湖南省郴州市2019-2020学年高二上学期期末考试数学(理)试题含答案
郴州市湘南中学2019_2020学年高一物理上学期期中试题含解析
【解析】
【详解】A．在前2s内，质点 速度随时间均匀增大，做匀加速直线运动。故A错误。
B．在 内质点速度随时间不变,做匀速直线运动。故B错误。
C．在4-5s内,质点的速度随时间均匀增大，做匀加速直线运动.故C正确。
D．前5s内汽车的位移为
平均速度为
故D错误。
12。下列说法正确的是
A. 物体的运动速度越大，加速度也一定越大
4。“打的"是人们出行的常用交通方式之一，除了等候时间、低速行驶时间等因素外,打车费用还取决于出租车行驶的：（ ）
A. 位移B. 路程C. 平均速度D。 加速度
【答案】B
【解析】
【分析】
位移为矢量，有大小和方向;而路程是标量没有方向;打车费用还决定于出租车行驶的路程．
【详解】打车费用还决定于出租车行驶的轨迹的长度，即决定于路程，故B正确．
D。 足球以 的速度射入球门
【答案】C
【解析】
【详解】A．汽车速度计指着速度为 ，速度对应的是某一时刻，所以应为瞬时速度，故A正确；
B．城市路口速度路标上标有“ 注意车速”字样，是最大速度，应指瞬时速度,故B正确;
C．高速火车以 的速度经过“哈尔滨到长春”这一路程，是指火车在两地之间的平均速度，故C错误;
【点睛】本题考查了运动学中的“刹车问题”，是道易错题，注意先判断飞机何时速度减为零，不能直接代公式v=v0+at计算着陆后12s末的速度．
11.一汽车沿直线运动，其 图象如图所示。由图象可知( ）
A。 前2s内质点做匀速直线运动
B. 在 内质点做匀加速直线运动
C. 在4-5s质点做匀加速直线运动
D. 前5s内汽车的平均速度大小为
【答案】C
2022-2023学年湖南省郴州市高二上学期期末教学质量监测数学试题(解析版)
设点 ，其中 或 ，
则 ，
若点 在双曲线的右支上，则 ，则 ，
当点 在双曲线的左支上，则 ，则 .
由双曲线的定义可知 ，解得 （舍）或 .
故选：D.
7.已知 、 是椭圆 的左、右焦点， 、 是椭圆短轴的上、下顶点，P是该椭圆上任意一点，若 的最大值与最小值之积为3，且四边形 的内切圆半径为 ，则椭圆C的方程为（）
C.存在点M，使直线OM与AB所成的角为30°
D.点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值
【答案】ABD
【解析】
【分析】以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法判断ACD，根据线面平行的判定定理判断B
【详解】以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系（如图），
且椭圆的长轴长为 ，
故点 的轨迹方程为 ，其中 ，
所以 ，
即点 到直线 的距离的范围为 ，
因为侧面 平面 ，
所以点 到平面 的距离的范围为 ，
即三棱锥 的高的取值范围为 ，
设三棱锥 的高为 ，
则三棱锥 的体积 ，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
故选：B.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
所以 ，解得
故选：A.
2.与两圆 和 都相切的直线有（）条
A.1B.2C.3D.4
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆的标准方程确定两圆的圆心坐标和半径，由圆与圆的位置即可求解.
【详解】由题意知， ，
所以圆心距 ,
所以两圆相离，公切线有4条.
湖南省郴州市2023-2024学年高二上学期期末教学质量监测物理(合格考)试卷
【解析】
【详解】（1）根据电流的定义
解得
（2）电阻 产生的热功率为
23.一电荷量 的正点电荷放在匀强电场中的A点，它受到的电场力是 ，此电荷只在电场力作用下从静止开始移动了 而到达 点。求：
（1）电场强度大小 ；
（2）若将该试探电荷取走，电场强度大小 ；
（3） 两点间的电势差 。
A.4QB.2QC. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】依题意，有
则，条件变化时，有
故选B。
第Ⅱ卷（非选择题46分）
二、填空题（本题共3小题，每空2分，共14分。）
19.匀强电场中，各点场强的_________、_________都相同，匀强电场是最简单，同时也是最重要的电场。
【答案】①.大小②.方向
【答案】C
【解析】
【详解】A．发生雷电的过程是放电过程，故A正确；
B．避雷针利用尖端放电，避免建筑物遭受雷击，故B正确；
C．发生雷电的过程中，电荷的总量守恒，故C错误；
D．发生雷电的过程是电能向光能、内能等转化的过程，故D正确。
本题选错误的，故选C。
6.如图所示，带电粒子从电场中 点以速度 进入电场，仅在电场力作用下，沿虚线所示的轨迹运动到 点，下列判断正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】BCD．电场线从正电荷（或无穷远）出发，终止于负电荷（或无穷远）。故BCD正确；
A．负点电荷周围的电场线，应从无穷远指向负电荷。故A错误。
选错误的，故选A。
11.如图，为静电除尘器除尘机理的示意图．尘埃在电场中通过某种机制带电，在电场力的作用下向集尘极迁移并沉积，以达到除尘目的，下列表述正确的是（ ）
湖南省郴州市雄峰中学2022-2023学年高二化学上学期期末试卷含解析
湖南省郴州市雄峰中学2022-2023学年高二化学上学期期末试卷含解析一、单选题（本大题共15个小题，每小题4分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，共60分。
）1. 化学用语是学习化学的重要工具，下列用来表示物质变化的化学用语中，正确的是A.电解饱和食盐水时，阳极的电极反应式为：2Cl- - 2e- = Cl2↑B.氢氧燃料电池的负极反应式：O2 + 2H2O+ 4e- = 4OH-C.粗铜精炼时，与电源正极相连的是纯铜，电极反应式为：Cu-2e- = Cu2+D.钢铁发生电化腐蚀的正极反应式：Fe-2e- = Fe2+参考答案：A2. 下列过程中，属于化学变化的是A. 石油分馏制汽油B. 液化空气分离制氮气C. 牛奶久置变酸D. 高分子分离膜浓缩天然果汁参考答案：C3. 一个价电子构型为2s22p5的元素，下列有关它的描述正确的有A．原子序数为7 B．周期表中第一电离能最小C．周期表中电负性最大 D．周期表中原子半径最大参考答案：C略4. 右图是气体制取装置，下列能用此装置制取气体并能“随开随用、随关随停”的是( )A．大理石和稀硫酸制取二氧化碳B．锌粒和稀硫酸制氢气C．浓盐酸和二氧化锰制取氯气D．电石和水制取乙炔参考答案：B5. 下列化学用语正确的是A．氯化钠的电子式B．乙炔的结构式H－C＝C－HC．磷原子的结构示意图D．乙酸的分子式C2H4O2参考答案：D略6. 在某一化学反应，0.5L的密闭容器中，反应物B的物质的量在5s内从2.0mol变成0.5mol，在这5s内B的化学反应速率为（）A．3mol/(L?s) B. 0.3mol/(L?s)C. 0.6mol/(L?s) D．0.1mol/(L?s)参考答案：C略7. 常温下，下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是A.能使甲基橙试液显红色的溶液中：Na＋、NH4＋、I－、NO3－B.含有0.1 mol·L－1 Fe3＋的溶液中：K＋、Mg2＋、I－、SO42－C.由水电离出来的c(H＋)=1×10－13 mol·L－1的溶液中：K＋、CO32-、Cl－、NO3－D.常温下，=0.1 mol·L－1的溶液：Na＋、K＋、CO32－、NO3－参考答案：D略8. 已知反应：①101kPa时，C(s) ＋ 1/2O2(g)＝CO（g）；△H1＝－110.5kJ/mol②稀溶液中，H＋(aq) ＋ OH－(aq)＝H2O(1)；△H2＝－57.3kJ/mol下列结论正确的是（）A．若碳的燃烧热用△H3来表示，则△H3<△H1B．若碳的燃烧热用△H3来表示，则△H3>△H1C．浓硫酸与稀NaOH溶液反应的中和热为57.3kJ/molD．稀醋酸与稀NaOH溶液反应生成1mol水，放出57.3kJ热量参考答案：A略9. 、除去下列物质中所含少量杂质(括号内为杂质)，所选用的试剂和分离方法能达到实验目的的是（）AD略10. 第一次用无机物制备有机物尿素，开辟人工合成有机物先河的科学家是（）A．德国的维勒 B．英国的道尔顿C．德国的李比希 D．俄罗斯的门捷列夫参考答案：A略11. 某种利胆解痉药的有效成分是“亮菌甲素”，其结构简式如右图所示。
2019-2020学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析
2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二理科数学期中考试试卷第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足1i 1i z +=-，则||z =（ ） A. 2iB. 2C. iD. 1 【★答案★】D【解析】【分析】 根据复数的运算法则，求得复数zi ，即可得到复数的模，得到★答案★． 【详解】由题意，复数11i i z +=-，解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以1z =，故选D ． 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2. 已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【★答案★】B【解析】【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B ．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.3. 已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是( )A. 3B. 22C.32D.34【★答案★】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC的高为AO＝3，再求原△ABC的面积. 【详解】由题图可知原△ABC的高为AO＝3，∴S△ABC＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故★答案★为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A. 4B. 6C. 8D. 12【★答案★】A【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，它的底面是直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，棱锥的一条侧棱垂直底面高为2，所以这个几何体的体积：12422432V+=⨯⨯⨯=，故选A．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5. 下列命题中，正确的是（）A. 经过不同的三点有且只有一个平面B. 分别在两个平面的两条直线一定是异面直线C. 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D. 垂直于同一个平面的两个平面平行【★答案★】C【解析】【分析】根据不在一条直线上的三点确定一个平面，来判断A是否正确；根据分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，来判断B是否正确；根据垂直于同一平面的两直线平行，来判断C是否正确；根据垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交或异面，来判断D是否正确．【详解】解：对A，当三点在一条直线上时，平面不唯一，∴A错误；对B，分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，∴B错误；对C，根据垂直于同一平面的两直线平行，∴C正确；对D，垂直于同一平面的两平面的位置关系是平行、相交，∴D错误．故选C．【点睛】本题考查了空间直线与直线的位置关系及线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象能力.6. 实数a 使得复数1a i i +-是纯虚数，10b xdx =⎰，1201c x dx =-⎰则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<【★答案★】C【解析】【分析】 利用复数的乘除运算求出a ，再利用微积分基本定理以及定积分的定义即可求出b ，c ，从而比较其大小关系. 【详解】()()()()11111122a i i a i a a i i i i +++-+==+--+， 1a i i +-是纯虚数， 102a -∴=，1a ， 121001122b xdx x ⎛⎫===⎪⎝⎭⎰， 1201c x dx =-⎰表示是以()0,0为圆心， 以1为半径的圆在第一象限的部分与坐标轴围成的14个圆的面积， 21144c ππ∴=⨯⨯=，所以b c a <<. 故选：C【点睛】本题考查了复数的乘除运算、微积分基本定理求定积分、定积分的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.7. 已知正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若平面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A '的距离为1，则异面直线,AA BC '' 所成的角为 ( ) A. 6π B. 4π C. 3π D. 512π 【★答案★】B【解析】由题意可知，只有点A 到'A 距离为1，即高为1，所以该几何体是个正方体，异面直线11,AA BC 所成的角是4π，故选B.8. 函数3xeyx=的部分图象可能是（）A. B.C. D.【★答案★】C【解析】分析：根据函数的奇偶性，及x=1和x=2处的函数值进行排除即可得解.详解：易知函数3xeyx=为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=＜1，排除A，当x=4时，4112ey=>，排除D，故选C．点睛：已知函数的解析式判断函数的图象时，可从以下几个方面考虑：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．9. 如图所示，三棱锥P ABC -的底面在平面α内，且AC PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，点P A B ，，是定点，则动点C 的轨迹是（ ）A. 一条线段B. 一条直线C. 一个圆D. 一个圆，但要去掉两个点【★答案★】D【解析】 因为平面PAC⊥平面PBC ，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC ，AC ⊂平面PAC ，所以AC⊥平面PBC.又因为BC ⊂平面PBC ，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点.选D.点睛：求轨迹实质是研究线面关系，本题根据面面垂直转化得到线线垂直，再根据圆的定义可得轨迹，注意轨迹纯粹性.10. 如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面AB C.其中正确的是（ ）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【★答案★】B【解析】【分析】根据翻折后垂直关系得BD ⊥平面ADC ，即得BD ⊥AC ，再根据计算得△BAC 是等边三角形，最后可确定选项.【详解】由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．故选B .【点睛】本题考查线面垂直判定与性质，考查推理论证求解能力，属中档题.11. 如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（）A. 12πB. 32πC. 36πD. 48π【★答案★】C【解析】分析】 根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘，以SA ，SB ，SC 为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥，∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ，∴MN ⊥平面SAC ，∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径. ∴236R SA ==，∴R =3，∴V =36π.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键. 12. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为（ ） A. 2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C. 23,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【★答案★】A【解析】【分析】 根据直角三角形性质得A 在圆上，解得A 点横坐标，再根据条件确定A 横坐标满足条件，解得离心率.【详解】由题意得OA OB OF c ===，所以A 在圆222=x y c +上，与22221x y a b +=联立解得22222()Aa cb xc -=， 因为ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以22sin 22sin ()2sin [,]A A a a c a c a c AF c e x c x c e e eααα---=∴-=∴=∈因此2222222()()()a c a c b a c e c e---≤≤， 解得22222222(2)()(2)2()a c c b a c a c c a a c -≤-≤--≤-≤-，，即222,20a c a c ac ≤--≥，即2212,120312e e e e ≤--≥∴≤≤-，选A. 【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本分析化简求解能力，属中档题.第Ⅱ卷（非选择题：共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将★答案★填在答题卡的相应位置.13. ()ππsin cos x x dx -+=⎰__________. 【★答案★】0【解析】【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限作差得出★答案★.【详解】()()ππsin cos cos sin x x dx x x ππ--+=-+⎰()()()cos sin cos sin 110ππππ=-+---+-=-=⎡⎤⎣⎦.故★答案★为：0【点睛】本题主要考查了定积分的计算，解题的关键是确定原函数，属于基础题.14. 在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为_________.【★答案★】8【解析】【分析】如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ．过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ．可得四点EFMN 共面，进而得到23EF MN AC AC ==，根据比例可求出截面各边长度，进而得到周长． 【详解】解：如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N .由作图可知：EN ∥FM ，∴四点EFMN 共面可得MN ∥AC ∥EF ，EN ∥PB ∥FM . ∴23EF MN AC AC == 可得EF =MN =2.同理可得：EN =FM =2.∴截面的周长为8.故★答案★为：8.【点睛】本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，属于中档题．15. 已知一个正三棱柱，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个正三棱柱的表面积是______. 【★答案★】183【解析】【分析】由球的体积可以求出半径，从而得到棱柱的高；由球体与棱柱的所有面均相切，得出球的半径和棱柱底面正三角形边长的关系，求出边长，即求出底面正三角形的面积，得出棱柱的表面积.【详解】由球的体积公式可得24433R ππ=，1R ∴=， ∴正三棱柱的高22h R ==，设正三棱柱的底面边长为a ， 则其内切圆的半径为：13132a ⋅=，23a ∴=，∴该正三棱柱的表面积为：21333226183222a R a a a a ⋅+⨯⨯=+=. 故★答案★为：183【点睛】本题考查了球的体积公式、多面体的表面积求法，属于基础题.16. 如图，在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆.若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，正确的命题是______.（填序号）①BM 是定值；②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使MB平面1A DE .【★答案★】①②④【解析】【分析】取DC 中点N 再根据直线与平面的平行垂直关系判断即可.【详解】对①, 取DC 中点N ,连接,MN BN ,则1//MN A D ,//NB DE .因为MN NB N ⋂=,1A D DE D ⋂=,故平面1//MNB A DE .易得1MNB A DE ∠=∠为定值,故在ADE ∆翻转过程中MNB ∆的形状不变.故BM 是定值.故①正确.对②,由①得, 在ADE ∆翻转过程中MNB ∆沿着NB 翻折,作MO NB ⊥交NB 于O ,则点M 在以O 为圆心,半径为MO 的圆上运动.故②正确.对③,在DE 上取一点P 使得AP DE ⊥,则1A P DE ⊥,若1DE A C ⊥则因为111A P A C A ⋂=,故DE ⊥面1A CP ,故DE PC ⊥,不一定成立.故③错误.对④,由①有1//MNB A DE ,故MB平面1A DE 成立.综上所述,①②④正确.故★答案★为：①②④ 【点睛】本题主要考查了翻折中线面垂直平行的判定,需要画出对应的辅助线分析平行垂直关系,属于中等题型.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD ，求证：EF ∥平面PBC .【★答案★】见解析【解析】试题分析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM ，因为AD ∥BC ，∴BF MF FD FA =，又BF PE FD EA =，∴PE MF EA FA=， 所以EF ∥PM ，从而得证.试题解析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM .因为AD ∥BC ，所以＝. 又由已知＝，所以＝. 由平面几何知识可得EF ∥PM ，又EF ⊄平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC .18. 如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【★答案★】证明见解析【解析】【分析】通过长方体的几何性质证得11BM A B ⊥，通过计算证明证得1BM B M ⊥，由此证得BM ⊥平面11A B M ，从而证得平面ABM ⊥平面11A B M .【详解】由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，又BM ⊂平面BCC 1B 1，∴A 1B 1⊥BM ．又CC 1＝2，M 为CC 1的中点，∴C 1M ＝CM ＝1．在Rt△B 1C 1M 中，B 1M 2212C M CM =+=， 同理BM 222BC CM =+=，又B 1B ＝2， ∴B 1M 2+BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M ．又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，∴BM ⊥平面A 1B 1M ，∵BM ⊂平面ABM ，∴平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19. 以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为()1,0，若直线l 的极坐标方程为2cos 104ρθπ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩，（m 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB +. 【★答案★】（1）10x y --=，24y x =；（2）1【解析】【试题分析】(1) 2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对C 消去m 后得到直角坐标方程.(2)求出直线l 的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得11MA MB+的值. 【试题解析】（1）由2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得cos sin 10ρθρθ--=， 令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =， 所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =.（2）点M 的直角坐标为()1,0，点M 在直线l 上. 设直线l 的参数方程为21222t x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1242t t +=，128t t =-，所以121211t t MA MB t t -+== ()21212224323218t t t t t t +-+==. 20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，为AD 中点，M 是棱PC 上的点，．（1）求证：平面POB ⊥平面PAD ；（2）若点M 是棱的中点，求证：//PA 平面．【★答案★】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】（1）证明： ∵AD 中点，且，∴DO BC =又//AD BC ，090ADC ∠=，∴ 四边形BCDO 是矩形，∴BO OD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD OD =，BO ⊂平面ABCD ，∴BO ⊥平面PAD ，又BO ⊂平面POB ，∴ 平面POB ⊥平面PAD ．（2）如下图，连接AC 交BO 于点E ，连接EM ，由（1）知四边形BCDO 是矩形，∴//OB CD ，又为AD 中点，∴E 为AC 中点，又是棱AC 的中点，∴//EM PA ，又EM ⊂平面，平面， ∴//PA 平面21. