2020届重庆南开中学高三下学期线上期中考试理科数学试题

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重庆南开2020届高三下2.16周练理科数学试卷和答案

A.
6

B.
12

C.
4

D.
3
10. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为
19
A.
2
B. 12
41
C.
4
23
D.
2
11.
在
ABC
sin
中，
B

3
，BAC
60 ，D 是 BC 的中点.
若 AE

EC ，且 AD BE ，则实数
x 5y 3
则 a 的取值范围为
.
16. 函数 f (x) (x a)(| x 3a | | x 5a |) 满足： f (1) f (3) f (5) f (2019) 0 ，则
f (2019) f (2021) =
．
2020
三．解答题（共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．）
（1）证明： AB 平面 SDB ；（2）若 M 为 BS 中点，求二面角 M CD B 的余弦值．
20.（12 分）已知 F 为抛物线 C1 : y2 2 px(0 p 1) 的焦点， E 为圆 C2 : (x 4)2 y2 1上任意一点，且
|
EF
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最大值为 19 4
三．解答题
17. 解：（1）由题意得，1 d q 1 4d q3 1 ，解得 d q, q3 4q 0 ，由 bn 0 ，可得

2020届重庆市南开中学高三第五次教学质量检测考试数学(理)试题(解析版)

2020届重庆市南开中学高三第五次教学质量检测考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|230A x x x =--<,{}1,0,1,2,3B =-,则A B =I （）A ．{}1,0,1-B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}0,1,2【答案】D【解析】化简集合{}2|230A x x x =--<,根据交集定义即可求得答案. 【详解】Q {})(2|2301,3A x x x =--<=-又Q {}1,0,1,2,3B =-∴ {}0,1,2A B =I故选:D. 【点睛】本题考查了集合的交集,在集合运算比较复杂时,可以使用数轴来辅助分析问题,属于基础题.2．已知随机变量()()22,0X N σσ>:，若()40.7P X <=，则()0P X <=（）A ．0.2B ．0.3C ．0.5D ．0.7【答案】B【解析】由随机变量()()22,0X N σσ>:,当()40.7P X <=,结合()20.5P X <=,即可求得()240.2P X <<=,根据正态分布的对称性,即可求得答案. 【详解】Q 随机变量()()22,0X N σσ>:当()40.7P X <=又Q ()20.5P X <=,可得()240.2P X <<=根据正态分布的对称性可得: ()020.2P X <<=∴ ()00.50.20.3P X <=-=故选:B. 【点睛】本题主要考查正态分布的对称性,意在考查对基础知识的掌握与应用,属于基础题. 3．已知0.2log a π=,0.2b π=,0.2c π=,则（） A ．a b c <,由0.2c π=得:01c <<,即可求得答案. 【详解】Q 根据0.2log y x =图像可知:0.2log 0a π=<又Q 0.21b π=>,根据0.2xy =图像,由0.2c π=∴ 01c <<综上所述,a c b <<. 故选:C. 【点睛】本题考查比较数值大小,这类大小比较一般是借助中间值,与中间值比较后可得它们的大小关系.4．2016年1月6日，中国物流与采购联合会正式发布了中国仓储指数，中国仓储指数是反映仓储行业经营和国内市场主要商品供求状况与变化趋势的一套指数体系，如图所示的折线图是2019年甲企业和乙企业的仓储指数走势情况.根据该折线图，下列结论中不正确的是（）A ．2019年1月至4月甲企业的仓储指数比乙企业的仓储指数波动大B ．甲企业2019年的年平均仓储指数明显低于乙企业2019年的年平均仓储指数C ．两企业2019年的最大仓储指数都出现在4月份D ．2019年7月至9月乙企业的仓储指数的增幅高于甲企业【答案】D【解析】先对图表数据分析处理,再结合简单的合情推理,对每个选项逐一判断即可得到答案. 【详解】对于A,从图可以看出, 2019年1月至4月甲企业的仓储指数比乙企业的仓储指数波动大,故A 结论正确;对于B,从图可以看出,甲企业2019年的年平均仓储指数明显低于乙企业2019年的年平均仓储指数,故B 结论正确;对于C,从图可以看出,两企业2019年的最大仓储指数都出现在4月份,故C 结论正确; 对于D,从图可以看出,2019年7月至9月乙企业的仓储指数的增幅低于甲企业,故D 结论错误. 故选:D. 【点睛】本题考查了折线图,掌握折线图相关知识是解题关键,考查了分析能力,属于基础题. 5．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为45，且5342a a a =+，则2a =（） A ．6 B ．9 C ．12 D ．15【答案】A【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ,由等比数列的前n 项和公式()111n n a q S q-=-和等比数列通项公式11n n a a q -=,结合已知即可求得答案.【详解】Q 5342a a a =+根据等比数列通项公式11n n a a q -=∴ 4231112a q a q a q =+∴ 22q q =+ 即(2)(1)0q q -+=解得:2q =或1q =-(舍去)Q 等比数列{}n a 的前4项和为45根据等比数列的前n 项和公式()111n n a q S q-=-可得()4141451a q S q-==-,解得13a =故: 126a a q == 故选:A. 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式,等比数列的前n 项和公式的应用.解题关键是掌握等比数列前n 项和公式,考查了计算能力,属于中档题 6．若1sin 43π⎛⎫α-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（） A ．29- B ．19 C ．79D ．89【答案】C 【解析】由1sin 43π⎛⎫α-= ⎪⎝⎭,可得1sin 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,根据2cos 212sin 24ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即可求得答案.【详解】Q 1sin 43π⎛⎫α-= ⎪⎝⎭,可得1sin 43πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭Q 227cos 212sin 12499ππαα⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 7sin 2cos 229παα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭故选: C. 【点睛】本题考查了诱导公式及二倍角的余弦公式,解题的关键是根据已知条件选用余弦的二倍角公式来解决问题.7．()()4221x x x -+-的展开式中x 项的系数为（）A ．9-B ．5-C ．7D ．8【答案】A【解析】将()()4221x x x -+-化简为:2444(1)(1)2(1)x x x x x --+--,写出4(1)x -二项展开式的通项公式(4)14(1)r r r r T C x-+=⋅-,即可求得答案. 【详解】Q ()()42244421(1)(1)2(1)x x x x x x x x -+---+-=-4(1)x -二项展开式的通项公式(4)14(1)r r r r T C x -+=⋅- Q 24(1)x x -中不含x 项,无需求解.Q 4(1)x x --中含x 项,即当4r =时(44444)(1)x C x x --⋅⋅=-- Q 42(1)x -中含x 项,即当3r =时(43)34328(1)C x x -⋅=--∴ ()()4221x x x -+-的展开式中x 项9x -故选:A. 【点睛】本题考查求二项式展开式中常数项,解题关键是掌握二项展开式的通项公式,考查分析能力和计算能力,属基础题.8．数列:1,1,2,3,5,8,13,⋯称为斐波那契数列,是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例而引入,故又称为“兔子数列”.该数列前两项均为1,从第三项开始,每项等于其前相邻两项之和,某同学设计如图所示的程序框图,当输入正整数()3n n ≥时,输出结果恰好为“兔子数列”的第n 项,则图中空白处应填入（）A ．b a b =+B ．b a c =+C ．a b c =+D ．c a c =+【答案】B【解析】由数列:1,1,2,3,5,8,13,⋯可得数列-12n n n a a a -=+,()3n n ≥.结合程序框图即可得出答案. 【详解】Q 由数列:1,1,2,3,5,8,13,⋯∴ 可得数列-12n n n a a a -=+,()3n n ≥结合程序框图可得空白处为:b a c =+ 故选:B. 【点睛】本题考查斐波那契数列的理解和运用,解题关键是能够理解程序框图,考查了分析能力,属于基础题.9．随机变量X 的分布列如下表所示,在()0E X >的前提条件下,不等式20x x a ++>对x R ∀∈恒成立的概率为（）X1-1PaabA ．112 B ．14C ．13D ．12【答案】B【解析】根据112233()E X x p x p x p =++,则()a X E b =-+,可得0a b -+> .根据1231p p p ++=得21a b +=.要保证不等式20x x a ++>对x R ∀∈恒成立,需满足140a -<,即可求得答案. 【详解】Q 112233()E X x p x p x p =++∴ ()a X E b =-+,结合()0E X >可得0a b -+>根据1231p p p ++=得21a b +=故00021a b a b a b ≥⎧⎪≥⎪⎨-+>⎪⎪+=⎩ 解得:103a ≤< Q 要保证不等式20x x a ++>对x R ∀∈恒成立,需满足140a -<解得:14a >则不等式20x x a ++>对x R ∀∈恒成立的概率为:11134143-=故选:B. 【点睛】本题考查利用古典概型求解概率、离散型随机变量的分布列和数学期望的求解问题,熟练掌握求几何型概率的方法是解题关键,属于基础题.10．已知双曲线C :()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为(),0F c ,若存在过点F 的直线l 与双曲线的右支交于不同的两点,与双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A ,且AF c =,则双曲线C 的离心率的取值范围是（）A ．(1,3⎤⎦ B ．()1,2 C ．)2,2⎡⎣ D ．()2,+∞【答案】B【解析】根据题意画出其几何图像,设AOF θ∠=,根据双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A ,且AF c =则1802AFO θ︒∠=-,BOM θ∠=,若存在过点F 的直线l 与双曲线的右支交于不同的两点,需保证BOM AFO ∠<∠,根据双曲线的渐近线为by x a =±,则tan b aθ=,即可求得离心率范围. 【详解】根据题意画出其几何图像:设AOF θ∠=,根据双曲线的一条渐近线交于第一象限内的点A ,且AF c =∴ 1802AFO θ︒∠=-,BOM θ∠=若存在过点F 的直线l 与双曲线的右支交于不同的两点,需保证BOM AFO ∠<∠∴BOM AFO ∠<∠,则1802θθ︒<- ∴ 60θ︒<根据双曲线的渐近线为by x a =±,则tan b aθ= ∴3ba<Q 根据双曲线C 的离心率21c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∴2e <==Q 根据双曲线C 的离心率1e >∴ 12e <<故选:B. 【点睛】本题考查了求双曲线离心率的范围问题,解题关键是根据已知条件画出其几何图像,数形结合.考查分析能力和计算能力,属于中档题.11．已知定义在区间[)1,+∞上的函数()2,121,222x x f x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩,若函数()()kg x f x x=-有无穷多个零点,则实数k 的取值范围是（）A ．()1,2B ．(]2,4C ．(]2,8 D ．[]4,8【答案】C【解析】因为定义在区间[)1,+∞上的函数()2,121,222x x f x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩,画出其函数图像,求函数()()k g x f x x=-零点个数,即求()kf x x =交点个数,即可求得实数k 的取值范围. 【详解】Q 求函数()()kg x f x x =-零点个数, 即求()y f x =与k y x=交点个数因为定义在区间[)1,+∞上的函数()2,121,222x x f x x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩令24x <≤,则211()2222xx f x f ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭令48x <≤,则411()2224xx f x f ⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭L L画出8 yx =和2yx=,()2,121,222x xf x xf x⎧≤≤⎪=⎨⎛⎫>⎪⎪⎝⎭⎩图像:∴由图像可知实数k的取值范围在(]2,8时,()kf xx=交点个数是无穷多个.故选:C.【点睛】本题考查了分段函数和方程零点问题.解题关键是画出其函数图像,结合函数图像,将函数的求零点问题转化图像交点问题,考查了分析能力和理解能力,属于中档题. 12．已知椭圆C:()222210x ya ba b+=>>的左焦点为(),0F c-,上顶点为A,离心率为3直线FA与抛物线E:24y cx=交于M,N两点,则MA NA+=（）A．3a B．5aC．3a D．10a【答案】D【解析】设点(),M MM x y,(),N NN x y,由题意可知3FAk=故)3M NMA xN xA+=+,设MN的中点坐标为()00,x y,由中点坐标公式和点差法即可求得答案.【详解】设点(),M MM x y,(),N NN x yQ由题意可知FA k =∴)M N MA x N x A +=+，设MN 的中点坐标为()00,x y ，由中点坐标公式: 0022M N M N x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩Q 24M M y cx =┄①,24N N y cx =┄②由①-②,点差法可得:02y c =，即0y =，又Q FA:)y x c =+,故05x c =， ∴ 0210M N x x x c +==，∴10MA NA a +==. 故选:D. 【点睛】本题考查求椭圆方程与抛物线方程,解题关键是掌握椭圆和抛物线的相关知识,和熟练使用点差法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.二、填空题13．曲线()21xy x e =-在点()0,1-处的切线方程为__________.【答案】1y x =-【解析】利用切线的斜率是函数在切点处导数,求出切线斜率,再利用直线方程的点斜式,即可求出切线方程. 【详解】Q ()21x y x e =-∴ ()221x x y e x e '=+-∴函数()21x y x e =-在0x =处的切线斜率为1，又Q 切点坐标为()0,1-，∴切线方程为1y x =-．故答案为:1y x =-．【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程,其中解答中准确求得函数的导数,合理利用导数的几何意义求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.14．设实数x ,y 满足约束条件26024020x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,则yz x =的取值范围是__________.【答案】17,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】作出不等式组所表示的可行域,yz x=可看作是可行域上的点与原点()0,0O 两点的斜率,结合图像即可求得yz x=的取值范围. 【详解】根据实数x ,y 满足约束条件26024020x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,作出不等式组所表示的可行域,如图:由260240x y x y +-=⎧⎨-+=⎩ 解得:85145x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即814,55A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 则74OA k =由26020x yx y+-=⎧⎨--=⎩解得:8323xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即82,33B⎛⎫⎪⎝⎭则14 OBk=Qyzx=可看作是可行域上的点与原点()0,0O两点的斜率∴yzx=的取值范围是:17,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为:17,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查线性规划问题,关键是根据所给的约束条件准确地画岀可行域和目标函数.