(经典)2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题)专题59：新定义和跨学科问题

专题59：新定义和跨学科问题一、选择题1. （2012浙江丽水、金华3分）如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是【】A．①B．②C．⑤D．⑥【答案】 A。

【考点】生活中的轴对称现象。

【分析】如图，根据入射线与水平线的夹角等于反射线与水平线的夹角，可求最后落入①球洞。

故A。

2. （2012福建漳州4分）在公式I=UR中，当电压U一定时，电流I与电阻R之间的函数关系可用图象大致表示为【】A． B．C．D．【答案】D。

【考点】跨学科问题，反比例函数的图象。

【分析】∵在公式I=UR中，当电压U一定时，电流I与电阻R之间的函数关系不反比例函数关系，且R为正数，∴选项D正确。

故选D。

3. （2012湖北随州4分）定义：平面内的直线l1与l2相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为a、b，则称有序非实数对（a，b）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，距离坐标为（2，3）的点的个数是【】A.2B.1C. 4D.3【答案】C。

【考点】新定义，点的坐标，点到直线的距离。

【分析】画出两条相交直线，到l1的距离为2的直线有2条，到l2的距离为3的直线有2条，看所画的这些直线的交点有几个即为所求的点的个数：如图所示，所求的点有4个。

故选C。

4. （2012湖南长沙3分）某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为【】A．2I=RB．3I=RC．6I=RD．6I=R【答案】C。

【考点】跨学科问题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。

【分析】设kI=R，那么点（3，2）满足这个函数解析式，∴k=3×2=6。

∴6I=R。

故选C。

5. （2012湖南益阳4分）在一个标准大气压下，能反映水在均匀加热过程中，水的温度（T）随加热时间（t）变化的函数图象大致是【】A．B．C．D．【答案】B。

【考点】跨学科问题，函数的图象。

【分析】根据在一个标准大气压下水加热到100℃后水温不会继续增加，而是保持100℃不变，据此可以得到函数的图象。

故选B。

6. （2012贵州六盘水3分）定义：f（a，b）=（b，a），g（m，n）=（﹣m，﹣n）．例如f（2，3）=（3，2），g（﹣1，﹣4）=（1，4）．则g等于【】A．（﹣6，5）B．（﹣5，﹣6）C．（6，﹣5）D．（﹣5，6）【答案】A 。

【考点】新定义。

【分析】根据新定义先求出f （﹣5，6），然后根据g 的定义解答即可：∵根据定义，f （﹣5，6）=（6，﹣5）， ∴g=g（6，﹣5）=（﹣6，5）。

故选A 。

7. （2012山东东营3分）根据下图所示程序计算函数值，若输入的x 的值为52，则输出的函数值为【 】A ．32B ．25C ．425D ．254【答案】B 。

【考点】新定义，求函数值。

【分析】根据所给的函数关系式所对应的自变量的取值范围，发现：当x=52时，在2≤x≤4之间，所以将x 的值代入对应的函数即可求得y 的值：112y===5x 52。

故选B 。

8. （2012山东莱芜3分）对于非零的实数a 、b ，规定a⊕b＝ 1 b － 1 a．若2⊕(2x－1)＝1，则x ＝【 】A ．5 6． 5 4． 3 2 D ．－ 16【答案】A 。

【考点】新定义，解分式方程。

【分析】∵a⊕b＝ 1 b － 1 a ，2⊕(2x－1)＝1，∴2⊕(2x－1)＝11=12x 12--。

∴()135=32x 1=26x 3=26x=5x=2x 126⇒-⇒-⇒⇒-。

检验，合适。

故选A 。

9. （2012广西钦州3分）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x ，y ），若规定以下两种变换： ①f（x ，y ）=（y ，x ）．如f （2，3）=（3，2）；②g（x ，y ）=（﹣x ，﹣y ），如g （2，3）=（﹣2，﹣3）．按照以上变换有：f （g （2，3））=f （﹣2，﹣3）=（﹣3，﹣2），那么g （f （﹣6，7））等于【 】A．（7，6） B．（7，﹣6） C．（﹣7，6） D．（﹣7，﹣6）【答案】C。

【考点】新定义，点的坐标。

【分析】由题意应先进行f方式的变换，再进行g方式的变换，注意运算顺序及坐标的符号变化：∵f（﹣6，7）=（7，﹣6），∴g（f（﹣6，7））=g（7，﹣6）=（﹣7，6）。

故选C。

10. （2012甘肃兰州4分）在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y(单位N)与铁块被提起的高度x(单位cm)之间的函数关系的大致图象是【】A． B． C． D．【答案】C。

【考点】跨学科问题，函数的图象。

【分析】根据浮力的知识，铁块露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变。

因为小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度。

故选C。

二、填空题1. （2012陕西省3分）如图，从点A（0，2）发出的一束光，经x轴反射，过点B（4，3），则这束光从点A到点B所经过路径的长为▲ ．2. （2012福建南平3分）设为一次函数y=ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”的一次函数是正比例函数，则关于x的方程11+=1x1m-的解为▲ ．【答案】x=3。

