矩阵的运算与K-复数的运算关系

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矩阵的运算

§2 矩阵的运算一、矩阵的相等、加、减、数乘、乘法、转置与共轭(A +B )=A +B (kA )=kA (k 为任意复数) (AB )τ=BA (反序定律)(A 1A 2...A s )=τττ12...A A A s(A k )=(A )k (k 为整数)二、矩阵的初等变换与初等矩阵设I =⎥⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎢⎡10101，称为单位矩阵.用数k（0）乘矩阵的第i 列（或行）初等变换具有性质：1° 任何矩阵（a ij ）都可经过有限次初等变换化为对角矩阵（a ij ）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0001012° 初等变换不改变矩阵的秩.三、矩阵的微积分假设矩阵A 的元素a ij 都是参数t 的函数，那末1° 矩阵A 的导数定义为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==t a t a ta t a t a tat a t a t a A tA mn m m n n d d ...d d d d ............d d ...d d d d d d ...d d d d d d 212222111211同样可定义矩阵的高阶导数. 2° 矩阵A 的积分定义为⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰t a t a ta t at at a t a t a ta t A mn m m n nd ...d d ............d ...d d d ...d d d 212222111211同样可定义矩阵的多重积分.四、特殊矩阵[零矩阵与零因子] 元素a ij 全为零的矩阵称为零矩阵，记作O =(0)=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0...00............0 (00)0 (00)零矩阵具有性质：O +A =A +O =A OA =AO =OA +(－A )=O ,－A 称为A 的负矩阵若A ,B 为非零矩阵，即A ≠O ,B ≠O ,而AB =O ,则称矩阵A 为矩阵B 的左零因子，矩阵B 为矩阵A 的右零因子，例如A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111,B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111 AB =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1111=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0000=O[对角矩阵] 主对角线以外的元素都是零（d ij =0,i ≠j ）的方阵称为对角矩阵，记作D =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n d d d 0...021=diag(d 1,d 2,...,d n )=[ d 1 d 2 ... d n ] 对角矩阵具有性质： 1° 左乘BDB =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n d d d 0021⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n b b b b b b b b b .....................212222111211=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n n n n b d b d b d b d b d b d b d b d b d ............... (2)12222221211121111 =)(ij i b d 2° 右乘BBD =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n b b b b b b b b b (2)12112111211⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n d d d 0021=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n n n n b d bd b d b d b d bd b d b d b d (2211222)22111122111 3° 两个对角矩阵的和、差、积仍为对角矩阵.[数量矩阵] d i =d (i =1,2,...,n )的对角矩阵称为数量矩阵，记作D =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡d d d00 =[d d... d ]显然DB =BD =dB .[单位矩阵] d =1的数量矩阵称为单位矩阵，记作 I =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10101 =「1 1 ... 1」显然IB =BI =B .[对称矩阵] 满足条件a ij =a ji (i ,j =1,2,...,n )的方阵A =(a ij )称为对称矩阵.例如A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--423261315 是对称矩阵.对称矩阵具有性质：若A ,B 都是对称矩阵，则A A=τ,且A －1（使A －1=A －1A =I 的矩阵.详见本节，六），A m (m 为正整数)，A +B 仍是对称矩阵.［实对称矩阵］实对称矩阵按其特征值（本节，七）可分为正定矩阵，半正定矩阵、负定矩阵、半负定矩阵和不定矩阵，它们的定义与充分必要条件如下[反对称矩阵] 满足条件⎩⎨⎧-=jiij a a 0 )()(j i j i ≠= (i ,j =1,2,...,n )的方阵A =(a ij )称为反对称矩阵.例如A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---023201310 是反对称矩阵.反对称矩阵具有性质：１° 若A ,B 都是反对称矩阵，则A τ=－A ,且A －1, A +B 仍是反对称矩阵，A m 为⎩⎨⎧反对称矩阵对称矩阵）（）（为奇数为偶数m m２° 任意方阵A 都可分解为一个对称矩阵B =(b ij )与一个反对称矩阵C =(c ij )之和，即A =B +C只需取b ij =21 (a ij +a ji ),c ij =21(a ij -a ji )(i ,j =1,2,...n )[埃尔米特矩阵] 满足条件A τ=A的方阵A 称为埃尔米特矩阵.例如A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--++-4232231212215i i i i i i 是埃尔米特矩阵.埃尔米特矩阵具有性质：若A ,B 都是埃尔米特矩阵，则1-A ,A +B 仍是埃尔米特矩阵.若A 又是实方阵（即a ij 全为实数），则A 就是对称矩阵.[反埃尔米特矩阵] 满足条件A τ=A -的方阵A 称为反埃尔米特矩阵.例如A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+--+-05250212210i i i i i i 是反埃尔米特矩阵.反埃尔米特矩阵具有性质：若A ,B 都是反埃尔米特矩阵，则1-A , A +B 仍是反埃尔米特矩阵.若A 又是实方阵，则A 就是反对称矩阵.[正交矩阵] 满足条件A τ=1-A的方阵A 称为正交矩阵.例如 A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-θθθθcos sin sin cos 是正交矩阵.正交矩阵具有性质：若A =(a ij )和B 都是正交矩阵，则 1° 1-A , AB 仍是正交矩阵. 2° det A =±1.3° ⎩⎨⎧=∑=011n k jk ik a a )()(j i j i ≠=⎩⎨⎧=∑=011n k kj ki a a )()(j i j i ≠=[酉(U )矩阵] 满足条件1-=A A τ的方阵A 称为酉(U )矩阵.例如：A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡00i i 是酉矩阵.酉矩阵具有性质：若A =(a ij )和B 都是酉矩阵，则 1° A -1,AB 仍是酉矩阵. 2° det A ∙det A =1.3° 若A 又是实方阵，则A 是正交矩阵.[带型矩阵] 满足条件a ij =0 )(m j i >-的方阵A =(a ij )称为带型矩阵.2m +1称为带宽.一般形式为A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--++++nn mn n n m n n n n m a a a a a a a,,1,11,11,11100[三角矩阵] 满足条件a ij =0 (i >j )的方阵A =(a ij )称为上三角形矩阵，一般形式为A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n a a a a a a 022211211 满足条件()j i b ij <=0的方阵()ij b B =称为下三角形矩阵，一般形式为B =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n b b b b b b 212221110 三角形矩阵具有性质：1° 任何秩为r 的方阵C 的前r 个顺序的主子式不为0时，C 可表为一个上三角形矩阵A与一个下三角形矩阵B 的乘积，即C =AB2° 上（或下）三角形矩阵的和、差、积及数乘仍是上（或下）三角形矩阵.[分块矩阵] 用水平和垂直虚线将矩阵A 中的元素的阵列分成小块（称为子阵），A 就成为分块矩阵.例如A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211a a a a a a a a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211B B B B 式中B 11=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211a a a a，B 12=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2313a a B 21=[]3231a a , B 22=[]33a 它们都是A 的子阵. 进行分块矩阵的运算时，可将子阵当作通常矩阵的元素看待.这些运算指加、减、乘法、数乘、转置与共轭等.[分块对角矩阵] 主对角线上的子阵都是方阵，其余子阵都是零矩阵的分块矩阵称为分块对角矩阵.一般形式为A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡kkB O B O O O B 2211 分块对角矩阵A 的逆矩阵A －1和A 的行列式可以用下面简单公式求出A －1=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---1122111KK B OB O Bdet A =det B 11·det B 22·...·det B kk注意，一般分块矩阵的行列式不能用把子阵当作通常矩阵的元素的方法来计算，例如把四阶方阵化为分块矩阵A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡44434241343332312423222114131211...........................a a a a a a a a a a a a a a a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211B B B B 一般det A =det B 11·det B 22－det B 21·det B 12不成立（参见§1，二，3中的四阶行列式）.五、相似变换[相似变换] 如果有一非奇异矩阵X （即det X ≠0）使得B =1-X AX那末称矩阵A 与矩阵B 相似，也称A 经相似变换化为B ，记作A ~B .它具有下列性质： 1° A ~A ,AA .2° 若A ~B ,则BA .3° 若A ~C ,B ~C ,则A ~B .4° 1-X (A 1+ A 2+...+ A m )X =1-X A 1X + 1-X A 2X + ...+ 1-X A m X 5° 1-X (A 1 A 2 ...A m )X =1-X A 1 X ·1-X A 2 X ·... ·1-X A m X 6° 1-X A m X =( 1-X AX )m7° 若)(A f 为矩阵A 的多项式，则1-X )(A f X =)(1AX X f -8° 若A ~B ，则A 与B 的秩相同，即rank A =rank B . A 与B 的行列式相同，即det A =det B .A 与B 的迹（定义见本节，七）相同，即tr A =tr B . A 与B 具有相同的特征多项式和特征值（本节，七）.[正交变换] 若Q 为正交矩阵（即1-Q =Q τ）,则称Q τAQ 为矩阵A 的正交变换，其性质与相似变换类似.特别还有性质：对称矩阵A 经正交变换后仍是对称矩阵.[旋转变换] 取正交矩阵U 为)(p)(qU pq =(u ij )=)()(11cos sin 11sin cos 11q p ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡θθ-θθ 即u pp =u qq =θcosu pq =-u qp =θsin u ii =1 (i ≠p,q )u ij =0 (i,j ≠p,q;i ≠j ) 这时称B =pq pq AU U τ为A 的旋转变换，称为旋转角，如果A 是对称矩阵，那末B 的元素b ij 与A 的元素a ij 有如下对应关系：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=θ+θ=θ-θ=θ-θ+θθ-==θ+θθ+θ=θ+θθ-θ=ijijqj pj qj qj pj pj pq qq pp qp pqqq pq pp qq qq pq pp pp a b a a b a a b a a a b b a a a b a a a b cos sin sin cos )sin (cos cos sin )(cos cos sin 2sin sin cos sin 2cos 222222）其他元素(),(),(q p j q p j ≠≠同时有性质：∑=nj i ija1,2=∑=nj i ij b 1,2∑=ni iia 12∑=≤ni ii b 12 若取旋转角pqpp qq a a a 2cot arc 21-=θ则旋转变换使0==qp pq b b六、逆矩阵[逆矩阵及其性质] 若方阵A ,B 满足等式AB=BA=I (I 为单位矩阵)则称A 为B 的逆矩阵，或称B 为A 的逆矩阵,记作A=1-B 或B=1-A这时A,B 都称为可逆矩阵（或非奇异矩阵，或满秩矩阵）.否则称为不可逆矩阵（或奇异矩阵，或降秩矩阵）.可逆矩阵具有性质：1° 若A,B 为可逆矩阵，则AB 仍为可逆矩阵，且111)(---=A B AB （反序定律）一般地，若A 1 ,A 2 ,…,A s 为可逆矩阵，则=-121)(s A A A 11121---A A A s2° 矩阵A 可逆的充分必要条件是：det A ≠0.3° 若矩阵A 可逆，则det 1-A ≠0 且 det 1-A =(det 1)-A11)(--A =A , 111)(---=A a aA (a ≠0)1)(-τA =(1-A )τ,()()11--=A A4° 矩阵A 可逆的充分必要条件是：矩阵A 的特征值全不为零.[伴随矩阵与逆矩阵表达式] 设A ij 为矩阵A =(a ij )的第i 行第j 列元素a ij 的代数余子式，则矩阵A *=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn nnn n A A A A A A A A A (2122212)12111称为矩阵A 的伴随矩阵.若A 为非奇异矩阵，即det A ≠0,则A 的逆矩阵表达式为AA A det *1=-注意，A *的第i 行第j 列元素是A 的第j 行第i 列元素的代数余子式.[对角矩阵的逆矩阵] 对角矩阵D =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n d d d 0...021, d i ≠0 (i =1,2,...,n )的逆矩阵为D －1=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---112110...0n d d d 显然对角矩阵的逆矩阵仍是对角矩阵.