在平面区域中,求线性目标函数的最优解,要注意分析线性目标函数所表示的几何意义,从而确定目标函数在何处取得最优解.15．用0,1,2,3,4,5这六个数字组成一个无重复数字的六位数,要求偶数互不相邻0和5必须相邻,则满足条件的六位数的个数为__________.（用数字作答）【答案】60【解析】由题意可知用0,1,2,3,4,5这六个数字组成一个无重复数字的六位数,要求偶数互不相邻0和5必须相邻,将数字0和5捆绑在一起,按05和50两种次序和数字1,3进行排列,数字2,4插空处理.【详解】数字0和5捆绑在一起,按50次序和数字1,3进行排列,数字2,4插空处理满足此条件的六位数的个数为:223336A A⋅=数字0和5捆绑在一起,按05次序和数字1,3进行排列,数字2,4插空处理满足此条件的六位数的个数为:223336A A⋅=当05排在首位不符合题意,此时排列个数为:222312A A⋅=故:满足条件的六位数的个数为:36+361260-=故答案为:60.【点睛】本题考查排列的简单应用.在排列的过程中,一般我们要注意:特殊元素优先排,相邻元素捆绑排这样一个原则.16．已知梯形ABCD 中,2BC AD =,AB AD CD ==,若平面内一点P 满足：0PB PC ⋅=u u u r u u u r,PB xPA yPC =+u u u r u u u r u u u r ,其0x >,0y >,则x y +的最小值为__________.【答案】3【解析】画出其几何图像,由0PB PC ⋅=u u u r u u u r知,点P 的轨迹是以BC 为直径的圆,设PB 与AC 交于点Q ,PB PQ λ=u u u r u u u r ,故x y PQ PA PC λλ=+u u u r u u u r u u u r ,A ,Q ,C 三点共线知1x yλλ+=,可得:x y λ=+,结合图像即可求得x y +的最小值. 【详解】画出其几何图像:Q 由0PB PC ⋅=u u u r u u u r知,点P 的轨迹是以BC 为直径的圆,又0x >,0y >,∴ 点P 只能在劣弧AC 上运动（不含A ,C 两点）设PB 与AC 交于点Q ,PB PQ λ=u u u r u u u r∴x y PQ PA PC λλ=+u u u r u u u r u u u r,∴A ,Q ,C 三点共线知1xyλλ+=,可得:x y λ=+又Q 而PBPQλ=,结合图形知: 当点P 运动至距AC 最远时λ最小, 又Q DA DC =,∴ 点P 与点D 重合时λ最小,此时12PQ AD QB BC ==,可得3PBPQλ== ∴3λ=.故答案为:3. 【点睛】本题考查了向量的共线和向量的运算,熟悉向量相关知识点和数形结合是解题的关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.三、解答题17．已知数列{}n a 满足11a =,()*124nn na a n N a +=∈-. （1）证明:数列21n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列;（2）求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【答案】（1）证明见解析（2）1122n n --+【解析】（1）由()*124n n n a a n N a +=∈-,可得12421221n n n a a a +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭,根据等比数列概念即可得出答案;（2）由（1）知1212n n a --=,可得121211222n n n a --+==+,采用分组求和方法,即可求得数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【详解】（1）Q ()*124nn na a n N a +=∈- ∴1412122n n n n a a a a +-==-，则12421221n n n a a a +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，又12110a -=≠， ∴21n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知1212n na --=，∴12 1211222nnna--+==+，故其前n项和为:()11121221222nnnn nS---=+=+-.∴数列1na⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为:1122nn--+.【点睛】本题主要考查判断数列是否为等比数列和分组求和,解题关键是掌握等比数列的前n项和公式和等差数列前n项和公式,考查了计算能力,属于基础题.18．已知函数()()2cos sin sinf x x xϕϕ=+-,0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且()0fϕ=.（1）求ϕ;（2）如图,在ABCV中,Aϕ=,1AC=,D是边AB的中点,2BC CD=,求AB.【答案】（1）3πϕ=（2）3AB=【解析】（1）由()0fϕ=,可得2cos sin2sin0ϕϕϕ-=,结合0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即可求得ϕ值;（2）设AD DB x==,22CB CD y==,在ACDV和ABCV分别使用余弦定理,即可求得AB.【详解】（1）Q由()0fϕ=得:2cos sin2sin0ϕϕϕ-=∴()2sin4cos10ϕϕ-=由0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,sin,cos0ϕϕ>∴1cos2ϕ=,3πϕ=.（2）设AD DB x==,22CB CD y==Q 在ACD V 中,由余弦定理22212cos 601y x x x x =+-︒=+-┄① Q 在ABC V 中,由余弦定理22241422cos 60421y x x x x =+-⋅︒=-+┄②∴ 联立①②消去y 解得32x =∴23AB x ==.【点睛】本题考查了余弦定理解三角形,解题关键是灵活使用余弦定理,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.19．《中国诗词大会》是由CCTV -10自主研发的一档大型文化益智节目,以“赏中华诗词,寻文化基因品生活之美”为宗旨,带动全民重温经典、从古人的智慧和情怀中汲取营养、涵养心灵,节目广受好评还因为其颇具新意的比赛规则:每场比赛,106位挑战者全部参赛,分为单人追逐赛和擂主争霸赛两部分单人追逐赛的最终优胜者作为攻擂者与守擂擂主进行比拼,竞争该场比赛的擂主,擂主争霸赛以抢答的形式展开,共九道题,抢到并回答正确者得一分,答错则对方得一分,先得五分者获胜,成为本场擂主,比赛结束已知某场擂主争霸赛中,攻擂者与守擂擂主都参与每一次抢题且两人抢到每道题的概率都是12,攻擂者与守擂擂主正确回答每道题的概率分别为35,45,且两人各道题是否回答正确均相互独立.（1）比赛开始,求攻擂者率先得一分的概率;（2）比赛进行中,攻擂者暂时以3:2领先,设两人共继续抢答了X 道题比赛结束,求随机变量X 的分布列和数学期望. 【答案】（1）25（2）答案见解析【解析】（1）由题意可知:每道题的抢答中,记攻擂者得一分为事件M ,M 发生有两种可能:抢到题且答对,对方抢到题且答错,即可求得攻擂者率先得一分的概率; （2）由（1）知,在每道题的抢答中攻擂者与守擂擂主得一分的概率分别为25,35.根据比赛规则,X 的所有可能取值分别为234，，,求出()2P X =,()3P X =和()4P X =,即可求得随机变量X 的分布列和数学期望. 【详解】（1）每道题的抢答中,记攻擂者得一分为事件M .M 发生有两种可能:抢到题且答对,对方抢到题且答错,∴ ()1311225255P M =⨯+⨯= ∴ 比赛开始,求攻擂者率先得一分的概率为:25. （2）由（1）知,在每道题的抢答中攻擂者与守擂擂主得一分的概率分别为25,35根据比赛规则,X 的所有可能取值分别为234，，,则()2245225P X ⎛⎫==⎪⎝⎭= ()3212332515552531C P X ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= ()451541251251425P X ==--=X 的分布列为:∴ ()4515440923425125125125E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了概率的求法和离散型随机变量分布列及其数学期望,在列分布列时,要弄清随机变量所满足的分布列类型,结合相应公式求出事件的概率,进而得出概率分布列以及数学期望,考查计算能力.20．已知椭圆C :()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,上顶点为M ,离心率为2,且1MF F V . （1）求椭圆C 的方程;（2）过点(P 的直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点,且点A ,B 位于x 轴的同侧,设直线l 与x 轴交于点Q ,12PQ QA BQ λλ==u u u r u u u r u u u r,若12λλ+=-求直线l 的方程.【答案】（1）2214x y +=（2）4y x =±【解析】（1可得c a =12MF F △可得12122MF F S c b =⋅⋅=V ,根据椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>,可得222a b c =+,即可求得椭圆C 的方程;（2）设直线l:(x t y =,联立椭圆C 方程和直线l 方程,通过韦达定理即可求得直线l 的方程. 【详解】（1）Q离心率为2,可得2c a =┄①又Q 12MF F △,可得12122MF F S c b =⋅⋅=V ┄② 根据椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>,可得222a b c =+┄③联立①②③解得:24a =,21b =，∴ 椭圆方程为2214x y += （2）设直线l:(x t y =，()11,A x y ，()22,B x y ，由(2214x t y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩ ,消掉x 得:()22224240t y y t +-+-=，根据韦达定理:21224y y t +=+,21222404t y y t -=>+,22t >，()()422844240t t t ∆=-+->，24t <，Q 12PQ QA BQ λλ==u u u r u u u r u u u r，∴1122y y λλ==-，故)12121212y y y y y y λλ-+=-+==-∴()222121212y y y y -=，即()222121212412y y y y y y +-=，∴()()()22422222224881612444t tt t tt ---=⋅+++，即4231180t t -+=，解得21t =（舍）或283t =， ∴ 直线l:4y x =±.【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系,所使用方法为韦达定理法:因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定理解决. 21．已知函数()()()()322112ln 22ln 2ln 62x ax a x x a x a a b x a x f =+-++++--，0a >,b R ∈.（1）若1a b ==,求函数()f x 的最小值; （2）当0a >时,()0f x ≥恒成立,求b 的取值范围. 【答案】（1）()min 0f x =（2）(b ∈-∞ 【解析】（1）将1a b ==代入()f x 可得, ()()()3211221ln 162x x x f x x x =--+++,求其导数()()212ln 12'x x x f x =-++,且()2101''f x x x =-+>+,即可求得函数()f x 的最小值;（2）因为()()212l 'n 2ln 22x ax a x a bx f x =+-++-,求()'f x 和()''f x ,通过讨论b ≤b >:()f x 最小值,即可求得b 的取值范围.【详解】（1）Q ()()()()322112ln 22ln 2ln 62x ax a x x a x a a b x a x f =+-++++--当1a b ==时可得:()()()3211221ln 162x x x f x x x =--+++，()1,x ∈-+∞， ∴ ()()212ln 12'x x x f x =-++， ∴()1''21x f x x =-++，Q ()212201''x x f x =++-≥>+， ∴()'f x 在()1,-+∞上单调递增，又()'00f =，∴()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，故:()()min 00f x f ==（2）Q ()()()()322112ln 22ln 2ln 62x ax a x x a x a a b x a x f =+-++++-- ∴()()212l 'n 2ln 22x ax a x a bx f x =+-++-， ∴()22''x a b af x x =++-+，①当b ≤,()2220''x a b b x a f x =++-≥≥+， ∴()f x 在(),a -+∞上单调递增，又()'00f =，∴()f x 在(),0a -上单调递减,在()0,∞+上单调递增，∴()()00f x f ≥=满足条件;②若b >则方程22x a b x a++=+存在两个不相等正根()0101,a a a a <，取0a a =，此时()002''2x a f x b x a =++-+，令()''0f x <,解得001a x a a <+<即100x a a <<-，∴()'f x 在()100,a a -上单调递减,又()'00f =，∴()f x 在()100,a a -上单调递减即当()100,x a a ∈-,()()00f x f <=,不符合条件;综上所述,(b ∈-∞.【点睛】本题主要考查导数的几何意义和导数在函数中的应用,通常需要对函数求导,通过研究函数的单调性和最值等求解,考查了分析能力和计算能力,难度较大22．在平面直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知圆1C 的极坐标方程为1ρ=,圆2C 的直角坐标方程为()2211x y -+=.（1）求1C 与2C 在第一象限的交点的极坐标;（2）若点A ,B 分别为圆1C ,2C 上位于第一条限的点,且3AOB π∠=,求AB 的取值范围.【答案】（1）1,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）AB ∈ 【解析】（1）根据极坐标与直角坐标互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,由圆2C :2220x y x +-=,可得极坐标方程为2cos ρθ=,即可求得1C 与2C 在第一象限的交点的极坐标; （2）设点B 的极坐标为()2cos ,θθ,在AOB V 中,由余弦定理求得AB ,结合A 、B 都要在第一象限,即可求得AB 的取值范围.【详解】（1）圆2C :2220x y x +-=,其极坐标方程为2cos ρθ=,联立1C :1ρ=得1cos 2θ=,3πθ=±, ∴ 所求点的极坐标为1,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）设点B 的极坐标为()2cos ,θθ在AOB V 中,由余弦定理得:222214cos 212cos cos4cos 2cos 13AB πθθθθ=+-⋅⋅⋅=-+,又Q A 、B 都要在第一象限, ∴0,6πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,cos 2θ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭, ∴AB ∈. 【点睛】本题主要考查直角坐标方程和极坐标方程的互化,解题关键是掌握极坐标与直角坐标互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,意在考查学生的转化能力,计算能力,难度中等. 23．已知函数()31f x x x =-+-.（1）若()f x x m ≥+对任意x ∈R 恒成立,求实数m 的取值范围；（2）记函数()f x 的最小值为s ,若,,0a b c >,且a b c s ++=,证明:48ab bc ac abc ++≥.【答案】（1）(],1m ∈-∞-（2）证明见解析【解析】（1）设()()31g x f x x x x x =-=-+--,画出其函数图像,当()g x m ≥恒成立时,结合函数图像,即可求得实数m 的取值范围;（2）()()()31312f x x x x x =-+-≥---=,当且仅当13x ≤≤时等号成立,得2s =,故2a b c ++=,原不等式等价于1148a b c++≥,由柯西不等式即可求得答案. 【详解】（1）设()()31g x f x x x x x =-=-+--Q ()g x m ≥恒成立∴ ()4,32,13,43,1x x g x x x x x -≥⎧⎪=-+<<⎨⎪-≤⎩其图像如图所示:故()()min 31g x g ==-，∴ (],1m ∈-∞-（2）()()()31312f x x x x x =-+-≥---=，当且仅当13x ≤≤时等号成立，∴2s =，即2a b c ++=，原不等式等价于1148a b c++≥,由柯西不等式得: ()211416a b c a b c a b c a b c ⎛⎫++++≥ ⎪⎝⎭=， ∴1148a b c++≥，当且仅当12a =,12b =,1c =时等号成立， ∴ 48ab bc ac abc ++≥成立.【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的求解,以及含绝对值不等式的恒成立问题,其中解答中合理分类讨论去掉绝对值,转化为等价不等式求解是解答的关键,着重考查了分类讨论思想,以及推理与运算能力,属于中档试题,。

