根式计算
根式的知识点总结
根式的知识点总结一、根式的定义根式是求一个数的n次方根的运算，表示为√a，其中a为被开方数，n为指数。
如果n 为2，则称为开平方；n为3，则称为开立方；一般地，n为正整数，则称为开n次方。
根式也可以表示为a的1/n次方。
二、根式的性质1. 若a≥0，则√a存在且是实数；若a>0，则√a>0。
2. 根式的值唯一，即√a的值只有一个。
3. 若a＞b＞0，则√a＞√b。
4. 根式的运算律：①√(a×b)=√a×√b；②√(a÷b)=√a÷√b；③√(a±b)=√a±√b。
三、根式的化简对于根式的化简，我们首先需要找出被开方数的因数，然后利用根式的运算规律和因数分解法进行化简。
具体步骤如下：1. 将被开方数a分解成质因数的乘积形式：a=p₁^m₁×p₂^m₂×⋯×pₙ^mₙ。
2. 对开根号进行因数分解：√a=√(p₁^m₁×p₂^m₂×⋯×pₙ^mₙ)。
3. 利用根式的运算规律化简：√a=√(p₁^m₁)×√(p₂^m₂)×⋯×√(pₙ^mₙ)。
化简根式的目的是为了简化计算和做题的过程，避免繁琐的计算和错误的产生。
四、根式的运算规则1. 加减法运算对于根式的加减法运算，首先要将根式化为同类项，然后按照同类项的相加减法则进行计算。
具体步骤如下：将根式化为同类项之后，按照相同指数的根式进行加减法运算。
例如：√3+√5=√3+√52√3-√5=2√3-√52. 乘法运算对于根式的乘法运算，利用根式的运算规则进行计算，具体步骤如下：将根式化为同类项之后，按照相乘的根式进行乘法运算。
例如：√3×√5=√(3×5)=√15(2√3)×(3√5)=2×3×√(3×5)=6√153. 除法运算对于根式的除法运算，利用根式的运算规则进行计算，具体步骤如下：将根式化为同类项之后，按照相除的根式进行除法运算。
【数学知识点】初中数学根式运算法则公式
【数学知识点】初中数学根式运算法则公式
根式开方法则是根式的运算法则之一，算术根开n次方，把根指数扩大n倍，被开方数不变。
非算术根的开方不总是可能的，负数的奇次方根开奇次方时，一般先将给定根式化为算术根后再按法则开方
1.根号2乘以2,把2变成根号4再乘,就是根号4乘根号2,再根号下的2乘以zhi4的积,就是根号8,也可化简写成2倍根号
2.
如题:√dao2*2=2√2=√2*√4=√(2*4)=√(2^2*4)=√8
2.根号3乘以根号6就是根号下6乘以3的积,就是根号18,再把18变成9乘以2,因为9可以开根,所以最后化简得出3倍根号2.
如题:√3*√6=√(3*6)=√18=√(9*2)=√3^2*2)=3√2
3.根号32乘以根号25,得出根号800,根号800再化简得根号下的400乘以2的
积,400又等于20乘以20,就是20的平方,最后化简得出20倍根号2.
如题:√32*√25=√(32*25)=√800=√(400*2)=√(20^2*2)=20√2
①根据字母的取值范围化简二次根式；
②根据二次根式的化简结果确定字母的取值范围；
③利用二次根式的性质求字母（或代数式）的最小（大）值；
④利用平方差公式进行分母有理化的计算求值；再者就是相关最简二次根式、同类二次根式等相关的基础知识考察，
在实数范围内：
（1）偶次根号下不能为负数，其运算结果也不为负。
（2）奇次根号下可以为负数。
不限于实数，即考虑虚数时，偶次根号下可以为负数，利用【i=√-1】即可。
以上就是一些数学根式的相关信息，希望对大家有所帮助。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
根式及其运算
根式及其运算知识定位根式是初中数学的重要内容之一，也是近年各类初中数学竞赛中常常涉及到的知识点.解此类有关根式计算题的关键在于将无理式进行有理化.但是在很多竞赛题中我们遇到的计算式子却非常复杂和灵活，其中对根式的计算要求技巧性较强，因而计算的难度较大.在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．知识梳理二次根式的概念：式子a (a ≥0)叫二次根式。
二次根式的性质： （1）()()02≥=a a a ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==00002a ,a a ,a ,a a a二次根式的运算法则：（1）c )b a (c b c a ±=± (0≥c )； （2）ab b a =⋅ (00≥≥b ,a )；（3）baba =(00>≥b ,a )； （4）()()0≥=a a a m m若0>>b a ，则b a >。
设m ,d ,c ,b ,a 是有理数,且m 不是完全平方数，则当且仅当d b ,c a ==时，m d c m b a +=+ 。
形如b a x +=，b a y -=的这两个根式互称为共轭根式。
当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．例题精讲◆专题一：共轭因式法【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第二试 【题目】设0>m ，m x x =--+13，则代数式13-++x x 的值是 (用m 表示).【答案】m4 【解析】观察此题中13--+x x 与13-++x x 恰是共轭因式，因此想到将两式相乘得：()()()()413131322=--+=-++•--+x x x x x x即()433=-++•x x m ,所以mx x 413=-++. 点评：我们把形如b a +、b a -的两个根式互称为共轭因式,共轭因式相乘就恰好将无理式化为有理式，从而此题轻松解决. