平面图形的全等与相似
图形分类知识点总结
图形分类知识点总结一、基本图形的分类1.点、线、面的分类在几何学中，点、线、面是最基本的图形，它们是构成复杂图形的基本元素。
根据不同的特征，可以将点、线、面进一步分类。
（1）点点是没有长度、宽度和高度的，只有位置的图形。
根据点的位置，可以将点分为确定点和不确定点。
- 确定点：指在一个平面上确定的点，其位置是确定的，常用字母表示如点A、点B等。
- 不确定点：指在一个范围内或平面外的点，其位置不确定，通常用大写字母P、Q等表示。
（2）线线是由点组成的，没有宽度，但有长度的图形。
根据线的位置和特征，可以将线分为不同类别。
- 直线：在平面上有无限长度的线段称为直线，用两个点A、B表示，也可以用一对平行线上的两个点A、B表示。
直线可以延伸到无穷远，但无始无终。
- 射线：源自一个端点，沿着一定方向无限延伸的直线段称为射线，用这个端点和射线上的另一点唯一确定一个射线。
- 线段：两个端点A、B之间的线段称为线段，用AB表示，线段只有确定的长度。
（3）面面是有长度和宽度，但没有厚度的图形。
根据面的形状和性质，可以将面分为不同类型。
- 几何图形：平面上有形状和大小的图形称为几何图形，例如：三角形、矩形、圆等。
- 多边形：由三条以上的线段组成的封闭曲线称为多边形，例如：三角形、四边形、五边形等。
- 几何体：由面组成的实体称为几何体，例如：立方体、球体、圆柱体等。
二、二维图形的分类1.点、线、面的特征在二维图形中，点、线、面具有不同的特征和性质。
（1）点的特征- 位置唯一：一个点在平面上的位置是唯一确定的。
- 唯一性：一个点在平面上不可能有重复或多个。
（2）线的特征- 直线的特征：直线是由无数个点组成的，没有起点和终点，长度无限。
- 射线的特征：射线有一个起点，无限延伸，有向的。
- 线段的特征：线段有两个端点，有一定长度。
（3）面的特征- 形状：面的形状有多种，可以是凸多边形、凹多边形、正多边形等。
- 面积：面积是衡量面大小的指标，不同形状的面积计算方法也不同。
图形的相似与全等
图形的相似与全等相似和全等是几何学中常用的概念，用来描述图形之间的关系。
在本文中，我们将讨论图形的相似性和全等性，并且探讨它们之间的区别以及它们在几何学中的应用。
一、相似性相似性是指两个图形在形状上相似，但尺寸可能不同。
两个相似的图形有着相同的形状和对应的角度，但是它们的大小可能不一样。
相似性可以通过比较两个图形的边长比例来判断。
如果两个图形的对应边的比例相等，则它们是相似的。
例如，在三角形中，如果两个三角形的对应边长的比例相等，则它们是相似的。
相似三角形的各个角度是相等的，但是它们的边长和面积可以不同。
相似性在测量图形的尺寸时非常有用，因为它允许我们通过测量较小图形的尺寸来推导出较大图形的尺寸。
相似性也适用于其他图形，如矩形、圆形和多边形。
当两个图形相似时，它们的形状是相同的，只是尺寸不同。
相似性在建筑、地图制图和工程设计等领域有广泛的应用。
二、全等性全等性是指两个图形在形状和尺寸上完全相同。
当两个图形全等时，它们的所有边长、角度和面积都相等。
全等性可以通过比较两个图形的边长和角度来确定。
以三角形为例，如果两个三角形的三个对应边长和对应角度都相等，则它们是全等的。
全等三角形的形状和尺寸完全一样，它们可以互相重合。
全等性在测量和构造几何图形时非常重要，因为全等的图形可以用来证明其他几何定理和推导出其他图形的性质。
除了三角形，其他图形如矩形、圆形和多边形也可以存在全等的情况。
全等性在几何学中起着重要的作用，它提供了一种精确测量和比较图形的方法。
三、相似性与全等性的区别相似性和全等性之间存在着一些重要的区别。
首先，相似性只要求两个图形在形状上相似，而全等性要求两个图形在形状和尺寸上完全相同。
相似的图形可以有不同的尺寸，而全等的图形尺寸必须完全相同。
其次，相似性可以通过比较边长的比例来判断，而全等性需要比较边长和角度。
在确定两个三角形是否相似时，我们只需要比较两个三角形的边长比例。
但是，要确定两个三角形是否全等，我们需要比较边长和角度。
相似与全等大班教案
相似与全等大班教案相似与全等是数学中一个重要的概念，对于大班学生来说，理解这两个概念的区别和联系非常关键。
本教案将通过多种教学策略和活动帮助学生深入理解相似与全等的定义，并能够在实际问题中应用。
教学目标：1. 理解相似与全等的概念及其区别。
2. 能够根据相似或全等的特性进行几何图形的判断。
3. 能够解决与相似与全等相关的实际问题。
教学准备：1. 图形卡片：包括三角形、四边形等几何图形的卡片，每种图形至少准备两个。
2. 相似与全等的定义和示例的PPT。
教学流程：引入：教师出示相似与全等的定义和示例的PPT，简单介绍相似与全等的概念。
引导学生思考：相似与全等有何区别？在什么情况下两个图形才能称为相似或全等？探究：1. 教师拿出不同的图形卡片，并将其中两个卡片放在一起，让学生观察并判断它们是否相似或全等。
引导学生发现相似或全等图形之间的特点和规律。
2. 学生分组进行合作探究：每个小组随机拿出两个图形卡片，讨论并判断它们是否相似或全等。
每个小组选择一个代表来进行介绍和解释。
概念讲解：教师根据学生的探究结果，对相似与全等的定义和判断条件进行系统的讲解，强调两者的区别和联系，并澄清学生可能存在的疑惑。
巩固练习：1. 教师设计一些简单的练习题，要求学生判断给定的图形是否相似或全等，并说明理由。
2. 学生进行个人练习，教师巡视指导，及时纠正错误。
拓展活动：1. 学生分组进行相似图形的构造活动。
每个小组选择一种图形进行构造，再根据构造出的图形判断是否相似。
2. 学生尝试设计一个实际问题，并通过相似或全等的判断解决该问题。
小组展示并交流解决思路。
总结：教师对本节课的重点内容进行总结，并强调相似与全等的概念及其应用。
鼓励学生通过思考和实践来巩固所学知识。
作业布置：布置相关的练习题作业，要求学生根据相似或全等的特性判断图形的性质，并写出解题步骤和答案。
扩展阅读：学生阅读相关的数学绘本或故事，进一步了解相似与全等的应用场景，拓宽视野。
(青岛版)义务教育课程标准实验教科书《数学》目录
（青岛版）义务教育课程标准实验教科书《数学》目录青岛版七年级上册第一章基本的几何图形1.1 我们身边的图形世界1.2 点、线、面、体1.3 线段、射线和直线1.4 线段的度量和比较第二章有理数2.1 生活中的正数和负数2.2 数轴2.3 相反数与绝对值第三章有理数的运算3.1 有理数的加法与减法3.2 有理数的乘法与除法3.3 有理数的乘方3.4 有理数的混合运算3.5 利用计算器进行简单的计算第四章数据的收集与简单统计图4.1 收集数据的方式4.2 数据的整理4.3 简单的统计图4.4 统计图的相互转化第五章代数式与函数的初步认识5.1 用字母表示数5.2 代数式5.3 代数式的值5.4 生活中的常量与变量5.5 函数的初步认识第六章整式的加减6.1 单项式与多项式6.2 同类项6.3 去括号6.4 整式的加减第七章数值估算7.1 生活中的数值估算7.2 近似数和有效数字7.3 估算的应用与调整第八章一元一次方程8.1 方程和方程的解8.2 一元一次方程8.3 等式的基本性质8.4 一元一次方程的解法8.5 一元一次方程的应用七年级下册第九章角9.1 角的表示9.2 角的比较9.3 角的度量9.4 对顶角9.5 垂直第十章平行线10.1 同位角10.2 平行线和它的画法10.3 平行线的性质10.4 平行线的判定第十一章图形与坐标11.1 怎样确定平面内点的位置11.2 平面直角坐标系11.3 直角坐标系中的图形11.4 函数与图象11.5 一次函数和它的图象第十二章二元一次方程组12.1 认识二元一次方程组12.2 向一元一次方程转化12.3 图象的妙用12.4 列方程组解应用题第十三章走进概率13.1 天有不测风云13.2 确定事件与不确定事件13.3 可能性的大小13.4 概率的简单计算第十四章整式的乘法14.1 同底数幂的乘法与除法14.2 指数可以是零和负整数吗14.3 科学计数法14.4 积的乘方与幂的乘方14.5 单项式的乘法14.6 多项式乘多项式第十五章平面图形的认识15.1 三角形15.2 多边形15.3 多边形的密铺15.4 圆的初步认识15.5 用直尺和圆规作图八年级上册第一章轴对称与轴对称图形1.1 我们身边的轴对称图形1.2 线段的垂直平分线1.3 角的平分线1.4 等腰三角形1.5 成轴对称的图形的性质1.6 镜面对称1.7 简单的图案设计第二章乘法公式与因式分解2.1 平方差公式2.2 完全平方公式2.3 