著名机构七年级数学春季班讲义2实数的运算(学生)

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实数的运算

实数的运算实数的概念实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类，或正实数，负实数和零三类。

实数集通常用黑正体字母 R 表示。

而表示n 维实数空间。

实数是不可数的。

实数是实数理论的核心研究对象。

实数可以用来测量连续的量。

理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。

在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后n 位，n为正整数）。

在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

实数的运算法则1、加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把它们的绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

可使用①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．即：②加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或先把后两个数相加，和不变．即：2、减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

即a-b=a+(-b)3、乘法法则：（1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。

（2）n个实数相乘，有一个因数为0，积就为0；若n个非0的实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数为奇数个时，积为负。

（3）乘法可使用①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变．即：．②乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变．即：。

③分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：．4、除法法则：（1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

（2）除以一个数等于乘以这个数的倒数。

即（3）0除以任何数都等于0，0不能做被除数。

5、乘方：所表示的意义是n个a相乘，即正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．乘方与开方互为逆运算。

6、实数的运算顺序：乘方、开方为三级运算，乘、除为二级运算，加、减是一级运算，如果没有括号，在同一级运算中要从左到右依次运算，不同级的运算，先算高级的运算再算低级的运算，有括号的先算括号里的运算。

著名机构数学讲义寒假01-七年级基础版-实数的概念与开平方-学生版

教师姓名冯娜娜学生姓名年级初一上课时间单击此处输入日期。

学科数学课题名称实数的概念与开平方知识模块Ⅰ：无理数的概念1、定义：无限不循环小数叫做无理数。

2、无理数也有正、负之分。

如2,,0.1010010001 L 等这样的数叫做正无理数；实数的概念与开平方如2,,0.1010010001π---L 等这样的数叫做负无理数。

只有符号不同的两个无理数（2与2-，π与π-），它们互为相反数。

【例1】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示． ①无限小数都是无理数.（） ②无理数就是开方开不尽的数.（） ③开方开不尽的数都是无理数.（） ④一个小数，不是有理数，就是无理数.（）【例2】无理数是（）.A 无限循环小数 .B 开方开不尽的数 .C 除有限小数以外的所有实数.D 除有理数以外的所有实数【例3】在0、π、0.01、16、0.010010001……、3中，属于无理数的是 .知识模块Ⅱ：实数的概念有理数和无理数统称为实数。

实数可以这样分类⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正有理数无理数无限不循环小数负有理数【例4】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示．（1）实数不是有理数就是无理数．（）（2）无理数都是无限不循环小数．（）（3）带根号的数都是无理数．（）（4）无理数都是无限小数．（）（5）无理数一定都带根号．（）（6）两个无理数之和一定是无理数．（）（7）两个无理数之积不一定是无理数．（）【例5】把下列各数填入相应的集合内，243，39-，3.1415，10，0.6，0，3125-， 3π，4916，0.01001000100001L（1）有理数集合：{ …} （2）无理数集合：{ …} （3）正实数集合：{ …}知识模块Ⅲ：平方根与开平方（一）平方根和算术平方根的概念 1.平方根的定义如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方. 叫做被开方数.平方与开平方互为逆运算. 2.算术平方根的定义正数的两个平方根可以用“”表示，其中表示的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号”；表示的负平方根，读作“负根号”.注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. （二）平方根和算术平方根的区别与联系1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根．（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.（三）平方根的性质2x a =x a a a a a ±a a a a -a a a a a a a ±a【例11】已知21a -与2a -+是m 的平方根，求m 的值.【例12】已知a b c 、、满足211(2)0a b c ++-+-=，求201320133a b c ++的值.【例13】知114x x y -+-=+，你能求出x y -的值吗？【习题1】 16的平方是，16的平方根是；【习题2】81的平方是，81的平方根是；【习题14】如图，在3×3的方格中（每个小正方形的边长为1）四边形ABCD 是正方形，利用面积的关系探求正方形ABCD 的边长是。

七年级下册数学讲义之实数单元复习-学生-春季班

学科教师辅导讲义学员学校：年级：初一课时数：2学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题实数全章复习授课时间：备课时间：教学目标1、理解实数的分类，了解无理数的概念2、会求无理数的绝对值、相反数，会对实数进行大小比较.3、理解平方根、算术平方根和立方根等概念会求一个数的平方根和立方根4、掌握实数间的运算法则，会计算简单的实数运算。

重点及难点1、理解平方根、算术平方根和立方根等概念会求一个数的平方根和立方根2、掌握实数间的运算法则，会计算简单的实数运算。

教学内容知识精讲一、主要知识点：注意：(1)实数还可按正数，零，负数分类．(2)整数可分为奇数，偶数，零是偶数，偶数一般用2n (n 为整数)表示；奇数一般用2n -1或2n +1(n 为整数)表示．(3)正数和零常称为非负数．1.1.2平方根、算术平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根(或二次方根)，即如果a x =2，那么x 就叫做a 的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根．正数a 的平方根，记作：a ±．正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根．记作：a ．正数和零的算术平方根都只有一个．零的算术平方根是零．⎩⎨⎧<-≥==．，)0()0(2a a a a a a注意：a 的“双重非负性” ：⎩⎨⎧≥≥．，00a a1.1.3立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根(或叫做a 的三次方根)，即如果a x =3，那么x 就叫做a 的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零．注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面．例题精讲（一）、有理数无理数的判别：1. 在-1.732，2，π， 3.41 ，2+3，3.212212221…，3.14这些数中，无理数的个数为( ). A.5 B.2 C.3 D.4（二）、算术平方根、平方根、立方根的概念：1. 若1-m 与3m+1是同一个数的平方根，则这个数可能是2.一个正数x 的平方根为2a-3和5-a ，则x=．巩固练习1、36的平方根是；16的算术平方根是；2、8的立方根是；327-＝；3、37-的相反数是；绝对值等于3的数是4、23的倒数的平方是，2的立方根的倒数的立方是。

