第三次作业

6．证明在定态问题中，几率流密度与时间无关。

11．氢原子基态波函数0
3
1001
a r e
a
-
=
πϕ。

求电子在基态时动量的几率分布。

（即?)(=p ψ）
12．设粒子处于一维无限深方势阱中，⎩
⎨⎧>∞<=2/2
/0)(a x a x x V ，求粒子处于基态时的动
量分布。

解：由薛定谔方程：02222=+ϕϕ mE dx d ，令22
2
mE k = ∴kx B kx A cos sin +=ψ，当2
a
x >
时0)(≡x ψ。

连续条件：2cos 2sin 0)2(
ka B ka A a +==ψ； 02
cos 2sin )2(=+-=-
ka B ka A a ψ ∴02
cos
=ka
B ，则a n k n ka ππ=⇒+=2)12(2，n =1，3，5，……，此时A=0；
或02sin
=ka A ，则a
n a n k n ka π
ππ==⇒='2'2，n =2，4，6，……，此时B=0； ∴⎪⎩
⎪⎨
⎧===
6,4,2sin
5,3,1cos n a x n A n a x n B ππψ
由归一化条件可知，则 基态波函数 式中
由归一化条件可知，
122
2
=⎰
-dx a
a ψ，则a
B A 2
=
=，∴，基态波函数a
x a x πψcos 2)(=
， dx x C x p p )()(ψψ⎰⋅=，式中
ipx p e
2
1
)
2(1πψ=
∴ dx a
x a e dx x C ipx
a
a p p πψψcos 21
)(*
22
2
1
-
-⎰⎰==
dx e
e ah
dx e
e e ha x
a
p i x
a
p i a a a
x i a
x
i ipx
⎰⎰--+---
-+=
+=
][21
)(2
1
2)()(22ππππ
22
)()(]
11
[
2a a x
a
p i x
a
p i e
a
p e
a p ah i
-
--+--+
+-=
ππππ
)](1)(1
[22
)(2
)
(2
)(2
)
(a a p i a a p i a a p i a a p i e
e
a
p e
e
a p ah i
ππππππ
---++---+
-+-=
])s i n (2)s i n (2[222a
a a p a
p i a p a p i
ah i
π
πππ--
+++=
)]2
2sin(1)232sin(1[2ππ+-+++=
a p a
p a p a p ah
2
2
2
32
222)(2cos
8)(2
2cos 2]2cos
2cos
[
2a p a
p h a a p a a p ah a
p a p a p a p ah ππππ
ππ-=-=+
--=
13．证明)()(x E x H ϕϕ=∧
，则ϕ*也是该能量本征方程的解。

[注)(22
2x v dx
d
m H +-=∧
] 14．求角动量z 分量ϕ
∂∂
-=∧
1
t i L z 的本征值，本征函数。

15．求平面转子的能量本征值与本征函数。

解：平面转子绕z 轴的ha 哈米顿量为：
16 一个经典谐振子，质量m=0.3kg ，绝强系数k =3.0N/m ，振幅A=0.10cm ，。

将这个系统当作量子振子处理。

求（1） 相邻能级的能量间隔；（2） 描述这个振子的量子数。