数学百科：概率思维颠覆直觉
概率学习中的直觉规律与错误
概率学习中的直觉规律与错误□张伟华郜舒竹【摘要】在我国小学数学课程中，“概率”也叫作“可能性”。
通过文献梳理，总结出学生在概率学习过程中容易出现的一些常见错误，其原因是这一内容会呈现出反直觉（Counter Intuitive）特征，这与学习者所习惯的直觉规律（Intuitive Rule）是相悖的。
教师在了解学生直觉规律的特点后，可以预见学生的判断，亦可利用学生的误解来改善教学。
【关键词】概率；可能性；直觉规律；错误我国小学数学课程中，“概率”也叫作“可能性”。
已有研究表明，学生在概率这一内容的学习过程中容易出现一些常见错误，其原因是这一内容会呈现出反直觉（Counter Intuitive）特征，这与学习者所习惯的直觉规律（Intuitive Rule）是相悖的。
一、什么是直觉规律直觉规律是人们在看待问题时所遵循的，具有普遍性的直觉思维方式。
通过研究学生的直觉规律，可以解释学生在数学学习中发生常见错误的原因。
斯塔维和帝罗什等人在对学生直觉的研究中，提出了“越—越”（More-More）直觉规律。
在比较两个事物时，会因为事物在A量上的不同（A1>A2),导致在比较另一个B量时，出现B1>B2的判断。
[1]例如在图1中，比较两条线段的长度时，直觉上会认为上面线段的长度更长，理由是上面线段的总长度看起来更长，所以这条线段也就更长。
图1线段的比较皮亚杰在对学生直觉的研究中也对学生做过类似的实验。
如图2所示，现在有上、下两排小圆圈，问哪排圆圈个数比较多？有学生发现两排圆圈排列长度不一样，就认为长度比较长的圆圈个数多，出现了“长度越长，个数越多”的误解。
图2个数的比较皮亚杰还发现，4到9岁的儿童在判断时间跨度问题时，会认为更快的事件用的时间更多。
这表明，当两个动作产生不同的量时，孩子会认为产生更多量的事件用的时间越长。
比如，有两辆不同速度的玩具车，儿童会认为跑得快的车用的时间多。
误以为速度越大，花费的时间越多；或误以为距离越长，花费的时间越多。
浅谈数学直觉思维能力的培养
浅谈数学直觉思维能力的培养摘要：“逻辑用于论证，直觉可用于发明”，数学直觉就是对数学对象、结构以及规律性东西敏锐的想象和迅速的判断。
学生直觉思维能力的培养，需要教师运用直观教学法，努力拓宽学生的知识面，同时，在课堂上给学生留下一定的学习空间，鼓励学生进行合理的猜想，进而帮助学生养成自问和反思的习惯，形成较强的直觉思维能力。
关键词：数学直觉思维能力培养“逻辑用于论证，直觉可用于发明”，庞加莱的这一名言精辟地指出了直觉在创造性思维活动中的作用。
直觉，又称为顿悟，在某些领域中又称为灵感。
平时，某人花了许多时间做一道题目，突然间他做出来了，但是还需为答案提出形式证明；或当别人向他提问时，他能够迅速作出很好的猜测，判定某事物是不是这样。
这种“突发奇想”就是直觉思维。
而数学直觉是对数学对象、结构以及规律性东西敏锐的想象和迅速的判断。
许多数学高材生常常具备较强的直觉思维能力，解题时能够“单刀直入，立刻剖析问题的核心，而不是在外围大兜圈子”，其思维过程能够省略许多看来是思考的逻辑链上的必要环节，这对具有巨大潜能的初中学生来说，培养他们的猜想能力、想象能力和直觉思维能力就显得尤为重要了。
一、运用直观性教学。
在数学教学中，要注意将客观事物中的数学特点抽象而构造出模型、表格、图形等直观形象，要尽可能为学生提供某种关于这些概念、定理、法则的直观性理解，这些直观形象有助于直觉思维的形成。
第一，要注意数形结合。
著名数学家华罗庚指出：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。
”数和形作为数学的两个基本对象，是现实世界中数量与空间形式的反映。
因此，我们要把数、形之间的转化作为培养学生直觉思维能力的重要途径。
当面对表示题目信息的“数”有明显意义的问题时，要求学生能直觉想象出相应的图形，利用“形”的直观来寻找解题途径；反之，对表示题目信息的“形”易于用数来表示的问题，要求学生能构造出相关的“数”的命题，用数的性质来解决问题。
第二，要注意教学语言的直观性。
明析思辨走出误区
明析思辨走出误区作者：孙梅来源：《初中生世界·八年级》2014年第04期概率研究的是随机现象，这种现象不能用“因果关系”严格控制或准确预测，也不能用一些简单的定律加以概括，而需要从大量观测中综合分析，找出其规律性，所以培养同学们的综合能力和抽象思维能力以及提高同学们的创造性直觉思维能力是必要的. 在这部分内容的学习过程中，同学们会出现混淆和错误，下面就这些错误的成因以及解决策略进行简单的阐述.一、错题汇集以及分析易错点一：对于事件发生概率的理解不明确例1 下列有四种说法：①某彩票的中奖机会是2%，那么如果买100张彩票一定会有2张中奖；②“在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天”是必然事件；③“打开电视机，正在播放少儿节目”是随机事件；④如果一件事发生的概率只有十万分之一，那么它仍是可能发生的事件.其中，正确的说法是（）.A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④【错解】A.【学生分析】对于第一个说法，我认为2%的意思就是100张里会有2张中奖，概率应该是和彩票的总张数有关的；而对于第四种说法，发生的概率太小了，所以我觉得在实际生活中就不会发生了.【点评】对于概率的值，应该理解为大样本容量下的理论值，而在实践中并不一定与理论值相符合，具有随机性；而小概率事件只能说发生的可能性非常小，并不等同于不可能事件.易错点二：对于可能事件的含义不理解例2 某学校的八（1）班，有男生20人，女生24人. 现随机抽一名学生，则抽到女生和男生的可能性一样吗？【错解】一样. 因为要么抽到男生，要么抽到女生，可能性都是0.5.【学生分析】这个问题中只有男生和女生，各占一半的机会，但是我没有考虑到要从全班44位同学中去抽取，而其中男生和女生的人数不同，所以抽到男生或女生的可能性也是不一样的.