湖南省长沙市周南中学2019-2020学年学业水平合格性考试数学压题卷一 Word版含答案
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【点睛】
本题主要考查三角函数的图像变换，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.
3．C
【解析】
【分析】
先求出每个个体被抽到的概率，再用后勤服务人员的总人数乘以此概率，即可求解.
【详解】
每个个体被抽到的概率等于 ，
由于后勤服务人员有 人，
故应抽取后勤服务人员数为： .
故选：C
【点睛】
本题考查了分层抽样的特征，注意每个个体被抽到的机会均等，属于基础题.
12．曲线 （ 且 ）恒过定点P，则P点坐标为___________.
13．已知甲、乙两位同学8次数学单元测试的成绩（百分制）可用如图所示的茎叶图表示，且甲同学的成绩的平均数比乙同学成绩的平均数小2，则 ________．
14．圆锥的母线长是 ，侧面积是 ，则该圆锥的高为______.
三、解答题
15．某校书法兴趣组有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：
A． B． C． D．
6．在△ABC中， ，则 （）
A． B． C． D．1
7．圆 与直线 的位置关系是（）
A．相交B．相切C．相离D．以上三种情况都有可能
二、填空题
8．函数 的定义域为_____．
9．已知向量 ，且 ，则 ___________.
10．不等式 的解集是________.
11．在等差数列 中， ， ，则 ________
则 ，解得 ．
故答案为：4
【点睛】
本题考查的是由茎叶图中的数据计算平均数，较简单.
14．
【解析】
【分析】
17．已知 为定义在 上的奇函数，当 时，函数解析式为 .
（1）求 的值，并求出 在 上的解析式；
（2）若对任意的 ，总有 ，求实数 的取值范围.
18．如图所示：在三棱锥 中，平面 平面 ， 为等边三角形， 且 ， 分别为 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
参考答案
1．D
【解析】
一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这6名同学中随机选出2人参加书法比赛 每人被选到的可能性相同 ．
用表中字母列举出所有可能的结果；
设M为事件“选出的2人来自不同年级且性别相同”，求事件M发生的概率．
16．在直角坐标系 中，已知锐角 和 的顶点都在坐标原点始边都与x轴非负半轴重合，且终边与单位圆交于点 和点 ，求 的值.
【解析】
【分析】
直接利用等差数列性质得到答案.
【详解】
根据等差数列性质： ，故 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了等差数列性质的应用，属于简单题.
12．
【解析】
【分析】
令解析式中的指数 ，求出 的值，再代入解析式求出 的值，即得到定点的坐标.
【详解】
解：由于函数 恒经过定点（0，1），
令 ，可得 ，代入 得 ，
6．B
【解析】
【分析】
利用正弦定理求得 的值.
【详解】
由正弦定理得 ，所以 ，解得 .
故选：B
【点睛】
本小题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题.
7．C
【解析】
【分析】
通过比较圆心到直线的距离和半径即可得到位置关系.
【详解】
圆 的圆心坐标是 ，半径是 ，因为圆心 到直线 的距离 ，满足 ，所以圆 与直线 的位置关系是相离，
D．先把横坐标缩短到原来的 倍，然后向右平移 个单位
3．某公司有员工 人，其中业务员有 人，管理人员 人，后勤服务人员 人，现用分层抽样法从中抽取一个容量为 的样本，则抽取后勤服务人员（）
A． 人B． 人C． 人D． 人
4．若 且 ，则下列不等式成立的是( )
A． B． C． D．
5．已知 ，则 ( )
故函数 （ 且 ）恒过定点的坐标为 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查指数函数的图象过定点（0，1）的应用，即令解析式中的指数为0，求出对应的 和 的值，属于基础题．
13．4
【解析】
【分析】
由图中数据算出甲同学成绩的平均数，然后可得乙同学成绩的平均数，然后即可算出 .
【详解】
依题意，甲同学成绩的平均数为 ，
【详解】
因为 ，所以 ，解得 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.
10．
【解析】
【分析】
将不等式变形，再求出一元二次方程的根，即可写出不等式的解集.
【详解】
不等式 等价于
由于方程 的解为： 或
所以
故答案为：
【点睛】
本题主要考查的是一元二次不等式的解法，是基础题.
