2011-2012学年-4学时概率论与随机过程 A
概率论与随机过程
概率论与随机过程介绍概率论与随机过程是数学中的一个重要分支，研究随机现象的数学理论。
它的应用广泛，涉及到统计学、物理学、经济学等多个领域。
本文将对概率论与随机过程进行详细的介绍和解释，并讨论其在实际应用中的重要性。
概率论概率的定义概率是描述一个事件发生的可能性的数值。
在概率论中，我们使用概率来描述事件发生的可能性大小，通常用一个介于0和1之间的数值表示，其中0表示不可能发生，1表示一定会发生。
随机变量在概率论中，随机变量是对随机现象的数学模型。
它是一个取值不确定的变量，可以对其进行概率分析和推理。
随机变量可以分为离散随机变量和连续随机变量两种类型。
离散随机变量的取值为有限个或可数个，而连续随机变量的取值为一个区间内的任意实数。
概率分布函数概率分布函数是描述随机变量取值的概率分布的函数。
对于离散随机变量，概率分布函数用概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）来表示，而对于连续随机变量，概率分布函数用概率密度函数（Probability Density Function，PDF）来表示。
概率分布函数可以用来计算随机变量的期望值、方差等统计量。
期望值和方差在概率论中，期望值和方差是衡量随机变量分布特征的重要指标。
期望值表示随机变量在长期观察下的平均值，而方差则表示随机变量取值与其平均值之间的离散程度。
期望值和方差可以帮助我们理解和描述随机变量的分布特征。
随机过程随机过程的定义随机过程是一系列随机变量的集合，它描述了随机现象在时间上的演化过程。
随机过程可以用来建立和分析时间序列数据的数学模型。
随机过程的定义包括一个状态空间和一个时间集合，以及描述随机变量之间关系的概率分布函数。
马尔可夫性质马尔可夫性质是随机过程中一个重要的性质，它指出在给定当前状态的情况下，未来状态的概率只与当前状态有关，与过去的状态无关。
具有马尔可夫性质的随机过程可以大大简化概率分析的过程，并且在实际应用中具有广泛的应用。
概率论与随机过程考点总结
概率论与随机过程考点总结Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】第一章 随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布1．随机变量X ， 分布函数)()(x X P x F ≤=离散型随机变量X 的概率分布用分布列 )(k k x X P p == 分布函数∑=k p x F )( 连续型随机变量X 的概率分布用概率密度)(x f 分布函数⎰∞-=xdt t f x F )()(2．n 维随机变量),,,(21n X X X X =其联合分布函数),,,,(),,,()(221121n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤== 离散型 联合分布列 连续型 联合概率密度 ３．随机变量的数字特征数学期望：离散型随机变量X ∑=k k p x EX 连续型随机变量X⎰∞∞-=dx x xf EX )(方差：222)()(EX EX EX X E DX -=-= 反映随机变量取值的离散程度 协方差（两个随机变量Y X ,）：EY EX XY E EY Y EX X E B XY ⋅-=--=)()])([( 相关系数（两个随机变量Y X ,）：DYDX B XY XY ⋅=ρ 若0=ρ，则称Y X ,不相关。
独立⇒不相关⇔0=ρ４．特征函数)()(itX e E t g = 离散 ∑=k itx p e t g k )( 连续 ⎰∞∞-=dx x f e t g itx )()(重要性质：1)0(=g ，1)(≤t g ，)()(t g t g =-，k k k EX i g =)0(母函数：∑∞===0)()(k kk kz p z E z g !)0()(k g p k k = )1()('g X E =2''")]1([)1()1()(g g g X D -+=５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差０－１分布 q X P p X P ====)0(,)1( p EX = pq DX =二项分布 kn k k nq p C k X P -==)( np EX = npq DX = 泊松分布 !)(k ek X P kλλ-== λ=EX λ=DX 均匀分布略正态分布),(2σa N222)(21)(σσπa x ex f --=a EX = 2σ=DX指数分布⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x λλ λ1=EX 21λ=DX ６．Ｎ维正态随机变量),,,(21n X X X X =的联合概率密度),(~B a N XT n a a a a ),,,(21 =，T n x x x x ),,,(21 =，n n ij b B ⨯=)(正定协方差阵3.随机向量的变换 二．随机过程的基本概念 １．随机过程的一般定义设),(P Ω是概率空间，T 是给定的参数集，若对每个T t ∈，都有一个随机变量X 与之对应，则称随机变量族{}T t e t X ∈),,(是),(P Ω上的随机过程。
北邮概率论与随机过程—学学期期末A卷
北京邮电大学2010——2011学年第2 学期3学时《概率论与随机过程》期末考试（A ）一． 填空题.1 设随机事件,A B 满足()( )P AB P A B =, 且()P A p =, 则()P B = 1-p2. 设每次实验中事件A 出现的概率为p ,在三次独立重复试验中, A 至少出现一次的概率为1927, 则p = 1/3 3. 随机变量X 服从参数为1的泊松分布(1)π,则2(())P X E X ==112e - 4. 设随机变量X 服从正态分布2(10,0.02)N ，记22()u xx du -Φ=⎰，且已知(2.5)0.9938Φ=，则((9.95,10.05))P x ∈= ０．９８７６5. 已知随机变量X 服从均匀分布(1,6)U ，则矩阵20001010A X⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的特征值全为实根的概率为 ４／５6. 已知随机变量X 的密度函数为||1(),2x f x e x -=-∞<<+∞，则(01)P X <<= 11(1)2e -- 7. 设连续型随机变量X 的分布函数为()F x ，则0y >时，2ln(())Y F X =-的概率密度函数()Y f y ＝ 212y e - 8. 已知随机变量X 服从均值为１的指数分布，则min{,2}Y X =的分布函数()F y ＝0,0,1,02,1, 2.xx e x x -≤⎧⎪-<<⎨⎪≥⎩9. 已知随机变量(,)X Y 服从二维正态分布22(1,2,1,2,0.5)，则21Z X Y =++的概率密度函数()f z 2(5)x --10. 设,X Y 的联合概率密度为(2)2,0,0,(,)0,x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它，, 则概率(1,2)P X Y ><=14(1)e e --- 11. 设随机过程2()X t X Yt Zt =++, 其中,,X Y Z 是相互独立的随机变量, 且均值都为零, 方差都为1, 则相关函数(,)X R s t = 221st s t ++12. 设{(),0}W t t ≤<+∞是参数为2σ的维纳过程, 则[((3)(1))((4)(1))]E W W W W --=22σ13. 设平稳高斯过程{().0}X t t ≥的均值为零, 相关函数为2||1()4X R e ττ-=, 则对任意固定的0t , 0()X t 的概率密度函数()f x 22x - 14. 设离散时间离散状态齐次马尔可夫链{}n X 的状态空间是{0,1,2},平稳分布为111,,244π⎧⎫=⎨⎬⎩⎭, 若000111(0),(1),(2)244P X P X P X ======, 则方差100()D X = 11/1615. 设}),({+∞<<-∞t t X 为平稳随机过程，功率谱密度为212)(ωω+=X S , 则其平均功率为 1二. （１5分）设某餐厅每天接待300名顾客, 并设每位顾客的销费额(元)服从均匀分布(40,100)U , 且顾 客的消费相互独立. 求:(1) 该餐厅的日营业额的期望和方差; (2) 平均每天有多少位顾客消费额超过50元;(3) 用中心极限定理估计该餐厅日营业额超过21750的概率. 