安徽省安庆市2015届高三第二次教学质量检查考试数学(理)试题

2015年安庆市高三第二次质量检测考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知i 是虚数单位,满足21i =-,复数z 满足2z i i ⋅=+,则复数z 等于A.12i -B.2i --C.12i -+D.12i +2.已知椭圆2241mx y +=则实数m 等于 A.2 B.2或83C.2或6D.2或8 3.设随机变量ξ服从正态分布2(3,)N σ,且ξ在(,6)-∞上取值的概率为0.8,则ξ在(0,3)上取值的概率为A.0.2B.0.3C.0.8D.0.14.在等比数列{}n a 中,3222a a -=,且45a 是312a 和52a 的等差中项,则{}n a 的公比为 A.2 B.3 C.2或3 D.65.在极坐标系中,曲线:2sin C ρθ=上的两点,A B 对应的极角分别为2,33ππ,则弦长||AB 等于A.1 D.26.已知点P 是边长为1的正方形ABCD 的对角线AC 上的任意一点,PE AB ⊥于E ,PF BC ⊥于F ,则PD EF ⋅等于A.1B.1-C.12D.0 7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A.6B.203 C.163 D.1938.某村2014年的农业年生产总值为2000万元,在2015年中,大力推进绿色生态农业,预计以后每年的农业生产总值都比上一年增长10%,现设计了一个程序框图计算预计农业年生产总值首次超过3000万元的年份,那么图中的※处和最后输出的结果应是A.0.1;2018t a =B.0.1;2019t a =C. 1.1;2018t a =D. 1.1;2019t a = 9.设实数,m n 满足0,0m n ><,且111m n+=,则4m n + A.有最小值9 B.有最大值9 C.有最大值1 D.有最小值1 10.已知函数2()2(21)47f x ax a x a =+-+-其中*a N ∈,设0x 为()f x 的一个 零点,若0x Z ∈,则符合条件的a 的值有A.1个B.2个C.3个D.无数个 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,请将答案填在答题卡的相应位置.11.若6)(0)a a x >的展开式的常数项是154,则实数a =12.设实数,x y 满足||1x y ≤≤,则|1|2u x y =++的取值范围是13.已知命题:p 函数y =的值域为[0,)+∞,命题:q 对任意的x R ∈,不等式||||1x x a -+≤恒成立,若命题()p q ∧⌝为真命题,则实数a 的取值范围是14.若函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图象如图所示,则图中的阴影部分的面积为15.规定:坐标轴绕着原点逆时针旋转的角度为正角,顺时针旋转的角度为负角,不改变坐标轴的原点和长度单位,只将两坐标轴旋转同一个角度θ,这种坐标轴的变换叫做坐标轴的θ角旋转,简称转轴θ,将平面直角坐标系O xy -转轴θ得到新坐标系''O x y -,设点P 在两个坐标系中的坐标分别为(,)x y 和(',')x y ,则下列结论中错误的是 (把你认为错误的所有结论的序号都填上) ①与x 轴垂直的直线转轴后一定与'x 轴垂直;②当4πθ=时,点(1,1)P 在新坐标系中的坐标为(1,0)P ;③当4πθ=-时,反比例函数1y x=的图象经过转轴后的标准方程是22''2x y -=④当6πθ=时,直线2x =''40y --=⑤点P 在两个坐标系中坐标之间的关系是'cos 'sin 'sin 'cos x x y y x y θθθθ=-⎧⎨=+⎩三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16(本小题满分12分)如图所示,在平面四边形ABCD 中,4,2,60,120AB AD DAB BCD ==∠=∠=. (Ⅰ)当BC CD =时,求BCD ∆的面积;(Ⅱ)设CBD θ∠=,记四边形ABCD 的周长为()f θ,求()f θ的表达式,并求出()f θ的最大值.17(本小题满分12分)为美化环境,某小区物业计划在小区内种植甲,乙,丙,丁四棵树苗,受环境影响,甲,乙两棵树苗成活率均为12,丙,丁两棵树苗成活率均为(01)a a <<,每棵树苗成活与否相互没有影响. (Ⅰ)若甲,乙两棵树苗中有且仅有一棵成活的概率与丙,丁两棵树苗都成活的概率相等,求a 的值 (Ⅱ)设X 为最终成活的树苗的数量,求X 的概率分布列及数学期望值.18(本小题满分12分)如图所示,在四棱柱1111ABCD A BC D -中,底面ABCD 是梯形,//AD BC ,侧面11ABB A 为菱形,1DAB DAA ∠=∠. (Ⅰ)求证:1A B AD ⊥;(Ⅱ)若12,60AD AB BC A AB ==∠=,点D 在平面11ABB A 上的射影恰为线段1A B 的中点,求平面11DCC D 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.19(本小题满分13分)已知抛物线22(0)y px p =>,四边形ABCD 内接于抛物线,如图所示.