7年级春季班01-实数的概念及数的开方-教师版

初一数学春季班知识点1：实数的概念1、无限不循环的小数叫做无理数．注意：1)整数和分数统称为有理数； 2)圆周率π是一个无理数． 2、无理数也有正、负之分．如2、π、0.101001000100001L 等这样的数叫做正无理数； 2-、π-、0.101001000100001-L 这样的数叫做负无理数；只有符号不同的两个无理数，如2与2-，π与π-，称它们互为相反数．实数、数的开方知识结构模块一实数的概念和分类知识精讲3、有理数和无理数统称为实数．（1）按定义分类⎧⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎨⎪⎩⎭⎪→⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数（2）按性质符号分类0⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数【例1】写出下列各数中的无理数：3.1415926，2π，16，.0.5，0，23-，0.1313313331…（两个1之间依次多一个3），0.2121121112．【难度】★【答案】2π、0.1313313331…．【解析】无限不循环小数都是无理数．【总结】考查无理数的概念．【例2】判断正误，在后面的括号里对的用“√”，错的记“×”表示．（1）无限小数都是无理数．（）（2）无理数都是无限小数．（）（3）带根号的数都是无理数．（）（4）不带根号的数一定不是无理数．（）【难度】★【答案】（1）×；（2）√；（3）×；（4）×．【解析】（1）无限不循环小数才是无理数；（2）无理数是无限不循环小数当然是无限小数；（3）开方开不尽的数是无理数；（4）π没带根号但是无理数．【总结】考查无理数的概念及无理数与小数的关系．例题解析【例3】 a 是正无理数与a 是非负无理数这两种说法是否一样?为什么．【难度】★ 【答案】一样．【解析】a 是非负无理数实质上就是说a 是正无理数，因为0不是无理数．【总结】考查无理数的分类及无理数的概念．【例4】若a +bx =c +dx （其中a 、b 、c 、d 为有理数，x 为无理数），则a =c ，b =d ，反之，亦成立，这种说法正确吗?说明你的理由．【难度】★★ 【答案】略．【解析】移项得：()()a c d b x -=-，因为非零有理数乘以无理数的结果还是无理数，而a c -是有理数（两个有理数的差仍是有理数），忧伤0d b -=，从而0a c -=，于是有：a c b d ==，，当a c b d ==，时，等式a bx c dx +=+成立．【总结】考查有理数、无理数的运算性质．【例5】?请说明理由．【难度】★★★ 【答案】见解析．p q=，又因为p 、q 没有公因数可以约去，所以pq是最简分数．p q=两边平方，得223p q =，即223q p =．由于23q 是3的倍数，则p 必定是3的倍数．设3p m =，则2239q m =，同理q 必然也是3的倍数，设3q n =，既然p 、q 都是3的倍数，它们必定有公因数3，与前面假设pq是最简分数矛盾，【总结】考查对无理数的理解及证明．一、开平方：1、定义：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方．2、如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．这个数a 叫做被开方数．如21x =，1x =±，1的平方根是1±．说明：1)只有非负数才有平方根，负数没有平方根； 2)平方和开平方互为逆运算． 3、算术平方根：正数a 的两个平方根可以用“a ±”表示，其中a 表示a 的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号a ”；a -表示a 的负平方根，读作“负根号a ”． ★注意：1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是0；2）2a a =，2是被开方数的根指数，平方根的根指数为2，书写上一般平方根的根指数2略写；3）一个数的平方根是它本身，则这个数是0．二、开立方：1、定义：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方．2、如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，用“3a ”表示，读作“三次根号a ”，3a 中的a 叫做被开方数，“3”叫做根指数． ★注意：1）任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根；负数有立方根； 2）零的立方根是0；3）一个数的立方根是它本身，则这个数是0，1和-1．三、开n 次方：1、求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方．a 叫做被开方数，n 叫做根指数．2、如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根．3、当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根．模块二：数的开方知识精讲★注意：1）实数a的奇次方根有且只有一个，用“n a”表示．其中被开方数a是任意一个数，根指数n是大于1的奇数；2）正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，正次方根用“n a”表示，负n次方根用“n a-”表示．其中被开方数0a>，根指数n是正偶数（当2n=时，在n a±中省略n）；3）负数的偶次方根不存在；4）零的n次方根等于零，表示为00n=．【例6】写出下列各数的平方根：（1）9121；（2）2(9)-．【难度】★【答案】（1）311±；（2）3±．【解析】注意要先把题中给的算式化简，再求它的平方根．【总结】考查平方根的概念，注意平方根有两个．【例7】写出下列各数的正平方根：（1）225；（2）9．【难度】★【答案】（1）15；（2）3．【解析】（1）15；（2）93=，3的正平方根是3．【总结】考查平方根的概念，注意对正平方根的准确理解．例题解析【例8】下列各式是否正确，若不正确，请说明理由．（1）1的平方根是1；（2）9是2(9)-的算术平方根；（3）π-是2π-的平方根；（49±．【难度】★【答案】（1）×；（2）√；（3）×；（4）×．【解析】（1）错误：1的平方根是1±；（2）正确；（3）错误：2π-是负数，没有平方根；（4）2π-9=，9的平方根是3±．【总结】考查平方根的基本概念，注意一定要先化简，再求平方根．【例9】写出下列各数的立方根：（1）216；（2）0；（3）1-；（4）3438-；（5）27．【难度】★ 【答案】见解析．【解析】（1）6；（2）0；（3）1-；（4）72- ；（5）3．【总结】本题主要考查立方根的概念．【例10】判断下列说法是否正确；若不正确，请说明理由：（1）一个数的偶次方根总有两个；（）（2） 1的奇次方根是1±；（）（3）7=±；（）（4） 2±是16的四次方根；（）（5） a 的n 次方根的个数只与a 的正负有关．（）【难度】★★【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×．【解析】（1）错误：负数没有偶次方根；（2）错误：奇次方根只有一个，所以1的奇次方根是1；（37=；（4）正确；（5）错误：还与n 的奇偶性有关．【总结】考查数的开方的基本概念，注意奇次方根与偶次方根的区别．【例11】写出下列各数的整数部分和小数部分：（1 （2 （3）9【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）因为89=，8，8；（2）因为78==77；（3）因为34=，所以596<<，所以95，小数部分为4- 【总结】考查利用估算法求出无理数的整数部分和小数部分．【例12】求值：（1 （2）；（3）2；（4）2(．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）12；（2）0.1- ；（3）4；（4）11．【总结】考查对平方根的理解及运用．【例13】求值：（1 （2 （3；（4【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）4；（2）35-；（3）原式54=-；（4）原式2-．【总结】考查实数的立方根的运用．【例14】求值：（1 （2 （3；（4【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）6 ；（2）3 ；（3）3- ；（4）2．【总结】考查实数的奇次方根与偶次方根的计算．【例15】求值：（1（2）（3．【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】（1）0.5 ；（2）原式=95；（3）原式60=．【总结】考查实数的立方根运算．【例16】小明的房间面积为17.62m ，房间的地面恰好由110块大小相同的正方形地砖铺成，问：每块地砖的边长是多少? 【难度】★★ 【答案】0.4m ．【解析】设每块地砖的边长是x 米，则有：211017.6x =，化简得20.16x =，解得：0.4x = 即每块地砖的边长是0.4m ．【总结】考查实数的运算在实际问题中的运用．【例17】已知2a -1的平方根是3±，3a +b -1的算术平方根是4 【难度】★★ 【答案】3．【解析】由题意知：219a -=，3116a b +-=，即210a =，173b a =-解得：5a =，2b =，所以2549a b +=+=3=．【总结】本题主要考查实数的平方根与算术平方根的区别，以及代数式的值．【例18】若a 的平方根恰好是方程3x +2y =2的一组解，求x y a a +的值．【难度】★★【答案】125716()1616或．【解析】由题意，因为a 的两个平方根是相反数，那么y x =-，则有：32322x y x x +=-=，即2x =，2y =-．那么由题意可得：4a =，所以22125744161616x y a a -+=+=+=．【总结】本题主要考查实数的平方根与求代数式的值．【例19】 3，3(43)8x y +=-，求2()n x y +的值．【难度】★★ 【答案】1．【解析】由题意可得：49432x y x y -=⎧⎨+=-⎩，解得：12x y =⎧⎨=-⎩，所以222()(12)(1)1n n n x y +=-=-=．【总结】本题考查实数的开方以及二元一次方程组的解法，学生忘记解方程组的情况下，老师可以略微拓展复习一下二元一次方程组的解法哦．【例20】用“>”把下列各式连接起来：【难度】★★2-23-1=，【总结】本题考查实数的大小比较，注意先化简，再比较大小．【例21】 1.732 5.477≈，利用以上结果，求下列各式的近似值．（1≈_______；（2____________；（3≈_________；（4≈______________；（5___________；（6≈_____________．【难度】★★★【答案】略．【解析】（1 1.7321017.32⨯=；（2 5.4771054.77≈⨯=；（3 1.732100173.2⨯=；（4 5.4770.10.5477≈⨯=；（5 1.7320.10.1732⨯=；（6 5.4770.010.05477≈⨯=．【总结】本题考查实数的运算，注意每题之间的联系，类比推理．（1）数a?（2）0.1738 1.738=，求a的值．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】（1）由题可知，被开方数a相应地向右或向左移动一位；（2）由（1）总结的规律可知： 5.25a=．【总结】本题考查实数的开方与被开方数之间的关系，注意引导学生仔细分析表格．【例23】阅读下面材料并完成填空：你能比较两个数20162017和20172016的大小吗？为了解决这个问题先把问题一般化，要比较n n＋1和（n＋1）n的大小（的整数），先从分析n＝1，＝2，＝3，……这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论.（1）通过计算，比较下列①—⑦各组中两个数的大小（在横线上填“＞、＝、＜”号①12______21；②23______32；③34______43；④45______54；⑤56______65；⑥67______76；⑦78______87．（2）对第（1）小题的结果进行归纳，猜想出n n＋1和（n＋1）n的大小关系: ______（3）根据上面的归纳结果猜想得到的一般结论是：20162017_____20172016．【难度】★★★【答案】（1）①<；②<；③>；④>；⑤>；⑥>；⑦>：（2）当n =1或2时，n n＋1<（n＋1）n；当n>2的整数时，n n＋1>（n＋1）n；（3）>．【解析】（1）①12 <21；②23<32；③34>43；④45>54；⑤56>65；⑥67>76；⑦78>87；（2）当n=1或2时，n n＋1<（n＋1）n；当n>2的整数时，n n＋1>（n＋1）n；（3）根据第（2）小题的结论可知，20162017>20172016．【总结】本题考查实数的运算规律，注意观察计算后的结果，总结出规律。

