2015年郑州市竞赛高一数学试题(word版含答案)
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案
XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。
1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。
$\{1\}$ B。
$\{3,5\}$ C。
$\{1,3,4,5\}$ D。
$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。
$22$ B。
$10$ C。
$8$ D。
$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。
$-\frac{3}{4}$ B。
$-\frac{4}{3}$ C。
$\frac{3}{4}$ D。
$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{4}$ B。
$\frac{\pi}{3}$ C。
2015年全国高中数学联赛参考答案(A卷word版本)
2015 年全国高中数学联合竞赛（A 卷）参考答案及评分标准一试说明：1.评阅试卷时，请依据本评分标冶填空题只设。
分和香分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题该分为一个档次，不要增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题份分，满分64分．1．设b a ,为不相等的实数，若二次函数b ax x x f ++=2)(满足)()(b f a f =，则=)2(f 答案：4.解：由己知条件及二次函数图像的轴对称性，可得22a b a+=-，即20a b +=，所以(2)424f a b =++=．2．若实数α满足ααtan cos =，则αα4cos sin 1+的值为 ． 答案：2. 解：由条件知，ααsin cos 2=，反复利用此结论，并注意到1sin cos 22=+αα，得)cos 1)(sin 1(sin sin sin cos cos sin 122224αααααααα-+=++=+ 2cos sin 22=-+=αα．3．已知复数数列{}n z 满足),2,1(1,111⋅⋅⋅=++==+n ni z z z n n ，则=2015z ．答案：2015 + 1007i ．解：由己知得，对一切正整数n ，有211(1)11(1)2n n n n z z n i z ni n i z i ++=+++=+++++=++, 于是201511007(2)20151007z z i i =+⨯+=+．4．在矩形ABCD 中，1,2==AD AB ，线段DC 上的动点P 与CB 延长线上的动点Q 满=，则PQ PA ⋅的最小值为 ．答案34．解：不妨设 A ( 0 , 0 ) , B ( 2 , 0 ) , D ( 0 , l ) ．设 P 的坐标为（t , l) （其中02t ≤≤），则由||||DP BQ =得Q 的坐标为（2，-t )，故(,1),(2,1)PA t PQ t t =--=---,因此，22133()(2)(1)(1)1()244PA PQ t t t t t t ⋅=-⋅-+-⋅--=-+=-+≥．当12t =时，min 3()4PA PQ ⋅=．5．在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为 ． 答案：255．解：设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意取出3条棱的方法共有312C =220种．下面考虑使3条棱两两异面的取法数．由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即 AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向．可先取定AB 方向的棱，这有4种取法．不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能．当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH ．由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求概率为8222055=．6．在平面直角坐标系中，点集{}0)63)(63(),(≤-+-+y x y x y x 所对应的平面区域的面积为 ． 答案：24．解：设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤． 先考虑1K 在第一象限中的部分，此时有36x y +≤,故这些点对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知，1K 对应的区域是图中以原点O为中心的菱形ABCD 及其内部．同理，设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤，则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部．由点集K 的定义知，K 所对应的平面区域是被1K 、2K 中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S ．由于直线CD 的方程为36x y +=，直线GH 的方程为36x y +=，故它们的交点P 的坐标为33(,)22．由对称性知，138842422CPG S S ∆==⨯⨯⨯=．7．设ω为正实数，若存在实数)2(,ππ≤<≤b a b a ，使得2sin sin =+b a ωω，则ω的取值范围为 ． 答案：9513[,)[,)424w ∈+∞．解：2sin sin =+b a ωω知，1sin sin ==b a ωω，而]2,[,ππωωw w b a si ∈，故题目条件等价于：存在整数,()k l k l <，使得 ππππππw l k w 22222≤+≤+≤． ①当4w ≥时，区间]2,[ππw w 的长度不小于π4，故必存在,k l 满足①式． 当04w <<时，注意到)8,0(]2,[πππ⊆w w ，故仅需考虑如下几种情况：(i) ππππw w 2252≤<≤，此时21≤w 且45>w 无解；(ii) ππππw w 22925≤<≤，此时2549≤≤w ;(iii) ππππw w 221329≤<≤，此时29413≤≤w ,得4413<≤w ．综合(i)、(ii)、(iii)，并注意到4≥w 亦满足条件，可知9513[,)[,)424w ∈+∞．8．对四位数abcd ，若,,,d c c b b a ><>则称abcd 为P 类数，若d c c b b a <><,,，则称abcd 为Q 类数，则P 类数总量与Q 类数总量之差等于 ．答案：285．解：分别记P 类数、Q 类数的全体为A 、B ，再将个位数为零的P 类数全体记为0A ，个位数不等于零的尸类数全体记为1A ．对任一四位数1A abcd ∈，将其对应到四位数dcba ，注意到1,,≥><>d c c b b a ，故B dcba ∈．反之，每个B dcba ∈唯一对应于从中的元素abcd ．这建立了1A 与B 之间的一一对应，因此有011()()||||||||||||N P N Q A B A A B A -=-=+-=．下面计算0||A 对任一四位数00A abc ∈, b 可取0, 1，…，9，对其中每个b ，由9≤<a b 及9≤<c b 知，a 和c 分别有b -9种取法，从而992200191019||(9)2856b k A b k ==⨯⨯=-===∑∑． 因此，()()285N P N Q -=． 三、解答题9．（本题满分16分）若实数c b a ,,满足cb ac b a 424,242=+=+，求c 的最小值． 解：将2,2,2abc分别记为,,x y z ，则,,0x y z >．由条件知，222,x y z x y z +=+=，故2222224()2z y x z y z y z y -==-=-+．8分因此，结合平均值不等式可得，4221111(2)244y y z y y y y +==++≥⋅=12分 当212y y =，即y =时，zx求）．由于2log c z =，故c的最小值225log log 33=-．16分 10．（本题满分20分）设4321,,,a a a a 为四个有理数，使得：{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=≤<≤3,1,81,23,2,2441j i aa ji，求4321a a a a +++的值． 解：由条件可知，(14)i j a a i j ≤<≤是6个互不相同的数，且其中没有两个为相反数，由此知，4321,,,a a a a 的绝对值互不相等，不妨设||||||||4321a a a a <<<，则||||(14)i j a a i j ≤<≤中最小的与次小的两个数分别是12||||a a 及13||||a a ，最大与次大的两个数分别是34||||a a 及24||||a a ，从而必须有121324341,81,3,24,a a a a a a a a ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪=-⎪⎩ 10 分 于是2341112113,,248a a a a a a a =-===-． 故2231412113{,}{,24}{2,}82a a a a a a =--=--，15分结合1a Q ∈，只可能114a =±．由此易知，123411,,4,642a a a a ==-==-或者123411,,4,642a a a a =-==-=．检验知这两组解均满足问题的条件． 故123494a a a a +++=±． 20 分 11．（本题满分20分）设21,F F 分别为椭圆1222=+y x 的左右焦点，设不经过焦点1F 的直线l 与椭圆交于两个不同的点B A ,，焦点2F 到直线l 的距离为d ，如果11,,BF l AF 的斜率依次成等差数列，求d 的取值范围．解：由条件知，点1F 、2F 的坐标分别为（-1, 0）和（l, 0) ．设直线l 的方程为y kx m =+，点A 、B 的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ，则12,x x 满足方程22()12x kx m ++=，即 222(21)4(22)0k x kmx m +++-=．由于点A 、B 不重合，且直线l 的斜率存在，故12,x x 是方程①的两个不同实根，因此有①的判别式22222(4)4(21)(22)8(21)0km k m k m ∆=-⋅+⋅-=+->，即2221k m +>．②由直线11,,BF l AF 的斜率1212,,11y y k x x ++依次成等差数列知，1212211y yk x x +=++，又1122,y kx m y kx m =+=+，所以122112()(1)()(1)2(1)(1)kx m x kx m x k x x +++++=++，化简并整理得，12()(2)0m k x x -++=．假如m k =，则直线l 的方程为y kx k =+，即 z 经过点1F （-1, 0)，不符合条件． 因此必有1220x x ++=，故由方程①及韦达定理知，1224()221kmx x k =-+=+，即12m k k=+．③ 由②、③知，222121()2k m k k +>=+，化简得2214k k>，这等价于||2k >． 反之，当,m k满足③及||2k >l 必不经过点1F （否则将导致m k =，与③矛盾）, 而此时,m k 满足②，故l 与椭圆有两个不同的交点A 、B ，同时也保证了1AF 、1BF 的斜率存在（否则12,x x 中的某一个为- l ，结合1220x x ++=知121x x ==-，与方程①有两个不同的实根矛盾）．10分点2F （l , 0）到直线l: y kx m =+的距离为211|2|(2)22d k kk ==+=+．注意到||2k >t =t ∈，上式可改写为 21313()()222t d t t t=⋅+=⋅+．考虑到函数13()()2f t t t=⋅+在上上单调递减，故由④得，(1)f d f <<，即2)d ∈．20 分加试1．（本题满分40分）设)2(,,,21≥⋅⋅⋅n a a a n 是实数，证明：可以选取{}1,1,,,21-∈⋅⋅⋅n εεε，使得))(1()()(122121∑∑∑===+≤+ni i i n i i ni i a n a a ε．证法一：我们证明：2[]222111[]2()(1)()n n n n i i j i n i i i j a a a n a ====⎛⎫ ⎪+-≤+ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑，① 即对1,2,,[]2n i =，取1i ε=，对[]1,,2ni n =+，取1i ε=-符合要求．（这里，[]x 表示实数x 的整数部分．） 10分事实上，①的左边为2222[][][]222111[]1[]1[]122222n n n n n n i j i j i j n n n i i i j j j a a a a a a ====+=+=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑ []2221[]122222n n i j n i j n n a n a ==+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪≤+- ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑（柯西不等式）30分 []2221[]1212222n n i j n i j n n a a ==+⎛⎫⎛⎫⎛+⎫⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪=+ ⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑（利用122n n n +⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦） []2221[]12(1)n n i j n i j n a n a ==+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪≤++ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑（利用[]x x ≤） 21(1)()ni i n a =≤+∑．