三维设计江苏专用届高三数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数Ⅰ第八节函数与方程课时跟踪检测理

课时跟踪检测（十一） 函数与方程一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若函数f (x )＝ax ＋1在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，f (－1)·f (1)<0， 即(1－a )(1＋a )<0，解得a <－1或a >1. 答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)2．函数f (x )＝2a log 2x ＋a ·4x＋3在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上有零点，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上是单调函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3>0，则根据零点存在性定理，应满足f (1)＝4a ＋3<0，解得a <－34.答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－34 3．(2016·镇江调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|x －1|，x <2，12f x －，x ≥2，则方程xf (x )－1＝0根的个数为________．解析：问题转化为求方程f (x )＝1x 解的个数，作出函数y ＝f (x )与y ＝1x的图象，如图所示．当x <7时，由图象可知解的个数为6.当x ≥7时，f (x )<1x 恒成立，即f (x )＝1x无解，所以根的个数为6.答案：64．已知函数f (x )＝23x＋1＋a 的零点为1，则实数a 的值为______． 解析：由已知得f (1)＝0，即231＋1＋a ＝0，解得a ＝－12.答案：－125．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1，x ≥2或x ≤－1，1，－1<x <2，则函数g (x )＝f (x )－x 的零点为________．解析：要求函数g (x )＝f (x )－x 的零点，即求f (x )＝x 的根，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2或x ≤－1，x 2－x －1＝x 或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，1＝x .解得x ＝1＋2或x ＝1. ∴g (x )的零点为1＋2，1. 答案：1＋2，1二保高考，全练题型做到高考达标1．(2016·苏州调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ≥m ，x 2＋4x －3，x <m .若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．解析：问题转化为g (x )＝0，即方程f (x )＝2x有三个不同的解，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥m ，4＝2x 或⎩⎪⎨⎪⎧x <m ，x 2＋4x －3＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥m ，x ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x <m ，x ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x <m ，x ＝－3.因为方程f (x )＝2x 有三个不同的解，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，m >1，m >－3，解得1<m ≤2.答案：(1,2]2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2，x ≤0，－1＋ln x ，x >0的零点个数为________．解析：法一：由f (x )＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x 2＋x －2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1＋ln x ＝0，解得x ＝－2或x ＝e.因此函数f (x )共有2个零点．法二：函数f (x )的图象如图所示，由图象知函数f (x )共有2个零点．答案：23．(2016·苏锡常镇调研)设m ∈N ，若函数f (x )＝2x －m 10－x －m ＋10存在整数零点，则m 的取值集合为________．解析：令f (x )＝0，得m ＝2x ＋1010－x ＋1.因为m ∈N ，则2x ＋10＝0或2x ＋10>0，10－x∈Z 且2x ＋10能被10－x ＋1整除并且商为自然数，所以有如下几种情况：当2x ＋10＝0，即x ＝－5时，m ＝0； 当x ＝1时，m ＝3； 当x ＝9时，m ＝14； 当x ＝10时，m ＝30.综上所述，m 的取值集合为{0,3,14,30}． 答案：{0,3,14,30}4．设函数y ＝f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，则函数g (x )＝f (x )－sin x 在区间[－π，π]上的零点个数为________．解析：要求函数g (x )＝f (x )－sin x 的零点，即求方程f (x )－sin x ＝0的根，将其转化为f (x )＝sin x 的根，进一步转化为函数y ＝f (x )与函数y ＝sin x 的图象交点的问题．在同一坐标系下，作出两个函数的图象如图所示，可知在区间[－π，π]上有3个交点．答案：35．(2015·南京三模)已知a ，t 为正实数，函数f (x )＝x 2－2x ＋a ，且对任意的x ∈[0，t ]，都有f (x )∈[－a ，a ]．若对每一个正实数a ，记t 的最大值为g (a )，则函数g (a )的值域为________．解析：因为f (x )＝(x －1)2＋a －1，且f (0)＝f (2)＝a ；当a －1≥－a ，即a ≥12时，此时，恒有[a －1，a ]⊆[－a ，a ]，故t ∈(0,2]，从而g (a )＝2；当a －1<－a ，即0<a <12时，此时t ∈(0,1)且t 2－2t ＋a ≥－a 在0<a <12上恒成立，即t ≥1＋1－2a (不成立，舍去)或t ≤1－1－2a ，则g (a )＝1－1－2a ，由于0<a <12，故g (a )∈(0,1)．综上，g (a )的值域为(0,1)∪{2}． 答案：(0,1)∪{2}6．已知f (x )＝⎩⎨⎧e －x，x ≤0，x ，x >0，g (x )＝f (x )－12x －b 有且仅有一个零点时，b 的取值范围是________．解析：要使函数g (x )＝f (x )－x2－b 有且仅有一个零点，只需要函数f (x )的图象与函数y ＝x2＋b 的图象有且仅有一个交点，通过在同一坐标系中同时画出两个函数的图象(图略)并观察得，要符合题意，须满足b ≥1或b ＝12或b ≤0.答案：(－∞，0]∪[1，＋∞)∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫127．已知0<a <1，k ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x ≥0，kx ＋1，x <0，若函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，则实数k 的取值范围是______．解析：函数g (x )＝f (x )－k 有两个零点，即f (x )－k ＝0有两个解，即y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个交点．分k >0和k <0作出函数f (x )的图象．当0<k <1时，函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个交点；当k ＝1时，有一个交点；当k >1或k <0时，没有交点，故当0<k <1时满足题意．答案：(0,1)8．