高三数学一轮复习复数_(1)
高考数学一轮复习复数口诀分享
家庭是幼儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好幼儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出早期抓好幼儿阅读的要求。我把幼儿在园里的阅读活动及阅读情况及时传递给家长，要求孩子回家向家长朗诵儿歌，表演故事。我和家长共同配合，一道训练，幼儿的阅读能力提高很快。三角形式的运算，须将辐角和模辨。利用棣莫弗公式，乘方开方极方便。
我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百பைடு நூலகம்文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。根本原因还是无“米”下“锅”。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。
两个不会为实数，比较大小要不得。复数实数很密切，须注意本质区别。
辐角运算很奇特，和差是由积商得。四条性质离不得，相等和模与共轭，
我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来就犯难了。知道“是这样”,就是讲不出“为什么”。根本原因还是无“米”下“锅”。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背”的重要性,让学生积累足够的“米”。
江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编21：复数
江苏省2014届高三数学一轮复习考试试题精选（1）分类汇编21：复数一、填空题1 ．（江苏省南京市2014届高三9月学情调研数学试题）已知复数z 满足1izi =+(i 为虚数单位),则|z|=___【答案】 2 ．（江苏省沛县歌风中学（如皋办学）2014届高三上学期期中模拟数学试题）设复数z=22(1)i i ++(i 为虚数单位),则复数z 的虚部是________【答案】1-3 ．（江苏省南京市第五十五中学2014届高三上学期第一次月考数学试题）复数111-++-=ii z ,在复平面内z 所对应的点在(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限【答案】B4 ．（江苏省宿迁市2014届高三上学期第一次摸底考试数学试卷）设复数z 满足(1i)22i z -=+,其中i 是虚数单位,则z 的值为______.【答案】25 ．（江苏省如皋中学2014届高三上学期期中模拟数学试卷）复数ii 215+的实部是_________________ 【答案】26 ．（江苏省扬州市扬州中学2014届高三10月月考数学试题）设复数z 满足12zi i =+(i 为虚数单位),则||z =_____________.【答案】7 ．（江苏省徐州市2014届高三上学期期中考试数学试题）复数12i z i-=的虚部是_____________. 【答案】—18 ．（江苏省淮安市车桥中学2014届高三9月期初测试数学试题）复数z (1i)(2i)=-+的实部为_____.【答案】39 ．（江苏省泰州中学2014届第一学学期高三数学摸底考试）已知i 是虚数单位,若=b +i (a ,b ),则ab 的值为__________.【答案】-310．（江苏省梁丰高级中学2014届第一学期阶段性检测一）计算:21i i=+___________ 【答案】1i +11．（江苏省阜宁中学2014届高三第一次调研考试数学（理）试题）复数z 满足()122z i i +=-(i 为虚数单位),则复数z 的共轭复数为________.【答案】2i12．（江苏省泰兴市第三高级中学2014届高三上学期期中调研测试数学理试题）已知复数),(R y x yi x z ∈+=,且5)21(=+z i ,则=+y x ______【答案】1-13．（江苏省连云港市赣榆县清华园双语学校2014届高三10月月考数学试题）复数z (1i)(2i)=-+的实部为___________________【答案】314．（江苏省南莫中学2014届高三10月自主检测数学试题）已知i 是虚数单位,复数z = 12i 34i+-,则 | z | = ______. 【答案】 5 ;15．（江苏省扬州中学2014届高三开学检测数学试题）在复平面内，复数12i i+-（其中i 为虚数单位）对应的点位于第 ▲ 象限．【答案】一16．（江苏省无锡市市北高中2014届高三上学期期初考试数学试题）2(2)(1)12i i i++=-____________. 【答案】-217．（江苏省启东中学2014届高三上学期期中模拟数学试题）已知复数),(R y x yi x z ∈+=,且5)21(=+z i ,则=+y x ______.【答案】粘贴有误，原因可能为题目为公式编辑器内容，而没有其它字符18．（江苏省无锡市2014届高三上学期期中调研考试数学试题）若复数1()2ai a R i+∈-是纯情虚数(i 是虚数单位),则a 的值为_________________.【答案】219．（江苏省苏州市2014届高三暑假自主学习测试（9月）数学试卷）设复数z 满足i 12i z =+(i 为虚数单位),则||z =______.【答案】20．（江苏省诚贤中学2014届高三上学期摸底考试数学试题）已知(a +i)2=2i,其中i 是虚数单位,那么实数 a =________.【答案】1。
高三数学复数知识点整理
高三数学复数知识点整理复数是高考选择题必考的知识点之一，想要高考得高分，选择题就一分也不能丢，小编为各位学子整理了《高三数学复数知识点整理》感谢阅读！【一】两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d。
特殊地，a，b∈R时，a+bi=0a=0，b=0.复数相等的充要条件，提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径。
复数相等特别提醒：一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小。
如果两个复数都是实数，就可以比较大小，也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。
解复数相等问题的方法步骤：(1)把给的复数化成复数的标准形式;(2)根据复数相等的充要条件解之。
【二】复数的概念：形如a+bi(a，b∈R)的数叫复数，其中i叫做虚数单位。
全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。
复数的表示：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a叫复数的实部，b叫复数的虚部。
复数的几何意义：(1)复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。
显然，实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数(2)复数的几何意义：复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应;反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。
这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。
复数的模：复数z=a+bi(a、b∈R)在复平面上对应的点Z(a，b)到原点的距离叫复数的模，记为|Z|，即|Z|=虚数单位i：(1)它的平方等于-1，即i2=-1;(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立(3)i与-1的关系：i就是-1的一个平方根，即方程x2=-1的一个根，方程x2=-1的另一个根是-i。
高三数学复习知识点之复数
高三数学复习知识点之复数1. ⑴复数的单位为i，它的平方等于－1，即i²=-1.⑵复数及其相关概念：① 复数—形如a + b i的数（其中a，b∈R）；② 实数—当b = 0时的复数a + b i，即a；③ 虚数—当b≠0时的复数a + b i；④ 纯虚数—当a = 0且b≠0时的复数a + b i，即b i.⑤ 复数a + b i的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）⑥ 复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示.⑶两个复数相等的定义：a+bi=c+di<=>a=c且b=d(其中,a,b,c,d∈R)特别的a+bi=0<=>a=b=0.⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若z₁,z₂为复数，则1°若z₁+z₂>0，则z₁>-z₂.（×）[z₁,z₂为复数，而不是实数]2°若z₁<z₂，则z₁-z₂<0.（√）②若a,b,c∈C，则(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0是a=b=c的必要不充分条件.（当(a-b)²=i²，(b-c)²=1,(c-a)²=0时，上式成立）2. ⑴复平面内的两点间距离公式：d=|z₁-z₂|.其中z₁,z₂是复平面内的两点z₁和z₂所对应的复数，d表示z₁和z₂间的距离.由上可得：复平面内以z0为圆心，r为半径的圆的复数方程：|z-z0|=r(r>0).⑵曲线方程的复数形式：①|z-z0|=r表示以z0为圆心，r为半径的圆的方程.②|z-z₁|=|z-z₂|表示线段z₁z₂的垂直平分线的方程.③|z-z₁|+|z-z₂|=2a(a>0且2a>|z₁z₂|表示以Z₁,Z₂为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若2a=|z₁z₂|，此方程表示线段Z₁,Z₂）.④||z-z₁|-|z-z₂||=2a(0<2a<|z₁z₂|,表示以Z₁,Z₂为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若2a=|z₁z₂|，此方程表示两条射线）.⑶绝对值不等式：设z₁,z₂是不等于零的复数，则①||z₁|-|z₂||≤|z₁+z₂|≤|z₁|+|z₂|.左边取等号的条件是z₂=λz₁(λ∈R,且λ<0)，右边取等号的条件是z₂=λz₁(λ∈R,λ>0).②||z₁|-|z₂||≤|z₁-z₂|≤|z₁|+|z₂|.左边取等号的条件是z₂=λz₁(λ∈R,且λ>0)，右边取等号的条件是z₂=λz₁(λ∈R,且λ<0).注：3. 共轭复数的性质：注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]4⑴①复数的乘方：zⁿ=z·z·z...z}n(n∈N﹢)②对任何z，z₁,z₂∈C及m,n∈N﹢有③注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如i²=-1,i的4次方=1若由就会得到-1=1的错误结论.②在实数集成立的|x|=x₂. 当x为虚数时，|x|≠x²，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：若ω是1的立方虚数根。
复数-解析版(一轮复习讲义)
复数复数的概念和基本运算【知识精讲】 1 复数的定义1） 概念：设i 为方程21x =-的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除运算，便产生形如bi a +(,a b R ∈)的数叫做复数，全体复数所成的集合C 叫做复数集。
复数通常用字母z 表示，即bi a z +=(,a b R ∈)，其中a 称作实部记作()Re z ，b 称为虚部记作()Im z ，bi a z +=(,a b R ∈)称为代数形式，它是由实部、虚部和虚数单位三部分组成. 2）虚数单位的性质i 叫做虚数单位，并规定：① i 可与实数进行四则运算；② 12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x =或i x -=3）复数的定义要注意以下几点：○1bi a z +=(,a b R ∈)被称为复数的代数形式，其中bi 表示b 与虚数单位i 相乘○2数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式 4）复数相等复数a bi +与c di +(),,,a b c d R ∈相等，当且仅当a cb d=⎧⎨=⎩，记作a bi c di +=+.2 复数的分类对于复数a bi +(,a b R ∈)，当且仅当0b =时，它是实数；当且仅当0a b ==时，它是实数0；当0b ≠时，它叫做虚数，当0a =且0b ≠时，它叫做纯虚数. 显然，实数集R ,是复数集C 的真子集，即C R ≠⊂.3 复数的几何意义复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量(,)OZ a b =),(R b a ∈是一一对应关系（复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量） 相等的向量表示同一个复数 4 复数的模向量→OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z =若bi a z +=1，di c z +=2，则21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2221)()(d b c a z z -+-=-5.复数的其他形式(1)复数的三角形式：设z 对应复平面内的点Z ，连接OZ ，设xOZ θ∠=，OZ r =，则cos ,sin a r b r θθ==，所以()cos sin z r i θθ=+，这种形式称为三角形式.则θ称为的辐角.若02θπ≤<，则θ称为z 的辐角主值，记作()arg z θ=，r 称为z 的模，也记作z ，由勾股定理可知z =(2)复数的指数形式：,0,i z e r R θθ=≥∈(3)复数的向量形式：()(),,z a b a b R =∈，复数的向量形式可以很好体现复数的几何意义. 6.共轭复数：若bi a z +=(,a b R ∈)，则z a bi =-称为z 的共轭复数. 性质：(1)1212z z z z ±=± (2) 1212z z z z ⋅=⋅ (3)22z z z z ⋅==(4)1122z z z z ⎛⎫= ⎪⎝⎭(5)1212z z z z ⋅=⋅(6)1122z z z z = (7)121212z z z z z z -≤±≤+ (8)222212121222z z z z z z ++-=+(9)若1,z =则1z z=.7.复数的运算(1)加法运算：两个复数,a bi c di ++的和定义为()()()()a bi c di a c b d i +++=+++两个复数相加，实部和实部相加的结果为实部，虚部和虚部相加的结果为虚部. (2)乘法运算：两个复数,a bi c di ++的和定义为()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++两个复数相加乘，可以参照多项式乘法相乘，最后合并同类项.(3)减法运算：给定两个复数12,z z ，满足条件12z z z +=的复数z 叫做复数2z 减去1z 的差，记作21z z z =-.