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中考数学总复习专题训练(十一)

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【中考复习】2018届甘肃中考数学《专题聚焦》总复习练习题含答案

【中考复习】2018届甘肃中考数学《专题聚焦》总复习练习题含答案

题型一 规律探索类型一 数与式规律探索 1．(2017·百色)观察以下一列数的特点：0，1，－4，9，－16，25，…，则第11个数是(B )A ．－121B ．－100C ．100D ．121 2．(2017·武汉)按照一定规律排列的n 个数：－2、4、－8、16、－32、64、…，若最后三个数的和为768，则n 为(导学号 35694235)(B )A ．9B ．10C ．11D ．123．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x 1，第二个三角形数记为x 2，…，第n 个三角形数记为x n ，则x n ＋x n＋1＝__(n ＋1)2__．4．若x 是不等于1的实数，我们把11－x 称为x 的差倒数，如2的差倒数是11－2＝－1，－1的差倒数为11－（－1）＝12，现已知x 1＝－13，x 2是x 1的差倒数，x 3是x 2的差倒数，x 4是x 3的差倒数，…，以此类推，则x 2018＝__34__．5．观察下列等式：1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，…，则1＋3＋5＋7＋…＋2015＝__1016064__．6．小明写出如下一组数：15，－39，717，－1533，…，请用你发现的规律，猜想第2014个数为__－22014－122015＋1__．7．(2017·云南)观察下列各个等式的规律： 第一个等式：22－12－12＝1，第二个等式：32－22－12＝2，第三个等式：42－32－12＝3，…请用上述等式反映出的规律解决下列问题： (1)直接写出第四个等式；(2)猜想第n 个等式(用n 的代数式表示)，并证明你猜想的等式是正确的． 解：(1)第四个等式为：52－42－12＝4；(2)第n 个等式为：（n ＋1）2－n 2－12＝n;证明如下：∵（n ＋1）2－n 2－12＝n 2＋2n ＋1－n 2－12＝2n 2＝n ，∴左边＝右边，等式成立．类型二 图形规律探索 1．(2017·德州)观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图①)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去(如图②，图③…)，则图⑥中挖去三角形的个数为(导学号 35694236)(C )A ．121B ．362C ．364D ．7292．如图，在△ABC 中，BC ＝1，点P 1，M 1分别是AB ，AC 边的中点，点P 2，M 2分别是AP 1，AM 1的中点，点P 3，M 3分别是AP 2，AM 2的中点，按这样的规律下去，P n M n 的长为__12n__(n 为正整数)．3．如图，在△ABC 中，∠A ＝m °，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；…∠A 2016BC 和∠A 2016CD 的平分线交于点A 2017，则∠A 2017＝__m22017__°.4．如图，是一组按照某种规律摆放成的图案，则图⑤中三角形的个数是(C )A ．8B ．9C ．16D ．17 5．如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，依此规律，第11个图案需(B )根火柴．A ．156B ．157C ．158D ．1596．观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n 个图形中所有点的个数为__(n ＋1)2__(用含n 的代数式表示)．(导学号 35694237)类型三 与坐标系结合的规律探索1．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺指针旋转到△AB 1C 1的位置，点B 、O 分别落在点B 1、C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去…，若点A (53，0)，B (0，4)，则点B 2016的横坐标为(D )A ．5B ．12C ．10070D ．100802．如图，在平面直角坐标系中有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，1)，(3，0)，(3，－1)…，根据这个规律探索可得第100个点的坐标为(D )A ．(14，0)B ．(14，－1)C ．(14，1)D ．(14，2)3．如图，已知菱形OABC 的两个顶点O (0，0)，B (2，2)，若将菱形绕点O 以每秒45°的速度逆时针旋转，则第2017秒时，菱形两对角线交点D 的坐标为．4．(2017·赤峰)在平面直角坐标系中，点P (x ，y )经过某种变换后得到点P ′(－y ＋1，x ＋2)，我们把点P ′(－y ＋1，x ＋2)叫做点P (x ，y )的终结点．已知点P 1的终结点为P 2，点P 2的终结点为P 3，点P 3的终结点为P 4，这样依次得到P 1、P 2、P 3、P 4、…P n 、…，若点P 1的坐标为(2，0)，则点P 2017的坐标为__(2，0)__．(导学号 35694238)5．如图，在平面直角坐标系中有一菱形OABC，且∠A＝120°，点O、B在y轴上，OA ＝1，现在把菱形向右无滑动翻转，每次翻转60°，点B的落点依次为B1、B2、B3…，连续翻转2017次，则B2017的坐标为__(1345.5，2)__．题型二尺规作图类型一作与两条直线距离有关的点1．(2017·陕西)如图，在钝角△ABC中，过钝角顶点B作BD⊥BC交AC于点D.请用尺规作图法在BC边上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长．(保留作图痕迹，不写作法)(导学号35694239)解：如解图，点P即为所求．2．如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．(要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论)解：如解图所示，作CD的垂直平分线，∠AOB的平分线的交点P即为所求，此时货站P到两条公路OA、OB的距离相等．P和P1都是所求的点．3．(2017·绥化)如图，A、B、C为某公园的三个景点，景点A和景点B之间有一条笔直的小路，现要在小路上建一个凉亭P，使景点B、景点C到凉亭P的距离之和等于景点B到景点A的距离，请用直尺和圆规在所给的图中作出点P.(不写作法和证明，只保留作图痕迹)解：如解图，连接AC，作线段AC的垂直平分线MN，直线MN交AB于点P.点P即为所求的点．4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用直尺和圆规在边BC上找一点D，使D到AB的距离等于CD.(保留作图痕迹，不写作法)解：如解图，点D即为所求．类型二作角平分线和垂直平分线1．(2017·福建)如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP＝AQ.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)解：BQ就是所求的∠ABC的平分线，P、Q就是所求作的点．证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠BPD＋∠PBD＝90°.∵∠BAC＝90°，∴∠AQP＋∠ABQ＝90°.∵∠ABQ＝∠PBD，∴∠BPD＝∠AQP.∵∠BPD＝∠APQ，∴∠APQ＝∠AQP，∴AP＝AQ.2．(2017·赤峰)已知平行四边形ABCD.(1)尺规作图：作∠BAD的平分线交直线BC于点E，交DC延长线于点F(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)的条件下，求证：CE＝CF.(1)解：如解图所示，AF即为所求；(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.∵AF平分∠BAD，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠4，∴CE＝CF.3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°.(1)作边AB的垂直平分线MN；(保留作图痕迹，不写作法)(2)在已知的图中，若MN交AC于点D，连接BD，求∠DBC的度数．(导学号35694240)解：(1)如解图①即为所求垂直平分线MN；(2)如解图②，连接BD，∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，∴AD＝BD，∵∠A＝40°，∴∠ABD＝∠A＝40°，∵AB＝AC，∴∠ABC ＝∠C ＝12(180°－∠A)＝70°，∴∠DBC ＝∠ABC －∠ABD ＝70°－40°＝30°. 4．如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°.(1)尺规作图：按下列要求完成作图(保留作图痕迹，请标明字母)①作线段AC 的垂直平分线l ，交AC 于点O ；②连接BO 并延长，在BO 的延长线上截取OD ，使得OD ＝OB ； ③连接DA 、DC ；(2)判断四边形ABCD 的形状，并说明理由． (1)①②③如解图所示； (2)四边形ABCD 是矩形，理由：∵在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BO 是AC 边上的中线， ∴BO ＝12AC ，∵BO ＝DO ，AO ＝CO ，∴AO ＝CO ＝BO ＝DO ，∴四边形ABCD 是矩形．类型三 作圆1．如图，在图中求作⊙P ，使⊙P 满足以线段MN 为弦且圆心P 到∠AOB 两边的距离相等．(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔加黑)解：如解图所示，⊙P 即为所作的圆．2．如图，已知在△ABC 中，∠A ＝90°.(1)请用圆规和直尺作出⊙P ，使圆心P 在AC 边上，且与AB ，BC 两边都相切(保留作图痕迹，不写作法和证明)；(2)若∠B ＝60°，AB ＝3，求⊙P 的面积．解：(1)如解图所示， ⊙P 为所求作的圆； (2)∵∠B ＝60°， BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝30°， ∵tan ∠ABP ＝AP AB， ∴AP ＝3， ∴S ⊙P ＝3π.3．(2017·舟山)如图，已知△ABC ，∠B ＝40°.(1)在图中，用尺规作出△ABC 的内切圆O ，并标出⊙O 与边AB ，BC ，AC 的切点D ，E ，F(保留痕迹，不必写作法)；(2)连接EF ，DF ，求∠EFD 的度数． 解：(1)如解图①，⊙O 即为所求；(2)如解图②，连接OD ，OE ， ∴OD ⊥AB ，OE ⊥BC ， ∴∠ODB ＝∠OEB ＝90°， ∵∠B ＝40°，∴∠DOE ＝140°，∴∠EFD ＝70°.4．已知△ABC 中，∠A ＝25°，∠B ＝40°.(1)求作：⊙O ，使得⊙O 经过A 、C 两点，且圆心O 落在AB 边上(要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法)；(2)求证：BC 是(1)中所作⊙O 的切线． (1)解：作图如解图①；(2)证明：如解图②，连接OC ，∵OA ＝OC ，∠A ＝25°，∴∠BOC ＝50°， 又∵∠B ＝40°，∴∠BOC ＋∠B ＝90°， ∴∠OCB ＝90°，∴OC ⊥BC ，∴BC 是⊙O 的切线．5．如图，在直角三角形ABC 中，∠ABC ＝90°. (1)先作∠ACB 的平分线，设它交AB 边于点O ，再以点O 为圆心OB 为半径作⊙O(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)；(2)证明：AC 是所作⊙O 的切线；(3)若BC ＝3，sin A ＝12，求△AOC 的面积．(1)解：作图如解图所示：(2)证明：过点O 作OE ⊥AC 于点E ， ∵FC 平分∠ACB ，∴OB ＝OE ，∴AC 是所作⊙O 的切线；(3)解：∵sin A ＝12，∠ABC ＝90°，∴∠A ＝30°，∴∠ACO ＝∠OCB ＝12∠ACB ＝30°，∵BC ＝3，∴AC ＝23，BO ＝BC tan 30°＝3³33＝1， ∴S △AOC ＝12AC·OE ＝12³23³1＝ 3.题型三 与三角形、四边形有关的证明与计算类型一 与三角形有关的证明与计算 1．(2017·黄冈)已知：如图，∠BAC ＝∠DAM ，AB ＝AN ，AD ＝AM ，求证：∠B ＝∠ANM.证明：∵∠BAC ＝∠DAM ，∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ，∠DAM ＝∠DAC ＋∠NAM ， ∴∠BAD ＝∠NAM ， 在△BAD 和△NAM 中，⎩⎨⎧AB ＝AN ，∠BAD ＝∠NAM ，AD ＝AM ，∴△BAD ≌△NAM(SAS )，∴∠B ＝∠ANM. 2．(2017·孝感)如图，已知AB ＝CD ，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，BF ＝DE ，求证：AB ∥CD.证明：∵AE ⊥BD ， CF ⊥BD ，∴∠AEB ＝∠CFD ＝90°， ∵BF ＝DE ，∴BF ＋EF ＝DE ＋EF ， ∴BE ＝DF.在Rt △AEB 和Rt △CFD 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，BE ＝DF ，∴Rt △AEB ≌Rt △CFD(HL )， ∴∠B ＝∠D ，∴AB ∥CD. 3．(2017·连云港)如图，已知等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD ＝AE ，连接BE 、CD ，交于点F.(1)判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A 、F 的直线垂直平分线段BC.(1)解：∠ABE ＝∠ACD ；理由如下：在△ABE 和△ACD 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，AE ＝AD ，∴△ABE ≌△ACD(SAS )，∴∠ABE ＝∠ACD ； (2)证明：∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ，由(1)可知∠ABE ＝∠ACD ， ∴∠FBC ＝∠FCB ， ∴FB ＝FC ， ∵AB ＝AC ，∴点A 、F 均在线段BC 的垂直平分线上，即直线AF 垂直平分线段BC. 4．(2017·荆门)已知：如图，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，点D 是AB 的中点，点E 是CD 的中点，过点C 作CF ∥AB 交AE 的延长线于点F.(1)求证：△ADE ≌△FCE ；(2)若∠DCF ＝120°，DE ＝2，求BC 的长．(1)证明：∵点E 是CD 的中点， ∴DE ＝CE ， ∵AB ∥CF ，∴∠BAF ＝∠AFC ， 在△ADE 与△FCE 中，⎩⎨⎧∠DAF ＝∠AFC ，∠AED ＝∠FEC ，DE ＝CE ，∴△ADE ≌△FCE(AAS )； (2)解：由(1)得，CD ＝2DE ， ∵DE ＝2，∴CD ＝4.∵点D 为AB 的中点，∠ACB ＝90°， ∴AB ＝2CD ＝8，AD ＝CD ＝12AB.∵AB ∥CF ，∴∠BDC ＝180°－∠DCF ＝180°－120°＝60°， ∴∠DAC ＝∠ACD ＝12∠BDC ＝12³60°＝30°，∴BC ＝12AB ＝12³8＝4.5．(2017·重庆A )在△ABM 中，∠ABM ＝45°，AM ⊥BM ，垂足为M ，点C 是BM 延长线上一点，连接AC.(1)如图①，若AB ＝32，BC ＝5，求AC 的长；(2)如图②，点D 是线段AM 上一点，MD ＝MC ，点E 是△ABC 外一点，EC ＝AC ，连接ED 并延长交BC 于点F ，且点F 是线段BC 的中点，求证：∠BDF ＝∠CEF.(导学号 35694241)(1)解：AC ＝13；(2)证明：如解图，延长EF 到点G ，使得FG ＝EF ，连接BG. ∵DM ＝MC ，∠BMD ＝∠AMC ， BM ＝AM ，∴△BMD ≌△AMC(SAS )， ∴AC ＝BD ，又∵CE ＝AC ，∴BD ＝CE ， ∵BF ＝FC ，∠BFG ＝∠CFE ， FG ＝FE ，∴△BFG ≌△CFE(SAS )，∴BG ＝CE ，∠G ＝∠CEF ，∴BD ＝CE ＝BG ，∴∠BDG ＝∠G ＝∠CEF. 6．(2017·呼和浩特)如图，等腰三角形ABC 中，BD ，CE 分别是两腰上的中线． (1)求证：BD ＝CE ；(2)设BD 与CE 相交于点O ，点M ，N 分别为线段BO 和CO 的中点，当△ABC 的重心到顶点A 的距离与底边长相等时，判断四边形DEMN 的形状，无需说明理由．(1)证明：由题意得，AB ＝AC ， ∵BD ，CE 分别是两腰上的中线， ∴AD ＝12AC ，AE ＝12AB ，∴AD ＝AE ，在△ABD 和△ACE 中，⎩⎨⎧AB ＝AC ，∠A ＝∠A ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS )．∴BD ＝CE ； (2)解：四边形DEMN 是正方形，证明：略7．△ABC 的三条角平分线相交于点I ，过点I 作DI ⊥IC ，交AC 于点D. (1)如图①，求证：∠AIB ＝∠ADI ；(2)如图②，延长BI ，交外角∠ACE 的平分线于点F. ①判断DI 与CF 的位置关系，并说明理由； ②若∠BAC ＝70°，求∠F 的度数．(1)证明：∵AI 、BI 分别平分∠BAC ，∠ABC ， ∴∠BAI ＝12∠BAC ，∠ABI ＝12∠ABC ，∴∠BAI ＋∠ABI ＝12(∠BAC ＋∠ABC)＝12(180°－∠ACB)＝90°－12∠ACB ，∴在△ABI 中，∠AIB ＝180°－(∠BAI ＋∠ABI)＝180°－(90°－12∠ACB)＝90°＋12∠ACB ，∵CI 平分∠ACB ，∴∠DCI ＝12∠ACB ，∵DI ⊥IC ，∴∠DIC ＝90°，∴∠ADI ＝∠DIC ＋∠DCI ＝90°＋12∠ACB ，∴∠AIB ＝∠ADI ；(2)解：①结论：DI ∥CF.理由：∵∠IDC ＝90°－∠DCI ＝90°－12∠ACB ，∵CF 平分∠ACE ，∴∠ACF ＝12∠ACE ＝12(180°－∠ACB)＝90°－12∠ACB ，∴∠IDC ＝∠ACF ，∴DI ∥CF ；②∵∠ACE ＝∠ABC ＋∠BAC ，∴∠ACE －∠ABC ＝∠BAC ＝70°， ∵∠FCE ＝∠FBC ＋∠F ， ∴∠F ＝∠FCE －∠FBC ，∵∠FCE ＝12∠ACE ，∠FBC ＝12∠ABC ，∴∠F ＝12∠ACE －12∠ABC ＝12(∠ACE －∠ABC)＝35°.8．(8分)(2017·北京)在等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，P 是线段BC 上一动点(与点B 、C 不重合)，连接AP ，延长BC 至点Q ，使得CQ ＝CP ，过点Q 作QH ⊥AP 于点H ，交AB 于点M.(1)若∠PAC ＝α，求∠AMQ 的大小(用含α的式子表示)；(2)用等式表示线段MB 与PQ 之间的数量关系，并证明．(导学号 35694242)解：(1)∠AMQ ＝45°＋α；理由如下：∵∠PAC ＝α，△ACB 是等腰直角三角形， ∴∠BAC ＝∠B ＝45°，∠PAB ＝45°－α， ∵QH ⊥AP ， ∴∠AHM ＝90°， ∴∠AMQ ＝180°－∠AHM －∠PAB ＝45°＋α；(2)PQ ＝2MB.理由如下：如解图，连接AQ ，作ME ⊥QB ， ∵AC ⊥QP ，CQ ＝CP ， ∴∠QAC ＝∠PAC ＝α， ∴∠QAM ＝45°＋α＝∠AMQ ，∴AP ＝AQ ＝QM ， 在△APC 和△QME 中，⎩⎨⎧∠MQE ＝∠PAC ，∠ACP ＝∠QEM ，AP ＝QM ，∴△APC ≌△QME(AAS )，∴PC ＝ME ， ∴△MEB 是等腰直角三角形，∴12PQ ＝22MB ，∴PQ＝2MB.类型二 与四边形有关的证明与计算1．在▱ABCD 中，点E 、F 分别在AB 、CD 上，且AE ＝CF. (1)求证：△ADE ≌△CBF ；(2)若DF ＝BF ，求证：四边形DEBF 为菱形．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，∠A ＝∠C ， 在△ADE 和△CBF 中，⎩⎨⎧AD ＝BC ，∠A ＝∠C ，AE ＝CF ，∴△ADE ≌△CBF(SAS )；(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∵AE ＝CF ，∴DF ＝EB ，∴四边形DEBF 是平行四边形，又∵DF ＝FB ，∴四边形DEBF 为菱形．2．如图，四边形ABCD 中，BD 垂直平分AC ，垂足为点F ，E 为四边形ABCD 外一点，且∠ADE ＝∠BAD ，AE ⊥AC.(1)求证：四边形ABDE 是平行四边形；(2)如果DA 平分∠BDE ，AB ＝5，AD ＝6，求AC 的长． (导学号 35694243)(1)证明：∵AE ⊥AC ，BD 垂直平分AC ， ∴AE ∥BD ，∵∠ADE ＝∠BAD ， ∴DE ∥AB ，∴四边形ABDE 是平行四边形； (2)解：∵DA 平分∠BDE ， ∴∠BAD ＝∠ADB ， ∴AB ＝BD ＝5，设BF ＝x ，则52－x 2＝62－(5－x)2， 解得x ＝75，∴AF ＝AB 2－BF 2＝245，∴AC ＝2AF ＝485. 3．(2017·上海)已知：如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝CD ，E 是对角线BD 上一点，且EA ＝E C .(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)如果BE ＝BC ，且∠CBE ∶∠BCE ＝2∶3，求证：四边形ABCD 是正方形．证明：(1)在△ADE 和△CDE 中，⎩⎨⎧AD ＝CD ，DE ＝DE ，EA ＝EC ，∴△ADE ≌△CDE(SSS )， ∴∠ADE ＝∠CDE ，∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠CBD ， ∴∠CDE ＝∠CBD ，∴BC ＝CD ， ∵AD ＝CD ，∴BC ＝AD ，∴四边形ABCD 为平行四边形，∵AD ＝CD ，∴四边形ABCD 是菱形； (2)∵BE ＝BC ，∴∠BCE ＝∠BEC ， ∵∠CBE ∶∠BCE ＝2∶3， ∴∠CBE ＝180°³22＋3＋3＝45°，∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ABE ＝45°， ∴∠ABC ＝90°，∴四边形ABCD 是正方形．4．如图，在▱ABCD 中，∠BAD 的平分线交CD 于点E ，交BC 的延长线于点F ，连接BE ，∠F ＝45°.(1)求证：四边形ABCD 是矩形；(2)若AB ＝14，DE ＝8，求sin ∠AEB 的值．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∴∠DAF ＝∠F ＝45°.∵AE 是∠BAD 的平分线， ∴∠EAB ＝∠DAE ＝45°， ∴∠DAB ＝90°，又∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴四边形ABCD 是矩形；(2)解：如解图，过点B 作BH ⊥AE 于点H ， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，AD ＝BC ， ∠DCB ＝∠D ＝90°，∵AB ＝14，DE ＝8，∴CE ＝6. 在Rt △ADE 中，∠DAE ＝45°， ∴AD ＝DE ＝8，∴BC ＝8. 在Rt △BCE 中，由勾股定理得BE ＝BC 2＋CE 2＝10， 在Rt △AHB 中，∠HAB ＝45°， ∴BH ＝AB·sin 45°＝72， ∵在Rt △BHE 中，∠BHE ＝90°， ∴sin ∠AEB ＝BH BE ＝7210.5．(2017·大庆)如图，以BC 为底边的等腰△ABC ，点D ，E ，G 分别在BC ，AB ，AC 上，且EG ∥BC ，DE ∥AC ，延长GE 至点F ，使得BE ＝BF.(1)求证：四边形BDEF 为平行四边形； (2)当∠C ＝45°，BD ＝2时，求D ，F 两点间的距离．(导学号 35694244) (1)证明：∵△ABC 是等腰三角形， ∴∠ABC ＝∠C ，∵EG ∥BC ，DE ∥AC ， ∴∠AEG ＝∠ABC ＝∠C ，∴四边形CDEG 是平行四边形， ∴∠DEG ＝∠C ， ∵BE ＝BF ，∴∠BFE ＝∠BEF ＝∠AEG ＝∠ABC ， ∴∠F ＝∠DEG ，∴BF ∥DE ， ∴四边形BDEF 为平行四边形； (2)解：∵∠C ＝45°，∴∠ABC ＝∠BFE ＝∠BEF ＝45°， ∴△BDE 、△BEF 是等腰直角三角形，∴BF ＝BE ＝22BD ＝2， 作FM ⊥BD 于点M ，连接DF ，如解图所示，则△BFM 是等腰直角三角形， ∴FM ＝BM ＝22BF ＝1， ∴DM ＝3，在Rt △DFM 中，由勾股定理得： DF ＝12＋32＝10，即D ，F 两点间的距离为10. 6．(2017·张家界)如图，在平行四边形ABCD 中，边AB 的垂直平分线交AD 于点E ，交CB 的延长线于点F ，连接AF ，BE.(1)求证：△AGE ≌△BGF ；(2)试判断四边形AFBE 的形状，并说明理由.(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∴∠AEG ＝∠BFG ， ∵EF 垂直平分AB ， ∴AG ＝BG ，在△AGE 和△BGF 中，⎩⎨⎧∠AEG ＝∠BFG ，∠AGE ＝∠BGF ，AG ＝BG ，∴△AGE ≌△BGF(AAS )；(2)解：四边形AFBE 是菱形，理由如下： ∵△AGE ≌△BGF ，∴AE ＝BF ，∵AD ∥BC ，∴四边形AFBE 是平行四边形， 又∵EF ⊥AB ，∴四边形AFBE 是菱形.7．如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AO ＝CO ，BO ＝DO ，且∠ABC ＋∠ADC ＝180°.(1)求证：四边形ABCD 是矩形．(2)若∠ADF ∶∠FDC ＝3∶2，DF ⊥AC ，则∠BDF 的度数是多少？(1)证明：∵AO ＝CO ，BO ＝DO∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ABC ＝∠ADC ，∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°， ∴∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∴四边形ABCD 是矩形；(2)解：∵∠ADC ＝90°，∠ADF ∶∠FDC ＝3∶2， ∴∠FDC ＝36°，∵DF ⊥AC ，∴∠DCO ＝90°－36°＝54°， ∵四边形ABCD 是矩形， ∴OC ＝OD ，∴∠ODC ＝54°，∴∠BDF ＝∠ODC －∠FDC ＝18°. 8．(2017·娄底)如图，在▱ABCD 中，各内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H. (1)求证：△ABG ≌△CDE ；(2)猜一猜：四边形EFGH 是什么样的特殊四边形？证明你的猜想； (3)若AB ＝6，BC ＝4，∠DAB ＝60°，求四边形EFGH 的面积．(1)证明：∵GA 平分∠BAD ，EC 平分∠BCD ， ∴∠BAG ＝12∠BAD ，∠DCE ＝12∠DCB ，∵在▱ABCD 中，∠BAD ＝∠DCB ，AB ＝CD ，∴∠BAG ＝∠DCE ，同理可得，∠ABG ＝∠CDE ，∵在△ABG 和△CDE 中，⎩⎨⎧∠BAG ＝∠DCE ，AB ＝CD ，∠ABG ＝∠CDE ，∴△ABG ≌△CDE(ASA )； (2)解：四边形EFGH 是矩形．证明：∵GA 平分∠BAD ，GB 平分∠ABC ， ∴∠GAB ＝12∠BAD ，∠GBA ＝12∠ABC ，∵在▱ABCD 中，∠DAB ＋∠ABC ＝180°，∴∠GAB ＋∠GBA ＝12(∠DAB ＋∠ABC)＝90°，即∠AGB ＝90°，同理可得，∠DEC ＝90°，∠AHD ＝90°＝∠EHG ， ∴四边形EFGH 是矩形；(3)解：依题意得：∠BAG ＝12∠BAD ＝30°，∵AB ＝6，∴BG ＝12AB ＝3，AG ＝33＝CE ，∵BC ＝4，∠BCF ＝12∠BCD ＝30°，∴BF ＝12BC ＝2，CF ＝23，∴EF ＝33－23＝3，GF ＝3－2＝1， ∴S 矩形EFGH 的面积＝EF·GF ＝ 3.题型四解直角三角形的实际应用1．(2017·镇江)如图，小明在教学楼A处分别观测对面实验楼CD底部的俯角为45°，顶部的仰角为37°，已知教学楼和实验楼在同一平面上，观测点距地面的垂直高度AB为15 m，求实验楼的垂直高度即CD长．(精确到1 m，参考值：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)解：作AE⊥CD于E，如解图，∵AB＝15 m，∴DE＝AB＝15 m，∵∠DAE＝45°，∴AE＝DE＝15 m，在Rt△ACE中，tan∠CAE＝CE AE，则CE＝AE·tan37°＝15³0.75≈11 m，∴CD＝CE＋DE＝11＋15＝26 m.答：实验楼的垂直高度CD长为26 m.2．(2017·宜宾)如图，为了测量某条河的宽度，现在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C测得∠α＝30°，∠β＝45°，量得BC长为100米，求河的宽度．(结果保留根号)解：过点A作AD⊥BC于点D，如解图，∵∠β＝45°，∠ADC＝90°，∴AD＝DC，设AD＝DC＝x m，则tan 30°＝x x ＋100＝33， 解得x ＝50(3＋1)．答：河的宽度为50(3＋1) m . 3．(2017·宿迁)如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点A 处测得正前方小岛C 的俯角为30°，面向小岛方向继续飞行10 km 到达B 处，发现小岛在其正后方，此时测得小岛的俯角为45°，如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的高度．(结果保留根号)(导学号 35694245)解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，如解图，设CD ＝x ， ∵∠CBD ＝45°， ∴BD ＝CD ＝x ，在Rt △ACD 中， ∵tan ∠CAD ＝CDAD，∴AD ＝CD tan ∠CAD ＝x tan 30°＝x33＝3x ，由AD ＋BD ＝AB 可得3x ＋x ＝10，解得x ＝53－5.答：飞机飞行的高度为(53－5) km . 4．(2016·菏泽)南沙群岛是我国固有领土，现在我南海渔民要在南沙某海岛附近进行捕鱼作业，当渔船航行至B 处时，测得该岛位于正北方向20(1＋3)海里的C 处，为了防止某国海巡警干扰，就请求我A 处的渔监船前往C 处护航，已知C 位于A 处的北偏东45°方向上，A 位于B 的北偏西30°的方向上，求A 、C 之间的距离．解：如解图，作AD ⊥BC ，垂足为D ，由题意得，∠ACD ＝45°， ∠ABD ＝30°.设CD＝x，在Rt△ACD中，可得AD＝x，在Rt△ABD中，可得BD＝3x，又∵BC＝20(1＋3)，CD＋BD＝BC，即x＋3x＝20(1＋3)，解得：x＝20，∴AC＝2x＝202(海里)．答：A、C之间的距离为20 2 海里．5．(2017·荆门)金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°，已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡角为30°，且点E、F、D在同一条直线上，求旗杆AB的高度．(计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)解：如解图，过点C作CM⊥AB于M.则四边形MEDC是矩形，∴ME＝DC＝3，CM＝ED，在Rt△AEF中，∠AFE＝60°，设EF＝x，则AF＝2x，AE＝3x，在Rt△FCD中，CD＝3，∠CFD＝30°，∴DF＝33，在Rt △AMC 中， ∠ACM ＝45°，∴∠MAC ＝∠ACM ＝45°，∴MA ＝MC ， ∵ED ＝CM ，∴AM ＝ED ，∵AM ＝AE －ME ，ED ＝EF ＋DF ， ∴3x －3＝x ＋33，解得x ＝6＋33， ∴AE ＝3(6＋33)＝63＋9，∴AB ＝AE －BE ＝9＋63－1≈18.4米． 答：旗杆AB 的高度约为18.4米． 6．(2016·贺州)如图，是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC 是10米，坡面10米处有一建筑物HQ ，为了方便使行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC 的倾斜角∠BDC ＝30°，若新坡面下D 处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除(计算最后结果保留一位小数．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)(导学号 35694246)解：由题意得，AH ＝10米，BC ＝10米， 在Rt △ABC 中，∠CAB ＝45°， ∴AB ＝BC ＝10，在Rt △DBC 中，∠CDB ＝30°， ∴DB ＝BCtan ∠CDB＝103，∴DH ＝AH －AD ＝AH －(DB －AB)＝10－103＋10＝20－103≈2.7(米)， ∵2.7米＜3米，∴该建筑物需要拆除．7．(2017·鄂州)小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M 处出发，向前走3米到达A 处，测得树顶端E 的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C 处，测得树的顶端E 的仰角是60°，再继续向前走到大树底D 处，测得食堂楼顶N 的仰角为45°.已知A 点离地面的高度AB ＝2米，∠BCA ＝30°，且B 、C 、D 三点在同一直线上．(1)求树DE 的高度；(2)求食堂MN 的高度． 解：(1)如解图，设DE ＝x ，∵AB ＝DF ＝2，∴EF ＝DE －DF ＝x －2， ∵∠EAF ＝30°， ∴AF ＝EFtan ∠EAF ＝x －233＝3(x －2)，又∵CD ＝DE tan ∠DCE ＝x 3＝33x ，BC ＝AB tan ∠ACB ＝233＝23，∴BD ＝BC ＋CD ＝23＋33x ， 由AF ＝BD 可得3(x －2)＝23＋33x ， 解得：x ＝6，∴树DE 的高度为6米；(2)延长NM 交DB 延长线于点P ，如解图，则AM ＝BP ＝3， 由(1)知CD ＝33x ＝33³6＝23，BC ＝23， ∴PD ＝BP ＋BC ＋CD ＝3＋23＋23＝3＋43，∵∠NDP ＝45°，且MP ＝AB ＝2， ∴NP ＝PD ＝3＋43，∴NM ＝NP －MP ＝3＋43－2＝1＋43， ∴食堂MN 的高度为1＋4 3 米．题型五 与圆有关的证明与计算类型一 与切线判定有关的证明与计算1．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 分别与BC 、AC 交于点D 、E ，过点D 作DF ⊥AC 于点F.(1)求证：DF 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为2，BC ＝22，求DF 的长． (导学号 35694247)(1)证明：连接OD ，如解图，∵OB ＝OD ，∴∠ABC ＝∠ODB ， ∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ， ∴OD ∥AC ，∵DF ⊥AC ，∴DF ⊥OD ，∴DF 是⊙O 的切线；(2)解：连接AD ，如解图， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC ，又∵AB ＝AC ，∴BD ＝DC ＝2，∴AD ＝AB 2－BD 2＝42－（2）2＝14， ∵DF ⊥AC ，∴△ADC ∽△DFC ，∴AD DF ＝AC DC ，∴14DF ＝42，∴DF ＝72. 2．如图，在△ABC 中，以BC 为直径的⊙O 交AC 于点D ，∠ABD ＝∠ACB. (1)求证：AB 是⊙O 的切线；(2)若点E 是BC 上一点，已知BE ＝4，tan ∠AEB ＝53，AB ∶BC ＝2∶3，求⊙O 的直径．(1)证明：∵BC 是直径， ∴∠BDC ＝90°，∴∠ACB ＋∠DBC ＝90°，∵∠ABD ＝∠ACB ， ∴∠ABD ＋∠DBC ＝90°， ∴∠ABC ＝90°， ∴AB ⊥BC ， ∴AB 是⊙O 的切线；(2)解：在Rt △AEB 中，tan ∠AEB ＝53，∴AB BE ＝53，即AB ＝53BE ＝203， 在Rt △ABC 中，AB BC ＝23，∴BC ＝32AB ＝10，∴⊙O 的直径为10.3．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，点D 是BC ︵的中点，DE ⊥AC 于点E ，DF ⊥AB 于点F.(1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)若OF ＝2，求AC 的长度．(导学号 35694248)(1)证明：如解图①，连接OD 、AD ， ∵点D 是BC ︵的中点，∴BD ︵＝CD ︵，∴∠DAO ＝∠DAC ， ∵OA ＝OD ，∴∠DAO ＝∠ODA ，图①∴∠DAC ＝∠ODA ，∴OD ∥AE ， ∵DE ⊥AE ，∴∠AED ＝90°， ∴∠AED ＝∠ODE ＝90°， ∴OD ⊥DE ， ∴DE 是⊙O 的切线；图②(2)解：如解图②，连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵OD∥AE，∴∠DOB＝∠EAB，∵∠DFO＝∠ACB＝90°，∴△DFO∽△BCA，∴OFAC＝ODAB＝12，即2AC＝12，∴AC＝4.4．(2017·张家界)在等腰△ABC中，AC＝BC，以BC为直径的⊙O分别与AB，AC相交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.(1)求证：DF是⊙O的切线；(2)分别延长CB，FD，相交于点G，∠A＝60°，⊙O的半径为6，求阴影部分的面积．(1)证明：连接OD，如解图所示，∵AC＝BC，OB＝OD，∴∠ABC＝∠A，∠ABC＝∠ODB，∴∠A＝∠ODB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴DF⊥OD，∵OD是⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线；(2)解：∵AC＝BC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵OD＝OB，∴△OBD是等边三角形，∴∠BOD ＝60°，∵DF ⊥OD ，∴∠ODG ＝90°，∴∠G ＝30°， ∴DG ＝3OD ＝63，∴S 阴影部分＝S △ODG －S 扇形OBD ＝12³6³63－60π³62360＝183－6π.5．(2017·安顺)如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD ⊥BC 于点D ，过点C 作⊙O 的切线，交OD 的延长线于点E ，连接BE.(1)求证：BE 与⊙O 相切；(2)设OE 交⊙O 于点F ，若DF ＝1，BC ＝23，求阴影部分的面积．(1)证明：连接OC ，如解图， ∵CE 为切线，∴OC ⊥CE ， ∴∠OCE ＝90°，∵OD ⊥BC ，∴CD ＝BD ， 即OD 垂中平分BC ， ∴EC ＝EB ，在△OCE 和△OBE 中，⎩⎨⎧OC ＝OB ，OE ＝OE ，EC ＝EB ，∴△OCE ≌△OBE ，∴∠OBE ＝∠OCE ＝90°， ∴OB ⊥BE ，∴BE 与⊙O 相切；(2)解：设⊙O 的半径为r ，则OD ＝r －1， 在Rt △OBD 中，BD ＝CD ＝12BC ＝3，∴(r －1)2＋(3)2＝r 2，解得r ＝2， ∵tan ∠BOD ＝BDOD ＝3，∴∠BOD ＝60°，∴∠BOC ＝2∠BOD ＝120°， 在Rt △OBE 中，BE ＝3OB ＝23， ∴S 阴影部分＝S 四边形OBEC －S 扇形BOC ＝2S △OBE －S 扇形BOC＝2³12³2³23－120π³22360＝43－43π.类型二 与切线性质有关的证明与计算 1．(2017·绵阳)如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，与AC 平行的⊙O 的一条切线交CD 的延长线于点M ，交AB 的延长线于点E ，切点为F ，连接AF 交CD 于点N.(1)求证：CA ＝CN ；(2)连接OF ，若cos ∠DFA ＝45，AN ＝210，求⊙O 的直径的长度．(1)证明：连接OF ，则∠OAF ＝∠OFA ，如解图①所示， ∵ME 与⊙O 相切， ∴OF ⊥ME. ∵CD ⊥AB ，∴∠M ＋∠FOH ＝180°.∵∠BOF ＝∠OAF ＋∠OFA ＝2∠OAF ，∠FOH ＋∠BOF ＝180°， ∴∠M ＝2∠OAF. ∵ME ∥AC ，∴∠M ＝∠C ＝2∠OAF.∵CD ⊥AB ，∴∠ANC ＋∠OAF ＝∠BAC ＋∠C ＝90°， ∴∠ANC ＝90°－∠OAF ，∠BAC ＝90°－∠C ＝90°－2∠OAF ， ∴∠CAN ＝∠OAF ＋∠BAC ＝90°－∠OAF ＝∠ANC ， ∴CA ＝CN ；(2)解：连接OC ，如解图②所示． ∵cos ∠DFA ＝45，∠DFA ＝∠ACH ， ∴CH AC ＝45. 设CH ＝4a ，则AC ＝5a ，AH ＝3a ， ∵CA ＝CN ，∴NH ＝a ，∴AN ＝AH 2＋NH 2＝（3a ）2＋a 2＝10a ＝210， ∴a ＝2，AH ＝3a ＝6，CH ＝4a ＝8. 设⊙O 的半径为r ，则OH ＝r －6，在Rt △OCH 中，OC ＝r ，CH ＝8，OH ＝r －6， ∴OC 2＝CH 2＋OH 2，r 2＝82＋(r －6)2， 解得：r ＝253，∴⊙O 的直径的长度为2r ＝503.2．(2017·大连)如图，AB 是⊙O 直径，点C 在⊙O 上，AD 平分∠CAB ，BD 是⊙O 的切线，AD 与BC 相交于点E.(1)求证：BD ＝BE ；(2)若DE ＝2，BD ＝5，求CE 的长． (导学号 35694249)(1)证明：设∠BAD ＝α，∵AD 平分∠BAC ，∴∠CAD ＝∠BAD ＝α，∵AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∴∠ACB ＝90°， ∴∠ABC ＝90°－2α，∵BD 是⊙O 的切线，∴BD ⊥AB ，∴∠DBE ＝2α，∠BED ＝∠BAD ＋∠ABC ＝90°－α， ∴∠D ＝180°－∠DBE －∠BED ＝90°－α， ∴∠D ＝∠BED ，∴BD ＝BE ；(2)解：设AD 交⊙O 于点F ，CE ＝x ，则AC ＝2x ，连接BF ，如解图， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AFB ＝90°，∵BD ＝BE ，DE ＝2，∴FE ＝FD ＝1，∵BD ＝5，∴BF ＝2， ∵∠BAD ＋∠D ＝90°，∠D ＋∠FBD ＝90°， ∴∠FBD ＝∠BAD ＝α，∴tan α＝FD BF ＝12，∴AB ＝BF sin α＝255＝25，在Rt △ABC 中，由勾股定理可知(2x)2＋(x ＋5)2＝(25)2， 解得x ＝－5(舍去)或x ＝355，∴CE ＝355.3．(2017·南京)如图，PA ，PB 是⊙O 的切线，A ，B 为切点，连接AO 并延长，交PB 的延长线于点C ，连接PO ，交⊙O 于点D.(1)求证：PO 平分∠APC ； (2)连接DB ，若∠C ＝30°，求证：DB ∥AC.证明：(1)如解图，连接OB ， ∵PA ，PB 是⊙O 的切线， ∴OA ⊥AP ，OB ⊥BP ， 又OA ＝OB ，∴PO 平分∠APC ；(2)∵OA ⊥AP ，OB ⊥BP ， ∴∠CAP ＝∠OBP ＝90°，∵∠C ＝30°， ∴∠APC ＝90°－30°＝60°， ∵PO 平分∠APC ，∴∠OPC ＝12∠APC ＝12³60°＝30°，∴∠POB ＝90°－∠OPC ＝90°－30°＝60°，又∵OD ＝OB ，∴△ODB 是等边三角形， ∴∠OBD ＝60°，∴∠DBP ＝∠OBP －∠OBD ＝90°－60°＝30°， ∴∠DBP ＝∠C ，∴DB ∥AC.4．如图，直线l 经过点A(4，0)，B(0，3)．(1)求直线l 的函数表达式；(2)若圆M 的半径为2，圆心M 在y 轴上，当圆M 与直线l 相切时，求点M 的坐标．(1)∵A(4，0)，B(0，3)，∴直线l 的解析式为：y ＝－34x ＋3；(2)作MH ⊥AB ，垂足为H ，如解图所示， ∵M 在y 轴上，∴设M(0，t)，2S △ABM ＝BM·AO ＝AB·MH ， ∴|3－t|³4＝5³2， 解得t 1＝12，t 2＝112，∴M 1(0，12)，M 2(0，112)．题型六 二次函数与几何图形综合题类型一 探究特殊三角形的存在性问题 1．(2017·乌鲁木齐)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)与直线y ＝x ＋1相交于A(－1，0)，B(4，m)两点，且抛物线经过点C(5，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P 是抛物线上的一个动点(不与点A 、点B 重合)，过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ，交直线AB 于点E.①当PE ＝2ED 时，求P 点坐标；②是否存在点P ，使△BEC 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(导学号 35694250)解：(1)∵点B(4，m)在直线y ＝x ＋1上， ∴m ＝4＋1＝5，∴B(4，5)，把A 、B 、C 三点坐标代入抛物线解析式可得 ⎩⎨⎧a －b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝5，25a ＋5b ＋c ＝0， 解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝4，c ＝5，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5；(2)①设P(x ，－x 2＋4x ＋5)，则E(x ，x ＋1)，D(x ，0)，则PE ＝|－x 2＋4x ＋5－(x ＋1)|＝|－x 2＋3x ＋4|，DE ＝|x ＋1|， ∵PE ＝2ED ，∴|－x 2＋3x ＋4|＝2|x ＋1|，当－x 2＋3x ＋4＝2(x ＋1)时，解得x ＝－1或x ＝2，但当x ＝－1时，P 与A 重合不合题意，舍去，∴P(2，9)；当－x 2＋3x ＋4＝－2(x ＋1)时，解得x ＝－1或x ＝6，但当x ＝－1时，P 与A 重合，不合题意，舍去，∴P(6，－7)；综上可知，P 点坐标为(2，9)或(6，－7)；②点P 的坐标为(34，11916)或(4＋13，－413－8)或(4－13，413－8)或(0，5)时，△BEC 为等腰三角形．2．(2017·阜新)如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于A(－5，0)，B(1，0)两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴交于点D.(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图①，点E(x ，y)为抛物线上一点，且－5<x<－2，过点E 作EF ∥x 轴，交抛物线的对称轴于点F ，作EH ⊥x 轴于点H ，得到矩形EHDF ，求矩形EHDF 周长的最大值；(3)如图②，点P 为抛物线对称轴上一点，是否存在点P ，使以点P ，A ，C 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)把A(－5，0)，B(1，0)代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得到⎩⎨⎧－25－5b ＋c ＝0，－1＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝5.∴抛物线的函数表达式为y ＝－x 2－4x ＋5；(2)如解图①，∵抛物线的对称轴为直线x ＝－2，E(x ，－x 2－4x ＋5)， ∴EH ＝－x 2－4x ＋5， EF ＝－2－x ，∴矩形EFDH 的周长＝2(EH ＋EF)＝2(－x 2－5x ＋3)＝－2(x ＋52)2＋372，∵－2<0，∴x ＝－52时，矩形EHDF 的周长最大，最大值为372；(3) 如解图②，设P(－2，m)，①当∠ACP ＝90°时， AC 2＋PC 2＝PA 2，∴(52)2＋22＋(m －5)2＝32＋m 2， 解得m ＝7， ∴P 1(－2，7)．②当∠CAP ＝90°时， AC 2＋PA 2＝PC 2，∴(52)2＋32＋m 2＝22＋(m －5)2， 解得m ＝－3，∴P 2(－2，－3)．③当∠APC ＝90°时，PA 2＋PC 2＝AC 2，∴32＋m 2＋22＋(m －5)2＝(52)2， 解得m ＝6或m ＝－1，∴P 3(－2，6)，P 4(－2，－1)，综上所述，满足条件的点P 坐标为(－2，7)或(－2，－3)或(－2，6)或(－2，－1)． 3．(2017·重庆A )如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝33x 2－233x －3与x 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，点E(4，n)在抛物线上．(1)求直线AE 的解析式；(2)点P 为直线CE 下方抛物线上的一点，连接PC ，PE.当△PCE 的面积最大时，连接CD ，CB ，点K 是线段CB 的中点，点M 是CP 上的一点，点N 是CD 上的一点，求KM ＋MN ＋NK 的最小值；(3)点G 是线段CE 的中点，将抛物线y ＝33x 2－233x －3沿x 轴正方向平移得到抛物线y′，y ′经过点D ，y ′的顶点为点F.在新抛物线y′的对称轴上，是否存在点Q ，使得△FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)直线AE 的解析式为y ＝33x ＋33.(2)设直线CE 的解析式为y ＝mx －3， ∴直线CE 的解析式为y ＝233x － 3. 过点P 作PF ∥y 轴，交CE 于点F.如解图①， 设点P 的坐标为(x ，33x 2－233x －3)， 则点F(x ，233x －3)，则FP ＝－33x 2＋433x.∴△EPC 的面积＝－233x 2＋833x.∴当x ＝2时，△EPC 的面积最大．∴P(2，－3)．如解图②，作点K 关于CD 和CP 的对称点G 、H ，连接G 、H 交CD 和CP 于N 、M.∵K 是CB 的中点，∴K(32，32)．∴tan ∠KCP ＝33.∵OD ＝1，OC ＝3， ∴tan ∠OCD ＝33. ∴∠OCD ＝∠KCP ＝30°. ∴∠KCD ＝30°.∵K 是BC 的中点，∠OCB ＝60°， ∴OC ＝CK.∴点O 与点K 关于CD 对称． ∴点G 与点O 重合． ∴点G(0，0)．∵点H 与点K 关于CP 对称，∴点H 的坐标为(32，－332)．∴KM ＋MN ＋NK ＝MH ＋MN ＋GN.当点G 、N 、M 、H 在一条直线上时，KM ＋MN ＋NK 有最小值，最小值＝GH. ∴GH ＝（32）2＋（332）2＝3. ∴KM ＋MN ＋NK 的最小值为3.(3)点Q 的坐标为(3，－43＋2213)或(3，－43－2213)或(3，23)或(3，－235)．类型二 探究特殊四边形的存在性问题1．(2017·宜宾)如图，抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴分别交于A(－1，0)，B(5，0)两点． (1)求抛物线的解析式；(2)在第二象限内取一点C ，作CD 垂直x 轴于点D ，连接AC ，且AD ＝5，CD ＝8，将Rt △ACD 沿x 轴向右平移m 个单位，当点C 落在抛物线上时，求m 的值；(3)在(2)的条件下，当点C 第一次落在抛物线上记为点E ，点P 是抛物线对称轴上一点．试探究：在抛物线上是否存在点Q ，使以点B 、E 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．(导学号 35694251)解：(1)抛物线的解析式为y ＝－x 2＋4x ＋5； (2)∵AD ＝5，且OA ＝1，∴OD ＝6， 又∵CD ＝8，∴C(－6，8)，设平移后的点C 的对应点为C′，则C′点的纵坐标为8，代入抛物线解析式可得8＝－x 2＋4x ＋5，解得x ＝1或x ＝3，∴C ′点的坐标为(1，8)或(3，8)， ∵C(－6，8)，∴当点C 落在抛物线上时，向右平移了7或9个单位，∴m 的值为7或9；(3)Q 点的坐标为(－2，－7)或(6，－7)或(4，5)时，以点B 、E 、P 、Q 四点为顶点的四边形为平行四边形．。

