北京工业大学07级《集合与图论》(A)
集合论与图论课程
课程号
00135290
学分
3
英文名称
Set Theory and Graph Theory
先修课程
高等数学,线性代数，数据结构
中文简介
学习和掌握集合论与图论的基本知识，重点培养学生处理二元关系类离散问题的综合能力。
英文简介
An introductory course to set thory and graph theory.
1） 树的特征，回路系统与割集系统
2）基本树变换，最小生成树，Kruskal算法，Prim算法
2） 根树，哈夫曼树与编码
四、平面图与图的着色（约4学时）
1） 平面图的性质与图的可平面性判定，对偶图
2） 点着色，边着色，平面图的域着色,四色定理
五、匹配，网络（约4学时）
1）图的匹配与可增广道路，二部图的匹配，匈牙利算法
三、二元关系（约6学时）
1）二元关系的运算，性质与闭包
2）等价关系与集合的划分
3）偏序关系，链与反链，良序与超限归纳原理
四、布尔代数（约8学时）
1） 格的偏序特征与代数结构及其等价性
2）子格，格的同态与同构
3）模格，分配格，有补格
4） 布尔代数，Stone表示定理
5） 布尔函数，析取范式与合取范式
第二部分：图论 （共约 27学时）
一、图的概念，运算与表示（3学时）
二、道路与回路（9学时）
1）道路与回路概述，
2）图的连通性，连通度，Menger定理，可靠通讯网的构作
3）最短道路，Dijkstra算法，Warshall-Floyd算法
4）Euler图，DeBruijn序列
5）Hamilton图，k-方体与Gray码
07图的基本概念
例题
• 例5：设G为9阶无向图，G的每个顶点的度 数不是5就是6。证明G中至少有5个6度顶 点或者至少6个5度顶点。
目录
• 无向图与有向图 • 顶点度数与握手定理 • 简单图、完全图、正则图 • 子图、补图 • 图的同构
多重图与简单图
• 在无向图中，关联一对顶点的无向边如果多于1条， 则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数。
集合论与图论07
图的基本概念
何英华
hyh@
• 图论〔Graph Theory〕是数学的一个分支。 它以图为研究对象。图论中的图是由若干 给定的点及连接两点的线所构成的图形， 这种图形通常用来描述某些事物之间的某 种特定关系，用点代表事物，用连接两点 的线表示相应两个事物间具有这种关系。
3）已知5阶有向图D的顶点集V={v1,v2, v3,v4,v5},它 的度数列和出度列分别为3,3,2,3,3和1,2,1,2,1， 试求D的入度列。
例题
• 例3：设n阶m条边的无向图G中，m=n+1， 证明G中存在顶点v，d(v) ≥3。
例题
• 例4：证明空间不存在有奇数个面且每个面 有奇数条棱的多面体。
四色猜想
• 1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里 (Francis Guthrie)来到一家科研单位搞地图着色工作 时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都 可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上 不同的颜色。” 即“将平面任意地细分为不相重迭 的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数 字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同 的数字。”
bc ad
关联，相邻
• 关联: 点与边
vi vj
– 端点，
ek
– 孤立点：无边关联的顶点；
集合论与图论第一章
1.3
集合的基本运算
与并运算类似，可以将集合的交推广到有限个或 可数个集合：
A1 A2 ... An Ai {x i {1,2,..., n}, x Ai )}
类似定义
i 1 n
A1 A2 ... An ... An {x n N , x An }
17
1.2
子集、集合的相等
(2)、真子集的概念 定义1.2.2 设A，B为二集合，若AB且x(xB 并且xA),则称A是B的真子集,记作AB,读作A是B的 真子集。 ABAB并且x(xB并且xA), 例如：{a,b}是{a,b,c}的真子集。 设A,B,C为3个集合，下面3个命题为真： (1)AA。 (2)AB，则BA。
集合论与图论
课时：30学时
