高三数学复数测试题doc
高三数学校本专题7复数、矩阵、行列式、平面向量、算法练习题
专题7：复数、矩阵、行列式、平面向量、算法1、若复数12z i =+，其中i 是虚数单位，则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭．2、已知曲线:C x =，直线:6l x =．若对于点(,0)A m ，存在C 上的点P 和l 上的Q 使得0AP AQ +=，则m 的取值范围为 ．3、设m ∈R ，()2221i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m = ． 4、若2011x =，111x y=，则x y += ． 5、已知正方形ABCD 的边长为1．记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1a 、2a 、3a ；以C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为1c 、2c 、3c ．若{},,,1,2,3i jkl ∈且,i j k l ≠≠，则()()i j k la a c c +⋅+的最小值是6、计算：31ii-=+ （i 为虚数单位）. 7、 在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足BM CN BCCD=，则AM AN ⋅的取值范围是 .8、若(2,1)d =是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示） 9、若直线l 过点()34,，且()1,2是它的一个法向量，则直线l 得方程为 。
10、行列式(,,,{1,1,2}a b a b c d c d∈-所有可能的值中，最大的是 .11、在正三角形ABC 中，D 是边BC 上的点，若3,1AB BD ==，则AB AD ⋅= .12、方程11112401020x x -=-的解为 .3nn -时，11a a +16、若行列式4513789xx 中，元素1的代数余子式大于0，则x 满足的条件是___________.17、某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是_________.18、设1234,,,A A A A 是平面上给定的4个不同点，则使12340MA MA MA MA +++=成立的点M 的个数为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）419、若1i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A 、2,3b c ==B 、2,1b c ==-C 、2,1b c =-=-D 、2,3b c =-=20、如图，四个边长为1的小正方体排成一个大正方形，AB 是 大正方形的一条边，(1,2,,7)i P i =是小正方形的其余顶点，则(1, 2, , 7)i AB AP i ⋅=的不同值的个数为（ ）(A) 7 (B) 5 (C) 3 (D) 121、已知复数1z 满足1(2)(1)1z i i -+=-（i 为虚数单位），复数2z 的虚部为2，且12z z ⋅是实数，求2z ？22、M 为ABC ∆的中线AD 的中点，过点M 的直线分别交两边,AB AC 于点,P Q ，设,AP x A B A Q y A C ==，记()y f x =.（1）求函数()y f x =的表达式；（2）求APQ ABCS S ∆∆的取值范围.23、已知复数z a bi =+（a 、b R +∈）(I 是虚数单位)是方程2450x x -+=的根 . 复数3w u i =+（u R ∈）满足w z -< u 的取值范围？参考答案1.62.[]2,33.2-4. 35.5-6.12i -7.()1,48.1arctan29. 2110x y +-= 10. 611.15212.1222,log 5x x == 13.45 14.S S a ←+ 15.62i - 16.458x >17.2,12,1x x y x x ⎧≤=⎨->⎩18. B 19.D 20.C 21.42i + 22. （1）()1,1413x f x x x ⎛⎫=≤≤ ⎪-⎝⎭ ；（2）1143⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 23.()2,6-。
【新课标】高三数学二轮精品专题卷 复数及算法框图
高三数学二轮精品专题卷：复数及算法框图考试范围：复数及算法框图一、选择题（本大题共15小题，每小题5分，共75分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．32111ii i +-的值等于（ ） A ． 1 B ．1-C ．iD ．i -2．执行下图所示的程序框图，输出结果是（ ） A ．5B ．3C ．2D ．13．（理）已知复数z 满足i iz -=+121，其中i 是虚数单位，则复数z 的共轭复数为 （ ） A ．i 21-B ．i 21+C ．i +2D ．i -2（文）若i 是虚数单位，则复数12-i i的共轭复数是 （ ） A ．i +1 B ．i -1 C ．i +-1 D ．i --14．执行下图所示的程序框图，输出结果是（ ） A ．5 B ．8C ．13D ．215．若复数z 满足i z i 41=-）（，则复数z 对应的点在复平面的（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．下图给出的是计算39151311+⋯+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 （ ）A ．10>iB ．10<iC ．20>iD ．20<i第2题图 第4题图 第6题图 7．若复数iia z -+=1，且03＞zi ，则实数a 的值等于 （ ）A ．1B ．1-C ．21D ．21-8．下面是一个算法的程序框图，当输入的x 值为7时，输出y 的结果恰好是1-，则处理框中的关系式是 （ ） A ．3x y =B ．x y -=2C ．x y 2=D ．1+=x y9．（理）已知∈b a ,R ，且复数∈++=biia z 1R ，则ab 等于 （ ） A ．0B ．1-C ．2D ．1（文）集合{}*-∈-==N n i i x x P n n ,|的子集的个数为 （ ） A ．4B ．8C ．16D ．无数个10．如下图，若输入的x 的值分别为3π和32π时，相应输出的y 的值分别为21,y y ，则 （ ）A ．21y y =B ．21y y ＞C ．21y y ＜ D ．无法确定11．若复数ia z 21-=是纯虚数，其中a 是实数，则=||z （ ） A ．1B ．2C ．21 D ．41 12．下图是统计高三年级2000名同学某次数学考试成绩的程序框图，若输出的结果是560，则这次考试数学分数不低于90分的同学的频率是 （ ） A ．0.28B ．0.38C ．0.72D ．0.62第8题图 第10题图 第12题图13．在复平面上的平行四边形ABCD 中，向量AC 、BD对应的复数分别为i 104+、i 86+-，则向量DA 对应的复数为 （ ） A ．i 182+ B ．i 91+C ．i 182-D ．i 91-14．运行列流程图，输出结果为（ ） A ．5B ．3C ．3-D ．2-14题图15．（理）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是10，则判断框内m 的取值范围是 （ ） A ．(56，72] B ．(72，90] C ．(90，110] D ．(56，90)（文）按如图所示的程序框图运算，若输出2=k ，则输入x 的取值范围是（ ） A ．］，（2200942007 B ．），［2200942007 C ．），（2200942007 D ．］，［220094200715（文）图 15（理）图 二、填空题（本大题共15小题，每小题5分，共75分.把答案填写在题中横线上） 16．已知复数 300sin 600cos i z -=，则在复平面内，复数z1所对应的点在第 象限． 17．如下图，根据程序框图可知，输出的函数）（x f 的解析式为 ．18．已知纯虚数z 满足i m z i +=+21）（，其中i 是虚数单位，则实数m 的值等于 ． 19．如下图是计算3331021+⋯++的程序框图，图中的①、②分别是 和 ．第17题图 第19题图 第20题图20．在流程图中（右上），若输出的函数）（x f 的函数值在区间］，［3391内，则输入的实数x 的取值范围是 ． 21．（理）已知∈b R 复数211+++i i b 的实部和虚部相等，则b 等于 ． （文）已知复数z 的实部为2-，虚部为1，则225z i = ．22．如下图是一个算法的程序框图，当输入x 的值为π433时，输出的y 的结果为 ． 23．已知复数i n m z ）（lg lg -=，其中i 是虚数单位，若复数z 在复平面内对应的点在直线x y =上，则mn 的值等于 ．．24．阅读下面的程序框图，该程序输出的结果是 ．22题图 24题图25．若复数）（）（ai i z ++=212对应的点在复平面的第一象限，则实数a 的取值范围是 ．26．如图所示的程序框图，若输入7=n ，则输出的n 值为 ．第26题图27．若数列{}n a 满足n n a i a i i a )1()1(11+=-=+，,则=2011a ． 28．如图是一个算法的程序框图，当输出结果为41时，请你写出输入的x 的的值 ．第28题图29．设复数i a a z )2()4(2++-=，若02＜z ，则实数a 的值为 ． 30．（理）如图所示的流程图，输出的结果为 ． （文）一个算法的程序框图如下，则其输出结果是 ．30（理）图 30（文）图2012届专题卷数学专题五答案与解析1．【命题立意】本题考查虚数单位i 的性质及其运算．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）虚数单位i的性质：1234,1,,1i i i i i i ==-=-=；（2）复数的除法运算法则． 【答案】A 【解析】2311111111i i i i i i i -+=--+=-++=--． 2．【命题立意】本题考查对基本算法语句以及顺序结构的理解与运用．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法中的赋值语句；（2）算法中的输出语句．【答案】C 【解析】2352m n m n =→=→=→=．3．（理）【命题立意】本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数乘法运算法则；（2）共轭复数的概念． 【答案】A 【解析】由112z i i+=-得2(1)122112z i i i i =--=+-=+，所以12z i =-． （文）【命题立意】本题考查复数的除法运算以及共轭复数的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数除法运算法则；（2）共轭复数的概念． 【答案】A 【解析】22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i +-+===---+-，故复数21ii -的共轭复数是1i +． 4．【命题立意】本题考查算法中的循环结构以及程序框图．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）赋值语句的含义；（2）循环结构的特点． 【答案】B 【解析】执行过程为：1,1,2x y z ===→1,2,3x y z ===→2,3,5x y z ===→3,5,8x y z ===→5,8,1310x y z ===>，输出8y =．5．【命题立意】本题考查复数除法运算以及复数的几何意义．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数的除法运算法则；（2）复数的几何意义．【答案】B 【解析】由于(1)4i z i -=，所以4221iz i i==-+-，因此复数z 对应的点在复平面的第二象限．6．【命题立意】本题考查对算法循环结构的理解与运用．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构的基本要求；（2）算法循环结构中的计数变量的赋值规则．【答案】C 【解析】式子11113539+++⋅⋅⋅+一共有20项，所以循环体应执行20次，当计数变量i 的值大于20时跳出循环，因此应填20>i ．7．【命题立意】本题考查复数的运算以及复数的有关概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）分母实数化方法的运用；（2）若两个复数能够比较大小，它们都是实数．【答案】A 【解析】由于331(1)(1)1111222a i ai ai i a azi i i i i +--++-=⋅===+--，依题意得1010a a -=⎧⎨+>⎩，解得1a =．8．【命题立意】本题考查算法中的循环结构及其应用．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构的执行过程特点；（2）常见函数的性质．【答案】A 【解析】依题意，输入的x 值为7，执行4次循环体，x 的值变为1-，这时，如果输出y 的结果恰好是1-，则函数关系式为3y x =．9．（理）【命题立意】本题考查复数的相关概念除法运算、分母实数化方法、【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数时实数的充要条件；（2）分母实数化方法．【答案】D 【解析】2()(1)()(1)1(1)(1)1a i a i bi a b ab i z bi bi bi b ++-++-===++-+，由于R ∈z ，所以10ab -=，即1ab =．（文）【命题立意】本题考查虚数单位i 幂值的周期性以及集合子集的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）虚数单位i 幂值的周期性： 1234,1,,1i i i i i i ==-=-=；（2）若集合有m 个元素，则有2m 个子集． 【答案】B 【解析】当1,2,3,4n =时，2,0,2,0x i i =-，因此集合P 只有3个元素：2,2,0x i i =-，故有8个子集．10．【命题立意】本题考查算法条件分支结构与三角函数的求值．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）分支结构的运行流程；（2）正弦函数与余弦函数的求值．【答案】B 【解析】输入x 的值为3π时，输出112y =，输入x 的值为23π时，输出212y =-，因此有12y y >，选B ．11．【命题立意】本题考查纯虚数的概念以及复数模的求解．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）分母实数化方法的应用；（2）纯虚数的概念；（3）复数模的计算公式． 【答案】C 【解析】由于221222(2)(2)44a i a z i a i a i a i a a +===+--+++，所以204a a =+，得0a =，这时12z i =，故1||2z =． 12．【命题立意】本题考查算法循环结构以及统计中频率的计算．[来源:金太阳新课标资源网 ]【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构的特点；（2）频率的计算公式． 【答案】C 【解析】根据流程图可知，输出结果为数学分数低于90分的同学的人数，因此这次考试数学分数不低于90分的同学的是20005601440-=，其频率为14400.722000=． 13．【命题立意】本题考查复数的几何意义以及复数与向量的关系．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键知识点：（1）复数的几何意义；（2）复数与向量的一一对应关系．【答案】D 【解析】设平行四边形对角线交于O 点，则11,22AO AC OD BD ==，即25,34A O i O D i =+=-+，又因为DA OA OD AO OD =-=-- ，所以向量DA 对应的复数为(25)(34)19DA i i i =----+=-，选D ． 14．【命题立意】本题考查算法程序框图的理解与运用以及余弦定理的应用．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）理解流程图的执行过程；（2）利用余弦定理判断三角形是钝角三角形的方法．【答案】D 【解析】程序的运行过程为：2,4,5m a b ===，以2,4,5为三边的三角形是钝角三角形，1,4n m =-=，以4,4,5为三边的三角形不是钝角三角形，6m =，以6,4,5为三边的三角形不是钝角三角形，8m =，以8,4,5为三边的三角形是钝角三角形，2n =-，109m =>，输出2n =-． 15．（理）【命题立意】本题考查算法流程图的理解与不等式的解法．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法流程图的执行过程与特点；（2）建立不等式求参数范围．【答案】B 【解析】由于程序的运行结果是10，所以可得24681012141624681012141618mm +++++++<⎧⎨++++++++≥⎩，解得7290m <≤．（文）【命题立意】本题考查算法流程图的理解与不等式的解法．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法流程图的执行过程与特点；（2）建立不等式求参数范围．【答案】A 【解析】由于程序的运行结果是2k =，所以可得2120102(21)12010x x +≤⎧⎨++>⎩，解得2007200942x <≤． 16．【命题立意】本题考查复数的除法运算以及几何意义．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数的运算方法——分母实数化．（2）复数za bi =+在复平面内对应的点为(,)ab ．【答案】三【解析】 300sin 600cos i z -=001cos600sin 3002zi =-=-，于是112z ==-，所以1z对应的点在第三象限．17．【命题立意】本题考查算法的条件分支结构以及分段函数问题．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法条件分支结构的特点；（2）分段函数的解析式应分段求解．【答案】22,10(),01x x x f x x x x ⎧+-<<=⎨≥≤-⎩或【解析】依题意，当()x h x >，即22x x x +<，10x -<<时，2()2f x x x =+；当()x h x ≤，即22x x x +≥，0x ≥或1x ≤-时，()f x x =．因此22,10(),01x x x f x x x x ⎧+-<<=⎨≥≤-⎩或．18．【命题立意】本题考查纯虚数的概念与复数的运算．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）一个复数为纯虚数，可设其为)0,(≠∈=b b bi z R ；（2）复数的运算．【答案】12-【解析】2(2)(1)(21)(12)(1)2122m i m i i m m ii z m i z i ++-++-+=+⇒===+，因为z 为纯虚数，所以12m =-．19．【命题立意】本题考查循环结构以及循环体的补充．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构中计数变量的赋值方法；（2）循环结构中累加变量的赋值方法． 【答案】3ss i =+ 1i i =+【解析】要补充的循环体应该由计数变量i 和累加变量s 构成，根据该算法的功能，应在①处填3ss i =+，②处填1i i =+．[来源:金太阳新课标资源网]20．【命题立意】本题考查算法的条件分支结构．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法的条件分支结构的特点；（2）已知分段函数的函数值求自变量值时应分段求解．【答案】1[2,]2--【解析】若[3,3]x ∉-，则1()1[9f x =∉不合题意，当[3,3]x ∈-时，1()3[9x f x =∈，解得1[2,]2x ∈--，此即为x 的取值范围．21．（理）【命题立意】本题考查复数的运算以及实部与虚部的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）分母实数化方法；（2）若复数),(R ∈+=b a bi a z ，则其实部与虚部分别为,a b ．【答案】12-【解析】1()(1)1(1)(1)12(1)12(1)(1)22222b i b i i b b i b b i i i i ++-++-+-+=+=+=+++-，依题意有2122b b +-=，解得12b =-．（文）【命题立意】本题考查复数的运算以及实部与虚部的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数实部与虚部的概念；（2）复数的乘法与除法运算法则．【答案】43i -+【解析】依题意2z i =-+，则2225252525(34)43(2)34(34)(34)i i i i i i z i i i i +====-+-+--+. 22．【命题立意】本题考查算法流图以及三角函数的周期与求值问题．[来源: ]【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法循环结构；（2）正弦函数的最小正周期为2π．33sin(8)sin 44y πππ=-=． 23．【命题立意】本题考查复数的几何意义、对数运算．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数的几何意义；（2）对数的运算法则． 【答案】1【解析】依题意，复数z 在复平面内对应的点是(lg ,lg )m n -，它在直线y x =上，所以0lg lg =+n m ，即0)lg(=mn ，所以1=mn ．24．【命题立意】本题考查算法的循环结构及其应用【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构中循环体的执行次数；（2）赋值语句的含义．【答案】729【解析】按照程序框图，可知最后输出结果为1999729s =⨯⨯⨯=． 25．【命题立意】本题考查复数的乘法运算以及复数几何意义．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）复数的乘法运算法则；（2）复数的几何意义．[来源: ]【答案】0a <【解析】2(1)(2)2(2)24z i ai i ai a i =++=+=-+，其对应的点在第一象限，则有20a ->，所以0a <．26．【命题立意】本题考查算法流程图以及幂函数的单调性．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）循环结构的执行流程；（2）幂函数的单调性． 【答案】1-【解析】执行过程53175,()3,()1,()1,()n n f x x n f x x n f x x n f x x=→==→==→==→=-=在(0,)+∞单调递减，故输出1n =-．27．【命题立意】本题考查虚数单位i 的幂值的周期性与等比数列的定义及通项公式．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）等比数列的定义及通项公式；（2）虚数单位i 的幂值的周期性．【答案】i -【解析】由1(1)(1)n n i a i a +-=+得111n n a ii a i++==-，所以数列{}n a 是公比为i 的等比数列，于是20102010201120111()()a a i i i i i =⋅=⋅==-．28．【命题立意】本题考查算法条件分支结构以及分段函数的求值问题．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）条件分支结构的特点；（2）分类讨论解决分段函数求值问题． 【答案】2-，42【解析】令124x =，得2x =-，所以当输入的2x =-时，输出结果为14；令21log 4x =，得142x =，所以当输入的42=x 时，输出结果也为14；29．【命题立意】本题考查复数的运算以及纯虚数的概念．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）若一个复数的平方是负数，则它一定是纯虚数；（2）纯虚数的概念． 【答案】2【解析】由2z＜0知z 一定为纯虚数，所以得：24020a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得2a =．30．（理）【命题立意】本题考查算法流程图以及三角函数的周期性．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法的循环结构；（2）sin 3n π的值具有周期性．2320112012sin sin sin sin sin33333sπππππ=+++++的值，由于23456sin0,sin0 333333ππππππ======，所以23456sin sin sin sin sin sin0333333ππππππ+++++=，因此2320112012sin sin sin sin sin033533333sπππππ=+++++=⨯=（文）【命题立意】本题考查算法流程图与三角函数周期性与求值问题．【思路点拨】解答本题需要掌握以下几个关键的知识点：（1）算法循环结构；（2）cos2nπ的值具有周期性．【答案】0【解析】该算法的功能是计算式子232012cos cos cos cos2222pππππ=++++的值，由于234cos0,cos1,cos0,cos1,2222ππππ==-== ，所以(0101)5030p=-++⨯=．。