初中七年级下册数学讲义第2讲-实数的表示与开方(上体馆)

1对3辅导讲义学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期时间主题第2讲-实数的表示与开方学习目标1．进一步理解无理数、实数、平方根等概念； 2．理解立方根和开立方运算以及开n 次方运算； 3. 会进行简单的实数运算；4. 掌握实数大小比较的方法，会根据情况灵活选择方法进行实数大小比较。

教学内容1. －0.064的立方根是_________，4的立方根是__________. -0.4， 342. 若，则___________. 1±3. 为最大的负整数，则a 的值为___________. 4±4、若一个数的立方根就是它本身，则这个数是________。

0、1、-1知识点一、立方根与开立方问题：什么是立方根？什么是开立方运算？x 21=x 3=回顾：立方根和开立方的性质有哪些？1.正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，零的立方根是零；2.任意实数都有立方根，且只有一个立方根；可以用具体的例子引导学生总结3. ()33a a =，33a a =.（注意与平方根和开平方相应性质的对比）4.33a a -=-.例1. 下面说法正确的是（）A ．一个数的立方根有两个，它们互为相反数B ．负数没有立方根C ．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根D ．一个数的立方根与被开方数同号例2.33(2)-的值是 .例3. 立方根等于本身的数是，平方根等于本身的数是 . 答案：D ； -2； 0，1，-1； 0，1；试一试：1.64的平方根是，64的立方根是 .2.16的平方根是，64的立方根是 .3.已知()38210x -+=，则x = .答案：1. 8,4±； 2. 2,2±； 3. 32；【例题精讲】例4.填表：a0.0000010.001 1 1000 10000003a教法指导：建议让学生观察并讨论本题的解题思路。

参考答案：0.01 0.1 1 10 100例5.根据上表总结规律：被开方数的小数点每向移动位，则立方根的小数点相应地向移动位. 教法指导：这个结论让学生多观察总结，还可以再举例让学生理解参考答案:右，3，右，1 【试一试】已知35.25 1.738=，35258.067=，则30.000525-=（）A . 17.38-B . 0.01738-C . 806.7-D . 0.08067- 参考答案：D知识点二、立方根运算【例题精讲】例6. 计算：（1）38515；（2）327102--- ；（3）3387）（- ；（4）6356）（-；（5）312564-38+1001 ；（6）3125.0-1613+23)871(-.教法指导：建议让学生独立完成，可以设置为相互PK 的形式。

