现代控制理论4章

(5) 渐近稳定就是大范围渐近稳定，两者完全等价。
4.3线性定常系统的Lyapunov稳定性分析
x(t ) f ( x(t ), t ) f (0, t ) 0 t t0
定理5.3 考虑如下非线性系统
如果存在一个具有连续一阶偏导数的 纯量函数V(x,t)，在平衡点xe的邻域内， 且满足以下条件： 1、 V(x,t)正定； 2、 dV(x,t)/dt正定； 则在系统平衡点xe的平衡状态是不稳定 的。
性定常的，当A为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态； 当A为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。对于非线性系 统，可有一个或多个平衡状态。任意一个 的平衡状态 都可通过坐 标变换，统一化为扰动方程之坐标原点 。除非特别申明，我们将 仅讨论扰动方程关于原点处之平衡状态的稳定性问题。
4.1 Lyapunov意义下的稳定性问题
数V(x,t)，且满足以下条件： 1、 V(x,t)正定； 2、 dV(x,t)/dt负定
如果存在一个具有连续一阶偏导数的纯量函
则在原点处的平衡状态是（一致）渐近稳定的。
进一步地，若 x ,V ( x, t ) ，则在原点处的平 衡状态是大范围一致渐近稳定的。
4.2 Lyapunov稳定性理论
几个特点：
(1) 都是充要条件，而非仅充分条件； (2) 渐近稳定性等价于Lyapunov方程的存在性； (3) 渐近稳定时，必存在二次型Lyapunov函数； V ( x) x T Px及V ( x) x TQx P，Q为正定的
(4) 当系统矩阵A非奇异时，仅有唯一
平衡点，即原点；
二、Lyapunov第二法 （间接法）
[例5.3] 考虑如下非线性系统
显然原点是唯一的平衡状态。试确定其稳定性。如果定义一个正定纯量函 数 v(x),而 dv(x)/dt是负定的，这说明沿任一轨迹连续地减小，因此是一 个Lyapunov函数。由于随x偏离平衡状态趋于无穷而变为无穷，则按照 定理5.1，该系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。
2 2( x12 x2 ) 2
4.2 Lyapunov稳定性理论
二、Lyapunov第二法 （间接法）
几点说明：
(1) 这里仅给出了充分条件，也就是说，如果能构造出了Lyapunov函数，那 么系统是渐近稳定的。但如果找不到这样的Lyapunov函数，并不能给出任 何结论，例如不能据此说该系统是不稳定的。 (2) 对于渐近稳定的平衡状态，则Lyapunov函数必存在。 (3) 对于非线性系统，通过构造某个具体的Lyapunov函数，可以证明系统在 某个稳定域内是渐近稳定的，但这并不意味着稳定域外的运动是不稳定的。 对于线性系统，如果存在渐近稳定的平衡状态，则它必定是大范围渐近稳定 的。 (4) 这里给出的稳定性定理，既适合于线性系统、非线性系统，也适合于定常 系统、时变系统，具有极其一般的普遍意义。
第四章控制系统的李雅普诺夫稳定性分析 4.1 Lyapunov意义下的稳定性问题
一、平衡状态、给定运动方程之原点 考虑如下非线性系统 ：
x f ( x, t )
式中x为n维状态向量。在系统中，总存在： f ( xe , t ) 0
对所有t成立，则xe称为系统的平衡状态或平衡点。如果系统是线
4.2 Lyapunov稳定性理论 二、Lyapunov第二法 （间接法） 定理5.2 考虑如下非线性系统 如果存在一个具有连续一阶偏导数的纯量函 数V(x,t)，且满足以下条件： 1、 V(x,t)正定；
x(t ) f ( x(t ), t ) f (0, t ) 0 t t0
2、 dV(x,t)/dt负半定；
的充要条件是矩阵P的所有主子行列式均为正值，即
p11 p11 0, p11 p12 p12 0, , p22 p21 p1n
p12 p22 p2 n
p1n p2 n pnn 0
4.1 Lyapunov意义下的稳定性问题
[例5.2] 试证明下列二次型是正定的。
2 2 V ( x) 10 x12 4 x2 x3 2 x1 x2 2 x2 x3 4 x1 x3
4.2 Lyapunov稳定性理论
二、Lyapunov第二法 （间接法）
由力学经典理论可知，对于一个振动系统， x f ( x, t ) 当系统总能量（正定函数）连续减小（这意 =Ax B( x, t )
味着总能量对时间的导数必然是负定的）， 直到平衡状态时为止，则振则系统是稳定的。 Lyapunov引出了一个虚构的能量函数，
4.2 Lyapunov稳定性理论
一、Lyapunov第一法 （直接法）
将系统方程在平衡点线性化得到系数矩阵A，计算