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2◆专题二：有理化法【试题来源】2008年全国初中数学联赛第一试 【题目】已知实数x 、y 满足()()20082008200822=----y y x x ，则2007332322--+-y x y x 的值为( )【选项】(A)－2008 (B) 2008 (C)－1 (D)1 【答案】D 【解析】由已知()()20082008200822=----y y x x 可得：200820081200822--=--y y x x然后将等式左边分子有理化得：()()200820082008200820082222--=-+-+--y y x x x x x x()20082008200820082222--=-+--y y x x x x200820082008200822--=-+y y x x∴ 2008200822--=-+y y x x ①同理可得：2008200822-+=--y y x x ②由①、②得：x = y ∴ ()2008200822=--x x变形得： 20082008200822--=--x x x x将等式的左边分子有理化得：200820082008200822--=-+x x x x∴ 2008200822-+=--x x x x∴020082=-x ,即20082=x∴原式=120072008200720073323222=-=-=--+-x x x x x .故选D.点评：有理化法是解二次根式计算题的常用方法，就其形式来说可分为分母有理化和分子有理化两类.具体方法是在分式的分母(或分子)同时乘以原二次根式的有理化因式，从而达到化无理式为有理式的目的. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2◆专题三：因式分解法常用方法：利用配方法将被开方数配成完全平方式或者立方式 【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第二试 【题目】计算-++++12862231286223+---，得 .【答案】2-【解析】此题分子、分母均含根式，如果按照通常的做法是先分母有理化，这样计算较繁.若观察到分母可进行因式分解，先将分母因式分解后，再化简.原式()()32432223++++=()()32432223-----()()423223+++=()()423223----421421-++=222222-++-=2-=点评：从此题我们可得到这样的启发：当分子分母均含有根式时，可用因式分解法先将式子化简，再进行计算，这样能起到化繁为简的作用. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2【试题来源】【题目】化简：2008200820082008100435715337++⎪⎭⎫⎝⎛，得到 . 【答案】1 【解析】解:原式.【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】化简：)23)(36(23346++++,最后得_________【答案】23+【解析】原式==+【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3◆专题四：换元法【试题来源】2004年全国初中数学联赛 【题目】已知8a ≥1, 则333183131831-+-+-++a a a a a a 的值是( )【选项】 (A)1 (B) 23a (C)a 8 (D)不能确定【答案】A【解析】解析：设318-=a x ,则8132+=x a ,83312+=+x a原式()3228313x x x +++=()3228313xx x +-++ 3238133+++=x x x 3238133+-+-+x x x ()3381+=x ()3381x -+2121x x -++==1 选A.点评：此题若用常规方法根本无法入手进行解答，此处换元法的运用妙在能达到化无理式为有理式的目的，从而使问题迎刃而解. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2◆专题五：裂项法【试题来源】2003年第十四届“希望杯”全国数学竞赛第二试 【题目】对于正整数n,有111111+-=+++n nn n n )n (，若某个正整数k 满足32111433413223121121=+++++++++k k k )k (,则k=______. 【答案】8【解析】解析：由公式111111+-=+++n nn n n )n (，因此有()111433413223121121++++++++++k k k k11131212111+-++-+-=k k111+-=k32111=+-k 3111=+∴k 8=∴k点评：裂项法在很多有关分式和分数的计算题中经常用到，我们仔细观察会发现能应用此方法进行计算的式子都有着某种特殊的规律.常用的裂项形式主要有以下几种： (1)()11111+-=+n n n n .如：200820071431321211⨯++⨯+⨯+⨯ 200812007131212111-++-+-= 200811-= 20082007=(2)()⎪⎭⎫⎝⎛+-=+k n n k k n n 1111.如：2008200511071741411⨯++⨯+⨯+⨯ ⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-+-⨯=2008120051714141131 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=20081131 2008200731⨯=2008669=(3)111111+-=+++n n n n n )n (.如本题中()111433413223121121++++++++++k k k k11131212111+-++-+-=k k111+-=k .【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】4947474917557153351331++++++++【答案】73 【解析】考虑一般情形==12==原式111113(()2217747=+++-=-=【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3◆专题六：条件转化法【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第一试【题目】已知x ＝22＋1，则分式15119232----x x x x 的值等于__________．