30第九章 连续时间：微分方程
常微分方程
dy y
P(
x)dx,
ln | y | P( x)dx lnC1 ,(C1为任意常数)
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx (C eC1 )
17
2. 线性非齐次方程 dy P( x) y Q( x) dx
线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.
线性齐次方程的通解是 Ce P( x)dx ,
（3）检验改进模型， 观察所得的解能够在多大程度或范围上反映实际问题，
用实际问题检验该模型， 如果存在问题，则需研究， 改进模型.
27
例 冷却问题 将一个温度为50º的物体，放在20º的恒温 环境中冷却，求物体温度变化的规律.
解 冷却定律：“温度为T的物体，在温度为 T0 的环境中 冷却的速率与温差T T0成正比.” 设物体的温度T与时间 t的函数关系为 T T (t),
(t2 x)dt xdx 0 一阶 z x y 一阶
x
未知函数是一元函数的方程为 常微分方程;
未知函数是多元函数的方程为 偏微分方程.
方程中所出现的导数的最高阶数称为 微分方程的阶.
一般的n阶微分方程为 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
或已解出最高阶导数 y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
9.4 微分方程的应用问题
例 把“大气压随高度变化而降低的速率与所在高度 处的气压成正比”所含关系表示出来.
解：第一步，设未知函数：
设大气压P和高度x之间的函数关系为 P P(x),
大气压随高度变化的速率为 dP
dx
第二步，根据条件写出方程 dP P, 为比例系数，
dx
第三步，取比例系数为正：因 dP 0， 故 0，
第九章 常微分方程
数值分析第九章常微分方程数值解法
松弛法
通过迭代更新函数值并逐步放松约束 条件来逼近解，适用于刚性和非刚性 问题。
利用线性组合迭代函数值来逼近解， 具有更高的收敛速度和稳定性。
03
数值解法的稳定性分析
数值解法的稳定性定义
数值解法的稳定性是指当微分方程的初值有微小的扰动时， 其数值解的近似值的变化情况。如果数值解在微小扰动下变 化较小，则称该数值方法是稳定的。
更高的精度和稳定性。
数值逼近法
泰勒级数法
将微分方程的解展开为泰勒级数，通过截断级数来逼 近解。
多项式逼近法
利用多项式来逼近微分方程的解，通过选取合适的基 函数和系数来提高逼近精度。
样条插值法
利用样条函数来逼近微分方程的解，具有更好的光滑 性和连续性。
迭代法
雅可比迭代法
通过迭代更新函数值来逼近微分方程 的解，具有简单易行的优点。
初值和边界条件的处理
根据实际问题，合理设定初值和边界 条件，以获得更准确的数值解。
收敛性和误差分析
对数值解进行收敛性和误差分析，评 估解的精度和稳定性。
数值解法的应用案例分析
人口增长模型
通过数值解法求解人口增长模型，预测未来人口数量，为政策制 定提供依据。
化学反应动力学
利用数值解法研究化学反应的动力学过程，模拟反应过程和结果。
数值分析第九章常微分方 程数值解法
• 引言 • 常微分方程数值解法的基本思想 • 数值解法的稳定性分析 • 数值解法的收敛性和误差分析 • 数值解法的实现和应用案例
01
引言
常微分方程的应用背景
自然科学
描述物理、化学、生物等自然 现象的变化规律。
工程领域
控制系统设计、航天器轨道计 算等。
微分方程笔记总结
微分方程笔记总结
一、微分方程的基本概念
微分方程是描述某一变量关于时间的导数或微分满足一定关系的方程。
它通常用于描述自然现象和社会现象的变化规律，如物理学、工程学、经济学等领域。
微分方程一般形式为：y' = f(x, y) 或 dy/dx = f(x, y)
其中，y 是未知函数，x 是自变量，f(x, y) 是已知函数。
二、微分方程的解
微分方程的解是指满足方程的函数。
对于给定的微分方程，我们需要找到满足该方程的函数，以便描述某一变量的变化规律。
三、微分方程的分类
根据微分方程中变量的个数和方程的形式，微分方程可以分为以下几类：
1. 常微分方程：只含有一个变量的微分方程。
2. 偏微分方程：含有两个或多个变量的微分方程。
3. 线性微分方程：方程中的未知函数和其导数是线性组合的微分方程。
4. 非线性微分方程：方程中的未知函数和其导数不是线性组合的微分方程。
四、微分方程的解法
对于不同类型的微分方程，解法也不同。
以下是一些常见的解法：
1. 分离变量法：将方程中的变量分离，转化为可求解的一阶常微分方程。
2. 积分因子法：通过引入积分因子，将高阶微分方程转化为可求解的一阶微分方程组。
3. 参数式解法：通过引入参数，将微分方程转化为参数方程组，从而求解未知函数。
4. 幂级数解法：将未知函数表示为幂级数形式，然后代入微分方程求解未知系数。
5. 数值解法：对于难以解析求解的微分方程，可以采用数值方法求解，如欧拉法、龙格-库塔法等。
第九章偏微分方程差分方法汇总
第9章 偏微分方程的差分方法含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。
由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。
偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。
差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。
本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。
9.1椭圆型方程边值问题的差分方法9.1.1 差分方程的建立最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程G y x y x f yux u u ∈=∂∂+∂∂-≡∆-),(),,()(2222 （9.1）G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。
当f (x ,y )≡0时，方程（9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。
椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2） 第二边值条件),(y x nuβ=∂∂Γ （9.3） 第三边值条件 ),()(y x ku nuγ=+∂∂Γ （9.4） 这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。
满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。
用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。
差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。
设G ={0<x <a , 0<y <b }为矩形区域，在x ,y 平面上用两组平行直线x =ih 1, i =0,1,…,N 1, h 1=a /N 1 y =jh 2, j =0,1,…,N 2, h 2=b /N 2将G 剖分为网格区域，见图9-1。
微分动力系统原理
微分动力系统原理
微分动力系统是一种描述连续时间系统演化的数学工具。
它的核心思想是利用微分方程来描述系统随时间变化的规律。
微分方程描述了系统的状态随时间的变化率，而微分动力学系统则通过对微分方程的求解，可以得到系统在不同时间点的状态。
微分动力系统的基本原理是，通过考察系统的状态变化率来研究系统的特征和演化规律。
系统的状态可以由状态变量来描述，而状态变量的变化率可以由微分方程来表示。
例如，对于一个简单的一阶微分方程，可以表示为：dx/dt = f(x)，其中x表示
系统的状态变量，t表示时间，f(x)表示状态变量变化率关于状态变量的函数。
对于给定的初始状态x0，通过求解微分方程，可以得到系统
在不同时间点的状态。
这个求解过程可以是解析的，也可以是数值的。
通过研究系统在不同初始状态下的演化规律，可以揭示系统的特征和行为，进而深入理解系统的动力学特性。
微分动力系统的研究可以涉及到多个方面，包括稳定性分析、周期解的存在和性质、边界吸引子、混沌现象等。
通过对微分方程的定性分析和数值模拟，可以得到系统的演化图像，以及系统可能具有的特殊性质和行为。
总之，微分动力系统是一种描述连续时间系统演化的数学工具，通过对微分方程的求解和分析，可以揭示系统的动力学特征和规律。
它在多个科学领域中都有广泛的应用，包括物理学、生物学、化学等。
常微分方程
, cn ) 的一个邻域，使得
, c1 ′ , c1 , c2 ′ , c2 , , cn ′ cn ( n 1) cn
≠0
( n 1) ( n 1) , , c1 c2
,
则称 y = ( x, c1 ,
, cn ) 含有n个相互独立的常数。
y 例： = c1 cos x + c2 sin x 是 y′′ + y = 0 的通解。 因为 y′ = c1 sin x + c2 cos x 而
是
在 (∞, +∞)上的解。
2
y = tan(t )
例：xdx +
x = 1+ x
'
在 (
π π
, ) 上的解。 2 2
ydy = 0 有隐式解 x 2 + y 2 = C （ C 为任意常数）。
n 阶方程的通解： 把含有 n 个相互独立的任意常数
c 称为 c1，c 2， ， n 的解 y＝ x1，c1， ，c n） n 阶方程的通解。 （
耦合摆的动态演示
摆长减小的单摆
我们只研究这样一个方程:
θ( t ) 2 2 t 10 θ ( t ) + 2 θ( t ) =0 t 10 t 10 t
用Maple7编写的单摆模型的动态示意图
1.1.2 微分方程的基本概念
凡含有自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程称为 微分方程。例如：
用maple 7解双摆的运动微分方程
2 2 θ1 ( t ) = 10 θ2 ( t ) 20 θ1 ( t ) t
2
2 2 θ2 ( t ) = 20 θ1 ( t ) 20 θ2 ( t ) t
第九章 微分方程
二、确定函数关系式 y c1 sin( x c 2 ) 所含的参数,使其 满足初始条件 y x 1 , yx 0 .
练习题答案
一、1、3； 2、2； 3、1； 4、2.