所以 ① 得证，从而本题得证．证法二：首先，由于问题中12,,,n a a a 的对称性，可设12n a a a ≥≥≥．此外，若将12,,,n a a a 中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的21)(∑=n i i a 不减，而右边的21ni i a=∑不变，并且这一手续不影响1i ε=±的选取，因此我们可进一步设120n a a a ≥≥≥≥． 10分引理：设120n a a a ≥≥≥≥，则1110(1)ni i i a a -=≤-≤∑．事实上，由于1(1,2,,1)i i a a i n +≥=-，故当n 是偶数时，1123411(1)()()()0ni i n n i a a a a a a a --=-=-+-++-≥∑，11232111(1)()()ni i n n n i a a a a a a a a ---=-=------≤∑．当n 是奇数时，11234211(1)()()()0ni i n n n i a a a a a a a a ---=-=-+-++-+≥∑，1123111(1)()()ni i n n i a a a a a a a --=-=-----≤∑．引理得证． 30 分回到原题，由柯西不等式及上面引理可知22122211111(1)(1)n n n ni i i i i i i i i a a n a a n a -====⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-≤+≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑，这就证明了结论． 40分证法三：加强命题：设12,,,n a a a ⋅⋅⋅（2n ≥）是实数，证明：可以选取12,,,{1,1}n εεε⋅⋅⋅∈-，使得 2221111()()()()n nn i i i i i i i a a n a n ε===+≤+∑∑∑.证明 不妨设22212n a a a ≥≥⋅⋅⋅≥，以下分n 为奇数和n 为偶数两种情况证明.当n 为奇数时，取12121n εεε-==⋅⋅⋅==，13221n n n εεε++==⋅⋅⋅==-，于是有12221112()[()()]n nni i jn i i j a a a -+===+-∑∑∑12221122[()+()]n ni jn i j a a -+===∑∑1222112112()+2()()22n n i j n i j n n a n a -+==--≤⋅⋅-∑∑（应用柯西不等式）.1222112(1)()+(1)()n ni jn i j n a n a -+===-+∑∑ ①另外，由于22212n a a a≥≥⋅⋅⋅≥，易证有122211211(1)(1)n n i j n i j a a n n -+==+≥-∑∑，因此，由式①即得到1222112(1)()+(1)()n nijn i j n a n a -+==-+∑∑211()()n i i n a n =≤+∑，故n 为奇数时，原命题成立，而且由证明过程可知，当且仅当12121n εεε-==⋅⋅⋅==，13221n n n εεε++==⋅⋅⋅==-，且12n a a a ==⋅⋅⋅=时取等号.当n 为偶数时，取1221n εεε==⋅⋅⋅==，24221n n n εεε++==⋅⋅⋅==-，于是有2222112()[()()]n nni i j n i i j a a a +===+-∑∑∑22222122[()+()]n ni j n i j a a +===∑∑2222122()+2()()22nn i j n i j n n a n a +==≤⋅⋅-∑∑（应用柯西不等式）.222212[()+()]n nijn i j n a a +===∑∑22111()()()nn ii i i n a n a n ===≤+∑∑，故n 为偶数时，原命题也成立，而且由证明过程可知，当且仅当120n a a a ==⋅⋅⋅==时取等号，若12,,,n a a a ⋅⋅⋅不全为零，则取不到等号.综上，联赛加试题一的加强命题获证. 2．（本题满分40分）设{},,,,21n A A A S ⋅⋅⋅=其中n A A A ,,,21⋅⋅⋅是n 个互不相同的有限集合)2(≥n ，满足对任意的S A A j i ∈,，均有S A A j i ∈ ，若2min 1≥=≤≤i ni A k ，证明：存在i ni A x 1=∈ ，使得x 属于n A A A ,,,21⋅⋅⋅中的至少kn个集合．证明：不妨设1||A k =．设在12,,,n A A A 中与1A 不相交的集合有s 个，重新记为12,,,s B B B ，设包含1A 的集合有t 个，重新记为12,,,t C C C ．由已知条件，1()i B A S ∈，即112(){,,,}i t B A C C C ∈，这样我们得到一个映射12121:{,,,}{,,,},()s t i i f B B B C C C f B B A →=． 显然f 是单映射，于是，s t ≤． 10 分设112{,,,}k A a a a =．在n A A A ,,,21⋅⋅⋅中除去12,,,s B B B ，12,,,t C C C 后，在剩下的n s t --个集合中，设包含i a 的集合有i x 个（1i k ≤≤），由于剩下的n s t --个集合中每个集合与从的交非空，即包含某个i a ，从而12k x x x n s t +++≥--． 20 分不妨设11max i i k x x ≤≤=，则由上式知i n s tx k --≥，即在剩下的n s t --个集合中，包含1a的集合至少有n s tk--个．又由于),,2,1(1t i C A i ⋅⋅⋅=⊆，故12,,,t C C C 都包含1a ，因此包含1a 的集合个数至少为(1)n s t n s k t n s tt k k k---+---+=≥（利用2k ≥） nk ≥（利用s t ≤)． 40 分 3．（本题满分50分）如图，ABC ∆内接于圆O ，P 为BC 弧上一点，点K 在AP 上，使得BK 平分ABC ∠，过C P K ,,三点的圆Ω与边AC 交于D ，连接BD 交圆Ω于E ，连接PE ，延长交AB 于F ，证明：FCB ABC ∠=∠2．证法一：设CF 与圆Q 交于点L （异于C)，连接PB 、PC 、 BL 、KL ．注意此时C 、D 、L 、K 、E 、P 六点均在圆Ω上，结合A 、 B 、P 、C 四点共圆，可知∠FEB=∠DEP=180°-∠DCP=∠ABP=∠FBP ，因此△FB E ∽△FPB ，故FB 2=FE ·FP ．10分又由圆幂定理知，FE ·FP= FL ·FC ，所以FB 2=FL ·FC ． 从而△FBL ∽△FCB ．因此, ∠FLB=∠FBC=∠APC=∠KPC=∠FLK, 即B 、K 、L 三点共线． 30 分再根据△FBL ∽△FCB 得，∠FCB=∠FBL=12∠ABC, 即∠ABC=2∠FCB ．证法二：设CF 与圆Ω交于点L （异于C)．对圆内接广义六边形DCLKPE 应用帕斯卡定理可知， DC 与KP 的交点A 、CL 与PE 的交点F 、LK 与ED 的交点了共线，因此B ’是AF 与ED 的交点，即B ’=B ．所以B 、K 、L 共线．10分根据A 、B 、P 、C 四点共圆及L 、K 、P 、C 四点共圆，得 ∠ABC=∠APC=∠FLK=∠FCB+∠LBC,又由BK 平分∠ABC 知，∠FBL=12∠ABC ，从而 ∠ABC=2∠FCB ．4．（本题满分50分）求具有下述性质的所有正整数k ：对任意正整数n 都有1)1(2+-n k 不整除!)!(n kn ． 解：对正整数m ，设2()v m 表示正整数m 的标准分解中素因子2的方幂，则熟知2(!)()v m m S m =-，①这里()S m 表示正整数m 在二进制表示下的数码之和．由于1)1(2+-n k 不整除()!!kn n ，等价于2()!()(1)!kn v k n n ≤-，即22(()!)(!)kn v kn n v n -≥-，进而由①知，本题等价于求所有正整数k ，使得()()S kn S n ≥对任意正整数n 成立． 10分我们证明，所有符合条件的k 为2(0,1,2,)aa =．一方面，由于(2)()aS n S n =对任意正整数n 成立，故2ak =符合条件． 20 分另一方面，若k 不是2的方幂，设2,0,ak q a q =⋅≥是大于1的奇数．下面构造一个正整数n ，使得()()S kn S n <．因为()(2)()aS kn S q S qn <⋅=, 因此问题等价于我们选取q 的一个倍数m ，使得()()m S m S q <． 由（2，q ）=l ，熟知存在正整数u ，使得21(mod )uq ≡．（事实上，由欧拉定理知，u 可以取()q ϕ的．)设奇数q 的二进制表示为1212222,0,2t a a at a a a t +++=<<<≥．取1122222t t a a tu aa-+++++，则()S m t =，且2(21)0(mod )t a tu m q q =+-≡．我们有1(1)02121211212(122)12t t ttu uu t a a lu a u t ul m q q q q q -+-=---=++⋅=+⋅+++=+⋅∑由于2102u uq -<<，故正整数21u q -的二进制表示中的最高次幂小于u ，由此易知，对任意整数,(01)i j i j t ≤<≤-，数212t u iu a q +-⋅与212tu ju a q+-⋅的二进制表示中没有相同的项．又因为0i a >，故212(0,1,,1)tu lu a l t q +-⋅=-的二进制表示中均不包含1，故由②可知21()1()()u m S S t t S m q q-=+⋅>=, 因此上述选取的m 满足要求．综合上述的两个方面可知，所求的k 为2(0,1,2,)aa =．50分。
2015年全国高中数学联赛试题答案
…………………20 分
包含 a1 的集合至少有
n− s −t 个．又由于 A1 ⊆ Ci （ i = 1, , t ） ，故 C1 , C2 , , Ct 都 k
n− s −t ，即在剩下的 n − s − t 个集合中， k
包含 a1 ，因此包含 a1 的集合个数至少为
n− s −t n − s + (k − 1)t n − s + t （利用 k ≥ 2 ） = +t ≥ k k k n ． ……………40 分 ≥ （利用 t ≥ s ） k
n ≤ (n + 1) ∑ห้องสมุดไป่ตู้ai2 ， i =1 所以①得证，从而本题得证．
…………………40 分
证法二：首先，由于问题中 a1 , a2 , , an 的对称性，可设 a1 ≥ a2 ≥ ≥ an ．此 n 外，若将 a1 , a2 , , an 中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的 ∑ ai 不 i =1 减，而右边的 ∑ ai2 不变，并且这一手续不影响 ε i = ±1 的选取，因此我们可进一
2t u − 1 2u − 1 m 1 2αt ⋅ 1 2αt ⋅ 1 + 2u + + 2(t −1)u ) =+ =+ ( q q q
…………………10 分
n + 2 ∑ aj n = j +1 2
2
2
n 2 n n n 2 2 ≤ 2 ∑ ai + 2 n − ∑ a j （柯西不等式） …………30 分 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 n + 1 n n n + 1 2 a j （利用 n − = = 2 ∑ ai + 2 ） ∑ 2 2 2 i =1 2 = n j +1 2 n n 2 2 2 ≤ n ∑ ai + (n + 1) ∑ a j （利用 [ x ] ≤ x ） n = i =1 j +1 2
高一数学上学期期末考试试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某省某某第一中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学一、选择题：共10题1．下列说法中,正确的是A.幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)B.当a＝0时,函数y＝xα的图象是一条直线C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称,则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数y＝xα,当a<0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小【答案】D【解析】本题主要考查幂函数的图象与性质.由幂函数的图象与性质可知，A错误；当x=0时，y=0，故B错误；令a＝-1，则y=x-1，显然C错误；故D正确.2．如图所示,则这个几何体的体积等于A.4B.6C.8D.12【答案】A【解析】由三视图可知所求几何体为四棱锥,如图所示,其中SA⊥平面ABCD,SA=2,AB=2,AD=2,CD=4,且四边形ABCD为直角梯形,∠DAB=90°,∴V=SA×(AB+CD)×AD=×2××(2+4)×2=4,故选A.3．下列关于函数y＝f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为①若x0∈[a,b]且满足f(x0)＝0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根,f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点;④用二分法求方程的根时,得到的都是根的近似值.A.0B.1C.3D.4【答案】B【解析】本题主要考查方程与根、二分法.由零点的定义知，零点是曲线与x轴交点的横坐标，故①错误；当f(a)=0时，无法用二分法求解，故②错误；显然，③正确；若f(x)=2x-x-1，在区间(-1,1)上的零点，用二分法，可得f(0)=0，显然，④错误.4．如图,在三棱锥S-ABC中,E为棱SC的中点,若AC＝,SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝2,则异面直线AC与BE所成的角为A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】本题主要考查异面直线所成的角.