第三节 函数的奇偶性及周期性
2.3函数的奇偶性周期性1
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数。
11.(全国高考题)下列函数中，既是偶函数又
在 (0,+ ∞)单调递增的函数是( B )
A．y x3 B．y | x | 1 C．y x2 1 D．y 2|x|
12.【安徽】下列函数中，既是偶函数又存在零
点的是（ D ）
f (x)
2 sin(x ) 2x2 x
4
的最大值为M，最小
2x2 cosx
值为m，则M+m= . 2
考点、题型
考点三 利用函数奇偶性求函数的表达式
xa
1. 已知函数f(x)= 则f(x)= x
1 x2
.1
x2 是定义在R上的奇函数， 法一:(定义法)；法二:[f(0)=0]
(A)y=lnx (B) y=x2+1 (C) y=sinx (D)y=cosx
考点、题型
考点二 函数奇偶性的应用
1. （重庆高考）若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实
数a= 4 .
2. 【小题快练1】(必修1P39T6改编)已知函数f(x)
是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)= x2 1，
偶函数；
(5)幂函数y=xα：α为奇数时，幂函数y=xα为奇 函数， α为偶数时，幂函数y=xα为偶函数；
知识梳理
3. 基本初等函数奇偶性 (6) y=sinx是奇函数； (7) y=cosx是偶函数； (8) y=tanx是奇函数； 4. 判断函数奇偶性的方法
(1) 定义法：①先求定义域，②计算f(-x),③判 断f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x),④下结论 (2) 图像法 (3) 性质法(常用结论)
函数的奇偶性及周期性
函数的奇偶性及周期性1．函数的奇偶性(1)周期函数对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．[小题体验]1．下列函数中为偶函数的是()A．y＝x2sin x B．y＝x2cos xC．y＝|ln x|D．y＝2－x答案：B2．若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(8)－f(14)＝________.答案：－13．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x<0时，f(x)＝________.答案：x(1－x)1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)．3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．[小题纠偏]1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13B.13C.12D ．－12解析：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.2．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________. 解析：由题意得，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4×⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 答案：1考点一 函数奇偶性的判断(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3－2x ＋2x －3； (3)f (x )＝3x －3－x ；(4)(易错题)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3；(5)(易错题)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x >0，x 2－x ，x <0.解：(1)∵由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1≥0，1－x 2≥0，得x ＝±1，∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0，即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)∵函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫32，不关于坐标原点对称，∴函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数． (3)∵f (x )的定义域为R ，∴f (－x )＝3－x －3x ＝－(3x －3－x )＝－f (x )， 所以f (x )为奇函数．(4)∵由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]， ∴f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2(x ＋3)－3＝4－x 2x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(5)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x >0时，f (x ) ＝x 2＋x ，则当x <0时，－x >0， 故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2－x ，则当x >0时，－x <0， 故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．[谨记通法]判定函数奇偶性的3种常用方法(1)定义法：(2)图象法：(3)性质法：①设f (x )，g (x )的定义域分别是 D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．[提醒](1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的．(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．如“题组练透”第(5)题．考点二函数的周期性(题点多变型考点——纵引横联)[典型母题]设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求函数的最小正周期；(2)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)．[解](1)∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)的最小正周期为4.(2)f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.又∵f(x)是周期为4的周期函数，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0，∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝0.[类题通法]1．判断函数周期性的2个方法(1)定义法．(2)图象法．2．周期性3个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a.(a>0)[越变越明][变式1] 若母题中条件变为“f (x ＋2)＝－1f (x )”，求函数f (x )的最小正周期． 解：∵对任意x ∈R ，都有f (x ＋2)＝－1f (x )， ∴f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )，∴f (x )的最小正周期为4.[变式2] 若母题条件改为：定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)的值．解：∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6. ∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2； 当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝f (7)＋f (8)＋…＋f (12) ＝…＝f (2 005)＋f (2 006)＋…＋f (2 010)＝1， ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 010)＝1×2 0106＝335.而f (2 011)＋f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015) ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝1＋2－1＋0－1＝1. ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝335＋1＝336.[变式3] 在母题条件下，求f (x )(x ∈[2,4])的解析式． 解：当x ∈[－2,0]时，－x ∈[0,2]，由已知得f (－x )＝2(－x )－(－x )2＝－2x －x 2， 又f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝－2x －x 2.∴f(x)＝x2＋2x.又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.故x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.考点三函数性质的综合应用(常考常新型考点——多角探明)[命题分析]函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求函数值为主．多以选择题、填空题形式出现．常见的命题角度有：(1)奇偶性的应用；(2)单调性与奇偶性结合；(3)周期性与奇偶性结合；(4)单调性、奇偶性与周期性结合．[题点全练]角度一：奇偶性的应用1．已知f(x)是R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x－1，则当x<0时，f(x)＝________.解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴当x<0时，－x>0.由已知f(－x)＝(－x)2－(－x)－1＝x2＋x－1＝f(x)，∴f(x)＝x2＋x－1.答案：x2＋x－12．设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)x为奇函数，则a＝________.解析：∵f(x)＝(x＋1)(x＋a)x为奇函数，∴f(1)＋f(－1)＝0，即(1＋1)(1＋a)1＋(－1＋1)(－1＋a)－1＝0，∴a＝－1.答案：－1角度二：单调性与奇偶性结合3．下列函数中，在其定义域内既是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的函数是() A．f(x)＝x2B．f(x)＝2|x|C．f(x)＝log21|x|D．f(x)＝sin x解析：选C函数f(x)＝x2是偶函数，但在区间(－∞，0)上单调递减，不合题意；函数f(x)＝2|x|是偶函数，但在区间(－∞，0)上单调递减，不合题意；函数f(x)＝log21|x|是偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，符合题意；函数f(x)＝sin x是奇函数，不合题意．4．已知定义在(－1,1)上的奇函数f(x)，其导函数为f′(x)＝1＋cos x，如果f(1－a)＋f(1－a2)<0，则实数a的取值范围为()A．(0,1)B．(1，2)C．(－2，－2)D．(1，2)∪(－2，－1)解析：选B依题意得，f′(x)>0，则f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数、增函数．不等式f(1－a)＋f(1－a2)<0等价于f(1－a2)<－f(1－a)＝f(a－1)，则－1<1－a2<a－1<1，由此解得1<a< 2.角度三：周期性与奇偶性结合5．已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)＝2a－3a＋1，则实数a的取值范围为()A．(－1,4)B．(－2,0)C．(－1,0)D．(－1,2)解：选A∵f(x)是定义在R上的周期为3的偶函数，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)＜1，f(5)＝2a－3a＋1，∴2a－3a＋1＜1，即a－4a＋1＜0，解得－1＜a＜4.角度四：单调性、奇偶性与周期性结合6．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则()A．f(－25)<f(11)<f(80)B．f(80)<f(11)<f(－25)C．f(11)<f(80)<f(－25)D．f(－25)<f(80)<f(11)解析：选D 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)． 因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， 所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．[方法归纳]函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．下列函数为奇函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝e x C ．y ＝cos xD ．y ＝e x －e －x解析：选D 对于A ，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B ，f (－x )≠－f (x )，故不符合要求；对于C ，满足f (－x )＝f (x )，故不符合要求；对于D ，∵f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，∴y ＝e x －e－x为奇函数，故选D.2．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝( ) A.17 B ．－1 C ．1D ．7解析：选A 因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又f (x )为偶函数，所以3a (－x )2－bx －5a ＋b ＝3ax 2＋bx －5a ＋b ，解得b ＝0，所以a ＋b ＝17.3．设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝( ) A ．－12B.12C ．2D ．