重庆南开中学2020学年度高2020级高三数学理科半期考试卷

重庆南开中学2020学年度高2020级半期考试数学试题（理科）一、选择题（每小题5分，共50分） 1．已知函数xx f -=21)(，其图象是下图中的（）2．不等式0)3)(2)(1(2>+-+x x x 的解集是（）A ．}21|{<<-x xB ．φC ．RD ．}12|{-<>x x x 或3．若1||||,>+∈b a R b a ，则使成立的充分不必要条件是（） A ．1||≥+b a B ．21||21||≥≥b a 且C ．1||≥aD ．b<－14．若△ABC 的内角A 满足sinA+cosA>0, tanA －sinA<0，则角A 的取值范围是（）A ．)4,0(π B ．)1,0[ C ．)43,2(ππ D ．),4(ππ5．已知b a ,是非零向量且满足b a b a b a b a 与，则⊥-⊥-)2(,)2(的夹角是（）A ．6πB ．3π C ．32π D ．65π 6．数列1，n ++++++ΛΛ211,,3211,211的前n 项和为（）A ．122+n nB ．12+n nC ．12++n nD ．12+n n7．在直线y=－2上有一点P ，它到点A （－3，1）和点B （5，－1）的距离之和最小，则点P 的坐标是（）A ．（3，－2）B ．（1，－2）C ．（419，－2） D ．（9，－2） 8．实数x ，y 满足不等式1102200+-=⎪⎩⎪⎨⎧≥--≥-≥x y y x y x y ω，则的取值范围是（）A ．[－1，31] B ．]31,21[-C ．),21[+∞-D ．)1,21[-9．对于0<a<1，给出下列四个不等式：（1）)11(log )1(log aa a a +<+ （2）a a aa a a a a a aaa 111111)4(;)3();11(log )1(log ++++><+>+其中成立的是（）A ．（1）和（3）B ．（1）和（4）C ．（2）和（3）D ．（2）和（4）10．已知xy y x N y x ，则，且19939319*,≤+∈的最大值是（）A ．559B ．560C ．561D ．562二、填空题（每题4分，共24分）11．函数)23(log 221+-=x x y 的递增区间为12．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项是1，公比为3的等比数列，则a n = 13．函数]2,0[|,sin |3sin )(π∈+=x x x x f 的图象与直线y=m 有且仅有两个不同的交点，则m 的取值范围是14．已知圆的方程为1)1(22=++y x ，如果直线0=++a y x 与该圆无公共点，那么实数a 的取值范围是15．方程6log 71)sin(21<<--=x x 在π的条件下解有个.16．点O 在△ABC 内部，且满足22=++，则△ABC 面积与凹四边形ABOC的面积之比为三、解答题（共76分） 17．（13分）解关于x 的不等式：)0(,113)1(><--+a x x a18．（13分）圆822=+y x 内一点P （－1，2），过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A ，B 两点.（1）求当43πα=时，弦AB 的长；（2）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程.19．（13分）已知△ABC 的面积为3，且满足60≤⋅≤AC AB ，设AC AB 和的夹角θ. （1）求θ的取值范围；（2）求函数θθπθ2cos 3)4(sin 2)(2-+=f 的最大值与最小值.20．（13分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，na n+1=S n +n （n+1）（n *N ∈）. （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设n nn s b 2=，如果对一切正整数n 都有t b n ≤，求t 的最小值.21．（12分）在沙坪坝交通拥挤地段，为了确保交通安全，规定机动车相互之间的距离m （米）与车速v （千米/小时）须遵守的关系是225001kv m ≥（其中k （米）是车身长，常数），同时规定.2k m ≥ （1）当m=2k时，求机动车的速度变化范围；（2）设机动车每小时流量2250011000kv m m k v P =+=，此时，应规定怎样的车速，每小时的机动车流量P 最大？22．（12分）数列{a n }，a 1=1，*)(3221N n n n a a n n ∈+-=+，（1）求a 2，a 3的值；（2）是否存在常数μλ,，使得数列}{2n n a n μλ++是等比数列，若存在，求出μλ,的值；若不存在，说明理由；（3）设n n n n n b b b b S n a b ++++=-+=-Λ3211,21，证明：当.35)12)(1(62<<++≥n S n n n n 时，参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）1—5 BADCB 6—10 BADDC 选解：10．22)21993()29319(9319*,≤+≤⋅⇒∈y x y x N y x 561*,561]93195.996[93195.99622≤⇒∈=⨯⨯≤∴xy N y x xy ，又，而而561=3×11×17=33×17=51×11，20,100≤≤y x⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==∴115111511733y x y x y x ，经检验或满足题意，故5611151=⨯=xy 二、填空题（每小题4分，共16分） 11．（2，4） 12．)1,(-∞ 13．)13(21-n14．),21()21,(+∞+--∞Y 15．64 16．5:4三、解答题（共74分） 17．解：0)1)(2(012113)1(<--⇔<--⇔<--+x ax x ax x x a①当，时，1220><<a a 不等式的解为)2,1(ax ∈ ②当a=2时，a 2=1，不等式的解集为φ； ③当a>2时，a 2<1，不等式的解为)1,2(ax ∈时综上，不等式的解为：①0<a<2时，)2,1(a x ∈；②a=2时，φ∈x ；③a>2时，)1,2(ax ∈.18．解：（1）当43πα=时，直线AB 方程为：01=-+y x ，圆心到直线AB 的距离为222|100|=-+，∴弦AB 的长为：30)22(822=-（2）当弦AB 被点P 平分时，PO ⊥AB ，直线l 的斜率为21，其方程为052=+-y x 19．解：（1）设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 则由，，可得，1cot 06cos 03sin 21≤≤≤≤=θθθbc bc ∴]2,4[ππθ∈ （2）θθπθθπθ2cos 3)]22cos(1[2cos 3)4(sin 2)(2-+-=-+=f .1)32sin(212cos 32sin 2cos 3)2sin 1(+-=+-=-+=πθθθθθ31)32sin(22],32,6[32]2,4[≤+-≤∴∈-∈πθπππθππθ，Θ 即当.2)(4;3)(125min max ====θπθθπθf f 时，当时，20．解：（1）由 )1()1( )1(11n n S a n n n s na n n n n -+=-⇒++=-+两式作差得：2n;2,2 2111=∴=+=+=++n n n n n a a a a n na na ，又即（2）由（1）易得n n n n n n n S b n n S 2)1(2)1(+==⇒+=， ∴112)2)(1(-+-+=-n n n n n b b ∴b 1b 4>……，∴b n 最大值23,32即b b ，对一切正整数n 都有，t b n ≤即t 大于或等于b n 的最大值，∴t 的最小值是23. 21．解（1）2252500122≤∴≥=Θv kv k m ，故当22502≤<=v km 时，（千米/小时）（2）当231000225k vP v =≤时，P 是v 的一次函数，v=225，P 最大为k3250000，当k v v k kvk v P v 25000|25001|1000250010002252≤+=+=>时，，当且仅当v=50时，P 最大为k25000， kk 325000025000>Θ∴当v=50（千米/小时）时，每小时机动车流量P 最大. 22．解：（1）10,432==a a（2）设)(2)1()1(3222121n n a n n a n n a a n n n n μλμλ++=+++++-=++可化为，即 μλλμλ---++=+n n a a n n )2(221故 ⎩⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=--=--=110321μλμλλμλ解得∴)(2)1()1(3222121n n a n n a n n a a n n n n +-=+++-+-=++可化为又1,1 01121=-=≠+-μλ故存在a 使得数列 }{2n n a n μλ++是等比数列（3）证明：由（1）得12122)11(-⋅+-=+-n n a n n a ∴n n a n n -+=-212故21121n n a b n n n =-+=-∵122122144441222+--=-<==n n n n n b n ∴)122122()7252()5232(12321+--++-+-+<++++=≥n n L b L b b b S n n n 时，35122321<+-+=n 现证)2()12)(1(6≥++>n n n nS n当n=2时，5445545312)12)(1(64541121>=⨯=++=+=+=，，而n n n b b S n ，故n=2时不等式成立，当111)1(1132+-=+>=≥n n n n n b n n 时，由得 1261 6121111 )111()4131()3121()211(321+>>++=+-=+-+Λ+-+-+->+Λ+++=n n n n n n n b b b b S n n 得，且由∵)12)(1(61++>+>n n n n n S n。

2020届重庆市南开中学高三下学期3月月考数学(理)试题解析

绝密★启用前2020届重庆市南开中学高三下学期3月月考数学（理）试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题 1．如果复数12aii-+（a R ∈，i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则a 的值为（） A ．1 B ．-1C ．3D ．-3D由复数的除法运算化简得到实部和虚部，令其相等即可得解. 解：()()()()()1221212225ai i a a iai i i i ----+-==++-，由题意知：21255a a-+=-，解得3a =-. 故选D. 点评：本题主要考查了复数的除法运算及实部和虚部的定义，属于基础题. 2．若{0,1,2}A =，{|2,}aB x x a A ==∈，则A B =U （） A ．{0,1,2} B ．{0,1,2,3}C ．{0,1,2,4}D ．{1,2,4}C先求出集合B ，再求并集即可. 解：由{}0,1,2A =，得{}{}|2,1,2,4a B x x a A ==∈=.{}0,1,2,4A B ⋃=.故选C. 点评：本题主要考查了集合的描述法及并集的运算，属于基础题.3．向量(2,)a t =v，(1,3)b =-v，若a v ，b v的夹角为钝角，则t 的范围是（） A ．23t C ．23t <且6t ≠- D ．6t <-若a v ，b v 的夹角为钝角，则0a b v n v <且不反向共线，进而利用坐标运算即可得解.解：若a v，b v的夹角为钝角，则0a b v n v<且不反向共线，230a b t =-+<vv n ，得23t <.向量()2,a t =v ，()1,3b =-v 共线时，23t ⨯=-，得6t =-.此时2a b v v =-.所以23t <且6t ≠-. 故选C. 点评：本题主要考查了利用数量积研究向量的夹角，当为钝角时，数量积为0，容易忽视反向共线时，属于易错题.4．《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（）（参考数据：2 1.414,3 1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米B由题分析出“弓”所在弧长，结合弧长公式得出这段弧所对圆心角，双手之间距离即是这段弧所对弦长.由题：“弓”所在弧长54488 lππππ=++=，其所对圆心角58524ππα==，两手之间距离2 1.25 1.768d=⨯≈.故选：B点评：此题考查扇形的圆心角和半径与弧长关系的基本计算，关键在于读懂题目，提取有效信息.5．有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有A．60种B．70种C．75种D．150种C试题分析：因,故应选C．【考点】排列数组合数公式及运用．6．已知某个几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的表面积是( )A．162+B．122226+C．1822+D．1622+B如图所示，还原几何体，证明CD CP⊥，计算表面积得到答案.解：还原几何体，如图所示：连接AC简单计算得到22AC CD ==4=AD ，故AC CD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，故PA CD ⊥.故CD CP ⊥，23PC =表面积为：()111112422242222222322222S =⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯122226=+故选：B 点评：本题考查了三视图，表面积的计算，还原几何体是解题的关键. 7．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的函数是（）A ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B首先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为2412T ππ==,故排除C,将3x π=,代入A,B,D 求得函数值,而函数sin()y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值,即可求出结果. 解：先选项C 中函数2sin 23x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为2412T ππ==,故排除C,将3x π=,代入A,B,D 求得函数值为0,3,而函数sin()y A x B ωϕ=++在对称轴处取最值. 故选:B . 点评：8．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）A ．20i <，1S S i=-，2i i = B ．20i ≤，1S S i=-，2i i = C ．20i <，2SS =，1i i =+ D ．20i ≤，2SS =，1i i =+ D先由第一天剩余的情况确定循环体，再由结束条件确定循环条件即可. 解：根据题意可知，第一天12S =，所以满足2S S =，不满足1S S i =-，故排除AB ，由框图可知，计算第二十天的剩余时，有2SS =，且21i =，所以循环条件应该是20i ≤.故选D. 点评：本题考查了程序框图的实际应用问题，把握好循环体与循环条件是解决此题的关键，属于中档题.9．已知α是第二象限角，且3sin()5πα+=-，则tan2α的值为（） A ．45B ．237-C ．247-D ．249-C根据诱导公式得sin α，进而由同角三角函数的关系及角所在象限得tan α，再利用正切的二倍角公式可得解.由()3sin 5πα+=-，得3sin 5α=. 因为α是第二象限角，所以4cos 5α=-. 34sin tan cos ααα==-. 232tan 242tan291tan 7116ααα-===---. 故选C. 点评：本题主要考查了同角三角函数的关系及正切的二倍角公式，属于基础题.10．己知函数()ln 1f x x x kx =-+在区间1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有一个零点，则实数k 的取值范围是（）A ．{|1k k =或1}k e >-B ．1{|11k k e≤≤+或1}k e >- C ．1{|11k k e e +<≤-或1}k e >- D ．1{|11k k e e+<≤-或1}k = D构造函数()1ln g x x x=+，利用导数得出其单调性，将零点问题，转化为函数的交点问题，即可得出答案. 解：解：令ln 10x x kx -+=，则1ln k x x =+；.令()1ln g x x x=+；()22111x g x x x x-'=-=； ∴当1,1x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0g x ¢<，()g x 单调递减；当[]1,x e ∈时，()0g x ¢>，()g x 单调递增；∴当1x =时，有()min 1g x =，又∵11g e e ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()11g e e =+，∴()1g e g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭∵()f x 在1,e e⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点，∴()g x k =只有一个解；∴1k =或111k e e+<≤-.。

重庆市南开中学2020届高三数学9月月考(理)

南开中学高2020级高三月考试卷（第一次）数学（理科）本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填涂在机读卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把机读卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3．考试结束，监考人员将机读卡和答题卷一并收回。

一、选择题：（本大题10个小题，每小题5分，共50分）各题答案必须答在机读卡上。

1．已知全集{12345}U =，，，，，集合{1,3}A =，{3,4,5}B =，则集合=)(B A C U I （） A ．{3} B ．{4,5} C ．{3,4,5} D ．{1245}，，， 2．已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．要得到函数)63(+=x f y 的图象，只需要把函数)3(x f y =的图象（） A ．向左平移2个单位 B ．向右平移2个单位 C ．向左平移6个单位 D ．向右平移6个单位4．下列函数中，有反函数的是（）A ．211y x =+ B ．212-+=x y C ．sin y x = D ．21(0)2(0)x x y x x ⎧-≥=⎨<⎩5．已知映射B A f →：,其中R B A ==,对应法则，：222+-=→x x y x f 若对实数B k ∈,在集合A 中不存在原象,则k 的取值范围是（）A ．1≤kB ．1<kC ．1≥kD ．1>k6．函数(1)||xxa y a x =>的图像大致形状是（）AB CD7．定义域为R 的函数()f x 对任意x 都有()(4)f x f x =-，若当2≥x 时，)(x f 单调递增，则当24a <<时，有（）A ．2(2)(2)(log )a f f f a <<B ．2(2)(2)(log )af f f a << C ．2(2)(log )(2)a f f a f << D ．2(log )(2)(2)af a f f <<8．已知命题P ：函数)1(log +=x y a 在),0(+∞内单调递减；Q ：曲线1)32(2+-+=x a x y 与x 轴没有交点．如果“P 或Q ”是真命题，“P 且Q ”是假命题，则实数a 的取值范围是（） A ．)25,1(]21,0(Y B ．),25(]21,0(+∞YC ．)25,1()1,21[YD ．),25()1,21[+∞Y9．已知周期函数()y f x =的最小正周期为T ，且函数)),0()((T x x f y ∈=的反函数为1()()y f x x D -=∈，那么函数))0,()((T x x f y -∈=的反函数是（）A ．1(),y f x T x D -=+∈ B ．1(),y f x T x D -=+∈ C ．1(),y fx T x D -=-∈ D ．1(),y f x T x D -=-∈10．若关于x 的不等式22<-+a x x 至少有一个正数解，则实数a 的取值范围是（） A ．)2,49(- B ．)49,49(- C ．)49,2(- D ．)2,2(-第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡Ⅱ上（只填结果，不要过程）。

2020年重庆市南开中学高三下学期3月月考理科数学试题及答案

（1）每次只能移动一个金属片；
（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.
将个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为，则 __________．
【答案】2n-1;
【解析】【详解】
设h（n）是把n个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数
n=1时，h（1）=1；
8．我国古代名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完.现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即h（2）=3=22-1；
n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小柱从3柱→2柱，[用h（2）种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用h（2）种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]，
h（3）=h（2）×h（2）+1=3×2+1=7=23-1，
h（4）=h（3）×h（3）+1=7×2+1=15=24-1，
∵ 在上只有一个零点，∴ 只有一个解；∴ 或 .
【点睛】
本题主要考查了已知函数的零点个数求参数范围，属于中档题.
11．在中，，且所在平面内存在一点使得，则面积的最大值为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以的中点为坐标原点，建立直角坐标系，写出三点的坐标，利用两点间距离公式，以及圆与圆的位置关系，解不等式，得出的范围，再由三角形的面积公式以及二次函数的性质，即可得出面积的最大值.