第七章 复数 单元测试卷(原卷版)
第七章 复数单元测试卷一、单选题1．（辽宁省葫芦岛市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）已知i 为虚数单位，则复数()i 12i z =-的虚部是（ ）A ．iB ．1C ．2D ．2i2．（山东省德州市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）已知复数z 满足()121i i z +=-，其中i 为虛数单位，则复数z 在复平面内所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（山东省淄博市2021-2022学年高三上学期期末数学试题）已知复数z 是纯虚数，11iz +-是实数，则z =（ ） A ．－i B ．i C ．－2i D ．2i4．（2022·广东茂名·一模）已知,a b 为实数，且2i i 1i b a +=++(i 为虚数单位)，则i a b +=（ ） A ．34i +B ．12i +C ．32i --D ．32i + 5．（2022·江苏无锡·高三期末）已知3i 1i a ++（i 为虚数单位，a ∈R ）为纯虚数，则=a （ ） A ．1- B ．1 C ．3- D ．36．（2022·内蒙古包头·高二期末（文））对于非零实数a ，b ，以下四个式子均恒成立，对于非零复数a ，b ，下列式子仍然恒成立的是（ ）A ．||||||ab a b =B ．10a a +≠C ．()20a b +≥D ．22a a = 7．（2022·湖北·武钢三中高三阶段练习）已知202120221i i 1i z +⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 8．（2022·全国·高一）复数()()cos2isin3cos isin θθθθ+⋅+的模为1，其中i 为虚数单位，[]0,2πθ∈，则这样的θ一共有（ ）个.A ．9B ．10C ．11D ．无数 二、多选题9．（2022·广东东莞·高三期末）已知复数123,,z z z ，1z 是1z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A ．若120z z +=，则12=z z B ．若21z z =，则12=z zC ．若312z z z =，则312z z z =D ．若1211z z +=+，则12=z z10．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知复数z 满足()12i 5z -=（其中i 为虚数单位），则下列选项正确的是（ ）A ．5z =B ．复数z 的共轭复数为12i z =+C ．复数z 在复平面表示的点位于第一象限D ．复数z 的虚部为211．（2021·福建福州·高三期中）复数132z =-，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的有（ ） A ．1z z ⋅=B ．210z z ++=C ．21z z = D ．2021132z = 12．（2021·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习）欧拉公式i cos isin x e x x =+是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A ．复数2i e 对应的点位于第二象限B ．i 2e π为纯虚数C i3i x +12 D ．i 6e π的共轭复数为132- 三、填空题13．（2021·天津市第四中学高三阶段练习）已知方程()20R x x m m ++=∈有两个虚根α，β，若3αβ-=，则m 的值是___________.14．（2021·上海长宁·一模）在复平面xoy 内，复数12z ,z 所对应的点分别为12Z Z 、，对于下列四个式子：（1）2211 z z =；（2）1212z z z z ⋅=⋅；（3）2211OZ OZ =；（4）1212OZ OZ OZ OZ ⋅=⋅，其中恒成立的是____________（写出所有恒成立式子的序号）15．（2021·浙江·模拟预测）已知平面直角坐标系xOy 中向量的旋转和复数有关，对于任意向量x →=(a ，b )，对应复数z =a +ib ，向量x 逆时针旋转一个角度θ，得到复数'(i )(cos isin )cos sin i(sin cos )z a b a b a b θθθθθθ=++=-++，于是对应向量'(cos sin ,sin cos )x a b a b θθθθ→=-+.这就是向量的旋转公式.根据此公式，已知正三角形ABC 的两个顶点坐标是A (1，2)，B (3，4)，则C 的坐标是___________.(任写一个即可)16．（2021·福建·厦门市湖滨中学高三期中）若复数z 满足32i 1z -+=，则62i z --的最小值为__________．四、解答题17．（2021·贵州遵义·高三阶段练习）已知复数i()z b b =∈R ，31iz +-是实数. （1）求复数z ；（2）若复数2()8m z m --在复平面内所表示的点在第二象限，求实数m 的取值范围.18．（2021·全国·高一课时练习）求复数1i +，1i --2，2i -的辐角主值．19．（2021·西藏·拉萨那曲高级中学高二期中（理））已知复数11i z =+，23i z =-. （1）求21z z ； （2）若4i()z a a R =+∈满足2z z +为纯虚数，求||z .20．（2021·全国·高一课时练习）在复数范围内分解因式：（1）28x +；（2）223x x -+；（3）2321x x -+.21．（2021·湖北·高一期末）已知12i +是关于x 的方程20(,)x px q p q R ++=∈的一个根，其中i 为虚数单位． （1）求,p q 的值；（2）记复数i z p q =+，求复数1iz +的模．22．（2021·全国·高一课时练习）已知复数()31i 1i z =-． （1）求1arg z 及1z ；（2）当复数z 满足1z =，求1z z -的最大值．。
高三数学复数试题
高三数学复数试题1.复数的共轭复数等于（）【答案】C【解析】依题意可得.故选C.【考点】复数的运算.2.已知复数，则的共轭复数是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】∵＝＝，∴，故选A．【考点】1、复数的运算；2、共轭复数．3.设z=1–i（i是虚数单位），则复数＋i2的虚部是A．1B．－1C．i D．－i【答案】A【解析】根据复数的四则运算可得：＋i2= i,∴虚部是1.【考点】复数的概念与四则运算.4.定义一种运算如下:=x1y2-x2y1,则复数z=(i是虚数单位)的共轭复数是.【答案】-1-(-1)i【解析】由定义知,z=(+i)i-(-i)×(-1)=-1+(-1)i,故=-1-(-1)i.5.若a＋bi＝ (i是虚数单位，a，b∈R)，则ab＝()A．－2B．－1C．1D．2【答案】A【解析】因为a＋bi＝＝1－2i，所以a＝1，b＝－2，ab＝－26.若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标是（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】设,,,复数的坐标，故选D.【考点】复数运算与几何意义7.已知复数，则的虚部为（）A．B．C．D．【答案】【解析】，其实部为－1，虚部为0.选D.【考点】复数的基本运算及概念.8.复数的虚部为 ( )A．2B．C．D．【答案】B【解析】由复数的定义知其虚部为，选B.【考点】1.复数的定义；2.复数的计算.9.复数的虚部是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，虚部为-1.【考点】复数的概念和运算.10.已知复数（其中是虚数单位），则_________.【答案】.【解析】.【考点】复数的四则运算11.关于复数，下列说法中正确的是（）A．在复平面内复数对应的点在第一象限B．复数的共轭复数C．若复数为纯虚数，则D．设为复数的实部和虚部，则点在以原点为圆心，半径为1的圆上【答案】C【解析】由题可知，对应的点为（-1,1）为第二象限，故A错；，故B错；若为纯虚数，则，故选C；为（-1,1），在半径为的圆上，故D 错.【考点】复数的运算与性质12.=（）A．-8B．8C．D．【答案】A【解析】.故选A.【考点】复数运算13.复数的模为( )A．B．C．D．【答案】B【解析】故选B【考点】本题考查复数的运算。
高三数学虚数复数同步训练题
高三数学虚数复数同步训练题高三数学虚数复数同步训练题1.(2013福建)已知复数z的共轭复数z=1+2i(i为虚数单位)，则z 在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析：由条件知：z=1-2i，其在复平面内对应的点为(1，-2)，在第四象限，选D.答案：D2.(2013浙江)已知i是虚数单位，则(-1+i)(2-i)=()A.-3+iB.-1+3iC.-3+3iD.-1+i解析：(-1+i)(2-i)=-1+3i，选B.答案：B3.(2013山东)复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位)，则z的共轭复数z为()A.2+iB.2-iC.5+iD.5-i解析：由题意得z=52-i+3=52+i2-i2+i+3=5+i，z=5-i，故选D.答案：D4.(2013辽宁)复数z=1i-1的模为()A.12B.22C.2D.2解析：z=1i-1=i+1i+1i-1=1+i-1-1=-12-12i.|z|= -122+-122=22，故选B.答案：B5.(2013广东)若复数z满足iz=2+4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是()A.(2,4)B.(2，-4)C.(4，-2)D.(4,2)解析：由已知条件得z=2+4ii=4-2i，所以z对应的.点的坐标为(4，-2)，故选C.答案：C6.(2013课标全国Ⅰ)1+2i1-i2=()A.-1-12iB.-1+12iC.1+12iD.1-12i解析：1+2i1-i2=1+2i-2i=1+2ii-2ii=-2+i2=-1+12i，故选B.答案：B7.(2013湖北)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1=2-3i，则z2=________.解析：在复平面内，复数z=a+bi与点(a，b)一一对应.∵点(a，b)关于原点对称的点为(-a，-b)，则复数z2=-2+3i.答案：-2+3i8.(2013天津)已知a，bR，i是虚数单位.若(a+i)(1+i)=bi，则a+bi=________.解析：∵(a+i)(1+i)=a+ai+i+i2=(a-1)+(a+1)i.又由已知(a+i)(1+i)=bi，得a-1=0，a+1=b.解得a=1，b=2，所以a+bi=1+2i.答案：1+2i9.(2013江苏)设z=(2-i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________.解析：∵z=(2-i)2=3-4i，|z|=32+-42=5.答案：5。
高三数学单元测试《平面向量及复数》
高三数学单元测试《平面向量及复数》一、选择题（本题每小题5分，共60分）1．设向量=⋅︒︒=︒︒=b a b a 则),37cos ,53(cos ),67cos ,23(cos （ ）A ．23 B ．21 C ．－23 D ．－21 2．如果复数ibi212+-（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部是互为相反数，那么b 等于（ ）A ．2B ．32 C ．2 D ．－ 32 3．220041i i i ++++的值是（ ）A ．0B ．－1C ．1D ．i4．若a =(2,－3), b =(1,－2)，向量c 满足c ⊥a ,b •c =1,则c 的坐标是 （ ）A ．(3,－2)B ．(3,2)C ．(－3,－2)D ．(－3,2)5．使i R i a ()(4∈+为虚数单位）的实数a 有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．设e 是单位向量，3||,3,3=-==AD e CD e AB ，则四边形ABCD 是 （ ）A ．梯形B ．菱形C ．矩形D ．正方形7．已知O 、A 、B 三点的坐标分别为O （0，0），A （3，0），B （0，3），点P 在线段AB 上，且OP OA t AB t AP ⋅≤≤=则),10(的最大值为（ ）A ．3B ．6C ．9D ．1281,2==，a 与b 的夹角为︒60，则使向量b a λ+与b a 2-λ的夹角为钝角的实数λ的取值范围是 （ ）A ． )31,(---∞B ． ),31(∞++-C ． ),31()31,(∞++----∞D ． )31,31(+---9．若z 为复数，下列结论正确的是 （ ）A ．若212121,0,z z z z C z z >>-∈则且B ．22z z =C ．若,0=-z z 则z 为纯虚数D ．若2z 是正实数，那么z 一定是非零实数10．若)1cos 2(12sin ++-θθi 是纯虚数，则θ的值为（ ）A ．)(42Z k k ∈-ππ B ．)(42Z k k ∈+ππC ．)(42Z k k ∈±ππD ．)(42Z k k ∈+ππ 11．已知△ABC 的三个顶点的A 、B 、C 及平面内一点P 满足AB PC PB PA =++，下列结论中正确的是（ ）A ．P 在△ABC 内部B ．P 在△ABC 外部C ．P 在AB 边所在直线上D ．P 是AC 边的一个三等分点12．复数z 在复平面上对应的点在单位圆上，则复数zz 12+（ ）A ．是纯虚数B ．是虚数但不是纯虚数C ．是实数D ．只能是零二、填空题（本题每小题4分，共16分）13．已知复数z 满足等式：i zi z 212||2+=-，则z= . 14．把函数)y =2x 2—4x +5的图象按向量a 平移后，得到y =2x 2的图象，且a ⊥b ，c =(1，－1)，b ·c =4，则b =_____________。
高三数学复数试题
高三数学复数试题1.已知m(1+i)=2-ni(m,n∈R),其中i是虚数单位,则()3等于() A．1B．-1C．i D．-i【答案】C【解析】由m(1+i)=2-ni,得m+mi=2-ni,故m=2,m=-n,故m=2,n=-2,故()3=()3=i.2.设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i，则＝________.【答案】1－3i【解析】z＝－1＝1＋3i，∴＝1－3i.3.已知复数Z1和复数Z2，则Z1·Z2（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，复数Z1和复数Z2，所以，由复数的三角形式运算法则，Z1·Z2，故选A.【考点】复数的三角形式运算4.如果复数为纯虚数,则实数的值 ( )A．等于1B．等于2C．等于1或2D．不存在【答案】B【解析】复数为纯虚数，则实部，所以或2，又时，不为纯虚数，所以.【考点】纯虚数的定义5.设是虚数单位，则“x=－3”是“复数z=（x2+2x－3）+（x－1）i为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若复数z=（x2+2x－3）+（x－1）i为纯虚数，则，所以“x=－3”是“复数z=（x2+2x－3）+（x－1）i为纯虚数”的充要条件.【考点】复数运算，充分必要条件.6.已知是虚数单位，如果复数满足，那么( )A．B．C．D．【答案】A【解析】设，、都是实数，则，∵，∴，解方程得.∴.∴故选A.【考点】复数的基本运算.7. i是虚数单位，复数z=的虚部为_________.【答案】－3【解析】【考点】复数的运算.8.已知复数为虚数单位），且，则（）A．B．C．或D．或【答案】D【解析】即，所以，，解得，或，即或，选D。
【考点】复数的代数运算，复数的相等。
点评：简单题，复数的乘法，按多项式运算法则进行，化为-1。
本题解方程组，对计算能力要求较高。
9.设m∈R，m2+m﹣2+（m2﹣1）i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m=．【答案】﹣2【解析】∵复数z=（m2+m﹣2）+（m﹣1）i为纯虚数，∴m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，解得m=﹣2【考点】复数的基本概念点评：本题主要考查复数的基本概念，得到 m2+m﹣2=0，m2﹣1≠0，是解题的关键，属于基础题10.=（）A．-8B．8C．D．【答案】A【解析】.故选A.【考点】复数运算11.复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】，故对应的点在第二象限.12.已知复数的共轭复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】，所对应的点为（1，-2）位于第四象限。
高考数学复数习题及答案
高考复习试卷含答案一、选择题(每小题只有一个选项是正确的，每小题5分，共100分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1．(2017·山东)复数3－i1－i等于 ( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i 答案：C解析：3－i 1－i ＝(3－i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝4＋2i 2＝2＋i.故选C.2．(2017·宁夏、海南)复数3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i＝( )A ．0B ．2C ．－2iD ．2i答案：D解析：3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝(3＋2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)－(3－2i)(2－3i)(2－3i)(2＋3i)＝13i 13－－13i 13＝i ＋i ＝2i.3．(2017·陕西)已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z 等于( )A ．2iB ．iC ．－iD ．－2i 答案：D解析：由题意得z ＝a i.(a ∈R 且a ≠0)． ∴z ＋21－i ＝(2＋a i)(1＋i)(1－i)(1＋i)＝2－a ＋(a ＋2)i2，则a ＋2＝0，∴a ＝－2.有z ＝－2i ，故选D.4．(2017·武汉市高三年级2月调研考试)若f (x )＝x 3－x 2＋x －1，则f (i)＝ ( )A ．2iB ．0C ．－2iD ．－2 答案：B解析：依题意，f (i)＝i 3－i 2＋i －1＝－i ＋1＋i －1＝0，选择B.5．(2017·北京朝阳4月)复数z ＝2－i1＋i(i 是虚数单位)在复平面内对应的点位于 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：D解析：z ＝2－i 1＋i ＝12－32i ，它对应的点在第四象限，故选D.6．(2017·北京东城3月)若将复数2＋i i 表示为a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)的形式，则ba的值为( )A ．－2B ．－12C ．2 D.12答案：A解析：2＋i i ＝1－2i ，把它表示为a ＋b i(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)的形式，则b a的值为－2，故选A.7．(2017·北京西城4月)设i 是虚数单位，复数z ＝tan45°－i·sin60°，则z 2等于 ( ) A.74－3i B.14－3i C.74＋3i D.14＋3i 答案：B解析：z ＝tan45°－i·sin60°＝1－32i ，z 2＝14－3i ，故选B.8．(2017·黄冈中学一模)过原点和3－i 在复平面内对应的直线的倾斜角为 ( ) A.π6 B ．－π6C.23πD.56π 答案：D解析：3－i 对应的点为(3，－1)，所求直线的斜率为－33，则倾斜角为56π，故选D. 9．设a 、b 、c 、d ∈R ，若a ＋b ic ＋d i为实数，则( )A ．bc ＋ad ≠0B ．bc －ad ≠0C ．bc －ad ＝0D ．