江西省宜春市2013届高三4月模拟考试数学(理)试题 扫描版含答案

参考及评分标准一、选择题： CDCCA ，BBBAD 二、填空题11. 1或－3，12152022=+y x,15.（1),5[+∞ 三、解答题16. （本小题满分12分）解：（1）由题意知：243ππω=，解得32ω=， ……2分 ACB AC B cos cos -cos -2sin sin sin =+A C AB A AC A B sin cos -sin cos -sin 2cos sin cos sin =+∴A A C A C AB A B sin 2sin cos cos sin sin cos cos sin =+++∴A C AB A sin 2)(sin )(sin =+++∴………………………………………………………4分 a c b A BC 2sin 2sin sin =+⇒∴=+∴…………………………………………………6分（2）因为2b c a b c +==，，所以a b c ==，所以ABC △为等边三角形21sin 24OACB OAB ABC S S S OA OB AB θ∆∆=+=⋅+ (8)分22sin -2cos )OA OB OA OB θθ=+⋅435cos 3-sin +=θθ2sin(-)34πθ=+(0)θπ∈ ，,2--333πππθ∴∈(，)，当且仅当-32ππθ=，即56πθ=时取最大值,OACBS 的最大值为212分17．解:(１) 函数()21f x x x η=--过(0,1)-点，在区间45)（，上有且只有一个零点， 则必有(4)<0(5)>0f f ⎧⎨⎩即：16-4-1<025-5-1>0ηη⎧⎨⎩，解得：1524<<45η所以，4η= …………3分当4η=时，211201015125068245C C C P C +==，…………6分 (２) 从该学校任选两名老师，用ξ表示这两人支教次数之差的绝对值， 则ξ的可能取值分别是0,1,2,3， …………7分于是()22225102015250207C C C C P C ξ+++===，1111115101020152025022(1)49C C C C C C P C ξ++=== 1111520101525010(2)49C C C C P C ξ+=== ，115152503(3)49C C P C ξ===…………10分从而ξ的分布列：ξ的数学期望：0123749494949E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． …………12分18.（1）证明：∵ 菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD AC ⊥，∴BD AO ⊥，∵ EF AC ⊥，∴PO EF ⊥∵ 平面PEF ⊥平面ABFED ，平面PEF 平面ABFED EF =，且PO ⊂平面PEF ，∴PO ⊥平面ABFED , ∵ BD ⊂平面ABFED ，∴ PO BD ⊥∵ AO PO O = ，∴ BD ⊥平面POA . ·················· 5分 （2）如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系O xyz -.设.AO BD H =因为60DAB ∠=︒，所以BDC ∆为等边三角形，故4BD =，2,HB HC ==.又设PO x =，则OH x =，OA x =-.所以(0,0,0)O ，(0,0,)P x ，,2,0)B x -，故 ,2,)PB OB OP x x =-=-，所以PB=当x =min PB此时POOH ············ 7分 设点Q 的坐标为(),0,ac ，由前知，OP ，则A ，B，2,0)D -，P . 所以()AQ a c =-，()QP a c =-，∵AQ =QP λ，∴,a a c c λλ⎧-=-⎪⎨=-⎪⎩⇒a c ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩． ∴Q ，∴OQ = ．······10分设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0n PB n BD ⋅=⋅= ．∵PB = ，()0,4,0BD =- ，∴20,40y y +=-=⎪⎩ ，取1x =，解得：0,y =1z =， 所以(1,0,1)n =.··············· 10分 设直线OQ 与平面PBD 所成的角θ，∴sin cos ,OQ n OQ n OQ nθ⋅=<>=⋅=又∵0λ>∴sin θ． ∵[0,]2πθ∈，∴4πθ>．因此直线OQ 与平面PBD 所成的角大于4π，即结论成立． ··········· 12分19.解：(1)当1n = 时, 13a =当2n ≥时，2321...2na a a a n n ++++=+2312122...(1)2(1)n n a a a a n n λλλ--∴++++=-+- ,两式相减得：12+1nn a n λ-=1=2n+1)(2,)n n a n n N λ+-∴≥∈（ 又13a =也适合上式1=2n+1)()n n a n N λ+-∴∈（ ……… 6分（2）S n ＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n ＋1)n-1λ当λ＝1时，S n ＝3＋5＋7＋…＋(2n ＋1)＝n 2＋2n ． 当λ≠1时，S n ＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n ＋1)n-1λ，λS n ＝3λ＋5λ2＋…＋(2n －1)λn －1＋(2n ＋1)n λ当=1λ时，左=(1)n n s a λλ-+=213na n =+≥，结论显然成立。