[三角形矩阵的逆矩阵] 三角形矩阵L =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n l l l l l l ...............0...0...21222111, 00=≠ij ii l l )(),...,2,1(i j n i >= 的逆矩阵为1-L =P =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n p p p p pp ...............0...0 (02)1222111 式中iiii l p 1=(i =1,2,...,n )∑-=-=11i jk kj ikiiij p ll p⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=n j i n j ,...,11,...,2,1 0=ij p)(i j >显然非奇异下（上）三角形矩阵的逆矩阵仍是下（上）三角形矩阵.[正定矩阵的逆矩阵] 1° 高斯—若当法正定矩阵A =(a ij )的逆A －1=(b ij )可由下列递推公式求出：)1(11)(1-=k k nnaa, )1(11)1(1)(1,----=k k jk j n aa a, )1(11)1(1)(,1---=k k i k ni a a a)1(11)1(1)1(1)1()(1,1-------=k k jk i k ij k j i aa a a a )2,...,1,,(-=n n j i ij n ij a a =)((k=1,2,...,n )最后得到)(n ijij a b = 式中n 为该正定矩阵A 的阶. 2° 三角阵法其步骤如下：（1）把正定矩阵A =(a ij )表示为A =ΛD Λτ式中D 为实的非奇异对角矩阵D =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n d d d 0021为实的非奇异下三角矩阵.Λ=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡λλλλ-1111,2121n n n n是的转置矩阵.d i (i =1,2,...,n )与λij (i =2,...,n;j=1,…,n )由下面递推公式算出：0=ij λ)(i j > 1=λii ),...,2,1(n i =∑-=-=11j k jk ik ij ij x a x λ)1,...,2,1;,...,2(-==i j n ijij ij d x =λ)1,...,2,1;,...,2(-==i j n i∑-=-=11i k ik ik ii i x a d λ),...,2,1(n i =（2）求出D 的逆矩阵1-D =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡n d d d 11121（3）求出Λ的逆矩阵1-Λ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1112121 n n ρρρ 式中⎪⎩⎪⎨⎧=-=∑-=11ii i jk kjik ij ρρλρ ),...,2,1(),...,2,1;1,...,2,1(n i n j j i n j =++=-=（4）求出A 的逆矩阵1-A =(ΛD 1)-τΛ=(1-Λ)τ1-D 1-Λ =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n βββββββββ212222112111式中∑==nik kkjki ij d ρρβ ),,2,1;,,2,1(n i i j ==注意，这种方法的好处是避免了求平方根的运算.[分块矩阵的逆矩阵] 设非奇异矩阵A 的分块矩阵为A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211B B B B 式中B 11,B 22为方子阵，那末A 的逆矩阵A －1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211C C C C由下面公式求出111211211111111212221221211112112111212222)(-------=-=-=-=B B C B C B B C C C B B C B B B B C[初等变换法求逆矩阵] 设1-A =1212222111211...........................-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n b b b b b b b b b 212222111211=B 对矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡100010001212222111211 nn n n n n a a a a a a a a a 作一系列行的初等变换，使虚线左边一块矩阵化为单位矩阵，而右边一块单位矩阵就变为A 的逆矩阵B =A －1,即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n b b b b b b b b b212222111211100010001[逆矩阵的近似求法] 设10-A 为矩阵A 的初始近似逆矩阵，可由下列迭代公式求出更精确的逆矩阵：)2(1111---+-=n n n AA I A A (n=0,1,2,...)式中I 为与A 同阶的单位矩阵.[计算机求逆程序的检验矩阵] 用下列n 阶非奇异矩阵及其逆矩阵，来检验大矩阵求逆的计算程序.A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++-+------+-++222210221211210002112100002112122100021222n n n n n n1-A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------n n n n n n n n n n n n n13211432341223111221七、特征值与特征矢量[特征值与特征矢量] 对n 阶方阵A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211 和n 维非零列矢量α=(a 1,a 2,...,a n )τ如果有一个数λ，使得A α=λα则称λ为矩阵A 的特征值（特征根），α为矩阵A 的特征值λ所对应的特征矢量. 矩阵A 的所有特征值中绝对值最大的一个称为A 的第一特征值.[特征矩阵特征多项式特征方程] n 阶方阵A =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211 的特征矩阵定义为=-I A λ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---λλλnn n n n n a a a a a aa a a212222111211 式中I 为n 阶单位矩阵.行列式|A －λI |称为矩阵A 的特征多项式，记作（）=|-A λI |方程（）＝０称为矩阵A 的特征方程.[矩阵的迹与谱] n 阶方阵A 的主对角线上各元素之和称为A 的迹，记作∑==ni ii a A 1tr特征方程（）＝０的n 个根1，2，...，n 就是矩阵A 的n 个特征值.集合{1，2，...，n }称为矩阵A 的谱，记作ch A .线性齐次方程组0)(=-αλI A i的非零解便是矩阵A 的特征值i 所对应的特征矢量.[特征值与特征矢量的性质]1° 设1，2，...，n 为n 阶方阵A 的n 个特征值，则A k 的特征值为k n k k λλλ,,,21 （k 为正整数）. A 的逆矩阵A －1的特征值为11211,,,---n λλλ .A 的伴随矩阵A *的特征值为A A A n 11211,,,---λλλ .2° n 阶方阵A 的n 个特征值之和等于A 的迹，矩阵A 的n 个特征值之积等于A 的行列式，即1+2+...+n =a 11+a 22+...+a nn12...n =A由此可以推出矩阵可逆的另一充分必要条件是：A 的所有特征值都不为零. 3° 若i 是特征方程的k 重根，则对应于i 的线性无关的特征矢量的个数不大于k .当i 为单根时，对应于i 的线性无关特征矢量只有一个.4° 矩阵A 的不同特征值所对应的特征矢量线性无关.若n 阶方阵A 对应于特征值1，2，...，s 的线性无关的特征矢量分别有k 1,k 2,...,k s个，则这∑=s i i k 1个特征矢量线性无关，且n k si i ≤∑=1.5° 实对称矩阵的特征值都是实数，并且有 n 个线性无关（而且是正交）的特征矢量. 6° 矩阵的特征值在相似变换下保持不变，特别，A τ与A 具有相同的特征值.[求第一特征值的迭代法] 在实际问题中，往往不要求算出矩阵A 的全部特征值，只需算出第一特征值，用迭代法计算如下：⎩⎨⎧=λ=α++b αα)0()1()1(1)(k k k A )2,1,0( =k 假定当ε<-+)1()(m m αα时，可以认为(k ) ≈(m +1)，那末迭代到m k =即可.这时)1(1+m λ为矩阵A 的第一特征值的近似值，(m +1)为所对应的特征矢量.[求实对称矩阵的雅可比法] 设n 阶实对称矩阵A =(a ij )的特征值是1，2，...，n ，则必存在一正交矩阵Q ，使得Q τAQ =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡λλλn 0021为对角矩阵.正交矩阵Q 可用一系列旋转矩阵的积来逼近：Q =∏pq U式中)()(11cos sin 11sin cos 11)()()(q p u U q p ij pq⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==θθθθ取pqpp qq a a a 2cot arc 21-=θ因为在这种旋转变换下，消去了矩阵中位于第p 行第q 列(p ≠q )交点上的元素（见本节，五），而矩阵所有元素的平方和保持不变，而且对角线上的元素的平方和增大，因而非对角线元素的平方和随之减小，因此，当旋转次数足够大时,可使非对角线元素的绝对值足够小.对于预先给定的精度>0,如果｜a ij ｜<(i ≠j ),则可认为a ij ≈0.于是得到求矩阵A 的特征值与特征矢量的具体迭代方法.1° 按以下递推公式求特征值1，2，...，n ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=θ=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+->-+=θ=⎪⎩⎪⎨⎧<ςς++ς-≥ςς++ς=θ=-=θ=ς--2221212)()()(1sin )0(11)0(112tan )0()1()0()1(tan 22cot k k k k k k k k k kk k k k k k k k pq k pp k qq k t t s t t t t t t v t a a a⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===≠≠=≠-+=≠+-=+=-=+++++),2,1(),,2,1,(),,,()()()()()1()1()()()()1()()()()1()()()1()()()1( k n j i a a q p j q p i a a q j a a s a a p j a a s a a a t a a a t a a ij ij kijk ijk qj k k pj k k qj k qj k pj k k qj k k pj k pj k pqk k qq k qq k pqk k pp k pp υυ假定当)()(j i a m ij ≠<ε时，可以认为0)(≈m ij a ，则迭代到1-=m k 即可.而取)(m iia 作为i的近似值：),,2,1(n i a miii =≈λ2° 求特征矢量从1°有m m m m U U AU U U U 1111-- τττ=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ0021记P m =U 1…U m-1U m则AP m = P m ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n λλλ0021所以P m 为特征矢量矩阵.P m 由下列递推公式算出：)1,,2,1(),,2,1,(),,2,1(),()()()1()()1()()()()1()()()()1(-=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===≠=-+=+-=+++m k n j i u u n i q p j u u u u s u u u u s u u ijij k ijk ij k iq k k ip k k iq k iq k ip k k iq k k ip k ip υυ最后得到 )()(m ij m u P =即 τ),,,()()(2)(1)(m ni m i m i m i u u u u =为对应于特征值i 的特征矢量的近似值.[求对称三对角矩阵特征值的方法]1° 相似变换法设A 为n 阶对称三对角矩阵：A =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--n n n d e e d e e d e e d 113222111(1)经过相似变换1211211)(U U U I t A U U U A n k k n k --+-=τττ式中I 为单位矩阵,t k 为适当选定的常数，U i 为雅可比旋转矩阵：)1()(1111)1()(+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=+i i c s s c U i i ii i iiτi U 为U i 的转置矩阵.又A 1=A ，A k +1与k k t A -I 相似，且A m 与∑-=-111m j j I t A 相似.因此，若A m 的特征值为),,2,1()(n i m i =λ，则A 1的特征值i (i=1,2,...,n )为∑-=+=11)(m j j m ii t λλ(i =1,2,…,n )假定当),,2,1()(n i e m i =<ε时，可认为0)(≈m i e ，那末可适当选择s i ，c i ，使得当m 充分大时，A m 在该精度下化为对角线矩阵；其特征值),,2,1()()(n i d m i m i =≈λ.)(m i d (i=1,2,...,n )可由下列递推公式算出：()())1,,2,1;1,2,,2,1(,)]([)(//g ])()[(0,,)(1)(1)1(1)(1)(1)1(1)(1)(1)1(1)()()(1)()()(1)1(1)(1)()()()()(1)()()(1)(1)()(1)(1(k)1)()(1(k)1212)(2)(1)(1)()(-=--=⎪⎩⎪⎨⎧===-++=--=====+==-=+++++++++++++++++++++m k n n i q s e q c d r s e t d s g c s h d g s t d c q r e s r q c q c h e c c q rs c t d q k k k k k k k i k i k i k k i k i k i k i k i k i k i k i k i k k i k i k i k i k i k i k i k i k i k i k i i k i k i i k ik i k i k nk n k k n k nt k 的选择对收敛速度影响较大，取t k 为二阶矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡)(2)(1)(1)(1k k k k d e e d 的接近于)(1k d 的那个特征值，即t k =⎪⎩⎪⎨⎧≥ββ++β-<ββ+-β-)0()1/()0()1/(2)(1)(12)(1)(1k k k k e d e d式中 )(1)(1)(22k k k e d d -=β 2° 二分法设A 为n 阶对称三对角矩阵（如（1）式），对任意，设序列q 1()=d 1-q i ()=),,2()()(121n i q e d i i i =----λλ中q i ()<0的个数为N ()(在这些关系式中，对于某些i ，如果q i -1()=0，则只需用适当小的数代替即可），则N ()等于矩阵A 的小于的特征值的个数.假定矩阵A 的第k 个特征值k (1≤2≤… ≤k ≤…≤n )在区间[u ,υ]中，令21υ+=u r ,当N (r 1)≥k 时，则k ∈[u , r 1]；当N (r 1)<k 时，则k ∈[ r 1,v ];…依此类推，m步之后，k 包含在宽度为mu2-υ的区间中.m 充分大时，便可得到所求的特征值.八、矩阵多项式与最小多项式[矩阵多项式] 设i a (i=1,2,...,n )为某一数域（实数域或复数域）中的数，A 为这个数域上的n 阶方阵，则表示式f (A )=a 0I+a 1A+...+a n A n称为矩阵A 的多项式，式中I 为n 阶单位矩阵.如果矩阵A 使得f (A )=O那末称A为多项式f(λ)=a0λ+ a1λ+ ...+a nλn的根.[哈密顿-凯莱定理] 任一方阵都是它的特征多项式的根.[最小多项式及其性质] 以矩阵A为根的非零多项式f(λ)中，存在首项系数为1次数最低的多项式(λ)，它就称为矩阵A的最小多项式.最小多项式具有性质：1°任一方阵仅有一个最小多项式；2°任一以A为根的多项式f(λ)都可被A的最小多项式(λ)所整除.特别，任一方阵的最小多项式可整除其特征多项式；3°方阵A的特征多项式的根都是A的最小多项式的根：4°相似矩阵具有相同的特征多项式和最小多项式.。