二、C1 1, C 2 . 2
第九章 微分方程
第二节 一阶微分方程
§9.2 一阶微分方程 复习：
例 y y，
y y 0，
特解 y 2ex；
特解 y 2sin x cos x；
（3）初始条件: 用来确定任意常数的条件. 如：
T
t 0
100
y
x 1
2
一般地，一阶微分方程y' f ( x, y)的初始条件为：
y
x x0
y0
一般地，二阶微分方程y'' f ( x, y, y' )的初始条件为：
通解
特殊情形：
dy f ( x) dx
dy g ( y) dx
y f ( x)dx C
1 g ( y)dy x C
解微分方程：xy ' y ln y 0
解 分离变量
1 1 dy dx y ln y x
ln ln y ln x ln C,
两边积分
ln y Cx,
一阶方程的一般形式为 F ( x , y , y ) 0
初值问题： y f ( x , y )
y x x0 y 0
这个方程虽然简单，但常常很难求出解的表达式 本节只讨论几种特殊类型的一阶微分方程的解法。
教学任务
• 可分离变 量的微分 方程
分离变量法
• 齐次微分 方程
变量代换
《生物建模仿真》学习指南
《生物建模仿真》学习指南一、学习目的《生物建模仿真》是生物医学工程本科的专业基础课程，也是现代生物科学、医学、医学等相关专业教育教学的重要内容之一。
建模与仿真是分析、研究和设计各类系统，特别是诸如生命系统这类复杂系统的重要知识结构。
本课程的学习目的：1. 学习系统建模与计算机仿真的基本理论和方法。
2. 通过学习生物建模仿真的典型实例，学习和培养解决生物建模仿真实际问题的创新能力和实践能力。
二、课程理论部分学习指南课程理论学习分两个部分：第一部分包括第1章到第6章，内容是数学模型建模的基本理论和方法，计算机仿真的基本理论和方法，以及建模与仿真的校核、验证和确认（VV A）技术。
第二部分从第7章到第10章，通过学习生物系统建模仿真的4个典型范例，以点带面，培养应用建模仿真的基本理论与方法，解决生物系统实际问题的能力。
以下是理论课每个知识结构的主要内容、知识点、重点难点和学习质量的自我监测指标。
第1章生物建模仿真概论1. 学习目的了解建模仿真基本概念及生物建模仿真的研究与应用进展动态。
2. 学习内容(1)系统模型的定义、分类。
(2)系统仿真的基本概念、基本步骤、分类和计算机仿真。
(3)生物建模与仿真的研究与应用进展动态。
3. 知识点系统模型，计算机仿真4. 重点与难点系统建模的基本原理：模型与系统的相似性，根据建模要求定义相似性。
第2章系统的数学模型和建模方法2.1 数学模型的分类1. 学习目的学习数学模型的状态集合分类和时间集合分类。
2. 学习内容(1)数学模型的状态集合分类和时间集合分类。
(2)连续状态模型：连续时间模型，离散时间模型。
3. 知识点连续状态模型与离散事件模型，连续时间与离散时间模型4. 重点与难点连续状态模型中的连续时间模型，及其对应的时间离散计算机仿真模型。
5. 学习质量的自我监测标准：本章节自测与评估。
2.2 连续状态系统模型1. 学习目的学习连续状态系统中连续时间数学模型基本概念及其4类模型的数学表达式，了解对应的离散时间模型基本概念。
第九章 拉普拉斯变换 信号与系统
一、求解拉氏反变换的方法 1、留数定理；（这里不讨论） √ 2、由一些熟知的拉氏变换对，利用性质，求得 未知的拉氏变换，或它们的反变换。
√ 3、对于有理形式拉氏变换，最常用的是部分分 式展开法。
二、部分分式展开法求解拉氏反变换
思路：
单个单边复指数信号的拉氏变换是一些简单的 有理函数，其收敛域也是单纯的。
Im x(t) e-1t e-0t
0
s平面 Re
T2
t
性质6：如果x(t)是双边信号，而且如果 Re{s} 0 这条线位于ROC内，那么ROC 就一定是由s平面的一条带状区域所组成， Re{s} 0 直线 位于带中。
Im
S-plane
R
Im
Re Im
L Re
R
L Re
L{ (t )} (t )e st dt 1
X ( s) 1
4 1 1 1 3 s 1 3 s 2 ( s 1) 2 , Re{s} 2 ( s 1)(s 2)
Im
-1
x
1 2
x
Re
请问：x(t)的傅立叶变换存在吗?
