三维流形边界曲面上的一般完全曲线系统
《微分几何》课程教学大纲
《微分几何》课程教学大纲一、课程信息课程名称：微分几何Differentia1Geometry课程代码：06S1022B课程类别：专业选修课适用专业：数学与应用数学专业（师范类）课程学时：45学时（理论35,实践10）课程学分：2.5学分修读学期：第6学期先修课程：数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程二、课程目标微分几何是数学与应用数学专业的选修课程，是运用微积分的理论研究空间的几何性质的数学分支学科。
古典微分几何研究三维空间中的曲线和曲面，而现代微分几何开始研究更一般的空间一一流形。
微分几何与拓扑学等其它数学分支有紧密的联系，对物理学的发展也有重要影响，爱因斯坦的广义相对论就以微分几何中的黎曼几何作为其重要的数学基础。
本课程的前导课程为解析几何、高等代数、数学分析和常微分方程。
本课程旨在介绍微分几何的基本思想方法和理论，让学生了解它的研究对象、研究方法和技巧，了解一些重要概念及其几何意义，经典理论及其模型，掌握重要几何量的计算，通过重要例题的演示，让学生学会综合利用数学分析、解析几何、微分方程等的基本知识解决微分几何问题，使学生掌握三维欧氏空间中的曲线和曲面的局部微分理论和方法，培养学生分析三维欧氏空间的曲线和曲面的局部性态的能力以及对微分几何这门学科的兴趣。
（一）具体目标通过本课程的学习，使学生达到以下目标：1.了解现代几何学的发展背景，熟悉微分几何研究的基本方法和技巧，理解从欧式空间到一般几何对象的基本思想，对中学的几何课程有更好的理解，具有一定的批判精神及创新能力，具有分析问题和解决问题的能力。
【支撑毕业要求3、4、7]2.掌握向量函数的相关概念和计算；掌握一般曲线的参数表示及切线、法平面、密切平面等概念；掌握曲线的曲率、挠率及伏雷内公式；理解曲线的局部结构及空间曲线论的基本定理；了解一般螺线的概念;综合运用微积分、解析几何的知识解决微分几何的问题，具备一定的计算能力。
【支撑毕业要求3、4]3.掌握曲面的参数表示及相关概念；掌握曲面的第一基本形式及其应用，理解等距变换及曲面的内蕴性质；掌握曲面的第二基本形式及各种曲率的概念和计算；理解直纹面、可展曲面的概念；了解曲面论的基本定理；理解曲面上的测地线及其性质，了解高斯-波涅公式及其应用。
微分几何曲线曲面与流形的研究
微分几何曲线曲面与流形的研究微分几何是数学中的一个分支，研究曲线、曲面以及流形等几何对象的性质和变换规律。
在微分几何中，曲线被描述为参数化曲线，曲面可以通过参数化曲面或隐函数方程来表达，而流形则是具有光滑结构的对象。
一、曲线的微分几何研究在微分几何中，曲线是一维对象，具有长度和切线等基本性质。
曲线可以通过参数化来表示，即将曲线上的点用参数来描述，例如，在平面上，一条曲线可以表示为r(t) = (x(t), y(t))这里，r(t) 是曲线上的点，而 x(t) 和 y(t) 是参数 t 的函数。
通过求导可以得到曲线的切向量，即切线的方向和大小。
二、曲面的微分几何研究曲面是二维对象，可以通过参数化曲面或隐函数方程来表示。
参数化曲面的表示形式为：R(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))其中 R(u, v) 是曲面上的点，而 x(u, v), y(u, v), z(u, v) 是参数 u 和 v 的函数。
通过对 u 和 v 分别求偏导，可以得到曲面上每一点的切向量以及曲面的法向量。
三、流形的微分几何研究流形是更一般的几何对象，具有光滑结构。
在微分几何中，流形可以用局部坐标系和变换规则来描述。
一般地，一个流形可以被若干个局部坐标系覆盖，每个局部坐标系由一组坐标轴构成。
在流形上，可以定义切向量和切空间，切向量是切空间中的元素。
通过切向量，可以研究流形上的切平面、曲率以及度量等几何性质。
四、微分几何的应用微分几何在众多领域中有着广泛的应用。
例如在物理学中，微分几何的概念和方法被运用于广义相对论的研究中，描述了弯曲时空的几何结构。
在计算机图形学和计算机辅助设计中，微分几何的技术可以用来建模和渲染曲线和曲面，如三维建模和形状分析等。
另外，微分几何还在统计学、图像处理、机器学习等领域中有着重要的应用。
总结起来，微分几何研究曲线、曲面以及流形等几何对象的性质和变换规律。
通过参数化曲线、曲面和局部坐标系的描述，可以分析切向量、法向量以及切空间等几何特性。
拉普拉斯算子的几何意义-概述说明以及解释
拉普拉斯算子的几何意义-概述说明以及解释1.引言1.1 概述拉普拉斯算子是数学中的一个重要概念，它在几何学中有着广泛的应用。
本文将探讨拉普拉斯算子的几何意义，并展示它在几何学中的重要性。
拉普拉斯算子是一种二阶偏微分算子，它在数学和物理学中发挥着至关重要的作用。
它在几何学中的应用主要体现在分析曲面的形状、曲率以及其他几何属性。
本文将分为三个主要部分进行阐述。
首先，我们将回顾拉普拉斯算子的定义，详细介绍其在数学中的意义和性质。
接着，我们将讨论拉普拉斯算子在几何学中的应用，例如曲率计算、曲面形状分析等。
最后，我们将着重探讨拉普拉斯算子的几何意义，探索它与曲面性质之间的关系。
通过研究拉普拉斯算子在几何学中的应用，我们能够深入理解曲面的特性及其在数学和物理学中的重要性。
了解拉普拉斯算子的几何意义有助于我们更好地理解曲面的形态和性质，从而为几何学的研究提供更深入的视角。
本文的目的是系统地介绍拉普拉斯算子的几何意义，并强调它对于曲面分析的重要性。
通过对拉普拉斯算子进行深入的研究，我们能够更好地理解曲面及其在数学和物理学中的应用。
最后，我们还将展望拉普拉斯算子在未来几何学研究中的潜在发展方向。
在接下来的文章中，我们将以逐一引出的方式，详细阐述拉普拉斯算子的定义、几何应用以及其几何意义的相关内容。
通过对这些内容的探讨，我们希望读者能够更加深入地理解拉普拉斯算子在几何学中的重要性。