bc ＋ad ＝0 答案：C解析：因为a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i)(c －d i)c 2＋d 2＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i ，所以由题意有bc －adc 2＋d2＝0⇒bc －ad ＝0.10．已知复数z ＝1－2i ，那么1z ＝ ( )A.55＋255i B.55－255i C.15＋25iD.15－25i 答案：D 解析：由z ＝1－2i 知z ＝1＋2i ，于是1z ＝11＋2i ＝1－2i 1＋4＝15－25i.故选D.11．已知复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2是实数，则实数b 的值为( )A ．6B ．－6C ．0 D.16答案：A解析：z 1z 2＝3－b i 1－2i ＝(3－b i)(1＋2i)(1－2i)(1＋2i)＝(3＋2b )＋(6－b )i 5是实数，则实数b 的值为6，故选A.12．(2017·广东)设z 是复数，α(z )表示满足z n ＝1的最小正整数n ，则对虚数单位i ，α(i )＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案：B解析：α(i )表示i n ＝1的最小正整数n ，因i 4k ＝1(k ∈N *)，显然n ＝4，即α(i )＝4.故选B. 13．若z ＝12＋32i ，且(x －z )4＝a 0x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4，则a 2等于( )A ．－12＋32i B ．－3＋33iC ．6＋33iD ．－3－33i 答案：B解析：∵T r ＋1＝C r 4x4－r (－z )r ， 由4－r ＝2得r ＝2，∴a 2＝C 24(－z )2＝6×(－12－32i )2＝－3＋33i .故选B.14．若△ABC 是锐角三角形，则复数z ＝(cos B －sin A )＋i (sin B －cos A )对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：B解析：∵△ABC 为锐角三角形， ∴A ＋B ＞90°，B ＞90°－A ， ∴cos B ＜sin A ，sin B ＞cos A ， ∴cos B －sin A ＜0，sin B －cos A ＞0， ∴z 对应的点在第二象限．15．如果复数2－bi1＋2i(其中i 为虚数单位，b 为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b 等于( )A. 2B.23 C ．－23D ．2答案：C解析：2－bi 1＋2i ＝(2－bi )(1－2i )5＝(2－2b )5＋(－4－b )5i由2－2b 5＝－－4－b 5得b ＝－23.16．设函数f (x )＝－x 5＋5x 4－10x 3＋10x 2－5x ＋1，则f (12＋32i )的值为( )A ．－12＋32i B.32－12iC.12＋32i D ．－32＋12i 答案：C解析：∵f (x )＝－(x －1)5∴f (12＋32i )＝－(12＋32i －1)5＝－ω5(其中ω＝－12＋32i )＝－ω＝－(－12－32i )＝12＋32i .17．若i 是虚数单位，则满足(p ＋qi )2＝q ＋pi 的实数p ，q 一共有 ( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对 答案：D解析：由(p ＋qi )2＝q ＋pi 得(p 2－q 2)＋2pqi ＝q ＋pi ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ p 2－q 2＝q ，2pq ＝p .解得⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝0，q ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧p ＝0，q ＝－1，或⎩⎨⎧p ＝32，q ＝12，或⎩⎨⎧p ＝－32，q ＝12，因此满足条件的实数p ，q 一共有4对．总结评述：本题主要考查复数的基本运算，解答复数问题的基本策略是将复数问题转化为实数问题来解决，解答中要特别注意不要出现漏解现象，如由2pq ＝p 应得到p ＝0或q ＝12.18．已知(2x 2－x p )6的展开式中，不含x 的项是2027，那么正数p 的值是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：C解析：由题意得：C 46·1p 4·22＝2027，求得p ＝3.故选C. 总结评述：本题考查二项式定理的展开式，注意搭配展开式中不含x 的项，即找常数项．19．复数z ＝－lg(x 2＋2)－(2x ＋2－x －1)i (x ∈R )在复平面内对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：C解析：本题考查复数与复平面上的点之间的关系，复数与复平面上的点是一一对应的关系，即z ＝a ＋bi ，与复平面上的点Z (a ，b )对应，由z ＝－lg(x 2＋2)－(2x ＋2－x －1)i (x ∈R )知：a ＝－lg(x 2＋2)＜0，又2x ＋2－x －1≥22x ·2－x －1＝1＞0；∴－(2x ＋2－x －1)＜0，即b ＜0.∴(a ，b )应为第三象限的点，故选C.20．设复数z ＋i (z ∈C )在映射f 下的象为复数z 的共轭复数与i 的积，若复数ω在映射f 下的象为－1＋2i ，则相应的ω为 ( )A ．2B ．2－2iC ．－2＋iD ．2＋i 答案：A解析：令ω＝a ＋bi ，a ，b ∈R ，则ω＝[a ＋(b －1)i ]＋i ， ∴映射f 下ω的象为[a －(b －1)i ]·i ＝(b －1)＋ai ＝－1＋2i .∴⎩⎪⎨⎪⎧ b －1＝－1，a ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，a ＝2.∴ω＝2. 第Ⅱ卷(非选择题 共50分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，请将答案填在题中的横线上。
复数的运算大题专项训练(30道)(人教A版2019必修第二册)试卷及答案
专题7. 7 复数的运算大题专项训练（30道）【人教A版2019必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（2023·高一课时练习）已知复数z=−21+√3i，求1+z+z2+⋯+z2022的值．2．（2023·高一课时练习）已知非零复数z1，z2满足|z1+z2|=|z1−z2|，求证：(z1z2)2一定是负数．3．（2023·高三课时练习）已知z是复数，z+2i、z2−i均为实数（i为虚数单位），且复数(z+a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．4．（2022春·陕西榆林·高二校考期中）已知复数z=b i（b∈R，i是虚数单位），z+31−i是实数.(1)求b的值；(2)若复数(m−z)2−8m在复平面内对应的点在第二象限，求实数m的取值范围.5．（2022春·广西桂林·高二校考期中）已知复数z=m2−2m−15+(m2−9)i，其中m∈R.(1)若z为实数，求m的值；(2)若z为纯虚数，求z1+i的值.6．（2022·高一单元测试）设复数z1=1−a i(a∈R),z2=3−4i.(1)若z1+z2是实数，求z1⋅z2；(2)若z1z2是纯虚数，求z1的共轭复数.7．（2022春·重庆酉阳·高一阶段练习）已知复数z=1+b i（i为虚数单位，b>0，且z2为纯虚数．(1)求复数z；(2)若复数ω=z1−i，求ω的模．8．（2023·高一课时练习）设复数ω=−12+√32i，求证：(1)ω，ω2，1都是1的立方根；(2)1+ω+ω2=0．9．（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）已知a，b R，i是虚数单位，若复数z1=a−i与z2=2+b i 互为共轭复数.(1)判断复平面内z2对应的点在第几象限;(2)计算(a+b i)2.10．（2023·高一单元测试）已知f(z)=z−1，且f(z1−z2)=4+4i，若z1=2−2i．(1)求复数z1的三角形式与arg z1；(2)求|z1−z2z1+z2|．11．（2023·高一课时练习）已知复数z=3x−(x2−x)i(x∈R)的实部与虚部的差为f(x)．(1)若f(x)=8，且x>0，求复数i z的虚部；(2)当f(x)取得最小值时，求复数z的实部．1+2i12．（2022春·广西玉林·高一阶段练习）已知复数z=(1−i)2+3(1+i)．2−i(1)求z的共轭复数；(2)若az+b=1−i，求实数a，b的值．13．（2023·高一课时练习）复数z=(1+i)2+2i，其中i为虚数单位．1−i(1)求z及|z|；(2)若z2+az̅+b=2+3i，求实数a，b的值．14．（2022秋·山东日照·高二统考期中）已知z是复数，z+2i（i为虚数单位）为实数，且z+z̅=8.(1)求复数z；(2)若复数(z+a i)2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a的取值范围.15．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n，求(1+i)2n及(1+i√2)n的值．16．已知z=1+i.(1)设ω=z2+3z̅−4，求ω的三角形式；(2)如果z2+az+bz2−z+1=1−i，求实数a，b的值.17．（2022春·河南郑州·高二期中）已知复数z=1+m i（i是虚数单位，m∈R），且z̅⋅(3+i)为纯虚数(z̅是z的共轭复数).(1)设复数z1=m+2i1-i，求|z1|；(2)设复数z2=a-i2022z，且复数z2所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.18．（2022春·浙江·高一期中）已知复数z使得z+2i∈R，z2−i∈R，其中i是虚数单位．(1)求复数z的模；(2)若复数(z+m i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．19．（2022秋·广东中山·高二阶段练习）已知z1=1+2i,z2=3−4i，i是虚数单位．(1)求z1⋅z2；(2)设复数z1、z2、z3在复平面内所对应的点分别为Z1、Z2、Z3，O为坐标原点，若O、Z1、Z2、Z3所构成的四边形为平行四边形，求复数z3．20．（2022秋·浙江台州·高二开学考试）复数z1=a−i，z2=1−2 i，其中i是虚数单位，为纯虚数．且z1z2(1)求复数z1；(2)若复数(z1+b+2)2(b∈R)在复平面内对应的点在第四象限,求b的取值范围．21．（2022春·江苏盐城·高一期中）若复数z1=1+a i(a∈R)，复数z2=3−4i．(1)若z1+z2∈R，求实数a的值；(2)若a=2，求z1．z222．（2022春·福建福州·高一期末）已知−1+2i是关于x的方程x2+px+q=0(p，q∈R)的一个根，其中i为虚数单位.(1)求p，q的值;(2)记复数z=p+q i，求复数z的模.1+i23．（2022春·北京昌平·高一期中）已知复数z=(1−i)2+5i.1−2i(1)求(z+2)2；(2)若−mz+n=1+i(m,n∈R)，求mn.24．（2022秋·山东临沂·高二开学考试）已知复数z=3−i2+i（i是虚数单位）.(1)求复数z的共轭复数和模；(2)若z2+az+b=z(a,b∈R).求a，b的值.25．（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二开学考试）已知复数z1=3+4i，z2=−2i，i为虚数单位．(1)若z=z1z2，求z的共轭复数；(2)若复数z1+az2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．26．（2022·全国·高一专题练习）已知复数z满足z2−2z+4=0，虚数z1满足z12+az1+b= 0(a,b∈R).(1)求|z|；(2)若z1+z1=z̅z +zz̅，求a的值.27．（2022春·广西百色·高二期末）已知复数z1=(2+i)2，z2=4−3i.(1)求|z1⋅z2|；(2)求z1z2+(z1z2)2+(z1z2)3+⋅⋅⋅+(z1z2)2020.28．（2022春·上海长宁·高一阶段练习）已知复数z满足|z|=√2，z2的虚部为2．(1)求复数z；(2)若Rez>0，设z、z2、4z−z2在复平面上的对应点分别为A、B、C，求△ABC的面积．29．（2023·高一课时练习）设i 为虚数单位，n 为正整数，θ∈[0,2π)．(1)观察(cosθ+i sinθ)2=cos2θ+i sin2θ，(cosθ+i sinθ)3=cos3θ+i sin3θ，(cosθ+i sinθ)4=cos4θ+i sin4θ，…猜测：(cosθ+i sinθ)n （直接写出结果）； (2)若复数z =√3−i ，利用（1）的结论计算z 10．30．（2022春·上海普陀·高一阶段练习）已知复数z 1、z 2对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)若向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,4)，且OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.求OZ 2对应的复数z 2;(2)容易证明:(z 1+z 2)2+(z 1−z 2)2=2z 12+2z 22，类比到对应的向量，请写出类似的结论，并加以证明;(3)设|z 1|=1,|z 2|=2,2z 1+z 2=−1+3i ，求z1z 2的值.专题7. 7 复数的运算大题专项训练（30道）【人教A版2019必修第二册】姓名：___________班级：___________考号：___________9．（2022春·重庆沙坪坝·高一期中）已知a，b R，i是虚数单位，若复数z1=a−i与z2=2+b i 互为共轭复数.(1)判断复平面内z对应的点在第几象限;因为f(x)=8，所以x 2+2x =8， 又x >0，所以x =2，即z =6−2i ， 则iz =i(6−2i)=2+6i ， 所以复数i z 的虚部为6．（2）因为f(x)=x 2+2x =(x +1)2−1，所以当x =−1时，f(x)取得最小值， 此时，z =−3−2i ， 则z1+2i =−3+2i1+2i =−(3+2i)(1−2i)5=−75+45i ，所以z 1+2i 的实部为−75．12．（2022春·广西玉林·高一阶段练习）已知复数z =(1−i )2+3(1+i )2−i．(1)求z 的共轭复数；(2)若az +b =1−i ，求实数a ，b 的值．【解题思路】（1）根据复数乘方、除法的运算法则，结合共轭复数的定义进行求解即可； （2）根据复数相等的定义进行求解即可. 【解答过程】（1）z =(1−i )2+3(1+i )2−i=1−2i −1+3+3i2−i=(3+i )(2+i )(2−i )(2+i )=6+3i +2i −15=1+i ，所以z 的共轭复数为1−i ；（2）az +b =1−i ⇒a(1+i )+b =1−i ⇒a +b +a i =1−i ⇒{a +b =1a =−1⇒a =−1,b =2.13．（2023·高一课时练习）复数z =(1+i )2+2i1−i ，其中i 为虚数单位． (1)求z 及|z |；(2)若z 2+az̅+b =2+3i ，求实数a ，b 的值．【解题思路】（1）首先根据复数的运算求解出复数z ，进而根据复数的模长公式求解|z |； （2）首先将z =−1+3i 代入等式，然后根据等式关系构造方程组，解方程组即可得到实数a ，b 的值.【解答过程】（1）∵z =(1+i )2+2i1−i =1+2i +i 2+2i (1+i )(1+i )(1−i )=2i +i (1+i )=−1+3i ， ∴|z |=√(−1)2+32=√10．（2）由（1）可知z =−1+3i ，z =−1−3i由z 2+az̅+b =2+3i ，得：(−1+3i )2+a(−1−3i )+b =2+3i ， 即(−8−a +b)+(−6−3a)i =2+3i ，∴{−8−a +b =2,−6−3a =3.，解得{a =−3,b =7.14．（2022秋·山东日照·高二统考期中）已知z 是复数，z +2i （i 为虚数单位）为实数，且z +z̅=8. (1)求复数z ；(2)若复数(z +a i )2在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围.【解题思路】（1）设z =c +d i （c ，d ∈R ），利用复数的运算法则、复数为实数的条件即可得出；（2）根据复数的运算法则和几何意义即可得出.【解答过程】（1）根据题意，设复数z =c +d i （c ，d ∈R ）， 则z +2i =c +(d +2)i 为实数，即d +2=0，解得d =−2， 所以z =c −2i ，z̅=c +2i.又∵z +z̅=c +2i +c −2i =8，∴2c =8，得c =4， 所以复数z =4−2i.（2）由（1）知，(z +a i )2=(4−2i +a i )2=16−(a −2)2+8(a −2)i 对应的点在第四象限，所以{16−(a −2)2>0,8(a −2)<0, 解得：{−2<a <6a <2 ，即−2<a <2.所以实数a 的取值范围是(−2,2).15．（2022·湖南·模拟预测）国际数学教育大会（ICME ）是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议，第十四届大会将在上海召开，其会标如图，包含若许多数学元素，主画面是非常优美的几何化的中心对称图形，由弦图、圆和螺线组成，主画面标明的ICME—14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744，也可以读出其二进制码（0）11111100100，换算成十进制的数是n ，求(1+i )2n及(1+i √2)n 的值．【解题思路】利用进位制求出n 的值，然后利用复数代数形式的乘除运算化简即可求出结果. 【解答过程】∵11111100100=1×210+1×29+1×28+1×27+1×26 +1×25+0×24+0×23+1×22+0×21+0×20=2020． ∴n =2020，∴(1+i )2n =[(1+i )2]n =(2i)2020=22020i 2020=22020， (1+i √2)n =(1+i √2)2020=(1+i √2)2×1010=i 1010=−1．16．已知z =1+i.(1)设ω=z 2+3z̅−4，求ω的三角形式； (2)如果z 2+az+bz 2−z+1 =1−i ，求实数a ，b 的值.【解题思路】（1）求出z =1+i 的共轭复数，代入ω=z 2+3z̅−4化简，再求ω，最后再整理成ω的三角形式；（2）根据z 2+az+b z 2−z+1 =1−i ，得到(a +b )+(a +2)i =1+i ，列方程组即可求解.(1)求复数z的模；(2)若复数(z+m i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．【解题思路】（1）设复数z=a+b i，(a,b∈R)，由复数的运算性质和复数为实数的条件，虚部为0，解方程即可得到复数z，从而求出其模；（2）计算复数(z+m i)2，由复数对应的点在第一象限，可得m的不等式组，解不等式即可得到m的范围．【解答过程】（1）解：设复数z=a+b i，(a,b∈R)，根据题意，z+2i=a+b i+2i=a+(b+2)i，所以b+2=0，即b=−2；又z2−i =(a+b i)(2+i)5=2a−b5+2b+a5i，所以2b+a=0，即a=−2b=4，所以z=4−2i，则|z|=√42+(−2)2=2√5；（2）解：由（1）可知z=4−2i，所以(z+m i)2=(4−2i+m i)2=[4+(m−2)i]2=16−(m−2)2+8(m−2)i。
2022高三总复习数学 复 数(含解析)