苏科版数学中考专题复习：图形的相似综合压轴题 专项练习题汇编(Word版,含答案)

苏科版数学中考专题复习：图形的相似综合压轴题 专项练习题汇编(Word版,含答案)

苏科版数学中考专题复习：图形的相似综合压轴题专项练习题汇编1．已知四边形ABCD中，M，N两点分别在AB，BD上，且满足∠MCN＝∠BDC．（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，①求证：△ACM∽△DCN；②求证：DN+BM＝CD；（2）如图2，当四边形ABCD为菱形时，若∠BAD＝120°，试探究DN，BM，CD的数量关系．2．在△ABC中，CA＝CB＝m，在△AED中，DA＝DE＝m，请探索解答下列问题．【问题发现】（1）如图1，若∠ACB＝∠ADE＝90°，点D，E分别在CA，AB上，则CD与BE的数量关系是，直线CD与BE的夹角为；【类比探究】（2）如图2，若∠ACB＝∠ADE＝120°，将△AED绕点A旋转至如图2所示的位置，则CD与BE之间是否满足（1）中的数量关系？说明理由．【拓展延伸】（3）在（1）的条件下，若m＝2，将△AED绕点A旋转过程中，当B，E，D三点共线．请直接写出CD的长．3．已知四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G．问题发现：（1）①如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE⊥CF于G，则＝；②如图2，当四边形ABCD是矩形时，且DE⊥CF于G，AB＝m，AD＝n，则＝；拓展研究：（2）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，且∠B+∠EGC＝180°时，求证：；解决问题：（3）如图4，若BA＝BC＝5，DA＝DC＝10，∠BAD＝90°，DE⊥CF于G，请直接写出的值．4．在等边△ABC中，D，E分别是AC，BC上的点，且AD＝CE，连接BD、AE相交于点F．（1）如图1，当时，＝；（2）如图2，求证：△AFD∽△BAD；（3）如图3，当时，猜想AF与BF的数量关系，并说明理由．5．如图1，点D是△ABC中AB边上一点，∠ACD＝∠B，BC2＝AB•BD．（1）求证：∠ADC＝∠ACB；（2）求∠ACB的度数；（3）将图1中的△BCD绕点C顺时针旋转得到△ECF，BD的对应边EF经过点A（如图2所示），若AC＝2，求线段CD的长．6．在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点M为AB边上一个动点，连接DM，过点M作MN ⊥DM，且MN＝DM，连接DN．（1）如图①，连接BD与BN，BD交MN于点E．①求证：△ABD∽△MND；②求证：∠CBN＝∠DNM；（2）如图②，当AM＝4BM时，求证：A，C，N三点在同一条直线上．7．在△EFG中，∠EFG＝90°，EF＝FG，且点E，F分别在矩形ABCD的边AB，AD上，AB＝8，AD＝6．（1）如图1，当点G在CD上时，求AE+DG的值；（2）如图2，FG与CD相交于点N，连接EN，当EF平分∠AEN时，求证：EN＝AE+DN；（3）如图3，EG，FG分别交CD于点M，N，当MG2＝MN•MD时，求AE的值．8．【问题背景】如图1，在Rt△ABC和Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，由已知可以得到：①△≌△；②△∽△．【尝试应用】如图2，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE ＝30°，求证：△ACE∽△ABD．【问题解决】如图3，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE ＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC上，，求的值．9．已知正方形ABCD中，点E是边CD上一点（不与C、D重合），将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，如图1，连接EF分别交AC、AB于点P、G．（1）请判断△AEF的形状；（2）求证：P A2＝PG•PF；（3）如图2，当点E是边CD的中点时，PE＝1，求AG的长．10．如图，等边△ABC的边长为12，点D，E分别在边AB，AC上，且AD＝AE＝4，点F 为BA延长线上一点，过点F作直线l∥BC，G为射线BC上动点，连接GD并延长交直线l于点H，连接FE并延长交BC于点M，连接HE并延长交射线BC于点N．（1）若AF＝4，当BG＝4时，求线段HF和EH的长；（2）若AF＝a（a＞0），点G在运动过程中，请判断△HGN的面积是否改变．若不变，求出其值（用含a的代数式表示）；若改变，请说明理由．11．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．（1）如图1，点D为AC上一点，DE∥BC交AB边于点E，若＝，求AD及DE的长；（2）如图2，折叠△ABC，使点A落在BC边上的点H处，折痕分别交AC、AB于点G、F，且FH∥AC．①求证：四边形AGHF是菱形；②求菱形的边长；（3）在（1）（2）的条件下，线段CD上是否存在点P，使得△CPH∽△DPE？若存在，求出PD的长；若不存在，请说明理由．12．如图①，AB∥MH∥CD，AD与BC相交于点M，点H在BD上．求证：．小明的部分证明如下：证明：∵AB∥MH，∴△DMH∽△DAB，∴．同理可得：＝，…．（1）请完成以上的证明（可用其他方法替换小明的方法）；（2）求证：；（3）如图②，正方形DEFG的顶点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，E、F在边BC 上，AN⊥BC，交DG于M，垂足为N，求证：．13．【问题情境】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，我们可以得到如下正确结论：①CD2＝AD•BD；②AC2＝AB•AD；③BC2＝AB•BD，这些结论是由古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》最先提出的，我们称之为“射影定理”，又称“欧几里德定理”．（1）请证明“射影定理”中的结论③BC2＝AB•BD．【结论运用】（2）如图2，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF．①求证：△BOF∽△BED．②若CE＝2，求OF的长．14．如图①，在正方形ABCD中，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，将△ABP沿直线AP翻折得到△AEP，点Q是CD的中点，连接BQ交AE于点F，若BQ∥PE．（1）求证：△ABF∽△BQC；（2）求证：BF＝FQ；（3）如图②，连接DE交BQ于点G，连接EC，GC，若FQ＝6，求△GBC的面积．15．如图1，已知等边△ABC的边长为8，点D在AC边上，AD＝2，点P是AB边上的一个动点．（1）连接PC、PD．①当AP＝时，△APD∽△ACP；②若△APD与△BPC相似，求AP的长度；（2）已知点Q在线段PB上，且PQ＝2．①如图2，若△APD与△BQC相似，则∠ACQ与∠PDC之间的数量关系是；②如图3，若E、F分别是PD、CQ的中点，连接EF，线段EF的长是否是一个定值，若是，求出EF的长，若不是，说明理由．16．（1）如图①，点E，F分别在正方形边AB，BC上，且AF⊥DE，请直接写出AF与DE的关系．（2）如图②，点E，F，G分别在矩形ABCD的边AB，BC，CD上，且AF⊥EG，求证：．（3）如图③，在（2）的条件下，连接AG，过点G作AG的垂线与CF交于点H，已知BH＝3，HG＝5，GA＝7.5，求的值．17．【问题背景】正方形ABCD和等腰直角三角形CEF按如图①所示的位置摆放，点B，C，E在同一条直线上，其中∠ECF＝90°．【初步探究】（1）如图②，将等腰直角三角形CEF绕点C按顺时针方向旋转，连接BF，DE，请直接写出BF与DE的数量关系与位置关系：；【类比探究】（2）如图③，将（1）中的正方形ABCD和等腰直角三角形CEF分别改成矩形ABCD和Rt△CEF，其中∠ECF＝90°，且，其他条件不变．①判断线段BF与DE的数量关系，并说明理由；②连接DF，BE，若CE＝6，AB＝12，求DF2+BE2的值．18．在相似的复习课中，同学们遇到了一道题：已知∠C＝90°，请设计三种不同方法，将Rt△ABC分割成四个小三角形，使每个小三角形与原三角形相似．（1）甲同学设计了如图1分割方法：D是斜边AB的中点，过D分别作DE⊥AC，DF ⊥BC，请判断甲同学的做法是否正确，并说明理由．（2）乙同学设计了如图2分割方法，过点D作FD⊥AB，DE⊥BC，连结EF，易证△ADF∽△ACB，△DEB∽△ACB，但是只有D在AB特殊位置时，才能证明另两个三角形与原三角形相似，李老师通过几何画板，发现∠A＝30°时，，∠A＝45°时，，∠A＝60°时，．猜测对于任意∠A，当＝（用AC，BC或AB相关代数式表示），结论成立．请补充条件并证明．（3）在普通三角形中，显然连结三角形中位线分割成四个小三角形与原三角形相似．你能参考乙同学的分割方法找到其他分割方法吗？请做出示意图并作适当分割说明（不要求证明过程）．19．△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在AB边上，点E在AC边上，连接DE，取BC边的中点O，连接DO并延长到点F，使OF＝OD，连接CF，EF，令＝＝k．（1）①如图1，若k＝1，填空：＝；△ECF是三角形．②如图2，将①中△ADE绕点A旋转，①中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2所示情况给出证明；若不成立，请说明理由．（2）如图3，若k＝，AB＝AD，将△ADE由图1位置绕点A旋转，当点C，E，D三点共线时，请直接写出sin∠1的值．20．【基础探究】如图1，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ACB，AC为对角线，AD•CB＝DC•AC．（1）求证：AC平分∠DAB．（2）若AC＝8，AB＝12，则AD＝．【应用拓展】如图2，四边形ABCD中，∠ADC＝∠ACB＝90°，AC为对角线，AD•CB ＝DC•AC，E为AB的中点，连结CE、DE，DE与AC交于点F．若CB＝6，CE＝5，请直接写出的值．参考答案1．（1）①证明：∵四边形ABCD为正方形∴∠ACD＝∠BDC＝∠BAC＝45°，又∵∠MCN＝∠BDC，∴∠MCN＝∠ACD＝45°，∴∠MCA+∠ACN＝∠ACN+∠DCN，∴∠MCA＝∠DCN，∴△ACM∽△DCN．②证明：由①可知：△ACM∽△DCN，∴，∴DN＝AM，∴AM+BM＝AB＝CD，∴DN+BM＝CD．（2）解：如图所示：连接AC，在DN上取一点P使∠PCD＝∠PDC＝30°，过P作PQ ⊥CD于Q，∴∠PCD＝∠PDC＝30°，∴∠NPC＝60°，又∵四边形ABCD为菱形且∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°，∴∠NPC＝∠BAC，又∵∠ACP＝∠ACD﹣∠PCD＝30°，∠MCN＝∠BDC＝30°，∵∠MCN＝∠ACP，∴∠MCA+∠ACN＝∠ACN+∠NCP，∴∠MCA＝∠NCP，∴△AMC∽△PNC，∴，∵，∴CD＝CP，∴，∴AM，∴AM＝PN，∴AM+MB＝AB＝CD，∴PN+MB＝CD，∴（DN﹣DP）+MB＝CD，∴（DN﹣CD）+MB＝CD，即DN﹣CD+MB＝CD，∴DN+MB＝2CD．2．解：（1）∵∠ACB＝∠ADE＝90°，CA＝CB，DA＝DE，∴∠A＝∠B＝∠DEA＝45°，∴AB＝AC＝m，AE＝AD＝m，∴CD＝AC﹣AD＝m，BE＝AB﹣AE＝m，∴BE＝CD，∵∠A＝45°，∴直线CD与BE的夹角为45°，故答案为：BE＝CD，45°；（2）不满足，BE＝CD，直线CD与BE的夹角为30°，理由如下：如图2，过点C作CH⊥AB于H，延长CD、BE交于点F，∵CA＝CB，∴AH＝HB，∵∠ACB＝∠ADE＝120°，CA＝CB，DA＝DE，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∠DAE＝∠DEA＝30°，∴AC＝2CH，∠CAD＝∠BAE，由勾股定理得：AH＝AC，∴AB＝AC，同理可得：AE＝AD，∵∠CAD＝∠BAE，∴△CAD∽△BAE，∴＝＝，∠ACD＝ABE，∴BE＝CD，∠F＝∠CAB＝30°，∴BE＝CD，直线CD与BE的夹角为30°；（3）如图3，点E在线段BD上，∵m＝2，∴AD＝DE＝1，AB＝2，由勾股定理得：BD＝＝，∴BE＝BD﹣DE＝﹣1，∴CD＝BE＝，如图4，点D在线段BE上，BE＝BD+DE＝+1，∴CD＝BE＝，综上所述：当B，E，D三点共线．CD的长为或．3．（1）解：①∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠BAD＝∠ADC＝90°，∵DE⊥CF，∴∠DGF＝90°＝∠ADC，∴∠ADE+∠EDC＝90°＝∠EDC+∠DCF，∴∠ADE＝∠DCF，∴△ADE≌△DCF（ASA），∴DE＝CF，故答案为：1；②解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠FDC＝90°，AB＝CD＝m，∵CF⊥DE，∴∠DGF＝90°，∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，∴∠CFD＝∠AED，∵∠A＝∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴＝，故答案为：；（2）证明：如图所示，∠B+∠EGC＝180°，∠EGC+∠EGF＝180°，∴∠B＝∠EGF，在AD的延长线上取点M，使CM＝CF，则∠CMF＝∠CFM，∵AB∥CD，∴∠A＝∠CDM，∵AD∥BC，∴∠B+∠A＝180°，∵∠B＝∠EGF，∴∠EGF+∠A＝180°，∴∠AED＝∠CFM＝∠CMF，∴△ADE∽△DCM，∴，即；（3）解：过C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延长线于M，连接BD，设CN＝x，∵∠BAD＝90°，即AB⊥AD，∴∠A＝∠M＝∠CNA＝90°，∴四边形AMCN是矩形，∴AM＝CN，AN＝CM，在△BAD和△BCD中，，∴△BAD≌△BCD（SSS），∴∠BCD＝∠A＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC+∠CBM＝180°，∴∠MBC＝∠ADC，∵∠CND＝∠M＝90°，∴△BCM∽△DCN，∴，∴，∴CM＝x，在Rt△CMB中，CM＝x，BM＝AM﹣AB＝x﹣5，由勾股定理得：BM2+CM2＝BC2，∴（x﹣5）2+（x）2＝52，解得：x1＝0（舍去），x2＝8，∴CN＝8，∵∠A＝∠FGD＝90°，∴∠AED+∠AFG＝180°，∵∠AFG+∠NFC＝180°，∴∠AED＝∠CFN，∵∠A＝∠CNF＝90°，∴△AED∽△NFC，∴＝＝．4．解：（1）如图，∵∠ABC＝∠C＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵AD＝CE，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠EAC＝∠DBA，∵，∴点D是AC中点，且△ABC是等边三角形，∴∠DBA＝30°，∴∠EAC＝30°，∴∠BAE＝∠DBA＝30°，∴AF＝BF，∴，故答案为：1；（2）由（1）可得△ABD≌△CAE，∴∠EAC＝∠DBA，∵∠ADF＝∠BDA，∴△AFD∽△BAD；（3）由（1）可得△ABD≌△CAE，∴BD＝AE，∠EAC＝∠DBA，∴∠BFE＝∠DBA+∠BAF＝∠EAC+∠BAF＝∠BAD＝60°，设AF＝x，BF＝y，AB＝AC＝BC＝n，AD＝CE＝1，BD＝AE＝m，∵∠EAC＝∠DBA，∠ADB＝∠ADB，∴△ADF∽△BDA，∴，∴①，∵∠BFE＝∠C＝60°，∠DBC＝∠DBC，∴△BFE∽△BCD，∴，∴②，①÷②得：，∴，∵，即n＝4，∴．5．（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ADC∽△ACB．∴∠ADC＝∠ACB．（2）解：∵BC2＝AB•BD，∴．又∵∠B＝∠B，∴△ABC∽△CBD．∴∠ACB＝∠CDB．∵∠ADC+∠CDB＝180°，∠ADC＝∠ACB，∴∠ACB＝∠CDB＝∠ADC＝90°．（3）解：∵△BCD绕点C顺时针旋转得到△ECF，∴CE＝BC，∠E＝∠B．∵∠ACD＝∠B，∴∠ACD＝∠E．∴AC＝AE．∵∠ADC＝90°，∴CE⊥AB．∴CD＝DE＝CE．∴∵△ADC∽△ACB，∴．∴AD＝•AC＝1，在Rt△ADC中，．6．证明：（1）①∵四边形ABCD为矩形，DM⊥MN，∴∠A＝∠DMN＝90°，∵AB＝6，AD＝4，MN＝DM，∴，∴△ABD∽△MND；②∵四边形ABCD为矩形，DM⊥MN，∴∠ABC＝∠DMN＝90°，∴∠ABD+∠CBD＝90°，由①得△ABD∽△MND，∴∠ABD＝∠DNM，又∵∠MEB＝∠DEN，∴△MBE∽△DNE，∴，又∵∠MED＝∠BEN，∴△DME∽△NBE，∴∠NBE＝∠DME＝90°，∴∠CBN+∠CBD＝90°，∴∠CBN＝∠DNM；（2）如图②，过点N作NF⊥AB，交AB延长线于点F，连接AC，AN，则∠NF A＝90°，∵四边形ABCD为矩形，AD＝4，AB＝6，∴∠A＝∠ABC＝90°，BC＝AD＝4，，则∠ADM+∠AMD＝90°，∵AM＝4BM，AB＝6，∴AM＝AB＝，又∵DM⊥MN，∴∠DMN＝90°，∴∠AMD+∠FMN＝90°，∴∠ADM＝∠FMN，∴△ADM∽△FMN，∴，，∴MF＝6，FN＝，∴，∴，∵∠ABC＝∠AFN＝90°，∴△ABC∽△AFN，∴∠BAC＝∠F AN，∴A，C，N三点在同一条直线上．7．（1）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，EF＝FG，∵∠EFG＝90°，∴∠AFE+∠DFN＝90°，∠AFE+∠AEF＝90°，∴∠DFN＝∠AEF．∴△DFG≌△AEF（AAS），∴AF＝DG，AE＝DF，∴AE+DG＝AF+DF＝AD＝6；（2）证明：如图，延长NF，EA相交于H，∴∠HFE＝90°，∠HAF＝90°，∵∠HFE＝∠NFE，EF＝EF，∠HEF＝∠NEF，∴△HFE≌△NFE（ASA），∴FH＝FN，HE＝NE，∵∠AFH＝∠DFN，∠HAF＝∠D，∴△HF A≌△NFD（AAS），∴AH＝DN，∵EH＝AE+AH＝AE+DN，∴EN＝AE+DN；（3）解：如图，过点G作GP⊥AD交AD的延长线于P，∴∠P＝90°，∵MG2＝MN•MD，∴＝，∵∠GMN＝∠DMG，∴△MGN∽△MDG，∴∠GDM＝45°，∠PDG＝45°，∴△PDG是等腰直角三角形，PG＝PD，∵∠AFE+∠PFG＝90°，∠AFE+∠AEF＝90°，∴∠PFG＝∠AEF，∵∠A＝∠P＝90°，EF＝FG，∴△PFG≌△AEF（AAS），∴AF＝PG，AE＝PF，∴AE＝PD+DF＝AF+DF＝AD＝6．8．【问题背景】∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴△ABC∽△ADE．∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE，故答案为：①△ABD≌△ACE；②△ABC∽△ADE．【尝试应用】∵△ABC∽△ADE，∴，∠CAB＝∠EAD，∴∠CAE＝∠BAD，∴△ACE∽△ABD；【问题解决】连接CE，由【尝试应用】知，△ABD∽△ACE，∴∠ACE＝∠ABD＝∠ADE＝30°，∵∠AFD＝∠EFC，∴△ADF∽△ECF，∴，∵，∴，∵，∴．9．（1）解：△AEF是等腰直角三角形，理由如下：由旋转的性质可知：AF＝AE，∠F AE＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∠CAB＝45°，由（1）知∠AFE＝45°，∴∠P AG＝∠AFP＝45°，又∵∠APG＝∠FP A，∴△APG∽△FP A，∴，∴P A2＝PG•PF；（3）解：设正方形的边长为2a，∵将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，∴∠ABF＝∠D＝90°，DE＝BF，∵∠ABC＝90°，∴∠FBC＝180°，∴F，B，C三点共线，∵DE＝EC＝BF＝a，BC＝2a，∴CF＝3a，EF＝＝＝a，∵BG∥EC，∴BG：EC＝FB：CF＝FG：FE＝1：3，∴BG＝，AG＝，GE＝a，∵∠GAP＝∠EG＝45°，∠AGP＝∠EGA，∴△AGP∽△EGA，∴，∴AG2＝GP•GE，∴（）2＝（）×，∴a＝或a＝0（舍去），∴AG＝．10．解：（1）如图1，由题意可得：BD＝DF＝8，∵HF∥BC，∴∠HFD＝∠B，在△HFD和△GBD中，，∴△HFD≌△GBD（ASA），∴HF＝BG＝4，连接DE，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠BAC＝60°，∵AD＝AE＝4，∴△ADE是等边三角形，∴DE＝AD＝4，∠ADE＝60°，∴∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，∴DE∥FH，∵FH＝DE＝4，∴四边形DEFH是平行四边形，∴HE和DF互相平分，∵DA＝AF，∴HE经过点A，∴HE＝2AE＝8；（2）如图2，面积不变，理由如下：连接DE，作FK⊥BC于K，在Rt△BFK中，∠B＝60°，BF＝12+a，∴FK＝BF•sin60°＝，由（1）得，DE∥FH＝BC，∴△HDE∽△HGN，△HFD∽△GBD，∴，，∴，∴，∴，∴GN＝，∴S△HGN＝＝＝，11．解：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴AD＝2，；（2）①由翻折不变性可知：AF＝FH，AG＝GH，∠AFG＝∠GFH，∵FH∥AC，∴∠AGF＝∠GFH，∴∠AGF＝∠AFG，∴AG＝AF，∴AG＝AF＝FH＝HG，∴四边形AGHF是菱形；②∵FH∥AC，∴△FBH∽△ABC，∴，又∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，∴BH：FH：BF＝3：4：5，∴设BH＝3a，则FH＝AF＝4a，BF＝5a，∴4 a+5a＝10，∴，∴FH＝，即菱形的边长为；（3）在点P使得△CPH∽△DPE，理由如下：∵△CPH∽△DPE，∴，∵BH＝，∴CH＝，∴，∴．12．证明：（1）∴＝，两边都除以MH，得，；（2）如图1，作AE⊥BD于E，MF⊥BD于F，CG⊥BD于G，∴AE∥MF∥CG，∴，∵HH∥AB，∴，∴，同理可得：，由（1）得，，两边乘以，得，（3）如图2，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴，∵，∴，∵四边形DEFG是正方形，∴MN＝DE＝DG，∴，两边都除以DG，得，．13．（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°＝∠ACB，∵∠CBD＝∠ABC，∴△CBD∽△ABC，∴，∴BC2＝AB•BD；（2）①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴OC⊥BO，∠BCD＝90°，∴BC2＝BO•BD，∵CF⊥BE，∴BC2＝BF•BE，∴BO•BD＝BF•BE，即，∵∠OBF＝∠EBD，∴△BOF∽△BED；②解：在Rt△BCE中，∵BC＝6，CE＝2，∴BE＝＝2，∴DE＝4，BO＝3，由①知△BOF∽△BED，∴，∴，∴OF＝．14．（1）证明：如图①中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠C＝90°，AB∥CD，∴∠ABF＝∠CQB，由翻折的性质可知，∠E＝∠ABC＝90°∵PE∥BQ，∴∠AFB＝∠E＝90°，∴△AFB∽△BCQ；（2）证明：如图①中，设AB＝BC＝CD＝AD＝2a，∵Q是CD的中点，∴CQ＝QD＝a，∵∠C＝90°，∴BQ＝＝＝a，∵△AFB∽△BCQ，∴＝，∴＝，∴BF＝a，∴QF＝a，∴＝＝，∴BF＝QF；（3）解：如图②，建立如图平面直角坐标系，过点E作EH⊥AB于点T．∵BF＝FQ，FQ＝6，∴BF＝4，∴BQ＝BF+FQ＝4+6＝10，∴CQ＝2，AB＝BC＝CD＝AD＝4，∴Q（4，2），∴直线BQ的解析式为y＝x，∵∠EAT＝∠CBQ，∠ATE＝∠BCQ＝90°，∴△ATE∽△BCQ，∴＝＝，∴＝＝，∴AT＝8，ET＝4，∴BT﹣AB﹣AT＝4﹣8，∴E（4，4﹣8），∵D（4，4），∴直线DE的解析式为：y＝x+2﹣10，由，解得，∴G（4﹣4，2﹣2），∴S△BCG＝××（2﹣2）＝20﹣4．15．解：（1）①∵等边△ABC的边长为8，∴AC＝8，∵△APD∽△ACP，∴，∵AD＝2，∴，∴AP＝4，故答案为4；②∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝8，∠A＝∠B＝60°，∵△APD与△BPC相似，∴△APD∽△BPC或△APD∽△BCP，Ⅰ、当△APD∽△BPC时，，∴，∴AP＝，Ⅱ、当△APD∽△BCP时，，∴，∴AP＝4，即△APD与△BPC相似时，AP的长度为或4；（2）①∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝8，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵△APD与△BQC相似，∴△APD∽△BQC或△APD∽△BCQ，Ⅰ、当△APD∽△BQC时，∠APD＝∠BQC，∴∠PDC＝∠A+∠APD＝60°+∠APD＝60°+∠BQC，∴∠BQC＝∠PDC﹣60°，∴∠ACQ＝∠ACB﹣∠BCQ＝60°﹣（180°﹣∠B﹣∠BAC）＝∠B+∠BQC﹣120°＝60°+∠PDC﹣60°﹣120°＝∠PDC﹣120°，∴∠PDC+∠ACQ＝120°；Ⅱ、当△APD∽△BCQ时，∠APD＝∠BCQ，∴∠PDC＝∠A+∠APD＝60°+∠APD＝60°+∠BCQ，∴∠BCQ＝∠PDC﹣60°，∴∠ACQ＝∠ACB﹣∠BCQ＝60°﹣（∠PDC﹣60°）＝120°﹣∠PDC，∴∠ACQ+∠PDC＝120°，即满足条件的∠ACQ与∠PDC之间的数量关系是∠ACQ+∠PDC＝120°或∠PDC﹣∠ACQ＝120°；②线段EF的长是一个定值，为．如图，连接AE并延长至G，使AE＝GE，连接PG，QG，∵点E是DP的中点，∴DE＝PE，∵∠AED＝∠GEP，∴△AED≌△GEP（SAS），∴AE＝GE，PG＝AD＝2，∠ADE＝∠GPE，∴PG∥AD，∴∠QPG＝∠BAC＝60°，∵PQ＝2＝PG，∴△PQG为等边三角形，∴QG＝2，∠PQG＝60°＝∠B，∴QG∥BC，连接GF并延长交BC于H，∴∠FQG＝∠FCH，∵点F是CQ的中点，∴FQ＝FC，∵∠QFG＝∠CFH，∴△QFG≌△CFH（ASA），∴FG＝FH，CH＝QG＝2，连接AH，过点A作AM⊥BC于M，∴∠AMC＝90°，CM＝BC＝4，在Rt△AMC中，AC＝8，根据勾股定理得，AM2＝AC2﹣CM2＝82﹣42＝48，在Rt△AMH中，MH＝CM﹣CH＝2，根据勾股定理得，AH＝＝＝2，∵AE＝GE，FG＝FH，∴EF是△AHG的中位线，∴EF＝AH＝，即线段EF的长是一个定值．16．解：（1）∵AF⊥DE，∴∠ADE+∠DAF＝90°，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠DAF＝∠AED，∵∠ADE＝∠ABF＝90°，AD＝AB，∴△ADE≌△DAF（AAS），∴AF＝DE；（2）过点G作GM⊥BA交于点M，∵AF⊥EG，∴∠F AB+∠AEG＝90°，∵∠F AB+∠AFB＝90°，∴∠AEG＝∠AFB，∵∠GME＝∠ABF＝90°，∴△GME∽△ABF，∴＝，∵AD＝GM，∴；（3）连接AH，∵AG⊥GH，∴△AGH是直角三角形，∵HG＝5，GA＝7.5，∴AH＝，在Rt△ABH中，BH＝3，AH＝，∴AB＝，∵∠AGH＝90°，∴∠DGA+∠CGH＝90°，∵∠DGA+∠GAD＝90°，∴∠GAD＝∠CGH，∴△DAG∽△CGH，∴＝＝，∴＝＝，∴AD＝6，由（2）知，∴＝＝．17．解：（1）如图②，BF与CD交于点M，与DE交于点N，∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°，∵△ECF是等腰直角三角形，∴CF＝CE，∠ECF＝90°，∴∠BCD＝∠ECF，∴∠BCD+∠DCF＝∠ECF+∠DCF，∴∠BCF＝∠DCE，∴△BCF≌△DCE（SAS），∴BF＝DE，∠CBF＝∠CDE，∵∠BMC＝∠DMF，∠CBF+∠BMC＝90°，∴∠CDE+∠DMF＝90°，∴∠BND＝90°，∴BF⊥DE，故答案为：BF＝DE，BF⊥DE；（2）①如图③，，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∵∠ECF＝90°，∴∠BCD+∠DCF＝∠ECF+∠DCF，∴∠BCF＝∠DCE，∵，∴△BCF∽△DCE，∴＝；②如图③，连接BD，∵△BCF∽△DCE，∴∠CBF＝∠CDE，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝12，∵CE＝6，，∴＝，∴CF＝8，BC＝16，∵∠DBO+∠CBF+∠BDC＝∠BDO+∠CDE+∠BDC＝∠DBO+∠BDO＝90°，∴∠BOD＝90°，∴∠DOF＝∠BOE＝∠EOF＝90°，在Rt△DOF中，DF2＝OD2+OF2，在Rt△BOE中，BE2＝OB2+OE2，在Rt△DOB中，DB2＝OD2+OB2，在Rt△EOF中，EF2＝OE2+OF2，∴DF2+BE2＝OD2+OF2+OB2+OE2＝DB2+EF2，在Rt△BCD中，BD2＝BC2+CD2＝162+122＝400，在Rt△CEF中，EF2＝EC2+CF2＝62+82＝100，∴BD2+EF2＝400+100＝500，∴DF2+BE2＝500．18．解：（1）甲的做法正确，理由如下：∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC＝∠DFC＝90°，∵∠C＝90°，∴四边形DECF是矩形，∴∠EDF＝90°，DE∥BC，DF∥AC，∴，△AED∽△ACB，△BFD∽△BCA，即：AE＝CE，同理可得：BF＝CF，∴DF∥AC，EF∥AB，∴四边形AEFD是平行四边形，△CEF∽△CAB，同理可得：四边形DEFB是平行四边形，∴∠EFD＝∠A，∵∠AED＝∠EDF，∴△AED∽△FDE，∴四个小三角形与△ABC相似；（2）当时，△EDF∽△AFD∽△FEC，理由如下：∵△ADF∽△ACB，△DEB∽△ACB，∴①，②，得，，∴DE＝EF，∵DE∥AF，∴四边形ADFE是平行四边形，由（1）可得，△DEF和△CEF与△ABC相似，故答案是：；（3）如图，根据和AC和AB及AB的长度找出点D的位置，然后作DE∥AC交BC于E，作EF∥AB交AC于F，连接DF即可．19．解：（1）①∵O是BC的中点，∴OB＝OC，在△BOD和△COF中，，∴△BOD≌△COF（SAS），∴CF＝BD，∠OCF＝∠B，∵AD＝AE，AB＝AC，∴BD＝CE，∴CE＝CF，即：，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠OCF+∠ACB＝90°，∴∠ECF＝90°，∴△ECF是等腰直角三角形，故答案是：1，等腰直角三角形，解：（2）如图1，仍然成立，理由如下：连接BD，由（1）得：CF＝BD，CF∥BD，∴∠CFO＝∠DBO，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，∴∠CAE＝∠BAD，在△CAE和△BAD中，，∴△CAE≌△BAD（SAS），∴CE＝BD，∠ACE＝∠ABD，∴CE＝CF，∵∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠ACE+∠EAO+∠ABC＝90°，∴∠ABD+∠EAO+∠ABC＝90°，∴∠EAO+∠DBO＝90°，∴∠EAO+∠CFO＝90°，∴∠FCE＝90°，∴＝1，△ECF是等腰直角三角形；（3）如图2，连接BD，作AG⊥CD于G，设AD＝a，则AB＝，AC＝a，AE＝，由（2）得：∠CAE＝∠BAD，CF＝BD，∵，∴△CAE∽△BAD，∴，∠ACD＝∠ABD，∴，同理（2）得：∠CEF＝90°，∴∠ECF＝∠EAD＝90°，∴点C、A、B、D共圆，∴∠1＝∠ACG，∵AD＝a，AE＝，∠DAE＝90°，∴DE＝，由S△ADE＝得，AG＝a，∴sin∠ACD＝＝＝，∴sin∠1＝．20．（1）证明：∵∠ADC＝∠ACB，，∴△ADC∽△ACB，∴∠DAC＝∠CAB，∴AC平分∠DAB；（2）解：∵△ADC∽△ACB，∴，∴AC2＝AB×AD，∵AC＝8，AB＝12，∴64＝12AD，∴AD＝，故答案为：；（3）解：∵∠ACB＝90°，点E为AB的中点，∴AB＝2CE＝10，∴AC＝8，∵△ADC∽△ACB，∴AD＝＝6.4，由（1）知∠DAC＝∠EAC，∵CE＝AE，∴∠ECA＝∠EAC，∴∠DAC＝∠ECA，∴△AFD∽△CFE，∴．。