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，223AB DC ==,AC BD F ⋂=.且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形,E 为AD 的中点，G 为PAD ∆重心.(1)求证：//GF 平面PDC ；(2)求异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值.【★答案★】(1)证明见解析；（2）33952. 【解析】试题分析：（1）连接AG 交PD 于H ，连接GH ，由重心性质推导出GFHC ，根据线面平行的判定定理可得GF 平面PDC ；（2）取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，可证GFQ ∠ 即是异面直线GF 与BC 的夹角，由余弦定理可得结果.试题解析：（1）方法一：连AG 交PD 于H ,连接CH .由梯形ABCD ，//AB CD 且2AB DC =，知21AF FC = 又E 为AD 的中点，G 为PAD ∆的重心，∴21AG GH =，在AFC ∆中，21AG AF GH FC ==,故GF //HC . 又HC ⊆平面PCD ,GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .方法二：过G 作//GN AD 交PD 于N ,过F 作//FM AD 交CD 于M ,连接MN ,G 为PAD ∆的重心，23GN PG ED PE ==,22333GN ED ∴==,又ABCD 为梯形，//AB CD ,12CD AB =,12CF AF ∴=13MF AD ∴=,233MF ∴= ∴GN FM = 又由所作，//FM AD 得GN //FM ，GNMF ∴为平行四边形.//GN AD //,GF MN GF PCD MN PCD ⊄⊆面，面,∴ //GF 面PDC(2) 取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，连FQ ,则223FQ BC ==, 1013,33EF GF ==,1316,33EQ GQ == ,在GFQ ∆中 222339cos 2?52GF FQ GQ GFQ GF FQ +-∠== ，则异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值为33952. 角函数和等差数列综合起来命题，也正体现了这种命题特点.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理，属于中挡题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.22. 已知函数()1ln (2)(1),f x a x a a R x=+-+∈.(Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若不等式()(ln )x f x a x e ≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 【★答案★】(1) 见解析(2) 1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】 【详解】（Ⅰ）因为()()1ln 21,(,0).f x a x a a R x x ⎛⎫=+-+∈> ⎪⎝⎭所以()()2211.ax a a a f x x x x'-++=-= ①若10a -≤≤，则()0f x '<，即()f x 在区间∞（0，+）上单调递减； ②若0a >，则当10a x a +<<时，()0f x '< ；当1a x a +>时，()0f x '>； 所以()f x 在区间10,a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； ③若1a <-，则当10a x a +<<时，()0f x '>；当1a x a+>时，()0f x '<； 所以函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． 综上所述，若10a -≤≤，函数在区间上单调递减；； 若，函数在区间上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 若1a <-，函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减． （Ⅱ）依题意得()()()1ln 210x x f x a x e ae a x ⎛⎫≥-⇔+-+≥ ⎪⎝⎭， 令()()121x h x ae a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.因为()10h ≥，则()11a e -≥，即101a e ≥>-． 于是，由()1210x ae a x ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，得1201x a e a x +-≥+， 即211x a x a xe-≥+对任意0x >恒成立. 设函数()21(0)x x F x x xe -=>，则()()()2211x x x F x x e +-='-. 当01x <<时，()0F x '>；当1x >时，()0F x '<；所以函数()F x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；所以()()max 11F x F e ⎡⎤==⎣⎦. 于，可知11a a e ≥+，解得11a e ≥-.故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭感谢您的下载!快乐分享，知识无限！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。
湖南省郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学试题(含答案)
郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学（试题卷）注意事项：1.试卷分试题卷和答题卡.试卷共6页，有四大题，19小题，满分150分.考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将准者证条形码粘贴在答题卡的指定位置，3.考生作答时，选择题和非选择题均须作在答题卡上，在试题卷上作答无效考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.4.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在所给的四个选项中，只有一个最佳答案，多选或不选得0分）1.设x ∈R ，则“3x >”是“2x >”的（ ）A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知i 为虚数单位，若复数12,z z 在复平面内对应的点分别为()()2,1,1,2-，则复数12z z ⋅=（ ）A.5iB.5i -C.45i +D.45i-+1sin170=（ ）A.-4B.4C.-2D.24.已知P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一动点，12F F ､分别为其左右焦点，直线1PF 与C 的另一交点为2,A APF 的周长为16.若1PF 的最大值为6，则该椭圆的离心率为（ ）A.14 B.13 C.12 D.235.若n 为一组数8,2,4,9,3,10的第六十百分位数，则二项式1nx ⎫+⎪⎭的展开式的常数项是（ ）A.28B.56C.36D.406.三位老师和4名同学站一排毕业留影，要求老师们站在一起，则不同的站法有：（ ）A.360种B.540种C.720种D.900种7.已知函数()2(0,0)f x x bx c b c =-+>>的两个零点分别为12,x x ，若12,,2x x -三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则不等式0x bx c-≤-的解集为（ ）A.(](),45,∞∞-⋃+B.[]4,5C.()[),45,∞∞-⋃+D.(]4,58.设函数()f x 在R 上存在导数(),f x x '∀∈R ，有()()2f x f x x -+=，在()0,∞+上()f x x '<，若()()932262f m f m m --≥-，则实数m 的取值范围是（ ）A.1,4∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B.1,2∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C.[)1,∞+D.3,4∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.如图，正方体1111ABCD A B C D -的边长为2,M 为11A D 的中点，动点P 在正方形ABCD 内（包含边界）运动，且MP =.下列结论正确的是（ ）A.动点P 的轨迹长度为π；B.异面直线MP 与1BB 所成角的正切值为2；C.MP AB ⋅的最大值为2；D.三棱锥P MAD -的外接球表面积为25π4.10.已知定义域在R 上的函数()f x 满足：()1f x +是奇函数，且()()11f x f x -+=--，当[]()21,1,1x f x x ∈-=-，则下列结论正确的是（ ）A.()f x 的周期4T =B.5324f ⎛⎫=⎪⎝⎭C.()f x 在[]5,4--上单调递增D.()2f x +是偶函数11.锐角ABC 中，角,,A B C 的对边为,,a b c .且满足4,2a b c ==+.下列结论正确的是（）A.点A的轨迹的离心率e =3c <<C.ABC 的外接圆周长()4π,5πl ∈D.ABC 的面积()3,6ABC S ∈ 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.若直线:220l kx y k -+-=与曲线:C y =k 的取值范围是__________.13.已知数列{}n a 满足：()()111,11n n a na n a n n +=-+=+.若()1n nnb n a =+，则数列{}n b 的前n 项和n S =__________.14.暑假将临，大学生小明同学准备利用假期探访名胜古迹.已知某座山高䇯入人云，整体呈圆锥形，其半山腰（母线的中点）有一座古寺，与上山入口在同一条母线上，入口和古寺通过一条盘山步道相连，且当时为了节省资金，该条盘山步道是按“到达古寺的路程最短”修建的.如图，已知该座山的底面半径()2km R =，高)km h =，则盘山步道的长度为__________，其中上山（到山顶的直线距离减小）和下山（到山顶的直线距离增大）路段的长度之比为__________.（第一空2分，第二空3分）四､解答题（本大题共5小题，共77分）15.（本题满分13分）在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,a b ，c ，且满足()sin cos sin 1cos c A B b C A =+.（1）证明：2A B =；（2）求ca的取值范围.16.（本题满分15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥平面,2,ABCD PA AD E ==为线段PD 的中点，F 为线段PC （不含端点）上的动点.（1）证明：平面AEF ⊥平面PCD ；（2）是否存在点F ，使二面角P AF E --的大小为45 ？若存在，求出PFPC的值，若不存在，请说明理由.17.（本题满分15分）已知函数()2cos e ,xf x ax x a =+-∈R .（1）若()f x 在()0,∞+上单调递减，求实数a 的取值范围；（2）当0a =时，求证()1f x <在ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上恒成立.18.（本题满分17分）已知()2,A a 是抛物线2:2C y px =上一点，F 是抛物线的焦点，已知4AF =，（1）求抛物线的方程及a 的值；（2）当A 在第一象限时，O 为坐标原点，B 是抛物线上一点，且AOB 的面积为1，求点B 的坐标；（3）满足第（2）问的条件下的点中，设平行于OA 的两个点分别记为12,B B ，问抛物线的准线上是否存在一点P 使得，12PB PB ⊥.19.（本题满分17分）材料一：在伯努利试验中，记每次试验中事件A 发生的概率为p ，试验进行到事件A 第一次发生时停止，此时所进行的试验次数为ξ，其分布列为()()1(1)1,2,3,k P k p p k ξ-==-⋅=⋯，我们称ξ服从几何分布，记为()GE p ξ~.材料二：求无穷数列的所有项的和，如求2311111112222k k S ∞-==++++=∑ ，没有办法把所有项真的加完，可以先求数列前n 项和11112122nn k nk S -=⎛⎫==- ⎪⎝⎭∑，再求n ∞→时n S 的极限：1lim lim 2122n nn n S S →∞→∞⎛⎫==-= ⎪⎝⎭根据以上材料，我们重复抛掷一颗均匀的骰子，直到第一次出现“6点”时停止.设停止时抛掷骰子的次数为随机变量X.（1）证明：1()1k P X k∞===∑；（2）求随机变量X的数学期望()E X；（3）求随机变量X的方差()D X.郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学参考答案和评分细则一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在所给的四个选项中，只有一个最佳答案，多选或不选得0分）1-5BABCA6-8CDD二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.ACD 10.BC11.CD三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦13.1nn +14.5:2四､解答题（本大题共5小题，共77分）15.（本题满分13分）（1）由()sin cos sin 1cos c A B b C A =+，结合正弦定理得()sin sin cos sin sin 1cos ,sin 0C A B C B A C =+≠ 可得sin cos cos sin sin A B A B B -=，所以()sin sin A B B -=，所以A B B -=或()πA B B -+=（舍去），所以2A B=（2）在锐角ABC 中，02022032B A B C B ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，即ππ64B <<，cos B <<sin sin3sin2cos cos2sin 12cos sin sin2sin22cos c C B B B B B B a A B B B+====-.令1cos ,2,2B t y t t t ==-∈，因为122y t t =-在上单调递增，所以y y>=<=，所以ca∈.16.（1）证明： 底面ABCD为正方形，CD AD∴⊥.PA⊥平面,ABCD PA CD∴⊥.PA AD A⋂=CD∴⊥平面PAD.又AE⊂平面,PAD CD AE∴⊥.,PA PD E=为PD的中点，AE PD∴⊥.,CD PD D AE⋂=∴⊥平面PCD.AE⊂平面,AEF∴平面AEF⊥平面PCD.（2）以AB AD AP､､分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，()()0,0,0,2,0,0A B，()()()()2,2,0,0,2,0,0,0,2,0,1,1C D P E设(01)PF PCλλ=<<，()()2,2,22,0,1,1AF AP PF AP PC AEλλλλ=+=+=-=，设平面AEF的法向量()111,,m x y z=，则(),12,,m AEmm AFλλλ⎧⋅=⎪=--⎨⋅=⎪⎩()()2,2,0,0,0,2AC AP==，设平面APF的法向量()222,,n x y z=，则,n ACn AP⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩解得()1,1,0n=-由题意得：cos45m nm n⋅===，即13λ-=，解得23λ=.从而23PFPC=.17.（1）解：函数(),2cos e xf x ax x=+-，则()2sin e xf x a x=--'，对任意的()()0,,0x f x∞∈+'≤恒成立，所以()2e sinxa x g x≤+=，故()e cos1cos0xg x x x x=+≥++>'，所以()min 2()01a g x g ≤==，故实数a 的取值范围为1,2∞⎛⎤- ⎥⎝⎦；（2）证明：由题意知，要证在ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，上，cos e 1x x -<，令()cos e xh x x =-，则()sin e xh x x =--'，显然在ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭上()h x '单调减，()π0,002h h ⎛⎫->< ⎪⎝⎭''，所以存在0π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则()000sin e 0x h x x '=--=，所以当0π,2x x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0h x '>，则()h x 单调递增，当0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，则()h x 单调递减，所以()0max 00000π()cos ecos sin 04x h x h x x x x x ⎛⎫==-=+=+< ⎪⎝⎭，故()1f x <在ππ,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，上恒成立.18.解：（1）由题意242pAF =+=，解得4p =，因此抛物线的方程为2:8C y x =点()2,A a 在抛物线上可得216a =，故4a =±（2）设点B 的坐标为()11,,x y OA 边上的高为h ，我们知道AOB 的面积是：112S h =⨯=1h h =⇒==直线OA 的方程是2y x =，利用B 到直线OA 的距离公式可得：化简得：1121x y -=由于点B 在抛物线上，代入条件可得：22111121184y y y y ⋅-=⇒-=可以得到211440y y --=或211440y y -+=，解这个方程可以得到12y ===±12y =代入拋物线方程可以得到：1x ==或1x ==112x =综上所述，点B的坐标有三个可能的值：12312,2,,22B B B ⎛⎫+- ⎪⎝⎭（3）不存在，理由如下：由（2）知122,2B B +-则12,B B 的中点3,22M ⎛⎫⎪⎝⎭12B B ===M 到准线2x =-的距离等于37222+=因为73.52=>所以，以M 为圆心122B B 为半径的圆与准线相离，故不存在点P 满足题设条件.19.（1）证明：可知()()1151,1,2,3,666k X GE P X k k -⎛⎫⎛⎫~⋅==⋅=⋯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭012515151515115615666666666616nn nn S ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=⋅+⋅+⋅+⋯+⋅=⨯=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-则15()lim lim 1 1.6n n n n k P X k S ∞→∞→∞=⎛⎫⎛⎫===-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑.（2）设1()nn k T k P X k ==⋅=∑0121152535566666666n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12151525155666666666n nn n n T --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋯+⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭两式相减，0121115151515566666666666n nn n T -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭01215555555616666666n n n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+-⨯=--⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则随机变量X 的数学期望55()lim lim 61666n nn n n E X T n →∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==--⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）1221151()(6)()lim (6)66k nn k k D X k P X k k -∞→∞==⎛⎫=-⋅==-⋅⋅⎪⎝⎭∑∑()2211111236()()(12)()36()k k k k k k P X k k P X k k P X k P X k ∞∞∞∞=====-+⋅===+-=+⋅=∑∑∑∑2211()12636()36;k k k P X k k P X k ∞∞====-⨯+==-∑∑【也可利用()()()22D XE XE X =-】而012122222151515151()123466666666n k k P X k n -∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 121222215515151()12(1)6666666n k k P X k n -∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯==+++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 两式相减：012121151515151()135(21)666666666n k k P X k n -∞=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 112()()2()111k k k P X k P X k E X ∞∞===⋅=-==-=∑∑从而：21()66k kP X k ∞===∑.那么21()()3630k D X k P X k ∞===-=∑.。
选修2-1学霸必刷题 空间向量与立体几何(选择题、填空题)
空间向量与立体几何（选择题、填空题）一、单项选择题1．（江西省赣州市赣县第三中学2020-2021学年高二8月入学考试）已知点(,1,2)A x 和点(2,3,4)B ，且AB =x 的值是（ ）A ．6或2-B ．6或2C ．3或4-D ．3-或4【答案】A【解析】AB ==()2216x -=，解得：2x =-或6x =．故选A2．（2020江西省新余期末质量检测）在空间直角坐标系中，已知P(－1，0，3)，Q(2，4，3)，则线段PQ 的长度为( )A B ．5C D 【答案】B【解析】由题得2(3,4,0),35PQ PQ =∴=+=，所以线段PQ 的长度为5． 故答案为B3．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知空间向量()3,1,3m =，()1,,1n λ=--，且//m n ，则实数λ=（ ）A ．13- B ．-3 C ．13D ．6【答案】A【解析】因为//m n ，所以,m n R μμ=∈，即：()3,1,3m ==(),,n μλμμμ--=， 所以3,1μλμ=-=，解得13λ=-．故选A ．4．（江西省新余一中、宜春一中2021届高二联考）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是1D D 的中点，N 是11A B 的中点，则直线NO ，AM 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面垂直D ．异面不垂直【答案】C【分析】建立空间直角坐标系，写出NO 与AM 的坐标，即可判断位置关系．【解析】建立空间直角坐标系，如图所示．设正方体的棱长为2，则(2,0,0)A ，(0,0,1)M ，(1,1,0)O ，(2,1,2)N ，∴(1,0,2)NO =--，(2,0,1)AM =-．∵0NO AM ⋅=，∴直线NO ，AM 的位置关系是异面垂直． 故选: C5．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点,E F 分别是,BC AD 的中点，则AE AF ⋅的值为（ ） A ．2aB ．212aC ．214a D 2 【答案】C【分析】由题意可得11()22AB AC AE AF AD ⋅=+⋅，再利用两个向量的数量积的定义求得结果．【解析】11()22AB AC AE AF AD ⋅=+⋅1()4AB AD AC AD =⋅+⋅ ()22211cos60cos6044a a a ︒︒=+=，故选C. 6．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知M ，N 分别是四面体OABC 的棱OA ，BC 的中点，点P 在线段MN 上，且2MP PN =，设向量OA a =，OBb =，OC c =则OP =（ ）A ．111666a b c ++B ．111333a b c ++C ．111633a b c ++D ．111366a b c ++【答案】C【解析】如图所示，连接ON ，∵OP ON NP =+，1()2ON OB OC =+，所以13NP NM =，NM OM ON =-，12OM OA =，∴13OP ON NP ON NM =+=+121()333ON OM ON ON OM =+-=+21()32OB OC =⨯+1132OA +⨯111633OA OB OC =++111633a b c =++．故选C ． 7．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）若两条不重合直线1l 和2l 的方向向量分别为()11,0,1ν=-，()22,0,2ν=-，则1l 和2l 的位置关系是（ ） A ．平行 B ．相交 C ．垂直D ．不确定【答案】A【解析】因为两条不重合直线1l 和2l 的方向向量分别为()11,0,1ν=-，()22,0,2ν=-， 所以212v ν=-，即2ν与1v 共线，所以两条不重合直线1l 和2l 的位置关系是平行，故选A8．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）设,x y R ∈，向量()()(),1,1,1,,1,2,4,2,a x b y c ===-且,//a c b c ⊥，则a b +=（ ）A ．