－2解析：选B因为函数f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)＝log22＝1 2.4．函数f(x)＝lg|sin x|是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为2π的偶函数解析：选C∵f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|sin x|，∴函数f(x)为偶函数．∵f(x＋π)＝lg|sin(x＋π)|＝lg|sin x|，∴函数f(x)的周期为π.5．函数f(x)在R上为奇函数，且x>0时，f(x)＝x＋1，则当x<0时，f(x)＝________.解析：∵f(x)为奇函数，x>0时，f(x)＝x＋1，∴当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，即x<0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1.答案：－－x－1二保高考，全练题型做到高考达标1．下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是()A．y＝－1x B．y＝log2|x|C．y＝1－x2D．y＝x3－1解析：选C函数y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项A的函数为奇函数，不符合要求；选项B的函数是偶函数，但其单调性不符合；选项D的函数为非奇非偶函数，不符合要求；只有选项C符合要求．2．已知f(x)，g(x)是定义在R上的函数，h(x)＝f(x)·g(x)，则“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件解析：选B一方面，若f(x)，g(x)均为偶函数，则f(－x)＝f(x)，g(－x)＝g(x)，因此，h(－x)＝f(－x)g(－x)＝f(x)g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数；另一方面，若h(x)是偶函数，但f(x)，g(x)不一定均为偶函数，事实上，若f(x)，g(x)均为奇函数，h(x)也是偶函数，因此，“f(x)，g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的充分不必要条件．3．已知函数f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，若对于任意的实数x≥0，都有f(x ＋2)＝f(x)，且当x∈[0,2)时f(x)＝log2(x＋1)，则f(－2 013)＋f(2 014)的值为() A．－1B．－2C ．2D ．1解析：选A 因为f (x )是奇函数，且周期为2，所以f (－2 013)＋f (2 014)＝－f (2 013)＋f (2 014)＝－f (1)＋f (0)．又当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，所以f (－2 013)＋f (2 014)＝－1＋0＝－1.4．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －2)＝－f (x )，且在[0,1]上是增函数，则有( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫32 B ．f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫32 C ．f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫－14 D ．f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫14解析：选B 由题设知f (x )＝－f (x －2)＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又函数f (x )是奇函数，其图象关于坐标原点对称，由于函数f (x )在[0,1]上是增函数，故f (x )在[－1,0]上也是增函数， 综上函数f (x )在[－1,1]上是增函数，在[1,3]上是减函数． 又f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－32＝f ⎝⎛⎭⎫12， 所以f ⎝⎛⎭⎫－14<f ⎝⎛⎭⎫14<f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32. 5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：选C ∵f (x )是奇函数，∴当x ＜0时，f (x )＝－x 2＋2x .作出函数f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)＞f (a )，得2－a 2＞a ，解得－2＜a ＜1.6．定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，则满足f (x )>0的x 的集合为________．解析：由奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且 f ⎝⎛⎭⎫12＝0，得函数y ＝f (x )在(－∞，0)上递增，且f ⎝⎛⎭⎫－12＝0，∴f (x )>0时，x >12或－12<x <0. 即满足f (x )>0的x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ －12<x <0或x >12. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <0或x >12 7．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是______________．解析：在f (x )－g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x ，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此得－f (x )－g (x )＝2x .联立方程组解得f (x )＝2－x －2x 2，g (x )＝－2－x ＋2x 2， 于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54， 故f (1)>g (0)>g (－1)．答案：f (1)>g (0)>g (－1)8．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 解析：依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12 ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20－1 ＝ 2. 答案：29．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积.解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数．∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝⎛⎭⎫12×2×1＝4. 10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数． (1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1， 所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－∞，1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(－2,1)解析：选D 设x >0，则－x <0.∵x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，∴g (－x )＝－ln(1＋x )．又∵g (x )是奇函数，∴g (x )＝ln(1＋x )(x >0)， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0.其图象如图所示．由图象知，函数f (x )在R 上是增函数． ∵f (2－x 2)>f (x )，∴2－x 2>x ，即－2<x <1.所以实数x 的取值范围是(－2,1)．2．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2, 且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围． 解：(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x－1|<16，解之得－15<x<17且x≠1.∴x的取值范围是(－15,1)∪(1,17)．。
(完整版)函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性1．函数的奇偶性奇函数偶函数定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数图象特征关于原点对称关于y轴对称2.函数的周期性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.(√)(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√)(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√)(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√)(6)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a＞0)的周期函数．(√)(7)函数f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×)(8)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)(9)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(√)(10)若某函数的图象关于y轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√)考点一判断函数的奇偶性命题点用函数奇偶性定义判断[例1] (1)下列函数为奇函数的是( )A ．y ＝xB ．y ＝e xC ．y ＝cos xD ．x x e e y --= 解析：对于A ，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B ，f (－x )≠－f (x )，故不符合要求；对于C ，满足f (－x )＝f (x )，故不符合要求；对于D ， ∵f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，∴y ＝e x －e －x 为奇函数，故选D. 答案：D(2)下列函数中为偶函数的是( )A ．y ＝1x B ．y ＝lg|x | C ．y ＝(x －1)2 D ．y ＝2x解析：根据奇、偶函数的定义，可得A 是奇函数，B 是偶函数，C ，D 为非奇非偶函数． 答案：B(3)函数f (x )＝3－x 2＋x 2－3，则( )A ．不具有奇偶性B ．只是奇函数C ．只是偶函数D ．既是奇函数又是偶函数 解析：由⎩⎨⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x ＝－3或x ＝ 3.∴函数f (x )的定义域为{－3，3}．∵对任意的x ∈{－3，3}，－x ∈{－3，3}，且f (－x )＝－f (x )＝f (x )＝0，∴f (x )既是奇函数，又是偶函数． 答案：D[方法引航] 判断函数的奇偶性的三种重要方法 (1)定义法：(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y 轴)对称． (3)性质法：①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．判断下列函数的奇偶性(1)f(x)＝(x＋1) 1－x1＋x；(2)f(x)＝lg1－x1＋x.解：(1)要使函数有意义，则1－x1＋x≥0，解得－1＜x≤1，显然f(x)的定义域不关于原点对称，∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)由1－x1＋x＞0⇒－1＜x＜1，定义域关于原点对称．又f(－x)＝lg 1＋x1－x＝lg1)11(-+-xx＝－lg1－x1＋x＝－f(x)，f(－x)≠f(x)．故原函数是奇函数．考点二函数的周期性及应用命题点1.周期性的简单判断2.利用周期性求函数值[例2](1)下列函数不是周期函数的是()A．y＝sin x B．y＝|sin x| C．y＝sin|x| D．y＝sin(x＋1)解析：y＝sin x与y＝sin(x＋1)的周期T＝2π，B的周期T＝π，C项y＝sin|x|是偶函数，x∈(0，＋∞)与x∈(－∞，0)图象不重复，无周期．答案：C(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x≥0，都有f(x＋2)＝－1f(x)，且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，则求f(－2 017)＋f(2 019)的值为________．解析：当x≥0时，f(x＋2)＝－1f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，即4是f(x)(x≥0)的一个周期．∴f(－2 017)＝f(2 017)＝f(1)＝log22＝1，f(2 019)＝f(3)＝－1f(1)＝－1，∴f(－2 017)＋f(2 019)＝0.答案：0[方法引航](1)利用周期f(x＋T)＝f(x)将不在解析式范围之内的x通过周期变换转化到解析式范围之内，以方便代入解析式求值．(2)判断函数周期性的几个常用结论．①f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)为周期函数，周期T＝2|a|.②f(x＋a)＝1f(x)(a≠0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；③f(x＋a)＝－1f(x)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期．1．若将本例(2)中“f(x＋2)＝－1f(x)”变为“f(x＋2)＝－f(x)”，则f(－2 017)＋f(2 019)＝________.解析：由f(x＋2)＝－f(x)可知T＝4∴f(－2 017)＝1，f(2 019)＝－1，∴f(－2 017)＋f(2 019)＝0. 答案：02．