重庆市南开中学高2020级高三下学期期中考试数学(理)试题及答案

重庆南开中学高2020级高三下学期期中考试数学（理科）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知()(2)a i i +-为纯虚数，则实数a 的值是（） A ．1- B ．12-C ．12D ．1 2．已知集合{1,2,3}A =，{|,}B a b a A b A =+∈∈，则集合B 的子集个数为（） A ．8B ．16C ．32D ．643．已知曲线2()ln f x a x x =+在点(1,1)处的切线与直线0x y +=平行，则实数a 的值为（） A ．3-B ．1C ．2D ．34．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若612S =，25a =，则5a =（） A ．3- B ．1- C ．1D ．35．已知0.31.2a =，0,3log 1.2b =， 1.2log 3c =，则（） A ．a b c <的焦点为F ，,A B 是抛物线C 上两点，且||||10AF BF +=，O 为坐标原点，若OAB △的重心为F ，则p =（）A ．1B ．2C ．3D ．49．执行如图所示的程序框图，若输入的3ε=，则输出的结果为（）A ．511B ．1022C ．1023D ．204610．我们知道，在n 次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 发生的次数X 服从二项分布(,)B n p ，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A 首次发生时试验进行的次数Y ，显1()(1)k P Y k p p -==-，1,2,3k =，…，我们称Y 服从“几何分布”，经计算得1()E Y p=．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件A 和A 都发生后停止此时所进行的试验次数记为Z ，则11()(1)(1)k k P Z k p p p p --==-+-，2,3k =，…，那么()E Z =（）A ．11(1)p p -- B ．21p C ．11(1)p p +- D ．21(1)p -1l ．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与双曲线C 的两支分别交于,A B 两点，290AF B ∠=︒，||4AB a =，则双曲线C 的离心率为（）A 2B 3C ．2D ．32212．已知,,,A B C D 四点均在半径为R （R 为常数）的球O 的球面上运动，且AB AC =，AB AC ⊥，AD BC ⊥，若四面体ABCD 的体积的最大值为16，则球O 的表面积为（）A ．32πB ．2πC ．94πD ．83π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知,a b r r 均为单位向量，且(3)(2)a b a b +⊥-r r r r ，则向量a r 与b r夹角的余弦值为______．14．已知()*nx n N x ⎛-∈ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中x 的系数为_____．15．正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，122AA =，D 为棱11A B 的中点，则异面直线AD 与1CB 所成角的大小为______．16．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[1,1]x ∈-时1||()2x f x e-=-，则关于函数()f x 有如下四个结论：①()f x 为偶函数；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③方程()1||f x x =-有两个不等实根；④12223f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；其中所有正确结论的编号______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答微博橙子辅导．（一）必考题：共60分． 17．如图，在ABC △中，1sin 3B =，点D 在边AB 上．（1）若sin()1C A -=，求sin A 的值；（2）若90CDA ∠=︒，4BD DA =，求sin ACB ∠的值．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，AB CD P ，且22CD AB ==，22BC =90ABC ∠=︒，M 为BC 的中点．（1）求证：平面PDM ⊥平面PAM ；（2）若二面角P DM A --为30︒，求直线PC 与平面PDM 成角的正弦值．19．新型冠状病毒肺炎19COVID -疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延．在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制．然而，每个国家在疫情发生初期，由于认识不足和措施不到位，感染确诊人数都会出现加速增长．下表是小王同学记录的某国从第一例新型冠状病毒感染确诊之日开始，微博橙子辅导连续⑧天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数．日期代码x 1 2 3 4 5 6 7 8 累计确诊人数y481631517197122为了分析该国累计感染确诊人数的变化趋势，小王同学分别用两种模型：①$2y bx a =+，②$y dx c =+对变量x 和y 的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差$i i i e y y =-），且经过计算得()()()8182117.3iii i i xxy y x x==--≈-∑∑，()()()818211.9iii i i zzy y z z==--≈-∑∑，其中2i i z x =，8118i i z z ==∑．（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由；（2）根据（1）中选定的模型求出相应的回归方程；（3）如果第9天该国仍未釆取有效的防疫措施，试根据（2）中所求的回归方程估计该国第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数．（结果保留为整数）附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()() ()81821ˆi iiiix x y ybx x==--=-∑∑，$a y bx=-$．20．已知函数()3(1)lnf x x a x=-+，2()4g x x ax=-+．（1）若函数()()y f x g x=+在其定义域内单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得函数()()y f x g x=-的图像与x轴相切？若存在，求满足条件的a的个数，请说明理由．21．已知椭圆2222:1(0)x ya ba bΓ+=>>的离心率为22，过椭圆Γ的焦点且垂直于x轴的直线被椭圆Γ2．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设点,A B均在椭圆Γ上，点C在抛物线212y x=上，若ABC△的重心为坐标原点O，且ABC△的面积为364，求点C的坐标．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为sin24πρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭C的极坐标方程为2sin cosρθθ=．（1）写出直线l和曲线C的的直角坐标方程；（2）过动点()()20000,P x y y x<且平行于l的直线交曲线C于,A B两点，若||||2PA PB⋅=，求动点P 到直线l 的最近距离． 23．[选修4—5：不等式选讲]已知函数()|1||1|2|2|f x x x x =++---．（1）若关于x 的不等式()f x a …有解，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()||4f x x b --…对任意x R ∈成立，求实数b 的取值范围．重庆南开中学高2020级高三下学期期中考试数学（理科）答案一、选择题B C A B D C A D B A B C 二、填空题15560 30︒ ①②③ 三、解答题17．解：（1）由sin()1C A -=得2C A π-=，1sin sin()sin 2cos223B A C A A π⎛⎫=+=+== ⎪⎝⎭，由2112sin 3A -=得sin A =；（2）设4DB m =，DA m =，由1sin 3B =得CD =，BC =，AC = ABC △中，sin sin AC ABB ACB=∠，sin ACB ∠=．18．证明：（1）易知：tan tan 1CD BM DMC MAB DMC MAB CM BA ==⇒∠=∠⇒∠=∠， 90DMC AMB DM AM ∴∠+∠=⇒⊥︒①又PA ⊥Q 平面ABCD PA DM ⇒⊥② ∴由①②可得DM ⊥平面PAM ⇒平面PAM ⊥平面PDM ；（2）由（1）知二面角P MD A --的平面角即为30PMA ∠=︒，13PA MA ∴==．取CD 中的N ，连接AN ，易得AN CD ⊥，∴直线PA NA BA 、、两两垂直，以A 为原点，AN AB AP 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,1)P，1,0)D -，C，M，(1,1)CP =--u u ur 2,0)MD =-u u u ur (1,1)MP =-u u u r，设平面PMD 的法向量为(,,)m x y z =u r，则由0m MP m m MD ⎧⋅=⎪⇒=⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u r u u u u r，设直线PC 与平面PMD 所成角为θ，则sin 30||||CP m CP m θ⋅===⋅u u u r u r u u u r u r ，∴直线PC 与平面PMD所成角的正弦值为30． 19解：（1）选择模型①．理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比较接近，模型②的残差相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好；（2）由（1），知y 关于x 的回归方程为$2y bx a =+，令2z x =，则$y bz a =+，由题知 1.9b ≈$，又1(1491625364964)25.58z =+++++++=，1(481631517197122)508y =+++++++=，$ 1.55a y bz ∴=-≈$，y ∴关于x 的回归方程为$21.9 1.55y x =+；（3）估计该国第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为$21.99 1.55155.45155y =⨯+=≈（人）．20．解：（1）1()()32a y f x g x y x a x+'=+⇒=-+-，由()()y f x g x =+单增得0y '≥恒成立，分离参数得2132321111x x x x a x x+-+-≤=++恒成立，令2321()1x x m x x +-=+，(0)x >，则22244()(1)x x m x x ++'=+，()0m x '∴>，()m x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)1m x m >=-，1a ∴≤-；（2）设2()()()3(1)ln 4n x f x g x x a x x ax =-=-+-+-，则1()32a n x x a x+'=--+，设函数()y n x =的图像与x 轴相切于0x x =处，则()()2000000003(1)ln 401320n x x a x x ax a n x x a x ⎧=-+-+-=⎪+⎨'=--+=⎪⎩①②由②得：[]000002(1)(1)13201x a x a x a x x x -+-+--+=-=⇒=或012a x +=，当01x =时，由①得：2a =③；当012a x +=时，由①得：2000022ln 40x x x x ---=，令2()22ln 4h x x x x x =+--，则：()2(ln )h x x x '=-，2(1)()x h x x-''=， ()h x '∴在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，min ()(1)20h x h '==>， ()h x ∴在(0,)+∞单调递增，又(1)50h =-<Q ，()()222640h e e e =-->， ()0h x ∴=只有一解0x ，且()201,x e ∈，()20211,21a x e =-∈-④，由③④可知：满足条件的实数a 有两个：12a =，()221,21a e ∈-．21解：（1）由题意易知：2212a a b b a=⎧=⎪⎪⇒⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=⎪⎩椭圆22:12x y Γ+=；（2）()22222122202:x y m y mty t AB x my t⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩设，()22820m t ∆=-+>①设()11,A x y ，()22,B x y ，则由题知()12222C mty y y m ∴=-+=+，()()12122422C tx x x m y y t m -=-+=-++=⎡⎤⎣⎦+ 由C 点在抛物线212y x =上得：2222214222221mt t m m m t -⎛⎫=⋅⇒=- ⎪+++⎝⎭②12t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭ ()()()12211221123333222ABC ABO S S x y x y my t y my t y t y y ==-=+-+=+△△==⇒=③ 将②代入③整理得：2[(21)]4(21)301t t t t t +-++=⇒=-或32-，相应的22m =或1，所以1,2C ⎛⎫±⎪⎝⎭或(2,1)C ±． 22．解：（1）直线:2l y x =+，曲线2:C y x =；（2）过P 平行于l 的直线的参数方程为002222x x t y y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）联立曲线2:C y x =得：22000122022t y t y x ⎛⎫+-+-= ⎪⎭，001220(*)2x y ∆=-+>，所以()22212000000||||2221PA PB t t y x x y y x ⋅==-=-=⇒=-，∴点P 的到直线l 的距离：2000032112822y y x y d -+-+==≥，当005412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（满足(*)式）时取“=”∴点P 的到直线l 的最近距离为1128．23．解，（1）4,244,12()22,114,1x x x f x x x x ≥⎧⎪-≤<⎪=⎨--≤<⎪⎪-<-⎩min ()4f x ∴=-，即4a ≥-（2）由（1）可得()y f x =的图象如下要使()||4f x x b ≤--恒成立，当函数||4y x b =--的一段经过点(2,4)时满足要求，此时6b =-，结合图象可知，当6b ≤-时满足条件．。

重庆市南开中学2020届高三数学第三次教学质量检测考试试题理(含解析)