【答案】2【解析】由x ＝22＋1得：221=-x 两边平方得：()()22221=-x ,即722+=x x所以原式()()1511729272--+--+=x x x x x 154222---=x x ()1547222--+-=x x12--==2点评：此题先通过乘方的方法将已知条件中的无理式x ＝22＋1，转化为有理式722+=x x .再代入所求代数式中，通过逐步降次，从而求得代数式的值，因此这种方法称为条件转化法. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】 【题目】设215-=a ,则=-+---+aa a a a a a 3234522 . 【答案】－2 【解析】解:,,因此，本题正确答案是-2.【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3◆专题七：配方及平方法【试题来源】2008年第十九届“希望杯”数学竞赛第二试 【题目】当2>x 时，化简代数式1212--+-+x x x x ，得 .【答案】12-x【解析】法一:解析：应用配方法可得：()112112+-+-=-+x x x x()2211121+•-+-=x x()211+-=x 同理可得：=--12x x ()211--x∴1212--+-+x x x x()()221111--++-=x x1111--++-=x x∵2>x∴原式12-=x .点评：配方法是化简多重根式的常用方法.其根本做法是把被开方式b a 2±配方成完全平方式()2y x ±的形式()0,0≥≥y x ,即是要设法找到两个正数x ，y(x ＞y)，使x+y=a ，xy=b ，则()y x yx xy y x b a ±=±=±+=±222,其中(x ＞y).法二: 对于上面的例子还可以进行另一种思考：由于12-+x x 与12--x x 互为有理化因式(共轭因式)，则有()()2222121212-=--=--•-+x x x x x x x ,因此原式平方后是一个有理式，所以上题还可以用平方法. 解析：设1212--+-+=x x x x y ，则y ＞0.将上式两边分别平方得：()()1212122122--+--•-++-+=x x x x x x x x y()221222--+=x x x44222+-+=x x x ()2222-+=x x222-+=x x∵2>x ，∴442-=x y ∴1244-=-=x x y点评：解答含根式的计算题，关键在于如何将无理式转化成有理式.如果原无理式直接平方后就能从无理式转化为有理式，那么我们不妨用平方法，这种方法的解题思路更加自然流畅，计算过程也更加简便易行.【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】武汉市选拔赛试题 【题目】化简22)1(111+++n n，所得的结果为（ ）A ．1111+++n n B ．1111++-n n C ．1111+-+n n D ．1111+--n n 【答案】C【解析】待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．原式111n n n +=-+选（C ）【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂练习题 【难度系数】3◆专题八：巧用乘法公式解题【试题来源】2004年第十五届“希望杯”数学竞赛第二试 【题目】对于任意的自然数n ，有f(n)=323232121121+-+-+++n n n n n , 则f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(999)＝ . 【答案】5【解析】注意到f(n)表达式的分母可整理成：()()2333231111-+-•+++n n n n ，形如22b ab a ++的形式，类似于立方差公式的一部份，因此考虑用立方差公式. 由立方差公式：()()2233bab a b a b a ++-=-有()()333311--+n n()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++--+=23332333111111n n n n n n即()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++•--+=233323331111112n n n n n n∴1=()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++•--+2333233311111121n n n n n n将其代入f(n)表达式得：f(n ）=()()()()()23332323332333111111111121-+-•+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-•+++•--+•n n n n n n n n n n=()331121--+•n n∴f(1)＋f(3)＋f(5)＋…＋f(999)()()()()33333333998100021462124210221-•++-•+-•+-•=()3333333310009989984422021+-++-+-+-= 1021⨯= 5=点评：此题用常规方法无法入手进行解答，已知条件中的表达式也比较复杂，这时我们从表达式的形式上进行分析，得到22b ab a ++的形式，自然联想到立方差公式，然后运用乘法公式将条件进行转化，从而找到解决问题的捷径. 【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3◆专题九：活用整数、根式的性质解题【试题来源】2006年第十七届“希望杯”数学竞赛第一试【题目】计算2200612008200720062005-+⨯⨯⨯的结果是__________． 【答案】2005【解析】：注意到此题中2005、2006、2007、2008是四个连续的正整数，而四个连续的正整数的积与1的和是一个完全平方数.