【点评】其实这个问题和摸球游戏是一样的. 摸球游戏中，为了保证摸到每一个球的可能性相同，每个球除了颜色外其他都相同. 球的总数就类似于班级中学生的总数，而男生和女生各自的人数多少决定了抽到男生或女生可能性的大小，并不是直接与性别有关.（1）计算“3点朝上”的频率和“5点朝上”的频率.（2）小颖说：“根据上述试验，一次试验中出现5点朝上的概率最大.”小红说：“如果投掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次.”小颖和小红的说法正确吗？为什么？【错解】（2）正确. 可以根据实验数据得出结论.【学生分析】利用实验数据可知，60次中5点朝上的次数最多，因此概率也最大；6点朝上的概率为1/6，因此投掷600次会有100次6点朝上.【点评】频率是实验值，具有随机性，多次重复试验的数据也会不尽相同；而概率是理论值，在掷骰子的过程中，只要骰子的质量是均匀的，投到1至6点的可能性都是相同的，都是1/6，而这也不能说明投600次就一定有100次6点朝上.易错点四：对于抽样调查中样本与总体之间的关系不明确例4 一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法：先将口袋中的球摇匀，再从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中. 不断重复上述过程. 小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球. 因此小亮估计口袋中的红球大约有（）个.A. 45B. 48C. 50D. 55【错解】C.【学生分析】根据题意，可以得到方程=，因此可以求出答案为50.【点评】这位同学只是利用样本具有总体特征列出了方程，而未能理解方程中各个量的具体涵义. 在摸球游戏中，摸到某种颜色球的概率与该颜色球的个数占总数的比值有关，因此在本题中，可以设红球个数为x，列出的方程应为：=，可求出x=45，选A.二、解决策略（1）同学们可充分利用身边感兴趣的问题作为研究素材，多亲身经历，学会自己总结、分析，试着用自己的语言表述，逼近定义，这样引出的新概念才容易理解.（2）同学们要动手操作，反复试验，亲身经历“猜测-试验并收集试验数据-分析试验结果”的活动过程，揣摩感悟，结合生活经验，参与游戏规则的制定或修订，逐步体会事件发生的等可能性及游戏的公平性.概率的内容相对比较抽象，其中包含丰富的随机性以及随机中有规律性的辩证思维. 从同学们的思维发展情况看，初中阶段只是辩证思维的萌芽，还很不成熟，因此同学们要正确看待错误，结合生活事例多理解，不可急于求成.（作者单位：江苏省常州市新闸中学）。
直觉思维在数学中的应用
直觉思维在数学中的应用1．问题的提出无论再学习数学或是解决数学问题我们都里不开对数学的理解。
而在理解数学的过程中就会出现多种不同的思考方式，有的人在看到数学时脑中就会突然出现解题的思路，从而就产生“这个题就因该顺着这个方向进行求解”的思维方式。
而产生的这种思路并不是根据某种数学知识得到而是“突然”出现在脑子里的甚至有些时候并不知道它为什么要这样做。
其实这就是一种数学直觉思维。
2．直觉思维的概念直觉思维是指不受某中固定的逻辑规则约束而直接领悟，事物的一种思维方式。
而数学直觉则是人脑在一定数学知识的前提下对数学对象（结构及其关系）的某种直接的领悟和洞察。
直觉思维是在生产生活和教学中广泛应用的思维方式之一是创造性思维的重要组成部分，其特点是以熟悉的知识经验及其结构为基础使思维越过、越级采取捷径迅速对问题的答案作出合理的猜测或设想从而快速解决问题。
数学知直觉具有以下特点：(1)突发性：具有一定的数学知识后在分析所要解决的数学问题时是没有预料的，在脑中突然出现“灵光”。
(2)猜测性：指的是直觉的认识不能完全认为是可靠的数学直觉的“产物”都要经过严格的逻辑验证。
(3)自信心：尽管数学直觉是突然在脑中闪现的“灵光”但正确的直觉是具有一定的数学基础知识才会产生合格的“产物”。
因此数学直觉一定要具有一定的自信才能继续证下去。
3、直觉思维在解题中的应用数学问题解决指的是按照一定的思维对策进行的一个思维过程，它一步一步地靠近目标，最终达到目标。
在数学问题解决的过程，即运用抽象、归纳、类比、演绎等逻辑思维形式，又运用直觉、灵感（顿悟）等非逻辑思维形式来探索问题的解决办法。
这里我们首先要看到非逻辑思维对逻辑思维的依赖性。
灵感的产生虽然是爆发式的，但爆发式的基础却是长期有目的的思考。
其次逻辑方法的具体运用也往往借助直觉。
非逻辑思维发散、自由、联想的方面广，有充分的灵活性，富有创造力能直接接触到问题的目标。
但是，它毕竟是一种猜想，没有充分的理由作为依据，结论不一定真实。
概率反直觉
概率反直觉--YY 30102014故事背景：掷两个骰子，每个骰子有6面，分别用1~6六个数字表示。
掷到1~6任何一个数字的概率都是相同的。
问题：要使两个骰子掷出的数字之和为7。
已经掷出第一个骰子，第一个骰子的数字是否会影响掷出和为7的概率？直觉：当然会影响啦！数字之和当然会受到数字的影响嘛！事实：要科学地得出结论，需要用到概率。
为了更好地解释这个问题，先引入一个概率的术语,叫做随机变量(Random Variable)。
叫它“变量”着实好笑，因为它其实是个函数，它做了函数做的一件最简单的事，就是为事件结果分配了一个数字。
拿上面的例子来说，可以设四个随机变量，如下：- D1: 为第一个骰子掷出的结果分配1~6的任意一个实数；- D2：为第一个骰子掷出的结果分配1~6的任意一个实数；- S: 为两个骰子掷出的数字之和分配一个实数，使S=D1+D2;- T: * 注意这个随机变量不同于以上三个，且管它叫做“指示随机变量(Indicator)”, 指示随机变量只有两个值，0或1，作为指示某一类情况。
这里根据问题里描述的条件，当两个骰子掷出的数字之和为7，即S=7时，为T 为1，否则，T为0再看一遍问题，其实在问一个条件概率的问题，条件就是第一个骰子掷出的数字（这里假设任意一个数，比如说1吧），在这个前提下掷出和为7的概率。