(4)除法运算：给定两个复数12,z z ，且10z ≠，满足条件12z z z =的复数z 叫做复数2z 除以去1z 的商，记作21z z z =. 设()12,,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，则()()()()()1222a bi c di ac bd bc ad iz a bi z z c di c di c di c d+-++-+====++-+ (5)开方运算：给定复数1z ，满足条件1nz z =的复数z 叫做复数1z 的n 次方根. 注解：一个不为0的复数z ，有n 个不同的n 次方根.任意一元n 次方程有n 个复数根.(6)按向量形式，加减法满足平行四边形和三角形法则.(7)按照三角形式，若()()11112222cos sin ,cos sin z r z r θθθθ=+=+，则()()12121212cos sin z z rr i θθθθ⋅=+++⎡⎤⎣⎦如20z ≠，则()()11121222cos sin z r i z r θθθθ=-+-⎡⎤⎣⎦ 8. 隶莫弗定理：()()cos sin cos sin nnr i rn i n θθθθ+=+⎡⎤⎣⎦9.开方：若()cos sin nz r i θθ=+，则22cos sin k k z i n n θπθπ++⎫=+⎪⎭，其中()0,1,2,,1k n =⋅⋅⋅-.10.实系数方程虚根成对定理：实系数一元n 次方程的虚根成对出现，即若z a bi =+是方程的一个根，则z a bi =-也是一个根.11.几个常用结论在复平面上的点1234,,,Z Z Z Z 对应的复数分别为1234,,,z z z z ，则 (1)()()1233212cos sin Z Z Z z z z z r i θθθ∠=⇔-=-⋅± (2)()43123421//z z Z Z Z Z k k R z z -⇔=∈-(3)()43123421z z Z Z Z Z ki k R z z -⊥⇔=∈-(4) 123,,Z Z Z 三点共线3121z z R z z -⇔∈- (5)123Z Z Z 的重心对应的复数为1233z z z ++ 12.复数表示的轨迹方程在复平面上的点12,Z Z 对应的复数分别为12,z z ，则 (1)1221Z Z z z =-表示复平面上12,Z Z 两点之间的距离； (2) 1z z r -=表示以1Z 为圆心，r 为半径的圆的方程； (3) ()1212+22z z z z a z z a --=-<表示椭圆； (4) ()1212+22z z z z a z z a --=-=表示线段； (5) ()121222z z z z a z z a ---=->表示双曲线； (6) ()121222z z z z a z z a ---=-=表示两条射线； (4) 12=z z z z --表示垂直平分线方程；13. 在复平面上的点123,,Z Z Z 对应的复数分别为123,,z z z ，则123Z Z Z 的面积为()1231223311Im 2Z Z Z Sz z z z z z =++ 【典型例题】 例1．已知复数i1iz =+，则它的共轭复数z =（ ） A ．1i2+ B ．1i2- C ．1i + D ．1i -【答案】B【分析】利用复数的除法运算化简复数z ，再由共轭复数的定义即可求解.【解】因为i i(1i)1i =1i (1i)(1i)2z -+==++-，所以1i 2z -=，故选：B. 例2．已知复数z 满足()()2i 2i 1i z +=+-，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D【分析】本题首先可根据复数的乘法运算得出33i z =-，然后根据复数z 在复平面内对应的点为()3,3-即可得出结果.【解】()()2i 2i 1i z +=+-，即()()22i 1i 2i 22i i i 2i 33i z =+-=-+-=---，则复数z 在复平面内对应的点为()3,3-，在第四象限，故选：D.例3．欧拉恒等式：π10i e +=被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数e 、圆周率π、虚数单位i 、自然数1和0完美地结合在一起，它是在欧拉公式：()cos sin i e i R θθθθ=+∈中，令πθ=得到的．根据欧拉公式，4i e 复平面内对应的点在（ ）． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】直接利用欧拉公式化简求解，结合三角函数值的符号，即可判定复数对应的点所在的象限，得到答案.【解】由题意，欧拉公式()cos sin i e i R θθθθ=+∈，可得4cos 4sin 4i e i =+，因为cos 40,sin 40<<，所以4i e 复平面内对应的点(cos 4,sin 4)在第三象限.故选：C.【变式3-1】（不定项选择题）欧拉公式i cos isin x e x x =+其中i 为虚数单位，)x R ∈是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位．依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）A ．i422e π=- B ．i2e π为纯虚数C ．复数i x e 的模长等于1D ．i3e π的共轭复数为12-i【答案】BCD【分析】由i cos isin x e x x =+，将所求复数化为()i ,z a b a R b R =+∈∈的形式，进而逐项判断可得其正误．【解】对A ，因为icos isin x e x x =+（其中i 为虚数单位，x ∈R ），所以i4e π=，故A 错；对B ，i 2i e π=为纯虚数，故B 正确；对C ，复数i x e 1=，故C 正确；对D ，i312e π=+其共轭复数为12-，故D 正确． 故选：BCD ．【变式3-2】欧拉公式i cos isin x x x e =+（其中i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发现的，即当π3x =时，πi 3πcos isin 3π3e ⋅=+，根据欧拉公式，若将2021πi e ⋅所表示的复数记为z ，则将复数1iz+表示成三角形式为________．3π3πcos sin 44i ⎫+⎪⎝⎭【分析】根据欧拉公式i cos isin x x x e =+，先求出2021πi e ⋅，再进行复数的除法运算，最后再表示为三角形式.【解】因为2021πi e cos 2021πsin 2021π1i =+=-，所以13π3πcos sin 1+1244z i i i -⎫==+⎪+⎝⎭.故答案为：3π3πcos sin 244i ⎫+⎪⎝⎭【变式3-3】已知i cos isin x x x e =+，则2022i e 对应的点位于复平面的第________象限． 【答案】四【分析】根据题意得2022i cos 2022isin 2022e =+，结合2022是第四象限角，判断出cos 20220,sin 20220><，即可求出结果.【解】由题意得2022i cos 2022isin 2022e =+，因为2022是第四象限角，所以cos 20220,sin 20220><，而2022i cos 2022isin 2022e =+对应的点是()cos2022,sin 2022在第四象限，故答案为：四.例4.如图，在复平面内，复数12,z z 对应的向量分别是,OA OB ，则复数12z z -对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】先根据图形求出,OA OB ，进而得到122i,i z z =--=，结合复数的减法运算即可求出12z z -，从而求得所对应的点所在的象限.【解】由图可知()()2,1,0,1OA OB =--=，所以122i,i z z =--=，因此122i i=22i z z -=-----，所以12z z -在复平面内所对应的点为()2,2--，在第三象限，故选：C.例5.已知z 是关于x 的方程20x x a ++=的根，且z =则实数a =（ ）A ．B ．5-C ．5D 【答案】C【分析】根据共轭复数的性质得出25z z z ⋅==，结合根与系数的关系得出实数a 的值. 【解】实系数一元二次方程的虚根共轭成对出现，25z z z ⋅==，∴5a =．故选：C【变式5-1】若1i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则c =______. 【答案】2【分析】根据实系数方程的虚数根成对出现的性质得出另一根，然后由韦达定理得结论． 【解】因为1i +是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，所以1i -也是方程的根，所以(1i)(1i)2c =+-=．故答案为：2．例6.若复数z 满足1i 3z -+=，则复数z 对应的点的轨迹围成图形的面积等于（ ） A ．3 B ．9C ．6πD ．9π【答案】D【分析】利用复数的几何意义，即可判断轨迹图形，再求面积.【解】复数z 满足()13z i --=，表示复数z 对应的点的轨迹是以点()1,1-为圆心，半径为3的圆，所以围成图形的面积等于239S ππ=⨯=.故选：D【变式6-1】已知复数z 1，z 2满足|z 1|=1，|z 2|=5，则|z 1-z 2|的最小值是________． 【答案】4【分析】由题意画出图形，数形结合得答案． 【解】由1||1z =，2||5z =，可得1z ，2z 所对应点的轨迹分别为以原点为圆心，以1和5为半径的圆，12||z z -的几何意义为两圆上点的距离，由图可知，最小值为514-=．故答案为：4．【变式6-2】复数012i z =-，3z =，则0z z -的最大值是_____.【答案】【分析】设()i ,z a b a b R =+∈根据已知条件可得复数z 对应的点的轨迹，再利用复数模的几何意义即可求解.【解】设()i ,z a b a b R =+∈，则229a b +=，所以复数z 对应的点(),Z a b 的轨迹为以()0,0为圆心，3r =为半径的圆，即圆229x y +=，()()012i z z a b -=-++，0z z -=表示点(),a b 到点()1,2M -的距离，所以0z z -的最大值是33r OM +=+=+.故答案为：【变式6-3】18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如||||z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离．已知复数z 满足||1z =，i 为虚数单位，则|34i |z --的最小值为________． 【答案】4【分析】令i z x y =+且,x y R ∈，根据复数模的几何意义可知|34i |z --表示(3,4)与圆221x y +=上的点的距离，即可求其最小值.【解】若i z x y =+且,x y R ∈，由题意知：221x y +=即为圆心为(0,0)半径为1的圆， ∵|34i |z --的几何意义：圆221x y +=上的点到点(3,4)的距离， ∴|34i |z --的最小值为圆心(0,0)与(3,4)的距离减去半径1，∴min |34i |14z --==. 故答案为：4【变式6-4】若z C ∈且11z -=，则z 最大值是_______________. 【答案】3【分析】先分析出z 的轨迹可看成圆()(212:11O x y -+=，根据几何法可以得到z 表示圆上的点到原点的距离，即可求出z 最大值.【解】11z -=的几何意义为复平面动点到定点(距离为1的点的轨迹，可看成圆()(212:11O x y -+=，z 表示圆上的点到原点的距离，所以z 最大值为圆O 1到原点距离加上半径1，即 max 1=3z .故答案为：3.【变式6-5】若复数z 满足11z i +-≤，则z 的最大值是___________．1【分析】设z a bi =+，可求得其轨迹为以()1,1-为圆心，1为半径的圆及其内部，根据z 的几何意义可确定所求最大值为圆心到原点距离与半径之和.【解】设z a bi =+，则()1111z i a b i +-=++-=，()()22111a b ∴++-≤，z ∴对应点的轨迹为以()1,1-为圆心，1为半径的圆及其内部，z表示z 对应的点到原点的距离，max 11z ∴==.1.例7.已知i 是虚数单位，复数12iiz -=，则z =__________.【分析】本题首先可根据复数的除法运算得出2i z =--，然后根据共轭复数以及复数的模的相关性质即可得出结果.【解】()212i i 12i 2i2i i i 1z -⨯-+====---，则2i z =-+，z ==例8.已知复数()2236i z m m m m =-+-为纯虚数，则实数m =______. 【答案】3【分析】根据纯虚数满足的条件，得223060m m m m ⎧-=⎨-≠⎩，解方程即可求出结果.【解】因为复数()2236i z m m m m =-+-为纯虚数，所以223060m m m m ⎧-=⎨-≠⎩，解得3m =，故答案为：3例9．已知i 为虚数单位，复数z 满足()20212i i z -=，则复数z 的虚部为______.【答案】25【分析】根据复数的运算性质得到()2i i z -=，再结合复数的除法运算和复数的概念，即可求解.【解】由题意，复数z 满足()2021505412i ii i z ⨯+=-==，可得()()()i 2i i 12=i 2i 2i 2i 55z ⋅+==-+--+， 所以复数z 的虚部为25. 故答案为：25. 例10. 若复数1z 2cos isin33ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，21cos isin 244z ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则12z z 的辐角的主值为______． 【答案】712π. 【分析】首先求出12z z ，然后根据复数三角形式下的几何意义即可求出辐角主值. 【解】1212cosisincos isin 33244z z ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= cos isin cos isin 3344ππππ⎛⎫⎛⎫+⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2coscosicossinisincosi sinsin34343434ππππππππ=+++cos cos sin sin cos sin sin cos i 34343434ππππππππ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎭⎝=⎪⎝⎭1277cossin i 12ππ+=， 所以12z z 的辐角的主值为712π. 故答案为：712π. 例11.如果向量OZ 对应复数2i,OZ -绕原点O 按顺时针方向旋转4π后再把模变为原来的32倍得到向量1OZ ，则1OZ 对应的复数是___________.