重庆南开中学2020届高三第三次教学质量检测考试数学（理科）2020.4第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复数的除法的运算法则化简复数为的形式即可．【详解】复数．故选：D【点睛】本题主要考查复数的除法运算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.2.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合A和B,再求得解.【详解】由题得A=[-4,1]，B=(0,1 ],所以.故选：C【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.等差数列的前7项和为28，，则（）A. 6B. 7C. 9D. 14【答案】A【解析】【分析】先根据已知得到关于的方程组，解方程组得的值，再求的值.【详解】由题得.故选：A【点睛】本题主要考查等差数列的通项的基本量的计算，考查等差数列的前n项和的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.若双曲线的一条渐近线方程为，则（）A. B. 1 C. 2 D. -8【答案】A【解析】【分析】先根据已知求出a,b,再由题得，解方程即得m的值.【详解】由题得，所以.故选：A【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的渐近线方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. 42B. 45C. 46D. 48【答案】C【解析】【分析】先通过三视图找到几何体原图，再求几何体的体积.【详解】由三视图可知原几何体为如图所示的多面体ABEHM-CDGF,所以该几何体的体积为.故选：C【点睛】本题主要考查三视图找几何体原图，考查几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.重庆奉节县柑桔栽培始于汉代，历史悠久.奉节脐橙果皮中厚、脆而易剥，酸甜适度，汁多爽口，余味清香，荣获农业部优质水果、中国国际农业博览会金奖等荣誉.据统计，奉节脐橙的果实横径（单位：）服从正态分布，则果实横径在的概率为（）附：若，则；；A. 0.6826B. 0.8413C. 0.8185D. 0.9544 【答案】C【解析】【分析】先计算出和，再求果实横径在的概率.【详解】由题得=5，由题得，所以，由题得，所以，所以P(85＜X＜90=，所以果实横径在的概率为+0.1359=0.8185.故选：C【点睛】本题主要考查正态分布，考查指定区间概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.7.设，满足约束条件，则的最小值是（）A. 4B. 5C. 8D. 9【答案】A【解析】【分析】先作出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析得解.【详解】由题得不等式组对应的可行域为如图所示的△ABC,由题得y=-2x+z,当直线经过点A时，直线的纵截距最小，z最小.联立得A(1,2),所以的最小值是2×1+2=4.故选：A【点睛】本题主要考查利用线性规划求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.8.如图，给出的是求的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知中程序的功能是计算的值，根据已知中的程序框图，我们易分析出进行循环体的条件，进而得到答案．【详解】模拟程序的运行，可知程序的功能是计算的值，即，时，进入循环，当时，退出循环，则判断框内填入的条件是．故选：．【点睛】本题考查的知识点是循环结构的程序框图的应用，解答本题的关键是根据程序的功能判断出最后一次进入循环的条件，属于基础题．9.记，则（）A. 81B. 365C. 481D. 728 【答案】B【解析】【分析】令x=0得求出的值，令x=-2得的值，再求的值.【详解】令x=0得1=，令x=-2得，所以.故选：B【点睛】本题主要考查二项式定理展开式的系数和求值问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.10.已知函数的最小正周期为，且是函数图象的一条对称轴，则的最大值为（）A. 1B.C.D. 2【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简，根据最小正周期为，可得的值，一条对称轴是建立关系即可求解．【详解】由题得函数，其中．最小正周期为，即．那么．一条对称轴是，可得：则．即．．的最大值为．故选：．【点睛】本题主要考查三角恒等变换，考查三角函数的图像和性质，考查三角函数的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.已知函数，若不等式对任意上恒成立，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对x分三种情况讨论，当x∈（0,1时，求得；当x∈时，求得；当x∈时，求得a≥3，综合即得解.【详解】由题得，取特值代入上面的不等式得a≥3，所以，（1）在x∈（0,1上，0＜x≤1＜，恒有a≤3+2x-lnx成立，记g(x)=2x-lnx+3(0＜x≤1）所以，所以所以.(2)在x∈上，，恒有，所以x∈上恒成立，又在x∈上，的最小值为5，所以.(3)在x∈时，x≥，恒有.综上.故选:C【点睛】本题主要考查分段函数和不等式的恒成立问题，考查绝对值不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.如图，抛物线：，圆：，过焦点的直线从上至下依次交，于点，，，.若，为坐标原点，则（）A. -2B. 1C. 4D.【答案】B【解析】【分析】由题可设A，其中a>0,d＜0.根据得，再利用平面向量的数量积运算化简得解.【详解】由题可设A，其中a>0,d＜0.又焦点F(1,0)，所以|FD|=1+，所以|AB|=|FA|-|OB|=，由题得.所以，所以1.故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质和定义，考查平面向量的数量积的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填写在答题卡相应的位置.13.已知向量，且，则实数__________．【答案】-2【解析】14.已知函数，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】【分析】先求出函数的奇偶性和单调性，再利用函数的奇偶性和单调性解不等式得解.【详解】由题得函数的定义域为R,由题得=-f(x),所以函数f（x）是奇函数，因为，所以函数f(x)是定义域上的增函数，所以=f(x-4),所以2x+1＜x-4,所以x＜-5.故答案：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的判断和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.在正三棱柱中，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】【分析】如图，连接,则所以异面直线与所成的角就是直线和所成锐角或直角.再解三角形利用余弦定理求出异面直线与所成角的余弦值.【详解】如图，连接,则所以异面直线与所成的角就是直线和所成锐角或直角.由题得,在△中，由余弦定理得.所以异面直线与所成角的余弦值为.故答案为：【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的计算，考查空间几何体的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.16.在正项递增等比数列中，，记，，则使得成立的最大正整数为__________．【答案】9【解析】【分析】先化简得，再根据得到，再解不等式得解.【详解】由题得，因为数列是正项递增等比数,所以，所以.因为，所以，所以.所以使得成立的最大正整数为9.故答案为：9【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和，考查等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.在中，角，，所对的边分别是，，，且.（1）求角；（2）若，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理化简即得；（2）由正弦定理得，再结合余弦定理可得.【详解】解：（1）由正弦定理得：，又，，得.（2）由正弦定理得：，又由余弦定理：，代入，可得.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.随着电子商务的兴起，网上销售为人们带来了诸多便利.商务部预计，到2020年，网络销售占比将达到.网购的发展同时促进了快递业的发展，现有甲、乙两个快递公司，每位打包工平均每天打包数量在范围内.为扩展业务，现招聘打包工.两公司提供的工资方案如下：甲公司打包工每天基础工资64元，且每天每打包一件快递另赚1元；乙公司打包工无基础工资，如果每天打包量不超过240件，则每打包一件快递可赚1.2元；如果当天打包量超过240件，则超出的部分每件赚1.8元.下图为随机抽取的打包工每天需要打包数量的频率分布直方图，以打包量的频率作为各打包量发生的概率.（同一组中的数据用该组区间的中间值作代表）.（1）（i）以每天打包量为自变量，写出乙公司打包工的收入函数；（ii）若打包工小李是乙公司员工，求小李一天收入不低于324元的概率；（2）某打包工在甲、乙两个快递公司中选择一个公司工作，如果仅从日平均收入的角度考虑，请利用所学的统计学知识为该打包工作出选择，并说明理由.【答案】（1）（i）；（ii）0.4；（2）建议该打包工去甲快递公司工作.【解析】【分析】（1）（i）乙公司打包工的收入函数；（ii）由，解得，再求小李一天收入不低于324元的概率；（2）设打包工在甲、乙两个快递公司工作的日平均收入为，，先列出打包工在甲、乙两个快递公司工作的收入情况表，再求，，比较它们的大小即得解.【详解】解：（1）（i）当时，y=1.2x当时，y=12×240+(x-240)×1.8=1.8x-144所以，（ii）由，解得，∴小李一天收入不低于324元的概率为.（2）设打包工在甲、乙两个快递公司工作的日平均收入为，，用频率估计概率，则打包工在甲、乙两个快递公司工作的收入情况为故，.因为，故从日平均收入的角度考虑，建议该打包工去甲快递公司工作.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，考查平均值的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.已知，是椭圆：上两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为坐标原点，为椭圆上一动点，点，线段的垂直平分线交轴于点，求的最小值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）代点A,B的坐标到椭圆的方程，得到关于a,b的方程组，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）设坐标为，求出，再利用基本不等式求得的最小值为.【详解】解：（1）代入，两点：，，，所以椭圆的标准方程为：.（2）设坐标为，则①线段的中点，，所以：.令，并结合①式得，，当且仅当，时取等，所以的最小值为.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中的最值问题和基本不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.如图，在四棱锥中，底面为菱形，顶点在底面的射影恰好是菱形对角线的交点，且，，，，其中.（1）当时，求证：；（2）当与平面所成角的正弦值为时，求二面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先证明面，再证明；（2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，由与面所成角的正弦值为得到.再利用向量法求二面角的余弦值.【详解】解：（1）∵顶点在底面的射影是，∴面，由面，∴.∵，，，连，∴，，，，∴，则，∴.由，，∴面，由面，∴，∵菱形，，∴.（2）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，∵，则，∴.∵，则，∴，设面的法向量为，由，解得.由与面所成角的正弦值为，即有，解得.设面的法向量为，由，解得.∴二面角的余弦值.【点睛】本题主要考查空间几何元素的垂直关系，考查空间线面角和二面角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知函数，其中.（1）若函数仅在处取得极值，求实数的取值范围；（2）若函数有三个极值点，，，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】(1)，因为仅在处取得极值，则.再对a 分类讨论，利用数形结合分析得到a的取值范围；(2)由题得，由题意则有三个根，则有两个零点，有一个零点，，再利用分析法证明.【详解】解：（1）由，得，由仅在处取得极值，则，即.令，则，当单调递减，单调递增，则，∴当时，，此时仅一个零点，则仅一个为极值点，当时，与在同一处取得零点，此时，，，，∴仅一个零点，则仅一个为极值点，所以a=e.当a＞e时，显然与已知不相符合.∴.（2）由，则.由题意则有三个根，则有两个零点，有一个零点，，令，则，∴当时取极值，时单调递增，∴，则时有两零点，，且，若证：，即证：，由，，则，即证：，由在上单调递增，即证：，又，则证，令，，∴.∴恒成立，则为增函数，∴当时，，∴得证.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值问题，考查分析法证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线的极坐标方程为：.（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线相交于，两点，当到直线的距离最大时，求.【答案】（1）；（2）16.【解析】【分析】（1）直接利用极坐标和直角坐标互化的公式求曲线的直角坐标方程；（2）设，当到直线的距离最大时，得到，故.再利用直线的参数方程的弦长公式求.【详解】解：（1）曲线：，即：.∴曲线的标准方程为：.（2）设，当到直线的距离最大时，，故.∴的参数方程为（为参数），将直线的参数方程代入得：.∴，∴.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角方程坐标的互化，考查直线参数方程t的几何意义的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.23.已知函数的最小值为.（1）求；（2）若正实数，，满足，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）先化简函数的解析式，再通过函数的图像得到当时，取得最小值；（2）由题得，再利用均值不等式证明不等式.【详解】解：（1），由于函数y=,减函数，y=,是减函数，y=，是增函数，故当时，取得最小值（2）.【点睛】本题主要考查分段函数的图像和性质，考查分段函数的最值和不等式的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.。

重庆市南开中学2020年高三下期中数学试题及答案(理科)

A﹒ 3 2
B﹒ 2
C﹒ 9 4
8
D﹒
3
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分。
13．已知 a ， b 均为单位向量，且 (3a b) (a 2b) ，则向量 a 与 b 夹角的余弦值为
﹒
14．已知 (x 2 )n（ n N * ）的展开式中第 3 项与第 6 项的二项式系数相等，则展开式中 x 的系数为
A﹒ 2
B﹒ 1
C﹒ 0
D﹒ 1 2
8．抛物线 C：y2 2 px ( p 0) 的焦点为 F ， A，B 是抛物线 C 上两点，
且 | AF | | BF | 10 ， O 为坐标原点，若 OAB 的重心为 F ，则 p
A﹒1
B﹒ 2
C﹒ 3
D﹒ 4
开始
输入 x 1，s 0
x 2x
则 P0,0,1, D 2 2,1,0 ,C 2 2,1,0 , M 2,1,0 ,CP 2 2,1,1 , MD 2,2,0 , MP
2,1,1 ,
设平面
PMD
的法向量为
m
x,
y,
z ，则由
m
MP
0
m
2,1,3 ，设直线 PC 与平面 PMD 所成角
m MD 0
（1）若函数 y f (x) g(x) 在其定义域内单调递增，求实数 a 的取值范围；（2）是否存在实数 a ，使得函数 y f (x) g (x) 的图像与 x 轴相切？若存在，求满足条件的 a 的个数，
请说明理由．
21．（12
分）已知椭圆 :
x2 a2
y2 b2
1（a
b
0 ）的离心率为
1 恒成立，令 mx