复 数A 级——基础达标1．(2021·广东省七校联考)已知复数z ＝2＋i1－i(i 为复数单位)，那么z 的共轭复数为( ) A.32＋32i B ．12－32iC.12＋32i D ．32－32i解析：选B 由题意知z ＝(2＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2＋2i ＋i －12＝12＋32i ，所以z ＝12－32i ，故选B.2．(2021·湖北八校第一次联考)设i 是虚数单位，若复数a ＋5i1＋2i(a ∈R )是纯虚数，则a ＝( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析：选C 由已知，得a ＋5i1＋2i ＝a ＋5i (1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝a ＋2＋i ，由题意得a ＋2＝0，所以a ＝－2.故选C.3．(2021·武昌区高三调研)已知复数z 满足zz －i＝i ，则z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选A 法一：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，因为zz －i ＝i ，所以a ＋b i a ＋(b －1)i ＝i ，所以a ＋b i ＝(1－b )＋a i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1－b ，b ＝a ，解得a ＝b ＝12，所以z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫12，12，位于第一象限，故选A.法二：因为z z －i ＝i ，所以z ＝11－i ＝1＋i 2＝12＋12i ，所以z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫12，12，位于第一象限，故选A.4．(2021·长沙市四校模拟考试)已知复数z ＝(1＋i )2i (1－i )，则下列结论正确的是( )A ．z 的虚部为iB ．|z |＝2C ．z 的共轭复数z ＝－1＋iD ．z 2为纯虚数解析：选D z ＝(1＋i )2i (1－i )＝21－i ＝2(1＋i )(1－i )(1＋i )＝2(1＋i )2＝1＋i ，则z 的虚部为1，所以选项A 错误；|z |＝12＋12＝2，所以选项B 错误；z 的共轭复数z ＝1－i ，所以选项C 错误；z 2＝(1＋i)2＝2i 是纯虚数，所以选项D 正确．故选D.5．(2021·江西五校联考)复数z 满足(z －2)·i ＝z (i 为虚数单位)，z 为复数z 的共轭复数，则下列说法正确的是( )A ．z 2＝2iB ．z ·z ＝2C ．|z |＝2D ．z ＋z ＝0解析：选B 由题意，得z i －2i ＝z ，z (i －1)＝2i ，z ＝2ii －1＝2i (i ＋1)(i －1)(i ＋1)＝2(i －1)－2＝1－i ，则z 2＝－2i ，z ·z ＝(1－i)(1＋i)＝2，|z |＝2，z ＋z ＝1－i ＋1＋i ＝2，故选B.6．(2021·广东省七校联考)设复数z 满足|z －1－i|＝2，则|z |的最大值为( ) A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选C 复数z 满足|z －1－i|＝2，故复数z 对应复平面上的点是以A (1,1)为圆心，2为半径的圆，|AO |＝2(O 为坐标原点)，故|z |的最大值为2＋2＝2 2. 7．(多选)下面是关于复数z ＝2－1＋i 的四个命题，其中的真命题为( )A ．|z |＝2B ．z 2＝2iC ．z 的共轭复数为1＋iD ．z 的虚部为－1解析：选BD ∵z ＝2－1＋i ＝2(－1－i )(－1＋i )(－1－i )＝－1－i ，∴|z |＝2，z 2＝2i ，z 的共轭复数为－1＋i ，z 的虚部为－1，故选B 、D. 8．(多选)下列命题正确的是( )A ．若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数B ．z 1，z 2都是复数，若z 1＋z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数C ．复数z 是实数的充要条件是z ＝z (z 是z 的共轭复数)D ．已知复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )且|z －2|＝3，则yx 的最大值为 3解析：选BCD 对于A ，z 1和z 2可能是相等的复数，故A 错误；对于B ，若z 1和z 2是共轭复数，则相加为实数，不会为虚数，故B 正确；对于C ，由a ＋b i ＝a －b i 得b ＝0，故C 正确；对于D ，∵|z －2|＝(x －2)2＋y 2＝3，∴(x －2)2＋y 2＝3.由图可知⎝⎛⎭⎫y x max＝31＝ 3.9.如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A ，B 对应的复数分别是z 1，z 2，则|z 1－z 2|＝ .解析：由图象可知z 1＝i ，z 2＝2－i ， 故|z 1－z 2|＝|－2＋2i|＝ (－2)2＋22＝2 2.答案：2 210．(2021·昆明市三诊一模)复数z 的共轭复数z 满足(2＋i)z ＝|3＋4i|，z ＝ . 解析：法一：由(2＋i)z ＝|3＋4i|，得z ＝|3＋4i|2＋i ＝52＋i ＝5(2－i )(2＋i )(2－i )＝2－i ，所以z ＝2＋i.法二：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(2＋i)(a －b i)＝5，即2a ＋b ＋(a －2b )i ＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋b ＝5，a －2b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以z ＝2＋i. 答案：2＋i11．(2021·福建省三明市高三模拟)若|z 1－z 2|＝1，则称z 1与z 2互为“邻位复数”．已知复数z 1＝a ＋3i 与z 2＝2＋b i 互为“邻位复数”，a ，b ∈R ，求a 2＋b 2的最大值．解：由题意，|a ＋3i －2－b i|＝1，故(a －2)2＋(3－b )2＝1， ∴点(a ，b )在圆(x －2)2＋(y －3)2＝1上， 而a 2＋b 2表示点(a ，b )到原点的距离，故a 2＋b 2的最大值为(22＋(3)2＋1)2＝(1＋7)2＝8＋27.12．(2021·张家口调研)已知复数z 满足：z 2＝3＋4i ，且z 在复平面内对应的点位于第三象限．(1)求复数z ；(2)设a ∈R ，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋z 1＋z 2 021＋a ＝2，求实数a 的值． 解：(1)设z ＝c ＋d i(c ，d ∈R 且c <0，d <0)， 则z 2＝(c ＋d i)2＝c 2－d 2＋2cd i ＝3＋4i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧c 2－d 2＝3，2cd ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－2，d ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝1(舍去)．∴z ＝－2－i.(2)∵z ＝－2＋i ，∴1＋z1＋z ＝－1－i －1＋i ＝1＋i 1－i＝(1＋i )22＝i ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋z 1＋z 2 021＝i 2 021＝i 2 020＋1＝i 505×4＋1＝i ， ∴|a ＋i|＝a 2＋1＝2，∴a ＝±3.B 级——综合应用13．(多选)(2021·全国统一考试模拟演练)设z 1，z 2，z 3为复数，z 1≠0，下列命题中正确的是( )A ．若|z 2|＝|z 3|，则z 2＝±z 3B ．若z 1z 2＝z 1z 3，则z 2＝z 3C ．若z 2＝z 3，则|z 1z 2|＝|z 1z 3|D ．若z 1z 2＝|z 1|2，则z 1＝z 2解析：选BC 设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z 3＝a 3＋b 3i ，若|z 2|＝|z 3|，则a 22＋b 22＝a 23＋b 23，此时z 2＝±z 3不一定成立，故A 错误； 若z 1z 2＝z 1z 3，则z 1(z 2－z 3)＝0，又因z 1≠0，所以z 2＝z 3，故B 正确； 若z 2＝z 3，则a 2＝a 3，b 2＝－b 3，所以|z1z2|＝(a1a2－b1b2)2＋(a1b2＋a2b1)2＝(a1a2)2＋(b1b2)2＋(a1b2)2＋(a2b1)2.|z1z3|＝(a1a3－b1b3)2＋(a1b3＋a3b1)2＝(a1a2＋b1b2)2＋(－a1b2＋a2b1)2＝(a1a2)2＋(b1b2)2＋(a1b2)2＋(a2b1)2.所以|z1z2|＝|z1z3|，故C正确；当z2＝z1时，z1z2＝|z1|2，此时z1＝z2不一定成立，故D错误．14．已知集合M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，则实数m 的值为．解析：∵M∩N＝{3}，∴3∈M且－1∉M，∴m≠－1,3＋(m2－5m－6)i＝3或m＝3，∴m2－5m－6＝0且m≠－1或m＝3，解得m＝6或m＝3，经检验符合题意．答案：3或615．(2021·高仿密卷)已知复数z＝b i(b∈R)，z－21＋i是实数，i是虚数单位．(1)求复数z；(2)若复数(m＋z)2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．解：(1)因为z＝b i(b∈R)，所以z－21＋i＝b i－21＋i＝(b i－2)(1－i)(1＋i)(1－i)＝(b－2)＋(b＋2)i2＝b－22＋b＋22i.又因为z－21＋i是实数，所以b＋22＝0，所以b＝－2，即z＝－2i.(2)因为z＝－2i，m∈R，所以(m＋z)2＝(m－2i)2＝m2－4m i＋4i2＝(m 2－4)－4m i ，又因为复数(m ＋z )2所表示的点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－4>0，－4m >0，解得m <－2，即m ∈(－∞，－2)．C 级——迁移创新16．若虚数z 同时满足下列两个条件： ①z ＋5z 是实数；②z ＋3的实部与虚部互为相反数． 则z ＝ .解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R 且b ≠0)，则z ＋5z ＝a ＋b i ＋5a ＋b i ＝a ＋b i ＋5(a －b i )a 2＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋5a a 2＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b －5b a 2＋b 2i. ∵z ＋5z 是实数，∴b －5ba 2＋b 2＝0. 又∵b ≠0，∴a 2＋b 2＝5.①又z ＋3＝(a ＋3)＋b i 的实部与虚部互为相反数， ∴a ＋3＋b ＝0.②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋3＝0，a 2＋b 2＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，故z ＝－1－2i 或z ＝－2－i. 答案：－1－2i 或－2－i。
高三数学复数综合运算试题
高三数学复数综合运算试题1.已知复数满足，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题知,z=,故选D.考点:复数运算2.若（a－4i）i=b－i，（a，b∈R，i为虚数单位），则复数z=a+bi在复平面内的对应点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】,,对应的点的坐标为,所以位于第二象限，故选B.【考点】复数的代数运算与几何意义3.设是虚数单位，复数=（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，故选D.【考点】1.复数的运算.4.是虚数单位，复数A．B．C．D．【答案】A．【解析】，故选A．【考点】复数的运算．5.实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i(1)与复数2－12i相等；(2)与复数12＋16i互为共轭复数；(3)对应的点在x轴的上方．【答案】（1）m＝－1（2）m＝1（3）m<－3或m>5.【解析】解：(1)根据复数相等的充要条件得解得m＝－1.(2)根据共轭复数的定义得解得m＝1.(3)根据复数z的对应点在x轴的上方可得m2－2m－15>0，解得m<－3或m>5.6.已知是虚数单位，则复数的模为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解：所以，故选C.【考点】1、复数的概念；2、复数的运算.7.复数的虚部是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，因此，复数的虚部是，故选A.【考点】1.复数的除法；2.复数的概念8.已知复数，，若为实数，则实数的值为（）A．1B．C．4D．【答案】D【解析】=是实数，所以m+4=0，解得m=-4，故选D.【考点】复数的运算和有关概念.9.复数的共轭复数为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因此复数的共轭复数为，故选D.【考点】1.复数的除法；2.共轭复数10.在复平面上，复数对应的点在 ( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】【解析】由，所以对应的点为，所以在复平面上对应的点位于第四象限. 故选.【考点】复数的运算；复数的概念.11.若=3+4i,=-1-i,i是虚数单位,则=________(用复数代数形式表示).【答案】-4-5i【解析】因为=3+4i,=-1-i,i是虚数单位,所以=-=(-1-i)-(3+4i)=-4-5i.12.（2013•浙江）已知i是虚数单位，则（﹣1+i）（2﹣i）=（）A．﹣3+i B．﹣1+3i C．﹣3+3i D．﹣1+i【答案】B【解析】（﹣1+i）（2﹣i）=﹣2+i+2i+1=﹣1+3i，故选B．13.在复平面内，复数对应的点的坐标为 .【答案】【解析】由题意，其对应的点的坐标为.【考点】1.复数的运算与对应的点位置.14.复数(，且)，若是实数，则有序实数对可以是．（写出一个有序实数对即可）【答案】或满足的任意一对非零实数对【解析】是实数，则，由于，故．【考点】复数的概念．15.复数等于A．-i B．1C．-l D．0【答案】D.【解析】因为，或因为，所以选D.复数运算中注意分母实数化时不要出错.【考点】复数运算16.已知是虚数单位，以下同)是关于的实系数一元二次方程的一个根，则实数，．【答案】【解析】由题意是方程的另一根，因此，，．【考点】实系数二次方程的复数根．17.若R，为虚数单位，且，则（）A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】因为所以，，，选.【考点】复数的概念，复数的四则运算.18.设复数，其中、，则______.【答案】.【解析】，所以，，因此.【考点】1.复数的除法；2.复数相等19. ( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以选B.【考点】复数的运算20.复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】，故复数在复平面内对应的点位于第二象限．【考点】复数的运算，复数几何意义．21.若复数z =（为虚数单位），则|z|= ．【答案】【解析】因为所以也可利用复数模的性质求解，即【考点】复数的模22.（为虚数单位），则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，选.【考点】复数的四则运算23.若(a－2i)i＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，求点P(a，b)到原点的距离．【答案】【解析】由已知ai＋2＝b－i，∴∴点P(－1，2)到原点距离|OP|＝.24.复数：＝________.【答案】38－i【解析】＝＝38－i.25.在复平面上，复数对应的点到原点的距离为．【答案】【解析】复平面上复数对应的点到原点的距离就是它的模，而，本题不需要把复数化简为形式.【考点】复数的模.26.满足的复数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由可得，．【考点】复数的运算．27.已知i是虚数单位，若，则z＝（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，选A.【考点】复数的基本运算.28.若为虚数单位，则等于（）A．B．C．1D．－1【答案】A【解析】，故选A.【考点】复数的运算.29.已知是虚数单位，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故选A.30.设是虚数单位，则等于（）A．0B．C．D．【答案】D【解析】===，故选D.【考点】复数的运算和几何意义.31.复数的虚部是.【答案】-1【解析】，所以虚部为-1.【考点】复数的概念与运算32.已知复数z满足为虚数单位），则复数所对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】，，复数所对应的点所在象限为第一象限.【考点】1.复数的除法运算；2.复数和点的一一对应关系.33.复数．【答案】【解析】.【考点】复数的运算.34.复数的虚部为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】.【考点】复数的概念与运算.35.若复数满足，是虚数单位，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得，选B.36.复数（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.【考点】复数的运算.37.（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故选B.【考点】复数的四则运算38.（）A．B．C．D．【答案】B；【解析】.【考点】本题考查复数的基本运算，考查学生的基本运算能力.39.复数z＝i（i＋1）（i为虚数单位）的共轭复数是（）A．－1－i B．－1＋i C．1－i D．1＋i【答案】A【解析】由,得.【考点】对复数概念的理解，考查学生的基本运算能力．40.= ．【答案】【解析】.【考点】复数的四则运算.41.设复数满足(为虚数单位），则= .．【答案】【解析】由，得，所以.【考点】复数的四则运算，复数模的概念.42.已知复数（，，为虚数单位），则【答案】C【解析】【考点】复数运算点评：复数化简时分子分母同乘以分母的共轭复数43.在复平面内，复数对应的点位于虚轴上，则【解析】因为，，其对应点（a，－1）位于虚轴上，所以，0.【考点】本题主要考查复数的代数运算，复数的概念。
高考数学-热点专题专练-专题六-算法、统计、概率、复数测试题-理精品
专题六算法、统计、概率、复数测试题(时间：120分钟满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z的共轭复数为，若|＝4，则z·＝( )A．4 B．2C．16 D．±2解析设z＝a＋，则z·＝(a＋)(a－)＝a2＋b2.又|＝4，得＝4，所以z·＝16.故选C.答案C2．(2011·湖北)如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统，当K 正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( )A．0.960 B．0.864C．0.720 D．0.576解析K正常工作，概率P(A)＝0.9A1A2正常工作，概率P(B)＝1－P(1)P(2)＝1－0.2×0.2＝0.96∴系统正常工作概率P＝0.9×0.96＝0.864.答案B3．(2011·课标)有3个爱好小组，甲、乙两位同学各自参与其中一个小组，每位同学参与各个小组的可能性相同，则这两位同学参与同一个爱好小组的概率为( )解析古典概型，总的状况共3×3＝9种，满意题意的有3种，故所求概率为P＝＝.答案A4．对变量x，y有观测数据(，)(i＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(，)(i＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以推断( )A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关解析夹在带状区域内的点，总体呈上升趋势的属于正相关；反之，总体呈下降趋势的属于负相关．明显选C.答案C5．某个容量为100的样本的频率分布直方图如图所示，则在区间[4,5)上的数据的频数为( )A．15 B．20C．25 D．30解析在区间[4,5)的频率/组距的数值为0.3，而样本容量为100，所以频数为30.故选D.答案D6．(2011·辽宁丹东模拟)甲、乙两名同学在五次测试中的成果用茎叶图表示如图，若甲、乙两人的平均成果分别是x甲、x乙，则下列结论正确的是( )A．x甲>x乙；乙比甲成果稳定B．x甲>x乙；甲比乙成果稳定C．x甲<x乙；甲比乙成果稳定D．x甲<x乙；乙比甲成果稳定解析由题意得，x甲＝×(68＋69＋70＋71＋72)＝×350＝70，x乙＝×(63＋68＋69＋69＋71)＝×340＝68，所以x甲>x乙．又＝×(22＋12＋02＋12＋22)＝×10＝2，＝×(52＋02＋12＋12＋32)＝×36＝7.2，所以甲比乙成果稳定．故选B.答案B7．(2012·福建)如图所示，在边长为1的正方形中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率是( )解析由图示可得，图中阴影部分的面积S＝(－x)＝错误!错误!＝错误!－错误!＝，由此可得点P恰好取自阴影部分的概率P＝＝.答案C8．如图所示的流程图，最终输出的n的值是( )A．3 B．4C．5 D．6解析当n＝2时，22>22不成立；当n＝3时，23>32不成立；当n＝4时，24>42不成立；当n＝5时，25>52成立．所以n＝5.故选C.答案C9．正四面体的四个表面上分别写有数字1,2,3,4，将3个这样的四面体同时投掷于桌面上，与桌面接触的三个面上的数字的乘积能被3整除的概率为( )解析将正四面体投掷于桌面上时，与桌面接触的面上的数字是1,2,3,4的概率是相等的，都等于.若与桌面接触的三个面上的数字的乘积能被3整除，则三个数字中至少应有一个为3，其对立事务为“与桌面接触的三个面上的数字都不是3”，其概率是3＝，故所求概率为1－＝.答案C10．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160编号，按编号依次平均分成20组(1～8号，9～16号，…，153～160号)，若第16组抽出的号码为126，则第1组中用抽签的方法确定的号码是( ) A．5 B．6C．7 D．8解析设第1组抽出的号码为x，则第16组应抽出的号码是8×15＋x＝126，∴x＝6.故选B.答案B11．(2011·杭州市第一次教学质量检测)体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则始终发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是( )解析发球次数X的分布列如下表，所以期望解得p>(舍去)或p<，又p>0，故选C . 答案 C12．(2012·济宁一中高三模拟)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A ＝，其中A 的各位数中，a 1＝1，(k 可取2,3,4,5)出现0的概率为，出现1的概率为.记ξ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5，当程序运行一次时，ξ的数学期望E(ξ)＝( )解析 ξ＝1，P 1＝40＝， ξ＝2时，P 2＝3·＝， ξ＝3时，P 3＝·2·2＝， ξ＝4时，P 4＝·3＝， ξ＝5时，P 5＝4＝，E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝. 答案 C二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上．13．(2012·广东湛江十中模拟)在可行域内任取一点，规则如流程图所示，则能输出数对(x ，y)的概率为．解析如图所示，给出的可行域即为正方形与其内部．而所求事务所在区域为一个圆，两面积相比即得概率为.答案14．(2012·山东潍坊模拟)给出下列命题：(1)若z∈C，则z2≥0；(2)若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；(3)若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；(4)若z＝，则z3＋1对应的点在复平面内的第一象限．其中正确的命题是．解析由复数的概念与性质知，(1)错误；(2)错误；(3)错误，若a＝－1，(a＋1)i＝0；(4)正确，z3＋1＝(－i)3＋1＝i＋1.答案(4)15．(2011·上海)随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份诞生的概率为．(默认每个月的天数相同，结果精确到0.001)解析P＝1－≈0.985.答案0.98516．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的y等于．解析由图中程序框图可知，所求的y是一个“累加的运算”，即第一步是3；其次步是7；第三步是15；第四步是31；第五步是63.答案63三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分)某班主任对全班50名学生学习主动性和对待班级工作的看法进行了调查，统计数据如下表所示：是多少？