初升高数学衔接知识专题讲义6 求二次函数最值。

初升高数学衔接知识专题讲义4 二次函数的最值问题 重、难点：
求二次函数最值
【要点回顾】
1．二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的最值．
二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a
=-处取得最小值244ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值2
44ac b a
-，无最小值． 2．二次函数最大值或最小值的求法．
第一步确定a 的符号，a ＞0有最小值，a ＜0有最大值；
第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．
3．求二次函数在某一范围内的最值．
如：2y ax bx c =++在m x n ≤≤（其中m n <）的最值．
第一步：先通过配方，求出函数图象的对称轴：0x x =；
第二步：讨论：
[1]若0a >时求最小值或0a <时求最大值，需分三种情况讨论：
①对称轴小于m 即0x m <，即对称轴在m x n ≤≤的左侧；
②对称轴0m x n ≤≤，即对称轴在m x n ≤≤的内部；
③对称轴大于n 即0x n >，即对称轴在m x n ≤≤的右侧。

[2] 若0a >时求最大值或0a <时求最小值，需分两种情况讨论： ①对称轴02
m n x +≤
，即对称轴在m x n ≤≤的中点的左侧； ②对称轴02m n x +>，即对称轴在m x n ≤≤的中点的右侧； 说明：求二次函数在某一范围内的最值，要注意对称轴与自变量的取值范围相应位置，具体情况，参考例２，３，4。

【例题选讲】
求下列函数的最大值或最小值．
（1）5322--=x x y ； （2）432+--=x x y ．
例１. 已知16)(2+-=x x x f ，（1）当22≤≤-x 时，求)(x f 的最值；（2）当64≤≤x 时，求)(x f 的最值；（3）当52≤≤x 时，求)(x f 的最值。

练习:
１．已知函数2()2f x x x =-当（1）x 为一切实数(
2)33(3)02(x x x x -≤≤≤≤≤≤-≤≤-
分别求)(x f 的最值； ２．当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．
３．当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．
例２已知11x -≤≤ 求函数23y x ax =++的最大值和最小值
例3已知函数221y x ax =++在12x -≤≤上的最大值为4，求a 的值．
练习:
已知函数2296(2)y x ax a a =--+-在1133
x -
≤≤上有最大值为－３，求a 的值．
例4当1t x t ≤≤+时，求函数21522
y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．
解：函数21522
y x x =
--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时：当x t =时，2min 1522
y t t =--； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+⇒≤≤时： 当1x =时，
2min 1511322
y =⨯--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：当1x t =+时，22min 151(1)(1)3222
y t t t =+-+-=-．
综上所述：2213,0
23,01
15,12
2t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩ 练习:
已知函数223y x x =-+（1t x t ≤≤+）求此函数的最大值和最小值
例5某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m (件)与每件的销售价x (元)满足一次函数1623,3054m x x =-≤≤．
(1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件销售价x 之间的函数关系式；
(2) 若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
【巩固练习】
1. 已知x x x f 2)(2+-=，试根据以下条件求)(x f 的最大、小值。

（1）x 取任意实数；（2）01≤≤-x ；（3）32≤≤x ；（4）40≤≤x
2．抛物线2(4)23y x m x m =--+-，当m = _____ 时，图象的顶点在y 轴上；当m = _____ 时，图象的顶点在x 轴上；当m = _____ 时，图象过原点．
3．用一长度为l 米的铁丝围成一个长方形或正方形，则其所围成的最大面积为 ________ ．
4．设0a >，当11x -≤≤时，函数21y x ax b =--++的最小值是4-，最大值是0，求,a b 的值．
5．求关于x 的二次函数221y x tx =-+在11x -≤≤上的最大值(t 为常数)．
6. 已知x x x f +-=22
1)(，当n x m ≤≤时，)(x f 取值范围为n y m 22≤≤，求m 、n 值。

７．已知αβ，是关于x 的方程x 2-2mx+4m 2-6=0的两个实数根，求()()2211αβ-+-的最值
8.已知x 2+2y 2=1求2x+5y 2的最大值和最小值
A 组
1解不等式
（1）0122<--x x （2）0822
>--x x
（3）022>++-x x （4）0202<+--x x
（5）22)3()12(->-x x （6）012≤-x
（7）042≥+-x （8）0122≤++x x
2．解下列方程组： （1）221,420;x y x y ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩
（2）22(3)9,20;x y x y ⎧-+=⎨+=⎩
（3）22224,2.
x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ 3．解下列不等式：
（1）3x 2－2x ＋1＜0； （2）3x 2－4＜0；
（3）2x －x 2≥－1； （4）4－x 2≤0．
B 组
1．m 取什么值时,方程组
24,2y x y x m
⎧=⎨=+⎩ 有一个实数解?并求出这时方程组的解．
2．解关于x 的不等式x 2－(1＋a )x ＋a ＜0（a 为常数）．
C 组
1．已知关于x 不等式2x 2＋bx －c ＞0的解为x ＜－1，或x ＞3．试解关于x 的不等式
bx 2＋cx ＋4≥0．
2．试求关于x 的函数y ＝－x 2＋mx ＋2在0≤x ≤2上的最大值k ．。