2019-2020学年重庆市南开中学高三第二学期(线上测试)期中(理科)数学试卷含解析

2019-2020学年高三第二学期期中（理科）数学试卷一、选择题.1．已知（a+i）（2﹣i）为纯虚数，则实数a的值是（）A．﹣1B．C．D．12．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{a+b|a∈A，b∈A}，则集合B的子集个数为（）A．8B．16C．32D．643．已知曲线f（x）＝alnx+x2在点（1，1）处的切线与直线x+y＝0平行，则实数a的值为（）A．﹣3B．1C．2D．34．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＝12，a2＝5，则a5＝（）A．﹣3B．﹣1C．1D．35．已知a＝1.20.3，b＝log0.31.2，c＝log1.23，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为（）A．2B．C．D．7．函数的最小值为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．8．抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A，B是抛物线C上两点，且|AF|+|BF|＝10，O为坐标原点，若△OAB的重心为F，则p＝（）A．1B．2C．3D．49．执行如图所示的程序框图，若输入的ε＝3，则输出的结果为（）A．511B．1022C．1023D．204610．我们知道，在n次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A发生的次数X服从二项分布B（n，p），事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A首次发生时试验进行的次数Y，显然P（Y＝k）＝p（1﹣p）k﹣1，k＝1，2，3，…，我们称Y服从“几何分布”，经计算得．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件A和都发生后停止，此时所进行的试验次数记为Z，则P（Z＝k）＝p（1﹣p）k﹣1+（1﹣p）p k﹣1，k═2，3，…，那么E（Z）＝（）A．B．C．D．11．已知双曲线）的左右焦点分别为F1，F2，F1的直线l与双曲线C的两支分别交于A，B两点，∠AF2B＝90，|AB|＝4a，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2D．12．已知A，B，C，D四点均在半径为R（R为常数）的球O的球面上运动，且AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥BC，若四面体ABCD的体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．B．2πC．D．二、填空题13．已知均为单位向量，且，则向量与夹角的余弦值为14．已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中x的系数为15．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，，D为棱A1B1的中点，则异面直线AD 与CB1成角的大小为16．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），当x∈[﹣1，1]时f（x）＝e1﹣|x|﹣2，则关于函数f（x）有如下四个结论：①f（x）为偶函数；②f（x）的图象关于直线x＝2对称；③方程f（x）＝1﹣|x|有两个不等实根；④其中所有正确结论的编号是三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，在△ABC中，，点D在边AB上．（1）若：sin（C﹣A）＝1，求sin A的值；（2）若∠CDA＝90°，BD＝4DA，求sin∠ACB的值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB∥CD，且CD＝2AB＝2，BC＝2，M为BC的中点．（1）求证：平面PDM⊥平面PAM；（2）若二面角P﹣DM﹣A为30°，求直线PC与平面PDM所成角的正弦值．19．新型冠状病毒肺炎COVID﹣19疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延．在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制．然而，每个国家在疫情发生初期，由于认识不足和措施不到位，感染确诊人数都会出现加速增长．如表是小王同学记录的某国从第一例新型冠状病毒感染确诊之日开始，连续8天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数．日期代码x12345678累计确诊人数481631517197122为了分析该国累计感染确诊人数的变化趋势，小王同学分别用两种模型：，②＝dx+c对变量x和y的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差，且经过计算得≈17.3，≈1.9，其中z i＝x，＝z i（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由；（2）根据（1）中选定的模型求出相应的回归方程；（3）如果第9天该国仍未采取有效的防疫措施，试根据（2）中所求的回归方程估计该国第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数．（结果保留为整数）附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．20．已知函数f（x）＝3x﹣（a+1）lnx，g（x）＝x2﹣ax+4．（1）若函数y＝f（x）+g（x）在其定义域内单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得函数y＝f（x）﹣g（x）的图象与x轴相切？若存在，求满足条件的a的个数，请说明理由．21．已知椭圆Γ＞0）的离心率为，过椭圆Γ的焦点且垂直于x轴的直线被椭圆Γ截得的弦长为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设点A，B均在椭圆Γ上，点C在抛物线上，若△ABC的重心为坐标原点O，且△ABC的面积为，求点C的坐标．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝cosθ．（1）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）过动点．P（x0，y0）（y02＜x0）且平行于l的直线交曲线C于A，B两点，若|PA|•|PB|＝2，求动点P到直线I的最近距离．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣1|﹣2|x﹣2|．（1）若关于x的不等式f（x）≤a有解，求实数a的取值范围；（2）若不等式f（x）≤|x﹣b|﹣4对任意x∈R成立，求实数b的取值范围．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知（a+i）（2﹣i）为纯虚数，则实数a的值是（）A．﹣1B．C．D．1【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．解：∵（a+i）（2﹣i）＝（2a+1）+（2﹣a）i为纯虚数，∴，解得a＝﹣．故选：B．2．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{a+b|a∈A，b∈A}，则集合B的子集个数为（）A．8B．16C．32D．64【分析】根据题意求出B中的元素，再求子集个数．解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{a+b|a∈A，b∈A}，∴B＝{2，3，4，5，6}，∴集合B的子集个数为32，故选：C．3．已知曲线f（x）＝alnx+x2在点（1，1）处的切线与直线x+y＝0平行，则实数a的值为（）A．﹣3B．1C．2D．3【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率，运用有斜率的两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a的值．解：f（x）＝alnx+x2的导数为f′（x）＝+2x，可得曲线在点（1，1）处的切线斜率为k＝a+2，由切线与直线x+y＝0平行，可得k＝﹣1，即a+2＝﹣1，解得a＝﹣3，故选：A．4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S6＝12，a2＝5，则a5＝（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【分析】利用等差数列的求和公式及其性质即可得出．解：∵S6＝12，a2＝5，∴12＝，解得a5═﹣1．故选：B．5．已知a＝1.20.3，b＝log0.31.2，c＝log1.23，则（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵0＜1.20.3＜1.21＝1.2，∴1＜a＜1.2，∵log0.31.2＜log0.31＝0，∴b＜0，∵log1.23＞log1.21.44＝2，∴c＞2，∴b＜a＜c，故选：D．6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为（）A．2B．C．D．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用勾股定理的应用求出最大棱长BD或AC．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体D﹣ABC．如图所示：所以AC＝＝＝．故选：C．7．函数的最小值为（）A．﹣2B．﹣1C．0D．【分析】先利用诱导公式、降幂公式、将函数式化成关于cos2x的二次函数，然后求解．解：22x令t＝cos2x，则原函数化为，y＝，该函数在[﹣1，]上递增，在上递减．易知t＝﹣1时，y min＝﹣1．故选：B．8．抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A，B是抛物线C上两点，且|AF|+|BF|＝10，O为坐标原点，若△OAB的重心为F，则p＝（）A．1B．2C．3D．4【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），由|AF|+|BF|＝10，可得．结合△OAB的重心坐标，即可求得p．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），∵|AF|+|BF|＝10，则．∵△OAB的重心为F，∴，∴，∴p＝4．故选：D．9．执行如图所示的程序框图，若输入的ε＝3，则输出的结果为（）A．511B．1022C．1023D．2046【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的x的值，当x＝210时，不满足条件，退出执行循环体，S＝1022．解：当x＝1，s＝0，此时x＝2，满足lg2＜3，执行循环体，s＝0+2＝2＝22﹣2，x＝4＝22，满足lg4＜3，执行循环体，s＝2+4＝6＝32﹣2，x＝8＝23，满足lg8＜3，执行循环体，s＝6+8＝14＝24﹣2，x＝24，满足lg16＜3，执行循环体，s＝14+16＝30＝25﹣2，x＝25，满足lg32＜3，执行循环体，s＝30+32＝62＝26﹣2，x＝26，…满足lg29＜3，执行循环体，s＝210﹣2，x＝210，不满足lg210＜3，退出循环体，输出此时的S＝210﹣2＝1022，故选：B．10．我们知道，在n次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件A发生的概率为p，则事件A发生的次数X服从二项分布B（n，p），事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A首次发生时试验进行的次数Y，显然P（Y＝k）＝p（1﹣p）k﹣1，k＝1，2，3，…，我们称Y服从“几何分布”，经计算得．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件A和都发生后停止，此时所进行的试验次数记为Z，则P（Z＝k）＝p（1﹣p）k﹣1+（1﹣p）p k﹣1，k═2，3，…，那么E（Z）＝（）A．B．C．D．【分析】P（Z＝k）＝p（1﹣p）k﹣1+（1﹣p）p k﹣1，k═2，3，…，P（Y＝k）＝p（1﹣p）k﹣1，k＝1，2，3，…，可得．于是P（Y＝k）＝p（1﹣p）k﹣1，k＝2，3，…，﹣p．而E（Z）＝2p（1﹣p）+2（1﹣p）p+3p（1﹣p）2+3（1﹣p）p2+……+kp （1﹣p）k﹣1+k（1﹣p）p k﹣1+…．＝﹣p+2（1﹣p）p+3（1﹣p）p2+……+k（1﹣p）p k ﹣1+…．设A k＝2p+3p2+……+kp k﹣1．利用错位相减法即可得出A k．解：P（Z＝k）＝p（1﹣p）k﹣1+（1﹣p）p k﹣1，k═2，3，…，P（Y＝k）＝p（1﹣p）k﹣1，k＝1，2，3，…，可得．∴P（Y＝k）＝p（1﹣p）k﹣1，k＝2，3，…，﹣p．那么E（Z）＝2p（1﹣p）+2（1﹣p）p+3p（1﹣p）2+3（1﹣p）p2+……+kp（1﹣p）k﹣1+k（1﹣p）p k﹣1+…＝﹣p+2（1﹣p）p+3（1﹣p）p2+……+k（1﹣p）p k﹣1+…．设A k＝2p+3p2+……+kp k﹣1．pA k＝2p2+3p3+……+（k﹣1）p k﹣1+kp k．∴（1﹣p）A k＝2p+p2+p3+……+p k﹣1﹣kp k＝p+﹣kp k．∴k→+∞时，（1﹣p）A k→p+．∴E（Z）＝﹣p+p+＝﹣1．故选：A．11．已知双曲线）的左右焦点分别为F1，F2，F1的直线l与双曲线C的两支分别交于A，B两点，∠AF2B＝90，|AB|＝4a，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．2D．【分析】作出示意图，根据双曲线定义可转化得到BF2＝AF2，结合∠AF2B＝90，|AB|＝4a，可求出BF2＝AF2＝2a，则BF1＝（2﹣2）a，利用余弦定理表示出a2与c2的关系，进而可得到e的值．解：不妨设A在B的右侧，作出示意图如图：根据双曲线的定义：AF1﹣AF2＝2a，BF2﹣BF1＝2a，则BF2＝BF1+2a，且有AF1＝AB+BF1＝4a+BF1，代入可得AF2＝2a+BF1，则BF2＝AF2，因为∠AF2B＝90，则∠ABF2＝∠BAF2＝45°，且AB2＝AF22+BF22，则BF2＝AF2＝2a，则BF1＝（2﹣2）a，在△BF1F2中，∠BF1F2＝135°，则cos135°＝，即﹣＝，整理可得e2＝＝3，则e＝，故选：B．12．已知A，B，C，D四点均在半径为R（R为常数）的球O的球面上运动，且AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥BC，若四面体ABCD的体积的最大值为，则球O的表面积为（）A．B．2πC．D．【分析】由题意要使四面体的体积最大，则D在底面ABC的投影恰好为底面三角形外接圆的圆心N，则外接球的球心在DN上，求出三棱锥的体积，由均值不等式可得R的值，进而求出外接球的表面积．解：因为AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥BC，作AN⊥BC于N，则N为BC的中点，且AN ＝，若四面体ABCD的体积的最大值时，则DN⊥面ABC，则外接球的球心在DN上，设为O，设外接球的半径为R，连接OA，则OA＝OD＝R，V D﹣ABC＝•BC•AN•DN＝•2AN•AN•（R+ON）＝AN2•（R+ON）＝（OA2﹣ON2）（R+ON）＝（R+ON）（R﹣ON）（R+ON）＝（R+ON）（2R﹣2ON）（R+ON）＝•（）3，当且仅当2R﹣2ON＝R+ON，即R＝3ON时取等号，因为三棱锥的最大体积为，所以•（）3＝，可得R＝，所以外接球的表面积为S＝4πR2＝4＝，故选：C．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．13．已知均为单位向量，且，则向量与夹角的余弦值为【分析】根据条件知，然后根据即可得出，然后进行数量积的运算即可求出，从而可求出与夹角的余弦值．解：∵，，∴＝，∴，∴．故答案为：．14．已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中x的系数为560【分析】利用二项式系数的性质求得n＝7，再利用二项式展开式的通项公式令x的指数为1求出人r，可得结论．解：由题意可得＝，求得n＝7，故展开式第r+1项为T r+1＝•（﹣2）r•x；r＝0，1…7；令7﹣r＝1⇒r＝4，∴展开式中x的系数为：•（﹣2）4＝560，故答案为：560．15．正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，，D为棱A1B1的中点，则异面直线AD 与CB1成角的大小为【分析】可画出图形，根据条件可得出，，然后根据条件即可求出，并求出，从而根据向量夹角的余弦公式求出，从而可得出异面直线AD与CB1成角的大小．解：如图，＝，，且，侧棱和底面垂直，∴＝＝，，∴，且，∴，∴异面直线AD与CB1成角的大小为．故答案为：．16．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），当x∈[﹣1，1]时f（x）＝e1﹣|x|﹣2，则关于函数f（x）有如下四个结论：①f（x）为偶函数；②f（x）的图象关于直线x＝2对称；③方程f（x）＝1﹣|x|有两个不等实根；④其中所有正确结论的编号是①②【分析】由题意判断f（x）是周期的函数，且为偶函数，由此判断所给的命题是否正确即可．解：对于①，由题意知f（x+2）＝f（x），所以f（x）是周期为2的函数；当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝e1﹣|x|﹣2，f（﹣x）＝e1﹣|﹣x|﹣2＝e1﹣|x|﹣2＝f（x），所以f（x）为偶函数，①正确；对于②，f（x）是偶函数，对称轴是x＝0，又f（x）是周期为2的函数，所以f（x）的图象关于直线x＝2对称，②正确；对于③，方程f（x）＝1﹣|x|化为e1﹣|x|﹣2＝1﹣|x|，设t＝1﹣|x|，则方程化为e t＝2+t，t∈[0，1]；由函数y＝e t和y＝2+t，t∈[0，1]的图象知，图象没有交点，方程无实数根，③错误；对于④，f（x）是周期为2的函数，且为偶函数，在[0，1]上是单调减函数；所以f（）＝f（﹣8）＝f（﹣）＝f（）；又0＜＜＜1，所以f（）＞f（），即f（）＞f（），所以④错误．综上知，正确的命题序号是①②．故答案为：①②．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．如图，在△ABC中，，点D在边AB上．（1）若：sin（C﹣A）＝1，求sin A的值；（2）若∠CDA＝90°，BD＝4DA，求sin∠ACB的值．【分析】（1）由A，C的范围，结合sin（C﹣A）＝1，所以C﹣A＝，再利用sin B ＝sin（A+C）结合二倍角公式即可求出sin A＝；（2）设DA＝x，则BD＝4x，由sin B＝得BC＝3CD，由勾股定理求出CD＝x，进而求出AC＝x，在△ABC中，由正弦定理即可求得sin∠ACB得值．解：（1）∵0＜A＜π，0＜C＜π，∴﹣π＜C﹣A＜π，又∵sin（C﹣A）＝1，∴C﹣A＝，∴C＝A+，∴sin B＝sin（A+C）＝sin（2A+）＝cos2A＝1﹣2sin2A＝，∴sin2A＝，又A∈（0，π），∴sin A＝；（2）设DA＝x，则BD＝4x，∴∠CDA＝90°，sin B＝，∴，∴BC＝3CD，∴BC2＝BD2+CD2，∴9CD2＝16x2+CD2，∴CD＝x，∴AC2＝AD2+CD2＝3x2，∴AC＝x，在△ABC中，由正弦定理得：，∴，∴sin∠ACB＝．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，AB∥CD，且CD＝2AB＝2，BC＝2，M为BC的中点．（1）求证：平面PDM⊥平面PAM；（2）若二面角P﹣DM﹣A为30°，求直线PC与平面PDM所成角的正弦值．【分析】（1）在直角梯形ABCD中，求解三角形可得AD2＝AM2+DM2，则DM⊥AM．再由PA⊥面ABCD，得DM⊥PA，利用线面垂直的判定可得DM⊥平面PAM，进一步得到平面PDM⊥平面PAM；（2）由（1）知，PM⊥DM，AM⊥DM，则∠PMA为二面角P﹣DM﹣A的平面角为30°，求得PA＝AM•tan30°＝1．以A为坐标原点，分别以AE，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出的坐标及平面PDM的一个法向量，由与所成角的余弦值可得直线PC与平面PDM所成角的正弦值．【解答】（1）证明：在直角梯形ABCD中，由已知可得，AB＝1，CD＝2，BM＝CM＝，可得AM2＝3，DM2＝6，过A作AE⊥CD，垂足为E，则DE＝1，AE＝，求得AD2＝9，则AD2＝AM2+DM2，∴DM⊥AM．∵PA⊥面ABCD，∴DM⊥PA，又PA∩AM＝A，∴DM⊥平面PAM，∵DM⊂平面PDM，∴平面PDM⊥平面PAM；（2）解：由（1）知，PM⊥DM，AM⊥DM，则∠PMA为二面角P﹣DM﹣A的平面角为30°，则PA＝AM•tan30°＝1．以A为坐标原点，分别以AE，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P（0，0，1），D（，﹣1，0），C（，1，0），M（，1，0），，，．设平面PDM的一个法向量为，由，取x＝1，得＝（1，，）．∴直线PC与平面PDM所成角的正弦值为|cos＜，＞|＝＝．19．新型冠状病毒肺炎COVID﹣19疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延．在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制．然而，每个国家在疫情发生初期，由于认识不足和措施不到位，感染确诊人数都会出现加速增长．如表是小王同学记录的某国从第一例新型冠状病毒感染确诊之日开始，连续8天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数．日期代码x12345678累计确诊人数481631517197122为了分析该国累计感染确诊人数的变化趋势，小王同学分别用两种模型：，②＝dx+c对变量x和y的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差，且经过计算得≈17.3，≈1.9，其中z i＝x，＝z i（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由；（2）根据（1）中选定的模型求出相应的回归方程；（3）如果第9天该国仍未采取有效的防疫措施，试根据（2）中所求的回归方程估计该国第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数．（结果保留为整数）附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．【分析】（1）根据残差点分布的区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高即可得解；（2）因为z i＝x，所以，然后结合数据和公式分别算出，，即可得到y关于z的回归方程，进而得到y关于x的回归方程；（3）把x＝9代入回归方程算出即可得解．解：（1）因为残差，所以残差点分布的区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，所以模型①的拟合效果更好．（2）因为z i＝x且，所以，由表格中数据可知，，，所以，，所以，故所求的回归方程为．（3）当x＝9时，有，故估计该国第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为156人．20．已知函数f（x）＝3x﹣（a+1）lnx，g（x）＝x2﹣ax+4．（1）若函数y＝f（x）+g（x）在其定义域内单调递增，求实数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得函数y＝f（x）﹣g（x）的图象与x轴相切？若存在，求满足条件的a的个数，请说明理由．【分析】（1）根据导数和函数的单调性的关系，分离参数，即可求出a的取值范围；（2）函数y＝f（x）﹣g（x）的图象与x轴相切，且存在f（x）的极值等于0，根据导数和函数的极值的关系即可求出．解：（1）y＝f（x）+g（x）＝3x﹣（a+1）lnx+x2﹣ax+4在（0，+∞）上单调递增，∴y′＝3﹣+2x﹣a≥0，在（0，+∞）上恒成立，即a≤＝＝2（x+1）﹣﹣1，易知y＝2（x+1）﹣﹣1在（0，+∞）上为增函数，∴y＝2（x+1）﹣﹣1＞2﹣4﹣1＝﹣1，∴a≤﹣1；（2）函数y＝f（x）﹣g（x）＝3x﹣（a+1）lnx﹣x2+ax﹣4，设h（x）＝3x﹣（a+1）lnx﹣x2+ax﹣4，x＞0，∴h′（x）＝3﹣﹣2x+a＝＝﹣＝﹣，令h′（x）＝0，解得x＝或x＝1，①当a+1≤0时，即a≤﹣1时，当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）max＝h（1）＝a﹣2＝0，解得a＝2（舍去），②当a＞﹣1时，h′（x）＝0，即极值点为x＝或x＝1，∵函数y＝f（x）﹣g（x）的图象与x轴相切，∴h（）＝0或h（1）＝0，当h（1）＝0时，h（1）＝a﹣2＝0，解得a＝2，当h（）＝0时，可得﹣（a+1）ln（）﹣（）2+a×﹣4＝0，设＝t，则t＞0，则3t﹣2tlnt﹣t2+（2t﹣1）t﹣4＝0，即t2+2t﹣2tlnt﹣4＝0，设φ（t）＝t2+2t﹣2tlnt﹣4，t＞0，∴φ′（t）＝2t+2﹣2（1+lnt）＝2（t﹣lnt），再令m（t）＝t﹣lnt，t＞0，∴m′（t）＝1﹣＝，当0＜t＜1时，m′（t）＜0，函数m（t）单调递减，当t＞1时，m′（t）＞0，函数m（t）单调递增，∴m（t）≥m（1）＝0，∴φ′（t）≥0，∴φ（t）在（0，+∞）上单调递增，∵φ（1）＝﹣1＜0，φ（2）＝4﹣4ln2＞0，∴存在t0∈（1，2），使得φ（t0）＝0，即∈（1，2），即a∈（1，3），综上所述存在实数一个实数a∈（1，3），得使得函数y＝f（x）﹣g（x）的图象与x轴相切．21．已知椭圆Γ＞0）的离心率为，过椭圆Γ的焦点且垂直于x轴的直线被椭圆Γ截得的弦长为．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设点A，B均在椭圆Γ上，点C在抛物线上，若△ABC的重心为坐标原点O，且△ABC的面积为，求点C的坐标．【分析】（1）运用离心率公式和垂直于x轴的弦长公式，以及a，b，c的关系解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程；（2）设AB：x＝my+t，联立椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式、三角形的重心坐标，可得C的坐标，代入抛物线方程，结合三角形的面积公式，计算可得C的坐标．解：（1）根据题意得，又因为b2＝a2﹣c2，解得a2＝2，则b2＝1，所以椭圆Γ的方程为：；（2）设AB：x＝my+t，联立椭圆方程x2+2y2＝2，可得（2+m2）y2+2mty+t2﹣2＝0，△＝4m2t2﹣4（2+m2）（t2﹣2）＝8（m2﹣t2+2）＞0①设A（x1，y1），B（x2，y2），y1+y2＝﹣，可得y C＝﹣（y1+y2）＝，x C＝﹣（x1+x2）＝﹣[m（y1+y2）+2t]＝﹣，由C在抛物线y2＝x上，可得（）2＝•（﹣），则m2＝﹣②（t ＜﹣），由S△ABO＝|OA|•|OB|•sin∠AOB＝＝＝|x1y2﹣x2y1|，则S△ABC＝3S△ABO＝|x1y2﹣x2y1|＝|（my1+t）y2﹣（my2+t）y1|＝|t（y1+y2）|＝||＝，可得||＝③，将②代入③整理可得[t（2t+1）]2﹣4t（2t+1）+3＝0，解得t＝﹣1或﹣，相应的m2＝2或1．所以C（1，±），或C（2，±1）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝cosθ．（1）写出直线l和曲线C的直角坐标方程；（2）过动点．P（x0，y0）（y02＜x0）且平行于l的直线交曲线C于A，B两点，若|PA|•|PB|＝2，求动点P到直线I的最近距离．【分析】（1）运用极坐标和直角坐标的关系，以及两角查的正弦公式，化简可得所求直角坐标方程；（2）设出过P且平行于l的直线的参数方程，代入抛物线方程，化简整理，运用韦达定理和参数的几何意义，运用点到直线的距离公式和二次函数的最值求法，可得所求最值．解：（1）直线l的极坐标方程为，即为（ρsinθ﹣ρcosθ）＝，即ρsinθ﹣ρcosθ＝2，可得y﹣x＝2，即x﹣y+2＝0；曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝cosθ，即为ρ2sin2θ＝ρcosθ，可得y2＝x；（2）设P（x0，y0）（y02＜x0）且平行于l的直线的参数方程设为（t为参数），代入抛物线方程y2＝x，可得t2+t（y0﹣）+y02﹣x0＝0，设PA，PB对应的参数分别为t1，t2，可得t1t2＝2（y02﹣x0），又|PA|•|PB|＝2，即有|y02﹣x0|＝1，由y02＜x0，可得y02＝x0﹣1，即x0＝1+y02，P到直线l：x﹣y+2＝0的距离d＝＝＝[（y0﹣）2+]，当y0＝，x0＝时，动点P到直线l的最近距离为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|+|x﹣1|﹣2|x﹣2|．（1）若关于x的不等式f（x）≤a有解，求实数a的取值范围；（2）若不等式f（x）≤|x﹣b|﹣4对任意x∈R成立，求实数b的取值范围．【分析】（1）绝对值，化为分段函数，求出函数的值域，即可求出a的范围，（2）画出相对应的函数的图象，结合图象可得b的取值范围．解：（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣1|﹣2|x﹣2|＝，∴f（x）的值域为[﹣4，4]，∵关于x的不等式f（x）≤a有解，∴a≥﹣4，（2）y＝f（x）与y＝|x﹣b|﹣4对的图象如图所示：由图象知，要使f（x）≤|x﹣b|﹣4对任意x∈R成立，只需要f（2）≤|2﹣b|﹣4，且b＜0解得b≤﹣6，故b得取值范围为（﹣∞，﹣6]．。