若本例(2)条件变为f(x)对于x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)且当x∈[0,2)时，f(x)＝log2(x＋1)，求f(－2 017)＋f(2 019)的值．解：由f(x＋2)＝f(x)，∴T＝2∴f(2 019)＝f(1)＝log22＝1，f(－2 017)＝f(2 017)＝f(1)＝1，∴f(－2 017)＋f(2 019)＝2.考点三函数奇偶性的综合应用命题点1.已知奇偶性求参数2.利用奇偶性、单调性求解不等式3.利用奇偶性求解析式或函数值[例3](1)若函数f(x)＝2x－a是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为() A．(－∞，－1)B．(－1,0) C．(0,1) D．(1，＋∞)解析：因为函数y＝f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即2－x＋12－x－a＝－2x＋12x－a.化简可得a＝1，则2x＋12x－1＞3，即2x＋12x－1－3＞0，即2x＋1－3(2x－1)2x－1＞0，故不等式可化为2x－22x－1＜0，即1＜2x＜2，解得0＜x＜1，故选C. 答案：C(2)函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且)21(f ＝25.①确定函数f (x )的解析式；②用定义证明f (x )在(－1,1)上是增函数； ③解不等式f (t －1)＋f (t )＜0.解：①∵在x ∈(－1,1)上f (x )为奇函数，∴f (0)＝0，即b ＝0，∴f (x )＝ax1＋x 2. 又∵)21(f ＝25，∴a21＋14＝25.解得，a ＝1.∴f (x )＝x 1＋x 2，经检验适合题意． ②证明：由f ′(x )＝1＋x 2－2x 2(1＋x 2)2＝1－x 2(1＋x 2)2.x ∈(－1,1)时，1－x 2＞0，∴f ′(x )＞0 ∴f (x )在(－1,1)上为增函数．③由f (t －1)＋f (t )＜0，得f (t －1)＜－f (t )，即f (t －1)＜f (－t )．∴⎩⎨⎧－1＜t －1＜1－1＜－t ＜1t －1＜－t得0＜t ＜12.(3)已知f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln(1＋x )，则当x ＜0时，f (x )＝( ) A ．－x 3－ln(1－x ) B ．x 3＋ln(1－x ) C ．x 3－ln(1－x ) D ．－x 3＋ln(1－x ) 解析：当x ＜0时，－x ＞0，f (－x )＝(－x )3＋ln(1－x )，∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x ＜0时， f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )3＋ln(1－x )]＝x 3－ln(1－x )． 答案：C[方法引航] (1)根据奇偶性求解析式中的参数，是利用f (－x )＝－f (x )或f (－x )＝f (x )在定义域内恒成立，建立参数关系.(2)根据奇偶性求解析式或解不等式，是利用奇偶性定义进行转化.1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________． 解析：a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.f (x )＝ax 2＋bx 为偶函数，则b ＝0，∴a ＋b ＝13. 答案：132．定义在R 上的偶函数y ＝f (x )在[0，＋∞)上递减，且)21(f ＝0，则满足f (x )＜0的x 的集合为( )A.),2()21,(+∞⋃-∞∪(2，＋∞)B.)1,21(∪(1,2)C.)21,0(∪(2，＋∞)D.)1,21(∪(2，＋∞)解析：选C.由题意可得f ＝f＜0＝)21(f ，又f (x )在[0，＋∞)上递减，所以＞12，即x ＞12或x ＜－12，解得0＜x ＜12或x ＞2，所以满足不等式f＜0的x 的集合为)21,0(∪(2，＋∞)．3．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x ＋1，则)21()21(-+f f 的值为( )A ．2B ．－2C ．0D ．2log 213 解析：选A.由题意知，f (x )－1＝－x ＋log 21－x 1＋x ，f (－x )－1＝x ＋log 21＋x 1－x ＝x －log 21－x1＋x＝－(f (x )－1)，所以f (x )－1为奇函数，则)21(f －1＋)21(-f －1＝0，所以)21()21(-+f f ＝2.[方法探究]“多法并举”解决抽象函数性质问题[典例] (2017·山东泰安模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f (x ＋2)＝－f (x )且f (x )在[－1,0]上是增函数，给出下列四个命题：①f (x )是周期函数；②f (x )的图象关于x ＝1对称；③f (x )在[1,2]上是减函数；④f (2)＝f (0)，其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)．[分析关系] ①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )隐含了用什么结论？什么方法探究？ ②f (x ＋2)＝－f (x )，隐含了什么结论？用什么方法探究．③若f (x )的图象关于x ＝1对称，其解析式具备什么等式关系？从何处理探究？ ④f (x )在[－1,0]上的图象与[1,2]上的图象有什么关系？依据什么指导？ ⑤f (2)，f (0)从何处计算．[解析]第一步：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)对任意x，y∈R恒成立．(赋值法)：令x＝y＝0，∴f(0)＝0.令x＋y＝0，∴y＝－x，∴f(0)＝f(x)＋f(－x)．∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．第二步：∵f(x)在x∈[－1,0]上为增函数，又f(x)为奇函数，∴f(x)在[0,1]上为增函数．第三步：由f(x＋2)＝－f(x)⇒f(x＋4)＝－f(x＋2)⇒f(x＋4)＝f(x)，(代换法)∴周期T＝4，即f(x)为周期函数．第四步：f(x＋2)＝－f(x)⇒f(－x＋2)＝－f(－x)．(代换法)又∵f(x)为奇函数，∴f(2－x)＝f(x)，∴关于x＝1对称．第五步：由f(x)在[0,1]上为增函数，又关于x＝1对称，∴[1,2]上为减函数．(对称法)第六步：由f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)．(赋值法)[答案]①②③④[回顾反思]此题用图象法更直观．[高考真题体验]1．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数解析：选C.由题意可知f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，对于选项A，f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(－x)g(－x)|＝|－f(x)g(x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.2．(2016·高考山东卷)已知函数f (x )的定义域为R .当x ＜0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x ＞12时，)21()21(-=+x f x f .则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2解析：选D.由题意可知，当－1≤x ≤1时，f (x )为奇函数，且当x ＞12时，f (x ＋1)＝f (x )，所以f (6)＝f (5×1＋1)＝f (1)．而f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3－1]＝2，所以f (6)＝2.故选D.3．(2016·高考四川卷)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则)25(-f ＋f (1)＝________.解析：综合运用函数的奇偶性和周期性进行变换求值． ∵f (x )为奇函数，周期为2，∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)，∴f (1)＝0.∵f (x )＝4x ，x ∈(0,1)，∴)25(-f ＝)21()21()225(f f f -=-=+-＝－4⨯12＝－2.∴)25(-f ＋f (1)＝－2.答案：－24．(2015·高考课标全国卷Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：由题意得f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)＝f (－x )＝ －x ln(a ＋x 2－x )，所以a ＋x 2＋x ＝1a ＋x 2－x，解得a ＝1.答案：15．(2014·高考四川卷)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎨⎧－4x 2＋2，－1≤x ＜0，x ， 0≤x ＜1，则)23(f ＝________.解析：由已知易得)21(-f ＝12)21(42=+-⨯-，又由函数的周期为2，可得)23(f ＝)21(-f ＝1. 答案：1课时规范训练 A 组 基础演练1．下列函数中为偶函数的是( )A ．y ＝x 2sin xB ．y ＝x 2cos xC ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x解析：选B.因为y ＝x 2是偶函数，y ＝sin x 是奇函数，y ＝cos x 是偶函数，所以A 选项为奇函数，B 选项为偶函数；C 选项中函数图象是把对数函数y ＝ln x 的图象在x 轴下方部分翻折到x 轴上方，其余部分的图象保持不变，故为非奇非偶函数；D 选项为指数函数y ＝x )21(，是非奇非偶函数．2．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是( )A ．y ＝2|x |B ．y ＝lg(x ＋x 2＋1)C ．x x y -+=22D ．y ＝lg1x ＋1解析：选D.选项D 中函数定义域为(－1，＋∞)，不关于原点对称，故y ＝lg 1x ＋1不是奇函数也不是偶函数，选项A 为偶函数，选项B 为奇函数，选项C 为偶函数．3．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)＝1，f (2)＝2，则f (3)－f (4)等于( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2解析：选A.由f (x )是R 上周期为5的奇函数知f (3)＝f (－2)＝－f (2)＝－2， f (4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1，∴f (3)－f (4)＝－1，故选A.4．已知函数f (x )为奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ，则f (－1)＝( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 解析：选A.当x ＞0时，f (x )＝x 2＋1x ， ∴f (1)＝12＋11＝2.∵f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2.5．设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎨⎧4x 2－2，－2≤x ≤0x ，0＜x ＜1，则)25(f ＝( )A ．0B ．1 C.12 D ．－1解析：选D.因为f (x )是周期为3的周期函数，所以)25(f ＝)21()321(-=+-f f ＝4×2)21(-－2＝－1，故选D.6．函数f (x )对于任意实数x 满足条件f (x ＋2)＝1f (x )，若f (1)＝－5，则f (f (5))＝________. 解析：f (x ＋2)＝1f (x )，∴f (x ＋4)＝1f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (5)＝f (1)＝－5，∴f (f (5))＝f (－5)＝f (3)＝1f (1)＝－15. 答案：－157．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，f (2)＝1，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋3)＝f (x )，则f (2 017)＝________.解析：由f (x ＋3)＝f (x )得函数f (x )的周期T ＝3，则f (2 017)＝f (1)＝f (－2)，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (2 017)＝f (2)＝1. 答案：18．函数f (x )＝e x ＋x (x ∈R )可表示为奇函数h (x )与偶函数g (x )的和，则g (0)＝________. 解析：由题意可知h (x )＋g (x )＝e x ＋x ①，用－x 代替x 得h (－x )＋g (－x )＝e －x －x ，因为h (x )为奇函数，g (x )为偶函数，所以 －h (x )＋g (x )＝x e x -- ②.由(①＋②)÷2得g (x )＝e x ＋e －x 2，所以g (0)＝e 0＋e 02＝1. 答案：19．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式． 解：设x ∈(0，＋∞)，∴－x ∈(－∞，0)，∴f (－x )＝x lg(2＋x )， ∵f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝x lg(2＋x )，∴f (x )＝－x lg(2＋x )． 又∵当x ＝0时，f (0)＝0，适合f (x )＝－x lg(2＋x ) ∴f (x )＝⎩⎨⎧－x lg (2＋x ) x ∈[0，＋∞)－x lg (2－x ) x ∈(－∞，0)10．已知函数f (x )＝x 2＋ax (x ≠0，常数a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在[2，＋∞)上为增函数，求实数a 的取值范围． 解：(1)函数f (x )的定义域为{x |x ≠0}， 当a ＝0时，f (x )＝x 2(x ≠0)，显然为偶函数；当a ≠0时，f (1)＝1＋a ，f (－1)＝1－a ，因此f (1)≠f (－1)，且f (－1)≠－f (1)，所以函数f (x )＝x 2＋a x (x ≠0)既不是奇函数，也不是偶函数．