平时成绩30分，期末考试成绩70分。 平时成绩考核方法：安排5次课堂作业，每次6 分，共30分。 课件邮箱:hjh20130225@ 密码:20130225
1
集合论和图论的应用范畴 集合论和图论都属于离散数学 离散数学分为： 数论、集合论、图论、近世代数、数 理逻辑、组合数学 计算机科学领域的大多数基本概念和理论， 几乎均采用集合论和图论的有关术语来描述。
(1)集合中的元素是各不相同的； (2)集合中的元素不规定顺序； (3)集合的两种表示法有时是可以互相转化的。 例如：正偶数集合用列举法可表示为： B={2,4,6,8,...}。
用描述法可表示为： B={x|x>0且x为偶数}
或{x|x=2(k+1),k为非负整数}。
** 15
1.2
子集、集合的相等
22
1.2
子集、集合的相等
设A1,A2,A3为集合, 那么{A1,A2,A3}为一个集族。 集族的表示方法： 若令I={1,2,3}，则iI,i确定了一个唯一的集合Ai。 于是集族{A1,A2,A3}又常写成{Ah}hI。 若J为任一集合，对J中每个元素i有唯一的 一个集合与之对应，这个集合记为Ai,那么所有 这些Ai,形成的集族就用{Ai}iJ表示，其J称为标 号集。
答案08秋季集合论与图论试题A
本试卷满分90分(计算机科学与技术学院07级)10分，每小题各1 分)B ，则A 等于什么？2. 设X 为集合，R 为X 上的偏序关系，计算U R ，等于什么?i 1(R )3. 把置换123456789分解成循环置换的乘积。
436987251((149) (2367) (58))4. 什么是无穷集合？(凡能与自身的一个真子集对等的集称为无穷集合)5 .设T 是一棵树，p 2，贝U p 个顶点的树T 至多有多少个割点？(p -2 )6. 设D 是一个有p 个顶点q 条弧的有向图，若D 是连通的，则q 至 少是多大？ ( p -17. 设V {1,2, , n}，则以V 为顶点集的无向图共有多少个？8.设V {1,2, , n}，则以V 为顶点集的有向图共有多少个？ 2p(p1))哈工大2008年秋季学期注 意 行 为 规 范一、填空(本题满分1.设A,B 是集合，若A B遵 守 考场纪 律(2 P (P 1)/29.每个有3个支的不连通图，若每个顶点的度均大于或等于2,则该图至少有多少个圈？（ 3 ）10.设T是一个正则二元树，它有n。
个叶子，则T有多少条弧？（2（n0-1 ））二、判断对错（本题满分10分，每小题各1分）1.设A,B是两个集合，则A B且A B不可能同时成立。
（错）2.在集合｛1,2, ,10｝上可以定义210个二元运算。
（错）3 . 设f：X Y , 若是可逆的。
（错）是一个集合，则上的自反和反自反的二元关系个数相同。
（对）5.设为一个有限字母表，上所有字（包括空字）之集记为。
则不是可数集。
（错）6.设G是一个（p,q）图，若q p，则G中必有圈。
（对）7.若G是一个(p,p)连通图，则G至多有p个生成树。
(对)8.设r 2，G是r正则图且顶点连通度为1，贝U (G) r。
(对)9.把平面分成p个区域，每两个区域都相邻，则p最大为5。
(错)10.有向图的每一条弧必在某个强支中。
北工大-集合与图论习题整理版
习题集（一） 一、填空1．设}7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则 =⋃B A 。
2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。
6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为则 R 2 = 。
7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为则 R= 。
8．图的补图为 。
二、选择2、下列集合中相等的有（ ）A ．{4，3}Φ⋃；B ．{Φ，3，4}；C ．{4，Φ，3，3}；D ． {3，4}。
3、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有（）个。
A．23 ；B．32 ；C．332⨯；D．223⨯。
4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（）R 是自反的；A．若R，S 是自反的，则SR 是反自反的；B．若R，S 是反自反的，则SR 是对称的；C．若R，S 是对称的，则SR 是传递的。