抽到不太主动参与班级工作且学习主动性一般的学生的概率是多少？(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习主动性与对待班级工作的看法是否有关系？并说明理由．(参考下表)主动参与班级工作且学习主动性一般的学生有19人，概率为.(2)K2＝＝≈11.5，∵K2>10.828，∴有99.9%的把握说学生的学习主动性与对待班级工作的看法有关系．18．(本小题满分12分)在1996年美国亚特兰大奥运会上，中国香港风帆选手李丽珊以惊人的耐力和斗志，勇夺金牌，为香港体育史揭开了“突破零”的新一页．在风帆竞赛中，成果以低分为优胜．竞赛共11场，并以最佳的9场成果计算最终的名次．前7场竞赛结束后，排名前5位的选手积分如表一所示：表一此时让你预料谁将获得最终的成功，你会怎么看？解由表一，我们可以分别计算5位选手前7场竞赛积分的平均数和标准差，分别作为衡量各选手竞赛的成果与稳定状况，如表二所示．表二就是说，在前7场竞赛过程中，她的成果最为优异，而且表现也最为稳定．尽管此时还有4场竞赛没有进行，但这里我们可以假定每位运动员在各自的11场竞赛中发挥的水平大致相同(实际状况也的确如此)，因此可以把前7场竞赛的成果看做是总体的一个样本，并由此估计每位运动员最终的竞赛的成果．从已经结束的7场竞赛的积分来看，李丽珊的成果最为优异，而且表现最为稳定，因此在后面的4场竞赛中，我们有足够的理由信任她会接着保持优异而稳定的成果，获得最终的冠军．19．(本小题满分12分)(2012·苏州五中模拟)设不等式组错误!表示的区域为A，不等式组错误!表示的区域为B，在区域A中随意取一点P(x，y)．(1)求点P落在区域B中的概率；(2)若x、y分别表示甲、乙两人各掷一次正方体骰子所得的点数，求点P落在区域B中的概率．解(1)设区域A中随意一点P(x，y)∈B为事务M.因为区域A的面积为S1＝36，区域B在区域A中的面积为S2＝18.故P(M)＝＝.(2)设点P(x，y)落在区域B中为事务N，甲、乙两人各掷一次骰子所得的点P(x，y)的个数为36，其中在区域B中的点P(x，y)有21个．故P(N)＝＝.20．(本小题满分12分)某中学部分学生参与全国中学数学竞赛，取得了优异成果，指导老师统计了全部参赛同学的成果(成果都为整数，试题满分120分)，并且绘制了“频率分布直方图”(如图)，请回答：(1)该中学参与本次数学竞赛的有多少人？(2)假如90分以上(含90分)获奖，则获奖率是多少？(3)这次竞赛成果的中位数落在哪段内？(4)上图还供应了其他信息，请再写出两条．解(1)由直方图(如图)可知：4＋6＋8＋7＋5＋2＝32(人)；(2)90分以上的人数为7＋5＋2＝14(人)，∴×100%＝43.75%.(3)参赛同学共有32人，按成果排序后，第16个、第17个是最中间两个，而第16个和第17个都落在80～90之间．∴这次竞赛成果的中位数落在80～90之间．(4)①落在80～90段内的人数最多，有8人；②参赛同学的成果均不低于60分．21．(本小题满分12分)(2012·天津)现有4个人去参与某消遣活动，该活动有甲、乙两个嬉戏可供参与者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地匀称的骰子确定自己去参与哪个嬉戏，掷出点数为1或2的人去参与甲嬉戏，掷出点数大于2的人去参与乙嬉戏．(1)求这4个人中恰有2人去参与甲嬉戏的概率；(2)求这4个人中去参与甲嬉戏的人数大于去参与乙嬉戏的人数的概率；(3)用X，Y分别表示这4个人中去参与甲、乙嬉戏的人数，记ξ＝－，求随机变量ξ的分布列与数学期望Eξ.解依题意，这4个人中，每个人去参与甲嬉戏的概率为，去参与乙嬉戏的概率为.设“这4个人中恰有i人去参与甲嬉戏\”为事务(i＝0,1,2,3,4)，则P()＝4－i.(1)设4个人中恰有2人去参与甲嬉戏的概率为P(A2)P(A2)＝22＝.(2)设“这4个人中去参与甲嬉戏的人数大于去参与乙嬉戏的人数”为事务B，则B＝A3∪A4，由于A3和A4互斥，故P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝3＋4＝.所以，这4个人中去参与甲嬉戏的人数大于去参与乙嬉戏的人数的概率为.(3)ξ的全部可能取值为0,2,4.由于A1与A3互斥，A0和A4互斥，故P(ξ＝0)＝P(A2)＝，P(ξ＝2)＝P(A1)＋P(A3)＝，P(ξ＝4)＝P(A0)＋P(A4)＝.所以ξ的分布列是随机变量ξ22．(本小题满分14分)(2012·福建)受轿车在保修期内修理费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保障期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预料今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．解(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事务A.则P(A)＝＝.(2)依题意得，X1的分布列为X2的分布列为(3)由(2)得，E(X1)＝1×＋2×＋3×＝＝2.86(万元)，E(X2)＝1.8×＋2.9×＝2.79(万元)．因为E(X1)>E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．。
(完整版)高考真题：复数
高考真题：复数一、单选题1i （A ）1+i （B ）1−i （C ）−1+i （D ）−1−i2．若复数z 满足232i,z z +=- 其中i 为虚数单位，则z=（A ）1+2i （B ）1-2i （C ）12i -+ （D ）12i --3．设i 为虚数单位，则复数（1+i ）2=（A ）0 （B ）2 （C ）2i （D ）2+2i4．设i 为虚数单位，则6(i)x +的展开式中含x 4的项为 （A ）－15x 4 （B ）15x 4 （C ）－20i x 4 （D ）20i x 45 （A ）i （B ）1+i （C ）i - （D ）1i -6．若43i z =+，则（A ）1 （B ）1- （C （D 7．若z=1+2i ，则41i zz =- A ． 1 B ． −1 C ． i D ． −i8．设复数z 满足3z i i +=-，则z =A ． 12i -+B ． 12i -C ． 32i +D ． 32i -9．已知()()31z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是A ． ()31-，B ． ()13-， C ． ()1,+∞ D ． ()3-∞-， 10．设(1+2i)(a +i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a =（ ）A ． −3B ． −2C ． 2D ． 311．设(1i)1i x y +=+，其中x ，y（A ）1 （B （C （D ）212．(2017高考新课标III，理3)设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=A ． 12B ． √22C ． √2D ． 213．若复数(1−i )(a +i )在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是A ． (−∞,1)B ． (−∞,−1)C ． (1,+∞)D ． (−1,+∞)14．已知i 是虚数单位,若复数z 满足i 1i z =+,则2z =A ． -2iB ． 2iC ． -2D ． 215．若复数（1–i ）（a +i ）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是A ． （–∞，1）B ． （–∞，–1）C ． （1，+∞）D ． （–1，+∞）16．已知R a ∈， i 是虚数单位，若z a =， 4z z ⋅=，则a =（）A ． 1或1-B ． 或C ．D ． 17．3+i 1+i =( )A ． 1+2iB ． 1−2iC ． 2+iD ． 2−i18．，2017新课标全国卷II 文科）(1+i )(2+i )=A ． 1−iB ． 1+3iC ． 3+iD ． 3+3i19．复平面内表示复数z=i(–2+i)的点位于A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限20．设有下面四个命题p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ，p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ，p 3：若复数z 1,z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1=z 2，p 4：若复数z ∈R ，则z̅∈R .其中的真命题为A ． p 1,p 3B ． p 1,p 4C ． p 2,p 3D ． p 2,p 421．下列各式的运算结果为纯虚数的是A ． i(1+i)2B ． i 2(1−i)C ． (1+i)2D ． i(1+i)二、填空题22，其中i 为虚数单位，则z 的虚部等于______________________.23．已知,a b ∈R ，i 是虚数单位，若（1+i ）（1-bi ）=a _______. 24．设a ∈R ，若复数(1i)(i)a ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =_______________.25．已知a R ∈，i 为虚数单位，若2a ii -+为实数，则a 的值为__________．参考答案1．B【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版）【解析】B. 2．B【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版）【解析】试题分析：设i z a b =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故2,1-==b a ，则12i z =-，选B.3．C【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（四川卷精编版）试题分析：22(1i)12i i 2i +=++=，故选C.【答案】A【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷精编版）【解析】 试题分析：二项式6(i)x +的展开式的通项为616C i r r r r T x -+=，令64r -=，则2r =，故展开式中含4x 的项为24246C i 15x x =-，故选A.5．A【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷精编版）【解析】A. 【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.6．D【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷精编版）【解析】D ． 【考点】复数的运算、共轭复数、复数的模 【名师点睛】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成−1．复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依平面向量的加、减法的几何意义进行理解．7．C【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版）【解析】试题分析： ()()44112121i i i zz i i ==-+--，故选C ． 【考点】复数的运算、共轭复数．【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“i ”的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把2i 换成−1.复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解． 视频 8．C【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷精编版）【解析】试题分析：由i 3i z +=-得32i z =-，所以32i z =+，故选C.【考点】 复数的运算，共轭复数【名师点睛】复数(),a bi a b R +∈的共轭复数是(),a bi a b R -∈，据此先化简再计算即可.视频9．A【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷精编版）【解析】试题分析：要使复数z 对应的点在第四象限,应满足30{10m m +>-<，解得31m -<<，故选A.【考点】 复数的几何意义 【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可． 复数z ＝a ＋bi 复平面内的点Z （a ，b ）（a ，b∈R ）．复数z ＝a ＋bi （a ，b ∈R ）平面向量OZ uuu r . 视频 10．A 【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷精编版）【解析】试题分析：(1+2i)(a +i)=a −2+(1+2a)i ，由已知，得，解得，选A.【考点】复数的概念及复数的乘法运算【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是i 2=−1中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性.11．B【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版）【解析】试题分析：因为(1i)=1+i,x y +所以故选B.【考点】复数运算【名师点睛】复数题也是每年高考的必考内容,一般以客观题的形式出现,属得分题.高考中考查频率较高的内容有：复数相等、复数的几何意义、共轭复数、复数的模及复数的乘除运算.这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题时要注意运算的准确性.12．C【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版）【解析】由题意可得z =2i 1+i ，由复数求模的法则可得|z 1z 2|=|z 1||z 1|，则|z |=|2i ||1+i |=√2=√2.故选C.【名师点睛】共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：(1)z 1±z 2=z 1±z 2，(2)z 1×z 2=z 1×z 2；(3)z ⋅z̅=|z |2=|z̅|2，(4)||z 1|−|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|，(5)|z 1z 2|=|z 1|×|z 2|，(6)|z 1z 2|=|z 1||z 1|. 13．B【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（北京卷精编版）【解析】试题分析：设z =(1−i )(a +i )=(a +1)+(1−a )i ，因为复数对应的点在第二象限，所以{a +1<01−a >0，解得：a <−1，故选B. 14．A【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷精编版）【解析】由i 1i z =+得()()22i 1i z =+,即22i z -=,所以22i z =-,故选A. 【名师点睛】复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化.注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2∈±2i∈(2)∈i,∈∈i.15．B 【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷精编版）【解析】试题分析：设()()()()1i i 11i z a a a =-+=++-，因为复数对应的点在第二象限，所以10{ 10a a +<->，解得： 1a <-，故选B.【考点】复数的运算【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．复数z ＝a ＋b i 复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R)．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R) 平面向量OZ uuu v .16．A【来源】【全国百强校】河北省曲周县第一中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学（理）试题【解析】由,4z a z z =⋅=得234a +=，所以1a =±，故选A.【名师点睛】复数(),a bi a b R +∈的共轭复数是(),a bi a b R -∈，据此结合已知条件，求得a 的方程即可.17．D【来源】江西省赣州厚德外国语学校2018届高三上学期第一次阶段测试数学（理）试题【解析】3+i 1+i =(3+i)(1−i)(1+i)(1−i)=3−3i+i+11+1=4−2i 2=2−i故选D18．B【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标2卷精编版）【解析】由题意(1+i )(2+i )=2+3i +i 2=1+3i ，故选B. 点睛:首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如(a +b i )(c +d i )=(ac −bd)+ (ad +bc)i (a,b,c,d ∈R). 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数a +b i (a,b ∈R)的实部为a 、虚部为b 、模为√a 2+b 2、对应点为(a,b)、共轭复数为a −b i .19．C【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷精编版）【解析】()i 2i 12i z =-+=--，则表示复数()i 2i z =-+的点位于第三象限. 所以选C.【名师点睛】对于复数的四则运算，首先要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()()()i i i ,,,a b c d ac bd ad bc a b c d R ++=-++∈.其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数()i ,a b a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、对应的点为(),a b 、共轭复数为i.a b -20．B【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷精编版）【解析】令z =a +b i (a,b ∈R)，则由1z =1a+b i =a−b ia 2+b 2∈R 得b =0，所以z ∈R ，故p 1正确；当z =i 时，因为z 2=i 2=−1∈R ，而z =i ∉R 知，故p 2不正确；当z 1=z 2=i 时，满足z 1⋅z 2=−1∈R ，但z 1≠z 2，故p 3不正确；对于p 4，因为实数的共轭复数是它本身，也属于实数，故p 4正确，故选B. 点睛:分式形式的复数，分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简成z =a +b i (a,b ∈R)的形式进行判断，共轭复数只需实部不变，虚部变为原来的相反数即可.21．C【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷精编版）【解析】2i 1+i)i 2i=-2,=⋅（ ()2i 1i 1i -=-+ , 2(1i)2i += , ()i 1i 1i +=-+ ,所以选C.22．-3【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（上海卷精编版）【解析】z 的虚部等于−3. 【考点】复数的运算、复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目来看，复数题目往往不难，有时运算与概念、复数的几何意义综合考查，也是考生必定得分的题目之一.23．2【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版）【解析】试题分析：由(1i)(1i)1(1)i b b b a +-=++-=，可得110b a b +=⎧⎨-=⎩，所以21a b =⎧⎨=⎩故答案为2．【考点】复数相等【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如答案第7页，总7页 i i i()(a+b )(c+d )=(ac bd)+(ad +bc)a,b,c,d -∈R ，其次要熟悉复数的相关基本概念，如复数i(,)a+b a b ∈R 的实部为a 、虚部为b 、模为、共轭复数为i a b -.24．1-【来源】2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（北京卷精编版）【解析】 试题分析：由题意得(1i)(i)1(1)i 1a a a a ++=-++∈⇒=-R .【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.25．-2【来源】2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷精编版） 【解析】()()()()()()2212212222555a i i a a i a i a a i i i i ----+--+===-++-为实数， 则20,25a a +==-. 【考点】 复数的分类【名师点睛】复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可． 复数(),z a bi a b R =+∈，当0b ≠时， z 为虚数，当0b =时， z 为实数，当0,0a b =≠时， z 为纯虚数.。
复数小题专练-高三数学二轮专题复习