取SA的中点D，连接BD、DE，则,是异面直线AC与BE所成的角或补角，由题意可得BD=BE=，DE=，即三角形BDE是等边三角形，所以5．如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF＝,则下列结论中错误的是A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.直线AB与平面BEF所成的角为定值D.异面直线AE、BF所成的角为定值【答案】D【解析】本题主要考查线面平行与垂直的判定定理、线面所成的角、异面直线所成的角，考查了空间想象能力.易证AC⊥平面BDD1B1，则AC⊥BE，A正确，不选；易知平面A1B1C1D1∥平面ABCD，则EF∥平面ABCD，B正确，不选；因为平面BEF即是平面BDD1B1，所以直线AB 与平面BEF所成的角为定值，故C正确，不选；故选D.6．若函数且)有两个零点,则实数a的取值X围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查函数的性质与零点.当时，函数是减函数，最多只有1个零点，不符合题意，故排除A、D；令,易判断函数在区间上分别有一个零点，故排除C，所以B正确.7．已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l【答案】D【解析】本题涉及直线与平面的基本知识,意在考查考生的空间想象能力、分析思考能力,难度中等偏下.由于m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,则平面α与平面β必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足l⊥m,l⊥n,则交线平行于l ,故选D.8．已知直线(1+k)x+y-k-2＝0过定点P,则点P关于直线x-y-2＝0的对称点的坐标是A.(3,﹣2)B.(2,﹣3)C.(3,﹣1)D.(1,﹣3)【答案】C【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.将(1+k)x+y-k-2＝0整理为：k(x-1)+x+y-2=0,则x-1=0且x+y-2=0,可得P(1,1),设点P的对称点坐标为(a,b),则，则x=3,y=-1,故答案：C.9．如图,平面⊥平面与两平面所成的角分别为和．过分别作两平面交线的垂线,垂足为,则＝A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查线面与面面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，考查了空间想象能力.根据题意，由面面垂直的性质定理可得，,则,则AB=2，则10．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,若截距之和最小,则直线的方程为A.x＋2y-6＝0 B.2x＋y-6＝0 C.x-2y＋7＝0 D.x-2y-7＝0【答案】B【解析】本题主要考查直线方程、基本不等式.由直线的斜率为k(k<0)，则y-4=k(x-1),分别令x=0、y=0求出直线在两坐标轴上的截距为：4-k，1-,则4-k+1-,当且仅当-k=-，即k=-2时，等号成立，则直线的方程为2x＋y-6＝0二、填空题：共5题11．已知直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,则经过点A(3,2)且与直线垂直的直线方程为________．【答案】2x-y-4＝0【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.因为直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,所以(m+1)m-2=0,且8-(m-2),则m=1，直线: x+2y-1=0,根据题意，设所求直线方程为2x-y+t＝0，将点A(3,2)代入可得t=-4，即：2x-y-4＝012．用斜二测画法得到的四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形,其下底长为5,一腰长为,则原四边形的面积是________.【答案】8【解析】本题主要考查平面直观图.根据题意，直观图中，梯形的下底长为5，一腰长为,则易求上底为3，高为1，面积为,所以原四边形的面积是13．已知三棱锥A-BCD的所有棱长都为,则该三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】3π【解析】本题主要考查空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力.将正方体截去四个角可得到一个正四面体，由题意，可将该三棱锥补成一个棱长为1的正方体，所以该三棱锥的外接球的直径即为正方体的对角线，所以2r=，则该三棱锥的外接球的表面积为S=14．已知关于x的方程有两根,其中一根在区间内,另一根在区间内,则m的取值X围是________．【答案】【解析】本题主要考查二次函数的性质与二元一次方程的根.设,由题意可知：，求解可得15．甲、乙、丙、丁四个物体同时以某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论：①当时，甲走在最前面；②当时，乙走在最前面；③当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.其中，正确结论的序号为_________(把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分).【答案】③④⑤【解析】①错误.因为，，所以，所以时，乙在甲的前面.②错误.因为，，所以，所以时，甲在乙的前面.③正确.当时，，的图象在图象的上方.④正确.当时，丙在甲乙前面，在丁后面，时，丙在丁前面，在甲、乙后面，时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱.⑤正确.指数函数增长速度越来越快，x充分大时，的图象必定在，，上方，所以最终走在最前面的是甲.三、解答题：共5题16．如图(1)所示,在直角梯形中,BC AP,AB BC,CD AP,又分别为线段的中点,现将△折起,使平面平面(图(2))．(1)求证:平面平面;(2)求三棱锥的体积．【答案】证明:(1)分别是的中点,∵平面,AB平面.∴平面.同理,平面,∵,EF平面平面∴平面平面.(2)＝.【解析】本题主要考查面面与线面平行与垂直的判定与性质、空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力与等价转化.(1)根据题意,证明、,再利用线面与面面平行的判定定理即可证明;(2)由题意易知，则结果易得.17．已知两点,直线,求一点使,且点到直线的距离等于2．【答案】设点的坐标为.∵．∴的中点的坐标为．又的斜率．∴的垂直平分线方程为,即．而在直线上．∴．①又已知点到的距离为2．∴点必在于平行且距离为2的直线上,设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:∴或．∴点在直线或上．∴或②∴①②得:或．∴点或为所求的点．【解析】本题主要考查直线方程与斜率、两条直线的位置关系、中点坐标公式.设点的坐标为，求出统一线段AB的垂直平分线，即可求出a、b的一个关系式；由题意知，点必在于平行且距离为2的直线上, 设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:，求出m的值，又得到a、b的一个关系式，两个关系式联立求解即可.18．(1)已知圆C经过两点,且被直线y=1截得的线段长为.求圆C的方程;(2)已知点P(1,1)和圆过点P的动直线与圆交于A,B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【答案】(1)设圆方程为.因为点O,Q在圆上,代入:又由已知,联立:解得:由韦达定理知:.所以:.即即:.即:.则.所以所求圆方程为:.(2)设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2). 由题意:,又.所以: 化简:所以M 点的轨迹方程为【解析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的性质、直线的斜率公式、方程思想.(1)设圆方程为，将y =1代入圆的方程，利用韦达定理，求出D 、E 、F 的一个关系式，再由点O 、Q 在圆上，联立求出D 、E 、F 的值，即可得到圆的方程;(2) 设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2)，由题意:,又，化简求解即可得到结论.19．如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD , AB ⊥AD , AC ⊥CD ,∠ABC ＝60°,PA ＝AB ＝BC ,E 是PC 的中点．C A PB D E(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小;(2)证明:AE ⊥平面PCD ;(3)求二面角A-PD-C的正弦值．【答案】(1)在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥A B.又AB⊥AD,PA∩AD＝A,从而AB⊥平面PAD,∴PB在平面PAD内的射影为PA,从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中,AB＝PA,故∠APB＝45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明:在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PA.由条件CD⊥AC,PA∩AC＝A∵CD⊥平面PA C.又AE⊂平面PAC,∴AE⊥C D.由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°,可得AC＝PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥P C.又PC∩CD＝C,综上得AE⊥平面PCD.(3)过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示．由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD.因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角．由已知,可得∠CAD＝30°.设AC＝a,可得PA＝a,AD＝a,PD＝a,AE＝在Rt△ADP中,∵AM⊥PD,∴AM·PD＝PA·AD,则AM＝＝.在Rt△AEM中,sin∠AME＝＝.所以二面角A—PD—C的正弦值为.【解析】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理、线面角与二面角，考查了空间想象能力.(1)根据题意，证明AB⊥平面PAD,即可得证∠APB为PB和平面PAD所成的角，则易求结果；(2)由题意，易证CD⊥平面PA C，可得AE⊥C D，由题意易知AC＝PA，又因为E是PC 的中点,所以AE⊥P C，则结论易证；(3) 过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示，由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD，因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角，则结论易求.20．诺贝尔奖的奖金发放方式为:每年一发,把奖金总额平均分成6份,分别奖励给在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半;另一半利息计入基金总额,以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示:1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1),2000年记为f(2),…,依次类推)(1)用f(1)表示f(2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式;(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由．(参考数据:1.031 29≈1.32)【答案】(1)由题意知:f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%＝f(1)×(1＋3.12%),f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2,∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x-1(x∈N*)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19800(1＋3.12%)9＝26136,故2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%≈136(万美元),与150万美元相比少了约14万美元,是假新闻．【解析】本题主要考查指数函数、函数的解析式与求值,考查了分析问题与解决问题的能力、计算能力.(1)由题意知: f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%，f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%，化简，即可归纳出函数f(x)的解析式；(2)根据题意，求出2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)，再求出2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%，即可判断出结论.。
河南省郑州市2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案
