高考专题概率与统计

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）概率与统计本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·安徽高考)已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A)∩B ＝()A．{－2，－1}B．{－2}C．{－1,0,1} D．{0,1}【解析】∵A＝(－1，＋∞)，B＝{－2，－1,0,1}，∴∁R A＝(－∞，－1]，故(∁R A)∩B＝{－2，－1}．【答案】 A2．为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()A．简单随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样【解析】不同的学段在视力状况上有所差异，所以应该按照学段分层抽样．【答案】 C3．使⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N ＋)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7【解析】 T r ＋1＝C r n (3x )n －r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x r ＝C r n 3n －rxn －52r ，当T r ＋1是常数项时，n －52r ＝0，当r ＝2，n ＝5时成立．【答案】 B4．如图1所示的是甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为( )图1A.25 B.710 C.45D.910【解析】 设被污损的数字为a (0≤a ≤9且a ∈N )，则由甲的平均成绩超过乙的平均成绩得88＋89＋90＋91＋92＞83＋83＋87＋99＋90＋a ，解得8＞a ，即得0≤a ≤7且a ∈N ，∴甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为P ＝810＝45，故应选C.【答案】 C5．(2013·山东高考)执行两次如图2所示的程序框图，若第一次输入的a 的值为－1.2，第二次输入的a 的值为1.2，则第一次，第二次输出的a 的值分别为( )图2A ．0.2,0.2B ．0.2,0.8C ．0.8,0.2D ．0.8,0.8【解析】 第一次a ＝－1.2时，输出a ＝0.8. 第二次a ＝1.2时，输出a ＝0.2. 【答案】 C6．某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图3所示．以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是( )图3【解析】 由于频率分布直方图的组距为5，去掉C 、D ，又[0,5)，[5,10)两组各一人，去掉B ，应选A.【答案】 A7．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )＞1.75，则p 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫712，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 【解析】 X 的可能取值为1,2,3，∵P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2，∴E(X)＝p＋2p(1－p)＋3(1－p)2＝p2－3p＋3，由E(X)＞1.75，即p2－3p＋3＞1.75，得p＜12或p＞52(舍)，∴0＜p＜1 2.【答案】 C8．(2013·安徽高考)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2，若f(x1)＝x1＜x2，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数为() A．3 B．4 C．5 D．6【解析】f′(x)＝3x2＋2ax＋b；由已知x1，x2是方程3x2＋2ax＋b＝0的不同两根，当f(x1)＝x1＜x2时，作y＝x1，y＝x2与f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有三个不同交点．即方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0有三个不同实根．【答案】 A第Ⅱ卷二、填空题(本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在题中横线上)9．(2013·广东高考改编)若i(x＋y i)＝3＋4i，x，y∈R，则复数x＋y i的模是________．【解析】由题意知x＋y i＝3＋4ii＝4－3i.∴|x＋y i|＝|4－3i|＝5.【答案】 510．6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有________种．【解析】第一步先排甲，共有A14种不同的排法；第二步再排其他人，共有A55种不同的排法，因此不同的演讲次序共有A14·A55＝480(种)．【答案】48011．(2013·东北四市联考)已知x，y取值如下表：x 014568y 1.3 1.8 5.6 6.17.49.3^＝0.95x＋a，则a＝________.从所得的散点图分析可知：y与x线性相关，且y【解析】∵x＝4，y＝5.25，因线性回归方程通过样本点中心(x，y)，故有5.25＝0.95×4＋a，∴a＝1.45.【答案】 1.4512．(2013·湖北高考)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图4所示．图4(1)直方图中x的值为________；(2)在这些用户中，用电量落在区间[100,250)内的户数为________．【解析】(1)根据频率分布直方图中各个小矩形的面积之和等于1，可求出x的值；(2)求出月用电量落在[100,250)内的频率，即可求得月用电量在[100,250)内的户数．(1)由于(0.002 4＋0.003 6＋0.006 0＋x＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1，解得x＝0.004 4.(2)数据落在[100,250)内的频率是(0.003 6＋0.006 0＋0.004 4)×50＝0.7，所以月用电量在[100,250)内的户数为100×0.7＝70.【答案】(1)0.004 4(2)7013．二项式(x＋y)5的展开式中，含x2y3的项的系数是________．(用数字作答) 【解析】(x＋y)5展开式的通项是T r＝C r5x5－r y r，＋1令r ＝3得T 4＝C 35x 2y 3＝10x 2y 3，∴二项式(x ＋y )5展开式中含x 2y 3项的系数是10. 【答案】 1014．(2013·东城模拟)已知向量a ＝(x ，－1)，b ＝(3，y )，其中x 随机选自集合{－1,1,3}，y 随机选自集合{1,3}，那么a ⊥b 的概率是________．【解析】 依题意，所有(x ，y )的结果为C 13C 12＝6种．若a ⊥b ，则a·b ＝0，即3x －y ＝0，而满足a ⊥b 的结果只有(1,3)．由古典概型概率计算公式得P ＝16.【答案】 1615．由正整数组成的一组数据x 1，x 2，x 3，x 4，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________．(从小到大排列)【解析】 假设这组数据按从小到大的顺序排列为x 1，x 2，x 3，x 4， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＋x 3＋x 44＝2，x 2＋x 32＝2，∴⎩⎨⎧x 1＋x 4＝4，x 2＋x 3＝4.又s ＝14[(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(x 3－2)2＋(x 4－2)2] ＝12(x 1－2)2＋(x 2－2)2＋(4－x 2－2)2＋(4－x 1－2)2 ＝122[(x 1－2)2＋(x 2－2)2] ＝1，∴(x 1－2)2＋(x 2－2)2＝2. 同理可求得(x 3－2)2＋(x 4－2)2＝2.由x 1，x 2，x 3，x 4均为正整数，且(x 1，x 2)，(x 3，x 4)均为圆(x －2)2＋(y －2)2＝2上的点，分析知x 1，x 2，x 3，x 4应为1,1,3,3.【答案】 1,1,3,3三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20：00－22：00时间段的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表：休闲方式 性别看电视 看书 合计 男 10 50 60 女 10 10 20 合计206080(1)将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；(2)根据以上数据，我们能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“在20：00－22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”？