冲刺高考二轮 复数小题专练（原卷+答案）一、单项选择题1．(2＋2i)(1－2i)＝( )A ．－2＋4iB ．－2－4iC ．6＋2iD ．6－2i2．设(1＋2i)a ＋b ＝2i ，其中a ，b 为实数，则( )A ．a ＝1，b ＝－1B ．a ＝1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝1D ．a ＝－1，b ＝－13．复数2i1－i (i 是虚数单位)的虚部是( )A ．1B ．－iC ．2D ．－2i4．若复数z 满足i·z ＝3－4i ，则|z |＝( )A ．1B ．5C ．7D ．255．复数z 满足(1－i)z ＝2＋3i ，则z 在复平面内对应的点位于() A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．若复数z 满足z ＋3i ＝z － ，则复数z 的虚部为( )A ．32B ．－32C ．32 iD ．－32 i7．设z i ＝3－2z － ，则复数z ＝( )A ．3＋iB ．3－iC ．2＋iD ．2－i8．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 31＋i ，z － 是z 的共轭复数，则z － ·z ＝() A ．0 B ．12C ．1D ．2二、多项选择题9．已知复数z ＝5i 1＋2i，则下列各项正确的为( ) A ．复数z 的虚部为iB ．复数z －2为纯虚数C ．复数z 的共轭复数对应点在第四象限D ．复数z 的模为510．已知z 1，z 2均为复数，则下列结论中正确的有( )A ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1＝±z 2B ．若z 1＝z 2，则z 1＋z 2是实数C ．(z 1－z 2)2＝|z 1－z 2|2D ．若z 1＋z 2＝0，则z 1z 2是实数11．已知复数z 1对应的向量为OZ 1→ ，复数z 2对应的向量为OZ 2→ ，则( )A ．若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则OZ 1→ ⊥OZ 2→B ．若(OZ 1→ ＋OZ 2→ )⊥(OZ 1→ －OZ 2→ )，则|z 1|＝|z 2|C ．若z 1与z 2在复平面上对应的点关于实轴对称，则z 1z 2＝|z 1z 2|D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21 ＝z 2212．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (本题中e 为自然对数的底数，i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，依据欧拉公式，则下列结论中正确的是( )A ．复数e i π2 为纯虚数B ．复数e i2对应的点位于第二象限C ．复数e i π3 的共轭复数为32 －12i D ．复数e i θ(θ∈R )在复平面内对应的点的轨迹是圆三、填空题13．已知复数z 满足(1＋i)z ＝2i(i 为虚数单位)，则z ·z － ＝________．14．设m 为实数，复数z 1＝1＋2i ，z 2＝m ＋3i(这里i 为虚数单位)，若z 1·z 2为纯虚数，则|z 1＋z 2|的值为________．15．已知i 是虚数单位，则复数(1＋i 2)4的模等于________． 16．已知2＋i 是关于x 的方程x 2＋ax ＋5＝0的根，则实数a ＝________．参考答案1．解析：(2＋2i)(1－2i)＝2－4i ＋2i －4i 2＝2－2i ＋4＝6－2i.故选D.答案：D2．解析：由(1＋2i)a ＋b ＝2i ，得a ＋2a i ＋b －2i ＝0，即(a ＋b )＋(2a －2)i ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，2a －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1. 故选A. 答案：A3．解析：由题意可知，2i 1－i ＝2i ×()1＋i ()1－i ()1＋i ＝－2＋2i 2 ＝－1＋i ， 所以复数2i 1－i的虚部为1. 答案：A4．解析：方法一 由i·z ＝3－4i ，得z ＝3－4i i ＝（3－4i ）·（－i ）i·（－i ） ＝－3i ＋4i 2－i 2＝－4－3i ， 所以|z |＝（－4）2＋（－3）2 ＝5.故选B.方法二 由i ·z ＝3－4i ，得z ＝3－4i i ，所以|z |＝|3－4i i |＝|3－4i||i| ＝32＋（－4）202＋12＝5.故选B.答案：B5．解析：由题知：z ＝2＋3i 1－i ＝（2＋3i ）（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝－1＋5i 2 ， 所以z 在复平面内对应的点的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，52 ，位于第二象限． 故选B.答案：B6．解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z － ＝a －b i ，因为z ＋3i ＝z － ，则a ＋(b ＋3)i ＝a －b i ，所以b ＋3＝－b ，解得b ＝－32， 因此，复数z 的虚部为－32. 故选B.答案：B7．解析：由z i ＝3－2z － 得z i ＋2z － ＝3.设复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z － ＝x －y i ，所以(x ＋y i)i ＋2(x －y i)＝3，所以2x －y ＋(x －2y )i ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝3，x －2y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1， 所以z ＝2＋i. 故选C.答案：C8．解析：∵z ＝i ＋i 2＋i 31＋i ＝－11＋i ＝－1＋i （1＋i ）（1－i ）＝－12 ＋12 i ， 所以z － ·z ＝⎝⎛⎭⎫－12－12i ⎝⎛⎭⎫－12＋12i ＝14 ＋14 ＝12.故选B. 答案：B9．解析：∵z ＝5i 1＋2i ＝5i （1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝2＋i ，则可得： 复数z 的虚部为1，A 错误；z －2＝i 为纯虚数，B 正确；复数z 的共轭复数为z － ＝2－i ，其对应点为(2，－1)，在第四象限，C 正确；复数z 的模为|z |＝22＋12 ＝5 ，D 错误．故选BC.答案：BC10．解析：z 1＝1，z 2＝－i ，|z 1|＝|z 2|而z 1≠±z 2，A 错；令z 1＝a ＋b i ，则z 2＝a －b i ，z 1＋z 2＝2a 为实数，B 对；z 1＝1，z 2＝i ，(z 1－z 2)2＝－2i ，|z 1－z 2|2＝2，则(z 1－z 2)2≠|z 1－z 2|2，C 错；令z 1＝a ＋b i ，则z 2＝－a －b i ，z 2＝－a ＋b i ，z 1·z 2＝(a ＋b i)(－a ＋b i)＝－a 2－b 2为实数，D 对，故选BD.答案：BD11．解析：因为|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，所以|OZ 1→ ＋OZ 2→ |＝|OZ 1→ －OZ 2→ |，则|OZ 1→ ＋OZ 2→ |2＝|OZ 1→ －OZ 2→ |2，即4OZ 1→ ·OZ 2→ ＝0，则OZ 1→ ⊥OZ 2→ ，故选项A 正确；因为(OZ 1→ ＋OZ 2→ )⊥(OZ 1→ －OZ 2→ )，所以(OZ 1→ ＋OZ 2→ )·(OZ 1→ －OZ 2→ )＝0，即OZ 12→ ＝OZ 22→ ，则|z 1|＝|z 2|，故选项B 正确；设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，因为z 1与z 2在复平面上对应的点关于实轴对称，则z 2＝a －b i(a ，b ∈R )，所以z 1z 2＝a 2＋b 2，|z 1z 2|＝a 2＋b 2，则z 1z 2＝|z 1z 2|，故选项C 正确；若z 1＝1＋i ，z 2＝1－i 满足|z 1|＝|z 2|，而z 21 ≠z 22 ，故选项D 错误，故选ABC.答案：ABC12．解析：对A ：因为复数e i π2＝cos π2 ＋isin π2 ＝i 为纯虚数，故选项A 正确；对B ：复数e i2＝cos 2＋isin 2，因为cos 2<0，sin 2>0，所以复数e i2对应的点为(cos 2，sin 2)位于第二象限，B 正确；对C ：复数e i π3＝cos π3 ＋isin π3 ＝12 ＋32 i 的共轭复数为12 －32 i ，故选项C 错误； 对D ：复数e i θ＝cos θ＋isin θ(θ∈R )在复平面内对应的点为(cos θ，sin θ)，因为cos 2θ＋sin 2θ＝1，所以复数e i θ(θ∈R )在复平面内对应的点的轨迹是圆，故选项D 正确．故选ABD.答案：ABD13．解析：z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋i ，z － ＝1－i ，所以z ·z － ＝2. 答案：214．解析：∵z 1＝1＋2i ，z 2＝m ＋3i ，∴z 2－ ＝m －3i ，∴z 1·z 2－ ＝(1＋2i)(m －3i)＝m －3i ＋2m i ＋6＝(m ＋6)＋(2m －3)i ，∵z 1·z 2－ 为纯虚数，∴m ＋6＝0⇒m ＝－6，∴z 1＋z 2＝(1＋2i)＋(－6＋3i)＝－5＋5i ，∴|z 1＋z 2|＝（－5）2＋52 ＝52 . 答案：5215．解析：因为⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 2 4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 22 2＝⎝⎛⎭⎫2i 2 2＝i 2＝－1，所以模为1. 答案：116．解析：因为2＋i 是关于x 的方程x 2＋ax ＋5＝0的根，其中a ∈R ，所以2－i 也是关于x 的方程x 2＋ax ＋5＝0的根，所以2＋i ＋2－i ＝－a ，a ＝－4.答案：－4。
高三数学复数选择题专项训练知识点及练习题及解析
高三数学复数选择题专项训练知识点及练习题及解析一、复数选择题1．复数()1z i i =⋅+在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：B【分析】先利用复数的乘法化简复数z ，再利用复数的几何意义求解.【详解】因为复数，所以在复数z 复平面上对应的点位于第二象限故选：B解析：B【分析】先利用复数的乘法化简复数z ，再利用复数的几何意义求解.【详解】因为复数()11z i i i =⋅+=-+，所以在复数z 复平面上对应的点位于第二象限故选：B2．设复数(,)z a bi a R b R =+∈∈，它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，且有1z =，则a b +=（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2答案：C【分析】根据复数的几何意义得．【详解】∵它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，∴，又，∴，∴．故选：C ．解析：C【分析】根据复数的几何意义得,a b ．【详解】∵z 它在复平面内对应的点位于虚轴的正半轴上，∴0a =，又1z =，∴1b =， ∴1a b +=．故选：C ．3．若复数z 为纯虚数，且()373z i m i -=+，则实数m 的值为（ ）A ．97- B ．7 C ．97 D ．7-答案：B【分析】先求出，再解不等式组即得解.【详解】依题意，，因为复数为纯虚数，故，解得.故选：B【点睛】易错点睛：复数为纯虚数的充要条件是且，不要只写.本题不能只写出，还要写上.解析：B【分析】 先求出321795858m m z i -+=+，再解不等式组3210790m m -=⎧⎨+≠⎩即得解. 【详解】 依题意，()()()()3373321793737375858m i i m i m m z i i i i +++-+===+--+， 因为复数z 为纯虚数，故3210790m m -=⎧⎨+≠⎩，解得7m =. 故选：B【点睛】易错点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数的充要条件是0a =且0b ≠，不要只写0b ≠.本题不能只写出790m +≠，还要写上3210m -=.4．若复数1z i i ⋅=-+，则复数z 的虚部为（ ）A ．－1B ．1C ．－iD ．i答案：B【分析】，然后算出即可.【详解】由题意，则复数的虚部为1故选：B【分析】1i z i-+=，然后算出即可. 【详解】 由题意()11111i i i i z i i i i -+-+--====+⋅-，则复数z 的虚部为1 故选：B5．已知复数z 满足()311z i i +=-，则复数z 对应的点在（ ）上A ．直线12y x =-B ．直线12y x =C ．直线12x =-D ．直线12y 答案：C【分析】利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可.【详解】解：因为，所以复数对应的点是，所以在直线上.故选：C.【点睛】本题考查复数的乘方和除法运解析：C【分析】利用复数的乘法和除法运算求得复数z 的标准形式，得到对应点的坐标，然后验证即可. 【详解】 解：因为33111(1)1(1)2(1)2i i z i i z i i --+=-⇔===-+-，所以复数z 对应的点是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以在直线12x =-上. 故选：C.【点睛】本题考查复数的乘方和除法运算，复数的坐标表示，属基础题.注意：()()()()()3211i 12121i i i i i +=++=-+=-. 6．已知i 为虚数单位，若复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则z a +=（ ）A B ．3 C ．5 D ．答案：A根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得，.进而求得复数,再根据模的定义即可求得【详解】由复数为纯虚数，则，解得则 ，所以，所以故选：A解析：A【分析】根据复数运算,化简后由纯虚数的概念可求得a ，.进而求得复数z ,再根据模的定义即可求得z a +【详解】()()()()()()2221222121122111i a i a a i a i i a z a i a i a i a a a +-++--++====+++-+++ 由复数()12i z a R a i +=∈+为纯虚数，则222012101a a a a +⎧=⎪⎪+⎨-⎪≠⎪+⎩，解得2a =- 则z i =- ，所以2z a i +=--，所以z a +=故选：A7．设()2211z i i =+++，则||z =（ ） AB ．1C ．2 D答案：D【分析】利用复数的乘除法运算法则将化简，然后求解．【详解】因为，所以，则．故选：D ．【点睛】本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，解析：D【分析】利用复数的乘除法运算法则将z 化简，然后求解||z ．【详解】 因为()()()()2221211211211111i z i i i i i i i i i -=++=+++=-++-=+++-，所以1z i =-，则z =故选：D ．【点睛】本题考查复数的运算，解答时注意复数的乘法运算符合多项式乘法的运算法则，计算复数的除法时，需要给分子分母同乘以分母的共轭复数然后化简．8．若复数1211i z i +=--，则z 在复平面内的对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：B【分析】利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可【详解】，所以，在复平面内的对应点为，则对应点位于第二象限故选：B解析：B【分析】利用复数的运算法则和复数的几何意义求解即可【详解】()()12i 1i 12i 33i 33i 111i 2222z +++-+=-=-==-+-， 所以，z 在复平面内的对应点为33,22⎛⎫-⎪⎝⎭，则对应点位于第二象限 故选：B9．若复数z 满足()322i z i i -+=+，则复数z 的虚部为（ ） A ．35 B ．35i - C ．35 D ．35i 答案：A【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出，再由复数的定义得结论．【详解】由题意，得，其虚部为，故选：A.解析：A【分析】由复数的除法法则和乘法法则计算出z ，再由复数的定义得结论．【详解】由题意，得()()()()()23343313343434552i i ii z i i i i i ----====-++-+， 其虚部为35， 故选：A. 10．已知复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则()1z z ⋅+=（ ）A B ．2 C ．10 D 答案：D【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案.【详解】因为，所以，，所以，故选:D.解析：D【分析】求出共轭复数，利用复数的乘法运算以及复数的求模公式可得答案.【详解】因为1z i =+，所以1z i =-，12z i +=+，所以()()()1123z z i i i ⋅+=-⋅+=-==故选:D.11．在复平面内，复数z 对应的点为(,)x y ，若22(2)4x y ++=，则（ ） A ．22z += B ．22z i += C ．24z += D ．24z i += 答案：B【分析】利用复数模的计算公式即可判断出结论．因为复数对应的点为，所以，满足则故选：B解析：B【分析】利用复数模的计算公式即可判断出结论．【详解】因为复数z 对应的点为(,)x y ，所以z x yi =+x ，y 满足22(2)4x y ++=则22z i +=故选：B12．复数()()212z i i =-+，则z 的共轭复数z =（ ）A ．43i +B ．34i -C ．34i +D ．43i -答案：D【分析】由复数的四则运算求出，即可写出其共轭复数.【详解】∴，故选：D解析：D【分析】由复数的四则运算求出z ，即可写出其共轭复数z .【详解】2(2)(12)24243z i i i i i i =-+=-+-=+ ∴43z i =-，故选：D13．212ii +=-（ ）A ．1B ．−1C ．i -D ．i 答案：D【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】，故选：D【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】()()()()2221222255121212145i i i i i i i i i i i +++++====--+-， 故选：D14．已知复数202111i z i-=+，则z 的虚部是（ ） A ．1- B ．i - C ．1 D ．i答案：C【分析】求出，即可得出，求出虚部.【详解】，，其虚部是1.故选：C.解析：C【分析】求出z ，即可得出z ，求出虚部.【详解】()()()220211i 1i i 1i 1i 1i z --===-++-，i z ∴=，其虚部是1. 故选：C.15．复数z 满足22z z i +=，则z 在复平面上对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：B【分析】先设复数，根据复数模的计算公式，以及复数相等，求出，得出复数，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】设复数，由得，所以，解得，因为时，不能满足，舍去；故，所以，其对应的解析：B先设复数(),z x yi x R y R =+∈∈，根据复数模的计算公式，以及复数相等，求出,x y ，得出复数，再由复数的几何意义，即可得出结果.【详解】设复数(),z x yi x R y R =+∈∈， 由22z z i +=得222x yi i +=，所以2022x y ⎧⎪+=⎨=⎪⎩，解得31x y ⎧=±⎪⎨⎪=⎩，因为1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，不能满足20x =，舍去；故1x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩z i =+，其对应的点3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭位于第二象限， 故选：B.二、复数多选题16．i 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ）A ．若复数z 满足0z z ⋅=，则0z =B ．若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z =C ．若复数()z a ai a R =+∈，则z 可能是纯虚数D ．若复数z 满足234z i =+，则z 对应的点在第一象限或第三象限答案：AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题解析：AD【分析】A 选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果；B 选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果；C 选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果；D 选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果.【详解】A 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则其共轭复数为(),z a bi a b R =-∈， 则220z z a b ⋅=+=，所以0a b ，即0z =；A 正确；B 选项，若11z =，2z i =，满足1212z z z z +=-，但12z z i =不为0；B 错；C 选项，若复数()z a ai a R =+∈表示纯虚数，需要实部为0，即0a =，但此时复数0z =表示实数，故C 错；D 选项，设(),z a bi a b R =+∈，则()2222234z a bi a abi b i =+=+-=+， 所以22324a b ab ⎧-=⎨=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩，则2z i =+或2z i =--， 所以其对应的点分别为()2,1或()2,1--，所以对应点的在第一象限或第三象限；D 正确. 故选：AD.17．已知复数Z 在复平面上对应的向量(1,2),OZ =-则（ ）A ．z =-1+2iB ．|z |=5C ．12z i =+D ．5z z ⋅= 答案：AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量，得到复数，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量，所以，，|z|=，，故选：AD解析：AD【分析】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，得到复数12z i =-+，再逐项判断.【详解】因为复数Z 在复平面上对应的向量(1,2)OZ =-，所以12z i =-+，12z i =--，|z 5z z ⋅=，故选：AD18．