解. (1) 设,1,2,...,300i X i =是第i 位顾客的消费额, 则由题意,1,40100,()600,ix X f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它， 设X表示该餐厅的日消费额, 则3001.ii X X ==∑ 因为 ()70i E X =, 则21300300(60/12)90000.DY DX =⨯==21000EX =(5’) (2 ) 设Y 是消费额超过50元的顾客数. 则1(300,(50))(300,5/6)YB P X B >=, 所以300(5/6)250.EY =⨯= (5’)(3) 由中心极限定理得12300(...21750)1(2.5)0.0062.P X X X P +++>⎛⎫=>=-Φ= (5’) 三．（１5分）设二维随机变量(,)X Y 具有概率密度(1), 0,0,(,)3x y k ex y f x y -+⎧>>⎪=⎨求(1)系数k ; (2)边缘概率密度(),()X Y f x f y ，并问,X Y 是否独立, 为什么? (3)求条件概率密度|(|)Y X f y x ，|(|)X Y f x y . 解.(1) 0,01(,)3x Y f x y dxdy k >>=⇒=⎰⎰(3’)(2) (1)0,0,()(,)0,0,x y x X xedy e x f x f x y dy x +∞-+-+∞-∞⎧=>⎪==⎨⎪≤⎩⎰⎰(1)201,0,(1)()(,)0,0,x y Y xe dx y y f y f x y dx y +∞-++∞-∞⎧=>⎪+==⎨⎪≤⎩⎰⎰(6’)由于(,)()()X Y f x y f x f y ≠,所以不独立.(3) 当0x >时, (1)|(,)(|)()x y xy Y X xX f x y xe f y x xe f x e-+--===, 当0y >时, (1)2(1)|2(,)(|)(1)1()(1)x y x y X Y Y f x y xe f x y y xe f y y -+-+===++ (6’)四．（１5分）设齐次马氏链}0,{≥n X n 的状态空间为}2,1,0{=E ，一步转移概率矩阵为110221102211022P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 初始分布为0001{0}{1}{2}3P X P X P X ====== (1) 求124 {1,1,2}P X X X ===;(2) 求02,X X 的相关系数02X X ρ;(3) 证明马氏链}0,{≥n X n 具有遍历性，并求其极限分布．解 (1) 2111244111(2)424111442P P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,124 {1,1,2}P X X X ====20111120()(2)0i i P X i p p p ===∑ (5’)(2) 2X 的分布率(2)(0)(2)(1/3,1/3,1/3)p p P ==02,X X 的联合分布率02021,2/3EX EX DX DX ==== 027/6EX X =1/4ρ== (5’)(3) 由P(2)知马氏链遍历,由01210,0,1,2,iP i ππππππ=⎧⎪++=⎨⎪≥=⎩得平稳分布为(1/3,1/3,1/3). (5’) 五．（１0分）设某线性系统的脉冲响应函数为22,0()0,0t e t h t t -⎧≥=⎨<⎩，将平稳过程{})()(∞+-∞∈，，t t X 输入到该系统后, 输出平稳过程{})()(∞+-∞∈，，t t Y 的谱密度为424()1336Y S ωωω=++，求：(1)输入平稳过程的{})()(∞+-∞∈，，t t X 的谱密度)(ωX S ； (2)自相关函数)(τX R ； (3)输入与输出的互谱密度)(ωXY S ．解： 2222,024()(),|()|240,0t e t h t H H i t ωωωω-⎧≥=↔==⎨++<⎩，(1) 22()1(),|()|(9)Y X S S H ωωωω==+ (4分) (2) 3||11()(),26i X X R S e d e ωτττωωπ+∞--∞==⎰ (3分) (3) 22()()()(2)(9)X Y X S H S i ωωωωω==++． (3分)。
西安邮电学院2005-2006第一学期通信工程专业《概率论与随机过程》期末考试A卷及答案
上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线7．设}0,{≥n X n 是具有三个状态0，1，2的齐次马氏链，一步转移概率矩阵为,4/14/304/12/14/104/14/3210210⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P 初始分布0(0){}13,0,1,2i p P X i i ====试求(1)}1,0{20==X X P ；(2)}1{2=X P ；(3)0135{1,1,1,2}P X X X X ====．8. 考虑随机电报信号．信号)(t X 由只取I +或I -的电流给出(图1画出了)(t X 的一条样本曲线)．这里2/1})({})({=-==+=I t X P I t X P ，而正负号在区间),(τ+t t 内变化的次数),(τ+t t N 是随机的，且假设),(τ+t t N 服从泊松分布，亦即事件}),({k t t N A k =+=τ的概率为,)()(λτλτ-=e kA P k k ,2,1,0=k ．其中0>λ是单位时间内变号次数的数学期望，试讨论)(t X 的平稳性．图1上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线概率论与随机过程试题参考答案（A ）一、计算题（共8小题，每小题满分10分，共80分）1. 由题意大家是围圆桌就座，所以只要这些人就座的相对位置一样，那么就是相同的就坐方式.因此a 位男士和b 位女士不同的就座方式共有:()!1)!(-+=++b a ba b a 种当2a b +=，只有一种就坐方式，因此所求概率1P =；当2a b +>时，把甲乙两人看作一人，则()1-+b a 人的就座方式共为()!2-+b a 种;又甲乙两人的不同就座方式为2种，所以甲乙两人坐在一起的概率为:2(2)!2(1)!(1)a b P a b a b ⨯+-==+-+-. 2. 随机变量X 的所有可能取值为3，4，5. 而且35110P X C =1(=3)=，2335310C C P X C =11(=4)=，2435610C C P X C =11(=5)=.因此345~136101010X ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3()()0;<=≤=当时，X F X P X x 134()()(3)10≤<=≤===当时，;X F X P X x P X 445()()(3)(4);10≤<=≤==+==当时，X F X P X x P X P X 5()()(3)(4)(5)1≥=≤==+=+==当时，X F X P X x P X P X P X .所求分布函数为0,3;1,34;10()4,45;101, 5.x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩3. 因为X 与Y 相互独立，所以()()()⎩⎨⎧>≤≤=⋅=-其他,00,10,,y x e y f x f y x f y Y X由卷积公式得()()()()dx x z f x f dx x z x f z f Y X Z -⋅=-=⎰⎰+∞∞-+∞∞-,又由已知可知，当⎩⎨⎧>-≤≤010x z x ，亦即⎩⎨⎧<≤≤zx x 10时，上述积分的被积函数不等于零，即可得()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥≥-=⋅>-=⋅=------⎰⎰0001,111,11010z z e dx e z e e dx e z f z zx z z x z Z4. XY的分布律为Y X ⋅所以0831831)(=⨯+⨯-=X E ，0831831)(=⨯+⨯-=Y E ，0821821)(=⨯-⨯=XY E ， 故Cov(,)()()()0X Y E XY E X E Y =-=，即X 和Y 是不相关的。
概率论与随机过程
Aab N
AN a1 AN2 a! b!