重庆南开中学2020级高三第三次教学质量检测理科数学

班级：姓名：线订装绝密★启用前重庆南开中学2020级高三第三次教学质量检测理科数学时间：120分钟满分：150分命卷人：*审核人：一、选择题（每小题5分,共60分）1. 已知集合U ={1,2,3,4,5},,则C U A =( )A. {5}B. {4,5}C. {3,4,5}D. {2,3,4,5}2. 已知复数2+ai1−i为纯虚数,则实数a =( )A. 4B. 3C. 2D. 13. 已知平面向量a ⃗=(m,1),b ⃗⃗=(8,m −2),则“m =4”是“a ⃗//b⃗⃗”的( ) A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件C. 必要不充分条件D. 充分不必要条件4. 函数f(x)=sinx −√3cosx 的一条对称轴为( )A. x =−π6B. x =−π3C. x =π6D. x =π35. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1a 2<0,a 4=6a 2+a 3,则S 4S 3=( )A. −157B. −53C. 53D.1576. 已知非零平面向量a ⃗,b ⃗⃗满足(6a ⃗+b ⃗⃗)⊥(a ⃗−b⃗⃗),,则a ⃗与b⃗⃗的夹角为( ) A. π6 B. π3C.2π3 D. 5π67. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(2−x)+f(x)=0,当x >1时,f(x)=x −2,则不等式f(x)<0的解集为( )A. (1,2)B. (−∞,0)C. (0,2)D. (−∞,0)∪(1,2) 8. 明代数学家程大位在《算法统宗》中提出如下向题“九百九十六斤绵,赠分八子做盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言,务要分明依次第,孝和休惹外人传”意思是将996斤绵分给八个人,从第二个人开始,每个人分得的绵都比前一个人多17斤,则第八个人分得绵的斤数为( )A. 150B. 167装订线C. 184D. 2019. 函数y =lnxcosx 的图象大致为( )A.B.C.D.10. 在ΔABC 中,AC =AB =3,点M ,N 分别在边AC ,AB 上,且AM =BN =2,BM ⊥CN ,则ΔABC 的面积为( )A. 9√1011B. 8122C. 4511D.18√101111. 在ΔABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若c −a =2acosB ,则3a+c b的最小值为( )A. √2B. √3C. 2√2D. 312. 已知数列{a n },{b n }满足:a n+1=2a n +b n ,b n+1=a n +2b n +lnn+1n3(n ∈N ∗),a 1+b 1>0,给出下列四个命题:①数列{a n −b n }单调递增;②数列{a n +b n }单调递增;③数列{a n }从某项以后单调递增;④数列{b n }从某项以后单调递增.这四个命题中的真命题是( )A. ②③④B. ②③C. ①④D. ①②③④ 二、填空题（每小题5分,共20分）13. 已知曲线y =x 3+ax 在x =1处的切线与直线y =2x +1平行,则a 的值为__________.14. 已知函数f(x)=Asin(ωx +φ),其中A >0,ω>0,φ∈(−π,π)的部分图象如图所示,则φ=__________.15. 已知函数f(x)=2e x +(1−k)x 2在(0,+∞)上单调递增,则实数k 的取值范围是__________.16. 已知平面向量a ⃗,b⃗⃗,,a ⃗⊥b⃗⃗,,则的最大值是__________.班级：姓名：线订装三、解答题（每小题12分,共60分）17. 已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 2,a 4,a 7成等比数列,且S 5=50. (1)求a n ; (2)求数列{1a n a n+1}的前n 项和T n .18. 在ΔABC 中,AB =2,AC =3,D 为BC 边上的中点. (1)求sin∠BADsin∠DAC的值; (2)若∠BAD =2∠DAC ,求AD .19. 某工厂生产一批零件,为了解这批零件的质量状况,检验员从这批产品中随机抽取了100件作为样本进行检测,将它们的重量(单位:g )作为质量指标值.由检测结果得到如下频率分布表和频率分布直方图.(1)求图中a ,b 的值; (2)根据质量标准规定:零件重量小于47或大于53为不合格品,重量在区间[47,49)和(51,53]内为合格品,重量在区间[49,51]内为优质品.已知每件产品的检测费用为5元,每件不合格品的回收处理费用为20元.以抽检样本重量的频率分布作为该批零件重量的概率分布.若这批零件共400件,现有两种销售方案: 方案一:对剩余零件不再进行检测,回收处理这100件样本中的不合格品,余下所有零件均按150元/件售出; 方案二:继续对剩余零件的重量进行逐一检测,回收处理所有不合格品,合格品按150元/件售出,优质品按200元/件售出. 仅从获得利润大的角度考虑,该生产商应选择哪种方案?请说明理由.20. 已知函数f(x)=ax 2−ln(x −1)+1(a ∈R)存在极值点. (1)求a 的取值范围; (2)设f(x)的极值点为x 0,若f(x 0)<x 0,求a 的取值范围.装订线21. 已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,离心率为√32,点D 在椭圆C 上,且ΔDF 1F 2的周长为4+2√3. (1)求椭圆C 的方程; (2)已知过点(1,0)的直线与椭圆C 交于A ,B 两点,点P 在直线x =4上,求的最小值.四、选做题（每小题10分,共20分）22A. 在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为(t 为参数,0<α<π),以O 为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方方程为ρ(1−cos2Θ)=8cosΘ. (1)判断直线l 与曲线C 的公共点的个数,并说明理由; (2)设直线l 与曲线C 交于不同的两点A ,B ,点P(1,−1),若,求tanα的值.22B. 已知实数a ,b 满足,. (1)证明:; (2)若pq >0,证明:(ap +bq)(aq +bp)⩾pq .班级：姓名：线订装重庆南开中学2020级高三第三次教学质量检测理科数学答案和解析第1题：【答案】C【解析】由集合,,则.第2题：【答案】C【解析】复数为纯虚数,∴,,解得.第3题：【答案】D【解析】两个平面向量,平行,则,或,所以“”是“”的充分不必要条件,故选D.第4题：【答案】A【解析】.令,解得,, 当时,,所以A 选项是正确的.第5题：【答案】B【解析】由已知可得,∴, 又,即,解得,∴.第6题：【答案】C【解析】∵,∴,又∵, ∴,∴,∴与的夹角为.第7题：【答案】D【解析】由已知,即,∴关于中心对称, 又当时,,作出函数的图象如图所示,由图可知的解集为.第8题：【答案】C【解析】设第八人分得,则等差数列公差为,,解得.第9题：【答案】A【解析】当时,,,∴,排除C 、D; 又当时,,,∴,排除B,故选A.第10题：装订线【答案】A【解析】由已知得,, ∵,∴,解得, ∴,∴.第11题：【答案】C【解析】已知,根据余弦定理,可得,整理得,即,∴,∴即,当且仅当时,有最小值.第12题：【答案】A【解析】将两式相减得,整理得,,当时,,当时,,∴①错; 将两式相加得, 化简得. 令,∴为公比等于的等比数列,其首项为, ∴,∴, ∵,∴递增,递增,∴为递增数列,∴②正确; 由上式可得,,,, ∴, 令,∴, 又,∴, ∵,递增,递增,∴为递增数列,∴③正确; 由上式可知,,, ∵,∴为递增数列,且按指数增长,为递增数列,且按对数增长,∴,使得当时,,即,∴④正确.第13题：【答案】【解析】,∴当时,; ∴据题意,得,∴,故答案为:.第14题：【答案】【解析】由图可知,,, ∴,即,得,∴, 又∵函数图像过,∴,解得, 又,∴.第15题：【答案】【解析】由已知得,∵在单调递增, ∴在上恒成立,化简得, 令,∴,∴,∴.第16题：【答案】【解析】不妨设,,,∵, ∴,代入坐标得,即, ∴以原点为起点,向量的终点在以为圆心,为半径的圆上, ∴可表示为到的距离, ∴其最大值为.第17题：【答案】见解答【解析】(1)由题知,而,故, 由,∴,,∴. (2), ∴前项和.第18题：【答案】见解答【解析】(1)由题知,即, ∴. (2)由,∴∴, 在中,, 在中,,而,∴.第19题：【答案】见解答【解析】(1)由题知,. (2)该工厂若选方案一:收入为元, 若选方案二:收入为元, 利润方案二比方案一高元,所以,选方案二.第20题：【答案】见解答班级：姓名：线订装【解析】(1)函数的定义域为,, 当时,,无极值点;当时,或,设,则,当时,的两根一个小于、一个大于,故有一个极值点;当时,对称轴为知的两根均小于,故无极值点;综上所述,. (2)由(1)知且,∴,,令,显然在上单增,又,∴即,∴,∴.第21题：【答案】见解答【解析】(1)由题意可得:,解得:,故椭圆方程为:. (2)①当直线与轴平行时,取,,,则,,,所以最小值为; ②当直线不与轴平行时,设,,,设直线方程为. 联立方程有, 设线段的中点为,则有,其中, 令,则, 又令,则, 当,即时,取最小值, 当且当时取等号, 所以,,当时取等号. ∴的最小值为.第22A 题：【答案】见解答【解析】(1), 即,将直线的参数方程代入得, 即,由知,,故直线与曲线有两个公共点. (2)由(1)可设方程的两根为,, 则,, 故, ∴,即,∴.第22B 题：【答案】见解答【解析】(1)∵,故. (2), 由,得,得证.。