我们把这噜噜苏苏的一串文字记成：Pr[ T =1 | D1 = 1]表示：当第一个骰子掷出1时，得到两个骰子数字之和为7的概率（当然，根据我们刚才设置的随机变量，也可以记成Pr [ S =7 | D1 = 1]）Pr [ T =1 | D1 = 1] = Pr [ (T =1) ∩(D1 = 1) ] / Pr [ D1 = 1]****这个计算式附录会给出证明我们都知道掷两个六面的骰子，出现的结果有36种组合可能性，这是全部的样本空间。
T=1，即两个骰子数字之和为7的事件有6种可能性：（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）D1=1, 即第一个骰子数字为1的事件有6种可能性：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）则(T =1) ∩(D1 = 1) 只有1种可能性，即（1，6）所以前面的计算式中：分子Pr [ (T =1) ∩(D1 = 1) ] = 1 / 36;分母Pr [ D1 = 1] = 6 / 36 = 1 / 6最后我们要计算的，当第一个骰子掷出1时，得到两个骰子数字之和为7的概率Pr [ T =1 | D1 = 1] = (1 / 36) / (1 / 6) = 1 / 6这个概率是等于没有任何前提条件就掷出两个骰子数字之和为7的概率，即Pr [ T =1] = 6 / 36 = 1 / 6。
蒙提霍尔问题
蒙提霍尔问题蒙提霍尔问题（1）——直觉与计算概率的概念就像信念一样，存在于人们朦胧的直觉中，经过学校教育，表面上以为了解了，常常又与不同角度出发的直觉冲突矛盾，必须经过更深入的考察思索才能够理解。
蒙提霍尔问题的热议，便是一个例子。
还没有一个简单的概率问题，长时间地迷惑着这么多的民众和学者，越是深入思考越发现问题。
自1990，1991年纷起热议之后到了2000年，有超过75篇关于这个问题的论文发表在40多种学术和公众刊物上。
两种结论反复交锋，不同观点一直纠缠，英文Wiki 被双方不断更新资料的编辑之战折腾着。
有的错误一直到了现在才发现。
二十多年过去了，至今还偶尔在论文、书刊和电视上讨论。
在公众书刊和百科中混杂着许多简单化似是而非的介绍。
我不想重述争议的细节和对错的结论，只是通过剖析典型的说法和认知的反复，来促进对概率概念和数学模型的理解。
蒙提霍尔问题（Monty Hall problem）【1】是一个概率猜谜游戏。
1990年9月Craig F. Whitaker给《Parade》杂志“Ask Marilyn”专栏提了一个问题：在蒙提霍尔游戏节目中，让你在三扇关着的门中选择，知道一扇门后面是跑车，其他俩都是山羊，当然希望选中赢的是跑车。
当你选择后告诉他，比如说1号，主持人知道车在什么地方，他打开另外一扇门，比如说3号，是羊在那儿。
然后问你，要不要改主意选2号。
问：改选是不是更有利？大多数人认为改不改都一样，因为没打开的两扇门后面，有车子的可能性都是1/2。
Marilyn vos Savant认为1号门的可能性是1/3，2号现在有2/3。
她给人们一个直观的想象：假如有辆车在一百万扇门中，你选了1号门，主持人知道车子在哪里，所以打开门时总是避免它，结果他打开了其余，除777777号之外所有的门，这时，你是不是很快改主意，选它了？【说法1】这个专栏写手Marilyn vos Savant是吉利斯记录中拥有最高智商的女人，IQ 228。
数学直觉思维
·教学探讨·123数学直觉思维江苏省怀仁中学 孟宪玲数学教学由于长期直觉思维得不到重视，学生在学习的过程中认为数学是枯燥乏味的，对数学的学习缺乏取得成功的必要的信心，从而丧失数学学习的兴趣。
过多地注重逻辑思维能力的培养，不利于思维能力的整体发展。
培养直觉思联想、类比、归纳、猜测之后对所研究的事物作出一种比较迅速的直接的综维能力是社会发展的需要，是适应新时期社会对人才的需求。
一、对数学直觉思维的认识1．直觉是发明的源泉。
伟大的数学家、物理学家和天文学家彭加勒说：“逻辑用于证明，直觉用于发明。
”前苏联科学家凯德洛夫更明确地说：“没有任何一个创造性行为能离开直觉活动。
”直觉思维就是指人们不受逻辑规则约束直接领悟事物本质的一种思维方式。
数学直觉思维是直接反映数学对象、结构以及关系的思维活动。
思维者不是按部就班地推理，而是对思维对象从整体上进行考察，调动自身的全部知识经验，通过丰富的想象作出的敏锐而迅速的假设，猜想或判断，跳过若干中间步骤或放过个别细节而直接把握研究对象的本质和联系。
2．数学直觉思维的表现形式是以人们已有的知识、经验和技能为基础，通过观察、合判断，它不受固定的逻辑约束，以潜逻辑的形式进行。
关于数学直觉思维的研究，目前比较统一的看法是认为存在着两种不同的表现形式，即数学直觉和数学灵感。
这两者的共同点是它们都能以高度省略、简化和浓缩的方式洞察数学关系，能在一瞬间迅速解决有关数学问题。
3．数学直觉思维具有个体经验性、突发性、偶然性、果断性、创造性、迅速性、自由性、直观性、自发性、不可靠性等特点。
迪瓦多内说：“任何水平的数学教学的最终目的，无疑是使学生对他要处理的数学对象有一个可靠‘直觉’。
”在教育过程中，教师如果把证明过程过分的严格化、程序化，用僵硬的逻辑外壳掩盖住直觉的光环，学生们只能把成功归功于逻辑的功劳，而丧失了“可靠的直觉”，那将是我们教育的失败。
4．数学直觉思维能力的提高有利于增强学生的自信力。
中学数学直觉思维及培养