11．
【点睛】
本题考查了不等式的性质，结合不等式的性质，举特例是解决这类问题的常见方法.
5．A
【解析】
【分析】
根据角度的范围，使用平方关系，可得 ，进一步可得 ，然后利用两角和的正切公式展开，简单计算，可得结果.
【详解】
由 且
所以 ，则
则
故选：A
【点睛】
本题考查平方关系以及两角和的正切公式，重在于对公式的应用，考验计算能力，属基础题.
故选:C
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系的判定，比较圆心到直线的距离和半径即可.
8．
【解析】
【分析】
要使函数 ，则有 ，然后解出即可.
【详解】
要使函数 ，则有 ，解得
所以函数 的定义域为
故答案为：
【点睛】
本题考查的是函数定义域的求法，较简单.
9．
【解析】
【分析】
由向量平行的坐标表示得出 ，求解即可得出答案.
【分析】
直接根据交集和补集的定义求解即可．
【详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查集合的交集、补集运算，属于基础题．
2．A
【解析】
【分析】
把 上所有的点横坐标缩短到原来的 倍可得到函数 的图象，再把 的图象向左平移 个单位得到函数 .
【详解】
把 上所有的点横坐标缩短到原来的 倍可得到函数 的图象，再把 的图象向左平移 个单位得到函数 ，故答案为A
4．D
【解析】
【分析】
利用不等式的性质对四个选项逐一判断.
【详wenku.baidu.com】
选项A: ，符合 ，但不等式 不成立，故本选项是错误的；
选项B:当 符合已知条件，但零没有倒数，故 不成立，故本选项是错误的；
选项C:当 时， 不成立，故本选项是错误的；
选项D:因为 ，所以根据不等式的性质，由 能推出 ，故本选项是正确的，因此本题选D.
学业水平合格性考试压题卷一
一、单选题
1．已知全集 ，其中 ， ，则 等于（）
A． B． C． D．
2．为了得到 函数的图象，只需把 上所有的点（）
A．先把横坐标缩短到原来的 倍，然后向左平移 个单位
B．先把横坐标缩短到原来的2倍，然后向左平移 个单位
C．先把横坐标缩短到原来的2倍，然后向左移 个单位
本题主要考查三角函数的图像变换，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.
3．C
【解析】
【分析】
先求出每个个体被抽到的概率，再用后勤服务人员的总人数乘以此概率，即可求解.
【详解】
每个个体被抽到的概率等于 ，
由于后勤服务人员有 人，
故应抽取后勤服务人员数为： .
故选：C
【点睛】
本题考查了分层抽样的特征，注意每个个体被抽到的机会均等，属于基础题.
12．曲线 （ 且 ）恒过定点P，则P点坐标为___________.
13．已知甲、乙两位同学8次数学单元测试的成绩（百分制）可用如图所示的茎叶图表示，且甲同学的成绩的平均数比乙同学成绩的平均数小2，则 ________．
14．圆锥的母线长是 ，侧面积是 ，则该圆锥的高为______.
三、解答题
15．某校书法兴趣组有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：
A． B． C． D．
6．在△ABC中， ，则 （）
A． B． C． D．1
7．圆 与直线 的位置关系是（）
A．相交B．相切C．相离D．以上三种情况都有可能
二、填空题
8．函数 的定义域为_____．
9．已知向量 ，且 ，则 ___________.
10．不等式 的解集是________.
11．在等差数列 中， ， ，则 ________
则 ，解得 ．
故答案为：4
【点睛】
本题考查的是由茎叶图中的数据计算平均数，较简单.
14．
【解析】
【分析】
17．已知 为定义在 上的奇函数，当 时，函数解析式为 .
（1）求 的值，并求出 在 上的解析式；
（2）若对任意的 ，总有 ，求实数 的取值范围.
18．如图所示：在三棱锥 中，平面 平面 ， 为等边三角形， 且 ， 分别为 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）求三棱锥 的体积.
参考答案
1．D
【解析】
一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这6名同学中随机选出2人参加书法比赛 每人被选到的可能性相同 ．
用表中字母列举出所有可能的结果；
设M为事件“选出的2人来自不同年级且性别相同”，求事件M发生的概率．
16．在直角坐标系 中，已知锐角 和 的顶点都在坐标原点始边都与x轴非负半轴重合，且终边与单位圆交于点 和点 ，求 的值.
