提公因式法
1. 把一个多项式化为几个 整式的积的形式 ，叫 做因式分解．
2. 运用提公因式法因式分解的关键是确定多项式各 项的公因式，公因式是指各项系数的 最大公约数 ， 各项公有字母的 最低次幂 ．
知识点 因式分解的定义 1. (2017·常德)下列各式由左到右的变形中，属于分解 因式的是( C ) A．a(m＋n)＝am＋an B．a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2 C．10x2－5x＝5x(2x－1) D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
(2)若因式分解 1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋ 1)2017，则需应用上述方法 2017 次，结果是 (1＋x)2018 ；
(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋ 1)n(n 为正整数)．
解：原式＝(1＋x)n＋1.
1．确定公因式的方法：①系数：取各项系数的最大 公约数；②字母：取各项都含有的相同字母；③指数： 取相同字母的最低次幂．
【解析】∵2x2＋bx＋c＝2(x－3)(x＋1)＝2(x2－2x－3) ＝2x2－4x－6，∴b＝－4，c＝－6.
2. 阅读下面因式分解的过程，再回答问题： 1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＝ (1＋x)2(1＋x)＝(1＋x)3. (1)上述因式分解的方法是 提公因式法 ，共应用了 2 次；
14.3.1提公因式法 四环节
=3a(a-3b)
温馨提示
3a 3a a
2
9ab 3a 3b
分两步 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式 ， (即将多项式化为两个因式的 乘积)
小颖解的有误吗？
把 8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab分解因式.
解： 8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab
=ab•8a2 b-ab • 12 b2 c+ab • 1
☞
把下列各式分解因式
(1) x(x+y)-y(x+y) (2) am+an+bm+bn
把下列各式分解因式： 1．2a－4b; 2．ax2+ax－4a; 3．3ab2－3a2b; 4．2x3+2x2－6x; 5．7x2+7x+14; 6．－12a2b+24ab2; 7．xy－x2y2－x3y3; 8．27x3+9x2y．
2)3 x +9xy
3) a2 b – 2a b2 + ab
4) 4xy2-6xy+8x3y
ab
2xy
（2）多项式中的公因式是如何确定的？ (交流探索）
过关秘密武器：
正确找出多项式各项公因式的关键是：
公因式的系数是多项式各项系数的 定系数： 最大公约数。 定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同 的字母。
3
2
当多项式第一项系 数是负数，通常先 提出“-”号，使 括号内第一项系数 变为正数，注意括 号内各项都要变号。
练一练
把下列各多项式因式分解
1)
-4a3b3+6a2b-2ab 2） -9a2b3-12ab4+15ab5 3) -4x3y+2x2y2+xy3 4 ) -x4y2-2x2y-xy
14.3.1提公因式法
(1) 24x3y－18x2y (2) 7ma+14ma2 (3)－16x4+32x3－56x2 (4)－ 7ab－14abx+49aby (5)2a(y－z)－3b(y－z) (6)p(a2+b2)－q(a2+b2)
解因式的方法叫做提公因式法.
提公因式法一般步骤： 1、确定各项公因式(第一项是负的，先提取 一个负号，再确定公因式.) 2、利用整式除法把多项式各项写成公因式与 另一项乘积的形式 3、提取公因式
例 1、 用提取公因式法因式分 解：
①9a b 15ab c
2 2
② 12s t 8st 4st ③ 5a(x-y)-10b(y-x)
⑥ 4.3x199.8+0.76x1998-1.9x199.8 ⑦ 2a(y－z)－3ab(y－z) ⑧ 4p(a2+b2)－pq(a2+b2) ⑨ 12b(a-b)2 – 18(b-a)3
⑩ 2(a+b)2 – a-b
pa + pb + pc
在多项式中，每一个项都含有的 因式，叫做公因式.
找公因式的方法： 1. 所有项的系数的最大公约数
2. 取每一项都有的字母，且字母的指数取最 低的. 3.系数与相同字母的最低次幂相乘的积. 注：1.第一项是负的，先提取一个负号，
再确定公因式.
2.公因式可以是单项式或多项式.