(aAN abb)!CN a1 CN b2
Cab N
方法二：
P(A )CN a1CN b2(ab)!CN a1CN b2
A ab N
Cab N
第十页，共36页
[放回抽样] 一个一个取，故看为可重复的排列，样本空间
的样本点数：Na+b
由乘法、加法原理，A所含样本点数为:（分析同（2））
第十三页，共36页
（三）随机取数
例：1—N个数字任取k个数字，一个一个的取，取后放回， 求： （1）A：k个数字完全不同； （2）B：不含1，2，……，N中指定的r 个数字； （3）C：某指定的数字恰好出现m（≤ k）次; （4）D：k个数字中最大数恰好为M。 解：试验为从1，2，……，N个数中有放回地依次取k个 数字，每k个数字的一个排列构成一个基本事件，因此 基本事件总数为Nk。
第三页，共36页
二、古典概型概率的定义
1．定义
若试验E具有特点 （1）试验的样本空间的元素只有有限个,比如n个，样本空 间表示为={e1,e2,…,en}； （2）试验中每个基本事件发生的可能性相同．
则称试验E为古典概型（或等可能概型）． 概率的计算：若A为试验E的一事件，试验E的样本空间为
，且A含有k个样本点．则事件A的概率就是
第十四页，共36页
（1）因k个数字完全不同，实际为不重复的排列!
P(A)
CNk k! Nk
(2) 同理
P(B) (Nr)k Nk
(3) 同理
P(C)Ckm(N1)km Nk
(4) 在这k个数字中，最大数不大于M的取法有Mk种。而最大
数不大于M-1的取法有(M-1)k种。
(高等数学)概率统计与随机过程
λk
k!
e −λ
式中 λ = np。
二、
随机变量与分布函数
[随机变量及其概率分布函数]
每次试验的结果可以用一个变量 ξ 的数值来表示，这个变量的
取值随偶然因素而变化，但又遵从一定的概率分布规律，这种变量称为随机变量，用 ξ ,η ,···表示。 它是随机现象的数量比。 给定随机变量 ξ ，它的取值不超过实数 x 的事件的概率 P( ξ ≤ x)是 x 的函数，称为 ξ 的概率分 布函数，简称分布函数，记作 F(x) ，即 F(x)=P( ξ ≤ x ) [分布函数的基本性质] 1° lim F ( x ) = 0 lim F ( x ) = 1
f ( xk ) ≤ x
∑p
k
当 ξ 是连续型随机变量时 ，其分布密度为 p(x)，则 G(x)=
∫
f ( y )≤ x
p( y) d y
[随机矢量的联合分布函数与边缘分布函数]
如果 ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n 联系于同一组条件下的 n 个随机
变量，则称 ξ (ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n )为 n 维随机变量或随机矢量。 若(x1 , x2 ,···，xn)是n维实数空间Rn上的一点，则事件“ ξ1 ≤ x1 , ξ 2 ≤ x2 , ···, ξ n ≤ x n 的概率 F ( x1 , x 2 , L, x n ) = P(ξ 1 ≤ x1 , ξ 2 ≤ x 2 , L , ξ n ≤ x n ) 作为x1 , x2 ,···, xn的函数，称为随机矢量 ξ (ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n ) 的联合分布函数。 设 ( ξ i1 , ξ i2 , ···, ξ im ) 是 ( ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n ) 中任意取出 m(m ≤ n) 个分量构成的 m 维随机变量，则称 ( ξ i1 , ξ i2 , ···, ξ im ) 的联合分布函数为( ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n ) 的 m 维边缘分布函数。 这 时 ， 如 果 分 别 记 ( ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n ) 与 ( ξ i1 , ξ i2 , ···, ξ im ) 的 分 布 函 数 为 F(x1,x2,···,xn) 与
概率论与随机过程习题答案
概率论与随机过程习题答案标准化工作室编码[XX968T-XX89628-XJ668-XT689N]《概率论与随机过程》第一章习题答案1. 写出下列随机试验的样本空间。
（1） 记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）。
解： ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⨯=n n nn S 100,,1,0 ，其中n 为小班人数。
（2） 同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。
解：{}18,,4,3 =S 。
（3） 10只产品中有3只是次品，每次从其中取一只（取出后不放回），直到将3只次品都取出，记录抽取的次数。
解： {}10,,4,3 =S 。
（4） 生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
解： {} ,11,10=S 。
（5） 一个小组有A ，B ，C ，D ，E5个人，要选正副小组长各一人（一个人不能兼二个职务），观察选举的结果。
解： {}ED EC EB EA DE DC DB DA CE CD CB CA BE BD BC BA AE AD AC AB S ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,=其中，AB 表示A 为正组长，B 为副组长，余类推。
（6） 甲乙二人下棋一局，观察棋赛的结果。
解： {}210,,e e e S =其中，0e 为和棋，1e 为甲胜，2e 为乙胜。
（7） 一口袋中有许多红色、白色、蓝色乒乓球，在其中任意取4只，观察它们具有哪几种颜色。
解： {}rwb wb rb rw b w r S ,,,,,,=其中，,,,b w r 分别表示红色、白色、蓝色。
（8） 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
解： {}1111,1110,1101,0111,1011,1010,1100,0110,0101,0100,100,00=S 其中，0为次品，1为正品。
（9） 有A ，B ，C 三只盒子，a ，b ，c 三只球，将三只球装入三只盒子中，使每只盒子装一只球，观察装球的情况。
概率论与数理统计经典课件随机过程
一维、二维或一般的多维随机变量的研究是概率论的研究内容，而 随机序列、随机过程则是随机过程学科的研究内容。从前面的描述中看 到，它的每一样本点所对应的，是一个数列或是一个关于t的函数。
定义：设T是一无限实数集，X (e,t), e S,t T是对应于e和t的实数，
即为定义在S 和T 上的二元函数。
DX
(t)
E
[ X (t) X (t)]2
---方差函数
X (t)
2 X
(t
)
---标准差函数
又设任意t1,t2 T RXX (t1,t2 ) E[ X (t1) X (t2 )] (自)相关函数
CXX (t1,t2 ) Cov[ X (t1), X (t2 )]
E [ X (t1) X (t1)][ X (t2 ) X (t2 )] (自)协方差函数
定义： X (t),t T是一随机过程，若它的每一个有限维分布
都是正态分布，即对任意整数n 1及任意t1,t2,