D．若R，S 是传递的，则S5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下t st spR=∈=则P（A）/ R=（）<>A∧s(||||})(,{t|,A．A ；B．P(A) ；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}6、设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“⊆”的哈斯图为（）7、下列函数是双射的为（）A．f : I→E , f (x) = 2x ；B．f : N→N⨯N, f (n) = <n , n+1> ；C．f : R→I , f (x) = [x] ；D．f :I→N, f (x) = | x | 。
（注：I—整数集，E—偶数集，N—自然数集，R—实数集）8、图中从v1到v3长度为3 的通路有（）条。
A．0；B．1；C．2；D．3。
北大集合论与图论1PPT课件
1. 命题、命题符号化 2. 合式公式、真值表、永真式 3. 逻辑等值式、推理定律 4. 形式化证明
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
1
命题符号化
简单命题： p,q,r,p1,q1,r1,… 联结词：
合取联结词： 析取联结词： 否定联结词： 蕴涵联结词： 等价联结词：
附加律 化简律
A(AB) (AB)A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
23
常见推理定律（续）
假言推理 (AB ) AB
拒取式 (AB ) B A
析取三段论 (AB )B A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
24
常见推理定律（续）
假言三段论 (AB)(BC)(AC)
同一律(identity laws)
A0A A1A
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
11
常用逻辑等值式(关于0,1)
排中律(excluded middle)
AA1
矛盾律(contradiction)
AA0
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
12
常用逻辑等值式(关于)
蕴涵等值式(conditional as disjunction)
19
等值演算（举例）
例：(pq)rpqr 解：
(pq)r (pq)r (pq)r pqr
（蕴涵等值式） （德●摩根律） （结合律）
2020/11/19
《集合论与图论》第1讲
20
推理定律(deduction laws)
推出： AB
读作：A推出B 含义：当A为真时，B也为真
北工大-集合与图论选择题
1、在0 Φ之间应填入（ ）符号。
A 、= ；B 、⊂；C 、∈；D 、∉。
2、设A={{1，2，3}，{4，5}，{6，7，8}}，下列各式中（ ）是错的。
A 、A ⊆Φ；B 、{6，7，8}∈A ；C 、{{4，5}}⊂A ；D 、{1，2，3}⊂A 。
3、下列结论中，( ) 为正确的。
A 、{Ф}∈{Ф,{{Ф}}} ；B 、{Ф}⊆{Ф,{{Ф}}}；C 、Ф∈{{Ф}}；D 、{a,b}∈{a,b,{a},{b}}。
4、下列结论中，( )是正确的。
A 、所有空集都不相等；B 、{Ф}≠Ф；C 、{Ф}=Ф；D 、若A 为非空集，则A ⊂A 成立。
5、设P={x|(x+1)2≤4且x ∈R},Q={x|5≤x 2+16且x ∈R}，则结论（ ）正确。
A 、Q ⊂P ；B 、Q ⊆P ；C 、P ⊂Q ；D 、P=Q 。
6、下列各式中， ( ) 是对的。
A 、{a,b}={x|(x-a)(x-b)(x-c)=0}；B 、{a,b,c} ={x|(x-a)(x-b)(x-c)=0}；C 、{b,a}={x|x 2-(a+b)x+ab=0}；D 、{b,a}={a,b,c}。
7、设A={1，2，3，4，5}，下面（ ）集合等于A 。
A 、{1，2，3，4，5，6}；B 、}25{2≤x x x 是整数且； C 、}5{≤x x x 是正整数且；D 、}5{≤x x x 是正有理数且。
8、设S 1={1，2，…，8，9}，S 2={2，4，6，8}，S 3={1，3，5，7，9}，S 4={3，4，5}，S 5={5}，在条件31S X S X ⊄⊆且下X 与（ ）集合相等。