用提公因式法进行因式分解2.4 用公式法进行因式分解第三章分式3.1 分式的基本性质3.2 分式的约分3.3 分式的乘法与除法3.4 分式的通分3.5 分式的加法与减法3.6 比和比例3.7 分式方程第四章样本与估计4.1 普查与抽样调查4.2 样本的选取4.3 加权平均数4.4 中位数4.5 众数4.6 用计算器求平均数第五章实数5.1 算术平方根5.2 勾股定理5.3 根号2是有理数吗5.4 由边长判定直角三角形5.5 平方根5.6 立方根5.7 方根的估算5.8 用计算器求平方根和立方根5.9 实数第六章一元一次不等式6.1 不等关系和不等式6.2 一元一次不等式6.3 一元一次不等式组八年级下册第七章二次根式7.1 二次根式及其性质7.2 二次根式的加减法7.3 二次根式的乘除法第八章平面图形的全等与相似8.1 全等形与相似形8.2 全等三角形8.3 怎样判定三角形全等8.4 相似三角形8.5 怎样判定三角形相似8.6 相似多边形第九章解直角三角形9.1 锐角三角比9.2 30°，45°，60°角的三角比9.3 用计算器求锐角三角比9.4 解直角三角形9.5 解直角三角形的应用第十章数据离散程度的度量10.1 数据的离散程度10.2 极差10.3 方差与标准差10.4 用科学计算器计算方差和标准. 第十一章几何证明初步11.1 定义与命题11.2 为什么要证明11.3 什么是几何证明11.4 三角形内角和定理11.5 几何证明举例11.6 反证法九年级上册第一章特殊四边形1.1 平行四边形及其性质1.2 平行四边形的判定1.3 特殊的平行四边形1.4 图形的中心对称1.5 梯形1.6 中位线定理第二章图形与变换2.1 图形的平移2.2 图形的旋转2.3 位似第三章一元二次方程3.1 一元二次方程3.2 用配方法解一元二次方程3.3 用公式法解一元二次方程3.4 用因式分解法解一元二次方程3.5 一元二次方程的应用第四章对圆的进一步认识4.1 圆的对称性4.2 确定圆的条件4.3 圆周角4.4 直线与圆的位置关系4.5 三角形的内切圆4.6 圆与圆的位置关系4.7 弧长及扇形面积的计算九年级下册第五章对函数的再探索5.1 函数与它的表示法5.2 一次函数与一元一次不等式5.3 反比例函数5.4 二次函数5.5 二次函数y=ax2图象和性质5.6 二次函数y=ax2+bx+c图象和性.5.7 确定二次函数的解析式5.8 二次函数的应用5.9 用图象法解一元二次方程第六章频率与概率6.1 频数与频率6.2 频数分布直方图6.3 用频率估计概率6.4 用树状图计算概率第七章空间图形的初步认识7.1 几种常见的几何体7.2 棱柱的侧面展开图7.3 圆柱、圆锥的侧面展开图第八章投影与视图8.1 从不同的方向看物体8.2 盲区8.3 影子和投影8.4 正投影8.5 物体的三视图11。
初中数学知识归纳相似变换和全等变换的性质
初中数学知识归纳相似变换和全等变换的性质相似变换和全等变换是初中数学中非常重要的概念，它们在几何图形的研究和解决问题中起着至关重要的作用。
了解它们的性质和特点，能够帮助我们更好地理解几何图形的变换过程，并能够应用于各种数学问题的解决中。
一、相似变换的性质相似变换是指在平面上进行的一种变换，通过等比例的缩放、平移、旋转或镜像等操作，将一个图形变换成另一个与之相似的图形。
相似变换的性质如下：1. 边长比例相等：在相似变换中，两个相似图形的对应边的长度之比是相等的。
即若两个图形A和B相似，对应边的长度之比为a:b，则可以表示为AB/aB = AC/aC = BC/bC。
2. 角度相等：在相似变换中，两个相似图形的对应角的度数是相等的。
即若两个图形A和B相似，对应角的度数相等，可以表示为∠A = ∠B。
3. 面积比例相等：在相似变换中，两个相似图形的面积之比等于对应边长的平方之比。
即若两个图形A和B相似，对应边长之比为a:b，则面积之比为A: B = (a^2:b^2)。
4. 直线平行：在相似变换中，图形中直线的平行性保持不变。
即如果两个图形A和B相似，那么其中的平行线段保持平行关系。
二、全等变换的性质全等变换也是一种平面上的变换，通过平移、旋转和镜像等操作，将一个图形变换成另一个与之完全重合的图形。
全等变换的性质如下：1. 边长相等：在全等变换中，两个全等图形的对应边的长度是相等的。
即若两个图形A和B全等，则它们对应边的长度是完全相等的，可以表示为AB = aB = aC = BC。
2. 角度相等：在全等变换中，两个全等图形的对应角的度数是相等的。
即若两个图形A和B全等，则对应角的度数是完全相等的，可以表示为∠A = ∠B。
3. 面积相等：在全等变换中，两个全等图形的面积是相等的。
若两个图形A和B全等，则它们的面积完全相等，可以表示为A = B。
4. 其他性质：全等变换还具有对称性、传递性和自反性等性质。
《数学课程标准》” 图形与几何“领域的解读
第七章图形与几何第一节：总体主线和关键点分析“图形与几何”的课程内容，以发展学生的空间观念、几何直观、推理能力为核心展开，主要有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；物体和图形的位置及运动的描述，以及利用坐标对其的刻画。
1.图形的认识正确理解与把握《标准》对图形认识的要求，分析学生学习这部分内容时的特点，对于课程的实施和目标的达成是十分重要的。
（1）明确认识的对象在第一学段，《标准》要求“能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体”；“能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体”；“能辨认长方形、正方形、三角形、平行四边形、圆等简单图形”等，其中既涉及到了对简单几何体的认识，也涉及到了经过抽象后的三维图形和二维图形。
在第二学段中，认识的图形增加了线段、射线和直线等一维图形；对角的认识扩大到了平角、周角，增加了梯形、扇形，对三角形的认识从一般三角形到等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等；三维图形的认识对象增加了圆锥。
在第三学段，除增加了点、平面、菱形外，而更多的是对已有图形从整体到局部的认识，如“理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念”，“理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念”等。
与其他二维、三维图形相比，点、直线、平面这些基本图形抽象的程度更高，因此必须结合对现实生活中的物体的抽象才能更好地理解它们。
《标准》关于“图形的认识”内容的安排，体现了从生活到数学、从直观到抽象，从整体到局部的特点，且三维、二维、一维图形交替出现，目标要求逐渐提高。
（2）明确图形认识的要求图形认识的要求主要包括两个方面，一是对图形自身特征的认识，二是对图形各元素之间、图形与图形之间关系的认识。
对图形自身的特征认识，是进一步研究图形的基础。
在三个学段中，认识同一个或同一类图形的要求有明显的层次性：从“辨认”到“初步认识”，再从“认识”到“探索并证明”。
8.1平面图形的全等与相似课件
练一练
找出下列图形中的全等形:
A
F B G P C
R E Q
D
2.
解：全等形有： （2）与（9） ，（3）与（5）， （10）与（11）。 相似形有： （1）与（8） ，（2）、（6）、（7）、（9），
（3）与（5）， （10）与（11）。
小
结
通过这节课的学习，你对全等形与相似形有 哪些认识？
议一议
全等形与相似形有什么关系?
两个相似形 未必是全等形.
两个全等形 也是相似形.
秦兵马俑坑发现 于1974年，它被 国际上誉为“世 界第八大奇迹”。
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
练一练 (1) 图中的兵 马俑照片，哪几个 形状相同？哪几个 形状相同，且大小 相等？
(7) (8) (9)
第8章
平面图形的全等与相似
交流与发现
观察下列四组图片,每组图片的形状和大小有什么关系?
(1)
(2)
(3)
(4)
全等形： 能够完全重合的平面图形,叫做全等形.它 们的形状相同,大小相等.
交流与发现
观察下列六组图片,你发现每组图片中的两个图形的 形状相同吗?大小相等吗?
相似形：
形状相同的平面图形叫做相似形。
1. 能够完全重合的平面图形称为全等形,全等 形的形状和大小都相同.
2.形状相同的平面图形叫做相似形.