X (t1), X (t2 ), X (tn )服从n维正态分布， 则称X (t),t T是正态过程
tn T ,
正态过程的全部统计特性完全由它的均值函数和自协方差函数所确定。
16
例3：设A, B是两个随机变量，试求随机过程:
当A
N 1,4, B
U 0, 2时，E(A) 1, E( A2 ) 5, E(B) 1, E(B2)
4 3
又因为A, B独立， 故E(AB) E(A)E(B) 1
X (t) t 3, RX (t1, t2 ) 5t1t2 3(t1 t2 ) 12 t1, t2 T
17
例4：求随机相位正弦波X (t) acos(t ) t ,
电子工程系电子信息科学与技术专业本科培养方案
天线原理
30230313
通信电路
30230703
数字图像处理
30230893
信息光电子学基础
30230923
统计信号处理基础
30230943
通信信号处理
30230993
现代计算机体系架构
3学分 3学分 3学分 3学分 3学分 3学分 3学分 3学分 2学分 3学分 3学分 3学分 3学分 3学分 3学分
课程名称 思想道德修养与法律基础 英语(1) 体育(1) 微积分A(1) 线性代数(1) 机械设计基础(1) 有机化学B 离散数学 计算机程序设计基础（1） 汽车工程概论 信息科学技术概论 生物医学工程专业导论 文化素质选修课 合计：
春季学期
学分 周学时 考核方式
32
考查
22
考试
12
考查
55
考试
44
清华大学本科培养方案
40231103 40231133 40230223 30230331 30230142 30230952 40231002 40231112 40231162
语音信号处理 通信系统 射频通信电路 通信电路实验 通信原理实验 基于数字信号处理器的系统设计 微波电路设计 光电子技术实验 电子系统设计
清华大学本科培养方案
设清华大学英语水平考试，必修，不设学分，学生进入大三后报名参加。 一外日语、德语、法语、俄语等小语种学生入学后直接进入课程学习，必修 6 学分。 关于免课、英语水平考试免考、实践环节认定等详细规定详见《清华大学本科大学外语课程规定 及要求》（教学门户）。
（4）文化素质课 13学分
秋季学期
第二学年
课程编号 10720031 10641132 10610204 10430944 10430801 10421133 30230822 20230281 20230253 30230901
中国石油大学2012-2013(2) 概率论与随机过程-A期末考试试题及答案
2012—2013学年第二学期《概率论与随机过程》期末试卷答案及评分标准专业班级姓名学号开课系室应用数学系考试日期 2013年6月 29日注意事项：1．封面及试卷背面为草稿纸，附加页为答题纸，背面答题一律无效；2．答案必须写在该题下方空白处，不得写在草稿纸上，否则该题答案无效；3．本试卷正文共5页，满分100分；4. 必须保持试卷本完整，拆页的作废。
一.填空题（每空3分，共18分）1. 设事件A 与B 相互独立，已知()0.5,()0.8P A P A B == ，则()P AB = 0.2 .2. 设随机变量X （服从参数为λ的泊松分布，且已知[(1)(2)]1E X X --=，则λ= 1 .3. 已知随机变量X 的分布列：则： DX = 0.61 .4. 设随机过程2(),0,X t Y t t =>其中Y 是在区间(0,)a 上服从均匀分布的随机变量， 则()X t 的均值函数为 2/3a t ，自相关函数为 4/5a ts .5. 设随机变量X 的方差为1，则根据切比雪夫不等式有估计{2}P X EX -<≥ 3/4 .二.选择题(每题3分，共12分)1. 设X 的概率分布为f x Ax x ()=<<⎧⎨⎩，，其它010，则A = ____D______.(A ) 1 (B ) －1 (C ) 2 (D )21 2. 设X 与Y 相互独立且同分布：{1}{1}1/2P X P Y =-==-=，P X P Y {}{}/====1112，则下列各式中成立的是____A_____.(){}A P X Y ==12(){}B P X Y ==1 (){}/C P X Y +==014 (){}D P XY ==1143. 设X 与Y 独立同分布，记U X Y =-，V X Y =+，则U V 、必然_____C_____.(A )不独立 (B )独立 (C )相关系数为零 (D )相关系数不为零 设随机变量X 和Y 相互独立，且分别服从)2,1(2N 和)1,1(N ，则______C____.(A ) 2/1}1{=≤+Y X P (B ) 2/1}0{=≤+Y X P(C ) 2/1}0{=≤-Y X P (D ) 2/1}1{=≤-Y X P三．计算和综合题（共8个小题70分）1.(6分) 已知()1/3,()1/5,()1/2P A P B A P A B ===，求()P A B . 解：因为 111()()(|)3515P A B P A P B A ==⨯= ……………………….2分所以 1/152()()/(|)1/215P B P A B P A B === ……………………….. 4分1212()()(()+315153P A B P A P B P A B=+-=-= ） ……………………….. 6分 2. (6分)设随机变量~(10,0.5)X B （二项分布），~(1/4)Y e （指数分布）.求(32)E X Y -和22()E X Y -解：由常用分布知5,4EX EY ==； 2.5,16DX DY ==； ……………………….2分所以 (32)1587E X Y -=-=； ……………………….3分22()27.5EX DX EX =+=； ……………………….4分 22()32EY DY EY =+=； ……………………….5分 22()27.532 4.5E X Y -=-=- ……………………….6分3. (8分) 设随机变量X 的概率密度为[1,8],();0,x f x ∈=⎩若其他求（1）X 的分布函数)(x F ；（2）随机变量()Y F X =的分布函数.解: 易见，当1x <时，()F x =0; 当8x ≥时，()F x =1。
概率论与随机过程课程教学大纲
《概率论与随机过程》课程教学大纲课程编号：010C111054学时 3学分一、课程教学对象：计算机、电子专业二年级本科生二、课程的性质、目的和任务本课程是工科学生的一门基础理论课。
概率论与随机过程是研究随机现象客观规律性的数学学科。
随着科学技术的发展以及人们对随机现象规律性认识的需要，概率论与随机过程的思想方法正日益渗透到自然科学和社会科学的众多领域中。
通过本课程的学习，使学生掌握概率论与随机过程的基本概念。
了解它的基本理论和方法，从而使学生初步掌握处理随机现象的基本思想和方法，培养学生运用概率论与随机过程分析和解决实际问题的能力。
三、先修课程:高等数学、线性代数四、课程的主要内容、基本要求和学时分配第一章.概率论的基本概念 (10学时)1.理解随机试验、样本空间、随机事件和随机事件的概率的概念，理解条件概率和事件独立性的概念；2.熟练掌握事件的关系、运算及运算法则，以及事件概率的运算法则；3.能计算类型基本古典概型的概率，熟练运用关于条件概率的三个重要公式、事件独立性和二项概率公式进行概率计算第二章. 随机变量及其分布 (16学时)1.理解一维和二维随机变量的概念；理解随机变量的分布函数的定义和性质，理解离散型随机变量及其分布律、连续型随机变量及其概率密度的定义和性质；理解边缘分布和条件分布的概念；理解随机变量独立性的概念；理解随机变量的函数的分布的概念；2.能熟练计算基本离散型随机变量的分布律和简单离散型随机变量的分布函数，熟练运用连续型随机变量的概率密度计算分布函数和概率，熟练计算边缘分布；会计算条件分布和基本类型一维、二维随机变量函数的分布；3.熟练掌握二项分布、泊松分布、均匀分布和正态分布的定义和相关计算，掌握二维均匀分布和正态分布的定义和相关计算；会用随机变量的独立性进行相关计算；4.知道关于 n 维随机变量的有关概念。