河南省郑州市2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含答案数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若$\{1,2\}\subset A\subset\{1,2,3,4,5\}$，则满足条件的集合$A$的个数是（）A。
6B。
8C。
7D。
92.设$a,b\in\mathbb{R}$，集合$A=\{1,a+b,a\},B=\{0,\frac{b}{a},b\}$，若$A=B$，则$b-a=$（）A。
2B。
$-1$C。
1D。
$-2$3.下列各组函数中$f(x)$与$g(x)$的图象相同的是（）A。
$f(x)=x,g(x)=|x|$B。
$f(x)=x^2,g(x)=\begin{cases}x,&(x\geq 0)\\-x,&(x<0)\end{cases}$C。
$f(x)=1,g(x)=x$D。
$f(x)=x,g(x)=\begin{cases}x,&(x\geq0)\\0,&(x<0)\end{cases}$4.下列函数中，既是偶函数又在$(-\infty,0)$内为增函数的是（）A。
$y=-\frac{1}{2}$B。
$y=x^2$C。
$y=x+1$D。
$y=\log_3(-x)^2$5.三个数$a=0.32,b=\log_2 0.3,c=2^0.3$之间的大小关系为（）A。
$a<c<b$B。
$a<b<c$C。
$b<a<c$D。
$b<c<a$6.下列叙述中错误的是（）A。
若点$P\in\alpha,P\in\beta$且$\alpha\cap\beta=l$，则$P\in l$B。
三点$A,B,C$能确定一个平面C。
若直线$a\parallel b$，则直线$a$与$b$能够确定一个平面D。
若点$A\in l,B\in l$且$A\in\alpha,B\in\alpha$，则$l\subset\alpha$7.方程$\log_3 x+x=3$的解所在区间是（）A。
河南省郑州市2014-2015学年上期期末高一数学试题卷(含答案)(K12教育文档)
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郑州市2014-2015学年上期期末考试高 一 数 学 试 题 卷考试时间120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1。
已知集合={2014,2015}A ，非空集合B 满足{20142015}A B =， ，则满足条件的集合B 的个数是A 。
1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列函数中与函数3y x = 相等的是A 。
y =y =63x y x= D 。
6y =3.已知集合={1,2,3}B=A ， {,}x y ,则从A 到B 的映射共有A 。
6个B 。
5个 C. 8个 D 。
9个 4。
下列命题正确的是A. 有两个平面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B 。
六条棱长均相等的四面体是正四面体C 。
有两个平面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱D 。
用一个平面去截圆锥,底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台 5.已知一个圆的方程满足:圆心在点(3,4)- ，且经过原点，则它的方程为 A.22(3)(4)5x y -+-= B. 22(+3)(+4)25x y += C. 22(3)(+4)5x y -+= D. 22(+3)(4)25x y +-= 6.下列命题中不是公理的是A 。
2015年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2k 2 1 m2 ．②
由直线
AF1, l, BF1
的斜率
y1 , k, y2 x1 1 x2 1
依次成等差数列知，
y1 x1 1
y2 2k x2 1
，又
y1 kx1 m, y2 kx2 m ，所以 (kx1 m)(x2 1) (kx2 m)(x1 1) 2k(x1 1)(x2 1) ，化简并
棱两两异面的取法数为 4×2=8，故所求概率为 8 2 ． 220 55
2015A6、在平面直角坐标系 xOy 中，点集 K (x, y) | ( x 3 y 6)( 3x y 6) 0 所对应的平
面区域（如图所示）的面积为
◆答案： 24 ★解析：设 K1 {(x, y) || x | | 3y | 6 0} ． 先考虑 K1 在第一象限中的部分，此时有 x 3y 6 ,故这些点
对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知， K1 对应的区
域是图中以原点 O 为中心的菱形 ABCD 及其内部．
同理，设 K2 {(x, y) || 3x | | y | 6 0} ，则 K2 对应
的区域是图中以 O 为中心的菱形 EFGH 及其内部．
由点集 K 的定义知，K 所对应的平面区域是被 K1 、K2
1 sin
cos4
cos 2 sin 2 sin
sin 2
(1 sin )(1 cos2 )
2 sin
cos2
2．
2015A 3、已知复数数列 zn 满足 z1 1，zn1 zn 1 ni (n 1,2,) ，其中 i 为虚数单位，zn 表
XXX2014-2015学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含解析
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XXX2014-2015学年第一学期期中考试高一数学试题第Ⅰ卷选择题（共30分）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1、已知集合$S=\{x|x+1\geq2\}$，$T=\{-2,-1,0,1,2\}$，则$S\cap T=$（）A。
$\{2\}$。
B。
$\{1,2\}$。
C。
$\{0,1,2\}$。
D。
$\{-1,0,1,2\}$解题思路】：题目给出了集合$S$和$T$，需要先求出它们的具体表达内容，再求它们的交集。
$S$是一次函数不等式的解，$S=\{x|x\geq1\}$；$S\cap T=\{1,2\}$，故选B。
2、用阴影部分表示集合$C\cup A\cup B$，正确的是（）解题思路】：题目给出了四个图形，需要判断哪个图形表示$C\cup A\cup B$。
利用XXX求解，A中阴影部分表示$C\cup(A\cup B)$，B中阴影部分表示$(C\cup A)\cap B$，C中阴影部分表示$A\cap B$，D中阴影部分表示$C\cup A\cup B$，故选D。
3、函数$y=\log_{\frac{1}{2}}(x-1)$的定义域是（）A。
$(1,+\infty)$。
B。
$[1,+\infty)$。
C。
$(0,+\infty)$。
D。
$[0,+\infty)$解题思路】：题目给出了函数$y=\log_{\frac{1}{2}}(x-1)$，需要求出它的定义域。
由$\log_{\frac{1}{2}}(x-1)>0$得$x-1>0$，即$x>1$，故选A。
4、下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A。
$y=-|x|$。
B。
$y=x$。
C。
$y=|x|$。
2015-2016学年高一上学期第一次月考数学试题_Word版含答案
2015--2016学年度高一第一学期第一次月考数学试题（时间：90分钟，总分100分）一、选择题（共10小题，每小题4分）1、已知集合P={x ∈N | 1≤x ≤10}，Q={x ∈R| x 2+x －6=0}，则P ∩Q=（ ）A. { 1, 2, 3 }B. { 2, 3}C. { 1, 2 }D. { 2 }2、已知集合U={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 }，A={ 2, 4, 5, 7 }，B={ 3, 4, 5 }则（C ∪A ）∪（C ∪B ）=（ ）A. { 1, 6 }B. { 4, 5}C. { 2, 3, 4, 5, 7 }D. { 1, 2, 3, 6, 7 }3、设集合A={ 1, 2 }，则满足A ∪B = { 1, 2, 3 }的集合B 的个数是（ ）A. 1B. 3C. 4D. 84、函数f(x)=x 2+mx+1的图象关于直线x=1对称，则（ ）A. m=－2B. m=2C. m=－1D. m=15、设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f(x)=2x 2－x, 则f(1)等于（ ）A. －3B. －1C. 1D. 36、在区间（－∞，0）上为增函数的是（ ）A. y=1B. y=2x1x +- C. 1x 2x y 2---= D. y=1+x 27、若函数y=f(x)的定义域[－2，4]，则函数g(x) = f(x) + f(－x)的定义域是（ ）A. [－4，4]B. [－2，2]C. [－4，－2]D. [2，4]8、设abc>0，二次函数f(x) = ax 2 + bx + c 的图象可能是（ ）A. B. C. D.9、函数x2y =的单调减区间为（ ） A. R B. （－∞, 0）∪（0, +∞）C. （－∞, 0）, （0, +∞）D. （0，+∞）10、已知定义在R 上的奇函数f(x)在（－∞, －1）上是单调减函数，则f(0), f(－3)+f(2)的大小关系是（ ）A. f(0)<f(－3)+f(2)B. f(0)=f(－3)+f(2)C. f(0)> f(－3) +f(2)D. 不确定二、填空题（本大题共5小题，每小题4分）11、已知集合A={－1, 1, 2, 4}, B={－1, 0, 2}，则A ∩B= 。
郑州市2009-2010高一上期期末数学试题(必修1+必修2)(含答案)(word典藏版)
郑州市2009-2010高一上期期末数学试题第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合}2,1,0{=A ，集合}4,2,0{=B ，则=B AA ．}0{B ．}2{C ．}2,0{D ．}4,1{2．函数)23(log 21-=x y 的定义域是A ．),1[+∞B ．]1,32( C ．]1,32[ D ．),32(+∞ 3．下列函数中在)1,(-∞上单调递减的是A ．||x y =B ．x y -=1C ．1-=x yD ．21x y -=4．已知函数3)(2++=ax x x f 为偶函数，则实数a 的值为A ．0B ．2C ．2-D ．2± 5．直线03)1()2(=--++y a x a 与02)32()1(=+++-y a x a 互相垂直，则a 为A ．1-B ．1C ．23-D ．1± 6．若圆)04(02222>-+=++++FE DF Ey Dx y x 关于直线1+=x y 对称，则下列结论成立的是A ．2=-E DB ．2=+E DC ．1=+ED D ．1=-E D7．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是A ．若α//m ，α//n ，则n m //B ．若α//m ，β//m ，则βα//C ．若α⊥m ，α⊥n ，则n m //D ．若γα⊥，γβ⊥，则βα//8．直线02=+-a y ax 与圆922=+y x 的位置关系是A ．相交B ．相切C ．相离D ．与a 的值有关9．在空间直角坐标系下，点),,(z y x P 满足1222=++z y x ，则动点P 的轨迹表示的空间几何体的表面积是·A ．πB ．π34C ．π2D ．π4 10．函数10log )(2-+=x x x f 的零点所在区间为A ．)7,6(B ．)8,7(C ．)9,8(D ．)10,9(11．定义在]3,0[上的函数)(x f 图象是如图所示的折线段OAB ，点A 的坐标为)2,1(，点B 的坐标为)0,3(．定义函数)1()()(-⋅=x x f x g ，则函数)(x g 的最大值为A ．4B ．2C ．1D ．012．所有棱长都相等的三棱锥在平面α上的正投影不可能是A ．正三角形B ．三边不全等的等腰三角形C ．正方形D ．邻边不垂直的菱形 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13．计算：=++-+-2lg 225lg 5.05121.1230 ．14．已知一几何体的三视图如右图所示，其正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，则该几何体的全面积为 ．15．拟定从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由⨯=06.1)(m f )1][5.0(+⋅m （元）决定，其中0>m ，][m 是不大于m 的最大整数，则从甲地到乙地通话时间为5.6分钟的电话费为 元．16．图甲是一个正三棱柱形的容器，高为m 2，内装水若干．现将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图乙所示，这时水面恰好为中截面（EF 与11F E 分别为ABC ∆和111C B A ∆的中位线），则图甲中水面的高度为 ．。
(完整word版)高一数学必修1试题附答案详解
高一数学必修1试题1。
已知全集I ＝{0，1,2｝，且满足C I （A ∪B )＝{2}的A 、B 共有组数2。
如果集合A ＝｛x |x ＝2k π+π，k ∈Z}，B ＝{x |x ＝4k π+π，k ∈Z ｝，则集合A,B 的关系3.设A ＝｛x ∈Z ｜｜x |≤2},B ＝｛y ｜y ＝x 2＋1，x ∈A ｝,则B 的元素个数是4.若集合P ＝{x ｜3〈x ≤22},非空集合Q ＝{x |2a +1≤x 〈3a －5}，则能使Q ⊆ (P ∩Q ）成立的所 有实数a 的取值范围为5。
已知集合A ＝B ＝R ,x ∈A ，y ∈B ，f ：x →y ＝ax ＋b ，若4和10的原象分别对应是6和9, 则19在f 作用下的象为6。
函数f （x ）＝错误! (x ∈R 且x ≠2)的值域为集合N ,则集合{2，－2，－1,－3}中不属于N 的元 素是7.已知f (x )是一次函数，且2f (2)－3f （1)＝5，2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )的解析式为8。