中考数学总复习《销售问题(实际问题与二次函数)》专题训练(附带答案)

中考数学总复习《销售问题(实际问题与二次函数)》专题训练(附带答案)

中考数学总复习《销售问题（实际问题与二次函数）》专题训练(附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．某商店销售2022年卡塔尔世界杯吉祥物拉伊卜毛绒钥匙扣，经市场调查发现：该商品的周销售量y （件）是售价x 元/件的一次函数，其解析式为2180y x =-+，当售价为50元/件时，周销售利润w 为800元．注：周销售利润＝周销售量×（售价-进价）(1)求该钥匙扣的进价和周销售的最大利润．(2)由于某种原因，该商品进价提高了m 元/件，物价部门规定该商品售价不得超过62元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足原来的一次函数关系．若周销售最大利润是1120元，求m 的值．2．某超市经销一种销售成本为每件20元的商品．据市场调查分析，如果按每件30元销售，一周能售出500件，若销售单价每涨1元，每周的销售量就减少10件．设销售单价为每件x 元(x≥30),一周的销售量为y 件．(1)写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；(2)该超市想通过销售这种商品一周获得利润8000元，销售单价应定为多少？3．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件.（1）每件童装降价多少元时，能更多让利于顾客并且商家平均每天能赢利1200元.（2）为了获得最大利润，应该降价多少？最大利润是多少？4．红布李（李子的一种）含有丰富的营养成分，并且具有养生和美颜的功效，所以自古就被冠以“五果之首”，深受人们的喜爱，光明村种植有大片的红布李，某“乡村振兴”电商平台为光明村农户销售红布李，运营成本为每千克3元，除去运营成本余下的收入都归农户所有，在销售过程中要求农户的保底收入为3元/千克，且售价不超过15元/千克.市场调查发现，每周的红布李销售量y（千克）与售价x（元/千克）（x为正整数）之间满足某种函数关系如图所示.(1)请直接写出y与x之间的函数关系式，并注明x的取值范围；(2)求当红布李的售价为多少元时，光明村农户一周的收入最大?最大收入是多少元?(3)今年七月下旬天晴少雨，气温持续在37℃上下，红布李成熟非常快，根据光明村这一时期红布李的产量，一周的销售量不少于6000千克，求本周光明村农户获得的最大收入和红布李售价分别为多少元?5．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y(千克)与售价x元/(千克)满足一次函数关系，对应关系如下表售价x (元/千克)50607080……销售量y (千克)100908070……(1)求y与x的函数关系式；(2)该批发商若想获得3600元的利润，应将售价定为多少元？(3)该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w元最大？此时的最大利润为多少元？6．某超市采购了两批同样的记念品挂件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，已知第一批每个挂件的进价是第二批的1.1倍、且第二批比第一批多购送25个．(1)求第二批每个挂件的进价；(2)两批挂件售完后，该超市以第二批每个挂件的进价又采购一批同样的挂件，经市场调查发现，当售价为每个60元时，每周能卖出40个，若每降价1元，每周多卖10个，由于货源紧缺，每周最多能卖90个，求每个挂件售价定为多少元时，每周可获得最大利润，最大利润是多少？7．某水果批发店销售一种优质水果，已知这种优质水果的进价为10元/千克．经市场调查发现：若售价为12元/千克时，每天的销售量为180千克；若售价每千克提高1元，每天的销售量就会减少10千克．设每天的销售量为y千克，每千克的售价为x元．请解答以下问题：(1)补全下列表格：进价（元/千克）10101010售价（元/千克）121317x涨价（元/千克）01______________________销售量（千克）180_________________________________(2)为让利给顾客，当这种优质水果售价为___________元时，每天可获得利润960元．(3)当售价定为多少元时，每天可获得最大利润，并求出最大利润是多少？8．中国传统手工艺品，如中国结、油纸伞、团扇等，是先民智慧和勤劳的结晶，是中华传统文化的表达方式之一，也是各地传统风俗的体现．某工艺品店购进一批团扇，每把进价为20元，按每把25元销售，每月可售出210把．现店方想采用提高售价的方法来增加利润（售价不超过32元）．经试验，每把团扇的售价每提高1元，每月就会少卖出10把．(1)求每月团扇的销售量y（把）与每把售价x（元）之间的函数关系式．(2)当每把团扇的售价定为多少时，每月的销售利润w（元）最大？最大利润为多少？9．某商店经营一种小商品，进价为每件20元，据市场分析，在一个月内，售价定为25元时，可卖出105件，而售价每上涨1元，就少卖5件．（1）当售价定为30元时，一个月可获利多少元？（2）当售价定为每件多少元时，一个月的获利最大？最大利润是多少元？10．某公司研发了一款产品投放市场，已知每件产品的成本为80元，试销售一段时间后统计每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间的部分数据如下表：售价x（元/件）8090100110⋅⋅⋅销售量y（件）800600400200⋅⋅⋅(1)根据表中数据，求出y与x之间满足的函数关系式；(2)物价部门规定单件利润率不超过15%．在（1）的条件下，当产品售价不低于成本时，售价定为多少元，公司每天获得的利润最大？求出最大值．11．一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件服装降价x元(1)则每天销售量增加________件，每件服装盈利________元（用含x的代数式表示）；(2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？(3)求其最大利润．12．某玩具批发商销售每只进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每只50元的价格销售，平均每天销售90只，单价每提高1元，平均每天就少销售3只．(1)平均每天的销售量y（只）与销售价x（元/只）之间的函数关系式．(2)物价部门规定每只售价不得高于55元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少元？13．唐山世园会期间，游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施．若不计维修保养费用，预计开放后每月可创收31万元．而该游乐场开放后，从第1个月到第x个月的维修保养费用累计为y(万元)，且y＝ax2＋bx．若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益g(万元)，g也是关于x的二次函数．(1)若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元，求y关于x的解析式；(2)求纯收益g关于x的解析式；(3)问设施开放几个月后，游乐场的纯收益达到最大？并求出最大收益．14．为实现脱贫奔小康，景颇新村在驻村工作队的帮扶下，引进种植了褚橙。

中考数学总复习第1编知识梳理篇第3章函数及其图象第11讲二次函数及其应用(精练)试题(new)

中考数学总复习第1编知识梳理篇第3章函数及其图象第11讲二次函数及其应用(精练)试题(new)

第十一讲二次函数及其应用第1课时二次函数1．(2017随州中考）对于二次函数y＝x2－2mx－3,下列结论错误的是( C)A．它的图象与x轴有两个交点B．方程x2－2mx＝3的两根之积为－3C．它的图象的对称轴在y轴的右侧D．x＜m时，y随x的增大而减小2．在下列二次函数中，其图象对称轴为x＝－2的是( A）A．y＝(x＋2)2B．y＝2x2－2C．y＝－2x2－2 D．y＝2(x－2)23．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图,点C在y轴的正半轴上，且OA＝OC，则( A）A．ac＋1＝b B．ab＋1＝cC．bc＋1＝a D．以上都不是,（第3题图））,（第4题图)）4．（2017齐齐哈尔中考)如图,抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－2,与x 轴的一个交点在(－3,0）和(－4，0)之间，其部分图象如图所示,则下列结论：①4a－b＝0;②c＜0；③－3a＋c＞0;④4a－2b＞at2＋bt(t为实数);⑤点错误!，错误!，错误!是该抛物线上的点,则y1＜y2＜y3,正确的个数有( B）A．4个B．3个C．2个D．1个5．（2017安顺中考）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，给出下列四个结论：①4ac－b2＜0；②3b＋2c＜0；③4a＋c＜2b；④m（am＋b）＋b＜a（m≠1)，其中结论正确的个数是（C）A．1 B．2 C．3 D．4，(第5题图)）,(第6题图)) 6．如图为二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象，则下列说法:①a＞0;②2a＋b＝0;③a＋b＋c＞0；④当－1＜x＜3时，y＞0其中正确的个数为( C）A．1 B．2 C．3 D．47．若抛物线y＝（x－m）2＋（m＋1)的顶点在第一象限，则m的取值范围为（B) A．m＞1 B．m＞0C．m＞－1 D．－1＜m＜08．（2017扬州中考)如图，已知△ABC的顶点坐标分别为A（0，2），B（1，0)，C(2,1),若二次函数y＝x2＋bx＋1的图象与阴影部分（含边界)一定有公共点，则实数b的取值范围是（C)A．b≤－2 B．b＜－2C．b≥－2 D．b＞－29．(2017枣庄中考）已知函数y＝ax2－2ax－1（a是常数，a≠0)，下列结论正确的是（D)A．当a＝1时，函数图象经过点(－1，1)B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大10．(2017鄂州中考)如图抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于A（－2,0)和点B,交y 轴负半轴于点C,且OB ＝OC. 下列结论:①2b－c＝2；②a＝错误!;③ac＝b－1；④错误!＞0.其中正确的个数有（C)A．1个B．2个C．3个D．4个11．（2017陕西中考)已知抛物线y＝x2－2mx－4(m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为( C)A．(1，－5) B．（3，－13)C．(2，－8）D．(4，－20）12．抛物线y＝x2＋2x＋3的顶点坐标是__(－1，2）__．13．二次函数y＝3x2的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上,点B，C在二次函数y＝错误!x2的图象上,四边形OBAC为菱形，且∠OBA＝120°,则菱形OBAC的面积为__2错误!__．，(第13题图）) ,（第14题图)) 14．(2017乌鲁木齐中考）如图,抛物线y＝ax2＋bx＋c过点（－1，0），且对称轴为直线x＝1，有下列结论：①abc＜0；②10a＋3b＋c＞0；③抛物线经过点（4，y1)与点(－3，y2)，则y1＞y2；④无论a，b,c取何值，抛物线都经过同一个点错误!；⑤am2＋bm＋a≥0，其中所有正确的结论是__②④⑤__．15．(2017鹤岗中考）如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于点A,B两点，与y 轴交于C点，点B的坐标为(3,0），抛物线与直线y＝－错误!x＋3交于C，D两点．连结BD，AD.（1)求m的值；(2）抛物线上有一点P,满足S△ABP＝4S△ABD,求点P的坐标．解：（1)∵抛物线y＝－x2＋mx＋3过(3，0），∴0＝－9＋3m＋3,∴m＝2；(2）由错误!得错误!错误!∴D错误!.∵S△ABP＝4S△ABD，∴错误!AB×|y P|＝4×错误!AB×错误!，∴｜y P|＝9,y P＝±9，当y＝9时，－x2＋2x＋3＝9,无实数解，当y＝－9时，－x2＋2x＋3＝－9，x1＝1＋13，x2＝1－错误!,∴P(1＋错误!，－9)或(1－错误!,－9)．16．（2017随州中考)在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax－a为抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b,c为常数，a≠0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上,另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形"．备用图已知抛物线y＝－错误!x2－错误!x＋2错误!与其“梦想直线”交于A，B两点(点A在点B 的左侧)，与x轴负半轴交于点C.(1）填空：该抛物线的“梦想直线”的表达式为________,点A的坐标为________,点B 的坐标为________；（2)如图，点M为线段CB上一动点,将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时,在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A,C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E,F的坐标；若不存在，请说明理由．解:（1）y＝－错误!x＋错误!；（－2，2错误!）；（1,0）；（2)如答图①，过A作AD⊥y轴于点D。

九年级中考数学复习专题十 几何动态探究题

九年级中考数学复习专题十 几何动态探究题

专题十几何动态探究题1. 如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，点E，F分别是边AB，BC上的动点，在运动过程中，始终保持AE＝BF，若AB＝2，则EF的取值范围为________．第1题图2.如图，在三角形纸片ABC中，点D是BC边上一点，连接AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点G，连接BE交AD于点F，若DG＝GE，AF＝3，BF＝2，△ADG的面积为2，则点F到BC的距离为________．第2题图3. 如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝4 cm，∠BAC＝90°，O为边BC上一点，OA＝OB＝OC，点M、N分别在边AB、AC上运动，且始终保持AN＝BM.在运动过程中，四边形AMON的面积为________cm2.第3题图4. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF.则线段OF长的最小值为________．第4题图5. 如图，在△ABC中，AB＞AC，∠B＝45°，AC＝5，BC＝42，则AB的长为________；若E是AB边上一点，将△BEC沿EC所在直线翻折得到△DEC，DC交AB于点F，当DE∥AC时，tan∠BCD的值为________．第5题图6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4 cm，将△ABC绕点A顺时针旋转30°得到△AB′C′，直线BB′、CC′交于点D，则CD的长为________cm.第6题图7. 如图，四边形ABCD是正方形，且AB＝2，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转后得到正方形AEFG，在旋转过程中，当点A、G、C三点共线时，则点F到BC的距离为________．第7题图8.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一个动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是________．第8题图9. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，将△ABD沿射线BD平移，得到△EGF，连接EC，GC.则EC＋GC的最小值为________．第9题图10. 如图，在菱形ABCD 中，tan A ＝43，M ，N 分别在边AD ，BC 上，将四边形AMNB 沿MN 翻折，使AB 的对应线段EF 经过顶点D ，当EF ⊥AD 时，BN CN的值为________．第10题图11.如图，在△ABC 中，已知AD 是BC 边上的中线，∠ADC ＝60°，BC ＝3AD.将△ABD 沿直线AD 翻折，点B 落在平面上的点B ′处，连接AB ′交BC 于点E ，那么CE ∶BE 的值为________．第11题图12.如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝2，∠ABC ＝45°，点E 为射线AD 上一动点，连接BE ，将BE 绕点B 逆时针旋转60°得到BF ，连接AF ，则AF 的最小值是________．第12题图13. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M 为AD 的中点，点N 为AB 上一点，连接MN ，CN ，将△AMN 沿直线MN 折叠后，点A 恰好落在CN 上的点P 处，则CN 的长为________．第13题图14. 如图，在▱ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，AC ⊥AB ，△ACD 沿AC 的方向以每秒1个单位的速度平移得到△EFG (点E 在线段AC 上，运动到点C 停止运动，且不与点A 重合)，同时，点H 从点C 出发以相同的速度沿CB 方向移动，当△EFG 停止平移时，点H 也停止移动，连接EH ，GH ，当EH ⊥GH 时，AE BH的值为________．第14题图15.如图，在正方形ABCD中，E是线段CD上一点，连接AE，将△ADE沿AE翻折至△AEF，连接BF并延长BF交AE延长线于点P，当PF＝22BF时，DECD＝________．第15题图16. 如图，在边长为6的菱形ABCD中，AC为其对角线，∠ABC＝60°，点M、N分别是边BC、CD上的动点，且MB＝NC.连接AM、AN、MN，MN交AC于点P，则点P到直线CD的距离的最大值为________．第16题图17. 如图，在边长为6的等边△ABC中，点D在边AC上，AD＝1，线段PQ在边AB上运动，PQ＝1，则四边形PCDQ面积的最大值为________；四边形PCDQ周长的最小值为________．第17题图18.如图，在矩形ABCD中，AB＝9，BC＝12，F是边AD上一点，连接BF，将△ABF沿BF折叠使点A落在G点，连接AG并延长交CD于点E，连接GD.若△DEG是以DG为腰的等腰三角形，则AF的长为________．第18题图19. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝8，F为AC中点，D是线段AB上一动点，连接CD，将线段CD绕点C沿逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接EF，则点D在运动过程中，EF的最大值为________，最小值为________．第19题图20. 如图①，把一张正方形纸片对折得到长方形ABCD，再沿∠ADC的平分线DE折叠，如图②，点C落在点C′处，最后按图③所示方式折叠，使点A落在DE的中点A′处，折痕是FG.若原正方形．．．．纸片的边长为6 cm，则FG＝________ cm.第20题图21. 如图，在△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝120°，CD⊥AB，点P是直线CD上一点，连接P A，将线段P A绕点P逆时针旋转120°得到P A′，点M、N分别是线段AC、P A′的中点，连接MN，则线段MN的最小值为________．第21题图22. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是AB边上一点，且AE＝4，点F是BC边上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为点G，连接AG、CG，则四边形AGCD面积的最小值为________，此时BF的长为________．第22题图专题十几何动态探究题1. 3≤EF≤2【解析】如解图，连接BD，过点D作DH⊥AB，垂足为点H，∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，∴∠A＝∠DBA＝∠C＝60°，AB＝BD＝BC，∵AE＝BF，∴BE＝CF，∴△DBE≌△DCF(SAS)．∴DE＝DF，∠BDE＝∠CDF，∵∠EDF＝∠EDB＋∠BDF＝∠CDF＋∠BDF＝60°，∴△DEF 是等边三角形，∴EF＝DE，当点E与点H重合时，DE的值最小，此时DE＝AD·sin A＝3，当点E与点A (或点B )重合时，DE 的长最大，此时DE ＝2，∴EF 的取值范围为3≤EF ≤2. 第1题解图 2. 255 【解析】∵DG ＝GE ，∴S △ADG ＝S △AEG ＝2，∴S △ADE ＝4，由翻折的性质得△ADB ≌△ADE ，BE ⊥AD ，∴S △ABD ＝S △ADE ＝4，∠BFD ＝90°，∴12(AF ＋DF )·BF ＝4，即12(3＋DF )×2＝4，∴DF ＝1，∴DB ＝BF 2＋DF 2＝22＋12＝5，设点F 到BD 的距离为h ，则有12BD ·h ＝12BF ·DF ，即12×5·h ＝12×2×1，∴h ＝255.3. 4 【解析】∵AC ＝AB ，∠BAC ＝90°，∴∠B ＝∠C ＝45°，∵OA ＝OB ＝OC ，∴∠BAO ＝∠CAO ＝45°，∠AOB ＝∠AOC ＝90°，∴∠B ＝∠BAO ＝∠CAO ，在△AON 和△BOM 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OB ∠CAO ＝∠B AN ＝BM，∴△AON ≌△BOM (SAS)，∴S △AON ＝S △BOM ，∴S △AON ＋S △AOM ＝S △BOM ＋S △AOM ，即S 四边形AMON ＝S △AOB ，∴S 四边形AMON ＝12S △ABC ＝12×12×4×4＝4 cm 2.4. 210－2 【解析】如解图，连接DO ，将线段DO 绕点D 逆时针旋转90°得到DM ，连接FM ，OM ，∵ ∠EDF ＝ ∠ODM ＝90°，∴ ∠EDO ＝∠FDM ，在△EDO 与△FDM 中，⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝DF ∠EDO ＝∠FDM DO ＝DM，∴ △EDO ≌△FDM (SAS) ，∴ FM ＝OE ＝2，∵在正方形ABCD 中，AB ＝4，O 是BC 边的中点，∴ OC ＝2，∴OD ＝42＋22＝2 5 ，∴OM ＝2OD ＝210，∵OF ≥OM －MF ，∴OF ≥210－2 ，∴线段OF 长的最小值为210－2.第4题解图5. 7；34 【解析】如解图，过点A 作AM ⊥BC 于点M .在Rt △ABM 中，∵∠AMB ＝90°，∠B ＝45°，∴BM ＝AM ，AB ＝2AM ，设AM ＝BM ＝x ，在Rt △AMC 中，∵AC 2＝AM 2＋CM 2，∴52＝x 2＋(42－x )2，解得x＝722或22(舍)，∴AB ＝2x ＝7.过点F 作FN ⊥BC 于点N .∵DE ∥AC ，∴∠ACF ＝∠D ＝∠B ，∵∠CAF ＝∠CAB ，∴△ACF ∽△ABC ，∴AC AB ＝AF AC ，∴AC 2＝AF ·AB ，∴AF ＝257，∴BF ＝AB －AF ＝7－257＝247，∴BN ＝FN ＝1227，∴CN ＝BC －BN ＝42－1227＝1627，∴tan ∠BCD ＝FN CN ＝12271627＝34.第5题解图6. 2 6 cm 【解析】如解图，过点C 作CE ⊥BD 交DB 的延长线于点E ，由旋转的性质得∠B ′AB ＝∠C ′AC＝30°，AB ′＝AB ，AC ′＝AC ，∴∠B ′BA ＝∠C ′CA ＝12×(180°－30°)＝75°，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝4cm ，∴∠ABC ＝∠BAC ＝45°，∠DCB ＝90°－∠C ′CA ＝15°，∴∠CDE ＝180°－∠B ′BA －∠ABC －∠DCB ＝180°－75°－45°－15°＝45°，∴∠DCE ＝∠CDE ＝45°，DE ＝CE ，∴∠BCE ＝∠DCE －∠DCB ＝45°－15°＝30°，在Rt △BCE 中，BC ＝4 cm ，∠BCE ＝30°，∴BE ＝12BC ＝2 cm ，∴CE ＝BC 2－BE 2＝42－22＝2 3 cm ，∴CD ＝CE cos45°＝2322＝2 6 cm.第6题解图7. 2－2或2＋2 【解析】由旋转的性质可知AG ＝FG ＝AB ＝2，AF ＝2AG ＝2.分两种情况讨论：①如解图①，当点G 在线段AC 上时，连接AC ，BF ，可知点B 在线段AF 上，即点F 到BC 的距离为BF 的长，∴BF ＝AF －AB ＝2－2；②如解图②，当点G 在CA 的延长线上时，连接AC ，AF ，此时点F 在BA 的延长线上，即点F 到BC 的距离为BF 的长，∴BF ＝AB ＋AF ＝2＋ 2.综上所述，点F 到BC 的距离为2－2或2＋ 2.图①图②第7题解图8. 7－1 【解析】如解图①，以点M 为圆心，AM 长为半径作圆，过点M 作MH ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，连接MC ，∵菱形ABCD 的边长为2，∠DAB ＝60°，M 是AD 的中点，∴MA ＝MA ′＝MD ＝12AD ＝1，∴点A ′在⊙M 上运动，由解图①得，只有当A ′运动到与点M 、C 三点共线时，A ′C 的长度最小，∵CH ∥AB ，∴∠MDH ＝∠DAB ＝60°，在Rt △MDH 中，DH ＝MD ·cos ∠MDH ＝12，MH ＝MD ·sin ∠MDH ＝32，在Rt △MHC 中，HC ＝DH ＋DC ＝12＋2＝52，由勾股定理得MC ＝HC 2＋MH 2＝7，此时A ′C ＝MC －MA ′＝7－1，即A ′C 长度的最小值为7－1.第8题解图①【一题多解】如解图②，连接MC ，过点M 作MH ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，由题意可知，MA ＝MA ′＝12AD ，在△ MA ′C 中，由三角形三边关系可知，一定存在MA ′＋A ′C ≥MC ，∴当点M 、A ′、C 三点共线时，A ′C 的长度最小，此时A ′C ＝MC －MA ′，其余解法同上．第8题解图②9. 45 【解析】如解图，连接AE 并延长，作点D 关于AE 的对称点H ，连接EH ，ED ，过点H 作HM ⊥CD ，与CD 的延长线交于点M ，则DE ＝EH ，∵△ABD 沿射线BD 平移得△EGF ，∴AE ∥BD ，AB ＝EG ，AB ∥EG ，∵AB ∥CD ，AB ＝CD ＝4，∴EG ∥CD ，EG ＝CD ＝4，∴四边形CDEG 是平行四边形，∴CG ＝DE ＝EH ，∴当点C ，E ，H 三点共线时，EC ＋GC 取得最小值，最小值为CH 的长．∵AE ∥BD ，AB ∥CD ，∴四边形ABDM 为平行四边形，∴DM ＝AB ＝4，∠DAM ＝45°，∴∠ADH ＝45°，∴∠MDH ＝45°，∴DM ＝HM ＝4，∴CH ＝CM 2＋HM 2＝（4＋4）2＋42＝45，∴EC ＋GC 的最小值为4 5.第9题解图10. 27 【解析】如解图，延长NF 与DC 交于点H .由折叠的性质得∠E ＝∠A ，∠EFN ＝∠B ，EM ＝AM ，EF ＝AB .∵EF ⊥AD ，∴∠MDE ＝90°.在Rt △MDE 中，tan E ＝DM DE ＝tan A ＝43，设DM ＝4k ，则DE ＝3k ，EM＝5k .∴AM ＝5k ，AD ＝9k .∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝CD ＝BC ＝AD ＝9k ，∠C ＝∠A ，AB ∥CD ，AD ∥BC .∴∠A ＋∠ADC ＝180°，∠A ＋∠B ＝180°.∵∠ADF ＝90°，∴∠A ＋∠FDH ＝90°.∵∠DFH ＋∠EFN ＝180°，∠A ＋∠B ＝180°，∠EFN ＝∠B ，∴∠A ＝∠DFH .∴∠DFH ＋∠FDH ＝90°.∴∠DHF ＝90°.∵EF ＝AB ＝9k ，DE ＝3k ，∴DF ＝6k .在Rt △DHF 中，tan ∠DFH ＝tan A ＝43，易得sin ∠DFH ＝45，∴DH ＝DF ·sin ∠DFH ＝245k .∴HC ＝9k －245k ＝215k .在Rt △CHN 中，tan C ＝ tan A ＝43，易得cos C ＝35.∴NC ＝HC cos C ＝7k .∴BN ＝9k －7k ＝2k .∴BN CN ＝2k 7k ＝27.第10题解图11. 37 【解析】如解图，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，过点B ′作B ′G ⊥BC 于点G ，∵∠ADC ＝60°，∴∠ADB ＝120°，由折叠的性质得，∠ADB ′＝120°，∠CDB ′＝60°，B ′D ＝BD ，∵BC ＝3AD ，AD 是BC 边上的中线，∴设AD ＝m ，则BC ＝3m ，BD ＝B ′D ＝32m ，在Rt △ADF 中，DF ＝AD ·cos60°＝12m ，AF ＝AD ·sin60°＝32m ，∴BF ＝BD ＋DF ＝2m ，CF ＝BC －BF ＝m ，在Rt △B ′DG 中，DG ＝B ′D ·cos60°＝34m ，B ′G ＝B ′D ·sin60°＝334m ，∴FG ＝DG －DF ＝14m ，∵AF ⊥BC ，B ′G ⊥BC ，∴AF ∥B ′G ，∴△AFE ∽△B ′GE ∴FE GE ＝AF B ′G ＝32m334m＝23，∵FE ＋GE ＝FG ＝14m ，∴FE ＝110m ，∴BE ＝BF ＋FE ＝2110m ，CE ＝CF －FE ＝910m ，∴CE BE ＝910m 2110m ＝37.第11题解图12. 6＋22 【解析】如解图，以AB 为边向下作等边△ABK ，连接EK ，在EK 上取一点T ，连接AT ，使得TA ＝TK .由旋转的性质得BE ＝BF ，∠EBF ＝60°，∵△ABK 为等边三角形，∴BK ＝BA ，∠EBF ＝∠ABK ＝60°，∴∠ABF ＝∠KBE ，∴△ABF ≌△KBE (SAS)，∴AF ＝EK ，根据垂线段最短可知，当KE ⊥AD 时，KE 的值最小，即AF 最小．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠BAD ＝180°－∠ABC ＝135°，∵∠BAK ＝60°，∴∠EAK ＝75°，∵∠AEK ＝90°，∴∠AKE ＝15°，∵TA ＝TK ，∴∠TAK ＝∠AKT ＝15°，∴∠ATE ＝∠TAK ＋∠AKT ＝30°，设AE ＝a ，则AT ＝TK ＝2a ，ET ＝3a ，在Rt △AEK 中，AE 2＋EK 2＝AK 2，∴a 2＋(2a ＋3a )2＝22，∴a ＝6－22，∴EK ＝2a ＋3a ＝6＋22，∴AF 的最小值为6＋22.第12题解图13. 133 【解析】如解图，连接CM ，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，∴AD ＝BC ＝4，CD ＝AB ＝3，∠D ＝90°，由折叠的性质得，AM ＝PM ，∠MPN ＝∠A ＝90°，∠AMN ＝∠PMN ，∴∠CPM ＝90°，∵点M 为AD 的中点，∴AM ＝DM ＝12AD ＝2，∴PM ＝AM ＝DM ＝2，在Rt △CPM 与Rt △CDM 中，⎩⎪⎨⎪⎧PM ＝DM CM ＝CM，∴Rt △CPM ≌Rt △CDM (HL)，∴CP ＝CD ＝3，∠CMP ＝∠CMD ，∴∠NMC ＝∠NMP ＋∠CMP ＝12(∠AMP ＋∠DMP )＝90°，∴CM ＝DM 2＋CD 2＝22＋32＝13，∵∠CPM ＝∠CMN ＝90°，∠MCP ＝∠NCM ，∴△CMP ∽△CNM ，∴CM CN ＝CP CM ，即13CN ＝313，∴CN ＝133.第13题解图14. 37 【解析】如解图，过点E 作EM ⊥BC 的于点M ，过点G 作GN ⊥BC 交BC 的延长线于点N ，∴四边形EMNG 是矩形，∴EG ＝MN ＝5，EM ＝GN ，∵∠BAC ＝∠EMH ＝90°，∠ACB ＝∠MCE ，∴△ABC ∽△MEC ，∴AB ME ＝BC EC ＝AC MC ，∵AB ＝3，BC ＝5，在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ＝4，设运动时间为t (0＜t ≤4)，则AE ＝CH ＝t ，CE ＝4－t ，∴3ME ＝54－t ＝4MC ，∴EM ＝12－3t 5，CM ＝16－4t 5，∴HN ＝5－MH ＝5－(CM －CH )＝5－(16－4t 5－t )＝9＋9t 5.∵EH ⊥GH ，∴∠EHG ＝90°，∴∠EHM ＋∠GHN ＝90°，又∵EM ⊥BC ，∴∠EHM ＋∠MEH ＝90°，∴∠GHN ＝∠MEH ，又∵∠EMH ＝∠HNG ＝90°，∴△EMH ∽△HNG ，∴EM HN ＝MH NG ，即12－3t 59＋9t 5＝16－4t5－t 12－3t 5，整理得2t 2－3t ＝0，解得t ＝32或t ＝0(舍去)，即AE ＝32，BH ＝5－CH ＝5－32＝72，∴AE BH ＝3272＝37.第14题解图15. 2－1 【解析】如解图，过点A 作AM ⊥BP 于点M ，过点E 作EN ⊥BP 于点N .∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝AB ，∠BAD ＝90°，由翻折的性质得AD ＝AF ，∠DAE ＝∠EAF ，∴AB ＝AF ，∵AM ⊥BF ，∴BM ＝FM ，∠BAM ＝∠FAM ，∴∠PAM ＝∠PAF ＋∠FAM ＝12∠BAD ＝45°，∵∠AMP ＝90°，∴∠P ＝∠PAM＝45°，∴AM ＝MP ，设BF ＝2a ，则BM ＝MF ＝a ，PF ＝22BF ＝2a ，∴AM ＝PM ＝FM ＋PF ＝a ＋2a ，∵∠AMF ＝∠AFE ＝∠ENF ＝90°，∴∠AFM ＋∠EFN ＝90°，∠EFN ＋∠FEN ＝90°，∴∠AFM ＝∠FEN ，∴△AMF ∽△FNE ，∴AM FM ＝FN EN ＝a ＋2aa ＝1＋2，设EN ＝PN ＝x ，则FN ＝(1＋2)x ，∴(1＋2)x ＋x ＝2a ，∴x ＝(2－1)a ，∴EN ＝(2－1)a ，∴EF AF ＝EN FM ＝（2－1）a a＝2－1，∵CD ＝AD ＝AF ，DE ＝EF ，∴DE CD ＝EFAF ＝2－1.第15题解图16. 334 【解析】如解图，过点P 作PE ⊥CD 于点E .∵∠ABC ＝60°，AB ＝BC ，∴△ABC 为等边三角形，∠ACB ＝∠ACD ＝60°，在△ABM 和△ACN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠ABM ＝∠ACN ，BM ＝CN∴△ABM ≌△ACN (SAS)，∴AM ＝AN ，∠BAM ＝∠CAN ，∴∠MAN ＝∠BAM ＋∠MAC ＝60°，∴△AMN 为等边三角形，∵∠B ＝∠ACB ＝∠AMP ＝60°，∴∠BAM ＋∠BMA ＝∠BMA ＋∠CMP ＝180°－60°＝120°，∴∠BAM ＝∠CMP ，∠BMA ＝∠CPM ，∴△BAM ∽△CMP ，∴BA BM ＝CM CP ，设BA 长为a ，BM 长为x ，则CM ＝a －x ，∴a x ＝a －xCP ，∴a ·CP ＝x (a －x )＝－x 2＋ax ＝－(x －a 2)＋a 24，∴CP ＝－1a (x －a 2)＋a 4，∴当x ＝a 2时，CP 最长，即当AM ⊥BC 时，△AMN 边长最小，此时CP 最长，满足条件，∵AB ＝AC ，AM ⊥BC ，∴BM ＝MC ＝3，∠CMP ＝30°，∠CPM ＝90°，∴PC ＝12MC ＝32，在Rt △PCE 中，∵∠ACD ＝60°，∴PE ＝PC ·sin60°＝334.第16题解图17. 3134；6＋39 【解析】设AQ ＝x ，则S 四边形PCDQ ＝S △ABC －S △ADQ －S △BCP ＝34×62－12·x ·32×1－12×(6－x －1)×32×6＝332＋534x ，∵x 的最大值为6－1＝5，∴当x ＝5时，S 四边形PCDQ 最大，最大值为332＋534×5＝3134；如解图，作点D 关于AB 的对称点D ′，连接D ′Q ，以D ′Q 、PQ 为边作平行四边形PQD ′M ，则DQ ＝D ′Q ＝MP ，∴C 四边形PCDQ ＝PM ＋PC ＋PQ ＋DC ，DD ′＝2AD ·sin60°＝3，D ′M ＝PQ ＝1，过点C 作CH ⊥AB ，交AB 于点H ，交D ′M 的延长线于点N ，则∠N ＝90°，CH ＝BC ·sin60°＝33，NH ＝12DD ′＝32，∴MN ＝AH －D ′M －AD ·cos60°＝AC ·cos60°－1－12＝3－1－12＝32，CN ＝NH ＋CH ＝32＋33＝732，当点M ，P ，C 在同一直线上时，MP ＋CP 的最小值等于CM 的长，即DQ ＋CP 的最小值等于CM 的长，此时，Rt △MNC 中，CM ＝MN 2＋CN 2＝（32）2＋（732）2＝39，又∵PQ ＝1，CD ＝6－1＝5，∴四边形PCDQ 周长的最小值为CM ＋PQ ＋CD ＝6＋39.第17题解图18. 27－952或92 【解析】分两种情况讨论，如解图①，当GD ＝GE 时，过点G 作GM ⊥AD 于点M ，GN ⊥CD 于点N .设AF ＝x .∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝12，∠BAF ＝∠ADE ＝90°，由翻折的性质得AF ＝FG ，BF ⊥AG ，∴∠DAE ＋∠BAE ＝90°，∠ABF ＋∠BAE ＝90°，∴∠ABF ＝∠DAE ，∴△BAF ∽△ADE ，∴AB DA ＝AF DE ，即912＝x DE ，∴DE ＝43x ，∵GM ⊥AD ，GN ⊥CD ，∴∠GMD ＝∠GND ＝∠MDN ＝90°，∴四边形GMDN 是矩形，∴GM ＝DN ＝EN ＝23x ，∵GD ＝GE ，∴∠GDE ＝∠GED ，∵∠GDA ＋∠GDE ＝90°，∠GAD ＋∠GED ＝90°，∴∠GDA ＝∠GAD ，∴GA ＝GD ＝GE ，∵GM ⊥AD ，∴AM ＝MD ＝6，在Rt △FGM 中，由勾股定理得x 2＝(6－x )2＋(23x )2，解得x ＝27－952或27＋952(舍)，∴AF ＝27－952；如解图②，当DG ＝DE 时，由翻折的性质得，BA ＝BG ，∴∠BAG ＝∠BGA ，∵DG ＝DE ，∴∠DGE ＝∠DEG ，∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠DEG ，∴∠AGB ＝∠DGE ，∴B ，G ，D 三点共线，∵BD ＝AB 2＋AD 2＝92＋122＝15，BG ＝BA ＝9，∴DG ＝DE ＝6，由①知，△BAF ∽△ADE ，∴AF DE ＝AB DA ，即AF 6＝912，∴AF ＝92.综上所述，AF 的值为27－952或92.图①图②第18题解图19. 45；22 【解析】如解图，取BC 的中点G ，连接DG ，由旋转的性质得DC ＝EC ，∠DCE ＝90°，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝8，F 为AC 中点，∴CG ＝CF ，∠DCG ＋∠ACD ＝∠ECF ＋∠ACD ＝90°，∴∠DCG ＝∠ECF ，∴△DCG ≌△ECF (SAS)，∴DG ＝EF .分两种情况讨论：如解图①，当GD ⊥AB 时，DG 最短，此时△BDG 是等腰直角三角形，∴DG ＝BG ·sin45°＝4×22＝22，∴EF 的最小值为22；当点D 与点B 重合时，DG ＝BG ＝4；如解图②，当点D 与点A 重合时，DG ＝CG 2＋AC 2＝42＋82＝45＞4，∴EF 的最大值为45，最小值为2 2.图①图②第19题解图20. 10 【解析】如解图，过点A ′作A ′H ⊥AD 于点H ，延长FA ′与BE 的延长线交于点J ，过点F 作FI ⊥BE 于点I ，∵A ′是DE 的中点，∴A ′H 是△DC ′E 的中位线，∴A ′H ＝12C ′E ＝12×3＝32 cm ，由折叠性质知∠A ′DH ＝45°，∴DH ＝A ′H ＝32 cm ，设AF ＝x cm ，则FH ＝6－x －32＝(92－x ) cm ，由折叠的性质得A ′F ＝AF＝x cm ，在Rt △A ′HF 中，由勾股定理得A ′F 2－FH 2＝A ′H 2，即x 2－(92－x )2＝(32)2，解得x ＝52，∴A ′F ＝AF ＝52 cm ，FH ＝92－52＝2 cm ，∴EI ＝FC ′＝FH ＋DH －C ′D ＝2＋32－3＝12 cm ，∵A ′是DE 的中点，易证△A ′DF ≌△A ′EJ ，∴EJ ＝DF ＝2＋32＝72 cm ，A ′F ＝A ′J ＝52 cm ，∴FJ ＝5 cm ，由折叠的性质得∠AFG ＝∠JFG ，∵AD ∥BJ ，∴∠JGF ＝∠AFG ＝∠JFG ，∴JG ＝JF ＝5 cm ，∴GI ＝JG －JE －EI ＝5－72－12＝1 cm ，在Rt △FGI 中，FI ＝3 cm ，∴FG ＝32＋12＝10 cm.第20题解图21. 5217 【解析】如解图，点P 在直线CD 上运动时，当MN 垂直于点N 的运动轨迹(直线)时，MN 最短，当点P 和C 重合时，N 1 是CB 的中点，当PA ′和直线CD 重合时，N 2 是PA ′的中点，∵AC ＝CB ＝4，∠ACB ＝120°，CD ⊥AB ，∴CD ＝2，AD ＝23，∴AB ＝2AD ＝43，∵M 、N 1分别是AC 、BC 中点，∴MN 1∥AB ，MN 1＝12AB ＝23，DE ＝1，∵PA ′是PA 绕点P 逆时针旋转120°得到的，当PA ′和直线CD 重合时，PA ′＝PA ，∠APA ′＝120°，∴∠APD ＝60°，∴AP ＝AD sin60°＝2332＝4，DP ＝AP ·cos60°＝4×12＝2，∵N 2是PA ′的中点，∴PN 2＝2，EN 2＝2＋2＋1＝5，∵MN 1∥AB ，CD ⊥AB ，MN 1⊥CD ，在△MEN 2和△N 1EN 2中，⎩⎪⎨⎪⎧ME ＝N 1E ∠MEN 2＝∠N 1EN 2EN 2＝EN 2，∴△MEN 2≌△N 1EN 2(SAS)，∴N 2M ＝N 2N 1，在Rt △MN 2E 中，N 2M ＝ME 2＋EN 22＝（3）2＋52＝27，∴S △MN 1N 2＝12MN 1·EN 2＝12×23×5＝53，又∵S △MN 1N 2＝12N 1N 2·MN ，∴12×27×MN ＝53，∴MN ＝5217.第21题解图22. 30；6 【解析】如解图①，连接AC ，分别过点E ，G 作AC 的垂线，垂足为M ，N ，易证△AEM ∽△ACB ，∴AE AC ＝EM CB ，∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝10，∴410＝EM 8，∴EM ＝165.∵△BEF 沿EF 翻折后点B 的对应点为点G ，∴GE ＝BE ＝2，∴点G 在以点E 为圆心，2为半径的⊙E (在矩形ABCD 内的部分)上．连接EN ，则EG ＋GN ≥EN ≥EM ，∴GN ≥EM －EG ＝165－2＝65.∵S 四边形AGCD ＝S △ACD ＋S △AGC ＝12AD ·CD ＋12AC ·GN ＝24＋5GN ，如解图②，当点G 在EM 上，即点N 与点M 重合，此时GN 取得最小值65，S 四边形AGCD 取得最小值为24＋5GN ＝24＋5×65＝30；如解图②，过点F 作FH ⊥AC 于点H ，∵EM ⊥FG ，EM ⊥AC ，∴四边形FGMH 是矩形，∴FH ＝GM ＝65，∵∠FCH ＝∠ACB ，∠CHF ＝∠CBA ＝90°，∴△CHF ∽△CBA ，∴CF CA ＝FH AB ，即CF 10＝656，∴CF ＝2，∴BF ＝BC －CF ＝8－2＝6.图①图②第22题解图。