1.2 文章结构文章结构部分的内容应该包括以下信息：本文主要围绕拉普拉斯算子的几何意义展开讨论，分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，将对拉普拉斯算子和其几何意义进行简要概述，介绍其在数学和物理等领域的重要性，并指出本文的目的是探讨拉普拉斯算子的几何意义。
正文部分将分为三个小节。
首先，将详细介绍拉普拉斯算子的定义，包括其在不同坐标系下的表示方式，以及在多维空间中的推广形式。
然后，将介绍拉普拉斯算子在几何中的应用，例如在曲率和形状分析、流形的局部几何等方面的应用。
数学中的微分几何与拓扑学
数学中的微分几何与拓扑学微分几何和拓扑学是数学中两个重要的分支。
微分几何是研究曲线、曲面、流形等几何对象上的微分结构和微分方程的学科，它给出了这些几何对象的内在性质和在局部和整体上的几何特征。
而拓扑学是研究空间中连通性、维数、同构和不变量的学科，它涉及到的对象可以是几何形状的，也可以是抽象的，如点、线、面、球等等，在拓扑上它们可以等价于彼此或者不等价。
在本文中，我们将介绍微分几何和拓扑学的相关概念和应用。
微分几何的基本概念微分几何最基本的概念就是流形。
流形是指一类局部像欧几里德空间的几何对象，也就是说，在每一个点处都有一个局部的线性结构。
流形有多种多样的类型，如常见的曲线、曲面、球面等等，它们都可以看成流形的一种。
流形的基本性质是可以用微积分来描述它们的几何性质。
微分几何的研究对象不仅仅是流形本身，还包括流形上的微分结构和微分方程。
微分结构是指在流形上定义的微分、导数、曲率等概念，而微分方程则是描述流形上的曲线、曲面、流形的运动和变形的方程。
在微分几何的研究中，往往会涉及到弯曲、张量、黎曼几何、广义相对论等高级数学和物理的相关知识。
微分几何的应用微分几何的研究中，经常会涉及到诸如曲率、切空间、黎曼流形等等概念。
曲率主要关注流形上的切向量的变化情况，它可以用来描述流形的弯曲和形状。
在工程、医学、计算机视觉、图像处理等领域，可以利用曲率检测、曲率流算法等技术进行数据处理、图像分割、拓扑优化等工作。
另外，微分几何对于广义相对论的研究有着重要的影响。
广义相对论是描述重力和引力的理论，它基于黎曼流形的理论，而黎曼流形就是一种具有弯曲的流形。
微分几何的黎曼流形理论，可以提供相对论的物理预言和几何直觉，而广义相对论也为微分几何理论提供了一个广阔的应用领域。
拓扑学的基本概念拓扑学是研究点集在连通性、维数、同构和不变量上的学科。
拓扑学强调点集在一定范围内的相对位置和连通性，不关心在其内的哪些部分有什么具体的几何或度量。
解析几何中的微分几何和曲率
解析几何中的微分几何和曲率近代数学发展的一个重要方向是微积分学，它解决了许多几何问题，同时也产生了许多新的几何问题。
其中微分几何和曲率是被广泛研究的两个重要课题。
一、微分几何微分几何研究的对象是曲面及其上的曲线、切向量、法向量等各种概念。
在微分几何中，微分形式是最为重要的基础工具。
微分形式是刻画曲面上各种微小变化的代数表达式，比如长度、曲率等，是微分几何中的核心概念。
在微分几何中，还有一个非常重要的概念是流形。
流形可以理解为是一个具有很强几何性质的空间。
流形的微分结构是指流形上定义的可微分函数和可微分向量场，从而得到了微分几何的数学框架。
二、曲率曲率是微分几何中的一个重要指标，它描述的是曲面的弯曲程度。
曲率在一定程度上反映了曲面的几何性质，是微分几何中的关键概念之一。
曲率可以分为高斯曲率和平均曲率。
高斯曲率是描述曲面在某个点处的弯曲性质的指标，它是曲面上所有法向量在该点的内积的乘积。
平均曲率是描述曲面在某个点处的偏斜程度的指标，它是曲面上所有法向量的长度之和除以曲面上的点数。
曲率是一种局部性质，它依赖于曲面在某个点的局部情况。
在实际应用中，我们通常需要估算曲面的整体几何性质，这就需要引入全曲率和平均全曲率这两个综合指标。
全曲率是曲面上所有法向量的点积之和，平均全曲率则是全曲率除以曲面上的点数。
三、应用微分几何和曲率理论在许多领域都有广泛的应用。
比如，在计算机图形学中，我们可以利用微分几何和曲率理论来建立三维几何模型；在工程领域中，微分几何和曲率理论可以用来优化表面形状设计，从而提高产品的质量和效率。
除此之外，微分几何和曲率理论还可以被用于建立地图、地形建模、机器人运动控制、物理仿真等领域。
这些应用都需要建立一个高效的数学模型，而微分几何和曲率理论恰恰提供了这样的数学基础。
总之，微分几何和曲率理论是现代数学中的重要分支，它们为人类社会带来了众多的实际应用，同时也推动了数学学科的发展。
黎曼几何空间模型-概述说明以及解释
黎曼几何空间模型-概述说明以及解释1.引言1.1 概述黎曼几何是一门研究曲面和高维流形的几何学分支，它是由德国数学家黎曼在19世纪提出的，并被广泛应用于数学、物理学和工程学等领域。
黎曼几何的研究对象是具有度量的空间，它将几何中的度量概念引入了数学的领域，使得我们能够通过度量来描述空间的性质和变化。
黎曼几何的主要研究内容包括曲率、联络和度量等方面。
曲率是黎曼几何的核心概念之一，它描述了空间的弯曲性质。
在黎曼几何中，我们可以用曲率张量来度量空间的曲率，从而获得空间的几何信息。
联络则用来描述空间中点之间的连接方式，它在黎曼几何中起着举足轻重的作用。
而度量是黎曼几何中的基本概念，它定义了空间中点之间的距离和角度，使得我们能够进行几何量的计算和推导。
黎曼几何的空间模型是对空间的一种抽象和描述，它通过数学符号和公式来表示空间的性质和结构。
黎曼几何的空间模型包括欧氏空间、球面空间和超几何空间等。
欧氏空间是我们熟知的平面和三维空间，它的度量方式是直角坐标系。
球面空间则是由一个以一点为中心的球面构成，它的度量方式是球面坐标系。
超几何空间则是一类具有非欧几何性质的空间，它的度量方式是广义的。
黎曼几何空间模型不仅在纯数学领域有着重要的应用，还在物理学、工程学和计算机图形学等应用领域发挥着重要作用。
例如，在相对论理论中，黎曼几何被用来描述时空的弯曲性质。
在计算机图形学中，黎曼几何的概念被应用于曲面建模和形状分析等方面。
