广东省珠海市2018届高三3月质量检测数学(理)试题附解析

广东省珠海市2018届高三3月质量检测数学（理）试题含答案珠海市2017～2018学年度第二学期普通高中学业质量监测高三理科数学试题 第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项.1.复数2ii-=（ ） A ．12i + B ．12i - C ．12i -+ D ．12i --2.命题“0x N +∃∈，使得002(1)1xx +>”的否定是（ ）A ．x N +∀∈，都有2(1)1x x +>B ．x N +∀∉，都有2(1)1xx +≤ C ．0x N +∀∉，都有002(1)1xx +≤ D ．x N +∀∈，都有2(1)1xx +≤ 3.n S 是正项等比数列{}n a 的前n 项和，318a =，326S =，则1a =（ ） A ．2 B ．3 C ．1 D ．64.将一个长、宽、高分别为3、4、5的长方体截去一部分后，得到的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．24B ．48C ．30D ．605.设变量x ，y 满足约束条件22020440x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．4B ．6-C ．6D ．4- 6.进位制转换：(3)13___=（ ）A ．101B ．110C ．111D ．1217.将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有（ ）种 A ．480 B ．360 C ．240 D ．120 8.执行如图的程序框图，如果输入1a =，则输出的s =（ ）A ．23-B ．191-C ．23D ．1919.已知双曲线M ：22221x y a b-=(0,0)a b >>，其焦点(,0)(0)F c c ±>，右顶点(,0)A a 到双曲线M 的一条渐近线距离为125，以点A 为圆心，c 为半径的圆在y 轴所截弦长为8，则双曲线M 的方程为（ ） A ．221916x y -= B ．221169x y -= C ．229x y -= D ．2216x y -=10.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，13AA =，AB BC CD ===120BCD ∠=o ，则直线1A B 与1B C 所成的角的余弦值为（ ）A ．78 B ．58C 11.定义在R 上的连续函数()f x ，其导函数'()f x 为奇函数，且(2)1f =，()0f x ≥；当0x >时，'()()0xf x f x +<恒成立，则满足不等式(2)1f x -≤的解集为（ ）A ．[2,2]-B ．[0,4]C ．(,2][2,)-∞-+∞UD ．(,0][4,)-∞+∞U 12.函数()sin cos f x a x b x ωω=+sin()A x ωϕ=+(,,0,0,)2a b R A πωϕ∈>><的一个对称中心为(,0)6π-，且'()f x 的一条对称轴为3x π=，当ω取得最小值时，22aba b=+（ ） A ．1 B．4 D．2第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请将答案填在答题卡相应位置.13.设向量(1,3)a m =r ，(2,)b m =-r ，满足()()0a b a b +⋅-=r r r r，则m = ．14.已知α，β均为锐角，cos 3β=，1cos()2αβ+=，则cos α= ． 15.过点(1,1)M 作斜率为13-的直线l 与椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为 ．16.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，若3CA CB -=u u u r u u u r，6CA CB ⋅=u u u r u u u r ，则ABC ∆面积的最大值为 ．三、解答题：本题共有5个小题，满分60分.解答应写出文字说明、证明过程. 17.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足12a =，122n n S S +-=. （1）求数列{}n a 的通项n a ； （2）令2n n nb S =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.某兴趣小组进行“野岛生存”实践活动，他们设置了200个取水敞口箱.其中100个采用A 种取水法，100个采用B 种取水法.如图甲为A 种方法一个夜晚操作一次100个水箱积取淡水量频率分布直方图，图乙为B 种方法一个夜晚操作一次100个水箱积取淡水量频率分布直方图.（1）设两种取水方法互不影响，设M 表示事件“A 法取水箱水量不低于1.0kg ，B 法取水箱水量不低于1.1kg ”，以样本估计总体，以频率分布直方图中的频率为概率，估计M 的概率；附：2K 2()()()()()n ad bc a b c d a c b d -=++++19.