(2)f ′(x )＝2x －a x 2＝2x 3－a x 2，当a ≤0时，f ′(x )＞0，则f (x )在[2，＋∞)上是增函数；当a ＞0时，令f ′(x )＝2x 3－a x 2≥0，解得x ≥32a ，由f (x )在[2，＋∞)上是增函数，可知32a ≤2，解得0＜a ≤16.综上，实数a 的取值范围是(－∞，16]．B 组 能力突破1．若f (x )是定义在R 上的函数，则“f (0)＝0”是“函数f (x )为奇函数”的 ( )A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.f (x )在R 上为奇函数⇒f (0)＝0；f (0)＝0f (x )在R 上为奇函数，如f (x )＝x 2，故选A. 2．已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝x x a a --＋2(a ＞0，且a ≠1)．若g (2)＝a ，则f (2)等于( )A ．2 B.154 C.174 D ．a 2解析：选B.∵f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，∴f (－2)＝－f (2)，g (－2)＝g (2)＝a ，∵f (2)＋g (2)＝a 2－a －2＋2，①∴f (－2)＋g (－2)＝g (2)－f (2)＝a －2－a 2＋2，②由①、②联立，g (2)＝a ＝2，f (2)＝a 2－a －2＝154.3．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)解析：选D.由函数f (x )是奇函数且f (x )在[0,2]上是增函数可以推知，f (x )在[－2,2]上递增，又f (x －4)＝－f (x )⇒f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，故函数f (x )是以8为周期的周期函数．f (－25)＝f (－1)，f (11)＝f (3)＝－f (3－4)＝f (1)，f (80)＝f (0)，故f (－25)＜f (80)＜f (11)．4．定义在R 上的函数f (x )，对任意x 均有f (x )＝f (x ＋2)＋f (x －2)且f (2 016)＝2 016，则f (2 028)＝________.解析：∵x ∈R ，f (x )＝f (x ＋2)＋f (x －2)，∴f (x ＋4)＝f (x ＋2)－f (x )＝－f (x －2)，∴f (x ＋6)＝－f (x )，∴f (x ＋12)＝f (x )，则函数f (x )是以12为周期的函数．又∵f (2 016)＝2 016，∴f (2 028)＝f (2 028－12)＝f (2 016)＝2 016.答案：2 0165．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有)()()(2121x f x f x x f +=⋅．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)＜2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解：(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)＜2⇔f (|x －1|)＜f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0＜|x －1|＜16，解得－15＜x ＜17且x ≠1.∴x 的取值范围是{x |－15＜x ＜17且x ≠1}．。
人教版高一数学必修第三节 函数的奇偶性与周期性
第三节 函数的奇偶性与周期性一、基础知1．函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．若f (x )≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：(1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1⇔f (x )为偶函数；(2)f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝－1⇔f (x )为奇函数．2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．周期函数定义的实质存在一个非零常数T ，使f (x ＋T )＝f (x )为恒等式，即自变量x 每增加一个T 后，函数值就会重复出现一次．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．二、常用结论1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0；如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论 对f (x )定义域内任一自变量x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)． (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．考点一 函数奇偶性的判断[典例] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3；(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0.[解] (1)由f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 36－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－6≤x ≤6，x ≠0且x ≠－6，故函数f (x )的定义域为(－6,0)∪(0,6]，定义域不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0⇒x 2＝1⇒x ＝±1，故函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )＝－f (x )，所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|－2≠0⇒－1<x <0或0<x <1，定义域关于原点对称．此时f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2＝log 2(1－x 2)2－x －2＝－log 2(1－x 2)x ，故有f (－x )＝－log 2[1－(－x )2]－x ＝log 2(1－x 2)x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数． (4)法一：图象法画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0的图象如图所示，图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．法二：定义法易知函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )，故原函数是偶函数．法三：f (x )还可以写成f (x )＝x 2－|x |(x ≠0)，故f (x )为偶函数．[题组训练]1．(2018·福建期末)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 B ．y ＝x 2＋e |x | C ．y ＝x cos xD ．y ＝ln|x |－sin x解析：选B 对于选项A ，易知y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4为非奇非偶函数；对于选项B ，设f (x )＝x 2＋e |x |，则f (－x )＝(－x )2＋e |－x |＝x 2＋e |x |＝f (x )，所以y ＝x 2＋e |x |为偶函数；对于选项C ，设f (x )＝x cos x ，则f (－x )＝－x cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以y ＝x cos x 为奇函数；对于选项D ，设f (x )＝ln|x |－sin x ，则f (2)＝ln 2－sin 2，f (－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f (2)，所以y ＝ln|x |－sin x 为非奇非偶函数，故选B.2．设函数f (x )＝e x －e －x2，则下列结论错误的是( )A ．|f (x )|是偶函数B ．－f (x )是奇函数C ．f (x )|f (x )|是奇函数D ．f (|x |)f (x )是偶函数解析：选D ∵f (x )＝e x －e －x2，则f (－x )＝e －x －e x2＝－f (x )．∴f (x )是奇函数． ∵f (|－x |)＝f (|x |)，∴f (|x |)是偶函数，∴f (|x |)f (x )是奇函数．考点二 函数奇偶性的应用[典例] (1)(2019·福建三明模拟)函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝( )A ．－2xB ．2－xC ．－2－xD ．2x(2)(2018·贵阳摸底考试)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R)是奇函数，则函数f (x )的值域为( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－3,3)D ．(－4,4)[解析] (1)当x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x .∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x .(2)法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．[答案] (1)C (2)A[解题技法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．[题组训练]1．(2019·贵阳检测)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－4解析：选C 根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log 2(6＋2)＝1－3＝－2.2．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________．解析：法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x .又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14. 法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.答案：143．(2018·合肥八中模拟)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)，从而ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0，即ln a ＝0，故a ＝1.答案：1考点三 函数的周期性[典例] (1)(2018·开封期末)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2 019)＝( )A ．5 B.12C ．2D ．－2(2)(2018·江苏高考)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f (f (15))的值为________．[解析] (1)由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2.(2)由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)， 可知函数f (x )的周期是4， 所以f (15)＝f (－1)＝⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12， 所以f (f (15))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝cos π4＝22. [答案] (1)D (2)22[题组训练]1．(2019·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫－112＝________. 解析：∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝f ⎝⎛⎭⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫52＝52，∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝52. 答案：522．(2019·哈尔滨六中期中)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫214＝________. 解析：由题意可得f ⎝⎛⎭⎫214＝f ⎝⎛⎭⎫6－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34＝4×⎝⎛⎭⎫－342－2＝14，f ⎝⎛⎭⎫14＝14.答案：14[课时跟踪检测]A 级1．下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝x 3＋1 B ．f (x )＝ln 1－x1＋xC ．f (x )＝e xD ．f (x )＝x sin x解析：选B 对于A ，f (－x )＝－x 3＋1≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于B ，f (－x )＝ln 1＋x 1－x＝－ln1－x 1＋x＝－f (x )，所以其是奇函数；对于C ，f (－x )＝e －x ≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于D ，f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以其不是奇函数．故选B.2．(2019·南昌联考)函数f (x )＝9x ＋13x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝x 对称解析：选B 因为f (x )＝9x ＋13x ＝3x ＋3－x ，易知f (x )为偶函数，所以函数f (x )的图象关于y轴对称．3．