(2015·南通调研)已知函数f (x )是定义在[1，＋∞)上的函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－|2x －3|，1≤x <2，12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥2，则函数y ＝2xf (x )－3在区间(1,2 015)上的零点个数为________．解析：由题意得，当1≤x <2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，1≤x ≤32，4－2x ，32<x <2.设x ∈[2n －1,2n](n ∈N *)，则x2n －1∈[1,2)，又f (x )＝12n －1f ⎝⎛⎭⎪⎫12n－1x ， ①当x 2n －1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32时，则x ∈[2n －1,3·2n －2]，所以f (x )＝12n －1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1x ＝12n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫2·12n －1x －2，所以2xf (x )－3＝2x ·12n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫2·12n －1x －2－3＝0，整理得x 2－2·2n －2x －3·22n －4＝0.解得x＝3·2n －2或x ＝－2n －2.由于x ∈[2n －1,3·2n －2]，所以x ＝3·2n －2；②当x 2n －1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，则x ∈(3·2n －2,2n)，所以f (x )＝12n －1f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1x ＝12n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2·12n －1x ，所以2xf (x )－3＝2x ·12n －1⎝⎛⎭⎪⎫4－2x 2n －1－3＝0，整理得x 2－4·2n －2x ＋3·22n －4＝0.解得x ＝3·2n－2或x ＝2n －2.由于x ∈(3·2n －2,2n)，所以无解．综上所述，x ＝3·2n －2.由x ＝3·2n －2∈(1,2 015)，得n ≤11，所以函数y ＝2xf (x )－3在区间(1,2 015)上零点的个数是11.答案：119．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14.证明：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0. 证明：令g (x )＝f (x )－x .∵g (0)＝14，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＝－18，∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0. 又函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12上是连续曲线， ∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0. 10．已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a .(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题；依题意f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根．(2)依题意知，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点， 只需⎩⎪⎨⎪⎧f －，f ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34.故实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知x ∈R ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，若函数f (x )＝[x ]x－a (x ≠0)有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：当0<x <1时，f (x )＝[x ]x－a ＝－a ；1≤x <2时，f (x )＝[x ]x －a ＝1x －a ；2≤x <3时，f (x )＝[x ]x－a ＝2x－a ；….f (x )＝[x ]x －a 的图象是把y ＝[x ]x 的图象进行纵向平移而得到的，画出y ＝[x ]x的图象，如图所示，通过数形结合可知a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤34，45∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，32.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤34，45∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，32 2．(2016·无锡调研)已知函数y ＝f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－14x 2，0≤x ≤2，－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－34，x >2，若关于x 的方程[f (x )]2＋af (x )＋7a 16＝0，a ∈R 有且仅有8个不同的实数根，则实数a 的取值范围是________．解析：作出函数f (x )的图象(如图)．令t ＝f (x )，则关于x 的方程[f (x )]2＋af (x )＋7a 16＝0(a∈R)有且仅有8个不同的实数根可转化为关于x 的方程t ＝f (x )在R 上有4个不同的实数根，由函数图象可知，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－34时关于x 的方程t ＝f (x )在R 上有4个不同的实数根，故可转化为求关于实数t 的方程t 2＋at ＋7a 16＝0在t ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，－34内有两个不等实根，令g (t )＝t 2＋at ＋7a16，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，－1<－a 2<－34，g －，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34>0，即⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a 2－74a >0，32<a <2，1－a ＋716a >0，916－34a ＋716a >0，解得74<a <169.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫74，169 3．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}．(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数g (x )＝f xx－4ln x 的零点个数． 解：(1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}， ∴f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0. ∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x－4ln x －2(x >0)，∴g ′(x )＝1＋3x 2－4x＝x －x －x2.令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：又因为g (x )在(3，＋∞)上单调递增，因而g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点． 故g (x )在(0，＋∞)上仅有1个零点．。