A 、S 2或S 5 ；B 、S 4或S 5；C 、S 1，S 2或S 4；D 、X 与S 1，…，S 5中任何集合都不等。
9、设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则有（ ）S ⊆。
A 、{{1,2}}；B 、{1,2 }；C 、{1}；D 、{2}。
《集合论与图论》学习指南
“什么是教育？教育就是当你把所学的东西都忘掉后，最终剩下的东西！”“最终剩下的东西就是一个人的创新意识和学习能力。
”把教学的着眼点集中在掌握科学基础知识和训练创新能力上，着重培养科学的思维方法，把知识传授与科学探索融为一体，激发学生的好奇心和创造性。
教学质量是“教育水平高低和效果优劣的程度”（教育大词典）前言0.1集合论与图论是数学的一部分“对于大自然这本奥秘无穷的书，我读不懂”。
──莎士比亚：《安东尼和克里奥帕特拉》（1564—1616）“如果不理解它的语言，没有人能读懂宇宙这本伟大的书，它的语言就是数学”。
──伽里略（1564—1642）“在任何特定的理论中，只有其中包含数学的部分才是真正的科学”。
──康德（1724—1804）数学不专属自然科学，也不专属社会科学，更不专属于文学艺术。
它是一种宇宙语言，为一切文明生物共有、共享。
0.2 主要内容“我想知道上帝是如何创造这个世界的。
对这个或那个现象、这个或那个元素的谱我并不感兴趣。
我想知道的是他的思想，其他的都是细节问题”。
──爱因斯坦（1879—1955）本课主要讲述集合论（Set Theory）：集合及其运算、映射及其合成、关系及其运算、无穷集合及其基数。
图论（Graph Theory）：图的一些基本概念、一些特殊的图、树及其性质、割点和桥、连通度、平面图、图的着色、有向图。
基本思想和意义我们从“集合”这个基本概念开始建立集合理论。
就某种观点来看，“集合”与“性质”是同义词，是基本概念之一。
这样，集合用来描述事物的性质——我们的研究对象，映射用来描述事物之间的联系——运算、关系，从而为集合建立了结构。
于是，为建立系统的数学模型提供了数学描述语言——工具，代数系统就是在集合上引入运算。
集合论又提供了研究数学模型的性质，发现新联系的推理方法，从而找出事物的运动规律。
而图论是上述思想的一个具体应用，事实上，图论为任何一个包含了一种二元关系的系统提供了一个数学模型；部分地，也因为使用了图解式表示方法，图就具有一种直观的和符合美学的外形。
集合论与图论
我们要特别提到多重集合的概念。前面谈到的集合都是由不同对象组成的，而在实际中，某 一元素的重复出现往往表达了某种特别的意义。例如，在一个班里学生的名字，可能有两个 或多个学生有相同的名字，并且我们又有可能会谈及到学生名字的总体。又例如，某项工程 中所需要的工程技术人员的种类可用集合
我们将学习朴素集合论的基本内容，但借鉴公理化集合论的思想，以避免出现悖论。
定义 1.1 设 A ， B 为二集合，若 B 中的元素都属于 A ，则称 B 是 A 的子集，也称 A 包 含 B 或 B 含于 A ，记作 B ⊆ A 。
1
定义 1.2 设 A ， B 为二集合，若 A 包含 B 且 B 包含 A ，则称 A 与 B 相等，记作 A = B 。 定义 1.3 设 A ， B 为二集合，若 A 为 B 的子集，且 A ≠ B ，则称 A 为 B 的真子集，记 作 A⊂ B。 定义 1.4 不具有任何元素的集合称为空集，记作 ∅ 。
注 1：容易看出 A ⊕ B = ( A − B) ∪ (B − A) = ( A ∪ B) − ( A ∩ B) 2: A ⊕ ∅ = A , A ⊕ A = ∅ 。
我们下面来定义两个多重集 P 和 Q 的交，并，差运算。
P 和 Q 的并，记为 P ∪ Q ，它也是一个多重集，使得 P ∪ Q 里任一个元素的重数，等于该 元素在 P 和 Q 中重数的最大者； P 和 Q 的交用 P ∩ Q 来表示，使得 P ∩ Q 的任一元素的重 数，等于该元素在 P 和 Q 中重数的最小者； P 和 Q 的差用 P − Q 来表示，使得如果一个元素 在 P 中的重数大于它在 Q 中的重数，那么该元素在 P − Q 中的重数等于它在 P 中的重数减去 它在 Q 中的重数，否则它在 P − Q 中的重数为 0 。类似地，对称差 P ⊕ Q 中元素的重数等于 元素在 P 中和 Q 中两个重数的绝对差值。
集合论与图论3
2009-9-11
《集合论与图论》第3讲
35
对称差分配律(讨论)
A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC)
? ? ?