参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参考数据：P (K 2≥k 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k 02.0722.7063.8415.0246.635【解】 (1)依题意，随机变量X 的取值为0,1,2,3，且每个男性在这一时间段以看书为休闲方式的概率为P ＝56.根据题意可得X ～B (3，56)， ∴P (X ＝k )＝C k 3(16)3－k (56)k，k ＝0,1,2,3. ∴E (X )＝np ＝3×56＝52.(2)提出假设H 0：休闲方式与性别无关系． 根据样本提供的2×2列联表得K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝80×(10×10－10×50)260×20×20×60＝809≈8.889>6.635.因为当H 0成立时，K 2≥6.635的概率约为0.01，所以我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为“在20：00－22：00时间段性别与休闲方式有关”．17．(本小题满分12分)(2013·北京高考)如图5是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图．空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)图5【解】 (1)在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率为613.(2)根据题意，事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”等价于“此人到达该市的日期是4日或5日或7日或8日”，所以此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率为413. (3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．18．(本小题满分12分)为备战2016年奥运会，甲、乙两位射击选手进行了强化训练．现分别从他们的强化训练期间的若干次平均成绩中随机抽取8次，记录如下：甲：8.3,9.0,7.9,7.8,9.4,8.9,8.4,8.3 乙：9.2,9.5,8.0,7.5,8.2,8.1,9.0,8.5(1)画出甲、乙两位选手成绩的茎叶图；(2)现要从中选派一人参加奥运会封闭集训，从统计学角度，你认为派哪位选手参加合理？简单说明理由；(3)若将频率视为概率，对选手乙在今后的三次比赛成绩进行预测，记这三次成绩中不低于8.5分的次数为ξ，求ξ的分布列及均值E (ξ)．【解】 (1)甲、乙两位选手成绩的茎叶图如图：(2)因为x 甲＝x 乙＝8.5，又s 2甲＝0.27，s 2乙＝0.405，得s 2甲＜s 2乙，相对来讲，甲的成绩更加稳定，所以选派甲合适．(3)依题意得，乙不低于8.5分的频率为12，ξ的可能取值为0,1,2,3，则ξ～B (3，12)．所以P (ξ＝k )＝C k 3(12)3－k (1－12)k ＝C k 3(12)3， k ＝0,1,2,3. 所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P18383818∴E (ξ)＝0×18＋1×38＋2×38＋3×18＝32.图619．(本小题满分13分)如图6所示，已知椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12，斜率为2的直线l 过点A (2,3)．(1)求椭圆E 的方程；(2)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由．【解】 (1)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 由题意e ＝c a ＝12，4a 2＋9b 2＝1， 又∵c 2＝a 2－b 2，解得：c ＝2，a ＝4，b ＝23， ∴椭圆E 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)假设椭圆E 上存在关于直线l 对称的相异两点P 、Q ，令P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，且PQ 的中点为R (x 0，y 0)．∵PQ ⊥l ，∴k PQ ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－12，又∵⎩⎪⎨⎪⎧ x 2116＋y 2112＝1，x 2216＋y 2212＝1，① ②两式相减得：x 22－x 2116＋y 22－y 2112＝0.∴x 2＋x 1y 2＋y 1＝－16(y 2－y 1)12(x 2－x 1)＝－1612×(－12)＝23， 即x 0y 0＝23，③又∵R (x 0，y 0)在直线l 上， ∴y 0＝2x 0－1，④由③④解得：x 0＝2，y 0＝3，所以点R 与点A 是同一点，这与假设矛盾， 故椭圆E 上不存在关于直线l 对称的相异两点．20．(本小题满分13分)(2013·福州调研)受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0<x≤11<x≤2x>20<x≤2x>2轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)123 1.8 2.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．【解】(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝2＋350＝110.(2)依题意得，X1的分布列为X112 3P125350910X2的分布列为X2 1.8 2.9P110910(3)由(2)得E(X1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)，E(X2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．因为E(X1)>E(X2)，所以应生产甲品牌轿车．21．(本小题满分13分)(2013·四川高考)某算法的程序框图如图7所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．图7(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率P i(i＝1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分)运行次数n 输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3014610…………2 100 1 027376697 乙的频数统计表(部分)运行次数n 输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3012117…………2 100 1 051696353当n＝2 100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．【解】 (1)变量x 是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故P 1＝12；当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故P 2＝13； 当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故P 3＝16.所以输出y 的值为1的概率为12，输出y 的值为2的概率为13，输出y 的值为3的概率为16.(2)当n ＝2 100时，甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i ＝1,2,3)的频率如下：输出y 的值 为1的频率 输出y 的值 为2的频率 输出y 的值 为3的频率 甲 1 0272 100 3762 100 6972 100 乙1 0512 1006962 1003532 100比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大． (3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3. P (ξ＝0)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫130×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827，P (ξ＝1)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫131×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝49，P (ξ＝2)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫231＝29，P (ξ＝3)＝C 33×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×⎝ ⎛⎭⎪⎫230＝127.故ξ的分布列为ξ012 3P 8274929127所以E(ξ)＝0×827＋1×49＋2×29＋3×127＝1.即ξ的数学期望为1.。