BC ．3D ．4【答案】C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示求得参数,x y ，再求向量模长即可． 【解析】()//,241,2,1,21b c y y b ∴=-⨯∴=-∴=-，，(),1210,1a b a b x x ⊥∴⋅=+⋅-+=∴=，()()1,112,1,2a a b ∴=∴+=-，，(2213a b ∴+=+-=，故选C ．9．（江西省宜春市2016-2017学年高二上学期期末统考理）如图所示，在空间四边形OABC 中，OA a OB b OC c ==＝，，，点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN =（ ）A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++ C ．111222a b c +-D ．221b 332a c -+-【答案】B【解析】由向量的加法和减法运算：12211()23322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++．故选B10．（陕西省商洛市商丹高新学校2019-2020学年高二下学期4月学情质量检测数学（理））如图，已知正方体ABCD A B C D ''''-，点E 是A C ''的中点，点F 是AE 的三等分点，且12AF EF =，则AF =（ ）A ．1122AA AB AD '++ B ．111222AA AB AD '++ C ．111266AA AB AD '++D ．111366AA AB AD '++【答案】D【解析】∵点E 是A C ''的中点，点F 是AE 的三等分点，且12AF EF =， ∴111111()333236AF AE AA A E AA A C AA A C ⎛⎫''''''''==+=+=+ ⎪⎝⎭ 11()36AA A B A D '''''=++111366AA AB AD '=++，故选D ． 11．（安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高二上学期开学考试数学（文）试题）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()1,2,,8i P i =是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为（ ）A ．8B ．4C ．2D ．1【答案】D【解析】()2i i i AB AP AB AB BP AB AB BP ⋅=⋅+=+⋅，AB ⊥平面286BP P P ，i AB BP ∴⊥，i AB BP ∴⋅=，21i AB AP AB ∴⋅==，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为1个，故选D .12．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）点P (1，2，3）关于xOy 平面的对称点的坐标为（ ） A ．(－1，2，3) B ．(1，－2，－3) C ．(－1，－2，－3) D ．(1，2，－3)【答案】D【分析】关于xOy 平面对称的点的,x y 坐标不变，只有z 坐标相反． 【解析】点P (1，2，3）关于xOy 平面的对称点的坐标为(1,2,)3-．故选D ．13．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）若向量(2,0,1)a =-，向量(0,1,2)b =-，则2a b -=（ ）A ．(4,1,0)-B ．(4,1,4)--C ．(4,1,0)-D ．(4,1,4)--【答案】C【分析】根据题意求出2(4,0,2)a=-，再根据向量的减法坐标运算，由此即可求出结果．【解析】因为向量(2,0,1)a =-，向量(0,1,2)b =-，则2(4,0,2)a =-，则2(4,0,2)(0,1,2)(4,1,0)a b -=---=-，故选C ．14．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知正方体1111ABCD A B C D -，点E 是上底面11A C 的中心，若1AE AA xAB yAD =++，则x y +等于（ ） A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】如图，()111111112AE AA A E AA A B A D =+=++ ()11111222AA AB AD AA AB AD =++=++，所以12x y ==，所以1x y +=．故选C15．（江苏省南京市秦淮区2019-2020学年高一下学期期末）空间直角坐标系O xyz -中，已知两点()11,2,1P -，()22,1,3P -，则这两点间的距离为（ ）A BC ．D ．18【答案】B【解析】根据题意，两点()11,2,1P -，()22,1,3P -，则12||PP =B ．16．（湖北省恩施高中2020届高三下学期四月决战新高考名校交流卷（B ））已知向量()1,2a =，()3,b x =，()1,1c y =--，且//a b ，b c ⊥，则x y ⋅的值为（ ）A ．6B ．32 C ．9D ．132-【答案】C【解析】∵//a b ，∴60x -=，6x =，∴向量()3,6b =， ∵b c ⊥，∴()3610y -+-=，∴32y =，∴9x y ⋅=．故选C ． 17．（四川省绵阳市2019-2020学年高二下学期期末教学质量测试数学（理）试题）在空间直角坐标系中，若()1,1,0A ，()13,0,12AB =，则点B 的坐标为（ ） A ．()5,1,2-- B ．()7,1,2- C ．()3,0,1 D ．()7,1,2【答案】D【分析】首先设出点(,,)B x y z ，利用向量坐标公式以及向量相等的条件得到等量关系式，求得结果． 【解析】设(,,)B x y z ，所以(1,1,)2(3,0,1)(6,0,2)AB x y z =--==，所以16102x y z -=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，所以712x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以点B 的坐标为(7,1,2)，故选D ．18．（广东省云浮市2019-2020学年高二上学期期末）如图，在三棱锥P ABC -中，点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点，设PA a =，PB b =，PC c =，则EF =（ ）A ．111442a b c --B ．111442a b c -+ C ．111442a b c +-D ．111442a b c -++【答案】D 【解析】点D ，E ，F 分别是AB ，PA ，CD 的中点，且PA a =，PB b =，PC c =，∴()11112224EF EP PC CF PA PC CD PA PC CA CB =++=-++=-+++()1111124442PA PC PA PC PB PC PA PB PC =-++-+-=-++111442a b c =-++．故选D ．19．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）一个向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()1,2,3，则p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为（ ）A ．31322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，B ．31322⎛⎫- ⎪⎝⎭，， C ．13322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，D ．13322⎛⎫- ⎪⎝⎭，，【答案】B【解析】因为向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为()1,2,3，所以23p a b c =++， 设p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为(),,x y z ，所以()()()()p x a b y a b zc x y a x y b zc =++-+⇒++-+，有13223x y x y x z +=⎧⎪-=⇒=⎨⎪=⎩，12y，3z =，p 在基底{},,a b a b c +-下的坐标为31,,322⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选B ．20．（湖北省武汉襄阳荆门宜昌四地六校考试联盟2020-2021学年高三上学期起点联考）如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，12AA AB ==，60BAD ∠=︒，M 是1BB 的中点，则异面直线1A M 与1B C所成角的余弦值为（ ）A． B ．15- C ．15D．5【答案】D【分析】用向量1,,AB BC BB 分别表示11,AM BC ，利用向量的夹角公式即可求解． 【解析】由题意可得221111111111,5,2A M AB B M AB BB A M A B B M=+=-=+=221111,2BC BC BB B C BC BB =-=+=，()211111111111cos ,AB BB BC BB AB BC BB A M B C A M B C A M B C⎛⎫-⋅-⋅+ ⎪⋅⎝〈〉===0122cos604⨯⨯+⨯==故选D21．（河北省石家庄市第二中学2020-2021学年高二上学期8月线上考试（二））长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AB AD AA E ===为棱1AA 的中点，则直线1C E 与平面11CB D 所成角的余弦值为（ ） A．9 B．9CD ．23【答案】A【解析】根据题意，建立如图所示直角坐标系：则1C E (1,1,1)=--，设平面11B D C 的法向量为n (,,)x y z =，则100n B D n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩可得：020x y x z --=⎧⎨--=⎩，取n (2,2,1)=--，则1,cos n C E =11n C E nC E⋅9==，设直线1C E 与平面11B D C 的夹角为θ，则9sin θ=，9cos θ==．故选A ． 22．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知点()1,1,A t t t --，()2,,B tt ，则A ，B 两点的距离的最小值为A．10 B．5C．5D ．35【答案】C【分析】由两点之间的距离公式求得AB 之间的距离用t 表示出来，建立关于t 的函数，转化为求函数的最小值．【解析】因为点()1,1,A t t t --，()2,,B t t ，所以22222(1)(21)()522AB t t t t t t =++-+-=-+，有二次函数易知，当15t =时，取得最小值为95，AB ∴，故选C ．23．（湖南省邵阳市邵东县第十中学2020届高三下学期模拟考试数学（文）试题）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱AB ，1BB 的中点，点P 在对角线1CA 上运动．当△PMN 的面积取得最小值时，点P 的位置是（ ）A ．线段1CA 的三等分点，且靠近点1AB ．线段1CA 的中点C ．线段1CA 的三等分点，且靠近点CD ．线段1CA 的四等分点，且靠近点C【答案】B【解析】设正方体的棱长为1，以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示：则1(,0,0)2M ，1(1,0,)2N ，MN 的中点31(,0,)44Q ，1(0,0,1)A ，(1,1,0)C ，则1(1,1,1)AC =-，设(,,)P t t z ，(1,1,)PC t t z =---， 由1AC 与PC 共线，可得11111t t z---==-，所以1t z =-，所以(1,1,)P z z z --，其中01z ≤≤，因为||(1PM ==||(11)(1PN z =--+=所以||||PM PN =，所以PQ MN ⊥，即||PQ 是动点P 到直线MN 的距离，由空间两点间的距离公式可得||PQ ===12c =时，||PQ 取得最小值4，此时P 为线段1CA 的中点，由于||4MN =为定值，所以当△PMN 的面积取得最小值时，P 为线段1CA 的中点．故选B24．（云南省梁河县第一中学2019-2020学年高二7月月考数学（理）试题）长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA ==，1AD =，E 为1CC 的中点，则异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值为（ ）A BCD ．【答案】B【分析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线1BC 与AE 所成角的余弦值．【解析】以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A 、()2,0,0B 、()12,1,2C 、()2,1,1E ，()2,1,1AE =，()10,1,2BC =，111cos ,6AE BC AE BC AEBC ⋅<>===⋅． 因此，异面直线1BC 与AE ．故选B ． 25．（广西桂林市2019-2020学年高二下学期期末质量检测数学（理））在正方体ABCD --A 1B 1C1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成角的正弦值为( ) A．5-B．5C ．D 【答案】B【分析】以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE 与平面1B BD 所成角的正弦值．【解析】以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()000D ，，，()220B ，，，()1222B ，，，()021E ，，， ∴() 220BD =--，，，()1 002BB =，，，() 201BE =-，，， 设平面1B BD 的法向量为() ,,x n y z =，∵ n BD ⊥，1n BB ⊥， ∴22020x y z --=⎧⎨=⎩，令y 1=，则() 110n =-，，，∴10cos ,n BE n BE n BE ⋅==⋅，设直线BE 与平面1B BD 所成角为θ，则10sin cos ,5n BE θ==，故选B ．26．（陕西省商洛市商丹高新学校2020届高三下学期考前适应性训练理科）如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12AA =且1160A AD A AB ∠=∠=︒，则1AC =（ ）A ． BC ．D 【答案】B【解析】因为底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱12AA =且1160A AD A AB ∠=∠=︒，则2=1AB ，2=1AD ，21=4AA ，0AB AD ⋅=，111cos 1AB AA AB AA A AB ⋅=⋅⋅∠=，111cos 1AD AA AD AA A AD ⋅=⋅⋅∠=，则1AC 1AB AD AA =++()1222111222AB AD AA AB AA AB AD AD AA =+++⋅+⋅+⋅==，故选B ．27．（2020届上海市七宝中学高三高考押题卷）已知MN 是正方体内切球的一条直径，点P 在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM PN →→⋅的取值范围为（ ） A ．[]0,4 B ．[]0,2 C ．[]1,4D ．[]1,2【答案】B【分析】利用向量的线性运算和数量积运算律可将所求数量积化为21PO →-，根据正方体的特点可确定PO →的最大值和最小值，代入即可得到所求范围．【解析】设正方体内切球的球心为O ，则1OM ON ==，2PM PN PO OM PO ON PO PO OM ON OM ON →→→→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅++⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，MN 为球O 的直径，0OM ON →→∴+=，1OM ON →→⋅=-，21PM PN PO →→→∴⋅=-，又P 在正方体表面上移动，∴当P 为正方体顶点时，PO →P 为内切球与正方体的切点时，PO →最小，最小值为1，[]210,2PO →∴-∈，即PM PN →→⋅的取值范围为[]0,2．故选B ．【点睛】本题考查向量数量积的取值范围的求解问题，关键是能够通过向量的线性运算将问题转化为向量模长的取值范围的求解问题．28．（湖北省荆门市2019-2020学年高二下学期期末）在平行六面体ABCD A B C D ''''-中，若2AC x AB y BC z CC →→→→''=++，则x y z ++=（ ）A ．52B ．2C ．32D ．116【答案】A【解析】由空间向量的线性运算，得AB BC AC AC CC CC →→→→→→⎛⎫=+=++ ⎪⎭'''⎝， 由题可知，2AC x AB y BC z CC →→→→''=++，则1,1,21x y z ===，所以11,2y z ==， 151122x y z ∴++=++=．故选A ．29．（安徽省六校教育研究会2020-2021学年高三上学期第一次素质测试理科）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，已知90ABC ∠=︒，P 为侧棱1CC 上任意一点，Q 为棱AB 上任意一点，PQ 与AB 所成角为α，PQ 与平面ABC 所成的角为β，则α与β的大小关系为（ ）A ．αβ=B ．αβ<C ．αβ>D ．不能确定【答案】C【分析】建立空间直角坐标系设()()(),0,,0,,00,0,0P x z Q y x y z >≥≥，利用空间向量法分别求得cos ,cos αβ，然后根据(0,],0,22ππαβ⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦，利用余弦函数的单调性求解．【解析】建立如图所示空间直角坐标系：设()()(),0,,0,,00,0,0P x z Q y x y z >≥≥，则()(),,,0,,0QP x y z QB y =-=-， 所以2222,,QP QB y QP x y z QB y ⋅==++=，所以2cos QP QB QP QBx zα⋅==⋅+又(0,],0,22ππαβ⎡⎤∈∈⎢⎥⎣⎦，sin QP CP QPβ⋅==所以cos β=cos cos βα>，因为cos y x = 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递减，所以αβ>，故选C 30．（江西省赣州市赣县第三中学2019-2020学年高二6月份考试数学（理）试题）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，3AB =，14AA =，P 是侧面11BCC B 内的动点，且1AP BD ⊥，记AP 与平面11BCC B 所成的角为θ，则tan θ的最大值为（ ）A ．43B ．53 C ．2D ．259【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线面角的正切值的最大值． 【解析】以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系， 设(,3,)P x z ，则1(3,3,),(3,3,4)AP x z BD =-=--，11,0AP BD AP BD ⊥∴⋅=，33(3)3340,4x z z x ∴---⨯+=∴=，||BP ∴==9255=， ||5tan ||3AB BP θ∴=，tan θ∴的最大值为53．故选B ．31．（江西省赣州市赣县第三中学2019-2020学年高二6月份考试数学（理）试题）如图，在棱长都相等的正三棱柱111ABC A B C -中，D 是棱1CC 的中点，E 是棱1AA 上的动点．设AE x =，随着x 增大，平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角的平面角是（ ）A ．增大B ．先增大再减小C ．减小D ．先减小再增大【答案】D【解析】设正三棱柱111ABC A B C -棱长为2，,02AE x x =≤≤， 设平面BDE 与底面ABC 所成锐二面角为α，以A 为坐标原点，过点A 在底面ABC 内与AC 垂直的直线为x 轴，1,AC AA 所在的直线分别为,y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,2,1),(0,0,),(3,1,1),(0,2,1)B D E x BD ED x =-=-，设平面BDE 的法向量(,,)m s t k =，则m BD m ED⎧⊥⎨⊥⎩，即02(1)0t k t x k ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，令k =33,1t x s x =-=+，所以平面BDE的一个法向量(m x=+-，底面ABC的一个法向量为(0,0,1)n =，cos|cos,|m nα=<>==当1(0,)2x∈，cosα随着x增大而增大，则α随着x的增大而减小，当1(,2)2x∈，cosα随着x增大而减小，则α随着x的增大而增大．故选D．32．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）已知空间直角坐标系O xyz-中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q在直线OP上运动，则当QA QB⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（）A．131,,243⎛⎫⎪⎝⎭B．133,,224⎛⎫⎪⎝⎭C．448,,333⎛⎫⎪⎝⎭D．447,,333⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【分析】设(,,)Q x y z，根据点Q在直线OP上，求得(,,2)Qλλλ，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得43λ=时，QA QB⋅取得最小值，即可求解．【解析】设(,,)Q x y z，由点Q在直线OP上，可得存在实数λ使得OQ OPλ=，即(,,)(1,1,2)x y zλ=，可得(,,2)Qλλλ，所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---，则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+， 根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q ． 故选C ．【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得关于λ的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力．33．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为（ ）A ．16+8πB ．32+16πC ．32+8πD ．16+16π【答案】A【解析】设D 在底面半圆上的射影为1D ，连接1AD 交BC 于O ，设1111A D B C O ⋂=． 依题意半圆柱体底面直径4,,90BC AB AC BAC ==∠=︒，D 为半圆弧的中点， 所以1111,AD BC A D B C ⊥⊥且1,O O 分别是下底面、上底面半圆的圆心．连接1OO ， 则1OO 与上下底面垂直，所以11,,OO OB OO OA OA OB ⊥⊥⊥，以1,,OB OA OO 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为()0h h >，则()()()()12,0,0,0,2,,0,2,0,2,0,B D h A B h -，所以()()12,2,,2,2,BD h AB h =--=-，由于异面直线BD 和1AB 所成的角的余弦值为23，所以11238BD AB BD AB ⋅==⋅，即2222,16,483h h h h ===+．所以几何体的体积为2112442416822ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+．故选A.34．（安徽省阜阳市太和第一中学2020-2021学年高二（平行班）上学期开学考试）在正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC 与平面1A BD 所成角的余弦值为（ ）A ．24B ．23 C ．3 D ．3 【答案】C【分析】分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量后可得所求线面角的余弦值． 【解析】分别以1,,DA DC DD 为,,x y z轴建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，可得()()()()110,0,0,1,1,0,0,1,1,1,0,1D B C A ∴()()()111,0,1,1,0,1,1,1,0BC A D BD =-=--=--， 设(),,n x y z =是平面1A BD 的一个法向量，∴100n A D n BD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00x z x y +=⎧⎨+=⎩，取1x =，得1y z ==-，∴平面1A BD 的一个法向量为()1,1,1n =--，设直线1BC 与平面1A BD 所成角为θ， ∴11126sin cos ,323BC nBC n BC nθ⋅-=〈〉===⨯， ∴23cos 1sin θθ=-1BC 与平面1A BD 所成角的余弦值是33， 故选C.【点睛】用向量法求二面角大小的两种方法：（1）分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小即为二面角的大小；（2）分别求出二面角的两个半平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角大小，解题时要注意结合图形判断出所求的二面角是锐角还是钝角．35．