矩阵的基本运算与性质

矩阵的基本运算与性质矩阵是线性代数中重要的数学结构，它广泛应用于统计学、物理学、计算机科学等领域。

本文将介绍矩阵的基本运算和性质，包括矩阵的加法、减法、数乘、乘法以及转置等运算。

一、矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法是指将两个矩阵进行逐元素地相加或相减的运算。

假设我们有两个矩阵A和B，它们的维度相同，即有相同的行数和列数。

矩阵的加法运算可以表示为C = A + B，其中C的每个元素等于A和B对应元素的和。

同理，矩阵的减法运算可以表示为D = A - B，其中D的每个元素等于A和B对应元素的差。

二、矩阵的数乘运算矩阵的数乘运算是指将一个实数或复数与矩阵的每个元素相乘的运算。

假设我们有一个矩阵A和一个实数k，矩阵A的数乘运算可以表示为B = kA，其中B的每个元素等于k乘以A对应元素的值。

三、矩阵的乘法运算矩阵的乘法运算是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵的运算。

矩阵乘法的定义要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

假设我们有两个矩阵A和B，A的维度为m×n，B的维度为n×p，那么矩阵的乘法运算可以表示为C = AB，其中C的维度为m×p。

矩阵乘法的元素计算方式为C的第i行第j列元素等于A的第i行与B的第j列对应元素乘积的和。

四、矩阵的转置运算矩阵的转置运算是指将矩阵的行转换为列，将列转换为行的操作。

假设我们有一个矩阵A，A的转置可以表示为A^T。

A^T的第i行第j 列元素等于A的第j行第i列元素，即A^T的维度为n×m，其中A的维度为m×n。

矩阵的基本性质：1. 矩阵的加法和减法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A +B) + C = A + (B + C)。

2. 矩阵的乘法满足结合律，即(A × B) × C = A × (B × C)。

3. 矩阵的加法和数乘运算满足分配律，即k(A + B) = kA + kB，(k + l)A = kA + lA。

矩阵的定义与基本运算

矩阵的定义与基本运算矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域，如数学、物理、计算机科学等。

它是由一组数按照规定的排列方式组成的矩形阵列。

在本文中，我们将探讨矩阵的定义、基本运算以及其在实际应用中的重要性。

一、矩阵的定义矩阵可以用一个大写字母表示，如A、B等。

一个m行n列的矩阵可以表示为A=[a_ij]，其中1 ≤ i ≤ m，1 ≤ j ≤ n。

矩阵中的每个元素a_ij都是一个实数或复数。

矩阵的行数m和列数n分别称为矩阵的维数，记作m×n。

二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法矩阵的加法是指对应位置上的元素相加。

如果两个矩阵A和B的维数相同，即都是m×n，则它们的和记作C=A+B，其中C的维数也是m×n。

具体而言，C的第i行第j列的元素等于A的第i行第j列的元素与B的第i行第j列的元素之和。

2. 矩阵的数乘矩阵的数乘是指将矩阵的每个元素都乘以一个常数。

如果矩阵A的维数是m×n，常数k是一个实数或复数，则kA表示将A的每个元素都乘以k得到的新矩阵。

具体而言，kA的第i行第j列的元素等于k乘以A的第i行第j列的元素。

3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵。

如果矩阵A的维数是m×n，矩阵B的维数是n×p，则它们的乘积记作C=AB，其中C的维数是m×p。

具体而言，C的第i行第j列的元素等于A的第i行的元素与B的第j列的元素分别相乘后再相加得到的结果。

4. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。

如果矩阵A的维数是m×n，则它的转置记作A^T，维数是n×m。

具体而言，A^T的第i行第j列的元素等于A的第j行第i列的元素。

三、矩阵在实际应用中的重要性矩阵在实际应用中具有广泛的重要性。

以下是矩阵在几个领域中的应用示例：1. 线性代数矩阵在线性代数中起着重要的作用。

线性方程组的求解可以通过矩阵的运算来实现。

矩阵的基本概念与运算

矩阵的基本概念与运算矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。

本文将介绍矩阵的基本概念、运算规则以及常见的应用。

一、矩阵的基本概念矩阵是由数个数排列成的矩形阵列。

矩阵可以用方括号表示，例如：A = [a11, a12, a13;a21, a22, a23;a31, a32, a33]其中a11、a12等为矩阵元素，按行排列。