再
中考数学常见几何模型一线三等角(K型图)模型(从全等到相似)
专题05 一线三等角（K 型图）模型（从全等到相似） 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。
相似三角形与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。
如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.一线三等角（K 型图）模型（全等模型）【模型解读】在某条直线上有三个角相等，利用平角为180°与三角形内角和为180°，证得两个三角形全等。
【常见模型及证法】同侧型一线三等角（常见）：锐角一线三等角 直角一线三等角（“K 型图”） 钝角一线三等角条件：A CED B ∠=∠=∠+ CE=DE证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅异侧型一线三等角：锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角条件：FAC ABD CED ∠=∠=∠+ 任意一边相等证明思路：,A B C BED ∠=∠∠=∠+任一边相等BED ACE ⇒≅1．（2022·湖南湘潭·中考真题）在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，过点B 、C 分别作l 的垂线，垂足分别为点D 、E ．(1)特例体验：如图①，若直线l BC ∥，AB AC ==分别求出线段BD 、CE 和DE 的长；(2)规律探究：①如图②，若直线l 从图①状态开始绕点A 旋转()045αα<<︒，请探究线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；②如图③，若直线l 从图①状态开始绕点A 顺时针旋转()4590αα︒<<︒，与线段BC 相交于点H ，请再探线段BD 、CE 和DE 的数量关系并说明理由；(3)尝试应用：在图③中，延长线段BD 交线段AC 于点F ，若3CE =，1DE =，求BFC S △．【答案】(1)BD =1；CE =1；DE =2(2)①DE =CE +BD ；理由见解析；②BD =CE +DE ；理由见解析 (3)258BFC S ∆=【分析】（1）先根据得出90452ABC ACB ︒∠=∠==︒，根据l BC ∥，得出45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，再根据90BDA CEA ∠=∠=︒，求出45ABD ∠=︒，45ACE ∠=︒， 即可得出45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，最后根据三角函数得出1AD BD ==，1AE CE ==，即可求出2DE AD AE =+=；（2）①DE =CE +BD “AAS”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；②BD =CE +DE ；根据题意，利用“AAS”证明ABD CAE ∆∆≌，得出AD =CE ，BD =AE ，即可得出结论；（3）在Rt△AEC 中，根据勾股定理求出5AC =，根据DF CE ∥，得出AD AF AE CF =，代入数据求出AF ，根据AC =5，算出CF ，即可求出三角形的面积．(1)解：△90BAC ∠=︒，AB AC =，△90452ABC ACB ︒∠=∠==︒， △l BC ∥，△45DAB ABC ∠=∠=︒，45EAC ACE ∠=∠=︒，△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△904545ABD ∠=︒-︒=︒，904545ACE ∠=-=︒︒︒，△45DAB ABD EAC ACE ∠=∠=∠=∠=︒，△sin 1AD BD AB DAB ==⨯∠==，sin 1AE CE AC EAC ==⨯∠==，△2DE AD AE =+=． (2)①DE =CE +BD ；理由如下：△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△90DAB DBA ∠+∠=︒，△90BAC ∠=︒，△90DAB CAE ∠+∠=︒，△DBA CAE ∠=∠，△AB =AC ，△ABD CAE ∆∆≌，△AD =CE ，BD =AE ，△DE =AD +AE =CE +BD ，即DE =CE +BD ；②BD =CE +DE ，理由如下：△BD △AE ，CE △DE ，△90BDA CEA ∠=∠=︒，△90DAB DBA ∠+∠=︒，△90BAC ∠=︒，△90DAB CAE ∠+∠=︒，△DBA CAE ∠=∠，△AB =AC ，△ABD CAE ∆∆≌，△AD =CE ，BD =AE ，△BD =AE =AD +DE =CE +DE ，即BD =CE +DE ．(3)根据解析（2）可知，AD =CE=3，△314AE AD DE =+=+=，在Rt△AEC 中，根据勾股定理可得：5AC =，△BD △AE ，CE △AE ，△DF CE ∥，△AD AF AE CF =，即345AF =，解得：154=AF ， △155544CF AC AF =-=-=，△AB =AC =5，△1152552248BFC S CF AB ∆=⨯=⨯⨯=． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，解直角三角形，根据题意证明ABD CAE ∆∆≌，是解题的关键．2．（2022·黑龙江·九年级期末）（1）如图（1），已知：在△ABC 中，△BAC ＝90°，AB =AC ，直线m 经过点A ，BD △直线m ， CE △直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明△DE =BD +CE ．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC 中，AB =AC ，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有△BDA =△AEC =△BAC =α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE =BD +CE 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为△BAC 平分线上的一点，且△ABF 和△ACF 均为等边三角形，连接BD 、CE ，若△BDA =△AEC =△BAC ，试判断△DEF 的形状．【答案】（1）见解析（2）成立，证明见解析（3）△DEF 为等边三角形，证明见解析【分析】（1）因为DE=DA+AE，故由全等三角形的判定AAS证△ADB△△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE；（2）成立，仍然通过证明△ADB△△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD；（3）由△ADB△△CEA得BD=AE，△DBA =△CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得△ABF=△CAF=60°，FB=F A，所以△DBA+△ABF=△CAE+△CAF，即△DBF=△F AE，所以△DBF△△EAF，所以FD=FE，△BFD=△AFE，再根据△DFE=△DF A+△AFE=△DF A+△BFD=600得到△DEF是等边三角形．【详解】解：（1）证明：△BD△直线m，CE△直线m，△△BDA＝△CEA=90°．△△BAC＝90°，△△BAD+△CAE=90°．△△BAD+△ABD=90°，△△CAE=△ABD．又AB=AC，△△ADB△△CEA（AAS）．△AE=BD，AD=CE．△DE=AE+AD=BD+CE；（2）成立．证明如下：△△BDA =△BAC=α，△△DBA+△BAD=△BAD +△CAE=180°-α．△△DBA=△CAE．△△BDA=△AEC=α，AB=AC，△△ADB△△CEA（AAS）．△AE=BD，AD=CE．△DE=AE+AD=BD+CE；（3）△DEF为等边三角形．理由如下：由（2）知，△ADB△△CEA，BD=AE，△DBA =△CAE，△△ABF和△ACF均为等边三角形，△△ABF=△CAF=60°．△△DBA+△ABF=△CAE+△CAF．△△DBF=△F AE．△BF=AF，△△DBF△△EAF（SAS）．△DF=EF，△BFD=△AFE．△△DFE=△DF A+△AFE=△DF A+△BFD=60°．△△DEF为等边三角形．【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定．3．（2022·江苏·九年级专题练习）【感知模型】“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题，把你的感知填写出来：①如图1，ABC 是等腰直角三角形，90C ∠=︒，AE =BD ，则AED ≌_______； ②如图2，ABC 为正三角形，,60BD CF EDF =∠=︒，则BDE ≌________；③如图3，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，分别过点A 、C 作AE l ⊥于E ，CF l ⊥于F ．若1AE =，2CF =，则EF 的长为________．【模型应用】（2）如图4，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，点O 为原点，点A 的坐标为(，则点C 的坐标为________．【模型变式】（3）如图5所示，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE CE ⊥于E ，AD △CE 于D ，4cm DE =，6cm AD =，求BE 的长．△四边形OABC是正方形△△AOC=90゜，AO=OC模型2.一线三等角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也相等，从而得到两个三角形相似．1．（2022·四川·一模）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形：（1）如图1，已知：在△ABC 中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=．试猜想DE 、BD 、CE 有怎样的数量关系，请证明你的结论； （2）老师鼓励学习小组继续探索相似的情形．于是，学习小组又研究以下问题：如图2，△ABC 中，(060)B C αα∠=∠=<<︒．将一把三角尺中30°角顶点P 放在BC 边上，当P 在BC 边上移动时，三角尺中30°角的一条边始终过点A ，另一条边交AC 边于点Q ，P 、Q 不与三角形顶点重合．设CPQ β∠=．当β在许可范围内变化时，α取何值总有△ABP △△PCQ ？当α在许可范围内变化时，β取何值总有△ABP △△QCP ？（3）试探索有无可能使△ABP 、△QPC 、△ABC 两两相似？若可能，写出所有α、β的值（不写过程）；若不可能，请说明理由．【答案】（1）DE AE AD BD CE =+=+；证明见解析；（2）30α=︒；75β=︒；（3）可能；30α=︒，30β=︒或52.5α=︒，75β=︒．【分析】（1）证明△ADB △△CEA （AAS ），由全等三角形的性质得出AE =BD ，AD =CE ，则可得出结论；（2）由β=△2或△1=△CQP ，即△2=30°+β-α=β，解得α=30°，即可求解；由β=△1或△2=△CQP ，同理可得：β=75°，即可求解；（3）①当α=30°，β=30°时，则△2=△B =α=30°，即可求解；②当β=75°，α=52.5°时，同理可解．【详解】解：（1）如图1，△BDA BAC α∠=∠=，△180DBA BAD BAD CAE ∠∠∠∠α+=+=︒-，△DBA CAE ∠=∠，在△ADB 和△CEA 中，DBA EAC BDA AEC BA AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△△ADB △△CEA （AAS ），△AE BD =，AD CE =， △DE AE AD BD CE =+=+；（2）在△ABP 中，2230APC B αβ∠=∠+∠=+∠=︒+，△1150β∠=︒-，同理可得：230βα∠=︒+-；由2β=∠或1CQP ∠=∠，即230βαβ∠=︒+-=，解得30α=︒，则△ABP △△PCQ ；△当β在许可范围内变化时，30α=︒时，总有△ABP △△PCQ ；由1β=∠或2CQP ∠=∠，同理可得：75β=︒．