第三章不等式本章回顾总结

解法： （在区间内恒成立问题的通用解法：转化为最值问题求解）
解：m x 2 4 x在x [0,1]上恒成立 只需m （x 2 4 x） min , x [0,1] 由图可得当x 1时，x 2 4 x取最小值 12 4 1 3 所以m 3
例：
答案：C
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六、分类讨论思想的应用 解 关 于 x 的 不 等 式 (m ＋ 3)x2 ＋ 2mx ＋ m － 2>0(m∈R)．
解：(1)当 m＝－3 时， 原不等式化为－6x－5>0，
5 故原不等式的解集是－∞，－6.
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答案：A
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五、利用基本不等式求最值 一般用 a＋b≥2 ab(a>0，b>0)解“定积求和，和最小”问 题，用
a＋b 2 ab≤ 2 求“定和求积，积最大”问题．解题时要注
意不等式的适用范围和条件，即“一正、二定、三相等”．
基本不等式的应用题：一般跟面积长度等相关
例：某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为12 ㎡，房屋正面每平方米的造价为1200元，房屋侧面每 平方米的造价为800元，屋顶造价为5800元，如果墙 高3m,且不计房屋背面和地面的费用，问如何设计才 能使总造价最低，并求出最低总造价。
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第三章 不等式
本章回顾总结
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一、不等式的性质及应用 例1 下列结论中正确的是( )
A．若a>b，c＞d，则a＋c>b＋d
B．若a>b，c＞d，则ac>bd
C．若a>b，c>d，则a－c>b－d 答案：A 【点评】 应用不等式性质时一定要牢记各个不等式性质的 前提条件，不可盲目套用．
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12 3 (2)方法一：∵f(x)＝mx－2 ＋4m－6<0
在 x∈[1,3]上恒成
立，
m>0， ∴ fxmax＝f3＝7m－6<0， m<0， 或 fxmax＝f1＝m－6<0， m＝0， 或 fx＝－6<0，
a<0， 时， 由题意得： 2 Δ ＝ a ＋4a<0， a<0， 即 －4<a<0，
答案：(－4,0]
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例5设f(x)＝mx2－mx－6＋m.
(1)若对于m∈[－2,2]，f(x)<0恒成立，求实数x的取值范围； (2)若对于x∈[1,3]，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围．
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出
最小总费用．
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解：(1)如题图，设矩形的另一边长为 a m. 则 y＝45x＋180[(x－2)＋2a]＝225x＋360a－360. 360 由已知 xa＝360，得 a＝ x ， 3602 ∴y＝225x＋ x －360(x>0)． 3602 (2)∵x>0，∴225x＋ ≥2 225×3602＝10 800. x 3602 ∴y＝225x＋ －360≥10 440. x 3602 当且仅当 225x＝ ，即 x＝24 时等号成立． x ∴当x＝24 m时修建围墙的总费用最小，且最小总费用是10 440元．
x－y≤0， 例 7 已知x＋y≥0， y≤a， ( ) A．1 C．0
若 z＝x＋2y 的最大值是 3，则 a 的值是
B．－1 D．2
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解析：画出可行域如图阴影部分所示． ∵z＝x＋2y 的最大值为 3， x z ∴y＝－2＋2经过可行域内的点 A(a，a)时，z 取到最大值 3.∴a＋2a＝3.∴a＝1.
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2x＋y≥4， 例 6 设 x，y 满足x－y≥－1， x－2y≤2， A．有最小值 2，最大值 3 B．有最小值 2，无最大值 C．有最大值 3，无最小值
则 z＝x＋y(
)
D．既无最小值，也无最大值
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二、一元二次不等式的解法与三个二次之间的关系
1．对于一元二次不等式的求解，要善于联想两个方面的问
题：①相应的二次函数图象及与x轴的交点，②相应的一元二次 方程的实根；反之，对于二次函数(二次方程)的问题的求解，也 要善于联想相应的一元二次不等式的解与相应的一元二次方程 的实根(相应的二次函数的图象及与x轴的交点)．
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解：(1)依题意，设 g(m)＝(x2－x＋1)m－6， 则 g(m)是关于 m 的一次函数，且一次项系数 x
2
12 3 －x＋1＝x－2 ＋4>0.
∴g(m)在[－2,2]上递增． 要使 f(x)<0 恒成立． 只需 g(m)max＝g(2)＝2(x2－x＋1)－6<0， 解得－1<x<2. ∴x 的取值范围为(－1,2)．
6 解得 m<7.
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方法二： 要使 f(x)＝m(x2－x＋1)－6<0 在 x∈[1,3]上恒成立， 6 则有 m< 2 在 x∈[1,3]上恒成立． x －x＋1 而当 x∈[1,3]时， 6 6 6 ＝ 12 3≥7. x 2 － x ＋1 x－ ＋ 2 4
答案：８
(2)线性规划应用题
18. （2014汕头文数一模） 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品 要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用 A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利 润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业 在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料 不超过18吨，那么在一个生产周期内该企业生产 甲、乙两种产品各多少吨可获得最大利润，最大利 润是多少？
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围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地
的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧
墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示，已 知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的 旧墙的长度为x(单位：元)． (1)用y表示总费用，将y表示为x的函数；
③当－3<m<6 时， 则 Δ>0 且 m＋3>0， 所以原不等式的解集是
－m＋ 6－m －m－ 6－m ，＋∞. －∞， ∪ m＋3 m＋3
④当 m<－3 时， 则 Δ>0 ， 且 m ＋ 3<0 ， 所 以 原 不 等 式 的 解 集 是
－m－ 6－m －m＋ 6－m ， . m＋3 m＋3
(2)当 m≠－3 时， Δ＝4m2－4(m＋3)(m－2)＝4(6－m)． ①当 m＝6 时， 则原不等式等价于(3x＋2)2>0，
2 2 故原不等式的解集是－∞，－3∪－3，＋∞.
②当 m>6 时， 则 Δ<0 且 m＋3>0， 所以原不等式的解集是 R.
作业
（分段讨论）
2、已知解集求参数 例：若关于x的不等式 x 2 2 x mx的解集为 2 {x|0<x<2},求m的值
1
解：由题意得：
0，2是方程
1 2 1 x 2 x mx ，即 x 2 (2 m) x 0的两个根 2 2
即x1=0,x2=2,由韦达定理 x1+x2=0+2=2=
当直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴上截距
最小时，z值最小；b<0时，当直线过可行域且在y轴上截距最大 时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大．
x－a (2)对于非线性目标函数， 要注意其几何意义， 如 (斜率)， y－b x－a2＋y－b2(距离)等．
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解析：根据约束条件画出可行域，如图阴影部分，当直线y
＝－x＋z过直线x－2y－2＝0与2x＋y－4＝0的交点(2,0)时，z＝x
＋y 取得最小值 2.因为可行域是个开放性的区域，所以目标函数 无最大值．故选B. 答案：B
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答案：2
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m＝2， 解得 a＝2.
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三、不等式的恒成立问题 例4已知f(x)＝ax2 ＋ax－ 1在 R上足f(x)<0，则a的取值范围 是______．
解析：(1)当 a＝0 时，f(x)<0 恒成立，故 a＝0 符合题意； (2)当 a≠0 解得－4<a<0. 综上所述：－4<a≤0.
2m 2(2 m) 4 2m 1 2