矩阵的行数为m，列数为n，则该矩阵称为m×n矩阵。

矩阵可以是实数矩阵，也可以是复数矩阵。

实数矩阵的元素全为实数，复数矩阵的元素可以是复数。

例如：B = [3+2i, -4-7i, 5+6i;-2+3i, 1-5i, -2i]二、矩阵的运算1. 矩阵的加法和减法若A、B为同型矩阵（行数和列数相同），则有：A +B = [a11+b11, a12+b12, a13+b13;a21+b21, a22+b22, a23+b23;a31+b31, a32+b32, a33+b33]A -B = [a11-b11, a12-b12, a13-b13;a21-b21, a22-b22, a23-b23;a31-b31, a32-b32, a33-b33]2. 矩阵的数乘若A为m×n矩阵，k为标量，则有：kA = [ka11, ka12, ka13;ka21, ka22, ka23;ka31, ka32, ka33]3. 矩阵的乘法若A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则它们的乘积AB为m×p矩阵，满足：AB = [c11, c12, c13;c21, c22, c23;c31, c32, c33]其中：c11 = a11b11 + a12b21 + a13b31c12 = a11b12 + a12b22 + a13b32c13 = a11b13 + a12b23 + a13b33...c33 = a31b13 + a32b23 + a33b334. 矩阵的转置若A为m×n矩阵，则其转置记作A^T，为n×m矩阵，满足：A^T = [a11, a21, a31;a12, a22, a32;a13, a23, a33]三、矩阵的应用1. 网络图论矩阵可以用于表示和分析网络图论中的关系和连接。

矩阵的基本运算与应用知识点总结

矩阵的基本运算与应用知识点总结矩阵是线性代数中的重要概念，具有广泛的应用。

它不仅在数学领域有重要作用，还在物理学、统计学、计算机科学等领域得到广泛应用。

本文将对矩阵的基本运算和应用进行总结。

一、矩阵的定义与表示矩阵是一个由m行和n列元素排列成的矩形数组。

一个m×n矩阵的大小通常表示为m×n。

矩阵中的元素可以是实数、复数或其他数域中的元素。

矩阵常用大写字母表示，如A、B。

二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法矩阵的加法规则是对应元素相加，要求两个矩阵的行数和列数相等。

设A、B是同型矩阵，则它们的和A+B也是同型矩阵，其定义为：(A+B)ij = Aij + Bij。

2. 矩阵的减法矩阵的减法与加法类似，也是对应元素相减。

两个矩阵相减要求行数和列数相等。

设A、B是同型矩阵，则它们的差A-B也是同型矩阵，其定义为：(A-B)ij = Aij - Bij。

3. 矩阵的数乘矩阵的数乘是将矩阵的每个元素都乘以一个实数或复数称为数乘。

设A为一个矩阵，k为实数或复数，则数乘后的矩阵kA，其中矩阵kA 的每个元素均为k乘以A相应元素的积。

4. 矩阵的乘法矩阵的乘法不同于数乘，它是指矩阵之间的乘法运算。

设A为m×n 矩阵，B为n×p矩阵，那么它们的乘积AB为m×p矩阵，其定义为：(AB)ij = ΣAikBkj，其中k的范围是1到n。

三、矩阵的应用1. 线性方程组的求解矩阵在线性方程组的求解中发挥着重要作用。

通过矩阵的系数矩阵和常数矩阵，可以将线性方程组转化为矩阵乘法的形式，进而用矩阵运算求解方程组的解。

2. 特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量是矩阵在线性代数中的重要概念。

特征值表示了矩阵的某个线性变换的影响程度，而特征向量表示了在该变换下不变的方向。

3. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列对换得到的新矩阵。

转置后的矩阵在一些应用中具有特殊的性质，并且在计算中常常用到。

矩阵的性质与运算法则

矩阵的性质与运算法则矩阵作为数学中的重要概念，在现代科学技术发展中起到了举足轻重的作用。

在线性代数、图像处理、机器学习等领域中都有广泛的应用。

本文将讨论矩阵的性质与运算法则，包括矩阵的基本概念、运算法则、矩阵转置、矩阵乘法、矩阵求逆等内容。

矩阵的基本概念矩阵是由数个行列组成的方便计算的数学对象，一般用大写字母表示。

矩阵按照元素个数和元素类型的不同，可以分为实数矩阵和复数矩阵两种。

一个m×n的矩阵，可以用两个下标i和j（1≤i≤m,1≤j≤n）来表示矩阵中的每个元素，其中i表示该元素所在的行数，j表示该元素所在的列数。

矩阵的运算法则矩阵加减法是一种常见的矩阵运算法则。

对于同型的两个矩阵A和B，它们的和矩阵C的每个元素Cij= Aij+ Bij。

矩阵加减法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。

矩阵转置矩阵转置是把一个矩阵的行与列对换，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。

对于一个m×n的矩阵A，其转置矩阵AT为一个n×m的矩阵，其中ATij= Aji。

矩阵转置有以下性质：(AT)T=A，(AB)T=BTAT，(A+B)T=AT+BT。

矩阵乘法矩阵乘法是矩阵运算中比较重要的一种计算方法。

对于两个矩阵A和B，如果A的列数等于B的行数（即A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵），则可以定义A和B的乘积C为一个m×p的矩阵，其中Cij=Σk=1nAikBkj。

矩阵乘法不满足交换律，即AB≠BA，但满足结合律，即A(BC)=(AB)C。

矩阵求逆矩阵求逆是指对于一个可逆矩阵A，求出其逆矩阵A-1，使得AA-1= A-1A=I，其中I为单位矩阵。

只有方阵才能求逆，且只有行列式不为0的矩阵才是可逆矩阵。

矩阵求逆有以下性质：(A-1)-1=A，(AB)-1=B-1A-1，(AT)-1=(A-1)T。

总结矩阵的性质与运算法则一般是线性代数中必须掌握的内容。

矩阵的各种运算详解

一、矩阵的线性运算定义1 设有两个矩阵和,矩阵与的和记作, 规定为注：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算. 两个同型矩阵的和，即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵.设矩阵记,称为矩阵的负矩阵, 显然有.由此规定矩阵的减法为.定义2 数与矩阵A的乘积记作或, 规定为数与矩阵的乘积运算称为数乘运算.矩阵的加法与矩阵的数乘两种运算统称为矩阵的线性运算. 它满足下列运算规律：设都是同型矩阵，是常数，则(1)(2) ;(3)(4)(5)(6)(7)(8)注：在数学中，把满足上述八条规律的运算称为线性运算.二、矩阵的相乘定义3设矩阵与矩阵的乘积记作, 规定为其中，(记号常读作左乘或右乘.注: 只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时, 两个矩阵才能进行乘法运算.若，则矩阵的元素即为矩阵的第行元素与矩阵的第列对应元素乘积的和. 即.矩阵的乘法满足下列运算规律(假定运算都是可行的)：（1）（2）（3）（4）注: 矩阵的乘法一般不满足交换律, 即例如, 设则而于是且从上例还可看出: 两个非零矩阵相乘, 可能是零矩阵, 故不能从必然推出或此外, 矩阵乘法一般也不满足消去律,即不能从必然推出例如, 设则但定义4如果两矩阵相乘, 有则称矩阵A与矩阵B可交换.简称A与B可换.注：对于单位矩阵, 容易证明或简写成可见单位矩阵在矩阵的乘法中的作用类似于数1.更进一步我们有命题1设是一个n阶矩阵，则是一个数量矩阵的充分必要条件是与任何n阶矩阵可换。

命题2设均为n阶矩阵，则下列命题等价：（1）（2）（3）（4）三、线性方程组的矩阵表示设有线性方程组若记则利用矩阵的乘法, 线性方程组(1)可表示为矩阵形式：(2)其中矩阵称为线性方程组(1)的系数矩阵. 方程(2)又称为矩阵方程.如果是方程组(1)的解, 记列矩阵则，这时也称是矩阵方程(2)的解; 反之, 如果列矩阵是矩阵方程(2)的解, 即有矩阵等式成立, 则即也是线性方程组(1)的解. 这样, 对线性方程组(1)的讨论便等价于对矩阵方程(2)的讨论. 特别地, 齐次线性方程组可以表示为将线性方程组写成矩阵方程的形式，不仅书写方便，而且可以把线性方程组的理论与矩阵理论联系起来，这给线性方程组的讨论带来很大的便利.四、矩阵的转置定义6把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵, 称为的转置矩阵, 记作(或). 即若则.矩阵的转置满足以下运算规律(假设运算都是可行的):(1)(2)(3)(4)五、方阵的幂定义5设方阵, 规定称为的次幂.方阵的幂满足以下运算规律（假设运算都是可行的）：(1)(2)注: 一般地,为自然数命题3 设均为n阶矩阵，则有为自然数，反之不成立。