2021年初中数学 7年级春季班03-实数的运算及分数指数幂-教师版

初一数学春季班（教师版）近似数的精确度、分数指数幂及运算知识结构.模块一：近似数的精确度知识精讲知识点：有关概念1．准确数概念：一般来说，完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数．2．近似数概念：与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数（或近似值）．☆在很多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可使用近似数．☆取近似数的方法：四舍五入法，进一法，去尾法（根据具体实际情况使用）3．精确度概念：近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求，叫做精确度．☆近似数的精确度通常有两种表示方法：（1）精确到哪一个数位；（2）保留几个有效数字．4．有效数字概念：对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字．【例1】一个正数的平方是3，这个数的准确数_________；近似数（精确到千分之一位）是_______；近似数的有效数字有_______位，有效数字是_______．【难度】★【答案】3； 1.732；四； 1、7、3、2．【解析】3 1.732≈，所以有效数字是四位，有效数字是 1、7、3、2．【总结】本题主要考查了准确度、近似数和有效数字的概念.【例2】写出下列各数的有效数字，并指出精确到哪一位?1)2000；2）4.523亿；3）57.3310⨯；4）0.00125．【难度】★【答案】1)有效数字：2、0、0、0，精确到个位；2）有效数字：4、5、2、3，精确到十万位；3)有效数字：7、3、3，精确到千位；4）有效数字：1、2、5，精确到十万分位．【解析】对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字．【总结】解答此题的关键在于掌握近似数、有效数字与科学记数法的知识点．【例3】用四舍五入法，按括号内的要求对下列数取近似值．（1）0.008435(保留三个有效数字) ≈_________；（2）12.975(精确到百分位) ≈_________；（3）548203(精确到千位) ≈_________；（4）5365573(保留四个有效数字) ≈_________．【难度】★【答案】（1）0.00844；（2）12.98；（3）55.4810⨯；（4）65.36610⨯．【解析】（1）0.00844；（2）12.98；（3）55.4810⨯；（4）65.36610⨯．【总结】解答本题的关键是理解有效数字的含义，利用科学记数法进行表示．例题解析【例4】已知 3.1415926π=，按四舍五入法取近似值．（1）π≈__________（保留五个有效数字）；（2）π≈_________（保留三个有效数字）；（3）0.045267≈_________（保留三个有效数字）．【难度】★★【答案】（1）3.1416；（2）3.14；（3）0.0453或24.5310-⨯．【解析】（1）3.1416；（2）3.14；（3）0.0453或24.5310-⨯．【总结】本题主要考查的是有效数字的含义，利用科学记数法进行表示．【例5】用四舍五入法得到：小智身高1.8米与小智身高1.80米，两者有什么区别? 【难度】★★【答案】精确度不同，1.8精确到十分位，1.80精确到百分位．【解析】根据末尾数字所在的数位解答，精确度不同，1.8精确到十分位，1.80精确到百分位. 【总结】本题主要考查了精确度的概念．【例6】下列近似数各精确到哪一位?各有几个有效数字? （1）3.201；（2）0.0010；（3）2.35亿；（4）107.6010⨯．【难度】★★【答案】（1）精确到千分位，有四个有效数字；（2）精确到万分位，有两个有效数字；（3）精确到百万位，有三个有效数字；（4）精确到亿位，有三个有效数字．【解析】（1）精确到千分位，有四个有效数字；（2）精确到万分位，有两个有效数字；（3）精确到百万位，有三个有效数字；（4）精确到亿位，有三个有效数字．【总结】本题主要考查了近似数和有效数字的概念．【例7】废旧电池对环境的危害十分巨大，一粒纽扣电池能污染600立方米的水(相当于一个人一生的饮水量)．某班有50名学生，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，且都没有被回收，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水量用科学记数法表示为________立方米．【难度】★★ 【答案】4310⨯．【解析】45060030000310⨯==⨯．【总结】本题主要考查了科学记数法的表示方法．1、有理数指数幂把指数的取值范围扩大到分数，我们规定：(0)m nmna a a =≥，1(0)m nnmaa a-=>，其中、n 为正整数，1n >．上面规定中的m na 和m na-叫做分数指数幂，a 是底数．整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂． 2、有理数指数幂的运算性质：设0a >，0b >，p 、q 为有理数，那么（1）p q p q a a a +⋅=，p q p q a a a -÷=；（2）()p q pq a a =；（3）()pppab a b =，()pp p a a b b=．【例8】把下列方根化为幂的形式：（1）32；（2）310-；（3）28(5)-；（4）37--；（5）3a -；（6）a -．【难度】★【答案】（1）132；（2）1310-；（3）145；（4）137；（5）13a -；（6）12()a -．【解析】（1）13322=；（2）1331010-=-；（3）21822884(5)555-===；（4）1333777--==；（5）1333a a a -=-=-；（6）12()a a -=-．【总结】本题主要考查的是将方根化为分数指数幂的运算．模块二：分数指数幂知识精讲例题解析【例9】把下列分数指数幂化为方根形式：（1）131()27-；（2）238()27；（3）121()16-；（4）1132(64)．【难度】★【答案】（1）（2（3）（4．【解析】（1）13127⎛⎫-=⎪⎝⎭；（2）23827⎛⎫=⎪⎝⎭（3）12116⎛⎫-=⎪⎝⎭（4）111362(64)64==【总结】本题考查了分数指数幂与根式之间的互换．【例10】化简：（1）111362a a a÷⋅；（2）8【难度】★【答案】（1）13a；（2）71338x y．【解析】（1）11111113623632a a a a a-+÷==；（2）1211111171 4423333336633 8888 x yx y x y xy x y x y===．【总结】本题主要考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【例11】计算下列各值：（1；（2）201713(4aa+．【难度】★★【答案】（1）565；（2）1-．【解析】（1151362555⨯=；（2）因为3030a a-≥-≥，，所以3a=，所以3a=或3-，因为30a-≠，所以3a=-．故当3a=-时，原式()2017133143⎛⎫⨯-⎪==-⎪-⎪⎪⎝⎭．【总结】本题考查了平方根有意义的条件及混合运算．【例12】计算下列各值：（1）1225232---+（2）11222[(23)(23)]-++．【难度】★★【答案】（1）12-；（2）16．【解析】（1）1225232---+4923=---+12=-；（2）()()21122 22-⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦=16=．【总结】本题主要考查了实数的运算，注意利用公式进行．【例13】计算：（1；（2）1112444111()()()242a a a-⋅++；（3）1521216636333(2)(4)x y x y x y÷-⨯．【难度】★★【答案】（1）a；（2）144116a⎛⎫-⎪⎝⎭；（3）166x y-．【解析】（111113342341211121212a a a a aa aa a++===；（2）1114442111242a a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1114442241114416a a a⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）231521166363324x y x y x y⎛⎫⎛⎫÷-⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1225111633663666x y x y-+-+=-=-．【例14】 4249a b==，，求1222b a -的值．【难度】★★★．【解析】()112222242b a ba -=÷==．【总结】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质.【例15】已知13x x -+=，求下列各式的值：（1）1122x x -+；（2）3322x x -+. 【难度】★★★【答案】（1；（2）【解析】（1）13x x -+=， 21112225x x x x --⎛⎫∴+=++= ⎪⎝⎭，又11220x x-+>， 1122x x-∴+=（2）()3311122221x xx x x x ---⎛⎫+=++-= ⎪⎝⎭【总结】本题主要考查有理数指数幂的化简求值．【例16】若11112333342133a a a a ---=⨯⨯++，求的值．【难度】★★★【答案】198．【解析】()111133334214212a =⨯⨯=⨯⨯=，1231111933332488a a a ---∴++=⨯+⨯+=．【总结】本题主要考查了积的乘方的逆运算及分数指数幂和负指数幂的综合运算．【例17】化简：a b c 【难度】★★★ 【答案】0或1．【解析】当0x =时，原式0=；当0x ≠时，b c c a a bb ca c a bxx----++()()()()()()b c a c a b a b c a a b b c b c c a xxx+++------=⋅⋅2222220()()()1b c c a a b a b b c c a xx -+-+----===．【总结】本题主要考查了含根式的化简，注意要分类讨论．【例18】已知122a =，132b =，123c =，133d =，试用a b c d 、、、的代数式表示下列各数值．（1 （2 （3 （4【难度】★★★【答案】（1）20a ；（2）10d；（3）23b ；（4）【解析】（11220220a =⨯=；（213131010d =⨯=；（312112333334323223b =⨯=⨯=⨯⨯=；（411114222232(3)22c c =⨯=⨯==．【总结】本题考查了根式与分数指数幂的相互转化问题．【例19】已知：210(0)x xxxxa a a a a a --+=>-，求的值．【难度】★★★【答案】119．【解析】222112121021010x x x x a a a a --+=++=++=（），又0x x a a -+>，x x a a -∴+=， 222181 21021010x x x x a a a a ---=+-=+-=（），又0x xa a-->， xxa a-∴-=， 119x x xx a a a a --+∴==-．【总结】本题主要考查了负整数指数幂及乘法公式的综合应用．【例20】材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘：n a aa 个记为n a ．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 28（即log 28=3）．一般地，若n a b =（0a >且 1a ≠，0b >），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b n =）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381（即log 381=4）；（1）计算以下各对数的值：log 24=______，log 216=______，log 264=______；（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log 24、log 216、log 264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗? log log a a M N +=______；（且1a ≠，M ＞0，N ＞0）．【难度】★★★【答案】（1）2，4，6；（2）416=64⨯，222log 4log 16log 64+=；（3）log ()a MN ．【解析】（1）2log 42=，2log 16=4，2log 646=；（2）416=64⨯，222log 4log 16log 64+=；（3）log log log ()a a a M N MN +=．【总结】本题考查学生对新概念的理解及运用．在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方等运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立．实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方．开方．再乘除，最后算加减，同级按从左到右顺序进行，有括号先算括号里的．实数运算的结果是唯一的．实数运算常用到的公式有：2a a =；(0,0)ab a b a b =≥≥；(0,0)a aa b b b=≥>；2()(0)a a a =≥．知识精讲模块三：实数的运算【例21】 5的整数部分为a ，小数部分为b ，则a b =_________．【难度】★ 【答案】945-．【解析】253<<，2a ∴=，52b =-，2(52)945a b ∴=-=-．【总结】本题主要考查了无理数的估算及完全平方公式的运用．【例22】计算：（1）321232416(80.1)3(2)(2)81-⎡⎤-÷-⨯---+-⎣⎦；（2）20152014(76)(67)+-；（3）()()2356315-++-．【难度】★★【答案】（1）19；（2）76+；（3）6563-．