（2020届重庆市第一中学高三下学期6月模拟数学（理）试题）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是底面1111D C B A 内（含边界）的一点，且//AP 平面1DBC ，则异面直线1A P 与BD 所成角的取值范围为（ ）A ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】过A 作平面α平面1DBC ，点P 是底面1111D C B A 内（含边界）的一点，且//AP 平面1DBC ，则P ∈平面α，即P 在α与平面1111D C B A 的交线上，连接111,,AB AD B D ，11DD BB =，则四边形11BDD B 是平行四边形，11B D BD ∴，11B D ∴平面1DBC ，同理可证1AB ∥平面1DBC ，∴平面11AB D ∥平面1DBC ，则平面11AB D 即为α，点P 在线段11B D 上，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 建立如图坐标系，设正方体棱长为1， 则()0,0,0D ，()1,1,0B ，()1,0,0A ，设(),,1P λλ，[]0,1λ∈， ()1,1,0DB ∴=，()1,,1AP λλ=-，21DB AP λ∴⋅=-，2DB =，2AP λ=，设1A P 与BD 所成角为θ，则cos 2DB APDB APθ⋅===⋅ ==12λ=时，cos θ取得最小值为0， 当0λ=或1时，cos θ取得最大值为12，10cos 2θ∴≤≤，则32ππθ≤≤．故选C ． 36．（重庆市第八中学2020届高三下学期第五次月考数学（理）试题）如图，矩形ABCD 中，2AB AD ==E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △．在翻折过程中，直线1A C 与平面ABCD 所成角的正弦值最大为（）A．4B ．6C．14D【答案】A【解析】分别取DE ，DC 的中点O ，F ，则点A 的轨迹是以AF 为直径的圆， 以,OA OE 为,x y 轴，过O 与平面AOE 垂直的直线为z 轴建立坐标系，则()2,1,0C -，平面ABCD 的其中一个法向量为n = (0，0．1)， 由11A O =，设()1cos ,0,sin A αα，则()1cos 2,1,sin CA αα=+-，记直线1A C 与平面ABCD 所成角为θ，则11sin 4cos ||CA nCAn θ⋅===⋅设315cos ,,sin 222t αθ⎡⎤=+∈=≤=⎢⎥⎣⎦ 所以直线1A C 与平面ABCD ，故选A ． 二、多项选择题37．（江苏省南京市秦淮中学2019-2020学年高二（美术班）上学期期末）对于任意非零向量()111,,a x y z =，()222,,b x y z =，以下说法错误的有( )A ．若a b ⊥，则1212120x x y y z z ++=B ．若//a b ，则111222x y z x y z == C ．cos ,a b =><D ．若1111===x y z ，则a为单位向量 【答案】BD【解析】对于A 选项，因为a b ⊥，则1212120a b x x y y z z ⋅=++=，A 选项正确；对于B 选项，若20x =，且20y ≠，20z ≠，若//a b ，但分式12x x 无意义，B 选项错误； 对于C 选项，由空间向量数量积的坐标运算可知cos ,a b =><，C 选项正确；对于D 选项，若1111===x y z，则211a =+=，此时，a 不是单位向量，D 选项错误．故选BD ．38．（2020届百师联盟高三开学摸底大联考山东卷）下面四个结论正确的是（ ） A ．向量(),0,0a b a b ≠≠，若a b ⊥，则0a b ⋅=．B ．若空间四个点P ，A ，B ，C ，1344PC PA PB =+，则A ，B ，C 三点共线． C ．已知向量()1,1,a x =，()3,,9b x =-，若310x <，则,a b 为钝角．D ．任意向量a ，b ，c 满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅． 【答案】AB【解析】由向量垂直的充要条件可得A 正确；1344PC PA PB =+，∴11334444PC PA PB PC -=-即3AC CB =，∴A ，B ，C 三点共线，故B 正确；当3x =-时，两个向量共线，夹角为π，故C 错误；由于向量的数量积运算不满足结合律，故D 错误．故选AB.39．（广东省中山市2019-2020学年高一下学期期末）在空间直角坐标系中，下列结论正确的是（ ） A ．点()2,1,4-关于x 轴对称的点的坐标为()2,1,4 B ．到()1,0,0的距离小于1的点的集合是()(){}222,,11x y z x y z -++<C ．点()1,2,3与点()3,2,1的中点坐标是()2,2,2D ．点()1,2,0关于平面yOz 对称的点的坐标为()1,2,0- 【答案】BCD【解析】对于选项A ：点()2,1,4-关于x 轴对称的点的坐标为()2,1,4---，所以A 不正确； 对于选项B ：点(),,x y z到()1,0,0的距离小于11<，所以B 正确；对于选项C ：点()1,2,3与点()3,2,1的中点坐标是()132231,,2222,2,2⎛⎫=⎪⎝⎭+++，所以C 正确；对于选项D ：由点(),,x y z 关于平面yOz 对称的点的坐标为(),,x y z -，所以D 正确． 故选B C D ．40．（山东省威海市文登区2019-2020学年高二上学期期末）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则下列结论正确的是（ ）A ．211AB AC a ⋅=- B ．212BD BD a ⋅= C ．21AC BA a⋅=- D ．212AB AC a ⋅=【答案】BC【解析】如下图所示：对于A 选项，()2211AB AC AB AC AB AB AD AB a ⋅=⋅=⋅+==，A 选项错误；对于B ，()()()()2221112BD BD AD AB BD DD AD AB AD AB AA AD AB a ⋅=-+=--+=+=，B 选项正确；对于C 选项，()()2211AC BA AB AD AA AB AB a ⋅=+⋅-=-=-，C 选项正确；对于D 选项，()2211AB AC AB AB AD AA AB a ⋅=⋅++==，D 选项错误．故选BC ．41．（福建省泉州市普通高中2019-2020学年毕业班第一次质量检查（理））如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．直线1//BC 平面1A BD B ．11B C BD ⊥C ．三棱锥11C B CE -的体积为13D ．异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒【答案】ABD【解析】如图建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,1A ，()11,0,1B ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，()1B C 0,1,1=-，()11,1,1BD =-，()1,1,0BD =-，()11,0,1BA =-，所以()111011110B C BD =-⨯+⨯+-⨯=，即11BC BD ⊥，所以11B C BD ⊥，故B 正确；()11011101B C BD =-⨯+⨯+-⨯=，12B C =，2BD =，设异面直线1B C 与BD 所成的角为θ，则111cos 2B C BD B C BDθ==，又0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3πθ=，故D 正确；设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，则1·0·0n BA n BD ⎧=⎨=⎩，即0x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取()1,1,1n =，则()10111110n B C =⨯+⨯+⨯-=，即1C n B ⊥，又直线1B C ⊄平面1A BD ，所以直线1//B C 平面1A BD ，故A 正确；111111111111113326C B CE B C CE C CE V B C S V -∆-===⨯⨯⨯⨯=⋅，故C 错误；故选ABD.42．（海南省海南中学2019-2020学年高三第四次月考）如图所示，正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点P 在侧面11BCC B 及其边界上运动，并且总是保持1AP BD ⊥，则以下四个结论正确的是（）A ．113P AA D V -=B ．点P 必在线段1BC 上C ．1AP BC ⊥D ．//AP 平面11AC D【答案】BD 【解析】对于A ，P 在平面11BCC B 上，平面11//BCC B 平面1AA D ，P ∴到平面1AA D 即为C 到平面1AA D 的距离，即为正方体棱长，1111111113326P AA D AA D V S CD -∴=⋅=⨯⨯⨯⨯=△，A 错误；对于B ，以D 为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系：则()1,0,0A ，(),1,P x z ，()1,1,0B ，()10,0,1D ，()11,1,1B ，()0,1,0C()1,1,AP x z →∴=-，()11,1,1BD →=--，()11,0,1B C →=--，1AP BD ⊥，1110AP BD x z →→∴⋅=--+=，x z ∴=，即(),1,P x x ，(),0,CP x x →∴=，1CP x B C →→∴=-，即1,,B P C 三点共线，P ∴必在线段1B C 上，B 正确；对于C ，()1,1,AP x x →=-，()11,0,1BC →=-，111AP BC x x →→∴⋅=-+=，AP ∴与1BC 不垂直，C 错误；对于D ，()11,0,1A ，()10,1,1C ，()0,0,0D ，()11,0,1DA →∴=，()10,1,1DC →=，设平面11AC D 的法向量(),,n x y z →=，1100n DA x z n DC y z ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，则1z =-，1y =，()1,1,1n →∴=-， 110AP n x x →→∴⋅=-+-=，即AP n →→⊥，//AP ∴平面11ACD ，D 正确．故选BD ． 43．（福建省宁德市2019-2020学年高二上学期期末考试）如图所示，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D-中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）A ．平面11D A P ⊥平面1A APB ．1AP DC ⋅不是定值 C ．三棱锥11BD PC -的体积为定值 D ．11DC D P ⊥【答案】ACD【解析】A ．因为是正方体，所以11D A ⊥平面1A AP ，11D A ⊂平面11D A P ，所以平面11D A P ⊥平面1A AP ，所以A 正确；B ．11111111()AP DC AA A P DC AA DC A P DC ⋅=+⋅=⋅+⋅ 11112cos 45cos901212AA DC A P DC =+=⨯⨯=，故11AP DC ⋅=，故B 不正确； C ．1111B D PC P B D C V V --=，11B D C 的面积是定值，1//A B 平面11B D C ，点P 在线段1A B 上的动点，所以点P 到平面11B D C 的距离是定值，所以1111B D PC P B D C V V --=是定值，故C 正确； D ．111DC A D ⊥，11DC A B ⊥，1111A D A B A =，所以1DC ⊥平面11A D P ，1D P ⊂平面11A D P ，所以11DC D P ⊥，故D 正确．故选ACD44．（山东省济南莱芜市第一中学2019-2020学年高二下学期第一次质量检测）关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面 C ．设{},,a b c 是空间中的一组基底，则{},,a b b c c a +++也是空间的一组基底 D ．若0a b ⋅<，则,a b 是钝角 【答案】ABC【解析】对于A 中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的；对于B 中，若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，根据空间向量的基本定理，可得,,,P A B C 四点一定共面，所以是正确的；对于C 中，由{},,a b c 是空间中的一组基底，则向量,,a b c 不共面，可得向量,a b b c ++，c a +也不共面，所以{},,a b b c c a +++也是空间的一组基底，所以是正确的； 对于D 中，若0a b ⋅<，又由,[0,]a b π∈，所以,(,]2a b ππ∈，所以不正确．故选ABC ．45．（河北省沧州市盐山中学2019-2020学年高一下学期期末）若长方体1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的正方形，高为4，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．11B E A B ⊥B ．平面1//B CE 平面1A BDC ．三棱锥11C B CE -的体积为83D ．三棱锥111C B CD -的外接球的表面积为24π【答案】CD【解析】以1{,,}AB AD AA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,4)A ，1(2,0,4)B ，(0,2,2)E ，所以1(2,2,2)B E =--，1(2,0,4)A B =-， 因为1140840B E A B ⋅=-++=≠，所以1B E 与1A B 不垂直，故A 错误； 1(0,2,4)CB =-，(2,0,2)CE =-，设平面1B CE 的一个法向量为111(,,)n x y z =，则由100n CB n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得1111240220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，所以11112y z x z =⎧⎨=⎩，不妨取11z =，则11x =，12y =，所以(1,2,1)n =， 同理可得设平面1A BD 的一个法向量为(2,2,1)m =，故不存在实数λ使得n λm =，故平面1B CE 与平面1A BD 不平行，故B 错误； 在长方体1111ABCD A B C D -中，11B C ⊥平面11CDD C ，故11B C 是三棱锥11B CEC -的高，所以111111111184223323三棱锥三棱锥CEC C B CE CEC B V V S B C --==⋅=⨯⨯⨯⨯=△，故C 正确； 三棱锥111C B CD -的外接球即为长方体1111ABCD A B C D -的外接球，故外接球的半径2R ==所以三棱锥111C B CD -的外接球的表面积2424S R ππ==，故D 正确．故选CD ．46．（山东省济南市2019-2020学年高二下学期末考试）如图，棱长为的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（ ）A ．直线1D P 与AC 所成的角可能是6π B ．平面11D A P ⊥平面1A AP C ．三棱锥1D CDP -的体积为定值D ．平面1APD 截正方体所得的截面可能是直角三角形 【答案】BC【解析】对于A ，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，()()()10,0,1,1,0,0,0,1,0D A C ，设()()1,,01,01P a b a b <<<< ()()11,,1,1,1,0D P a b AC =-=-，(111cos ,01D P AC D P AC D P ACa b ⋅==<++-1301,01,,24a b D P AC ππ<<<<∴<<∴直线D 1P 与AC 所成的角为,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭，故A 错误； 对于B ，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1⊥AA 1，A 1D 1⊥AB ， ∵AA 1AB ＝A ，∴A 1D 1⊥平面A 1AP ，∵A 1D 1⊥平面D 1A 1P ，∴平面D 1A 1P ⊥平面A 1AP ，故B 正确；对于C ，1111122CDD S=⨯⨯=，P 到平面CDD 1的距离BC ＝1， ∴三棱锥D 1﹣CDP 的体积：111111326D CDP P CDD V V --==⨯⨯=为定值，故C 正确；对于D ，平面APD 1截正方体所得的截面不可能是直角三角形，故D 错误；故选BC ．47．（江苏省苏州中学园区校2020-2021学年高三上学期8月期初调研）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中正确的是（ ）A ．线段11B D 上存在点F ，使得AC AF ⊥ B ．//EF 平面ABCD C ．AEF 的面积与BEF 的面积相等 D ．三棱锥A BEF -的体积为定值【答案】BD【解析】如图，以C 为坐标原点建系CD ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，()1,1,0A ，()0,0,0C ，()1,1,0AC =--，1B F B λ=11D ，即()()0,1,11,1,0x y z λ---=-,∴x λ=，1y λ=-，1z =，∴(),1,1F λλ-，()1,,1AF λλ=--,()()11010AC AF λλ⋅=--++=≠， ∴AC 与AF 不垂直，A 错误．E ，F 都在B ，D 上，又11//BD B D ，∴//EF BD ，BD ⊂平面ABCD ，EF ⊄平面ABCD ，∴//EF 平面ABCD ，B 正确AB 与EF 不平行，则1A B 与EF 的距离相等，∴AEF BEF S S ≠△△，∴C 错误A 到BEF 的距离就是A 到平面11BDDB 的距离，A 到11BDD B 的距离为22AC =1111224BEF S =⨯⨯=△，∴1134224A BEF V -=⨯⨯=是定值，D 正确．故选BD ．48．（江苏省扬州市宝应中学2020-2021学年高三上学期开学测试）在正三棱柱ABC A B C '''-中，所有棱长为1，又BC '与B C '交于点O ，则（ ）A ．AO =111222AB AC AA '++ B ．AO B C '⊥C ．三棱锥A BB O '-D ．AO 与平面BB ′C ′C 所成的角为π6【答案】AC【解析】由题意，画出正三棱柱ABC A B C '''-如图所示，向量()()111222AO AB BO AB BC BB AB AC AB AA ''=+=++=+-+ 111222AB AC AA '=++，故选项A 正确；在AOC △中，1AC =，22OC，1OA ==， 222OA OC AC +≠，所以AO 和B C '不垂直，故选项B 错误；在三棱锥A BB O '-中，14BB O S '=，点A 到平面BB O '的距离即ABC 中BC 边上的高，所以h =以111334A BB O BB O V S h ''-==⨯=C 正确； 设BC 中点为D ，所以AD BC ⊥，又三棱柱是正三棱柱，所以AD ⊥平面BB C C ''，所以AOD ∠即AO 与平面BB ′C ′C 所成的角，112cos 12OD AOD OA ∠===，所以3AOD π∠=，故选项D 错误．故选AC49．（山东省泰安肥城市2020届高三适应性训练（一））如图四棱锥P ABCD -，平面PAD ⊥平面ABCD ，侧面PAD 是边长为ABCD 为矩形，CD =Q 是PD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．CQ ⊥平面PADB ．PC 与平面AQC所成角的余弦值为3C ．三棱锥B ACQ -的体积为D ．四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的表面积为【答案】BD【解析】取AD 的中点O ，BC 的中点E ，连接,OE OP ，因为三角形PAD 为等边三角形，所以OP AD ⊥，因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以OP ⊥平面 ABCD ，因为AD OE ⊥，所以,,OD OE OP 两两垂直，所以，如下图，以O 为坐标原点，分别以,,OD OE OP 所在的直线为x 轴，y 轴 ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(O D A ，(P C B ，因为点Q 是PD 的中点，所以Q ，平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)m =，6(QC =，显然 m 与QC 不共线，所以CQ 与平面PAD 不垂直，所以A 不正确；3632(6,23,32),(,0,),(26,PC AQ AC =-==， 设平面AQC 的法向量为(,,)n x y z =，则3602260n AQ x zn AC ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=+=⎩， 令=1x ，则y z ==(1,2,3)n =--，设PC 与平面AQC 所成角为θ，则21sin 36n PC n PCθ⋅===，所以22cos 3θ=，所以B 正确；三棱锥B ACQ -的体积为1132B ACQ Q ABC ABCV V S OP --==⋅ 1116322=⨯⨯⨯=，所以C 不正确；设四棱锥Q ABCD -外接球的球心为)M a ，则MQ MD =，所以22222222a a ⎛⎫⎛++-=++ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得0a =，即M 为矩形ABCD 对角线的交点，所以四棱锥Q ABCD -外接球的半径为3，设四棱锥Q ABCD -外接球的内接正四面体的棱长为x ，将四面体拓展成正方体，其中正四面体棱为正方体面的对角线，故正方体的棱长为2x ，所以2236⎫=⎪⎪⎝⎭，得224x =，所以正四面体的表面积为244x ⨯=，所以D 正确．故选BD.50．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）在四面体P ABC -中，以上说法正确的有（ ）A ．若1233AD AC AB =+，则可知3BC BD = B ．若Q 为△ABC 的重心，则111333PQ PA PB PC =++C ．若0PA BC =，0PC AB =，则0PB AC =D ．若四面体P ABC -各棱长都为2，M N ，分别为,PA BC 的中点，则1MN = 【答案】ABC 【解析】对于A ，1233AD AC AB =+，32AD AC AB ∴=+， 22AD AB AC AD ∴-=- ， 2BD DC ∴=，3BD BD DC BC ∴=+=即3BD BC ∴=，故A 正确；对于B ，Q 为△ABC 的重心，则0QA QB QC ++=，33PQ QA QB QC PQ∴+++=()()()3PQ QA PQ QB PQ QC PQ ∴+++++=，3PA PB PC PQ ∴++=，即111333PQ PA PB PC ∴=++，故B 正确；对于C ，若0PA BC =，0PC AB =，则0PA BC PC AB +=，()0PA BC PC AC CB ∴++=，0PA BC PC AC PC CB ∴++=0PA BC PC AC PC BC ∴+-=，()0PA PC BC PC AC ∴-+= 0CA BC PC AC ∴+=，0AC CB PC AC ∴+=()0AC PC CB ∴+=，0AC PB ∴=，故C 正确；对于D ，111()()222MN PN PM PB PC PA PB PC PA ∴=-=+-=+- 1122MN PB PC PA PA PB PC ∴=+-=-- 222222PA PB PC PA PB PC PA PB PA PC PC PB --=++--+==2MN ∴=D 错误．故选ABC.三、填空题51．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）O 为空间中任意一点，A ，B ，C 三点不共线，且3148OP OA OB tOC =++，若P ，A ，B ，C 四点共面，则实数t ＝_________．。
2022-2023学年湖南省郴州市市北湖实验中学高二物理上学期期末试卷含解析
2022-2023学年湖南省郴州市市北湖实验中学高二物理上学期期末试卷含解析一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共计15分．每小题只有一个选项符合题意1. （单选）如图所示，一倾斜的金属框架上放着一根金属棒，由于摩擦力的作用，金属棒在没有磁场时处于静止状态，从t0时刻开始，给框架区域加一个垂直框架平面斜向上的逐渐增强的匀强磁场，到时刻t时，棒开始运动，在t0到t这段时间内，金属棒所受的摩擦力A．不断增大B。
不断减小C．先减小后增大D。
先增大后减小参考答案：C2. 如图，三个点电荷a、b、c位于正三角形的三个顶点上，a、c带正电，b带负电，a所带电量比b所带电量少，关于c受到a和b的静电力的合力方向，下列判断正确的是( )A.从原点指向第Ⅰ象限B.从原点指向第Ⅱ象限C.从原点指向第Ⅲ象限D.从原点指向第Ⅳ象限参考答案：D3. 下列说法正确的是A．机械能和内能的转化具有方向性B．大颗粒的盐磨成细盐，就变成了非晶体C．第二类永动机虽然不违反能量守恒定律，但它是制造不出来的D．当温度由20℃变为40℃，物体分子的平均动能应变为原来的2倍参考答案：AC4. 如图1所示，弹簧振子以点O为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动。
取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图2所示，下列说法正确的是A．t = 0.8s时，振子的速度方向向左B．t = 0.2s时，振子在O点右侧6cm处C．t = 0.4s和t = 1.2s时，振子的加速度完全相同D．t = 0.4s到t = 0.8s的时间内，振子的速度逐渐减小参考答案：A5. （单选）图中导体受到的安培力的方向向上的是参考答案：B二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共计16分6. （1）某同学设计的气压升降机如图所示，竖直圆柱形汽缸用活塞封闭了一定质量的气体，汽缸内壁光滑，活塞与内壁接触紧密无气体泄漏，活塞横截面积为S，活塞及其上方装置总重力G＝，活塞停在内壁的小支架上，与缸底的距离为H，气体温度为T0，压强为大气压强p0．现给电热丝通电，经过一段时间，活塞缓慢上升．上述过程中，气体可视为理想气体，则气体分子的平均速率_____（选填“不断增大”“先增大后减小”或“先减小后增大”）；除分子碰撞外，气体分子间作用力为_____（选填“引力”“斥力”或“零”）。
湖南省郴州市部分学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题含答案