【答案】22-- 【分析】先求出复数2i -的三角形式，然后利用三角形式变换求解1OZ 对应的复数【解】因为332i 2cos isin 22ππ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，所以由题意可得1OZ 对应的复数为3332cos isincos isin 22244ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦333cos isin 2424ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦553cos isin44ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭322⎛⎫=⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭22=--，故答案为：i 22--例12. 设1z 、2z C ∈，若121z z ==，则2212z z -的最大值为______. 【答案】2【分析】根据已知条件，结合不等式，即可求解．【解】12||||1z z ==，∴22221211||||||112z z z z -+=+=．故答案为：2．例13.已知复数1z ，2z 满足121z z ==，12z z +=，则12z z -=______.【分析】令1cos isin z A A =+，2cos isin z B B =+，由12||z z +=22(cos cos )(sin sin )2A B A B +++=，从而2cos cos 2sin sin 0A B A B +=，由此能求出12||z z -．【解】复数1z ，2z 满足12||||1z z ==，∴令1cos isin z A A =+，2cos isin z B B =+12||z z +=，22(cos cos )(sin sin )2A B A B ∴+++=，整理得2cos cos 2sin sin 0A B A B +=， 又22212||(cos cos )(sin sin )22cos cos 2sin sin 2z z A B A B A B A B -=-+-=--=，12||z z ∴-=例14.i 是虚数单位，则202111i 1i kk =-⎛⎫=⎪+⎝⎭∑______．【答案】i -【分析】利用复数的运算法则、复数的周期性、数列求和公式即可得出． 【解】21i (1i)2ii 1i (1i)(1i)2---===-++-，4(i)1-=，20214505(i)[(i)](i)i -=-⨯-=-， ∴()202120212021111i i [1(i)]i[1(i)]i i 1i 1(i)1(i)kk k k ==--⋅-----⎛⎫=-===- ⎪+----⎝⎭∑∑，故答案为：i -． 例15.已知复数()()2281543i,z m m m m m R =-++-+∈. （1）若z 是实数，求实数m 的值； （2）若z 是纯虚数，求实数m 的值：（3）若z 在复平面上对应的点位于直线y x =上，求实数m 的值. 【答案】（1）1m =或3；（2）5m =；（3）3m =.【分析】（1）结合z 是实数，得到2430m m -+=，解之即可求出结果；（2）结合z 是纯虚数，得到228150430m m m m ⎧-+=⎨-+≠⎩，解之即可求出结果；（3）先求出复数z 所对应的点为()22815,43m m m m -+-+，根据z 在复平面上对应的点位于直线y x =上，得到2281543m m m m -+=-+，解之即可求出结果. 【解】（1）因为z 是实数，所以2430m m -+=，解得1m =或3；（2）因为z 是纯虚数，所以228150430m m m m ⎧-+=⎨-+≠⎩，解得5m =；（3）复数z 所对应的点为()22815,43m m m m -+-+，又因为z 在复平面上对应的点位于直线y x =上，所以2281543m m m m -+=-+，解得3m =. 例16．已知复数32i23iz +=-. （1）求12i z --；（2）计算：234z z z z ++++……2021z +．【答案】（1（2）i .【分析】（1）根据复数除法法则化简z ，再由模的定义计算； （2）由i 的幂的性质分组计算得出结论．【解】化简 232i (32i)(23i)69i 4i 5i i 23i (23i)(23i)13z ++++++====--+（1）12i 1i z --=--，∴12i 1i z --=--=（2）计算22345i.i 1,i,1,i,z z z z z ===-=-==有44142431,,1,k k k k z z i z z i +++===-=-()k ∈Z ，且显然44142430k k k k z z z z ++++++=∴234z z z z ++++……20215050z z i +=⨯+=．43．已知复数22cossincos isin 9999z i ππππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． （1）求z 的共轭复数； （2）若复数0z =，求0z 在复平面内对应的点的坐标．【答案】（1）12-；（2）17⎛- ⎝⎭． 【分析】（1）利用复数的乘法运算法则及两角和正余弦公式得到结果； （2）利用复数的除法运算法则及几何意义得到结果. 【详解】（1）因为2222coscossin sin i sin cos cos sin 99999999z ππππππππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．所以221cos isin i 999922z ππππ⎛⎫⎛⎫=+++=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故z 的共轭复数为12；（2）因为017z ====-+，所以0z 在复平面内对应的点的坐标为17⎛- ⎝⎭.。
高考数学一轮总复习 第五章 5.5 复 数
∴ －x＋y＝3，
x＝1，
解得
故 x＋y＝5.
2x－y＝－2，
y＝4，
3 课时作业
PART THREE
基础保分练
1.已知复数z1＝6－8i，z2＝－i，则
z1 z2
等于
A.－8－6i
B.－8＋6i
√C.8＋6i
D.8－6i
解析 ∵z1＝6－8i，z2＝－i，
∴zz12＝6－－8i i＝6－－i82ii＝8＋6i.
②对角线C→A所表示的复数； 解 ∵C→A＝O→A－O→C，∴C→A所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i ③B点对应的复数. 解 O→B＝O→A＋A→B＝O→A＋O→C， ∴O→B所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
即B点对应的复数为1＋6i.
思维升华
复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求 的复数时，只要找出所求向量的始点和终点，或者用向量相 论即可.
A.20
B.12
√C.2 5
D.2
解析 设z＝＋bi，a，b∈R，
则由z2＝12＋16i，得a2－b2＋2abi＝12＋16i，
a2－b2＝12，
a＝4， a＝－4，
则
解得
或
2ab＝16，
b＝2
b＝－2，
即|z|＝ a2＋b2＝ 16＋4＝2 5.故选 C.
8.已知集合M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若M 数m的值为_3_或__6___.
基础自测
JICHUZICE
题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x2＋x＋1＝0没有解.( × ) (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( × ) (3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( × ) (4)原点是实轴与虚轴的交点.( √ ) (5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离
高三一轮复习第四章 第五节复数的概念与简单表示法
课时作业1．(2022·西安质检)已知复数z＝1＋2i2－i(i为虚数单位)，则z的虚部为( )A．－1 B．0 C．1 D．i【解析】 因为z＝1＋2i2－i＝（1＋2i）（2＋i）（2－i）（2＋i）＝5i5＝i，故虚部为1．【答案】 C2．(2022·唐山二模)已知复数z＝1＋a i3＋i为纯虚数(其中i为虚数单位)，则实数a＝( )A．－3 B．3C．－13D．13【解析】 由题意，复数z＝1＋a i3＋i＝（1＋a i）（3－i）（3＋i）（3－i）＝3＋a10＋3a－110i．因为复数z为纯虚数，可得{3＋a＝03a－1≠0，解得a＝－3．【答案】 A3．(2022·山东临沂一模)复数1－i2－i对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解析】 1－i2－i＝（1－i）（2＋i）（2－i）（2＋i）＝35－15i，其对应的点为(35，－15)，位于第四象限，故选D．【答案】 D4．(2022·山东日照二模)已知t∈R，i为虚数单位，复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，则t等于( )A．34B．43C．－43D．－34【解析】 因为z1＝3＋4i，z2＝t＋i，所以z1·z2＝(3t－4)＋(4t＋3)i，又z1·z2是实数，所以4t＋3＝0，所以t＝－34，故选D．【答案】 D5．(2022·潍坊三模)若复数z＝x＋（x2－x）ii(x∈R)为纯虚数，则x等于( )A．1 B．0C．－1 D．0或1【答案】 A6．(2022·青岛二模)任意复数z＝a＋b i(a，b∈R，i为虚数单位)都可以z＝r(cos θ＋isin θ)的形式，其中r＝a2＋b2，(0≤θ<2π) 该形式为复数的三角形式，其中θ称为复数的辐角主值．若复数z＝2i1－3i，则z的辐角主值为( )A．π6B．π3C．2π3D．5π6【解析】 因为z＝2i 1－3i＝2i（1＋3i）（1－3i）（1＋3i）＝－32＋12i．所以z＝cos 5π6＋isin5π6．所以z的辐角主值为5π6．【答案】 D7．(2022·丹东二模)复数z为纯虚数，复数z＋21－i为实数，则z＝( )A．－2i B．－i C．i D．2i 【解析】 设z＝b i(b∈R)，则z＋21－i＝2＋b i1－i＝（2＋b i）（1＋i）（1－i）（1＋i）＝（2－b）＋（2＋b）i2．∵复数z＋21－i为实数，∴2＋b＝0，解得b＝－2．∴z＝－2i．故选A．【答案】 A8．(2022·深圳市育才中学)复数z ＝1＋3i 3－i ＋21－i (i 为虚数单位)的共轭复数z ＝( ) A ．1－iB ．1＋iC ．1＋2iD ．1－2i 【解析】 依题意得z ＝i （3－i ）3－i ＋2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋2i ，所以z ＝1－2i ．故选D ．【答案】 D 9．(2022·衡水一模)z － 是z 的共轭复数，若z ＋z － ＝2，(z －z －)i ＝2(i 为虚数单位) ，则z ＝( )A ．1＋iB ．－1－iC ．－1＋iD ．1－i【解析】 设z ＝a ＋b i ，z －＝a －b i ，a ，b ∈R ，依题意有2a ＝2，－2b ＝2，故a ＝1，b ＝－1，z ＝1－i ．【答案】 D10．(2022·威海二模)已知纯虚数z 满足(1－2i)z ＝2＋a i ，其中i 虚数单位，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2【解析】 因为(1－2i)z ＝2＋a i ，所以z ＝2＋a i 1－2i＝（2＋a i ）（1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＝2－2a ＋（4＋a ）i 5， 又因为z 是纯虚数，所以2－2a ＝0，所以a ＝1．故选B ．【答案】 B11．(2022·石家庄五校联考)设复数z 满足z －i 2－i ＝i ，则|z |＝( )A ．10B ．5C ．3D ．1【解析】 ∵复数z满足z－i2－i＝i，∴z＝i(2－i)＋i＝1＋3i，则|z|＝12＋32＝10故选A．【答案】 A12．(2022·潍坊二模)设复数z与1＋3i1－i在复平面内对应的点关于实轴对称，则z等于( )A．－1＋2i B．1＋2i C．1－2i D．－1－2i【解析】 ∵1＋3i1－i＝（1＋3i）（1＋i）（1－i）（1＋i）＝－2＋4i2＝－1＋2i，∴1＋3i1－i在复平面内对应的点的坐标为：(－1，2)．∵复数z与1＋3i1－i在复平面内对应的点关于实轴对称，∴复数z在复平面内对应的点的坐标为：(－1，－2)．则z＝－1－2i．故选：D．【答案】 D13．(2022·银川一中月考)已知|z－1－i|＝1，则|z－i|的取值范围是________．【解析】 因为在复平面内，|z－1－i|＝1表示复平面内到点(1，1)距离为1的所有复数对应的点，即复数z对应的点都在以(1，1)为圆心，半径为1的圆上；|z＋i|表示复平面内的点到点(0，－1)的距离，最小值为（0－1）2＋（－1－1）2－1＝5－1，最大值为（0－1）2＋（－1－1）2＋1＝5＋1，所以|z＋i|的取值范围是[5－1，5＋1]．【答案】 [5－1，5＋1]14．(2022·耀华中学二模)复数z＝a＋2i，a∈R，若zi＋1－3i为实数，则a＝________．【解析】 ∵zi＋1－3i＝a＋2ii＋1－3i＝－i（a＋2i）i·（－i）＋1－3i＝3－(a＋3)i，∵zi＋1－3i∈R∴a＋3＝0，即a＝－3．【答案】 －3。
2024届新高考一轮复习北师大版 第5章 第4节 复数 课件(50张)
第五章 平面向量、复数 第四节 复 数
内 夯实·主干知识 容 探究·核心考点 索 引 课时精练
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【考试要求】 1.理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件.2. 了解复数的代数表示法及其几何意义；能将代数形式的复数在复平面上用 点或向量表示，并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表 示.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加，相减的几 何意义．
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内容
意义
复数 a＋bi(a，b∈R) 复数的
分类
复数相 a＋bi＝c＋di⇔a＝c 且 b＝d(a，b， 等 c，d∈R)
备注
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内容
意义
若两个复数的实部_相__等_，而虚部互
共轭复 为相__反__数__，则称这两个复数互为共
数 轭复数．复数 z 的共轭复数用 z 表
示．
备注
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2．复数代数运算中常用的三个结论
在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．
(1)(1±i)2＝±2i；11＋ －ii ＝i；11－ ＋ii ＝－i.