第三章. 随机变量的数字特征 (8学时)1.理解随机变量的数学期望、方差的概念以及二维随机变量的相关系数的概念和性质；2.熟练掌握一维随机变量的数学期望、方差的计算和二维随机变量的协方差和相关系数的计算；会用随机变量函数的数学期望公式进行相关计算；会计算多维随机变量的协方差矩阵；3.熟练掌握二顶分布、泊松分布、均匀分布和正态分布的数学期望和方差以及二维正态分布的相关系数的计算；第四章. 大数定律和中心极限定理 (2学时)1.知道契比雪夫、贝努利和辛钦大数定律及其意义；2.理解独立同分布的中心极限定理和隶莫佛－拉普拉斯中心极限定理的意义并能熟练运用这些定理进行相关计算。
2011-2012学年第一学期2011级课表
2011-2012学年第一学期2011级课表广西师范大学2011年——2012学年第一学期课程安排表学院：数学科学学院年级：2011级类别：全日制教育硕士专业：学科教学·数学方向：数学教学论人数：4人星期节次星期一星期二星期三星期四星期五上午 1 1 英语精读7班文综107林海婴1 基础代数文基205 邓培民1 数学课程论微格教室2周莹12 2 2 2 23 基础代数文基205邓培民3 3 教育科学研究方法文基307耿涓涓3 3 教育心理学文基307秦素琼4 4 4 4 45 5 5 5 5下午 6 现代教育技术学文基307李红波6 科社理论与实践理二2196 6 统计方法与计算理综305张军舰67 7 7 7 78 8 8 听力7班文401 刘玉梅8 89 9 9 9 9晚上10 10 教育学原理文基307唐荣德10 10 1011 11 11 11 1112 12 12 12 1213 13 13 13 13广西师范大学2011年——2012学年第一学期课程安排表学院：数学科学学院年级：2011级类别：全日制专业学位专业：应用统计专业硕士方向：应用统计人数：7人星期节次星期一星期二星期三星期四星期五上午 1 测度论文基208张军舰1 英语精读7班文综107林海婴1 1 计量经济学实验室408邓国和12 2 2 2 23 3 3 3 34 4 4 4 45 5 5 5 5 下午6 时间序列分析 6 科社理论与实践 6 6 统计方法与计算 67 实验室408梁鑫7 理二219 7 7 理综305张军舰78 8 8 听力7班文401 刘玉梅8 89 9 9 9 9晚上10 10 测度论文基205张军舰10 随机过程及其应用实验室408李英华10 1011 11 11 11 1112 12 12 12 1213 13 13 13 13广西师范大学2011年——2012学年第一学期课程安排表学院：数学科学学院年级：2011级类别：全日制硕士研究生专业：概率论与数理统计方向：数理统计、金融统计、金融工程人数：8人星期节次星期一星期二星期三星期四星期五上午 1 测度论文基208张军舰1 英语精读7班文综107林海婴1 1 12 2 2 2 23 3 3 3 34 4 4 4 45 5 5 5 5下午 6 6 科社理论与实践理二219 6 泛函分析文基205 黄荣里6 统计方法与计算理综305张军舰67 7 7 7 78 8 8 听力7班文401 刘玉梅8 89 9 9 9 9晚上10 泛函分析理综305黄荣里10 测度论文基205张军舰10 随机过程及其应用实验室408李英华10 1011 11 11 11 1112 12 12 12 1213 13 13 13 13广西师范大学2011年——2012学年第一学期课程安排表学院：数学科学学院年级：2011级类别：全日制硕士研究生专业：基础数学方向：组合数学人数：4人星期节次星期一星期二星期三星期四星期五上午 1 1 英语精读7班文综107林海婴1 基础代数文基205 邓培民1 基础图论研507赵巧凤12 2 2 2 23 基础代数文基205邓培民3 3 3 34 4 4 4 45 5 5 5 5下午 6 组合设计一研507吴佃华6 科社理论与实践理二2196 泛函分析文基205 黄荣里6 有限域研505吴佃华67 7 7 7 78 8 8 听力7班文401 刘玉梅8 89 9 9 9 9晚上10 泛函分析理综305黄荣里10 群论基础研507卢加宽10 10 1011 11 11 11 1112 12 12 12 1213 13 13 13 13广西师范大学2011年——2012学年第一学期课程安排表学院：数学科学学院年级：2011级类别：全日制硕士研究生专业：基础数学方向：群论人数：3人星期节次星期一星期二星期三星期四星期五上午 1 1 英语精读7班文综107林海婴1 基础代数文基205 邓培民1 基础图论研507赵巧凤12 2 2 2 23 基础代数文基205邓培民3 3 3 34 4 4 4 45 5 5 5 5下午 6 6 科社理论与实践理二219 6 泛函分析文基205 黄荣里6 67 7 7 7 78 8 8 听力7班文401 刘玉梅8 89 9 9 9 9晚上10 泛函分析理综305黄荣里10 群论基础研507卢加宽10 10 1011 11 11 11 1112 12 12 12 1213 13 13 13 13广西师范大学2011年——2012学年第一学期课程安排表学院：数学科学学院年级：2011级类别：全日制硕士研究生专业：应用数学方向：泛函分析、应用概率与计算人数：人星期节次星期一星期二星期三星期四星期五上午 1 1 英语精读7班文综107林海婴1 基础代数文基205 邓培民1 12 2 2 2 23 基础代数文基205邓培民3 3 3 34 4 4 4 45 5 5 5 5下午 6 6 科社理论与实践理二219 6 泛函分析文基205 黄荣里6 67 7 7 7 78 8 8 听力7班文401 刘玉梅8 89 9 9 9 9晚上10 泛函分析理综305黄荣里10 10 10 1011 11 11 11 1112 12 12 12 1213 13 13 13 13广西师范大学2011年——2012学年第一学期课程安排表学院：数学科学学院年级：2011级类别：全日制硕士研究生专业：应用数学方向：动力系统人数：人星期节次星期一星期二星期三星期四星期五上午 1 1 英语精读7班文综107林海婴1 基础代数文基205 邓培民1 拓扑动力系统一研505赵俊玲12 2 2 2 23 基础代数文基205邓培民3 3 3 34 4 4 4 45 5 5 5 5下午 6 6 科社理论与实践理二219 6 泛函分析文基205 黄荣里6 67 7 7 7 78 8 8 听力7班文401 刘玉梅8 89 9 9 9 9晚上10 泛函分析理综305黄荣里10 10 10 1011 11 11 11 1112 12 12 12 1213 13 13 13 13。
概率论与随机过程(1)
即
1
F
(
x)
4 3
4
1
x 1 1 x 2
2 x3 x3
F（x）的图形如下图所示，它是一条阶梯形的曲线，
在x＝－1，2，3处有跳跃点，跳跃值分别为1/4，1/2，
1/4。
P
1
-1 0 1 2 3 x
可编辑ppt
11
P2 X 3 PX 2 PX 3 1 1 3
24 4
P
3 2
（4）二项分布的分布律为：
P
特点： 对于固定n及p，当k增加时 ,概 率P(X=k) 先是随之增加直至 达到最大值,
随后单调减少.