9.2 拉氏变换收敛域的性质 性质1:拉氏变换收敛域的形状：
Im
s平面
Re
时域信号x(t)的特点 有限长 左边时间信号
拉氏变换X(s)的ROC 整个S平面 某一左半平面
右边时间信号
双边时间信号
某一右半平面
某一带状收敛域
9.3 拉氏反变换 信号x(t)的拉氏变换为：
X( + j ) = F{x(t)e
- t
} = [x(t)e- t ]e-jt dt
第九章 拉普拉斯变换
连续时间信号与系统知识点总结
连续时间信号与系统是信号处理和通信系统领域的重要基础知识。
以下是关于连续时间信号与系统的一些核心知识点总结：
1. 信号的基本概念：包括信号的定义、分类（连续、离散、确定、随机）、信号的表示方法（波形图、时域表达式、频域表示等）。
2. 连续时间信号的运算：包括信号的加、减、乘、卷积等基本运算，以及信号的平移、反转、尺度变换等变换。
3. 系统的基本概念：包括系统的定义、分类（线性时不变、线性时变、非线性等）、系统的描述方法（微分方程、差分方程、传递函数等）。
4. 线性时不变系统的分析：包括系统的响应（零状态响应和零输入响应）、系统的稳定性、系统的频率响应等。
5. 连续时间傅里叶分析：包括傅里叶级数、傅里叶变换及其性质、频率域的信号分析等。
6. 系统函数的性质和表示方法：包括系统函数的极点、零点，以及它们对系统特性的影响。
7. 信号通过线性时不变系统的分析：包括冲激响应和阶跃响应的分析，以及信号的频谱分析和系统对不同类型信号的响应。
8. 滤波器设计：包括低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器的设计，以及滤波器的频率响应和群时延特性。
9. 采样定理与信号重建：包括采样定理的理解，以及由采样信号重建原始信号的方法。
10. 连续时间系统的模拟与实现：包括模拟电路和数字电路实
现连续时间系统的方法，以及模拟与数字系统之间的转换。
以上知识点为连续时间信号与系统的基础内容，掌握这些知识点有助于理解实际通信系统和信号处理应用的原理。
如需更深入的学习，建议参考相关的教材或专业课程。
常微分方程教材
第九章 微分方程一、教学目标与根本要求（1） 了解微分方程与其解、通解、初始条件和特解的概念。
（2） 掌握变量可别离的方程和一阶线性方程的解法，会解齐次方程。
（3） 会用降阶法解以下方程：),(),,(),()(y y f y y x f y x f y n '='''=''=。
（4） 理解二阶线性微分方程解的性质以与解的结构定理。
（5） 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
（6） 会求自由项多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以与它们的和与二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
（7） 会用微分方程解决一些简单的应用问题。
二、本章教学容的重点和难点1、理解和熟悉微分方程的一些根本概念；2、掌握一阶和高阶微分方程的各种初等积分法；3、熟悉线性方程的根底理论，掌握常系数二阶线性齐次与非齐次方程的解法；4、会列微分方程与其始值问题去解决实际问题。
三、本章教学容的深化和拓宽：1、别离变量法的理论根据；2、常用的变量代换；3、怎样列微分方程解应用题；4、黎卡提方程；5、全微分方程的推广；6、二阶齐次方程；7、高阶微分方程的补充；8、求线性齐次方程的另一个线性无关的解；9、求线性非齐次方程的一个特解；10、常数变易法。
本章的思考题和习题解以下方程〔第1-6题〕1、2)0(,)1(==+'+y x y y x2、()[]f dx x f e e x f xx x ,)(02⎰+=可微 3、21222sin 22sin 1X e y x y y x ++='•+ 4、0)3(24=+-xydx dy x y5、21)0(,1)0(,022-='=='+''y y y x y 6、2y y y x y '-'+'=7、可微函数)(x f 满足⎰-=+x x f f x f x x f dx x f 12)()1(,1)()()(和求； 8、)(,,1)(21)(10x f f x f da ax f 求可微+=⎰； 9、求与曲线族C y x =+2232相交成 45角的曲线； 10、一容器的容积为100L ，盛满盐水，含10kg 的盐，现以每分钟3L 的速度向容器注入淡水冲淡盐水，又以同样的速度将盐水抽入原先盛满淡水的同样大小的另一容器，多余的水便沉着器流出，问经过多少时间，两容器的含盐量相等？§9.1微分方程的根本概念一、容要点：先从实例引入建立几个微分方程的模型，引入微分方程的一系列概念；常微分方程：常微分方程的阶数、解、通解、全部解、特解、积分曲线族的定义；二、教学要求和注意点了解微分方程与微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解以与积分曲线说明1：一个微分方程加上初始条件和初值问题的解是对某实际问题两种等价的描述形式。