因此，深入理解和研究黎曼几何空间模型对于提高我们对空间性质的认识和应用具有重要意义。
本文将介绍黎曼几何的基本概念和空间模型，并对其在数学、物理学和工程学等领域的应用进行讨论。
通过对黎曼几何空间模型的探索和研究，我们能够更好地理解空间的本质和性质，为我们的学科研究和实际应用提供更多的工具和方法。
文章结构部分的内容可以是对整篇文章的章节和内容安排进行介绍和总结，以便读者能够更好地理解文章的组织和主要内容。
以下是文章1.2文章结构部分的一个可能的内容段落：文章结构本文将按照以下结构进行讨论黎曼几何空间模型的基本概念和应用。
瑟斯顿 三维流形与几何拓扑
瑟斯顿三维流形与几何拓扑什么是瑟斯顿三维流形？瑟斯顿三维流形是一种几何概念，它描述了一种在三维空间中的曲面形状。
具体来说，在拓扑学中，瑟斯顿三维流形被定义为一个局部欧几里德空间，它在局部上同胚于欧几里德空间ℝ^3。
换句话说，瑟斯顿三维流形可以被认为是三维空间中的“弯曲”的表面，而实际上它在局部上是平坦的。
瑟斯顿三维流形的研究主要集中在其拓扑性质和几何结构上。
拓扑性质描述了对象如何“连通”和“扭曲”，而几何结构则涉及到瑟斯顿三维流形的具体形状和曲率。
研究瑟斯顿三维流形的目的是理解其在数学和物理学中的重要性，以及进一步探索其存在的可能性和性质。
瑟斯顿猜想是围绕瑟斯顿三维流形的论题之一。
它是指任意闭合、定向、可微的三维流形是否都是瑟斯顿流形。
直到目前为止，瑟斯顿猜想仍然没有得到证明或者反例，并且成为数学上的一个难题。
瑟斯顿三维流形和几何拓扑的研究有许多重要的结果和应用。
例如，瑟斯顿猜想的解决将会对低维拓扑学和几何学产生深远的影响。
此外，瑟斯顿三维流形的研究还涉及到李群和李代数、代数拓扑、奇异拓扑、离散数学等领域的交叉问题。
在研究瑟斯顿三维流形时，常常会遇到许多复杂的概念和工具。
其中，关键的概念之一是流形上的流形结构。
流形结构是指通过在流形的每个点上定义一组局部坐标系，使得这些局部坐标系在重叠的部分上是兼容的。
流形结构允许我们在流形上进行微积分运算和定义范数，在研究瑟斯顿三维流形的性质时起着重要的作用。
另一个重要的概念是拓扑群和同伦群。
拓扑群是指在流形上同时定义了拓扑和群结构的对象，而同伦群则描述了从一个对象到另一个对象的连续变形的等价关系。
研究瑟斯顿三维流形的拓扑群和同伦群使得我们能够比较和分类不同的流形，从而深入理解它们的结构和性质。
最后，瑟斯顿三维流形的研究还涉及到许多具体的问题和推论。
例如，瑟斯顿三维流形中的维数上的限制定理说明了在特定条件下瑟斯顿三维流形的可能形状。
此外，瑟斯顿三维流形的分类理论和群作用也是该领域的研究重点。
数学中的微分几何学
数学中的微分几何学微分几何学是数学的一个分支，它研究的是空间中曲线、曲面以及其它高维流形的性质和变化。
微分几何学在数学、物理学和工程学等领域中有广泛的应用。
本文将简要介绍微分几何学的基本概念、发展历程以及一些应用。
一、基本概念1. 流形流形是微分几何学中的重要概念，它可以理解为局部与欧几里德空间同胚的空间。
流形可以是曲线、曲面或更高维的空间。
在流形上，我们可以定义切向量、切空间等概念，这些概念是微分几何学中的基础。
2. 测地线测地线是在流形上定义的一种特殊曲线，它的切向量在整个曲线上保持平均性质。
在平直的欧几里德空间中，测地线就是直线。
而在曲率不为零的流形上，测地线将呈现出曲线的性质。
3. 度量和曲率度量是微分几何学中常用的概念，它用于测量流形上的距离和角度。
度量可以通过度量张量来刻画。
而曲率则描述了流形弯曲的程度，它可以通过测地线和曲率张量来定义和计算。
二、发展历程微分几何学的发展可以追溯到18世纪。
19世纪末20世纪初，勒贝格维茨和黎曼等数学家在微分几何学的基础上提出了黎曼几何学，进一步深化了对曲率的研究。
20世纪后期，微分几何学得到了迅猛发展，尤其是在爱因斯坦相对论的研究中扮演了重要角色。
三、应用领域微分几何学在许多领域有着广泛的应用，以下列举其中几个重要的应用：1. 相对论物理学相对论物理学是微分几何学的一个主要应用领域。
爱因斯坦的广义相对论是建立在黎曼几何学的基础上的，通过描述时空的度量和曲率来揭示物质和能量对时空的作用。
2. 计算机图形学计算机图形学中的三维建模和渲染技术，需要运用到微分几何学的知识。
通过对曲面的参数化和曲率的计算，可以实现对三维物体的准确描述和真实感观的渲染。
3. 机器学习机器学习中的各种算法也可以借助微分几何学的工具来实现。
比如，通过定义特征空间中的度量和曲率，可以更好地描述和理解数据的结构和分布。
四、结语微分几何学作为数学的一个重要分支，研究空间中的曲线、曲面以及其它高维流形的性质和变化。
注册测绘师之测绘综合能力通关练习题库附带答案
注册测绘师之测绘综合能力通关练习题库附带答案单选题（共20题）1. GIS中地理编码的作用是（）。
A.对实体目标进行分类编码B.实现非空间信息的空间化C.建立空间数据的拓扑关系D.建立实体数据与元数据的关系【答案】 B2. （2016 年）下列关于三维地理信息模型的描述中，错误的是（）。
A.三维模型可用不同的表现方式B.三维模型可用不同的要素分类C.三维模型之间具有属性一致性D.三维模型之间不存在拓扑关系【答案】 D3. 界线测绘时观测界桩一般是（）。
A.只测高程B.先测平面坐标再测高程C.高程应与平面坐标同时施测D.只测平面坐标【答案】 C4. 下列关于中央子午线的说法正确的是()。
A.中央子午线通过英国格林尼治天文台B.中央子午线位于高斯投影带的最边缘C.中央子午线经高斯投影无长度变化D.中央子午线又叫起始子午线【答案】 C5. （2013 年）省级似大地水准面精化中，所利用的数字高程模型的分辨率不应低于（）A.3"×3"B.4"×4"C.5"×5"D.6"×6"【答案】 A6. （2011 年）现行《房产测量规范》未做出测量精度要求规定的房产测量对象是（）。
A.房产界址点B.房角点C.房屋面积D.房屋边长【答案】 D7. 由于太阳高度角和方位角的影响，在影像上会产生阴影而遮盖地物，从而引起()，该误差一般难以消除。