高二数学试卷（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一、二册占60%，选择性必修第一册第一章至第二章第4节占40%.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，{}1,4,5B =，则()UB A ⋂=ð（）A.{}3B.{}4C.{}1,4 D.{}1,5【答案】D 【解析】【分析】利用补集与交集的定义可求解.【详解】因为全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，所以{}U 1,3,5A =ð，又因为{}1,4,5B =，(){}{}{}U 51,3,51,4,51,A B == ð.故选：D.2.已知复数1i z a =+（0a >），且3z =，则a =（）A.1B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】利用复数的模的定义即可求解.【详解】因为1i z a =+，3z =3=，解得a =±，因为0a >，所以a =故选：D,3.已知1sin 3α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πcos 22α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.9B.19-C.79-D.9-【答案】A 【解析】【分析】根据同角三角函数关系得出余弦值，再结合诱导公式化简后应用二倍角正弦公式计算即可.【详解】因为221sin ,sin cos 13ααα=+=,又因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以cos 3α===,所以π12242cos 2sin22sin cos 22339αααα⎛⎫-===⨯⨯ ⎪⎝⎭.故选：A.4.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，且当0x ≤时，()22x af x =+，则()1f =（）A.2B.4C.2- D.4-【答案】A 【解析】【分析】利用题意结合奇函数的定义判断()f x 是奇函数，再利用奇函数的性质求解即可.【详解】因为定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，所以()f x 是奇函数，且()00f =，故0202a+=，解得2a =-，故当0x ≤时，()222x f x =-+，由奇函数性质得()()11f f =--，而()121222f --=-+=-，故()()112f f =--=，故A 正确.故选：A5.在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1B AC B --的正切值为（）A.2B.3C.3D.【答案】D 【解析】【分析】取AC 的中点M ，连接1,MB MB ，可得1B MB ∠是二面角1B AC B --的平面角，求解即可.【详解】取AC 的中点M ，连接1,MB MB ，由正方体1111ABCD A B C D -，可得11,AB B C AB BC ==，所以1,B M AC BM AC ⊥⊥，所以1B MB ∠是二面角1B AC B --的平面角，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，可得AC =，所以BM =在1Rt B B M 中，11tan B B B MB BM =∠==,所以二面角1B AC B --.故答案为：D.6.已知线段AB 的端点B 的坐标是()3,4，端点A 在圆()()22124x y -+-=上运动，则线段AB 的中点P的轨迹方程为（）A.()()22232x y -+-= B.()()22231x y -+-=C.()()22341x y -+-= D.()()22552x y -+-=【答案】B 【解析】【分析】设出动点P 和动点A 的坐标，找到动点P 和动点A 坐标的关系，再利用相关点法求解轨迹方程即可.【详解】设(,)P x y ，11(,)A x y ，由中点坐标公式得1134,22x y x y ++==，所以1123,24x x y y =-=-，故(23,2)A x y --4，因为A 在圆()()22124x y -+-=上运动，所以()()222312424x y --+--=，化简得()()22231x y -+-=，故B 正确.故选：B7.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵111ABC A B C -中，π2ABC ∠=，1AB BC AA ==，,,D E F 分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足BF DE ⊥的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明逐个判断即可.【详解】在从左往右第一个图中，因为π2ABC ∠=，所以AB BC ⊥，因为侧棱垂直于底面，所以1AA ⊥面ABC ，如图，以B 为原点建立空间直角坐标系，设12AB BC AA ===，因为,,D E F 分别是所在棱的中点，所以(0,0,0),(0,1,0),(1,0,2),(1,1,0)B E D F所以(1,1,0)BF = ，(1,1,2)DE =-- ，故110BF DE ⋅=-+=，即BF DE ⊥得证，在从左往右第二个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,2),(0,1,1)B E D F ，所以(0,1,1)BF = ，(0,1,2)DE =-，故121BF DE ⋅=-=-，所以,BF DE 不垂直，在从左往右第三个图中，我们建立同样的空间直角坐标系，此时(0,0,0),(1,1,0),(1,0,0),(1,1,2)B E D F ，故(1,1,2)BF = ，(0,1,0)DE = ，即1BF DE ⋅=，所以,BF DE 不垂直，则下列3个直观图中满足BF DE ⊥的有1个，故B 正确.故选：B8.已知过点()1,1P 的直线l 与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点，则22OA OB+的最小值为（）A.12B.8C.6D.4【答案】B 【解析】【分析】根据题意可知直线l 的斜率存在设为(0)k k <，分别解出,A B 两点的坐标，表示出22OA OB +的表达式由基本不等式即可求得最小值.【详解】由题意知直线l 的斜率存在．设直线的斜率为(0)k k <，直线l 的方程为1(x 1)y k -=-，则1(1,0),(0,1)A B k k--，所以222222121(1)(1)112OA OB k k kk k k+=-+-=-++-+22212(2)28k k k k =+--++≥++=，当且仅当22212,k k k k-=-=，即1k =-时，取等号.所以22OA OB +的最小值为8.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得分分，有选错的得0分.9.已知函数()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于直线π85x =对称C.()f x 的图象关于点π,18⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D.()f x 的值域为[]1,1-【答案】ABD 【解析】【分析】求得最小正周期判断A ；求得对称轴判断B ；求得对称中心判断C ；求得值域判断D.【详解】因为()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以的最小正周期为2ππ2T ==，故A 正确；由ππ2π,Z 42x k k +=+∈，可得ππ,Z 28k x k =+∈，所以()f x 图象的对称轴为ππ,Z 28k x k =+∈，当1k =时，图象的关于π85x =对称，故B 正确；由Z 2ππ,4k x k =∈+，可得ππ,Z 28k x k =-∈，所以()f x 图象的对称中心为ππ(,0),Z 28k k -∈，当0k =时，图象的关于点()π8,0-对称，故C 不正确；由()πsin 2[1,1]4f x x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，故()f x 的值域为[]1,1-，故D 正确.故选：ABD.10.若数据1x ，2x ，3x 和数据4x ，5x ，6x 的平均数、方差、极差均相等，则（）A.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的平均数相等B.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的方差相等C.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的极差相等D.数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的中位数相等【答案】ABC 【解析】【分析】运用平均数，方差，极差，中位数的计算方法和公式计算，通过已知两组数据的平均数、方差、极差均相等这个条件，来分析这两组数据组合后的相关统计量与原数据的关系.【详解】设数据123,,x x x 的平均数为x ，数据456,,x x x 的平均数也为x .那么数据123456,,,,,x x x x x x 的平均数为123456()()3366x x x x x x x xx ++++++==，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的平均数相等，A 选项正确.设数据123,,x x x 的方差为2s ，数据456,,x x x 的方差也为2s .对于数据123456,,,,,x x x x x x ，其方差计算为2222221234561[()((()()()]6x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-2222221234561[3(()(())3(((())]6x x x x x x x x x x x x =⨯-+-+-+⨯-+-+-2221(33)6s s s =+=,所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的方差相等，B 选项正确.设数据123,,x x x 的极差为R ，数据456,,x x x 的极差也为R .对于数据123456,,,,,x x x x x x ，其极差是这六个数中的最大值减去最小值，由于前面两组数据的极差相等，所以组合后数据的极差依然是R ，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的极差相等，C 选项正确.设数据123,,x x x 按从小到大排列为123x x x ≤≤，中位数为2x .设数据456,,x x x 按从小到大排列为456x x x ≤≤，中位数为5x .对于数据123456,,,,,x x x x x x 按从小到大排列后，中位数不一定是2x ，所以数据123456,,,,,x x x x x x 与数据123,,x x x 的中位数不一定相等，D 选项错误.故选：ABC11.已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为6的菱形，1AA ⊥平面ABCD ，13AA =，π3DAB ∠=，点P 满足1AP AB AD t AA λμ=++，其中λ，μ，[]0,1t ∈，则（）A.当P 为底面1111D C B A 的中心时，53t λμ++=B.当1t λμ++=时，AP 长度的最小值为2C.当1t λμ++=时，AP 长度的最大值为6D.当221t λμλμ++==时，1A P为定值【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，利用空间向量进行逐项进行分析求解判断.【详解】对于A ，当P 为底面1111D C B A 的中心时，由1AP AB AD t AA λμ=++ ，则11,,122t λμ===故2t λμ++=，故A 错误；对于B ，当1t λμ++=时，()22222222112·AP AB AD t AA AB AD t AA AB ADλμλμλμ=++=+++()()222223693636936t t λμλμλμλμ=+++=++-22245723636457236362t t t t λμλμ+⎛⎫=-+-≥-+- ⎪⎝⎭223273654273644t t t ⎛⎫=-+=-+⎪⎝⎭当且仅当13,84t λμ===，取最小值为2，故B 正确;对于C ，当1t λμ++=时，1AP AB AD t AA λμ=++，则点P 在1A BD 及内部，而AP是以A 为球心，以AP 为半径的球面被平面1A BD 所截图形在四棱柱1111ABCD A B C D -及内的部分，当=1=0t λμ=，时，=6AP ，当=0=10t λμ=，，时，=6AP ，可得1A P最大值为6，故C 正确；对于D ，221t λμλμ++==，()22223693636945AP t λμλμ=+++=+= ，而11=A P A A AP +，所以()22222111111=+2·=+2A P A A AP A A AP A A AP A A AB AD t AA λμ++⋅++ 22211=29452936A A AP t A A +-=+-⨯= ，则16A P = 为定值，故D 正确.故答案选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量()1,2a =- ，(),4b m =-.若()a ab ⊥+ ，则m =__________.【答案】3-【解析】【分析】利用平面向量的坐标运算结合平面向量垂直的性质建立方程，求解参数即可.【详解】因为向量()1,2a =- ，(),4b m =- ，所以()1,2a b m +=--，因为()a ab ⊥+，所以(1)40m ---=，解得3m =-.故答案为：3-13.已知在正四棱台1111ABCD A B C D -中，()0,4,0AB = ，()13,1,1CB =- ，()112,0,0A D =-，则异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值为__________.【答案】19【解析】【分析】利用向量的线性运算求得1DB，根据向量的夹角公式可求异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值.【详解】111(0,4,0)(3,1,1)(3,3,1)DB DC CB AB CB =+=+=+-=，所以111111111·cos ,19·DB A D DB A D DB A D ==-，所以异面直线1DB 与11A D所成角的余弦值为19.故答案为：1914.已知函数()21xg x =-，若函数()()()()()2121f x g x a g x a =+--+⎡⎤⎣⎦有三个零点，则a 的取值范围为__________.【答案】()2,1--【解析】【分析】令()0f x =，可得()2g x =或()1g x a =--，函数有三个零点，则需方程()1g x a =--有两个解，则=与1y a =--的图象有两个交点，数形结合可求解.【详解】令()0f x =，可得()()()()21210g x a g x a ⎡⎤+--+=⎣⎦，所以()()()[2][1]0g x g x a -++=，所以()2g x =或()1g x a =--，由()2g x =，又()21xg x =-，可得212x -=，解得21x =-或23x =，方程21x =-无解，方程23x =有一解，故()2g x =有一解，要使函数()()()()()2121f x g x a g x a ⎡⎤=+--+⎣⎦有三个零点，则()1g x a =--有两解，即=与1y a =--的图象有两个交点，作出函数=的图象的示图如下：由图象可得011a <--<，解得21a -<<-.所以a 的取值范围为(2,1)--.故答案为：(2,1)--.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos c b a B +=．（1）若π2A =，求B ；（2）若a =1b =，求ABC V 的面积.【答案】（1）π4（2）12【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合内角和定理与两角和与差的正弦公式化简等式得sin sin()B A B =-，代入π2A =求解可得；（2）由sin sin()B A B =-根据角的范围得2A B =，由正弦定理结合二倍角公式可得2cos 2B =，从而得π4B =，再利用余弦定理求边c ，由面积公式可求结果.【小问1详解】因为2cos c b a B +=，所以由正弦定理得，sin sin 2sin cos C B A B +=，又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+代入上式得，所以()sin sin cos cos sin sin =-=-B A B A B A B ，由π2A =，则B 为锐角，且c sin s os n π2i B B B ⎛⎫-= ⎭=⎪⎝，所以π4B =.【小问2详解】由（1）知，()sin sin B A B =-，因为a =1b =，所以A B >，则0πA B <-<，π02B <<，故B A B =-，或πB A B A +-==（舍去）.所以2A B =，又a =1b =，由正弦定理得sin sin 22cos sin sin A B aB B B b====，则2cos 2B =，则π4B =，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，则2122c =+-，化简得2210c c -+=，解得1c =，所以111sin 2222ABC S ac B === .故ABC V 的面积为12.16.甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为12.（1）求甲连续打四局比赛的概率；（2）求在前四局中甲轮空两局的概率；（3）求第四局甲轮空的概率.【答案】（1）18（2）14（3）38【解析】【分析】（1）由题意知甲前三局都要打胜，计算可得甲连续打四局比赛的概率；（2）甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，计算即可；（3）分析可得甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，计算即可.【小问1详解】若甲连续打四局，根据比赛规则可知甲前三局都要打胜，所以甲连续打四局比赛的概率311(28=；【小问2详解】在前四局中甲轮空两局的情况为，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，故在前四局中甲轮空两局的概率111(1(1)224-⨯-=；【小问3详解】甲第四轮空有两种情况：第1种情况，第一局甲败，第二局轮空，第三局甲败，第四局轮空，第2种情况，第一局甲胜，第二局甲胜，第三局甲败，第四局轮空，第1种情况的概率111(1)(1224-⨯-=；第2种情况的概率1111(12228⨯⨯-=；由互斥事件的概率加法公式可得第四局甲轮空的概率为113488+=.17.如图，在几何体PABCD 中，PA ⊥平面ABC ，//PA DC ，AB AC ⊥，2PA AC AB DC ===，E ，F 分别为棱PB ，BC 的中点.（1）证明：//EF 平面PAC ．（2）证明：AB EF ⊥.（3）求直线EF 与平面PBD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）构造线线平行，证明线面平行.（2）先证AB ⊥平面PACD ，得到AB PC ⊥，结合（1）中的结论，可得AB EF ⊥.（3）问题转化为直线PC 与平面PBD 所成角的正弦值.设1CD =，表示CP 的长，利用体积法求C 到平面PBD 的距离，则问题可解.【小问1详解】如图，连接CP .在BCP 中，E ，F 分别为棱PB ，BC 的中点，所以//EF CP ,，又EF ⊄平面PAC ，CP ⊂平面PAC .所以//EF 平面PAC .【小问2详解】因为PA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以PA AB ⊥，又AB AC ⊥,,PA AC ⊂平面PAC ，且PA AC A = ，所以AB ⊥平面PAC .因为CP ⊂平面PAC ，所以AB CP ⊥.又因为//EF CP ，所以AB EF ⊥.【小问3详解】因为//EF CP ，所以直线EF 与平面PBD 所成角与直线PC 与平面PBD 所成角相等，设为θ.不妨设1CD =，则=PC 设C 到平面PBD 的距离为h .则13C PBD PBD V S h -=⋅ .又11212333C PBDB PCD PCD V V S AB --==⋅=⨯⨯= .在PBD △中，PB =BD PD ==，所以12PBD S =⨯= .所以33C PBD PBD V h S -=== .所以63sin θ6h PC ===.故直线EF 与平面PBD.18.设A 是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a ，b ，c A Î，使得a b b c -=-，则称A 为“等差集”．（1）若集合{}1,3,5,9A =，B A ⊆，且B 是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B ；（2）若集合{}21,,1A m m =-是“等差集”，求m 的值；（3）已知正整数3n ≥，证明：{}23,,,,nx x x x ⋅⋅⋅不是“等差集”．【答案】（1）答案见解析（2）2m =（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据等差集的定义结合子集的定义求解即可；（2）根据等差集定义应用a b b c -=-，即2a c b +=逐个计算判断即可；（3）应用反证法证明集合不是等差集.【小问1详解】因为集合{}1,3,5,9A =，B A ⊆，存在3个不同的元素a ，b ，c B ∈，使得a b b c -=-，则{}1,3,5,9B =或{}1,3,5B =或{}1,5,9B =.【小问2详解】因为集合{}21,,1A m m =-是“等差集”，所以221m m =+-或2211m m =+-或()2221m m +=-,计算可得12m -±=或0m =或2m =或14m =，又因为m 正整数,所以2m =.【小问3详解】假设{}22,,,,nx x x x⋅⋅⋅是“等差集”，则存在{},,1,2,3,,,m n q n m n q ∈<< ,2n m q x x x =+成立，化简可得2m n q n x x --=+,0m n x ->因为*N ,1x q n ∈-≥,所以21q n x x ->≥≥,所以=1与{}22,,,,nx x x x ⋅⋅⋅集合的互异性矛盾，所以{}22,,,,nx x x x⋅⋅⋅不是“等差集”．【点睛】方法点睛：解题方法是定义的理解，应用反证法设集合是等差集，再化简计算得出矛盾即可证明.19.过点()00,A x y 作斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，若()120k k μμ=≠，则称直线1l ，2l 是()A K μ定积直线或()()00,x y K μ定积直线．（1）已知直线a ：()0y kx k =≠，直线b ：13y x k=-，试问是否存在点A ，使得直线a ，b 是()A K μ定积直线？请说明理由．（2）在OPM 中，O 为坐标原点，点P 与点M 均在第一象限，且点()00,M x y 在二次函数23y x =-的图象上．若直线OP 与直线OM 是()()0,01K 定积直线，直线OP 与直线PM 是()2P K -定积直线，直线OM 与直线PM 是()00,202x y K x ⎛⎫-⎪⎝⎭定积直线，求点P 的坐标．（3）已知直线m 与n 是()()2,44K --定积直线，设点()0,0O 到直线m ，n 的距离分别为1d ，2d ，求12d d 的取值范围．【答案】（1）存在，理由见解析（2）()1,2（3）[)0,8【解析】【分析】（1）由定积直线的定义运算可求结论；（2）设直线OM 的斜率为()0λλ≠，则直线OP 的斜率为1λ，利用定积直线的定义可得01x λ=或1-，进而2003x x λ-=，计算即可；（3）设直线():42m y t x -=+，直线()4:42n y x t-=-+，其中0t ≠，计算得12d d =，利用基本不等式可求12d d 的取值范围.【小问1详解】存在点()0,0A ，使得a ，b 是()A K μ定积直线，理由如下：由题意可得1133k k ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，由()013y kx k y x k ⎧=≠⎪⎨=-⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，故存在点()0,0A ，使得a ，b 是()A K μ定积直线，且13μ=-．【小问2详解】设直线OM 的斜率为()0λλ≠，则直线OP 的斜率为1λ，直线PM 的斜率为2λ-．依题意得()2022x λλ⋅-=-，得2201x λ=，即01x λ=或1-．直线OM 的方程为y x λ=，因为点()200,3M x x -在直线OM 上，所以2003x x λ-=．因为点M 在第一象限，所以20031x x λ-==，解得02x =或2-（舍去），12λ=，()2,1M ，所以直线OP 的方程为12y x x λ==，直线PM 的方程为()2213y x x λ=--+=-+，由23y x y x =⎧⎨=-+⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，即点P 的坐标为()1,2．【小问3详解】设直线():42m y t x -=+，直线()4:42n y xt-=-+，其中0t ≠，则12d d ===2216171725t t ++≥=，当且仅当2216t t =，即24t =时，等号成立，所以08≤<，即1208d d ≤<，故12d d 的取值范围为[)0,8．【点睛】思路点睛：理解新定义题型的含义，利用定积直线的定义进行计算求解，考查了运算求解能力，以及基本不等式的应用.。
应县第一中学校高二数学上学期期末考试试题理含解析
14.已知p：（x－m)2〉3(x－m）是q：x2＋3x－4<0的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________．
【答案】｛m｜m≥1或m≤－7｝
【解析】
由命题p中的不等式（x－m）2〉3(x－m)变形，得（x－m)(x－m－3)>0，解得x〉m＋3或x〈m；
【详解】双曲线 ： 的右焦点为 ， 由 ,可得直线 的方程为 ， , 设直线 与双曲线相切，且切点为左支上一点， 联立 ，可得 ，
由 , 解得 （4舍去），
可得 到直线 的距离为 ，
即有 的面积Байду номын сангаас最小值为 ．
故答案为: ．
【点睛】本题考查三角形的面积的最小值的求法,注意运用联立直线方程和双曲线方程，运用判别式为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
【详解】(Ⅰ）当 t＝1 时，
≤3 在［1，＋∞)上恒成立，故命题 q 为真命题．
（Ⅱ)若 p∨q 为假命题，则 p,q 都是假命题．
当 p 为假命题时，Δ＝ －4<0，解得－1〈t〈1；
当 q 为真命题时， ≤4 －1，即 －1≥0，解得 t≤ 或 t≥
∴当 q 为假命题时,
∴t 的取值范围是 .