中考数学备考专题复习反比例函数含解析

中考数学备考专题复习反比例函数含解析

反比例函数一、单选题（共12题；共24分）1、（2016•龙东）已知反比例函数y= ，当1＜x＜3时，y的最小整数值是（）A、3B、4C、5D、62、如果等腰三角形的底边长为x，底边上的高为y，则它的面积为定植S时，则x与y的函数关系式为（）A、y=B、y=C、y=D、y=3、（2016•大庆）已知A（x1， y1）、B（x2， y2）、C（x3， y3）是反比例函数y= 上的三点，若x1＜x2＜x3， y2＜y1＜y3，则下列关系式不正确的是（）A、x1•x2＜0B、x1•x3＜0C、x2•x3＜0D、x1+x2＜04、将一次函数y=x图象向下平移b个单位，与双曲线y=交于点A，与x轴交于点B，则OA2-OB2=( )A、-2B、2C、-D 、5、如图所示，点P（3a，a）是反比例函数y=（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（）A、y=B、y=C、y=D、y=6、如图，△AOB为等边三角形，点A在第四象限，点B的坐标为（4，0），过点C（4，0）作直线l交AO于D，交AB于E，且点E在某反比例函数y=（k≠0）图象上，当△ADE和△DCO的面积相等时，k的值为（）A、-B、-C、-3D、-67、教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（）A、7：20B、7：30C、7：45D、7：508、（2015•玉林）如图，反比例函数y=的图象经过二次函数y=ax2+bx 图象的顶点（﹣，m）（m ＞0），则有（）A、a=b+2kB、a=b﹣2kC、k＜b＜0D、a＜k＜09、如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的两边在坐标轴上，OB=1，点A在函数y=﹣（x＜0）的图象上，将此矩形向右平移3个单位长度到A1B1O1C1的位置，此时点A1在函数y= （x＞0）的图象上，C1O1与此图象交于点P，则点P的纵坐标是（）A 、B 、C 、D 、10、（2016•济宁）如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB= ，反比例函数y= 在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于（）A、60B、80C、30D、4011、（2016•湖北）一次函数y=ax+b和反比例函数y= 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象大致为（）A 、B 、C 、D 、12、（2016•天津）若点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y= 的图象上，则y1， y2， y3的大小关系是（）A、y1＜y3＜y2B、y1＜y2＜y3C、y3＜y2＜y1D、y2＜y1＜y3二、填空题（共5题；共6分）13、如果函数y=x2m-1为反比例函数，则m的值是________.14、（2015•黄石）反比例函数y=的图象有一支位于第一象限，则常数a的取值范围是________ ．15、（2016•宁波）如图，点A为函数y= （x＞0）图象上一点，连结OA，交函数y= （x＞0）的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO=AC，则△ABC的面积为________．16、（2016•丽水）如图，一次函数y=﹣x+b与反比例函数y= （x＞0）的图象交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点，连结OA，OB，过A作AE⊥x轴于点E，交OB于点F，设点A的横坐标为m．(1)b=________（用含m的代数式表示）；(2)若S△OAF+S四边形EFBC=4，则m的值是________．17、（2016•绍兴）如图，已知直线l：y=﹣x，双曲线y= ，在l上取一点A（a，﹣a）（a＞0），过A作x轴的垂线交双曲线于点B，过B作y轴的垂线交l于点C，过C作x轴的垂线交双曲线于点D，过D作y轴的垂线交l于点E，此时E与A重合，并得到一个正方形ABCD，若原点O在正方形ABCD的对角线上且分这条对角线为1：2的两条线段，则a的值为________．三、解答题（共3题；共15分）18、当m 取何值时，函数是反比例函数？19、（2016•苏州）如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数y= （x＞0）的图象交于点B（2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点P（3n﹣4，1）是该反比例函数图象上的一点，且∠PBC=∠ABC，求反比例函数和一次函数的表达式．20、已知与是反比例函数图象上的两个点.(1)求m和k的值(2)若点C(-1,0)，连结AC,BC，求△ABC的面积(3)根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围.四、综合题（共4题；共45分）21、（2016•曲靖）在平面直角坐标系中，把横纵坐标都是整数的点称为“整点”．(1)直接写出函数y= 图象上的所有“整点”A1， A2， A3，…的坐标；(2)在（1）的所有整点中任取两点，用树状图或列表法求出这两点关于原点对称的概率．22、（2015•广州）已知反比例函数y=的图象的一支位于第一象限．(1)判断该函数图象的另一支所在的象限，并求m的取值范围；(2)如图，O为坐标原点，点A在该反比例函数位于第一象限的图象上，点B与点A关于x轴对称，若△OAB的面积为6，求m的值．23、（2016•枣庄）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=2，F是AB上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数y= （k＞0）的图象与BC边交于点E．(1)当F为AB的中点时，求该函数的解析式；(2)当k为何值时，△EFA的面积最大，最大面积是多少？24、（2016•雅安）已知直线l1：y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，且与双曲线y= 交于点C（1，a）．(1)试确定双曲线的函数表达式；(2)将l1沿y轴翻折后，得到l2，画出l2的图象，并求出l2的函数表达式；(3)在（2）的条件下，点P是线段AC上点（不包括端点），过点P作x轴的平行线，分别交l2于点M，交双曲线于点N，求S△AMN的取值范围．答案解析部分一、单选题【答案】A【考点】反比例函数的性质【解析】【解答】解：在反比例函数y= 中k=6＞0，∴该反比例函数在x＞0内，y随x的增大而减小，当x=3时，y= =2；当x=1时，y= =6．∴当1＜x＜3时，2＜y＜6．∴y的最小整数值是3．故选A．【分析】根据反比例函数系数k＞0，结合反比例函数的性质即可得知该反比例函数在x＞0中单调递减，再结合x的取值范围，可得出y的取值范围，取其内的最小整数，本题得解．本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是找出反比例函数y= 在1＜x＜3中y的取值范围．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数的系数结合反比例函数的性质得出该反比例函数的单调性是关键．【答案】C【考点】根据实际问题列反比例函数关系式，三角形的面积【解析】【解答】∵S=xy，∴y=．故选C．【分析】考查列反比例函数关系式，得到三角形高的等量关系是解决本题的关键．三角形的面积= 1 2 底×高，那么高=，把相关数值代入即可求解．【答案】A【考点】反比例函数图象上点的坐标特征【解析】【解答】解：∵反比例函数y= 中，2＞0，∴在每一象限内，y随x的增大而减小，∵x1＜x2＜x3， y2＜y1＜y3，∴点A，B在第三象限，点C在第一象限，∴x1＜x2＜0＜x3，∴x1•x2＜0，故选A．【分析】根据反比例函数y= 和x1＜x2＜x3， y2＜y1＜y3，可得点A，B在第三象限，点C在第一象限，得出x1＜x2＜0＜x3，再选择即可．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解答此题的关键是熟知反比例函数的增减性，本题是逆用，难度有点大．【答案】B【考点】一次函数图象与几何变换，反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【解答】∵平移后解析式是y=x+b，代入y=得：x+b=，即x2+bx=，y=x+b与x轴交点B的坐标是（-b，0），设A的坐标是（x，y），∴OA2-OB2=x2+y2+（-b）2=x2+（x+b）2-b2=2x2+2xb=2（x2+xb）=2×=2，故选B．【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生的计算能力的能力．【答案】D【考点】反比例函数图象的对称性【解析】【解答】由于函数图象关于原点对称，所以阴影部分面积为圆面积，则圆的面积为10π×4=40π．因为P（3a，a)在第一象限，则a＞0，3a＞0，根据勾股定理，OP=于是π=40π，a=±2，（负值舍去)，故a=2．P点坐标为（6，2)．将P（6，2)代入y=，得：k=6×2=12．反比例函数解析式为：y=．故选D．【分析】根据P（3a，a)和勾股定理，求出圆的半径，进而表示出圆的面积，再根据圆的面积等于阴影部分面积的四倍，求出圆的面积，建立等式即可求出a的值，从而得出反比例函数的解析式．【点评】此题是一道综合题，既要能熟练正确求出圆的面积，又要会用待定系数法求函数的解析式．【答案】C【考点】反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求反比例函数解析式，三角形的面积【解析】【解答】如图，连接AC，∵点B的坐标为（4，0），△AO B为等边三角形，∴AO=OB=4.∴点A的坐标为（2，-2）.∵C（4，0），∴AO=OC=4，∴∠OCA=∠OAC.∵∠AOB=60°，∴∠ACO=30°.又∵∠B="60°." ∴∠BAC=90°.∵S△ADE=S△DCO， S△AEC=S△ADE+S△ADC， S△AOC=S△DCO+S△ADC，∴∴S△AEC=S△AOC =×AE•AC=•CO•2，即•AE•2=×2×2，∴E点为AB的中点（3，-）.把E点（3，-）代入y=中得：k=-3故选C．【分析】连接AC，由B的坐标得到等边三角形AOB的边长，得到AO与CO，得到AO=OC，利用等边对等角得到一对角相等，再由∠AOB=60°，得到∠ACO=30°，可得出∠BAC为直角，可得出A的坐标，由三角形ADE与三角形DCO面积相等，且三角形AEC面积等于三角形AED与三角形ADC面积之和，三角形AOC面积等于三角形DCO面积与三角形ADC面积之和，得到三角形AEC与三角形AOC面积相等，进而确定出AE的长，可得出E为AB中点，得出E的坐标，将E坐标代入反比例解析式中求出k的值，即可确定出反比例解析式。

北师大版中考数学复习：中点问题常考热点 专项练习题汇编(Word版,含答案)

北师大版中考数学复习：中点问题常考热点 专项练习题汇编(Word版,含答案)

北师大版中考数学复习：中点问题常考热点专项练习题汇编一．选择题1．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE、DE，分别交BD、AC于点P、Q，过点P作PF⊥AE交CB的延长线于F，下列结论正确的有：（）①AP＝FP，②AE＝AO，③若四边形OPEQ的面积为4，则该正方形ABCD的面积为36，④CE•EF＝EQ•DE．A．4个B．3个C．2个D．1个2．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，动点P从点A出发向终点D运动，连BP，并过点C作CH⊥BP，垂足为H．①△ABP∽△HCB；②AH的最小值为﹣；③在运动过程中，BP扫过的面积始终等于CH扫过的面积；④在运动过程中，点H的运动路径的长为π，其中正确的有个（）个．A．1B．2C．3D．43．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，线段AE，AF与对角线BD分别交于点G，H．设矩形ABCD的面积为S，则以下4个结论中：①AG：GE＝2：1；②BG：GH：HD＝1：1：1；③S1+S2+S3＝S；④S2：S4：S6＝1：2：4．正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB交于点E，连接AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（）A．B．C．D．5．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的个数是（）①AE⊥BF；②S△BCF＝5S△BGE；③QB＝QF；④tan∠BQP＝．A．1B．2C．3D．46．正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE 沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE＝．下列结论：①AD垂直平分EE′，②tan∠ADE＝﹣1，③C△ADE﹣C△ODE＝2﹣1，④S四边形AEFB＝，其中结论正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个7．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S△ABC＝2S△ABF．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个8．如图，正方形ABCD的边CD与正方形CGFE的边CE重合，O是EG的中点，∠EGC 的平分线GH过点D，交BE于H，连接OH、FH、EG与FH交于M，对于下面四个结论：①GH⊥BE；②HO BG；③S正方形ABCD：S正方形ECGF＝9﹣4：4；④EM：MG ＝1：（1+），其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，正方形ABCD中，P为对角线上的点，PB＝AB，连PC，作CE⊥CP交AP的延长线于E，AE交CD于F，交BC的延长线于G，则下列结论：①E为FG的中点；②FG2＝4CF•CD；③AD＝DE；④CF＝2DF．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题10．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD＝2，CD＝1．下列结论：①∠AED ＝∠ADC，②＝，③BF＝2AC，④BE＝DE．其中结论正确的个数有．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，BC＝4，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F，若△AB′F为直角三角形，则AE的长为．12．已知：△ABC中，D为BC的中点，E为AB上一点，且BE＝AB，F为AC上一点，且CF＝AC，EF交AD于P，则EP：PF＝．13．如图，在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC 边上，且BM＝6．P为对角线BD上一点，则PM﹣PN的最大值为．14．如图，正方形ABCD的边CD与正方形CGFE的边CE重合，O是EG的中点，∠EGC 的平分线GH过点D，交BE于H，连接OH、FH、EG与FH交于M，对于下面四个结论：①GH⊥BE；②HO BG；③点H不在正方形CGFE的外接圆上；④△GBE∽△GMF．其中正确的结论有．15．如图，正方形ABCD中，F为AB上一点，E是BC延长线上一点，且AF＝EC，连接EF，DE，DF，M是FE中点，连接MC，设FE与DC相交于点N．则4个结论：①DN＝DG；②△BFG∽△EDG∽△BDE；③CM垂直BD；④若MC＝，则BF＝2；正确的结论有．16．如图，四边形ABCD中，AB＝AD，∠DAB＝90°，AC与BD交于点H，AE⊥BC于点E，AE交BD于点G，点F是BD的中点，连接EF，若HG＝10，GB＝6，tan∠ACB＝1，则下列结论：①∠DAC＝∠CBD；②DH+GB＝HG；③4AH＝5HC；④EC﹣EB＝EF；其中正确结论序号是．17．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，CD＝1，CH⊥BD于H，点O是AB中点，连接OH，则OH＝．18．如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP 翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的有（写出所有正确结论的序号）①△CMP∽△BP A；②四边形AMCB的面积最大值为10；③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；④线段AM的最小值为2；⑤当△ABP≌△ADN时，BP＝4﹣4．三．解答题19．在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝16cm，EF分别是AB、BD的中点，连接EF，点P 从点E出发沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s．同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动，连接PQ．设运动时间为t（0＜t＜8）s．解答下列问题：（1）如图①，求证：△BEF∽△DCB；（2）如图②，过点Q作QG⊥AB，垂足为G，若四边形EPQG为矩形，t＝；（3）当△PQF为等腰三角形时，请直接写出t的值．20．如图①，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，延长CA至点E，作DE⊥CE交BA 的延长线于点D，连接CD，点F为CD的中点，连接EF，BF．（1）直接写出线段EF和BF之间的数量关系为；（2）将△ADE绕点A顺时针旋转到图②的位置，猜想EF和BF之间的关系，并加以证明；（3）若AC＝3，AE＝2，将△ADE绕点A顺时针旋转，当A，E，B共线时，请直接写出EF的长．参考答案一．选择题1．解：连接AF．∵PF⊥AE，∴∠APF＝∠ABF＝90°，∴A，P，B，F四点共圆，∴∠AFP＝∠ABP＝45°，∴∠P AF＝∠PF A＝45°，∴AP＝FP，故①正确，设BE＝EC＝a，则AE＝a，OA＝OC＝OB＝OD＝a，∴，即AE＝AO，故②正确，根据对称性可知，△OPE≌△OQE，∴S△OEQ＝S四边形OPEQ＝2，∵OB＝OD，BE＝EC，∴CD＝2OE，OE∥CD，∴，△OEQ∽△CDQ，∴S△ODQ＝4，S△CDQ＝8，∴S△CDO＝12，∴S正方形ABCD＝48，故③错误，∵∠EPF＝∠DCE＝90°，∠PEF＝∠DEC，∴△EPF∽△ECD，∴，∵EQ＝PE，∴CE•EF＝EQ•DE，故④正确，故选：B．2．解：①∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAP＝90°，AD∥BC，∴∠APB＝∠HBC．∵CH⊥BP，∴∠BHC＝90°．∴∠BAP＝∠CHB＝90°．∴△ABP∽△HCB．∴①的结论正确；②如下图，点H的运动轨迹是以BC的中点为圆心，AB为半径的圆弧，设BC的中点为O，∵AH+HO≥AO，∴当A，H，O在一条直线上时，AH最小．∵BC＝2，∴OB＝BC＝．∴AO＝＝，∴AH的最小值＝AO﹣OB＝﹣，∴②的结论正确；③BP扫过的面积＝．∵点H的运动轨迹是以BC的中点为圆心，AB为半径的圆弧，∴CH扫过的面积为S扇形OBH+S△OHC．∵CD＝2，BC＝2，∴tan∠DBC＝，∴∠DBC＝30°，∴∠HOC＝2∠DBC＝60°，∴∠BOH＝120°．∴CH扫过的面积为S扇形OBH+S△OHC＝+××＝π+，∴③的结论错误；④∵点H的运动轨迹是以BC的中点为圆心，AB为半径的圆弧，∴点H的运动路径的长为：＝．∴④的结论错误；综上，正确的结论有：①②，故选：B．3．解：①∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵E是BC的中点，∴BE＝BC，∵AD∥BE，∴＝＝2，即AG：GE＝2：1；故①正确；②∵AD∥BE，∴，∴BG＝BD，同理得：DH＝BD，∴BG＝GH＝HD，∴BG：GH：HD＝1：1：1；故②正确；③∵AD∥BE，∴△BEG∽△DAG，∴＝，∵BG＝GH＝HD，∴S5＝S3＝S4，设S1＝x，则S5＝S3＝S4＝2x，∴S＝12x，同理可得：S2＝x，∴S1+S2+S3＝x+x+2x＝4x＝S；故③正确；④由③知：S6＝6x﹣x﹣x＝4x，∴S2：S4：S6＝1：2：4，故④正确；所以本题的4个结论都正确；故选：D．4．解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'为等边三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M＝DM＝，∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，在Rt△BMC'中，BC'＝＝＝，∵S△BDC'＝BC'•DH＝BD•CM，∴DH＝3×，∴DH＝，故选：B．5．解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，∴CF＝BE，在△ABE和△BCF中，，∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，又∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠CBF+∠BEA＝90°，∴∠BGE＝90°，∴AE⊥BF，故①正确；∵∠BGE＝∠BCF，∠GBE＝∠CBF，∴△BGE∽△BCF，∵BE＝BC，BF＝BC，∴BE：BF＝1：，∴△BGE的面积：△BCF的面积＝1：5，∴S△BCF＝5S△BGE，故②正确．根据题意得，FP＝FC，∠PFB＝∠BFC，∠FPB＝90°∵CD∥AB，∴∠CFB＝∠ABF，∴∠ABF＝∠PFB，∴QF＝QB，故③正确；∵QF＝QB，PF＝1，则PB＝2，在Rt△BPQ中，设QB＝x，∴x2＝（x﹣1）2+4，∴x＝，∴QB＝，PQ＝＝＝，∴tan∠BQP＝＝，故④错误；故选：C．6．解：如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，AO＝OB＝OD＝OC，∠DAC＝∠CAB＝∠DAE′＝45°，根据对称性，△ADE≌△ADE′≌△ABE，∴DE＝DE′，AE＝AE′，∴AD垂直平分EE′，故①正确，∴EN＝NE′，∵∠NAE＝∠NEA＝∠MAE＝∠MEA＝45°，AE＝，∴AM＝EM＝EN＝AN＝1，∵ED平分∠ADO，EN⊥DA，EO⊥DB，∴EN＝EO＝1，AO＝DO＝+1，∴tan∠ADE＝tan∠ODE＝＝﹣1，故②正确，∴AB＝AD＝AO＝2+，∴C△ADE﹣C△ODE＝AD+AE﹣DO﹣EO＝，故③错误，∴S△AEB＝S△AED＝×1×（2+）＝1+，S△BDE＝S△ADB﹣2S△AEB＝1+，∵DF＝EF，∴S△EFB＝，∴S四边形AEFB＝S△AEB+S△BEF＝，故④错误，故选：C．7．解：如图，过D作DM∥BE交AC于N，交BC于M，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，∴∠EAC＝∠ACB，∵BE⊥AC于点F，∴∠ABC＝∠AFE＝90°，∴△AEF∽△CAB，故①正确；∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝，∵AE＝AD＝BC，∴＝，∴CF＝2AF，故②正确；∵DE∥BM，BE∥DM，∴四边形BMDE是平行四边形，∴BM＝DE＝BC，∴BM＝CM，CN＝NF，∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，∴DN⊥CF，∴DN垂直平分CF，∴DF＝DC，故③正确；∵CF＝2AF，∴S△ABC＝3S△ABF．∴④不正确；其中正确的结论有3个，故选：B．8．解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCE＝90°，同理可得CE＝CG，∠DCG＝90°，在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴∠BEC＝∠DGC，∵∠EDH＝∠CDG，∠DGC+∠CDG＝90°，∴∠EDH+∠BEC＝90°，∴∠EHD＝90°，即HG⊥BE，故①正确；在△BGH和△EGH中，，∴△BGH≌△EGH（ASA），∴BH＝EH，又∵O是EG的中点，∴HO＝BG，且HO∥BG，故②正确；设EC和OH相交于点N．设HN＝a，则BC＝2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC＝b，CD＝2a，∵OH∥BC，∴△DHN∽△DGC，∴＝，即＝，即a2+2ab﹣b2＝0，解得：a＝b＝（﹣1+）b，或a＝（﹣1﹣）b（舍去），则＝﹣1；则S正方形ABCD：S正方形ECGF＝（﹣1）2＝3﹣2，故③错误；∵EF∥OH，∴△EFM∽△OMH，∴＝＝，∴＝，＝，∴＝＝＝，故④正确．故选：C．9．解：①如图：正方形ABCD中BA＝BC，∠ABP＝∠CBP，BP＝BP，∴△ABP≌△CBP，那么∠1＝∠2，在直角三角形ABG中∠1与∠G互余，∠PCE＝90°，那么∠2与∠5互余，∴∠5＝∠G，∴EC＝EG．在直角三角形FCG中∠3与∠G互余，∠4与∠5也互余，而∠5＝∠G，∴∠3＝∠4，∴EC＝EF，从而得出EG＝EF，即E为FG的中点．∴①正确．③∵AB＝BC，∠ABD＝∠CBD，BP＝BP，∴△ABP≌△CBP，∴∠1＝∠2，∵AB∥CD，∴∠1＝∠DF A，∵AB＝BP，∴∠1＝∠BP A，∵∠DPF＝∠APB，∵EF＝CE，∴∠3＝∠4，∴∠4＝∠DPE，∴D、P、C、E四点共圆，∴∠DEA＝∠DCP，∵∠1+∠DAP＝90°，∠2+∠DCP＝90°，∴∠DAP＝∠DCP＝∠DEA，∴AD＝DE，∴③正确，②∵∠3＝∠4，AD＝DE（③已求证），∴△CEF∽△CDE，∴＝，即CE2＝CF•CD，∵∠3＝∠4，∴CE＝EF，∵E为FG的中点．∴FG＝2CE，即CE＝FG，∴＝CF•CD，即FG2＝4CF•CD，∴②正确．④∵四边形ABCD是正方形，∴△PDF∽△PBA，∴＝＝，∴＝，∴＝，即CF＝DF，∴④错误，综上所述，正确的由①②③．故选：C．二．填空题（共9小题）10．解：①∠AED＝90°﹣∠EAD，∠ADC＝90°﹣∠DAC，∵AD平分∠CAB，∴∠EAD＝∠DAC，∴∠AED＝∠ADC，故①正确；②∵∠EAD＝∠DAC，∠ADE＝∠ACD＝90°，∴△ADE∽△ACD，∴，∵AC的值未知，故②不一定正确；③连接DM，∵MD为斜边AE的中线，∴DM＝MA，∴∠MDA＝∠MAD＝∠DAC，∴DM∥BF∥AC，∴，∴，∴BF＝2AC，故③正确；④由③知，，∵，∴DM∥AC，DM⊥BC，∴∠MDA＝DAC＝DAM，∵∠ADE＝90°，∴DM＝MA＝ME，∵BM＝2AM，∴BE＝EM，∴ED＝BE，故④正确，故答案为：3个．11．解：①如图1中，当∠AFB′＝90°时．在Rt△ABC中，∵∠B＝30°，AC＝4，∴AB＝2AC＝8，∵BD＝CD，∴BD＝CD＝BC＝2，由折叠的性质得：∠BFD＝90°，B'E＝BE，∴∠BDF＝60°，∴∠EDB＝∠EDF＝30°，∴∠B＝∠EDB＝30°，∴BE＝DE＝B'E，∵∠C＝∠BFD＝90°，∠DBF＝∠ABC＝90°，∴△BDF∽△BAC，∴，即＝，解得：BF＝3，设BE＝DE＝x，在Rt△EDF中，DE＝2EF，∴x＝2（3﹣x），解得：x＝2，∴AE＝8﹣2＝6．②如图2中，当∠AB′F＝90°时，作EH⊥AB′交AB′的延长线于H．设AE＝x．∵AD＝AD，CD＝DB′，∴Rt△ADC≌Rt△ADB′（HL），∴AC＝AB′＝4，∵∠AB′E＝∠AB′F+∠EB′F＝90°+30°＝120°，∴∠EB′H＝60°，在Rt△EHB′中，B′H＝B′E＝（8﹣x），EH＝B′H＝（8﹣x），在Rt△AEH中，∵EH2+AH2＝AE2，∴[（8﹣x）]2+[4+（8﹣x）]2＝x2，解得：x＝，综上所述，满足条件的AE的值为6或．故答案为：6或．12．解：∵BE＝AB，CF＝AC，∴则＝，＝，分别作EE1，FF1平行于BC且与AD交于E1、F1两点．则EE1∥FF1，∴△EE1P∽△FF1P，＝，＝＝，＝＝，又BD＝CD，∴＝，∴＝＝，故答案为：．13．解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点N'，连接MN′并延长交BD于P，连NP，根据轴对称性质可知，PN＝PN'，∴PM﹣PN＝PM﹣PN'≤MN'，当P，M，N'三点共线时，取“＝”，∵正方形边长为8，∴AC＝AB＝，∵O为AC中点，∴AO＝OC＝，∵N为OA中点，∴ON＝，∴ON'＝CN'＝，∴AN'＝，∵BM＝6，∴CM＝AB﹣BM＝8﹣6＝2，∴＝＝，∴PM∥AB∥CD，∠CMN'＝90°，∵∠N'CM＝45°，∴△N'CM为等腰直角三角形，∴CM＝MN'＝2，即PM﹣PN的最大值为2，故答案为：2．14．解：①如图，∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG，在△BCE和△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴∠BEC＝∠BGH，∵∠BGH+∠CDG＝90°，∠CDG＝∠HDE，∴∠BEC+∠HDE＝90°，∴GH⊥BE，故①正确；②∵GH是∠EGC的平分线，∴∠BGH＝∠EGH，在△BGH和△EGH中，，∴△BGH≌△EGH（ASA），∴BH＝EH，又∵O是EG的中点，∴HO是△EBG的中位线，∴OH∥BG，HO＝BG，故②正确；③由①得△EHG是直角三角形，∵O为EG的中点，∴OH＝OG＝OE，∴点H在正方形CGFE的外接圆上，故③错误；④如图2，连接CF，由③可得点H在正方形CGFE的外接圆上，∴∠HFC＝∠CGH，∵∠HFC+∠FMG＝90°，∠CGH+∠GBE＝90°，∴∠FMG＝∠GBE，又∵∠EGB＝∠FGM＝45°，∴△GBE∽△GMF，故④正确；故答案为：①②④．15．解：正方形ABCD中，AD＝CD，在△ADF和△CDE中，，∴△ADF≌△CDE（SAS），∴∠ADF＝∠CDE，DE＝DF，∴∠EDF＝∠FDC+∠CDE＝∠FDC+∠ADF＝∠ADC＝90°，∴∠DEF＝45°，∵∠DGN＝45°+∠FDG，∠DNG＝45°+∠CDE，∠FDG≠∠CDE，∴∠DGN≠∠DNG，∴DN≠DH，判断出①错误；∵△DEF是等腰直角三角形，∵∠ABD＝∠DEF＝45°，∠BGF＝∠EGD（对顶角相等），∴△BFG∽△EDG，∵∠DBE＝∠DEF＝45°，∠BDE＝∠EDG，∴△EDG∽△BDE，∴△BFG∽△EDG∽△BDE，故②正确；连接BM、DM．∵△AFD≌△CED，∴∠FDA＝∠EDC，DF＝DE，∴∠FDE＝∠ADC＝90°，∵M是EF的中点，∴MD＝EF，∵BM＝EF，∴MD＝MB，在△DCM与△BCM中，，∴△DCM≌△BCM（SSS），∴∠BCM＝∠DCM，∴CM在正方形ABCD的角平分线AC上，∴MC垂直平分BD；故③正确；过点M作MH⊥BC于H，则∠MCH＝45°，∵MC＝，∴MH＝×＝1，∵M是EF的中点，BF⊥BC，MH⊥BC，∴MH是△BEF的中位线，∴BF＝2MH＝2，故④正确；综上所述，正确的结论有②③④．故答案是：②③④．16．解：①以BD中点F为圆心，BD为直径可以作出△ABC的外接圆，∵tan∠ACB＝45°，∴∠ACB＝∠ADB＝45°，∴A、B、C、D四点共圆，∴∠DAC＝∠CBD，故①正确；②∵△ABH∽△GDA，∴AB2＝BH•DG，即AB2＝16×（10+DH），叉∵BD＝AB，即16+DH＝AB，解得DH＝8，∵DH+GB＝8+6＝14≠10，∴DG+GB≠HG，故②错误；③∵△AHG∽△BHA，∴AH2＝BH•HG＝160，∴AH＝4，根据相交弦定理：AH•HC＝BH•DH，∴HC＝，∴4AH＝5HC，故③正确；④∵BD＝BH+DH＝24，△ABD为等腰直角三角形，∴AB＝12，∵AC＝AH+HC＝，且△AEC是等腰直角三角形，∴AE＝CE＝，根据勾股定理可得，BE＝，∴CE﹣BE＝，由△ABH∽△DCH，得CD＝，而FN＝CD＝，BF＝12，由勾股定理可得，BN＝，BE＝，∴EN＝BN﹣BE＝，EF＝，∴CE﹣EB＝EF，故④正确．综上，正确的结论是①③④．故答案为：①③④．17．解：在BD上截取BE＝CH，连接CO，OE，∵∠ACB＝90°，CH⊥BD，∵AC＝BC＝3，CD＝1，∴BD＝，∴△CDH∽△BDC，∴，∴CH＝，∵△ACB是等腰直角三角形，点O是AB中点，∴AO＝OB＝OC，∠A＝∠ACO＝∠BCO＝∠ABC＝45°，∴∠OCH+∠DCH＝45°，∠ABD+∠DBC＝45°，∵∠DCH＝∠CBD，∴∠OCH＝∠ABD，在△CHO与△BEO中，，∴△CHO≌△BEO，∴OE＝OH，∠BOE＝∠HOC，∵OC⊥BO，∴∠EOH＝90°，即△HOE是等腰直角三角形，∵EH＝BD﹣DH﹣CH＝﹣﹣＝，∴OH＝EH×＝，故答案为：．18．解：∵∠APB＝∠APE，∠MPC＝∠MPN，∵∠CPN+∠NPB＝180°，∴2∠NPM+2∠APE＝180°，∴∠MPN+∠APE＝90°，∴∠APM＝90°，∵∠CPM+∠APB＝90°，∠APB+∠P AB＝90°，∴∠CPM＝∠P AB，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB＝DC＝AD＝4，∠C＝∠B＝90°，∴△CMP∽△BP A．故①正确，设PB＝x，则CP＝4﹣x，∵△CMP∽△BP A，∴＝，∴CM＝x（4﹣x），∴S四边形AMCB＝[4+x（4﹣x）]×4＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣2）2+10，∴x＝2时，四边形AMCB面积最大值为10，故②正确，当PB＝PC＝PE＝2时，由折叠知，AE＝AB＝AD，∠AEP＝∠B＝90°，∴∠AEN＝90°＝∠D，∵AN＝AN，∴Rt△ADN≌Rt△AEN（HL），∴DN＝EN，设ND＝NE＝y，在Rt△PCN中，（y+2）2＝（4﹣y）2+22解得y＝，∴NE≠EP，故③错误，作MG⊥AB于G，∴MG＝AD＝4，根据勾股定理得：AM＝＝，∴AG最小时AM最小，∵AG＝AB﹣BG＝AB﹣CM＝4﹣x（4﹣x）＝（x﹣2）2+3，∴x＝2时，AG最小值＝3，∴AM最小值＝＝5，故④错误．∵△ABP≌△ADN时，∴△ABP≌△ADN≌△AEN≌△AEP，∴∠P AB＝∠DAN＝22.5°，在AB上取一点K使得AK＝PK，设PB＝z，∴∠KP A＝∠KAP＝22.5°∵∠PKB＝∠KP A+∠KAP＝45°，∴∠BPK＝∠BKP＝45°，∴PB＝BK＝z，AK＝PK＝z，∴z+z＝4，∴z＝4﹣4，∴PB＝4﹣4，故⑤正确．故答案为①②⑤．三．解答题（共22小题）19．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠EBF＝＝∠CDB，∵E、F分别是AB、BD的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∴EF∥BC，∴∠EFB＝∠CBD，∴△BEF∽△DCB；（2）当四边形EPQG为矩形时，如图所示，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝16cm，∴BD＝20cm，AD＝BC＝16cm，∵E、F分别是AB、BD的中点，∴BF＝DF＝10cm，EF＝AD＝×16＝8m，∴QF＝（2t﹣10）cm，PF＝（8﹣t）cm，∵四边形EPQG是矩形，∴PQ∥BE，∴△QPF∽△BEF，∴，∴，解得：t＝，∴当t＝时，四边形EPQG为矩形，故答案为；（3）当点Q在DF上，PF＝QF，如图所示，∵PF＝（8﹣t）cm，QF＝（10﹣2t）cm，∴8﹣t＝10﹣2t，解得：t＝2，当点Q在BF上，PF＝QF，如图所示，∵PF＝（8﹣t）cm，QF＝（2t﹣10）cm，∴8﹣t＝2t﹣10，∴t＝6，当点Q在BF上，PQ＝QF，如图所示，过点Q作QG⊥EF于点G，则GQ∥BE，∴△QGF∽△BEF，∴，∵PQ＝QF，∴GF＝PF＝（8﹣t），∴，∴t＝，当点Q在BF上，PQ＝PF，如图所示，过点P作PM⊥BF于点M，则∠PMF＝∠BEF＝90°，∵∠PFM＝∠BFE，∴△PFM∽△BFE，∴，∵PQ＝PF，∴MF＝QF＝（2t﹣10），∴，∴t＝，综上所述，t＝2或6或或时，△PQF是等腰三角形．20．解：（1）如图①中，结论：EF＝BF．理由：∵DE⊥CE，∴∠CED＝90°，∵∠CBD＝90°，CF＝DF，∴BF＝CD，EF＝CD，∴EF＝BF．故答案为：EF＝BF．（2）如图②中，结论：EF＝BF，EF⊥BF．理由：过点C作CT∥DE交EF的延长线于点T，连接BT，ET，延长DE交BC于点J，设AB交DJ于点K．∵CT∥DE，∴∠CTF＝∠DEF，∵∠CFT＝∠DFE，CF＝DF，∴△CFT≌△DFE（AAS），∴FT＝EF，CT＝DE，∵CT∥DJ，∴∠TCB＝∠DJB，∵∠AEK＝∠JBK＝90°，∠AKE＝∠JKB，∴∠EAK＝∠BJK，∴∠BCT＝∠BAE，∵AE＝DE，CT＝DE，∴CT＝AE，∵CB＝AB，∴△BCT≌△BAE（SAS），∴BT＝BE，∠CBT＝∠ABE，∴∠TBE＝ABC＝90°，∴△EBT是等腰直角三角形，∵FT＝EF，∴BF⊥EF，BF＝EF．（3）如图③﹣1中，当点E在BA的延长线上时，∵AB＝BC，AC＝3，∠ABC＝90°，∴AB＝AC＝3，∵AE＝2，∴BE＝5，∵△BFE是等腰直角三角形，∴EF＝AE＝如图③﹣2中，当点E在线段AB上时，同法可得EF＝，综上所述，满足条件的EF的长为或．。

中考数学复习专题十一 二次函数与几何图形综合题

中考数学复习专题十一 二次函数与几何图形综合题

【点评】 本题主要考查的是二次函数的综合应用，求得 P1C 和 P2A 的解析式是解答问题(2) 的关键，求得点 P 的纵坐标是解答问题(3)的关键．
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[对应训练] 1．(2016·遵义)如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC 的三个顶点分别是 A(－8，3)，B(－
4，• 0单)，•击C第(此－二4处级，3编)，辑∠A母BC版＝文α°本.抛样物式线 y＝12x2＋bx＋c 经过点 C，且对称轴为 x＝－45，并与
证：PH＝GH.
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•
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• 第二级
12×（－4）2－4b＋c＝3，
解：(1)根• 第据•三题第级意四• 得级第：五级－2×b 12＝－45，
解得
b＝45， c＝－95，∴抛物线的解析式为：y
Hale Waihona Puke ＝12x2＋45x－95，点 G(0，－95)
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标为(－2，5)．综• 第上五所级述，P 的坐标是(1，－4)或(－2，5)
单击此处编辑母版标题样式 (3)如图 2 所示：连接 OD.由题意可知，四边形 OFDE 是矩形，则 OD＝EF.根据垂线
段最短，可得当 OD⊥AC 时，OD 最短，即 EF 最短．由(1)可知，在 Rt△AOC 中，∵OC
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• 单三击个此步处骤 编辑母版文本样式
•解第二二次级函数与几何图形综合题，第一，需要认真审题，分析、挖掘题目的隐含条件，翻
译并转化• 为第显三性级条件；第二，要善于将复杂问题分解为基本问题，逐个击破；第三，要善于 联想和转化，• 将第四以级上得到的显性条件进行恰当的组合，进一步得到新的结论，尤其要注意的

中考数学总复习《平面直角坐标系压轴题》专题训练(附带答案)

中考数学总复习《平面直角坐标系压轴题》专题训练(附带答案)