中学数学直觉思维及培养作者：孙瑞娟来源：《中学生数理化·教研版》2009年第07期数学问题的解决过程，是一个发现、猜测、验证、创造、一般化的过程，数学直觉在其中起着很重要的作用.数学教师在抓基础知识、基本技能、基本训练的基础上，更要培养和提高学生的分析、解决问题的能力以及直觉能力和实践应用能力，从而提高其创新能力.这样，当学生离开校门以后，数学教育作用于他头脑和心智的东西——所领会的数学思想将影响他生活的方方面面.一、数学直觉思维的含义数学直觉思维是一种相对独立的认识方式，虽然只是偶然出现，但它省去了一步一步分析推理的中间环节，采取了跳跃式的形式，是一瞬间的思想火花，是长期积累上的一种升华，是思维者的灵感和顿悟，是思维过程的高度简化.数学直觉思维大体上是指“对数学对象中隐含的整体性、次序性、和谐性的领悟，能够越过逻辑推理而作出种种预见的能力”，是“对于事物的一种迅速的识别，敏锐而深入的洞察，直接的本质理解和综合的整体判断”.有别于直观、直感.直观和直感都是以真实的事物为对象，通过各种感觉器官直接获得的感觉或感知；直觉是一种深层次的心理活动，没有具体的直观形象和可操作的逻辑顺序作思考.二、数学直觉思维的主要特点1.直接性.“数学直觉思维是直接反映数学对象、结构以及关系的思维活动，这种思维活动表现为对认识对象的直接领悟或洞察，这是直觉思维的本质特征.”由于人们在日常生活、工作与学习中经常要解决类似的问题，这些问题的反复出现以及解决它们所用的知识、方法和手段的反复使用，使解决此类问题的知识、方法和手段的联系加强，形成了一个兴奋中心.在遇到问题时，就能凭直觉迅速地辨认、转换以及确认，从而得出解决问题的方向或途径2.或然性.直觉思维是对问题整体上的把握，不专注于细节的精雕细琢，在形式上表现为简约性，它的想象因丰富而灵活多样.因为直觉思维不按常规的逻辑规则，直觉判断可能是正确的，也可能是错误的3.自信性.学生对数学产生兴趣的原因有两种，一种是教师的人格魅力，一种是来自数学本身的魅力，高斯在小学时就能快速解答“1+2+…+99+100=？”，这是基于他对数的敏感性的超常把握.因为直觉是在非语言水平上进行的，是个人内部产生主观经验的体现.当一个问题通过直觉获得解决时，成功带来的震撼是巨大的，内心将会产生一种强烈的冲动，思维进一步活跃，给钻研学习注入了新的动力.三、数学直觉思维的培养直觉不是靠“机遇”，直觉的获得虽然具有偶然性，但绝不是无缘无故的凭空臆想，而是以扎实的知识，必要的技能、技巧为基础.在教学中，以学生为主体，提供典型有效的背景材料，设置适当的教学情景，以“最近发展区”为定向，在思考的方向、方法及策略上加以适度点拨，促使学生“跳一跳，摘果子”，激发求知欲，使他们看到自己在数学方面的长处，看到坚持不懈地努力的效果，增强他们的自信心和意志力，从而培养思维能力1．依靠直觉提出猜想.任樟辉认为，数学猜想是指依据已知的数学知识和已知事实（包括其他学科的），对数学未知的量及其关系作出的猜测和判断.猜想未被证明时就可以使人感到它的合理性和极大的可能性，是一种科学的假说或假设.作为教师，尽可能阐明问题的来龙去脉，要引导学生畅所欲言，各抒己见，大胆猜想.要善于捕捉学生稍纵即逝的思维火花，使它发扬光大.指导猜想的方法：通过不完全归纳法估算、逼近；由相似类比、归纳；变换条件特殊化、极端化；逆向或悖向推导；通过观察与经验概括；物理或生物模拟.这些都要结合学生的知识水平和必要的知识准备，切忌生搬硬套.在教学过程中，注意从大处着眼，小处下手，特别是选择题、填空题、判断题等，不需书写演算过程，要大胆猜想，让学生从中体验解题的乐趣，也可在教材相应环节中适当补充一些数学开放题进行直觉思维练习2．重视整体分析，提倡块状思维.在解决数学问题时要教会学生从宏观上进行整体分析，摆脱它的外表特征、细节、具体的数字，以免拘泥于细节而失去终极目标，理清关系，把握问题的基本结构、数学方法及基本类型，联想已解决的问题与待解决的问题之间的相似之处.对于含有一定内容的一个或几个步骤，如果能用一个表征来代替，压缩成一个组块，就可以节省一个人的短期思维容量来思考新的步骤，使整个推理环节得到全面的考虑，如定义、定理、法则、性质等3．强调数形结合，发展几何思维与类几何思维.数学形象直感是数学直觉思维的源泉之一，而数学的形象直感是一种几何直觉或空间概念的表现.许多代数公式具有一定的几何意义，许多三角公式本来就是从几何性质中抽象出来的.许多数学问题，可以事先通过对几何图象的观察，判断其答案的大致轮廓，便于调整思路，及时纠错4．注意培养对于数学美的鉴赏能力.数学美是一种科学美，它体现在具有数学倾向的美的因素、美的形式、美的内容、美的方法等各个方面.具有简单性、对称性、相似性、和谐性与奇异性.因此，如果能用简单的观点、简化的方法对问题进行整体处理或实施分解、变换、降次、减元等转化的策略或通过补形造成对称，使问题的条件和结论在新的协调的形式下相互沟通，往往使问题得到解答5．提高学生的思维和自我评价水平.培养学生对自己的学习过程进行反思的习惯，这是提高学习效率，培养数学能力的行之有效的方法.当学生解决问题时，或多或少都会带有一定的“尝试错误”，作为教师，要求学生回顾解题的关键，改进表达方法，提炼其中的基本思想方法，完成再加工，将思维由个别推向一般，使思维的抽象程度不断提高，努力寻求解题的最佳方案，从而提高直觉能力.。
浅论数学创造思维与直觉思维
浅论数学创造思维与直觉思维作者：冯萍来源：《中国科技教育》2010年第12期【摘要】2l世纪是一个知识创新的世纪，新世纪正在召唤大批高素质创造型人才。
人的创造力包括创造思维能力和创造个性，而创造思维是创造力的核心。
作为创造思维的重要组成部分的直觉思维在创造思维中所起的作用，是其他思维形式所无法替代的。
本文在介绍创造思维和直觉思维的同时，精心设计了培养两种思维的策略，强调了两种思维的重要性。
由此本文指出加强数学创造思维和直觉思维的培养是创新教育的一项重要任务。
【关键词】创造思维直觉思维内涵培养“现在的经济发展所需要的远不只是具有文化知识和俯首帖耳的劳动者”，“整个学校的教学思想和气氛必须改变，应使学校引进一种开发学生创新思维的进程”。
这是《参考消息》曾经刊载的《亚洲经济危机对教育提出挑战》一文所提出的主要观点。
“当今世界各国之间的竞争越来越表现为科学技术和人才的竞争。
科技的发展，知识的创新越来越决定着一个国家，一个民族的发展进程，创新是不断进步的灵魂。
如果不能创新，不去创新，一个民族就难以发展起来，难以屹立于世界民族之林”。
目前，伴随着我国政治、经济体制改革的不断深入，不少在职职工下岗，大学毕业生找工作比较困难，就业竞争日趋激烈。
在这样一个新的形势下，作为学校，承担着向社会输送大批素质较高的劳动者的重任。