[doc格式]复数的矩阵表示

复数的矩阵表示6—38数学教学2009年第6期复数的矩阵表示200241华东师范大学数学系林磊我们知道,由于矩阵在数学及其相关学科中有着越来越多的用处,因此它已经成为现代数学中的一个重要工具.正是考虑到这一点,我们的许多新编高中数学教材已经或多或少地增加了矩阵理论初步介绍的内容,有些还提到了矩阵的各种应用,如:矩阵在几何变换中的应用等.本文试图从如何用实矩阵来表示复数这一角度介绍矩阵的另一类应用,从而进一步展示出矩阵理论的重要性.一,复数的矩阵表示及基本运算1.1复数的矩阵表示下面我们就来考虑如何用实系数矩阵来表示复数,即复数的矩阵表示.首先我们来考虑全体2阶实系数方阵集合中的一个子集:M=()∈R).也就是说,M是由主对角线元相同,而次对角线上元互为相反数的所有2阶实方阵组成的集合. 对任意的复数Z:a+bi,其中a,b是实数,我们可以构造一个2阶实系数的方阵Z=f一D1,显然矩阵z∈M.我们说JD:一Z是复数集C到矩阵集合M上的一一对应,或双射(即既是单射又是满射).1.2加法运算与减法运算我们知道形状相同的矩阵之间可以进行加法运算.对于集合M中的任意两个矩阵Z=(a6)以及(有Z+ZI=(搿一)这说明集合M关于矩阵的加法运算是封闭的,于是集合M中的任意两个矩阵可以做加法运算,所得到的和仍在M中.又由于一Z:f一?一【一DJ1∈M,一=I.,l∈,所以,M关于减法运算也是封闭的.即Z—Z=Z+(一z)=(a6一-a6,I一.(b一-.b,)∈M.:=:I,6_6,0—0,’如果我们通过映射P将复数看成与矩阵等同,那么这种等同还是保持加法运算的.这是因为我们很容易看出,如果Z=a+bq(其中a,b是实数)也是任意复数,那么p(z+Z):Z+Z=p(z)+p(z,))Vz,Z∈c.也就是说,如果我们将M中的矩阵看成是复数,那么就可以用矩阵的加法来定义复数的加法.也可以用矩阵的减法来定义复数的减法.1.3乘法运算下面我们来考虑集合M中两个矩阵的乘法.设Zl=al+bti,Z2=a2+62i是复数,其中al,bl,a2,b2都是实数.又设(),Z2=(a…2-b2)分别是Zl,z2在P下的像,那么=()(乏)=(ala2+-btb2一(a2bl一+alb2)∈Ma2blatb2ala2bib2.十一/,一. 因此,M关于矩阵的乘法运算是封闭的,并且复数与矩阵的等同还保持乘法运算,即p(zlz2)=Z1z2=p(1)p(2).1.4标量乘法运算回忆一下数与矩阵A做标量乘法(或称数乘),所得矩阵尼A是将矩阵的每个元都乘以数k.,,,对于任意实数以及矩阵z:f一D1∈M,我们有z:(苫)=(苫一七(k口b)∈M.2009年第6期数学教学6—39于是,M关于实数与矩阵的标量乘法运算封闭, 且容易验证:p(kz)=kp(z),k∈R,∈C.因此,复数与矩阵的等同也保持标量乘法运算. 我们知道,全体2阶实系数方阵集合是实数域上的线性空间,而上面的讨论说明:集合M 是的线性子空间,因而也是实数域上的线性空间.二,矩阵的其他运算与复数运算的关系2.1矩阵的转置与复数的共轭我们来回忆一下矩阵的转置运算:设A=(aij)是一个m×n矩阵,那么它的转置A1’是一个礼×仇矩阵,且它的第i行第J列的元就等于中第J行第i列的元n,￡.例如:设=(i_01Ij么/,21,T:I一101.37/『设z:fa-b1∈g,那么zT=(三三)=(三一)∈M.于是,集合M关于转置运算是封闭的.并且,若设对应的复数为=a+bi,那么Z.r对应的复数就是a—bi:,即()=T=JD()T.也就是说,复数的共轭运算对应于矩阵的转置.根据复数的矩阵表示以及矩阵转置运算的性质,我们可以从矩阵的角度来得到复数共轭运算的性质.下面就以共轭的乘法性质为例来加以说明.例1试用复数的矩阵表示来证明复数共轭运算的乘法性质:—Zl—Z2=一Zl—Z2.证明:设p(z1)=Z1,p(z2)=.那么p(z-~)=P(12)T=((1)p())T:p(2)TJD(1)T:p(瓦)p(百)=p(瓦石),再利用P是单射的性质,我们就得到—Zl—Z2===一Z2一Zl:==一Zl—Z2.注1:上述推导式子中的第三个等号是利用了转置运算的乘法性质:(AB)T=BTA T.注2:注意到上述推导过程中我们事实上是证明了等式瓦=瓦百,该等式两边1与Z2的顺序是不同的!当然由于复数的乘法满足交换律,因此这一顺序的变化是无关紧要的.但是如果我们将复数集看成哈密顿四元数集(它同样可等同于2阶方阵集的子集)的子集,那么这一等式更加合理(因为它在哈密顿四元数集中也成立).2.2对称矩阵与反对称矩阵利用矩阵的转置运算,我们可以定义对称矩阵与反对称矩阵.一个矩阵如果满足.r=A,则称矩阵为对称矩阵;如果矩阵满足A1’:一A,则称矩阵为反对称矩阵.矩阵的这一对概念与函数中的偶函数与奇函数这对概念有许多类似之处,甚至它们的性质也有许多相似之处.我们知道不管是偶函数还是奇函数,它们的定义域一定关于坐标原点对称,而与之相对应,一个矩阵不管是对称矩阵还是反对称矩阵, 它们一定是方矩阵.而所谓对称矩阵就是它各位置上的元关于主对角线是对称的,而反对称矩阵就是关于主对角线对称位置的元成互为相反实上我们用待定函数法很容易得出夕():兰,():下f(x)-f(-x).而分解的唯一性则来自于这样的事实:既是偶函数又是奇函数的函数只有零函数,且两个偶(奇) 函数之差仍为偶(奇)函数.对于矩阵而言,我们则有以下类似的结论:设是任意(实)方阵,那么存在对称矩阵B与反对称矩阵,使得A=B十,且这样的分解是唯一的.事实上,我们容易发现B=去(+T),=1云(—A1’)满足我们的要求.而分解的唯一性则来自于这样的事实:既是对称矩阵又是反对称矩6一五0数学教学2009年第6期阵的矩阵只有零矩阵,且两个对称(反对称)矩阵之差仍为对称(反对称)矩阵.矩阵的这一分解反映到集合M上就是矩阵的下列分解:=(苫)=(苦兰)+(_06).这一分解反映到复数上就是:一个(非实数的)复数可唯一地表为一个实数与一个纯虚数的和,这也正是复数(complexnumber)这一名称的来历:一般地,它是一个复合的(或混合的)数.设=(01)是2阶单位方阵,I=(),那么JD(1)=E,JD(i)=I.利用矩阵的标量乘法运算,我们可将上述分解式改写为z:f?一D1:0E+6.\Da/因此,M是一个实数域上的2维线性空间,E,则是它的一组基.而映射P将实数域上的2维线性空间C的基1,i对应到基E,.注意到1=一.2.4方阵的行列式我们知道,对于每个方阵A,我们都可以定义它的行列式det(A)(或fAI).特别地,设复数Z=a+6i对应的矩阵为Z,那么det(p(=det(Z)=Ia6-abI=a2+b2=2.因此,M中矩阵Z的行列式恰好与它所对应的复数的模的平方相一致.利用这一点我们可用行列式的性质来验证复数的模的性质.例如,因为lZlZ21=det(p(zlz2))=det(p(z1)P(Z2))=det(p(z1))det(p(z2))=[zl[Iz21,所以IZlZ2I=lZlI?12I.注3:上述公式推导中我们利用了行列式的乘法法则,即det(AB)=det(A)det(B).2.5可逆方阵对于一个方阵,如果det(A)≠0,那么是可逆的,并且它的逆矩阵A_1==:,这里A是A的伴随矩阵.特别地,对于Z= fa,-b1∈M,当det(Z)=a2+b2≠0,即Z不是零矩阵时,Z可逆,且它的逆矩阵为:::=南(三)∈M.设复数≠0对应的矩眸为Z,那么是非零矩阵,因此它有逆矩阵z_..而E=p(1)=p(zz)=p(zMz)=Zp(z),所以p()就是Z的逆矩阵,即p(z)=Z_..于是,M中矩阵的逆矩阵与该矩阵所对应的复数的逆元相对应.三,表示矩阵与线性变换3.1平面上的线性变换对于平面R上的任意一个变换.厂,如果满足如下两个条件:.厂(+):,()+,(),,∈R.,,()=,(),∈R,∈R.,那么就称.厂是一个线性变换.容易验证:如果是任意2阶实方阵,则=()一()是一个线性变换,并且平面R上的每个线性变换都具有上述形式.3.2由表示矩阵确定的线性变换下面我们来考虑由复数的表示矩阵确定的线性变换有什么特点.设z=(若)∈M,那么()一z()=(言呈)()=.(),于是由Z确定的线性变换就是数乘变换.当a> 0时,该变换就是放因子n的缩放变换?再假设z:f:1∈M,J~det(Z):1,即a2+b2=1,那么存在0∈【0,27r),使得z=(吕_c).我f『]知道由这样的矩阵z确走的线性变换()一(C幽OS-sin0)()就是绕坐标原点逆时针旋转0角的旋转变换. 对于一般的非零矩阵z=(苫-.b)∈M,设r=v/~t(Z)=,//00+b>0,那么我们有z=(a6-nb)=r(薹),(下转第6-2页)6—2数学教学2009年第6期生将来的学习生活上,经常采用生活与数学解题类比的方法.我正在写《关于数学解题中的哲学智性》的文章.文章以数学方法为主线,而暗线则是数学思想.比如待定系数法,背后就蕴含着基本量思想,就是基本量思想的运用.我关于解题的专题,其实是我关于数学与文化的一种理解.解题如人生.社会上任何事情都有共同的规律,学校则可以是一个模拟场所.解题首先遇到的最大困惑是不知道自己要干什么,茫无头绪.方:数学证明题有”已知”,”求记’,”求证”应该就是目标.杨:可是一般的求解题,学生就往往找不到方向了.当我给学生指出目标时,他们就会高兴起来.方:有了方向和目标,下一步怎么样呢?杨:第一个问题是知道干什么,属于认识论问题.解题的第二个困难是知道干什么,但不知道怎么干,属于方法论的问题.学生将来走向社会的时候也会遇到这些困难的,即解决方法问题. 第三个困难是知道干什么,也知道怎么干,但不知道干得怎么样,这是主体对自身行为的评估与反省的问题.所以苟子说的做人要一日三省,这是有道理的,即要进行必要的反思.我的一个观点是,学习本身就是人生的一个模拟场所,不能停留在知识层面上,知识有时仅仅是一个载体, 其实所有的学科都一样.方:学习本身就是人生的一个模拟场所,这是对学习理解的另一个境界.杨:假如把数学解题只看作数学内部的事情,把它与做其他事情人为地割裂开来的话,学生没有融入大的环境去学习数学,那他的局限性就很大了.有的人认为读书应该读成学究式的,我认为不尽然,读成生意人也可以.有很多大学教授都可以成为成功的生意人,我认为他们仍然是真正的读书人,他们的读书是成功的.方:你在生意上也可以说是成功的.杨:只是小的成功啦.不过,我一直认为数学学习尤其是数学解题,可以看作是一个人生的模拟场所.拿立体几何来说,即在空间图形中营造自己的”经营范围”,把那些该求的东西转到我的地盘上来,即把空间的东西转到平面上来,然后来个釜底抽薪,带着自己的一股”资金”,脱离几何体,回归到平面几何,另立”户头”,这样”经营”不就成功了?!做生意就是这么回事,你说呢? 方:闻所未闻.杨:前面我所提的老子的话:”求学易多,求道易损,损之又损,以致无为”.这是清醒的一个高境界.我在《数学教学》上发过”‘擦隐法’的教学实践与思考”一文.我在教学中经常”擦,擦, 擦”,在课堂上有擦黑板的夸张动作.实际上,我擦掉的是有把握的部分,剩下的是没有把握的部分.这样我们就能够抓住问题解决的主要矛盾, 即擦去非本质的干扰因素,凸现事物的本质. 方:但是对教育者而言,有时需要制造必要的干扰信息,让学生进行探究.杨:其实,教的目的是为了不教.我们制造干扰信息,是为了学生能够擦去干扰信息.方:教学是一种培养智慧的策略.杨:所以,人的聪明也好,智商也好,这些都是为了解决问题,而智慧是为了提出问题.方:现在我们中学生不会提出问题,这是很可怕的.杨:所以我们要改,新教材为什么要这样搞,目的就在于此.教育部想改变一下教材,然后通过教材来改变老师的教学观念,让学生改变对学习的看法,其出发点很好.但现在不少的老师不理解,把几本书都发给学生,然后教师重新组合,按照老的顺序去上.这样,学生的考试或许能够考得起来(这里涉及到考试信息及体制等因素),但真正的创造力就另当别论了.方:看来,数学教学还是有很多学问值得我们研究,谢谢你!(上接第6-40页),合.其:(r.),=a:),方N.det(Z2)=1.所以一般地,由非每表亲矩阵z且这种表示还可以与图形的线性变换相联系,更。