提示: 先利用文氏图观察, 如果成立则进 行证明, 如果不成立, 则构造反例
《集合论与图论》第3讲
2009-9-11
3
集合恒等式(关于与 )
吸收律(absorption laws)
A(AB)=A A(AB)=A
2009-9-11
《集合论与图论》第3讲
4
集合恒等式(关于~)
双重否定律(double complement law)
~~A=A
德●摩根律(De Morgan’s laws)
2009-9-11
《集合论与图论》第3讲 29
对称差结合律的证明
= (A(~(B~C)~(~BC))) (~A((B~C)(~BC))) = (A(~BC)(B~C))) (~A((B~C)(~BC))) (德•摩根律) = (ABC)(A~B~C) (~AB~C)(~A~BC) (分配律…)
排中律(excluded middle)
A~A = E
矛盾律(contradiction)
A~A =
全补律 ~ = E
~E =
2009-9-11
《集合论与图论》第3讲 7
集合恒等式(关于-)
补交转换律(difference as intersection) A-B=A~B
2009-9-11
2009-9-11
《集合论与图论》第3讲 20
北大集合论与图论
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
7
进度安排
课程将在4月底或5月初结束 第13周(5月18日)前考试
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
8
成绩评定
书面作业占10%，3道题/每次课 平时测验占30%，1小时/每次，2次 期末考试占60%
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
第1章 第2章 第3章 第4章 第5章
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
6
内容介绍
《集合论与图论》
第二部分 图论
第7章 第8章 第9章 第10章 第11章 第12章 第13章 第14章
图 欧拉图与哈密顿图 树 图的矩阵表示 平面图 图的着色 支配、覆盖、独立、匹配 带权图
办公室:
理科1#楼1708 电话: 62752366
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
12
《集合论与图论》 《离散数学》系列课程之一
刘田 北京大学计算机系 2003年2月
2013-1-6 《集合论与图论》第1讲 1
教材
《集合论与图论》，离散数学二分册，
耿素云，北大出版社，1998年2月
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
2
参考书
《离散数学习题集》，耿素云，北大出 版社
数理逻辑与集合论分册，1993年2月 图论分册，1990年3月
lt@
讲义下载：
ftp://162.105.30.157/incoming/Liu_Tian/
2013-1-6
《集合论与图论》第1讲
集合论与图论(全套课件)
p q r
0 0 0 0 1 1 1 1
2018/5/28
pqr
1 1 1 1 1 1 0 1
14
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
永真式(tautology)
• 永真式:在各种赋值下取值均为真(重言式) • 永假式:在各种赋值下取值均为假(矛盾式) • 可满足式：非永假式
2018/5/28
《集合论与图论》第1讲
11
命题符号化
简单命题： 联结词：
• 合取联结词： • 析取联结词： • 否定联结词： • 蕴涵联结词： • 等价联结词：
p,q,r,p1,q1,r1,…
逻辑真值：
0，1
2018/5/28
《集合论与图论》第1讲
12
真值表(truth-table)
2018/5/28