指出下列各多项式中各项的公因式
①ax+ay+a 2 ②3mx-6nx ③4a2b+10ab2 2 ④3x -6xy+x ⑤12x2yz-9x3y2
pa + pb + pc = p ( a + b + c )
14.3.1 提公因式法
第十四章整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.1 提公因式法学习目标：1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系.2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.重点：理解理解因式分解的意义和概念.难点：掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.一、知识链接1.计算：x（x+1）= 3a(a+2)= m(a+b+c)=2.乘法的分配律：a(b+c)=_________________.二、新知预习议一议：观察上面式子的计算结果，x2,x有什么共同点？3a2,6a 有什么共同点？ma,mb,mc有什么共同点？多项式x2+x中有共同的因式，多项式3a2+6a中有共同的因式，多项式ma+mb+mc中有共同的因式，要点归纳：多项式中各项都含有的相同因式，叫作这个多项式的____________.想一想：根据等式的性质填空，观察计算结果，这些式子的右边有什么共同点？x2+x=_________，3a2+6a=____________, ma+mb+mc=_____________.要点归纳：把化成的形式，叫作.如果多项式的各项有_______，可以把这个_______提取出来，将多项式写成_______与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.三、自学自测下列等式中，哪些从左到右的变形是乘法运算，哪些是因式分解.①1＋2x+3x2=1+x(2+3x) ②3x(x+y)=3x2+3xy③6a2b+3ab2－ab=ab(6a+3b－1) ④3xy－4x2y+5x2y2=xy(3－4x+5xy)四、我的疑惑___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________一、要点探究探究点1：因式分解例1：下列从左到右的变形中是因式分解的有()①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．A．1个B．2个C．3个D．4个方法总结:因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．辩一辩：在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有___________，不是的，请说明为什么？①am+bm+c=m(a+b)+c ____________________________________;②24x2y=3x ·8xy ____________________________________;③x2-1=(x+1)(x-1) ____________________________________;④(2x+1)2=4x2+4x+1 ____________________________________;⑤x2+x=x2(1+1x) ____________________________________;⑥2x+4y+6z=2(x+2y+3z) ____________________________________.探究点2：公因式问题1：如何确定一个多项式的公因式？找一找：3x 2- 6 xy的公因式.(1)多项式3x 2- 6 xy有____项，分别为__________、_________，它们的系数分别是______、_______，最大公约数是____________，它们含有的共同字母是___________，该字母的指数分别为____、_____. (2)该多项式的公因式为______________.方法归纳：正确找出多项式的公因式的步骤：1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的_______________.2.定字母：字母取多项式各项中都含有的________的字母.3.定指数：相同字母的指数取各项中______的一个，即字母最_____次数.填一填：下列各多项式的公因式是什么？将其填在横线上.(1) 3x+6y ___________; (2)ab-2ac ___________;(3) a2 - a3 ___________ ; (4)4 (m+n) 2 +2(m+n) ___________;(5)9m2n-6mn ___________; (6)-6x2y-8 xy 2 ___________;探究点3：用提公因式法分解因式例2：把下列各式分解因式(1)8a3b2＋12ab3c；(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；(3)(a＋b)(a－b)－a－b.方法总结：提公因式法步骤（分两步）第一步:找出公因式；第二步:提取公因式，即将多项式化为两个因式的乘积.辩一辩：下列同学分解因式的结果正确吗？不正确的话，请说明理由，并改正.(1)分解因式12x2y+18xy2=3xy(4x + 6y). ____________（填“正确”或“错误”）理由：_______________________________正解：________________________________(2)分解因式3x2 - 6xy+x =x(3x-6y).