中学数学掌握复数与矩阵的运算法则

中学数学掌握复数与矩阵的运算法则数学是一门抽象而又实用的学科，而在中学数学的学习过程中，复数与矩阵的运算法则是一个重要的内容。

本文将就中学数学中复数与矩阵的运算法则进行探讨与分析。

一、复数的基本概念与运算法则复数是由实数和虚数组成的数。

在复数中，虚数单位i定义为两个数学运算性质的平方根，即i^2 = -1。

在复数表示中，实数部分称为实部，虚数部分称为虚部。

复数运算法则包括加法、减法、乘法和除法。

具体而言，复数的加法法则如下：对于两个复数 z1 = a + bi 和 z2 = c + di ，它们的和为 z = (a + c) + (b + d)i。

复数的减法法则如下：对于两个复数 z1 = a + bi 和 z2 = c + di ，它们的差为 z = (a - c) + (b - d)i。

复数的乘法法则如下：对于两个复数 z1 = a + bi 和 z2 = c + di ，它们的乘积为 z = (ac - bd) + (ad + bc)i。

复数的除法法则如下：对于两个复数 z1 = a + bi 和 z2 = c + di ，它们的商为 z = [(ac +bd)/(c^2 + d^2)] + [(bc - ad)/(c^2 + d^2)]i。

上述法则可以帮助我们完成复数的基本运算，而对于复数的平方、立方等高次幂运算，可以通过多次使用乘法法则来实现。

此外，对于复数的共轭运算，可以将复数的虚部取负得到。

二、矩阵的基本概念与运算法则矩阵是数学中的一个重要概念，矩阵运算是数学中的一类重要的运算方式。

在矩阵运算中，我们需要了解矩阵的基本概念和矩阵的运算法则。

矩阵是由数按照矩形排列组合而成的矩形阵列。

矩阵中的横行称为行，竖列称为列。

一个m行n列的矩阵记作A = [aij]，其中1≤i≤m，1≤j≤n。

aij是矩阵A中第i行第j列的元素。

矩阵运算法则包括加法、减法和乘法。

具体而言，矩阵的加法法则如下：对于两个m行n列的矩阵A和B，它们的和为C，记作C = A + B。

高中数学的归纳复数与矩阵总结

高中数学的归纳复数与矩阵总结数学是一门抽象而精密的学科，其涵盖的概念和理论非常广泛。

在高中数学的学习中，归纳复数与矩阵是两个重要的内容，它们在代数和线性代数方面都具有重要的应用。

本文将对高中数学中的归纳复数与矩阵进行总结与探讨。

一、归纳复数1. 复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，通常用 a+bi 的形式表示，其中 a 和b 分别表示复数的实部和虚部。

2. 复数的四则运算复数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法。

其中，加法和减法的运算规则与实数相同，乘法和除法的运算规则则遵循以下公式：- 乘法：(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i- 除法：(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i3. 共轭复数对于复数 a+bi，它的共轭复数定义为 a-bi，并且有以下性质：- 两个复数的和的共轭等于各自共轭的和：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i- 两个复数的积的共轭等于各自共轭的积：(a+bi)(c+di) = (a+bi)(c+di)4. 模与幅角对于复数 a+bi，它的模定义为|a+bi| = √(a^2+b^2)。

而它的辐角（幅角）定义为 arg(a+bi) = arctan(b/a)。

5. 欧拉公式欧拉公式是归纳复数的一个重要公式，表达式为e^(iθ) = cosθ +isinθ，其中 e 是自然对数的底数。

欧拉公式将三角函数与指数函数相联系，为解决复杂的三角函数问题提供了便利。

二、矩阵1. 矩阵的定义矩阵是一个由 m 行 n 列元素组成的矩形阵列，通常用大写字母表示。

矩阵的元素可以是实数或复数。

2. 矩阵的运算矩阵的运算包括加法、减法和乘法。

其中，加法和减法要求两个矩阵的维度相同，对应位置的元素相加或相减。

而矩阵乘法满足以下规则：- 若 A 是 m 行 n 列的矩阵，B 是 n 行 p 列的矩阵，则 A 和 B 的乘积 AB 是一个 m 行 p 列的矩阵。

大学数学易考知识点线性代数中的矩阵运算规则

大学数学易考知识点线性代数中的矩阵运算规则在大学数学中，线性代数是一门重要且基础的课程。

而在线性代数的学习过程中，矩阵运算规则是一个非常关键的知识点。

学好线性代数中的矩阵运算规则，不仅可以帮助我们更好地理解和应用线性代数的概念，还对于接触更高级的数学课程以及在实际问题中的分析与计算有着重要的作用。

一、矩阵的定义和表示方法矩阵是一种非常重要且灵活的数学工具，它是由一些数按照矩形排列组成的矩形阵列。

在线性代数中，矩阵通常使用大写的字母来表示，例如矩阵A，B，C等。

矩阵的元素可以是实数或复数。

矩阵的行数和列数分别称为矩阵的阶数，用m * n表示，其中m表示行数，n表示列数。

矩阵的表示方法有多种，常见的有行向量的表示方法和列表示方法。

行向量表示方法即将矩阵的元素按照行的顺序排列在一起，用方括号[ ]表示；列表示方法即将矩阵的元素按照列的顺序排列在一起，用方括号( )表示。

例如一个3阶2列的矩阵A可以表示为：A = [a11 a12][a21 a22][a31 a32]二、矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法是矩阵运算中的基本运算之一。