微积分课件（高教社版朱来义编）——第九章9-1
第9章微分方程初步§9.1 微分方程的基本概念§9.2 一阶微分方程§9.3 二阶常系数线性微分方程§9.4 微分方程在经济学中的应用§9.1 微分方程的基本概念一、问题的提出例1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点),(y x M 处的切线的斜率为x 2,求这曲线的方程.解)(x y y =设所求曲线为x dxdy 2=∫=xdx y 2(1)2y =且,2C x y +=,1=C 求得.12+=x y 所求曲线方程为(1)2y =由条件⇒⇒⇒#例2 列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶,当制动时列车获得加速度4.0−米/秒2,问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？解)(,t s s s t =米秒钟行驶设制动后4.022−=dtsd ,20,0,0====dt ds v s t 时14.0C t dtdsv +−==2122.0C t C t s ++−=代入条件v(0)=20120C ⇒=,202.02t t s +−=,204.0+−==t dtdsv ),(504.020秒==t 列车在这段时间内行驶了).(5005020502.02米=×+×−=s 开始制动到列车完全停住共需代入条件s(0)=020C ⇒=#含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。
例,xy y =′,0)(2=++xdx dt x t ,32x e y y y =−′+′′,y x xz+=∂∂二、微分方程的定义联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)的关系式：()(,,,,)0n F x y y y ′= 微分方程的实质：微分方程的阶:分类1: 常微分方程& 偏微分方程。
,0),,(=′y y x F );,(y x f y =′,0),,,,()(=′n y y y x F ).,,,,()1()(−′=n n y y y x f y 分类2: 一阶微分方程& 高阶(n阶)微分方程。
连续时间代数riccati方程
连续时间代数riccati方程全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：连续时间代数Riccati方程是一类重要的微分代数方程，广泛应用于控制理论、动力系统、信号处理等领域。
它可以描述系统状态随时间演化的动态过程，并在实际应用中发挥着重要作用。
本文将介绍连续时间代数Riccati方程的基本概念、求解方法和应用领域。
一、基本概念连续时间代数Riccati方程是一种特殊的矩阵微分方程，定义如下：\dot{P}(t) = -A^T P(t) - P(t)A - P(t)B R^{-1} B^T P(t) + QP(t)是一个对称矩阵，称为Riccati方程的解；A、B、R、Q分别是给定的矩阵，分别代表系统的状态矩阵、输入矩阵、状态-输入权重矩阵和状态-状态权重矩阵。
连续时间代数Riccati方程的特点在于，它不仅包含了状态矩阵的演化动态，还考虑了系统输入和权重矩阵对系统状态的影响。
Riccati 方程可以描述系统在连续时间下的状态演化规律，是控制理论中的重要工具。
二、求解方法对于一般的连续时间代数Riccati方程，其解并不容易求解。
针对特定情况下的Riccati方程，可以采用不同的方法进行求解。
常用的求解方法包括：1. Lyapunov方程法：将Riccati方程转化为Lyapunov方程进行求解；2. 反应敏感性法：通过求解线性化的Riccati方程，然后利用反应敏感性理论进行逼近求解；3. 近似法：将Riccati方程展开成级数，通过截断级数求解近似解。
这些方法在实际应用中都有其适用范围，可以根据具体问题的特点选择合适的方法进行求解。
三、应用领域连续时间代数Riccati方程在控制理论、动力系统、信号处理等领域有着广泛的应用。
一些典型的应用包括：1. 线性二次型控制：Riccati方程是线性二次型控制理论的核心工具，用于设计最优控制器，实现控制系统的性能优化；2. 动态系统稳定性分析：通过求解Riccati方程，可以分析系统的稳定性和受控性，评估系统的运动特性；3. 鲁棒控制设计：Riccati方程在鲁棒控制设计中起着重要作用，可以设计具有鲁棒性能的控制器。
连续时域分析方法
连续时域分析方法什么是连续时域分析方法？连续时域分析方法是指对连续时间信号在时域上进行分析的方法。
通常采用微积分及微分方程的方法来处理信号的变化和传递，可以用来处理线性信号和非线性信号。