A.几何误差B.辐射误差C.投影差D.分类误差【答案】 B8. 关于GPS观测实施的基本技术要求，下列说法错误的是()A.最少观测卫星数4颗B.采样间隔30sC.观测卫星截止高度角10°D.动态观测【答案】 D9. 精密钢尺量距，一般要进行的三项改正是尺长改正、()改正和倾斜改正。
A.比例B.高差C.气压D.温度【答案】 D10. 财务比率分析可以用来比较不同行业、不同规模企业之间的财务状况，也可以用来比较同一企业的各期变动情况，关于财务比率，下列说法不正确的是（）。
曲面知识点总结
曲面知识点总结1. 曲面的概念曲面是三维空间中的一种特殊几何体，可以用一定的方程或参数化形式来描述。
在数学上，曲面是平面与立体之间的一种过渡形式，具有一定的曲率和形状特征。
2. 曲面的分类曲面可以根据其形状特征和几何性质进行分类，常见的曲面包括球面、圆锥面、双曲面、抛物面等。
根据曲面方程类型的不同，曲面也可以分为代数曲面和解析曲面两种类型。
3. 曲面的参数化曲面的参数化是指通过一组参数的变化来描述曲面上的点的位置。
通过将曲面的参数方程代入，可以得到曲面上的各个点的坐标，从而更好地理解和分析曲面的性质和特点。
4. 曲面的法向量曲面的法向量是指曲面在某一点处的法线方向。
通过法向量的概念，可以描述曲面的曲率和几何特征，也可以用于计算曲面上的曲线积分和曲面积分等几何分析问题。
5. 曲面的切平面和切线在曲面上的某一点处，可以定义曲面的切平面和切线，用于描述曲面在该点处的局部几何性质。
切平面和切线的几何性质可以帮助理解曲面的曲率和法向量等重要概念。
6. 曲面积分曲面积分是对曲面上的函数或矢量场进行积分的概念。
曲面积分可以用于计算曲面的面积、质量、质心等物理属性，也可以用于描述曲面上的场强、通量等物理量。
曲面积分具有重要的物理和数学应用价值。
7. 曲面的方程曲面的方程是描述曲面几何性质和形状特征的数学表达式。
常见的曲面方程包括隐式方程、参数方程、标准方程等，可以用于描述曲面的曲率、焦点、直角坐标系等重要几何性质。
8. 曲面的应用曲面是数学、物理和工程等领域中重要的数学工具，具有广泛的应用价值。
例如，在物理学中，曲面可以用于描述电场、磁场、流体流动等现象；在工程学中，曲面可以用于设计曲线、曲面、雕刻等工艺；在计算机图形学中，曲面可以用于构建三维模型、渲染图像等。
9. 曲面的演化随着数学和物理相关领域的发展，曲面的研究也在不断发展和演化。
例如，曲面的微分几何和流形理论为曲面研究提供了更深入的理论基础；曲面的主题几何和拓扑理论为曲面的分类和性质研究提供了新的视角。
微分几何(第一课)
有些微分几何学问题还必须求解“真正”非线性偏 微分方程，这是比拟线性方程的非线性程度更高 的偏微分方程，其难度更大，突出的事项是丘成 桐解决了由卡拉皮所提出的一个猜想，证明了某 种爱因斯坦-凯勒流形的存在定理，这需要求解复 蒙日-安培方程，它的非线性程度更高，需要有高 度的分析技巧。丘成桐还解决了一系列的其他的 与非线性偏微分方程有关的几何问题。 具有复结构的微分流形特别是凯勒流形在多元复 变函数和代数几何中起着重要的作用。
在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域 的性质，常常用所谓“活动标形的方法”。对任意 曲线的“小范围”性质的研究，还可以用拓扑变换 把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。 在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可 以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂 的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可 以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方 法。
后期应用
由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的 建立，微分几何在黎曼几何学和广义相对论中 得到了广泛的应用，逐渐在数学中成为独具特 色、应用广泛的独立学科。 微分几何在力学和一些工程技术问题方面有广 泛的应用，比如，在弹性薄壳结构方面，在机 械的齿轮啮合理论应用方面，都充分应用了微 分几何学的理论。
课程的主要内容
本课程主要讲授三维空间中经典的曲线和曲面的局部理论， 主要内容有： （1）曲线论。包括参数曲线，曲线的弧长，曲线的曲率和 Frenet标架，挠率与Frenet公式，曲线论基本定理，曲线在一 点处的标准展开，平面曲线。 （2）曲面论。包括曲面的定义，切平面与法线，曲面的第 一基本形式，曲面上正交参数网的存在性，保长对应，保角 对应，可展曲面，曲面的第二基本形式，法曲率，Gauss映射 与Weingarten映射，主曲率和主方向的计算，Dupin标形和曲 面在一点的标准展开，某些特殊曲面，曲面论基本定理。 （3）曲面的内蕴几何，包括测地曲率和测地挠率，测地线， 测地坐标系，常曲率曲面，Gauss-Bonnet公式。
微分几何中的流形与黎曼度量
微分几何中的流形与黎曼度量微分几何是数学的一个分支，研究的是曲线、曲面以及更高维空间中的曲线曲面等几何对象的性质。
在微分几何中，流形和黎曼度量是两个重要的概念。
本文将介绍流形和黎曼度量在微分几何中的作用和应用。
一、流形在微分几何中，流形是描述空间的一种方式。
它可以看作是局部上同胚（一种特殊的映射关系）于欧几里得空间的空间。
具体来说，流形是一个拓扑空间，它的每一个点都有邻域，这些邻域可以与欧几里得空间中的开集同胚。
流形可以是有限维的，也可以是无限维的。
有限维流形是我们最常见的，比如二维球面、三维环面等。
无限维流形通常用来描述函数空间等。
流形的重要性在于它具有良好的局部结构和坐标系，使得我们可以在其上进行微积分运算。