【解析】（1）32123241683(2)(2)81-⎡⎤-÷⨯---+-⎣⎦（-0.1）221410982(6)1339=-÷-⨯++=-÷-⨯=（）（-）；（2）()()201520147667-+()()201520147676=+-()()2014767676=+-=+；（3）()()2356315-++-()()32352+35=⨯-+-()()=3235235⎡⎤⎡⎤⨯--+-⎣⎦⎣⎦()23235⎡⎤=⨯--⎢⎥⎣⎦()3232155=⨯-+-6563=-．【总结】本题主要考查了实数的混合运算，注意能简算时要简算．例题解析【例23】计-．【难度】★★【答案】2==【总结】本题主要考查了实数的运算，注意利用因式分解的思想去化简．【例24】计算：（1）11032238[1(0.2)]4271000π--+--⨯-（2112133211127883---⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【难度】★★【答案】（1）7208-；（2）32．【解析】（1）原式2111111()3125125167⎡⎤=+--⨯-÷⎢⎥⎣⎦ 11723721201688=⨯-⨯=-=-；（2）原式()9382296922=----=+-=．【总结】本题主要考查了实数的混合运算．【例25】设：73121(3)(3)(1)8433M =÷-⨯-÷-，42211(2)(2)5()0.25326N =-÷+⨯--试比较113M 与1N -的大小．【难度】★★【答案】1113M N >-．【解析】∵73121(3)(3)(1)8433M =÷-⨯-÷-15151051541031843381535=-÷⨯÷=-⨯⨯⨯=-， 42211(2)(2)5()0.25326N =-÷+⨯-- 42211(2)(2)5()0.2532664111116()9264=-÷+⨯--=÷+⨯--91114124=-- 1312=， ∴11=1313M -，131111212N -=-=-， ∴1113M N >-．【总结】本题主要考查了有理数的综合运算及大小比较．【例26】已知实数x 、y 满足1142(3)(5)0x y x y -+++-=，求51238x y -+的值．【难度】★★ 【答案】5．【解析】14(3)0x y -+≥，12(5)0x y +-≥， 3050x y x y -+=⎧∴⎨+-=⎩，解得14x y =⎧⎨=⎩， 51238325x y -∴+=+=．【总结】本题主要考查了对算术平方根的理解及非负性的综合运用．【例27】已知实数a 、b 、x 、y 满足21y a +=-，231x y b -=--，求22x y a b +++的值．【难度】★★★ 【答案】17．【解析】21y x a +-=-，21y a ∴=-，231x y b -=--，2222311x a b a b ∴-=----=--，223+0x a b ∴-=，0a ∴=，0b =，3x =， 1y ∴=，40222+217x y a b ++∴+==．【总结】本题主要考查了学生对实数非负性的应用．【例28】先阅读下列的解答过程，然后再解答：的化简，只要我们找到两个数a 、b ，使a b m +=，ab n =，使得22m +=()a b >，这里7m =，12n =，由于4+3=7，4312⨯=即227+=2=（12；（3．【难度】★★★【答案】（1；（2）3；（3）【解析】（113m =，42n =，6713+=，6742⨯=，即2213+==；（211m =，24n =，3811+=，3824⨯=，即2211+=，3；（359m =，864n =，322759+=，3227864⨯=，即2259+=．【总结】本题主要考查了利用新概念对复合平方根进行化简求值．【例29】已知111333421a =++，求12333a a a ---++的值．【难度】★★★【答案】1．【解析】设132b =，则3211111b a b b b b -=++==--， 11a b -∴=-， 11b a -∴=+，3131231=33+1b a a a a ----∴=+++（），12333211a a a ---∴++=-=．【总结】本题主要考查了实数的运算和立方和公式的综合运用．一、填空题：【习题1】下列根式与分数指数幂的互化中，正确的是（）A ．12()(0)x x x -=-> B ．1263(0)y y y =< C ．33441()(0)xx x-=>D ．133(0)xx x -=-≠【难度】★ 【答案】C【解析】12(0)x x x -=->，故选项A 错误； 1263(0)y y y =-<，故选项B 错误；1331xx-=，故选项D 错误．【总结】本题考查了根式与分数指数幂的互化．【习题2】下列近似数各精确到哪一个数位?各有几个有效数字? （1）2015；（2）0.6180；（3）7.20万；（4）55.1010⨯．【难度】★【答案】（1）精确到个位，有四个有效数字；（2）精确到万分位，有四个有效数字；（3）精确到百位，有三个有效数字；（4）精确到千位，有三个有效数字．【解析】（1）精确到个位，有四个有效数字为2、0、1、5；（2）精确到万分位，有四个有效数字为6、1、8、0；（3）精确到百位，有三个有效数字为7、2、0；（4）精确到千位，有三个有效数字为5、1、0．【总结】本题主要考查了近似数和有效数字的概念．【习题3】把下列带根号的数写成幂的形式，分数指数幂化为带根号的形式：()432，13-，()754，536， 322-，343，324-， 237．【难度】★随堂检测【答案】432；123--；754；356．【解析】4432=；1212133-=-=-；7754=；356；3232122-==；343=3232144-==237=【总结】本题主要考查了根式与分数指数幂的互化．【习题4】比较大小：（1）与；（22+【难度】★★【答案】（1 （22>．【解析】（1）22- 8=-0=，；（2）22(2- 1110=+-10=>， 2+ 【总结】本题主要考查了利用平方法比较两个无理数的大小．【习题5】把下列方根化为幂的形式．（1；（2（3）a ．【难度】★★【答案】（1）582；（2）5766a b ；（3）111144a b ．【解析】（1582；（25766a b =；（3）311111124444aaaa ab a b =⋅=．【总结】本题主要考查了根式与分数指数幂的互化．62+53+（1）2334(9)；（2）113339⨯；（3）1442(35)÷；（4）11632(32)-⨯；（5）833324(25)⨯；（6）7511266323(2)x y x y÷．【难度】★★【答案】（1）3；（2）3；（3）925；（4）98；（5）400；（6）116634x y．【解析】（1）231342(9)93==；（2）1112333339333⨯=⨯=；（3）1442229 (35)3525÷=÷=；（4）11623329 (32)328--⨯=⨯=；（5）83342324(25)251625400⨯=⨯=⨯=；（6）751752111266366366233(2)344x y x y x y xy x y ÷=÷=．【总结】本题主要考查了分数指数幂的运算，注意法则的准确运用．【习题7】利用幂的性质运算：（1）111222133()()()5525-⨯⨯；（2；（3）．【难度】★★【答案】（1）15；（2）4；（3）18．【解析】（1）1111122222111222 1331331 ()()()552555525---⨯⨯=⨯⨯=；（2213236222224⨯÷==；（3）1211333362332239218=⨯⨯⨯⨯=⨯=．【总结】本题考查了根式与分数指数幂的混合运算，注意法则的准确运用．（1；（2）111111332222113113⎛⎫⎛⎫-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）20142015⋅；（4）)11-+- 【难度】★★【答案】（1）763；（2）2；（3 （4）1-【解析】（1763；（2）11111113332222113113(113)2⎛⎫⎛⎫-⋅+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）201420152014(32)⋅=-=（4）)11-+11=【总结】本题考查了根式与分数指数幂的混合运算，注意法则的准确运用．【习题9】 =，其中0ab ≠ 【难度】★★★【答案】57．【解析】(a a +=， 12a b ∴，120a b ∴=， 0∴=，=或=-， 16a b ∴=，165451647b b b b b b -+==++．【总结】本题考查了根式的化简求值问题，注意整体代入思想的运用．【习题10】化简求值：（1）已知：15a a-+=，求22a a-+；1122a a-+；1122a a--；（2）已知：223a a-+=，求88a a-+．【难度】★★★【答案】（1）23，7，3±；（2）18．【解析】（1）1222()225a a a a--+=++=，2223a a-∴+=；15a a-+=0a∴>，11220a a-∴+>，112122()27a a a a--+=++=，11227a a-∴+=；112122()23a a a a---=+-=，11223a a-∴-=±；（2）222(22)2229a a a a--+=++=，22227a a-∴+=，332288(2)(2)(22)(212)a a a a a a a a----+=+=+-+，883618a a-∴+=⨯=．【总结】本题主要考查了有理数指数幂的运算法则及其应用，综合性较强，注意对解题方法的归纳总结．【作业1】若25a=+，a的小数部分是b，则a b⋅的值是（）A．0B．1C．－1D．2【难度】★【答案】B．【解析】4255<+<，452b a∴=-=-，(52)(52)1a b∴⋅=+-=．【总结】本题主要考查了无理数的整数部分与小数部分的综合运用．【作业2】下列语句中正确的是() A ．500万有7个有效数字B ．0.031用科学记数法表示为33.110-⨯C ．台风造成了7000间房屋倒塌，7000是近似数D ．3.14159精确到0.001的近似数为3.141 【难度】★ 【答案】C ．【解析】500万有三个有效数字，故选项A 错误；0.031用科学记数法表示为23.110-⨯，故选项B 错误； 3.14159精确到0.001的近似数为3.142，故选项D 错误．【总结】本题考查了科学记数法和有效数字的应用．【作业3】按照要求，用四舍五入法对下列各数取近似值：（1）0.76589（精确到千分位）；（2）289.91（精确到个位）；（3）320541（保留三个有效数字）；（4）41.42310⨯（精确到千位）．【难度】★【答案】（1）0.766；（2）290；（3）53.2110⨯；（4）41.410⨯．【解析】（1）0.765890.766≈；（2）289.91290≈；（3）5320541 3.2110≈⨯；（4）441.42310 1.410⨯≈⨯．【总结】本题主要考查的是近似数和有效数字以及科学记数法的综合运用．【作业4】计算：（1；（2；（3．【难度】★★【答案】（1）565；（2）542；（3）．【解析】（1151362555⨯=；（2315424222⨯=；（311136223323⨯÷=⨯= 【总结】本题主要考查了无理数的乘除运算．（1（2【难度】★★【答案】（1）7125；（2）132．【解析】（1111111732342412 55555+-=⋅÷==；（25151112262632222222+-+=⋅÷⋅==．【总结】本题主要考查了根式的乘除运算．【作业6】计算：（1）129()25-；（2）111344(882-⨯；（3）11123227()([(]64----+；（4）11222[(2(23)]-+．【难度】★★【答案】（1）365；（2）11-；（3）43-+（4）16．【解析】（1）129()25-3351655=++=；（2）111344(882--⨯31442(28)225=--⨯÷65=--11=-；（3）11123227()([(]64----+4433=-+=-+；（4）11222[(23)(2]-+211221(23)(2=⎡⎤++⎢⎥⎣⎦16==．【总结】本题主要考查了根式及有理数指数幂的混合运算．（1；（2．【难度】★★★【答案】（1）35x-；（2）1724a．【解析】（135x-===；（21724a==．【总结】本题主要考查了根式的运算及有理数指数幂的化简．【作业8】设的整数部分为，小数部分为，求的立方根．【难度】★★★【答案】2-．【解析】122<<，1a∴=，1b=，22168161)81)8ab b∴--=-⨯-⨯=-，2168ab b∴--的立方根是2-．【总结】本题主要考查的是估算无理数的大小、立方根的定义及完全平方公式的综合应用．【作业9】如果223311320x a x bx x⎛⎫⎛⎫-++++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求232(43)a b b+-的值．【难度】★★★【答案】0．【解析】223311320x a x bx x⎛⎫⎛⎫-++++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33130x ax∴-+=，120x bx++=，3313x ax∴+=，2211()(1)3x x ax x∴+-+=，即211()()33x x ax x⎡⎤∴++-=⎢⎥⎣⎦，120x bx++=，12x bx∴+=-，22(43)3b b a∴--=，232(43)0a b b∴+-=．【总结】本题主要考查了非负数的性质及立方和公式的综合应用．0)a>2a b2816bab--【作业10】已知21xa =，求33x xx xa a a a --++的值．【难度】★★★【答案】1．【解析】33x x x xa a a a--++22()(1)x x x x x x a a a a a a ---+-+=+ 221x x a a -=-+，221x a =， 21x a -∴，2211111x x a a -∴-+-=．【总结】本题主要考查指数幂的化简与求值，利用立方和公式是解决本题的关键．【作业11】若[]x 表示不超过x 的最大整数（如2[]3[2]33π=-=-，等），求++的值．【难度】★★★ 【答案】2016．【解析】++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+⎣⎦⎣⎦⎣⎦111=++⋅⋅⋅+ 2016=．【总结】本题主要考查了取整计算，正确利用已知条件中的概念及相关性质进行化简．。