(2)－b＋ai＝i(a＋bi).
－ (3)z·z
＝|z|2＝|－z
|2，|z1·z2|＝|z1||z2|，zz12
＝||zz12||
任意两个复数 a＋bi 和 c＋di(a，b，c，d∈R)，(a＋bi)(c＋di)＝ _______(a_c_－__b_d_)_＋__(a_d_＋__b_c_)_i_________．
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5．复数的除法 对任意的复数 z1＝a＋bi(a，b∈R)和非零复数 z2＝c＋di(c，d∈R)，则zz12 ＝ac＋＋dbii ＝（（ac＋＋dbii））（（cc－－ddii）） ＝acc2＋＋db2d ＋bcc2＋－da2d i.
高考数学一轮总复习复数与二次方程的典型题型分析
高考数学一轮总复习复数与二次方程的典型题型分析在高考数学复习中，复数与二次方程是两个重要的概念和题型。
本文将对这两个主题进行深入的分析，并结合相应的典型题型进行讲解。
一、复数的概念及运算复数由实部和虚部组成，一般表示为a+bi，其中a为实部，bi为虚部。
复数的运算包括加法、减法、乘法和除法。
复数的加法和减法遵循实部相加、虚部相加的原则。
例如，(2+3i)+(4+2i)等于6+5i，(5-3i)-(2+4i)等于3-7i。
复数的乘法和除法则需要通过公式进行计算。
复数乘法的公式是(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。
例如，(3+2i)(4-5i)等于22-7i。
复数除法的公式是(a+bi)/(c+di)=(a+bi)(c-di)/(c^2+d^2)。
例如，(4+3i)/(2-5i)等于(-7/29)+(22/29)i。
二、复数与方程的联系复数与二次方程有着密切的联系，其中二次方程的解可以是实数也可以是复数。
下面我们来分析几个典型的题型。
1. 已知方程x^2+2x+5=0的解为复数，求方程的实部与虚部。
解：设方程的解为x=a+bi，代入方程得到(a+bi)^2+2(a+bi)+5=0，展开并整理得到a^2-b^2+2a+5+(2ab+2b)i=0。
由于复数相等，实部和虚部分别相等，因此可得到以下两个方程。
a^2-b^2+2a+5=02ab+2b=0解此方程组，得到a=-1，b=-1。
因此方程的实部为-1，虚部也为-1。
2. 已知方程x^2+x+2=0的解为复数，求方程的另一根。
解：设方程的解为x=a+bi，代入方程得到(a+bi)^2+(a+bi)+2=0，展开并整理得到a^2-b^2+a+2+(2ab+b)i=0。
由于复数相等，实部和虚部分别相等，因此可得到以下两个方程。
a^2-b^2+a+2=02ab+b=0解此方程组，得到a=-1/2，b=1/2。
因此方程的另一根为-1/2+1/2i。
高三数学复数部分的知识点
高三数学复数部分的知识点复数是数学中的一个重要概念，它能够用于解决许多实际问题和数学题目。
本篇文章将介绍高三数学复数部分的知识点，以帮助学生更好地理解和掌握这一内容。
一、复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，形如a+bi，其中a为实数部分，bi为虚数部分，i为虚数单位，满足i^2=-1。
实数部分a可以为0，虚数部分bi可以为0。
当虚数部分bi为0时，复数退化为实数。
二、复数的表示形式1. 代数形式：a+bi2. 共轭形式：a-bi，其中a和b均为实数。
共轭形式表示的是与原复数的实部相同而虚部的符号相反的复数。
3. 模长与幅角形式：复数可以表示为模长和幅角的形式，即z=r(cosθ+isinθ），其中r为模长，θ为幅角。
三、复数的运算1. 复数的加法与减法：复数相加减时，将实部相加减，虚部相加减，得到结果的实部与虚部。
2. 复数的乘法：复数相乘时，实部相乘减虚部相乘，得到结果的实部与虚部。
乘法公式：(a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i3. 复数的除法：复数相除时，分子分母同时乘以共轭复数的分母，然后按照乘法规则进行运算。
四、复数的特殊运算1. 幂运算：复数的幂运算可以通过模长和幅角进行计算。
具体步骤为：将复数转化为模长和幅角形式，然后对模长进行幂运算，对幅角进行乘法运算。
2. 倒数运算：复数的倒数可以通过取共轭复数再除以模长的平方来计算。
五、复数在解析几何中的应用1. 复平面：复数和平面上的点一一对应，可以用复平面表示。
实部在横轴上表示，虚部在纵轴上表示。
2. 复数与向量：复数可以用来表示平面上的向量，实部表示向量在横轴上的分量，虚部表示向量在纵轴上的分量。
3. 复数的模长与距离：复数的模长表示复数对应点到原点的距离，可以用来表示两个点之间的距离。
4. 复数的幅角与旋转：复数的幅角表示复数对应向量与横轴的夹角，可以用来表示向量的旋转角度。
六、应用示例复数的知识在各个领域都有广泛的应用。
高考数学一轮总复习复数的运算与复数方程的解法与复数函数的性质
高考数学一轮总复习复数的运算与复数方程的解法与复数函数的性质复数是数学中的一个重要概念，它包括实部和虚部。
在高考数学中，复数的运算、复数方程的解法以及复数函数的性质都是经常出现的考点。
本文将对这三个内容进行详细的讲解。
一、复数的运算复数的运算主要包括加减法、乘法和除法。
复数的加减法就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。
例如，(2+3i)+(4+5i)=6+8i，(4-2i)-(3+5i)=1-7i。
复数的乘法是将实部与实部相乘然后减去虚部与虚部相乘。
例如，(2+3i)*(4+5i)=7+22i，(4-2i)*(3+5i)=26+10i。
复数的除法需要将分母有理化，将分子与分母乘以共轭复数，再进行简化。
例如，(2+3i)/(4+5i)=(23-2i)/41。
二、复数方程的解法复数方程是指方程中含有未知数的复数解的方程。
对于一元一次复数方程a+bi=0，解析解为x=-b/a。
对于一元二次复数方程ax^2+bx+c=0，可以使用求根公式进行求解。
其中，根的公式为x1,x2=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
若b^2-4ac>0，则方程有两个不相等的实根；若b^2-4ac=0，则方程有两个相等的实根；若b^2-4ac<0，则方程有两个共轭复数根。
三、复数函数的性质复数函数是指函数自变量或者函数取值是复数的函数。
复数函数的性质主要包括奇偶性、周期性和双曲线。
对于函数f(x)，若f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数；若f(-x)=-f(x)，则称函数f(x)为奇函数。
对于周期性，复数函数f(x)的周期是指存在常数T>0，使得f(x+T)=f(x)成立。
对于双曲线，复数函数f(x)的双曲线是指将复平面看作坐标平面后，函数的图像在复平面上的表示为双曲线。
总结：高考数学中关于复数的运算、复数方程的解法以及复数函数的性质都是需要掌握的重要知识点。
掌握了复数的运算规则，能够灵活运用加减法、乘法和除法进行计算。
高三数学一轮复习课件——复数的三角形式(一)
导公式. 导公式
个弧度的正弦值，应当小于零 因此， (3) sin5 是角为 5 个弧度的正弦值，应当小于零. 因此，
3π 3π (sin 5) ⋅ (cos + i sin ) 5 5
3π 3π − i sin ) 5 5 3π 3 ) + i sin( π + π )] = ( − sin 5)[cos(π + 5 5 8π 8π = ( − sin 5)(cos + i sin ). 5 5 = ( − sin 5)( − cos
例 2．已知复数 z 的模为 2，实部为 3 ，求复数 z 的代数 ． ， 式和三角式. 式和三角式
分析与解答： 分析与解答： 解法一： 解法一：先求代数形式 由题， 由题，令 z = 3 + bi(b ∈ R ) ∵ |z|=2, ∴ 3 + b 2 = 2 , 解得 b=±1. ± ∴ z = 3 + i或 z = 3 − i . 化为三角形式
[r1 (cos θ 1 + i sin θ 1 )] ÷ [r2 (cos θ 2 + i sin θ 2 )] = r1 [cos(θ 1 − θ 2 ) + i sin( θ 1 − θ 2 )) (r2 ≠ 0) r2
复数乘除法的几何意义就是向量的旋转和伸缩变换 复数乘除法的几何意义就是向量的旋转和伸缩变换.