下列各组函数中，表示同一函数的是 A.f (x )＝1，g （x ）＝x 0B.f （x ）＝x ＋2，g (x ）＝错误!C.f (x )＝｜x |，g (x )＝错误! D 。
f （x )＝x ，g （x ）＝（错误!)29。
f （x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 x ＞0π x ＝00 x ＜0，则f {f ［f （－3)］｝等于10。
已知2lg （x －2y ）＝lg x ＋lg y ，则错误!的11。
设x ∈R ,若a 〈lg （|x －3｜＋|x ＋7|)恒成立，则a 取值范围是12.若定义在区间(－1，0）内的函数f(x)＝log2a(x＋1）满足f(x)>0，则a的取值范围是高一数学必修1试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知全集I＝｛0，1,2｝，且满足C I （A∪B）＝｛2｝的A、B共有组数A。
高一数学(必修二)寒假作业(立体几何)Word版含答案
高一数学（必修二）寒假作业（立体几何）第Ⅰ卷（选择题，48分）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1.若α、β是不重合的平面，a 、b 、c 是互不相同的空间直线，则下列命题中为真命题的是 （ ） ① 若α//a ，α//b ，则b a // ； ② 若α//c ，α⊥b ，则b c ⊥ ； ③ 若α⊥c ，β//c ，则βα⊥ ；④ 若α⊂b ，α⊂c 且b a ⊥，c a ⊥，则α⊥a A.③④ B. ①② C. ①④ D. ②③2.下列四个命题：①平行于同一平面的两条直线相互平行 ②平行于同一直线的两个平面相互平行 ③垂直于同一平面的两条直线相互平行 ④垂直于同一直线的两个平面相互平行 其中正确的有A ．4个 B.3个 C.2个 D.1个3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 、163πB 、203πC 、403πD 、5π4.已知正四棱锥的各棱棱长都为23，则正四棱锥的外接球的表面积为( ) A ．π12B ．π36C ．π72D ．π1085.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.168π+B.88π+C.1616π+D.816π+6..a ，b 表示空间不重合两直线，α，β表示空间不重合两平面，则下列命题中正确的是（ ）A.若α⊂a ，β⊂b ，且b a ⊥，则βα⊥B.若βα⊥，α⊂a ，β⊂b 则b a ⊥C.若α⊥a ，β⊥b ，βα//则b a //D.若βα⊥，α⊥a ，β⊂b ，则b a //7.下列命题中为真命题的是（ ） A ．平行于同一条直线的两个平面平行 B ．垂直于同一条直线的两个平面平行C ．若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行．D ．若三直线a 、b 、c 两两平行，则在过直线a 的平面中，有且只有—个平面与b ，c 均平行．8.如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是 . A 36128π+ B 3616π+ C 72128π+ D 7216π+9.设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α⊥，l m //，则m α⊥ C ．若l α//，m α⊂，则l m // D ．若l α//，m α//，则l m //10.已知某几何体的三视图如右图所示，其中，主（正）视图，左（侧）视图均是由直角三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接直角三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的 体积为( )16+ (B) 4136π+12+ (D)2132π+11.已知圆柱1OO 底面半径为1，高为π，ABCD 是圆柱的一个轴截面．动点M 从点B 出发沿着圆柱的侧面到达点D ，其距离最短时在侧面留下的曲线Γ如图所示．现将轴截面ABCD 绕着轴1OO 逆时针旋转 (0)θθπ<≤后，边11B C 与曲线Γ相交于点P ，设BP 的长度为()f θ，则()y f θ=的图象大致为（ ）12.某三棱锥的侧视图和俯视图如图--1所示，则该三棱锥的体积为( )A ．4 3B ．8 3C ．12 3D ．243第Ⅱ卷（非选择题，共72分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13.如图,在三棱柱ABC C B A -111中, F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ,则=21:V V _____.14. 已知圆的方程为22680x y x y +--=．设该圆过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 ．15.如右图为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成..ABC1ADE F1B1C16.已知某个几何体的三视图如图（正视图中的弧线是半圆），图中标出的尺（单位：㎝）， 可得这个几何体表面是 cm 2。
河南省郑州市2014-2015学年上期期末考试高一数学试题(含答案)(word精校版)
河南省郑州市2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知集合{}2014,2015A =，非空集合B 满足{}2014,2015A B =，则满足条件的集合B 的个数是A ．1B ．2C ．3D ．42、下列函数中与函数3y x =相等的是A ．y =B ．y =C ．63x y x = D ．6y = 3、已知集合{}1,2,3A =，{},x y B =，则从A 到B 的映射共有A ．6个B ．5个C ．8个D ．9个4、下列命题正确的是A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B ．六条棱长均相等的四面体是正四面体C ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱D ．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台5、已知一个圆的方程满足：圆心在点()3,4-，且经过原点，则它的方程为A ．()()22345x y -+-=B ．()()223425x y +++=C ．()()22345x y -++=D ．()()223425x y ++-=6、下列命题中不是公理的是A ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线B ．过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．垂直于同一个平面的两条直线平行D ．平行于同一条直线的两条直线互相平行7、函数()f x =的定义域为 A ．(]1,2 B ．(],2-∞ C ．[]1,2 D ．()1,28、已知直线l 在x 轴上的截距为3，在y 轴上的截距为2-，则l 的方程为A ．3260x y --=B ．2360x y -+=C ．2360x y --=D ．3260x y -+=9、已知点()2,0A -，动点B 的纵坐标小于等于零，且点B 满足方程221x y +=，则直线AB 的斜率的取值范围是A ．⎡⎢⎣⎦ B ．⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．⎡⎣D ．⎡⎤⎣⎦ 10、已知点()1,2A 和点()2,4B --，点P 在坐标轴上，且满足∠APB 为直角，则这样的点P 有A ．4个B ．3个C ．2个D ．6个11、函数2x y x=-的图象的对称中心的坐标为 A ．()2,1- B ．()2,1-- C ．()2,1 D ．()2,1-12、已知2log 3a =，3log 5b =，则lg 24可用a ，b 表示为A ．3b B ．31a ab ++ C ．13a a b ++ D ．31a b ++二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13、已知空间直角坐标系中有两点()1,2,3A ，()5,1,4B -，则它们之间的距离为 ．14、已知15x x -+=，则1122x x -+= ．15、圆224x y +=与圆()()222220x y -++=的公共弦所在的直线方程为 ．16、在三棱锥C P -AB 中，C 3B =，C 4A =，5AB =，若三个侧面与底面C AB 所成二面角均为60，则三棱锥的体积是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17、（本小题满分10分）已知()321x f x k =+-是奇函数，求实数k 的值．。
(完整word版)高一数学集合练习题
高一数学集合的练习题及答案一、、知识点：本周主要学习集合的初步知识，包括集合的有关概念、集合的表示、集合之间的关系及集合的运算等。
在进行集合间的运算时要注意使用Venn图。
本章知识结构1、集合的概念集合是集合论中的不定义的原始概念，教材中对集合的概念进行了描述性说明：“一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）”。
理解这句话，应该把握4个关键词：对象、确定的、不同的、整体。
对象――即集合中的元素。
集合是由它的元素唯一确定的。
整体――集合不是研究某一单一对象的，它关注的是这些对象的全体。
确定的――集合元素的确定性――元素与集合的“从属”关系。
不同的――集合元素的互异性。
2、有限集、无限集、空集的意义有限集和无限集是针对非空集合来说的。
我们理解起来并不困难。
我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记做Φ。
理解它时不妨思考一下“0与Φ”及“Φ与{Φ}”的关系。
几个常用数集N、N*、N＋、Z、Q、R要记牢。
3、集合的表示方法（1）列举法的表示形式比较容易掌握，并不是所有的集合都能用列举法表示，同学们需要知道能用列举法表示的三种集合：①元素不太多的有限集，如{0，1，8}②元素较多但呈现一定的规律的有限集，如{1，2，3， (100)③呈现一定规律的无限集，如{1，2，3，…，n，…}●注意a与{a}的区别●注意用列举法表示集合时，集合元素的“无序性”。
（2）特征性质描述法的关键是把所研究的集合的“特征性质”找准，然后适当地表示出来就行了。
但关键点也是难点。
学习时多加练习就可以了。
另外，弄清“代表元素”也是非常重要的。
如{x|y ＝x 2}， {y|y ＝x 2}， {（x ，y ）|y ＝x 2}是三个不同的集合。
4、集合之间的关系●注意区分“从属”关系与“包含”关系 “从属”关系是元素与集合之间的关系。
“包含”关系是集合与集合之间的关系。
掌握子集、真子集的概念，掌握集合相等的概念，学会正确使用“”等符号，会用Venn 图描述集合之间的关系是基本要求。
高一数学下学期期末考试试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
某某省某某市长安区第一中学2015-2016学年高一下学期期末考试数学一、选择题：共12题1．不等式的解集为A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查一元二次不等式的解法.,即,解得.即不等式的解集为.选C.2．数列,,,,,,,则是这个数列的A.第10项B.第11项C.第12项D.第21项【答案】B【解析】本题考查数列的通项.由题意得,令,解得.选B.3．在数列中，，，则的值为A.52B.51C.50D.49【答案】A【解析】本题考查等差数列的性质.由得,所以为等差数列,所以==,所以.选A.4．=A. B. C. D.【答案】A【解析】本题考查同角三角函数的诱导公式及两角和的正弦公式.====.选A.【备注】.5．已知角的终边经过点,则的值等于A. B. C. D.【答案】D【解析】本题考查三角函数的定义.由题意得所以=,=,所以=.选D.6．若数列是等差数列，且，则A. B. C. D.【答案】B【解析】本题考查等差数列的性质,诱导公式.因为是等差数列，所以=，又所以，,所以===.选B.【备注】若，等差数列中.7．设,若是与的等比中项，则的最小值为A.8B.4C.1D.【答案】B【解析】本题考查等比数列性质,基本不等式.因为是与的等比中项，所以,即.所以===4(当且仅当时等号成立),即的最小值为4.选B.【备注】若，等比数列中.8．已知是等比数列，，则=A.16()B.16()C.)D.)【答案】C【解析】本题考查等比数列的通项与求和.由题意得的公比=,所以=,所以,令,则是以8为首项,为公比的等比数列,所以的前n项和=).选C.【备注】等比数列中，.9．在△中，已知，，若点在斜边上，，则的值为A.48 B.24 C.12 D.6【答案】B【解析】本题考查平面向量的线性运算和数量积.因为，,所以==,所以==+0=24.选B.【备注】.10．函数,,的部分图象如图所示，则A. B.C. D.【答案】D【解析】本题考查三角函数的性质和图象,解析式的求解.由图可得，,,即,即,所以,又过点,所以=2,由可得=.所以.选D.【备注】知图求式.11．已知向量,，且∥，则= A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查向量的坐标运算与线性运算,二倍角公式.因为∥，所以,即,即=-3,所以=====.选C.【备注】二倍角公式：，.12．设函数，若存在使得取得最值，且满足，则m的取值X围是A. B.C. D.【答案】C【解析】本题考查三角函数的性质与最值,一元二次不等式.由题意得,且=,解得,(),所以转化为,而,所以,即,解得或.选C.二、填空题：共6题13．不等式的解集是 .【答案】【解析】本题考查分式不等式,一元二次不等式.由题意得且,所以或.所以不等式的解集是.【备注】一元高次不等式的解法:穿针引线法.14．已知，，则的值为_______.【答案】3【解析】本题考查两角和与差的正切角公式.由题意得=== 3.【备注】=是解题的关键.15．已知向量a=，b=, 若m a+n b=(),则的值为______. 【答案】-3【解析】本题考查平面向量的坐标运算.由题意得===,即,解得,,所以.16．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得两船的俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 m.