【新】人教版七年级数学下册第六章《实数的运算》公开课课件 (2).ppt

变式训练 1 3:|2- 5 |= 5 2 ,
|3-π|= π-3 . 解析:∵2< 5 ,∴|2- 5 |= 5 -2; ∵3<π,∴|3-π|=π-3.
第六章实数
探究二:实数的运算【例 2】计算下列各式的值. (1)3( 3 + 2 )-2( 3 + 5 ); (2)|-3|+(-1)2013×(-1)2012- 3 27 +(-2)2;
第六章实数
第2课时实数的运算
1.理解实数的性质,能利用实数的性质求实数的相反数,绝对值等. 2.熟练进行实数的加、减、乘、除及乘方运算,并能运用运算律.
第六章实数
1.实数的性质
(1)实数的相反数:实数 a 的相反数是 -a . (2)实数的绝对值:一个正实数的绝对值等于它本身 ;0 的绝对值等于 0 实数的绝对值等于它的相反数 .即设 a 表示一个实数,
解析:(1) 2 - 3 的相反数为-( 2 - 3 )= 3 - 2 , ∵ 2 - 3 <0,∴| 2 - 3 |=-( 2 - 3 )= 3 - 2 . (2)∵|x+3|= 5 ,∴x+3=± 5 , 即 x+3= 5 ,则 x= 5 -3, x+3=- 5 ,则 x=- 5 -3.
第六章实数
;一个负
a ,a 0 时；
则|a|=
0 ，a=0
时；
a ,a 0 时；
2.实数的运算
(1)实数之间可以进行加、减、乘、除(除数不为 0)、乘方运算.正数及 0 可以进行
开平方运算.任意一个实数都可以进行开立方运算.
(2)实数运算中,有理数的运算法则及运算性质、运算律等同样适用.

乐课力七年级数学春季班第二讲实数

【尖子】已知： a 0，化简：
4
a
1
2
a
4
a
1 a
2
【练习 2】计算： (1) 18 4 1 2 3 3 2 22
2
2
(2) 2 3 3 2 2 3 3 2
2014 年七年级第 12 页共 14 页
春季班
平行班
第 2 讲学生版
【练习 3】【基础】已知 x
【例题3】【基础】若 abc 0 ，且 a b c ，化简 a4b3c2
【提高、尖子】化简：（1） a
a a2
1
2014 年七年级第 4 页共 14 页
春季班
平行班
第 2 讲学生版
（2） x3 x2 y 1 xy2 1 x2 y xy2 y3 (x 0, y 0)
4
4
形如 a （ a 0 ）的式子叫做二次根式二、二次根式的基本性质：
⑴
a 0 （ a 0 ）；⑵ ( a)2 a （ a 0 ）；⑶
a2
a
a a
(a 0) (a 0)
三、最简二次根式：
二次根式 a（ a 0 ）中 a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式： ⑴被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式） ⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 ⑶分母中不含二次根式二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．
【例题4】【基础】下列二次根式中，哪些是同类二次根式？（字母均为正数）
1 27 ； 5
48 ； 20 ； 1 125 ； 1 y ； y x 。
2
xx
y
【提高】在 1, 2, 3,..., 2012 这 2012 个式子中，与 2000 是同类二次根式的共有多少个？与 2012 是同类二次根式的有多少个？

著名机构数学讲义寒假04-七年级基础版-实数的运算(二)-学生版

教师姓名冯娜娜学生姓名年级初一上课时间单击此处输入日期。

学科数学课题名称实数的运算（二）知识模块Ⅰ：概念辨析（1）准确数：完全符合实际地表示一个量多少的数；（2）近似数：与准确数达到一定接近程度的数；（3）精确度：对近似程度的要求；（4）有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，实数的运算（二）叫做这个近似数的有效数字。

【例1】下列近似数各精确到哪一个数位？各有几个有效数字？（1）2000；（2）0.618；（3）7.20万；（4）5.10×105.【例2】月球沿着一定的轨道围绕地球运动，它在近地点时与地球相距约为363300km，在远地点时与地球相距约为405500km.按下列精度要求，用科学记数法表示这两个数的近似数：（1）精确到万位；（2）保留三个有效数字。

π=L L，按四舍五入法取近似值．【例3】已知 3.1415926（1）π≈__________（保留五个有效数字）；（2）π≈_________（保留三个有效数字）；（3）0.045267≈_________（保留三个有效数字）．【例4】下列数据中，哪些是近似数?哪些是准确数?（1）上海科技馆的建筑面积约98000平方米；（2）我们班9位同学的身高为1.65米；（3）地球赤道的半径为6378千米；（4）据国家统计局在2017年12月公布的经济普查结果，我国2005年GDP总量达到827122亿元．知识模块Ⅱ：实数的运算（1）实数运算常用到的公式有：【例14】设54.12254.1==b a ，，求b a ÷【例15】若实数x ，y 使得38y x y --与互为相反数，求y x 的四次方根【例16】若22x 44x y 16x 2-+-=+-，求y x +2的立方根【习题1】下列近似数各精确到哪一位?各有几个有效数字?（1）5691；（2）0.0589；（3）650000；（4）0.003亿；（5）48.110⨯．。

著名机构数学讲义春季16-七年级培优版-实数综合复习-教师版

教师姓名学生姓名年级初一上课时间学科数学课题名称实数综合复习实数综合复习知识模块Ⅰ：实数的分类1.按定义分类：2.按性质符号分类：注：0既不是正数也不是负数.3.有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如(m，n是整数n≠0)”的数叫有理数．4.无理数：无限不循环小数叫无理数．5.实数：有理数和无理数统称为实数．知识模块Ⅱ：实数的相关概念1.相反数(1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0.(2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数，或数轴上，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.(3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0.2.绝对值(1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．可用式子表示为：(2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．用式子表示：若a是实数，则|a|≥0．3.倒数(1)实数的倒数是；0没有倒数；(2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数.4.平方根(1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a(a≥0)的平方根记作．(2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a(a≥0)的平方根记作．5.立方根如果x3=a，那么x叫做a的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根仍是零．知识模块Ⅲ：实数与数轴数轴定义：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．知识模块Ⅳ：实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值较大的那个正数大；两个负数；绝对值大的反而小.3.对于实数a、b，若a-b>0a>b；a-b=0a=b；a-b<0a<b.4.对于实数a，b，c，若a>b，b>c，则a>c.5.无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果a>b>0，a2>b2a>b；或利用倒数转化：如比较与.知识模块Ⅴ：实数的运算1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．2.减法减去一个数等于加上这个数的相反数．3.乘法几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．4.除法除以一个数，等于乘上这个数的倒数．两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0．5.乘方与开方(1)a n所表示的意义是n个a相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．(2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方．(3)零指数与负指数6.实数的六种运算关系加法与减法互为逆运算；乘法与除法互为逆运算；乘方与开方互为逆运算.7.实数运算顺序加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．8.实数的运算律加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)乘法交换律：ab=ba乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：(a+b)c=ac+bc知识模块Ⅵ：有效数字和科学记数法1.近似数：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数精确到哪一位．2.有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．3.科学记数法：把一个数用(1≤＜10，n为整数)的形式记数的方法叫科学记数法．【例1】判断1、任意一个无理数的零次幂一定等于1. （）2、若一个数没有平方根，那么这个数的平方的平方根就是这个数的相反数。

