高数卷子数学一3

第三套试题
数学（一）试题（3-1）
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。

）
（1）设函数()f x 连续，在0x 可导，且2
00()f x x =，()00'2f x x >，则存在0>δ ，使得
（ ）。

（A ）函数2
0()f x x -在00()x x δ+，内单调增加 （B ）函数20()f x x -在00()x x δ-，内单调减少 （C ）对任意的00()x x x δ∈+，有2
()f x x > （D ）对任意的00()x x x δ∈-，有2()f x x >
（2）设()f x 在0x =某领域内有二阶导数，且(0)0f =，0'()
lim 1001cos x f x x
→=-，则（ ）。

（A ）"(0)0f ≠，且点()0,(0)f 是曲线()y f x =的拐点 （B ）"(0)0f =，且点()0,(0)f 是曲线()y f x =的拐点 （C ）'(0)0f =， (0)f 是()f x 的极小值 （D ）'(0)0f =， (0)f 是()f x 的极大值
（3）设()y f x =连续，且()'f x 如右图所示，则（ ）。

（A ）()y f x =有3个极小值，1个极大值，1个拐点 （B ）()y f x =有2个极小值，2个极大值，无拐点 （C ）()y f x =有2个极小值，2个极大值，1个拐点 （D ）()y f x =有1个极小值，2个极大值，1个拐点
（4） 设()f x 为严格单调可导函数，()g x 为()f x 的反函数，令()()()
x g x F x f x t dt -=-⎰
，
则()'F x =（ ）。

（A ）()()'x
f x f x -
（B ）()()()'g x f x f x - （C ）()()f x xg x - （D ）()()'g x f x x
-
（5）设[]()0,1f x C ∈，在()0,1内可导，且()()010f f ==，112f ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，则（ ）。

（A ）存在10,2ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，使()f ξξ=
（B ）不存在10,2ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，使()f ξξ=
（C ）存在1,12ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，使()f ξξ=
（D ）不存在1,12ξ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，使()f ξξ= （6）设C 为正向闭曲线：x y a +=，
则
⎰
=+-=C
y x ydy xdx I 1____________；⎰=++=C y
x y
x I 2____________。

（A ）2
14I a =，20I = （B ）10I =，24I a = （C ）14I a =，22I a = （D ）10I =，20I =
（7）设向量组123,,ααα 线性无关，则下列向量组总线性无关的是（ ）。

（A ）122331,,αααααα++- （B ）122331,,αααααα+++ （C ）1223323,,2ααααααα++++ （D ）122331,,αααααα---
（8）设1212
42121A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭，000060000B ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，100000000C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， （1）A 与B 相似且合同；（2）A 与B 与C 相似；（3）A 与B 与C 合同，则（ ）。

（A ）（1）（2）正确，（3）不正确 （B ）（1）（3）正确，（2）不正确 （C ）（1）（2）（3）都正确 （D ）（1）正确，（2）（3）不正确 （9）设总体(
)2
~,0.5
X N μ，1
n X X
为简单随机样本，要使
μ的95%的置信区间长度
不超过0.6，至少要取样本容量n 为（ ） （A ）10 （B ）11 （C ）8 （D ）3
（10）设三个事件i A ，1,2,3i =两两独立，令随机变量11i i A X ⎧=⎨
-⎩如果发生
反之
，1,2,3i =则
一定有（ ）
（A ）i A ，1,2,3i =相互独立 （B ）12A A 与3A 独立 （C ）12X X + 与3X 相互独立 （D ）13X
e 与3X -相互独立
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）
（11）由z
e xy yz zx =++确定的隐函数(),z
f x y =存在的充分条件是______________，
曲面(),z f x y =在点()1,1,0处的切平面方程为________________，(),z f x y =在点
()1,1,0处的梯度为_________________。

（12）定积分
(
)
2
1
211dx x x
+的值为__________。

（13）设(){}
2
222,,0t D x y R
x y t t =
∈+≤>，(),f x y 在t D 上连续，在t D 内可微，
()0,01f =，t D 的正向边界为t C 。

若(),f x y 在t D 上满足方程()2222,f f
kf x y x x
∂∂+=∂∂，
设曲线t C 的外法矢量为()0n t
，则极限=-⎰→t
C y x t dx f dy f 0lim ___________________。

（14）设12221311A a -⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪-⎝⎭
，已知存在3阶非零矩阵B 满足0AB =，则a =_____________。

（15）设总体X 服从正态分布(
)2
1,N μσ
，总体Y 服从正态分布()22
,N μσ，且两个总体
独立，从总体X 和Y 分别抽取容量是1n 和1n 的简单随机样本， 21S 和2
2S 分别是它们的样本方差，则(
)
22
12D S S +=_______________。

（16）设总体X 服从(,)θθ-内均匀分布，0θ>，12,,n X X X 是其简单样本，样本均值和方差分别为X 和则θ 的矩估计=_______________。

三、解答题（本题9小题，满分94分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
（17）（本小题满分10分）求解二阶微分方程的定解问题()()2
22cos sin 1
1,'162d y dy dy y y dx dx dx y y π⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨
⎪-=-=⎪⎩
，（18）（本小题满分11分）已知22116n n π∞
==∑，()21n
n x f x n
∞
==∑，证明：
()()()2
1ln ln 16
f x f x x x π+-+-=。

（19）（本小题满分10分） 已知积分
()()sin L
f x x xy x dx dy x
++
⎰与路径无关，()f x 为
可微函数，且02f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
， （1）求()f x ；
（2）对（1）中求得的()f x ，求函数(),u u x y =使得()()sin f x du x xy x dx dy x
=++
；
（3）对（1）中求得的()f x ，求上述积分，其中积分路径为从(),1A π到()2,0B π的任意路径。

（20）（本小题满分11分）设空间区域Ω
由x =
与x =围成，求Ω的
形心坐标。

（21）（本小题满分11分）当参数,p t 为何值时，非齐次微分方程组
12341234
12341234230264232726x x x x x x x x x px x x x x x x t
-++=⎧⎪-++=-⎪⎨
+++=-⎪⎪---=⎩有解，无解？有解时，求通解。

（22）（本小题满分11分）设A 是3阶矩阵，123,,ααα是3维向量，若向量组123,,ααα线性无关，且112322A αααα=-++，212322A αααα=--，312322A αααα=--， （1）求矩阵A 的特征值；
（2）设*2B A E =-，其中E 是3阶单位矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，求B 的行列式B 的值 （23）（本小题满分11分）用两个独立的同类设备分别组成串联、并联及设备（即当一个接通的设备不能工作时系统立即自动接通另外一个备用设备）系统，如此类设备的寿命为参数λ的指数分布，试求系统的寿命分布。

（24）（本小题满分11分）3个袋子各装r b +只球，今从第1给袋子随机取一个球，放入 第2各袋子，再从第2袋再随机取一球，放入第3袋子并从中随机取一个球。

令
1,1,2,31k k X k ⎧==⎨-⎩
当第次取出红球，反之。

则：（Ⅰ）试求3X 的分布；
（Ⅱ）设r b =，求1X 和2X 的相关系数ρ。