【答案】【解析】本题考查解三角形的应用.画出图形,为炮台,为两船的位置;由题意得m,,,;在△中,=m.在Rt△中,,所以m;在△中,由余弦定理得=300.即,两条船相距m.【备注】余弦定理:.17．若将函数f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是.【答案】【解析】本题主要考查三角函数图象平移、函数奇偶性及三角运算.解法一f(x)=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位得函数y=sin(2x+-2φ)的图象,由函数y=sin(2x+-2φ)的图象关于y轴对称可知sin(-2φ)=±1,即sin(2φ-)=±1,故2φ-=kπ+,k∈Z,即φ=+,k∈Z,又φ>0,所以φmin=.解法二由f(x)=sin(2x+)=cos(2x-)的图象向右平移φ个单位所得图象关于y轴对称可知2φ+=kπ,k∈Z,故φ=-,又φ>0,故φmin=.【备注】解题关键:解决三角函数的性质问题,一般化为标准型后结合三角函数的图象求解,注意正余弦函数的对称轴过曲线的最低点或最高点是解题的关键所在.18．已知分别为△的三个内角的对边，，且，则△面积的最大值为 . 【答案】【解析】本题考查正、余弦定理,三角形的面积公式.由正弦定理得=,又所以,即,所以=,所以.而,所以;所以≤=(当且仅当时等号成立).即△面积的最大值为.【备注】余弦定理:.三、解答题：共5题19．在△中，已知,,.(1)求的长；(2)求的值.【答案】(1)由余弦定理知，==，所以.(2)由正弦定理知，所以，因为，所以为锐角，则，因此【解析】本题考查二倍角公式,正、余弦定理.(1)由余弦定理知.(2)由正弦定理知，，因此.20．设是公比为正数的等比数列，,.(1)求的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和.【答案】(1)设q为等比数列{a n}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.所以{a n}的通项为a n＝2·2n-1＝2n(n∈N*)(2)S n＝＋n×1＋×2＝2n+1＋n2－2.【解析】本题考查等差、等比数列的通项与求和.(1)求得q＝2,所以a n＝2n(n∈N*);(2)分组求和得S n＝2n+1＋n2－2.21．已知向量,，函数，且的图象过点.(1)求的值；(2)将的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若图象上各最高点到点的距离的最小值为，求的单调递增区间.【答案】(1)已知，过点，解得(2)由(1)知,左移个单位后得到,设的图象上符合题意的最高点为，,解得,，解得,,由得,的单调增区间为【解析】本题考查平面向量的数量积,三角函数的图像与性质,三角恒等变换.(1)由向量的数量积求得，过点，解得;(2),求得,,其单调增区间为.22．某种汽车的购车费用是10万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元,年维修费用第一年是0.2万元,第二年是0.4万元,第三年是0.6万元,……,以后逐年递增0.2万元. 汽车的购车费用、每年使用的保险费、养路费、汽油费、维修费用的总和平均摊到每一年的费用叫做年平均费用.设这种汽车使用x(x∈N*)年的维修总费用为g(x),年平均费用为f(x).(1)求出函数g(x),f(x)的解析式;(2)这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最小?最小值是多少?【答案】(1)由题意,知使用x年的维修总费用为g(x)==0.1x+0.1x2,依题意,得f(x)=[10+0.9x+(0.1x+0.1x2)]=(10+x+0.1x2).(2)f(x)=++1≥2+1=3,当且仅当,即x=10时取等号.所以x=10时,y取得最小值3.所以这种汽车使用10年时,它的年平均费用最小,最小值是3万元.【解析】无23．把正奇数数列中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：设是位于这个三角形数表中从上往下数第行、从左往右数第个数．(1)若，求，的值；(2)已知函数，若记三角形数表中从上往下数第行各数的和为，求数列的前项和.【答案】(1)三角形数表中前m行共有个数，所以第m行最后一个数应当是所给奇数列中的第项．故第m行最后一个数是．因此，使得的m是不等式的最小正整数解．由得，, 于是，第45行第一个数是，(2)第n行最后一个数是，且有n个数，若将看成第n行第一个数，则第n行各数成公差为的等差数列，故..故.因为，两式相减得.．【解析】本题考查数列的概念,数列的通项与求和.(1)找规律得第m行最后一个数是.可得，求出第45行第一个数是，(2).．错位相减可得.。
高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析(数理化网)9
高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.以下给出的四个备选答案中，只有一个正确）1．满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．12．已知全集U=R，设集合A={x|y=lg（x﹣1）}，集合B={y|y=2x，x≥1}，则A∩（C U B）=（）A．[1，2]B．[1，2）C．（1，2）D．（1，2]3．函数y=a x+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（）A．（0，1）B．（1，0）C．（2，1）D．（0，2）4．已知集合M={﹣1，1}，N=，则M∩N=（）A．{﹣1，1} B．{﹣1}C．{0}D．{﹣1，0}5．设函数f（x）=．若f（a）=4，则实数a=（）A．﹣4 或﹣2 B．﹣4 或2 C．﹣2 或4 D．﹣2 或26．函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）7．已知函数f（x）=若f（x0）＞3，则x0的取值范围是（）A．x0＞8 B．x0＜0或x0＞8 C．0＜x0＜8 D．x0＜0或0＜x0＜88．如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a取值范围是（）A．a≤﹣3 B．a≥﹣3 C．a≤5 D．a≥59．已知对数函数f（x）=log a x是增函数，则函数f（|x|+1）的图象大致是（）A．B．C．D．10．已知a=2，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a11．已知函数f（x）=是R上的减函数则a的取值范围是（）A．（0，3）B．（0，3]C．（0，2）D．（0，2]12．若函数f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0则＜0的解集为（）A．（﹣3，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣3，0）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，+3）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在对应题号后的横线上）13．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），则函数f（2x+1）的定义域为．14．计算：e ln3+log9+0.125=．15．已知集合A={x，，1}，B={x2，x+y，0}，若A=B，则x2014+y2015=．16．已知函数y=log a（2﹣ax），（a＞0，a≠1）在[0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知A={x|2a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，若A∩B=A，求a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3）（0＜a＜1）（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的零点．19．（12分）设a＞0，f（x）=+是R上的偶函数．（1）求a的值；（2）证明f（x）在（0，+∞）上为增函数．20．（12分）已知函数f（x）=1﹣（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）试判断函数f（x）的奇偶性．21．（12分）经济学中，函数f（x）的边际函数M（x）定义为M（x）=f（x+1）﹣f（x），利润函数p（x）边际利润函数定义为M1（x）=p（x+1）﹣p（x），某公司最多生产100 台报系统装置，生产x台的收入函数为R（x）=3000x﹣20x2（单位：元），其成本函数为C（x）=500x+4000x（单位：元），利润是收入与成本之差．（1）求利润函数p（x）及边际利润函数M1（x）；（2）利润函数p（x）与边际利润函数M1（x）是否具有相等的最大值？22．（12分）定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R恒有f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）不恒为0，（1）求f（1）和f（﹣1）的值；（2）试判断f（x）的奇偶性，并加以证明；（3）若x≥0时f（x）为增函数，求满足不等式f（x+1）﹣f（2﹣x）≤0的x取值集合．2016-2017学年青海省师大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.以下给出的四个备选答案中，只有一个正确）1．满足条件M∪{1}={1，2，3}的集合M的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】并集及其运算．【专题】计算题．【分析】根据集合并集的定义“由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做并集”进行反向求解即可．【解答】解：∵M∪{1}={1，2，3}∴M={2，3}或{1，2，3}故选C．【点评】本题主要考查了集合中并集的运算，是求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．2．已知全集U=R，设集合A={x|y=lg（x﹣1）}，集合B={y|y=2x，x≥1}，则A∩（∁U B）=（）A．[1，2]B．[1，2）C．（1，2）D．（1，2]【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】先求出A、B，然后求解，从而求出∁U B，即可求解集合A∩（∁U B）．【解答】解：全集U=R，设集合A={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}，集合B={y|y=2x，x≥1}={y|≥2}，∁U B={y|y＜2}则A∩（∁U B）=（1，+∞）∩（﹣∞，2）=（1，2）．故选：C．【点评】本题考察了集合的运算，求出补集是解题的关键，本题是一道基础题．3．函数y=a x+1（a＞0且a≠1）的图象必经过点（）A．（0，1）B．（1，0）C．（2，1）D．（0，2）【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】已知函数f（x）=a x+1，根据指数函数的性质，求出其过的定点．【解答】解：∵函数f（x）=a x+1，其中a＞0，a≠1，令x=0，可得y=1+1=2，点的坐标为（0，2），故选：D【点评】本题主要考查指数函数的性质及其特殊点，是一道基础题．4．已知集合M={﹣1，1}，N=，则M∩N=（）A．{﹣1，1} B．{﹣1}C．{0}D．{﹣1，0}【考点】交集及其运算．【分析】N为指数型不等式的解集，利用指数函数的单调性解出，再与M求交集．求【解答】解：⇔2﹣1＜2x+1＜22⇔﹣1＜x+1＜2⇔﹣2＜x＜1，即N={﹣1，0}又M={﹣1，1}∴M∩N={﹣1}，故选B【点评】本题考查指数型不等式的解集和集合的交集，属基本题．5．设函数f（x）=．若f（a）=4，则实数a=（）A．﹣4 或﹣2 B．﹣4 或2 C．﹣2 或4 D．﹣2 或2【考点】函数的值．【专题】计算题；分类讨论；分类法；函数的性质及应用．【分析】当a＞0时，f（a）=a2=4；当a≤0时，f（a）=﹣a=4．由此能求出实数a的值．【解答】解：∵f（x）=，f（a）=4，∴当a＞0时，f（a）=a2=4，解得a=2或a=﹣2（舍）；当a≤0时，f（a）=﹣a=4，解得a=﹣4．∴a=﹣4或a=2．故选：B．【点评】本题考查函数值的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．6．函数f（x）=e x+x﹣2的零点所在的一个区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数的性质及应用．【分析】将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）•f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．【解答】解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，故选C．【点评】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．7．已知函数f（x）=若f（x0）＞3，则x0的取值范围是（）A．x0＞8 B．x0＜0或x0＞8 C．0＜x0＜8 D．x0＜0或0＜x0＜8【考点】对数函数的单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题；压轴题；分类讨论．【分析】通过对函数f（x）在不同范围内的解析式，得关于x0的不等式，从而可解得x0的取值范围．【解答】解：①当x≤0时，f（x0）=＞3，∴x0+1＞1，∴x0＞0 这与x≤0相矛盾，∴x∈∅．②当x＞0时，f（x0）=log2x0＞3，∴x0＞8综上：x0＞8故选A．【点评】本题主要考查对数函数的单调性，及分段函数，在解不等式时注意分类讨论，是个基础题．