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教师姓名学生姓名年级初一上课时间学科数学课题名称实数的综合复习实数的综合复习知识模块Ⅰ：平方根和立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论1、如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根.当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根.2、求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方，a 叫做被开方数，n 叫做根指数.3、实数a 的奇次方根有且只有一个，正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数；负数的偶次方根不存在.；零的n 次方根等于零.知识模块Ⅱ：实数1、概念：有理数和无理数统称为实数．2、实数的分类a ±3a ⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22a a a a a a a a a 333333)(aa a a aa -=-==知识模块Ⅲ：近似数及有效数字1.近似数：完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数；与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数.2.精确度：近似数与准确数的接近程度即近似程度.对近似程度的要求叫做精确度. 注意：精确度有两种形式：①精确到哪一位．②保留几个有效数字．3.有效数字：从一个数的左边第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的所有的数字都是这个数的有效数字，如0.208的有效数字有三个：2，0，8．知识模块Ⅳ：分数指数幂1、概念：()0m nmna aa =≥，()10m nnmaa a-=>，其中m n 、为正整数，1n >.上面规定中的m na 和m na-叫做分数指数幂，a 是底数.2、整数指数幂和分数指数幂统称为有理数指数幂. 注意：设00a b p q >>，，、为有理数，那么（1）p q p q p q p q a a a a a a +-=÷=g ，. （2）()qp pq aa =.（3）()pp pp p p a a ab a b b b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，.【例1】下列实数：132228,(35),3.14159,,64,2.35,0.1020304057+-L 1,3π+中，是无理数的有____________.【例2】2(9)-的平方根是_____________，164的平方根是__________ 【例3】正数a 的两个平方根的成积是______________【例4】近似数47.2010⨯精确到___________位，0.003050有_________个有效数字。

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学科数学课题名称实数的运算（一）知识模块Ⅰ：数轴上点的意义在数轴上，如果点A、点B所对应的数分别为a、b，那么A、B两点之间的距离为AB a b=-．实数的运算（一）【例1】如图11-4，已知数轴上的四点A、B 、C 、D 所对应的实数依次是2、32-、212、5-，O为原点，求（1）线段OA、OB、OC、OD的长度.（2）求线段BC的长度.【答案】（1）2OA=，2=3OB，1=22OC，=5OD；（2）12192()236BC=--=【例2】（1）如图，数轴上表示数3的点是．（2）如图，数轴上表示数-3的点是．【答案】（1）B（2）A知识模块Ⅱ：实数运算相关量（1）绝对值：一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。

(0)(0)0(0)(0)(0)a aa aa a aa aa a>⎧≥⎧⎪===⎨⎨-≤⎩⎪-<⎩或（2）相反数：绝对值相等符号相反的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零。

非零实数a的相反数是-a（3）实数的大小比较方法：负数小于零；零小于正数。

两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小。

从数轴上看，右边的数总比左边的数大.（4）常见的无理数的大小：2 1.4143 1.7325 2.2366 2.4497 2.64610 3.162≈≈≈≈≈≈【例3】填空题BA CD O01234【答案】（1）56>- （2）56< （3）56->- （4）10π-<【例8】比较20042003-与20052004-的大小。

【答案】∵120042003-=20042003+，12005200420052004=+- ∵20042003+<20052004+, ∴20042003->20052004- 【例9】试一试：比较下列各组数的大小：(1)3223(2)3553--与与【答案】2222(1)32321823231218123223(2)353530535375307530753553=⨯==⨯=>>=⨯==⨯=<->-->-因为所以因为所以即知识模块Ⅲ：主要运算方法梳理（1）有理数的运算法则、运算性质以及运算顺序的规定，在实数范围内仍旧适用。

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学科数学课题名称实数的运算复习实数的运算复习知识模块Ⅰ：实数的分类与表示1.实数的分类⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎬⎪⎨⎪⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎧⎫⎨⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎭⎩⎪⎩⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正整数自然数整数零负整数有理数实数正分数分数可化为有限小数或无限循环小数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2．数轴的概念与画法.实数与数轴上的点一一对应；利用数形结合的思想及数轴比较实数大小的方法．数轴三要素：______________________________； 3．相反数：a ，b 互为相反数 a+b=0；4.绝对值：|a |=___________； 5．倒数：a ，b 互为倒数即：ab =1；6．近似数、有效数字：常见的近似数一般是按某种要求采用四舍五入法所得的数，有效数字是指从左边第一个不是零的数字起到精确到的数为止的所有数字； 7．科学计数法：N =________×__________. 【例1】填空：这些数中：5431610240.3313 1.53253325333295---&L 、、、、、、有限小数有_________________________________________________；无限小数有_________________________________________________；有理数有________________________________________________；无理数有_______________________________________________；实数有_______________________________________________；小数有______________________________________________．【例2】请你辨别：如图1是面积分别为1，2，3，4，5，6，7，8，9的正方形图1边长是有理数的正方形有________个，边长是无理数的正方形有________个．【例3】下列语句正确的是（）A．3.78788788878888是无理数B．无理数分正无理数、零、负无理数C．无限小数不能化成分数D．无限不循环小数是无理数【例4】填空：（1）在实数中绝对值最小的数是________，在负整数中绝对值最小的数是________；（2）已知一个数的相反数小于它本身，那么这个数是________；（3）设实数a≠0，则a与它的倒数、相反数三个数的和等于____________，三个数的积等于______．【例5】填空：实数a，b在数轴上所对应的点的位置如图所示，则2a___________0，a+b _______0，-+=________．b a--________0，化简2a a ba0b【例6】指出下列近似数分别精确到哪一位，并回答有几个有效数字?（1）98.765；（2）98.765万；（3）12.30亿；（4）21.230010⨯．【例7】当人造地球卫星的运行速度大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度时，它能环绕地球运行，已知第一宇宙速度的公式是v1=gR(米/秒），第二宇宙速度的公式是v2=2gR(米/秒)，其中g=9.8米/秒，R =6.4×106米.试求第一、第二宇宙速度（结果保留两个有效数字）．【例8】比较下列各式的大小：（1）33和42；（2）62+和35+；（3）12099-和9877-．知识模块Ⅱ：数的开方与分数指数幂1．平方根，2若，则数叫做正数的平方根记作==x a x a x _____a ±____； 2．立方根:若33x a x a x a ==，则数叫做数的立方根记作；3．N 次方根: 实数a 的奇数方根有且只有一个，用n a 表示；注意：实数a 的偶数方根有两个，为n a 、-n a ，其中a ＞0；负数的偶次方根不存在；零的n 次方根等于零，00n =；4．nmn ma a =(a ≥0)， 1mnnmaa-=(a ＞0)，其中m 、n 为正整数，n ＞1．【例9】判断题：（1）－0.01是0.1的平方根．（）（2）－52的平方根为－5．（）（3）0和负数没有平方根．（）（4）因为116的平方根是±14,所以116=±14．（）（3）－0.2____30.07-；（4）－26____3128-．【例16】（1）已知2x+和x分别是某整数的平方根，求这个整数；（2）已知364a++|b3－27|=0，求(a－b)b的立方根．【例17】解答：（1）已知：10404=102，x=0.102，求x的值；（2）已知：318 2.621=，31.8 1.216=，30.180.565=，求318000000的值．知识模块Ⅲ：实数的混合运算实数的运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；若有括号，先算括号内的值；同一级运算应从左至右，按顺序进行；若需改变运算顺序，必须依据运算律进行.【例18】计算：（1）81832++；（2）271275-+；（3）1 23273+-．（1）33369364827336x x xy x y xy y ⋅⋅⋅；（2）3221111x x x x x x---++++（1x ≥）．【习题1】判断正误：（1）有理数包括整数、分数和零；（）（2）无理数都是开方开不尽的数；（）（3）不带根号的数都是有理数；（）（4）带根号的数都是无理数；（）（5）无理数都是无限小数；（）（6）无限小数都是无理数．（）【习题2】 m 是一个整数的平方数，那么和m 相邻且比它大的那个平方数是（）A ．m +2m +1B ．m +1C ．m 2+1D ．以上都不对【习题3】下列各式中，无意义的是（） A ．23-B ．33(3)-C ．2(3)-D ．310-【习题4】如果1x -+9x -有意义，那么代数式|x －1|+2(9)x -的值为（）A ．±8B ．8C ．与x 的值无关D ．无法确定【习题5】 414、226、15三个数的大小关系是（）A ．414<15<226B ．226<15<414。