努力培养学生具有较强的创造思维，其现实意义和深远影响不言而喻。
一、数学创造思维的内涵及培养所谓创造性思维，是指与众不同的思考，带有创见的思维．通过这一思维，不仅能揭露客观事物的本质、内在联系，而且在此基础上能产生出新颖、独特的东西。
更具体地说，是指在学习过程中，善于独立思索与分析，不因循守旧，能主动探索、积极创新的思维因素。
比如独立地、创造性地掌握数学知识；对数学问题的系统阐述；对已知定理或公式的“重新发现”或“独立证明”；提出有一定价值的新见解，均可视为创造性思维成果。
它具有以下几个特征：（1）独创性——思维不受传统习惯和先例的禁锢，超出常规．在学习过程中对所学定义、定理、公式、法则、解题思路、解题策略等提出自己的观点、想法，提出科学的怀疑、合情合理的“挑剔”。
感受概率问题中丰富的数学思想
感受概率问题中丰富的数学思想作者：朱明芬来源：《初中生世界·九年级》2014年第02期经验是数学的基础，问题是数学的心脏，思考是数学的核心，发展是数学的目标，思想方法是数学的灵魂，是知识转化为能力的桥梁. 在概率知识中蕴含着丰富的数学思想，运用这些数学思想，不仅可使我们深刻理解和掌握概率的基础知识，而且可以使我们学会用数学思想进行推理，为解决数学问题起到促进和深化的作用.一、建模思想经过七年级、八年级的学习，我们已经具备了一些概率模型，如抛硬币、摸小球、掷骰子等，现实生活中抓阄、抽签等问题都可以转化为这样的数学模型，这样我们就可以用列表法或者画树状图的方法列出等可能的各种结果，求出随机事件的概率，从而也可判断游戏的公平性. 想一想，下面的问题可以转化为怎样的数学模型呢？例1 只有一张电影票，小明和小丽用抽签的方法来决定谁可以去看电影，于是准备了两张相同的小纸条，一张写“去”，另一张写“不去”，谁抽到“去”，则这个人就去看电影，这种方法公平吗？例2 我们用抽签的方法从3名同学中选一名去参加某音乐会. 事先准备3张相同的小纸条，并在1张纸条上画上记号，其余两张纸条不画. 把3张纸条放在一个盒子中搅匀，然后让3名同学去摸纸条，这种方法公平吗？【分析】例1实际上就是：抛一枚硬币，求正面朝上（或反面朝上）的概率问题；例2可以转化为摸球问题，如：一只小袋子装有两个白球和一个红球，这三个球除了颜色外完全一样.甲、乙、丙三人依次从袋子中摸出一个球，求每人摸到红球的概率.二、数形结合的思想有关概率的问题层出不穷，解决的方法也多种多样，我们常用的方法是列举法，即用列表或画树状图的方法来解决问题，这种图文并茂的解题方法直观形象地展示了随机事件的所有等可能结果，可以说是数形结合的完美体现，而现在又出现了很多概率问题与几何知识相结合的例子，真可谓是“数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔断分家万事难”.例3 如图，在方格纸中，△ABC的三个顶点及D，E，F，G，H五个点分别位于小正方形的顶点上.（1）现以D，E，F，G，H中的三个点为顶点画三角形，在所画的三角形中与△ABC不全等但面积相等的三角形是______；（只需要填一个三角形）（2）先从D，E两个点中任意取一个点，再从F，G，H三个点中任意取两个不同的点，以所取的这三个点为顶点画三角形，求所画三角形与△ABC面积相等的概率（用画树状图或列表格求解）.【分析】（1）∵△ABC的面积为×3×4=6，只有△DFG或△DHF的面积也为6且不与△ABC全等，故填△DFG或△DHF；（2）画树状图：由树状图可知：共有六种等可能的结果，其中与△ABC面积相等的三角形有3种，即：△DFG、△DHF、△EGF，所以所画三角形与△ABC面积相等的概率P==.三、方程思想方程思想是数学解题的重要思想方法，在解决概率问题时，如能根据题目中所给的数量关系，列出方程或方程组，则可使问题圆满解决.例4 不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球有两个，蓝球有一个，现从中任意摸出一个是红球的概率为.（1）求袋中黄球的个数；（2）第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率；（3）若规定摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得1分，小明共摸6次小球（每次摸一个球，摸后放回）得20分，问小明有哪几种摸法？【分析】（1）设口袋中黄球的个数为未知数m，根据摸到红球的概率=，列方程=，解得m=1；（2）通过列表或画树状图来计算两次都摸到红球的概率为；（3）设小明摸到红球有x次，摸到黄球有y次，则摸到蓝球有（6-x-y）次，根据摸到三种球的分数和等于20，列出关于x、y的二元一次方程5x+3y+（6-x-y）=20，即2x+y=7，所以y=7-2x，然后讨论二元一次方程组的自然数解的个数来确定摸法种数. 因为x、y、6-x-y均为自然数，当x=1时，y=5，6-x-y=0；当x=2时，y=3，6-x-y=1；当x=3时，y=1，6-x-y=2. 综上，小明共有三种摸法：摸到红、黄、蓝三种球分别为1次、5次、0次或2次、3次、1次或3次、1次、2次.在“有形”的数学知识中，蕴含着“无形”的数学思想方法. 数学知识是一条明线，写在教材里；数学思想方法是一条暗线，体现在知识与技能的形成过程中. 若我们能在解决问题的过程中充分发挥数学思想方法的解题功能，不仅可少走弯路，而且还可大大提高我们的数学能力与综合素质. 通过以上问题的阐述，你是否已经掌握了这把开启数学神奇之门的金钥匙呢？（作者单位：常熟市孝友中学）。
数学思维的直觉和想象
想象思维：构建 抽象模型，突破 传统框架
创新实践：结合 直觉与想象，实 现数学领域突破
案例分析：介绍 数学史上利用直 觉和想象进行创 新的实例
通过直觉和想象探索数学问题
直觉思维：运用直觉感知问题，发现数学规律 想象思维：通过想象创造新的数学模型和图像 创新实践：将直觉和想象应用于数学问题解决中 案例分析：介绍数学史上通过直觉和想象取得的创新成果
直觉思维的应用场景
数学问题解决：直觉可以帮助我们快速识别问题的本质和关键信息，从而快速找到解决 方案。