中考数学总复习《平面直角坐标系压轴题》专题训练(附带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________ 1．如图，在平面直角系中，点A的坐标是(0,4)在x轴上任取一点B连接AB作线段AB的垂直平分线1l过点B作x轴的垂线2l记1l2l的交点为P．设点P的坐x y．标为(,)(1)用含x y二个字母的代数式表示PA的长度．(2)当点B在x轴上移动时点P也随之运动请求出点P的运动路径所对应的函数解析式．2．如图1 在平面直角坐标系中，点B的坐标是(0,2)动点A从原点O出发沿着x轴正方向移动ABP是以AB为斜边的等腰直角三角形（点A B P顺时针方向排列）．(1)当点A 与点O 重合时 得到等腰直角OBC △（此时点P 与点C 重合） 则BC =______．当2OA =时 点P 的坐标是______； (2)设动点A 的坐标为(,0)(0)t t ≥．①点A 在移动过程中，作PM y ⊥轴于M PN OA ⊥于N 求证：四边形PMON 是正方形；①用含t 的代数式表示点P 的坐标为：（______ ______）；(3)在上述条件中，过点A 作y 轴的平行线交MP 的延长线于点Q 如图2 是否存在这样的点A 使得AQB 的面积是AOB 的面积的3倍？若存在 请求出A 的坐标 若不存在 请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点 直线3y x分别交x 轴 y 轴于点A B ．(1)求ABO ∠的度数；(2)点C 是线段AB 上一点 连接OC 以OC 为直角边作等腰直角OCD 其中OC OD=且点D在第三象限连接AD．设点C的横坐标为t ACD的面积为S 求S与t之间的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；(3)在（2）的条件下点E为x轴正半轴上的一点连接BE点F是BE的中点连∥交x轴于点H若接CF并延长交x轴于点G过点D作DH CFCG DH=求点D的坐标．∠-∠=︒345AEB ADH4．如图，在直角平面坐标系中，ABC的边AB在x轴上且3AB=点A的坐标为-点C的坐标为(2,5)．(5,0)(1)求这样的ABC一共几个？并写出符合条件的点B的坐标；(2)试求ABC的面积．5．如图，平面直角坐标系中有点()1，0B 和y 轴上一动点(0,)A a - 其中0a > 以点A 为直角顶点在第四象限内作等腰直角ABC 设点C 的坐标为(,)c d ．(1)当2a =时 点C 的坐标为 ．(2)动点A 在运动的过程中，试判断+c d 的值是否发生变化 若不变 请求出其值；若发生变化 请说明理由．(3)当3a =时 在坐标平面内是否存在一点P （不与点C 重合） 使PAB 与ABC 全等？若存在 请直接写出点P 的坐标；若不存在 请说明理由．6．如图，在平面直角坐标系中，()2,0A - ()0,3B ．(1)如图1 以A 为直角顶点在第二象限内作等腰直角三角形ABE 过点E 作EF x ⊥轴于点F 求点F 的坐标；(2)如图2 点()0,P P y 为y 轴正半轴上一动点 以AP 为直角边作等腰直角三角形APC 点(),C C C x y 在第一象限 90APC ∠=︒ 当点P 运动时 P C y y -的值是否发生变化？若不变 求出其值；若变化 请说明理由．(3)如图3 点P 在y 轴负半轴上 以AP 为直角边作等腰直角三角形APC 90APC ∠=︒ 点C 在第一象限 点H 在AC 延长线上 作HG x ⊥轴于G 当(),2H m 探究线段PH AG OP 之间的数量关系 并证明你的结论．7．已知在平面直角坐标系中，()()4003A B ，，， 以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形90ABC AB AC BAC =∠=︒，，．(1)直接写出OA OB ⋅的值． (2)求点C 坐标．(3)若点A B ，是x y ，轴正半轴上的动点 BQ AQ ，分别是ABy ∠和BAx ∠的角平分线 交点为Q 求Q ∠的大小．8． 在平面直角坐标系中，点A B ，分别在x 轴负半轴 y 轴正半轴上运动 且满足AB BC = 90ABC ∠=︒ 点C 在第二象限．(1)如图1 当点()()4002A B -，，，时 点C 的坐标为________； (2)以OB 为直角边作等腰直角()90OBD OB BD OBD =∠=︒，△ 如图2 连接AD 和OC 且相交于点P 判断AD 和OC 的数量关系与位置关系 并说明理由；(3)以OB 为直角边作等腰直角()90OBD OB BD OBD =∠=︒，△ 如图3 连接CD 交y 轴于点Q 在点,A B 的运动过程中，判断BQ 与OA 的数量关系 并说明理由．9．在平面直角坐标系中，AOB 为等腰直角三角形 ()4,4A ．(1)直接写出B 点坐标；(2)如图2 若C 为x 轴正半轴上一动点 以AC 为直角边作等腰直角ACD =90ACD ∠︒ 连接OD 求AOD ∠度数；(3)如图3 过点A 作y 轴的垂线交y 轴于E F 为x 轴负半轴上一点 G 在EF 的延长线上 以EG 为直角边作等腰Rt EGH 过A 作x 轴的垂线交EH 于点M 连接FM 等式1AM FMOF-=是否成立？若成立 请证明；若不成立 说明理由．10．如图，在平面直角坐标系中，直线24y x =-+交坐标轴于A B 两点 过x 轴负半轴上一点C 作直线CD 交y 轴正半轴于点D 且AOB DOC △≌△．(1)OC =________ OD =________．(2)点()1,M a -是线段CD 上一点 作ON OM ⊥交AB 于点N 连接MN 求点N 的坐标；(3)若()1,E b 为直线AB 上的点 P 为y 轴上的点 请问：直线CD 上是否存在点Q 使得EPQ △是以E 为直角顶点的等腰直角三角形 若存在 请直接写出此时Q 点的坐标；若不存在 请说明理由．象限内作等腰直角ABC则点b点D在第一象限作等腰直角BDE△c ABO，=∠(1)如图1 点A 关于x 轴的对称点为P 点 则点P 的坐标为________ 当PB 最短时 点B 的坐标为________；（结果均用a 表示）(2)如图2 当AB y ⊥轴 且垂足为点A 时 以OA 为边作正方形ABQO M 在x 轴的正半轴 且OM OA < 以OM 为边在x 轴上方作正方形OMNH 连接AN 若6QM = 两个正方形面积之和为20 求AHN 的面积；(3)如图3 当AB y ⊥轴 且垂足为点A 时 点F 在线段OB 上运动（不与端点重合） 点C 是线段BF 的中点 连接AF AC ， 以A 为直角顶点 AF 为直角边在第二象限内作等腰Rt EAF △ 连接OE 交AC 于点G 探究线段OE 与AC 的关系 并说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，点A B C 都在坐标轴上 08A BO CO BC ===，．(1)点A 坐标为（______ _______）．(2)过点C 作x 轴的垂线l 动点Р从点C 出发 沿着直线①向上运动 若点Р的速度是1个单位/秒 时间是t 连接PA PB ， 请用含t 的式子表示PABS．(3)在（2）的条件下 连接AP 以AP 为斜边 在AP 下方作等腰直角APD △ 连接BD 并延长至点Q 连接PO QC ， 当点D 为BQ 中点时 请判断PCQ △的形状 并说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，(0,2)A (3,0)B 过点B 作直线ly 轴 点P 是直线l 上的动点 以AP 为边在AP 右上侧作等腰直角APQ △ 使90APQ ∠=︒．(1)如图1当点P 落在点B 时 则点Q 的坐标是________； 学生甲认为点Q 的坐标一定跟点P 有关 于是进行了如下探究：(2)如图2 小聪同学画草图时 让点P 落在1P 2P 3P 不同的特殊位置时（1P 在x 轴上 2P A 与x 轴平行 当Q 落在x 轴上时对应点3P ） 画出了几个点对应的1Q 2Q 3Q 三个不同的位置 发现1Q 2Q 3Q 在同一条直线上 请你根据学生甲的猜测及题目条件 求出点Q 所在直线的解析式；(3)在（2）中，虽然求出了点Q 所在直线的解析式 但是小明同学认为几个特殊点确定解析式是一种猜测 当点P 在l 上运动时 所有的Q 点都在一条直线上吗？就解设了点Q 的坐标为(,)x y 希望用一般推理的方式求出x 和y 满足的关系式 请你帮助小明给出解答．15．在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴交于点()6,0A - 与y 轴交于点B 且45ABO ∠=︒．(1)求点B 坐标和ABO 的面积；(2)如图2 点D 为OA 上的一条延长线的一个动点 以BD 为直角边 以点D 为直角顶点 作等腰三角形BDE 求证AB AE ⊥；(3)如图3 AF 平分OAB ∠ 点M 是射线AF 上一动点 点N 是线段AO 上一动点 判断是否存在这样的点M N 使得OM NM +的值最小 若存在 求出此时点N 的坐标 并加以说明；若不存在 则说明理由．参考答案： 1．（1）解：过点A 作2AH l ⊥于点H 如图所示：①点A 的坐标是(0,4) 点P 的坐标为(,)x y①4OA = ||OB x =①||AH OB x == 4BH OA ==①|4|HP y =-根据勾股定理 得()2222224816PA AH HP x y x y y =+=+-=+-+ 即22816PA x y y =+-+；（2）根据题意 可知点B 坐标为(,0)x①点P 在线段AB 的垂直平分线上①PA PB =①222816y x y y =+-+①2128y x =+ 2．（1）解：①OBC △是等腰直角三角形①,90BC AC C =∠=︒①2OB BC =①点B 的坐标是(0,2)①2OB =①22OB BC ==；①OAB是等腰直角三角形∠=∠OAB①ABP是等腰直角三角形ABP∠=∠∠=∠OBP四边形OAPB==BP OA点P的坐标为①ABP是等腰直角三角形∠=APB90∠=∠MPB在BPM△和APN中∠=∠=︒ANP BMP90≌△△BPM APNPMON是正方形；△△BPM≌①2AN t AN +=-①22t AN -=①22t OM ON +==①点P 的坐标为22,22t t ++⎛⎫⎪⎝⎭；故答案为：22t +；22t +（3）解：存在设点A 的坐标为()(),00m m ≥ 则OA m =①11222AOB S OA OB m m =⨯=⨯=由（2）①得：点P 的坐标为22,22m m ++⎛⎫ ⎪⎝⎭ 则22m OM +=根据题意得：90OMP AOB OAQ ∠=∠=∠=︒①四边形OAQM 是矩形①2,2m MQ OA m AQ OM +====①()2112122224ABQ m S AQ OA m m m +=⨯=⨯=+①AQB 的面积是AOB 的面积的3倍①()21234m m m +=解得：10m =或0（舍去）即存在点()10,0A 使得AQB 的面积是AOB 的面积的3倍． 3．（1）解：在3y x 中，当0x =时 3y = 当0y =时 03x =+ 解得3x =-①()30A -, ()0,3B①3OA OB ==①BAO ABO ∠=∠①90AOB ∠=︒①45BAO ABO ∠=∠=︒．（2）解：如图1 过点C 作CR y ⊥轴于点R ．Rt BCR 中，90BCR =︒-∠BR CR t ==-2BC BR =+COD AOB =∠在ACD 中，12S AD =⨯3）解：如图所示①90BOE ∠=︒ BF EF =①OF BF EF ==①FOE FEO ∠=∠设ADH a ∠=①45AEB a ∠=+︒①45FOE FEO a ∠=∠=+︒ 45AHD OAD ADH a ∠=∠-∠=︒- ①DH CG ∥①45CGO AHD a ∠=∠=︒-①454590CFO FOG FGO a a ∠=∠+∠=︒++︒-=︒取OC 的中点K 连接FK 交OB 于点P 过点F 作FL OB ⊥于点L过点K 分别作KM OB ⊥于点M KN FL ⊥交FL 的延长线于点N 连接KL ． ①四边形KMLN 是矩形；①90CFO ∠=︒ CK OK =①FK OK CK ==①BF OF = FL OB ⊥①BL OL =①KL BC ∥①45OLK OBC ∠=∠=︒①904545NLK NLO OLK ∠=∠-∠=︒-︒=︒①KM KN =①Rt Rt KOM KFN ≌△△①KOM KFN ∠=∠又①OPK FPL ∠=∠①90KOM OPK KFN FPL ∠+∠=∠+∠=︒①90OKP ∠=︒①FK OC ⊥①CF OF =①45CFK OFK ∠=∠=︒①45OCF ∠=︒①90COD ∠=︒ OC OD =在Rt ODS △中，()22223910()44OS OD DS =-=-= ①点D 的坐标为93,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 4．1）解：如图所示 符合条件的ABC 有两个 分别为1AB C 2AB C 其中12(2,0)(8,0)B B --、；（2）点C 的坐标为(2,5)115|2(5)|57.522ABC S ∴=⨯---⨯==△． 5．（1）解：如下图 过点C 作CE y ⊥轴于点E 则CEA AOB ∠=∠①ABC 是等腰直角三角形①,90AC BA BAC =∠︒＝①90ACE CAE BAO CAE ∠+∠=︒=∠+∠①ACE BAO ∠=∠．在ACE △和BAO 中CEA AOB ACE BAO AC BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①ACE BAO≌（AAS）①(0,1),(0,2)B A-①12BO AE AO CE====，①123OE=+=①2,3C-(）；（2）解：动点A在运动的过程中，+c d的值不变．理由如下：由（1）知ACE BAO≌①(0,1)B(0,)A a-①1,BO AE AO CE a====①1OE a=+①(,1)C a a--又①点C的坐标为(,)c d①11c d a a+=--=-即+c d的值不变；（3）解：存在一点P使PAB与ABC全等符合条件的点P的坐标是(4,)1-或(3,2)--或(2,1)-分为三种情况讨论：①如下图过点P作PE x⊥轴于点E则90PBA AOB PEB∠=∠=∠=︒①90,90EPB PBE PBE ABO∠+∠=︒∠+∠=︒①EPB ABO∠=∠在PEB△和BOA△中EPB OBAPEB BOAPB BA∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①PEB BOA△≌△（AAS）①1,3PE BO EB AO ====①314OE =+=即点P 的坐标是(4,)1-①如下图 过点C 作CM x ⊥轴于点M 过点P 作PE x ⊥轴于点E则90CMB PEB ∠=∠=︒．①CAB PAB △≌△①45,PBA CBA BC BP ∠=∠=︒=①90CBP ∠=︒①90,90MCB CBM CBM PBE ∠+∠=︒∠+∠=︒①MCB PBE ∠=∠在CMB 和BEP △中MCB EBP CMB BEP BC PB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①CMB BEP △≌△（AAS ）①,PE BM CM BE ==．①3,4),10C B -(（，）①2,413PE OE BE BO ==-=-=即点P 的坐标是(3,2)--；①如下图 过点P 作PE x ⊥轴于点E 则90BEP BOA ∠=∠=︒．①CAB PBA △≌△①,90AB BP CAB ABP =∠=∠=︒①90,90ABO PBE PBE BPE ∠+∠=︒∠+∠=︒①ABO BPE ∠=∠．在BOA △和PEB △中ABO BPE BOA PEB BA PB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①BOA PEB △≌△（AAS ）①1,3PE BO BE OA ====①312OE BE BO =-=-=即点P 的坐标是(2,1)-综上所述 符合条件的点P 的坐标是(4,)1-或(3,2)--或(2,1)-． 6．（1）三角形ABE 是等腰直角三角形AE AB ∴= 90EAB ∠=︒90FAE BAO ∴∠+∠=︒．EF x ⊥轴90EFA ∴∠=︒90AEF FAE ∴∠+∠=︒AEF OAB ∴∠=∠．90AOB ∠=︒EFA AOB ∴∠=∠．在AEF △和BAO 中,,,AEF BAO EFA AOBAE BA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS AEF BAO ∴≌3AF BO ∴==235OF ∴=+=()5,0F ∴-；（2）不变 理由如下：如图2 作CF y ⊥轴于FC y OF ∴=90PFC CFO ∴∠=∠=︒90FPC FCP ∴∠+∠=︒．三角形APC 是等腰直角三角形 90APC ∠=︒ PA PC ∴=90APO OPC ∴∠+∠=︒．APO PCF ∴∠=∠．又90AOP PFC ∠=∠=︒．在AOP 和PFC △中,,,APO PCF AOP PFC PA CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS AOP PFC ∴△≌△AO PF ．2P C y y OP OF PF AO ∴-=-===；（3）AG PH OP =+ 证明如下：在OG 上取一点M 使MG OP = 连接HM 并延长交AP 的延长线于N 如图3所示()2,0A -2AO ∴=HG x ⊥轴于G (),2H m2HG ∴=AO HG ∴=90AOP HGM ∠=∠=︒ MG OP =()SAS APO HMG ∴△≌△PAO MHG ∴∠=∠ AP HM =AMN HMG ∠=∠90ANM HGM ∴∠=∠=︒90APC ∠=︒ PC AP =45PAC ∴∠=︒AHN ∴是等腰直角三角形45PAH MHA ∴∠=∠=︒又AP HM = AH HA =()SAS APH HMA ∴△≌△PH MA ∴=AG AM MG =+AG PH OP ∴=+．7．（1）解：()()4003A B ，，，4∴=OA 3OB =4312OA OB ⋅=⨯=∴；（2）解：如图，作CD x ⊥轴于点D 则90AOB CDA ∠=∠=︒90ACD CAD ∴∠+∠=︒90BAC ∠=︒90CAD BAO ∴∠+∠=︒ACD BAO ∴∠=∠在BAO 和ACD 中90AOB CDA ACD BAOAB CA ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AAS BAO ACD ∴≌3AD OB ∴== 4CD OA ==437OD OA AD ∴=+=+=()74C ∴，；（3）解：如图BQ 平分ABy ∠ AQ 平分BAx ∠12ABQ ABy ∴∠=∠ 12BAQ BAx ∠=∠ABO∠+∴∠=ABy∴∠+ABQ(1180=︒21︒=-180∠+∠Q ABQ ∴∠=Q180 8．（1）解：作①()SAS CBO ABD ≌△△①AD OC = BCO BAD ∠=∠①BCO ABC BAD APC ∠+∠=∠+∠又90ABC ∠=︒①90APC ∠=︒ 即AD OC ⊥；（3）解：2OA BQ = 理由如下：作CF y ⊥轴于点F同理 ()AAS BAO CBF ≌△△ ①CF OB = BF OA =①90OB BD OBD =∠=︒，①=CF BD CF BD ∥①QCF QDB ∠=∠ 90QFC QBD ∠=∠=︒①()ASA QCF QDB ≌△△ ①BQ FQ =①1122BQ BF OA == 即2OA BQ =． 9．（1）解：如图，作AE OB ⊥于点E①()4,4A①4OE =①AOB 为等腰直角三角形 AE OB ⊥①=2=8OB OE①()8,0B ；①ACD 为等腰直角三角形AC DC =即ACF ∠+∠FDC ∠+∠ACF ∠=∠又①DFC ∠①()DFC CEA AAS ≌EC DF = FC =()4,4A4AE OE ===FC OE 即OF +①AOB 为等腰直角三角形45AOB ∠==AOD ∠∠AM FM -①()4,4A ①4AE OE ==又①==90EAN EOF ∠∠︒ AN OF =①()EAN EOF SAS ≌①=OEF AEN ∠∠ EF EN =又①EGH 为等腰直角三角形①45GEH ∠=︒ 即=45OEF OEM ∠+∠︒ ①=45AEN OEM ∠+∠︒又①90AEO ∠=︒①=45=NEM FEM ∠︒∠又①EM EM =①()NEM FEM SAS ≌①MN MF =①==AM MF AM MN AN --①=AM MF OF -即1AM FM OF-=．10．（1）解：把0x =代入24y x =-+得：4y =①点()04B ，①4OB =把0y =代入24y x =-+得：2x =①点()20A ，①2OA =①AOB DOC △≌△①(ASA OBN OCM ≌OM ON =分别过点M N 作ME①OFN OEM ∠=∠①BON COM OM ON ∠=∠=，①()AAS OFN OEM ≌①312OF OE FN EM ====， ①点N 的坐标为312⎛⎫ ⎪⎝⎭，； （3）解：直线CD 上存在点Q 使EPQ △是以E 为直角顶点的等腰三角形． ①()1E b ，为直线AB 上的点①2142b =-⨯+=①()12E ，①当点P 在点B 下方时 如图，连接DE 过点Q 作QM DE ⊥ 交DE 的延长线于M 点①()02D ，①DE y ⊥轴 1DE = 点M 的纵坐标为2 90M EDP ∠=∠=︒ ①EPQ △是以E 为直角顶点的等腰直角三角形①(AAS DEP MQE ≌1MQ DE ==Q 点的纵坐标为3把3y =代入12y x =+点()23Q ，；①()AAS EQM PEN ≌1EM PN ==()12E ，①M 点的纵坐标为1①Q 点的纵坐标为1把1y =代入122y x =+中得：2x =- ①()21Q -，； 综上所述 直线CD 上存在点Q 使得EPQ △是以E 为直角顶点的等腰直角三角形 Q 点的坐标为()23，或()21-，． 11．（1）解：()2430a b -+-= ()240a -≥ 30b -≥ 40a ∴-= 30b -=4a ∴= 3b =()()00A a B b ，、，4∴=OA 3OB =如图，过点C 作CN y ⊥轴于N则90BNC ∠=︒90ABC AOB ∠︒∠==90CBN ABO 90BAO ABO ∠+∠=︒ CBN BAO ∴∠=∠90BNC AOB ∠=∠=︒ BC AB =()AAS BNC AOB ∴≌4BN AO ∴== 3CN BO ==7ON OB BN ∴=+=()37C ∴，故答案为：()37，； （2）证明：如图，过E 作EF x ⊥轴于F 则90EFD ∠=︒a b =OA OB ∴=90AOB ∠=︒OAB ∴是等腰直角三角形45ABO BAO ∴∠=∠=︒BDE 是等腰直角三角形 90BDE ∠=︒BD DE ∴=90EDF BDO ∠+∠=︒ 90DEF EDF ∠+∠=︒ BDO DEF ∴∠=∠90EFD DOB ∠=∠=︒()AAS DEF BDO ∴≌EDF DBO ∴∠=∠ DF OB = EF OD = OB OA =DF OA ∴=DF AD OA OD ∴+=+ 即AF OD =AF EF ∴=AEF ∴是等腰直角三角形45EAF AEF ∴∠=∠=︒45EDF EAF AED AED ∠=∠+∠=︒+∠ 45DBO OBA ABD ABD ∠=∠+∠=︒+∠ ABD AED ∴∠=∠；（3）解：如图，过点D 作DM y ⊥轴于M DH x ⊥轴于H DG BA ⊥交BA 的延长线于G()33D -，3DM DH OM OH ∴====BD 平分ABO ∠ ⊥DM OB DG AB ⊥DM DG ∴=BD BD =()Rt Rt HL BDG BDM ∴≌同理可得：()Rt Rt HL ADH ADG ≌AH AG ∴=OA a = OB b = AB c =a b c OA OB AB ∴-+=-+()()()OH AH BM OM BG AG =+--+-33AH BM BG AG =+-++-6=即6a b c -+=．12．（1）解：①点A 关于x 轴的对称点为P 点 ①点P 的坐标为(0,)a -；由垂线段最短 当PB l ⊥时 PB 最短 过点B 作BD y ⊥轴于D 点 如图①直线l 平分坐标系的第二 四象限①45BOD ∠=︒①PB l ⊥①45BOD OPB ∠=∠=︒①OBP 是等腰直角三角形 OB PB =①BD y ⊥轴 OP a =22⎝⎭a a⎛⎫①()ACF QCB SAS △≌△①QB AF AE == QB AF ∥①180QBA BAF ∠+∠=︒又①90EAF BAO ∠=∠=︒①180BAF EAO ∠+∠=︒①QBA EAO ∠=∠又①BA AO =①(SAS)QBA EAO ≌△△①2OE AQ AC == BAQ AOE ∠=∠①90AOE GAO GAO BAQ ∠+∠=∠+∠=︒ ①90AGO ∠=︒①OE AC ⊥13．（1）OB OC = 8BC =4OB OC ∴==4OA OB ==()0,4A ∴故答案为：0 4；（2）4OC =()4,0C ∴．PC BC ⊥()4,P t ∴4OA OB OC ∴=== PC t =①当08t ≤<时 如图1PAB AOB BCP AOCP S S S S =+-梯形PAB PBC AOB SS S S =--梯形1122BC PC OA OB =⨯-⨯(1118444t =⨯⨯-⨯⨯-PAB S ⎧-⎪=⎨⎪⎩是等腰直角三角形；延长PD 至ADP 是等腰直角三角形AD ∴垂直平分AP AH ∴=90BAC ∠=︒BAH PAC ∴∠=∠在ABH 和ACP △中AH AP BAH CAP AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS ABH ACP ∴≌45ABH ACP ∴∠=∠=︒ BH PC =45ABC ∠=︒∴点H 在BC 上点D 是BD 的中点BD QB ∴=在PDQ 和HDB 中DP DH PDQ HDB BD QD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()SAS PDQ HDB ∴≌PQ BH ∴∥ PQ BH =BH PC =PC PQ ∴=PQ BC ∥ 90BCP ∠=︒90CPQ BCP ∴∠=∠=︒PAQ ∴是等腰直角三角形；14．（1）解：作QG l ⊥于点G①(0,2)A (3,0)B①2AO = 3BO =①AP PQ = 90APQ ∠=︒①90APO APG QPG ∠=︒-∠=∠①APO QPG ≌△△①2QG AO == 3BG BO ==①点Q 的坐标是()53，故答案为：()53，； （2）解：当点Q 在于直线l 上时 如图2223P Q AP OB ===①点2Q 的坐标是()35，由（1）知点1Q 的坐标是()53，设点Q 所在直线的解析式为y kx b =+则5335k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得18k b =-⎧⎨=⎩①点Q 所在直线的解析式为8y x =-+；（3）解：如图，作PM OA ⊥于M QN MP ⊥于N①90APQ ∠=︒①四边形OBPM 是矩形PA PQ = 90APQ ∠=︒①90APM QPN ∠+∠=︒ 90QPN PQN ∠+∠=︒APM PQN ∴∠=∠在PAM △和QPN 中AMP PNQ APM PQN AP PQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩PAM QPN ∴≌△△QN PM ∴= AM PN =①点Q 的坐标为(,)x y①MN x = 3PN x =- 3PB y QN y PM y =-=-=- ()2223AM OM PB y =-=-=--①AM PN =①()233y x --=-整理得8y x =-+．15．（1）①()6,0A -①6OA =；①45ABO ∠=︒①6OB OA ==①()0,6B11661822ABO S OA OB ==⨯⨯=． （2）过点E 作EF x ⊥轴①90EDB ∠=︒①90FED ODB FDE ∠=∠=︒-∠①FED ODB EFD DOB ED DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①()AAS EFD DOB ≌①(ASA AGH AOH ≌6AG AO == OH ①O G 是对称点故OM GM =根据垂线段最短故OM NM +最小①()6,0A -①6OA =；①45ABO ∠=︒①6OB OA == 45BAO ∠=︒ ①45AGN ∠=︒①AN GN =①222236AN GN AN +== 解得32,32AN AN ==-（舍去） ①632ON OA AN =-=-． 故()326,0N -．。

中考数学总复习《因式分解-十字相乘法》专项提升训练(带答案)

中考数学总复习《因式分解-十字相乘法》专项提升训练(带答案)

中考数学总复习《因式分解-十字相乘法》专项提升训练（带答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．下列因式分解结果正确的是（ ） A ．32(1)x x x x -=-B ．229(9)(9)x y x y x y -=+-C ．232(3)2x x x x -+=-+D ．()()22331x x x x --=-+2．分式 212x x x ---有意义， 则（ ） A ．2x ≠ B ．1x ≠- C ．2x ≠或1x ≠- D ．2x ≠且1x ≠- 3．下列多项式中是多项式243x x -+的因式的是（ ）A ．1x -B ．xC ．2x +D ．3x +4．已知甲、乙、丙均为x 的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘的积为29x -，乙与丙相乘的积为26x x +-，则甲与丙相减的结果是( )A ．5-B ．5C ．1D ．1-5．将下列各式分解因式，结果不含因式()2x +的是（ ）A ．22x x +B ．24x -C ．()()21211x x ++++D ．3234x x x -+ 6．甲、乙两位同学在对多项式2x bx c ++分解因式时甲看错了b 的值，分解的结果是()()45x x -+，乙看错了c 的值，分解的结果是()()34x x +-，那么2x bx c ++分解因式正确的结果为（ ）A ．()()54x x --B ．()()45x x +-C ．()()45x x -+D ．()()45x x ++ 7．如果多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，那么:a b 的值是（ ）A ． 2-B ． 3-C ．3D ．6 8．若分解因式()()2153x mx x x n +-=--则m 的值为（ ）A ．5-B ．5C ．2-D ．2二、填空题9．因式分解26a a +-的结果是 ．三、解答题21424x x -+ 解：24(2)(12)=-⨯- (2)(12)14-+-=-21424(2)(12)x x x x ∴-+=-- 解：原式222277724x x =-⋅⋅+-+2(7)4924x =--+2(7)25x =-- (75)(75)x x =-+--(2)(12)x x =-- (1)按照材料一提供的方法分解因式：22075x x -+；(2)按照材料二提供的方法分解因式：21228x x +-．20．利用整式的乘法运算法则推导得出：()()()2ax b cx d acx ad bc x bd ++=+++．我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得()()()2acx ad bc x bd ax b cx d +++=++．通过观察可把()2acx ad bc x bd +++看作以x 为未知数，a 、b 、c 、d 为常数的二次三项式，此种因式分解是把二次三项式的二项式系数ac 与常数项bd 分别进行适当的分解来凑一次项的系数，分解过程可形象地表述为“竖乘得首、尾，叉乘凑中项”，如图1，这种分解的方法称为十字相乘法．例如，将二次三项式221112x x ++的二项式系数2与常数项12分别进行适当的分解，如图2，则()()221112423x x x x ++=++．根据阅读材料解决下列问题：(1)用十字相乘法分解因式：2627x x +-；(2)用十字相乘法分解因式：2673x x --；(3)结合本题知识，分解因式：220()7()6x y x y +++-．参考答案： 1．D【分析】本题考查了因式分解；根据因式分解－十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用，进行分解逐一判断即可． 【详解】解：A 、()()32(1)11x x x x x x x -=-=+-故本选项不符合题意；B 、229(3)(3)x y x y x y -=+-故本选项不符合题意；C 、()()23221x x x x -+=--故本选项不符合题意；D 、223(3)1)x x x x --=-+（故本选项符合题意； 故选：D ．2．D【分析】本题考查的是分式有意义的条件，利用十字乘法分解因式，根据分式有意义的条件：分母不为零可得 ²20x x --≠，再解即可． 【详解】解：由题意得： ²20x x --≠ 210x x解得： 2x ≠且1x ≠-故选： D ．3．A【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式，掌握十字乘法是解本题的关键．【详解】解：()()24313x x x x -+=--；∴1x -是多项式243x x -+的因式；故选A4．D【分析】此题考查了十字相乘法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．把题中的积分解因式后，确定出各自的整式，相减即可．【详解】解：∴甲与乙相乘的积为29(3)(3)x x x -=+-，乙与丙相乘的积为()262(3)x x x x +-=-+，甲、乙、丙均为x 的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数 ∴甲为3x -，乙为3x +，丙为2x则甲与丙相减的差为：()(3)21x x ---=-；故选：D5．D【分析】本题主要考查了分解因式，正确把每个选项中的式子分解因式即可得到答案．【详解】解：A 、()222x x x x +=+故此选项不符合题意；B 、()()2422x x x -=+-故此选项不符合题意；C 、()()()()2221211112x x x x ++++=++=+故此选项不符合题意；D 、()()323441x x x x x x =+-+-故此选项符合题意； 故选：D ．6．B【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式以及因式分解，根据甲分解的结果求出c ，根据乙分解的结果求出b ，然后代入利用十字相乘法分解即可．【详解】解：∴()()24520x x x x -+=+-∴20c =-∴()()23412x x x x +-=--∴1b∴2x bx c ++220x x =--()()45x x =+-故选：B ．7．A【分析】由于()()2221+-=+-x x x x ，而多项式432237x x ax x b -+++能被22x x +-整除，则432237x x ax x b -+++能被()()21x x +-整除．运用待定系数法，可设商是A ，则()()43223721x x ax x b A x x -+++=+-，则2x =-和1x =时4322370x x ax x b -+++=，分别代入，得到关于a 、b 的二元一次方程组，解此方程组，求出a 、b 的值，进而得到:a b 的值.【详解】解：∴()()2221+-=+-x x x x∴432237x x ax x b -+++能被()()21x x +-整除设商是A ．则()()43223721x x ax x b A x x -+++=+-则2x =-和1x =时右边都等于0，所以左边也等于0．当2x =-时43223732244144420x x ax x b a b a b -+++=++-+=++= ∴当1x =时43223723760x x ax x b a b a b -+++=-+++=++= ∴-①②，得3360a +=∴12a =-∴66b a =--=．∴:12:62a b =-=-故选：A ．【点睛】本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．在因式分解时一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．本题关键是能够通过分析得出2x =-和1x =时原多项式的值均为0，从而求出a 、b 的值．本题属于竞赛题型，有一定难度．8．D【分析】已知等式右边利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m 的值即可．【详解】解：已知等式整理得：()()()2215333x mx x x n x n x n +-=--=+--+可得3m n =-- 315n =-解得：2m = 5n =-故答案为：D ．【点睛】此题考查了因式分解-十字相乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 9．(3)(2)a a +-【分析】解：本题考查了公式法进行因式分解，掌握2()()()x p q x pq x p x q +++=++进行因式分解是解题的关键．【详解】26(3)(2)a a a a +-=+-故答案为：(3)(2)a a +-．10．(2)(3)y y y --【分析】本题考查提公因式法，十字相乘法，掌握提公因式法以及2()()()x p q x pq x p x q +++=++是正确解答的关键．先提公因式y ，再利用十字相乘法进行因式分解即可．【详解】解：原式2(56)y y y =-+(2)(3)y y y =--．故答案为：(2)(3)y y y --．11．()()21a a a --/()()12a a a --【分析】先去括号合并后，直接提取公因式a ，再利用十字相乘法分解因式即可．本题考查了用提公因式法和十字相乘法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止【详解】解：2(3)2a a a -+3232a a a -+=()232a a a =-+(2)(1)a a a =--．故答案为：(2)(1)a a a --．12．1±或5±【分析】此题考查因式分解—十字相乘法，解题关键在于理解()()()2x a b x ab x a x b +++=++．把6-分成3和2-，3-和2，6和1-，6-和1，进而得到答案．【详解】解：当()()2632x mx x x +-=+-时()321m =+-=当()()2632x mx x x +-=-+时321m =-+=-当()()2661x mx x x +-=-+时615m =-+=-当()()2661x mx x x +-=+-时615m =-=综上所述：m 的取值是1±或5±故答案为：1±或5±．13．6±【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，根据5可以分成15⨯或()()15-⨯-即可求解．【详解】解：155⨯= ()()155-⨯-=()()21565x x x x ++=++ ()()26515x x x x =---+∴如果关于x 的二次三项式25x kx ++可以用十字相乘法进行因式分解，那么整数k 等于6±． 故答案为：6±．14．()()21x x +-【分析】本题主要考查了根与系数的关系、十字相乘法因式分解的知识点，先根据根与系数的关系确定b 、c 的值，然后再运用十字相乘法因式分解即可．【详解】解：∴关于x 的一元二次方程20x bx c ++=的两个实数根分别为1和2- 根据根与系数的关系可得：()12b -=+- ()12c =⨯-∴1b = 2c =-∴()()22221x bx c x x x x ++=+-=+-故答案为：()()21x x +-．15．()()211x x --【分析】本题考查了一元二次方程的解及因式分解，将1x =代入原方程，求出m 的值，然后再进行因式分解是解决问题的关键．【详解】解：∴关于x 的一元二次方程2210x mx ++=有一个根是1∴把1x =代入，得210m ++=解得：3m =-．则()()2221231211x mx x x x x ++=-+=--故答案为：()()211x x --．16．()()23x x +-【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系求出p q ，，再进行因式分解即可．【详解】解：∴方程20x px q ++=的两个根分别是2和3-∴23p -=- ()23q ⨯-=∴1,6p q ==-∴()()2623x x x x --=+-；故答案为()()23x x +-．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，因式分解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．17．(1)()()322x x x +-(2)()23y x y --(3)()()26x x +-【分析】本题考查因式分解的知识，解题的关键是掌握因式分解的方法：提公因式法，公式法和十字相乘法，即可．（1）先提公因式3x ，然后根据()()22a b a b a b -=+-，即可； （2）先提公因式y -，再根据()2222a b a ab b ±=±+，即可；（3）根据十字相乘法，进行因式分解，即可．【详解】（1）3312x x -()234x x =- ()()322x x x =+-；（2）22369xy x y y --()2269y xy x y =--++()2296y x xy y =--+ ()23y x y =--； （3）2412x x --()()26x x =+-．18．3a b += 2ab =.【详解】解：因为()()()2x a x b x a b x ab ++=+++，且232x x ++因式分解的结果是()()x a x b ++所以3a b += 2ab =.19．(1)(5)(15)x x --(2)(14)(2)x x +-【分析】本题考查了因式分解，解答本题的关键是理解题意，明确题目中的分解方法． （1）仿照题目中的例子进行分解即可得出答案；（2）仿照题目中的例子进行分解即可得出答案．【详解】（1）解：75(5)(15)=-⨯- (5)(15)20-+-=-22075(5)(15)x x x x ∴-+=--；（2）解：原式222266628x x =+⋅⋅+--2(6)3628x =+--2(6)64x =+-(68)(68)x x =+++-(14)(2)x x =+-．20．(1)()()39x x -+(2)()()2331x x -+(3)()()443552x y x y +++-【分析】本题主要考查多项式乘多项式，因式分解，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．（1）利用十字相乘法进行求解即可；（2）利用十字相乘法进行求解即可；（3）先分组，再利用十字相乘法进行求解即可．【详解】（1）解：2627x x +-第 11 页 共 11 页 ()()39x x =-+；（2）解：2673x x -- ()()2331x x =-+；（3）解：220()7()6x y x y +++- ()()4352x y x y ⎡⎤⎡⎤=+++-⎣⎦⎣⎦ ()()443552x y x y =+++-．。

中考总复习数学专题优化训练： 代数型应用题

中考总复习数学专题优化训练： 代数型应用题

热点专题四 应用型问题专题训练十二 代数型应用题一、选择题1.(2006浙江嘉兴中考)已知函数y=x-5,令x=21,1,23,2,25,3,27,4,29、5,可得函数图象上的十个点.在这十个点中随机取两个点P(x 1,y 1)、Q(x 2,y 2),则P 、Q 两点在同一反比例函数图象上的概率是 A.91 B.454 C.457 D.52 2.两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5 cm 、4 cm 、3 cm.把它们叠放在一起组成一个新长方体，在这些新长方体中，表面积最大是A.188 cm 2B.176 cm 2C.164 cm 2D.158 cm 2 3.已知a 、b 、c 均为正数，且c b a +=a c b +=ba c +=k ，则下列四个点中，在正比例函数y=kx 的图象上的点的坐标是 A.(1，21) B.(1，2) C.(1，-21) D.(1，-1) 4.在平面直角坐标系中，以P(1，2)为圆心，1为半径的圆必与A.x 轴相交B.y 轴相交C.x 轴相切D.y 轴相切 5.设“○”“□”“△”分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，两次情况如图4-1所示，那么每个“○”“□”“△”这样的物体，按质量从小到大的顺序排列为图4-1A.○□△B.○△□C.□○△D.△□○6.关于二次函数y=ax 2+bx+c 的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c ＞0且函数的图象开口向下时，ax 2+bx+c=0必有两个不相等的实数根；③函数图象最高点的纵坐标是ab ac 442-；④当b=0时，函数的图象关于y 轴对称，其中正确的有A.1个B.2个C.3个D.4个 二、填空题7.一张纸的厚度为0.008 905厘米，科学记数法表示为_______________厘米，精确到十万分位是________________，有_______________个有效数字.8.一次数学测试中，满分是120分，分数出来后小明和小力把他俩的分数进行计算.小明说：“我俩的分数和是200分.”小力说：“我俩的平均分是100分.”那么，对于下列两种说法：①两人的说法都是对的；②有一人说错了，正确的说法是________________.(填序号) 9.已知一次函数y=-x+4与反比例函数y=xk在同一坐标系内没有交点，则k 的取值为___________________.10.关于x 的方程(a 2-4)x 2+(a-2)x+6=0，当a 满足________________时，是一元二次方程；当a 满足__________________时，是一元一次方程.11.王老师给了一个函数，甲、乙、丙、丁四位同学各指出了这个函数的一个性质： 甲：函数图象不经过第三象限； 乙：函数图象经过第一象限;丙：当x ＜2时，y 随着x 的增大而减小； 丁：当x ＜2时，y ＞0.已知这四位同学的叙述都是正确的，请写出一个满足上述条件的函数的关系式____________ _______________________________________________________________________________.12.某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券.(奖券购物不再享受优惠)根据上述促销方法，顾客在该商场购物可获得双重优惠，如果王老师在该商场购标价450元的商品，他获得的优惠额为_____________元. 三、解答题13.(2006辽宁大连中考)在围棋盒中有x 颗黑色棋子和y 颗白色棋子,从盒中随机地取出一个棋子,如果它是黑色棋子的概率是83. (1)试写出y 与x 的函数关系式;(2)若往盒中再放进10颗黑色棋子,则取得黑色棋子的概率变为21,求x 和y 的值. 提示：(1)本题中黑色棋子概率为总棋子数黑棋子数,找出x 、y 之间的关系.(2)根据另一等量关系又可得x 的关系式,把问题转化为方程组求解.14.某风景区对5个景点的门票价格进行调整，据了解，调价前后各景点的游客人数基本不变，有关数据如表所示：怎样计算的？(2)另一方面游客认为调整收费后风景区的平均日总收入相对于调价前，实际上增加了约9.4%，问游客是怎样计算的？(3)你认为风景区和游客哪一个的说法较能反映整体实际？15.通过市场调查，一段时间内某产品的需求量y(千克)与市场价格x(元/千克)存在下列函数关系式：y=x100000+6 000(0<x<100)；又已知该产品生产数量z(千克)与市场价格x(元/千克)成正比例关系：z=400x(0<x<100),现不计其他因素影响，如果需求数量y 等于生产数量z 时，即供需平衡，此时市场处于平衡状态.(1)根据以上市场调查，请你分析当市场处于平衡状态时，该产品市场价格与这段时间内总销售收入各是多少？(2)若该产品运用高科技改造传统生产方式，减少产量，以大力提高产品质量.此时生产数量z 与市场价格x 的函数关系发生改变，而需求函数关系未发生变化，当市场再次处于平衡状态时，市场价格已上涨了a(0<a<25)元，问在此后的相同时间段内该产品总销售收入是增加了还是减少了？变化多少？16.先阅读下面的材料，然后解答问题：在一条直线上有依次排列的n(n ＞1)台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P ，使这n 台机床到供应站P 的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：如图4-2(1)，如果直线上有2台机床时，很明显设在A 1和A 2之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于A 1和A 2的距离；如图4-2(2)，如果直线上有3台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床A 2处最合适.因为如果P 放在A 2处，甲和丙所走的距离之和恰好为A 1到A 3的距离.而如果把P 放在别处，例如D 处，那么甲和丙所走的距离之和仍是A 1到A 3的距离，可是乙还得走A 2到D 的这一段，这是多出来的.因此P 放在A 2处是最佳选择. 不难知道，如果直线上有4台机床，P 应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P 应设在第3台位置.(1)有n 台机床时，P 应设在何处？(1) (2)图4-2(2)根据问题(1)的结论：求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-617|的最小值.一、选择题 1答案：B提示：根据函数关系式,求出相应的10个y 值. 根据反比例函数y=xk或xy=k, 只要点的横、纵坐标的积相等,则就在同一反比例函数图象上,其概率为在同一反比例函数图象上点可能性/任取两点的所有可能性. 相应：y 为-29,-4,-27,-3,-25,-2,-23,-1,21,0,则概率=454,应选B. 2答案：C提示：由多种叠加方式，所以要分情况讨论比较. 3答案：A提示：运用等比性质求得k=21.4答案：D提示：圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切.5答案：D 提示：把图象信息用数学式去表达，转化为不等式问题.6答案：C提示：(1)二次函数y=ax 2+bx+c 中，当c ＞0时，抛物线交y 轴的正半轴，当c ＜0时，抛物线交y 轴的负半轴，当c=0时，函数的图象经过原点；（2）ab ac 442-要么是y 的最大值，要么是y 的最小值；（3）当b=0时，函数的对称轴为y 轴. 二、填空题7答案：8.905×10-3 0.008 91 3提示：科学计数法a ×10n 中，1≤a ＜10. 8答案：①提示：2人的分数和200分小于240分,且平均分为100分. 9答案：k>4提示：两函数关系式联立方程组无解. 10答案：a ≠±2 a=-2提示：一元二次方程ax 2+bx+c=０中，二次项系数a ≠0,一元一次方程不含二次项. 11答案：y=-x+2（答案不唯一） 提示：由性质综合分析确定. 12答案：120提示：450×（1-80%）+30=120. 13答案：(1)y x x+=83,8x=3x+3y,3y=5x,y=35x.(2)y x x+++1010=21,20+2x=10+x+y,y=x+10,将y=35x 代入可得35x=x+10,x=15,则y=25. 14答案：解：(1）原平均收费=（10+10+15+20+25）÷5=16（元）, 现平均收费=（5+5+15+25+30）÷5=16（元）. (2）5×1+5×1+15×2+25×3+30×2=175, 10×1+10×1+15×2+20×3+25×2=160, （175-160）÷160=9.4%. (3)游客.15答案：(1）市场价格为25元，总销售收入为250 000元. (2)增加了；6 000a.提示：(1)由y=z;(2)增加.16答案：(1)当n 为正偶数时,P 应设在第2n 台与第2n+1台之间;当n 为正整数时,P 应设在第21n台.(2)95 172.提示：(1)n分正偶数或正奇数.(2)运用绝对值的意义：一个数（点）到原点的距离称为这个数（点）的绝对值.。