所以圆心到直线的距离
可解得 ，所以切线方程为
当在x轴与y轴上的截距不为0时，设切线方程为
所以 ,解得 或 (舍)，即切线方程为
所以共有3条切线方程
所以选C
【点睛】本题考查了点到直线距离 简单应用，直线与圆的位置关系，属于基础题．
6.给出下列两个命题，命题 “ "是“ ”的充分不必要条件;命题q：函数 是奇函数，则下列命题是真命题的是( ）
2019届湖南省郴州市九年级上学期期末考试数学试卷【含答案及解析】
2019届湖南省郴州市九年级上学期期末考试数学试卷【含答案及解析】2019届湖南省郴州市九年级上学期期末考试数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________⼀、选择题1. 已知反⽐例函数y=（k≠0）的图象经过点M（-2，2），则k的值是A．-4 B．-1 C．1 D．42. 下列⼀元⼆次⽅程中．没有实数根的是A.x2+ 2x -4=0 B．x2- 4x +4=0C.x2—2x -5 =0D.x2+ 3x +4=03. 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，则sinA的值为A． B． C． D．4. 某班为调查每个学⽣⽤于课外作业的平均时间，从该班学⽣中随机抽取了10名学⽣进⾏调查，得到他们⽤于课外作业的时间（单位：min）如下：75，80，85，65，95，80，85，85，80，90．由此估计该班的学⽣⽤于课外作业的平均时间是A．80 B．81 C．82 D．835. △ABC与△A'B'C'是位似图形，且△ABC与△A'B'C'的位似⽐是1:2．已知△ABC的⾯积是2．则△A'B'C'的⾯积是A．1 B．2 C．4 D．86. 已知点A（⼀1，y1），B(l，y2)，C(2，y3)是函数y= ⼀图象上的三点，则y1，y2，y3的⼤⼩关系是A．y1< y2< y3 B．y2< y3< yl C．y37. 如图，为测量⼀棵与地⾯垂直的树OA的⾼度，在距离树的底端O点30⽶的B处，测得树顶4的仰⾓∠ABO为α，则树OA的⾼度为A．⽶ B．30sinα⽶ C．30tanα⽶ D．30cosα⽶8. 如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=6，D，E分别在AB，AC上，将△ABC沿DE折叠，使得点A落在A′处．若A'为CE的中点，则折痕DE的长为A．1 B．2 C.3 D．4，⼆、填空题9. 已知，则的值为10. ⼀元⼆次⽅程x2—2x=0的实数根是____．11. 已知反⽐例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象位于第⼀、三象限，请写出⼀个符合条件的k的值12. 在Rt△ABC中，∠C=90°．若sinA=，则cosB的值是13. 已知某实验区甲、⼄品种⽔稻的平均产量相等，且甲、⼄品种⽔稻产量的⽅差分别为=79.6，=68.5．由此可知：在该地区____种⽔稻更具有推⼴价值．14. 关于x的⽅程(m-3) -3x-4=0是⼀元⼆次⽅程，则m= 。
2019-2020年高二下学期期末数学试卷(理科) 含解析
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（理科）含解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．23．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=45．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．46．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．38．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是．16．在平面直角坐标系xOy中，直线1与曲线y=x2（x＞0）和y=x3（x＞0）均相切，切点分别为A（x1，y1）和B（x2，y2），则的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（φ为参数），直线l过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C的普通方程及直线l的参数方程；（Ⅱ）设直线l与圆C交于A，B两点，求弦|AB|的长．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数女性驾驶员人数合计（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82822．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．2015-2016学年吉林省东北师大附中净月校区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x∈R||x|≤2}，B={x∈R|x≤1}，则A∩B=（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[﹣2，2] D．[﹣2，1]【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合A，解绝对值不等式可求出集合A，然后根据交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：∵A={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}∴A∩B={x|﹣2≤x≤2}∩{x|x≤1，x∈R}={x|﹣2≤x≤1}故选D．2．已知复数=i，则实数a=（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案．【解答】解：===i，则，解得：a=1．故选：C．3．将点M的极坐标（4，）化成直角坐标为（）A．（2，2）B．C．D．（﹣2，2）【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出直角坐标．【解答】解：点M的极坐标（4，）化成直角坐标为，即．故选：B．4．在同一平面的直角坐标系中，直线x﹣2y=2经过伸缩变换后，得到的直线方程为（）A．2x′+y′=4 B．2x′﹣y′=4 C．x′+2y′=4 D．x′﹣2y′=4【考点】伸缩变换．【分析】把伸缩变换的式子变为用x′，y′表示x，y，再代入原方程即可求出．【解答】解：由得，代入直线x﹣2y=2得，即2x′﹣y′=4．故选B．5．如图，曲线f（x）=x2和g（x）=2x围成几何图形的面积是（）A．B．C．D．4【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】利用积分的几何意义即可得到结论．【解答】解：由题意，S===4﹣=，故选：C．6．10件产品中有3件次品，不放回的抽取2件，每次抽1件，在已知第1次抽出的是次品的条件下，第2次抽到仍为次品的概率为（）A．B．C．D．【考点】条件概率与独立事件．【分析】根据题意，易得在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品，由概率计算公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，在第一次抽到次品后，有2件次品，7件正品；则第二次抽到次品的概率为故选：C．7．下列说法中，正确说法的个数是（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”；②“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值构成的集合为{1}．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据逆否命题的定义进行判断②根据充分条件和必要条件的定义进行判断，③根据集合关系进行判断．【解答】解：①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”正确，故①正确，②由|x|＞1得x＞1或x＜﹣1，则“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；故②正确，③集合A={1}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，当a=0时，B=∅，也满足B⊆A，当a≠0时，B={}，由=1，得a=1，则实数a的所有可能取值构成的集合为{0，1}．故③错误，故正确的是①②，故选：C8．设某批产品合格率为，不合格率为，现对该产品进行测试，设第ε次首次取到正品，则P（ε=3）等于（）A．C32（）2×（）B．C32（）2×（）C．（）2×（）D．（）2×（）【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率，若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，由相互独立事件的概率计算可得答案．【解答】解：根据题意，P（ε=3）即第3次首次取到正品的概率；若第3次首次取到正品，即前两次取到的都是次品，第3次取到正品，则P（ε=3）=（）2×（）；故选C．9．在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，则取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率（）A． B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数，由此能求出取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．【解答】解：∵在10件产品中，有3件一等品，7件二等品，从这10件产品中任取3件，基本事件总数n==120，取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包含的基本事件个数m==22，∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率p===．故选：C．10．函数f（x）=e﹣x+ax存在与直线2x﹣y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，2）C．（2，+∞）D．[2，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用在切点处的导数值是切线的斜率，令f′（x）=2有解；利用有解问题即求函数的值域问题，求出值域即a的范围．【解答】解：f′（x）=﹣e﹣x+a据题意知﹣e﹣x+a=2有解即a=e﹣x+2有解∵e﹣x+2＞2∴a＞2故选C11．函数y=e sinx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（）A．B． C． D．【考点】抽象函数及其应用．【分析】先研究函数的奇偶性知它是非奇非偶函数，从而排除A、D两个选项，再看此函数的最值情况，即可作出正确的判断．【解答】解：由于f（x）=e sinx，∴f（﹣x）=e sin（﹣x）=e﹣sinx∴f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x），故此函数是非奇非偶函数，排除A，D；又当x=时，y=e sinx取得最大值，排除B；故选：C．12．已知曲线C1：y=e x上一点A（x1，y1），曲线C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点B（x2，y2），当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，则m的最小值为（）A．1 B．C．e﹣1 D．e+1【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，一方面0＜1+ln（x2﹣m）≤，．利用lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．可得1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，可得m≥x﹣e x﹣e，利用导数求其最大值即可得出．【解答】解：当y1=y2时，对于任意x1，x2，都有|AB|≥e恒成立，可得：=1+ln（x2﹣m），x2﹣x1≥e，∴0＜1+ln（x2﹣m）≤，∴．∵lnx≤x﹣1（x≥1），考虑x2﹣m≥1时．∴1+ln（x2﹣m）≤x2﹣m，令x2﹣m≤，化为m≥x﹣e x﹣e，x＞m+．令f（x）=x﹣e x﹣e，则f′（x）=1﹣e x﹣e，可得x=e时，f（x）取得最大值．∴m≥e﹣1．故选：C．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．已知随机变量X服从正态分布X～N（2，σ2），P（X＞4）=0.3，则P（X＜0）的值为0.3．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得P （X＜0）．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（2，o2），∴正态曲线的对称轴是x=2∵P（X＞4）=0.3，∴P（X＜0）=P（X＞4）=0.3．故答案为：0.3．14．若函数f（x）=x2﹣alnx在x=1处取极值，则a=2．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，得到f′（1）=0，得到关于a的方程，解出即可．【解答】解：∵f（x）=x2﹣alnx，x＞0，∴f′（x）=2x﹣=，若函数f（x）在x=1处取极值，则f′（1）=2﹣a=0，解得：a=2，经检验，a=2符合题意，故答案为：2．15．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（2）第n（n≥2）行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第10行中第2个数是46．【考点】归纳推理．【分析】由三角形阵可知，上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，利用累加法可求．【解答】解：设第一行的第二个数为a 1=1，由此可得上一行第二个数与下一行第二个数满足等式a n +1=a n +n ，即a 2﹣a 1=1，a 3﹣a 2=2，a 4﹣a 3=3，…a n ﹣1﹣a n ﹣2=n ﹣2，a n ﹣a n ﹣1=n ﹣1， ∴a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 4﹣a 3）+（a 3﹣a 2）+（a 2﹣a 1）+a 1 =（n ﹣1）+（n ﹣2）+…+3+2+1+1 =+1=，∴a 10==46．故答案为：46．16．在平面直角坐标系xOy 中，直线1与曲线y=x 2（x ＞0）和y=x 3（x ＞0）均相切，切点分别为A （x 1，y 1）和B （x 2，y 2），则的值为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出导数得出切线方程，即可得出结论．【解答】解：由y=x 2，得y ′=2x ，切线方程为y ﹣x 12=2x 1（x ﹣x 1），即y=2x 1x ﹣x 12， 由y=x 3，得y ′=3x 2，切线方程为y ﹣x 23=3x 22（x ﹣x 2），即y=3x 22x ﹣2x 23， ∴2x 1=3x 22，x 12=2x 23， 两式相除，可得=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 17．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为（φ为参数），直线l 过点（0，2）且倾斜角为．（Ⅰ）求圆C 的普通方程及直线l 的参数方程；（Ⅱ）设直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求弦|AB |的长． 【考点】参数方程化成普通方程． 【分析】（Ⅰ）圆C 的参数方程为（φ为参数），利用cos 2φ+sin 2φ=1消去参数可得圆C 的普通方程．由题意可得：直线l 的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离d，利用|AB|=2即可得出．【解答】解：（Ⅰ）圆C的参数方程为（φ为参数），消去参数可得：圆C的普通方程为x2+y2=4．由题意可得：直线l的参数方程为．（Ⅱ）依题意，直线l的直角坐标方程为，圆心C到直线l的距离，∴|AB|=2=2．18．在直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点M的直角坐标为（1，2），直线l与曲线C 的交点为A、B，求|MA|•|MB|的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．（Ⅱ）把代入椭圆方程中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，由t得几何意义可知|MA||MB|=|t1t2|．【解答】解：（Ⅰ）直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：l：x﹣y+1=0．曲线C：ρ2（1+sin2θ）=2，可得ρ2+（ρsinθ）2=2，可得直角坐标方程：x2+y2+y2=2，即．（Ⅱ）把代入中，整理得，设A，B对应的参数分别为t1，t2，∴，由t得几何意义可知，．19．生产甲乙两种元件，其质量按检测指标划分为：指标大于或者等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[70，76）[76，82）[82，88）[88，94）[94，100）元件甲8 12 40 32 8元件乙7 18 40 29 6（Ⅰ）试分别估计元件甲，乙为正品的概率；（Ⅱ）在（Ⅰ）的前提下，记X为生产1件甲和1件乙所得的正品数，求随机变量X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用等可能事件概率计算公式能求出元件甲，乙为正品的概率．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）元件甲为正品的概率约为：，元件乙为正品的概率约为：．（Ⅱ）随机变量X的所有取值为0，1，2，，，，所以随机变量X的分布列为：X 0 1 2P所以：．20．设函数f（x）=x3﹣+6x．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈[1，4]都有f（x）＞0成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题转化为在区间[1，4]上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R，当a=1时，f（x）=x3﹣x2+6x，f′（x）=3（x﹣1）（x﹣2），当x＜1时，f′（x）＞0；当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当x＞2时，f′（x）＞0，∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，1），（2，+∞），单调减区间为（1，2）．（Ⅱ）即在区间[1，4]上恒成立，令，故当时，g（x）单调递减，当时，g（x）单调递增，时，∴，即．21．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h的有25人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数401555女性驾驶员人数202545合计6040100（Ⅱ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：Χ2=，其中n=a+b+c+dP（Χ2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【考点】离散型随机变量的期望与方差；独立性检验；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．求出Χ2，即可判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率，X可取值是0，1，2，3，，求出概率得到分布列，然后求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）平均车速超过100km/h人数平均车速不超过100km/h人数合计男性驾驶员人数40 15 55女性驾驶员人数20 25 45合计60 40 100因为，所以有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关．…（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取1辆，驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆的概率为．X可取值是0，1，2，3，，有：，，，，分布列为X 0 1 2 3P．…22．已知函数f（x）=﹣alnx+1（a∈R）．（1）若函数f（x）在[1，2]上是单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）若﹣2≤a＜0，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤m||恒成立，求m的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为a≤x2，求出a的范围即可；（2）问题可化为，设，求出函数的导数，问题等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，求出m的最小值即可．【解答】解：（1）∵在[1，2]上是增函数，∴恒成立，…所以a≤x2…只需a≤（x2）min=1…（2）因为﹣2≤a＜0，由（1）知，函数f（x）在[1，2]上单调递增，…不妨设1≤x1≤x2≤2，则，可化为，设，则h（x1）≥h（x2）．所以h（x）为[1，2]上的减函数，即在[1，2]上恒成立，等价于m≥x3﹣ax在[1，2]上恒成立，…设g（x）=x3﹣ax，所以m≥g（x）max，因﹣2≤a＜0，所以g'（x）=3x2﹣a＞0，所以函数g（x）在[1，2]上是增函数，所以g（x）max=g（2）=8﹣2a≤12（当且仅当a=﹣2时等号成立）．所以m≥12．即m的最小值为12．…2016年10月17日。
2019--2020学年江苏省八年级上册数学(苏科版)期末考试《勾股定理》试题分类——解答题(2)
2019--2020学年江苏省八年级上册数学（苏科版）期末考试《勾股定理》试题分类——解答题（2）1．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝3，CD，DA＝5，∠B＝90°，求∠BCD的度数．2．如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC＝90°，CD ＝6m，AD＝8m，BC＝24m，AB＝26m，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？3．如图1，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯子的长度比梯子底端离墙的距离大5米．（1）这个云梯的底端离墙多远？（2）如图2，如果梯子的顶端下滑了8m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？4．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝5．点D为AC上一点，且BD＝4，CD＝3．（1）求证：BD⊥AC；（2）求AB的长．5．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB ＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的长．6．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？7．已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．（1）求CD的长．（2）求AB的长．8．如图，四边形ABCD中，AB＝10，BC＝13，CD＝12，AD＝5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积．9．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC⊥BE．10．已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．（1）如图，若E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF．求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．11．已知某校有一块四边形空地ABCD如图，现计划在该空地上种草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC ＝12m，CD＝13m，DA＝4m．若种每平方米草皮需100元，问需投入多少元？12．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）13．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．（1）在图（1）中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；（2）在图（2）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，；这个三角形的面积为．14．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）当t＝2秒时，求PQ的长；（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．15．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．16．如图，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AD＝24cm，BC+CD＝34cm，C是直线l上一动点，请你探索当C离B多远时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形？17．