当1λ≠时，左= 12(1)3(21)1n nn n a λλλ--+-++-=12(1)31n λλ--+-而0,λ> 1λ-与11n λ--同号，故12(1)01n λλ--≥- (1)3n n s a λλ∴-+≥对任意n N +∈都成立。

……… 12分20.解：(1) 设双曲线E 的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，则(,0),(,0),(,0)B c D a C c -．由3BD DC =，得3()c a c a +=-，即2c a =．123n-12(1)(1)32(+)(21)3(21)1n nnn s n n λλλλλλλλλ---=++++-+=+-+-由MP PN λ= ，得120y y λ+=． 即12yy λ=- ① …………6分∵(4,0)BC = ，1212(,)GM GN x t x t y y λλλλ-=--+-， ∴()BC GM GN λ⊥-12()x t x t λ⇔-=-．即12()ky m t ky m t λ+-=+-． ② ……8分 把①代入②，得12122()()0ky y m t y y +-+= ③ ………………….9分把x m ky -=代入2213y x -=并整理得222(31)63(1)0k y kmy m -++-=其中2310k -≠且0∆>，即213k ≠且2231k m +>．212122263(1),3131km m y y y y k k --+==--． ………………….10分代入③，得2226(1)6()03131k m km m t k k ---=--，化简得 kmt k=．当1t m =时，上式恒成立． 因此，在x 轴上存在定点1(,0)G m，使()BC GM GN λ⊥- ．………………….13分21．(1)解：函数f (x )定义域为(0，+∞)，()2211ln 1ln ()x x x x f x x x ⋅-+⋅'==-， 由()0f x '=得：x = 1，当0 < x <1时，()0f x '>，当x > 1时，()0f x '<， ∴f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， 函数f (x )在x = 1处取得唯一的极值 ……… 2分由题意得0211133a a a a >⎧⎪⇒<<⎨<<+⎪⎩，故所求实数a 的取值范围为2(1)3， ……… 4分 (2)解： 当x ≥1时，不等式()1k f x x +≥化为：1ln 1x kx x ++≥，即(1)(1ln )x x k x++≤ 令(1)(1ln )()(1)x x g x x x++=≥，由题意，k ≤g (x )在[1，+∞)恒成立………5分22[(1)(1ln )](1)(1ln )ln ()x x x x x x x xg x x x''++-++⋅-'==………6分 令()ln (1)h x x x x =-≥，则1()10h x x'=-≥，当且仅当x = 1时取等号所以()ln h x x x =-在[1，+∞)上单调递增，h (x )≥h (1) = 1 > 0………7分因此()22ln ()0h x x x g x x x-'==>，∴g (x )在[1，+∞)上单调递增，min ()(1)2g x g == 因此，k ≤2，即实数k 的取值范围为(－∞，2] ………9分(3) 由(2)知，当x ≥1时，不等式2()1f x x +≥恒成立，即1ln 21x x x ++≥，整理得：22ln 111x x x->-+≥………10分令x = k (k + 1)，k ∈N *，则有211ln[(1)]112()(1)1k k k k k k +>-=--++分别令k = 1，2，3，…，n ，则有111ln(12)12(1)ln(23)12()223⨯>--⨯>--，，…，11ln[(1)]12()1n n n n +>--+…12分将这n 个不等式左右两边分别相加，得22212ln[123(1)]2(1)211n n n n n n ⨯⨯⨯⨯+>--=-+++ 故2222221123(1)n n n n e-++⨯⨯⨯⨯+> ，从而2221[(1)!](1)n n n n e-+++>+……14分。