人教版九年级数学上册中考专题复习题含答案全套

人教版九年级数学上册中考专题复习题含答案全套

人教版九年级数学上册中考专题复习题1.类比归纳专题：配方法的应用2.类比归纳专题：一元二次方程的解法3.易错易混专题：一元二次方程中的易错问题4.考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合5.解题技巧专题：抛物线中与系数a，b，c有关的问题6.易错易混专题：二次函数的最值或函数值的范围7.难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做)8.抛物线中的压轴题9.易错专题：抛物线的变换10.解题技巧专题：巧用旋转进行计算11.旋转变化中的压轴题12.类比归纳专题：圆中利用转化思想求角度13.类比归纳专题：切线证明的常用方法14.解题技巧专题：圆中辅助线的作法15.解题技巧专题：圆中求阴影部分的面积16.考点综合专题：圆与其他知识的综合17.圆中的最值问题18.抛物线与圆的综合19.易错专题：概率与放回、不放回问题类比归纳专题：配方法的应用——体会利用配方法解决特定问题◆类型一 配方法解方程1．一元二次方程x 2－2x －1＝0的解是（ ）A ．x 1＝x 2＝1B ．x 1＝1＋2，x 2＝－1－ 2C ．x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2D ．x 1＝－1＋2，x 2＝－1－ 22．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100B ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25C ．2t 2－7t －4＝0化为⎝⎛⎭⎫t －742＝8116 D ．3x 2－4x －2＝0化为⎝⎛⎭⎫x －232＝1093．利用配方法解下列方程：(1)(2016·淄博中考)x 2＋4x －1＝0；(2)(x ＋4)(x ＋2)＝2；(3)4x 2－8x －1＝0；(4)3x 2＋4x －1＝0.◆类型二 配方法求最值或证明 4．代数式x 2－4x ＋5的最小值是（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．55．下列关于多项式－2x 2＋8x ＋5的说法正确的是（ ）A ．有最大值13B ．有最小值－3C ．有最大值37D ．有最小值1 6．(2016－2017·夏津县月考)求证：代数式3x 2－6x ＋9的值恒为正数．7．若M ＝10a 2＋2b 2－7a ＋6，N ＝a 2＋2b 2＋5a ＋1，试说明无论a ，b 为何值，总有M ＞N .◆类型三 完全平方式中的配方 8．如果多项式x 2－2mx ＋1是完全平方式，则m 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．±1D ．±29．若方程25x 2－(k －1)x ＋1＝0的左边可以写成一个完全平方式，则k 的值为（ ）A ．－9或11B ．－7或8C ．－8或9D ．－6或7◆类型四 利用配方构成非负数求值 10．已知m 2＋n 2＋2m －6n ＋10＝0，则m ＋n 的值为（ ）A ．3B ．－1C ．2D ．－211．已知x 2＋y 2－4x ＋6y ＋13＝0，求(x ＋y )2016的值．答案：类比归纳专题：一元二次方程的解法——学会选择最优的解法◆类型一 一元二次方程的一般解法方法点拨： 形如（x ＋m ）2＝n （n ≥0）的方程可用直接开平方法；当方程二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，可用配方法；若方程移项后一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积，可用因式分解法；如果方程不能用直接开平方法和因式分解法求解，则用公式法.1.用合适的方法解下列方程：（1）⎝⎛⎭⎫x －522－14＝0；（2）x 2－6x ＋7＝0；（3）x 2－22x ＋18＝0；（4）3x （2x ＋1）＝4x ＋2.◆*类型二 一元二次方程的特殊解法 一、十字相乘法方法点拨：例如：解方程：x 2＋3x －4＝0.第1种拆法：4x －x ＝3x （正确）， 第2种拆法：2x －2x ＝0（错误）， 所以x 2＋3x －4＝（x ＋4）（x －1）＝0，即x ＋4＝0或x －1＝0，所以x 1＝－4，x 2＝1. 2.解一元二次方程x 2＋2x －3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程____________.3.用十字相乘法解下列一元二次方程： （1）x 2－5x －6＝0； （2）x 2＋9x －36＝0.二、换元法方法点拨：在已知或者未知条件中，某个代数式几次出现，可用一个字母来代替它从而简化问题，这就是换元法，当然有时候要通过变形才能换元.把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的.4.若实数a ，b 满足（4a ＋4b ）（4a ＋4b －2）－8＝0，则a ＋b ＝_______.5.解方程：（x 2＋5x ＋1）（x 2＋5x ＋7）＝7.1.解：（1）移项，得⎝⎛⎭⎫x －522＝14， 两边开平方，得x －52＝±14， 即x －52＝12或x －52＝－12，∴x 1＝3，x 2＝2；（2）移项，得x 2－6x ＝－7，配方，得x 2－6x ＋9＝－7＋9，即（x －3）2＝2， 两边开平方，得x －3＝±2， ∴x 1＝3＋2，x 2＝3－2；（3）原方程可化为8x 2－42x ＋1＝0. ∵a ＝8，b ＝－42，c ＝1，∴b 2－4ac ＝（－42）2－4×8×1＝0， ∴x ＝－（－42）±02×8＝24，∴x 1＝x 2＝24； |（4）原方程可变形为（2x ＋1）（3x －2） ＝0，∴2x ＋1＝0或3x －2＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝23.2. x －1＝0或x ＋3＝0.3.解：（1）原方程可变形为（x －6）（x ＋1） ＝0，∴x －6＝0或x ＋1＝0， ∴x 1＝6，x 2＝－1；（2）原方程可变形为（x ＋12）（x －3） ＝0，∴x ＋12＝0或x －3＝0， ∴x 1＝－12，x 2＝3. 4.－12或15.解：设x 2＋5x ＋1＝t ，则原方程化为t （t ＋6）＝7，∴t 2＋6t －7＝0，解得t ＝1或－7.当t ＝1时，x 2＋5x ＋1＝1，x 2＋5x ＝0， x （x ＋5）＝0，∴x ＝0或x ＋5＝0，∴x 1＝0，x 2＝－5； 当t ＝－7时，x 2＋5x ＋1＝－7，x 2＋5x ＋8＝0，∴b 2－4ac ＝52－4×1×8＜0，此时方程 无实数根.∴原方程的解为x 1＝0，x 2＝－5.易错易混专题：一元二次方程中的易错问题◆类型一 利用方程或其解的定义求待定系数时，忽略“a ≠0”1．(2016－2017·江都区期中)若关于x的方程(a ＋3)x |a |－1－3x ＋2＝0是一元二次方程，则a 的值为______.【易错1】2．关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋a 2－1＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）A ．－1B ．1C ．1或－1D ．－1或0 3．已知关于x 的一元二次方程(m －1)x 2＋5x ＋m 2－3m ＋2＝0的常数项为0.(1)求m 的值； (2)求方程的解．◆类型二 利用判别式求字母取值范围时，忽略“a ≠0”及“a 中的a ≥0”4．(2016－2017·抚州期中)若关于x 的一元二次方程(m －2)2x 2＋(2m ＋1)x ＋1＝0有解，那么m 的取值范围是（ ）A ．m ＞34B ．m ≥34C ．m ＞34且m ≠2D ．m ≥34且m ≠25．已知关于x 的一元二次方程x 2＋k －1x －1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________.6．若m 是非负整数，且关于x 的方程(m －1)x 2－2x ＋1＝0有两个实数根，求m 的值及其对应方程的根．◆类型三 利用根与系数关系求值时，忽略“Δ≥0”7．(2016·朝阳中考)关于x 的一元二次方程x 2＋kx ＋k ＋1＝0的两根分别为x 1，x 2，且x 21＋x 22＝1，则k 的值为_______.【易错2】 8．已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m 的值．【易错2】◆类型四 与三角形结合时忘记取舍 9．已知三角形两边长分别为2和9，第三边的长为一元二次方程x 2－14x ＋48＝0的根，则这个三角形的周长为（ ）A ．11B ．17C ．17或19D ．1910．在等腰△ABC 中，三边分别为a ，b ，c ，其中a ＝5，若关于x 的方程x 2＋(b ＋2)x ＋6－b ＝0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长．考点综合专题：一元二次方程与其他知识的综合◆类型一一元二次方程与三角形、四边形的综合1．(雅安中考)已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5 B．7 C．5或7 D．102．(广安中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的根，则该等腰三角形的周长是（）A．12 B．9C．13 D．12或93．(罗田县期中)菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2－7x＋12＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（）A．16 B．12 C．16或12 D．244．(烟台中考)等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n的值为（）A．9 B．10C．9或10 D．8或105．(齐齐哈尔中考)△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2－8x＋15＝0的根，则△ABC的周长是________．6．(西宁中考)若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0(0＜m≤32)的两根，则矩形的周长为_________．【方法8】7．已知一直角三角形的两条直角边是关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋k2＋3＝0的两个不相等的实数根，如果此直角三角形的斜边是5，求它的两条直角边分别是多少．【易错4】◆类型二一元二次方程与一次函数的综合8．(泸州中考)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是（）9．(安顺中考)若一元二次方程x2－2x －m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x ＋m－1的图象不经过（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限10．(葫芦岛中考)已知k、b是一元二次方程(2x＋1)(3x－1)＝0的两个根，且k＞b，则函数y＝kx＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．(广元中考)从3，0，－1，－2，－3这五个数中抽取一个数，作为函数y＝(5－m2)x和关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋mx＋1＝0中m的值．若恰好使函数的图象经过第一、三象限，且使方程有实数根，则满足条件的m的值是______．◆类型三一元二次方程与二次根式的综合12．(达州中考)方程(m－2)x2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m的取值范围为（）A．m＞52B．m≤52且m≠2C．m≥3 D．m≤3且m≠213．(包头中考)已知关于x的一元二次方程x2＋k－1x－1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．答案：12.B 13.解题技巧专题：抛物线中与系数a，b，c有关的问题◆类型一由某一函数的图象确定其他函数图象的位置1．二次函数y＝－x2＋ax－b的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第1题图第2题图2．已知一次函数y＝－kx＋k的图象如图所示，则二次函数y＝－kx2－2x＋k的图象大致是（）3．已知函数y＝(x－a)(x－b)(其中a＞b)的图象如图所示，则函数y＝ax＋b的图象可能正确的是（）第3题图第4题图4．如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是（）◆类型二由抛物线的位置确定代数式的符号或未知数的值5．(2016·新疆中考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是【方法10】（）A．a＞0B．c＜0C．3是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根D．当x＜1时，y随x的增大而减小第5题图第7题图6．(2016·黄石中考)以x为自变量的二次函数y＝x2－2(b－2)x＋b2－1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是【方法10】（）A．b≥54B．b≥1或b≤－1C．b≥2 D．1≤b≤27．(2016·孝感中考)如图是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象，其顶点坐标为(1，n)，且与x轴的一个交点在点(3，0)和(4，0)之间．则下列结论：①a－b＋c＞0；②3a＋b＝0；③b2＝4a(c－n)；④一元二次方程ax2＋bx＋c＝n－1有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．(2016·天水中考)如图，二次函数y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B 两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，则下列结论：①abc＜0；②b2－4ac4a＞0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB ＝－ca .其中正确结论的序号是____________.答案：易错易混专题：二次函数的最值或函数值的范围——类比各形式，突破给定范围求最值◆类型一 没有限定自变量的范围求最值 1．函数y ＝－(x ＋1)2＋5的最大值为_______. 2．已知二次函数y ＝3x 2－12x ＋13，则函数值y 的最小值是【方法11】（ ）A ．3B ．2C ．1D ．－13．已知函数y ＝x(2－3x)，当x 为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值．◆类型二 限定自变量的取值范围求最值4．(2016－2017·双台子区校级月考)函数y ＝x 2＋2x －3(－2≤x ≤2)的最大值和最小值分别是（ ）A ．4和－3B ．－3和－4C ．5和－4D ．－1和－45．二次函数y ＝－12x 2＋32x ＋2的图象如图所示，当－1≤x ≤0时，该函数的最大值是【方法11】（ ）A ．3.125B ．4C ．2D ．06．已知0≤x ≤32，则函数y ＝x 2＋x ＋1（ ） A ．有最小值34，但无最大值B ．有最小值34，有最大值1C ．有最小值1，有最大值194D ．无最小值，也无最大值◆类型三 限定自变量的取值范围求函数值的范围7．从y ＝2x 2－3的图象上可以看出，当－1≤x ≤2时，y 的取值范围是（ ）A ．－1≤y ≤5B ．－5≤y ≤5C ．－3≤y ≤5D ．－2≤y ≤18．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋3，当x ≥2时，y 的取值范围是（ ）A ．y ≥3B ．y ≤3C ．y ＞3D ．y ＜39．二次函数y ＝x 2－x ＋m(m 为常数)的图象如图所示，当x ＝a 时，y ＜0；那么当x ＝a －1时，函数值CA ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．y ＞mD ．y ＝m◆类型四 已知函数的最值，求自变量的取值范围或待定系数的值10．当二次函数y ＝x 2＋4x ＋9取最小值时，x 的值为（ ）A ．－2B ．1C ．2D ．911．已知二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a －1的最小值为2，则a 的值为（ ）A．3 B．－1C．4 D．4或－112．已知y＝－x(x＋3－a)＋1是关于x 的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤513．在△ABC中，∠A，∠B所对的边分别为a，b，∠C＝70°.若二次函数y＝(a＋b)x2＋(a＋b)x－(a－b)的最小值为－a2，则∠A＝_______度．14．★已知函数y＝－4x2＋4ax－4a－a2，若函数在0≤x≤1上的最大值是－5，求a的值．答案：难点探究专题：抛物线与几何图形的综合(选做)——代几结合，突破面积及点的存在性问题◆类型一二次函数与三角形的综合一、全等三角形的存在性问题1．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(1，－4)和(－2，5)，请解答下列问题：(1)求抛物线的解析式；(2)若抛物线与x轴的两个交点为A，B，与y轴交于点C.在该抛物线上是否存在点D，使得△ABC与△ABD全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．二、线段(或周长)的最值问题及等腰三角形的存在性问题2．(2016·凉山州中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P 的坐标；(3)点M也是直线l上的动点，且△MAC 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标．◆类型二二次函数与平行四边形的综合3．如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋c(a＞0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，A点在B点左侧．若点E在x轴上，点P 在抛物线上，且以A，C，E，P为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．如图，抛物线y＝12x2＋x－32与x轴相交于A，B两点，顶点为P.(1)求点A，B的坐标；(2)在抛物线上是否存在点E，使△ABP 的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)坐标平面内是否存在点F，使得以A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标．◆类型三 二次函数与矩形、菱形、正方形的综合5．如图，在平面直角坐标系中，点A 在抛物线y ＝x 2－2x ＋2上运动．过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，以AC 为对角线作矩形ABCD ，连接BD ，则对角线BD 的最小值为________.第5题图 第6题图6．如图，抛物线y ＝ax 2－x －32与x 轴正半轴交于点A(3，0)．以OA 为边在x 轴上方作正方形OABC ，延长CB 交抛物线于点D ，再以BD 为边向上作正方形BDEF.则a ＝，点E 的坐标是_________________．7. (2016·新疆中考)如图，对称轴为直线x ＝72的抛物线经过点A(6，0)和B(0，－4)． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)设点E(x ，y)是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF 是以OA 为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式；(3)当(2)中的平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形．8．(2016·百色中考)正方形OABC 的边长为4，对角线相交于点P ，抛物线l 经过O ，P ，A 三点，点E 是正方形内的抛物线l 上的动点．(1)建立适当的平面直角坐标系，①直接写出O ，P ，A 三点的坐标； ②求抛物线l 的解析式；(2)求△OAE 与△OCE 面积之和的最大值．答案：拔高专题抛物线中的压轴题一、基本模型构建常见模型思考在边长为1的正方形网格中有A, B, C三点，画出以A,B,C为其三个顶点的平行四边形ABCD。

中考数学总复习《反比例函数与一次函数综合》专题训练-附答案

中考数学总复习《反比例函数与一次函数综合》专题训练-附答案

中考数学总复习《反比例函数与一次函数综合》专题训练-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．如图，已知反比例函数()10cy c x=≠和一次函数()20y kx b k =+≠的图象相交于点()2,3A -和()3,B a ．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)将一次函数2y 向下平移5个单位长度后得到直线3y ，当213y y y >>时，求x 的取值范围． 2．如图，反比例函数()0ky k x=>的图象经过正方形OABC 的顶点B ，一次函数1y x =+经过BC 的中点D ．(1)求反比例函数的表达式；(2)将ABD △绕点A 顺时针旋转90︒，点D 的对应点为E ，判断E 点是否落在双曲线上． 3．如图，反比例函数()0ky k x=< 的图象与矩形ABCO 的边相交于D 、E 两点()51E -，，且23AD BD =∶∶,一次函数经过D 、E 两点．(1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)求BDE △的面积．4．对于实数,a b ，我们可以用{}min ,a b 表示,a b 两数中较小的数，例如{}min 3,11-=- {}min 2,22=，类x x⎩⎭(1)求反比例函数的解析式；(2)请直接写出不等式2kx x -＞的解集；(3)点P 为反比例函数ky x=图像的任意一点，若3POC AOC S S =△△，求点P 的坐标． 7．如图，一次函数y mx n =+()0m ≠的图象与反比例函数ky x=()0k ≠的图象交于第二、四象限内的点(),3A a 和点()6,B b ．过点A 作x 轴的垂线，垂足为点C ，AOC 的面积为3(1)分别求出一次函数y mx n =+()0m ≠与反比例函数ky x=()0k ≠的表达式； (2)结合图象直接写出kmx n x>＋的解集； (3)在x 轴正半轴上取点P ，使PA PB -取得最大值时，求出点P 的坐标．8．如图，直线y ＝2x ＋6与反比例函数=ky x(k ＞0)的图象交于点A (1，m )，与x 轴交于点B ，平行于x 轴的直线y ＝n (0＜n ＜6)交反比例函数的图象于点M ，交AB 于点N ，连接BM ．x，求AOB 的面积；根据图象，请直接写出满足不等式1y kx b =+C ，点A 的坐标为(2)若点E 是点C 关于x 轴的对称点，求ABE 的面积． 11．已知平面直角坐标系中，直线AB 与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点()1,3A 和点()3,B n ，与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ．(1)求反比例函数的表达式及n 的值；(2)将OCD 沿直线AB 翻折，点O 落在第一象限内的点E 处，EC 与反比例函数的图象交于点F ． △请求出点F 的坐标；△将线段BF 绕点B 旋转，在旋转过程中，求线段OF 的最大值． 12．如图，正比例函数(0)y kx k =≠与反比例函数my (m 0)x=≠的图象交于A 、B 两点，A 的横坐标为4-，B 的纵坐标为6-．(1)求反比例函数的表达式． (2)观察图象，直接写出不等式mkx x<的解集． (3)将直线AB 向上平移n 个单位，交双曲线于C 、D 两点，交坐标轴于点E 、F ，连接OD 、BD ，若OBD 的面积为20，求直线CD 的表达式．13．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y （微克/毫升）与服药时间x 小时之间函数关系如图所示．②的面积是OCD．如图，已知一次函数y轴交于点，若ACD的面积为16．如图，菱形ABCD 的边AB 在x 轴上，点A 的坐标为()1,0，点()44D ,在反比例函数()0k y x x=>的图象上，直线23y x b =+经过点C ，与y 轴交于点E ，与x 轴交于点M ，连接AC 、AE ．(1)求k 、b 的值； (2)求ACE △的面积；(3)在x 轴上取点P ，求出使PC PE -取得最大值时点P 的坐标． 17．已知反比例函数1k y x=图象经过点(3,2)A ，直线:(0)l y kx b k =+<，经过点(2,0)C -，经过点A 且垂直于x 轴的直线与直线l 相交于B ．(1)求1k 的值；(2)若ABC 的面积等于15，求直线l 的解析式；(3)点G 在反比例函数的图象上，点Q 在x 轴上，问是否存在点G 和点Q ，使以G ．Q 及（2）中的C ．B 四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由． 18．（综合与探究）如图，在平面直角坐标系中，已知反比例函数()0ky x x=<的图象过点()4,2C -，点D 的纵坐标为4，直线CD 与x 轴，y 轴分别交于点,A B ．Rt AOB直角边上的一个动点，当16PCD AOBS S=时，求点关于y轴的对称点为x轴的对称点为,N 使得以点,,M N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，标；若不存在，请说明理由．．如图，已知直线y=x参考答案：3．(1)5y x =- 1722y x =+(2)944．(1)B (2)直线1x = 5．(1)1y x =- 2y x= (2)(1,0)C 12x <≤6．(1)3y x= (2)10x -＜＜或3＞x (3)()1,3或()1,3--7．(1)反比例函数的表达式为6y x =-，一次函数表达式为122y x =-+．(2)2x <－或06x << (3)()10,0P 8．(1)8y x= (2)39．(1)反比例函数的表达式为：22y x=-(2)32AOBS=(3)20x -<<或1x >10．(1)一次函数解析式1y x 4=-，反比例函数解析式212y x= (2)32ABE S =△11．(1)3y x= 1n =(2)△F 点坐标为3(4,)4；△线段OF 的最大值为17104+12．(1)24y x=-(2)40x -<<或>4x。

初三数学专题复习试题九年级最新中考专题训练试卷含答案解析（20套）

初三数学专题复习试题九年级最新中考专题训练试卷含答案解析（20套）

初三数学专题复习试题九年级最新中考专题训练试卷含答案解析（20套）1．32的倒数是（）． A ．32 B ．23 C ．32- D ．23-2．据报道，2010年苏州市政府有关部门将在市区完成130万平⽅⽶⽼住宅⼩区综合整治⼯作．130万(即1 300 000)这个数⽤科学记数法可表⽰为（）．A ．1．3×104B ．1．3×105C ．1．3×106D ．1．3×1073．记n S =n a a a +++ 21，令12n n S S S T n+++=，称n T 为1a ，2a ，……，n a 这列数的“理想数”。

已知1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为2004，那么8，1a ，2a ，……，500a 的“理想数”为（）． A ．200４ B ．2006 C ．2008 D ．20104．某汽车维修公司的维修点环形分布如图。

公司在年初分配给A 、B 、C 、D 四个维修点某种配件各50件。

在使⽤前发现需将A 、B 、C 、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件，但调整只能在相邻维修点之间进⾏。

那么要完成上述调整，最少的调动件次（n 件配件从⼀个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n ）为（）．A ．15B ．16C ．17D ．185．在2,1,0,1-这四个数中，既不是正数也不是负数的是…………………………（）A ）1- B ）0 C ）1 D ）26． 2010年⼀季度，全国城镇新增就业⼈数为289万⼈，⽤科学记数法表⽰289万正确的是（）A ）2.89×107.B ）2.89×106 .C ）2.89×105..7．下⾯两个多位数1248624……、6248624……，都是按照如下⽅法得到的：将第⼀位数字乘以2，若积为⼀位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位。

对第2位数字再进⾏如上操作得到第3位数字……，后⾯的每⼀位数字都是由前⼀位数字进⾏如上操作得到的。

中考数学复习考点知识专题训练10---一次函数综合(基础篇)

中考数学复习考点知识专题训练10---一次函数综合(基础篇)

中考数学复习考点知识专题训练10 一次函数综合（基础）1．如图，已知点A（3，0），C（﹣1，0），点B为y轴正半轴上的一点，且S△ABC＝6．（1）求直线AB的解析式；（2）在y轴上是否存在点T，将直线CB沿直线CT翻折后，点B的对称点H恰好落在x轴上．若存在，求出T点的坐标；若不存在，说明理由．（3）若P、Q两点在直线AB上，且x P、x Q是方程x2﹣x﹣2mx+m2+m﹣2＝0的两个根，当∠POQ ＝90°时，求m的值．2．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点B（0，﹣2），点C 是x轴上一点，且满足CA＝CB（1）求直线l的解析式；（2）求点C的坐标和△ABC的面积；（3）过点C作y轴的平行线CH，借助△ABC的一边构造与△ABC面积相等的三角形，第三个顶点P在直线CH上，求出符合条件的点P的坐标．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（4，0），OA＝OC，∠AOC＝60°，且CB∥OA，OB平分∠AOC，点P是四边形OABC的内部一点，且点P到四边形OABC四条边的距离相等．（1）直接写出点P的坐标是；（2）若一次函数y＝x+b的图象经过点P，求b的值；（3）若一次函数y＝x+m的图象与四边形OABC有两个公共点时，直接写出m的取值范围．4．如图，把矩形纸片OABC放入直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，连接AC，将△ABC翻折，点B落在该坐标平面内，设这个落点为D，CD交x轴于点E，已知CB＝8，AB＝4．（1）求AC所在直线的函数关系式；（2）求点E的坐标和△ACE的面积；（3）求点D的坐标，并判断点（8，﹣4）是否在直线OD上，说明理由．5．如图，若A （0，a ），B （b ，0），C （c ，c ），且（a ﹣5）2+|b +2|+√c −3=0．四边形ABCD 为平行四边形，点D 在第一象限，直线AC 交x 轴于点F ．（1）求点D 的作坐标；（2）求证：∠DCF ＝∠ABF +∠AFB ；（3）求CF AC 的比值．6．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A （0，4√3），点B 在x 正半轴上，且∠ABO ＝30°，动点P 在线段AB 上从点A 向点B 以每秒√3个单位的速度运动，设运动时间为t 秒，在x 轴上取两点M ，N 作等边△PMN ，（1）求直线AB 的解析式；（2）求等边△PMN 的边长（用t 的代数式表示），并求出当等边△PMN 的顶点M 运动到与原点O 重合时t 的值；（3）如果取OB 的中点D ，以OD 为边在Rt △AOB 内部作如图2所示的矩形ODCE ，点C 在线段AB 上，设等边△PMN 和矩形ODCE 重叠部分的面积为S ，①t ＝2时，S 的值；②请求出当0≤t ≤1时S 与t 的函数关系式．7．直线y＝x+6交x轴、y轴于A、B两点，AC⊥AB交y轴于C，P为x轴正半轴上一点．（1）求直线AC的解析式；（2）过P作PM⊥BP交AC于M，求证：PM＝PB；（3）在（2）的条件下，过B任作直线BG，MG⊥BG于G，连接PG，∠PGM的度数是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．8．已知点A，B分别在x轴的负半轴和正半轴上，OA，OB的长分别是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的两个根，且OA＞OB，点C的坐标为（0，﹣4），点D在y轴上，直线AD平分∠CAB．（1）求A，B两点的坐标；（2）求直线BD的解析式；（3）点P是直线BD上一点，平面内是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，将直线y＝kx（k≠0）沿y轴向上平移2个单位得到直线l，已知直线l经过点A（﹣4，0）（1）求直线l的解析式；（2）设直线l与y轴交于点B，在x轴正半轴上任取一点C（OC＞2），在y轴负半轴上取点D，使得OD＝OC，过D作直线DH⊥BC于H，交x轴于点E，求点E的坐标；（3）若点P的坐标为（﹣3，m），△ABP与△ABO的面积之间满足S△ABP=12S△ABO，求m的值．10．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，AB与OD交于点P，其中OA＝3，OB＝2．（1）求AB所在直线的解析式；（2）求OD所在直线的解析式；（3）求交点P的坐标．11．如图，已知点A（m，m+1），B（m+3，m﹣1）（1）求线段AB的长；（2）若已知m＝3，x轴上是否存在一点P，使得P A+PB的值最小？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点，以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．12．如图，A（4，0），B（0，4），直线y=13x与直线AB交于点C．（1）求点C的坐标；（2）点P是x轴正半轴上一点，若∠PCO＝3∠ABO．①求直线PB的解析式；②求点P的坐标．13．如图，直线y＝kx+6与x轴，y轴分别交于点E、点F，点E的坐标为（﹣8，0）（1）求k的值；（2）已知点A（﹣6，0），若点P（x，y）是直线上第二象限内的一个动点，试写出△OP A的面积S 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（3）探究：在（2）的条件下，当点P 运动到什么位置时，△OP A 的面积为274？并说明理由．14．如图，在平面直角坐标系中，直线与x 轴、y 轴分别交于点A （6，0）、点B （0，6√3），点D 是线段AB 的中点，点C （0，2√3），点E 为x 轴上一动点．（1）求直线AB 的表达式，并直接写出点D 的坐标；（2）联结CE 、DE ，以CE 、DE 为边作▱CEDF ，▱CEDF 的顶点F 恰好落在y 轴上，求点F 的坐标；（3）设点M 是直线y ＝x +4√3上一点，若以C 、D 、E 、M 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．15．已知：如图，直线y =−12x +1与x 轴、y 轴的交点分别是A 和B ，把线段AB 绕点A 顺时针旋转90°得线段AB ′．（1）直接写出点B ′的坐标；（2）若点C （1，a ）在第一象限内，并且S △ABC ＝S △ABB ′，求a 的值；（3）P 在x 轴上，且△P AB 是等腰三角形，请直接写出点P 的坐标．16．如图，点A 的坐标是（2，1），点B 的坐标是（5，1），过点A 的直线l 的表达式为y ＝2x +b ，点C 在直线l 上运动，在直线OA 上是否存在一点D ，使得以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．17．一次函数y ＝kx +b 的图象经过点A （0，9），并与直线y =53x 相交于点B ，与x 轴相交于点C ，其中点B 的横坐标为3．（1）求B 点的坐标和k ，b 的值；（2）点Q 为直线y ＝kx +b 上一动点，当点Q 运动到何位置时△OBQ 的面积等于272？请求出点Q的坐标；（3）在y 轴上是否存在点P 使△P AB 是等腰三角形？若存在，请直接写出点P 坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，直线y＝﹣x+1与x轴，y轴分别交于B，A两点，动点P在线段AB上移动，以P为顶点作∠OPQ＝45°交x轴于点Q．（1）求点A和点B的坐标；（2）比较∠AOP与∠BPQ的大小，说明理由．（3）是否存在点P，使得△OPQ是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19．在平面直角坐标系中，一次函数y=−12x+2的图象交x轴、y轴分别于A、B两点，交直线y＝kx于P．（1）求点A、B的坐标；（2）若OP＝P A，求k的值；（3）在（2）的条件下，C是线段BP上一点，CE⊥x轴于E，交OP于D，若CD＝2ED，求C 点的坐标．20．如图，在平面直角坐标中，直角梯形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，AB∥OC，∠AOC ＝90°，∠BCO＝45°，BC＝12√2，点C的坐标为（﹣18，0）．（1）求点B的坐标；（2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，交x轴于点F，且OE＝4，∠OFE＝45°，求直线DE的解析式；（3）求点D的坐标．11 / 11。

中考数学复习第十一单元测试卷(含答案)

中考数学复习第十一单元测试卷(含答案)

中考数学复习第十一单元测试卷（含答案）【测试范围：第十一单元 时间：100分钟 分值：100分】 一、选择题(每题5分，共30分)1．[2017·湖州]如图1，已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则cos B 的值是( A )A.35B.45C.34D.432．计算2sin45°的结果等于( B )A. 2B ．1C.22D.12【解析】 2sin45°＝2×22＝1.3．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝34，则cos B 的值为 ( B ) A.74B.34C.35D.454．如图2，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，AC ＝22，BC ＝1，那么 sin ∠ABD 的值是( A )图2A.223B.24C.23D ．2 2【解析】 ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，AB ＝12＋（22）2＝3.∴sin ∠ABD ＝sin ∠ABC ＝AC AB ＝223.图15．如图3，钓鱼竿AC 长6 m ，露在水面上的鱼线BC 长3 2 m ，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转动到AC ′的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′为3 3 m ，则鱼竿转过的角度是( C )A ．60°B ．45°C ．15°D ．90°【解析】 ∵sin ∠CAB ＝BC AC ＝326＝22，∴∠CAB ＝45°.∵sin ∠C ′AB ′＝B ′C ′AC ′＝336＝32，∴∠C ′AB ′＝60°，∴∠CAC ′＝60°－45°＝15°，∴鱼竿转过的角度是15°.故选C.6．如图4，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cos A ＝35，BE ＝2，则tan ∠DBE 的值为( B )图4A.12B ．2C.52D.13【解析】 设菱形ABCD 边长为t .∵BE ＝2，∴AE ＝t －2.∵cos A ＝35，∴AE AD ＝35，∴t －2t ＝35，∴t ＝5，∴AE ＝5－2＝3，∴DE ＝AD 2－AE 2＝52－32＝4，∴tan∠DBE ＝DE BE ＝42＝2.二、填空题(每题5分，共30分)7．如图5，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A ＝__55__．图3图5 第7题答图【解析】 如答图，过点C 作CD ⊥AB ，交AB 的延长线于点D .设小正方形的边长为1，在Rt △ACD 中，CD ＝2，AC ＝25，∴sin A ＝CD AC ＝225＝55.8．计算：2sin30°＋2cos60°＋3tan45°＝__5__．9．[2017·广丰区一模]已知对任意锐角α，β均有：cos(α＋β)＝cos α·cos β－ sin α·sin β，则cos75°＝__6－24__.【解析】 cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°·cos45°－sin30°·sin45°＝32×22－12×22＝6－24.10．[2016·杭州模拟]如图6，在把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P 与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为 __10－23__cm(用根式表示)．图6第10题答图【解析】 如答图，过P 作PM ⊥AB 于M .在Rt △ABP 中，PB ＝AB ·cos30°＝8×32＝43，在Rt △BPM 中，PM ＝PB ·sin30°＝4 3 ×12 ＝2 3.故此时水杯中的水深为(10－23) cm.11．如图7，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 的中点，过D 点作AB 的垂线交AC 于点E ，BC ＝6，sin A ＝35，则DE ＝__154__． 【解析】 ∵BC ＝6，sin A ＝BC AB ＝35，∴AB ＝10，∴AC ＝102－62＝8.∵D 是AB 的中点，∴AD ＝12AB ＝5.易证△ADE ∽△ACB ， ∴DE BC ＝AD AC ，即DE 6＝58，解得DE ＝154.12．[2017·乐清模拟]如图8，Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是AB ，BC 上的点，且满足AC ＝DC ＝DE ＝BE ＝1，则tan A ＝__2＋1__.【解析】 设∠B ＝x °，∵BE ＝DE ，∴∠B ＝∠BDE ＝x °， ∴∠CED ＝2x °，又∵DE ＝DC ，∴∠ECD ＝∠CED ＝2x °.∴∠DCA ＝∠ACB －∠ECD ＝90°－2x °.∵Rt △ABC 中，∠A ＝90°－∠B ＝90°－x °.又∵CA ＝CD ，∴∠ADC ＝∠A ＝90°－x °.∵△ACD 中，∠ACD ＋∠A ＋∠ADC ＝180°，∴(90－2x °)＋2(90－x °)＝180°，解得x ＝22.5，则∠CED ＝∠ECD ＝45°，∴△ECD 是等腰直角三角形，∴EC ＝ 2 CD ＝2，∴BC ＝ 2＋1，∴tan A ＝ BCAC ＝2＋1. 三、解答题(共40分)13．(5分)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－2－(3.14－π)0＋|1－2|－2sin45°.解：原式＝4－1＋2－1－2×22＝4－1＋2－1－2＝2.14．(5分)为解决停车难的问题，在如图9一段长56 m 的路段开辟停车位，每个车位是长5 m ，宽2.2 m 的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出多少个这样的停车位．(参考数据：2≈1.4)图8图9 第14题答图解：如答图，BC＝2.2×sin45°＝2.2×22≈1.54(m)，CE＝5×sin45°＝5×22≈3.5(m)，BE＝BC＋CE≈5.04(m)，EF＝2.2÷sin45°＝2.2÷22≈3.1(m)，(56－5.04)÷3.1＋1≈16＋1＝17(个)．答：这个路段最多可以划出17个这样的停车位．15．(8分)[2017·嵊州模拟]小州在堤边垂钓，如图10，钓竿OA的倾斜角α为60°，河堤AC的坡角β为45°，且AC＝2 m，AO＝4 m，钓竿AO与钓鱼线OB 的夹角为60°，其中浮漂在点B处．(1)求点O到水面的垂直距离；(2)求浮漂B与河堤点C之间的距离．图10 第15题答图解：(1)如答图，作OD⊥BC于D，AF⊥BC于F，AE⊥OD于E，∵河堤AC的坡角β为45°，∴AF＝CF＝AC·sin∠ACF＝2，∵钓竿OA的倾斜角α为60°，∴OE＝OA·sin∠OAE＝23，AE＝2，则OD ＝OE ＋DE ＝OE ＋AF ＝2 3 ＋2， 答：点O 到水面的垂直距离为(23＋2)m ；(2)由题意得∠BOD ＝30°，∴BD ＝OD ·tan30°＝63＋2，∴BC ＝BD ＋AE －CF ＝63＋4－ 2.答：浮漂B 与河堤点C 之间的距离为⎝ ⎛⎭⎪⎫63＋4－2m.16．(10分)[2017·余姚模拟]如图11，我国某艘海舰船沿正东方向由A 向B 例行巡航南海部分区域，在航线AB 同一水平面上，有三座岛屿C ，D ，E .船在A 处时，测得岛C 在A 处南偏东15°方向距离A 处2a (a ＞0)海里，岛D 在A 处南偏东60°方向距离A 处a 海里，岛E 在A 处东南方向，当船航行到达B 处时，此时测得岛E 恰好在船的正南方．(1)请说明船航行的距离AB 正好是岛E 与B 处的距离； (2)若岛D 距离B 处18海里，求岛C ，E 之间的距离．图11第16题答图解：(1)如答图，连结AE ， ∵岛E 在A 处东南方向， ∴∠BAE ＝∠EAF ＝45°， ∵E 恰好在B 的正南方， ∴∠ABE ＝90°，∴∠BEA ＝45°，∴AB ＝EB ，∴船航行的距离AB 正好是岛E 与B 处的距离； (2)∵∠ABE ＝90°，∠BAE ＝45°， ∴sin ∠BAE ＝BE AE ＝22＝AD AC ，∴AB AE ＝ADAC ， ∵∠CAF ＝15°，∠DAF ＝60°， ∴∠DAC ＝∠DAF －∠CAF ＝45°，∴∠BAE －∠DAE ＝∠DAC －∠DAE ，即∠BAD ＝∠EAC ， ∴△BAD ∽△EAC ，∴BD EC ＝AD AC ＝22， ∵BD ＝18海里，∴CE ＝18 2海里．17．(12分)如图12，AB 是半圆O 的直径，过点O 作弦AD 的垂线交半圆O 于点E ，交AC 于点C ，使∠BED ＝∠C .(1)判断直线AC 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； (2)若AC ＝8，cos ∠BED ＝45，求AD 的长． 解：(1)AC 与⊙O 相切．证明：∵BD ︵是∠BED 与∠BAD 所对的弧， ∴∠BAD ＝∠BED ， ∵OC ⊥AD ，∴∠AOC ＋∠BAD ＝90°， ∴∠BED ＋∠AOC ＝90°，又∵∠BED ＝∠C ，即∠C ＋∠AOC ＝90°， ∴∠OAC ＝90°，∴AB ⊥AC ，即AC 与⊙O 相切； (2)如答图，连结BD .图12∵AB 是⊙O 直径， ∴∠ADB ＝90°，在Rt △AOC 中，∠CAO ＝90°， ∵AC ＝8，cos C ＝cos ∠BED ＝45，∴AC CO ＝45，∴CO ＝10，AO ＝6，∴AB ＝12， 在Rt △ABD 中，∵cos ∠BAD ＝cos ∠BED ＝45， ∴AD ＝AB ·cos ∠BAD ＝12×45＝485.。