因此本题有了如下的简便解法：原式()()()2200612200612006200612006-++⨯+⨯⨯-==()[]()()[]2200612200612006120062006-++⨯-⨯+⨯=()()2222006122006200620062006-+-+⨯+()()22222006120062006220062006-++-+=()2222006120062006--+=222006120062006--+==2005点评：正整数具有这样的性质“四个连续的正整数的积与1的和是一个完全平方数”，而本题恰是灵活运用了正整数的这一性质进行解答的.我们可以看到正整数的某些性质恰是解决有关正整数问题的金钥匙.【知识点】根式及其运算 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3【试题来源】重庆市竞赛题【题目】已知254245222+-----=xx x x y ，则22y x += ．【答案】6【解析】因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手．二次根式有如下重要性质：(1)0≥a ，说明了a 与a 、na 2一样都是非负数；(2) a a =2)( (≥a 0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化；(3) a a =2)(，揭示了与绝对值的内在一致性．著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题．提示：22222205420,262045x x x y x y x x⎧-≥⎪⎪-→-==→+=⎨-⎪≥⎪-⎩【知识点】根式及其运算【适用场合】当堂例题 【难度系数】3习题演练【试题来源】 【题目】计算：（1）1014152110141521+--+++；（2）3151026332185231--+-+++．【答案】（1）562- （2）233- 【解析】（1）原式=101415212(57)3(57)(23)(57)101415212(57)3(57)(23)(57)+--+-+-+==++++++++(23)(32)(526)265=--=--=-（2）315102633218(31510)(1826)(332)52315231--+-+-+-+-=++++5(332)23(332)(332)(332)(5231)33252315231-+-+--++===-++++【知识点】根式及其运算 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3【试题来源】“希望杯”邀请赛试题 【题目】计算223810++ 【答案】24+【解析】原式222108122(2)108(12)108(12)=+++=++=++242(2)4=+==【知识点】根式及其运算【适用场合】随堂课后练习【难度系数】4【试题来源】湖北省孝感市“英才杯”竞赛题【题目】计算1212--+-+aaaa【答案】见解析【解析】通过配方可以简化一重根号，本题的关键是就a的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题．原式=2112aa⎧≤≤≤⎪==⎨>⎪⎩ 1，即12时，即时 【知识点】根式及其运算【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】山东省竞赛题【题目】已知521332412---=----+ccbaba，求cba++的值．【答案】20【解析】思路点拨已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试．原式可化为：2222211]2212][(3)2339]2a c c-+--+=----+即22211)2)]3)02++=，因此有10=，得2a=；20=，得6b=30=，得12c=。
初中根式计算题
初中根式计算题根式运算是初中数学中重要的一部分，它们在实际生活中的应用非常广泛。
本文将介绍根式的基础知识以及如何进行根式计算。
一、根式的基础知识根式是数学中表示平方根、立方根等的一种运算符号，常用的根式有平方根、立方根和开方根等。
下面是一些常用的根式运算规则：1. 根式的化简与合并- 合并相同根号下的项：如√2 + √2 = 2√2- 化简根号下的项：如4√3 = 2√32. 根式的乘法与除法- 乘法法则：√a × √b = √(a × b)- 除法法则：√a ÷ √b = √(a ÷ b)3. 根式的加法与减法- 加法法则：√a + √b 不能进行化简，如√2 + √3 就是√2 + √3- 减法法则：√a - √b 不能进行化简，如√2 - √3 就是√2 - √3二、根式计算的例题与方法以下是一些常见的根式计算题的解题方法：1. 同一根式的运算若根式的被开方数相 same，则可直接进行根式的计算。
例如：√9 + √9 = 3 + 3 = 62. 不同根式的运算若根式的被开方数不同，则需要化简根号下的项或者利用乘法法则进行计算。
例如：√8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√23. 包含有整数的根式计算若根式中包含整数，则可将整数视为根号下系数为1。
例如：2 × √8 + 3 × √2 = 2 × 2√2 + 3 × √2 = 4√2 + 3√2 = 7√24. 根式的乘法与除法根式的乘法可以通过乘法法则直接计算，根式的除法可以转化为乘方形式进行计算。
例如：√5 × √5 = √(5 × 5) = √25 = 5√9 ÷ √3 = √(9 ÷ 3) = √3 = √35. 根式的加法与减法若根式不能进行化简，则不能进行加法或减法运算。
例如：√2 + √3 就是√2 + √3三、根式计算的应用根式计算在实际生活中有着重要的应用。
二次根式计算题 100 道