如图，四棱锥P ABCD -中，//CD AB ，2CD AB =，16AB =，10PA PB ==，AD BD ==PD =，点E 为PD 中点.（1）求证：PD CD ⊥；（2）求直线BE 与平面PCD 所成角的正弦值.20.已知抛物线1C ：22(0)y px p =>，圆2C ：224x y +=，直线l ：y kx b =+与抛物线1C 相切于点M ，与圆2C 相切于点N .（1）若直线l 的斜率1k=，求直线l 和抛物线1C 的方程；（2）设F 为抛物线1C 的焦点，设FMN ∆，FON ∆的面积分别为1s ，2s ，若12s s λ=，求λ的取值范围.21.函数()ln ()xf x axe x x a R =++∈. （1）若0a ≥，试讨论函数()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，直线l的参数方程为4x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.若以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为2222cos 3ρθρ=-.（1）写出曲线C 和直线l 的直角坐标方程； （2）求曲线C 上的点到直线l 距离的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()1f x x =+.（1）解不等式2()42f x x <--；（2）已知2(0,0)m n m n +=>>，若不等式11()x a f x m n--≤+恒成立，求实数a 的取值范围.高三理科数学试题参考答案一、选择题1-5: DDABB 6-10: CCBAA 11、12：DC 二、填空题13.三、解答题17.解：（1）∵122n n S S +-=……①，∴2122n n S S ++-=……②， ②-①得212n n a a ++=，∵12a =，∴2112122S S a a a -=+-222a =-=，∴24a =， ∴n N +∈时，212a a =，212n n a a ++=，即n N +∈时，12n n a a +=， ∴数列{}n a 是2为首项，2为公比的等比数列，∴2nn a =.（2）2(21)21n n S -=-122n +-，则12n n nb +=，∴123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+23411232222n n+=+++⋅⋅⋅+……③， ∴2n T 231232222n n=+++⋅⋅⋅+……④， ④-③得n T 231111122222n n n+=+++⋅⋅⋅+-111(1)221212n n n +---1212n n ++=-.18. 解：（1）设“A 法取水箱水量不低于1.0kg ”为事件E ，“B 法取水箱水量不低于1.1kg ”为事件F ，()(210.3)0.10.33P E =++⨯=，()(530.20.1)0.10.83P F =+++⨯=， ()()()()P M P EF P E P F ==⨯0.330.830.2739=⨯=，故M 发生的概率为0.2739.2K 2()()()()()n ad bc a b c d a c b d -=++++2200(87831317)(8717)(1383)(6717)(3383)⨯⨯-⨯=++++98.157 6.635≈>， ∴2(98.157 6.635)0.01P K =><， ∴有99%的把握认为箱积水量与取水方法有关. 19.（1）证明：取AB 中点F ，连接PF 、FD ，∵10PA PB ==，AD BD == ∴AB PF ⊥，AB FD ⊥， ∵PF FD F =I，∴AB ⊥平面PFD ，PD ⊂平面PFD ， ∴AB PD ⊥，又∵//CD AB ， ∴PD CD ⊥.（2）解：过P 做PO FD ⊥于O ，∵AB ⊥平面PFD ，PO ⊂平面PFD ，∴AB PO ⊥，∵AB FD F =I ，∴PO ⊥平面ABCD .过O 做//OG AB 交BC 于G ，则PO 、OF 、OG 两两垂直，以OF 、OG 、OP 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示空间直角坐标系o xyz -，∵16AB =，10PA PB ==，AD BD ==PD =E 为PD 中点， ∴6PF =，12FD =，∴222PF PD FD +=，∴PFPD ⊥，∴PO =3OF =，9OD =.∵//CD AB ，12CD AB =， ∴////CD OG FB ，CD FB =，∴四边形FBCD 是矩形，8CD OG FB ===，∴P ，(9,0,0)D -，(3,8,0)B ，(9,8,0)C -， ∵E 为PD 中点，∴9(2E -，∴15(,8,)22EB =-u u u r ，(9,0,PD =--u u u r ，(0,8,0)CD =-u u u r . 