矩阵的特征值，若特征值实部全都小于零，系统稳定 且为渐近稳定，否则不稳定。若有等于零，需要进一 步判断B（x，t）。此方法需要取得系数矩阵A的特征 值，使用不多。
x f ( x, t ) =Ax B( x, t )
p11 p 21 xn ] p1n
p12 p1n x1 x p22 p2 n 2 p2 n pnn xn
4.1 Lyapunov意义下的稳定性问题
三、预备知识
5、二次型 二次型正定性可用赛尔维斯特准则判断。该准则指出，二次型为正定
如果在域内，不论域多么小，既可为正值，也可为负值时，纯量函数称为 不定的纯量函数。
4.1 Lyapunov意义下的稳定性问题
三、预备知识
[例] 本例给出按照以上分类的几种 纯量函数。假设x为二维向量。
1、正定的
2、正半定的 3、负定的
2 1、V ( x) x12 2 x2
2、V ( x) ( x1 x2 )2 3、V ( x) x12 (3x1 2 x2 ) 2
x0 xe x0 xe [( x1 x1e ) 2 ( x2 x2 e ) 2 ( xn xne ) 2 ]1/ 2
X0为初始状态，有如下成立：
4.1 Lyapunov意义下的稳定性问题
X0为初始状态，有如下成立： (1) 如果对应于每一个，存在一个，使得当t趋于无穷时，始于的轨迹不脱离
，则式系统之平衡状态称为在Lyapunov意义下是稳定的。一般地，实数 与有关，通常也与t0有关。如果 与t0无关，则此时平衡状态称为一致稳定
的平衡状态。 (2) 如果平衡状态，在Lyapunov意义下是稳定的，并且始于域的任一条轨迹， 当时间t 趋于无穷时，都不脱离，且收敛于平衡点，则称系统之平衡状态为 渐近稳定的。 (3) 对所有的状态，如果由这些状态出发的轨迹都保持渐近稳定性，则平衡状态 称为大范围渐近稳定。显然，大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间
2、纯量函数的负定性
如果 - V(x)是正定函数，则纯量函数V(x)称为负定函数。
3、纯量函数的正半定形 如果纯量函数V(x)除了原点以及某些状态等于零外，在域内的所有状态都 是正定的，则称为正半定纯量函数。 4、纯量函数的负半定性 如果 - V(x)是正半定函数，则纯量函数称为负半定函数。 5、纯量函数的不定性
4.2 Lyapunov稳定性理论 二、Lyapunov第二法 （间接法）
x1 x2 x2 x1 x2
2 V ( x) x12 x2
[例5.5] 考虑如下非线性系统
显然原点是唯一的平衡状态。试确定 其稳定性。如果定义一个正定纯量函 数 v(x), dv(x)/dt是正半定的。 若dv(x)/dt≡0，则x2≡0， dx2/dt≡0，最终x1≡0，可见仅有 原点符合要求，其他点不可能成立， 所以系统是不稳定的。
二、Lyapunov意义下的稳定性定义 系统 ： x f ( x, t )，f ( xe , t ) 0 之平衡状态xe的邻域为： x xe
x xe [( x1 x1e ) 2 ( x2 x2e ) 2 ( xn xne ) 2 ]1/ 2 存在邻域：
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x1 x2 x2 x1 x2
2 V ( x) x12 x2
dV ( x) 2 x1 x1 2 x2 x2 dt =2 x1 x2） 2 x2 x1 x2） （ （
2 2 x2
能成立，所以系统是大范围渐近 稳定的。
4.2 Lyapunov稳定性理论 二、Lyapunov第二法 （间接法）
2 x1 x2 x1 ( x12 x2 ) 2 x2 x1 x2 ( x12 x2 ) 2 V ( x) x12 x2
dV ( x) 2 x1 x1 2 x2 x2 dt 2 2 =2 x1 x2 x1 ( x12 x2 )） 2 x2 x1 x2 ( x12 x2 )） （ （
10 1 2 V ( x) xT Px [ x1 x2 x3 ] 1 4 1 2 1 1 10 1 2 10 1 10 0, 0, 1 4 1 0 1 4 2 1 1
x1 x 2 x3
因为矩阵P的所有主子行列式均为正值，所以是V（x）正定的。
3、对于任意t0和任意x0，在t>t0 时， dV[q(x0,t),t]/dt不恒等于零，其中q(x0,t), 表示在t0时从x0出发的轨迹。则在系统原点 处的平衡状态是大范围渐近稳定的。
4.2 Lyapunov稳定性理论
二、Lyapunov第二法 （间接法）
[例5.4] 考虑如下非线性系统
显然原点是唯一的平衡状态。试 确定其稳定性。如果定义一个正 定纯量函数 v(x), dv(x)/dt是负 半定的。 若dv(x)/dt≡0，则x2≡0， dx2/dt≡0，最终x1≡0，可见 仅有原点符合要求，其他点不可