x
可编辑ppt
22
例 某人射击，每次命中率为0.02，求在独立进行400次 射击中，至少击中2次的概率？
解：设X表示射击400次击中的次数，由题意
X~b(400，0.02)。
解：设每次试验事件 A 出现的概率为 p,若当第 k 次
试验时，事件A出现r次，则前k -1次试验事件A恰出现
r -1次，于是
P{ X
k
}
C r1 k 1
p r 1q
kr
p
C r1 k 1
pr
q
kr
k= r, r+1,…
称 X 服从Pascal分布。当r=1时， P{ X k} pqk1 k 1,2, 称X服从几何分布。
分。
pk
k 1
P(X
k 1
xk ) P k1
X xk
1
可编辑ppt
7
分布律与分布函数的关系
（1）已知随机变量X的分布律，可求出X的分布函数：
①设一离散型随机变量X的分布律为 P{X=xk}=pk (k=1，2，…)
概率论与随机过程 复习参考
概率论与随机过程 复习参考 ----可参考从中取题做为考试题概率基本概念1．需掌握概念：随机试验，样本空间。
随机事件，基本事件，必然事件，不可能事件，事件间的关系（包含，相等，和，积，差，互斥，互逆），完备事件组（全包含，不重复），运算律（德摩根律），事件的描述及转换。
记数法则（乘法定理、加法定理），古典概型，抽样问题（可否放回、是否有序），分配问题，几何概型概率的性质，条件概率（两种理解方式），全概率公式，贝叶斯公式（先验概率，后验概率）。
事件独立性，两两独立与相互独立 2．公式()1()P A P A =-()()()()P A B P A P B P AB =+-，注意条件不变 ()(|)()P AB P B A P A =条件概率 ()()(|)()(|)P AB P A P B A P B P A B == 乘法定理1()()(|)ni i i P A P B P A B ==∑ 全概率公式1()(|)(|)()(|)i i i niii P B P A B P B A P B P A B ==∑ 贝叶斯公式()()(|)()()P AB P A P B A P A P B ==独立3．习题 3设A,B 是两件事件且P(A)=0.6, P(B)=0.7. 问：（1）在什么条件下P(AB)取得最大值，最大值()()()P A B P A P AB -=-()1()P B A P BA =-是多少？（2）在什么条件下Ｐ(AB)取得最小值，最小值是多少？ 解：()()()()P AB P A P B P A B =+-，且()()()P A P B P AB <≤A B ∴⊂当时，()P A B 取最小值，P(AB)取最大值，()()0.6P AB P A ==当AB S =时，()P A B =1取最大值，P(AB)取最小值，()0.3P AB =10在11张卡片上分别写上Probability ，从中任意连抽7张，求其排列结果为ability 的概率。
《概率论与数理统计》课件-随机过程
06
随机过程的未来发展与挑战
随机过程理论的发展趋势
随机过程与大数据的结合
随着大数据技术的快速发展，如何将随机过程与大数据分 析相结合，挖掘出更多有价值的信息和模式，是未来的一 个重要研究方向。
复杂系统中的随机过程
研究复杂系统中的随机过程，如金融市场、生态系统、社 交网络等，以揭示其内在的运行规律和动态特性。
02
随机过程的基本ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ型
独立增量过程
总结词
描述随机过程中事件发生次数随时间变化的过程，其中每次事件的发生都是独立 的。
详细描述
独立增量过程是指随机过程中事件发生次数在不相重叠的时间区间内相互独立， 即每次事件的发生与其他时间点的事件无关。这种过程在保险、金融等领域有广 泛应用。
马尔科夫过程
总结词
描述一个随机系统在给定当前状态的情况下，未来状态只依 赖于当前状态的过程。
详细描述
马尔科夫过程是一种特殊的随机过程，其中下一个状态只与 当前状态有关，而与过去状态无关。这种过程在自然现象、 社会现象和工程领域中都有广泛的应用，如天气预报、股票 价格波动等。
泊松过程
总结词
描述随机事件在单位时间内按照恒定速率独立发生的随机过程。
该方法通过大量随机抽样，得到概率分布的近似结果，具有简单、灵活和通用性强 的特点。
蒙特卡洛方法在金融、物理、工程等领域有广泛应用，如期权定价、核反应堆模拟 等。
离散事件模拟方法
离散事件模拟方法是一种基于 事件驱动的模拟方法，适用于 描述离散状态变化的过程。
该方法通过跟踪系统中的事件 发生和状态变化，来模拟系统 的动态行为。
离散事件模拟方法在交通运输 、生产制造、通信网络等领域 有广泛应用。
概率论与随机过程简介
例：
E1：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。 E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现的情况。 E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。 E4：抛一枚骰子，观察出现的点数。 E5：纪录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数。 E6：在一批灯泡中任意抽取一个，测试它的寿命。
例 ：写出E1到E6的样本空间： Ω1 ：{H, T}
n1
例 设A、B是两事件，证明
(1).B=ABĀB,且 AB 与 ĀB 互不相容； (2). AB=AĀB ,且 A 与 ĀB 互不相容.