通过引入流形的概念，微分几何将几何问题转化为代数或解析问题，从而帮助我们更好地理解和研究空间的性质。
二、黎曼度量黎曼度量是流形上的一个概念，它给出了流形上每一点处切空间上的内积结构。
在欧几里得空间中，我们可以通过内积来衡量向量的长度和角度。
而在流形上，由于其弯曲性，不能直接使用欧几里得空间中的内积，需要定义一个适应其拓扑和几何性质的度量。
黎曼度量是一个对称的二次型，定义在切空间上的每一点。
它可以将两个切向量映射为一个实数，表示它们的内积。
黎曼度量可以度量切向量的长度和夹角，并且根据度量的正定性，还可以定义流形上的距离、角度等几何概念。
黎曼度量在微分几何中具有广泛的应用。
它不仅仅用于定义基本几何概念，如曲率、长度、角度等，还用于引出测地线、黎曼曲率等重要的几何量。
通过研究黎曼度量，我们可以深入理解流形的性质，探究其内在的几何结构。
三、流形与黎曼度量的关系流形和黎曼度量是微分几何中密切相关的概念。
流形提供了描述空间的框架，而黎曼度量则给出了流形上切空间的内积结构。
二者共同作用，构成了微分几何的基础。
在微分几何的研究中，我们经常需要考虑流形上的曲线、曲面等几何对象。
通过定义切向量和黎曼度量，我们可以衡量这些几何对象的性质，比如长度、角度、曲率等。
数学中的曲面和连续曲面的区别
数学中的曲面和连续曲面的区别数学中的曲面和连续曲面的区别曲面是数学中一个重要的概念，它在几何学、微积分以及其他分支中都有广泛的应用。
而连续曲面则是对曲面的一个更加特殊的属性的描述。
本文将详细介绍曲面和连续曲面的区别。
首先，我们先来了解一下曲面的概念。
在数学中，曲面是指一个有一定曲率的平滑二维流形。
曲面可以用参数方程或者隐式方程来表示。
在几何学中，曲面常常用于描述三维空间中的形状，如球体、圆柱体、圆锥体等等。
曲面的方程可以写成一般形式 F(x,y,z) = 0，其中 F(x,y,z) 是一个多变量函数。
曲面有很多性质，如曲率、法向量等等，这些性质使得曲面可以应用于各种数学问题的求解中。
而连续曲面则是对曲面的一个特殊描述。
连续曲面是指曲面上的任意两点之间都存在一条位于曲面上的光滑曲线。
这意味着，在连续曲面上任意取两点，我们总是可以在曲面上找到一条曲线将这两点连接起来，同时这条曲线也位于曲面上。
连续曲面的存在性质使得我们可以在曲面上进行各种连续变换和操作，而不会导致曲面的断裂或者不可达性。
区别于此，一般的曲面，并不能保证其上的任意两点之间都存在一条位于曲面上的光滑曲线。
举个例子，考虑一个如球体一样的曲面，我们可以轻松地在球面上找到一条连接两点的弧线，这就是一个连续曲面。
而如果我们考虑一个形状复杂的曲面，如一个多面体，那么在这个多面体上，很可能存在两个点之间没有连续曲线，因为多面体的面之间可能有不相连的楔形空间。
所以，从这个角度来看，连续曲面是一种特殊的曲面。
连续曲面的概念在几何学和微积分中有着重要的应用。
在几何学中，连续曲面的存在性质可以用来证明某些图形的连续性和光滑性。
在微积分中，连续曲面的性质可以用来定义曲面积分和曲线积分，从而是我们能够对曲面上的函数进行积分运算。
曲面积分在物理学和工程学中有着广泛的应用，如计算电场、流体力学、流量等。
而曲线积分则被广泛应用于电磁学、流体力学等领域中。
综上所述，曲面和连续曲面虽然在表面上看起来很相似，但是其性质和应用却存在着一定的区别。
微分几何中的流形切触结构
微分几何中的流形切触结构微分几何是研究曲线、曲面等几何对象的性质及其变化的学科。
其中一个重要的概念是流形，它被广泛应用于物理学和几何学等领域。
在微分几何中，我们经常会遇到流形切触结构，本文将介绍流形的概念、切空间的定义以及流形切触结构的应用。
流形是一种局部上与欧几里得空间同胚的空间。
换句话说，它在局部上具有欧几里得空间的性质。
流形可以是一维的曲线，也可以是二维的曲面，甚至可以是更高维的对象。
流形的重要性在于可以用来描述现实世界中的物理现象，例如空间的形状、时间的演化等。
为了研究流形上的性质，我们需要引入切空间的概念。
切空间描述了流形上每一点的切平面，它是与流形上的曲线切线有着一一对应关系的向量空间。
切空间的维度与流形的维度相同，例如在三维空间中，切空间是二维的平面。
切空间的概念使我们能够在流形上定义微分算子和切向量等重要概念。
在流形上，切触结构是切空间和流形本身相结合的概念。
切触结构将切空间中的向量与流形上的向量关联起来，使得我们可以在切空间上进行微分运算。
切触结构可以描述流形的局部性质，例如切向量的方向、切平面的变化等。
它在微分几何和物理学中有着广泛的应用，例如广义相对论中的时空流形就是切触结构的一个例子。
在具体的计算中，切触结构可以通过切向量场和切向量值微分形式来实现。
切向量场是流形上的向量场，它在每一点都有一个切向量与之对应。
切向量值微分形式是一种将切空间中的切向量与流形上的微分形式相联系的方式。
通过切向量场和切向量值微分形式，我们可以进行流形上的微分运算，并研究流形的性质。
总之，微分几何中的流形切触结构是研究流形上切空间和流形本身相结合的概念。
它在描述流形的局部性质和进行微分运算等方面具有重要的应用。
对于理解物理学和几何学等领域中的现象和问题都至关重要。
通过深入学习和研究流形切触结构，我们可以更好地理解和应用微分几何的知识。
以上就是对微分几何中流形切触结构的简要介绍。
希望本文能够帮助读者更好地理解和应用这一重要的概念。
数学中的流形
数学中的流形数学中的流形是一种重要的概念，它在多个数学领域中都有广泛的应用。
本文将介绍流形的定义、性质以及在数学中的一些应用。
一、流形的定义数学中的流形可以简单地理解为具有良好局部拓扑结构的空间。
严格地说，流形可以定义为一个拓扑空间，它在每一点处都与欧氏空间中的一小块区域同胚。
这意味着流形可以通过一系列的坐标图来描述，每个坐标图将流形上的点映射到欧氏空间中的点上。
具体而言，一个n维流形是指满足以下条件的拓扑空间：1. 流形是Hausdorff空间，即对于任意两个不同的点，都存在可以分隔它们的开集。
2. 流形是第二可数的，即存在可数的拓扑基。