设平面PCD 的法向量000(,,)n x y z =r，由0009080n PD x n CD y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩r u u u r r u u u r，得0000z y ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 令01x =，得0z =则(1,0,n =r，则n r 与EB u u u r所成角设为α，其余角就是直线BE 与平面PCD 所成角，设为β，sin cos βα=n EB n EB⋅==⋅r u u u rr u u u r ， ∴直线BE 与平面PCD.20. 解：（1）由题设知l ：0x y b -+=，且0b >，由l 与2C 相切知，2(0,0)C 到l的距离2d ==，得b = ∴l：0x y -+=.将l 与1C 的方程联立消x得2240y py -+=，其240p ∆=-=得p = ∴1C：2y =.综上，l：0x y -+=，1C：2y=.（2）不妨设0k>，根据对称性，0k >得到的结论与0k <得到的结论相同.此时0b >，又知0p >，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由22y kx b y px=+⎧⎨=⎩消y 得2222()0k x kb p x b +-+=， 其2224()40kb p k b ∆=--=得2p kb =，从而解得2(,)2p p M k k， 由l 与2C 切于点N 知2(0,0)C 到l ：0kx y b -+=的距离2d ==，得b =则4p =(M k.由224y kx b x y =+⎧⎨+=⎩得(N ，故M NMN x =-=242k k +=.(,0)2pF 到l ：0kx y b -+=的距离为0pkbd +222k =+， ∴1012FMNs s MN d ∆==222(21)(1)k k k ++=， 又2122FON N s s OF y k ∆==⋅=， ∴22122(21)(1)s k k s k λ++==221(2)(1)k k =++221233k k =++≥. 当且仅当2212k k =即k =时取等号， 与上同理可得，0k<时亦是同上结论.综上，λ的取值范围是[3)++∞.21.解：(1)(1)'()x x axe f x x++=(0)x >.（1）若0a ≥，则'()0f x >在0x >时恒成立， ∴()f x 的增区间是(0,)+∞.（2）①若0a ≥，由（1）知()f x 在(0,)+∞上单增， 故()f x 不可能有两个零点.②若0a <，令()1(0)xg x axe x =+>，则'()(1)0xg x a x e =+<， ∴()g x 在(0,)+∞上单减，∵(0)10g =>，11()10a g e a--=-+<，∴01(0,)x a∃∈-，使得000()10x g x ax e=+=，即001x ax e =-，当00x x <<时，()0g x >，即'()0f x >；当0x x >时，()0g x <，即'()0f x <. 故()f x 在0(0,)x 上单增，在0(,)x +∞上单减， ∴max 0()()f x f x =0000ln x ax ex x =++00ln 1x x =+-.若()f x 有两个零点，首先须max 0()()f x f x =0000ln x ax e x x =++00ln 10x x =+->，令()ln 1h x x x =+-1(0)x a <<-，则()h x 在(0,)a1-上单增，∵(1)0h =，∴须011x a <<-即01x a e e e -<<，∴001xe x e a <=-11a e a -<-且11a<-，得到10a e-<<， 此时，1）0101a x e<-<<<，∴ln()1a -<-， ∴2()ln()af a a ea --=-+-210a a a e a --<---<.2）取0b x >且2ln()b a>-，则0be b x >>，()b b b e b f e ae e b e =++2()2b b a e e <+(2)b b e ae =+2ln()(2)0b a e ae-<+=， ∴()f x 在0(0,)x 和0(,)x +∞各一个零点，综上，()f x 有两个零点，a 的取值范围是1(,0)e-.22.解：（1）直线l 的直角坐标方程为40x y -+=， 曲线C 的直角坐标方程为2213y x +=. （2）设曲线C上的任一点(cos )P θθ，P 到直线l的距离为d== 当sin()16πθ-=-时，d得到最大值∴曲线C 上的点到直线l距离的最大值为23.解：（1）2()42f x x <--等价于2124x x ++-<，当2x ≥时原不等式转化为2(1)(2)4x x ++-<，即43x <，此时空集； 当12x -<<时原不等式转化为2(1)(2)4x x +--<，即0x <，此时10x -<<；当1x ≤-时原不等式转化为2(1)(2)4x x -+--<，即43x >-，此时413x -<≤-. 综上可得，原不等式解集为4{|0}3x x -<<. （2）()x a f x --1x a x =--+1a ≤+.又2(0,0)m n m n +=>>由柯西不等式，得111()()2m n m n ++21(11)22≥+=， 由题意知12a +≤，解得31a -≤≤.。