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD＝4米，CD＝3米，∠ADC＝90°，AB＝13米，BC＝12米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？18．如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E 的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？19．如图，四边形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，DA＝13cm，且∠ABC＝90°，求四边形ABCD的面积．20．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；（2）在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．21．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10．22．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时．一辆“小汽车”在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方50米C 处，过了6秒后，测得“小汽车”位置B与“车速检测仪A”之间的距离为130米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明理由．23．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）2019--2020学年江苏省八年级上册数学（苏科版）期末考试《勾股定理》试题分类——解答题（2）参考答案与试题解析一．解答题（共23小题）1．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，∠B＝90°，∴由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝32+32＝18，∵CD，DA＝5，∴CD2+AC2＝DA2，∴∠ACD＝90°，∵在Rt△ABC中，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝45°+90°＝135°．2．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接AC，在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝62+82＝102，在△ABC中，AB2＝262，BC2＝242，而102+242＝262，即AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD•AC•BCAD•CD，10×248×6＝96．所以需费用96×200＝19200（元）．3．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据题意可得OA＝15米，AB﹣OB＝5米，由勾股定理OA2+OB2＝AB2，可得：152+OB2＝（5+OB）2解得：OB＝20，答：这个云梯的底端离墙20米远；（2）由（1）可得：AB＝20+5＝25米，根据题意可得：CO＝7米，CD＝AB＝25米，由勾股定理OC2+OD2＝CD2，可得：，∴BD＝24﹣20＝4米，答：梯子的底部在水平方向滑动了4米．4．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵CD＝3，BC＝5，BD＝4，∴CD2+BD2＝9+16＝25＝BC2，∴△BCD是直角三角形，∴BD⊥AC；（2）解：设AD＝x，则AC＝x+3．∵AB＝AC，∴AB＝x+3．∵∠BDC＝90°，∴∠ADB＝90°，∴AB2＝AD2+BD2，即（x+3）2＝x2+42，解得：x，∴AB3．5．【答案】见试题解答内容【解答】解：设AC＝x，∵AC+AB＝10，∴AB＝10﹣x．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，即x2+32＝（10﹣x）2．解得：x＝4.55，即AC＝4.55．6．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵42+32＝52，52+122＝132，即AB2+BC2＝AC2，故∠B＝90°，同理，∠ACD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD3×45×12＝6+30＝36．答：这块钢板的面积等于36．7．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，在Rt△BCD中，∵BC＝15，DB＝9，∴CD12；（2）在Rt△ACD中，∵AC＝20，CD＝12，∴AD16，则AB＝AD+DB＝16+9＝25．8．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接AC，过点C作CE⊥AB于点E．∵AD⊥CD，∴∠D＝90°．在Rt△ACD中，AD＝5，CD＝12，AC13．∵BC＝13，∴AC＝BC．∵CE⊥AB，AB＝10，∴AE＝BEAB10＝5．在Rt△CAE中，CE12．∴S四边形ABCD＝S△DAC+S△ABC5×1210×12＝30+60＝90．9．【答案】见试题解答内容【解答】（1）△ABE≌△ACD．证明：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°．∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE．即∠BAE＝∠CAD，在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD；（2）证明∵△ABE≌△ACD，∴∠ACD＝∠ABE＝45°，又∵∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，∴DC⊥BE．10．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）证明：连接AD∵AB＝AC，∠A＝90°，D为BC中点∴ADBD＝CD且AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD＝45°在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS）∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF∵∠BDE+∠ADE＝90°∴∠ADF+∠ADE＝90°即：∠EDF＝90°∴△EDF为等腰直角三角形．（2）解：仍为等腰直角三角形．理由：∵△AFD≌△BED∴DF＝DE，∠ADF＝∠BDE∵∠ADF+∠FDB＝90°∴∠BDE+∠FDB＝90°即：∠EDF＝90°∴△EDF为等腰直角三角形．11．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝3m，DA＝4m，∴DB5（m），∵BC＝12m，CD＝13m，∴BD2+BC2＝DC2，∴△DBC是直角三角形，∴S△ABD+S△DBC3×45×12＝36（m2），∴需投入总资金为：100×36＝3600（元）．12．【答案】见试题解答内容【解答】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝13米，AC＝5米，∴AB12（米），∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，∴CD＝13﹣0.5×10＝8（米），∴AD（米），∴BD＝AB﹣AD＝12（米），答：船向岸边移动了（12）米．13．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）面积为10的正方形的边长为，∵，∴如图1所示的四边形即为所求；（2）∵，，∴如图2所示的三角形即为所求这个三角形的面积2×2＝2；故答案为：2．14．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm，BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，∵∠B＝90°，PQ2（cm）；（2）解：根据题意得：BQ＝BP，即2t＝8﹣t，解得：t；即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形；（3）解：分三种情况：①当CQ＝BQ时，如图1所示：则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝5，∴BC+CQ＝11，∴t＝11÷2＝5.5秒．②当CQ＝BC时，如图2所示：则BC+CQ＝12∴t＝12÷2＝6秒．③当BC＝BQ时，如图3所示：过B点作BE⊥AC于点E，则BE4.8（cm）∴CE3.6cm，∴CQ＝2CE＝7.2cm，∴BC+CQ＝13.2cm，∴t＝13.2÷2＝6.6秒．由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形．15．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵BQ＝2×2＝4（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣2×1＝14（cm），∠B＝90°，∴PQ（cm）；（2）BQ＝2t，BP＝16﹣t，根据题意得：2t＝16﹣t，解得：t，即出发秒钟后，△PQB能形成等腰三角形；（3）①当CQ＝BQ时，如图1所示，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10，∴BC+CQ＝22，∴t＝22÷2＝11秒．②当CQ＝BC时，如图2所示，则BC+CQ＝24，∴t＝24÷2＝12秒．③当BC＝BQ时，如图3所示，过B点作BE⊥AC于点E，则BE，∴CE，∴CQ＝2CE＝14.4，∴BC+CQ＝26.4，∴t＝26.4÷2＝13.2秒．综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．16．【答案】见试题解答内容【解答】解：设BC＝xcm时，三角形ACD是以DC为斜边的直角三角形，∵BC+CD＝34，∴CD＝34﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝36+x2，在Rt△ACD中，AC2＝CD2﹣AD2＝（34﹣x）2﹣576，∴36+x2＝（34﹣x）2﹣576，∴当C离点B8cm时，△ACD是以DC为斜边的直角三角形．17．【答案】见试题解答内容【解答】解：连结AC，在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝4米，CD＝3米，由勾股定理得：AC5（米），∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，该区域面积S＝S△ACB﹣S△ADC5×123×4＝24（平方米），即铺满这块空地共需花费＝24×100＝2400元．18．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵使得C，D两村到E站的距离相等．∴DE＝CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，∴AE2+AD2＝BE2+BC2，设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x），∵DA＝15km，CB＝10km，∴x2+152＝（25﹣x）2+102，解得：x＝10，∴AE＝10km，∴收购站E应建在离A点10km处．19．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接AC，∵∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，∵CD＝12cm，DA＝13cm，AC2+CD2＝52+122＝169＝132＝DA2，∴△ADC为直角三角形，∴S四边形ABCD＝S△ACD﹣S△ABCAC×CDAB×BC5×124×3＝30﹣6＝24．故四边形ABCD的面积为24cm2．20．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图①所示：（2）如图②③所示．21．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）三边分别为：3、4、5 （如图1）；（2）三边分别为：、2、（如图2）；（3）画一个边长为的正方形（如图3）．22．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意知，AB＝130米，AC＝50米，且在Rt△ABC中，AB是斜边，根据勾股定理AB2＝BC2+AC2，可以求得：BC＝120米＝0.12千米，且6秒时，所以速度为72千米/时，故该小汽车超速．答：该小汽车超速了，平均速度大于70千米/时．23．【答案】见试题解答内容【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；据勾股定理可得：（m）∴小汽车的速度为v20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）；∵72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．。
湖南省郴州市2023-2024学年高一上学期期末教学质量监测数学试卷含解析
郴州市2023年下学期期末教学质量监测试卷高一数学（答案在最后）（试题卷）注意事项：1.本试卷分试题卷和答题卡.试题卷共4页，有四道大题，共22道小题，满分150分.考试时间120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的指定位置上，并认真核对答题卡上的姓名、准考证号和科目.3.考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效.考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题.4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.命题“2,10x R x x ∀∈-+>”的否定是（）A.2,10x R x x ∃∈-+< B.2,10x R x x ∃∈-+≤C.2,10x R x x ∀∈-+< D.2,10x R x x ∀∈-+≤【答案】B 【解析】【分析】全称命题的否定是特称命题【详解】命题“2,10x R x x ∀∈-+>”的否定是“2,10x R x x ∃∈-+≤”.故选：B2.已知集合{}1,4,A a =，{}1,2,3B =，若{}1,2,3,4A B = ，则a 的可能取值个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据集合的并运算,结合集合的元素满足互异性即可求解.【详解】由于{}1,2,3B =，{}1,4,A a =，{}1,2,3,4A B = ，所以2a =或3a =,故选：B3.函数()()lg 1f x x =-+）A.[)0,1 B.()1,+∞ C.()0,∞+ D.()0,1【答案】A 【解析】【分析】根据函数有意义的条件列出不等式组，解出即可.【详解】依题知，100x x ->⎧⎨≥⎩，解得01x ≤<，故函数的定义域为[)0,1.故选：A .4.函数()42xf x x =-+的零点所在的区间为（）A.()1,2 B.()2,3 C.()3,4 D.()4,5【答案】A 【解析】【分析】先判断函数的单调性，再根据零点的存在性定理即可得解.【详解】因为函数4,2x y x y =-=都是增函数，所以函数()42xf x x =-+是增函数，又()()110,220f f =-<=>，所以函数()42xf x x =-+的零点所在的区间为()1,2.故选：A.5.设lg5a =，0.13=b ，0.12c =，则（）A.a b c >>B.b c a>> C.c a b>> D.b a c>>【答案】B 【解析】【分析】根据幂函数的性质比较,b c ，再根据与1的大小关系进行比较即可.【详解】因为幂函数0.1y x =是()0,+∞上的单调递增函数，且32>，所以0.10.1321>>，又lg 5lg101<=，故b c a >>，故选：B .6.要得到函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数()sin 6g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有的点（）．A.纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向右平移3π个单位，然后横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）；B.纵坐标变为原来的12倍（横坐标不变），再向左平移6π个单位，然后横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；C.纵坐标变为原来的12倍（横坐标不变），再向右平移6π个单位，然后横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；D.纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），再向左平移3π个单位，然后横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）．【答案】D 【解析】【分析】直接利用三角函数的图象变换知识求解.【详解】将函数()sin 6g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象上所有的点纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到2sin(6y x π=-，再把函数2sin(6y x π=-的图象上向左平移3π个单位，得到2sin()2sin(366y x x πππ=+-=+，再将横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到2sin(2)6y x π=+.故选：D【点睛】结论点睛：三角函数图像的平移变换和上下变换：平移变换：左加右减，上加下减把函数()y f x =向左平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=+的图像把函数()y f x =向右平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=-的图像把函数()y f x =向上平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=+的图像把函数()y f x =向下平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=-的图像伸缩变换：①把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的1w 倍得()y f x ω=(01)ω<<②把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的1w倍得()y f x ω=(1)ω>③把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的ϖ倍得()y f x ω=(1)ω>④把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的ϖ倍得()y f x ω=(01)ω<<7.某省新高考中选考科目采用赋分制，具体转换规则和步骤如下：第一步，按照考生原始分从高到低按成绩比例划定A 、B 、C 、D 、E 共五个等级（见下表）.第二步，将A 至E 五个等级内的考生原始分，依照等比例转换法则，分别对应转换到100～86、85～71、70～56、55～41和40～30五个分数段，从而将考生的等级转换成了等级分.等级ABCD E比例15%35%35%13%2%赋分区间100-8685-7170-5655-4140-30赋分公式：()()()()X X --=--该区间原始最高分原始分等级赋分区间最高分原始分该区间原始最低分等级赋分区间最低分，计算出来的X 经过四舍五人后即为赋分成绩.某次考试，化学成绩A 等级的原始最高分为98分，最低分为63分.学生甲化学原始成绩为76分，则该学生的化学赋分分数为（）A.85 B.88C.91D.95【答案】C 【解析】【分析】根据赋分公式有1009876867663X X --=--，即可求化学赋分分数.【详解】由题意，该学生的化学赋分分数为X ，则10098762286766313X X --==--，所以3513100862291X X =⨯+⨯⇒≈分.故选：C8.定义：{()()}N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和．若2()log x f x =，2()(1)2g x a x =-+，{()()}6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是（）A.(,1]-∞-B.(32log2,0⎤-⎦C.(]22log 6,0-D.2log 32,04-⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】直接利用定义形函数的性质结合函数大致图象，进一步利用分类讨论思想和不等式的组的解法的应用求出结果．【详解】解：根据函数的定义{()()}N f x g x ⊗可转换为满足()22log 12x a x <-+的整数解的x 的和，当0a >时，做出函数2()log x f x =和2()(1)2g x a x =-+的大致图象，如图所示：结合图形可得()()f x g x <的解集中整数解的个数有无数个，不符合题意当0a =时，()2g x =，由()2f x =，解得4x =或14x =．在1,44⎛⎫⎪⎝⎭内有3个整数解1,2,3，即{()()}6N f x g x ⊗=，所以0a =，符合题意；当a<0时，做出函数2()log x f x =和2()(1)2g x a x =-+的大致图象，如图所示：若{()()}6N f x g x ⊗=，又()0,x ∈+∞，且()()1012f g =<=，所以不等式()22log 12x a x ≤-+的整数解为1,2,3．只需满足()()()()03344a g f g f ⎧<⎪>⎨⎪≤⎩，即22042log 392log 4a a a ⎧<⎪+>⎨⎪+≤⎩，解得2log 3204a -<<．综上，所以{()()}6N f x g x ⊗=时，实数a 的取值范围为2log 32,04-⎛⎤⎥⎝⎦．故选：D ．二、多项选择题（每小题有多于一个的正确选顶，全答对得5分，部分答对得2分，有错误选项的得0分）9.下列函数中最小正周期为π，且为偶函数的是（）A.cos y x =B.sin 2y x=C.πsin 22y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D.1cos2y x =【答案】AC 【解析】【分析】直接利用奇偶性的定义和周期的公式逐个分析判断即可【详解】解：对于A ，定义域为R ，因为()cos()cos ()f x x x f x -=-==，所以函数为偶函数，因为cos y x =的图像是由cos y x =的图像在x 轴下方的关于x 轴对称后与x 轴上方的图像共同组成，所以cos y x =的最小正周期为π，所以A 正确，对于B ，定义域为R ，因为()sin(2)sin 2()f x x x f x -=-=-=-，所以函数为奇函数，所以B 错误，对于C ，定义域为R ，π()sin 2cos 22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，最小正周期为π，因为()cos(2)cos 2()f x x x f x -=-==，所以函数为偶函数，所以C 正确，对于D，定义域为R ，最小正周期为2412ππ=，所以D 错误，故选：AC10.若函数()11x f x a-=+，（0a >且1a ≠）恒过一定点P ，且点P 在直线11y x m n=+，（0m >，0n >）上，则下列命题成立的是（）A.定点P 的坐标为()1,2B.m n +的最小值为4C.mn 的最小值为1D.12m n m+的最小值为1【答案】AC 【解析】【分析】利用指数函数恒过点(0,1)确定函数11(0,1)x y a a a -=+>≠过定点(1,2)；即可求解A ，利用乘“1”法即可求解B ，直接利用基本不等式求解C ，换元结合基本不等式即可求解D.【详解】函数11(0,1)x y a a a -=+>≠，令1x =，2y =，则函数恒过点(1,2)，则点P 的坐标是(1,2)；故A 正确，若点P 在直线11y x m n =+（0m >，0n >）上，则112m n=+,()111112222222n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当n mm n=，即1m n ==取等号，则m n +的最小值为2．B 错误，112m n =+≥，故1mn ≥，当且仅当n m m n =，即1m n ==取等号，故C 正确，11120,,2m n m =->∴>故111122111222m m m n m m m m ⎛⎫+=-+=+-≥= ⎪⎝⎭，当且仅当122m m =，即12m =，因此等号取不到，即112m n m +>，D 错误故选：AC11.已知函数()π2sin 3f x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭（0ω>）在区间[]0,π上有且仅有3个零点，则（）A.当3ω=时，π12f ⎛⎫=-⎪⎝⎭B.()f x 的最小正周期可能是3π5C.ω的取值范围是710,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭D.()f x 在区间π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增【答案】ACD 【解析】【分析】根据整体法，根据三个零点可得710,33ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，即可判定C ，根据周期公式即可判定B ，代入结合诱导公式即可求解A ，根据整体法求解ππππ,3343x ωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，而ππππ4432ω<-≤即可判定D.