(Ⅰ)若直线,,,AB CD BC AD 的斜率均存在,分别记为1234,,,k k k k ,求证:12341111k k k k +=+; (Ⅱ)若直线,AB AD 的斜率互为相反数,且弦AC x ⊥轴,求证:直线BD 与抛物线在点C 处的切线平行.20(本小题满分13分)已知函数()xx af x e +=. (Ⅰ)若()f x 在区间(,2)-∞上为单调递增函数,求实数a 的取值范围;(Ⅱ)若00,1a x =<,设直线()y g x =为函数()f x 的图象在0x x =处的切线,求证:()()f x g x ≤.21(本小题满分13分)已知数列{}n a 满足*12,2,)n a a a n n N =>=≥∈.(Ⅰ)求证:对任意*,2n n N a ∈>;(Ⅱ)判断数列{}n a 的单调性,并说明你的理由;(Ⅲ)设n S 为数列{}n a 的前n 项和,求证:当3a =时,423n S n <+.2015年安庆市高三模拟考试（二模） 数学试题(理科) 参考答案及评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一答案2.D 【解析】显然0>m 且4≠m .当40<<m 时，椭圆长轴在x 2=，解得2m =；当4>m 时，椭圆长轴在y 2=，解得8m =，选D .3.B 【解析】因为ξ服从正态分布2(3,)N σ，所以(0)(6)10.80.2P P ξξ<=>=-=，(06)0.6P ξ⇒<<=，所以(03)0.3P ξ<<=.选B.4.B 【解析】设公比为q ，由已知2222=-a q a ， 53421210a a a +=得0652=+-q q 解得2=q 或3=q ，但2=q 不符合.选B .5.C 【解析】A 、B 两点的极坐标分别为2)3π 、)3π，化为直角坐标为3()2、3)2，故AB =C . 6.D 【解析】设AB a = ，AD b = ，PF a λ= ，PE b μ=（λ，R μ∈），根据题意可知21a = ，21b = ，0a b ⋅= ，0λ>，0μ<，且1μλ-+=. 所以 EF a b λμ=-，(1)AP AE PE a b λμ=-=-- ，(1)(1)PD AD AP a b λμ=-=-++，故 ()(1)(1)(1)(1)()(1)0PD EF a b a b λμλμλλμμλμλμ⎡⎤⋅=-++-=--+=+--=⎣⎦.选D .（注：也可用坐标法或特殊位置法求解.） 7. A 【解析】该几何体的直观图如图所示.622221312221131222=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=V .选A .8.B 【解析】2000 1.13000 1.1 1.5m m ⨯>⇒>. 因为41.1 1.46 1.5≈<，51.1 1.61 1.5≈>，所以m 的最小正整数值为5.选B .9.C 【解析】因为111m n +=，所以1144(4)5m n m n m n m n n m ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭.又0m >，0n <，所以 4 4m n n m ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭≥，故 45 541m n n m ++-=≤. 当且仅当1,12m n ==-时取等号. 选C .10.B 【解析】22272(21)470(2)(2)x ax a x a a x x ++-+-=⇒=≠-+. 因为N *a ∈，所以2271(2)x x ++≥，解得31(2)x x -≠-≤≤.由0x Z ∈知03x =-，1-，0，1.当03x =-时，1a =；当01x =-时，5a =；当00x =时，74a =*∉N ；当01x =时，1a =.故，符合条件的a 的值有2个.选B .二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在题中横线上)11.12，【解析】r rr r r r r r x a C xa x C T 2336661)1()()(--+-=-=，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-415)1(02336r r r a C r ，得2r =，12a =. 12. 14u ≤≤，【解析】由题意，可行域如图所示， 则11x -≤≤ ，01y ≤≤ ，所以1221u x y x y =++=++，故. 13.(,2][2,)-∞-+∞ ，【解析】函数y =202[0)4a a +∞⇔∆=-⇔≥≥，；对任意的R x ∈，不等式1x x a -+≤恒成立1a ⇔≤，所以若命题()p q ∧⌝为真命题，则2a ≥；a 的范围为(,2][2,)-∞-+∞ .14.232-，【解析】由图可知，1A =，1sin 2ϕ=-，由2πϕ<得6πϕ=-，又sin()066ππω-=，得61,k k Z ω=+∈，由图知1264ππω<⨯，3ω< ，由0ω>，得1ω= 所以()sin()6f x x π=-，阴影部分面积60()d S f x x π==⎰60sin()d 6x x ππ-=⎰602cos()62x ππ-=. 