二次根式计算题 100 道一、化简类1、√82、√183、√274、√325、√506、√727、√988、√1289、√16210、√200二、计算类11、√2 ＋√812、√3 √1213、2√5 ＋3√2014、4√12 9√2715、√27 √7516、√48 ＋√1217、√18 √32 ＋√218、√24 √6 ＋3√819、2√12 6√1/3 ＋√4820、3√45 √125 ＋5√20三、乘法运算类21、√2 × √822、√3 × √1223、√5 × √2024、√6 × √3025、2√3 × 3√226、3√5 × 2√1027、4√2 × 5√828、5√6 × 6√329、√18 × √2430、√27 × √32四、除法运算类31、√8 ÷ √232、√18 ÷ √333、√24 ÷ √634、√48 ÷ √1235、√50 ÷ √536、√72 ÷ √837、√98 ÷ √738、√128 ÷ √1639、√162 ÷ √1840、√200 ÷ √20五、混合运算类41、（√5 ＋√3)（√5 √3)42、（√2 ＋ 3)（√2 1)43、（2√3 1)（2√3 ＋ 1)44、（3√2 ＋ 2)（3√2 2)45、（√5 2)²46、（√3 ＋ 1)²47、（2√5 3)²48、（4√2 ＋ 1)²49、√（2 √3)²50、√（3 √5)²六、分母有理化类51、 1/（√2 1)52、 1/（√3 √2)53、 2/（√5 ＋√3)54、 3/（√6 √5)55、 4/（√7 √6)56、 5/（√8 √7)57、 6/（√9 √8)58、 7/（√10 √9)59、 8/（√11 √10)60、 9/（√12 √11)七、含参数类61、已知 a ＝√2 ＋ 1，b ＝√2 1，求 a² b²62、若 x ＝ 2 ＋√3，y ＝2 √3，求 x²＋ y²63、设 m ＝√5 ＋ 2，n ＝√5 2，计算 m² n²64、已知 p ＝ 3 ＋√2，q ＝3 √2，求 p² 2pq ＋ q²65、当 a ＝√7 ＋ 2，b ＝√7 2 时，求（a ＋ b)²（a b)²66、若 x ＝√11 ＋ 3，y ＝√11 3，计算 xy67、给定 m ＝2√3 ＋ 1，n ＝2√3 1，求 m²n ＋ mn²68、设 a ＝ 4 ＋√15，b ＝4 √15，求 a²b ab²69、已知 c ＝ 5 ＋2√6，d ＝5 2√6，求 c²/d ＋ d²/c70、当 e ＝3√2 ＋ 1，f ＝3√2 1 时，求 ef/（e ＋ f)八、比较大小类71、√11 与√1372、√15 与 473、2√3 与3√274、√5 ＋ 1 与 375、2√7 3 与 276、√18 √12 与√10 √877、√20 ＋√5 与5√278、3√11 2√7 与4√3 √1979、√17 √13 与√11 √780、5√2 3√3 与4√3 2√2九、求值类81、已知 x ＝√3 ＋ 1，求 x² 2x ＋ 2 的值82、若 y ＝√5 2，求 y²＋ 4y ＋ 4 的值83、当 z ＝2√2 1 时，求 z²＋ 2z ＋ 1 的值84、已知 a ＝√7 ＋ 3，求 a² 6a 7 的值85、若 b ＝√10 1，求 b² 2b 1 的值86、当 c ＝3√3 ＋ 2 时，求 c² 4c 5 的值87、已知 d ＝4√2 3，求 d²＋ 6d ＋ 5 的值88、若 e ＝√13 2，求 e²＋ 4e ＋ 3 的值89、当 f ＝5√2 ＋ 1 时，求 f² 10f ＋ 26 的值90、已知 g ＝6√3 5，求 g² 12g ＋ 40 的值十、综合应用类91、一个直角三角形的两条直角边分别为√12 厘米和√27 厘米，求这个直角三角形的面积。
根式的运算技巧
平方根与立方根一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“a称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a”。
2、立方根：⑴、定义：如果x3=a，则x叫做a”（a称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3≥0有意义的条件是a≥0。
4、公式：⑴2=a（a≥0（a取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
例1求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2)3(-； （3）49151； ⑷ 21(3)-例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-.（5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ 10227-； ⑶二、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数.例4、若,622=----y x x 求y x 的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值. 我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a的非算术平方根.练习：1、若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是（ ）．A ．2B ．±2C ．4D ．±42、144的算术平方根是 ，16的平方根是 ；3、若m 的平方根是51a +和19a -，则m = ．4、327= ， 64-的立方根是 ；5、7的平方根为 ，21.1= ；6、一个数的平方是9，则这个数是 ，一个数的立方根是1，则这个数是 ；7、平方数是它本身的数是 ；平方数是它的相反数的数是 ；8、当x= 时，13-x 有意义；当x= 时，325+x 有意义；9、若164=x ，则x= ；若813=n ，则n= ；10、若3x x =，则x= ；若x x -=2，则x ；11、15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____12、解方程：0324)1(2=--x （2） 3125(2)343x -=-（3 ） 264(3)90x --= （4）31(1)802x -+=1323(2)0y z -++=，求xyz 的值。
根式计算方法和技巧
根式计算方法和技巧根式计算是一种常见的数学运算，以下是一些根式计算的方法和技巧：1. 化简根式：将根号内的数化简为最简形式，例如将$\sqrt{18}$ 化简为 $3\sqrt{2}$。
化简根式可以方便计算和比较大小。
2. 合并根号：可以将根号内的因子相同的项合并在一起，例如将 $\sqrt{6} + \sqrt{24}$ 合并为 $\sqrt{6} + 2\sqrt{6}$。