科学发现：科学家常常依靠直觉来提出新的理论和假设，然后通过实验来验证。
商业决策：企业家或管理者可以依靠直觉来快速做出决策，抓住商业机会或避免潜在的 风险。
艺术创作：艺术家可以依靠直觉来激发灵感，创造出独特的艺术作品。
数学思维的直觉和想象
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目录
01 数 学 思 维 的 直 觉 03 数 学 思 维 的 直 觉 与
想象的关系
02 数 学 思 维 的 想 象 04 如 何 运 用 直 觉 和 想
象进行数学创新
Part One
数学思维的直觉
直觉依赖于个体的经验和天赋；想象则可 以通过训练和练习来提高。
直觉通常是瞬间的、无意识的反应；想象 则需要一定的时间和有意识的活动。
直觉往往是对表面现象的感知；想象则可 以深入挖掘事物的内在本质和联系。
直觉与想象在数学中的互补作用
直觉在数学中的作用：快速识别模 式和解决问题
直觉与想象的相互影响：共同促进 数学思维的创新与发展
直觉思维的培养方法
培养观察力：观察是直觉思维的基础，通过观察可以发现事物的内在规律 和联系。
小学奥数教程之概率原理
小学奥数教程之概率原理什么是概率原理？概率原理是数学中一个非常重要的概念，用来描述事件发生的可能性。
在小学奥数中，研究概率原理可以帮助孩子们更好地理解和预测事件发生的概率，提高他们的数学思维能力。
事件和概率在概率原理中，我们将待研究的事情称为“事件”，而事件发生的可能性称为“概率”。
概率的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能发生，1表示肯定发生。
概率的计算方法对于简单事件，即只有一种可能发生的事件，概率可以通过计算“有利结果的数量”除以“总结果的数量”来得到。
例如，抛一枚硬币，想知道正面朝上的概率，可以将正面朝上的情况数除以总情况数。
对于复杂事件，即有多种可能发生的事件，概率的计算稍微复杂一些。
可以使用排列组合和计数的方法来计算概率。
例如，从一副扑克牌中随机抽取一张牌，想知道抽到红心的概率，可以将红心牌的数量除以总牌数。
事件间的关系在概率原理中，我们还可以研究多个事件之间的关系。
常见的事件关系有“与”、“或”和“非”。
- “与”表示两个事件同时发生的情况，概率可以通过两个事件发生概率相乘得到。
- “或”表示两个事件发生其中一个的情况，概率可以通过两个事件发生概率相加再减去两个事件同时发生的概率得到。
- “非”表示某个事件不发生的情况，概率可以通过1减去该事件发生概率得到。
实际应用概率原理在日常生活中有着广泛的应用。
我们可以通过研究概率原理来更好地了解和预测各种事件的发生概率。
例如，在购买彩票时，我们可以计算中奖的概率，从而可以有理性地决定是否购买。
在游戏中，我们可以利用概率原理来制定策略，提高获胜的可能性。
在实验和调查中，我们可以利用概率原理来分析数据，得出相应的结论。
概率原理是数学中的重要概念，掌握概率原理可以帮助孩子们提高数学思维能力，培养逻辑思维和分析问题的能力，对他们的研究和生活都有着积极的影响。
小结概率原理是数学中的重要概念，通过学习可以帮助孩子们更好地理解和预测事件发生的可能性。
可以通过计算简单事件和复杂事件的概率，以及研究事件之间的关系来应用概率原理。
概率的引入与初步认识
概率的引入与初步认识在我们日常生活中，我们经常会遇到一些不确定性的事情。
例如，明天会不会下雨？投掷一枚硬币，正面和反面哪一面会朝上？这些问题都与概率密切相关。
概率是描述和研究这些不确定事件的数学工具。
概率最早的使用可以追溯到17世纪。
随着时间的推移，人们逐渐认识到概率在各个领域的重要性，如统计学、金融、生物学等。
概率的引入为我们解决实际问题提供了一种有力的工具。
首先，让我们从最基础的概念开始，概率是指某个事件发生的可能性大小。
概率的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能发生，1表示必然发生。
对于一个公平的硬币来说，正反面朝上的概率都是0.5，即50%的可能性。
了解概率的基础知识有助于我们进行决策。
在现实生活中，我们经常会遇到需要权衡不同选择的情况。
通过计算概率，我们可以评估每个选择的风险和机会，从而做出最优决策。
例如，当我们准备出门时，天气预报给出明天下雨的概率为70%，我们可以根据这个概率决定是否携带雨具。
概率与事件的关系也是我们认识概率的重要内容之一。
事件是概率研究的基本单位，可以是一个简单的事件，也可以是多个简单事件的组合。
例如，掷一个骰子，我们可以定义1的出现为事件A，2的出现为事件B。
那么，同时出现A和B的事件称为事件AB，即骰子同时出现1和2的概率。
为了更好地理解概率，我们还需要掌握一些基本的概率计算方法。
当事件的概率已知时，我们可以通过计算来确定其他相关事件的概率。
例如，同样掷一个骰子，我们可以计算出得到奇数的概率是3/6，即1/2。
通过类似的方法，我们可以计算出得到偶数、大于3的概率等等。
除了基础概率的计算，我们还可以利用概率进行推断和预测。
概率统计是概率的一个重要分支，通过收集和分析数据，我们可以推断出某个事件发生的概率。
例如，通过统计过去十年的天气数据，我们可以计算出每年的降雪可能性。
这样的推断有助于我们制定合理的策略和规划。
最后，让我们来看看概率的一些实际应用。
概率在金融领域的应用是非常广泛的。
中国儿童数学百科全书读书小报内容
我国儿童数学百科全书读书小报内容在当今社会，数学作为一门基础学科，对于孩子的学习和未来发展起着至关重要的作用。
如何引导孩子正确对待数学学习，培养其数学思维和解决问题能力，成为了家长和教育者们共同关注的焦点。
我国儿童数学百科全书作为一种新型的数学学习资源，通过其独特的内容和形式，为孩子们提供了全面、系统的数学知识和启发性的学习方式。
一、我国儿童数学百科全书是什么？我国儿童数学百科全书是一套专为6-12岁儿童设计的数学学习读物，内容涵盖了数学的基本概念、常见问题和有趣的数学知识。