对于两个相同阶数的矩阵A和B，它们的和与差的定义如下：矩阵A和B的和记为A + B，其定义为将A和B的对应元素相加而得到的矩阵。

即（A + B）ij = Aij + Bij，其中1<=i<=m，1<=j<=n。

矩阵A和B的差记为A - B，其定义为将A和B的对应元素相减而得到的矩阵。

即（A - B）ij = Aij - Bij，其中1<=i<=m，1<=j<=n。

需要注意的是，进行矩阵的加法和减法运算时，要求两个矩阵的阶数相同，即它们的行数和列数都相等。

否则，加法和减法运算是没有定义的。

三、矩阵的数乘矩阵的数乘是矩阵运算中的另一个基本运算。

给定一个矩阵A和一个数α，其数乘运算的定义如下：矩阵A与数α的乘积记为αA，其定义为将A的每个元素乘以α而得到的矩阵。

高效备考考研数学复数与矩阵

高效备考考研数学复数与矩阵考研数学是考研学子必修的一门科目，其中复数与矩阵是考研数学中的重要知识点。

掌握好这两个概念的理论与应用，对于考研数学的备考至关重要。

在备考过程中，我们可以采取一些高效的学习方法，以提高学习效率和掌握程度。

一、复数的复习与应用复数在数学中起到了很重要的作用，它是实数的推广与扩展，用于解决一些实数无法解决的问题。

在备考考研数学中，我们需要对复数的定义、运算规律、三角形式、指数形式等进行复习。

首先，我们需要了解复数的定义。

复数由实数和虚数部分组成，表示为a+bi，其中a为实数部分，b为虚数部分，i为虚数单位。

在复数的定义中，虚数单位i具有i^2=-1的性质。

其次，我们需要掌握复数的运算规律。

复数的加法、减法、乘法、除法等运算与实数运算类似，但需要注意虚数单位i的运算规则。

特别要注意复数的乘法运算中，需要将虚数单位i与实数部分和虚数部分分别相乘，然后将结果相加。

另外，我们还需要熟悉复数的三角形式与指数形式。

复数的三角形式表示为z=r(cosθ+isinθ)，其中r为复数的模，θ为辐角。

复数的指数形式表示为z=r*e^iθ，其中e为自然对数的底。

熟练掌握这两种表达方式，可以方便我们在求解复数相关问题时进行转化。

在备考考研数学中，掌握好复数的知识点固然重要，但更重要的是能够将理论知识应用到实际问题中。

我们可以通过大量的习题训练，加深对复数概念的理解和应用能力。

同时，做题的过程中我们也要注重思考解题的思路和方法，在解题过程中培养自己的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二、矩阵的复习与应用矩阵是考研数学中又一个重要的知识点，它与线性代数有着密切的关系。

备考考研数学中，我们需要对矩阵的定义、运算规律、特殊矩阵、矩阵的转置和求逆等进行复习。

首先，我们需要了解矩阵的定义。

矩阵是由数按照一定的规律排列形成的矩形数组，其中每个数称为矩阵的元素。

矩阵的大小由行数和列数决定。

其次，我们需要掌握矩阵的运算规律。

两个矩阵运算法则

两个矩阵运算法则矩阵是数学中常见的一种表格形式，它可以用于表示一个线性变换。

矩阵的运算包括加法、数乘、乘法、转置乘法和共轭转置乘法等。

在矩阵运算中，我们需要遵循一定的规则，以确保运算的正确性和有效性。

本篇文章将介绍两个矩阵运算法则，包括矩阵加法、数乘、乘法、转置乘法和共轭转置乘法的定义、规则和注意事项。

一、矩阵加法矩阵加法是指两个矩阵对应元素相加，得到一个新的矩阵。

矩阵加法的规则如下：1. 对应元素相加：对于两个矩阵A和B，其和矩阵C的第(i, j)个元素等于A第(i, j)个元素加上B第(i, j)个元素。

2. 无关坐标：如果矩阵A的某个元素在B中没有对应项，则结果C中对应位置的元素为0。

3. 转置不改变矩阵结构：加法后的转置矩阵与原矩阵转置矩阵相同。

矩阵加法的注意事项：1. 矩阵加法的结果与原始矩阵的维度必须相同。

2. 矩阵加法的结果与原始矩阵具有相同的符号。

3. 矩阵加法的结果与原始矩阵具有相同的代数性质和性质。

二、数乘数乘是指将一个数乘以矩阵中的所有元素。

数乘满足以下规则：1. 对应元素相乘：将数k乘以矩阵A，结果矩阵B的每个元素等于原矩阵A相应元素与k的乘积。

2. 无关坐标：如果k为0，那么结果B中对应位置的元素为0。

3. 数乘不改变矩阵结构：数乘后的转置矩阵与原矩阵转置矩阵相同。

数乘的注意事项：1. 数乘的结果取决于数k的正负，因此在进行数乘时需要注意正负号。

2. 对于方阵（行数或列数相等的矩阵），其乘以一个数相当于对角线上元素乘以该数的逆序数。

3. 数乘结果B与原始矩阵A具有相同的性质和性质。

三、矩阵乘法矩阵乘法是指将第一个矩阵的列向量与第二个矩阵的行向量逐元素相乘，得到一个新的矩阵。

矩阵乘法满足以下规则：1. 结合律：(A×B)×C=A×(B×C)。

2. 交换律：A×B=B×A。

3. 结合对角线：如果A是一个对角线元素相等的矩阵，那么B×A=BA=A^T×B^T=|A|E×B^T。

矩阵运算与特征值问题解答

矩阵运算与特征值问题解答矩阵运算与特征值是线性代数中的重要概念，被广泛应用于数学、物理、工程等领域。

本文将介绍矩阵的基本运算法则，并详细解答特征值问题。

1. 矩阵的基本运算法则矩阵是由元素按照行和列排列而成的矩形阵列。

矩阵的基本运算包括矩阵的加法、减法、数乘和矩阵乘法。

1.1 矩阵的加法和减法设有两个相同大小的矩阵A和B，它们的和记作A + B，差记作A - B。

矩阵的加法和减法满足以下运算法则：•加法法则：若A、B、C是同阶矩阵，则(A + B) + C = A + (B + C)。

•减法法则：若A、B、C是同阶矩阵，则(A - B) - C = A - (B + C)。

•交换律：若A和B是同阶矩阵，则A + B = B + A，A - B ≠ B - A。

1.2 矩阵的数乘设有一个矩阵A，它的数乘记作kA，其中k是一个实数或复数。

矩阵的数乘满足以下运算法则：•结合律：若k和l是任意实数或复数，A是任意矩阵，则(kl)A = k(lA)。

•分配律：若k和l是任意实数或复数，A和B是任意矩阵，则(k + l)A = kA + lA。

•分配律：若k是任意实数或复数，A和B是任意矩阵，则k(A + B) = kA + kB。

1.3 矩阵的乘法设有两个矩阵A和B，它们的乘积记作AB。

两个矩阵的乘法满足以下运算法则：•结合律：若A、B、C是满足乘法要求的矩阵，则(AB)C = A(BC)。

•乘法分配律：若A、B和C是满足乘法要求的矩阵，则A(B + C) = AB + AC。

•乘法分配律：若A、B和C是满足乘法要求的矩阵，则(A + B)C = AC + BC。

•乘法不满足交换律：通常情况下，AB ≠ BA。

2. 特征值与特征向量对于一个n x n的矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得满足以下关系式：Ax = λx其中，λ是一个常数，则称λ为矩阵A的特征值，x为对应于特征值λ的特征向量。

特征值和特征向量对于矩阵的性质分析和计算具有重要意义。

复数乘法与矩阵乘法类比

复数乘法与矩阵乘法类比在数学领域中，复数乘法和矩阵乘法都是重要的概念，它们在不同的数学分支中发挥着关键作用。

尽管它们的应用领域和性质不尽相同，但是两者之间存在一些有趣的类比和相似之处。

本文将通过对复数乘法和矩阵乘法的基本原理、性质和运算规则的比较，探讨它们之间的联系和类比之处。

复数乘法首先，让我们回顾一下复数乘法的定义。

在复数系中，复数可以表示为实部和虚部的和，通常用符号i表示虚数单位。

一个复数a+bi可以表示为实部a和虚部b 的和，其中a和b均为实数。

两个复数的乘法遵循以下规则：$$(a+bi) \\times (c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$$其中，a、b、c、d为实数。

复数乘法的关键性质包括交换律、结合律和分配律。

通过复数乘法，我们可以方便地进行复数的乘法运算，得到最终的结果。

矩阵乘法接下来，让我们来看一下矩阵乘法的定义。

矩阵是一个矩形的数阵，其中元素按行和列排列。

两个矩阵的乘法规则如下所示：给定两个矩阵A和B，A的列数必须等于B的行数，才能相乘得到矩阵C。

矩阵C 的元素C ij为矩阵A的第i行与矩阵B的第j列对应元素乘积之和，即：$$C_{ij} = \\sum_{k=1}^n A_{ik} \\times B_{kj}$$其中，n为列数。