《集合论与图论》第1讲
16
常用逻辑等值式(关于与)
幂等律(idempotent laws) AAA AAA 交换律(commutative laws)
ABBA
ABBA
2018/5/28
《集合论与图论》第1讲
17
常用逻辑等值式(关于与)
结合律(associative laws) (AB)CA(BC) (AB)CA(BC) 分配律(distributive laws)
2018/5/28
《集合论与图论》第1讲
6
内容介绍
• 《集合论与图论》
• 第二部分 图论
• 第7章 • 第8章 • 第9章 • 第10章 • 第11章 • 第12章 • 第13章 • 第14章 图 欧拉图与哈密顿图 树 图的矩阵表示 平面图 图的着色 支配、覆盖、独立、匹配 带权图
集合论与图论答案 第三章习题
习题课
例 1 证明： R R R R R ，其中 R R0 R1 R2
Ri
i0
证： R R R (R0 R1 R2 ) R R2 R3 t(R) R ；
同理可证 R R R 例 2 [书上做为定理出现]设 R、S 是 X 上的二元关系，则
（1） ， 是空关系。
（2） (R ) R
R {(a,b) | a b } 等价于 aRb a b (a,b) R a b 。 解：(1)自反性。 因为 2A ，但 ，所以 (,) R ，故 R 不是自反的。
2
（2）反自反性。 因为{1} 2A ，{1} {1} {1} ，故 ({1},{1}) R ，故 R 不是反自反的。 （3）对称性。 x, y 2A ，若 (x, y) R ，则 x y ，所以 y x ，故 ( y, x) R ，从而 R 是对称的。 （4）反对称性。 令 x {1, 2} ， y {1,3} ，则 x y y x {1} ，故 (x, y) R 且 ( y, x) R ，
（2）对称闭包 （3）传递闭包
例 4 设 R 是集合 A 上的反对称关系，则 t(R)一定是反对称的吗？ 证：t(R)在 A 上不一定是反对称的。
例： A {a,b,c, d}， R {(a,b),(b,c),(c, d),(d, a)} 则 R 的传递闭包为： t(R) {(a,b),(b,c),(c, d),(d, a),(a, c), (a, d),(d,c),(d, d),(c, a),(b, d),(d,b),(b, a),(c,b),(a, a),(b,b), (c,c)} t(R)是全关系，故 t(R)不是反对称的而是对称的。 例 5 举例说明 s(t(R)) 与 t(s(R)) 确实不相等。
北大集合论与图论往年考题.pdf
一、用真值表证明德*摩根律（证明其中一条即可）。
二、设A,B,C是集合，试问在什么条件下(A-B)-C=A-(B-C)？给出证明。
三、设A={a,b,c}，问A上有多少种不同的：二元关系？自反关系？对称关系？传递关系？等价关系？偏序关系？良序关系？四、用花括号和空集来表示1⨯2（注意⨯表示集合的叉乘）.五、设R是实数集，Q是有理数集，试构造出R-Q与R之间的双射.1．简单叙述构造的思路；2．给出双射f：R-Q -> R 或f：R -> R-Q的严格定义。
2008年期末考题：一、在有向图中，如果存在从顶点u到顶点v的有向通路，则说u可达v；如果顶点u和顶点v互相可达，则说u双向可达v。
回答下列问题：1．顶点集上的可达关系是不是等价关系？为什么？2．顶点集上的双向可达关系是不是等价关系？为什么？3．对于上述两个关系，如果是等价关系，其等价类的导出子图称为什么？二、一棵树有13个顶点，除了3个2度顶点和若干个树叶之外，其余顶点都是5度。
1．求出5度顶点的个数（写出计算过程）；2．画出所有互不同构的这种树。
三、计算出右图中v1到v4长度为4的通路数（要写出计算过程的主要步骤），并写出一个最小支配集、一个最大团、一个最小边覆盖、一个最大匹配。
四、如果一个图中所有顶点度数都为k，则称为k正则图。
8阶3正则简单图一定是平面图吗？一定不是平面图吗？为什么？五、证明：如果正则简单图G和补图G都是连通图，则G和G中至少有一个是欧拉图。