通过图文并茂的方式，将抽象复杂的数学知识变得生动易懂，让孩子们在轻松愉快的氛围中学习数学，培养他们对数学的兴趣和自信心。
二、我国儿童数学百科全书的特色和优势1.深度：我国儿童数学百科全书涵盖了从基础知识到拓展应用的广泛内容，深入浅出地介绍了数学中的各种概念和原理，既能够满足孩子们的日常学习需求，又可以拓展他们的数学思维。
2.趣味：通过生动有趣的插画和趣味性的例题，激发孩子们对数学的热爱和学习动力。
培养他们的数学思维和解决问题的能力。
3.广度：我国儿童数学百科全书的内容涵盖了数学的各个领域，从算术、几何到代数、概率统计等，全面展现了数学的丰富内涵，为孩子们打开了数学的知识之窗。
4.启发：除了传授数学知识外，我国儿童数学百科全书还注重培养学生的数学思维，引导他们通过实际问题的解决来运用所学的数学知识，激发他们对数学的探索和创新。
三、个人观点和理解对于我国儿童数学百科全书，我个人认为其作为一种新型的数学学习资源，为孩子们提供了一种全新的学习方式。
在这个信息爆炸的时代，数学学习不再是单一、枯燥的知识积累，而更多地是以启发和趣味为主导，激发学生们的学习兴趣和动力。
而我国儿童数学百科全书正是顺应了这一趋势，通过其丰富多彩的内容和独特的形式，为孩子们打造了一个健康、积极的数学学习环境。
我国儿童数学百科全书不仅仅是一本传统的学习工具，更是一种引导孩子认识世界、探索未知的良好引导。
趣谈概率我们的直觉，往往和真实的概率大相径庭
趣谈概率我们的直觉，往往和真实的概率大相径庭这本书的全名是：趣谈概率——从掷骰子到阿尔法狗。
这本书的作者张天蓉，是一位女士，美国德州奥斯丁大学理论物理博士，虽然她的知识渊博，但她出版的书籍都深入浅出，哪怕是小白也特别容易看懂。
我将用两周的时间，为大家领读这本书。
概率论诞生于17世纪，源于一场赌博。
发明概率论的法国的数学家帕斯卡，首先我们科普一下帕斯卡这个人。
帕斯卡是一个神童，12岁的时候就发现了几何学里边的一个规律，三角形的三个角之和等于180度，如果你对数学有研究的就知道，这个正是在欧几里得的《几何原本》证明过的第32条定理。
在16岁的时候，帕斯卡创作了论文《圆锥曲线专论》，证明了：圆锥内曲线内接六边形，它的三对底边延长线的交点，在一条直线上。
这个就是帕斯卡定理。
当时的专家学者感觉太不可思议了，是不是真的他证明的啊？甚至还怀疑是不是他父亲代写的？除了对数学方面的成就，帕斯卡在物理领域也有很大的贡献，他用水银柱测量气压，水银柱越高，说明气压越高。
经过无数次实验，证实了水银柱的高度随着海拔的高度减少。
后人为了纪念帕斯卡，就把气压的单位用“帕”表示。
说句题外话，我当年做软件开发的时候，接触过一门编程语言，是Pascal，也是以帕斯卡的名字命名的编程语言，由此可见帕斯卡在历史上的地位多高。
其实，这些都不是本书的重点，帕斯卡最伟大的地方，就是创立了概率论。
概率论怎么诞生的呢？我们就从一场贵族的赌博游戏说起。
1 赌博中途退赛，如何分钱？当年有一位贵族，特别喜欢赌博，尤其是掷骰子的游戏。
当然，他在玩的过程中，也会思考一些相关的数学问题。
1654年，他向帕斯卡请教一个亲身经历的分钱问题。
这个问题大概是这样的：贵族约了一个赌友各自拿出10元出来对赌，谁先赢了就可以把20元全部拿走。
他们怎么对赌呢？比如说是抛硬币，抛到正面的就是贵族赢1分，反面的就是赌友赢1分，谁先拿到10分的，就赢得全部赌金。
问题来了，当对赌进行到中途，贵族得到8分，而赌友也获得7分的时候，贵族有点急事要出去处理，这场赌博就不能进行下去了，此时此刻，这20元应该怎么分？如果说，把这20元都物归原主，那么贵族肯定不干，因为他都赢了8分，还有2分就胜利了；如果说就判贵族赢吧，那赌友肯定不干，他也赢了7分，虽然比贵族少了1分，但还没到最后，谁说他一定会输呢？如何分钱，才算是合理呢？前面得了多少分，这个已经是确定性的了，如何分钱是取决于后面得分的可能性，所以要重点关注后边几局，要是贵族再得2分，就赢得赌局；反之要是赌友再得3分，就是他赢。
在统计和概率教学中帮助学生积累基本数学活动经验
帮助学生积累基本数学活动经验──以“统计与概率”教学为例作者:启东市教育局教研室蔡宏圣数学基本活动经验，大致可分为数学实践经验与数学思维经验。
就“统计与概率”领域的教学而言，我们要重视以下几个方面的问题。
一、数学实践层面上，要帮助学生积累数据分析的经验在《不列颠百科全书》中，“统计学”是这样定义的：统计学是关于收集和分析数据的科学和艺术。
这深刻地表明，运用统计和概率的知识解决问题，并不着眼分析问题内在的数量间关系，而是从分析与问题有关的数据特点入手。
值得注意的是，这里的特点跟数据所表达的实际意义也没有任何关系，就是数据本身呈现的特点，例如，大批数据集中于那个值，那个数据出现的次数最多，最大数据和最小数据间的差距有多大，某个数据出现的可能性是多少等等。
也就是说，统计与概率研究的是数据本身，即使也有计算和推理，也是为了更好地说明数据出现的特点，而不是为了探求数量变化的结果。
可见，统计学的核心是数据分析。
应该说，“统计观念”和“数据分析观念”这两个词并没有本质的区别，但用“数据分析观念”更加突出了统计的核心就是数据分析，让人一目了然。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“新标准”）对数据分析观念是这样表述的：“了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。
”基于这些要求，我们在教学中可以着力帮助学生积累如下经验：1.让学生面对真实的统计问题，体会数据是有用的。
数据分析观念，首要的是引导学生想到用数据、愿意亲近数据，初步培养通过数据来分析问题的习惯。
这些课程目标的实现，要求统计教学不能只关注纯粹的统计技能、技巧，而要让学生有机会独立面对问题，尝试收集数据去解决问题。
蒙提霍尔问题
蒙提霍尔问题蒙提霍尔问题（1）——直觉与计算概率的概念就像信念一样，存在于人们朦胧的直觉中，经过学校教育，表面上以为了解了，常常又与不同角度出发的直觉冲突矛盾，必须经过更深入的考察思索才能够理解。