8．如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a取值范围是（）A．a≤﹣3 B．a≥﹣3 C．a≤5 D．a≥5【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】先用配方法将二次函数变形，求出其对称轴，再由“在（﹣∞，4]上是减函数”，知对称轴必须在区间的右侧，求解即可得到结果．【解答】解：∵f（x）=x2+2（a﹣1）x+2=（x+a﹣1）2+2﹣（a﹣1）2其对称轴为：x=1﹣a∵函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在（﹣∞，4]上是减函数∴1﹣a≥4∴a≤﹣3故选A【点评】本题主要考查二次函数的单调性，解题时要先明确二次函数的对称轴和开口方向，这是研究二次函数单调性和最值的关键．9．已知对数函数f（x）=log a x是增函数，则函数f（|x|+1）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图象与性质；函数的图象与图象变化．【专题】数形结合．【分析】先导出再由函数f（x）=log a x是增函数知，a＞1．再由对数函数的图象进行判断．【解答】解：由函数f（x）=log a x是增函数知，a＞1．故选B．【点评】本小题主要考查了对数函数的图象与性质，以及分析问题和解决问题的能力．这类试题经常出现，要高度重视．10．已知a=2，b=log2，c=log，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；函数的性质及应用．【分析】由于1＜a=2＜，c=log=log23＞=，进而得出．【解答】解：∵1＜a=2＜=，b=log2＜0，c=log=log23＞=，∴c＞a＞b．故选：C．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．已知函数f（x）=是R上的减函数则a的取值范围是（）A．（0，3）B．（0，3]C．（0，2）D．（0，2]【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由f（x）为R上的减函数可知，x≤1及x＞1时，f（x）均递减，且（a﹣3）×1+5≥，由此可求a的取值范围．【解答】解：因为f（x）为R上的减函数，所以x≤1时，f（x）递减，即a﹣3＜0①，x＞1时，f（x）递减，即a＞0②，且（a﹣3）×1+5≥③，联立①②③解得，0＜a≤2．故选D．【点评】本题考查函数单调性的性质，本题结合图象分析更为容易．12．若函数f（x）为偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（3）=0则＜0的解集为（）A．（﹣3，3）B．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）C．（﹣3，0）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，+3）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】综合题；转化思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】根据题意和偶函数的性质画出符合条件的图象，利用函数的奇偶性将不等式进行化简，然后利用函数的单调性确定不等式的解集．【解答】解：由题意画出符合条件的函数图象：∵函数y=f（x）为偶函数，∴＜0转化为xf（x）＜0，由图得，当x＞0时，f（x）＜0，则x＞3；当x＜0时，f（x）＞0，则﹣3＜x＜0；综上得，＜0的解集是：（﹣3，0）∪（3，+∞），故选C．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用数形结合的思想是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在对应题号后的横线上）13．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，1），则函数f（2x+1）的定义域为（﹣1，0）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可．【解答】解：∵函数f（x）的定义域为（﹣1，1），∴由﹣1＜2x+1＜1，得﹣1＜x＜0，则函数f（2x+1）的定义域为（﹣1，0）．故答案为：（﹣1，0）【点评】本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件．根据复合函数定义域之间的关系是解决本题的关键．14．计算：e ln3+log9+0.125=11．【考点】对数的运算性质．【专题】转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用指数幂与对数的运算法则即可得出．【解答】解：原式=3++=3+4+2﹣1×（﹣2）=11．故答案为：11．【点评】本题考查了指数幂与对数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．已知集合A={x，，1}，B={x2，x+y，0}，若A=B，则x2014+y2015=1．【考点】集合的相等．【专题】计算题；方程思想；演绎法；集合．【分析】根据集合的性质得到x≠0，1，分别求出x，y的值，代入x2014+y2015，求出即可．【解答】解：∵集合{x2，x+y，0}={x，，1}，由题意得：x≠0，1，∴=0，则y=0，∴x+y=1，x2=1，解得：x=﹣1，∴x2014+y2015=（﹣1）2014+02015=1，故答案为：1．【点评】本题考查了集合的运算，考查集合的性质，是一道基础题．16．已知函数y=log a（2﹣ax），（a＞0，a≠1）在[0，1]上是减函数，则实数a的取值范围是（1，2）．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】先将函数f（x）=log a（2﹣ax）转化为y=log a t，t=2﹣ax，两个基本函数，再利用复合函数的单调性求解．【解答】解：令y=loga t，t=2﹣ax，（1）若0＜a＜1，则函y=loga t，是减函数，由题设知t=2﹣ax为增函数，需a＜0，故此时无解；（2）若a＞1，则函数y=loga t是增函数，则t为减函数，需a＞0且2﹣a×1＞0，可解得1＜a＜2综上可得实数a 的取值范围是（1，2）．故答案为：（1，2）．【点评】本题考查复合函数的单调性，关键是分解为两个基本函数，利用同增异减的结论研究其单调性，再求参数的范围．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知A={x|2a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，若A∩B=A，求a的取值范围．【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】由A与B的交集为A，得到A为B的子集，分A为空集与A不为空集两种情况求出a的范围即可．【解答】解：∵A={x|2a≤x≤a+3}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，且A∩B=A，∴A⊆B，当A=∅时，则有2a＞a+3，即a＞3，满足题意；当A≠∅时，则有2a≤a+3，即a≤3，且a+3＜﹣1或2a＞5，解得：a＜﹣4或＜a≤3，综上，a的范围为{a|a＜﹣4或a＞}．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．18．（12分）已知函数f（x）=log a（1﹣x）+log a（x+3）（0＜a＜1）（1）求函数f（x）的定义域；（2）求函数f（x）的零点．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）根据对数函数的性质得到关于x的不等式组，解出即可；（2）问题转化为解方程x2+2x﹣2=0，从而求出函数的零点即可．【解答】解：（1）要使函数由意义，则有，解得：﹣3＜x＜1，所以函数的定义域为（﹣3，1）．（2）函数化为f（x）=log a（﹣x2﹣2x+3），由f（x）=0，得﹣x2﹣2x+3=1，即x2+2x﹣2=0，解得：x=﹣1±，∵﹣1±∈（﹣3，1），∴f（x）的零点是﹣1±．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查函数的零点问题，是一道基础题．19．（12分）（2001•江西）设a＞0，f（x）=+是R上的偶函数．（1）求a的值；（2）证明f（x）在（0，+∞）上为增函数．【考点】函数单调性的判断与证明；偶函数．【分析】（1）根据偶函数的定义f（﹣x）=f（x）即可得到答案．（2）用定义法设0＜x1＜x2，代入作差可得．【解答】解：（1）依题意，对一切x∈R，有f（﹣x）=f（x），即∴=0对一切x∈R成立，则，∴a=±1，∵a＞0，∴a=1．（2）设0＜x1＜x2，则=，由x1＞0，x2＞0，x2﹣x1＞0，得，得，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（0，+∞）上为增函数．【点评】本题主要考查偶函数的定义和增函数的判断方法．20．（12分）已知函数f（x）=1﹣（1）求函数f（x）的定义域和值域；（2）试判断函数f（x）的奇偶性．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法；函数的值域．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）求使解析式有意义的x范围；并结合指数函数的值域求f（x）的值域．（2）利用奇偶函数的定义判断奇偶性．【解答】解：（1）要使f（x）有意义，只要使2x+1≠0．由于对任意的x都成立，即函数的定义域为R．设y=f（x）=1﹣，2x＞0，2x+1＞1，0＜＜2，所以﹣1＜1﹣＜1，所以函数的值域为（﹣1，1）；（2）对任意的x∈R，则有﹣x∈R，．∵f（﹣x）=1﹣=1﹣==﹣f（x），∴f（x）为奇函数．【点评】本题考查了函数的定义域和值域的求法以及奇偶性的判断；属于经常考查题型．21．（12分）经济学中，函数f（x）的边际函数M（x）定义为M（x）=f（x+1）﹣f（x），利润函数p（x）边际利润函数定义为M1（x）=p（x+1）﹣p（x），某公司最多生产100 台报系统装置，生产x台的收入函数为R（x）=3000x﹣20x2（单位：元），其成本函数为C（x）=500x+4000x（单位：元），利润是收入与成本之差．（1）求利润函数p（x）及边际利润函数M1（x）；（2）利润函数p（x）与边际利润函数M1（x）是否具有相等的最大值？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】转化思想；配方法；函数的性质及应用．【分析】（1）P（x）=R（x）﹣C（x），M1（x）=P（x+1）﹣P（x）．（1≤x≤100，x∈N*）．（2）由P（x）=﹣20+74125，利用二次函数的单调性可得，P（x）max．利用一次函数的单调性可得M1（x）max．【解答】解：（1）P（x）=R（x）﹣C（x）=3000x﹣20x2﹣（500x+4000）=﹣20x2+2500x﹣4000（1≤x≤100，x∈N*），M1（x）=P（x+1）﹣P（x）=2480﹣40x．（1≤x≤100，x∈N*）．（2）∵P（x）=﹣20+74125，∴当x=62 或63 时，P（x）max=74120．又∵M1（x）是减函数，∴当x=1 时，M1（x）max=2440．故利润函数p（x）与边际利润函数M1（x）不具有相等的最大值．【点评】本题考查了一次函数与二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22．（12分）定义在R上的函数f（x）满足对任意x，y∈R恒有f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）不恒为0，（1）求f（1）和f（﹣1）的值；（2）试判断f（x）的奇偶性，并加以证明；（3）若x≥0时f（x）为增函数，求满足不等式f（x+1）﹣f（2﹣x）≤0的x取值集合．【考点】抽象函数及其应用．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用赋值法即可求f（1）、f（﹣1）的值；（2）根据函数奇偶性的定义即可证明f（x）是偶函数；（3）根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解即可．【解答】解：（1）令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1）=2f（1），∴f（1）=0，令x=y=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（﹣1）=2f（﹣1）=0，∴f（﹣1）=0，（2）令y=﹣1，则f（﹣x）=f（x）+f（﹣1）=f（x），∴f（﹣x）=f（x）∴f（x）是偶函数．（3）由式f（x+1）﹣f（2﹣x）≤0得式f（x+1）≤f（2﹣x），由（2）函数是偶函数，则不等式等价为f（|x+1|）≤f（|2﹣x|），∵x≥0时f（x）为增函数，∴不等式等价为|x+1|≤|2﹣x|，平方得x2+2x+1≤x2﹣4x+4，即6x≤3，即x≤，即满足不等式f（x+1）﹣f（2﹣x）≤0的x取值集合为（﹣∞，]．【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断以及不等式的求解，根据抽象函数的关系，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，。
郑州市2011-2012高一上期期末数学试题(必修1+必修2)(含答案)(word典藏版)