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教师姓名学生姓名年级初一上课时间学科数学课题名称实数的运算实数的运算知识模块Ⅰ：用数轴上的点表示实数1、实数的绝对值、相反数（1）一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．实数a的绝对值记作a．（2）绝对值相等、符号相反的两个数叫做互为相反数；零的相反数是零．非零实数a的相反数是a．2、两个实数的大小比较（1）两个实数也可以比较大小，其大小顺序的规定同有理数一样．（2）负数小于零；零小于正数．（3）两个正数，绝对值大的数较大；两个负数，绝对值大的数较小．（4）从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大．3、比较两数大小是中学数学中的基本类型和基本技能，以下介绍几种常用的方法：（1）近似值法：借用两个数的不足和过剩近似值来判别两个数大小的方法；（2）平方法：将两个数平方，再来判定两个数大小的方法；（3）求差法：先求两个数的差，用差与0作比较来判定两个数大小的方法．（4）求商法：先求两个数的商，用商与1作比较判定两个数大小的方法．（5）求倒数法：先求两个数的倒数，用倒数的大小来判定两个数大小的方法．即对于符号相同的a ，b 两数，若11a b <，则a b >；若11a b>，则a b <． 4、数轴上两点之间的距离在数轴上，如果点A 、点B 所对应的数分别为a 、b ，那么A 、B 两点之间的距离为AB a b =-．【例1】如图，数轴上的三个点A 、B 、C 中那个点表示实数3？【例2】如果实数b 在数轴上对应的点到原点的距离等于5，那么b 的值是什么？【例3】在数轴上，表示5-的点与表示π-的点之间的距离是多少？【例4】求下列各数的绝对值和相反数（1）3- （2）53-（3）35- （4）3.15π-【例5】比较大小（1）2.2 5 （2）4- 17-（3）38125- 4116 （4）31- 21-知识模块Ⅱ：实数的运算在实数范围内，可以进行加减乘除乘方等运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立．实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方、开方、再乘除，最后算加减，同级按从左到右顺序进行，有括号先算括号里的．实数运算的结果是唯一的．实数运算常用到的公式有：第一组：2()(0)a a a =≥；2a a =；第二组：(00)ab a b a b =≥≥g ，；(00)a a a b b b =≥>，【例6】不用计算器，计算（1）205⨯ （2）33139÷（3）1332332⎛⎫--⎪⎝⎭ （4）8543215-⨯（5）17105⨯÷（6）()242625-+（7）()()()03232 3.14π+-+- （8）()()22275275+-【例7】化简：（1）()232- （2）()210π- （3）()2697x x x -+=【例8】计算：()331262352--+g【例9】计算：34101152927916--++【例10】如果32x ⎛⎫-⎪⎝⎭有平方根，且满足216x -=，试求32x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的平方根。

七年级下册数学讲义之分数指数幂、实数的运算-教师-春季班

6、近似值：对一个近似值，从左面第一个不是0的数字起，到末位数字为止，所有的数字都称为这个近似值的有效数字。

例如 1415926.3=π的近似值中，1.3有两个有效数字，用科学记数法表示1220000，将其保留两位有效数字6102.1⨯，它精确到万位61022.1⨯ 单元知识网络：热身练习一、填空题：1、化简223）（-＝__32-_____；－2)25.1(-＝_-1.25___2、4)2(-的平方根是__2±____；2)3(--的平方根是_31±____；若5333n=，则n= 103 3、在数轴上与表示3的点的距离最近的整数点所表示的数是 2 4、28⨯=4 ； 28-= 25、16的算术平方根的平方根是 2±6、地球与太阳之间的距离约为149 600 000千米，用科学记数法表示（保留2个有效数字）约为 8105.1⨯ 千米。

甲、乙两同学进行数字猜谜游戏：甲说一个数a 的相反数就是它本身，乙说一个数b 的倒数也等于它本身，请你猜一猜|a-b|=__1____。

8、因为2211121,11112321==，所以76543211234567898= 111111111二、选择题（1）()()2201131313272π-⎛⎫-+-⨯--+ ⎪⎝⎭（2）423423-++参考答案：（1）3 （2）23精解名题例1、计算：（1）342221(2)(1)(12)[()]20.254[13(2)]-⨯---÷-⨯+-⨯- （2）23320)5.1(9216.01221---++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+参考答案：（1）2 （2）3225例2、比较下列每组数的大小：(1)与； (2)与； (3)与； (4)a 与(a≠0)思路点拨： (1)有理数比较大小：两个负数，绝对值大的反而小.因此比较和的大小，可将其通分，转化成同分母分数比较大小；(2)无理数比较大小，往往通过平方转化以后进行比较；(3)有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比较，那么我们可以利用倒数关系比较(4)这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行比较，我们知道，0没有倒数，±1的倒数等于它本身，这样数轴就被这3个数分成了4部分，下面就可以分类讨论每种情况。

初中数学七年级寒假班讲义实数运算2(乘除)

学科教师辅导教案学员编号：年级：七年级课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：朱兴课程主题：实数计算授课时间： 2018年学习目标实数计算2教学内容内容回顾1）近似数；2）实数加减知识精讲知识点一（实数运算）1.实数的运算规则在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，而且有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立实数运算时注意事项：两个有理数可以任意进行加减乘除乘方运算，其结果一定是有理数；两个无理数在进行加减乘除乘方运算时，结果可能是有理数，可能是无理数，且进行乘除运算时，只有被开方数相同才能运算，原理类似于合并同类项。

2.实数的运算顺序实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方、开方，再乘除，最后算加减；同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号先算括号里的。

3.实数的运算结果涉及无理数的实数运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算性质对算式进行化简。

4.实数)0(≥a a 运算法则（1）()(0)a c b c a b c c ±=±≥ （2）)0,0(≥≥=⋅b a ab b a （3）()0,0a aa b bb =≥> （4）())0(≥=a a a n n例1. 计算：（1）1232⨯÷（2）(323)3-÷ 分析：本题考查了实数的运算，熟知有理数与无理数之间的乘除法则是解答此题的关键。

【答案】（1）解：原式()2=232=23=23⨯⨯⨯（2）解：原式=[]()22111(3)23=323=32333-⨯⨯-⨯-试一试：计算：（1）23(27653)-+ （2）(432)22-÷【答案】3(1)4862(2)222--例2. 计算：（1）2(23)+ （2）(2332)(2332)+-分析：根据平方差和完全平方公式进行展开。

【答案】22222(23)(2)223(3)526(2332)(2332)(23)(32)6+=+⨯+=++-=-=-试一试：计算：(236)(236)+--+ 【答案】解：原式=[][]222(36)2(36)(2)(36)+-----=2(3218673-+=-= -+6）例3. 计算：（1）20132014(32)(32)-+ （2）()2213223-⎛⎫⨯- ⎪+⎝⎭分析：根据平方差公式、及负幂指运算是关键。

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实数的运算

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