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，则f (－7)＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2解析：选B 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，所以f (－7)＝－f (7)＝－log 2(7＋1)＝－3.4．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( ) A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x ) D.12(e x －e －x )解析：选D 因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x ，所以g (x )＝12(e x －e －x )．5．设f (x )是定义在R 上周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2－x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝( ) A ．－14B ．－12C.14D.12解析：选C 因为f (x )是定义在R 上周期为2的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－52＝－f ⎝⎛⎭⎫52＝－f ⎝⎛⎭⎫12.又当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2－x ，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫122－12＝－14，则f ⎝⎛⎭⎫－52＝14. 6．(2019·益阳、湘潭调研)定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，当x ∈(－3,0]时，f (x )＝－x －1，当x ∈(0,2]时，f (x )＝log 2x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)的值等于( )A ．403B ．405C ．806D ．809解析：选B 定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，即函数f (x )的周期为5.又当x ∈(0,2]时，f (x )＝log 2x ，所以f (1)＝log 21＝0，f (2)＝log 22＝1.当x ∈(－3,0]时，f (x )＝－x －1，所以f (3)＝f (－2)＝1，f (4)＝f (－1)＝0，f (5)＝f (0)＝－1.故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＝403×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)]＋f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＝403×1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405.7．已知函数f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝ln x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2的值为________． 解析：由已知可得f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝ln 1e2＝－2， 所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝f (－2)． 又因为f (x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1e 2＝f (－2)＝f (2)＝ln 2. 答案：ln 28．(2019·惠州调研)已知函数f (x )＝x ＋1x －1，f (a )＝2，则f (－a )＝________.解析：法一：因为f (x )＋1＝x ＋1x ，设g (x )＝f (x )＋1＝x ＋1x ，易判断g (x )＝x ＋1x 为奇函数，故g (x )＋g (－x )＝x ＋1x －x －1x＝0，即f (x )＋1＋f (－x )＋1＝0，故f (x )＋f (－x )＝－2. 所以f (a )＋f (－a )＝－2，故f (－a )＝－4. 法二：由已知得f (a )＝a ＋1a－1＝2，即a ＋1a ＝3，所以f (－a )＝－a －1a －1＝－⎝⎛⎭⎫a ＋1a －1＝－3－1＝－4. 答案：－49．(2019·陕西一测)若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则函数g (x )＝bx ＋ax，x ∈[－4，－1]的值域为________．解析：由函数f (x )的图象关于原点对称，可得a －4＋a ＝0，即a ＝2，则函数f (x )＝2x ＋b ，其定义域为[－2,2]，所以f (0)＝0，所以b ＝0，所以g (x )＝2x ，易知g (x )在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g (－1)，g (－4)]，即⎣⎡⎦⎤－2，－12. 答案：⎣⎡⎦⎤－2，－12 10．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是____________．解析：当x >0时，lg x >0，所以x >1， 当x <0时，由奇函数的对称性得－1<x <0， 故填(－1,0)∪(1，＋∞)． 答案：(－1,0)∪(1，＋∞)11．f (x )为R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝－2x 2＋3x ＋1，求f (x )的解析式． 解：当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－2(－x )2＋3(－x )＋1＝－2x 2－3x ＋1. 由于f (x )是奇函数，故f (x )＝－f (－x )， 所以当x <0时，f (x )＝2x 2＋3x －1. 因为f (x )为R 上的奇函数，故f (0)＝0.综上可得f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2＋3x ＋1，x >0，0，x ＝0，2x 2＋3x －1，x <0.12．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意实数x 有f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫32－x 成立． (1)证明y ＝f (x )是周期函数，并指出其周期； (2)若f (1)＝2，求f (2)＋f (3)的值． 解：(1)证明：由f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎝⎛⎭⎫32－x ，且f (－x )＝－f (x )，知f (3＋x )＝f ⎣⎡⎦⎤32＋⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f ⎣⎡⎦⎤32－⎝⎛⎭⎫32＋x ＝－f (－x )＝f (x )， 所以y ＝f (x )是周期函数，且T ＝3是其一个周期． (2)因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，且f (－1)＝－f (1)＝－2，又T ＝3是y ＝f (x )的一个周期，所以f (2)＋f (3)＝f (－1)＋f (0)＝－2＋0＝－2.B 级1．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 因为f (x )是最小正周期为2的周期函数，且0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ＝x (x －1)(x ＋1)，所以当0≤x <2时，f (x )＝0有两个根，即x 1＝0，x 2＝1.由周期函数的性质知，当2≤x <4时，f (x )＝0有两个根，即x 3＝2，x 4＝3；当4≤x ≤6时，f (x )＝0有三个根，即x 5＝4，x 6＝5，x 7＝6，故f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为7.2．(2019·洛阳统考)若函数f (x )＝ln(e x ＋1)＋ax 为偶函数，则实数a ＝________. 解析：法一：(定义法)∵函数f (x )＝ln(e x ＋1)＋ax 为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， 即ln(e －x ＋1)－ax ＝ln(e x ＋1)＋ax ，∴2ax ＝ln(e －x＋1)－ln(e x＋1)＝ln e －x ＋1e x ＋1＝ln 1e x ＝－x ，∴2a ＝－1，解得a ＝－12.法二：(特殊值法)由题意知函数f (x )的定义域为R ，由f (x )为偶函数得f (－1)＝f (1)， ∴ln(e －1＋1)－a ＝ln(e 1＋1)＋a ，∴2a ＝ln(e －1＋1)－ln(e 1＋1)＝ln e －1＋1e ＋1＝ln 1e ＝－1，∴a ＝－12.答案：－123．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3， 故实数a 的取值范围是(1,3]．。
新课标2023版高考数学一轮总复习第2章函数第3节函数的奇偶性与周期性教师用书
第三节 函数的奇偶性与周期性考试要求：1．了解函数的奇偶性的概念及几何意义．2．结合三角函数，了解函数的周期性、对称性及其几何意义．一、教材概念·结论·性质重现1．函数的奇偶性的定义奇偶性偶函数奇函数条件一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I结论f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)图象特点关于y轴对称关于原点对称1．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．2．函数图象的对称性(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．3．函数的周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．非零常数T 就叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期(若不加特别说明，T一般都是指最小正周期)．4．对称性与周期的关系(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝a和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(2)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和点(b,0)对称，则函数f(x)必为周期函数，2|a－b|是它的一个周期．(3)若函数f(x)的图象关于点(a,0)和直线x＝b对称，则函数f(x)必为周期函数，4|a －b|是它的一个周期．5．常用结论(1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(4)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．(5)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0．( × )(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．( √ )(3)如果函数f(x)，g(x)是定义域相同的偶函数，那么F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( √ )(4)若T为y＝f(x)的一个周期，则nT(n∈Z)是函数f(x)的周期．( × ) 2．函数f(x)＝－x的图象关于( )A．y轴对称B．直线y＝－x对称C．坐标原点对称D．直线y＝x对称C 解析：因为函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝－＋x＝－＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．所以f(x)的图象关于坐标原点对称．3．已知f(x)满足f(x＋2)＝f(x)．当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则f等于( )A． B． C． D．1B 解析：由f(x＋2)＝f(x)，知函数f(x)的周期T＝2，所以f＝f＝2＝．4．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是( )A．－ B． C． D．－B 解析：因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝． 又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝．5．(多选题)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( ) A．y＝f(|x|)B．y＝f(－x)C．y＝xf(x)D．y＝f(x)＋xBD 解析：由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证．对于选项A，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；对于选项B，f(－(－x))＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；对于选项C，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；对于选项D，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．故选BD．考点1 函数的奇偶性——基础性1．(多选题)若函数f(x)(x∈R)是奇函数，函数g(x)(x∈R)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A．函数f(g(x))是偶函数B．函数g(f(x))是偶函数C．函数f(x)·g(x)是奇函数D．函数f(x)＋g(x)是奇函数ABC 解析：对于选项A，f(g(x))是偶函数，A正确；对于选项B，g(f(x))是偶函数，B正确；对于选项C，设h(x)＝f(x)g(x)，h(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－h(x)是奇函数；对于选项D，f(x)＋g(x)不一定具备奇偶性．故选ABC．2．