郑州市2011-2012高一上期期末数学试题第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合{|21}A x x =-<<，{|02}B x x =<<，则集合A B 等于A ．{|11}x x -<<B ．{|21}x x -<<C ．{|22}x x -<<D ．{|01}x x <<2．函数2lg xy x-=的定义域是A ．{|02}x x <<B ．{|0112}x x x <<<<或C ．{|112}x x x <<≤或D ．{|0112}x x x <<<≤或3．已知幂函数()y f x =的图象过点1(4,)2，则(8)f =A ．24B ．64C ．26D ．1644．在以下区间中，存在函数3()33f x x x =+-的零点的是A ．[1,0]-B ．[1,2]C ．[0,1]D ．[2,3]5．已知0ab <，0bc >，则直线0ax by c ++=通过A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限6．圆2240x y x +-=在点(1,3)P 处的切线方程为A ．320x y -+=B ．340x y +-=C ．340x y -+=D ．320x y +-=7．正方体的内切球和外接球的半径之比为A ．3:1B ．3:2C ．2:3D ．3:38．用,,a b c 表示三条不同的直线，β表示平面，给出下列语句：V VVAAAB BB4 CC23正视图侧视图俯视图xy O 1 1-1 AxO1 1-1 By xy O1 1-1 xyO -1 1 -1 CD①若//,//a b b c ，则//a c ②若,a b b c ⊥⊥，则a c ⊥ ③若//,//a b ββ，则//a b ④若,a b ββ⊥⊥，则//a b其中判断正确的是 A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④9．如图所示，已知正方体1111D C B A ABCD -中，,E F 分别是正方形1111A B C D 和11ADD A 的中心，则直线EF 和平面11ADD A 所成角的大小为A ．060 B ．045C ．030D ．09010．已知正三棱锥V ABC -的正视图、侧视图和俯视图如图所示，则侧视图的面积为A ．39B ．6C ．239D ．1211．函数()log ||1(01)a f x x a =+<<的大致图象为12．已知奇函数()f x 对任意正实数1x ，212()x x x ≠，恒有1212()()0f x f x x x ->-则以下结论一定正确的是A ．(4)(6)f f >-B ．(4)(6)f f -<-C ．(4)(6)f f ->-D ．(4)(6)f f <-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）BAB 1A 1C 1D 1DCEF。
2015年河南省高一数学竞赛试题
2015年全国高中数学联赛河南省高一预赛试题（5 月 10 日 8:30 至 11:00）一•填空题(本大题共 8小题，每小题8分，共64分)1 .若集合 A - \a a = 5x • 4, x 三 N /， B - \b b = 7y • 6, y 三 N /，将 A 「| B 中的元素从 小到大排列，则排在第 20个的那个元素是 _______________ .3 32 .已知实数 x , y 满足：(x-3) 2015(x-3) (2y-3) 2015(2 y-3) = 0 ,则3 .设线段BC 二卅，AB _〉， CD _ BC ，且CD 与平面［成30角，且A B 二BC C D?，则线段AD 的长度为 __________________ .4•若直线I 与直线x-3y 1^0 , 2x • y -8 =0分别交于点M , N ，若MN 的中点为P(0,1)，则直线I 的方程是 ___________2 2 23 35.设k , m , n 都是整数，过圆 x y =(3kT)外一点P(m -m,n -n)向该圆引两条切线，切点分别为A , B ,则直线AB 上满足横坐标与纵坐标均为整数的点有 个.6.若函数f(x) =(1 -x 2)(x 2 • ax b)的图象关于直线 x 二-2对称，则a b = ________________7.(请同学们任选一题作答，若两题都做，则按上面一题正误判分)(必修3)执行如图所示的算法，则输出的结果是 _______________(必修4)已知函数f(x^sin ^在区间(0,n 上是减函数，若o ：：：x< 1, &=(旦口)2,x 2 xx 2 4y 24x min ' 卄；十1一I2, sin xsin x … 》土口 b , c 2 ，则a , b , c 的大小关系疋 _____________________ xx二（本题满足16分）求x 2 _3y 2 =2的整数解.三（本题满足20分）如图所示，已知 AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上且满足AC ：：： BC ，在线段BC 上取一点 D ，使BD 二AC ，在AD 上取一点 E 使.BED = 45，延长BE 交CA 于F ，求证： CD 二 AF . 四（本题满足20分）对于任意的△ ABC ，若其三边长为a , b , c ，则a x , b x , c x 依然可以构成某三角形的 三边长，求实数x 的取值范围.五（本题满足20分）已知全集U T,2,|||,n?, 集合 A 满足：（i ） A 匸 U ;（ii ）若 xw A ，则 k A ; （iii ）若 A , kx 芒Q J A （其中k , n ^ N , k > 2），用f k （ n ）表示满足条件的集合 A 的个数.（1） 求 f 2（4） , f 2（5）;（2） 记集合 A 中所有元素的和记为集合 A 的“和”，当n pk q （ p , q N ,0 < q < k -1 ）时，求所有集合 A 的“和”的和（结果用含 p , q , k 的代数式表示）2b 使得x 2 bx 20151的因式， 则a 的个位数字2015年全国高中数学联赛河南省预赛高一参考答案1.699;2.28;3.2^2 cm 或 4 cm;4.x + 4j-4 = 0;5.0;623;7.（必修 3）1;（必修 4）u<b ,&1.二.因为整数a 与a 2的奇偶性相同，所以由x 2 -3/ = 2,可知X 』同奇同偶. ------------ 4分 ⑴若 x, y 都为奇数■设 x = 2m + l t-y = 2n + l(m t neZ)代入原方程得m(m + 1) = 3n(n + 1)+1由于w(m + l)是奇数.3巾(力+ 1) + 1为偶数.矛盾; ------------------------------ 8分 (ii)若斗丿都为偶数•设x = = 2刃("MW Z)代入原方程得2m 2 =6«2+1,2m 2为偶数.6n 2 +1为奇数，矛新 ------------------------ 综匕X 2-3/=2没有整数解.三•证明:如上图所示■过B 点作线段BM // /C 且= CD 由是圆O 的負径知:"CD = £DBM = 90°结合 AC= DB 、CD = BM => "CD 耳 ADBM ——5 分故 AD = DM,ZCDA + ZBDM = 90°故MDM 为等腰直角三角形 -------------------------- 10分因此ZD4M = 45° = ZDEB n BFHAM ------------------------- 15 分继而AFBM 为平行四边形■所以AF 二BM = CD 一・・20分 四•不妨设aSbSc.故2 + °>1・ c c(i)当X = 0Bta r =y =c T = l ，可以成为三角形的三边长.12分16分(ii)当”(0』时卫七6乜二面此时a\b\c x可以成为三角形的三边长. “0分(iii)当x>】时,F McJ2取a = b = 1 ■再取c = 2” v 2 ■而a" +D” = c" ■ 2■此时a\b\c x不能成为三角形的三边氏. ------------------------------------------ 15分(iv)当xvO 时,aQb'c*.1取6 = C = 再取a = 2： v2° = l,而a'此时a\b\c x不能成为三角形的三边长.综上：xe[O,l]. ------------------------------------------------------------------------------------- 20 分五•证明：先证一个引理：当“ pt + q(p.q w N,0 “ “ -1)时,力⑺工2用如•事实上BwwN■•存在唯一的awN使得胪||加.记加二疋久若0w/•则*0住 V =>k2fleA=>k y ft« k4fi€/=>・••；若Jtt炉w“nF0G=>••••故加是否在/中由0是否在/中决定，而”€<?// = *21・・・・,站},因此“共有—p = p伙-l)+g种取值•每个取值可以在/I中也可以不在/!中•因此人5) = 2川"J——10分回到lff.e.W(l)/；(4) = 22 = 4,/；(5) = 22>, =8; -------------------------------------------------- 15 分对于(3入若几wCM，8 = {h2h・・・,M}且几而中的其他元素川否倉于.4均有可能•故几出现在[M= 2以—|个符合题意的集合A中•则所有集合川的•和■的和2S = (1 + 2 + …+ ”) •= 2p{k^(pk + gXX + g +1) •-------------------------------------------- 20 分。
郑州市2015—2016学年高一下期期末数学试题及答案
2015—2016学年下期期末考试高一数学试题卷第I 卷（选择题)一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个答案中,只有一项是符合题目要求的）1。
sin 780︒等于（ ） A 。
32-B. 32C 。
12 D. 12-2。
某商场想通过检查发票存根及销售记录的2％来快速估计每月的销售总额. 采取如下方法：从某本发票的存根中随机抽一张，如15号，然后按序往后将65号,115号,165号，…发票存根上的销售额组成一个调查样本. 这种抽取样本的方法是( )A. 抽签法 B 。
随机数法 C 。
系统抽样法 D 。
其他方式的抽样 3. 已知扇形的半径为2，面积为4，则此扇形的圆心角的弧度数是（ ) A. 1 B 。
2 C 。
4 D 。
4π 4. 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示）,设甲乙两组数据的平均数分别为,x x 甲乙,中位数分别为,m m 甲乙，则（ ） A 。
,x x m m <>甲乙甲乙 B. ,x x m m <<甲乙甲乙 C. ,x x m m >>甲乙甲乙 D. ,x x m m ><甲乙甲乙5。
把函数()sin y x x R =∈的图象上所有点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移6π个单位长度后,得到图象的函数表达式为( ） A 。
sin 2,6y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭ B. sin 2,3y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭C. 1sin ,26y x x R π⎛⎫=+∈⎪⎝⎭ D. 1sin ,23y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭6. 执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为2，则输出x 的值为（ )A. 25 B 。
24 C 。
23 D. 227。
函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的一个单调递减区间为（ ） A 。
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2015年郑州市高一数学竞赛试卷
（2015年5月10日上午8:30—11:00）
一、选择题（每小题6分，共30分）
1.已知集合{1,2,3,4,5}S =，集合A 是S 的非空子集，满足a A ∈，且(6)a A -∈，则这样的集合A 的个数为（ ）
A.5
B.6
C.7
D.8
2.已知函数2213cos 3cos ()sin cos 1
x x f x x x +-=+-，x R ∈，则()f x 的值域为（ ） A.(,7]-∞ B.[7,)+∞ C.(,7]-∞- D.[7,)-+∞
3.方程623(2)2x x x x +=+++的解集为（ ）
A.{2,1}-
B.{1,2}--
C.{1,2}
D.{1,2}-
4.在四边形ABCD 中，AB m =，CD n =，则()()AB DC BC AD ++=（ ）
A.22m n +
B.22m n
C.22n m -
D.22m n -
5.一根长度为1的玻璃棒摔断成三段，则最短的一段的平均长度为（ ） A.19 B.18 C.17 D.13
二、填空题（每小题5分，共30分）
6.一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______．
俯视图
侧视图
正视图 7.已知不等式2sin 1x x t t λλ+<++对于[1,1]x ∈-且(,1]λ∈-∞-时恒成立，则实数t
的取值范围是________．
8.已知圆22:1C x y +=和两个定点(1,0)A -，(1,0)B ，点P 为圆C 上的动点，过点P 的圆C 的切线为l ，点A 关于l 的对称点为D ，则AD 的最大值为________．
9.已知实数,a b 满足22
430a b a +-+=，函数()sin cos 1f x a x b x =++的最大值记为(,)a b ϕ，则(,)a b ϕ的最小值为______． 10.定义在R 上的函数()f x 满足()(5)16f x f x ++=，
当(1,4]x ∈-时，2()2
x f x x =-，则函数()f x 在[0,2015]上的零点个数是_______． 三、解答题（本题满分20分）
如图，在△ABC 中，AB c =，BC a =，CA b =．其中14a =，BC 边上的高为12，内切圆半径4r =．求AB 的长．
四、解答题（本题满分20分）
设正三棱锥V ABC -的底面边长为4，侧棱长为8．过A 作与侧棱VB 、VC 相交的截面AED ，求截面三角形AED 的周长的最小值．
五、解答题（本题满分20分）
已知n 为大于1的自然数，求证：不能在n n ⨯的方格表中填入数1，2，…，2n ，使得每行和每列数之和都是2的方幂．
六、解答题（本题满分20分）
已知1x ，2x 为方程2
20x x a -+=的两根，
321()3f x x x ax a =-+-．若
12()()0f x f x >，求实数a 的取值范围．。