要求： 掌握复数三角形式的有关概念、 运算及几何 要求 ： 掌握复数三角形式的有关概念 、 意义，并能解决简单问形式： 例 1．化下列复数为三角形式： (1) − 2(cos π + i sin
高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题11.1 复数(解析版)
11.1 复数一．复数的有关概念(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R)的数叫做复数，其中a 叫做复数z 的实部，b 叫做复数z 的虚部(i 为虚数单位)．规定i 2=-1(2)分类：(3)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R)．(4)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R)．(5)模：向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|a ＋b i|或|z |，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2(a ，b ∈R)．二．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i 与复平面内的点Z (a ，b )及平面向量OZ →＝(a ，b )(a ，b ∈R)是一一对应关系．三．复数的运算（1）复数的加、减、乘、除运算法则设12i,i(,,,)z a b z c d a b c d =+=+∈R ，则①加法：12(i)(i)()()i z z a b c d a c b d +=+++=+++；②减法：；③乘法：； ④除法：1222i (i)(i)()i (i 0)i (i)(i)z a b a b c d ac bd bc ad c d z c d c d c d c d++-++-===+≠++-+． （2）复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有1221123123()(),z z z z z z z z z z +=+++=++．（3）复数乘法的运算定律复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意z 1，z 2，z 3∈C ，有1221z z z z ⋅=⋅，，1231213()z z z z z z z +=+.(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即OZ →＝OZ 1→＋OZ 2→，Z 1Z 2→＝OZ 2→－OZ 1→.考向一 复数的基本概念【例1】（1）复数12z i =-的虚部是 。
高考数学一轮总复习复数的几何意义与共轭复数
高考数学一轮总复习复数的几何意义与共轭复数高考数学一轮总复习：复数的几何意义与共轭复数复数是数学中一个重要的概念，对于高考数学来说，复数的几何意义和共轭复数是重要的知识点。
本文将介绍复数的概念、复数的几何意义以及共轭复数，并探讨它们在高考数学中的应用。
一、复数的概念复数是由实部和虚部组成的数，形式为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，满足i^2 = -1。
复数包括实数和纯虚数，实部为零时为纯虚数。
二、复数的几何意义复数可以用平面上的点来表示，实部和虚部分别对应点的横坐标和纵坐标。
例如，复数2+3i对应平面上的一个点，其横坐标为2，纵坐标为3，可以表示为(2,3)。
利用这种表示方法，我们可以将复数的加法、减法、乘法和除法转化为平面上点的运算。
两个复数的加法相当于将它们对应的点进行平移，减法相当于对点进行反向平移，乘法相当于对点进行旋转和缩放，除法相当于对点进行旋转和缩放再取倒数。
三、共轭复数给定复数z=a+bi，其共轭复数z*=a-bi。
共轭复数与原复数在平面上关于实轴对称，即对应的两个点关于实轴对称。
共轭复数有以下性质：1. 两个复数的和的共轭等于它们的共轭的和，即(z+w)* = z* + w*2. 两个复数的差的共轭等于它们的共轭的差，即(z-w)* = z* - w*3. 两个复数的积的共轭等于它们的共轭的积，即(zw)* = z*w*4. 一个复数的共轭的共轭等于它本身，即(z*)* = z共轭复数在复数的除法和复数方程的求解中起到重要的作用，能简化计算过程。
四、复数在高考数学中的应用1. 解方程：利用复数的概念和运算，我们可以解决一些在实数范围内无解的方程。
例如，方程x^2+1=0在实数范围内无解，但引入复数后，可得到两个解：x=±i。
2. 平面几何：复数可以表示平面上的点，通过复数的运算，可以进行平面几何的计算。
例如，两点间的距离可以用它们对应的复数表示，并使用模的概念计算。
(2015届高三一轮复习)复数
知识要点：1、复数()⎩⎨⎧==+=是虚部是实部b a b a bi a z ,； （1）规定：12-=i 且 34,1i i i =-=- ; （2） 22||b a z +=；（3） 当0=b 时，a z =是实数当0≠b 时， bi a z +=是虚数；当0=a 且0≠b 时，bi z =是纯虚数。
2、复数di c bia +=+的充要条件是：⎩⎨⎧==dbc a （即实部=实部，虚部=虚部） 3、共轭复数： bi a z bi a z -=−−→←+=共轭（主要用于除法中的分母有理化）4、复数的几何意义： 复数：OZ b a Z bi a z向量）（点转化为转化为−−→←−−→←+=, 习题训练：题组一：1、已知复数121+,1z i z i ==-计算： 12z z += ； 12z z -= ；12||z z -= ；12z z ⋅= ；12z z = ； 2、复数21i +的实部为 ，虚部为 。
3、（2012年高考（北京理））设,a b R ∈, “0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的（ ）A ．充分而不必要条B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件4、(2007广东文、理)若复数)2)(1(i bi ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数）则b ＝（ ）A ．-2B ．12- C. 12 D ．2 5．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是虚数，则实数m 满足（ ）（A ）m ≠－1 （B ）m ≠6 (C) m ≠－1或m ≠6 (D) m ≠－1且m ≠6 6、设1234,23z i z i =-=-+，则12z z -在复平面内对应的点位于（ ）A.第一象限B.第二象限 C 。
第三象限 D.第四象限7、（2010陕西）复数z =1i i +在复平面上对应的点位于（ ）(A)第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限 （D ）第四象限题组二： 8、（2010广东）若复数z 1=1+i ，z 2=3-i ，则z 1·z 2=（ ）A ．4+2 i B. 2+ i C. 2+2 i D.39、（2010四川）i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝10、（2010北京）在复平面内，复数6+5i, -2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（ ）（A ）4+8i (B)8+2i （C ）2+4i (D)4+i11、（2010湖）复数21i-等于（ ） A. 1+I B. 1-i C. -1+i D. -1-i12、（2010安徽）已知21i =-，则i(1)=（ ）ii(C)i(D)i13、（2010天津）i 是虚数单位，复数31i i+-=（ ） (A)1+2i (B)2+4i (C)-1-2i (D)2-i14．（2012年高考（广东理））(复数)设i 为虚数单位,则复数56i i-=（ ） A ．65i + B ．65i - C ．65i -+ D ．65i --15．（2012年高考（福建理））若复数z 满足1zi i =-,则z 等于（ ） A ．1i -- B ．1i - C ．1i -+D ．1i + 16．（2012年高考（大纲理））复数131i i-+=+（ ） A ．2i + B ．2i - C ．12i + D ．12i -17、（2010山东）已知()2,a i b i a b R i+=+∈，其中i 为虚数单位，则a b +=（ ） A. 1- B. 1 C. 2 D. 318．（2012年高考（安徽理））复数z 满足:()(2)5z i i --=;则z = （ ）A ．22i --B ．22i -+C ．i 2-2D ．i 2+2 19、（2007湖南理）复数22i 1+i ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于（ ） A ．4i B ．4i - C ．2i D ．2i -20、（2010福建）i 是虚数单位,41i ()1-i +等于 ( ) A ．i B ．-iC ．1D ．-1 20.（湖北理1）i 为虚数单位，则201111i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭= ( )A ．- iB ．-1C ．iD ．121、(2007安徽理)若a 为实数，i ai212++＝-2i ，则a 等于（ ）（A ）2 （B ）-2 （C ）22 （D ）-2222、（2007全国Ⅱ理）设复数z 满足i z 2i 1=+，则z =（ ） (A) -2+i (B) -2-i(C) 2-i (D) 2+i 23．（2012年高考（湖南理））已知复数2(3)z i =+ (i 为虚数单位),则|z|=_____. 24 ．（2012年高考（湖北理）方程26130x x ++=的一个根是（ ）A ．32i -+B ．32i +C ．23i -+D ．23i + 25 ．（2012上海理）若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根,则（ ） A ．3,2==c b .B ．3,2=-=c b .C ．1,2-=-=c bD ．1,2-==c b . 26．设复数i m m m Z )2+3+(+)2-m -(=22，试求m 取何值时（1）Z 是实数； （2）Z 是纯虚数； （3）对应的点在第三象限。
高三一轮复习资料-复数,概率.doc
第 1 页 共 1 页 江苏省13大市数学试题分类汇编-复数1、（常州市2013届高三期末）已知复数1i z =-+（为虚数单位），计算：z z z z⋅-= ． 2、（连云港市2013届高三期末）已知i 为虚数单位，复数z 满足(1－i)z ＝2，则z ＝ . 3、（南京市、盐城市2013届高三期末）复数2(12)i -的共轭复数是 ．4、（南通市2013届高三期末）已知复数z =32i i-(i 是虚数单位)，则复数z 所对应的点位于复平面的第 象限．5、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）已知i 是虚数单位，实数b a ,满足,10))(43(i bi a i =++则=-b a 43 .6、（苏州市2013届高三期末）设复数z 满足(2)12z i i +=-（为虚数单位），则z = ．7、（泰州市2013届高三期末）设复数122z i =+，222z i =-，则12z z = 8、（无锡市2013届高三期末）已知i 是虚数单位，则122i i -+等于 。
9、（扬州市2013届高三期末）将复数ii -+121(是虚数单位)写成),(R b a bi a ∈+，则=+b a ．江苏省13大市数学试题分类汇编-概率1、（常州市2013届高三期末）已知某拍卖行组织拍卖的10幅名画中，有2幅是膺品．某人在这次拍卖中随机买入了一幅画，则此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为 ．2、（连云港市2013届高三期末）．在数字1、2、3、4四个数中，任取两个不同的数，其和大于积的概率是 .3、（南京市、盐城市2013届高三期末）袋中装有2个红球, 2个白球, 除颜色外其余均相同, 现从中任意摸出2个小球, 则摸出的两球颜色不同的概率为 .4、（徐州、淮安、宿迁市2013届高三期末）从0，1，2，3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是 .5、（苏州市2013届高三期末）有5个数成公差不为零的等差数列，这5个数的和为15，若从这5个数中随机抽取一个数，则它小于3的概率是 ．6、（扬州市2013届高三期末）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为x ，y ，则x y 2=的概率为 ．。
高考数学一轮复习第五章平面向量、复数课时规范练27复数