中考数学总复习《(特殊)平行四边形的动点问题》专题训练(附答案)

中考数学总复习《(特殊)平行四边形的动点问题》专题训练(附答案)

中考数学总复习《（特殊）平行四边形的动点问题》专题训练（附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．已知，矩形ABCD 中，AB =4cm ，BC =8cm ，AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ，垂足为O ．（1）如图1，连接AF 、CE ．求证四边形AFCE 为菱形，并求AF 的长；（2）如图2，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，沿△AFB 和△CDE 各边匀速运动一周．即点P 自A →F →B →A 停止，点Q 自C →D →E →C 停止．在运动过程中，①已知点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t 的值．②若点P 、Q 的运动路程分别为a 、b （单位：cm ，ab ≠0），已知A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形，求a 与b 满足的数量关系式．2．（1）如图1，点P 为矩形ABCD 对角线BD 上一点，过点P 作//EF BC ，分别交AB 、CD 于点E 、F ．若2BE =，PF=6，AEP △的面积为1S ，CFP 的面积为2S ，则12S S +=________；（2）如图2，点P 为ABCD 内一点（点P 不在BD 上），点E 、F 、G 、H 分别为各边的中点．设四边形AEPH 的面积为1S ，四边形PFCG 的面积为2S （其中21S S >），求PBD △的面积（用含1S 、S的代数式表示）；2（3）如图3，点P为ABCD内一点（点P不在BD上）过点P作//EF AD，HG//AB与各边分别相交于点E、F、G、H设四边形AEPH的面积为1S，四边形PGCF的面积为2S（其中21），S S求PBD△的面积（用含1S、2S的代数式表示）；（4）如图4 点A B C D把O四等分．请你在圆内选一点P（点P不在AC BD 上）设PB PC BC围成的封闭图形的面积为1S PA PD AD围成的封闭图形的面积为2S PBD△的面积为3S PAC△的面积为4S．根据你选的点P的位置直接写出一个含有1S2S3S4S的等式（写出一种情况即可）．3．已知直线y=x＋4与x轴y轴分别交于A B两点∠ABC=60°BC与x轴交于点C．（1）试确定直线BC的解析式.（2）若动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A C重合）同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动(不与C A重合) 动点P的运动速度是每秒1个单位长度动点Q的运动速度是每秒2个单位长度.设△APQ的面积为S P点的运动时间为t秒求S与t的函数关系式并写出自变量的取值范围.（3）在（2）的条件下当△APQ的面积最大时y轴上有一点M 平面内是否存在一点N 使以A Q M N为顶点的四边形为菱形？若存在请直接写出N点的坐标；若不存在请说明理由.4．如图在等腰梯形ABCD中AB∥DC AB＝8cm CD＝2cm AD＝6cm．点P 从点A出发以2cm/s的速度沿AB向终点B运动；点Q从点C出发以1cm/s的速度沿CD DA向终点A运动（P Q两点中有一个点运动到终点时所有运动即终止）．设P Q同时出发并运动了t秒．（1）当PQ将梯形ABCD分成两个直角梯形时求t的值；（2）试问是否存在这样的t 使四边形PBCQ的面积是梯形ABCD面积的一半？若存在求出这样的t的值若不存在请说明理由．5．如图在平面直角坐标系中以坐标原点O为圆心2为半径画⊙O P是⊙O上一动点且P在第一象限内过点P作⊙O的切线与轴相交于点A与轴相交于点B．(1)点P在运动时线段AB的长度也在发生变化请写出线段AB长度的最小值并说明理由；(2)在⊙O上是否存在一点Q使得以Q O A P为顶点的四边形时平行四边形？若存在请求出Q点的坐标；若不存在请说明理由．6．如图已知长方形ABCD中AD＝6cm AB＝4cm 点E为AD的中点．若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动同时点Q在线段BC上由点B向点C运动．(1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等经过1秒后△AEP与△BPQ是否全等请说明理由并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系；(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等运动时间为t秒设△PEQ的面积为Scm2请用t的代数式表示S；(3)若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等当点Q的运动速度为多少时能够使△AEP与△BPQ全等？7．如图长方形ABCD中5cm,8cm==现有一动点P从A出发以2cm/s的速度沿AB BC----返回到点A停止设点P运动的时间为t秒．长方形的边A B C D At=时BP=___________cm；(1)当2(2)当t为何值时连接,,△是等腰三角形；CP DP CDP(3)Q为AD边上的点且6DQ=P与Q不重合当t为何值时以长方形的两个顶点及点P为顶点的三角形与DCQ全等．8．如图平行四边形ABCD中6cmB∠︒G是CD的中点E是BC==60AB=8cm边AD上的动点EG的延长线与BC的延长线交于点F连接CE DF．(1)求证：四边形CEDF是平行四边形；(2)①AE=______时四边形CEDF是矩形；②AE=______时四边形CEDF是菱形．9．在平面直角坐标系中点A在第一象限AB⊥x轴于点B AC⊥y轴于点C已知点B（b0）C（0 c）其中b c满足|b﹣8|6+-=0．c(1)直接写出点A坐标．(2)如图2 点D从点O出发以每秒1个单位的速度沿y轴正方向运动同时点E从点A出发以每秒2个单位的速度沿射线BA运动过点E作GE⊥y轴于点G设运动时间为t 秒当S四边形AEGC＜S△DEG时求t的取值范围．(3)如图3 将线段BC平移使点B的对应点M恰好落在y轴负半轴上点C的对应点为N连接BN交y轴于点P当OM＝4OP时求点M的坐标．10．如图在平面直角坐标系中点A B的坐标分别是（﹣4 0）（0 8）动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动同时动点C从点B出发沿12．在四边形ABCD中//,90,10cm,8cm∠=︒===点P从点A出发沿折线AB CD BCD AB AD BCABCD方向以3cm/s的速度匀速运动；点Q从点D出发沿线段DC方向以2cm/s的速度匀速运动．已知两点同时出发当一个点到达终点时另一点也停止运动设运动时间为()s t．（1）求CD的长；（2）当四边形PBQD为平行四边形时求四边形PBQD的周长；（3）在点P Q的运动过程中是否存在某一时刻使得BPQ的面积为220cm若存在请求出所有满足条件的t的值；若不存在请说明理由．13．在平面直角坐标系中矩形OABC的边OA任x轴上OC在y轴上B（4 3）点M从点A开始以每秒1个单位长度的速度沿AB→BC→CO运动设△AOM的面积为S 点M运动的时间为t．（1）当0＜t＜3时AM＝当7＜t＜10时OM＝；（用t的代数式表示）（2）当△AOM为等腰三角形时t＝；（3）当7＜t＜10时求S关于t的函数关系式；（4）当S＝4时求t的值．14．如图1 在平面直角坐标系中正方形OABC的边长为6 点A C分别在x y 正半轴上点B在第一象限．点P是x正半轴上的一动点且OP＝t连结PC将线段PC绕点P顺时针旋转90度至PQ连结CQ取CQ中点M．（1）当t＝2时求Q与M的坐标；（2）如图2 连结AM以AM AP为邻边构造平行四边形APNM．记平行四边形APNM 的面积为S．①用含t的代数式表示S（0<t<6）．②当N落在△CPQ的直角边上时求∠CPA的度数；（3）在（2）的条件下连结AQ记△AMQ的面积为S'若S＝S'则t＝（直接写出答案）．15．如图平面直角坐标系中矩形OABC的顶点B的坐标为（7 5）顶点A C 分别在x轴y轴上点D的坐标为（0 1）过点D的直线与矩形OABC的边BC交于点G 且点G不与点C重合以DG为一边作菱形DEFG 点E在矩形OABC的边OA 上设直线DG的函数表达式为y=kx+b（1）当CG=OD时求直线DG的函数表达式；（2）当点E的坐标为（5 0）时求直线DG的函数表达式；（3）连接BF 设△FBG的面积为S CG的长为a 请直接写出S与a的函数表达式及自变量a 的取值范围．16．如图 在四边形ABCD 中 //AD BC 3AD = 5DC = 42AB = 45B ∠=︒ 动点M 从点B 出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从点C 出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动 设运动的时间为s t .（1）求BC 的长.（2）当//MN AB 时 求t 的值（3）试探究：t 为何值时 MNC ∆为等腰三角形？参考答案：1．（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形∴AD ∥BC∴∠CAD =∠ACB ∠AEF =∠CFE∵EF 垂直平分AC 垂足为O∴OA =OC∴△AOE ≌△COF∴OE =OF∴四边形AFCE 为平行四边形又∵EF ⊥AC∴四边形AFCE 为菱形设菱形的边长AF =CF =x cm 则BF =（8﹣x ）cm在Rt △ABF 中 AB =4cm由勾股定理得42+（8﹣x ）2=x 2解得x =5iii ）如图3 当P 点在AB 上 Q 点在CD 上时 AP =CQ 即12﹣a =b 得a +b =12． 综上所述 a 与b 满足的数量关系式是a +b =12（ab ≠0）．2．（1）过P 点作AB∥MN∵S 矩形AEPM +S 矩形DFPM =S 矩形CFPN +S 矩形DFPM =S 矩形ABCD -S 矩形BEPN又∵11,,22AEP CFP AEPM CFPN SS S S ==矩形矩形 ∴1==26=62AEP CFP S S ⨯⨯， ∴1212.S S +=（2）如图 连接PA PC在APB △中 因为点E 是AB 中点可设APE BPE S S a ==同理 ,,BPF CPF CPG DFG DPH APH S S b S S c S S d ======所以APE APH CPF AEPH PFCG CPG S S SS a b d S S c =+++=++++四边形四边形 BPE BPF DPH DPH EDFP HPGD S S S S S S a b c d +=+++=+++四边形四边形．所以12EBFP HPGD AEPH PFCG S S S S S S +++=+四边形四边形四边形四边形所以1212ABD ABCD SS S S ==+ 所以1DPH APH S S S a ==-． ()()()1121121PBD ABD BPE PDH S S S S S S S S a S a S S =-++=+-++-=-．（3）易证四边形EBGP 四边形HPFD 是平行四边形．EBP SHPD S ．()()121211122222ABD ABCD EBF HPD EBP HPD SS S S S S S S S S ==+++=+++ ()()12112FBD ABD EBP HPD S S S S S S S =-++=-． （4）试题解析：（1）由已知得A 点坐标（﹣4﹐0） B 点坐标（0﹐43﹚ ∵OB=3OA ∴∠BAO=60° ∵∠ABC=60° ∴△ABC 是等边三角形 ∵O C=OA=4 ∴C 点坐标﹙4 0﹚ 设直线BC 解析式为y kx b =+∴ ∴直线BC 的解析式为343y x =-+； ﹙2﹚当P 点在AO 之间运动时 作QH⊥x 轴 ∵QH CQ OB CB= ∴2843QH t = ∴QH=3t ∴S △APQ =AP•QH=132t t ⋅=232t ﹙0＜t≤4﹚ 同理可得S △APQ =t·﹙833t -﹚=23432t t -+﹙4≤t<8﹚∴223(04)2{343?(48)2t t S t t t <≤=-+≤<； （3）存在 如图当Q 与B 重合时 四边形AMNQ 为菱形 此时N 坐标为（4 0） 其它类似还有（﹣4 8）或（﹣4 ﹣8）或（﹣4 ）．4．（1）53（2）存在 使四边形PBCQ 的面积是梯形ABCD 面积的一半．（1）过D 作DE⊥AB 于E 过C 作CF⊥AB 于F 通过Rt ADE Rt BCF ∆≅∆ 得AE BF = 若四边形APQD 是直角梯形 则四边形DEPQ 为矩形 通过AP AE EP =+ 代入t 值 即可求解（2）假设当时 通过点Q 在CD 上或在AD 上 两种情况进行讨论求解5．（1）线段AB 长度的最小值为4理由如下：连接OP如图② 设四边形APQO 为平行四边形因为OQ PA ∥ 90APO ︒∠=所以90POQ ︒∠= 又因为OP OQ =所以45PQO ︒∠= 因为PQ OA ∥所以PQ y ⊥轴．设PQ y ⊥轴于点H在Rt △OHQ 中 根据2,45OQ HQO ︒=∠= 得Q 点坐标为（2,2-）所以符合条件的点Q 的坐标为（2,2-）或（2,2-）．6．(1)∵长方形ABCD∴∠A =∠B =90°∵点E 为AD 的中点 AD =6cm∴AE =3cm又∵P 和Q 的速度相等可得出AP =BQ =1cm BP =3 ∴AE =BP在△AEP 和△BQP 中∴y=xy 3=4-y⎧⎨⎩ 解得：x=1y=1⎧⎨⎩ (舍去). 综上所述,点Q 的运动速度为32cm /s 时能使两三角形全等.7．(1)1(2)54t =或4或232 (3) 3.5t = 5.5或10（1）解：动点P 的速度是2cm/s∴当2t =时 224AP =⨯=∵5cm AB =∴BP =1cm ；（2）解：①当点P 在AB 上时 CDP △是等腰三角形∴PD CP =在长方形ABCD 中 ,90AD BC A B =∠=∠=︒∴()HL DAP CBP ≌∴AP BP =∴1522AP AB ==∵动点P 的速度是2cm/s∵90D5DP CD == 2AB CB CD t ++=∴要使一个三角形与DCQ 全等①当点P运动到1P时16△≌△DCQ CDPCP DQ==此时1∴点P的路程为：1527AB BP+=+=∴72 3.5t=÷=；②当点P运动到2P时26△≌△CDQ ABPBP DQ==此时2∴点P的路程为：25611+=+=AB BP∴112 5.5t=÷=③当点P运动到3P时35△≌△CDQ BAP==此时3AP DQ∴点P的路程为：3585220AB BC CD DP+++=+++=∴20210t=÷=④当点P运动到4P时即P与Q重合时46△≌△CDQ CDPDP DQ==此时4∴点P的路程为：4585624+++=+++=AB BC CD DPt=÷=此结果舍去不符合题意∴24212综上所述t的值可以是： 3.5t= 5.5或10．8．（1）四边形ABCD是平行四边形∥∴BC AD∴∠=∠FCG EDGG是CD的中点∴=CG DG△中在CFG△和DEGCFG∴≅(ASA)DEGFG EG∴=又CG DG=∴四边形CEDF是平行四边形．2）①当5AE=如图过60B∠=12BM∴=5AE=DE AD∴=在MBA△BM DEB=⎧⎪∠=∠⎨⎪(SAS)MBA EDC∴≅CED AMB∴∠=∠四边形CEDF是平行四边形∴平行四边形CEDF②当2AE cm =时 四边形CEDF 是菱形 理由如下：四边形ABCD 是平行四边形8AD ∴= 6CD AB == 60CDE B ∠=∠=︒2AE =6DE AD AE ∴=-=DE CD ∴=CDE ∴∆是等边三角形CE DE ∴=四边形CEDF 是平行四边形∴平行四边形CEDF 是菱形故答案为：2；9．（1）解：∵|b ﹣8|6c +-=0∴b -8=0 c -6=0∴b =8 c =6∵B （b 0） C （0 c ）∴B （8 0） C （0 6）又∵AB ⊥x 轴 AC ⊥y 轴∴A (8 6)；（2）∵AB ⊥x 轴 AC ⊥y 轴 GE ⊥y 轴∴四边形AEGC 是矩形设运动时间为t 秒∴OD =t AE =2t DG =6+2t-t =6+t∴S 四边形AEGC =8×2t =16t S △DEG =12×（6+t ）×8=4t +242∵OM＝4OP∴-m=-4×62m解得m=-12综上所述m的值为-4或-12．10．（1）∵点A B的坐标分别是（﹣4 0）（0 8）∴OA=4 OB=8∵点C运动到线段OB的中点∴OC=BC=12OB=4∵动点C从点B出发沿射线BO方向以每秒2个单位的速度运动∴2t=4解之：t=2；∵PE=OA=4 动点P从点O出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动∴OE=OP+PE=t+4=2+4=6∴点E（6 0）（2）证明：∵四边形PCOD是平行四边形∴OC=PD OC∥PD当点C在y轴的负半轴上时③如果点M在DE上时24163(3)22t tt--=++解得423t=+④当N在CE上时28(3)8214tt tt-⋅++-=-+解得12t=综上分析可得满足条件的t的值为：t1＝28﹣16 3t2＝2 t3＝4+2 3t4＝12．11．(1) ()30D，,()1,3E;(2)933022933222572222t tS t tt t⎧⎛⎫-+≤≤⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-<≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-≤⎪ ⎪⎝⎭⎩＜（3）198s解：（1）3922y x=-+当y=0时39=022x-+则x=3 即点()30D，当y=3时39=322x-+则x=1 故点()1,3E故：()30D，,()1,3E；（2）如图1 ①当点P在OD段时此时0≤t＜32119()2223233S PD OC t t=⨯⨯=⨯-⨯=-+；②当点P在点D时此时t=32此时三角形不存在0S=；''6ADP BEP S S -=-30232t t ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭⎫<≤⎪；即当点P 在边AB 上运动 且PD PE +的值最小时 运动时间t 为198s ． 12．（1）16cm ；（2）(8813)cm +；（3）53t =秒或395秒 解：（1）如图1过A 作AM DC ⊥于M在四边形ABCD 中 //AB CD 90BCD ∠=︒//AM BC ∴∴四边形AMCB 是矩形10AB AD cm == 8BC cm =8AM BC cm ∴== 10CM AB cm ==在Rt AMD ∆中 由勾股定理得：6DM cm =10616CD DM CM cm cm cm =+=+=；（2）如图2当四边形PBQD 是平行四边形时 PB DQ =即1032t t -=解得2t =此时4DQ = 12CQ = 22413BQ BC CQ =+=所以()28813PBQD C BQ DQ =+=+；1003t 14(102BPQ BP BC ==解得53t =；P 在BC 上时 63t1(32BP CQ t =此方程没有实数解；CD 上时：在点Q 的右侧54(34PQ BC =6< 不合题意若P 在Q 的左侧 如图6 即3485t <14(534)202BPQ S PQ BC t ∆==-= 解得395t =； 综上所述 当53t =秒或395秒时 BPQ ∆的面积为220cm ． 13．（1）t 10-t ；（2）5；（3）S =20-2t ；（4）2或8． 解：（1）当0<t <3时 点M 在线段AB 上 即AM =t 当7＜t <10时 点M 在线段OC 上 OM =10-t故填：t 10-t ；（2）∵四边形ABCO 是矩形 B （4 3）∴OA =BC =4 AB =OC =3∵△AOM 为等腰三角形∴只有当MA =MO 此时点M 在线段BC 上 CM =BM =2 ∴t =3+2=5故填：5；（3）∵当7<t <10时 点M 在线段OC 上∴114(10)20222S OA OM t t =⋅⋅=⨯⨯-=-；（4）①当点M 在线段AB 上时 4=12×4t 解得t =2；②当点M 在线段BC 上时 S =6 不符合题意；当点M 在线段OC 上时 4=20-2t 解得t =8．∴OD ＝OP +PD ＝8∴Q （8 2）∵M 是CQ 的中点 C （0 6）∴M （4 4）；（2）①∵△COP ≌△PDQ∴OP ＝OQ ＝t OC ＝PD ＝6∴OD ＝t +6∴Q （t +6 t ）∵C （0 6）∴M （62t + 62t +） 当0＜t ＜6时 S ＝AP ×y M ＝（6﹣t ）×62t +＝2362t -； ②分两种情况：a 当N 在PC 上时 连接OB PM 如图2﹣1所示：∵点M 的横 纵坐标相等∴点M 在对角线BD 上∵四边形OABC 是正方形∴OC ＝OA ∠COM ＝∠AOM∴∠MPA ＝12（180°﹣45°）＝67.5° ∴∠CPA ＝67.5﹣45＝22.5°；综上所述 当点N 在△CPQ 的直角边上时 ∠CPA 的度数为112.5°或22.5°；（3）过点M 作MH ⊥x 轴于点H 过点Q 作QG ⊥x 轴于点G∵AMQ AHM AGQ MHGQ S S S S =--△△△梯形∴S '＝12（62t ++t ）•62t +﹣12（6﹣62t +）•62t +﹣12t •t ＝3t ①当0＜t ＜6时 即点AP 在点A 左侧时 如图3所示：∵S ＝S '∴2362t -＝3t 解得：t ＝﹣3+35 或t ＝﹣3﹣35（舍去）；②当t ＞6时 即点P 在点A 右侧时 如图4所示：S ＝AP ×y M =（t ﹣6）×62t +＝2362t - ∵S ＝S '将D （0 1）G （10 5）代入y=kx+b 得：1105b k b =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：21051k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴当CG=OD 时 直线DG 的函数表达式为y=2105x+1．（3）设DG 交x 轴于点P 过点F 作FM⊥x 轴于点M 延长MF 交BC 于点N 如图所示．∵DG∥EF∴∠FEM=∠GPO．∵BC∥OA∴∠DGC=∠GPO=∠FEM．在△DCG 和△FME 中90DCG FME DGC FEMDG FE⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△DCG≌△FME（AAS ）∴FM=DC=4．∵MN⊥x 轴∴四边形OMNC 为矩形在Rt△CDH 中 由勾股定理可得： HC=22543-=∴BC=BK+KH+HC=4+3+3=10；（2）如图② 过D 作DG∥AB 交BC 于G 点 则四边形ADGB 为平行四边形 ∴BG=AD=3∴GC=BC−BC=10−3=7由题意得 当M N 运动t 秒后 CN=t CM=10−2t∵AB∥DG MN∥AB∴DG∥MN∴∠NMC=∠DGC又∵∠C=∠C∴△MNC ~△GDC∴CN CM CD CG=, ∴10257tt -=解得t=5017； （3）第一种情况：当NC=MC 时 如图③22∵∠C=∠C∠MFC=∠DHC=90°∴△MFC~△DHC∴FC MCHC DC=即：1 102253tt-=解得：t=6017；综上所述当t=103t=258或t=6017时△MNC为等腰三角形.。

2022年上海各区中考数学一模试卷分类汇编 专题11 几何综合(解答25题压轴题)

2022年上海各区中考数学一模试卷分类汇编 专题11 几何综合(解答25题压轴题)