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）A ．0B ．2-C ．2iD ．2i - 答案：ACD【分析】令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值.【详解】令代入，得：，∴，解得或或故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.解析：ACD【分析】令z a bi =+代入已知等式，列方程组求解即可知z 的可能值.【详解】令z a bi =+代入22||0z z +=，得：2220a b abi -+=，∴22020a b ab ⎧⎪-+=⎨=⎪⎩，解得0,0a b =⎧⎨=⎩或0,2a b =⎧⎨=⎩或0,2,a b =⎧⎨=-⎩ ∴0z =或2z i =或2z i =-．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.19．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ）A ．20z B ．z 的虚部是yiC ．若12z i =+，则1x =，2y = D．z =答案：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取，则，A 选项错误；对于B 选项，复数的虚部为，B 选项错误；解析：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取z i ，则210z =-<，A 选项错误；对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误；对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；对于D选项，z =D 选项正确.故选：CD.本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题.20．下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ）A ．若复数z R ∈，则z R ∈B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈C ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z = 答案：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数，则，因为，所以，因此，即A 正确；B 选项，设复数，则，因为，所，若，则；故B 错；C 选项，设解析：AC【分析】根据复数的运算法则，以及复数的类型，逐项判断，即可得出结果.【详解】A 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z R ∈，所以0b =，因此z a R =∈，即A 正确；B 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则()22222z a bi a b abi =+=-+，因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z R ∉；故B 错；C 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则22222211a bi a b i z a bi a b a b a b -===-++++， 因为1R z∈，所以220b a b =+，即0b =，所以z a R =∈；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b R =+∈，2(,)z c di c d R =+∈，则()()()()12z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，因为12z z R ∈，所以0ad bc +=，若11a b =⎧⎨=⎩，22c d =⎧⎨=-⎩能满足0ad bc +=，但12z z ≠，故D 错误.故选：AC.【点睛】本题主要考查复数相关命题的判断，熟记复数的运算法则即可，属于常考题型.21．若复数z 满足()234z i i +=+（i 为虚数单位），则下列结论正确的有（ ）A ．z 的虚部为3B ．z =C ．z 的共轭复数为23i +D ．z 是第三象限的点答案：BC【分析】利用复数的除法求出复数，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】，，所以，复数的虚部为，，共轭复数为，复数在复平面对应的点在第四象限. 故选：BD.【点睛】本题考解析：BC【分析】利用复数的除法求出复数z ，利用复数的概念与几何意义可判断各选项的正误.【详解】()234z i i +=+，34232i z i i+∴=-=-+，所以，复数z 的虚部为3-，z =共轭复数为23i +，复数z 在复平面对应的点在第四象限.故选：BD.【点睛】 本题考查复数的四则运算、虚部、模、共轭复数以及几何意义，考查计算能力，属于基础题.22．已知复数122,2z i z i =-=则（ ）A ．2z 是纯虚数B ．12z z -对应的点位于第二象限C ．123z z +=D ．12z z =答案：AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算及，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，对应的解析：AD【分析】利用复数的概念及几何有意义判断A 、B 选项是否正确，利用利用复数的四则运算法则计算12z z +及12z z ，并计算出模长，判断C 、D 是否正确.【详解】利用复数的相关概念可判断A 正确；对于B 选项，1223z z i -=-对应的点位于第四象限，故B 错；对于C 选项，122+=+z z i ，则12z z +==，故C 错；对于D 选项，()122224z z i i i ⋅=-⋅=+，则12z z ==D 正确. 故选：AD【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的计算，较简单.23．设i 为虚数单位，复数()(12)z a i i =++，则下列命题正确的是（ ）A ．若z 为纯虚数，则实数a 的值为2B ．若z 在复平面内对应的点在第三象限，则实数a 的取值范围是(,)122- C ．实数12a =-是z z =（z 为z 的共轭复数）的充要条件 D ．若||5()z z x i x R +=+∈，则实数a 的值为2 答案：ACD【分析】首先应用复数的乘法得，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】∴选项A ：为纯虚数，有可得，故正确选项B解析：ACD【分析】首先应用复数的乘法得2(12)z a a i =-++，再根据纯虚数概念、复数所在象限，以及与共轭复数或另一个复数相等，求参数的值或范围，进而可确定选项的正误【详解】()(12)2(12)z a i i a a i =++=-++∴选项A ：z 为纯虚数，有20120a a -=⎧⎨+≠⎩可得2a =，故正确 选项B ：z 在复平面内对应的点在第三象限，有20120a a -<⎧⎨+<⎩解得12a <-，故错误 选项C ：12a =-时，52z z ==-；z z =时，120a +=即12a =-，它们互为充要条件，故正确 选项D ：||5()z z x i x R +=+∈时，有125a +=，即2a =，故正确故选：ACD【点睛】本题考查了复数的运算及分类和概念，应用复数乘法运算求得复数，再根据复数的概念及性质、相等关系等确定参数的值或范围24．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位），则以下结论正确的是（ ）A ．20zB ．2z z =C ．31z =D ．1z =答案：BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数（其中为虚数单位），，故错误；，故正确；，故正确；．故正确．故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则解析：BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数12z =-（其中i 为虚数单位），2131442z ∴=-=--，故A 错误； 2z z ∴=，故B 正确；31113()()12244z =--+=+=，故C 正确；||1z ==．故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．25．已知复数z ，下列结论正确的是（ ）A ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件B ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件C ．“z z =”是“z 为实数”的充要条件D ．“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的充分不必要条件答案：BC【分析】设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设，则，则，若，则，，若，则不为纯虚数，所以，“”是“为纯虚数”必要不充分解析：BC【分析】设(),z a bi a b R =+∈，可得出z a bi =-，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 则2z z a +=，若0z z +=，则0a =，b R ∈，若0b =，则z 不为纯虚数， 所以，“0z z +=”是“z 为纯虚数”必要不充分条件； 若z z =，即a bi a bi +=-，可得0b =，则z 为实数，“z z =”是“z 为实数”的充要条件；22z z a b ⋅=+∈R ，z ∴为虚数或实数，“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件.故选：BC.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题.26．若复数351i z i-=-，则（ ）A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限 答案：AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】解：，，z 的实部为4，虚部为，则相差5，z 对应的坐标为，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正 解析：AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】 解：()()()()351358241112i i i i z i i i i -+--====---+，z ∴==z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确， 故选：AD.27．已知复数12z =-，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．2020122z =-+ 答案：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为，所以A 正确；因为，，所以，所以B 错误；因为，所以C 正确；因为，所以，所以D 正确解析：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，12z =，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确；因为6331z z z =⋅=，所以()202063364431112222z z z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.【点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.28．复数z 满足233232i z i i+⋅+=-，则下列说法正确的是（ ）A ．z 的实部为3-B ．z 的虚部为2C ．32z i =-D ．||z =答案：AD【分析】由已知可求出，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】解：由知，，即，所以的实部为，A 正确；的虚部为-2，B 错误；，C 错误；，D 正确；故选:A解析：AD【分析】由已知可求出32z i =--，进而可求出实部、虚部、共轭复数、复数的模，进而可选出正确答案.【详解】 解：由233232i z i i +⋅+=-知，232332i z i i +⋅=--，即()()()2233232232313i i i z i i ---=-=+ 39263213i i --==--，所以z 的实部为3-，A 正确；z 的虚部为-2，B 错误；32z i =-+，C 错误；||z ==D 正确； 故选:AD.本题考查了复数的除法运算，考查了复数的概念，考查了共轭复数的求解，考查了复数模的求解，属于基础题.29．设()()2225322z t t t t i =+-+++，t ∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（ ）A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 一定不为实数D ．z 对应的点在实轴的下方 答案：CD【分析】利用配方法得出复数的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】，，所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误 解析：CD【分析】利用配方法得出复数z 的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】22549492532488t t t ⎛+⎫= ⎪⎝⎭+-->-，()2222110t t t ++=++>， 所以，复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；当222530220t t t t ⎧+-=⎨++≠⎩，即3t =-或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误； 因为2220t t ++>恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题考查复数的几何意义与复数的概念相关命题真假的判断，解题的关键就是求出复数虚部和实部的取值范围，考查计算能力与推理能力，属于中等题.30．已知i 为虚数单位,下列命题中正确的是( )A ．若x ,y ∈C ,则1x yi i +=+的充要条件是1x y ==B ．2(1)()a i a +∈R 是纯虚数C ．若22120z z +=,则120z z == D ．当4m =时,复数22lg(27)(56)m m m m i --+++是纯虚数答案：BD选项A ：取,满足方程，所以错误；选项B ：,恒成立，所以正确；选项C ：取,,，所以错误；选项D ：代入，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取,,则,但不满足,故A 错误；,恒成解析：BD【分析】选项A ：取x i =,y i =-满足方程，所以错误；选项B ：a ∀∈R ,210a +>恒成立，所以正确；选项C ：取1z i =,21z =,22120z z +=，所以错误；选项D ：4m =代入 22lg(27)(56)m m m m i --+++，验证结果是纯虚数，所以正确.【详解】取x i =,y i =-,则1x yi i +=+,但不满足1x y ==,故A 错误；a ∀∈R ,210a +>恒成立,所以2(1a i +)是纯虚数,故B 正确；取1z i =,21z =,则22120z z +=,但120z z ==不成立,故C 错误; 4m =时，复数2212756=42g m m m m i i --+++()()是纯虚数,故D 正确.故选:BD .【点睛】本题考查复数有关概念的辨析，特别要注意复数的实部和虚部都是实数，解题时要合理取特殊值，属于中档题.。
高三数学复数概念和向量表示试题
高三数学复数概念和向量表示试题1.如图，在复平面内，复数和对应的点分别是和，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由图可知：，，，则.故选A【考点】复数的除法运算与复数模的概念.2.设a为实数，若复数 (1＋2i)(1＋ai) 是纯虚数，则a的值是 .【答案】【解析】因为是纯虚数，所以解得【考点】纯虚数概念3.对任意复数、，定义，其中是的共轭复数.对任意复数、、，有如下四个命题：①；②；③；④.则真命题的个数是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对于命题①，，命题①正确；对于命题②，，命题②正确；对于命题③，左边，右边，左边右边，命题③错误；对于命题④，取，，则，，命题④错误.故选B.【考点】本题考查复数中的新定义运算，考查复数的概念，属于中等偏难题.4.是的共轭复数. 若，（为虚数单位），则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，则由得：，由得：，所以选D.【考点】共轭复数5.已知复数z满足(1＋i)z＝3＋i(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】解法一：由(1＋i)z＝3＋i可得z＝＝＝＝2－i，所以复数z在复平面内对应的点的坐标为(2，－1)，显然该点在第四象限，故选D.解法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入方程得(1＋i)(a＋bi) ＝3＋i，即(a－b)＋(a＋b)i＝3＋i，根据复数相等的充要条件可得，，解得，故复数z在复平面内对应的点的坐标为(2，－1)，显然该点在第四象限，故选D.6.若，则复数的模是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，解得：故选【考点】复数的运算.7. (2013·江西高考)复数z=i(-2-i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】由题意得z=1-2i,对应点为(1,-2),故选D.8.在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为，所以其对应点为，位于第四象限.选D.【考点】复数的几何意义，复数的四则运算.9.如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()A．A B．BC．C D．D【答案】B【解析】因为x＋yi的共轭复数是x－yi，故选B.10.已知x，y∈R，i为虚数单位．若＝1－yi，则x＋yi＝()A．2＋i B．1＋2i C．1－2i D．2－i【答案】A【解析】由＝1－yi，得－i＝1－yi，所以x＝2，y＝＝1，x＋yi＝2＋i.11.已知复数z对应的向量如图所示，则复数z+1所对应的向量正确的是( )【答案】A【解析】由图可知，所以，则复数z+1所对应的向量的坐标为。
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一、复数选择题1．在复平面内，复数534i i -（i 为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） A ．()3,4 B ．()4,3- C ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭2．若复数(1)()(i a i i -+是虚数单位)为纯虚数，则实数a 的值为（ ）A ．2B ．1C ．0D ．1-3．欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：e cos isin i θθθ=+（e 为自然对数的底数，i 为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系．根据欧拉公式可知，i e π＝（ ）A ．1B ．0C ．－1D ．1＋i4．已知i 是虚数单位，复数2z i =-，则()12z i ⋅+的模长为（ ）A ．6B C ．5 D 5．若复数1z i i ⋅=-+，则复数z 的虚部为（ ） A ．－1B ．1C ．－iD ．i 6．复数312i z i =-的虚部是（ ） A ．65i - B ．35i C ．35 D ．65- 7．已知复数512z i =+，则z =（ ）A ．1BCD ．58．若(1)2z i i -=，则在复平面内z 对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 9．若1m i i+-是纯虚数，则实数m 的值为（ ）．A ．1-B ．0C ．1D 10．已知复数202111i z i-=+，则z 的虚部是（ ） A ．1- B ．i - C ．1 D ．i11．设复数z 满足方程4z z z z ⋅+⋅=，其中z 为复数z 的共轭复数，若z 的实部为，则z 为（ ）A ．1BC ．2D ．4 12．在复平面内，复数z 对应的点为(,)x y ，若22(2)4x y ++=，则（ ）A ．22z +=B ．22z i +=C ．24z +=D ．24z i += 13．复数2i i -的实部与虚部之和为（ ） A ．35 B ．15- C ．15 D ．3514．复数12z i =-(其中i 为虚数单位)，则3z i +=（ ）A ．5B C ．2D 15．题目文件丢失！二、多选题16．已知复数202011i z i+=-(i 为虚数单位)，则下列说法错误的是（ ）A ．z 的实部为2B ．z 的虚部为1C ．z i =D ．||z =17．若复数351i z i-=-，则（ ）A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限18．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）.A ．0B ．2-C ．2iD ．2i+1- 19．若复数z 满足(1i)3i z +=+（其中i 是虚数单位），复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．|z |=B ．z 的实部是2C ．z 的虚部是1D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限 20．下列关于复数的说法，其中正确的是（ ）A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称21．已知复数1z i =+（其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（ ）A ．