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝e x－1，则当x<0时，f(x)＝( )A．e－x－1B．e－x＋1C．－e－x－1D．－e－x＋1D 解析：当x<0时，－x>0．因为当x≥0时，f(x)＝e x－1，所以 f(－x)＝e－x－1． 又因为 f(x)为奇函数，所以 f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1．3．若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝e x，则g(x)＝( ) A．e x－e－x B．(e x＋e－x)C．(e－x－e x)D．(e x－e－x)D 解析：因为f(x)＋g(x)＝e x，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x，所以g(x)＝(e x－e－x)．4．已知函数f(x)＝则该函数的奇偶性是_________．奇函数 解析：当x>0时，－x<0，所以f(－x)＝x2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数．(1)解决这类问题要优先考虑用定义法，然后考虑用图象法．考点2 函数的周期性——综合性(1)设f(x)是周期为3的函数，当1≤x≤3时，f(x)＝2x＋3，则f(8)＝______．当－2≤x≤0时，f(x)＝________．7 2x＋9 解析：因为f(x)是周期为3的函数，所以f(8)＝f(2)＝2×2＋3＝7．当－2≤x≤0时，f(x)＝f(x＋3)＝2(x＋3)＋3＝2x＋9．(2)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)>0，f(x＋2)＝对任意x∈R恒成立，则f(2 023)＝________．1 解析：因为f(x)>0，f(x＋2)＝，所以f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝＝f(x)，则函数f(x)的周期为4，所以f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)．因为函数f(x)为偶函数，所以f(2 023)＝f(－1)＝f(1)．当x＝－1时，f(－1＋2)＝，得f(1)＝．由f(x)>0，得f(1)＝1，所以f(2 023)＝f(1)＝1．(3)设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1．则f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝__________．－1 解析：依题意知函数f(x)为奇函数且周期为2，则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0．所以f＋f(1)＋f＋f(2)＋f＝f＋0＋f＋f(0)＋f＝f－f＋f(0)＋f＝f＋f(0)＝2－1＋20－1＝－1．1．(2021·长春质量监测)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( ) A．6B．7C．8D．9B 解析：因为f(x)是最小正周期为2的周期函数，且0≤x<2时，f(x)＝x3－x＝x(x －1)(x＋1)，所以当0≤x<2时，f(x)＝0有两个根，即x1＝0，x2＝1．由周期函数的性质知，当2≤x<4时，f(x)＝0有两个根，即x3＝2，x4＝3；当4≤x≤6时，f(x)＝0有三个根，即x5＝4，x6＝5，x7＝6，故f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7．2．(多选题)(2022·长春质检)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)＋f(2－x)＝0，则下列结论正确的是( )A．f(x)的图象关于点(1,0)对称B．f(x＋2)＝f(x)C．f(3－x)＝f(x－1)D．f(x－2)＝f(x)ABD 解析：对于A，由f(x)＋f(2－x)＝0得f(x)的图象关于点(1,0)对称，选项A正确；对于B，用－x替换f(x)＋f(2－x)＝0中的x，得f(－x)＋f(2＋x)＝0，所以f(x＋2)＝－f(－x)＝f(x)，选项B正确；对于C，用x－1替换f(x)＋f(2－x)＝0中的x，得f(3－x)＝－f(x－1)，选项C错误；对于D，用x－2替换f(x＋2)＝f(x)中的x，得f(x－2)＝f(x)，选项D正确．3．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________．6 解析：因为f(x＋4)＝f(x－2)，所以f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)是周期为6的周期函数，所以f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6．考点3 函数性质的综合应用——应用性考向1 函数的单调性与奇偶性综合(1)已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)＝xf(x)．若a＝g(－log25.1)，b＝g(20.8)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为( )A．a<b<c B．c<b<aC．b<a<c D．b<c<aC 解析：易知g(x)＝xf(x)在R上为偶函数．因为奇函数f(x)在R上单调递增，且f(0)＝0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．又3>log25.1>2>20.8，且a＝g(－log25.1)＝g(log25.1)，所以g(3)>g(log25.1)>g(20.8)，即c>a>b．(2)(2020·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)( )A．是偶函数，且在单调递增B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增D．是奇函数，且在单调递减D 解析：f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|的定义域为x≠±．又f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故排除A，C．又当x∈时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝ln ＝ln ＝ln．因为y＝1＋在上单调递减，由复合函数的单调性可得f(x)在上单调递减．考向2 函数的奇偶性与周期性结合(1)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋4)＝f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2 023)＝________．－1 解析：因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4． 又f(1)＝1，所以f(2 023)＝f(－1＋4×506)＝f(－1)＝－f(1)＝－1．(2)设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足f(1＋x)＝f(1－x)，f(2＋x)＝－f(2－x)，则f(x)是( )A．偶函数，又是周期函数B．偶函数，但不是周期函数C．奇函数，又是周期函数D．奇函数，但不是周期函数A 解析：由f(x＋1)＝－f(x－1)，可得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝f(x)，故函数f(x)的周期为4，则f(5)＝f(1)＝a2－2a－4．又因为f(x)是定义在R上的奇函数，f(－1)＞1，所以f(1)＜－1，所以a2－2a－4＜－1，解得－1＜a＜3．若本例(1)中的条件不变，当x∈[2,4]时，f(x)的解析式是____________．f(x)＝x2－6x＋8 解析：当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]．由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2．又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2． 所以f(x)＝x2＋2x．又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，所以f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期为4的周期函数，所以f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8．故x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8．函数周期性有关问题的求解方法(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期的定义求出函数的周期．(2)根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能．考向3 函数的单调性、奇偶性与周期性结合定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1,0]上单调递减．设a ＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，则a，b，c的大小关系是( )A．a>b>c B．c>a>bC．b>c>a D．a>c>bD 解析：因为偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的周期为2．所以a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)．因为－0.8<－0.5<－0.4，且函数f(x)在[－1,0]上单调递减，所以a>c>b．故选D．1．解决这类问题一定要1．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4．若f(－2)＝2，则f(2 022)＝( )A．2B．0C．－2D．－4C 解析：因为函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，所以f(x)为奇函数，所以f(2 022)＝f(505×4＋2)＝f(2)＝－f(－2)＝－2．故选C．2．定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为( )A．(－∞，－3)B．(3，＋∞)C．(－∞，－1)D．(1，＋∞)D 解析：因为f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因为函数f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，所以a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D．3．已知奇函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，当x∈[0,3]时，f(x)＝－x，则f(－16)＝________．2 解析：根据题意，函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则有f(x)＝f(6－x)．又函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(6－x)＝f(x－12)．所以f(x)的最小正周期是12．故f(－16)＝f(－4)＝－f(4)＝－f(2)＝－(－2)＝2．4．定义在实数集R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．现有以下三种叙述：①8是函数f(x)的一个周期；②f(x)的图象关于直线x＝2对称；③f(x)是偶函数．其中正确的序号是________．①②③ 解析：由f(x)＋f(x＋2)＝0，得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即4是f(x)的一个周期，8也是f(x)的一个周期，故①正确；由f(4－x)＝f(x)，得f(x)的图象关于直线x＝2对称，故②正确；由f(4－x)＝f(x)与f(x＋4)＝f(x)，得f(4－x)＝f(－x)，f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，故③正确．。
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性函数是数学中一种重要的概念，它描述了两个变量之间的关系。
在数学中，我们经常对函数的性质进行研究，其中包括奇偶性和周期性。
本文将探讨函数的奇偶性与周期性，并讨论它们在实际问题中的应用。
一、奇偶函数的定义与性质奇函数定义：对于任意实数x，若函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，则称f(x)为奇函数。
换句话说，奇函数关于原点对称。
偶函数定义：对于任意实数x，若函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则称f(x)为偶函数。
换句话说，偶函数关于y轴对称。
奇偶函数的性质：1. 若函数f(x)是偶函数，则f(0) = f(-0)，即函数在原点对称，图像关于y轴对称。
2. 若函数f(x)是奇函数，则f(0) = -f(-0)，即函数在原点对称，图像关于原点对称。
3. 若函数f(x)是偶函数，则可以推导出f(-x) = f(x)，即偶函数的性质在整个定义域内成立。
4. 若函数f(x)是奇函数，则可以推导出f(-x) = -f(x)，即奇函数的性质在整个定义域内成立。
二、周期函数的定义与性质周期函数定义：对于任意实数x，若存在正常数T，使得f(x+T) =f(x)，则称f(x)为周期函数。
换句话说，周期函数在自身的一个周期内，函数值具有相同的周期性重复。
周期函数的性质：1. 若函数f(x)是周期函数，则任意一个周期内的函数值都相同。
2. 若函数f(x)是周期函数，则其所有周期的长度都是T的整数倍。
3. 周期函数可以是正弦函数、余弦函数等传统函数，也可以是其他基于数学模型得出的函数。
三、奇偶函数与周期性的应用奇偶函数与周期函数在实际问题中具有广泛的应用，特别是在物理学和工程学领域。
以下是一些具体的应用案例：1. 电信号的表示在电子工程中，信号可以表示为奇函数或偶函数的组合。
根据信号的特性，我们可以通过分析奇偶性来判断信号的对称性和周期性，从而更好地进行信号处理和调整。
2. 物理振动奇函数和周期函数经常用来描述物体的振动情况。
第二章 第三节 函数的奇偶性与周期性
(3)周期不唯一：若T是函数y=f(x)(x∈R)的一个周期，则 最小的正数 最小的正数
nT(n∈Z,且n≠0)也是f(x)的周期.