3. 提取公因子：将根号内的数字进行因式分解，然后提取出公因子。
例如，将 $\sqrt{75}$ 提取公因子得到 $5\sqrt{3}$。
4. 有理化分母：当根号出现在分母中时，可以通过乘以一个适当的分数，将根号消除在分母之外。
例如，将$\frac{1}{\sqrt{2}}$ 有理化分母得到 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。
5. 分解质因数：将根号内的数字进行质因数分解，以便更容易进行计算和化简。
例如，将 $\sqrt{72}$ 分解质因数得到$\sqrt{2^3 \cdot 3^2}$。
6. 倍乘：将根号内的数字进行倍数化，使得根号后面的数字变为完全平方数。
例如，将 $\sqrt{32}$ 倍乘得到$\sqrt{16}\cdot\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
7. 嵌套根式：当根号内还有其他根式时，可以将其转换为简单的根式。
例如，将$\sqrt{\sqrt{2}}$ 转换为$2^{\frac{1}{4}}$。
8. 平方差公式：根据平方差公式 $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，可以简化一些根式的计算。
例如，将 $\sqrt{9-4}$ 使用平方差公式简化为 $\sqrt{(3-2)(3+2)}=\sqrt{1}=1$。
以上是一些常见的根式计算方法和技巧，通过灵活运用这些方法和技巧，可以更高效地进行根式计算。
根式运算规律
根式运算规律全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：根式运算是数学中常见的运算形式之一，它在代数、几何和数学分析等不同领域都有着重要的应用。
根式运算的规律包括基本规律、乘法规律、除法规律、加法规律和减法规律等，掌握这些规律对于解题和计算都是至关重要的。
下面我们将详细介绍根式运算的各种规律。
1. 基本规律根式运算的基本规律是最基础的规律，也是其他规律的基础。
根式运算中，我们常见的是平方根和立方根。
平方根的表示方法是√a，表示a的平方根；立方根的表示方法是∛a，表示a的立方根。
根式运算中，我们要注意的是求根号下的数称为“被开方数”，开方的数称为“根指数”。
根式运算的基本规律包括：（1）若a>0，则√a存在且唯一；（2）若a≥0，则√a≥0；（3）若a≥0，则∛a≥0；（4）若a>0，则∛a存在且唯一。
这些基本规律是使用根式进行运算时的基础，我们要牢记并灵活运用。
2. 乘法规律根式运算中的乘法规律是根据数学运算中的乘法法则来推导的。
根据乘法法则，根式运算中的乘法规律包括以下几点：（1）对于任意非负实数a和b，有√a*√b=√(ab)；（2）对于任意非负实数a和b，有∛a*∛b=∛(ab)；（3）对于任意非负实数a和b，有√a*∛b=√(a)*∛b；（4）对于任意非负实数a和b，有√a*∛b=√(a)*√(b)*√(b)。
乘法规律是在根式运算中常见的运算规律，我们在进行乘法运算时，要注意根号下的数和根指数的乘积，以及根式的合并。
根式运算是数学中重要的一部分，掌握根式运算的规律和性质能帮助我们更好地理解数学，提高数学解题的能力。
在学习根式运算时，我们要注重理论和实践相结合，通过大量的练习来巩固和运用所学知识。
希望本文介绍的根式运算规律对大家有所帮助，欢迎大家继续深入学习和探索数学的奥秘。
第二篇示例：根式运算是数学中的一个重要分支，也是我们在日常生活中经常会用到的知识点。
根式可以用来表示一个数的平方根、立方根等，它在代数、几何等数学领域都有着广泛的应用。
根数的运算公式
根数的运算公式好嘞，以下是为您生成的关于“根数的运算公式”的文章：咱先来说说啥是根数哈。
根数这玩意儿，在数学里可重要了。
就比如说平方根、立方根啥的，那都是根数的常见形式。
记得我当年读中学的时候，有一次数学考试，就因为根数的运算公式没搞清楚，吃了大亏。
那是一次模拟考，有一道题是计算一个数的立方根。
我当时迷迷糊糊的，公式记错了，结果答案算得一塌糊涂。
考试结束后，看着那惨不忍睹的分数，心里那个懊悔啊！从那以后，我就下定决心，一定要把根数的运算公式给整明白。
咱们先从最简单的平方根说起。
一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
就像 4 的平方根，那就是正负 2 。
这计算公式就是，如果一个数 x 的平方等于 a ，那 x 就等于正负根号 a 。
比如说，要算 9 的平方根，因为 3 的平方是 9 ，负 3 的平方也是 9 ，所以 9 的平方根就是正负 3 。
立方根呢，就稍微复杂一点。
一个数的立方根只有一个。
比如说 8 的立方根，因为 2 的立方是 8 ，所以 8 的立方根就是 2 。
计算公式就是，如果 x 的立方等于 a ，那 x 就等于三次根号 a 。
在实际运算中，咱还得注意一些小细节。
比如说，根号下的数得大于等于 0 ，要是负数可就没意义啦。
再来说说根式的运算。
根式的加减，得先把根式化成最简根式，如果被开方数相同，那就像合并同类项一样，把系数相加减就行。
比如说，根号 8 加上根号 18 ，先把它们化成最简根式，根号 8 就是 2 倍根号 2 ，根号 18 就是 3 倍根号 2 ，一加起来就是 5 倍根号 2 。
根式的乘除就更有意思啦。
根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。
根式相除，把被开方数相除，根指数不变。
就像根号 2 乘以根号3 ，那就是根号 6 。
还有啊，有时候会遇到一些复杂的式子，需要进行化简。
这时候就得灵活运用各种公式和方法。
比如说，分母有理化，就是把分母中的根式去掉，让式子变得更简洁。
总之，根数的运算公式虽然看起来有点复杂，但只要咱多练习，多琢磨，就一定能掌握得妥妥的。
根式运算的方法
根式运算的方法根式是关于数的一种特殊表示方式，可以用于表示数的平方根、立方根等。
根式运算是进行根式的加减、乘除等操作。
本文将介绍一些根式运算的基本方法。
根式的基本性质在进行根式运算之前，首先要了解一些根式的基本性质：1. 乘方与开方的互逆性：若$a$是一个非负实数，$m$和$n$是整数，那么$(\sqrt[m]{a})^n = \sqrt[m]{a^n}$。