△当α在许可范围内变化时，75β=︒总有△ABP △△QCP ；（3）可能．①当30α=︒，30β=︒时，则230B α∠=∠==︒，则△ABP △△PCQ △△BCA ； ②当75β=︒，52.5α=︒时，同理可得：115075ββ∠=︒-=︒=，23052.5βαα∠=︒+-=︒=，△△ABP △△CQP △△BCA ．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．2．（2022·河南新乡·二模）如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点A 的两个等腰直角三角形，△DAE ＝△BAC ＝90°，AD ＝AE ，AB ＝AC ＝6，D 在线段BC 上，从B 到C 运动，点M 和点N 分别是边BC ，DE 的中点．(1)【问题发现】若点D 是BC 边的中点时，BD MN＝ ，直线BD 与MN 相交所成的锐角的度数为 （请直接写出结果）(2)【解决问题]若点D 是BC 边上任意一点时，上述结论是否成立，请说明理由．(3)【拓展探究】在整个运动过程中，请直接写出N 点运动的路径长，及CN 的最小值．当点D 是BC 的中点时，△AB =AC ，△AD △BC ，AD 平分△BAC ，如图1，在四边形ABCD 中，点P 为AB 上一点，当90DPC A B ∠=∠=∠=︒时，求证：AD BC AP BP ⋅=⋅．（2）探究：若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．（3）应用：如图3，在ABC 中，AB =45B ∠=︒，以点A 为直角顶点作等腰Rt ADE △．点D 在BC 上，点E 在AC 上，点F 在BC 上，且45EFD ∠=︒，若CE =CD 的长．）结论仍然成立，理由如下，BPD ∠=又BPD ∠=DPC BPC +∠DPC ∠=∠α，BPC ∴∠ADP ∴∽△△，△AD ⋅BC）∠ABD DFE ∴∽，AB DF ∴ADE 是等腰直角三角形，，2AB =，4DF ∴=，45EFD ∠=135DEC =︒，EFC DEC ∴∽，FC EC ∴5EC =,()45FC CD FC FC ⋅=⋅+=，1FC ∴= 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．模型3.一线三直角模型（相似模型）【模型解读与图示】“一线三直角”模型的图形，实则是“一线三等角”型的图形的特例，因为这种图形在正方形和矩形中出现的比较多，对它做一专门研究，这样的图形，因为有三个角是直角，就有两个角相等，再根据“等角的余角相等”可以得到另外一对角相等，从而判定两个三角形相似．1．（2022·湖南郴州·中考真题）如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =．点E 是线段AD 上的动点（点E 不与点A ，D 重合），连接CE ，过点E 作EF CE ⊥，交AB 于点F ．(1)求证：AEF DCE ∽；(2)如图2，连接CF ，过点B 作BG CF ⊥，垂足为G ，连接AG ．点M 是线段BC 的中点，连接GM ．①求AG GM +的最小值；②当AG GM +取最小值时，求线段DE 的长．【答案】(1)见解析(2)①5；②3DE =3DE =【分析】（1）证明出DCE AEF ∠=∠即可求解；（2）①连接AM ．先证明132BM CM GM BC ====．确定出点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM 中利用勾股定理即可求出AM ，则问题得解．②先求出AF ，求AF 的第一种方法：过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，即有CMN CBF ∽△△，进而有12MN CM BF CB ==．设AF x =，则4BF x =-，()142MN x =-．再根据∥MN AB ，得到AFG MNG ∽△△，得到AF AG MN GM =，则有()21342xx =-，解方程即可求出AF ；求AF 的第二种方法：过点G 作GH AB ∥交BC于点H ．即有MHG MBA ∽△△．则有GM GH MH AM AB MB ==，根据5AM =，可得3543GH MH ==，进而求出125GH =，95MH =．由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，即可求出AF ．求出AF 之后，由（1）的结论可得AF AE DE DC．设DE y =，则6AE y =-，即有164y y -=，解得解方程即可求出DE ．(1)证明：如图1，△四边形ABCD 是矩形，△90A D ∠=∠=︒，△90CED DCE ∠+∠=︒．△EF CE ⊥，△90CED AEF ∠+∠=︒，△DCE AEF ∠=∠，△AEF DCE ∽；(2)①解：如图2-1，连接AM ．△BG CF ⊥，△BGC 是直角二角形．△132BM CM GM BC ====． △点G 在以点M 为圆心，3为半径的圆上．当A ，G ，M 三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得：AG GM AM +>， 当A ，G ，M 三点共线时，AG GM AM +=．此时，AG GM +取最小值．在Rt ABM中，5AM ==．△AG GM+的最小值为5．②（求AF 的方法一）如图2-2，过点M 作∥MN AB 交FC 于点N ，△CMN CBF ∽△△．△12MN CM BF CB ==． 设AF x =，则4BF x =-，△()11422MN BF x ==-． △∥MN AB ，△AFG MNG ∽△△，△AF AG MN GM =， 由①知AG GM +的最小值为5、即5AM =，又△3GM =，△2AG =．△()21342xx =-，解得1x =，即1AF =．（求AF 的方法二）如图2-3，过点G 作GH AB ∥交BC 于点H ．△MHG MBA ∽△△．△GM GH MH AM AB MB==， 由①知AG GM +的最小值为5，即5=，又△3GM =，△3543GH MH ==．△125GH =，95MH =． 由GH AB ∥得CHG CBF ∽△△，△GH CH FB CB =，即1293556FB +=，解得3FB =． △1AF AB FB =-=．由（1）的结论可得AF AE DE DC ． 设DE y =，则6AE y =-，△164y y -=，解得3y =3△036<，036<<，△3DE =+或3DE =【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行的性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．2．（2022·山东济宁·二模）情境观察:将含45°角的三角板的直角顶点R 放在直线l 上，分别过两锐角的顶点M ，N 作l 的垂线，垂足分别为P ， Q ，（1）如图1.观察图1可知：与NQ 相等的线段是______________，与NRQ ∠相等的角是_____(2)问题探究直角ABC 中，90B ∠=︒，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作正方形ACEF 和正方形CDGH ，如图2，过E ，H 分别作BC 所在直线的垂线，垂足分别为K ，L .试探究EK 与HL 之间的数量关系，并证明你的结论.(3)拓展延伸：直角ABC 中，90B ∠=︒，在AB 边上任取一点D ，连接CD ，分别以AC ，DC 为边作矩形ACEF 和矩形CDGH ，连接EH 交BC 所在的直线于点T ，如图3.如果AC kCE =，CD kCH =，试探究TE 与TH 之间的数量关系，并证明你的结论.【答案】(1)PR ，PMR ∠，(2)EK LH =，证明见解析；(3)ET HT=，证明见解析．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，=MR RN ，90MRN ∠=︒，根据余角性质得到PMR NRQ ∠=∠，再证明MPR NRQ ≌△△，即可得到QN PR =，NRQ PMR ∠=∠；（2）证明ABC CEK ≌△△，得到EK BC =，再证明DCB CHL ≌△△，得到BC HL =，可得到EK LH =；（3）证明ACB ECM ∽△△，得到BC kEM =，证明BCD NHC ∽△△，得到BC kHN =，得到EM HN =，证明NHT EMT ≌△△即可得到ET HT =． （1）解：△MRN △是等腰直角三角形，△=MR RN ，90MRN ∠=︒，△MP PQ ⊥，NQ PQ ⊥，△90MPR NQR ∠=∠=︒，△90PMR MRP MRP NRQ ∠+∠=∠+∠=︒，△PMR NRQ ∠=∠，在MPR △和NRQ △中，PMR NRQ MPR NRQ MR NR ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△MPR NRQ ≌△△，△QN PR =，NRQ PMR ∠=∠，故答案为：PR ，PMR ∠；（2）解：△四边形ACEF 是正方形，△AC CE =，90ACE ∠=︒，△EK BK ⊥△90B EKC ∠=∠=︒，△90BAC ACB ACB ECK ∠+∠=∠+∠=︒，△BAC ECK ∠=∠，在ABC 和CEK △中，BAC KCE B EKCAC CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△ABC CEK ≌△△，△EK BC =， △四边形CDGH 是正方形，△CD CH =，90DCH ∠=︒在DCB和△3）解：过△四边形ACEF是矩形，△90ACE∠=︒，△90BAC ACB ACB ECM∠+∠=∠+∠=︒，顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①：在△ABC中，△ACB ＝90°，AC＝BC，分别过A、B向经过点C直线作垂线，垂足分别为D、E，我们很容易发现结论：△ADC△△CEB．(1)探究问题：如果AC≠BC，其他条件不变，如图②，可得到结论；△ADC△△CEB．请你说明理由．(2)学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝12x与直线CD交于点M（2，1），且两直线夹角为α，且tanα＝32，请你求出直线CD的解析式．(3)拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E为BC边上一个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若△DPC为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．由（1）可得：△NFO△△OEM，△NF OF NO==，△点M（2，1），△OE＝2，ME＝1，OE ME MONF OF33ON33课后专项训练：1．（2022·贵州铜仁·三模）（1）探索发现：如图1，已知Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 过点C ，过点A 作AD l ⊥，过点B 作BE l ⊥，垂足分别为D 、E ．求证：CD BE =． （2）迁移应用：如图2，将一块等腰直角的三角板MON 放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点O 重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点N 的坐标为()4,2，求点M 的坐标．（3）拓展应用：如图3，在平面直角坐标系内，已知直线44y x =-+与y 轴交于点P ，与x 轴交于点Q ，将直线PQ 绕P 点沿逆时针方向旋转45︒后，所得的直线交x 轴于点R ．求点R 的坐标．20由已知得OM＝ON，且△OMN＝90°，△由（1）得△OFM△△MGN，＝35x+4．【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，汕头市潮阳区教师发展中心教学研究室一模）直角三角形ABC中，△ACB=90°，CB=CA，直线ED经过点C，过A作AD△ED于D，过B作BE△ED于E．