连续时域分析方法是信号处理领域中的基础，其应用广泛，如在信号源编码和数字信号处理方面等。
连续时域分析方法常见的技术1. 微分方程方法通过利用微分方程来描述信号的传递和变化，来获得信号的时域特征。
该方法以微分方程为基础，通过对微分方程的求解，得到信号的时域响应。
比如我们可以用一阶微分方程来描述电路中的电压变化：V(t)=RC（dv(t)/dt）+i(t)，其中R，C为电阻和电容，i(t)是电路中的电流。
通过对这个微分方程求解，可以得到信号的时域响应。
2. 傅里叶分析法傅里叶分析法是指把信号分解成若干个基本频率的正弦信号或余弦信号，来描述信号的时域特征。
傅里叶分析法将信号沿时间轴上的变化分解成不同频率的正弦波，用频域中的谱图表示信号。
其基本思想是将信号分解成一系列基本频率的正弦波，使得每个波形的能量都可以在频谱中表示出来，而且可以对每个基频的信号进行进一步的处理。
3. 差分方程法差分方程法是指通过对信号采样和量化，然后应用差分方程求解来处理信号的时域响应。
差分方程法可以把连续时间信号通过采样与量化处理后得到离散时间信号，对这个离散化的信号应用差分方程来得到其时域响应。
差分方程法常用于数字信号处理中，比如数字滤波和数字控制等领域。
4. 拉普拉斯变换法拉普拉斯变换法是指将时域信号转换成在复平面上的拉普拉斯变量表示，然后对其进行变换操作，得到在拉普拉斯空间中的响应，并通过反变换将其转换回时域。
拉普拉斯变换法的基本思想是将时域信号转换为复平面上的拉普拉斯变量表示，再对其进行变换操作，将其变换为在拉普拉斯空间中所代表的信号的响应。
这种方法可以用于线性和非线性信号处理，广泛应用于线性系统和控制理论等领域。
5. 各种传输函数模型在连续时域分析方法中，还有一些常见的模型用于表示信号的传递和变化。
连续时间随机过程的微分和积分
2 f ( s, t ) s t
。
《随机信号分析》教学组
8
1 随机过程可导的定义
随机过程 X (t ) 的导数定义为一个极限：
dX (t ) X (t t ) X (t ) X (t ) lim t 0 dt t
如果这个极限对于过程 X (t ) 的所有样本函数 都存在，那么 X (t ) 具有导数通常的意义。 如果这个极限在均方意义下存在，称 X (t ) 具 有均方意义下的导数。
4 随机过程 X ( t ) 均方连续，则其数学期望连续。 证 设 Y X (t t ) X (t )
2 E[Y 2 ] Y E 2[Y ] E 2[Y ]
E[(X (t t ) X (t ))2 ] E 2[( X (t t ) X (t ))]
1.2 连续时间随机过程的微分和积分
实际中，经常涉及到随机过程的微分和积分问题。
对于通常函数而言：这些运算即是极限运算。 对于随机过程而言：这涉及到随机变量序列的极限和收敛 问题，这些极限都是在均方意义下定义的。 为了讨论随机过程的微分和积分，首先讨论随机过程的连续性。
《随机信号分析》教学组
1
一 随机过程的连续性
2
证明：
E[ X (t1 ) X (t2 )] E[ lim lim E[
t1 0 t2 0
X (t1 t1 ) X (t1 ) X (t2 t2 ) X (t2 ) . ] t1 t2
RX (t1 t1 , t2 t2 ) RX (t1 , t2 t2 ) RX (t1 t1 , t2 ) RX (t1 , t2 ) lim t1 0 t1t2 t 0
18
连续系统的微分方程及其算子表示
yh (t) A1e1t A2e2t ... Anent Aieit i 1
（2）特征根有重根 。
若1是特征方程的 k 重根，即有1 2 3 ... k ，而其
余 n k 个根都是单根，则微分方程的齐次解中相应 于的部分有项，即
k
( A1t k1 A2t k2 A3t k3 ... Ak )e1t Ait kie1t
进行公因子相消。 （2）算子的乘除顺序不能随意颠倒，即
这表明“先乘后除”的算子运算（即先微分后积 分） 不能相消；而“先除后乘”（先积分后 微分） 的算子运算可以相消。
例：设某连续系统的算子为 试写出此系统的输入输出微分方程。
解：令系统的输入为 ，输出为 ，由给 定传输算子 写出此系统算子方程为
即 与 之间的关系为 所以系统的输入输出微分方程为
可根据自由项的函数形式来选择，如下表所示。
f (t)
例2.1.3 已知微分方程
求下列两种情况下微分方程的特解
解：（1）因为
，将 f (t) 代入方程，得方程
右边的自由项为 t2 2t
查表2.1可知，特解的一般形式为
所以
dy p dt
2 At B， dd2ty2p
2A
代入原方程得 由对应项系数相等得 所以方程的特解为 （2）因为，所以方程右边的自由项为 查上表可知，特解的一般形式为
2.特 解 根据微分方程右端函数式形式，设含待定系数的 特数的特解函数式→代入原方程，比较系数定出 特解。
3.全 解 齐次解+特解，由初始条件定出齐次解系数 Ak 。
1.齐次解