复数z 的虚部为iB ．z =C ．复数z 的共轭复数1z i =-D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限22．下列命题中，正确的是（ ）A ．复数的模总是非负数B ．复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应C ．如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点也一定在第一象限D ．相等的向量对应着相等的复数23．已知复数z 满足（1﹣i ）z ＝2i ，则下列关于复数z 的结论正确的是（ ）A ．||z =B ．复数z 的共轭复数为z ＝﹣1﹣iC ．复平面内表示复数z 的点位于第二象限D ．复数z 是方程x 2+2x +2＝0的一个根24．以下为真命题的是（ ）A ．纯虚数z 的共轭复数等于z -B ．若120z z +=，则12z z =C ．若12z z +∈R ，则1z 与2z 互为共轭复数D ．若120z z -=，则1z 与2z 互为共轭复数25．对于复数(,)z a bi a b R =+∈，下列结论错误．．的是（ ）. A ．若0a =，则a bi +为纯虚数B ．若32a bi i -=+，则3,2a b ==C ．若0b =，则a bi +为实数D ．纯虚数z 的共轭复数是z - 26．已知复数z 满足23z z iz ai ⋅+=+，a R ∈，则实数a 的值可能是（ ） A ．1 B ．4- C ．0D ．5 27．（多选）()()321i i +-+表示( )A ．点()3,2与点()1,1之间的距离B ．点()3,2与点()1,1--之间的距离C ．点()2,1到原点的距离D ．坐标为()2,1--的向量的模28．设()()2225322z t t t t i =+-+++，t ∈R ，i 为虚数单位，则以下结论正确的是（ ）A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 一定不为实数D ．z 对应的点在实轴的下方29．设复数z 满足12z i =--,i 为虚数单位,则下列命题正确的是( )A ．|z |=B ．复数z 在复平面内对应的点在第四象限C ．z 的共轭复数为12i -+D ．复数z 在复平面内对应的点在直线2y x =-上30．已知复数i z a b =+(a ,b ∈R ,i 为虚数单位),且1a b +=,下列命题正确的是( ) A ．z 不可能为纯虚数B ．若z 的共轭复数为z ,且z z =,则z 是实数C ．若||z z =,则z 是实数D ．||z 可以等于12【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．D【分析】运用复数除法的运算法则化简复数的表示，最后选出答案即可. 【详解】因为，所以在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点的坐标为.故选：D解析：D【分析】运用复数除法的运算法则化简复数534ii-的表示，最后选出答案即可.【详解】因为55(34)15204334(34)(34)2555i i i iii i i⋅+-===-+--+，所以在复平面内，复数534ii-（i为虚数单位）对应的点的坐标为43,55⎛⎫-⎪⎝⎭.故选：D2．D【分析】由复数乘法化复数为代数形式，然后根据复数的分类求解．【详解】，它为纯虚数，则，解得．故选：D．解析：D【分析】由复数乘法化复数为代数形式，然后根据复数的分类求解．【详解】2(1)()1(1)i a i a i ai i a a i-+=+--=++-，它为纯虚数，则1010aa+=⎧⎨-≠⎩，解得1a=-．故选：D．3．C【分析】利用复数和三角函数的性质，直接代入运算即可【详解】由题意可知＝，故选C解析：C【分析】利用复数和三角函数的性质，直接代入运算即可【详解】由题意可知i e π＝cos sin 101i ππ+=-+=-，故选C4．C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式得答案．【详解】，，所以，，故选：C.解析：C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式得答案．【详解】2z i =-，(12)(2)(12)43z i i i i ∴⋅+=-+=+，所以，5z =，故选：C.5．B【分析】，然后算出即可.【详解】由题意，则复数的虚部为1故选：B解析：B【分析】1i z i-+=，然后算出即可. 【详解】 由题意()11111i i i i z i i i i -+-+--====+⋅-，则复数z 的虚部为1 故选：B 6．C【分析】由复数除法法则计算出后可得其虚部．【详解】因为，所以复数z 的虚部是．故选：C ．解析：C【分析】由复数除法法则计算出z 后可得其虚部．【详解】 因为33(12)366312(12)(12)555i i i i i i i i +-===-+--+， 所以复数z 的虚部是35． 故选：C ．7．C【分析】根据模的运算可得选项.【详解】.故选:C.解析：C【分析】根据模的运算可得选项.【详解】512z i ====+ 故选:C.8．B【分析】先求解出复数，然后根据复数的几何意义判断.【详解】因为，所以，故对应的点位于复平面内第二象限.故选：B.【点睛】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题. 化简计解析：B【分析】先求解出复数z ，然后根据复数的几何意义判断.【详解】因为(1)2z i i -=，所以()212112i i i z i i +===-+-， 故z 对应的点位于复平面内第二象限.故选：B.【点睛】 本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，属于基础题. 化简计算复数的除法时，注意分子分母同乘以分母的共轭复数.9．C【分析】对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解.【详解】由题是纯虚数，为纯虚数，所以m=1.故选：C【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟解析：C【分析】对复数进行化简根据实部为零，虚部不为零建立等量关系和不等关系即可得解.【详解】 由题1m i i+-是纯虚数， ()()()()()()21111111222m i i m m i i m m i m i i i i +++++++-===+--+为纯虚数， 所以m =1.【点睛】此题考查复数的运算和概念辨析，关键在于熟练掌握复数的运算法则.10．C【分析】求出，即可得出，求出虚部.【详解】，，其虚部是1.故选：C.解析：C【分析】求出z ，即可得出z ，求出虚部.【详解】()()()220211i 1i i 1i 1i 1i z --===-++-，i z ∴=，其虚部是1. 故选：C. 11．B【分析】由题意，设复数，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果.【详解】因为的实部为，所以可设复数，则其共轭复数为，又，所以由，可得，即，因此.故选：B.解析：B【分析】由题意，设复数(),z yi x R y R =∈∈，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果.【详解】因为z ，所以可设复数(),z yi x R y R =∈∈，则其共轭复数为z yi =，又z z =，所以由4z z z z ⋅+⋅=，可得()4z z z ⋅+=，即4z ⋅=，因此z =故选：B. 12．B【分析】利用复数模的计算公式即可判断出结论．因为复数对应的点为，所以，满足则故选：B解析：B【分析】利用复数模的计算公式即可判断出结论．【详解】因为复数z 对应的点为(,)x y ，所以z x yi =+x ，y 满足22(2)4x y ++=则22z i +=故选：B13．C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，的实部与虚部之和为.故选：C【点睛】易错点睛：复数的虚部是，不是.解析：C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】()()()2+1212222+555i i i i i i i i -+===-+--，2i i ∴-的实部与虚部之和为121555-+=. 故选：C【点睛】易错点睛：复数z a bi =+的虚部是b ，不是bi .14．B【分析】首先求出，再根据复数的模的公式计算可得；【详解】解：因为，所以所以.故选：B.解析：B【分析】首先求出3z i +，再根据复数的模的公式计算可得；【详解】解：因为12z i =-，所以31231z i i i i +=-+=+所以3z i +==故选：B . 15．无二、多选题16．AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】因为复数，所以z 的虚部为1，，故AC 错误，BD 正确.故选：AC解析：AC【分析】根据复数的运算及复数的概念即可求解.【详解】 因为复数2020450511()22(1)11112i i i z i i i i +++=====+---，所以z 的虚部为1，||z =故AC 错误，BD 正确.故选：AC17．AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】解：，，z 的实部为4，虚部为，则相差5，z 对应的坐标为，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正 解析：AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】 解：()()()()351358241112i i i i z i i i i -+--====---+，z ∴==z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确， 故选：AD.18．AC【分析】令，代入原式，解出的值，结合选项得出答案．【详解】令，代入，得，解得，或，或，所以，或，或.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．解析：AC【分析】令()i ,z a b a b R =+∈，代入原式，解出,a b 的值，结合选项得出答案．【详解】令()i ,z a b a b R =+∈，代入220z z +=，得222i 0a b ab -+=，解得00a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=⎩，或02a b =⎧⎨=-⎩， 所以0z =，或2i z =，或2i z =-.故选：AC【点睛】本题考查复数的运算，考查学生计算能力，属于基础题．19．ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数，根据共轭复数概念得到，即可判断.【详解】，，，故选项正确，的实部是，故选项正确，的虚部是，故选项错误，复解析：ABD【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数z ，根据共轭复数概念得到z ，即可判断.【详解】(1i)3i z +=+，()()()()3134221112i i i i z i i i i +-+-∴====-++-，z ∴==，故选项A 正确，z 的实部是2，故选项B 正确，z 的虚部是1-，故选项C 错误， 复数2z i =+在复平面内对应的点为()2,1，在第一象限，故选项D 正确.故选：ABD .【点睛】本题主要考查的是复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示及几何意义，是基础题.20．AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于：复数是实数的充要条件是，显然成立，故正确；对于：若复数是纯虚数则且，故错误；对于：若，互为共轭复数解析：AC【分析】根据复数的有关概念和充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确；对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误；对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确； 对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误；故选：AC【点睛】本题主要考查复数的有关概念的判断，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．21．BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数，所以其虚部为，即A 错误；，故B 正确；解析：BCD【分析】根据复数的概念判定A 错，根据复数模的计算公式判断B 正确，根据共轭复数的概念判断C 正确，根据复数的几何意义判断D 正确.【详解】因为复数1z i =+，所以其虚部为1，即A 错误；z ==B 正确；复数z 的共轭复数1z i =-，故C 正确；复数z 在复平面内对应的点为()1,1，显然位于第一象限，故D 正确.故选：BCD.【点睛】本题主要考查复数的概念，复数的模，复数的几何意义，以及共轭复数的概念，属于基础题型.22．ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数，对于A ，，故A 正确．对于B ，复数对应的向量为，且对于平面内以原点为起点的任一向量，其对应的复数为，故复数集与解析：ABD【分析】根据复数的几何意义逐项判断后可得正确的选项．【详解】设复数(),z a bi a b R =+∈，对于A ，0z =≥，故A 正确．对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内以原点为起点的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +， 故复数集与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合一一对应，故B 正确． 对于B ，复数z 对应的向量为(),OZ a b =，且对于平面内的任一向量(),m n α=，其对应的复数为m ni +，故复数集中的元素与复平面内以原点为起点的所有向量组成的集合中的元素是一一对应，故B 正确．对于C ，如果复数z 对应的点在第一象限，则与该复数对应的向量的终点不一定在第一象限，故C 错．对于D ，相等的向量的坐标一定是相同的，故它们对应的复数也相等，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题考查复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈对应的向量的坐标为(),a b ，它与终点与起点的坐标的差有关，本题属于基础题．23．ABCD【分析】利用复数的除法运算求出，再根据复数的模长公式求出，可知正确；根据共轭复数的概念求出，可知正确；根据复数的几何意义可知正确；将代入方程成立，可知正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝解析：ABCD【分析】利用复数的除法运算求出1z i =-+，再根据复数的模长公式求出||z ，可知A 正确；根据共轭复数的概念求出z ，可知B 正确；根据复数的几何意义可知C 正确；将z 代入方程成立，可知D 正确.【详解】因为（1﹣i ）z ＝2i ，所以21i z i=-2(1)221(1)(1)2i i i i i i +-+===-+-+，所以||z ==A 正确； 所以1i z =--，故B 正确；由1z i =-+知，复数z 对应的点为(1,1)-，它在第二象限，故C 正确；因为2(1)2(1)2i i -++-++22220i i =--++=，所以D 正确.故选：ABCD.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了复数的模长公式，考查了复数的几何意义，属于基础题. 24．AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项.【详解】解：对于A ，若为纯虚数，可设，则，即纯虚数的共轭复数等于，故A 正确；对于B解析：AD【分析】根据纯虚数的概念即可判断A 选项；根据实数、复数的运算、以及共轭复数的定义即可判断BCD 选项.【详解】解：对于A ，若z 为纯虚数，可设()0z bi b =≠，则z bi z =-=-，即纯虚数z 的共轭复数等于z -，故A 正确；对于B ，由120z z +=，得出12z z =-，可设11z i =+，则21z i =--， 则21z i =-+，此时12z z ≠，故B 错误；对于C ，设12,z a bi z c di =+=+，则()()12a c b d i R z z =++++∈，则0b d +=， 但,a c 不一定相等，所以1z 与2z 不一定互为共轭复数，故C 错误；对于D ，120z z -=，则12z z =，则1z 与2z 互为共轭复数，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考查与复数有关的命题的真假性，考查复数的基本概念和运算，涉及实数、纯虚数和共轭复数的定义，属于基础题.25．AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为当且时复数为纯虚数，此时，故A 错误，D 正确；当时，复数为实数，故C 正确；对于B ：，则即，故B 错误；故错误的有AB解析：AB【分析】由复数的代数形式的运算，逐个选项验证可得．【详解】解：因为(,)z a bi a b R =+∈当0a =且0b ≠时复数为纯虚数，此时z bi z =-=-，故A 错误，D 正确；当0b =时，复数为实数，故C 正确；对于B ：32a bi i -=+，则32a b =⎧⎨-=⎩即32a b =⎧⎨=-⎩，故B 错误； 故错误的有AB ；故选：AB【点睛】本题考查复数的代数形式及几何意义，属于基础题． 26．ABC【分析】设，从而有，利用消元法得到关于的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设，∴，∴，∴，解得：，∴实数的值可能是.故选：ABC.【点解析：ABC【分析】设z x yi =+，从而有222()3x y i x yi ai ++-=+，利用消元法得到关于y 的一元二次方程，利用判别式大于等于0，从而求得a 的范围，即可得答案.【详解】设z x yi =+，∴222()3x y i x yi ai ++-=+， ∴222223,23042,x y y a y y x a ⎧++=⇒++-=⎨=⎩， ∴244(3)04a ∆=--≥，解得：44a -≤≤， ∴实数a 的值可能是1,4,0-.故选：ABC.【点睛】本题考查复数的四则运算、模的运算，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.27．ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于,也等于,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,所以表示点与点之间的距离,故A 说法正确,B解析：ACD【分析】由复数的模的意义可判断选项A,B ；整理原式等于2i +,也等于2i --,即可判断选项C,D【详解】由复数的几何意义,知复数32i +,1i +分别对应复平面内的点()3,2与点()1,1,所以()()321i i +-+表示点()3,2与点()1,1之间的距离,故A 说法正确,B 说法错误；()()3212i i i +-+=+,2i +可表示点()2,1到原点的距离,故C 说法正确；()()()()3211322i i i i i +-+=+-+=--,2i --可表示表示点()2,1--到原点的距离,即坐标为()2,1--的向量的模,故D 说法正确,故选:ACD【点睛】本题考查复数的几何意义,考查复数的模28．CD【分析】利用配方法得出复数的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】，，所以，复数对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误 解析：CD【分析】利用配方法得出复数z 的实部和虚部的取值范围，结合复数的概念和几何意义可判断出各选项的正误，由此可得出结论.【详解】22549492532488t t t ⎛+⎫= ⎪⎝⎭+-->-，()2222110t t t ++=++>， 所以，复数z 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A 错误；当222530220t t t t ⎧+-=⎨++≠⎩，即3t =-或12t =时，z 为纯虚数，故B 错误； 因为2220t t ++>恒成立，所以z 一定不为实数，故C 正确；由选项A 的分析知，z 对应的点在实轴的上方，所以z 对应的点在实轴的下方，故D 正确. 故选：CD.【点睛】本题考查复数的几何意义与复数的概念相关命题真假的判断，解题的关键就是求出复数虚部和实部的取值范围，考查计算能力与推理能力，属于中等题.29．AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】,A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为,C 正确;复数z 在复平面内对解析：AC【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轭复数等知识，选出正确选项.【详解】||z ==A 正确;复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)--,在第三象限,B 不正确;z 的共轭复数为12i -+,C 正确;复数z 在复平面内对应的点(1,2)--不在直线2y x =-上,D 不正确.故选:AC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.30．BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当时,,此时为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为,且,则,因此,B 正确;由是实数,且知,z 是实数,C 正确;由解析：BC【分析】根据纯虚数、共轭复数、复数的模、复数为实数等知识，选出正确选项.【详解】当0a =时,1b =,此时z i 为纯虚数,A 错误;若z 的共轭复数为z ,且z z =,则a bi a bi +=-,因此0b =,B 正确;由||z 是实数,且||z z =知,z 是实数,C 正确;由1||2z =得2214a b +=,又1a b +=,因此28830a a -+=,64483320∆=-⨯⨯=-<,无解,即||z 不可以等于12,D 错误. 故选：BC【点睛】本小题主要考查复数的有关知识，属于基础题.。