【详解】因为[]0,πx ∈且0ω>，所以πππ,π333x ωω⎡⎤-∈--⎢⎣⎦，又因为函数()π2sin 3f x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭在区间[]0,π上有且仅有3个零点，所以满足[)ππ2π,3π3ω-∈，即710,33ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以C 正确，当3ω=时，ππππ2sin 32cos 12233f ⎛⎫⎛⎫=⨯-=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 正确，若2π3π5T ω==，则103ω=，这与710,33ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭矛盾，所以B 错误，因为π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且0ω>，所以ππππ,3343x ωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，又因为710,33ω⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，即ππππ4432ω≤-<，所以()f x 在区间π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，即D 正确．故选：ACD ．12.已知函数()f x 的定义域为R ，且对任意x ∈R ，都有()()=f x f x -及()()()21f x f x f +=+成立，当1x ，[]20,1x ∈且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x -<-成立，下列四个结论中正确的是（）A.()10f =B.直线2x =是函数()f x 的一条对称轴C.函数()f x 在区间[]3,2--上为减函数D.方程()0f x =在区间[]3,3-上有4个不同的实根【答案】ABD 【解析】【分析】由()()=f x f x -，得到函数()f x 为偶函数，又由当1x ，[]20,1x ∈且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x -<-成立，得到()f x 在[]0,1为减函数，再根据()()()21f x f x f +=+，得出函数为周期为2的函数，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 的定义域为R ，因为对于任意x ∈R ，都有()()=f x f x -，可得函数()f x 为偶函数，又因为当1x ，[]20,1x ∈，且12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x -<-成立，可得函数()f x 在区间[]0,1为减函数，又由()()()21f x f x f +=+，令=1x -，可得(1)(1)(1)f f f =-+，解得(1)(1)0f f -==，所以()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数，可作出函数()f x 草图，如图所示，由上面分析可知(1)0f =，所以A 正确；由上()()()()22f x f x f x f x +==-=-，所以直线2x =是函数()f x 的一条对称轴，所以B 正确；由函数周期性，()()2f x f x =+,当[]3,2x ∈--时，[]21,0x +∈-，函数()f x 在区间[]0,1为减函数，因为函数()f x 为偶函数，所以函数()f x 在区间[]1,0-上为增函数，则函数()f x 在区间[]3,2--上为增函数，所以C 不正确；由于(1)(1)(3)(3)0f f f f -==-==，函数()f x 在区间[]1,0-上为增函数，在区间[]0,1为减函数，所以()0f x >，()1,1x ∈-，结合周期性，方程()0f x =在区间[]3,3-上有根3,1,1,3--，共有4个不同的实数根，所以D 正确.故选：ABD.思路点睛：先确定函数的定义域，再化简解析式，求出函数的解析式的最简形式，并分析解析式与哪个基本函数相似，根据函数的定义域和解析式画出函数的图象，结合函数的图象再分析函数的性质进行求解.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知幂函数()f x x α=过点()4,8，则α=______.【答案】32##1.5【解析】【分析】把点代入函数解析式，解出即可.【详解】因为幂函数()f x x α=过点()4,8，所以84α=，则32α=，故答案为：32.14.1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式210x ax ++≥恒成立，则实数a 的取值范围为______.【答案】[)2,-+∞【解析】【分析】将不等式转化为211x a x x x +-≤=+对1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦恒成立，利用基本不等式求解最值即可.【详解】1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式210x ax ++≥恒成立，即211x a x x x+-≤=+，由于函数12y x x =+≥=，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，故min1a x x ⎛⎫-≤+⎪⎝⎭，即2a -≤，则2a ≥-，故答案为：[)2,-+∞15.已知()()πsin πcos 24cos ααα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=-，则sin 2α=______.【答案】45##0.8【解析】【分析】根据诱导公式化简可得tan 2α=，即可根据二倍角公式以及齐次式求解.【详解】由()()πsin πcos 24cos ααα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=-可得sin sin 4tan 2cos αααα+=⇒=，2222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 15ααααααα===++，故答案为：4516.我们家里大多数装了空调，空调风机的工作原理就是把室内热空气抽出去，然后把室外新鲜空气通过空调制冷系统，净化后再传回室内.假设某房间体积为0v ，室内热气的质量为m ，已知某款空调机工作时，单位时间内从室外吸入的空气体积为v （1v >），室内热气体的浓度与时刻t 的函数关系为()00e vt m m t v v ρλμ-=+，其中常数λ为过滤效率，1λμ+=.若该款新风机的过滤效率为14λ=，且1t =时室内热空气的浓度是2t =时的32倍，则该款空调单位时间内从室外吸入的空气体积=v ______.【答案】ln 3【解析】【分析】由题意表达出()()1,2ρρ，由()()3122ρρ=列出方程，求出e 3v =，两边取对数，计算出答案．【详解】由题意得000013()(1)e e 44vt vtm m m m t v v v v ρλλ--=+-=+，()0031e 44v m m v v ρ-=+，()20032e 44vm m v v ρ-=+，因为()()3122ρρ=，所以20000333e e 44244v v m m m m v v v v --⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由于0m ≠，整理得29e 6e 10v v --+-=，解得1e3v-=，故e 3v =，进而解得ln3v =．故答案为：ln 3四、解答题（要求写出必要的过程，第17题10分，第18～22题各12分，共70分.）17.已知全集U =R ，集合{}2560A x x x =-+≤，()(){}10,1B x x x a a =--.（1）求集合A ，B ；（2）若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求a 的取值范围.【答案】（1）{}23A x x =≤≤，{}1B x x a =<<（2）3a >【解析】【分析】（1）根据一元二次不等式的性质求解不等式，即可得集合A ，B ；（2）将充分不必要条件转化为集合间的关系，即可求解.【小问1详解】由2560x x -+≤，解得23x ≤≤，由()()10x a x --<，1a >，得1x a <<所以{}23A x x =≤≤，{}1B x x a =<<【小问2详解】因为x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，所以A 是B 的真子集，即3a >，所以a 的范围是3a >18.已知函数()2log f x x=（1）完成下列表格，并在坐标系中描点画出函数()2log f x x =的简图；（2）根据（1）的结果，若()()12f x f x =（12x x ≠），试猜想12x x 的值，并证明你的结论.x1412124()f x 【答案】（1）答案见解析（2）121=x x ，证明见解析【解析】【分析】（1）根据列表描点连线即可求解函数图象，（2）根据对数的运算性质即可求解.【小问1详解】完成下列表格；x1412124()f x 21012【小问2详解】猜想121=x x ，证明如下：∵()()12f x f x =，∴2122log log x x =，∴2122log log x x =或2122log log x x =-，∵12x x ≠，∴2122log log x x =-，即2122log log 0x x +=，∴212log 0x x =，∴121=x x .19.设函数()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（R x ∈）.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）求函数()f x 在区间ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（1）π，π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（Z k ∈）（2）最大值为1，最小值为12-【解析】【分析】（1）直接用公式2πT ω=求函数最小正周期，结合换元的思想求函数的单调递增区间；（2）结合换元思想和基本三角函数的图象和性质求函数在给定区间的值域.【小问1详解】由题知，()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（R x ∈）所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==令πππ2π22π232k x k -≤-≤+（Z k ∈）得π5πππ1212k x k -≤≤+，（Z k ∈）所以()f x 的单调递增区间为π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，（Z k ∈）【小问2详解】因为ππ,122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ2π2,363x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦所以当ππ232x -=即5π12x =时，()f x 有最大值，最大值为1当ππ236x -=-即π12x =时，()f x 有最小值，最小值为12-所以()f x 在区间ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值为1，最小值为12-20.某人自主创业，制作销售一种小工艺品，每天的固定成本为80元，根据一段时间的制作销售发现，每生产x 件该工艺品，需另投入成本()C x 万元，且()21080,05640210500,5x x x C x x x x ⎧+<≤⎪=⎨+->⎪⎩假设每件工艺品的售价定为200元，且每天生产的工艺品能全部销售完.（1）求出每天的利润()W x （元）关于日产量x （件）的函数关系式（利润＝销售额－成本）；（2）当日产量为多少件时，这个人每天所获利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）()21012080,056410420,5x x x W x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当日产量为5件时，这个人每天所获利润最大，最大利润是270元.【解析】【分析】（1）根据利润等于销售量减去成本即可求解，（2）根据二次函数的性质以及基本不等式即可求解最值.【小问1详解】当05x <≤时，()()222001080801012080W x x x x x x =-+-=-+-，当5x >时，()640642002105008010420W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()21012080,056410420,5x x x W x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨⎛⎫-++> ⎪⎪⎝⎭⎩.【小问2详解】当05x <≤时，()()2106280W x x =--+，当5x =时，()max 270W x =，若5x >时，则()641042*********W x x x ⎛⎫=-++≤-⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当64x x=，即8x =时，等号成立，此时()max 260W x =.因为260270<，所以当日产量为5件时，这个人每天所获利润最大，最大利润是270元.21.定义域为R 的函数()221x x af x -+=+是奇函数（1）求a 的值并判断函数的单调性；（2）对任意π0,6θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得)()2cos cos 0ff k θθθ++>恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）1a =，()f x 在R 上为减函数（2）32k <-【解析】【分析】（1）根据奇函数的性质()00f =，即可求解1a =，进而由指数函数的单调性即可作出判断，（2）根据函数的奇偶性以及单调性将问题转化为2cos cos k θθθ->+在π0,6θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，构造函数()2cos cos g θθθθ=+，利用三角恒等变换以及三角函数的性质求解最值即可求解.【小问1详解】因为()f x 是奇函数，所以()00f =，即()1011af -+=+，解得1a =,1a =时，()()()212112,212121x x xx x x f x f x f x ---+-+-+=-===-+++，满足()f x 是奇函数，故1a =，()21212121x x xf x -+==-+++，定义域为R ，由于函数21x y =+单调递增，则221x y =+单调递减，故()2121x f x =-++为单调递减函数，故()f x 在R 上为减函数，【小问2详解】()f x 是奇函数，由)()2cos cos 0f f k θθθ++>得：)()2cos cos ff k θθθ>--，又()f x 为减函数2cos cos k θθθ<--，即2cos cos k θθθ->+在π0,6θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，设()2cos cos g θθθθ=+，则()π1sin 262g θθ⎛⎫=++⎪⎝⎭因为π0,6θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则πππ2,662θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以π1sin 2,162θ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以，()31,2g θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以32k ->，即32k <-22.对于满足一定条件的连续函数()g x ，存在实数0x ，使得()00g x x =，我们就称该函数为“不动点”函数，实数0x 为该函数的不动点.若函数()y f x =，x I ∈，若存在0x I ∈，使得()()0f f x x=，则称0x 为函数()y f x =的稳定点.（1）证明：函数不动点一定是函数的稳定点.（2）已知函数()()221f x ax a x =+--，（Ⅰ）当2a =时，求函数的不动点和稳定点；（Ⅱ）若存在0m >，使函数()13y f x x m m=++--有三个不同的不动点，求m 的值和实数a 的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）（Ⅰ）不动点为1和12-；稳定点为1和12-；14x -±=；（Ⅱ）()0,2，1m =.【解析】【分析】（1）根据不动点的定义可得()00f x x =，即可代入求证稳定点，（2）（Ⅰ）根据不动点以及稳定点的定义即可求解方程得解，（Ⅱ）根据不动点的定义以及换元可得()2220a x a x t +-+-=，进而将问题进一步转化为()2220ap a p t +-+-=，根据二次方程根的分布即可判定p 的方程必有一根为正根和一个零根，即可根据韦达定理求解.【小问1详解】证明：若实数0x 是()y f x =的一个不动点，则()00f x x =，所以()()()0ff x f x x==，故函数不动点一定是函数的稳定点.【小问2详解】（Ⅰ）当2a =时，()221f x x =-，∴221x x -=，解得：1x =或12x =-所以函数()y f x =的不动点为1和12-；又()()()()222212211ff x fx x x=-=--=∴()()()21214210x x x x -++-=解得：1x =或12x =-，或14x -=或14x -=所以函数()y f x =的稳定点为1和12-；14-±解法2：所以函数()y f x =的不动点为1和12-；由()()f f x x =得()()()()222212211ff x fx x x=-=--=即428810x x x --+=，由（Ⅰ）可知函数的不动点1和12-一定是稳定点，故可令()()()422881121x x x x x mx nx t--+=-+++()()()432222mx n m x t n m x n t x t =+-+--+---，从而由待定系数法可求得4m =，2n =，1t =-所以()()()4228811214210x x x x x x x --+=-++-=，解得1x =或12x =-，或14x -±=或14x --=所以函数()y f x =的稳定点为1和12-；14x -±=（Ⅱ）若存在0m >，使函数()13y f x x m m=++--有三个不同的不动点，当0m >时，令12t m m =+≥=，当且仅当1m =时取等号，又()()221f x ax a x =+--，由()13y fx x m x m=++--=，可化为()2220a x a x t +-+-=，关于x 的方程()2220a x a x t +-+-=有三个不等实根，令p x =，()()2222220a x a x t ap a p t +-+-=+-+-=，由于p 非负数，如果有两个不同正根，方程必有四个解即四个不同的不动点，与题设矛盾；如果有且只有一个正根，只有两个不动点，与题设矛盾；所以p 必有一根为正根和一个零根，即0p =或2ap a-=则2020taa a-⎧=⎪⎪⎨-⎪->⎪⎩，因为2t ≥，得：2,02t a =<<，则1m =.故实数a 的取值范围是()0,2，1m =.【点睛】方法点睛：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算，利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.。
2019-2020学年湖南省郴州市九年级下数学竞赛试卷及答案解析
2019-2020学年湖南省郴州市九年级下数学竞赛试卷
一、选择题（每小题2分，共8分）
1．（2分）若m﹣n＝1，则（m﹣n）2﹣2m+2n的值是（）
A．2B．1C．﹣1D．3
2．（2分）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A、B两点，则kx+b＞0解集是（）
A．x＞0B．x＞﹣3C．x＞2D．﹣3＜x＜2 3．（2分）某村办工厂2019年前五个月生产某种产品的总量c（万件）与时间t（月）的函数图象如图所示，则该厂对这种产品来说（）
A．1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月每月生产总量逐月减少
B．1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月生产总量与3月持平
C．1月至3月每月生产总量不变，4、5两月均停止生产
D．1月至3月每月生产总量逐月增加，4、5两月均停止生产
4．（2分）“标准对数视力表”对我们来说并不陌生，如图是视力表的一部分，其中最上面较大的“E”与下面四个较小“E”中的哪一个是位似图形（）
A．左上B．左下
C．右下D．以上选项都正确
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郴州市2017-2018年上学期学科教学状况抽测试卷
高二数学（理科）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）。
1．命题“,0x R x ∀∈≥ ”的否定是
A. 0,0x R x ∃∈<
B. 0,0x R x ∃∈≥
C ．,0x R x ∀∉≥
D ．,0x R x ∀∈<
2．与a=（2，-1，2）同向的单位向量为
A ．（2，一1，2）
B ．
C ．
D ．
3．若x ∈R,则“x>5”是“x>3”的
A ．充分不必要条件
B 必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4.以F(0，
18
)为焦点的抛物线的标准方程是 A ．y 2=4x B ．y 2=2x C ．x 2=2y D ．x 2=4y 5．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，且a=ccosB ，则△ABC 的形状是
A ．直角三角形
B ．等腰三角形
C ．等边三角形
D ．等腰直角三角形
6．我国古代《张邱建算经》中有“分钱问题”，改编如下：“今有与人钱。
初，一人与一钱；次，一人与二钱；次，一人与三钱；以次与之，转多一钱。
与讫，还敛聚与均分之人，人得一百钱。
问人得几何？”意思是说：将钱分给若干人，第一人给1钱，第二人给2钱，第三人给3钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收同平均分给各人，结果每人分得100钱，问
有多少人？则题中的人数是
A ．100
B ．195
C ．197
D ．199
7．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 11+7=2a 12，则S 25=
A．145
2
B．145 C．175 D．
175
2
8．如果a<b<0．那么下列不等式成立的是
A． B．ab <b2 C． -ab <-a2 D． <
9．对于R上可导函数f(x)，若满足(x-3)f '(x）<0，则必有
A．f(2)+f(4)<2f(3) B．f(2）+f(4)>f(0)+f(3)
C．f(2)+f(4)>2 f(3) D．f(1)+f(0)<f（3）+ f(4)
10．已知双曲线E：（a>0，b>0）的右焦点为F，虚轴的一个端点为D，直线l:3x-4y=0交双曲线于A ,B两点，且|AF|-|BF|=4若点D到直线l的距离不小于，则双曲线E的离心率的取值范围是
A．（5
，+∞） B．[
5
，+∞） C．(1，
5
] D．(1，
5
)
二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．已知命题“若x>l，则x2>1”，在其逆命题，否命题和逆否命题中，真命题的个数
为个．
12．已知实数x,y满足不等式组则z=x+2y的最大值为
13.已知直线l1：x=-l和l2：x-y+4=0，点P是抛物线y2=4x上的动点，点P到l1，l2的距离分别为d1，d2，则d1+d2的最小值为
14．当x>l时，不等式x2-ax+9≥0恒成立，则实数a的取值范围为
15．若直线l与曲线C满足下列两个条件：
(1)直线l在点M（x0，y0）处与曲线C相切；
(2)曲线C在点M附近位于直线l的两侧，则称直线l在点M处“切过”曲线C．
下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）
①直线l:y=0在点M(0，0)处“切过”曲线C：y=x3
②直线l：y=x在点M(0，0)处“切过”曲线C：y=sinx
③直线l：y=x-l在点肘(1，0)处“切过”曲线C：y=lnx
④直线l：y=x+l在点P(0，1)处“切过”曲线C：y=ex
三、解答题（本大题共5小题，共40分。
解答写i出文字说明、证明或验算步骤）16．（本小题满分6分）
在等比数列{a n}中，已知a2=4，a5=32。
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若a4、a7分别为等差数列{b n}的第1项和第15项，试求数列{b n}的前n项和S n．17．（本小题满分8分）
在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(c-2b )cosA +acosC=0．
(1)求角A的大小；
(2)若a=23，△ABC的面积S=23，求△ABC的周长．
18.（本小题满分8分）
如图，在四棱锥P-A BCD中，四边形4BCD为正方形，三角形
PAD为正三角形，且∠BAP=90°．其中AB=2
(1)证明：平面PAD⊥平ABCD;
(2)求二面角D-PA -C的余弦值．
19．（本小题满分8分）．
已知点D(3，0)在离心率为1
2
的椭圆C1：上．抛物线C2：x2=2py(p>0)
的焦点与椭圆的一个焦点重合．
(1)求C1，C2的标准方程；
(2)设抛物线C2的焦点为F，过点F斜率为k的直线l与C2交于A、B两点，问：是否在x 轴上存在一点M，使得直线MA、MB的斜率之和与k的比值为定值？若存在，请求出该定值：若不存在，请说明理由．
20.（本小题满分10分）
已知函数f(x）= 1
2
ax+lnx - 2x（a为实数）
(1)当a=l时，求函数y= f(x)在x=l处的切线方程；
(2)讨论函数y= f(x)的单调性．。