求证：△BEC△△CDA；（2）模型应用：①已知直线AB与y轴交于A点，与x轴交于B点，sin△ABO=35，OB=4，将线段AB绕点B逆时针旋转90度，得到线段BC，过点A，C作直线，求直线AC的解析式；②如图3，矩形ABCO，O为坐标原点，B的坐标为（8，6），A，C分别在坐标轴上，P是线段BC上动点，已知点D在第一象限，且是直线y=2x-5上的一点，若△APD是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请求出所有符合条件的点D的坐标．和CDA中⎧⎪⎨⎪⎩①如图，过点中sin△ABO ，AB=5m，）可证得CDB∆当D在AB的下方时，过D作DE△y轴于E，交BC于F,，在ABC中，MN经过点C，且AD MN⊥于D，BE MN⊥于E．(1)由图1，证明：DE AD BE=+；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，请猜想出DE，AD，BE的等量关系并说明理由；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，BE又具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．【答案】(1)证明见解析；(2)DE AD BE =-，证明过程见解析；(3)DE BE AD =-，证明过程见解析【分析】(1)先证明△ADC △△CEB ，得到AD=CE ，DC=BE ，进而得到DE=CE+DC=AD+BE 即可；(2)同(1)中思路，证明△ADC △△CEB ，进而得到DE=CE -DC=AD -BE 即可；(3)同(1)中思路，证明△ADC △△CEB ，进而得到DE=DC -CE=BE -AD 即可．【详解】解：(1)证明：在ABC 中，△90ACB ∠=︒，△90ACD BCE ∠+∠=︒，△AD MN ⊥，△90ACD CAD ∠+∠=︒，△BCE =∠∠CAD ，又△AC BC =，90ADC CEB ∠=∠=，△()≌ADC CEB AAS ，△AD CE =，DC BE =， △直线MN 经过点C ，△DE CE DC AD BE =+=+；(2)DE ，AD ，BE 的等量关系为：DE AD BE =-，理由如下：△AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E △90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，△90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，△CAD BCE ∠=∠，在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，△()ADC CEB AAS △≌△△CE AD =，CD BE =，△DE CE CD AD BE =-=-；(3)当MN 旋转到图3的位置时，DE 、AD 、BE 所满足的等量关系是DE BE AD =-，理由如下：△AD MN ⊥于D ，BE MN ⊥于E △90ADC BEC ACB ∠=∠=∠=︒，△90CAD ACD ∠+∠=︒，90ACD BCE ∠+∠=︒，△CAD BCE ∠=∠，在ADC 和CEB △中90CAD BCE ADC BEC AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩，△()ADC CEB AAS △≌△△CE AD =，CD BE =，△DE CD CE BE AD =-=-.【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法、等腰直角三角形的性质及等角的余角相等等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是求解的关键．4．（2022·山东·九年级课时练习）（1）课本习题回放：“如图①，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD CE ⊥，BE CE ⊥，垂足分别为D ，E ， 2.5cm AD =， 1.7cm DE =．求BE 的长”，请直接写出此题答案：BE 的长为________．（2）探索证明：如图②，点B ，C 在MAN ∠的边AM 、AN 上，AB AC =，点E ，F 在MAN∠内部的射线AD 上，且BED CFD BAC ∠=∠=∠．求证：ABE CAF ∆∆≌．（3）拓展应用：如图③，在ABC ∆中，AB AC =，AB BC >．点D 在边BC 上，2CD BD =，点E 、F 在线段AD 上，BED CFD BAC ∠=∠=∠．若ABC ∆的面积为15，则ACF ∆与BDE ∆的面积之和为________．（直接填写结果，不需要写解答过程）【答案】（1）0.8cm ；（2）见解析（3）5【分析】（1）利用AAS 定理证明△CEB △△ADC ，根据全等三角形的性质解答即可； （2）由条件可得△BEA ＝△AFC ，△4＝△ABE ，根据AAS 可证明△ABE △△CAF ；（3）先证明△ABE △△CAF ，得到ACF ∆与BDE ∆的面积之和为△ABD 的面积，再根据2CD BD =故可求解．【详解】解：（1）△BE △CE ，AD △CE ，△△E ＝△ADC ＝90°，△△EBC ＋△BCE ＝90°．△△BCE ＋△ACD ＝90°，△△EBC ＝△DCA ．在△CEB 和△ADC 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩△△CEB △△ADC （AAS ），△BE ＝DC ，CE ＝AD ＝2.5cm ．△DC ＝CE −DE ，DE ＝1.7cm ，△DC ＝2.5−1.7＝0.8cm ，△BE ＝0.8cm 故答案为：0.8cm ； （2）证明：△△1＝△2，△△BEA ＝△AFC ．△△1＝△ABE ＋△3，△3＋△4＝△BAC ，△1＝△BAC ，△△BAC ＝△ABE ＋△3，△△4＝△ABE ．△△AEB ＝△AFC ，△ABE ＝△4，AB ＝AC ，△△ABE △△CAF （AAS ）．（3）△BED CFD BAC ∠=∠=∠△△ABE +△BAE =△F AC +△BAE =△F AC +△ACF△△ABE =△CAF ，△BAE =△ACF又AB AC =△△ABE △△CAF ，△ABE CAF S S =△ACF ∆与BDE ∆的面积之和等于ABE ∆与BDE ∆的面积之和，即为△ABD 的面积，△2CD BD =，△ABD 与△ACD 的高相同则13ABD ABC S S =△△=5 故ACF ∆与BDE ∆的面积之和为5故答案为：5．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．（2022·无锡市九年级月考）（1）如图1，直线m 经过等腰直角△ABC 的直角顶点A ，过点B 、C 分别作BD ⊥m ，CE ⊥m D 、E ．求证：BD ＋CE ＝DE ；（2）如图2，直线m 经过△ABC 的顶点A ，AB ＝AC ，在直线m 上取两点 D 、E ，使∠ADB ＝∠AEC ＝α，补充∠BAC ＝ （用α表示），线段BD 、CE 与DE 之间满足BD ＋CE ＝DE ，补充条件后并证明；（3）在（2）的条件中，将直线m 绕着点A 逆时针方向旋转一个角度到如图3的位置，并改变条件∠ADB ＝∠AEC ＝ （用α表示）．通过观察或测量，猜想线段BD 、CE 与DE 之间满足的数量关系，并予以证明．【答案】（1）证明见详解，（2）∠BAC=α，证法见详解，（3）180º-α，DE=EC-BD，证明见详解．【分析】（1）根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA；（2）补充∠BAC=α．利用△ADB≌△CAE，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案；（3）180º-α，DE=CE-BD，根据已知首先证明∠DAB=∠ECA，再利用AAS即可得出△ADB≌△CEA，即可得出三角形对应边之间的关系，即可得出答案．【详解】证明：（1）∵BD⊥m，CE⊥m，∠ABC=90°，AC=BC，∴△ADB和△AEC都是直角三角形，∴∠DBA+∠DAB=90°，∴∠ECA+∠EAC=90°，∵∠BAC=90°，∠DAB+∠EAC=90º，∴∠DAB=∠ECA，又∵∠ADB=∠CEA=90°，AB=BC，所以△ADB≌△CEA（AAS），BD=AE，DA=EC，DE=DA+AE=EC+BD，BD＋CE＝DE．（2）∵等腰△ABC中，AC=CB，∠ADB=∠BAC=∠CEA=α，∴∠DAB+∠EAC=180°-α，∠ECA+∠CAE=180º-α，∴∠DAB=∠ECA，∵∠ADB=∠CEA=α，AC=CB，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴CE=AD，BD=AE，∴AD+BE=CE+CD，所以BD+CE=DE．（3）180º-α，数量关系为DE=CE-BD，∵∠ADB＝∠AEC＝180º-α，∠BAC=α，∴∠ABD+∠BAD=α，∠BAD+∠EAC=α，∴∠ABD=∠CAE，∵AB=AC，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴AD=CE，BD=AE，∴DE=AD-AE=EC-BD．【点睛】点评：此题主要考查了三角形全等的证明，根据已知得出∠DAB=∠ECA，再利用全等三角形的判定方法得出是解决问题的关键．6．（2022·河南新乡·九年级期中）某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．（1）如图1，在ABC中，△BAC＝90°，ABAC＝k，直线l经过点A，BD△直线I，CE上直线l，垂足分别为D、E．求证：BDAE＝k．（2）组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢？如图2，将（1）中的条件做以下修改：在ABC中，ABAC＝k，D、A、E三点都在直线l上，并且有△BDA＝△AEC＝△BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，在ABC中，沿ABC的边AB、AC向外作矩形ABDE和矩形ACFG，ABAE＝ACAG＝12，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I．①求证：I是EG的中点．②直接写出线段BC与AI 之间的数量关系：．【答案】（1）见解析（2）结论还成立，证明见解析（3）①见解析②BC=AI【分析】（1）由条件可证明△ABD△△CAE，可得BDAE=ABAC＝k；（2）由条件可知△BAD＋△CAE＝180°−α，且△DBA＋△BAD＝180°−α，可得△DBA＝△CAE，结合条件可证明△ABD△△CAE，同（1）可得出结论；（3）①过点G作GM∥AE交AI的延长线于点M，连接EM，证明△ABC△△GMA，再得到四边形AGME是平行四边形，故可求解；②由①得到BC=12AM，再根据四边形AGME是平行四边形得到BC=AI，故可求解．【详解】（1）如图1，△BD△直线l，CE△直线l，△△BDA＝△CEA＝90°，△△BAC＝90°，△△BAD＋△CAE＝90°△△BAD＋△ABD＝90°，△△CAE＝△ABD△△ABD＝△CAE，△BDA＝△CEA，△△ADB△△CEA，△BDAE =ABAC＝k；（2）成立，证明如下：如图2，△△BDA＝△BAC＝α，△△DBA＋△BAD＝△BAD＋△CAE＝180°−α，△△DBA＝△CAE，△△ABD＝△CAE，△BDA＝△CEA△△ADB△△CEA，△BDAE =ABAC＝k；（3）①过点G作GM∥AE交AI的延长线于点M，连接EM △四边形AGFC是矩形，△△GAC=90°又AH△BC△△AHC=90° △△5+△CAH=△4+△CAH=90°△△5=△4△△BDE=△AHB=90°△△2+△BAH=△1+△BAH=90°△△2=△1又GM∥AE△△3=△2△△3=△1△△ABC△△GMA【点睛】此题主要考查相似三角形的判断与性质综合，解题的关键是根据题意找到相似三角，ABC 是等腰直角三角形，直线l 过点C ，AM l ⊥，BN l ⊥，垂足分别为M ，N ．求证：AMC CNB △≌△；[尝试应用]（2）如图2，AC BC =，90ACB ∠=︒，N ，B ，E 三点共线，CN NE ⊥，45E ∠=︒，1CN =，2BN =．