六、证明：如果n阶（n≥3）简单图G中，对于任何1≤j<n/2，G中度数不超过j的顶点个数都小于j，则G一定是哈密顿图。
2007年期中考题一、设A,B为集合, P(A)为A的幂集, 证明: P(A)⊆P(B)当且仅当A⊆B.二、设A={1,2,3,4}, R是A上的二元关系且R={<1,2>,<2,3>,<3,2>, <3,4>}.(1) 给出R的矩阵表示, 画出R的关系图;(2) 判断R具有哪些关系性质(自反,反自反,对称,反对称,传递);(3) 求出R的自反闭包r(R), 对称闭包s(R), 传递闭包t(R). (用关系图表示)三、设X,Y,Z是任意集合, 构造下列集合对之间的双射, 并给出是双射的证明.(1) Z(X⨯Y)与(Z X)Y ;(2) P(X⋃Y) 与P(X)⨯P(Y). (假设X⋂Y=∅)四、已知对每个自然数n, 都存在唯一后继n+=n⋃{n}. 证明: 对于每个非零自然数n, 都存在唯一前驱n-, 满足n=(n-)+.五、设f: A→B是单射, g: B→A是单射, 证明: 存在集合C,D,E,F, 使得A=C⋃D, C⋂D=∅, B=E⋃F,E⋂F=∅, 并且f(C)=E, g(F)=D.一、化简自然数的集合表达式（注意所有运算都是集合运算）：⋃⋃(2⨯3).二、证明集合之间的等势关系是等价关系.三、每个奇数阶竞赛图都可既是有向欧拉图又是有向哈密顿图吗？为什么？四、完全图K4在对边进行标定的情况下有多少棵不同的生成树？为什么？画出两棵不同构的生成树，并写出其中一棵对应的基本回路系统和基本割集系统.五、计算出右图中v2到v2长度为5的回路数，并计算出全体极小支配集和全体极小点覆盖集（要写出计算过程的主要步骤）.六、求彼德森图的点色数、边色数、点连通度、边连通度，并说明理由.七、证明简单平面图中至少有一个顶点的度数不超过5.八、证明：在8×8的国际象棋棋盘的一条主对角线上移去两端1×1的方格后，所得棋盘不能用1×2的长方形恰好填满。
集合论与图论SeTheoryandGraphTheory
REPORTING
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• 集合论基础 • 图论基础 • 集合论与图论的联系 • 集合论与图论的应用 • 集合论与图论的未来发展
目录
PART 01
集合论基础
REPORTING
WENKU DESIGN
集合的定义与性质
总结词
集合是由确定的、不同的元素所组成的总体。集合具有确定性、互异性和无序性等基本 性质。
离散概率论
离散概率论是计算机科学中研究离散随机事件的数学分支，集合论 为其提供了数学框架，用于描述概率空间和随机事件。
计算机科学中的图论应用
01
02
03
计算机网络
图论在计算机网络中用于 描述网络拓扑结构、路由 算法、最短路径算法等问 题。
操作系统
操作系统的进程管理和通 信可以通过图论进行建模 和分析，例如进程间的依 赖关系和通信路径。
集合论与图论的结合将在计算机科学中发挥更大的作用，为解决实际问题提供更多创新性的思路 和方法。
集合论与图论的交叉研究在其他学科的应用前景广泛
集合论与图论的交叉研究将在其他学科中发挥更大的作用，为解决实际问题提供更多创新性的思 路和方法。
THANKS
感谢观看
REPORTING
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集合论在计算机科学中的应用将更加广泛
随着计算机科学的飞速发展，集合论在数据结构、算法设计、离散概率论等领域的应用将更加广 泛和深入。
图论的发展趋势
图论与其他数学分支的结合将更加紧密
图论与代数、拓扑、组合数学等分支的结合将更加紧密，推动图论理论的进一步丰富和发展。
图论在计算机科学中的应用将更加广泛
随着大数据和人工智能的兴起，图论在数据挖掘、机器学习、社交网络分析等领域的应用将更加广泛和深入。
北京工业大学《离散数学》课件-第七章 集合 函数