15.（1），（2），（3），【解析】（1）因为转轴变换仅仅是坐标轴旋转，而直线并不随着旋转，错误；（2）点(11)P ，在新坐标系中的坐标应为0)P ，错误；（3）4πθ-=时，函数1y x=的图象经过转轴后的标准方程是2''22=-x y ，错误； （4）直角坐标系Oxy 中的直线2=x ，在坐标系Ox y ''中倾斜角为3π，且经过点)0,334(，故转轴后的直线方程是 04''3=--y x ，正确；（5）证明如下：设POx ϕ'∠=，OP r =， 则cos()cos cos sin sin cos sin x r r r x y ϕθϕθϕθθθ''=+=-=-， sin()sin cos cos sin sin cos y r r r x y ϕθϕθϕθθθ''=+=+=+，正确.三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)14u ≤≤16．（本题满分12分） 【解析】（Ⅰ）在△ABD 中，4AB =，2AD =，60DAB ∠=︒，根据余弦定理可得23BD ==. ………2分在△BCD 中，因为120BCD ∠=°，所以当BC CD =时，30CBD CDB ∠=∠=︒，根据正弦定理可得sin 302sin120BD BC ⋅︒==︒，2CD =.∴ BCD ∆的面积11sin 2222S BC CD BCD =⨯⨯∠=⨯⨯= ……… 5分 （Ⅱ）在△BCD 中，由4sin sin(60)sin120DC BC BDθθ===︒-︒，得4sin DC θ=，4sin(60)BC θ=︒-， ……… 7分所以()f AB AD BC CD θ=+++)60sin(4sin 46θθ-++=6sin 2cos 32sin 4+-+=θθθ62sin 64sin(60)θθθ=++=++︒ …9分 因为060θ︒<<︒，所以当且仅当30θ=︒时，sin(60)θ+︒有最大值1. 从而()f θ的最大值为10. ……… 12分17．（本题满分12分）【解析】（Ⅰ）2212)21(a C =， 22=a ………4分 （Ⅱ）X 可取0、1、2、3、42202202)1(41)1()21()0(a a C C X p -=-⋅==12020212222111(1)()(1)()(1)(1)222p X C C a C C a a a ==⋅-+⋅-=-22220212212202222)21()1()21()1()21(C 2)(a C C a a C C a C X P ⋅+-⋅+-===)221(412a a -+ 2)21()1()21()3(22221212222a a C C a a C C X P =+-⋅==4)21()4(2222222a a C C X P =⋅== ………7分∴X⨯+-⨯=2)1(211a EX )221(412a a -+3+⨯2a +4⨯42a 12a =+ ∴a EX 21+=. ………12分18.（本小题满分12分）【解析】解一：（Ⅰ）因为侧面11ABB A 为菱形，所以1AB AA=，又1DAB DAA ∠=∠，图3所以 ()11A B AD A A AB AD ⋅=+⋅ 1A A A D A B A D =⋅+⋅ 11cos()cos A A AD DAA AB AD DABπ=⋅-∠+⋅∠11cos cos 0AB AD DAA AB AD DAA =-⋅∠+⋅∠=，从而1A B AD ⊥. ………5分（Ⅱ）设线段1A B 的中点为O ，连接DO 、1AB ，由题意知DO ⊥平面11ABB A .因为侧面11ABB A 为菱形，所以11AB A B ⊥，故可分别以射线OB 、射线1OB 、射线OD 为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -，如图1所示.设22AD AB BC a ===，由160A AB ∠=︒可知OB a =，1OA OB ==，所以OD a ==，从而(00)A ，，(00)B a ，，，1(00)B ，，(00)D a ，，. 所以11(0)CC BB a ==-，. 由12BC AD = 可得1()22C a a a ，，，所以1()22DC a a a =- ，，. ………7分设平面11DCC D 的一个法向量为000()m x y z = ，，，由10m CC ⋅= ，0m DC ⋅=，得00000010.22ax ax az ⎧-=⎪⎨+-=⎪⎩， 取01y =，则0x0z =1m =. ………9分又平面11ABB A 的法向量为(00)OD a =，，，所以cos =OD m OD m OD m ⋅〈〉=，故平面11DCC D 与平面11ABB A………12分 解二：（Ⅰ）连接1AB 、1A D 、BD ，设1AB 交1A B 于点O ， 连OD ，如图2所示.由1AA AB =，1DAB DAA ∠=∠可得△1AA D ≌△ABD ， 所以1A D BD =.由于O 是线段1A B 的中点，所以1DO A B ⊥， 又根据菱形的性质1AO A B ⊥，所以1A B ⊥平面ADO ， 从而1A B AD ⊥. ………5分（Ⅱ）因为//AD BC ，2AD BC =，所以延长AB 、DC 交于点E ，延长11A B 、11D C 交于点F ，且BE AB =，111B F A B =.