求AE 的长；[拓展创新]（3）如图3，在DCE 中，45CDE ∠=︒，点A ，B 分别在DE ，CE 上，AC BC =，90ACB ∠=︒，若1tan 2DCA ∠=，直接写出AE AD 的值为 ．在AMC和△△()AMC CNB AAS≌2）如图2AM NH⊥于M，由（1）可知：BCN CAM△≌△，△2CM BN==，1CN AM==，）可知：AMC BNC≌，45DAM DFN=∠=∠=a，△32AF a=，BCN BFH∽△，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形或相似三角形是本题的关键．8．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模）数学实践课堂上，张老师带领学生们从一道题入手，开始研究，并对此题做适当变式，尝试举一反三，开阔学生思维．(1)原型题：如图1，AB BD ⊥于点B ，CD BD ⊥于点D ，P 是BD 上一点，AP PC =，AP PC ⊥，则ABP △≌△________，请你说明理由．(2)利用结论，直接应用：①如图2，四边形ABCD 、EFGH 、NHMC 都是正方形，边长分别为a 、b 、c ，A 、B 、N 、E ，F 五点在同一条直线上，则CBN △≌△________，c =________（用含a 、b 的式子表示）．②如图3，四边形ABCD 中，AB DC ，AB BC ⊥，2AB =，4CD =，以BC 上一点O 为圆心的圆经过A 、D 两点，且90AOD ∠=︒，则圆心O 到弦AD 的距离为________．(3)弱化条件，变化引申：如图4，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，45DME A B ∠=∠=∠=︒，且DM 交AC 于点F ，ME 交BC 于点G ，连接FG ，则AMF 与BGM 的关系为：________，若AB =3AF =，则FG =________．5即可证明∽AMF BGM ，即可求出△AB DC ∥，AB BC ⊥△90B C ∠=∠=︒ △90AOD ∠=︒△90AOB DOC +=︒∠∠在AOB 和△Rt AOB 中，Rt AOD △中，12AD OE ⨯⨯=10=△圆心解：AMF 与BGM 的关系为：相似，45︒△AMD AFM +∠∠△∽AMF BGM △AM BG 45︒△90ACB ∠=︒△AC 84433=-=△FG FC =本题考查了全等三角形的判定和性质、x 轴上，C 、D 、E 分别是AB 、OB 、OA 上的动点，且满足BD ＝2AC ，DE ∥AB ，连接CD 、CE ，当点E 坐标为 时，△CDE 与△ACE 相似．【分析】因为DE ∥AB 得到∠DEC ＝∠ACE ，所以△CDE 与△ACE 相似分两种情况分类讨论．【解答】解：∵DE ∥AB ，∴∠DEC ACE ，△ODE ∽△OBA ，∴△ODE 也是等边三角形，则OD ＝OE ＝DE ，设E （a ，0），则OE ＝OD ＝DE ＝a ，BD ＝AE ＝4﹣a ．∵△CDE 与△ACE 相似，分两种情况讨论：①当△CDE ∽△EAC 时，则∠DCE ＝∠CEA ，∴CD ∥AE ，∴四边形AEDC 是平行四边形，∴AC ＝a ，，∵BD ＝2AC ，∴4﹣a ＝2a ，∴a ＝．∴E ；②当△CDE ∽△AEC 时，∠DCE ＝∠EAC ＝60°＝∠B ，∴∠BCD +∠ECA ＝180°﹣60°＝120°，又∵∠BDC +∠BCD ＝180°﹣∠B ＝120°，∴∠BCD +∠ECA ＝∠BDC +∠BCD ， ∴∠ECA ＝∠BDC ，∴△BDC ∽△ACE ，∴，∴BC ＝2AE ＝2（4﹣a ）＝8﹣2a ， ∴8﹣2a +2＝4，∴a ＝．∴．综上所述，点E 的坐标为或．【点评】本题主要考查相似三角形，考虑分类讨论是本题的关键．10．（2022•广东中考模拟）（1）模型探究：如图1，D 、E 、F 分别为ABC ∆三边BC 、AB 、AC 上的点，且B C EDF α∠=∠=∠=，BDE ∆与CFD ∆相似吗？请说明理由.（2）模型应用：ABC ∆为等边三角形，其边长为8，E 为边AB 上一点，F 为射线AC 上一点，将AEF ∆沿EF 翻折，使点A 落在射线CB 上的点D 处，且2BD =.①如图2，当点D 在线段BC 上时，求AE AF的值； ②如图3，当点D 落在线段CB 的延长线上时，求BDE ∆与CFD ∆的周长之比.【答案】（1）~∆∆BDE CFD ，见解析；（2）①57AE AF =；②BDE ∆与CFD ∆的周长之比为13. 【分析】（1）根据三角形的内角和得到BED CDF ∠=∠，即可证明；（2）①设AE x =，AF y =，根据等边三角形的性质与折叠可知DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=，根据三角形的内角和定理得BED CDF ∠=∠，即可证明~∆∆BDE CFD ，故BD BE DE CF CD FD ==，再根据比例关系求出AE AF的值； ②同理可证~∆∆BDE CFD ，得BD BE DE CF CD FD ==，得28810x x y y -==-，再得到13x y =，再根据相似三角形的性质即可求解.【详解】解（1）~∆∆BDE CFD ，理由：B C EDF α∠=∠=∠=，在BDE ∆中，180B BDE BED ∠+∠+∠=，180180BDE BED B α∴∠+∠=-∠=-，180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=，180180BDE CDF EDF α∴∠+∠=-∠=-，BED CDF ∴∠=∠，B C ∠=∠，~BDE CFD ∴∆∆；（2）①设AE x =，AF y =，ABC ∆是等边三角形，60A B C ∴∠=∠=∠=，8AB BC AC ===，由折叠知，DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=，在BDE ∆中，180B BDE BED ∠+∠+∠=，180120BDE BED B ∴∠+∠=-∠=， 180120BDE BED B ∠+∠=-∠=，180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=，180120BDE CDF EDF ∴∠+∠=-∠=，BED CDF ∴∠=∠，60B C ∠=∠=，~BDE CFD ∴∆∆，BD BE DE CF CD FD∴==， 8BE AB AE x =-=-，8CF AC AF y =-=-，6CD BC BD =-=2886x x y y -∴==-，()()2868y x y x y x ⎧=-⎪∴⎨=-⎪⎩，105147x y ∴==，57AE AF ∴=； ②设AE x =，AF y =，ABC ∆是等边三角形， 60A ABC ACB ∴∠=∠=∠=，8AB BC AC ===，由折叠知，DE AE x ==，DF AF y ==，60EDF A ∠=∠=，在BDE ∆中，180ABC BDE BED ∠+∠+∠=，180120BDE BED ABC ∴∠+∠=-∠=， 180BDE EDF CDF ∠+∠+∠=，180120BDE CDF EDF ∴∠+∠=-∠=，BED CDF ∴∠=∠，60ABC ACB ∠=∠=，120DBE DCF ∴∠=∠=，~BDE CFD ∴∆∆，BD BE DE CF CD FD ∴== 8BE AB AE x =-=-，8CF AF AC y =-=-，10CD BC BD =+=，28810x x y y -∴==-，2(8)10(8y x y x y x =-⎧∴⎨=-⎩，13x y ∴=. ~BDE CFD ∆∆.BDE ∴∆与CFD ∆的周长之比为13DE x DF y ==. 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质及相似三角形的判定与性质.11．（2022·山西晋中·一模）阅读材料：我们知道：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂直模型”如图①，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，分别过A 、B 向经过点C 直线作垂线，垂足分别为D 、E ，我们很容易发现结论：ADC CEB △≌△．（1）探究问题：如果AC BC ≠，其他条件不变，如图②，可得到结论；ADC CEB △∽△．请你说明理由．（2）学以致用：如图③，在平面直角坐标系中，直线12y x =与直线CD 交于点()2,1M ，且两直线夹角为α，且3tan 2α=，请你求出直线CD 的解析式．（3）拓展应用：如图④，在矩形ABCD中，3AB=，5BC=，点E为BC边上—个动点，连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转90︒，点A落在点P处，当点P在矩形ABCD外部时，连接PC，PD．若DPC△为直角三角形时，请你探究并直接写出BE的长．415NF OF NO△△ADC=90°，△△ADC+△PDC=180°，△A 、D 、P 共线，90△△ABE△△EFP12．（2022·山东青岛·九年级期中）【模型引入】我们在全等学习中所总结的“一线三等角、K型全等”这一基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想，从而借助已有经验，迅速解决问题．【模型探究】如图，正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF△AE，交直线CB于点F．（1）如图1，若点F在线段BC上，写出EA与EF的数量关系并加以证明；（2）如图2，若点F在线段CB的延长线上，请直接写出线段BC，BE和BF的数量关系．【模型应用】（3）如图3，正方形ABCD中，AB＝4，E为CD上一动点，连接AE交BD于F，过F作FH△AE于F，过H作HG△BD于G．则下列结论：①AF＝FH；②△HAE＝45°；③BD＝2FG；④△CEH的周长为8．正确的结论有个．（4）如图4，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，连接AE，过点E作EF△AE，交线段BC于点F，交线段AC于点M，连接AF交线段BD于点H．给出下列四个结论，①AE＝EF；＝CF；③S△AEM＝S△MCF；④BE＝DE；正确的结论有个．【模型变式】（5）如图5，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN△DM，垂足为M，交△CBE的平分线与点N，求证：MD＝MN（6）如图6，在上一问的条件下，连接DN交BC于点F，连接FM，则△FMN和△NMB之间有怎样的数量关系？请给出证明．【拓展延伸】（7）已知△MON＝90°，点A是射线ON上的一个定点，点B是射线OM上的一个动点，且满足OB＞OA．点C在线段OA的延长线上，且AC＝OB．如图7，在线段BO 上截取BE，使BE＝OA，连接CE．若△OBA+△OCE＝β，当点B在射线OM上运动时，β的大小是否会发生变化？如果不变，请求出这个定值；如果变化，请说明理由．（8）如图8，正方形ABCD中，AD＝6，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF△ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF 于点N，若点F是AB边的中点，则△EDM的面积是．。
高中数学平面图形相似与全等证明技巧
高中数学平面图形相似与全等证明技巧在高中数学学习中，平面图形的相似与全等是一个重要的内容。
相似与全等的证明是数学中的一种基本技巧，它不仅能够帮助我们深入理解图形的性质，还能够培养我们的逻辑思维能力和证明能力。
下面，我将通过几个具体的例题，来介绍一些平面图形相似与全等的证明技巧。
首先，我们来看一个相似三角形的证明题。
已知△ABC与△DEF相似，且AB=6，BC=8，AC=10，DE=9，EF=12，求DF的长度。
解析：首先，我们可以利用相似三角形的性质，得到AB/DE=BC/EF=AC/DF。
根据已知条件，我们可以得到6/9=8/12=10/DF。
通过简单的计算，我们可以得到DF=15。
因此，DF的长度为15。
这个题目的考点是相似三角形的性质以及比例关系的运用。
在解决这类问题时，我们需要注意两个三角形之间的对应边的比例关系，并利用已知条件来求解未知量。
接下来，我们来看一个全等三角形的证明题。
已知△ABC与△DEF全等，且AB=6，BC=8，AC=10，求EF的长度。
解析：根据全等三角形的性质，我们可以得到△ABC与△DEF的对应边相等，即AB=DE，BC=EF，AC=DF。