南开中学2020届高三数学下学期线上期中试题文含解析

4。双曲线的渐近线方程为（）
A。 B。 C. D。
【答案】B
【解析】
【分析】
直接由双曲线的渐近线的定义，即可求出渐近线方程.
【详解】由双曲线的方程可得 , ，焦点在轴上，
所以渐近线的方程为：，
故选:B。
【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法,属于基础题。已知双曲线的标准方程，求双曲线的渐近线时,要先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后再确定双曲线的渐近线方程。
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题4个小题，每小题5分，共20分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果,不写过程）。
13。若变量满足，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
作出可行域，令 ,作出目标函数对应的直线，平移该直线，即可求出的最小值.
【详解】画出满足条件的平面区域，如图所示，
重庆市南开中学2020届高三数学下学期线上期中试题文（含解析）
注意事项：
1。本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2。答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置.
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在答题卡上。
A. B。 C。 D。
【答案】A
【解析】
【分析】
根据是的一条对称轴，求得，再根据的范围，即可求出值.
【详解】是的一条对称轴，
，，
，，
故选:正弦型函数的对称轴是解答本题的关键，属于基础题。求解正弦型函数的对称轴,只需令，即可解出正弦型函数的对称轴为 .

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绝密★启用前重庆南开中学高2020级高三下学期线上中期考试数学（理科）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知()(2)a i i +-为纯虚数，则实数a 的值是（） A ．1- B ．12-C ．12D ．1 2．已知集合{1,2,3}A =，{|,}B a b a A b A =+∈∈，则集合B 的子集个数为（） A ．8B ．16C ．32D ．643．已知曲线2()ln f x a x x =+在点(1,1)处的切线与直线0x y +=平行，则实数a 的值为（） A ．3-B ．1C ．2D ．34．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若612S =，25a =，则5a =（） A ．3- B ．1- C ．1D ．35．已知0.31.2a =，0,3log 1.2b =， 1.2log 3c =，则（） A ．a b c <的焦点为F ，,A B 是抛物线C 上两点，且||||10AF BF +=，O 为坐标原点，若OAB △的重心为F ，则p =（） A ．1B ．2C ．3D ．49．执行如图所示的程序框图，若输入的3ε=，则输出的结果为（）A ．511B ．1022C ．1023D ．204610．我们知道，在n 次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 发生的次数X 服从二项分布(,)B n p ，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A 首次发生时试验进行的次数Y ，显1()(1)k P Y k p p -==-，1,2,3k =，…，我们称Y 服从“几何分布”，经计算得1()E Y p=．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件A 和A 都发生后停止此时所进行的试验次数记为Z ，则11()(1)(1)k k P Z k p p p p --==-+-，2,3k =，…，那么()E Z =（）A ．11(1)p p -- B ．21p C ．11(1)p p +- D ．21(1)p - 1l ．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与双曲线C 的两支分别交于,A B 两点，290AF B ∠=︒，||4AB a =，则双曲线C 的离心率为（）A 2B 3C ．2D ．32212．已知,,,A B C D 四点均在半径为R （R 为常数）的球O 的球面上运动，且AB AC =，AB AC ⊥，AD BC ⊥，若四面体ABCD 的体积的最大值为16，则球O 的表面积为（）A ．32πB ．2πC ．94πD ．83π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知,a b r r 均为单位向量，且(3)(2)a b a b +⊥-r r r r ，则向量a r 与b r夹角的余弦值为______．14．已知()*2nx n N x ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则展开式中x 的系数为_____． 15．正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，122AA =，D 为棱11A B 的中点，则异面直线AD 与1CB 所成角的大小为______．16．已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，当[1,1]x ∈-时1||()2x f x e-=-，则关于函数()f x 有如下四个结论：①()f x 为偶函数；②()f x 的图象关于直线2x =对称；③方程()1||f x x =-有两个不等实根；④12223f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；其中所有正确结论的编号______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答微博橙子辅导．（一）必考题：共60分． 17．如图，在ABC △中，1sin 3B =，点D 在边AB 上．（1）若sin()1C A -=，求sin A 的值；（2）若90CDA ∠=︒，4BD DA =，求sin ACB ∠的值．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥面ABCD ，AB CD P ，且22CD AB ==，22BC =，90ABC ∠=︒，M 为BC 的中点．（1）求证：平面PDM ⊥平面PAM ；（2）若二面角P DM A --为30︒，求直线PC 与平面PDM 成角的正弦值．19．新型冠状病毒肺炎19COVID -疫情发生以来，在世界各地逐渐蔓延．在全国人民的共同努力和各级部门的严格管控下，我国的疫情已经得到了很好的控制．然而，每个国家在疫情发生初期，由于认识不足和措施不到位，感染确诊人数都会出现加速增长．下表是小王同学记录的某国从第一例新型冠状病毒感染确诊之日开始，微博橙子辅导连续⑧天每日新型冠状病毒感染确诊的累计人数．日期代码x 1 2 3 4 5 6 78 累计确诊人数y481631517197122为了分析该国累计感染确诊人数的变化趋势，小王同学分别用两种模型：①$2y bx a =+，②$y dx c =+对变量x 和y 的关系进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差$i i i e y y =-），且经过计算得()()()8182117.3iii i i xxy y x x==--≈-∑∑，()()()818211.9iii i i zzy y z z==--≈-∑∑，其中2i iz x =，8118i i z z ==∑．（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由；（2）根据（1）中选定的模型求出相应的回归方程；（3）如果第9天该国仍未釆取有效的防疫措施，试根据（2）中所求的回归方程估计该国第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数．（结果保留为整数）附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()81821ˆiii ii xxy y bxx==--=-∑∑，$ay bx =-$．20．已知函数()3(1)ln f x x a x =-+，2()4g x x ax =-+．（1）若函数()()y f x g x =+在其定义域内单调递增，求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使得函数()()y f x g x =-的图像与x 轴相切？若存在，求满足条件的a 的个数，请说明理由．21．已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的离心率为22，过椭圆Γ的焦点且垂直于x 轴的直线被椭圆Γ2．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设点, A B 均在椭圆Γ上，点C 在抛物线212y x =上，若ABC △的重心为坐标原点O ，且ABC △的，求点C 的坐标．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ=．（1）写出直线l 和曲线C 的的直角坐标方程；（2）过动点()()20000,P x y y x <且平行于l 的直线交曲线C 于,A B 两点，若||||2PA PB ⋅=，求动点P 到直线l 的最近距离．23．[选修4—5：不等式选讲]已知函数()|1||1|2|2|f x x x x =++---．（1）若关于x 的不等式()f x a …有解，求实数a 的取值范围；（2）若不等式()||4f x x b --…对任意x R ∈成立，求实数b 的取值范围．重庆南开中学高2020级高三下学期线上中期考试数学（理科）答案一、选择题B C A B D C A D B A B C 二、填空题15560 30︒ ①②③ 三、解答题17．解：（1）由sin()1C A -=得2C A π-=，1sin sin()sin 2cos223B AC A A π⎛⎫=+=+== ⎪⎝⎭，由2112sin 3A -=得sin A =；（2）设4DB m =，DA m =，由1sin 3B =得CD =，BC =，AC =ABC △中，sin sin AC ABB ACB=∠，sin 9ACB ∠=．18．证明：（1）易知：tan tan 1CD BM DMC MAB DMC MAB CM BA ==⇒∠=∠⇒∠=∠， 90DMC AMB DM AM ∴∠+∠=⇒⊥︒①又PA ⊥Q 平面ABCD PA DM ⇒⊥② ∴由①②可得DM ⊥平面PAM ⇒平面PAM ⊥平面PDM ；（2）由（1）知二面角P MD A --的平面角即为30PMA ∠=︒，1PA MA ∴==．取CD 中的N ，连接AN ，易得AN CD ⊥，∴直线PA NA BA 、、两两垂直，以A 为原点，AN AB AP 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,1)P，1,0)D -，C，M，(1,1)CP =--u u ur 2,0)MD =-u u u ur (1,1)MP =-u u u r，设平面PMD 的法向量为(,,)m x y z =u r，则由0m MP m m MD ⎧⋅=⎪⇒=⎨⋅=⎪⎩u r u u u ru r u r u u u u r，设直线PC 与平面PMD 所成角为θ，则sin ||||CP m CP m θ⋅===⋅u u u r u ru u u r u r ，∴直线PC 与平面PMD所成角的正弦值为30．19解：（1）选择模型①．理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比较接近，模型②的残差相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好；（2）由（1），知y 关于x 的回归方程为$2y bx a =+，令2z x =，则$y bz a =+，由题知 1.9b≈$，又1(1491625364964)25.58z =+++++++=，1(481631517197122)508y =+++++++=， $ 1.55a y bz ∴=-≈$，y ∴关于x 的回归方程为$21.9 1.55y x =+；（3）估计该国第9天新型冠状病毒感染确诊的累计人数为$21.99 1.55155.45155y =⨯+=≈（人）． 20．解：（1）1()()32a y f x g x y x a x+'=+⇒=-+-，由()()y f x g x =+单增得0y '≥恒成立，分离参数得2132321111x x x x a x x+-+-≤=++恒成立，令2321()1x x m x x +-=+，(0)x >，则22244()(1)x x m x x ++'=+， ()0m x '∴>，()m x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)1m x m >=-，1a ∴≤-；（2）设2()()()3(1)ln 4n x f x g x x a x x ax =-=-+-+-，则1()32a n x x a x+'=--+，设函数()y n x =的图像与x 轴相切于0x x =处，则()()2000000003(1)ln 401320n x x a x x ax a n x x a x ⎧=-+-+-=⎪+⎨'=--+=⎪⎩①②由②得：[]000002(1)(1)13201x a x a x a x x x -+-+--+=-=⇒=或012a x +=，当01x =时，由①得：2a =③；当012a x +=时，由①得：2000022ln 40x x x x ---=，令2()22ln 4h x x x x x =+--，则：()2(ln )h x x x '=-，2(1)()x h x x-''=， ()h x '∴在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，min ()(1)20h x h '==>， ()h x ∴在(0,)+∞单调递增，又(1)50h =-<Q ，()()222640h e e e =-->， ()0h x ∴=只有一解0x ，且()201,x e ∈，()20211,21a x e =-∈-④，由③④可知：满足条件的实数a 有两个：12a =，()221,21a e ∈-．21解：（1）由题意易知：2212a a b b a=⎧=⎪⎪⇒⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=⎪⎩椭圆22:12x y Γ+=；（2）()22222122202:x y m y mty t AB x my t⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩设，()22820m t ∆=-+>①设()11,A x y ，()22,B x y ，则由题知()12222C mty y y m ∴=-+=+，()()12122422C tx x x m y y t m -=-+=-++=⎡⎤⎣⎦+由C 点在抛物线212y x =上得：2222214222221mt t m m m t -⎛⎫=⋅⇒=- ⎪+++⎝⎭②12t ⎛⎫<- ⎪⎝⎭ ()()()12211221123333222ABC ABO S S x y x y my t y my t y t y y ==-=+-+=+△△44==⇒=③将②代入③整理得：2[(21)]4(21)301t t t t t +-++=⇒=-或32-，相应的22m =或1，所以21,C ⎛⎫±⎪⎝⎭或(2,1)C ±． 22．解：（1）直线:2l y x =+，曲线2:C y x =；（2）过P 平行于l 的直线的参数方程为002222x x t y y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）联立曲线2:C y x =得：2200012202t y t y x ⎛⎫+-+-= ⎪⎭，001220(*)2x y ∆=-+>，所以()22212000000||||2221PA PB t t y x x y y x ⋅==-=-=⇒=-，∴点P 的到直线l 的距离：200003211222y y x y d -+-+==≥，当005412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（满足(*)式）时取“=”∴点P 的到直线l 的最近距离为1128．23．解，（1）4,244,12()22,114,1x x x f x x x x ≥⎧⎪-≤<⎪=⎨--≤<⎪⎪-<-⎩min ()4f x ∴=-，即4a ≥-（2）由（1）可得()y f x =的图象如下要使()||4f x x b ≤--恒成立，当函数||4y x b =--的一段经过点(2,4)时满足要求，此时6b =-，结合图象可知，当6b ≤-时满足条件．。