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）.
（1）偶函数图像不一定过原点，奇函数的图像一定过原
点.( )
（2）函数f(x)=0,x∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数.(
（A）-1
【解析】选B.≧f(x+4)=f(x), ≨f(x)是以4为周期的周期函数，≨f(8)=f(0). 又函数f(x)是定义在R上的奇函数， ≨f(8)=f(0)=0,故选B.
4.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且在(-∞,0)上是减 少的，若f(a)≥f(2),则实数a的取值范围是( （A）a≤2 （C）a≥-2 （B）a≤-2或a≥2 （D）-2≤a≤2 )
又f(-x)=-f(x),
≨x＞0时，f(x)=-f(-x)=-x2+x=ax2+bx, ≨a=-1,b=1,≨a+b=0. 答案：0
考向 3 函数的周期性及其应用
【典例3】(1)(2012·江苏高考）设f(x)是定义在R上且周期为
ax 1, 1 x＜0, f x bx 2 其中a,b∈R,若 则a+3b的值为______. x 1, x 1 ,0 1 3 f ( ) f ( ), (2)（2013·宝鸡模拟）定义在R上的偶函数f(x)满足 2 2
图像与原 若奇函数f(x)在原点有
0 点的关系 意义，则f(0)=__
2.周期性 (1)周期函数：若T为函数f(x)的一个周期，则需满足的条件： ①T≠0; ②____________对定义域内的任意x都成立. f(x+T)=f(x) (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 ___________，那么这个___________就叫做它的最小正周期．
函数、导数及其应用第三节函数的奇偶性与周期
周期函数在其周期内具有重复性，即对 于任意整数n，f(x+nT)=f(x)。
最小正周期
最小正周期的定义
在所有可能的周期中，最小的正数周 期称为最小正周期。
最小正周期的性质
对于一个周期函数，其最小正周期是 存在的，且最小正周期是所有正数周 期中最小的那个。
常见周期函数的例子
正弦函数和余弦函数： y=sin(x)和y=cos(x)的最 小正周期为2π。
周期性
三角函数具有明显的周期性，如正弦函数和余弦函数的周期为2π。这种周期性 在物理学、工程学和天文学等领域有重要应用，例如描述简谐振动、电磁波等。
在物理中的应用
波动与振动
奇偶性和周期性在波动和振动的研究中起到关键作用。例如 ，在分析简谐振动的规律时，需要利用三角函数的奇偶性和 周期性。
电磁学
在电磁学中，电流和电压的波形常常可以用具有奇偶性和周 期性的函数来描述，这有助于理解和分析电磁现象。
函数y=sin(3x)的最小正 周期为2π/3。
ABCD
函数y=tan(x)的最小正周 期为π。
函数y=cos(2x)的最小正 周期为π。
03 奇偶性与周期性的应用
在三角函数中的应用
奇偶性
三角函数（如正弦、余弦）具有奇偶性，即满足sin(-x) = -sin(x)和cos(-x) = cos(x)。这种性质在信号处理、振动分析等领域有广泛应用。
函数的奇偶性与周期性
目录
• 函数的奇偶性 • 函数的周期性 • 奇偶性与周期性的应用 • 奇偶性与周期性的关系
01 函数的奇偶性
奇函数
定义
如果对于函数$f(x)$，对于定义域内的任意$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
初中数学知识归纳函数的奇偶性与函数的周期性
初中数学知识归纳函数的奇偶性与函数的周期性初中数学知识归纳：函数的奇偶性与函数的周期性函数是初中数学中的重要概念之一，它描述了数学关系中的变化规律。
在数学中，函数的奇偶性和周期性是函数性质的两个重要方面。
下面将对函数的奇偶性和周期性进行归纳和讲解。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数图像关于坐标轴的对称性。
考察一个函数关于原点对称，可以分成以下两种情况：1. 偶函数：若对于函数 f(x) 成立 f(-x) = f(x)，则称函数 f(x) 为偶函数。
也就是说，如果把函数的自变量取相反数，函数的值不发生改变。
常见的偶函数有：幂函数 x^n (n 为偶数)、三角函数 cos(x)、指数函数 e^x 和常数函数等。
举例说明：考虑函数 f(x) = x^2，我们可以验证 f(-x) = (-x)^2 = x^2 = f(x)。
所以函数 f(x) 是一个偶函数。
2. 奇函数：若对于函数 f(x) 成立 f(-x) = -f(x)，则称函数 f(x) 为奇函数。
也就是说，如果把函数的自变量取相反数，函数的值相反数乘以-1。
常见的奇函数有：幂函数 x^n (n 为奇数)、三角函数 sin(x)、反比例函数 1/x 等。
举例说明：考虑函数 f(x) = x^3，我们可以验证 f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)。
所以函数 f(x) 是一个奇函数。
函数的奇偶性可以通过以下方法进行验证：- 将函数关于原点对称，若图像可以完全重合，则函数是偶函数；- 将函数关于原点对称，若图像可以对称映射，但不重合，则函数是奇函数；- 通过函数的表达式进行推导与验证。
二、函数的周期性函数的周期性是指函数图像在水平方向上的重复性。
一个函数称为周期函数，如果在定义域内存在一个正数 T，对于任意的 x，函数满足f(x+T) = f(x)。
常见的周期函数有：正弦函数 sin(x)、余弦函数 cos(x)、正切函数tan(x) 等。
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性函数是数学中的重要概念，用于描述数值之间的关系。
函数的奇偶性与周期性是函数特性的一种表现形式。
在本文中，我们将探讨函数的奇偶性与周期性，并分析其在数学中的应用意义。
一、函数的奇偶性奇偶性是指函数在平面直角坐标系中关于原点的对称性质。
对于函数 f(x)，若对于任意 x，都有 f(-x) = f(x)，则称该函数为偶函数；若对于任意 x，都有 f(-x) = -f(x)，则称该函数为奇函数。
1.1 奇函数的特点奇函数具有以下特点：- 在原点处对称，即图像关于原点对称；- 若 f(x) 是奇函数，那么其图像关于 y 轴的负半轴和正半轴对称。
1.2 偶函数的特点偶函数具有以下特点：- 在 y 轴上的值相等，即图像关于 y 轴对称；- 若 f(x) 是偶函数，那么其图像关于 x 轴对称。
二、函数的周期性周期性是指函数在一定区间内以某个常数为周期重复出现的性质，常用于描述周期性现象。
对于函数 f(x)，若存在正数 T，使得对于任意x，都有 f(x+T) = f(x)，则称 T 为函数 f(x) 的周期。
2.1 周期函数的特点周期函数具有以下特点：- 在每个周期内，函数的取值和性质相同；- 周期函数的图像在每个周期内重复出现。
三、奇偶函数的周期性奇偶函数的周期性与其奇偶性质有一定的联系，具体如下：3.1 偶函数的周期性若 f(x) 是一个周期为 T 的偶函数，则其满足以下性质：- 在一个周期内，函数的取值和性质相同；- 函数图像在每个周期内关于 y 轴对称。
3.2 奇函数的周期性若 f(x) 是一个周期为 T 的奇函数，则其满足以下性质：- 在一个周期内，函数的取值和性质相同；- 函数图像在每个周期内关于原点对称。
四、函数奇偶性与周期性的应用函数的奇偶性与周期性在数学中有广泛的应用，特别是在函数图像的分析和计算中。
4.1 奇偶性在函数图像中的应用通过判断一个函数的奇偶性，可以有效简化函数图像的分析过程。
第三节 函数的奇偶性及周期性
3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不 是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．
返回
3．若函数 f(x)＝(a－1)x2＋(a＋1)x＋a2－1 是奇函数，则实数 a 的值是________． 解析：由于函数 f(x)的定义域为 R，又函数 f(x)是奇函数， 故 f(0)＝0，解得 a＝1 或 a＝－1(舍去)，经检验 a＝1 时符 合题意． 答案：1
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必过易错关
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1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点 对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要 条件．
由图知②③正确，④不正确，故正确命题的序号为①②③. 答案：①②③
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[通法在握] 函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略 (1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定 义，以及奇、偶函数图象的对称性． (2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用 奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解 析式的函数定义域内求解． (3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用 周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．
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[即时应用]
1．(2018·镇江调研)已知 f(x)是定义在 R 上周期为 4 的函数，
且 f(－x)＋f(x)＝0，当 0＜x＜2 时，f(x)＝2x－1，则 f(－21)＋f(16)＝________. 解析：由 f(－x)＋f(x)＝0，知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，
高中复习文数：第二章 第三节 函数的奇偶性及周期性
1 B.2
C．2
D．－2
解析：因为函数 f(x)是偶函数，所以 f(－ 2)＝f( 2)＝log2 2＝12.