矩阵乘法同样遵循交换律不成立的性质，矩阵乘法还遵循结合律和分配律。

矩阵乘法应用广泛，涉及到众多领域，如线性代数、物理学和计算机科学等。

复数乘法与矩阵乘法的类比尽管复数乘法和矩阵乘法在表达形式和运算对象上存在明显的差异，但它们在某些方面具有相似性。

具体表现在以下几个方面：•线性性质：复数乘法和矩阵乘法都满足分配律和结合律，这使得它们的运算具有线性性，方便进行复杂的计算。

•乘法规则：虽然两者的乘法规则表达形式不同，但从本质上来看，都是通过对应元素的乘积求和来得到最终的结果。

•运算规则：无论是复数乘法还是矩阵乘法，都需要满足一定的条件才能进行乘法计算，这种要求使得两者在运算规则上有着相似之处。

复数与矩阵初步

图像处理
矩阵也可以用于图像处理中的变换和压缩操作。通过构造特定的变换矩阵，可以对图像进行平移、旋转、缩放等操作。
机器学习
在机器学习中，矩阵是处理大量数据的关键工具。例如，通过矩阵分解、特征提取等方法，可以实现对数据的降维、分类和预测等任务。
04
复数与矩阵的关系与应用
复数矩阵的表示与运算
要点二
特征多项式求解
对于复数矩阵A，其特征多项式是一个以λ为变量的多项式方程，通过求解该方程可以得到A的所有特征值。求解方法包括直接求解、迭代法、 QR分解法等。
要点三
特征向量性质与应用
特征向量具有很多有用的性质，比如不同特征值的特征向量线性无关、矩阵可对角化的充要条件是有n个线性无关的特征向量等。在实际应用中，特征向量常被用于矩阵的相似对角化、量子力学中的波函数等。
复数矩阵在量子力学等领域的应用
量子力学中的波函数
在量子力学中，波函数是一个描述粒子状态的复数函数，它的演化可以用复数矩阵表示。通过求解薛定谔方程，可以得到波函数随时间的演化规律。
线性变换与几何变换
复数矩阵可以用于表示线性变换，在二维平面上，复数矩阵可以实现平移、旋转、缩放等几何变换。这在计算机图形学、机器视觉等领域有广泛应用。
信号处理与通信
在信号处理领域，复数矩阵被用于表示信号的频谱、滤波器等。在通信领域，复数矩阵可用于调制解调、信道编码等关键技术，提高通信系统的性能。
THANK YOU
矩阵表示
矩阵通常用大写字母表示，如A、 B等，其元素则用aij表示，其中i 代表行号，j代表列号。
矩阵的基本运算（加法、数乘、乘法）
01
矩阵加法
矩阵的加法是指对应元素之间的相加，结果矩阵的形状与原矩阵相同。

复数乘法的矩阵表示法

复数乘法的矩阵表示法复数是数学中一种重要的概念，它包括实部和虚部，常用形式表示为 a + bi，其中a 为实部，b 为虚部，i 是虚数单位。

复数乘法是复数运算中的一种基本运算，它描述了两个复数相乘的规则。

在实际问题中，我们经常会遇到复数相乘的情况，而矩阵表示法为我们提供了一种简洁明了的解决方案。

复数的矩阵表示我们首先来看一下复数的矩阵表示。

一个复数可以表示为一个二维矩阵，如下所示：复数 z = a + bi我们可以将 z 表示为如下的矩阵形式：\[ z = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \end{bmatrix} \]这里，矩阵的第一行表示实部和虚部的系数，矩阵的第二行表示虚部的系数以及实部的系数。

复数乘法的矩阵表示法接下来，我们来看复数乘法的矩阵表示法。

假设有两个复数 z1 和 z2，它们的矩阵表示为：\[ z1 = \begin{bmatrix} a1 & -b1 \\ b1 & a1 \end{bmatrix} \]\[ z2 = \begin{bmatrix} a2 & -b2 \\ b2 & a2 \end{bmatrix} \]它们的乘积 z = z1 * z2 的矩阵表示法可以通过矩阵相乘得到：\[ z = \begin{bmatrix} a1 & -b1 \\ b1 & a1 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} a2& -b2 \\ b2 & a2 \end{bmatrix} \]\[ z = \begin{bmatrix} (a1a2 - b1b2) & -(a1b2 + b1a2) \\ (a1b2 + b1a2) & (a1a2 - b1b2) \end{bmatrix} \]这样，我们通过矩阵的乘法运算，可以得到两个复数的乘积所对应的矩阵表示。

复数矩阵运算

复数矩阵运算一、引言复数矩阵运算是线性代数中的一个重要分支，它研究了复数域上的矩阵的运算规则和性质。

复数矩阵运算不仅在理论上具有重要意义，而且在实际应用中也有广泛的应用，比如在电路分析、信号处理、量子力学等领域。

二、复数和复数矩阵的定义复数是由实数部分和虚数部分组成的数，可以表示为a+bi的形式，其中a和b都是实数，而i是虚数单位。

复数矩阵就是由复数元素组成的矩阵。

一个m行n列的复数矩阵可以表示为：A = [a_ij]，其中a_ij是复数。

三、复数矩阵的加法和减法复数矩阵的加法和减法的运算规则和实数矩阵类似，即对应元素相加或相减。

设有两个复数矩阵A和B，它们的加法和减法可以表示为：A +B = [a_ij] + [b_ij] = [a_ij + b_ij]A -B = [a_ij] - [b_ij] = [a_ij - b_ij]其中a_ij和b_ij分别是矩阵A和B的元素。

需要注意的是，参与运算的两个复数矩阵必须具有相同的维度。

四、复数矩阵的乘法复数矩阵的乘法是复数矩阵运算中最重要的运算之一。

设有两个复数矩阵A和B，它们的乘法可以表示为：C = A * B其中C是一个m行p列的复数矩阵，A是一个m行n列的复数矩阵，B是一个n行p列的复数矩阵。

C的第i行第j列元素可以表示为：c_ij = a_i1 * b_1j + a_i2 * b_2j + ... + a_in * b_nj其中a_ij是矩阵A的第i行第j列元素，b_ij是矩阵B的第i行第j列元素。

需要注意的是，参与乘法运算的两个复数矩阵必须满足第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

五、复数矩阵的转置复数矩阵的转置是指将矩阵的行和列对调得到的新矩阵。

设有一个m行n列的复数矩阵A，它的转置可以表示为：A^T = [a_ij]^T = [a_ji]其中a_ij是矩阵A的第i行第j列元素，a_ji是矩阵A的第j行第i列元素。

转置操作不改变矩阵的维度。

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互为相反数二阶实系数的方阵，记作
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也就是说， Ⅳ是由主对角线元素相同、而次对角线元素互为相反数的所有二阶方阵组成的集合．定义３［２任意的复数Ｚ＝口＋ｂｉ，其中０、ｂ是实数，可以构造一个主对角线元素相同、而次对角线元素
云南民族大学学报：自然科学版，２０１５，２４（６）：４７６— ４７９
ｄｏｉ：１２．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７２— ８５１３．２０１５．０６．００９
ＣＮ５３—１１９２／ＮＩＳＳＮ１６７２—８５１３
是一复数集到矩阵集合 Ⅳ上的一一对应．
收稿日期：２０１５— ０５一ｌ５．
基金项目：国家自然科学基金（１１３０１１６０）；云南省自然科学基金（２０１３ＦＺｌ１６）；红河学院后备人才项目（２０１４ＨＢ０２０４）；红河学院博士科研项目（１４ｂｓ１８）；红河学院专业带头人（ＺＹＤＴ１３０８）；红河学院科研基金项目（ＸＪ１４Ｙ０５）；红河
）＝ａ
… ）
定理２对任意Ｋ一复数ｚ（ｋ）＝口＋ｋｂｉ，当口ＥＲ、ｂ＝０时，则ｚ（ｋ）＝口对应的Ｋ一矩阵是对称方阵．
证明
设
Байду номын сангаас
ｚ（）＝口，（后）＝［三】．
而
（－２）
（１３）
（１４）
ＭＴ（
于是
兰】 ’
ＭＴ（ｋ）＝（后）．所以（Ｊｉ｝）是对称方阵．定理２成立．
定理３对任意Ｋ一复数ｚ（ｋ）＝ａ＋ｋｂｉ，当ａ＝０、ｂ ≠ ｐ、ｋ＃０时，ｚ（ｋ）＝ｋｂｉ（ｚ（ｋ）＝ｋｂｉ是纯Ｋ一虚数）对应的Ｋ一矩阵是反对称方阵．
学院双语课程项目（ＳＹＫＣ１４０４）．作者简介：何萍（１９８１一），女，硕士，副教授．主要研究方向：复分析．
第６期
何萍，江雪梅：矩阵的运算与一复数的运算关系
４７７
２相关引理及主要结果
２．１相关引理
元素互为相反数的二阶实系数的方阵，记作
）＝，（３）
把Ｍ（ｋ）称为一复数的矩阵表示．称（ｋ）为一复数ｚ（ｋ）＝口＋硒ｉ的Ｋ一矩阵．显然矩阵（ｋ）∈ Ｊ７＼，，可以说
Ｐ：＝（Ｉｉ｝）（）（４）
果的应用．
关键词：复数；一复数；矩阵
中图分类号：０１７４．５２文献标志码：Ａ文章编号：１６７２— ８５１３（２０１５）０６— ０４７６— ０４
１基本概念
定义１（形如口＋ｋｂｉ（ｋ ∈ Ｒ，ｋ＃０）的复数称为ｚ＝ｎ＋ｂｉ的Ｋ一复数，记作ｚ（ｋ）．定义２实部相同而虚部绝对值相等符号相反的２个一复数称为共轭Ｋ一复数，Ｚ（ｋ）的共轭Ｋ一复数
ｈｔｔｐ：／／ｘｂ．ｙｎｎｉ．ｅｄｕ．ｃｎ
矩阵的运算与Ｋ一复数的运算关系
何萍，江雪梅
（红河学院数学学院，云南蒙白６６１１９９）
摘要：矩阵与Ｋ一复数之间存在一定联系．在矩阵与一复数理论基础上，讨论了矩阵转置、对称方阵、反对称矩阵、矩阵的分解、方阵的行列式及可逆矩阵与一复数的关系．获得Ｋ一复数用矩阵表示后，它的运算可以转化为矩阵的运算．所得结果是复数中相应结
引理１
矩阵Ａ可逆的充分必要条件是矩阵Ａ是非退化的，且：
Ａ～ ’ ・（５）
２．２Ｋ一矩阵的转置与共轭Ｋ一复数
定理１任意Ｋ一复数对应的Ｋ一矩阵的转置ＭＴ（ｋ）与该Ｋ一复数的共轭Ｋ一复数（ｋ）对应的Ｋ一矩阵相等，即