蒙提霍尔问题的热议，便是一个例子。
还没有一个简单的概率问题，长时间地迷惑着这么多的民众和学者，越是深入思考越发现问题。
自1990，1991年纷起热议之后到了2000年，有超过75篇关于这个问题的论文发表在40多种学术和公众刊物上。
两种结论反复交锋，不同观点一直纠缠，英文Wiki 被双方不断更新资料的编辑之战折腾着。
有的错误一直到了现在才发现。
二十多年过去了，至今还偶尔在论文、书刊和电视上讨论。
在公众书刊和百科中混杂着许多简单化似是而非的介绍。
我不想重述争议的细节和对错的结论，只是通过剖析典型的说法和认知的反复，来促进对概率概念和数学模型的理解。
蒙提霍尔问题（Monty Hall problem）【1】是一个概率猜谜游戏。
1990年9月Craig F. Whitaker给《Parade》杂志“Ask Marilyn”专栏提了一个问题：在蒙提霍尔游戏节目中，让你在三扇关着的门中选择，知道一扇门后面是跑车，其他俩都是山羊，当然希望选中赢的是跑车。
当你选择后告诉他，比如说1号，主持人知道车在什么地方，他打开另外一扇门，比如说3号，是羊在那儿。
然后问你，要不要改主意选2号。
问：改选是不是更有利？大多数人认为改不改都一样，因为没打开的两扇门后面，有车子的可能性都是1/2。
Marilyn vos Savant认为1号门的可能性是1/3，2号现在有2/3。
她给人们一个直观的想象：假如有辆车在一百万扇门中，你选了1号门，主持人知道车子在哪里，所以打开门时总是避免它，结果他打开了其余，除777777号之外所有的门，这时，你是不是很快改主意，选它了？【说法1】这个专栏写手Marilyn vos Savant是吉利斯记录中拥有最高智商的女人，IQ 228。
初中数学教学中培养学生“直觉思维”策略之浅见
初中数学教学中培养学生“直觉思维”策略之浅见
贺娟
【期刊名称】《数理化解题研究：初中版》
【年(卷),期】2013()10
【摘要】在初中数学教学中，教师往往只注重学生逻辑思维的培养而忽略学生直觉思维的培养，这不利于学生创造性的培养．初中数学不仅是一门锻炼学生逻辑思维的学科，也是培养学生合理直觉思维的创造型学科．直觉思维虽没有逻辑思维的推理，却是对数学现象的一种快速识别、直接理解、综合把握，能帮助学生在正确的解题方向上快速解题，培养做题技巧，提高做题效率．一道经典题目能培养学生的多种解题思路，直觉思维更是培养学生创新意识和应用技巧的前提．初中数学中的直觉思维是对问题的猜想，如观察与联想、归纳与类比、分析与总结等，而这些过程并不需要充分的依据，只是学生的一种直觉习惯，往往是解题的最佳方法．【总页数】2页(P2-3)
【关键词】直觉思维;数学教学;学生;培养;解题思路;逻辑思维;快速识别;数学现象【作者】贺娟
【作者单位】江苏省徐州市大黄山中学
【正文语种】中文
【中图分类】O1-4
【相关文献】
1.初中数学教学中培养学生直觉思维的策略 [J], 黄杏乐
2.初中数学教学中培养学生直觉思维的策略 [J], 林忠仪;
3.初中数学教学中培养学生直觉思维的策略 [J], 何国茂;
4.初中数学教学中学生直觉思维能力培养策略 [J], 张锦泉
5.初中数学教学中培养学生直觉思维的策略 [J], 王琦
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数学百科：概率思维颠覆直觉
作者：迈克尔·舍默
来源：《数学金刊·高考版》2014年第12期
你是否有过这样的经历：刚准备给一个朋友打电话，他却先打过来了？这类事件发生的概率虽然不是很高，但如果把所有概率加起来，总和终会达到100%. 因此，只要有足够的机会，奇迹也可能会发生.
我们姑且将奇迹定义为“发生概率为百万分之一的事件”. 根据这一定义，假设一个人每天清醒12小时，每秒有一个比特（信息量单位）的数据进入他的意识，那么这个人每天将接收43200比特的数据，即每月1296000比特（按30天算）. 即便其中99.9999%的数据是毫无意义的（因此可以将他们滤除或者完全忽略），他每月依然会遭遇到1.3个“奇迹”，累计起来，一年就大概有16个.
按照先入为主的习惯，人们总是热衷追寻那些能够证明自己正确的证据，对相反的证据则采取忽略或置疑的态度. 所以，人们通常只会记住几个令人惊讶的巧合，而把不计其数的无用数据完全遗忘.
我们可以通过计算来解释那些预兆死亡的梦，人平均每晚会做5个梦，大约每年1825个. 如果我们能记住10个梦中的1个，一年就能记住182.5个梦，3亿美国人每年能记住547亿个梦. 根据社会学家的看法，平均一个人会有150个熟人，那么美国社会就是一个拥有450亿个人际联系的网络. 美国的年平均死亡人口是240万，以此类推，被记住的547亿个梦中总有一些会不可避免地与240万死亡人口及450亿个人际关系联系到一起. 按照这个思路，如果有些预兆死亡的梦没有成为现实，那才真的是奇迹呢！
上述例子说明，概率思维具有超越人类数字直觉的强大能力. 作为人类的一种内在脾性，俗算术会导致人们误解或算错概率问题，会引发人们的奇思异想而忽视统计学的应用，会促使人们关注记忆短期趋势和小事件的走向. 受它影响，人们虽能注意到短期的凉爽天气，却会忽视全球变暖的大趋势；能关注因近期地产、股市低迷而引起的惊慌失措，却遗忘了已持续近半个世纪的经济增长.
为什么人们的直觉总会犯这样那样的错误呢？这是因为，人类的进化历程已经到达一个介于长与短、小与大、慢与快、幼与老的中间地带. 在空间概念上，处于中间地带的人类感官更适合于感知中等尺寸的对象，例如大小介于沙砾和山脉之间的各种物体. 人类非但无法感知原子和细菌的存在，也无法感知星系和宇宙的扩张. 在速度的中间地带，人类可以感知到以步行或跑步速度移动的物体，但对冰川和陆地的缓慢移动和光的高速行进却毫无察觉. 这种中间地带的算术思维使得人们更倾向于关注并记住短期趋势、有趣的巧合以及个人的奇闻逸事.
为什么人们的直觉总会犯这样那样的错误呢？这是因为，人类的进化历程已经到达一个介于长与短、小与大、慢与快、幼与老的中间地带. 在空间概念上，处于中间地带的人类感官更适合于感知中等尺寸的对象.。