由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式
齐次解是满足式上式中右端激励及其各阶导数 都为零的齐次微分方程的解。即：
流体力学中三大基本方程
dx
dt
pxfx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
同理可得y,z方向上的：
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
1
p x
fx
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
1
p y
fy
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
1
p z
fz
向量形式： d f 1gradp
dt
——理想流体欧拉运动微分方程
理想流体稳定流动的伯努利微分方程
由理想流体欧拉运动微分方程
fx
1
p x
d x
dt
fy
1
p y
d y
dt
是稳定流动，vx,vy,vz，p都只是坐标函数，及时间 无关，方程转换去除t项
fz
1
p z
d
z
dt
推导得： d 1 dpgdz
Or
gdz 1 dpd0
——伯努利方程微分形式。
1. 含有四个未知量（x，y，完z整,P的）方程组。
2. 描述了各种量间的依赖关系。 3. 通解、单值条件（几何条件、物理条件、边界条件、初始
条件）→特解。 即描述流体流动的 完整方程组+单值性条件→描述某一特定流动。
3. 伯努利方程 (Bernoulli)
连续系统模型表示方法
连续系统模型表示方法连续系统模型是指用数学表达式来描述物理系统或控制系统的行为。
在实际应用中，我们通常使用微分方程或差分方程来表示连续系统模型。
1.微分方程表示方法微分方程是用导数表示的方程，它可以描述物理系统或控制系统的状态变化过程。
对于连续系统模型，我们通常使用常微分方程或偏微分方程来表示。
常微分方程的形式为：dy(t)/dt = f(y(t), u(t))其中，y(t)表示系统的状态变量，u(t)表示输入信号或控制信号，f 是系统的状态方程。
这种表示方法适用于连续时间域下的系统，可以通过数值解法或解析解法求解系统的行为。
2.差分方程表示方法差分方程是用差分运算符表示的方程，它可以描述离散时间域下的系统行为。
对于连续系统模型，我们可以将微分方程离散化得到差分方程。
差分方程的形式为：y(k+1) = f(y(k), u(k))其中，y(k)表示系统的状态变量，u(k)表示输入信号或控制信号，f 是系统的状态方程。
这种表示方法适用于数字控制系统或数字信号处理系统，可以通过离散化的数值方法求解系统的行为。
3.传递函数表示方法传递函数是一种将输入输出关系表示为函数的方法，它可以用来分析系统的稳定性、频率响应等特性。
对于连续系统模型，我们可以使用拉普拉斯变换将微分方程转换为传递函数。
传递函数的形式为：G(s) = Y(s) / U(s) = N(s) / D(s)其中，Y(s)和U(s)分别表示系统的输出和输入的拉普拉斯变换，N(s)和D(s)分别表示系统的分子和分母多项式。
这种表示方法适用于分析连续系统的频率特性和控制系统的设计。
总之，连续系统模型的表示方法有微分方程、差分方程和传递函数三种，不同的表示方法适用于不同的系统分析和设计需求。
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• 索罗—斯旺新古典增长模型 新古典生产函数 Y Y (K, L) 边际产品为正但递减
Y K
2Y 0, K 2
0
Y L
0,
2Y L2
0
一次齐次（规模报酬不变）性
Y (K,L) Y (K, L)
人均项目表示为
y (k)
净投资：
K I K S K sY K
同除 L可得
K / L sy k s(k) k
yk a
该非齐次方程的通解为 y(x) y y(0)eax
定义
• y(x) y，y 收敛于y ，y 的时间路径是稳定的
在上例中，当且仅当 a 0时，y(x) y
• 伯努利方程
dy ay cym dx
m 其中a 和 c为常数或者 x 的函数， 为任意除0和1之外的
实数，两边同除 ym 可得
形式 P(D)y 0的通解则非齐次方程 P(D) y f (x) 的通解
为 y yc yp 。
第3节 一阶常系数线性微分方程
最简单形式
dy ay f (x) dx
定理 其非齐次方程的特解为
y(x) eax x eas f (s)ds 0
特殊情形 dy ay k dx
其一个特解（潜在均衡点）为
dt
为常系数的一阶线性微分方程，一特解（潜在均衡点）为
通解为
P
ab
P(t) P cegt
其中c为任意常数而g (b a)
当且仅当 g 0时P(t) P ，因 0条件即为b a
在正常商品时，供给曲线不后仰，条件满足
• 马歇尔供求函数：
PD
a
Q a
PS
b
Q b
动态调整过程：
dQ dt
•
•
待试特解
.