3. 对于流形中的每个点，存在一个邻域与欧氏空间中的开集同胚，即存在一个映射函数，将邻域中的点映射到欧氏空间中的点。
二、流形的性质流形具有一些重要的性质，这些性质使得它在数学中有广泛的应用。
1. 流形是可微的。
对于流形上的每个点，都存在一个邻域与欧氏空间中的开集同胚。
这意味着在流形上可以定义连续、可微等概念，并进行微积分的运算。
2. 流形是紧致的。
流形是紧致的，即有界闭集。
这个性质使得流形在拓扑学、微分几何等领域中有重要应用。
3. 流形的维度。
流形的维度定义为流形上局部坐标图的维度。
例如，二维球面是一个二维流形，三维空间是一个三维流形。
4. 流形的切空间。
流形上的每个点都有一个切空间，切空间是该点处切向量的集合。
切向量可以理解为流形上某一点处的切线方向，它可以用于描述曲线、曲面等几何对象的性质。
三、流形在数学中的应用流形在数学中有广泛的应用，下面介绍一些常见的应用领域。
1. 微分几何。
流形是微分几何中的重要概念，它用于研究曲线、曲面、流形等几何对象的性质。
微分几何在物理学、计算机图形学等领域都有重要应用。
2. 拓扑学。
流形在拓扑学中起到了重要作用。
拓扑学研究的是空间的形变性质，而流形具有良好的局部拓扑结构，可以方便地研究拓扑学中的问题。
3. 数理逻辑。
流形在数理逻辑中也有应用，特别是在模型论和代数几何方面。
叶状结构叶层结构
叶状结构叶层结构叶状结构(叶层结构)2010-05-20 01：35在数学上，不严格的讲，一个叶层结构(foliation)是一种给流形穿的条纹织物的衣服。
在流形的每个足够小的片上，这些条纹给了流形一个积结构。
这个乘积结构不用在局部区域之外一致(也就是不用有定义良好的全局结构)：沿着一个条纹走足够远可能回到一个不同的邻近的条纹。
技术上，这些条纹称为叶层结构的斑(plaques)。
在每个图内，斑是n-p维子流形。
这些子流形从一个图到另一个图的拼起来就构成了最大连通子流形，称为叶层结构的叶(leaves)。
假设每个对象都是光滑的，叶层结构和向量场有紧密的关系：给定一个向量场X在M上，且处处不为0，其积分曲线给出一个1维叶层结构。
(也就是余维n-1的叶层结构)。
这个事实可以推广到Ferdinand Georg Frobenius(弗罗宾尼斯)的一个定理(Frobenius定理),它说一个分布(也就是，切丛的一个n-p维子丛)和一个叶层结构的叶相切的充分必要条件是和该分相切的向量场的集合在李括号下封闭。
也可以用不同的表达，把它作为切丛的结构群从GL(n)到一个可归约子群的归约(reduction)。
Frobenius定理的条件象可积性条件一样；它断言如果那些条件满足归约可以发生因为满足所需的块结构的局部变换函数存在。
这是一个全局叶层结构理论，因为有拓扑约束存在。
例如在曲面情况，一个处处非0的向量场在可定向紧曲面上只有在曲面是环的情形存在。
这是Poincare-Hopf指标定理的结果，定理表明欧拉特征数在这种情况下必须为0。
数学上，切触几何是研究流形上的完全不可积超平面的几何。
根据弗洛比尼斯定理，这个(大致来讲)可以通过叶层结构的不成立来识别。
作为它的姐妹，辛几何属于偶数维的世界，而切触几何是奇数维的对应几何。
叶状结构是流形上非常有趣的结构，既可以看作是微分几何对象，又可以看作是拓扑对象，也可以看作是动力系统的一部分。
2023年注册测绘师之测绘综合能力通关考试题库带答案解析
2023年注册测绘师之测绘综合能力通关考试题库带答案解析单选题（共48题）1、多波束参数校正不包括（）。
A.横摇校正B.水位校正C.纵摇校正D.艏偏校正【答案】B2、行政区域界线测量工作中，完整的界桩编号共有8位，其中表示边界线编号的数字位数有（）位。
A.1B.2C.3D.4【答案】D3、（）实现对前台业务系统功能的数据支持和集中管理。
A.自助式前台系统B.后台管理系统C.监管系统D.应用系统的支持系统【答案】B4、罗盘指北针所指的方向为（）。
A.高斯平面坐标系的x轴正方向B.高斯平面坐标系的y轴正方向C.当地磁力线北方向D.当地子午线北方向【答案】C5、按照城市规划行政主管部门下达的定线、拨地，其中定线中线点、拨地界址点相对于邻近基本控制点的点位中误差不应大于()A.±0.05mB.±0.10mC.±0.15mD.±0.20m【答案】A6、以下属于国家基本比例尺的是()A.1：30万B.1:25万C.1：20万D.1:15万【答案】B7、系统详细设计包括的代码设计又叫()。
A.类设计B.模块设计C.交互设计D.数据结构设计【答案】A8、下列关于基金投资人风险承受能力调查和评价，说法错误的是。
（）A.基金销售机构应当建立基金投资人调查制度B.基金投资人评价应以基金投资人的风险承受能力类型来具体反映C.普通投资者风险承受能力应至少分为五个类型,分别为Cl、C2、C3、C4、C5D.Cl就是风险承受能力最低的投资者【答案】D9、基于地理信息公共服务平台的GIS系统开发中，最主要的开发成本为（）。
A.地理信息数据生产B.GIS基础平台软件采购C.应用操作系统开发D.软件质量控制【答案】A10、下列选择不会影响三角高程测量观测高差精度的是()A.垂直角B.边长C.仪器高和觇标高D.水平角【答案】D11、GPS卫星上所安装的时钟是()。
A.原子钟B.分子钟C.世界钟D.GPS钟【答案】A12、某点的大地坐标为N39°、E116.5°，按照高斯投影3°带的分带投影，该点所在3°带号及其中央子午线经度为()。
高等数学中的微分几何与流形理论
微分几何与流形理论是高等数学中的一门重要的数学分支，它研究的是曲线、曲面的性质和它们在空间中的变化规律。
它的研究对象不再局限于欧几里德空间中的几何图形，而是涉及到更广泛的空间，包括抽象的空间。
微分几何的主要内容是研究曲线和曲面的性质及其在空间中的变化规律。
通过对曲线的弯曲程度、曲率、切线等性质的研究，可以了解曲线的形状特征。
而研究曲面的性质，则需要了解曲面的法线、曲率等特征。
通过对这些性质的探究，我们可以了解曲线和曲面的形态特征，并将其应用于如物理学、工程学等领域中。