2. 根式的乘法法则：$\sqrt[m]{a} \cdot \sqrt[m]{b} = \sqrt[m]{a\cdot b}$。
3. 根式的除法法则：$\frac{\sqrt[m]{a}}{\sqrt[m]{b}} =\sqrt[m]{\frac{a}{b}}$。
根式的加减法根式的加减法需要先化简，然后根据根式的性质进行运算。
下面是一些示例：示例1：同次根式的加减对于同次根式，即指数相同的根式，可以直接进行加减运算。
例如，计算$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}$：首先化简为同次根式：$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{\frac{2}{2}} = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{10}$。
然后使用加法法则：$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{10} = \sqrt[3]{2 + 10} = \sqrt[3]{12}$。
示例2：异次根式的加减对于异次根式，即指数不同的根式，需要进行化简后再进行加减运算。
例如，计算$\sqrt[4]{3} - \sqrt[2]{2}$：首先化简为同次根式：$\sqrt[4]{3} - \sqrt[2]{2} = \sqrt[4]{3} - \sqrt[2]{2} \cdot \sqrt[4]{\frac{3}{3}} = \sqrt[4]{3} - \sqrt[2]{6}$。
根式的运算技巧
根式的运算技巧根式的运算平方根与立方根一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果$x^2=a$，则$x$叫做$a$的平方根，记作“$\pm\sqrt{a}$”（$a$称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；$0$的平方根是$0$；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数$a$的正的平方根叫做$a$的算术平方根，记作“$\sqrt{a}$”。
2、立方根：⑴、定义：如果$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根，记作“$\sqrt[3]{a}$”（$a$称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；$0$的立方根是$0$；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是$\pm1$；算术平方根是其本身的数是正数；立方根是其本身的数是$1$或$-1$。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3、$a$本身为非负数，即$a\geq0$；$a$有意义的条件是$a\geq0$。
4、公式：⑴$(\pm\sqrt{a})^2=a$（$a\geq0$）；⑵$(\sqrt[3]{a})^3=a$（$a$取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于$a$，则每一个非负数都为$\leq a$（此性质应用很广，务必掌握）。
例1：求下列各数的平方根和算术平方根1）$64$；（2）$-3$；（3）$1$例2：求下列各式的值1）$\pm81$；（2）$-16$；（3）$\dfrac{2}{3}$；（4）$-4$；（5）$1.2$；（6）$-36$；（7）$\pm7$例3：求下列各数的立方根：⑴$343$；⑵$-2$三、巧用被开方数的非负性求值.我们知道，当$a\geq0$时，$a$的平方根是$\pm a$，即$a$是非负数。
例4：若$2-x-\sqrt{x-1}=6$，求$-\sqrt[3]{y}$，其中$y=x-2-\sqrt{x-1}$。
根式函数的函数值计算
根式函数是数学中常见的一种函数，其函数表达式为n次幂根。
根式
函数的特点是函数图像都会连接首尾，使其具有一定的可循环性质。
根式函数比较适用于计算多项式函数的函数值。
首先，在计算根式函数求函数值的时候，需要依据该函数的表达式。
根式函数的表达式中需要指出是第几次幂根以及该次幂根包含的参数，如一般情况下根式可以表达为：
f(x)=a_1√x+a_2√x+...+a_n√x
其中a_1,a_2,...a_n 均为常数，x 为变量。
其次，在计算根式函数求函数值的时候，需要根据x的取值，来进行
函数求值计算。
因此，计算根式函数函数值的核心公式为：
f(x)=a_1√x+a_2√x+...+a_n√x=a_1√a_1+a_2√a_2+...+a_n√a_n,
其中a1,a2,...an均为常数，x 为变量。
再次，当x的取值为实数的时候，根式函数的函数值计算可以采用一
种特殊的数学工具，即幂律式，将根式函数特殊化为以下形式：
f(x)=a_1x^(1/n)+a_2x^(1/n)+...+a_nx^(1/n)
这样，根式函数的函数值计算，就可以转换为求多项式函数的函数值
计算，也就是根据x的取值，求出多项式函数的函数值。
最后，根式函数的绝对值可以求出来。
基本的绝对值求法为：将函数
中的根号消除，把常数值乘以变量值，最后取正数。
通过以上内容，可以明确根式函数求函数值的方法，首先要正确设定函数表达式，其次根据变量x的取值，求出时多项式函数的函数值，最后再求出根式函数的绝对值。
计算根式函数的函数值可以大大提高数学多项式函数的求解效率，因此有着非常重要的数学意义。
根号的运算公式大全
根号的运算公式大全开根号基础公式：①√ab=√a·√b﹙a≥0b≥0﹚这个可以交互使用。
这个最多运用于化简，如：√8=√4·√2=2√2；②√a／b=√a÷√b﹙a≥0b﹥0﹚；③√a=|a|（其实就是等于绝对值）这个知识点是二次根式重点也是难点。
当a=0时，√a=0；当a＜0时，√a=－a(等于它的相反数)；④分母有理化：分母不能有二次根式或者不能含有二次根式。