连接EF ， 则1//EF BB .过点O 作1BB 的垂线交1BB 于点G ，交EF 于点H ， 连接DH ，如图3所示.因为1//EF BB ，所以OH EF ⊥.由题意知DO ⊥平面11ABB A ，所以由三垂线定理得DH EF ⊥， 故DHO ∠是平面11DCC D 与平面11ABB A 所成二面角的平面角. ………8分易知2OG a =，GH =，所以2OH a =.在Rt △DOH 中， 图22DH a===，所以cosOHDOHDH∠==.故平面11DCC D与平面11ABB A………12分19．（本题满分13分）【解析】(Ⅰ) 证明：设11(,)A x y，22(,)B x y，33C(,)x y，44D(,)x y∴12112y ykx x-=-2112y px=，2222y px=∴1122pky y=+同理：2342pky y=+，故123412+112y y y yk k p+++=………4分同理：=+4311kk pyyyy24321+++，从而得证. ………6分(Ⅱ) 证明：由AC x⊥轴，有13x x=，13y y=-，设以C为切点的切线斜率为k，则其方程为11()y y k x x+=-，代入pxy22=，得0)()(221111222=++++-ykxxpkyxkxk∴222211114(p)4()0k x ky k kx y∆=++-+=得2112pk x ky++=，而2112y px=∴1pky=-；………9分由若直线AB、AD的斜率互为相反数，则有122py y++142py y=+∴12420y y y++=，BDk=2411222p p py y y y==-+-，∴BDk k=而点C不在BD上，所以，直线BD平行于点C处的切线. ………13分20．（本题满分13分）【解析】（Ⅰ）由已知，xeaxxf)1()('---=，由已知0)('≥xf对)2,(-∞∈x恒成立，故，ax-≤1对)2,(-∞∈x恒成立，得21≥-a，∴1-≤a为所求. ………4分（Ⅱ）证明：0=a，则xexxf=)(函数)(xf在xx=处的切线方程为000()'()()()y g x f x x x f x==-+当x x=时，()()f xg x=;当xx≠时，要证()()f xg x<；即证()()f xg x-＜0………6分令000()()()()'()()()h x f x g x f x f x x x f x=-=---'()'()'()h x f x f x=-)1()1(11xxxxxx eexexexex+---=---=设xx exexx)1()1()(0---=ϕ，Rx∈则xx exex)1()('0---=ϕ，∵1<x，∴0)('<xϕ∴)(xϕ在R上单调递减，而0)(=xϕ………10分第19题图∴当0x x <时，0)(>x ϕ，当0x x >时，0)(<x ϕ 即当0x x <时，'()0h x >，当0x x >时'()0h x <∴()h x 在区间),(0x -∞上为增函数，在区间),(0+∞x 上为减函数 ∴0x x ≠时，0()()0h x h x <=，即有()()f x g x <综上，()()f x g x ≤ ………13分 21.（本题满分13分）【解析】(Ⅰ)先用数学归纳法证明：2n a >（*N n ∈）. ① 当1n =时，12a a =>，结论正确； ② 假设k n =)1(≥k 时结论成立，即2k a >，则1+=k n时，12k a +==，所以1n k =+时，结论正确.故，由①、②及数学归纳法原理，对一切的*N n ∈，都有2n a >成立. ………4分(Ⅱ){}n a 是单调递减的数列.因为22212(2)(1)n n n n n n a a a a a a +-=+-=--+，又2n a >， 所以 2210n n a a +-<，1n n a a +⇒<. 这说明{}n a 是单调递减的数列. ………8分（Ⅲ）由1n a +=212n n a a +=+，所以2142n n a a +-=-.根据(Ⅰ)2n a >（*N n ∈），所以11211224n n n a a a ++-=<-+， 所以 ()()()21111112222444nn n n a a a a +-⎛⎫⎛⎫-<-<-<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以，当3a =时，1124n n a +⎛⎫-< ⎪⎝⎭，即1124n n a +⎛⎫<+ ⎪⎝⎭. 当1=n 时，14323S =<+，当2n ≥时， 212311133222444n n n S a a a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++<+++++++⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1111114432(1)121121434314n n n n n --⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+-=++-<+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-. ………13分。