2022年上海市15区中考数学一模考点分类汇编专题11 几何综合一．解答题（共15小题）1．（普陀区）如图，在△ABC中，边BC上的高AD＝2，tan B＝2，直线l平行于BC，分别交线段AB，AC，AD于点E、F、G，直线l与直线BC之间的距离为m．（1）当EF＝CD＝3时，求m的值；（2）将△AEF沿着EF翻折，点A落在两平行直线l与BC之间的点P处，延长EP交线段CD于点Q．①当点P恰好为△ABC的重心时，求此时CQ的长；②联结BP，在∠CBP＞∠BAD的条件下，如果△BPQ与△AEF相似，试用m的代数式表示线段CD的长．2．（嘉定区）在平行四边形ABCD中，对角线AC与边CD垂直，，四边形ABCD的周长是16，点E是在AD延长线上的一点，点F是在射线AB上的一点，∠CED＝∠CDF．（2）如图2，点F在边AB上的一点．设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式并写出它的定义域；（3）如果BF：FA＝1：2，求△CDE的面积．3．（金山区）已知：如图，AD⊥直线MN，垂足为D，AD＝8，点B是射线DM上的一个动点，∠BAC＝90°，边AC交射线DN于点C，∠ABC的平分线分别与AD、AC相交于点E、F．（1）求证：△ABE∽△CBF；（2）如果AE＝x，FC＝y，求y关于x的函数关系式；（3）联结DF，如果以点D、E、F为顶点的三角形与△BCF相似，求AE的长．4．（静安区）如图1，四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB＝9，AE＝6，AE2＝AB•AD，且DC∥AE．（1）求证：DE2＝AE•DC；（2）如果BE＝9，求四边形ABCD的面积；（3）如图2，延长AD、BC交于点F，设BE＝x，EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．5．（杨浦区）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，点D为射线AB上一动点，且BD＜AD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F．（1）当点D在边AB上时，①求证：∠AFC＝45°；②延长AF与边CB的延长线相交于点G，如果△EBG与△BDC相似，求线段BD的长；（2）联结CE、BE，如果S△ACE＝12，求S△ABE的值．6．（浦东新区）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点O是边AC上的一个动点，过O 作OD⊥AB，D为垂足，在线段AC上取OE＝OD，联结ED，作EP⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F．（1）如图1所示，求证：△ADE∽△AEP；（2）设OA＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当BF＝1时，求线段AP的长．7．（奉贤区）如图1，已知锐角△ABC的高AD、BE相交于点F，延长AD至G，使DG＝FD，联结BG，CG．（1）求证：BD•AC＝AD•BG；（2）如果BC＝10，设tan∠ABC＝m．①如图2，当∠ABG＝90°时，用含m的代数式表示△BFG的面积；②当AB＝8，且四边形BGCE是梯形时，求m的值．8．（松江区）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D是边AB上一点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB，交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F．（1）当DE⊥BC时，求DE的长；（2）当△CEF与△ABC相似时，求∠CDE的正切值；（3）如果△BDE的面积是△DEF面积的2倍，求这时AD的长．9．（青浦区）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝，AD＝2，DC＝，tan∠ABC＝2（如图）．点E是射线AD上一点，点F是边BC上一点，联结BE、EF，且∠BEF＝∠DCB．（1）求线段BC的长；（2）当FB＝FE时，求线段BF的长；（3）当点E在线段AD的延长线上时，设DE＝x，BF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．10．（徐汇区）如图，在△ABC中，∠C＝90°，cot A＝，点D为边AC上的一个动点，以点D 为顶点作∠BDE＝∠A，射线DE交边AB于点E，过点B作射线DE的垂线，垂足为点F．（1）当点D是边AC中点时，求tan∠ABD的值；（2）求证：AD•BF＝BC•DE；（3）当DE：EF＝3：1时，求AE：EB．11．（长宁区）已知，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点E是射线CA上的动点，点O是边BC 上的动点，且OC＝OE，射线OE交射线BA于点D．（1）如图，如果OC＝2，求的值；（2）联结AO，如果△AEO是以AE为腰的等腰三角形，求线段OC的长；（3）当点E在边AC上时，联结BE、CD，∠DBE＝∠CDO，求线段OC的长．12．（崇明区）已知：如图，正方形的边长为1，在射线AB上取一点E，联结DE，将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点落在F处，联结EF，与对角线BD所在的直线交于点M，与射线DC交于点N．（1）当AE＝时，求tan∠EDB的值；（2）当点E在线段AB上，如果AE＝x，FM＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）联结AM，直线AM与直线BC交于点G，当BG＝时，求AE的值．13．（黄浦区）如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB＝∠DAB＝90°，AB2＝BC•BD，AB＝3，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，延长AE、CB交于点F，联结DF．（1）求证：AE＝AC；（2）设BC＝x，＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域；（3）当△ABC与△DEF相似时，求边BC的长．14．（宝山区）如图，已知正方形ABCD，将边AD绕点A逆时针方向旋转n°（0＜n＜90）到AP 的位置，分别过点C、D作CE⊥BP，DF⊥BP，垂足分别为点E、F．（1）求证：CE＝EF；（2）联结CF，如果＝，求∠ABP的正切值；（3）联结AF，如果AF＝AB，求n的值．15．（虹口区）已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，tan B＝，点D是边BC延长线上的点，在射线AB上取一点E，使得∠ADE＝∠ABC．过点A作AF⊥DE于点F．（1）当点E在线段AB上时，求证：＝；（2）在（1）题的条件下，设CD＝x，DE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）记DE交射线AC于点G，当△AEF∽△AGF时，求CD的长．2022年上海市15区中考数学一模考点分类汇编专题11 几何综合一．解答题（共15小题）1．（普陀区）如图，在△ABC中，边BC上的高AD＝2，tan B＝2，直线l平行于BC，分别交线段AB，AC，AD于点E、F、G，直线l与直线BC之间的距离为m．（1）当EF＝CD＝3时，求m的值；（2）将△AEF沿着EF翻折，点A落在两平行直线l与BC之间的点P处，延长EP交线段CD于点Q．①当点P恰好为△ABC的重心时，求此时CQ的长；②联结BP，在∠CBP＞∠BAD的条件下，如果△BPQ与△AEF相似，试用m的代数式表示线段CD的长．【分析】（1）根据＝tan B＝2，可得：BD＝1，再由EF＝CD＝3，DG＝m，可得：BC＝4，AG ＝2﹣m，利用EF∥BC，可得＝，建立方程求解即可；（2）①由翻折可得：BD＝CD＝1，AP＝2PD，即PD＝AD＝，AP＝AD＝，进而得出：AG ＝，推出DP＝GP，再由EF∥BC，可得出EG＝，利用ASA证明△PQD≌△PEG，即可求得答案；②分两种情况：Ⅰ．当△BPQ∽△FAE时，由△FAE∽△CAB，推出△BPQ∽△CAB，建立方程求解即可；Ⅱ．当△BPQ∽△AFE时，由△AFE∽△ACB，推出△BPQ∽△ACB，建立方程求解即可．【解答】解：（1）如图1，在△ABC中，边BC上的高AD＝2，tan B＝2，∴＝tan B＝2，∴BD＝1，∵EF＝CD＝3，DG＝m，∴BC＝BD+CD＝4，AG＝AD﹣DG＝2﹣m，∵EF∥BC，∴＝，即＝，解得：m＝，∴m的值为；（2）①如图2，∵将△AEF沿着EF翻折，点A落在△ABC的重心点P处，∴BD＝CD＝1，AP＝2PD，即PD＝AD＝，AP＝AD＝，∴AG＝GP＝AP＝，∴DP＝GP，∵EF∥BC，∴∠PGE＝∠PDQ＝90°，△AEG∽△ABD，∴＝，即＝，∴EG＝，在△PQD和△PEG中，，∴△PQD≌△PEG（ASA），∴DQ＝EG＝，∴CQ＝CD﹣DQ＝1﹣＝，∴此时CQ的长为；②在Rt△ABD中，AB＝＝，∵将△AEF沿着EF翻折，点A落在两平行直线l与BC之间的点P处，∴∠PBQ＜∠ABD，∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABD，∴∠PBQ＜∠AEF，∵∠CBP＞∠BAD，∴∠BAD＜∠PBQ＜∠AEF，∵GP＝AG＝2﹣m，DG＝m，∴DP＝DG﹣GP＝m﹣（2﹣m）＝2m﹣2，∴m＞1，∴1＜m＜2，∵∠AEF＝∠ABD，∴＝tan∠AEF＝tan∠ABD＝2，∴＝2，∴EG＝，∵EF∥BC，∴△PEG∽△PQD，∴＝，即＝，∴DQ＝m﹣1，∴BQ＝BD+DQ＝m，∵∠AEF＝∠PEG＝∠BQP，∠PBQ＜∠AEF，∴△BPQ与△AEF相似，则△BPQ∽△FAE或△BPQ∽△AFE，Ⅰ．当△BPQ∽△FAE时，∵△FAE∽△CAB，∴△BPQ∽△CAB，∴＝，即＝，∴BC＝，∴CD＝BC﹣BD＝﹣1＝；Ⅱ．当△BPQ∽△AFE时，∵△AFE∽△ACB，∴△BPQ∽△ACB，∴＝，即＝，∴BC＝，∴CD＝BC﹣BD＝﹣1＝，综上，线段CD的长为或．【点评】本题考查了全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数，翻转变换的性质等，熟练掌握全等三角形判定和性质、相似三角形的判定和性质等相关知识，运用分类讨论思想和方程思想思考解决问题是解题关键．2．（嘉定区）在平行四边形ABCD中，对角线AC与边CD垂直，，四边形ABCD的周长是16，点E是在AD延长线上的一点，点F是在射线AB上的一点，∠CED＝∠CDF．（1）如图1，如果点F与点B重合，求∠AFD的余切值；（2）如图2，点F在边AB上的一点．设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式并写出它的定义域；（3）如果BF：FA＝1：2，求△CDE的面积．【分析】（1）设AB＝3k，则AC＝4k，由勾股定理求出BC＝＝5k，由四边形ABCD 的周长求出k＝1，求出AM的长，则可得出答案；（2）证明△CDE∽△DAF，由相似三角形的性质得出，得出AD＝BC＝5，DE＝x﹣5，DC ＝AB＝3，AF＝3﹣y，由比例线段可得出答案；（3）分两种情况：①当点F在边AB上，②当点F在AB的延长线上，求出AF的长，由相似三角形的性质及三角形面积公式可得出答案．【解答】解：（1）如果点F与点B重合，设DF与AC交于点M，∵AC⊥CD，∴∠DCA＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CAB＝∠DCA＝90°，在Rt△CAB中，设AB＝3k，∵，∴AC＝4k，∴BC＝＝5k，∵四边形ABCD的周长是16，∴2（AB+BC）＝16，即 2（3k+5k）＝16，∴k＝1，∴AB＝3，BC＝5，AC＝4，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AM＝CM＝AC＝2，∴cot∠AFD＝；（2）解：∵CD∥AB，∴∠EDC＝∠FAD，∠CDF＝∠AFD，∵∠CED＝∠CDF，∴∠CED＝∠AFD，∴△CDE∽△DAF，∴，由题意，得AD＝BC＝5，DE＝x﹣5，DC＝AB＝3，AF＝3﹣y，∴，∴y＝﹣，定义域是：5＜x≤．（3）解：点F在射线AB上都能得到：△CDE∽△DAF，∴，①当点F在边AB上，∵BF：FA＝1：2，AB＝3，∴AF＝2，由题意，得S△DAF＝AF•AC，∵AC＝4，∴S△DAF＝×2×4＝4，∴，∴S△CDE＝，②当点F在AB的延长线上，∵BF：FA＝1：2，AB＝3，∴AF＝6，由题意，得S△DAF＝AF•AC，∴S△DAF＝AF•AC＝12，∴，∴S△CDE＝．综上所述，△CDE的面积是或．【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．3．（金山区）已知：如图，AD⊥直线MN，垂足为D，AD＝8，点B是射线DM上的一个动点，∠BAC ＝90°，边AC交射线DN于点C，∠ABC的平分线分别与AD、AC相交于点E、F．（1）求证：△ABE∽△CBF；（2）如果AE＝x，FC＝y，求y关于x的函数关系式；（3）联结DF，如果以点D、E、F为顶点的三角形与△BCF相似，求AE的长．【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠BAD＝∠BCF，根据角平分线的定义得到∠ABE＝∠CBF，根据相似三角形的判定定理证明△ABE∽△CBF；（2）作FH⊥BC于点H，根据相似三角形的性质、补角的概念得到∠AEF＝∠CFE，得到AE＝AF ＝x，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可；（3）分∠BAE＝∠FDE、∠BAE＝∠DFE两种情况，根据相似三角形的性质计算即可．【解答】（1）证明：∵AD⊥直线MN，∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠ABD＝90°，∠BCF+∠ABD＝90°，∴∠BAD＝∠BCF，∵BF平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBF，∴△ABE∽△CBF；（2）解：作FH⊥BC，垂足为点H．∵△ABE∽△CBF，∴∠AEB＝∠CFB，∵∠AEB+∠AEF＝180°，∠CFB+∠CFE＝180°，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE＝AF＝x，∵BF平分∠ABC，FH⊥BC，∠BAC＝90°，∴AF＝FH＝x．∵FH⊥BC，AD⊥直线MN，∴FH∥AD，∴＝，即＝，解得：y＝（4＜x＜8）；（3）解：设AE＝x，∵△ABE∽△CBF，∴如果以点D、E、F为顶点的三角形与△BCF相似时，以点D、E、F为顶点的三角形与△ABE相似．∵∠AEB＝∠DEF，∴∠BAE＝∠FDE或∠BAE＝∠DFE，当∠BAE＝∠FDE时，DF∥AB，∴∠ABE＝∠DFE，∵∠ABE＝∠DBE，∴∠DBE＝∠DFE，∴BD＝DF，∵DF∥AB，∴∠DFC＝∠BAC＝90°，∴∠DFC＝∠ABD＝90°，∵∠BAD＝∠BCF，∴△ABD≌△CDF（AAS），∴CF＝AD＝8，即＝8，解得：x1＝﹣4+4，x2＝﹣4﹣4（舍去），∴AE＝﹣4+4；当∠BAE＝∠DFE，＝时，∵∠ABF＝∠BED，∴△AEF∽△BED，∴∠AFE＝∠BDE，因为∠AFE是锐角，∠BDE是直角，所以这种情况不成立，综上所述，如果以点D、E、F为顶点的三角形与△BCF相似，AE的长为﹣4+4．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、函数解析式的确定，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．4．（静安区）如图1，四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB＝9，AE＝6，AE2＝AB•AD，且DC∥AE．（1）求证：DE2＝AE•DC；（2）如果BE＝9，求四边形ABCD的面积；（3）如图2，延长AD、BC交于点F，设BE＝x，EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．【分析】（1）先证明△ABE∽△AED，可得∠AEB＝∠ADE，再由平行线性质可推出∠ADE＝∠DCE，进而证得△ADE∽△ECD，根据相似三角形性质可证得结论；（2）如图2，过点B作BG⊥AE，运用等腰三角形性质可得G为AE的中点，进而可证得△ADE≌△ECD（SAS），再求得S△ABE＝×AE×BG＝18，根据△ABE∽△AED且相似比为3：2，可求得S＝S△CDE＝8，由S四边形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△CDE可求得答案；△AED（3）由△ABE∽△AED，可求得：DE＝x，进而得出DC＝x2，再利用△ADE∽△ECD，可得：CE＝x，再利用DC∥AE，可得△AEF∽△DCF，进而求得：CF＝EF，再结合题意得出答案．【解答】（1）证明：如图1，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵AE2＝AB•AD，∴＝，∴△ABE∽△AED，∴∠AEB＝∠ADE，∵DC∥AE，∴∠AEB＝∠DCE，∠AED＝∠CDE，∴∠ADE＝∠DCE，∴△ADE∽△ECD，∴＝，∴DE2＝AE•DC；（2）解：如图2，过点B作BG⊥AE，∵BE＝9＝AB，∴△ABE是等腰三角形，∴G为AE的中点，由（1）可得△ADE、△ECD也是等腰三角形，∵AE2＝AB•AD，AB＝BE＝9，AE＝6，∴AD＝4，DE＝6，CE＝4，AG＝3，∴△ADE≌△ECD（SAS），在Rt△ABG中，BG＝＝＝6，∴S△ABE＝×AE×BG＝×6×6＝18，∵△ABE∽△AED且相似比为3：2，∴S△ABE：S△AED＝9：4，∴S△AED＝S△CDE＝8，∴S四边形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△CDE＝18+8+8＝34；（3）解：如图3，由（1）知：△ABE∽△AED，∴＝，∵BE＝x，AB＝9，AE＝6，AE2＝AB•AD，AD＝4，∴＝，∴DE＝x，由（1）知：DE2＝AE•DC，∴DC＝x2，∵△ADE∽△ECD，∴＝＝，∴CE＝x，∵DC∥AE，∴△AEF∽△DCF，∴＝＝，∴CF＝EF，∴＝＝＝，∴y＝EF＝CE＝×x＝，∵即，∴3＜x＜9，∴y关于x的函数解析式为y＝，定义域为3＜x＜9．【点评】本题是相似三角形综合题，考查了角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．5．（杨浦区）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝5，点D为射线AB上一动点，且BD＜AD，点B关于直线CD的对称点为点E，射线AE与射线CD交于点F．（1）当点D在边AB上时，①求证：∠AFC＝45°；②延长AF与边CB的延长线相交于点G，如果△EBG与△BDC相似，求线段BD的长；（2）联结CE、BE，如果S△ACE＝12，求S△ABE的值．【分析】（1）①如图1，连接CE，根据轴对称的性质可得：EC＝BC，∠ECF＝∠BCF，设∠ECF ＝∠BCF＝α，则∠BCE＝2α，∠ACE＝90°﹣2α，再利用等腰三角形性质即可证得结论；②如图2，连接BE，CE，由△EBG∽△BDC，可得出∠G＝∠BCD＝22.5°，过点D作DH⊥AB交BC于点H，则△BDH是等腰直角三角形，推出CH＝DH＝BD，再根据CH+BH＝BC＝5，建立方程求解即可；（2）分两种情况：Ⅰ．当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，利用勾股定理、三角形面积建立方程求解即可；Ⅱ．当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，利用勾股定理、三角形面积建立方程求解即可．【解答】解：（1）①证明：如图1，连接CE，∵点B关于直线CD的对称点为点E，∴EC＝BC，∠ECF＝∠BCF，设∠ECF＝∠BCF＝α，则∠BCE＝2α，∴∠ACE＝90°﹣2α，∵AC＝BC，∴AC＝EC，∴∠AEC＝∠EAC＝[180°﹣（90°﹣2α）]＝45°+α，∵∠AEC＝∠AFC+∠ECF＝∠AFC+α，∴∠AFC＝45°；②如图2，连接BE，CE，∵B、E关于直线CF对称，∴CF垂直平分BE，由（1）知：∠AFC＝45°，∴∠BEF＝45°，∵△EBG与△BDC相似，∠BEG＝∠DBC＝45°，∵∠EBG与∠BDC均为钝角，∴△EBG∽△BDC，∴∠G＝∠BCD＝∠BAG，∵∠G+∠BAG＝∠ABC＝45°，∴∠G＝∠BCD＝22.5°，过点D作DH⊥AB交BC于点H，则△BDH是等腰直角三角形，∴DH＝BD，BH＝BD，∠BHD＝45°，∵∠CDH＝∠BHD﹣∠BCD＝45°﹣22.5°＝22.5°＝∠BCD，∴CH＝DH＝BD，∵CH+BH＝BC＝5，∴BD+BD＝5，∴BD＝＝5﹣5，∴线段BD的长为5﹣5；（2）Ⅰ．当点D在AB上时，如图3，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，∵AC＝EC＝BC＝5，∴AM＝EM＝AE，∴①AM2+CM2＝AC2＝25，∵S△ACE＝AE•CM＝12，∴②AM•CM＝12，①+②×2，得：（AM+CM）2＝49③，①﹣②×2，得：（AM﹣CM）2＝49③，∵CM＞AM＞0，∴AM＝3，CM＝4，∴AE＝6，由（1）知：∠AFC＝45°，BE⊥CF，∴∠BEF＝45°，∵∠AFC＝∠ABC＝45°，∴A、C、B、F四点共圆，∴∠AFB+∠ACB＝180°，∴∠AFB＝90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝BF，设EF＝BF＝x，则AE＝x+6，在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2，∴（x+6）2+x2＝50，解得：x＝1或x＝﹣7（舍去），∴BF＝1，∴S△ABE＝AE•BF＝×6×1＝3；Ⅱ．当点D在AB的延长线上时，如图4，过点C作CM⊥AE于点M，连接BF，由（1）知：∠AFC＝45°，CF垂直平分BE，∴∠BEF＝45°，BF＝EF，∴∠EBF＝∠BEF＝45°，∴∠BFE＝90°，∵AC＝EC＝BC＝5，∴AM＝EM＝AE，与Ⅰ同理可得：AM＝EM＝4，CM＝3，AE＝8，设BF＝EF＝y，则AF＝8﹣y，在Rt△ABF中，AF2+BF2＝AB2，∴（8﹣x）2+x2＝50，解得：x＝1或x＝7（舍去），∴BF＝1，∴S△ABE＝AE•BF＝×8×1＝4；综上，S△ABE的值为3或4．【点评】本题考查了三角形面积，等腰直角三角形性质和判定，相似三角形的判定和性质，轴对称变换的性质，勾股定理等，解题关键是添加辅助线构造直角三角形，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．6．（浦东新区）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点O是边AC上的一个动点，过O作OD ⊥AB，D为垂足，在线段AC上取OE＝OD，联结ED，作EP⊥ED，交射线AB于点P，交射线CB于点F．（1）如图1所示，求证：△ADE∽△AEP；（2）设OA＝x，AP＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）当BF＝1时，求线段AP的长．【分析】（1）利用等腰三角形的性质可证∠ADE＝∠AEP，且∠A＝∠A，可证结论成立；（2）由OD∥BC，得，可知AD＝，DO＝EO＝，由（1）知△ADE∽△AEP，得AE2＝AD•AP，有（x+）2＝，变形即可得出答案；（3）当点P在线段AB上时，由△PBF∽△PED，得，由△ADE∽△AEP，得，则，代入解方程即可；当点P在AB的延长线上时，首先通过导角得出∠CEF＝∠CFE，得EC＝FC＝2，过点E作EG⊥CF于点G，由相似得，则EG＝，CG＝，再利用EG∥BP，得，从而解决问题．【解答】（1）证明：∵OE＝OD，∴∠ODE＝∠OED，∵OD⊥AB，EP⊥ED，∴∠ADO＝∠PED，∴∠ADO+∠ODE＝∠PED+∠OED，∴∠ADE＝∠AEP，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△AEP；（2）解：∵OD⊥AP，BC⊥AB，∴OD∥BC，∴，∴AD＝，DO＝EO＝，由（1）知△ADE∽△AEP，∴∴AE2＝AD•AP，∴（x+）2＝，∴y＝；（3）解：①当点P在线段AB上时，如图1，BP＝4﹣y＝4﹣，∵△PBF∽△PED，∴，∴△ADE∽△AEP，∴，∴，∴，∴x＝，∴AP＝2，②当点P在AB的延长线上时，如图2，∵∠CFE＝∠PFB＝∠PDE，∠CEF+∠DEO＝∠PDE+∠EDO，∴∠CEF＝∠CFE，∴EC＝FC＝2，过点E作EG⊥CF于点G，∴，∴EG＝，CG＝，∴EG∥BP，∴，∴PB＝2，∴AP＝2+4＝6，综上所述，AP＝2或6．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例等知识，运用分类讨论思想是正确解题的关键．7．（奉贤区）如图1，已知锐角△ABC的高AD、BE相交于点F，延长AD至G，使DG＝FD，联结BG，CG．（1）求证：BD•AC＝AD•BG；（2）如果BC＝10，设tan∠ABC＝m．①如图2，当∠ABG＝90°时，用含m的代数式表示△BFG的面积；②当AB＝8，且四边形BGCE是梯形时，求m的值．【分析】（1）利用同角的余角相等可证∠BGF＝∠ACD，且∠BDG＝∠ADC＝90°，则△BDG∽△ADC，可证明结论；（2）①通过导角可利用ASA证△ADB≌△ADC，得BD＝CD＝BC＝5，再通过tan∠BGD＝m，可得GD＝，则GF＝2GD＝，代入三角形的面积公式即可；②分两种情形，当BG∥AC或BE∥CG，分别通过导角发现数量关系，从而解决问题．【解答】（1）证明：∵△ABC的高AD、BE相交于点F，∴∠AEB＝∠ADC＝90°，又∵∠EAF＝∠DAC，∴∠AFE＝∠ACD，∵∠BFD＝∠AFE，∴∠BFD＝∠ACD，∵BD⊥FG，DF＝DG，∴BD垂直平分GF，∴BG＝BF，∴∠BGF＝∠BFG，∴∠BGF＝∠ACD，又∵∠BDG＝∠ADC＝90°，∴△BDG∽△ADC，∴，∴BD•AC＝AD•BG；（2）解：①∵∠ABG＝90°，∴∠ABD+∠GBC＝90°，∵∠GBD+∠BGD＝90°，∴∠ABD＝∠BGD，同理∠GBD＝∠BAD，由（1）知△BDG∽△ADC，∴∠GBD＝∠DAC，∴∠BAD＝∠CAD，又∵AD＝AD，∠ADB＝∠ADC，∴△ADB≌△ADC（ASA），∴BD＝CD＝BC＝5，∵tan∠ABC＝m．∴tan∠BGD＝m，∴GD＝，∴GF＝2GD＝，∴S△BFG＝×FG×BD＝＝；②当BG∥AC时，∴∠ACB＝∠GBC，∵∠GBC＝∠CAD，∴∠ACB＝∠CAD＝45°，设CD＝AD＝x，则BD＝10﹣x，由勾股定理得，x2+（10﹣x）2＝82，解得x＝5±，当x＝5+时，BD＝10﹣x＝5﹣，此时m＝，当x＝5﹣时，BD＝10﹣x＝5+，此时m＝；当BE∥CG时，∴∠EBC＝∠BCG，则∠CBG＝∠BCG，∴BG＝CG，∴BD＝CD＝5，由勾股定理得AD＝，∴m＝，综上，m＝或或．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角函数等知识，综合性较强，熟练掌握角之间的转化发现解题思想是关键．8．（松江区）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D是边AB上一点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB，交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F．（1）当DE⊥BC时，求DE的长；（2）当△CEF与△ABC相似时，求∠CDE的正切值；（3）如果△BDE的面积是△DEF面积的2倍，求这时AD的长．【分析】（1）证明△DCE≌△DBE（ASA），可得CE＝BE＝2，根据＝tan∠B＝，即可求得答案；（2）分两种情况：①当△CEF∽△ABC时，可证得∠CDB＝90°，再根据DE平分∠CDB，可得∠CDE＝45°，再由特殊角的三角函数值即可求得答案；②当△CEF∽△BAC时，则∠ECF＝∠ABC，得出DC＝DB，再由DE平分∠CDB，可得DE⊥BC，推出∠CDE＝∠BAC，利用三角函数定义即可求得答案；（3）如图，过点E作EG⊥AB于点G，根据角平分线性质可得出EF＝EG，推出DF＝DG，再由△BDE的面积是△DEF面积的2倍，可得出BD＝2DF，进而推出DE＝BE，设BE＝x，则DE＝x，CE＝BC﹣BE＝4﹣x，BG＝BE•cos B＝x，BD＝2BG＝x，DG＝DF＝BG＝x，AD＝AB﹣BD＝6﹣x，根据△CDE∽CBD，得出＝＝，建立方程求解即可．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，∴AC＝＝＝2，∵DE平分∠CDB，∴∠CDE＝∠BDE，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝∠DEB＝90°，在△DCE和△DBE中，，∴△DCE≌△DBE（ASA），∴CE＝BE，∵CE+BE＝BC＝4，∴CE＝BE＝2，∵＝tan∠B＝，∴＝，∴DE＝；（2）∵EF⊥CD，∴∠CFE＝90°＝∠ACB，∵△CEF与△ABC相似，∴△CEF∽△ABC或△CEF∽△BAC，①当△CEF∽△ABC时，则∠ECF＝∠BAC，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠ECF+∠ABC＝90°，∴∠CDB＝90°，∵DE平分∠CDB，∴∠CDE＝∠CDB＝×90°＝45°，∴tan∠CDE＝tan45°＝1；②当△CEF∽△BAC时，则∠ECF＝∠ABC，∴DC＝DB，∵DE平分∠CDB，∴DE⊥BC，∴∠CDE+∠ECF＝90°，∵∠BAC+∠ABC＝90°，∴∠CDE＝∠BAC，∴tan∠CDE＝tan∠BAC＝＝＝，综上所述，∠CDE的正切值为1或；（3）如图，过点E作EG⊥AB于点G，∵DE平分∠CDB，EF⊥CD，EG⊥AB，∴EF＝EG，∵DE＝DE，∴Rt△DEF≌Rt△DEG（HL），∴DF＝DG，∵△BDE的面积是△DEF面积的2倍，∴BD＝2DF，∴DG＝BG，∵EG⊥BD，∴DE＝BE，设BE＝x，则DE＝x，CE＝BC﹣BE＝4﹣x，BG＝BE•cos B＝x，∴BD＝2BG＝x，DG＝DF＝BG＝x，∴AD＝AB﹣BD＝6﹣x，∵DE平分∠CDB，∴∠CDE＝∠BDE，∵DE＝BE，∴∠BDE＝∠B，∴∠CDE＝∠B，∵∠DCE＝∠BCD，∴△CDE∽CBD，∴＝＝，即＝＝，解得：CD＝3，x＝，∴AD＝6﹣x＝6﹣×＝，故这时AD的长为．【点评】本题是几何综合题，考查了直角三角形性质，勾股定理，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线性质，三角形面积，三角函数等知识，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识，运用分类讨论思想和方程思想解决问题．9．（青浦区）在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝，AD＝2，DC＝，tan∠ABC＝2（如图）．点E是射线AD上一点，点F是边BC上一点，联结BE、EF，且∠BEF＝∠DCB．（1）求线段BC的长；（2）当FB＝FE时，求线段BF的长；（3）当点E在线段AD的延长线上时，设DE＝x，BF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．【分析】（1）如图1，过点A、D分别作AH⊥BC、DG⊥BC，垂足分别为点H、点G．根据矩形的性质得到AD＝HG＝2，AH＝DG，解直角三角形即可得到结论；（2）如图1，过点E作EM⊥BC，垂足为点M，根据矩形的性质得到EM＝AH＝2，解直角三角形即可得到结论；（3）如图2，过点E作EN∥DC，交BC的延长线于点N．根据平行四边形的性质得到DE＝CN，∠DCB＝∠ENB，根据相似三角形的性质得到BE2＝BF•BN，过点E作EQ⊥BC，垂足为点Q，根据矩形的性质得到EQ＝DG＝2，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）如图1，过点A、D分别作AH⊥BC、DG⊥BC，垂足分别为点H、点G．∴AH∥DG，∵AD∥BC，∴四边形AHGD是矩形，∴AD＝HG＝2，AH＝DG，在Rt△ABH中，tan∠ABC＝2，AB＝，∴＝2，∴AH＝2BH，∵AH2+BH2＝AB2，∴（2BH）2+BH2＝（）2，∴BH＝1，∴AH＝2，∴DG＝2，在Rt△DGC中，DC＝，∴CG＝＝＝4，∴BC＝BH+HG+GC＝1+2+4＝7；（2）如图1，过点E作EM⊥BC，垂足为点M，∴AH∥EM，∵AD∥BC，∴四边形AHME是矩形，∴EM＝AH＝2，在Rt△DGC中，DG＝2，CG＝4，∴tan∠DCB＝＝，∵FB＝FE，∴∠FEB＝∠FBE．∵∠FEB＝∠DCB，∴∠FBE＝∠DCB，∴tan∠FBE＝．∴＝，∴BM＝4，在Rt△EFM中，FM2+EM2＝FE2，∴（4﹣FB）2+22＝FB2，∴BF＝；（3）如图2，过点E作EN∥DC，交BC的延长线于点N．∵DE∥CN，∴四边形DCNE是平行四边形，∴DE＝CN，∠DCB＝∠ENB，∵∠FEB＝∠DCB，∴∠FEB＝∠ENB，又∵∠EBF＝∠NBE，∴△BEF∽△BNE，∴＝，∴BE2＝BF•BN，过点E作EQ⊥BC，垂足为点Q，则四边形DGQE是矩形，∴EQ＝DG＝2，∴BQ＝x+3．∴BE2＝QE2+BQ2＝（x+3）2+22＝x2+6x+13，∴y（7+x）＝x2+6x+13．∴．【点评】本题考查了四边形综合题，梯形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．10．（徐汇区）如图，在△ABC中，∠C＝90°，cot A＝，点D为边AC上的一个动点，以点D为顶点作∠BDE＝∠A，射线DE交边AB于点E，过点B作射线DE的垂线，垂足为点F．（1）当点D是边AC中点时，求tan∠ABD的值；（2）求证：AD•BF＝BC•DE；（3）当DE：EF＝3：1时，求AE：EB．【分析】（1）过点D作DG⊥AB于G，设AC＝a，BC＝a，由勾股定理得AB的长，在△ABD中，利用面积法可表示出DG的长，再利用勾股定理得出AG的长，从而解决问题；（2）首先利用两个角相等可证明△ADB∽△DEB，得，再证明△ACB∽△DFB，得，从而证明结论；（3）设DE＝x，EF＝3x，得DF＝4x，由cot，可表示出BF的长，再利用勾股定理得出BE、BD的长，由（2）可知，△ADB∽△DEB，得，可表示出AB的长，从而解决问题．【解答】（1）解：如图，过点D作DG⊥AB于G，在Rt△ABC中，cot A＝，设AC＝a，BC＝a，∵∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝a，∵D是AC的中点，∴AD＝，∵S，∴DG＝，在Rt△ADG中，AG＝＝＝，∴BG＝AB﹣AG＝a﹣＝，在Rt△GDB中，tan；（2）证明：∵∠BDE＝∠A，∠DBE＝∠ABD，∴△ADB∽△DEB，∴，∵∠F＝∠C＝90°，∠A＝∠BDE，∴△ACB∽△DFB，∴，∴，∴AD•BF＝BC•DE；（3）解：∵，∴设DE＝x，EF＝3x，∴DF＝4x，∵∠A＝∠BDE，∴cot A＝cot∠BDE＝，在 Rt△BDF中，cot，∴BF＝x，在Rt△BEF中，BE＝＝＝x，在Rt△BDF中，DB＝＝＝2x，由（2）可知，△ADB∽△DEB，∴，∴，∴AB＝x，∴AE＝AB﹣BE＝x﹣x＝x，∴，即AE：EB＝7：17．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，三角函数，勾股定理，三角形的面积等知识，利用代数方法解决几何问题是解题的关键．11．（长宁区）已知，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点E是射线CA上的动点，点O是边BC上的动点，且OC＝OE，射线OE交射线BA于点D．（1）如图，如果OC＝2，求的值；（2）联结AO，如果△AEO是以AE为腰的等腰三角形，求线段OC的长；（3）当点E在边AC上时，联结BE、CD，∠DBE＝∠CDO，求线段OC的长．【分析】（1）通过证明△ABC∽△OEC，可求EC的长，AE的长，通过证明△ADE∽△ODB，可求解；（2）分两种情况讨论，利用相似三角形的性质可求解；（3）通过证明△CDA∽△BEO，可得，通过证明△ABE∽△ODC，可得，列出等式可求解．【解答】解：（1）∵AB＝AC＝5，OE＝OC＝2，∴∠B＝∠C，∠C＝∠OEC，∴∠B＝∠OEC＝∠AED，又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△OEC，∴，∴＝，∴EC＝，∴AE＝，∵∠ADE＝∠ADE，∠AED＝∠B，∴△ADE∽△ODB，∴＝（）2＝（）2＝；（2）如图1，当点E在AC上时，∵∠AEO＞90°，△AEO是等腰三角形，∴AE＝EO，由（1）可知：△ABC∽△OEC，∴，∴，∴EC＝OC，∵AC＝AE+EC＝OC+OC＝5，∴OC＝；当点E在线段CA的延长线上时，如图2，∵∠EAO＞90°，△AEO是等腰三角形，∴AE＝AO，∴∠E＝∠AOE，∵∠B＝∠C＝∠OEC，∴∠B＝∠AOE，∴△ABC∽△AOE，∴，∴，∴AE＝OC，由（1）可知：△ABC∽△OEC，∴，∴，∴EC＝OC，∵AC＝EC﹣AE＝5，∴OC﹣OC＝5，∴OC＝，综上所述：线段OC的长为或；（3）如图3，当点E在线段AC上时，∵∠ABE＝∠CDO，∠ABC＝∠OEC，∴∠ABC﹣∠ABE＝∠OEC﹣∠ODC，∴∠EBO＝∠DCA，∵∠DAC＝∠ABC+∠ACB＝2∠ACB，∠BOE＝∠ACB+∠OEC＝2∠ACB，∴∠DAC＝∠BOE，∴△CDA∽△BEO，∴，∵∠ABE＝∠ODC，∠BAC＝∠DOC，∴△ABE∽△ODC，∴，∴，∴，∴OC＝8﹣或OC＝8+（不合题意舍去），∴OC＝8﹣．【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．12．（崇明区）已知：如图，正方形的边长为1，在射线AB上取一点E，联结DE，将△ADE绕点D逆时针旋转90°，E点落在F处，联结EF，与对角线BD所在的直线交于点M，与射线DC交于点N．（1）当AE＝时，求tan∠EDB的值；（2）当点E在线段AB上，如果AE＝x，FM＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）联结AM，直线AM与直线BC交于点G，当BG＝时，求AE的值．【分析】（1）如图1中，过点E作ER⊥BD于点R．解直角三角形求出ER，DR即可；（2）如图2中，过点M作MP⊥AB于点P，MQ⊥BC于点Q．证明＝＝＝，构建关系式，可得结论；（3）分两种情形：如图3﹣1中，当点G在线段BC上时，过点M作MT⊥AB于点T．如图3﹣2中，当点G在CB的延长线上时，过点M作MT⊥AB交AB的延长线于点T．分别求解即可．【解答】解：（1）如图1中，过点E作ER⊥BD于点R．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD＝1，∠A＝90°，∠BD＝90°，∴BD＝＝＝，∵ER⊥BD，∴∠EBR＝∠BER＝45°，∵AE＝，∵BE＝，∴ER＝BR＝，∴DR＝﹣＝，∴tan∠EDB＝＝＝；（2）如图2中，过点M作MP⊥AB于点P，MQ⊥BC于点Q．∵∠ADC＝∠EDF＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，∵DA＝DC，DE＝DF，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF＝x，在Rt△ADE中，DE＝＝，∵DE＝DF，∠EDF＝90°，∴EF＝DE＝，∵∠EBM＝∠FBM＝45°，MP⊥BE，MQ⊥BF，∴MP＝MQ，∴＝＝＝，∴＝，∴y＝﹣x（0≤x≤1）；（3）如图3﹣1中，当点G在线段BC上时，过点M作MT⊥AB于点T．∵BG∥AD，∴＝＝，∵BD＝，∴BM＝，∴BT＝TM＝，∴ET＝EB﹣BT＝1﹣x﹣＝﹣x，∵MT∥BF，∴＝，∴＝，解得x＝±，经检验，x＝是分式方程的解，且符合题意．∴AE＝．如图3﹣2中，当点G在CB的延长线上时，过点M作MT⊥AB交AB的延长线于点T．∵BG∥AD，∴＝＝，∵BD＝，∴BM＝，∴BT＝TM＝，∴ET＝EB﹣BT＝﹣（x﹣1）＝﹣x，∵MT∥BF，∴＝，∴＝，解得x＝±，经检验，x＝是分式方程的解，且符合题意．∴AE＝，综上所述，满足条件的AE的值为或．【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．13．（黄浦区）如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB＝∠DAB＝90°，AB2＝BC•BD，AB＝3，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，延长AE、CB交于点F，联结DF．（1）求证：AE＝AC；（2）设BC＝x，＝y，求y关于x的函数关系式及其定义域；（3）当△ABC与△DEF相似时，求边BC的长．【分析】（1）将AB2＝BC•BD转化为，进而根据勾股定理和比例性质推出，进而△ABC∽△DAB，进一步证明△BAE≌△BAC，从而命题得证；（2）作AG∥BE交BC的延长线于G，作GH⊥AB，推出△FBE∽△FGA和cos∠ABC＝，再根据比例性质求得结果；（3）两种情形：△ACB∽△DEF和△ACB∽△FED，当△ACB∽△DEF时，由y＝1求得结果，当△ACB∽△FED时，推出DF∥AB，从而＝，根据△ABE∽△DBA，推出BD＝，进而可求得结果．【解答】（1）证明：∵AB2＝BC•BD，∴，∴＝，∴＝，即：＝，∴，∵∠C＝∠BAD＝90°，∴△ABC∽△DAB，∴∠ADB＝∠BAC，∵∠BAD＝90°，∴∠ADB+∠ABD＝90°，∵AE⊥BD，∴∠AEB＝90°，∴∠EAB+∠ABD＝90°，∴∠BAE＝∠ADB，∴∠BAE＝∠BAC，∵∠AEB＝∠C，AB＝AB∴△BAE≌△BAC（AAS），∴AE＝AC；（2）如图1，作AG∥BE交BC的延长线于G，作GH⊥AB，∴△FBE∽△FGA，∠ABE＝∠BAG，∴，由（1）得，∠EAB＝∠BAC，∵∠AEB＝∠ACB＝90°，∴∠ABE＝∠ABC，∴∠ABC＝∠BAG，∴AG＝BG，∴BH＝AH＝AB＝，∵cos∠ABC＝，∴，∴BG＝，∴AG＝，∴，∴，∴，∴＝，∴y＝（0＜x＜）；（3）如图2，当△ACB∽△DEF时，∠EDF＝∠BAC，∴∠EDF＝∠ADE，∵∠DEF＝∠DEA，DE＝DE，∴△DEF≌△DEA（ASA），∴EF＝AE，∴y＝1，∴＝1，∴x1＝，x2＝﹣（舍去），∴BC＝，如图3，当△ACB∽△FED时，∠BAC＝∠DFE，∵∠BAE＝∠BAC，∴∠DFE＝∠BAE，∴DF∥AB，。

中考数学总复习《最大利润问题(一次函数的实际应用)》专题训练(附答案)

中考数学总复习《最大利润问题(一次函数的实际应用)》专题训练(附答案)

中考数学总复习《最大利润问题（一次函数的实际应用）》专题训练（附答案）学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．某学校准备购买A、B两种型号的垃圾箱，通过市场调研发现：买2个A型垃圾箱和1个B型垃圾箱共需100元；买1个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需110元．(1)求每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元？(2)若该校需购买A，B两种型号的垃圾箱共30个，其中A型垃圾箱不超过16个，求购买垃圾箱的总费用w （元）与A型垃圾箱的数量a（个）之间的函数关系式，并说明总费用至少要多少元？2．春节临近，为了满足顾客的消费需求，某大型商场计划用200000元购进一批家电，这批家电的进价和售价如表：类别彩电冰箱洗衣机进价（元/台）200026001000售价（元/台）230028001100若在现有资金允许的范围内，计划购买三类家电共100台，其中彩电台数是冰箱台数的2倍，设该商场购买冰箱x台．(1)用含x的代数式表示洗衣机的台数；(2)商场最多可以购买冰箱多少台？(3)购买冰箱多少台时，能使商场销售完这批家电后获得的利润最大？最大利润为多少元？3．某商场准备购进甲、乙两种服装进行销售，甲种服装每件进价160元，售价220元；乙种服装每件进价120元，售价160元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元．(1)求y与x之间的函数关系式．(2)若购进100件服装的总费用不超过15000元，则最大利润为多少元？4．某商店11月份购进甲、乙两种配件共花费1350元，其中甲种配件6元/个，乙种配件15元/个．12月份，这两种配件的进价上调为：甲种配件8元/个，乙种配件18元/个．(1)若该店12月份购进这两种配件的数量与11月份都相同，将多支付货款350元，求该店11月份购进甲、乙两种配件分别是多少个？(2)若12月份将这两种配件进货总量减少到120个，设购进甲种配件a个，需要支付的货款为w元，求w与a的函数关系式；(3)在（2）的条件下，若乙种配件不少于30个，则12月份该店需要支付这两种配件的货款最少应是多少元？5．某商店准备购进甲乙两种服装共100件进行销售，其中甲种服装每件利润40元，乙种服装每件利润50 x≥）件，两种服装全部售完，商场获利y元．元．设购进甲种服装x（30(1)求y与x之间的函数关系式；(2)该店购进甲，乙服装各多少件时，才能使销售总利润最大？最大利润为多少元？(3)实际进货时，厂家对甲服装的出厂价下调a（020<<）元，且限定该店最多只能购进甲服装60件．若a该店保持售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100件服装总利润最大的进货方案．6．为迎接“国家级文明卫生城市”检查，我市环卫局准备购买A，B两种型号的垃圾箱．通过市场调研发现：购买1个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需170元；购买3个A型垃圾箱和1个B型垃圾箱共需210元．(1)求每个A型垃圾箱和B型垃圾箱各多少元?(2)该市现需要购买A，B两种型号的垃圾箱共30个，其中购买A型垃圾箱不超过16个．①求购买垃圾箱的总花费W（元）与A型垃圾箱x（个）之间的函数关系式；①当购买A型垃圾箱个数多少时总费用最少，最少费用是多少?7．某商店销售3台A 型和5台B 型电脑的利润为3000元，销售5台A 型和3台B 型电脑的利润为3400元．(1)求每台A 型电脑和B 型电脑的销售利润各多少元？(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共50台，设购进A 型电脑n 台，这50台电脑的销售总利润为w 元．请写出w 关于n 的函数关系式，并判断总利润能否达到26000元，请说明理由．8．第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州成功举行．这是党的二十大胜利召开之后我国举办的规模最大、水平最高的国际综合性体育赛事，举国关注，举世瞩目．杭州亚运会三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”．某专卖店购进A ，B 两种杭州亚运会吉祥物礼盒进行销售．A 种礼盒每个进价160元，售价220元；B 种礼盒每个进价120元，售价160元．现计划购进两种礼盒共100个，其中A 种礼盒不少于60个．设购进A 种礼盒x 个，两种礼盒全部售完，该专卖店获利y 元．(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若购进100个礼盒的总费用不超过15000元，求最大利润为多少元？(3)在（2）的条件下，该专卖店对A 种礼盒以每个优惠(020)m m <<元的价格进行优惠促销活动，B 种礼盒每个进价减少n 元，售价不变，且4m n -=，若最大利润为4900元，请直接．．写出m 的值．9．某教育科技公司销售A，B两种多媒体，这两种多媒体的进价与售价如表所示：A B进价（万元/套）3 2.4售价（万元/套） 3.3 2.8(1)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，共需资金132万元，该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体各多少套？(2)若该教育科技公司计划购进两种多媒体共50套，其中购进A种多媒体m套（1020<<），当把购进的m两种多媒体全部售出，求购进A种多媒体多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？10．某商店购进一批牛奶进行销售，据了解，每箱甲种牛奶的进价比每箱乙种牛奶的进价少5元，且购进2箱甲种牛奶和3箱乙种牛奶共需215元．(1)问甲、乙两种牛奶每箱的进价分别为多少元？(2)若每箱甲种牛奶的售价为50元，每箱乙种牛奶的售价为60元，考虑到市场需求，商店决定共购进这两种牛奶共300箱，且购进甲种牛奶的数量不少于100箱．设购进甲种牛奶m箱，总利润为W元，请求出总利润W（元）与m（箱）的函数关系式，并根据函数关系式求出获得最大利润的进货方案．(1)学校用4920元以进价购进这批篮球和足球，求购进篮球和足球各多少个；(2)设该电商所获利润为y（单位：元），购进篮球的个数为x（单位：个），请写出y与x之间的函数表达式（不要求写出x的取值范围）；(3)因资金紧张，电商的进货成本只能在4745元的限额内，请为学校设计一种进货方案使得尽可能多地购买篮球和足球，同时要使电商利润最小；并求出利润的最小值．13．陕西洛川盛产苹果，政府要将其发展成“帮助群众脱贫致富、推动乡村振兴”的特色产业．王师傅在政府的扶持下种植了A、B两个品种的苹果共50亩，两种苹果的成本和售价如下表所示：品种成本（万元/亩）售价（万元/亩）A 1.1 2.2B 1.3 2.7设种植A品种苹果x亩，若50亩地全部种植两种苹果共获得利润y万元．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若A品种苹果的种植亩数不少于B品种苹果种植亩数的1.5倍，则种植A品种苹果多少亩时利润最大?并求出最大利润．14．某校在开展数学文化节知识竞赛中，对优秀选手予以评奖，并颁发奖品，奖品有甲、乙、丙三种类型．已知1个甲种奖品的价格是1个丙种奖品价格的2倍，1个乙种奖品的价格比1个甲种奖品的价格少20元．若决定：今年新采购100台污水处理设备用以增强公司的污水处理能力.经过市场考查，诚信机械设备公司（以下简称：诚信公司）推荐了A、B两种型号的设备供选择，其中每台的报价与月处理污水量如表：经核算，若按诚信公司的报价：购买一台A型设备将比购买一台B型设备多20万元，购买2台A型设备会比购买3台B型设备少40万元．(1)求m，n的值；(2)诚信公司最初给出的销售条件是：购买B型设备原则上不予优惠；购买A型设备不超过20台时无优惠；购买20台以上时，超过20台的部分每台可按报价的7.5折销售．并且由于受库存和产能等因素限制，在规定的交货期限内，诚信公司最多只能提供80台A型设备，而富春紫光需要这批新购进的100台设备月处理污水总能力不能低于20600吨①富春紫光买下这批设备最少需要支付多少购买资金？①经过反复谈判协商，诚信公司最终同意：在富春紫光按照最初的销售条件全部买下诚信公司库存的50台A型设备的前提下，再给予B 型设备如下的优惠措施：购买B 型设备不超过a 台时无优惠；购买a 台以上时，超过a 台的部分每台可按报价的8折销售．如果富春紫光想要用不超过7850万元的资金买下这批污水处理设备，试求a 的最大值？参考答案： 1．(1)每个A 型垃圾箱30元，每个B 型垃圾箱40元(2)购买垃圾箱的总费用w （元）与A 型垃圾箱的数量a （个）之间的函数关系式为101200w a =-+，总费用至少要1040元2．(1)1003x -(2)27台(3)购买冰箱27台时，能使商场销售完这批家电后获得的利润最大，最大利润为23500元3．(1)204000y x =+(2)当75x =时，y 最大，最大值为5500元4．(1)该店11月份购进甲种配件100个，购进乙种配件50个；(2)102160w a =-+；(3)12月份该店需要支付这两种配件的货款最少应是1260元．5．(1)105000y x =-+(2)当购进甲服装30件，乙服装70件时，总利润最大，为4700元(3)购进60件甲服装，40件乙服装时，总利润最大6．(1)每个A 型垃圾箱50元，每个B 型垃圾箱60元．(2)①()101800016W x x =-+≤≤，其中x 为整数．①购买16个A 型垃圾箱时总费用最少，最少费用是1640元．7．(1)每台A 型电脑和B 型电脑的销售利润各为500，300元(2)20015000w n =+，不能8．(1)()20400060y x x =+≥(2)5500元(3)109．(1)购进A 种多媒体20套，B 种多媒体30套(2)购进A 种多媒体11套时，能获得最大利润，最大利润是189.万元10．(1)每箱甲种牛奶的进价为40元，每箱乙种牛奶的进价为45元．(2)总利润W （元）与m （箱）的函数关系式为54500W m =-+；获得最大利润的进货方案为购进甲种牛奶100箱，乙种牛奶200箱．11．(1)每辆甲车一次能装运18吨生活物资，每辆乙车一次能装运26吨生活物资(2)有三种派车方案(3)安排甲车3辆，乙车7辆所用的燃油费最少，最低燃油费是24200元12．(1)购进篮球37个，购进足球13个(2)51750y x =-+(3)购进篮球16个，足球34个利润最小为1670元13．(1)0.370y x =-+(2)当30x =时，最大利润为61万元14．(1)1个甲种奖品的价格为60元，1个乙种奖品的价格为40元，1个丙种奖品的价格为30元(2)11500元15．(1)m的值为100，n的值为80(2)①富春紫光买下这批设备最少需要支付8100万元购买资金；①a的最大值为25.第11页共11页。

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中考数学总复习专题训练(十一)
（解直角三角形）
考试时刻：120分钟满分150分
一、选择题（每小题3分，共45分）
1.当锐角A<600时,下列结论不正确的是（）。

Ａ．sinA<Ｂ．cosA<Ｃ．tanA<Ｄ．cotA>
2.若A为锐角,且sinA=,则角A满足（）。

Ａ．00<A<300 Ｂ．300<A<450 Ｃ．450<A<600 Ｄ．600<A<900
3.若sin2400+sin2α=1,且α为锐角,则α等于（）。

Ａ．300 Ｂ．400 Ｃ．500 Ｄ．600
4.在RtΔABC中,∠C=900,则下列等式中不正确的是（）。

Ａ．a=csinA Ｂ．a=bcotB Ｃ．b=csinB Ｄ．c=
5.若ΔABC中,锐角A满足丨sinA－丨+cos2C=0.则ΔABC是（）。

Ａ．等腰直角三角形Ｂ．等腰三角形
Ｃ．直角三角形Ｄ．锐角三角形
6.在RtΔABC中,∠C=900,sinA=,b=8,则c=（）。

Ａ．6 Ｂ．10 Ｃ．25 Ｄ．50.
7.等腰三角形的面积为40,底边长4,则底角的正切值为（）。

Ａ．10 Ｂ．20 Ｃ．Ｄ．
8.若00<A<900,且cosA的值是方程2x2－3x+1=0的一个根,则cosA的值为（）。

Ａ．Ｂ．1 Ｃ．1或2 Ｄ．或1 9.AD是ΔABC的高,AD在ΔABC的外部,AD=BD=1,DC=,则∠BAC=（）。

Ａ．150 Ｂ．600 Ｃ．1050 Ｄ．150或1050 10.在ΔABC中,∠C=900,点D在AC上,且AD=BD,BC=3,DC=4,∠BDC=α,则
cot =（ ）。

Ａ． Ｂ． Ｃ．3 Ｄ．
11.ΔABC 中,∠C=900,∠BAC=300,AD 是中线,则tan ∠CDA=（ ）。

Ａ． Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．
12.在Rt△ABC 中，∠C=90°，若sinA=23，则tanB=（ ）。

Ａ．53
Ｂ．53 Ｃ．255 Ｄ．52 13.在△ABC 中，若|sinA －
23|+(1－tanB)2=0，则∠C 的度数是（ ）。

Ａ．45° Ｂ．60° Ｃ．75° Ｄ．105°
14.a=sin60º，b=cos45º，c=tan30º，则它们之间的大小关系是（ ）。

Ａ．c<b<a Ｂ．b<a<c Ｃ．a<c<b Ｄ．b<c<a
15.某人沿着坡度为1∶3的山坡前进了1000 m ，则那个人所在的位置升
高了（ ）。

Ａ．1000 m Ｂ．500 m Ｃ．5003 m Ｄ．
331000 m 二、填空题（每小题3分，共24分）
1.若2cos(α+150)=1,则cot α=_________。

2.若平行四边形ABCD 中,AB=3,BC=4,∠B=300,则平行四边形ABCD 的面积为_________。

3.在ΔABC 中,∠C=900,AD 是角平分线, AC=24,AD=16
, 则cos ∠CAB=
_________。

4.在Rt ΔABC 中,∠C=900,4a=3b,则sinA=_________。

5.有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6米，下底长为10米，高为23米，那么此拦水坝斜坡的坡度为_________，坡角为_________。

6.已知tan α·tan30°=1，且α为锐角，则α=_________。

7.菱形的两条对角线长分别为23和6，则菱形的相邻的两内角分别为
_________。

8.一次函数y=ax+b的图象过点P(1，2)，且与x轴正半轴交于点A，与y
轴正半轴交于B，若tan∠PAO=
2
1
，则点B的坐标是_________。

三、解答下列各题（每题9分，共 81分）
1.运算或化简：
(1)3cos30°+2sin45°；
(2)
︒
︒
︒
sin60
cos60
tan45－
·tan 30°；
(3)(sin60°+cos 45°)(sin 60°－cos 45°)；
2．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，AC=2，CD=1，设∠CAD=α.
(1)求sinα、cosα、tanα的值；
(2)若∠B=∠CAD，求BD的长.。

A
B C
D
α
3. 如图，在ΔABC中,∠B=600,∠C=450,BC=20。

求ΔABC的面积。

4.如图，水库大坝的横断面为梯形，坝顶宽6米，坝高24米，斜坡AB的坡
角为45º，斜坡CD的坡比为i＝1：2，则坝底宽BC为多少米？
5.Rt ΔABC 中,∠C=900,sinA 和cosB 是关于x 的方程kx 2－kx+1=0的两个根,求∠B 的度数。

6.等腰三角形的底边长20 cm ，面积为33
100 cm 2，求它的各内角。

7.如图,ΔABC 中,CD 是中线,且CD ⊥CA,CD=3,tan ∠BCD=,求ΔABC 各边的长。

8.如图, 海上有一灯塔P, 在它周围3海里处有暗礁. 一艘客轮以9海里/
时的速度由西向东航行, 行至A 点处测得P 在它的北偏东600的方向, 连
续行驶20分钟后, 到达B 处又测得灯塔P 在它的北偏东450方向. 问客
轮不改变方向连续前进有无触礁的危险?
9. “期望中学”有一块三角形形状的花圃ABC ，现在可直截了当测量到：
AC= 40 m ，BC=25 m ，∠A=30°，要求出这块花圃的面积。

参考答案
一、1、B 2、B 3、C 4、D 5、A 6、B 7、A 8、A
9、A 10、C 11、B 12、D 13、C 14、A 15、B
二、1、1；2、6；3、
21； 4、53；5、3，60°； 6、60°；7、60°、120°；8、(0，2
5)。

三、1、(1)25， (2)31 ， (3)4
1 。

2、(1)sin α=55，cos α=552，tan α=2
1。

(2)∵∠B=α，∠C=90°,
∴△ABC ∽△DAC . ∴BC AC =AC
DC .∴BC =DC AC 2=4。

则BD =BC －CD =4－1=3。

3、300－1003。

4、分别过A 、D 作BC 的垂线，垂足为E ，F
∵∠B=45º，∴BE=AE=24，
∵斜坡CD 的坡比为i ＝1：2，
∴FC=2DF=2×24=48，
∴BC=BE+EF+CF=78。

5、∠B=60°。

提示：sinA=cosB ，方程有等根，⊿=0。

6、设等腰三角形底边上的高为x cm ，底角为α，则有21x ·20=33
100, ∴x =
33
10。

∵tan α =103310=33 ,∴∠α＝30°。

顶角为180°－2×30°=120°。

∴该等腰三角形三个内角为30°，30°，120°。

7、AB=132；AC=2；BC=102。

8、过P 作PC ⊥AB 于C 点, 据题意知: AB=96
2⨯=3, ∠PAB=900－600=300 ∠PBC=900－450=450, ∠PCB=900
∴PC=BC
在Rt △ABC 中: tan300=PC PC BC AB PC AC PC +=+=3 即：PC PC +=333 ∴PC=2
333+>3 ∴客轮不改变方向连续前进无触礁危险。

9、作CD ⊥AB 于D 。

∵∠A =30°,
∴CD =
21AC =21×40=20(m), AD =22CD AC -=203(m),
BD =22CD BC -=15(m).
(1)当∠ACB 为钝角时，AB =AD +BD =203+15, ∴S △ABC =21AB ·CD =2
1(203+15)×20=(2003+150)(m 2). (2)当∠ACB 为锐角时，AB =AD －BD =203－15. ∴S △ABC =
21AB ·CD =21(203－15)×20=(2003－150)(m 2).。

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