• C = 复数集
• Q = 有理数集
7
集合构造器符号（叙述法）
• 指定一个或多个所有成员都必须满足的属性：
S = {x | x 是小于100的正整数}
O = {x | x 是小于10的奇正整数}
O = {x ∈ Z⁺ | x 是奇数且 x < 10}
• 可以使用谓词:
S = {x | P(x)}
, , , , , （覆盖、划分）
, , , , , 最大划分（按基数算）
, , , , ,
最小划分
20
交叉划分与加细
• 定义（交叉划分）：若
与
是同
一集合X的两种划分，则其中所有
组成的非空集合，
称为原来两种划分的交叉划分
• 定义（加细）：给定X集合的任意两个划分
• 例：令A表示班级中主修数学专业集合，B表示主修计算机
专业集合。为了计算机或者主修数学专业，或者主修计算
机专业的学生人数，将主修数学专业的学生人数和计算机
专业的学生人数相加，然后减去主修计算机专业和计算机
科学专业的学生人数的合取
35
习题
例：U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} A = {1,2,3,4,5}, B={4,5,6,7,8}
1. 相互证明其中一个集合是另外一个集合的子集（即
证明两个集合互为子集，可使用集合构造器符号和
逻辑等价式）
2. 利用已知的集合恒等式和包含式（如：A ⊆ 当且
仅当 ∪ 或A ∩ ）
3. 成员表：验证在相同集合组合中的元素同属于恒等
式两边的集合。使用1表示元素属于一个集合，使
Cambridge, UK
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北京工业大学2008~2009年度第1学期
070700~070706,070721,070722【离散数学】考试题(A)
考试形式：闭卷（共4页）
学号___________ 姓名_____________成绩_____ 一．（10分）判断（正确的画“√”，错误的画“⨯”）
（1）{},(())
若集合A则B
=∅=
B P P A
∅⊆。
（对）（2）{},(())
若集合A则B
B P P A
=∅=
∅∈（对）（3）设A，B，C是任意集合，则()()()
⋂-=⋂-⋂（对）
A B C A B A C
（4）设A，B，C是任意集合，则()()
A B C A B C
-⋃=-⋃（错）（5）设A，B是任意集合，则()()
-=-（错）
A B B A
二．（10分）设A，B，C为任意集合，证明：()()()
--=---
A B C A C B C
三．（10分）A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，R是A上的整除关系，
1．画出R的哈斯图；
2．求B={1，2，5，10，11}的极大元，极小元，最大元，最小元。
四．（10分）设A={1，2，3，4}，R 是A ⨯A 上的二元关系，
,,,,,,a b c d A A a b R c d a b c d ∀<><>∈⨯<><>⇔+=+
证明：R 是等价关系。
五．:,(,),,22x y x y f R R R R f x y +-⨯→⨯<>=<>设证明f 是双射函数。
六．（10分）填空
（1） 竞赛 图的底图是无向完全图。
（2）有过所有点的回路的有向图必是 强连通 图。
（3）哈密顿回是图中最长的 基本 回路。
（4）n 阶简单图的边数小于 ，则必不连通，
大于 ，则必连通。
七．（10分）在下图中，求最短的a-z 通路及其长度。
八．(10分) 设T 为无向树,它有100片树叶,60个二度点,50个3度点,22个4度点,且没有大于7度的顶点.试求T 有多少个顶点。
a z
九．（10分）判断下图是否为欧拉图，二部图，并说明理由。
它是半哈密尔顿图吗？
十．（10分）设G 是一个有11个顶点的无向简单平面图，试证明
1.G 中至少存在一点v i， deg( v i)≤4。
2.G的补图是非平面图。