而流形理论则是微分几何的一个重要分支，它研究的是抽象的空间，即流形。
流形是一种具有连续性和平滑性的抽象空间，它可以表示为具有一定性质的点的集合。
流形理论的研究对象可以是实数空间、向量空间、复数空间等。
通过对流形的研究，我们可以揭示空间的内在结构和变化规律，从而深入理解空间的性质和特点。
微分几何与流形理论的研究都离不开微积分的知识和工具。
微积分是微分几何和流形理论的基础，它提供了计算曲线和曲面性质的工具。
例如，通过计算曲线和曲面的切线向量、法线向量的导数，可以得到曲线和曲面的曲率。
而曲率正是描述曲线和曲面弯曲程度的重要指标。
微分几何与流形理论在物理学、工程学、计算机图形学等领域都有广泛的应用。
在物理学中，微分几何与流形理论被应用于描述引力场的性质，研究黑洞、宇宙等一些重要的天体物理现象。
在工程学中，微分几何与流形理论被应用于计算机辅助设计、机器人路径规划等领域。
在计算机图形学中，微分几何与流形理论被应用于三维模型的建模、渲染等领域，使得图形更加真实、自然。
综上所述，微分几何与流形理论是高等数学中的一门重要的数学分支。
它研究的是曲线、曲面的性质和它们在空间中的变化规律。
通过对曲线和曲面性质的研究，可以了解其形态特征。
流形理论则是微分几何的一个重要分支，它研究的是抽象的空间，即流形。
微分几何与流形理论的应用范围广泛，涉及到物理学、工程学、计算机图形学等领域。
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：１０１８３ 论文分类号：O189.31 单位代码Array密 级：内 部 研究生学号：１２００００１０１３ 吉林大学硕士学位论文三维流形边界曲面上的一般完全曲线系统General complete system in the surfaceof 3-manifold作者姓名：尹逊波 ：基础数学 专业导师姓名： 雷 逢 春 及职称 ：教 授 论文起止年月：２００１年３月至２００２年５月 目 录提 要 (1)I ．前言 (2)II ．三维流形中曲面上一般完全曲线系统：简单回顾 (4)III ．主要结果 (10)参考文献 (14)致 谢 (15)中文摘要英文摘要三维流形边界曲面上的一般完全曲线系统研 究 生：尹逊波 指导教师：雷逢春专 业：基础数学 研究方向：低维拓扑提 要：同伦三维球有如下的一个等价描述：一个Heegaard 图??n J J V ,,;1??定义了一个同伦三维球当且仅当存在V 在3S 里的一个嵌入,使得n J J ,,1??在V S ?3中界定两两不交的可定向的曲面n S S ,,1??。
一般地，可假定这些曲面是不可压缩的,但不能假定它们是边界不可压缩的。
我们在这篇文章里考察了曲面上的一般完全曲线系统和相应的广义的Heegaard 图),,;(1m x x V ??，给出了由广义的Heegaard 图),,;(1m x x V ??导出的等价描述：三维流形M 是一个同伦三维球，当且仅当对任何与M 的Heegaard 分解V V F ??关联的广义的Heegaard 图),,;(1m x x V ??，其中m x x ,,1??)(n m ?有恰当分组n X X ,,1??, 总有V 在3S 中的一个嵌入，使得m x x ,,1??在?W V S ?3中界定n 个两两不交的曲面n S S ,,1??，且i i X S ????n i ??1。
进一步，我们可以选取曲线等价类的代表，使之在V S ?3中界定的曲面n S S ,,1??是两两不交、不可压缩并且边界不可压缩的。
关键词：一般完全曲线系统 同伦三维球 分组恰当 边界不可压缩 I ．前言同伦三维球有如下的一个等价描述：定理1.1 一个Heegaard 图??n J J V ,,;1??定义了一个同伦三维球当且仅当存在3S 里的一个V 的嵌入,使得n J J ,,1??在V S ?3中界定两两不交的可定向的曲面n S S ,,1??。
这个结果是在Haken 的文章中[3]给出的，由Moise 和其他人证明，之后Rego 和Rourke 在[2]中又给出了另外一个证明，他们还引入了H-系统的概念并给出了另外一个定理。
令m T 代表3S 内亏格为m 的标准的柄体，m T ?为m T 在3S 内的补，m m T T F ?????，},,,,,{11m n n y y x x ???为F 上的一个完全系统，若此完全系统满足：（1）n x x ,,1??在m T ?内界定两两不交的曲面n S S ,,1??； （2）},,{1m n y y ??在m T 中界定n m ?个两两不交的圆片；则我们称此完全系统为H-系统。
沿m n y y ,,1??界定的圆片切m T 得到一柄体，记为V ，则??n x x V ,,;1??是一个与H-系统关联的Heegaard 图。
定理 1.2 令??n J J V ,,;1??是一个与H-系统关联的Heegaard 图,则??n J J V ,,;1??是同伦三维球的一个Heegaard 图，而且每一个同伦三维球的Heegaard 图都是由此产生的。
后来，雷逢春在[1]中又给出了关于同伦三维球的下面两个定理: 定理 1.3 三维流形M 是一个同伦三维球，),,;(1n x x V ??是与M 的Heegaard 分解V V F ??关联的Heegaard 图，假定存在V 在3S 中的一个嵌入，使得n x x ,,1??在?W V S ?3中界定n 个两两不交的可定向的曲面n S S ,,1??。
若W ?在W 内可压缩，则或者V V F ??可约，或者M 同胚与3S 。
定理 1.4 M 是一个同伦三维球当且仅当M 有一个Heegaard 图??n J J V ,,;1??，而且V 在3S 存在一个嵌入，使得n J J ,,1??在V S ?3中界定两两不交的可定向的曲面n S S ,,1??，其中每个i S 都是穿一个孔的环面。