课时规范练27 复数基础巩固组1.(2020江西九江高三二模)已知复数z 满足z (3-i)=10,则z=( )A.-3-i B .-3+i C .3-i D .3+i 2.(2019北京,理1)已知复数z=2+i,则z ·z =( )A.√3B.√5C.3D.53.(2020福建福州高三质量检测)设复数z 满足|z+1|=|z-i |,z 在复平面内对应的点为(x ,y ),则( )A.x=0 B .y=0 C .x-y=0D .x+y=04.(多选)对任意z 1,z 2,z ∈C ,下列结论成立的是( ) A.当m ,n ∈N *时,有z m z n =z m+nB.当z 1,z 2∈C 时,若z 12+z 22=0,则z 1=0且z 2=0C.互为共轭复数的两个复数的模相等,且|z |2=|z|2=z ·zD.z 1=z 2的充要条件是|z 1|=|z 2|5.(多选)已知i 为虚数单位,则下列结论正确的是( ) A.复数z=1+2i1-i 的虚部为32 B.复数z=2+5i -i 的共轭复数z =-5-2iC.复数z=12−12i 在复平面内对应的点位于第二象限 D.复数z 满足1z ∈R ,则z ∈R 6.复数z=1-2i,则z 2+3z -1=()A.2iB.-2C.-2iD.27.已知复数z=a+i(其中a ∈R ),则下面结论正确的是( )A.z =-a+iB.|z|≥1C.z 一定不是纯虚数D.z 在复平面内对应的点可能在第三象限8.(2020湖南怀化高三一模)已知i 是虚数单位,复数z=1-ii −12,则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限9.(2020江苏,2)已知i 是虚数单位,则复数z=(1+i)(2-i)的实部是 . 10.(2020辽宁沈阳期末)已知复数z 满足等式|z-i |=1,则|z-1|的最大值为 .综合提升组11.(2020浙江杭州高三质检)已知复数z 满足i =1-2zz -7,则|z|=( ) A.2B .√5C .2√2D .√1012.(多选)(2020江苏江都仙城中学高三月考)下面是关于复数z=2-1+i (i 为虚数单位)的命题,其中真命题有 ( )A.|z|=2B.z 2=2iC.z 的共轭复数为1+iD.若|z 0-z|=1,则|z 0|的最大值为√2+113.(2020湖南常德高三模拟)已知复数z 满足|z+i |=1,且|z|=2,则z=( ) A.1+i B .-1+iC .-2iD .2i14.(2020湖南衡阳高三一模)复数z 在复平面内所对应的点的坐标为(1,1),则|z |z的实部与虚部的和是( ) A.√2 B .0 C .√22D .√22−√22i15.(2020山东聊城二模)在复数范围内,实系数一元二次方程一定有根,已知方程x 2+ax+b=0(a ∈R ,b ∈R )的一个根为1+i(i 为虚数单位),则a1+i =( ) A.1-i B.-1+iC.2iD.2+i创新应用组16.(多选)(2020山东济南高三考前模拟)已知复数z=1+cos 2θ+isin 2θ-π2<θ<π2,则下列说法正确的是( )A.复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B.z 可能为实数C.|z|=2cos θD.1z 的实部为1217.国际数学教育大会(ICME)是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议,第十四届大会将在上海召开,其会标如图,包含着许多数学元素.主画面是非常优美的几何化的中心对称图形,由弦图、圆和螺线组成,主画面标明的ICME-14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744,也可以读出其二进制码(0)11111100100,换算成十进制的数是n ,则(1+i)2n = ,(1+i √2)n= .参考答案课时规范练27 复数1.D z=103-i =10(3+i )(3-i )(3+i )=3+i,故选D . 2.D ∵z=2+i,∴z =2-i .∴z ·z =(2+i)(2-i)=5. 故选D .3.D 复数z 满足|z+1|=|z-i |,∴√(x +1)2+y 2=√x 2+(y -1)2,化简得x+y=0,故选D .4.AC 由复数乘法的运算律知,A 正确;取z 1=1,z 2=i,满足z 12+z 22=0,但z 1=0且z 2=0不成立,故B 错误;由复数的模及共轭复数的概念知结论成立,故C 正确; 由z 1=z 2能推出|z 1|=|z 2|, 但|z 1|=|z 2|推不出z 1=z 2,因此z 1=z 2的必要不充分条件是|z 1|=|z 2|,故D 错误.故选AC .5.ABD 对于A,z=1+2i1-i =(1+2i )(1+i )(1-i )(1+i )=-12+32i,其虚部为32,故A 正确;对于B,z=2+5i-i =(2+5i)i =-5+2i,故z =-5-2i,故B 正确;对于C,z=12−12i 在复平面内对应点的坐标为12,-12,位于第四象限,故C 不正确;对于D,设z=a+b i(a ,b ∈R ),则1z =1a+bi =a -bia 2+b 2,又1z ∈R ,得b=0,所以z=a ∈R ,故D 正确.故选ABD.6.D ∵z=1-2i,∴z 2+3z -1=(1-2i )2+31-2i -1=-4i-2i =2,故选D .7.B z 的共轭复数为z =a-i,故A 错误;|z|=√a 2+1≥1,故B 正确;当a=0时,z=i 为纯虚数,故C 错误;因为z 的虚部为1,所以z 在复平面内对应的点不可能在第三象限,故D 错误.故选B .8.C∵z=1-i i −12=i -i 2i2−12=i+1-1−12=-32-i,∴复数z=1-i i −12在复平面内对应的点的坐标为-32,-1,位于第三象限,故选C .9.3 z=(1+i)(2-i)=3+i,实部是3. 10.√2+1 因为|z-i |=1,所以复数z 在复平面内对应的点是以(0,1)为圆心,1为半径的圆,如图所示,则|z-1|的最大值为圆心(0,1)到点A (1,0)的距离加1,即√(0-1)2+(1-0)2+1=√2+1. 11.D 由i =1-2zz -7,得z i -7i =1-2z ,即z=1+7i 2+i=(1+7i )(2-i )(2+i )(2-i )=9+13i 5=95+13i 5,所以|z|=√(95)2+(135)2=√10.故选D .12.BD 由题z=2-1+i =2(-1-i )(-1+i )(-1-i )=-2-2i2=-1-i,其共轭复数为-1+i,所以|z|=√2,z 2=1+i 2+2i =2i,若|z 0-z|=1,设z 0=a+b i,则(a+1)2+(b+1)2=1,即(a ,b )是圆(x+1)2+(y+1)2=1上的点,|z 0|=√a 2+b 2可以看成圆(x+1)2+(y+1)2=1上的点到原点的距离,最大值为√2+1,所以正确的命题为BD.13.C (方法1 赋值法)将A,B,C,D 四个选项中的值代入题目条件验算,可知C 选项为正确答案.(方法2)设z=a+b i(a ,b ∈R ), ∵|z+i |=1,|z|=2,∴{a 2+b 2=4,a 2+(b +1)2=1,∴{a =0,b =-2,∴z=-2i,故选C .14.B 由题意可得,z=1+i,z =1-i,则|z|=|z |=√2,∴|z |z =√21+i =√2(1-i )(1+i )(1-i )=√22−√22i,所以|z |z 的实部为√22,虚部为-√22,故实部和虚部的和为0,故选B . 15.B ∵x 1=1+i 是关于x 的实系数一元二次方程x 2+ax+b=0的一个根,∴x 2=1-i 也是此方程的一个根,∴a=-(x 1+x 2)=-(1+i +1-i)=-2. 所以a1+i =-21+i =-2(1-i )(1+i )(1-i )=-1+i .故选B .16.BCD 因为-π2<θ<π2,所以-π<2θ<π,所以-1<cos 2θ≤1,所以0<1+cos 2θ≤2,故A 错误;当sin 2θ=0,θ=0∈-π2,π2时,复数z 是实数,故B 正确;|z|=√(1+cos2θ)2+(sin2θ)2=√2+2cos2θ=2cos θ,故C 正确;1 z =11+cos2θ+isin2θ=1+cos2θ-isin2θ(1+cos2θ+isin2θ)(1+cos2θ-isin2θ)=1+cos2θ-isin2θ2+2cos2θ,则1z的实部是1+cos2θ2+2cos2θ=12,故D正确.故选BCD.17.-22 020-1∵11111100100=1×210+1×29+1×28+1×27+1×26+1×25+0×24+0×23+1×22+0×21+0×20=2 020.∴(1+i)2n=(2i)2 020=-22 020.(√2)n=(√2)2020=(√2)2×1010=i1 010=-1.。
2023年高考数学一轮复习第五章平面向量与复数1平面向量的概念及线性运算练习含解析
平面向量的概念及线性运算考试要求 1.理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义.2.掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义.3.了解向量线性运算的性质及其几何意义．知识梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，记作0.(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算法则(或几何意义)运算律加法交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法a－b＝a＋(－b)数乘|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. 常用结论1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A n ———→＝A 1A n —→，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．2．若F 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点，则OF →＝12(OA →＋OB →)．3．若A ，B ，C 是平面内不共线的三点，则PA →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心，AP →＝13(AB →＋AC →)．4．若OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则A ，B ，C 三点共线的充要条件是λ＋μ＝1. 5．对于任意两个向量a ，b ，都有||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)|a |与|b |是否相等，与a ，b 的方向无关．( √ ) (2)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b .( × )(3)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( × ) (4)起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．( √ ) 教材改编题1．(多选)下列命题中，正确的是( ) A ．若a 与b 都是单位向量，则a ＝b B ．直角坐标平面上的x 轴、y 轴都是向量C ．若用有向线段表示的向量AM →与AN →不相等，则点M 与N 不重合 D ．海拔、温度、角度都不是向量 答案 CD解析 A 错误，由于单位向量长度相等，但是方向不确定；B 错误，由于只有方向，没有大小，故x 轴、y 轴不是向量；C 正确，由于向量起点相同，但长度不相等，所以终点不同；D 正确，海拔、温度、角度只有大小，没有方向，故不是向量．2．下列各式化简结果正确的是( ) A.AB →＋AC →＝BC → B.AM →＋MB →＋BO →＋OM →＝AM → C.AB →＋BC →－AC →＝0 D.AB →－AD →－DC →＝BC →3．已知a 与b 是两个不共线的向量，且向量a ＋λb 与－(b －3a )共线，则λ＝________. 答案 －13解析 由题意知存在k ∈R ， 使得a ＋λb ＝k [－(b －3a )]，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，1＝3k ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝13，λ＝－13.题型一 向量的基本概念例1 (1)(多选)给出下列命题，不正确的有( ) A ．若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同B ．若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则四边形ABCD 为平行四边形 C ．a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥bD ．已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线 答案 ACD解析 A 错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；B 正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；C 错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；D 错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线． (2)如图，在等腰梯形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，点E ，F 分别在腰AD ，BC 上，EF 过点P ，且EF ∥AB ，则下列等式中成立的是( )A.AD →＝BC →B.AC →＝BD →C.PE →＝PF →D.EP →＝PF →教师备选(多选)下列命题为真命题的是( )A ．若a 与b 为非零向量，且a ∥b ，则a ＋b 必与a 或b 平行B ．若e 为单位向量，且a ∥e ，则a ＝|a |eC ．两个非零向量a ，b ，若|a －b |＝|a |＋|b |，则a 与b 共线且反向D ．“两个向量平行”是“这两个向量相等”的必要不充分条件 答案 ACD思维升华 平行向量有关概念的四个关注点 (1)非零向量的平行具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量． (4)a|a |是与a 同方向的单位向量． 跟踪训练1 (1)(多选)下列命题正确的是( ) A ．零向量是唯一没有方向的向量 B ．零向量的长度等于0C ．若a ，b 都为非零向量，则使a |a |＋b|b |＝0成立的条件是a 与b 反向共线D ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c 答案 BCD解析 A 项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A 错误； B 项，由零向量的定义知，零向量的长度为0，故B 正确；C 项，因为a |a |与b |b |都是单位向量，所以只有当a |a |与b|b |是相反向量，即a 与b 是反向共线时才成立，故C 正确；D 项，由向量相等的定义知D 正确．(2)对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a∥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，则a ∥b ，即充分性成立；若a ∥b ，则a ＝－b 不一定成立，即必要性不成立，即“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的充分不必要条件． 题型二 平面向量的线性运算 命题点1 向量加、减法的几何意义例 2 (2022·济南模拟)已知单位向量e 1，e 2，…，e 2023，则|e 1＋e 2＋…＋e 2023|的最大值是________，最小值是________． 