根据已知条件，我们可以得到AB=6，BC=8，AC=10。
因此，EF的长度等于BC，即EF=8。
这个题目的考点是全等三角形的性质以及对应边的相等关系。
在解决这类问题时，我们需要利用已知条件来判断三角形是否全等，并利用全等三角形的性质来求解未知量。
除了相似与全等三角形的证明，平面图形的相似与全等还可以应用到其他类型的题目中。
例如，我们可以利用相似三角形的性质来证明平行线之间的比例关系，或者利用全等三角形的性质来证明线段之间的相等关系。
总之，平面图形的相似与全等证明是高中数学中的一个重要内容。
通过学习相似与全等的性质和证明技巧，我们可以更好地理解图形的性质，并能够灵活运用这些知识解决实际问题。
在解题过程中，我们需要注意对应边的比例关系和相等关系，并合理运用已知条件来求解未知量。
判断平面几何图形的相似性与全等性
相似性与全等性的联系
相似性描述形状，全等性描述 大小和形状
相似性不涉及大小，只关注形 状上的相似程度
全等性要求两个图形在大小和 形状上都完全相同
相似性和全等性都是几何图形 的重要性质，在数学和实际应 用中有广泛的应用
相似性与全等性的区别
定义不同：相似性是指两个图形形状相同，大小可以不同；全等性是指两个图形完全相同， 大小和形状都相同。
性质不同：相似性只要求形状相同，不要求大小相等；全等性则要求大小和形状都相等。
判定方法不同：相似性可以通过比较对应角和对应边的比例来判定；全等性则需要满足一定 的条件，如SAS、SSS、ASA等。
应用范围不同：相似性在几何、代数、三角函数等领域都有广泛应用；全等性主要应用于几 何证明等领域。
相似性与全等性的转换关系
XX,a click to unlimited possibilities
汇报人：XX
目录
相似图形是形状相同但大小可以不 同的平面图形。
相似图形的定义
相似三角形的判定定理：两角对应相 等，两三角形相似；两边对应成比例 且夹角相等，两三角形相似；三边对 应成比例，两三角形相似。
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全等图形是指两个能够完全重 合的图形
全等图形的对应边相等且对应 角相等
全等图形可以通过平移、旋转 或翻转等方式得到
全等图形在几何学中有着广泛 的应用
全等图形的性质
全等图形能够完全重合 全等图形的对应边相等 全等图形的对应角相等 全等图形可以完全重合在另一个全等图形上
全等图形的判定方法
边边边相等：三边 分别相等的两个三 角形全等
边角边相等：两边 和夹角分别相等的 两个三角形全等
角边角相等：两角 和夹边分别相等的 两个三角形全等
三角形的相似和全等有什么不同？
三角形的相似和全等有什么不同？2023年，数学作为一门重要的学科，依旧是我们生活中不可或缺的一部分。
在这篇文章中，我们将讨论一个基础的数学概念和其在现实生活中的应用——三角形的相似和全等。
三角形是由三条边和三个角构成的平面图形。
在三角形的研究中，相似和全等是两个重要的概念。
那么，它们有何不同？首先，我们来定义这两个概念。
相似是指两个图形的形状相同，但大小不同。
此时，这两个图形的对应边长比相等，并且对应角度也相等。
全等则是指两个图形的形状和大小都完全相同。
此时，这两个图形的所有角度和边长都相等。
那么在现实生活中，相似和全等有什么应用呢？我们来看两个例子。
首先是建筑方面的应用。
三角形在建筑中应用广泛，例如，在建造金字塔、塔楼等形状特殊的建筑物时，需要利用三角形相似原理进行设计。
例如，金字塔的四个侧面都是相等的三角形，这些三角形的形状和角度都相似。
此外，建筑设计师还常常利用半全等三角形的原理，在建筑物中设计出对称的图案和形状。
其次是地图中的应用。
地图是我们日常生活中必不可少的工具之一，而三角形的相似和全等原理也存在着地图制作过程中的应用。
在地图制作时，制图师们需要遵循比例原则，确保地图上的距离与现实生活中的距离相当。
这就需要运用到三角形相似的原理，通过观察地球表面上的三角形，利用三角形的比例关系进行地图的比例缩放。
综上所述，三角形的相似和全等在现实中都有着广泛的应用。
无论是建筑、地图，还是机械制造、科技实验等领域，三角形都是非常重要的基础概念。
掌握了三角形的基础原理和应用，我们才能更好地理解并应用到我们的现实生活中。
冀教版数学八年级上册《13.2 全等图形》说课稿3
冀教版数学八年级上册《13.2 全等图形》说课稿3一. 教材分析冀教版数学八年级上册《13.2 全等图形》这一节的内容是在学生已经掌握了平面图形的性质、图形的相似和比例性质等知识的基础上进行讲解的。
本节内容主要介绍了全等图形的概念、性质和判定方法，以及全等图形在实际问题中的应用。
全等图形是数学中的一个重要概念，它在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
通过学习全等图形，可以培养学生的逻辑思维能力和空间想象力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对平面图形的性质和图形的相似有一定的了解。
但是，对于全等图形的概念和性质，以及如何判定两个图形全等，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，逐步理解和掌握全等图形的概念和性质，以及判定两个图形全等的方法。
同时，全等图形的学习需要一定的空间想象力，因此，在教学过程中，也需要注重培养学生的空间想象力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解全等图形的概念，掌握全等图形的性质和判定方法，能够运用全等图形的性质解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：全等图形的概念、性质和判定方法。
2.教学难点：如何判定两个图形全等，以及如何运用全等图形的性质解决实际问题。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用讲授法、引导发现法、小组合作交流法和多媒体辅助教学法等方法进行教学。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些生活中的实例，如拼图、建筑物的设计等，引导学生思考如何判断两个图形是否完全相同，从而引出全等图形的概念。
2.讲解全等图形的概念和性质：通过几何画板或实物模型，引导学生观察、操作，让学生自己发现全等图形的性质，如面积相等、对应边相等、对应角相等等。
九年级数学：第二十七章“相似”简介
初中数学新课程标准教材数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 )学校：年级：任课教师：数学教案 / 初中数学 / 九年级数学教案编订：XX文讯教育机构第二十七章“相似”简介教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中九年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。
本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。
>课程教材研究所李海东在教科书前面，已经研究图形的全等，也研究了一些图形的变换，如平移、轴对称、旋转等，本章将在前面的基础上进一步研究一种变换──相似。
研究相似变换的性质，相似三角形的判定等，并进一步研究一种特殊的相似变换──位似。
结合一些图形性质的探索、证明等，进一步发展学生的探究能力，培养学生的逻辑思维能力等。
本章共安排三个小节和两个选学内容，教学时间大约需要13课时，具体安排如下（仅供参考）：27.1 图形的相似2课时27.2 相似三角形6课时27.3 位似3课时数学活动小结2课时一、教科书内容和课程学习目标（一）本章知识结构框图本章知识结构如下图所示：（二）教科书内容在前面，我们已经学过了图形的全等和全等三角形的有关知识，也研究了几种图形的全等变换，“全等”是图形间的一种关系，具有这种关系的两个图形叠合在一起，能够完全重合，也就是它们的形状、大小完全相同。
“相似”也是指图形间的一种相互关系，但它与“全等”不同，这两个图形仅仅形状相同，大小不一定相同，其中一个图形可以看成是另一个图形按一定比例放大或缩小而成的，这种变换是相似变换。
当放大或缩小的比例为1时，这两个图形就是全等的，全等是相似的一种特殊情况。
从这个意义上讲，研究相似比研究全等更具有一般性，所以这一章所研究的问题实际上是前面研究图形的全等和一些全等变换基础上的拓广和发展。
在后面，我们还要学习“锐角三角函数”和“投影与视图”的知识，学习这些内容，都要用到相似的知识。
平面几何中的相似与全等练习题
平面几何中的相似与全等练习题在平面几何中，相似和全等是两个重要的概念。
相似指的是形状相同但大小可以不同的图形，而全等则表示形状和大小完全相同的图形。
理解和应用相似与全等的概念对于解决几何问题至关重要。
在本文中，我们将介绍一些相似与全等的练习题，以帮助读者巩固和应用这些概念。
练习一：相似三角形1. 在图中，三角形ABC和三角形DEF相似。
已知AB = 5cm，BC= 8cm，AC = 10cm，以及DE = 7.5cm，求EF的长度。
解析：根据相似三角形的性质，我们知道三角形ABC和三角形DEF对应边的比例应该相等。
因此，我们可以得到以下等式：AB/DE= AC/DF = BC/EF。
将已知的长度代入等式，我们可以解方程得到EF的长度。
2. 在图中，三角形PQR和三角形STU相似。
已知QR = 7cm，PR = 9cm，ST = 5cm，求TU的长度。
解析：同样地，我们可以利用相似三角形的性质，得到QR/ST =PR/TU。
通过代入已知的长度，我们可以得到方程并求解得到TU的长度。
练习二：全等三角形1. 在图中，三角形ABC和三角形DEF全等。
已知AB = 4cm，AC = 5cm，BD = 3cm，以及CE = 4cm，求EF的长度。
解析：由于两个三角形全等，我们知道它们的对应边应该相等。
因此，我们可以得到以下等式：AB = DE，AC = DF，以及BC = EF。
通过代入已知的长度，我们可以解方程得到EF的长度。
2. 在图中，三角形PQR和三角形STU全等。
已知PQ = 6cm，PR = 7cm，QT = 4cm，求RU的长度。
解析：利用全等三角形的性质，我们可以得到相应的等式：PQ = ST，PR = SU，以及QR = TU。
将已知的长度代入等式，我们可以解方程得到RU的长度。
练习三：相似与全等组合问题1. 在图中，ABCD是一个矩形，PQRS是ABCD的一个相似矩形。
已知AB = 6cm，BC = 10cm，PR = 12cm，求RS的长度。
鲁教版数学七年级上册1.2《图形的全等》教学设计
鲁教版数学七年级上册1.2《图形的全等》教学设计一. 教材分析《图形的全等》是鲁教版数学七年级上册第一章第二节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了平面图形的认识、图形的相似等知识的基础上进行讲解的，是对图形的一种重要性质的探究。
全等是一种特殊的相似，它意味着两个图形的形状和大小完全相同，是几何学中的一个核心概念。
这部分内容的教学，旨在让学生理解全等的意义，学会用全等形来描述和分析现实生活中的几何问题。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经初步掌握了图形的认识和相似知识，具备了一定的观察、操作和推理能力。
但全等形的概念较为抽象，学生对其理解和掌握可能存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，采用适当的教学方法，帮助学生理解和掌握全等形的概念。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生了解全等形的概念，学会判断两个图形是否全等，能运用全等形解决一些简单的实际问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、推理等方法，培养学生空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习几何的兴趣，培养学生勇于探索、严谨求实的科学态度。
四. 教学重难点1.教学重点：全等形的概念及其判断方法。
2.教学难点：全等形的判断，特别是如何运用全等形解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实际例子，引导学生发现全等形的应用，激发学生学习兴趣。
2.启发式教学法：在教学中，教师提问引导学生思考，培养学生独立解决问题的能力。