【解析】
【分析】
直接利用等差数列性质得到答案.
【详解】
根据等差数列性质： ，故 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查了等差数列性质的应用，属于简单题.
12．
【解析】
【分析】
令解析式中的指数 ，求出 的值，再代入解析式求出 的值，即得到定点的坐标.
【详解】
解：由于函数 恒经过定点（0，1），
令 ，可得 ，代入 得 ，
6．B
【解析】
【分析】
利用正弦定理求得 的值.
【详解】
由正弦定理得 ，所以 ，解得 .
故选：B
【点睛】
本小题主要考查正弦定理解三角形，属于基础题.
7．C
【解析】
【分析】
通过比较圆心到直线的距离和半径即可得到位置关系.
【详解】
圆 的圆心坐标是 ，半径是 ，因为圆心 到直线 的距离 ，满足 ，所以圆 与直线 的位置关系是相离，
D．先把横坐标缩短到原来的 倍，然后向右平移 个单位
3．某公司有员工 人，其中业务员有 人，管理人员 人，后勤服务人员 人，现用分层抽样法从中抽取一个容量为 的样本，则抽取后勤服务人员（）
A． 人B． 人C． 人D． 人
4．若 且 ，则下列不等式成立的是( )
A． B． C． D．
5．已知 ，则 ( )
故函数 （ 且 ）恒过定点的坐标为 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查指数函数的图象过定点（0，1）的应用，即令解析式中的指数为0，求出对应的 和 的值，属于基础题．
13．4
【解析】
【分析】
由图中数据算出甲同学成绩的平均数，然后可得乙同学成绩的平均数，然后即可算出 .
【详解】
依题意，甲同学成绩的平均数为 ，
【详解】
因为 ，所以 ，解得 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.
10．
【解析】
【分析】
将不等式变形，再求出一元二次方程的根，即可写出不等式的解集.
【详解】
不等式 等价于
由于方程 的解为： 或
所以
故答案为：
【点睛】
本题主要考查的是一元二次不等式的解法，是基础题.
11．
【点睛】
本题考查了不等式的性质，结合不等式的性质，举特例是解决这类问题的常见方法.
5．A
【解析】
【分析】
根据角度的范围，使用平方关系，可得 ，进一步可得 ，然后利用两角和的正切公式展开，简单计算，可得结果.
【详解】
由 且
所以 ，则
则
故选：A
【点睛】
本题考查平方关系以及两角和的正切公式，重在于对公式的应用，考验计算能力，属基础题.
故选:C
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系的判定，比较圆心到直线的距离和半径即可.
8．
【解析】
【分析】
要使函数 ，则有 ，然后解出即可.
【详解】
要使函数 ，则有 ，解得
所以函数 的定义域为
故答案为：
【点睛】
本题考查的是函数定义域的求法，较简单.
9．
【解析】
【分析】
由向量平行的坐标表示得出 ，求解即可得出答案.
【分析】
直接根据交集和补集的定义求解即可．
【详解】
解：∵ ， ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查集合的交集、补集运算，属于基础题．
2．A
【解析】
【分析】
把 上所有的点横坐标缩短到原来的 倍可得到函数 的图象，再把 的图象向左平移 个单位得到函数 .
【详解】
把 上所有的点横坐标缩短到原来的 倍可得到函数 的图象，再把 的图象向左平移 个单位得到函数 ，故答案为A
4．D
【解析】
【分析】
利用不等式的性质对四个选项逐一判断.
【详wenku.baidu.com】
选项A: ，符合 ，但不等式 不成立，故本选项是错误的；
选项B:当 符合已知条件，但零没有倒数，故 不成立，故本选项是错误的；
选项C:当 时， 不成立，故本选项是错误的；
选项D:因为 ，所以根据不等式的性质，由 能推出 ，故本选项是正确的，因此本题选D.
学业水平合格性考试压题卷一
一、单选题
1．已知全集 ，其中 ， ，则 等于（）
A． B． C． D．
2．为了得到 函数的图象，只需把 上所有的点（）
A．先把横坐标缩短到原来的 倍，然后向左平移 个单位
B．先把横坐标缩短到原来的2倍，然后向左平移 个单位
C．先把横坐标缩短到原来的2倍，然后向左移 个单位