答案 2023 0解析 当单位向量e 1，e 2，…，e 2023方向相同时， |e 1＋e 2＋…＋e 2023|取得最大值，|e 1＋e 2＋…＋e 2023|＝|e 1|＋|e 2|＋…＋|e 2023|＝2023； 当单位向量e 1，e 2，…，e 2023首尾相连时，e 1＋e 2＋…＋e 2023＝0，所以|e 1＋e 2＋…＋e 2023|的最小值为0. 命题点2 向量的线性运算例3 (多选)如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB ＝2AD ＝2CD ，E 是BC 边上一点，且BC →＝3EC →，F 是AE 的中点，则下列关系式正确的是( )A.BC →＝－12AB →＋AD →B.AF →＝13AB →＋13AD →C.BF →＝－13AB →＋23AD →D.CF →＝－16AB →－23AD →答案 ABD解析 因为BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－AB →＋AD →＋12AB →＝－12AB →＋AD →，所以选项A 正确； 因为AF →＝12AE →＝12(AB →＋BE →)＝12⎝⎛⎭⎪⎫AB →＋23BC →，而BC →＝－12AB →＋AD →，代入可得AF →＝13AB →＋13AD →，所以选项B 正确； 因为BF →＝AF →－AB →， 而AF →＝13AB →＋13AD →，代入得BF →＝－23AB →＋13AD →，所以选项C 不正确； 因为CF →＝CD →＋DA →＋AF →＝－12AB →－AD →＋AF →，而AF →＝13AB →＋13AD →，代入得CF →＝－16AB →－23AD →，所以选项D 正确．命题点3 根据向量线性运算求参数例4 (2022·青岛模拟)已知平面四边形ABCD 满足AD →＝14BC →，平面内点E 满足BE →＝3CE →，CD与AE 交于点M ，若BM →＝xAB →＋yAD →，则x ＋y 等于( ) A.52 B ．－52C.43 D ．－43答案 C解析 如图所示，易知BC ＝4AD ，CE ＝2AD ，BM →＝AM →－AB → ＝13AE →－AB →＝13(AB →＋BE →)－AB → ＝13(AB →＋6AD →)－AB → ＝－23AB →＋2AD →，∴x ＋y ＝43.教师备选1．(2022·太原模拟)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，若点O 满足AO →＝2OD →，则OC →等于( ) A.－13AB →＋23AC →B.23AB →－13AC →C.13AB →－23AC →D.－23AB →＋13AC →答案 A解析 如图所示，∵D 为BC 的中点， ∴AD →＝12(AB →＋AC →)，∵AO →＝2OD →，∴AO →＝23AD →＝13AB →＋13AC →，∴OC →＝AC →－AO →＝AC →－⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋13AC →＝－13AB →＋23AC →.2．(2022·长春调研)在△ABC 中，延长BC 至点M 使得BC ＝2CM ，连接AM ，点N 为AM 上一点且AN →＝13AM →，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ等于( )A.13B.12 C ．－12D ．－13答案 A解析 由题意，知AN →＝13AM →＝13(AB →＋BM →)＝13AB →＋13×32BC →＝13AB →＋12(AC →－AB →) ＝－16AB →＋12AC →，又AN →＝λAB →＋μAC →，所以λ＝－16，μ＝12，则λ＋μ＝13.思维升华 平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义． (2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值． 跟踪训练2 (1)点G 为△ABC 的重心，设BG →＝a ，GC →＝b ，则AB →等于( ) A ．b －2a B.32a －12b C.32a ＋12b D ．2a ＋b答案 A解析 如图所示，由题意可知 12AB →＋BG →＝12GC →， 故AB →＝GC →－2BG →＝b －2a .(2)(2022·大连模拟)在△ABC 中，AD →＝2DB →，AE →＝2EC →，P 为线段DE 上的动点，若AP →＝λAB →＋μAC →，λ，μ∈R ，则λ＋μ等于( )A ．1B.23C.32D ．2答案 B解析 如图所示，由题意知， AE →＝23AC →，AD →＝23AB →，设DP →＝xDE →，所以AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋xDE → ＝AD →＋x (AE →－AD →) ＝xAE →＋(1－x )AD → ＝23xAC →＋23(1－x )AB →， 所以μ＝23x ，λ＝23(1－x )，所以λ＋μ＝23x ＋23(1－x )＝23.题型三 共线定理及其应用 例5 设两向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )．求证：A ，B ，D 三点共线； (2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线． (1)证明 ∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ， CD →＝3(a －b )．∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →. ∴AB →，BD →共线， 又它们有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)解 ∵k a ＋b 与a ＋k b 共线，∴存在实数λ， 使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即k a ＋b ＝λa ＋λk b ， ∴(k －λ)a ＝(λk －1)b . ∵a ，b 是不共线的两个向量，∴k －λ＝λk －1＝0，∴k 2－1＝0，∴k ＝±1. 教师备选1．已知P 是△ABC 所在平面内一点，且满足PA →＋PB →＋PC →＝2AB →，若S △ABC ＝6，则△PAB 的面积为( )A ．2B ．3C ．4D ．8答案 A解析 ∵PA →＋PB →＋PC →＝2AB →＝2(PB →－PA →)， ∴3PA →＝PB →－PC →＝CB →，∴PA →∥CB →，且两向量方向相同，∴S △ABC S △PAB ＝BC AP ＝|CB →||PA →|＝3， 又S △ABC ＝6，∴S △PAB ＝63＝2.2．设两个非零向量a 与b 不共线，若a 与b 的起点相同，且a ，t b ，13(a ＋b )的终点在同一条直线上，则实数t 的值为________． 答案 12解析 ∵a ，t b ，13(a ＋b )的终点在同一条直线上，且a 与b 的起点相同，∴a －t b 与a －13(a ＋b )共线，即a －t b 与23a －13b 共线，∴存在实数λ，使a －t b ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a －13b ，又a ，b 为两个不共线的非零向量， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝23λ，t ＝13λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，t ＝12.思维升华 利用共线向量定理解题的策略(1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)是判断两个向量共线的主要依据． (2)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(3)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1.跟踪训练3 (1)若a ，b 是两个不共线的向量，已知MN →＝a －2b ，PN →＝2a ＋k b ，PQ →＝3a －b ，若M ，N ，Q 三点共线，则k 等于( ) A ．－1B ．1C.32D ．2答案 B解析 由题意知，NQ →＝PQ →－PN →＝a －(k ＋1)b ，因为M ，N ，Q 三点共线，故存在实数λ， 使得MN →＝λNQ →，即a －2b ＝λ[a －(k ＋1)b ]，解得λ＝1，k ＝1.(2)如图，已知A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0)答案 B解析 因为线段CO 与线段AB 交于点D ， 所以O ，C ，D 三点共线， 所以OC →与OD →共线， 设OC →＝mOD →，则m >1， 因为OC →＝λOA →＋μOB →， 所以mOD →＝λOA →＋μOB →， 可得OD →＝λm OA →＋μmOB →，因为A ，B ，D 三点共线， 所以λm ＋μm＝1，可得λ＋μ＝m >1， 所以λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)．课时精练1．(多选)下列选项中的式子，结果为零向量的是( ) A.AB →＋BC →＋CA → B.AB →＋MB →＋BO →＋OM → C.OA →＋OB →＋BO →＋CO → D.AB →－AC →＋BD →－CD → 答案 AD解析 利用向量运算，易知A ，D 中的式子结果为零向量． 2．若a ，b 为非零向量，则“a |a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B 解析a |a |，b |b |分别表示与a ，b 同方向的单位向量，a |a |＝b |b |，则有a ，b 共线，而a ，b 共线，则a|a |，b|b |是相等向量或相反向量，所以“a|a |＝b|b |”是“a ，b 共线”的充分不必要条件．3．设a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)，b 是一个非零向量，则下列结论不正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ＋b ＝aC ．a ＋b ＝bD ．|a ＋b |＝|a |＋|b |答案 B解析 由题意得，a ＝(AB →＋CD →)＋(BC →＋DA →)＝AC →＋CA →＝0，且b 是一个非零向量，所以a ∥b 成立，所以A 正确；由a ＋b ＝b ，所以B 不正确，C 正确；由|a ＋b |＝|b |，|a |＋|b |＝|b |， 所以|a ＋b |＝|a |＋|b |，所以D 正确．4．(2022·汕头模拟)下列命题中正确的是( ) A ．若a ∥b ，则存在唯一的实数λ使得a ＝λbB ．若a∥b ，b∥c ，则a∥cC ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0D ．|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b | 答案 D解析 若a ∥b ，且b ＝0，则可有无数个实数λ使得a ＝λb ，故A 错误； 若a ∥b ，b ∥c (b ≠0)，则a ∥c ，若b ＝0， 则a ，c 不一定平行，故B 错误； 若a·b ＝0，也可以为a ⊥b ，故C 错误；根据向量加法的三角形法则和向量减法的几何意义知， |a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |成立，故D 正确．5．在平行四边形ABCD 中，AC →与BD →交于点O ，E 是线段OD 的中点．若AC →＝a ，BD →＝b ，则AE →等于( ) A.14a ＋12b B.23a ＋13b C.12a ＋14b D.13a ＋23b 答案 C解析 如图所示，∵AC →＝a ，BD →＝b ， ∴AD →＝AO →＋OD → ＝12a ＋12b ， ∴AE →＝AD →－ED →＝12a ＋12b －14b ＝12a ＋14b .6．下列说法正确的是( ) A ．向量AB →与向量BA →的长度相等B ．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C ．向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反D ．向量的模是一个正实数 答案 A解析 A 项，AB →与BA →的长度相等，方向相反，正确；B 项，两个有共同起点且长度相等的向量，若方向也相同，则它们的终点相同，故错误；C 项，向量a 与b 平行时，若a 或b 为零向量，不满足条件，故错误；D 项，向量的模是一个非负实数，故错误.7.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 的中点，F 为DE 的中点，若AF →＝xAB →＋34AD →，则x 等于( )A.34B.23C.12D.14答案 C解析 连接AE (图略)，因为F 为DE 的中点， 所以AF →＝12(AD →＋AE →)，而AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12BC →＝AB →＋12AD →，所以AF →＝12(AD →＋AE →)＝12⎝⎛⎭⎪⎫AD →＋AB →＋12AD →＝12AB →＋34AD →， 又AF →＝xAB →＋34AD →，所以x ＝12.8．(多选)已知4AB →－3AD →＝AC →，则下列结论正确的是( ) A ．A ，B ，C ，D 四点共线 B ．C ，B ，D 三点共线 C ．|AC →|＝|DB →| D ．|BC →|＝3|DB →| 答案 BD解析 因为4AB →－3AD →＝AC →，所以3DB →＝BC →，因为DB →，BC →有公共端点B ，所以C ，B ，D 三点共线，且|BC →|＝3|DB →|， 所以B ，D 正确，A 错误； 由4AB →－3AD →＝AC →，得AC →＝3AB →－3AD →＋AB →＝3DB →＋AB →， 所以|AC →|≠|DB →|，所以C 错误．9．(2022·太原模拟)已知不共线向量a ，b ，AB →＝t a －b (t ∈R )，AC →＝2a ＋3b ，若A ，B ，C 三点共线，则实数t ＝__________. 