小结：
事件的关系、运算和运算法则可概括为 四种关系：包含、相等、对立、互不相容； 四种运算：和、积、差、逆； 四个运算法则：交换律、结合律、分配律、对偶律。
若A，B互为对立事件
A∪B= S，AB＝Φ
注：对立事件一定互不相容，但互不相容事
件未必是对立事件。
B
A
2.事件之间的运算 定义5 “事件A与事件B至少有一个发生” 是一事件，称此事件为事件A与事件B的和 事件，记为A∪B。 用集合表示为: A∪B={e|e∈A或e∈B}
B
A
推广：事件的和可推广至有任意有限和可列个 事件的和的情况。
1. 随机试验 定义一：
所谓随机试验是指具有下面三个特点的试验： （1）可重复性； （2）全体试验结果的可知性——试验的可能结果不止一
个，但能事先明确试验的所有可能结果； （3）一次试验结果的随机性
随机试验在本课中简称为试验，常用E表示。
2. 随机事件、样本空间和样本点 定义二
在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果） 称为随机事件。一般用大写字母A,B,C等表示。 例 ：1. “掷得奇数点”，“掷得点数6”，“掷得点数不超 过2”等都是随机事件，将它们依次记为A,B,C。
概率论与随机过程----第二讲
B
n 1
n
λA
（由BnλA ，则A Bnλ() ，且A Bn
n 1 2017/2/27
A B
n
λA）
北京邮电大学电子工程学院 8
第一节 集合代数和σ -代数
2. λA是包含的λ-系
（λA ，只要证明对任意的B B λA 由B λ ()，Aλ ()
第一节 集合代数和σ -代数
简单回顾上一讲的内容： 1. 集代数、σ -代数、单调类、 ()、μ()的定义 2. 它们之间的关系
σ -代数（可列可加） 集代数（有限可加）
σ -代数 单调类 集代数+单调类 σ -代数 μ()、 () 是存在且唯一的 是集代数，μ() = ()
Ω=Aλ() ）
若B,C λA且B C，有B\C λA
（ 由B,C λA， 有B,Cλ() ，且对任意 取定的Aλ()，有A B,A Cλ() ； 然而A B A C ，必有(A C)\ (A B) λ() 即(A C)\ (A B) =A (C\B) λ()，即C\B λA
第一节 集合代数和σ -代数
定理1.1.10 设，是由Ω的一些子集组成的非空集合类， 且
1. 若为λ -系, 是π -系，则：σ () 2. 若为单调类, 是集代数，则： σ ()
证明1：由于 ，是包含的λ -系
则也包含所生成的最小λ -系λ ()，即λ () 而是π -系，由定理1.1.9：λ ()= σ ()
1. Ω ； 2. 若 A,B ，A-B ；
而A-B=A-(AB) ABA 因此： A-B
概率论与随机过程考点总结
第一章 随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量和其分布1．随机变量X ， 分布函数)()(x X P x F ≤=离散型随机变量X 的概率分布用分布列 )(k k x X P p == 分布函数∑=kpx F )(连续型随机变量X 的概率分布用概率密度)(x f 分布函数⎰∞-=xdt t f x F )()(2．n 维随机变量),,,(21n X X X X =其联合分布函数),,,,(),,,()(221121n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤== 离散型 联合分布列 连续型 联合概率密度 ３．随机变量的数字特征数学期望：离散型随机变量X ∑=k k p x EX 连续型随机变量X ⎰∞∞-=dx x xf EX )(方差：222)()(EX EX EX X E DX -=-= 反映随机变量取值的离散程度 协方差（两个随机变量Y X ,）：EY EX XY E EY Y EX X E B XY ⋅-=--=)()])([( 相关系数（两个随机变量Y X ,）：DYDX B XY XY ⋅=ρ 若0=ρ，则称Y X ,不相关。
独立⇒不相关⇔0=ρ４．特征函数)()(itXeE t g = 离散 ∑=k itx p e t g k )( 连续 ⎰∞∞-=dx x f e t g itx )()(重要性质：1)0(=g ，1)(≤t g ，)()(t g t g =-，kk k EX i g =)0(母函数：∑∞===0)()(k kk kz p z E z g !)0()(k g p k k = )1()('g X E = 2''")]1([)1()1()(g g g X D -+=５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差０－１分布 q X P p X P ====)0(,)1( p EX = pq DX = 二项分布 kn k k n q p C k X P -==)( np EX = npq DX =泊松分布 !)(k ek X P kλλ-== λ=EX λ=DX 均匀分布略正态分布),(2σa N 222)(21)(σσπa x ex f --=a EX = 2σ=DX指数分布 ⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x λλ λ1=EX 21λ=DX６．Ｎ维正态随机变量),,,(21n X X X X =的联合概率密度),(~B a N X)}()(21exp{||)2(1),,,(121221a x B a x B x x x f T nn ---=-πT n a a a a ),,,(21 =，T n x x x x ),,,(21 =，n n ij b B ⨯=)(正定协方差阵3.随机向量的变换二．随机过程的基本概念 １．随机过程的一般定义设),(P Ω是概率空间，T 是给定的参数集，若对每个T t ∈，都有一个随机变量X 与之对应，则称随机变量族{}T t e t X ∈),,(是),(P Ω上的随机过程。
《概率统计与随机过程》课程教学大纲
《概率统计与随机过程》课程教学大纲课程编号：课程名称：概率统计与随机过程课程英文名：Probability, statistics and random processes课程类型：本科专业必修课前导课程：高等数学信号与系统教学安排：总学时54学时授课对象：电子信息工程专业本科生所用教材：《概率论与数理统计》盛骤、谢式千、潘承毅编著高等教育出版社 2001版一、教学目的本课程是电子信息工程专业大学本科生的必修课，也是一门专业基础理论课，为本科生学习现代信号与信息处理理论、现代通信理论、控制理论等提供有关概率论、数理统计和随机过程理论等方面的基础理论知识。
二、课程简介该课程是电子信息工程系的一门重要基础课程。
本课程的主要目的在于使学生熟悉和掌握概率、统计和随机过程的基本概念及分析方法，深入了解随机变量的统计特征、数理统计的基本方法、随机过程的平稳性和几类重要的随机过程。
在学习本课程前，学生需要具备高等数学和信号与系统等方面的知识。
本课程主要讲授概率论、数理统计和随机过程的基本理论，有关应用等问题属于控制理论、信号处理、检测与估计理论等，不在本课程讲授范围之内。
三、教学内容第一章概率论的基本概念（7课时）1、引言2、随机试验3、样本空间、随机事件4、频率与概率5、等可能概率（古典概率）6、条件概率7、独立性第二章随机变量及分布（8课时）1、随机变量2、连续型随机变量及其分布律3、随机变量的分布函数4、连续型随机变量及其概率分布5、随机变量的函数的分布第三章多维随机变量及其分布（6课时）1、二维随机变量2、边缘分布3、条件分布4、相互独立的随机变量5、两个随机变量的函数的分布第四章随机变量的数学特征（5课时）1、数学期望2、方差3、协方差及相关函数第五章大数定律及中心极限定理（3课时）1、大数定律2、中心极限定理第六章样本及抽样分布（2课时）1、随机样本2、抽样分布第七章参数估计（6课时）1、点估计2、估计量的评选标准3、区间估计4、正态总体均值与方差的区间估计第八章假设检验（6课时）1、假设检验2、正态总体均值的假设检验3、正态总体方差的假设检验第九章随机过程及其统计描述（3课时）1、随机过程的概念2、随机过程的统计描述3、泊松过程及维纳过程第十章马尔可夫链（3课时）1、马尔可夫过程及其概率分布2、多步转移概率的确定3、遍历性第十一章平稳随机过程（5课时）1、平稳随机过程的概念2、各态历经性3、相关函数的性质4、平稳随机过程的功率谱密度四、教材1、《概率论与数理统计辅导》傅维潼编著清华大学出版社 2001年五、主要教学参考书1、《概率、随机变量与随机过程》周荫清编著北京航空航天大学出版社 1989年2、《随机过程习题集》周荫清、李春升编著北京航空航天大学出版社 1987年3、《概率论》第三册"随机过程" 复旦大学编著人民教育出版社 1981年4、《概率论与数理统计》上、下册中山大学数学系编著人民教育出版社 1980年5、《概率论与数理统计》浙江大学数学系编著人民教育出版社 1979年6、《概率论》第一册"概率论基础" 复旦大学编著人民教育出版社 1979年信息工程学院电子信息工程系（执笔者：赵晓旭）。