____________（填“正确”或“错误”）理由：_______________________________正解：________________________________(3)- x 2+xy-xz= - x(x+y-z)____________（填“正确”或“错误”）理由：_______________________________正解：________________________________易错归纳：(1)提取公因式后，多项式中各项还含有公因式．(2)提取公因式后，漏掉另一个因式中商是1的项；(3)找底数互为相反数的幂的公因式时符号出错；例3：计算：(1)39×37－13×91；(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14.方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．例4： 已知a ＋b ＝7，ab ＝4，求a 2b ＋ab 2的值．方法总结：含a ±b ，ab 的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a ±b 和ab 表示的式子，然后将a ±b ，ab 的值整体带入即可.1.下列各式变形中，是因式分解的是（ ）A.a 2－2ab ＋b 2－1＝（a －b ）2－1 Ｂ.)11(22222xx x x +=+ C ．（x ＋2）（x －2）＝x 2－4 D.x 4－1＝（x 2＋1）（x ＋1）（x －1）2.多项式6ab 2c －3a 2bc ＋12a 2b 2中各项的公因式是( )A ．abcB ．3a 2b 2C ．3a 2b 2cD ．3ab3.把a 2-4a 多项式分解因式，结果正确的是（ ）A ．a （a-4）B ．（a+2）（a-2）C ．a （a+2）（a-2）D ．（a-2）2-44.当a ，b 互为相反数时，代数式a 2+ab-2的值为（ ）A ．2B ．0C ．-2D ．-15.分解因式(1)a 2b –2ab 2+ab ； (2)2（a-b ）-4(b-a)；(3)a 2b （a －b ）＋3ab （a －b ）； (4)y 2（2x ＋1）＋y （2x ＋1）2.A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D．5mn22.把多项式（x+2）（x-2）+（x-2）提取公因式（x-2）后，余下的部分是（）A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+33.下列多项式的分解因式，正确的是（）A．12xyz-9x2y2=3xyz（4-3xyz）B．3a2y-3ay+6y=3y（a2-a+2）C．-x2+xy-xz=-x（x2+y-z）D．a2b+5ab-b=b（a2+5a）4.把下列各式分解因式：(1)8 m2n+2mn=_____________；(2)12xyz-9x2y2=_____________；(3)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )=_____________；(4) -x3y3-x2y2-xy=_______________；(5)(x-y)2+y(y-x)=_____________.5.若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，则M等于_____________.6.简便计算：(1) 1.992+1.99×0.01 ; (2)20132+2013-20142; (3)(-2)101+(-2)100.7.(1)已知: 2x+y=4,xy=3,求代数式2x2y+xy2的值.(2)化简求值：(2x+1)2-(2x+1)(2x-1)，其中x=12. .拓展提升8.△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并说明理由．。
人教版八年级数学上册 14.3.1因式分解 (提公因式法)
因式分解（ 提公因式法）1. 因式分解的概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式。
2. 提取公因式确定公因式的方法是：先取各项数字系数的最大公约数，再取各项相同字母的最低次幂，合起来就是这个多项式的公因式。
如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是正的，并且注意括号内其它各项要变号。
如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出。