【考点】新定义，一次函数和正比例函数的定义，解分式方程。

【分析】根据新定义得：y=x＋m－2，∵“关联数”的一次函数是正比例函数，∴m﹣2=0，解得：m=2。

则关于x的方程11+=1x1m-即为11+=1x12-，解得：x=3。

检验：把x=3代入最简公分母2（x﹣1）=4≠0，故x=3是原分式方程的解。

5. （2012湖北荆州3分）新定义：为一次函数y=ax+b（a≠0，a，b为实数）的“关联数”．若“关联数”的一次函数是正比例函数，则关于x的方程11+=1x1m-的解为▲ ．【答案】x=3。

【考点】新定义，一次函数和正比例函数的定义，解分式方程。

【分析】根据新定义得：y=x＋m－2，∵“关联数”的一次函数是正比例函数，∴m﹣2=0，解得：m=2。

则关于x的方程11+=1x1m-即为11+=1x12-，解得：x=3。

检验：把x=3代入最简公分母2（x﹣1）=4≠0，故x=3是原分式方程的解。

6. （2012湖南常德3分）规定用符号表示一个实数m的整数部分，例如： =0，=3。

按此规定的值为▲ 。

【答案】4。

【考点】新定义，估计无理数的大小。

【分析】∵9＜10＜16，∴3445<<< ，。

∴=4⎤⎦。

7. （2012湖南株洲3分）若（x 1，y 1）•（x 2，y 2）=x 1x 2+y 1y 2，则（4，5）•（6，8）= ▲ ． 【答案】64。

【考点】新定义，代数式求值。

【分析】将（4，5）•（6，8）中的数字分别替换（x 1，y 1）•（x 2，y 2）即可解答：∵（x 1，y 1）•（x 2，y 2）=x 1x 2+y 1y 2，∴（4，5）•（6，8）=4×6+5×8=64。

8. （2012四川自贡4分）如图，△ABC 是正三角形，曲线CDEF 叫做正三角形的渐开线，其中弧CD ．弧DE 、弧EF 的圆心依次是A ．B ．C ，如果AB=1，那么曲线CDEF 的长是 ▲ ．【答案】4π。

【考点】新定义，等边三角形的性质，三角形外角定理，弧长的计算。

【分析】弧CD 是以点A 为圆心，AB=1为半径，∠CAD=1200为圆心角的圆弧，长是12012=1803ππ⋅⋅；弧DE 是以点B 为圆心，BD=2为半径，∠DBE=1200为圆心角的圆弧，长是：12024=1803ππ⋅⋅；弧EF 是以点C 为圆心，CE=3为半径，∠ECF=1200为圆心角的圆弧，长是：1203=2180ππ⋅⋅。

则曲线CDEF 的长是：24++2433ππππ=。

9. （2012山东菏泽4分）将4个数a b c d ，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a b cd，定义a b cdad bc =-，上述记号就叫做2阶行列式．若+11=81+1x x x x -- ，则x = ▲ ．【答案】2。

【考点】新定义，整式的混合运算，解一元一次方程。

【分析】根据定义化简+11=81+1x x x x -- ，得：()()22+11=8x x --，整理得：()()22+2+112+=8x x x x --，即4=8x ，解得：=2x 。

三、解答题1. （2012北京市8分）在平面直角坐标系xoy 中，对于任意两点P 1（x 1,y 1）与P 2（x 2,y 2）的“非常距离”， 给出如下定义：若∣x 1－x 2∣≥∣y 1－y 2∣，则点P 1与点P 2的“非常距离”为∣x 1－x 2∣； 若∣x 1－x 2∣＜∣y 1－y 2∣，则点P 1与点P 2的“非常距离”为∣y 1－y 2∣.例如：点P 1（1,2），点P 2（3,5），因为∣1－3∣＜∣2－5∣，所以点P 1与点P 2的“非常距离”为 ∣2－5∣=3，也就是图1中线段P 1Q 与线段P 2Q 长度的较大值（点Q 为垂直于y 轴的直线P 1Q 与垂直于x 轴的直线P 2Q 的交点）。

（1）已知点A 1(0)2-，，B 为y 轴上的一个动点，①若点A 与点B 的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B 的坐标； ②直接写出点A 与点B 的“非常距离”的最小值； （2）已知C 是直线3y x 34=+上的一个动点，①如图2，点D 的坐标是（0，1），求点C 与点D 的“非常距离”的最小值及相应的点C 的坐标； ②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C 与点E 的“非常距离”的最 小值及相应的点E 和点C 的坐标。

【答案】解：（1）①（0，－2）或（0，2）。

②21。

（2）①设C 坐标为003x x 34⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，如图，过点C 作CP⊥x轴于点P ，作CQ⊥y 轴于点Q 。

由“非常距离”的定义知，当OP=DQ 时，点C 与点D 的“非常距离”最小，∴003x 0x 314-=+-。

两边平方并整理，得2007x 48x 64=0--，解得，08x 7=-或0x 8=（大于87，舍去）。

∴点C 与点D 的“非常距离”的最小值距离为87，此时815C 77⎛⎫- ⎪⎝⎭，。

②设直线3y x 34=+与x 轴和y 轴交于点A ，B ，过点O作直线3y x 34=+的垂线交直线3y x 34=+于点C ，交圆于点E ，过点C作CP⊥x 轴于点P ，作CQ⊥y 轴于点Q ，过点E 作EM⊥x 轴于点M ，作EN⊥y 轴于点N 。