以上这些结果考虑的出发点都是三维流形M 的Heegaard 分解V V F ??和与之关联的Heegaard 图??n J J V ,,;1??，其中{n J J ,,1??}是曲面V ?上的一个完全系统，它们在V ?中界定两两不交的圆片。
注意到在上述这些结果中，曲线所界定的曲面都是单边界的，并且我们可以进一步假定它们是不可压缩的。
但一般地，我们不能要求它们还是边界不可压缩的，这是因为单边界曲面的边界压缩可能产生多边界的曲面。
在本文中，我们考虑了曲面上一般的完全曲线系统，引入了一般完全曲线系统恰当分组的概念，并由此给出了一个三维流形M 是同伦三维球的通过它的广义的Heegaard 图描述的一个特征：定理 1.5 三维流形M 是一个同伦三维球，当且仅当对任何与M 的Heegaard 分解V V F ??（亏格为n ）关联的广义的Heegaard 图),,;(1m x x V ??，其中m x x ,,1??)(n m ?有恰当分组n X X ,,1??, 总有V 在3S 中的一个嵌入，使得m x x ,,1??在?W V S ?3中界定n 个两两不交的曲面n S S ,,1??，且i i X S ????n i ??1。
进一步，通过适当选取曲线的等价类代表，还可以要求曲线所界定的曲面不仅是不可压缩的，还是边界不可压缩的，即定理 5.1? 三维流形M 是一个同伦三维球，当且仅当对M 的Heegaard 分解V V F ??，存在与之关联的广义的Heegaard 图),,;(1m x x V ??，其中m x x ,,1??)(n m ?有恰当分组n X X ,,1??,存在V 在3S 中的一个嵌入，使得m x x ,,1??在V S ?3中界定n 个两两不交的不可压缩且边界不可压缩的曲面n S S ,,1??，其中i i X S ????n i ??1。
上述两定理中有关的定义可以参见第三节。
下面所有曲面和三维流形都假定为紧致，可定向且连通。
这篇文章里没有定义的概念都是标准的，可以参见[5]，[6]。
II ．三维流形边界曲面上的一般完全曲线系统：简单回顾令F 为一个亏格为n 的连通的闭曲面，如果},,{1n x x X ???是F 上的一组两两不交的简单闭曲线，使得沿X 切F 所得的曲面是一个n 2个洞的穿孔二维球面，则我们称X 为F 上的一个完全系统。
令F 为一个亏格为n 的连通的闭曲面，如果},,{1m x x X ???是F 上的一组两两不交的简单闭曲线，并且X 内包含一个完全系统，我们就称X 是F 上的一个一般完全曲线系统。
令X 为F 上的一个一般完全曲线系统，构造一个柄体)(X T 如下：沿着1?X粘贴m 个（m 为X 中曲线的个数）2-环柄到I F ?,然后用三维球填充所得到的每个二维球面即得)(X T 。
我们说一般完全曲线系统Y X ,是等价的（记作X ～Y）,如果经过固定在F 上的一个同胚，使得)(X T 同胚于)(Y T 。
当X 是F 上一个完全系统时, 则)(X T 构造和一般完全曲线系统类似，唯一的不同就是从一般完全曲线系统构造柄体时可能要多几个三维球粘在端部，两个完全系统关于等价（～）也和一般完全曲线系统有类似的概念。
关于一般完全曲线系统的等价性，有命题2.1 如果X X ??均是F 上的一般完全曲线系统,那么?X ～X . 证明：由)(?X T 的构造知，先沿1?X 粘贴2-环柄到I F ?,则?X 内比X 多的曲线位于所得2S 上，又因为沿2S 上简单闭曲线粘贴2-环柄，再用实心三维球填充得到的流形与直接用实心三维球填充得到的流形相同，即)(X T ?)(?X T ，故?X ～X 。
从上面的命题我们可以知道，在一个一般完全曲线系统中插入若干曲线（或在一个一般完全曲线系统中删除一些曲线并使之仍为一个一般完全曲线系统），则不影响一般完全曲线系统之间的等价关系。
反之，则有下面的命题：命题2.2 假定},,{1m x x X ???为曲面F 上的一般完全曲线系统，Y 是F 上任意的不交的简单闭曲线集合，且其中每一个i y 在)(X T 中界定一个圆盘，则通过插入和删除曲线可以使得X ～?Y ，其中Y Y ??。
证明： 假定1y 在)(X T 内界定圆盘D ，令},,{1m x x X ???界定的圆盘为q D D ?,1。
令)(1q D D D Q ?????，若Q 包含一个闭曲线c ，则c 在D 与qD D ???1中分别界定了一个圆盘，即得到一个2S ，它在)(X T 中界定了一个实心三维球，经过合痕移动可以使Q 的分支数减少，故不妨设Q 中只包含简单弧，在Q 中选取在D 中是最外部的一条简单弧?，令它的边界点为i x b a ?,，?为1y 中连结b a ,的简单弧。
在b a ,处切开i x ，复制?，使?分别与D 和i x 错开一点，即得到两条新的曲线i i x x ???,（见图1）。
那么如果我们用x 中的i i x x ???,替代i x （两个插入，一个删除），则i i x x ???,分别界定圆盘i i D D ???,，令)(1q i i D D D D D Q ?????????????，Q ?比Q 少了一条简单弧，重复上述步骤，可以使??Q 。
如此即在S 上插入了1y ，同理我们可以插入?,,32y y ，需要删除的曲线是与i y 相交的，依次我们可以保证i y 两两不交，最终我们可以得到所需的系统?Y 。
（图1）推论2.3 X ～Y 的充要条件是X 是从Y 经过插入和删除得到的。
证明：充分性见命题2.1。
下证必要性，)(X T 与)(Y T 同胚等价，y 满足命题2.2的假设，因此Y Y ??是由X 经过插入和删除得到的。
删除?Y 内的一些曲线可以得到Y 。
令?={n J J ,,1??}为连通曲面F 上的一组两两不交的非平凡的简单闭曲线，?为F 上连接)(,j i J J j i ?的简单弧，且)int(?与?不交。
令)(????j i J J N N 为一个F 上???j i J J 的一个小的正则邻域，则N ?有三部分组成，一个是i J 的拷贝，一个是j J 的拷贝，另一个我们称作i J 与j J 沿?的连通和，记作i ij J J ?﹟?j J （见图2）。