总结 ①公因式的系数：②字母：③相同字母的指数：例1 下列从左到右的变形,属于分解因式的是( )A. (x+3)(x －2)=x 2+x －6B. ax －ay+1=a(x －y)+1C. x 2－21y=(x+y 1)(x －y 1) D. 3x 2+3x=3x(x+1) 例2 写出下列多项式中的公因式：（1）3525x x + （2）121m n m n ab a b -+-（3）253243143521x y x y x y +- （4）()()23a a b a b a --- （5）()()2222n m n m m nm n + （6）3223232125a b c ab c a b c +-例3利用提公因式法分解因式：（1）33xy y x - （2）32318x x -例4 把a 2﹣4a 多项式分解因式，结果正确的是（ ）A ．a （a ﹣4） B ． （a+2）（a ﹣2） C ． a （a+2）（a ﹣2） D ． （a ﹣2）2﹣4例5把多项式（m+1）（m ﹣1）+（m ﹣1）提取公因式（m ﹣1）后，余下的部分是（ ）A ． m+1B ． 2mC ． 2D ． m+2例6已知（19x ﹣31）（13x ﹣17）﹣（13x ﹣17）（11x ﹣23）可因式分解成（ax+b ）（8x+c ），其中a ，b ，c 均为整数，则a+b+c=（ ）A ． ﹣12B ． ﹣32C ． 38D ． 721．下列变形中,属于因式分解的是 （ ）A ．(a +b )(a －b )=a 2－b 2B ．x 2－y 2+4y －4=(x +y )(x －y )+4(y －1)C ．a 3－b 3=(a －b )(a +ab +b )D ．a 2－10a +10=a (a －10)+102． 49x 3y z 3+14x 2y 2z 2－21xy 2z 2在分解因式时应提取的公因式是 （ ）A ．7x 3y z 3B ．7x 2y 2z 2C ．7xy 2z 2D ．7xy z 23． 多项式0.5x(a －b)－0.25y(b －a)中,可提取公因式 （ ）A ．0.5x+0.25yB ．0.5x+0.25yC ．a+bD ．0.25(a －b)4． (－a )m +a (－a )m －1的值是 （ ）A ．1B ．－1C ．0D ．(－1)x+15． 下列各恒等变形中,是因式分解的是 （ ）A ．a 2－2ab +b 2=(a －b )2B ．(a +b )2=a 2+2ab +b 2C ．a 2b +ab 2+c=ab (a +b )+cD ．a 2－2ab +b 2－c=(a －b )2－c。
人教版数学八年级上册14.3.1因式分解-提取公因式 课件
针对训练：
（1）-x2y+yx-xy2 (2)-4x2+8ax+2x （3）-3ab+6abx-9aby
例2 、因式分解 2(a-b)2 -a+b =2(a-b)2-(a-b) =(a-b)[2(a-b)-1] =(a-b)(2a-2b-1)
点拨：提公因式时，将因式改变符号后，才能看出公因式。 针对训练:
提公因式法： 其中一个因式是各项的公因式m另一个因式 (a+b+c)是m(a+b+c)除以m所得的商．像这 种分解因式的方法叫做提公因式。 归纳：如果多项式各项都有公因式，可以把 这个公因式提出来，将多项式写成积的形式， 这就叫做提公因式分解因式。
指出下列各多项式中各项的公因式
⑴5xy-10x ⑵9y2+12y ⑶7x3y2-42x2y3 ⑷7(a-3)-b(a-3) 注意：1.公因式系数为各项系数的最 大公约数。 2.取各项相同的字母。 3.找出相同字母的最低次幂。
14.3 因式分解 14.3.1 提公因式
• 1.了解公因式的概念和因式分解的意义，培 养逆向思维的能力；
• 2.通过独立思考、小组交流，探究整式乘法 与因式分解的区别和联系；
• 3.掌握如何用提公因式来分解因式。
运用已学过的知识填空:
⑴ x(x-2)= X2-2x ;
⑵ (x+2)(x-2)= x2-4 ;
(1) a(x-y)-x+y (2) 7(x-3)-x(3-x) (3) (a-2)2-2a(2-a) (4)(x+y-z)(x-y+z)-(y+z-x)(z-x-y)
归纳总结: 分解因式的一般步骤：
1. 找出，找出应提取的公因式。 2. 除以，用多项式去除以公因式。 3. 整理，把多项式写成因式积的
课件1：14.3.1提公因式法
ma＋mb ＋mc ＝m（a＋b ＋c）
分解因式4m2-8mn
解： 4m2-8mn
=4m•m-4m•2n
确定公因式
=4m(m-n)
提取公因式
例1 把 8a3b2+12ab3c 分解因式．
解： 8a3b2 +12ab3c =4ab2 2a2+4ab2 3bc =4ab（2 2a2+3bc）.
例2 把 2（a b+c）-（3 b+c）分解因式．
整
式
14.3 因式分解
的 乘
法
14.3.1 提公因式法
与 因
式
分
解
教学目标
（1）初步了解因式分解的意义，知道因式分解与整 式乘法是互逆运算。 （2）会找公因式 （3）会用提公因式法分解因式 （4）体会数学知识之间是相互联系的，是可以相互 转化的。 （5）进一步培养学生观察、分析、归纳等能力。
重点 、难点、 关 键 重点：提公因式法是因式分解最基本最常用的方
提出问题：两个等式的左边各项有何共同特点?
Ⅱ.讲解新课
练习1：找出下列各多项式中各项的公因式：
(1)ax+ay
(2)6a+14b (3)2a2+4a
(4)4m2-8mn (5)8a2x+6ax2-12a3x3
(1)a(x+y)
(2)2(3a+7b) (3)2a(a+2)
(4)4m(m-2n) (5)2ax(4a+3x-6a2x2)
因式分解（分解因式）：把一个多项式化成几个整 式积的形式叫因式分解
⑶设问：整式乘法和因式分解有什么关系？ 因式分解就是将多项式 化成几个整式的积
人教版数学八年级上册14.3.1提公因式法因式分解-课件
例1 把8a3b212ab3c分解因
分析：应先找出
与
的公因式，再提公因式进行分解.
例 2 分解因式
2a(bc)3(bc)
分析：(b+c)是这两个式子的公因式,
可以直接提出.
解 2a(b ： c)3(bc)
(bc)2 (a . 3)
因式分解：
(1)24x3y－18x2y ；
(2)7ma+14ma2 ；
(3)－16x4+32x3－56x2 ； (4)－ 7ab－14abx+49aby ； (5)2a(y－z)－3b(y－z) ； (6)p(a2+b2)－q(a2+b2).