概率随机变量与随机过程
概率随机变量与随机过程
概率论是数学中的一个分支，主要研究随机现象的规律性。
在概率论中，随机变量是一个非常重要的概念，它是指一个随机事件的结果可以用数值来表示的变量。
而随机过程则是指随机变量随时间变化的过程。
概率随机变量是指在一定条件下，随机事件的结果可以用数值来表示的变量。
例如，掷骰子的结果就是一个概率随机变量，因为它的结果可以用1、2、3、4、5、6这六个数值来表示。
在概率论中，我们通常用概率密度函数来描述随机变量的分布情况。
概率密度函数是一个函数，它描述了随机变量在不同取值下的概率分布情况。
随机过程是指随机变量随时间变化的过程。
例如，一个人每天的体重就是一个随机过程，因为它随着时间的变化而变化。
在随机过程中，我们通常用概率分布函数来描述随机变量在不同时间下的分布情况。
概率分布函数是一个函数，它描述了随机变量在不同时间下的概率分布情况。
在实际应用中，概率随机变量和随机过程经常被用来描述随机现象的规律性。
例如，在金融领域中，股票价格的变化就是一个随机过程，我们可以用概率分布函数来描述股票价格在不同时间下的分布情况。
在工程领域中，信号的变化也是一个随机过程，我们可以用概率分布函数来描述信号在不同时间下的分布情况。
概率随机变量和随机过程是概率论中非常重要的概念，它们可以用来描述随机现象的规律性。
在实际应用中，我们可以利用概率随机变量和随机过程来分析和预测随机现象的发展趋势，从而为决策提供科学依据。
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，
则
1
X (1)
的
− ( x − (1+ t ) ) 2 2(1+ t 2 ) 2
概
率
密
度
f ( x) =
. f ( x) =
2 (1 + t 2 )
e
二． （15 分）设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合密度函数
k , ( x, y ) G , f ( x , y) = 其他， 0,
.0
4. 设 {W (t ), t 0} 是 参 数 为 2 的 维 纳 过 程 ， W (0) = 0 。 定 义
X (t ) = W ( e −t ) , t 0 ， 则相关系数 RX (1, 2) =
. 2 e −2
4’设 {N (t ), t 0} 是参数为 0 的泊松过程， N (0) = 0 ，并设 T1 , T2 , 为到 达 间 隔 时 间 序 列 。 若 到 达 间 隔 时 间 序 列 T1 , T2 , 的 概 率 密 度 函 数
a 2
2
0
cos(t + )d = 0
RY (t , t + ) = E ( X 0 + cos(t + ) ) ( X 0 + cos(t + + ) ) = E ( X0 ) +
2
1 2
2
0
cos(t + ) cos(t + + )d
1 cos SY ( ) = 2 ( ) + [ ( − 1) + ( + 1)] 2 2
所以输出的功率谱密度为
S Z ( ) =| H ( ) |2 SY ( ) = 2{2 ( ) +
2
[ ( − 1) + ( + 1)]} 。
四． （10 分）设随机过程 X (t ) = Ut + V , t 0 ，其中 (U ,V ) 服从二维正态分
布 N ( , , 2 , 2 , 0), 0 ，证明 X (t ) 为一正态过程，并求一维概率密度。 证明：
五．
(10 分 ) 设 马 氏 链 的 状 态 空 间 E= 1，， 2 3,4,5 ， 一 步 转 移 概 率 矩 阵
0 1 4 P=0 0 1 5 1 1 2 1 0 1 5 0 1 4 0 0 1 5 0 0 0 1 1 5 0 0 0 0 1 5
的
协
方
差
矩
阵
为
RX (t1 − t2 ) RX (0) . RX (0) RX (t1 − t2 )
6. 设 随 机 过 程 X (t ) = Ut + V , t 0 ， 其 中 (U ,V ) 服 从 二 维 正 态 分 布
N ( , , 2 , 2 , 0), 0
y (−2.2)， 其他，
（4）
（4）概率 P | X − Y | 1 = 1 / 2 。
（4）
三． （10 分）设随机过程 Y (t ) = X 0 + cos( t + ), t 0 ，其中随机变量 X 0 服从
均匀分布 U (− 3, 3) ，随机变量 服从均匀分布 U (0, 2 ) ，且 X 0 , 相互独立。 （1）证明随机过程 Y (t ) 是平稳过程； （2）将随机过程输入到微分系统，输出
（１）问马氏链是否可分，若可分给出全部不可分闭集； （２）讨论其状态分类，各状态的周期； （３）求其平稳分布。
39 4
2. 设随机向量 X 服从正态分布 N (1, 4) ，定义 Y = cos( X ) ，则相关系数
XY =
.0
3. 设连续型随机变量序列 X 1 , X 2 , 独立同分布，密度函数为
2 x, 0 x 1, f ( x) = 其他， 0, 1 n 则 lim P X k 2 = n → n k =1
过程为 Z (t ) =
d Y (t ) ，求输出的自相关函数 RZ (t ) 。 dt df (t ) （注：若 f (t ) 的傅里叶变换为 F ( ) ，则 的傅里叶变换为 iF ( ) ） dt
解（1）由于 X 0 服从均匀分布 U (− 3, 3) ，随机变量 服从均匀分布 U (0, 2 ) ， 且 X 0 , 相互独立，所以
e− x , x 0, f ( x) = 则 P{N (1) = 1, N (2) = 2, N (3) = 3} = 0, 其他，
.
5. 设 { X (t ), t 0} 是平稳高斯过程，均值函数为 0 ，相关函数为 RX ( ) ， 则
( X (t1 ), X (t2 ))(t1 = t2 )
北京邮电大学 2011——2012 学年第二学期
《概率论与随机过程》期末参考答案（A）
考试注意事项：学生必须将答题内容做在答题纸上，做在试题纸上一律无效
一． 填空 (每空 4 分，共 44 分) 1. 设随机向量 ( X , Y ) 在区域 D = {( x, y ) | 0 x 1,0 y 2} 上服从均匀分 布， 对 ( X , Y ) 进行 4 次独立观察，Z 表示 4 次独立观察中事件 { X Y } 发生 的次数，则 E ( Z 2 ) = 答案: .
1 = 1 + cos . 2
所以 Y (t ) 是平稳过程 （2）输入,输出的关系为 作傅里叶变换得
z (t ) =
dy (t ) dtLeabharlann Z ( ) = iY ( )
所以,系统的传输函数为 又因为 RY ( ) = 1 +
H ( ) =
Z ( ) = i ，从而 | H ( ) |2 = 2 。 Y ( )
(2) 当 | x | 1 时， f X ( x) = 所以 f X ( x) =
−
f ( x, y )dy =
1 dy = 1/ 2 ， −1− x 4
1− x
1/ 2, | x | 1, 0, 其他，
（4）
(3) 当 x (−1,1) 时， Y 的条件密度函数
1 f ( x, y ) , fY X ( y x ) = = 2 f X ( x) 0,
1/ (2 3), [− 3, 3], f X 0 ( x) = otherwise. 0,
1/ (2 ), [0, 2 ], f ( ) = otherwise. 0,
从而 Y (t ) = E[ X 0 + cos(t + )] = 0 +