待试特解
f (x)
.
cax
ax
c1 sin bx c2 cos bx c0 c1x L cn xn
sin bx或者cosbx
而 那么 •即
K knL Lk
k s(k) (n )k
k (n )k s(k)
潜在均衡（稳态）处
k 0
稳态人均消费
c* (k*) (n )k* k *为 s 的函数，有
k* k* (s) dk* / ds 0
则
c*(s) (k*(s)) (n )k*(s)
Dn y a1Dn1 y L an1Dy an y f (x) 也可写作
P(D) y f (x)
线性算子性质： （i） P(D)( y1 y2 ) P(D) y1 P(D) y2
（ii）P(D)(cy) cP(D) y
• 定理
令 y p为线性微分方程P(D) y f (x) 的特解而 yc 为相应齐次
第九章 连续时间：微分方程
第1节 定义
• 微分方程就是涉及导数的方程 dy x 5 dx
d2y dx2
3x
dy dx
2
y
0
2z x2
2z y 2
x2
y
• 偏微分方程，常微分方程
• n 阶线性常微分方程
dny dy n
a1
d n1 y dy n 1
L
an1
dy dy
an
y
f (x)
• 常系数微分方程 齐次形式
需求函数：PD PD (Q)
供给函数：PS PS (Q) 动态假设：数量会随着购买者愿意支付的价格与供给者愿 意接受价格之间的差异变化而变化
• 瓦尔拉斯均衡
• 马歇尔
• 瓦尔拉斯线性模型：
QD aP
QD bP
动态调整过程
dP dt
(QD
QS
)
0
代入可得
dP (a b)P ( )
1 dz 6z 7 2 dx
其解为
z
c1e12 x
7 6
原方程的解为
y
c1e12 x
7 6
1/ 2
第4节 利用一阶微分方程进行动态 经济分析
• 在供求模型背后的动态变化 瓦尔拉斯供求模型
需求函数： QD QD (P) 供给函数： QS QS (P)
动态假设：价格随着剩余需求的变化而变化 马歇尔供求模型
求最大化稳态消费水平的储蓄水平
• 稳态
dc* dc* dk* ((k*) (n )) dk*
ds dk* ds
ds
令其等于零，可得
(k*) (n )
资本积累的黄金律水平
第5节 二阶线性常系数微分方程
d2y dx2
p
dy dx
qy
f
(x)
• 齐次方程的通解
定理
令y1, y2为如下齐次方程的特解
ym dy ay1m c dx
令
z y1m
从而
dz dz dy (1 m) ym dy
dx dy dx
dx
则微分方程可写为
•例
1 dz az c 1 m dx
同除 y3
dy 6 y 7 y3 dx
y3 dy 6 y2 7 dx
令 z y，2 从而 dz / dx 2 y3dy / dx ，则
P(D)
y
d2y dx2
p
dy dx
qy
0
其中 y1 不是 y2的常数倍，则该方程的通解为 y c1 y1 c2 y2，
其中c1, c2 为任意常数
• 定义
• 辅助方程: m2 pm q 0
• 情形1：不等实根 定理
辅助方程根为不等实根m1和 m2，则该齐次方程的通解为 y c1em1x c2em2x
• 情形2：相等实根 辅助方程有相等实根m1 m2 r，则该齐次方程的通解为
y (c1 c2 x)erx
• 情形3：共轭复根 辅助方程根为共轭复根m1 a bi 和 m2 a bi ，齐次方程 的通解为
y eax (c1 cos bx c2 sin bx)
• 非齐次方程的特解 待定系数法实质上是根据函数对特解进行有依据的猜测。
• 定理
n 阶线性常微分方程（线性或者非线性）的通解是 x的函
数 y ，其中刚好有个任意常数。
y y(x; c1,K , cn，) 其中 c1,K , cn 为任意常数
• 初始条件与特解
第2节 线性微分方程
求导数学算子D
线性算子 P(D) Dn a1Dn1 L an1D an
• 则一般 n 阶线性常微分方程可写作
PD
PS
代入可得
0
dQ dt
1 b
1 a
Q
b
a
一特解（潜在均衡点）：
通解为
Q a b
ab
Q(t) Q ceht
其中c 为任意常数而
h
1 b
1 a
当且仅当h 0 时Q(t) Q ，因 0 ，条件也即
11 ba
在通常情况下这一条件也满足
• 但在吉芬物品与正斜率供给曲线，或者后仰供给曲线与正 常物品相联系时，两动态假设冲突，一方认为价格和数量 时间路径稳定，而另一方认为其不稳定。