1.20042+2004能被2005整除吗?
2.先分解因式，再求值
4a2(x7)3(x7)，其中 a5,x3.
• 小结： • 本节课你有何收获？还有哪些困惑？
14.3.1 提公因式法
:整式的乘法
计算下列各式:
x(x+1)= x2 + x ； (x+1)(x－1)= x2－1 .
请把下列多项式写成整式乘积的形式.
(1) x 2 x x(x1)
(2) x 2 1 (x1)(x1)
把一个多项式化成几个整式 积的形式，这种变形叫做把这个 多项式因式分解（或分解因式）.
想一想：因式分解与整式 乘法有何关系?
x2－y2 因式分解 (x+y)(x－y)
整式乘法
因式分解与整式乘法是互逆过程.
练习一 理解概念
判断下列各式哪些是整式乘法?哪 些是因式分解?
(1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y)；因式分解 (2) 2x(x－3y)=2x2－6xy 整式乘法 (3) (5a－1)2=25a2－10a+1 ；整式乘法
14.3.1提公因式法分解因式
【教学重点】了解因式分解的意义，感受其作用，掌握用提公因式法把多项式分解因式．
【教学难点】整式乘法与因式分解之间的关系；正确地确定多项式的最大公因式．
【教具准备】“121”导学稿、ppt课件．
教学过程
教师/学生活动
（2）3x2＋x3＝（）（）；
（3）ma＋mb＋mc＝（）（）.
3.归纳：“回忆”的是已熟悉的运算，而要“探索”的问题，其过程正好与“回忆”，它是把一个多项式化为几个整式的乘积形式，这就是因式分解（也叫分解因式）.
由上可知,整式乘法与因式分解是的变形.在下面变形的箭头上填上适当的变形方法.
x(x-1)
※多项式各项都含有的，叫做这个多项式各项的公因式.
6．提公因式法分解因式.
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以，从而将多项式化成两个的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.如：ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c）
【重难点过关】
1.辨一辨:下列各式从左到右的变形，哪是因式分解?
（1）4a(a＋2b)＝4a2＋8ab；（2）6ax－3ax2＝3ax(2－x)；
个案调整
【预习交流】
问题一：1.回忆：运用前两节所学的知识填空：
（1）2（x＋3）＝___________________；（2）x2（3＋x）＝_________________；
（3）m（a＋b＋c）＝_______________________.
2.探索：你会做下面的填空吗？
（1）2x＋6＝（）（）；
3．把下列各式分解因式:
⑴8m2n+2mn⑵12xyz-9xy2⑶2a（y－z）－3b(z－y)
人教版八年级数学上册课件：14.3.1提公因式法
9．将下列各式因式分解： (1)-9x2y-6xyz;
解：原式=-3xy(3x+2z);
(2)4x2-12x2y+12x3y2; 解：原式=4x2(1-3y+3xy2);
(3)9a3x2-18a5x2-36a4x4; 解：原式=9a3x2(1-2a2-4ax2);
(4)-28m4n3+42m2n3-14m2n; 解：原式=-14m2n(2m2n2-3n2+1);
2．多项式4a2b(a-b)-6ab2(b-a)的公因式是( D ) A．4ab B．2ab C．ab(a-b) D．2ab(a-b)
3．下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是 ( C)
A．a(x+y)=ax+ay B．x2-4x+4=x(x-4)+4 C．10x2-5x=5x(2x-1) D．x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x
同多项式因式)； (3)定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的
指数的最小值．
3．提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，那么 可把该公因式提取出来进行因式分解，这种因式分解 的方法，叫做提公因式法．
提公因式的一般步骤：第一步找出公因式；第二步确定 另一个因式；第三步写成积的形式．
1．多项式12ab3c-8a3b的公因式是( D ) A．4ab2 B．-4abc C．-4ab2 D．4ab
(4)因式分解是有范围的，无特殊说明，一般在有理数范
围内分解，有时也要求在实数范围内分解;
(5)整式乘法与因式分解的关系：整式的乘法与因式分解 一个是积化和差、一个是和差化积，是两种互逆的变 形．即：
多项式
整式的乘积．
14.3.1提公因式法
(1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y)；因式分解 (2) 2x(x－3y)=2x2－6xy 整式乘法 (3) (5a－1)2=25a2－10a+1 ； 整式乘法 (4) x2+4x+4=(x+2)2 ；因式分解 (5) (a－3)(a+3)=a2－9 整式乘法 因式分解 (6) m2－4=(m+2)(m－2) ； (7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r). 因式分解
注意：公因式可以是数字，字母，也 =（x－y）（a－b）. 可以是单项式，还可以是多项式。
=a（x－y）－b（x－y）
【课堂练习】
2. 6（m－n）3－12（n－m）2 【解析】6（m－n）3－12（n－m）2 =6（m－n）3－12［－（m－n）］2 =6（m－n）3－12（m－n）2 =6（m－n）2（m－n－2）.