根号的运算法则如下：1、相乘时：两个有平方根的数相乘等于根号下两数的乘积，再化简；2、相除时:两个有平方根的数相除等于根号下两数的商,再化简;3、相加或相减:没有其他方法,只有用计算器求出具体值再相加或相减;4、分母为带根号的式子，首先让分母有理化，使②分母没有根号，而把根号转移到分5、同次根式相乘(除) ,把根式前面的系数相乘(除) ,作为积(商)的系数;把被开方数相乘(除) ,作为被开方数，根指数不变，然后再化成最简根式。
非同次根式相乘(除) ，应先化成同次根式后，再按同次根式相乘(除)的法则。
根号是一个数学符号。
根号是用来表示对一个数或一个代数式进行开方运算的符号。
在实数范围内，偶次根号下不能为负数，其运算结果也不为负。
奇次根号下可以为负数。
若a=b，那么a是b开n次方的n次方根或a是b的1/n次方。
开n次方手写体和印刷体用表示，被开方的数或代数式写在符号左方√￣的右边和符号上方一横部分的下方共同包围的区域中，而且不能出界。
用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试（竖式中（3×20+4）×4=256，说明试商4就是平方根的第二位数）；根号对于初学者来说也许会比较难理解,不过,多多认识他也就习惯了.根号里带一个数字（暂且称它为a）指的是这个数字的正的平方根（称之为b）.即b的平方为a.概念清楚后,先来简单的自然数.。
根式的运算
根式的运算根式的运算是数学中的一种基本运算，它主要涉及到对根号下的数的加减乘除等运算。
根式运算在代数、几何以及物理等学科中都有广泛的应用。
在本文中，我们将探讨根式运算的基本概念和常见的运算规则，以帮助读者更好地理解和应用根式运算。
一、根式的概念根式是指形如√a的表达式，其中√称为根号，a称为被开方数。
根式可以是整数、分数、小数或者其他形式的数。
根式运算主要涉及到对根号下的数的加减乘除等运算。
二、根式的加减法根式的加减法遵循以下规则：1. 根号下的数相同的根式可以直接相加或相减。
例如，√2 + √2 = 2√2，√3 - √3 = 0。
2. 根号下的数不同的根式不能直接相加或相减，需要进行化简。
例如，√2 + √3不能化简，只能写成√2 + √3。
3. 根号下的数相同但系数不同的根式可以合并。
例如，2√2 + 3√2 = 5√2。
三、根式的乘法根式的乘法遵循以下规则：1. 根号下的数相同的根式可以直接相乘。
例如，√2 × √2 = 2。
2. 根号下的数不同的根式可以通过乘法公式进行化简。
例如，√2 × √3 = √(2 × 3) = √6。
3. 根号下的数相同但系数不同的根式可以合并。
例如，2√2 × 3√2 = 6 × 2 = 12。
四、根式的除法根式的除法遵循以下规则：1. 根号下的数相同的根式可以直接相除。
例如，√6 ÷ √2 = √(6 ÷2) = √3。
2. 根号下的数不同的根式可以通过除法公式进行化简。
例如，√6 ÷ √3 = √(6 ÷ 3) = √2。
3. 根号下的数相同但系数不同的根式可以合并。
例如，2√6 ÷ 3√6 = (2 ÷ 3) = 2/3。
五、根式的化简根式的化简是指将根号下的数化为最简形式。
化简根式可以通过以下方法进行：1. 将根号下的数分解质因数，然后将相同的质因数提取出来。
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二次根式计算题
1．2
1418122-+- 2．3)154276485(÷+-
3．x x x x
3)1
246(÷- 4．21)2()12(18---+++
5．0)13(27132
--+- 6.
2590121.0÷-；
7.221237-； 8.
()1
021*******-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+
9.
10.
11.是否存在实数m ，使最简二次根式 与 是同类二次根式？若存在，
求出m 的值；若不存在，请说明理由。
a ab
a b a ab 3
132722323+-2)23()25)(25(---+2-m m -26
12．已知：132
-=x ，求12+-x x 的值。
13、先化简，再求值： ，其中x=
14.已知：
的值。
求代数式22,211881-+-+++-+-=x y
y x
x y y x x x y
x x
x x -÷-++12)11
11
(2
二次根式测试题
一、 选择题
1x 的取值范围是（ ）
(A)x ≥3 (B)x>3 (C)x<3 (D)x ≤3
2．下列根式中，最简二次根式的是（ ）
(A)3.0 (B)5
2 (C)c ab 22 3．化简32的结果是（ ） (A)25 (B)24 (C)2
3 (D)26
4 ）
(A)9 (B )±3 (C)3 (D)-3
5．计算3÷6的结果是（ ） (A)2
1 (B)26 (C)23 (D)
2 6．计算18(-)8÷2的结果是（ ） (A)2
1 (B)
2 (C)22 (D)42 7．下列选项中，使根式有意义的a 的取值范围为a<1的是（ ）
8．下列各组二次根式化简后，被开方数相同的一组是（ ）
((A)93和 (B)3
13和 (C)318和 (D)2412和 9．下列代数式中，x 能取一切实数的是（ ）
(A)x
1 (C)x 3 (D)1—x 10．下列运算错误的是（ ） (A)2×3=6 (B)
21=2
2 (C)22+23=25 (D)221(）—=1-2
二、填空题
11．计算64=__________. 12．计算2)32(=_________
13．计算210 =___________ 14．如2m =4，则m=__________
152=___________
16x 的取值范围为_______________
17．计算36a ÷2a
的结果是____________
19．长方形的长a=,502b=323，则长方形的面积s 为__________
20．已知一个自然数的算术平方根为a ，则比这个自然数小5的数是_________
三、解答题
21．计算 (1)3×23 (2)2+8
(3)27×32÷6 (4)(4+3)(4-3)
(5)(23-32)2 (6)(54-218)÷6
(7)(3+1)2-23
22．已知x=3+2，y=3-2，求x2+2xy+y2的值。