3.合作学习法：学生分组讨论，共同探究全等形的判断方法，提高学生的团队协作能力。
4.实践操作法：让学生动手操作，通过实际操作来加深对全等形概念的理解。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，内容包括全等形的概念、判断方法及实际应用等。
2.教学道具：准备一些实物模型，如几何图形模型、拼图等，用于辅助教学。
3.练习题：准备一些有关全等形的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际生活中的例子，如拼图、建筑设计等，引导学生发现全等形的应用，从而引入本节课的主题。
几何中的相似和全等认识相似和全等的概念
几何中的相似和全等认识相似和全等的概念相似和全等是几何中非常重要的概念，它们在描述物体之间的关系和性质时起到了重要的作用。
相似和全等都属于比较和判断物体形状和大小的方法，通过对它们的认识和应用，我们可以更好地理解和解决几何问题。
一、相似形的认识相似形是指形状相似但大小不一样的几何图形。
在相似形中，各对应角度相等，对应边长成比例关系。
用数学的语言描述相似形时，常常使用符号“~”表示，即两个图形A和图形B相似可以表示为A~B。
对于相似形而言，其中一个形状可以通过一定的比例因子和变换关系得到另一个形状。
也就是说，如果两个形状的对应边长之比相等，同时对应角度相等，那么它们就是相似的。
在现实生活中，例如地图的缩小比例尺就是一个相似形的应用。
当我们从一张地图放大或缩小一定比例后，地图上的各个地点的相对位置和角度关系会保持不变。
二、相似形的应用相似形在建筑、工程、地理测量等领域中有广泛的应用。
例如在建筑设计中，我们可以通过相似形来确定楼房的高度、长度和角度等，从而保证设计的合理性和稳定性。
此外，在地理测量中我们也可以利用相似形原理进行间接测量。
通过测量一个远处的高大建筑物的影子长度和所在位置的角度，再结合相似形的定理，我们可以计算出地球的半径，这在地理学和地球科学研究中具有重要的意义。
三、全等形的认识全等形是指形状和大小完全相等的几何图形。
对于全等形而言，它们的对应边长和对应角度均相等。
全等形之间可以通过平移、旋转、翻转等刚体变换得到。
在数学中，全等形的表示方式是通过使用符号“≌”表示，即两个图形A和图形B全等可以表示为A≌B。
四、全等形的应用全等形在几何学中有着广泛的应用。
例如，在建筑工程中，我们常常通过构造一模一样的木样来制作模板，以确保建筑物的各个部分尺寸相等，从而保证施工的精度和准确性。
此外，全等形在地图绘制、制图和印刷等方面也有重要作用。
通过全等形的认识与应用，我们可以准确地将现实世界的三维空间转化为二维平面上的地图，使得地理信息更加直观和易于理解。
初中数学题型方法全归纳 彭林
初中数学题型方法全归纳一、整数的加减乘除1. 加法整数的加法是指两个整数相加的运算，要求掌握加法的竖式计算方法和换位加法的规则。
2. 减法整数的减法是指一个整数减去另一个整数的运算，要求掌握减法的竖式计算方法和借位减法的规则。
3. 乘法整数的乘法是指两个整数相乘的运算，要求掌握乘法的竖式计算方法和乘法交换律的应用。
4. 除法整数的除法是指一个整数除以另一个整数的运算，要求掌握除法的竖式计算方法和取商、余数的规则。
二、分数与小数1. 分数的加减分数的加减是指两个分数相加减的运算，要求掌握通分、通分后加减法的规则。
2. 分数与整数的加减分数与整数的加减是指一个分数与一个整数相加减的运算，要求掌握将整数化成分数、通分后加减法的规则。
3. 分数的乘除分数的乘除是指两个分数相乘除的运算，要求掌握分数的乘法、除法和化简分数的方法。
4. 小数的加减乘除小数的加减乘除是指两个小数相加减乘除的运算，要求掌握小数加减乘除的运算规则和小数的进位和借位。
三、代数式1. 代数式的加减代数式的加减是指两个代数式相加减的运算，要求掌握同类项的合并和整理代数式的方法。
2. 代数式的乘除代数式的乘除是指两个代数式相乘除的运算，要求掌握代数式的乘法、除法和开括号的方法。
3. 代数式的值代数式的值是指给定未知数的值，求出代数式的结果，要求掌握代数式的值的计算方法和应用。
四、方程与不等式1. 一元一次方程一元一次方程是指一个未知数的一次方程，要求掌握方程的解法和应用。
2. 一元一次不等式一元一次不等式是指一个未知数的一次不等式，要求掌握不等式的解法和应用。
3. 二元一次方程二元一次方程是指两个未知数的一次方程，要求掌握方程的解法和应用。
五、几何1. 平面图形的面积平面图形的面积是指各种平面图形的面积计算，要求掌握正方形、长方形、三角形、梯形、圆的面积公式和计算方法。
2. 空间图形的体积空间图形的体积是指各种立体图形的体积计算，要求掌握立方体、长方体、圆柱体、圆锥体、圆球体的体积公式和计算方法。
空间几何中的全等
空间几何中的全等在空间几何中，全等是一个基本的概念。
全等指的是两个或多个几何图形在形状和大小上完全相同。
在这篇文章中，我们将深入探讨空间几何中全等的性质、判定方法以及它们在实际生活中的应用。
一、全等的性质在空间几何中，全等的性质与平面几何中的全等相似。
具体来说，两个几何体全等的条件是它们对应的边长相等，对应的角度相等。
不仅如此，在空间几何中，还需考虑到它们的位置关系。
全等的性质可以总结为以下几个方面：1. 边长相等：两个全等几何体的对应边长是相等的。
例如，如果两个三角形的三边分别相等，那么它们是全等的。
2. 角度相等：两个全等几何体的对应角度是相等的。
例如，如果两个三角形的三个内角分别相等，那么它们是全等的。
3. 对应线段相等：两个全等几何体的对应线段相等。
例如，如果两个四边形的对角线分别相等，那么它们是全等的。
4. 位置关系：两个全等几何体的相对位置和旋转角度相同。
换句话说，只有通过平移、旋转和翻转操作，我们才能使一个几何体与另一个几何体重合。
二、全等的判定方法在空间几何中，我们有多种方法来判定是否存在全等关系。
1. SSS判定法：如果两个三角形的三边分别相等，则它们是全等的。
这是最基本的全等判定方法之一。
2. SAS判定法：如果两个三角形的两边和夹角分别相等，则它们是全等的。
这个方法相对更容易应用，因为我们可以凭借角度和一边来判断全等关系。
3. ASA判定法：如果两个三角形的一边和两个夹角分别相等，则它们是全等的。
与SAS判定法类似，在给定一边和两个夹角的情况下，我们可以判断三角形是否全等。
4. RHS判定法：如果两个直角三角形的斜边和一个锐角分别相等，则它们是全等的。
这个方法有效地利用了直角三角形特有的性质。
通过上述的判定方法，我们可以在空间几何中准确地判断出两个几何体是否全等。
三、全等在实际生活中的应用全等在实际生活中有着广泛的应用。
以下是其中的几个例子：1. 建筑设计：在建筑设计中，全等的概念被用来确保建筑物的对称性和平衡性。
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第八章 平面图形的全等与相似章节测试题
一 选择题
1 下列说法中正确的是（ ）
A 面积相等的两个图形是全等图形
B 周长相等的两个图形是全等图形
C 所有正方形都是全等图形
D 能够完全重合的两个图形是全等图形 2 如图△AB C ≌△DEF,AC ∥DF,则∠C 的对应角为（ ） A ∠F B ∠EAC C ∠AEF D ∠D 3如图：在△ABC 中,若D
E ∥BC,
AD DB =1
2
,DE=4cm,则BC 的长为（ ） A.8cm B.12cm C.11cm D.10cm 4如图：点D 在△ABC 的边AB 上，连接CD ，下列
条件：○
1B ACD ∠=∠ ○2ACB ADC ∠=∠○3AB AD AC ⋅=2 ○
4BC AC CD AB ⋅=⋅,其中能判定△ACD ∽△ABC 的共有（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
5 如图所示，已知AB=AC,AD=AE,欲说明△ABD ≌△ACE,需补充的条件是（ ）
A ∠B= ∠C
B ∠
D= ∠E C ∠1=∠2 D ∠CAD=∠DAC 6（2011•绵阳）王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（ ） A 、0根 B 、1根 C 、2根 D 、3根 7全等和对称的关系为（ ）
A 、全等必对称
B 、对称必全等
C 、全等一定对称
D 、对称不一定全等 8 下列说法中：①如果两个三角形可以依据“AAS ”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA ”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；③要判断两个三角形全等，给出的条件中至少要有一对边对应相等．正确的是（ ）A 、①和② B 、②和③ C 、①和③ D 、①②③
9在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（ ）A 4.8米 B 6.4米 C 9.6米 D 10米
E A D B C 3题图
A
B D
C 4题图 E A B
C F
D 2题图 A
E
D C B 2
1
第7
题
10如图,已知:△ABE ≌△ACD,∠1=∠2,∠B=∠C,不正确的等式是 （ ） A 、AB=AC B 、∠BAE=∠CAD C 、BE=DC D 、AD=DE 11 如图，在△ABC 中，DE ∥BC,
2
1
=BC AD ,则下列结论中正确的是（ ） A
21=BC DE B 31=BC DE C 21=∆∆的周长的周长ABC ADE D 2
1
=∆∆的面积的面积ABC ADE 12 一个△ABC 的面积被平行于它的一边的两条线段三等分，如果BC=12cm ，则这两条线段中较短的一条是（ ） A 8cm B 6cm C 34cm D 46cm
二 填空题
1 能够______的两个图形称为全等图形．全等图形的_____和____都相同．
2木工师傅在做完门框后，为了防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条
（即图中AB 、CD 两个木条），这样做根据的数学道理是 ________________。
3 、如图：C A E D A B
∠=∠,请补充一个条件： ，使△ABC ∽△ADE 。
4 △ABC 中，∠C=90°CD ⊥AB 于点D ，若AD=6，BD=2，则AB 长为______。
5 两个相似的五边形，一个各边长分别为1、2、3、4、5，另一个最大的边长为8，则后一个五边形的周长为___________
6 如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°把△ADC 沿AD 对折，点C 落
在点C '的位置，则BC y C B 与'之间的数量关系是___________
7如图，ΔABC 与ΔADB 中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm ，AB=4cm ，如果图中的两个直角三角形相似，则AD 的长为____ 。
8 如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网5
米的位置上，则球拍球的高度h 应为_______
A
D
E C
B
A
B C C ′
三 解答题
1 如图，AB ∥DE,且AB=DE,
（1）请你只添加一个条件，使△ABC ≌DEF,你的添加条件是
________________。
（2）添加的条件后，说明△ABC ≌DEF
2 如图 AB ∥CD,BE ⊥AC,DF ⊥AC,垂足分别是点E 、F ，如果AF=CE ，DF=6厘米，求BE 的长。
3 如图，梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠B=90°，E 为BC 上一点，且AE ⊥ED ，若BC=12，DC=7，BE:EC=1:2,求AB 的长。
B A D
C F A B C E
F D A
B C D E
4 如图所示，AB=AC,AD=AE,AB,DC 相交于点M ，AC,BE 相交于点N ， ∠DAB=∠EAC ，试说明：△ADM ≌△AEN 。
5 如图△ ABC 是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边BC 上的高，BC=40cm ，AD=30cm ，从这张硬纸片上剪下一个长是宽2倍的矩形EFGH ，使它的一边EF 在BC 上，顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，AD 与HG 的交点为M 。
（1）试说明：BC
HG
AD AM （2）求这个矩形EFGH 的周长
B
C
A
D G
F
H
A
D B E
N M。