这些在分解因式时，符号都可当做公因式，但要注意符号
【课堂练习】
2.（苏州·中考）分解因式 a2－a=
【解析】 a2－a=a(a-1). 答案：a(a-1) 3.（盐城·中考）因式分解 2a 2 4a ______. 【解析】用提公因式法因式分解：2 a 4 a 2 a (a 2)
讨论点拨
叫做把这 个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式。 2、与整式乘法的关系：是整式乘法的 变形 逆
1、 把一个多项式化成几个整式积的形式
讨论点拨
因式分解 x2-1 (x+1)(x-1)
整式乘法
因式分解与整式乘法是方向相反的变形.
自学指导2
看课本第P114--115页练习以上的内容，并思
确定公因式的方法
（1）系数——取各项的最大公约数 （2）字母——取各项相同字母 （3）指数——取各项相同字母的最低次幂 提公因式法分解因式的步骤
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14.3.1 提公因式法
:整式的乘法
计算下列各式:
x(x+1)= x2 + x ； 2－1 (x+1)(x－1)= x .
讨论
630能被哪些数整除?
在小学我们知道，要解决这个问题， 需要把630分解成质数乘积的形式.
630 2 3 5 7
2
类似地，在式的变形中，有时需 要将一个多项式写成几个整式的乘积 的形式.
请把下列多项式写成整式乘积的形式.
(1) x x x( x 1) 2 ( 2) x 1 ( x 1)( x 1)
2
把一个多项式化成几个整式 积的形式，这种变形叫做把这个 多项式因式分解（或分解因式）.
想一想：Biblioteka 因式分解与整式乘法有何关系?
2－y2 因式分解 x 整式乘法
分析：(b+c)是这两个式子的公因式, 可以直接提出.
例3:分解因式 2a(y－z)－3b(z－y) ；
因式分解：
3y－18x2y (1)24x
； 2； (2)7ma+14ma 4+32x3－56x2 ； (3)－16x (4)－ 7ab－14abx+49aby ； (5)2a(y－z)－3c(y－z) ； 2+b2)－q(a2+b2). (6)p(a
注意：各项系数都是整数时，因式的 系数应取各项系数的最大公约数；字 母取各项的相同的字母，而且各字母 的指数取次数最低的.
例1
把8a b 12ab c分解因式
3 2 3
分析：应先找出 与 的公因式，再提公因式进行分解.
例 2 分解因式
2a(b c) 3(b c)
解：a(b c) 3(b c) 2 (b c)(2a 3)
2+2004能被2005整除吗? 1.2004
2.先分解因式，再求值 4a ( x 7) 3( x 7)， 其中a 5, x 3.
2
这节课你学到了什么？
因式分解 方法：提公因式法
怎样分解因式: ma mb mc . 公因式：多项式中各项都有的 因式，叫做这个多项式的公因式；
把多项式ma+mb+mc分解成 m(a+b+c)的形式，其中m是各项的公因 式，另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc 除 以m的商，像这种分解因式的方法，叫 做提公因式法.
说出下列多项式各项的公因式： (1)ma + mb ； m (2)4kx－ 8ky ； 4k (3)5y3+20y2 ； 5y2 (4)a2b－2ab2+ab . ab
(x+y)(x－y)
因式分解与整式乘法是互逆过程.
练习一 理解概念 判断下列各式哪些是整式乘法?哪 些是因式分解? 因式分解 (1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y)； (2) 2x(x－3y)=2x2－6xy 整式乘法 整式乘法 (3) (5a－1)2=25a2－10a+1 ； (4) x2+4x+4=(x+2)2 ； 因式分解 (5) (a－3)(a+3)=a2－9 整式乘法 因式分解 (6) m2－4=(m+2)(m－2) ； (7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r). 因式分解