答案：B
3.[考点二](2018·南阳模拟)函数 f(x)是周期为 4 的偶函数，当 x∈[0,2]
时，f(x)＝x－1，则不等式 xf(x)>0 在[－1,3]上的解集为( )
A．(1,3)
函数，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，∴h(－x)＝f(－x)·g(－
x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)＝f(x)·g(x)是奇函数，故选 C. 答案：C
2.[考点二]设函数 f(x)为偶函数，当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝log2x，
则 f(－ 2)＝
()
A．－12
[方法技巧]
函数周期性的判定与应用 (1)判定：判断函数的周期性只需证明 f(x＋T)＝f(x)(T≠0) 即可． (2)应用：根据函数的周期性，可以由函数的局部性质得到 函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若 T 是函 数的周期，则 kT(k∈Z 且 k≠0)也是函数的周期．
[全练题点]
(4)f(x)＝|x＋4－3|－x23.
[解] (1)∵ x2＋1>|x|≥0，∴函数 f(x)的定义域为 R ，关于原
点对称，又 f(－x)＝(－x)lg(－x＋ －x2＋1)＝－xlg( x2＋1－x) ＝xlg( x2＋1＋x)＝f(x)，即 f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
(2)当且仅当11＋ －xx≥0 时函数有意义，∴－1≤x<1，由于定义域 关于原点不对称，∴函数 f(x)是非奇非偶函数．
F －52＝f －2－12＝f －12＝－12＋a， F 92＝f 4＋12＝f 12＝25－12＝110. 由 f －52＝f 92，得－12＋a＝110，解得 a＝35. 所以 f(5a)＝f(3)＝f(4－1)＝f(－1)＝－1＋35＝－25. [答案] －25
第三节 函数的奇偶性与周期性
2 2x
x
+a为奇函数,则实数a=
-1
.
答案 - 1
2
考点突破 栏目索引
1-3 已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2, f(1)+g(-1)=4,则g(1)= .
答案 3 解析 由题意知,f(-1)+g(1)=2, 即-f(1)+g(1)=2①, f(1)+g(-1)=4, 即f(1)+g(1)=4②, 由①+②得,2g(1)=6, 即g(1)=3.
x
x
(3)显然函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
∵当x<0时,-x>0, 则f(-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-f(x);
当x>0时,-x<0,
则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x).
综上可知,对于定义域内的任意x,总有f(-x)=-f(x),
∴函数f(x)为奇函数.
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(2)当0≤x<2时, 令f(x)=x3-x=x(x2-1)=0, 所以y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1=0,x2=1. 当2≤x<4时,0≤x-2<2,又f(x)的最小正周期为2,所以f(x-2)=f(x), 所以f(x)=(x-2)(x-1)(x-3), 所以当2≤x<4时,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3=2,x4=3. 同理可得,当4≤x<6时,y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x5=4,x6=5. 当x7=6时,也符合要求. 综上可知,共有7个交点.
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方法技巧 (1)定义法:
高中数学第二章 第三节 函数的奇偶性与周期性
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解析：法一：依题意，对于选项 A，当 x＝－1 时，f(－1)＝2；
当 x＝1 时，f(1)＝4，f(－1)≠－f(1)，因此函数 f(x)＝x3＋3x2
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【知识拓展】 定义式 f(x＋T)＝f(x)对定义域内的 x 是恒成立的．若 f(x＋a)＝ f(x＋b)，则函数 f(x)的周期为 T＝|a－b|. 若在定义域内满足 f(x＋a)＝－f(x)，f(x＋a)＝f1x，f(x＋a)＝－ f1x(a>0)，则 f(x)为周期函数，且 T＝2a 为它的一个周期．
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1．判断函数的奇偶性时，易忽视判断函数定义域是否关于原 点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条 件． 2．判断函数 f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个 x，均 有 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)，而不能说存在 x0 使 f(－x0)＝ －f(x0)或 f(－x0)＝f(x0)． 3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不 是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．
答案：D
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答案：x(1－x)
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1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对 称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． 2．判断函数 f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个 x，均有 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)，而不能说存在 x0 使 f(－x0)＝－ f(x0)或 f(－x0)＝f(x0)． 3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是 奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．
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1．(2015· 北京高考)下列函数中为偶函数的是 A．y＝x2sin x C．y＝|ln x| B．y＝x2cos x D．y＝2
－x
(
)
答案：B
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2 x ＋x，x>0， (5)(易错题)f(x)＝ 2 x －x，x<0.
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(2)图象法：
(3)性质法： ①设 f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的 公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶 ×偶＝偶，奇×偶＝奇． ②复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”．
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奇偶性
定义 如果对于函数f(x)的定义域内任
图象特点
f(－x)＝－f(x)， 关于原点 奇函数 意一个x，都有_____________ ____对称
那么函数f(x)就叫做奇函数
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2.函数的周期性 (1)周期函数 对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义 域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么就称函数 f(x) 为周期函数，称 T 为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个 最小的正数 ， 那么这个 最小正数 就叫做 f(x)的最小正周期．
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[变式 2] 若母题条件改为：定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1 时，f(x)＝－(x＋2)2；当 －1≤x<3 时， f(x)＝x.求 f(1)＋f(2)＋f(3)＋„＋f(2 015) 的值．
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[变式 3] 在母题条件下，求 f(x)(x∈[2,4])的解析式．
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[破译玄机]
利用函数的周期性，求函数的解析式，应把问题转化 为已知区间上的相应问题， 即把区间[2,4]转化为[－2,0]上．
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[越变越明]
1 [变式 1] 若母题中条件变为“f(x＋2)＝－ ”， 求函数 fx f(x)的最小正周期．
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答案：B
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2．设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x∈[－1,1) 时，
2 －4x ＋2，－1≤x<0， f(x)＝ x， 0≤x<1，
则
3 f2＝________.
[解] (1)∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)的最小正周期为 4.
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(2)f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0， f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1. 又∵f(x)是周期为 4 的周期函数， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝„＝f(2 012) ＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋„＋f(2 015)＝0.
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奇偶性 偶函数
定义
图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意 f(－x)＝f(x) ，那么 关于____ 一个x，都有___________ y 轴 对称 函数f(x)就叫做偶函数
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[提醒]
(1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定
义域内才成立的． (2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明 f(－x)与 f(x) 的关系，只有对各段上的 x 都满足相同的关系时，才能判断 其奇偶性．如“题组练透”第(5)题．
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x＋1x＋a 2．设函数 f(x)＝ 为奇函数，则 a＝________. x
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2． 若函数 f(x)是周期为 5 的奇函数， 且满足 f(1)＝1， f(2)＝2， 则 f(8)－f(14)＝________.
答案：－1
3．(教材习题改编)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 当 x≥0 时，f(x)＝x(1＋x)，则 x<0 时，f(x)＝________.
∴ f(1) ＝ 1，f＋ (2) ，f(3) f(013) －3)＋ ＝－ ，f(4) f(015) －2)＝0，f(5) 而 f(2 011) f＝ (2 2 012) ＋＝ f(2 f(21 014) ＋＝ f(2 ＝ f(f － 1) ＝－ ， f(6) ＝ f(0) ＝ ， ＝ (1) ＋ f(2)1 ＋ f(3) ＋ f(4) ＋ f0 (5) ＝1＋2－1＋0－1＝1. ∴f(1)＋f(2)＋„＋f(6)＝1， ∴f(1)＋f(2)＋„＋f(2 015)＝335＋1＝336. ∴f(1)＋f(2)＋„＋f(6)＝f(7)＋f(8)＋„＋f(12)
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1．已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么 a＋b 的值是 1 A．－ 3 1 C. 2 1 B. 3 1 D．－ 2 ( )
解析：∵f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数， 1 ∴a－1＋2a＝0，∴a＝ .又 f(－x)＝f(x)， 3 1 ∴b＝0，∴a＋b＝ ． 3
解析：由题意得，f 答案：1
3 1 1 ＝f － ＝－4×－ 2＋2＝1. 2 2 2
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判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝ 1－x2＋ x2－1； (2)f(x)＝ 3－2x＋ 2x－3； (3)f(x)＝3x－3－x； 4－x2 (4)(易错题)f(x)＝ ； |x＋3|－3
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函数Байду номын сангаас奇偶性及周期性
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设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x＋ 2)＝－f(x)．当 x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求函数的最小正周期； (2)计算 f(0)＋f(1)＋f(2)＋„＋f(2 015)．