答案 －23解析 因为A ，B ，C 三点共线，所以存在实数k ，使得AB →＝kAC →， 所以t a －b ＝k (2a ＋3b )＝2k a ＋3k b ， 即(t －2k )a ＝(3k ＋1)b .因为a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧t －2k ＝0，3k ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13，t ＝－23.10．已知△ABC 的重心为G ，经过点G 的直线交AB 于D ，交AC 于E ，若AD →＝λAB →，AE →＝μAC →，则1λ＋1μ＝________.答案 3解析 如图，设F 为BC 的中点，则AG →＝23AF →＝13(AB →＋AC →)，λμ∴AG →＝13λAD →＋13μAE →，又G ，D ，E 三点共线， ∴13λ＋13μ＝1，即1λ＋1μ＝3. 11．若正六边形ABCDEF 的边长为2，中心为O ，则|EB →＋OD →＋CA →|＝________. 答案 2 3解析 正六边形ABCDEF 中，EB →＋OD →＋CA →＝EO →＋DC →＋OD →＋CA →＝ED →＋DA →＝EA →， 在△AEF 中，∠AFE ＝120°，AF ＝EF ＝2， ∴|EA →|＝22＋22－2×2×2×cos120°＝23， 即|EB →＋OD →＋CA →|＝2 3.12．在平行四边形ABCD 中，点M 为BC 边的中点，AC →＝λAM →＋μBD →，则λ＋μ＝________. 答案 53解析 AC →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12AD →＋μ(AD →－AB →)＝(λ－μ)AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ2＋μAD →，又因为AC →＝AB →＋AD →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝1，λ2＋μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝43，μ＝13，所以λ＋μ＝53.13．(多选)点P 是△ABC 所在平面内一点，且满足|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2PA →|＝0，则△ABC 不可能是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形答案 AD解析 因为点P 是△ABC 所在平面内一点，且|PB →－PC →|－|PB →＋PC →－2PA →|＝0， 所以|CB →|－|(PB →－PA →)＋(PC →－PA →)|＝0， 即|CB →|＝|AB →＋AC →|， 所以|AB →－AC →|＝|AC →＋AB →|， 等式两边平方并化简得AC →·AB →＝0，所以AC →⊥AB →，∠BAC ＝90°，则△ABC 一定是直角三角形，也有可能是等腰直角三角形，不可能是钝角三角形和等边三角形．14．在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，若AB ＝4，且AD →＝14AC →＋λAB →(λ∈R )，则λ＝________，AD 的长为________． 答案 343 3解析 ∵B ，D ，C 三点共线， ∴14＋λ＝1，解得λ＝34. 如图，过D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ， 则AN →＝14AC →，AM →＝34AB →，∵在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于D ， ∴四边形AMDN 是菱形， ∵AB ＝4，∴AN ＝AM ＝3， ∴AD ＝3 3.15．(2022·滁州模拟)已知P 为△ABC 所在平面内一点，AB →＋PB →＋PC →＝0，|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2，则△ABC 的面积为( ) A. 3 B ．2 3 C ．3 3 D ．4 3答案 B解析 设BC 的中点为D ，AC 的中点为M ，连接PD ，MD ，BM ，如图所示，则有PB →＋PC →＝2PD →. 由AB →＋PB →＋PC →＝0， 得AB →＝－2PD →，又D 为BC 的中点，M 为AC 的中点， 所以AB →＝－2DM →，则PD →＝DM →，则P ，D ，M 三点共线且D 为PM 的中点， 又D 为BC 的中点，所以四边形CPBM 为平行四边形． 又|AB →|＝|PB →|＝|PC →|＝2， 所以|MC →|＝|BP →|＝2，则|AC →|＝4， 且|BM →|＝|PC →|＝2，所以△AMB 为等边三角形，∠BAC ＝60°， 则S △ABC ＝12×2×4×32＝2 3.16．若2OA →＋OB →＋3OC →＝0，S △AOC ，S △ABC 分别表示△AOC ，△ABC 的面积，则S △AOC ∶S △ABC ＝________. 答案 1∶6解析 若2OA →＋OB →＋3OC →＝0， 设OA ′——→＝2OA →，OC ′——→＝3OC →， 可得O 为△A ′BC ′的重心，如图，设S △AOB ＝x ，S △BOC ＝y ，S △AOC ＝z ， 则S △A ′OB ＝2x ，S △BOC ′＝3y ，S △A ′OC ′＝6z ， 由2x ＝3y ＝6z ，可得S△AOC∶S△ABC＝z∶(x＋y＋z)＝1∶6.。
高三数学一轮复习复数知识点总结
高三数学一轮复习复数知识点总结双数x被定义为二元有序实数对(a,b)，记为z=a+bi，以下是双数知识点总结，希望对考生有协助。
双数是高中代数的重要内容，在高考试题中约占8%-10%，普通的出一道基础题和一道中档题，经常与三角、解析几何、方程、不等式等知识综合.本章主要内容是双数的概念，双数的代数、几何、三角表示方法以及双数的运算.方程、方程组，数形结合，分域讨论，等价转化的数学思想与方法在本章中有突出的表达.而双数是代数，三角，解析几何知识，相互转化的枢纽，这对拓宽先生思绪，提高先生解综合习题才干是有益的.数、式的运算和解方程，方程组，不等式是学好本章必需具有的基本技艺.简化运算的看法也应进一步增强.在本章学习完毕时，应该明白对二次三项式的因式分解和解一元二次方程与二项方程可以画上圆满的句号了，对向量的运算、曲线的双数方式的方程、双数集中的数列等边缘性的知识还有待于进一步的研讨.1.知识网络图2.双数中的难点(1)双数的向量表示法的运算.关于双数的向量表示有些先生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵敏掌握有一定的困难.对此应仔细体会双数向量运算的几何意义，对其灵敏地加以证明.(2)双数三角方式的乘方和开方.有局部先生对运算法那么知道，但对其灵敏地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此仔细地加以训练.(3)双数的辐角主值的求法.(4)应用双数的几何意义灵敏地处置效果.双数可以用向量表示，同时双数的模和辐角都具有几何意义，对他们的了解和运用有一定难度，应仔细加以体会.3.双数中的重点(1)了解好双数的概念，弄清实数、虚数、纯虚数的不同点.(2)熟练掌握双数三种表示法，以及它们间的互化，并能准确地求出双数的模和辐角.双数有代数，向量和三角三种表示法.特别是代数方式和三角方式的互化，以及求双数的模和辐角在处置详细效果时经常用到，是一个重点内容. (3)双数的三种表示法的各种运算，在运算中注重共轭双数以及模的有关性质.双数的运算是双数中的主要内容，掌握双数各种方式的运算，特别是双数运算的几何意义更是重点内容.(4)双数集中一元二次方程和二项方程的解法.双数知识点总结分享到这里，更多内容请关注高考数学知识点栏目。
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1 3 i、ω(ω＝ － ＋ i) 2 2 i、ω 的 计
1＋i 1－i ① ± 1 ( i) ＝ ± 2i ； ② ＝i， ＝－ i；③i4n ＝ 1，i4n ＋1 1－i 1＋i
2
＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈Z)； 1 3 1 ④ω ＝－ － i＝ ω ＝ ，ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0. 2 2 ω
较大小，但若两个复数不全为实数，则不能比
较大小．在复数集里，一般没有大小之分，但 却有相等与不相等之分． (3) 熟悉扩充后，数的概念由实数集扩充 到复数集，实数集中的一些运算性质、概念、
关系就不一定适用了，如绝对值．
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) 4 ( 在 进 行 复 数 计 算 时 ， 要 灵 活 利 用 的 性 质 ， 适 当 变 形 ， 创 造 条 件 ， 从 而 转 化 为 关 于 算 问 题 ， 并 注 意 对 以 下 结 论 的 灵 活 应 用 ：
数的充要条件是 b≠0 ；是纯虚数的充要条件是 a＝0且b≠0 . 2．复数的相等 它们的实、虚部分别相等 ． 两个复数相等，则
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(1) 注意复数的代数形式 z ＝ a ＋ bi 中 a ， b∈R这一条件，否则a，b就不一定是复数的实 部与虚部． (2) 复数是实数的扩充，两个实数可以比
00 2 C．5 2
)
B． － i
00 2 D． － 5 2
[答案] A
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[解 题 思 路 ＝1，
] 利 用 i的 乘 方 的 性 质
1＋i (1＋i)2 ＝ ＝i 及 i4n 1－i 1＋1
1＋5 i002 5002 4002 得( ) ＝ i ＝ i · i＝i.故 选 A. 1－i
m2－m－6 例 1 当实数 m 为何值时，z＝ ＋(m2＋5m＋ m＋3 6)i (1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数 z 对应的 点在复平面内的第二象限内．
[分析] 根据复数的有关概念，转化为实部与虚部分别
满足的条件去求解．
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[解] ) 1 ( 若z为 实 数 ， 则 2. ) 2 ( 若z为 虚 数 ， 则
解得 x0＝1.
即方程有实根． 根据根与系数的关系，方程的两解分别为 1,3－2i.
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[规律总结]
对于复系数一元二次方程，不可用判别式
Δ 来判断此方程有无实根，而应该运用复数相等的条件转化 为实数方程进行讨论.
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易 错 题 1 ＋i 5 0 ( )02 1 －i 等 于 ( A．i
－ m＜ － m＜
， 即
3或 － 2＜m＜3 ， 3或m＞ － 2
∴m＜ － 3 或－2＜m＜3.
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例 2 计算： 1－i 1＋i (1) ＋ ； 2 2 (1＋i) (1－i) 1－ 3i (2) . 2 ( 3＋i)
1－i 1＋i 1－i 1＋i 1＋i －1＋i [解](1) ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝－1. 2 2 2i 2 (1＋i) (1－i) －2 i －2 1－ 3i ( 3＋i)(－i) －i (－i)( 3－i) 1 (2) ＝ ＝ ＝ ＝－ － 2 2 4 4 ( 3＋i) ( 3＋i) 3 ＋i 3 i. 4
2 m ＋5m＋6＝0 且 m＋3≠0，
解得 m≠－2 且 m≠－3. m2＋5m＋6≠0 2 m －m－6 m＋3 ＝0
) 3 ( 若z为 纯 虚 数 ， 则
， 解 得
m＝3.
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) 4 ( 若 z 对应 的 点 在 第 二 象 限 ， m2－m－6 ＜0 则 m＋3 m2＋5m＋6＞0
第68讲 数系的扩充——复数
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1.了解复数的有关概念及复数的代数表示和几 何意义． 最新 2．掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数 考纲 代数形式的加法、减法、乘法、除法运算． 3．了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基 本思想．
复数是高考的必考内容，通常以选择题、填空 高考 题的形式考查复数的概念与代数运算，也有可 热点 能是与三角函数、二项式定理等知识交汇的题 目.
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例 3 并解方程．
试分析方程x2－(4－2i)x＋3－2i＝0是否有实根？
解：设 x0 是方程 x2－(4－2i)x＋3－2i＝0 的实根，则 x2 0－(4－2i)x0＋3－2i＝0. 整理得(x2 0－4x0＋3)＋(2x0－2)i＝0，
2 x0－4x0＋3＝0， 则 2x0－2＝0，
2
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) 5 ( 在进行复数的运算时， 不能把实数的某些法则和性质 照搬到复数集中来，如下面的结论，当 z∈C 时不总是成立 的： ①zm＝zn⇒m＝n(z≠1)；
2 2 2 ②z2 1＋z2=0⇔z1＝z2＝0；③|z| ＝z .
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1.复数的意义 形如z＝a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数， 其中i叫 虚数单位 ，满足 实部 ，b叫做 虚部 ，复数集记作 C的关系是 . i2＝－1 ， a 叫 做 ，数集 N，Z，Q，R， C
z＝a＋bi(a，b∈R)是实数的充要条件是 b＝0 ； 是 虚
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